3.2.4. Примеры решения задач по теме «Векторное и смешанное произведения»

Задача 1.

Найти модуль вектора [A – 3B, 2A + B], если |A| = 6, |B| = 7, а угол между векторами А и B равен 30о.

Указание

Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю, поэтому

[A, а] = 0.

Операция векторного умножения некоммутативна,

[B, А] = — [A, B]

Решение

Используя свойства векторного произведения, получим:

[A – 3B, 2A + b] = 2[A, A] – 6[B, A] + [A, b] – 3[B, b] = 2·0 + 6[A, b] + [A, b] – 3·0 =

= 7[A, b

].

Следовательно, |[A – 3B, 2A + b]| = 7|[A, b]| = 7 |A| |B| sin φ = 7·6·7·0,5 =147.

Ответ: |[A – 3B, 2A + b]| = 147.

Задача 2.

Известно, что |A| = 2, |B| = 10 и |[A, B]| = 12. Найти скалярное произведение Ab.

Указание

Поскольку |[A, B]| = |A| |B| sin J, можно найти sin J, а затем с помощью основного тригонометрического тождества вычислить cos J

.

Решение

Поскольку |[A, B]| = |A| |B| sin J, где J – угол между векторами A И B, получаем:

12 = 2·10·sin J, откуда sin J = 0,6. Тогда cos2J = 1 – sin2J = 0,64.

Если угол между векторами A И B острый, то cos J = 0,8, и Ab = 2·10·0,8 = 16; если же этот угол тупой, то cos J = -0,8, и Ab = -16.

Ответ: Ab = +16.

Задача 3.

Найти координаты векторного произведения векторов

A = {3; 2; 1} и

B = {-1; 1; -2}.

Указание

Воспользуйтесь формулами для координатной записи векторного произведения:

Решение

Ответ: [A,B] = {-5; 5; 5}.

Задача 4.

Даны точки А(1; -1; 2), В(5; -6; 2), С(1; 3; -1). Найти площадь треугольника АВС.

Указание

Рассмотрите векторы

Модуль векторного произведения [AB, AC] равен площади параллелограмма АВМС, построенного на них как на смежных сторонах, а площадь треугольника

АВС равна половине площади АВМС.

Решение

Рассмотрим векторы

Модуль векторного произведения [AB, AC] равен площади параллелограмма АВМС, построенного на них как на смежных сторонах, а площадь треугольника АВС равна половине площади АВМС.

Рис. 7

Ответ: 12,5.

Задача 5.

Даны векторы A = {4; -1; 2} и B = {1; 1; -3}. Найти координаты векторного произведения [A – 4B, B].

Указание

Воспользуйтесь тем, что

Решение

Ответ: {1; 14; 5}.

Задача 6.

Даны векторы A = {2; -1; 1}, B = {3; 3; 4} и С = {2; 0; 2}. Найти координаты вектора D, если известно, что он перпендикулярен векторам A и B, а скалярное произведение Dc = -8.

Указание

Векторное произведение [A, B] перпендикулярно обоим сомножителям,

То есть [A, B] перпендикулярен А и B.

Решение

Векторное произведение [A, B] перпендикулярно обоим сомножителям,

То есть [

A, B] перпендикулярен А и B.

Следовательно, вектор D || [A,B], поэтому координаты вектора D Пропорциональны координатам [A,B].

Пусть D = {-7K; -5K; 9K}, тогда Dc = -7K ·2 + 9K ·2 = 4K = -8.

Следовательно, K = -2, и D = {14; 10; -18}.

Ответ: D = {14; 10; -18}.

Задача 7.

Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках

А(2; 2; 2), В(3; 1; 5),

С(0; 4; 3), D(5; 0; 7).

Указание

Модуль смешанного произведения векторов AB, AC, AD равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на смежных ребрах.

Решение

Модуль смешанного произведения векторов AB, AC, AD равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на смежных ребрах. У треугольной пирамиды ABCD высота равна высот параллелепипеда, а площадь основания вдвое меньше площади основания параллелепипеда. Поэтому

Рис. 8

Ответ: .

< Предыдущая		Следующая >

Векторное произведение векторов. Примеры решения задач

Решения типовых задач по теме: «Векторное произведение векторов»
Задача № 1. Даны модули векторов и , , и их скалярное произведение Вычислить модуль векторного произведения .
Решение. Так как модуль векторного произведения двух векторов равен произведению модулей данных векторов, умноженному на синус угла между векторами, то необходимо знать синус угла между векторами и .
Воспользуемся скалярным произведением данных векторов:

откуда

Тогда

Следовательно,

Ответ:
Задача № 2. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы векторы и были коллинеарны?
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео

Задача № 3. Векторы , и удовлетворяют условию . Доказать, что .
Задача № 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если и

Указания. Площадь параллелограмма численно равна длине вектора, полученного в результате векторного умножения двух данных векторов, т. е.

Ответ: S параллелограмма= 157,5 кв. ед.
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео

Задача № 5. Зная стороны треугольника ={-3; -2; 6} и = {- 2; 4; 4}, вычислить длину высоты .
Решение. I способ приведен в видеоуроке
II способ. Указания. Найти Пр и затем по теореме Пифагора вычислить высоту .
Ответ: ед. длины.
Решение этой задачи подробно изложено в следующем видео

Задача № 6. Решить самостоятельно. Вычислить длины диагоналей и площадь параллелограмма, построенного на векторах: {6;0;2} и {1,5; 2; 1}.
Указания. Одна из диагоналей параллелограмма будет равна сумме векторов сторон, а другая — разности векторов сторон параллелограмма (рис.1).

Рис.1

Ответ: длины диагоналей и , площадь параллелограмма 13 кв.ед.
Задача № 7. Зная, что векторы и коллинеарны, вычислить коэффициенты α и β.
Указания. Если векторы а и b коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю, .
Ответ:
Решения этих задач подробно изложено в следующем видео

Векторное произведение векторов, формула и примеры

Определение и формула векторного произведения векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Векторным произведением двух векторов и называется вектор , перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, что наименьший поворот от вектора к вектору происходит против хода часовой стрелки, если смотреть с конца вектора (рис. 1), причем

   

Если векторы и заданы своими координатами: , то их векторное произведение вычисляется по формуле:

   

где – орты координатных осей соответственно.

Если раскрыть этот определитель по первой строке:

   

   

то получаем, что

   

ПРИМЕР

Задание	Найти векторное произведение векторов и
Решение	Для нахождения векторного произведения составим определитель, в первой строке которого записаны орты координатных осей, а во второй и третьей строках координаты векторов и соответственно:     Вычислим этот определитель, разложив его по элементам первой строки:
Ответ

Свойства векторного произведения векторов

1. Геометрический смысл векторного произведения

. Модуль векторного произведения двух векторов и равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:

   

ЗАМЕЧАНИЕ Площадь треугольника построенного на векторах и равна половине модуля векторного произведения указанных векторов:

   

2. Векторное произведение двух ненулевых векторов и равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

3. .

4. .

5. .

ПРИМЕР

Задание	Найти площадь треугольника, образованного векторами и , если известно, что , а угол между этими векторами .
Решение	Известно, что площадь треугольника, построенного на двух векторах, равна половине длины вектора, который есть их векторным произведением. Модуль векторного произведения векторов и равен произведению модулей этих векторов на синус угла между ними. То есть имеем: (кв. ед.).
Ответ	(кв. ед.)

Задачи для самостоятельного решения

1. Векторы иобразуют угол. Зная, чтовычислить.

Ответ. 15.

2. Даны ,. Вычислить.

Ответ. 16.

3. Векторы ивзаимно перпендикулярны. Зная, что, вычислить

1), 2).

Ответ. 1) 24, 2) 60.

4. Векторы иобразуют угол. Зная, что, вычислить

1) , 2), 3).

Ответ. 1) 3, 2) 27, 3) 300.

5. Найти орт , перпендикулярный векторами.

Ответ. .

6. Вычислить площадь треугольника с вершинами ,и.

Ответ. 14 кв. ед.

7. Сила приложена к точке. Найти момент этой силы относительно начала координат.

Указание: если – сила, прилаженная к точкеМ, то момент этой силы относительно точки А равен векторному произведению векторов и.

Ответ. .

8. Дана сила и точки ее приложения. Найти момент этой силы относительно точкии углы, составляемые им с координатными осями.

Ответ. ;,,.

9. Даны векторы и. Найти векторное произведение.

Ответ. .

10. Дан треугольник с вершинами ,и. Найти длину его высоты, проведенной из вершиныС.

Ответ. 10.

§ 4. Смешанное произведение векторов

Основные теоретические сведения

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называют число(векторно-скалярное произведение).

Свойства смешанного произведения:

1. . Это свойство позволяет ввести для смешанного произведения обозначение.

2. Циклическая перестановка векторов не меняет величины смешанного произведения, т.е.

3. гдеV – объем параллелепипеда, построенного на векторах , а– объем пирамиды, построенной на векторах.

4. Для того чтобы векторы были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Замечание. Из определения смешанного произведения следует, что смешанное произведение равно нулю, если среди сомножителей хотя бы два вектора коллинеарны.

Если векторы заданы своими координатами в ортонормированном базисе :, то их смешанное произведение вычисляется в виде

.

5. Если – тройка векторов называется правой,– левой.

Примеры решения задач

Задача 4.1. Вычислить смешанное произведение векторов .

Решение. Способ 1.

или

Способ 2.

Ответ. –2

Задача 4.2. Упростить выражение:

Решение.

Ответ. 3.

Задача 4.3. Векторы образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны иВычислить.

Решение. по определению скалярного произведения векторови.

Из определения векторного произведения векторов иследует, что. Следовательно, угол между векторамииравен нулю и косинус этого угла равен 1. Тогда

Ответ. 24.

Задача 4.4. Дано: и. Вычислить.

Решение.

.

Ответ. –7.

Замечание. Векторы образуют левую тройку.

Задача 4.5. Установить, образуют ли векторы ибазис в множестве всех векторов.

Решение.

Смешанное произведение векторов оказалось равным нулю, следовательно, эти вектора компланарны, а значит, базисом в множестве всех векторов они быть не могут.

Ответ. Не образуют.

Задача 4.6. Доказать тождество .

Решение.

Все слагаемые – смешанные произведения; те из слагаемых, в которых два вектора совпадают, равны нулю.

Задача 4.7. Доказать, что если , причем хотя бы одно из чиселотлично от нуля, то векторы– компланарны.

Решение. Пусть . Умножим обе части данного равенства скалярно на вектор. Получим– компланарны. Что и требовалось доказать.

Задача 4.8. Вычислить объем тетраэдра OABC, если

.

Решение. Объем тетраэдра равен шестой части объема параллелепипеда, следовательно:

Ответ.

Задача 4.9. В тетраэдре с вершинами в точках A(1,1,1) B(2,0,2), C(2,2,2) и Dвычислить высоту.

Решение. (рис. 1.19).С другой стороны, Таким образом

Рис. 1.19

Ответ. .

Задача 4.10. Доказать, что четыре точки A(1,2,–1), B(0,1,5), C(–1,2,1) и D(2,1,3) лежат в одной плоскости.

Решение. Достаточно убедиться в том, что, например, векторы икомпланарны:

Что и требовалось доказать.

Примеры решения задач с векторами

Примеры решения задач с векторами

Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

Координаты вектора

Теоретический материал по теме — координаты вектора.

Пример

Запись означает, что вектор имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

Пример

Задание. Заданы векторы и . Найти координаты вектора

Решение.

Пример

Задание. Вектор . Найти координаты вектора

Решение.

Пример

Задание. Найти координаты вектора , если

Решение.

Длина (модуль) вектора

Теоретический материал по теме — длина вектора.

Пример

Задание. Найти длину вектора

Решение. Используя формулу, получаем:

Пример

Задание. Найти длину вектора

Решение. Используя формулу, получаем:

Угол между векторами

Теоретический материал по теме — угол между векторами.

Пример

Задание. Известно, что скалярное произведение двух векторов , а их длины . Найти угол между векторами и .

Решение. Косинус искомого угла:

Пример

Задание. Найти угол между векторами и

Решение. Косинус искомого угла

Пример

Задание. Найти угол между векторами и

Решение. Косинус искомого угла:

Разложение вектора по ортам координатных осей

Теоретический материал по теме — разложение вектора по ортам.

Пример

Задание. Зная разложения вектора по базисной системе векторов: , записать координаты этого вектора в пространстве.

Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что , получаем, что

Пример

Задание. Вектор задан своими координатами: . Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.

Решение. Координаты вектора — это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе векторов, поэтому искомое разложение:

Скалярное произведение векторов

Теоретический материал по теме — скалярное произведение векторов.

Пример

Задание. Вычислить скалярное произведение векторов и , если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°.

Решение. Так как из условия , , а , то

Пример

Задание. Найти скалярное произведение векторов и

Решение. Скалярное произведение

Векторное произведение векторов

Теоретический материал по теме — векторное произведение векторов.

Пример

Задание. Найти векторное произведение векторов и

Решение. Составляем определитель и вычисляем его:

Смешанное произведение векторов

Теоретический материал по теме — смешанное произведение векторов.

Пример

Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах , ,

Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов , и :

Примеры Векторная алгебра | Primer.by

Даны векторы a, b, c, d. Для указанных в пп.1-3 векторов требуется: 1) вычислить скалярное произведение; 2) найти модуль векторного произведения; 3) проверить коллинеарность и ортогональность; 4) убедиться, что векторы a, b, c образуют базис;

5) найти координаты вектора d в этом базисе.

                                                                                                                     

; ;  ;

 

Решение

 

1)     

Скалярное произведение векторов  и :

2)     

Векторное произведение векторов  и :

 

3) Проверим коллинеарность векторов  и :

Координаты векторов не пропорциональны, следовательно,  и  не коллинеарны.

Проверим ортогональность векторов  и

Следовательно, векторы не ортогональны.

4) Найдем смешанное произведение векторов , и :

Следовательно, векторы , и  не компланарны и образуют базис.

5) Найдем координаты α, β и γ вектора  в этом базисе:

Получим систему уравнений

Решим систему методом Гаусса

Полученная матрица эквивалента системе

, 

откуда

γ=

β=

α=

Таким образом,

Пример 2.

Даны четыре вектора  в некотором базисе. Показать, что векторы , ,  образуют базис, и найти координаты вектора  в этом базисе.

 

 

Решение

Составим определитель матрицы из координат векторов , ,  

и вычислим его:

Так как Δ≠0, то векторы , ,  линейно независимы и образуют базис.

Найдем координаты α, β и γ вектора  в этом базисе:

Получим систему уравнений

Решим систему методом Гаусса:

Полученная матрица эквивалента системе

γ=-2

β=

α=

Таким образом,

 

Ответ:

 

 

 

 

Векторное произведение векторов | Математика

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.35

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1) длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е.

2) вектор перпендикулярен обоим векторам и ;

3) вектор направлен в ту сторону, что если смотреть из его конца вдоль вектора, то кратчайший поворот вектора к вектору виден совершающимся против движения часовой стрелки. Векторное произведение вектора на вектор обозначаемся символом .

Введем декартовую систему координат и рассмотрим векторные произведения единичных векторов . Покажем, что .

Действительно, если , то по определению векторного произведения:

1)

2) Но и

3) если смотреть с конца вектора или , то кратчайший поворот вектора к вектору виден происходящим против движения часовой стрелки (рис. 1.1.20).

Рисунок 1.1.20

Итак, . Следовательно,

Аналогично доказывается, что

(1.60)

Повторив вышеприведенные рассуждения для произвольных векторов и можно убедиться, что векторное произведение обладает свойствами:

2. для
4. , если или хотя бы один из векторов есть нулевой вектор;

Найдем выражение для векторного произведения векторов, заданных своими координатами. Пусть Тогда, согласно свойствам 2,3,4 и равенствам (1.60), получим

Итак, если то

(1.61)

ПРИМЕР 1.1.24

Сила приложена к точке . Определить момент силы относительно начала координат.

Решение Пусть точка есть некоторая точка . Моментом силы , приложенной к точке , относительно точки называется вектор . По условию . Тогда, согласно формуле (61), получим

. Ответ:

ПРИМЕР 1.1.25

Даны вершины треугольника и Вычислить площадь этого треугольника.

Решение Найдем векторы (рис. 1.1.21). Имеем:

Рисунок 1.1.21

Так как равен площади параллелограмма , то площадь треугольника найдется по формуле

Ответ: 14

Из приведенных примеров следует, что векторное произведение в геометрии применяется при определении площадей многоугольников, в механике — при вычислении моментов.

11.4E: Упражнения для перекрестного произведения

Для упражнений 1–4 даны векторы \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \).

а. Найдите векторное произведение \ (\ vecs {u} \ times \ vecs {v} \) векторов \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \). Выразите ответ в виде компонентов.

г. Нарисуйте векторы \ (\ vecs {u}, \, \ vecs {v} \) и \ (\ vecs {u} \ times \ vecs {v} \).

1) \ (\ quad \ vecs {u} = ⟨2,0,0⟩, \ quad \ vecs {v} = ⟨2,2,0⟩ \)

Ответ:

\ (А.\ vecs {u} \ times \ vecs {v} = ⟨0,0,4⟩; \)

\ (б. \)

2) \ (\ quad \ vecs {u} = ⟨3,2, −1⟩, \ quad \ vecs {v} = ⟨1,1,0⟩ \)

3) \ (\ quad \ vecs {u} = 2 \ mathbf {\ hat i} +3 \ mathbf {\ hat j}, \ quad \ vecs {v} = \ mathbf {\ hat j} +2 \ mathbf {\ hat k} \)

Ответ:

\ (a. \ Vecs {u} \ times \ vecs {v} = ⟨6, −4,2⟩; \)

\ (б. \)

4) \ (\ quad \ vecs {u} = 2 \ mathbf {\ hat j} +3 \ mathbf {\ hat k}, \ quad \ vecs {v} = 3 \ mathbf {\ hat i} + \ mathbf {\ hat k} \)

5) Упростить \ ((\ mathbf {\ hat i} × \ mathbf {\ hat i} −2 \ mathbf {\ hat i} × \ mathbf {\ hat j} −4 \ mathbf {\ hat i} × \ mathbf {\ hat k} +3 \ mathbf {\ hat j} × \ mathbf {\ hat k}) × \ mathbf {\ hat i}.\)

Ответ:

\ (- 2 \ mathbf {\ hat j} −4 \ mathbf {\ hat k} \)

6) Упростить \ (\ mathbf {\ hat j} × (\ mathbf {\ hat k} × \ mathbf {\ hat j} +2 \ mathbf {\ hat j} × \ mathbf {\ hat i} −3 \ mathbf {\ hat j} × \ mathbf {\ hat j} +5 \ mathbf {\ hat i} × \ mathbf {\ hat k}). \)

В упражнениях 7-10 даны векторы \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \). Найдите единичный вектор \ (\ vecs {w} \) в направлении вектора векторного произведения \ (\ vecs {u} × \ vecs {v}. \). Выразите свой ответ, используя стандартные единичные векторы.

7) \ (\ quad \ vecs {u} = ⟨3, −1,2⟩, \ quad \ vecs {v} = ⟨− 2,0,1⟩ \)

Ответ:

\ (\ vecs {w} = — \ frac {\ sqrt {6}} {18} \ mathbf {\ hat i} — \ frac {7 \ sqrt {6}} {18} \ mathbf {\ hat j} — \ frac {\ sqrt {6}} {9} \ mathbf {\ hat k} \)

8) \ (\ quad \ vecs {u} = ⟨2,6,1⟩, \ quad \ vecs {v} = ⟨3,0,1⟩ \)

9) \ (\ quad \ vecs {u} = \ vecd {AB}, \ quad \ vecs {v} = \ vecd {AC}, \), где \ (A (1,0,1), \, B (1, −1,3) \) и \ (C (0,0,5) \)

Ответ:

\ (\ vecs {w} = — \ frac {4 \ sqrt {21}} {21} \ mathbf {\ hat i} — \ frac {2 \ sqrt {21}} {21} \ mathbf {\ hat j } — \ frac {\ sqrt {21}} {21} \ mathbf {\ hat k} \)

10) \ (\ quad \ vecs {u} = \ vecd {OP}, \ quad \ vecs {v} = \ vecd {PQ}, \), где \ (P (−1,1,0) \) и \ (Q (0,2,1) \)

11) Определите действительное число \ (α \) такое, что \ (\ vecs {u} \ times \ vecs {v} \) и \ (\ mathbf {\ hat i} \) ортогональны, где \ (\ vecs {u} = 3 \ mathbf {\ hat i} + \ mathbf {\ hat j} −5 \ mathbf {\ hat k} \) и \ (\ vecs {v} = 4 \ mathbf {\ hat i} −2 \ mathbf {\ hat j} + α \ mathbf {\ hat k}.\)

Ответ:

\ (α = 10 \)

12) Покажите, что \ (\ vecs {u} \ times \ vecs {v} \) и \ (2 \ mathbf {\ hat i} −14 \ mathbf {\ hat j} +2 \ mathbf {\ hat k } \) не может быть ортогональным ни для одного действительного числа α, где \ (\ vecs {u} = \ mathbf {\ hat i} +7 \ mathbf {\ hat j} — \ mathbf {\ hat k} \) и \ ( \ vecs {v} = α \ mathbf {\ hat i} +5 \ mathbf {\ hat j} + \ mathbf {\ hat k} \).

13) Докажите, что \ (\ vecs {u} \ times \ vecs {v} \) ортогонален \ (\ vecs {u} + \ vecs {v} \) и \ (\ vecs {u} — \ vecs {v} \), где \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \) — ненулевые векторы.

14) Докажите, что \ (\ vecs {v} \ times \ vecs {u} \) ортогонален \ ((\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v}) (\ vecs {u} + \ vecs {v }) + \ vecs {u} \), где \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \) — ненулевые векторы.

15) Вычислить определитель \ (\ begin {vmatrix} \ mathbf {\ hat i} & \ mathbf {\ hat j} & \ mathbf {\ hat k} \\ 1 & −1 & 7 \\ 2 & 0 & 3 \ end {vmatrix} \ ).

Ответ:

\ (−3 \ mathbf {\ hat i} +11 \ mathbf {\ hat j} +2 \ mathbf {\ hat k} \)

16) Вычислить определитель \ (\ begin {vmatrix} \ mathbf {\ hat i} & \ mathbf {\ hat j} & \ mathbf {\ hat k} \\ 0 & 3 & −4 \\ 1 & 6 & −1 \ end { vmatrix} \).{−t}⟩ \)

18) \ (\ quad \ vecs {u} = ⟨1, 0, x⟩, \ quad \ vecs {v} = ⟨\ frac {2} {x}, 1, 0⟩, \) где \ ( x \) ненулевое действительное число

19) Найдите вектор \ ((\ vecs {a} −2 \ vecs {b}) × \ vecs {c}, \), где \ (\ vecs {a} = \ begin {vmatrix} \ mathbf {\ hat i } & \ mathbf {\ hat j} & \ mathbf {\ hat k} \\ 2 & −1 & 5 \\ 0 & 1 & 8 \ end {vmatrix}, \ vecs {b} = \ begin {vmatrix} \ mathbf {\ hat i} & \ mathbf {\ hat j} & \ mathbf {\ hat k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & −1 & −2 \ end {vmatrix}, \) и \ (\ vecs {c} = \ mathbf {\ hat i} + \ mathbf {\ hat j} + \ mathbf {\ hat k}.\)

Ответ:

\ (−26 \ mathbf {\ hat i} +17 \ mathbf {\ hat j} +9 \ mathbf {\ hat k} \)

20) Найдите вектор \ (\ vecs {c} × (\ vecs {a} +3 \ vecs {b}), \), где \ (\ vecs {a} = \ begin {vmatrix} \ mathbf {\ hat i} & \ mathbf {\ hat j} & \ mathbf {\ hat k} \\ 5 & 0 & 9 \\ 0 & 1 & 0 \ end {vmatrix}, \ vecs {b} = \ begin {vmatrix} \ mathbf {\ hat i} & \ mathbf {\ hat j} & \ mathbf {\ hat k} \\ 0 & −1 & 1 \\ 7 & 1 & −1 \ end {vmatrix}, \) и \ (\ vecs {c} = \ mathbf {\ hat i} — \ mathbf {\ hat k}.\)

21) [T] Используйте векторное произведение \ (\ vecs {u} \ times \ vecs {v} \), чтобы найти острый угол между векторами \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \), где \ (\ vecs {u} = \ mathbf {\ hat i} +2 \ mathbf {\ hat j} \) и \ (\ vecs {v} = \ mathbf {\ hat i} + \ mathbf { \ hat k}. \) Выразите ответ в градусах, округленных до ближайшего целого числа.

Ответ:

\ (72 ° \)

22) [T] Используйте векторное произведение \ (\ vecs {u} \ times \ vecs {v} \), чтобы найти тупой угол между векторами \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v } \), где \ (\ vecs {u} = — \ mathbf {\ hat i} +3 \ mathbf {\ hat j} + \ mathbf {\ hat k} \) и \ (\ vecs {v} = \ mathbf {\ hat i} −2 \ mathbf {\ hat j}.2 \) для векторов \ (\ vecs {u} = — \ mathbf {\ hat i} + \ mathbf {\ hat j} −2 \ mathbf {\ hat k} \) и \ (\ vecs {v} = 2 \ mathbf {\ hat i} — \ mathbf {\ hat j}. \)

25) Ненулевые векторы \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \) называются коллинеарными, если существует ненулевой скаляр \ (α \) такой, что \ (\ vecs {v} = α \ vecs {u} \). Покажите, что \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \) коллинеарны тогда и только тогда, когда \ (\ vecs {u} \ times \ vecs {v} = 0. \)

26) Ненулевые векторы \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \) называются коллинеарными , если существует ненулевой скаляр \ (α \) такой, что \ (\ vecs {v} = α \ vecs {u} \).Докажите, что векторы \ (\ vecd {AB} \) и \ (\ vecd {AC} \) коллинеарны, где \ (A (4,1,0), \, B (6,5, −2), \ ) и \ (C (5,3, −1). \)

27) Найдите площадь параллелограмма со смежными сторонами \ (\ vecs {u} = ⟨3,2,0⟩ \) и \ (\ vecs {v} = ⟨0,2,1⟩ \).

Ответ:

\ (7 \)

28) Найдите площадь параллелограмма со смежными сторонами \ (\ vecs {u} = \ mathbf {\ hat i} + \ mathbf {\ hat j} \) и \ (\ vecs {v} = \ mathbf { \ hat i} + \ mathbf {\ hat k}. \)

29) Рассмотрим точки \ (A (3, −1,2), \, B (2,1,5), \) и \ (C (1, −2, −2).\)

а. Найдите площадь параллелограмма \ (ABCD \) со смежными сторонами \ (\ vecd {AB} \) и \ (\ vecd {AC} \).

г. Найдите площадь треугольника \ (ABC \).

г. Найдите расстояние от точки \ (A \) до прямой \ (BC \).

Ответ:

а. \ (5 \ sqrt {6}; \) б. \ (\ frac {5 \ sqrt {6}} {2}; \) в. \ (\ frac {5 \ sqrt {6}} {\ sqrt {59}} = \ frac {5 \ sqrt {354}} {59} \)

30) Рассмотрим точки \ (A (2, −3,4), \, B (0,1,2), \) и \ (C (−1,2,0). \)

а.Найдите площадь параллелограмма \ (ABCD \) со смежными сторонами \ (\ vecd {AB} \) и \ (\ vecd {AC} \).

г. Найдите площадь треугольника \ (ABC \).

г. Найти расстояние от точки \ (B \) до линии \ (AC. \)

В упражнениях 31-32 даны векторы \ (\ vecs {u}, \, \ vecs {v} \) и \ (\ vecs {w} \).

а. Найдите тройное скалярное произведение \ (\ vecs {u} ⋅ (\ vecs {v} × \ vecs {w}). \)

г. Найдите объем параллелепипеда с соседними ребрами \ (\ vecs {u}, \, \ vecs {v} \) и \ (\ vecs {w} \).

31) \ (\ quad \ vecs {u} = \ mathbf {\ hat i} + \ mathbf {\ hat j}, \ quad \ vecs {v} = \ mathbf {\ hat j} + \ mathbf {\ hat k}, \) и \ (\ quad \ vecs {w} = \ mathbf {\ hat i} + \ mathbf {\ hat k} \)

Ответ:

\ (a. 2; \ quad b. 2 \) шт. ³

32) \ (\ quad \ vecs {u} = ⟨− 3,5, −1⟩, \ quad \ vecs {v} = ⟨0,2, −2⟩, \) и \ (\ quad \ vecs {w} = ⟨3,1,1⟩ \)

33) Вычислите тройные скалярные произведения \ (\ vecs {v} ⋅ (\ vecs {u} × \ vecs {w}) \) и \ (\ vecs {w} ⋅ (\ vecs {u} × \ vecs { v}), \) где \ (\ vecs {u} = ⟨1,1,1⟩, \ vecs {v} = ⟨7,6,9⟩, \) и \ (\ vecs {w} = ⟨4 , 2,7⟩.\)

Ответ:

\ (\ vecs {v} ⋅ (\ vecs {u} × \ vecs {w}) = — 1, \ quad \ vecs {w} ⋅ (\ vecs {u} × \ vecs {v}) = 1 \ )

34) Вычислите тройные скалярные произведения \ (\ vecs {w} ⋅ (\ vecs {v} × \ vecs {u}) \) и \ (\ vecs {u} ⋅ (\ vecs {w} × \ vecs {v}), \) где \ (\ vecs {u} = ⟨4,2, −1⟩, \ vecs {v} = ⟨2,5, −3⟩, \) и \ (\ vecs {w} = ⟨9,5, −10⟩. \)

35) Найдите векторы \ (\ vecs {a}, \, \ vecs {b} \) и \ (\ vecs {c} \) с тройным скалярным произведением, заданным определителем \ (\ begin {vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 5 \\ 8 & 9 & 2 \ end {vmatrix} \).Определите их тройное скалярное произведение.

Ответ:

\ (\ vecs {a} = ⟨1,2,3⟩, \ quad \ vecs {b} = ⟨0,2,5⟩, \ quad \ vecs {c} = ⟨8,9,2⟩; \ четырехъядерный \ vecs {a} ⋅ (\ vecs {b} × \ vecs {c}) = — 9 \)

36) Тройное скалярное произведение векторов \ (\ vecs {a}, \, \ vecs {b} \) и \ (\ vecs {c} \) задается определителем \ (\ begin {vmatrix} 0 & −2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 1 & −3 & 7 \ end {vmatrix} \). Найдите вектор \ (\ vecs {a} — \ vecs {b} + \ vecs {c}. \)

37) Рассмотрим параллелепипед с ребрами \ (OA, OB, \) и \ (OC \), где \ (A (2,1,0), B (1,2,0), \) и \ (C (0,1, α).\)

а. Найдите действительное число \ (α> 0 \) такое, что объем параллелепипеда равен \ (3 \) единиц ^{3 .}

г. Для \ (α = 1, \) найдите высоту \ (h \) от вершины \ (C \) параллелепипеда. Нарисуйте параллелепипед.

Ответ:

\ (a. \, Α = 1; \ quad b. \, H = 1 \) единица,

38) Рассмотрим точки \ (A (α, 0,0), B (0, β, 0), \) и \ (C (0,0, γ) \), где \ (α, β \) , и \ (γ \) положительные действительные числа.

а. Определите объем параллелепипеда со смежными сторонами \ (\ vecd {OA}, \ vecd {OB}, \) и \ (\ vecd {OC} \).

г. Найдите объем тетраэдра с вершинами \ (O, A, B, \) и \ (C \). (Подсказка: объем тетраэдра составляет \ (1/6 \) объема параллелепипеда.)

г. Найдите расстояние от начала координат до плоскости, определяемое \ (A, B, \) и \ (C \). Нарисуйте параллелепипед и тетраэдр.

39) Пусть \ (u, v, \) и \ (w \) — трехмерные векторы, а \ (c \) — действительное число.Докажите следующие свойства векторного произведения.

а. \ (\ vecs u × \ vecs u = \ vecs 0 \)

г. \ (\ vecs u × (\ vecs v + \ vecs w) = (\ vecs u × \ vecs v) + (\ vecs u × \ vecs w) \)

г. \ (c (\ vecs u × \ vecs v) = (c \ vecs u) × \ vecs v = \ vecs u × (c \ vecs v) \)

г. \ (\ vecs u⋅ (\ vecs u × \ vecs v) = \ vecs 0 \)

40) Покажите, что векторы \ (\ vecs u = ⟨1,0, −8⟩, \, \ vecs v = ⟨0,1,6⟩ \) и \ (\ vecs w = ⟨− 1,9, 3⟩ \) удовлетворяют следующим свойствам перекрестного произведения.

а. \ (\ vecs u × \ vecs u = \ vecs 0 \)

г.\ (\ vecs u × (\ vecs v + \ vecs w) = (\ vecs u × \ vecs v) + (\ vecs u × \ vecs w) \)

г. \ (c (\ vecs u × \ vecs v) = (c \ vecs u) × \ vecs v = \ vecs u × (c \ vecs v) \)

г. \ (\ vecs u⋅ (\ vecs u × \ vecs v) = \ vecs 0 \)

41) Ненулевые векторы \ (\ vecs u, \, \ vecs v \) и \ (\ vecs w \) называются линейно зависимыми, если один из векторов является линейной комбинацией двух других. Например, существуют два ненулевых действительных числа \ (α \) и \ (β \) такие, что \ (\ vecs w = α \ vecs u + β \ vecs v \). В противном случае векторы называются линейно независимыми.Покажите, что \ (\ vecs u, \ vecs v \) и \ (\ vecs w \) могут быть размещены на одной плоскости тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

42) Рассмотрим векторы \ (\ vecs u = ⟨1,4, −7⟩, \, \ vecs v = ⟨2, −1,4⟩, \, \ vecs w = ⟨0, −9,18⟩ \ ) и \ (\ vecs p = ⟨0, −9,17⟩. \)

а. Покажите, что \ (\ vecs u, \, \ vecs v \) и \ (\ vecs w \) можно разместить на одной плоскости, используя их тройное скалярное произведение

.

г. Покажите, что \ (\ vecs u, \, \ vecs v \) и \ (\ vecs w \) можно разместить на одной плоскости, используя определение, что существуют два ненулевых действительных числа \ (α \) и \ ( β \) такая, что \ (w = αu + βv.\)

г. Покажите, что \ (\ vecs u, \, \ vecs v \) и \ (\ vecs p \) линейно независимы, то есть ни один из векторов не является линейной комбинацией двух других.

43) Рассмотрим точки \ (A (0,0,2), B (1,0,2), C (1,1,2), \) и \ (D (0,1,2). \) Являются ли векторы \ (\ vecd {AB}, \ vecd {AC}, \) и \ (\ vecd {AD} \) линейно зависимыми (то есть один из векторов является линейной комбинацией двух других)?

Ответ:

Да, \ (\ vecd {AD} = α \ vecd {AB} + β \ vecd {AC}, \), где \ (α = −1 \) и \ (β = 1.\)

44) Покажите, что векторы \ (\ mathbf {\ hat i} + \ mathbf {\ hat j}, \ mathbf {\ hat i} — \ mathbf {\ hat j}, \) и \ (\ mathbf {\ hat i} + \ mathbf {\ hat j} + \ mathbf {\ hat k} \) линейно независимы, то есть существуют два ненулевых действительных числа \ (α \) и \ (β \) такие, что \ (\ mathbf {\ hat i} + \ mathbf {\ hat j} + \ mathbf {\ hat k} = α (\ mathbf {\ hat i} + \ mathbf {\ hat j}) + β (\ mathbf {\ hat i } — \ mathbf {\ hat j}). \)

45) Пусть \ (\ vecs u = ⟨u_1, u_2⟩ \) и \ (\ vecs v = ⟨v_1, v_2⟩ \) — двумерные векторы. Перекрестное произведение векторов \ (\ vecs u \) и \ (\ vecs v \) не определено.Однако, если векторы рассматривать как трехмерные векторы \ (\ tilde {\ vecs u} = ⟨u_1, u_2,0⟩ \) и \ (\ tilde {\ vecs v} = ⟨v_1, v_2,0⟩ \) соответственно, то в этом случае мы можем определить перекрестное произведение \ (\ tilde {\ vecs u} \) и \ (\ tilde {\ vecs v} \). В частности, в обозначениях определителей, перекрестное произведение \ (\ tilde {\ vecs u} \) и \ (\ tilde {\ vecs v} \) равно

\ (\ tilde {\ vecs u} × \ tilde {\ vecs v} = \ begin {vmatrix} \ mathbf {\ hat i} & \ mathbf {\ hat j} & \ mathbf {\ hat k} \\ u_1 & u_2 & 0 \\ v_1 & v_2 & 0 \ end {vmatrix} \).

Используйте этот результат для вычисления \ ((\ cos θ \, \ mathbf {\ hat i} + \ sin θ \, \ mathbf {\ hat j}) × (\ sin θ \, \ mathbf {\ hat i} — \ cos θ \, \ mathbf {\ hat j}), \) где \ (θ \) — действительное число.

Ответ:

\ (- \ mathbf {\ hat k} \)

46) Рассмотрим точки \ (P (2,1), Q (4,2), \) и \ (R (1,2). \)

а. Найдите площадь треугольника \ (PQR \).

г. Определите расстояние от точки \ (R \) до прямой, проходящей через \ (P \) и \ (Q \).

47) Определите вектор величины \ (10 ​​\), перпендикулярный плоскости, проходящей через ось x и точку \ (P (1,2,4). \)

Ответ:

\ (⟨0, ± 4 \ sqrt {5}, 2 \ sqrt {5}⟩ \)

48) Определите единичный вектор, перпендикулярный плоскости, проходящей через ось z и точку \ (A (3,1, −2). \)

49) Рассмотрим \ (\ vecs u \) и \ (\ vecs v \) два трехмерных вектора. Если величина вектора векторного произведения \ (\ vecs u × \ vecs v \) в \ (k \) раз больше, чем величина вектора \ (\ vecs u \), покажите, что величина \ (\ vecs v \) больше или равно \ (k \), где \ (k \) — натуральное число.

50) [T] Предположим, что известны величины двух ненулевых векторов \ (\ vecs u \) и \ (\ vecs v \). Функция \ (f (θ) = ‖ \ vecs u‖‖ \ vecs v‖ \ sin θ \) определяет величину вектора векторного произведения \ (\ vecs u × \ vecs v, \), где \ (θ∈ [ 0, π] \) — угол между \ (\ vecs u \) и \ (\ vecs v \).

а. Постройте график функции \ (f \).

г. Найдите абсолютный минимум и максимум функции \ (f \). Интерпретируйте результаты.

г. Если \ (‖ \ vecs u‖ = 5 \) и \ (‖ \ vecs v‖ = 2 \), найдите угол между \ (\ vecs u \) и \ (\ vecs v \), если величина их пересечения вектор-произведение равен \ (9 \).

51) Найдите все векторы \ (\ vecs w = ⟨w_1, w_2, w_3⟩ \), которые удовлетворяют уравнению \ (⟨1,1,1⟩ × \ vecs w = ⟨− 1, −1,2⟩. \ ) Подсказка: у вас должна быть возможность записать все компоненты \ (\ vecs w \) в терминах одной из констант \ (w_1, w_2, \) или \ (w_3 \).

Ответ:

Записав все компоненты в терминах константы \ (w_3 \), можно представить эти векторы следующим образом: \ (\ vecs w = ⟨w_3−1, w_3 + 1, w_3⟩, \), где \ (w_3 \) — любое реальное число.
Обратите внимание, что здесь мы можем использовать любой параметр, который захотим.Мы могли бы установить \ (w_3 = a \). Тогда \ (\ vecs w = ⟨a − 1, a + 1, a⟩ \) также будет представлять эти векторы.

52) Решите уравнение \ (\ vecs w × ⟨1,0, −1⟩ = ⟨3,0,3⟩, \), где \ (\ vecs w = ⟨w_1, w_2, w_3⟩ \) — ненулевой вектор с величиной \ (3 \).

53) [T] Механик использует 12-дюйм. гаечный ключ, чтобы повернуть болт. Гаечный ключ образует угол \ (30 ° \) с горизонталью. Если механик прикладывает к рукоятке гаечного ключа вертикальную силу в \ (10 ​​\) фунтов, какова величина крутящего момента в точке \ (P \) (см. Следующий рисунок)? Ответ выражайте в фунтах-футах с округлением до двух десятичных знаков.

Ответ:

8,66 фут-фунт

54) [T] Мальчик задействует тормоза на велосипеде, прикладывая к педали направленную вниз силу в 20 фунтов, когда 6-дюйм. кривошип образует угол \ (40 ° \) с горизонталью (см. следующий рисунок). Найдите крутящий момент в точке \ (P \). Выразите свой ответ в фунтах-футах с округлением до двух десятичных знаков.

55) [T] Найдите величину силы, которую необходимо приложить к концу 20-сантиметрового ключа, расположенного в положительном направлении оси \ (y \) -, если сила прилагается в направлении \ ( ⟨0,1, −2⟩ \) и создает крутящий момент \ (100 \) Н · м к болту, расположенному в начале координат.{−17} \, N \) и протон движется со скоростью 300 м / сек в магнитном поле \ (\ vecs B \) величиной 2,4 Тл, найдите угол между вектором скорости \ (\ vecs v \) протона и магнитного поля \ (\ vecs B \). Выразите ответ в градусах, округленных до ближайшего целого числа.

59) [T] Рассмотрим \ (\ vecs r (t) = ⟨\ cos t, \, \ sin t, \, 2t⟩ \) вектор положения частицы в момент времени \ (t∈ [0,30] \), где компоненты \ (\ vecs r \) выражены в сантиметрах, а время — в секундах. Пусть \ (\ vecd {OP} \) будет вектором положения частицы через \ (1 \) сек.

а. Определите единичный вектор \ (\ vecs B (t) \) (называемый бинормальным единичным вектором), который имеет направление вектора векторного произведения \ (\ vecs v (t) × \ vecs a (t), \), где \ (\ vecs v (t) \) и \ (\ vecs a (t) \) — вектор мгновенной скорости и, соответственно, вектор ускорения частицы через \ (t \) секунд.

г. Используйте CAS для визуализации векторов \ (\ vecs v (1), \, \ vecs a (1) \) и \ (\ vecs B (1) \) как векторов, начинающихся в точке \ (P \) вместе с путь частицы.

Ответ:

а.\ (\ vecs B (t) = ⟨\ frac {2 \ sqrt {5} \ sin t} {5}, — \ frac {2 \ sqrt {5} \ cos t} {5}, \ frac {\ sqrt {5}} {5}⟩; \)

г.

60) Солнечная панель установлена ​​на крыше дома. Панель можно рассматривать как расположенную в точках с координатами (в метрах) \ (A (8,0,0), B (8,18,0), C (0,18,8), \) и \ ( D (0,0,8) \) (см. Следующий рисунок).

а. Найдите вектор \ (\ vecs n = \ vecd {AB} × \ vecd {AD} \), перпендикулярный поверхности солнечных панелей.2 \)]). Найдите прогнозируемое количество электроэнергии, которое может производить панель, которое дается скалярным произведением векторов \ (\ vecs F \) и \ (\ vecs n \) (выраженных в ваттах).

г. Определите угол возвышения Солнца над солнечной панелью. Ответ выражайте в градусах, округленных до ближайшего целого числа. (Подсказка: угол между векторами \ (\ vecs n \) и \ (\ vecs s \) и угол возвышения дополняют друг друга.)

Авторы

Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

кросс-продуктовых задач | Суперпроф

Упражнение 1

Найдите два единичных вектора для

и определите ортогональный вектор для них.

Лучшие доступные репетиторы по математике

Первый урок бесплатно

Упражнение 2

Найдите единичный вектор, перпендикулярный

и.

Упражнение 3

Даны векторы

и, найдите произведение и убедитесь, что этот вектор ортогонален и.Также найдите вектор и сравните его с.

Упражнение 4

Рассмотрим следующий рисунок:

Определите:

1 Координаты D, если ABCD — параллелограмм.

2 Площадь параллелограмма.

Упражнение 5

Учитывая точки

и, определите:

1 Какие значения и коллинеарны.

2 Определите, существуют ли значения для и , так что A, B и C являются тремя вершинами параллелограмма площади.Если значения существуют, определите координаты C:

Exercise 6

и три вершины треугольника.

1. Вычислите косинус каждого из трех углов треугольника.

2. Вычислите площадь треугольника.

Решение упражнения 1

Найдите два единичных вектора для

и определите ортогональный вектор для них.

Решение упражнения 2

Найдите единичный вектор, перпендикулярный

и.

Решение упражнения 3

Для векторов

и найдите произведение и убедитесь, что этот вектор ортогонален и. Также найдите вектор и сравните его с.

Решение упражнения 4

Определите 1:

. ABCD — параллелограмм.

2 Площадь параллелограмма.

Решение упражнения 5

Учитывая точки

и, определите:

1 Какие значения и коллинеарны.

Если A, B и C коллинеарны, векторы

линейно зависимы и имеют пропорциональные компоненты.

2 Определите, существуют ли значения для и , так что A, B и C являются тремя вершинами параллелограмма площади. Если значения существуют, определите координаты C:

Найдите различных репетиторов математики рядом со мной на Superprof.

Решение упражнения 6

и — три вершины треугольника.

1. Вычислите косинус каждого из трех углов треугольника.

2. Вычислите площадь треугольника.

Эмма

Я люблю путешествовать и в настоящее время живу и работаю в Париже.Мне нравится проводить время за чтением, садоводством, бегом, изучением языков и изучением новых мест.

Перекрестное произведение двух векторов

Линейная алгебра — векторы: (урок 3 из 3)

Перекрестное произведение

Помимо обычного сложения векторов и умножения векторов на скаляры, есть также два типа умножения векторов на другие векторов. Один тип, скалярное произведение, представляет собой скалярное произведение; результат точки произведение двух векторов является скаляром.Другой тип, называемый перекрестным произведением, является векторным произведением, поскольку дает другой вектор, а не скаляр. В качестве с скалярным произведением, перекрестное произведение двух векторов содержит ценные информация о самих двух векторах.

Произведение двух векторов а также дается

Хотя это определение может показаться странным, его полезные свойства скоро станет очевидным. Есть простой способ запомнить формулу перекрестное произведение с использованием свойств детерминантов.Напомним, что определитель матрицы 2×2 равен

, а определитель матрицы 3×3 равен

Обратите внимание, что теперь мы можем записать формулу для перекрестного произведения как

Пример 1:

Перекрестное произведение векторов а также .

Решение:

Свойства перекрестного продукта:

1. Длина векторного произведения двух векторов равна

.

2.Антикоммутативность:

3. Умножение на скаляры:

4. Распределение:

5. Тройное скалярное произведение векторов a, b и c:

Пример 2

Вычислить площадь параллелограмма, образованного векторами a = <3, - 3, 1> и b = <4, 9, 2>.

Решение:

Площадь составляет . С использованием приведенное выше выражение для перекрестного произведения, мы находим, что площадь равна

Крест со скалярным произведением

Стив пишет:

Скалярное произведение двух векторов — это сумма произведений компонентов.Пусть
$$
{\ bf u} = \ pmatrix {x \ cr y \ cr z}
$$
Поскольку все компоненты $ \ bf v $ ненулевые, я могу выбрать что угодно для $ y $ и $ z $, если я выберу $ x = — (2y + 3z) $. Это уравнение плоскости $ P: x + 2y + 3z = 0 $, перпендикулярной вектору $ {\ bf v} $. Это имеет смысл: скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны друг другу.

Затем, взяв перекрестное произведение между двумя векторами, всегда получается вектор, перпендикулярный исходным двум векторам.Итак, я должен иметь возможность сделать любой вектор перпендикулярным к $ {\ bf v} $, взяв перекрестные произведения. Все это векторы, лежащие в плоскости $ P $.

Чтобы решить, какие векторы $ {\ bf u} $ решают $ {\ bf u} \ cdot {\ bf v} = 0 $ для данного вектора $ {\ bf v} $, мне нужно решить, какие векторы перпендикулярны $ {\ bf v} $.

Для этого я мог бы взять любую линейную комбинацию $ {\ bf i \ times v}, {\ bf j \ times v} $ и $ {\ bf j \ times v} $

$$
{\ bf w} \ times {\ bf i} = \ pmatrix {4 \ cr 5 \ cr 6} \ times \ pmatrix {1 \ cr 0 \ cr 0} = \ begin {vmatrix} \ mathbf {i} & \ mathbf { j} & \ mathbf {k} \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 0 & 0 \\ \ end {vmatrix} = \ begin {pmatrix} 0 \\ 6 \\ -5 \ \ end {pmatrix}
$$
и т. д.

Из этого кажется, что мне просто нужно переключить 2 ненулевых компонента и изменить знак одного из них, чтобы сделать вектор перпендикулярным данному вектору. Оглядываясь назад, это очевидно!

Дуг пишет:

Решение 2:

Точка $ \ begin {pmatrix}
1 \\
2 \\
3 \\
\ end {pmatrix} $ с общим вектором $ \ begin {pmatrix}
a \\
b \\
c \\
\ end {pmatrix} $, и вы хотите найти такие a, b, c, что a + 2b + 3c = 0, например, a = -2b — 3c, поэтому есть бесконечное количество решений.Выберите любые 2 и найдите другой, например c = 1, b = 1, a = -5.

Для второй части снова перекрестите $ \ mathbf {v} $, используя общий вектор, и найдите «методом детерминанта»:
$$ \ begin {vmatrix}
\ mathbf {i} & \ mathbf {j } & \ mathbf {k} \\
1 & 2 & 3 \\
a & b & c \\
\ end {vmatrix} = \ begin {pmatrix}
2c-3b \\
3a-c \\
b-2a \\
\ end {pmatrix}, $$ так что вы снова можете выбрать a, b, c так, чтобы это было выполнено, и существует бесконечное количество возможностей.

Чтобы быстро создать вектор $ \ mathbf {u} $ такой, что $ \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = \ mathbf {0} $, я сначала рассмотрел общий случай с векторами $ \ begin { pmatrix}
a \\
b \\
c \\
\ end {pmatrix} $ и $ \ begin {pmatrix}
d \\
e \\
f \\
\ end {pmatrix} $ so ad + be + cf = 0, поэтому я мог выбрать любые 2 числа e и f, затем вычислить $ d = \ frac {- (be + cf)} {a} $. Но мы хотим сделать это «быстро», поэтому мы могли бы упростить $ e = f = -1 $, что дает $$ \ mathbf {u} = \ begin {pmatrix}
x \\
-1 \\
-1 \\
\ end {pmatrix}, $$ где $ x = \ frac {b + c} {a} $.

Однако, когда я попробовал это решение на приведенных примерах, я обнаружил, что в последнем примере была ошибка деления на ноль.

Чтобы обойти это, мы вместо этого добавляем к алгоритму предостережение, чтобы поменять местами a, b, c, чтобы знаменатель был ненулевым. Итак, в последнем случае мы устанавливаем $ y = \ frac {a + c} {b} = 0 \ Rightarrow \ begin {pmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
\ end {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix}
-1 \\
0 \\
-1 \\
\ end {pmatrix} = 0 $.

В общем случае произведение двух векторов выглядит следующим образом: $$ \ begin {pmatrix}
a \\
b \\
c \\
\ end {pmatrix} \ times \ begin {pmatrix}
d \\
e \\
f \\
\ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix}
bf-ce \\
cd-af \\
ae-bd \\
\ end {pmatrix} $$ поэтому, если мы позволим f = e = 0 и d = 1, тогда $ \ mathbf {w} = \ begin {pmatrix}
0 \\
c \\
-b \\
\ end {pmatrix} $ всегда является результатом пересечения $ Например, \ mathbf {v} $ с $ \ begin {pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
\ end {pmatrix} $, что, вероятно, является наиболее эффективным методом вычисления этого.

Решение 1:

В разработке

$ {\ bf u} \ cdot {\ bf v} = \ pmatrix {u_1 \ cr u_2 \ cr u_3} \ cdot \ pmatrix {1 \ cr 2 \ cr 3} $ = $ u_1 + 2u_2 + 3u_3 $ = 0

Таким образом, у нас есть 1 независимое уравнение и 3 неизвестных, что приводит к бесконечному числу решений.

Один вектор, который удовлетворяет этому соотношению, это $ {\ bf u} = \ pmatrix {0 \ cr0 \ cr0} $

Если мы возьмем общий вектор $ {\ bf z} = \ pmatrix {z_1 \ cr z_2 \ cr z_3} $, затем:

$$
{\ bf v} \ times {\ bf z} = \ pmatrix {1 \ cr 2 \ cr 3} \ times \ pmatrix {z_1 \ cr z_2 \ cr z_3} = \ begin {vmatrix} \ mathbf { i} & \ mathbf {j} & \ mathbf {k} \\ 1 & 2 & 3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \ end {vmatrix} = \ pmatrix {2z_3 — 3z_2 \ cr 3z_1-z_3 \ cr z_2-2z_1} = \ pmatrix {w_1 \ cr w_2 \ cr w_3} $$

Это дает нам связь между компонентами $ {\ bf z} $ и $ {\ bf w} $ в виде трех одновременных уравнений.
Решая уравнение 1 и уравнение 3 одновременно:
из уравнения 3 мы находим, что $ z_2 = w_3 + 2z_2 $
, если теперь подставить $ z_2 $ в уравнение 1, мы обнаружим, что $ -6z_1 + 2z_3 = 3w_3 + w_1 $
Этот результат действительно уравнение2, но с масштабированием, что означает, что на самом деле есть только два независимых уравнения, но все еще 3 неизвестных $ (z_1, z_2, z_3) $. Поэтому мы не можем найти единственное решение, снова существует бесконечное количество решений.

Альтернативный метод получения этого результата — переписать уравнения в матричной форме, детерминант 0 для этой матрицы будет указывать на бесконечное количество решений.

В матричной форме:

\ [\ left [{\ begin {array} {cc} 0 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \\ \ end {array} } \ right] \]

Если теперь взять определитель, расширив его по верхней строке.

Определитель = 0 — -3 (0 — (-1) (- 2)) + 2 ((3) (1) — 0) = -6 +6 = 0

Примечание: приведенная выше матрица антисимметрична. , антисимметричная матрица этой формы всегда является результатом взятия перекрестного произведения двух векторов, определитель нечетного порядка (в данном случае 3 x 3) антисимметричной матрицы всегда будет давать нулевой определитель.

Определите любой вектор $ {\ bf V} $ = $ \ pmatrix {v_1 \ cr v_2 \ cr v_3} $

$ {\ bf v} \ cdot {\ bf u} = \ pmatrix {u_1 \ cr u_2 \ cr u_3} \ cdot \ pmatrix {v_1 \ cr v_2 \ cr v_3} $ = $ u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 $ = 0

Если $ {\ bf V} \ cdot {\ bf U} $ = 0, то два вектора ортогональны, поэтому для определения $ {\ bf u} $ нам нужно найти вектор, перпендикулярный $ {\ bf v} $

Определить вектор $ {\ bf z} $ = $ \ pmatrix {z_1 \ cr z_2 \ cr z_3} $

Перекрестное произведение любых двух векторов даст вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, поэтому перекрестное произведение $ {\ bf v} $ и $ {\ bf z} $ даст вектор которая перпендикулярна $ {\ bf v} $ (и $ {\ bf z} $), следовательно, перекрестное произведение дает вектор, удовлетворяющий условию для $ {\ bf u} $.

$ {\ bf V} x {\ bf Z} $ = $ \ pmatrix {v_1 \ cr v_2 \ cr v_3} x \ pmatrix {z_1 \ cr z_2 \ cr z_3} $ = \ [\ left [{\ begin {array} {cc} i & j & k \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \\ \ end {array}} \ right] \] = $ \ pmatrix {u_1 \ cr u_2 \ cr u_3} $

, затем
$ v_2z_3 — v_3z_2 = u_1 $
$ v_3z_1 — v_1z_3 = u_2 $
$ v_1z_2 — v_2z_1 = u_3 $

$ {\ bf u} = \ pmatrix {v_2z_3 — v_3z_2 \ cr v_3z_1 — v_1z_3 \ cr v_1000_2 $ Примечание: $ {\ bf z} $ можно выбрать как любой вектор.

Пример: Пусть $ {\ bf z} = \ pmatrix {1 \ cr 5 \ cr 11} $ и $ {\ bf v} = \ pmatrix {1 \ cr 2 \ cr 3} $

Тогда из предыдущего формула $ {\ bf u} = \ pmatrix {7 \ cr -8 \ cr 3} $

и $ {\ bf U} \ cdot {\ bf V} = 7-16 + 9 = 0 $

, если мы теперь нужно

$ {\ bf V} x {\ bf U} = {\ bf W} $

$ v_2u_3 — v_3u_2 = w_1 $
$ v_3u_1 — v_1u_3 = w_2 $
$ v_1u_2 — v_2u_1 = w_3 $

если мы положим $ u_1 = k $, то:

$ u_2 = \ frac {w_3 — Kv_2} {v_1} $

$ u_3 = \ frac {-w_2 + Kv_3} {v_1} $

, поэтому $ {\ bf U} = \ pmatrix {K \ cr \ frac {w_3 — Kv_2} {v_1} \ cr \ frac {-w_2 + Kv_3} {v_1}} $ (Действительно, когда $ v_1 $ не равно нулю)

аналогично, если $ u_2 $ и $ u_3 $ = K, в свою очередь, находим еще 2 возможности

$ {\ bf U} = \ pmatrix {\ frac {-w_3 + Kv_1} {v_2} \ cr K \ cr \ frac {w_1 + Kv_3 } {v_2}} $ (Действительно, если $ v_2 $ не равно нулю)

$ {\ bf U} = \ pmatrix {\ frac {w_2 + Kv_1} {v_3} \ cr \ frac {-w_1 + Kv_2} {v_3 } \ cr K} $ (Действительно, если $ v_3 $ не равно нулю)

404 не найдено

404 не найдено

Запрошенный URL / ~ ashenk / math_20c_summer_2008 / rog_sec_12_4.pdf не найден на этом сервере.

---

Наиболее частые причины этой ошибки:

• Вы неправильно ввели URL-адрес, к которому вы пытаетесь получить доступ. Тщательно проверьте орфографию, пунктуацию и чувствительность к регистру URL-адреса и повторите попытку.
• Файл или каталог, к которому вы пытаетесь получить доступ, больше не существует или был перемещен в другое место.

Если вам нужна помощь в разрешении этой проблемы, обратитесь к владельцу веб-страницы или веб-мастеру, как описано ниже.

---

Информацию о веб-сайтах класса можно найти в списке веб-сайтов класса по адресу http://www.math.ucsd.edu/resources/course-websites/.

Для других веб-страниц, пожалуйста, начните с веб-сайта верхнего уровня математического факультета UCSD по адресу http://www.math.ucsd.edu/.

---

Чтобы связаться с администраторами веб-сервера, отправьте электронное письмо по адресу [email protected].

Чтобы мы могли должным образом устранить проблему, включите:

• Точный URL-адрес, который вы пытаетесь получить, указан в вашем веб-браузере:
  REQUEST_URI = http: // math.ucsd.edu/~ashenk/math_20c_summer_2008/rog_sec_12_4.pdf
• Предыдущая ссылающаяся веб-страница или ссылка, которая привела вас на этот URL:
  HTTP_REFERER = (нет)
• Полное имя используемого вами веб-браузера, включая номер его версии:
  HTTP_USER_AGENT = Mozilla / 5.0 (X11; Linux x86_64; rv: 33.0) Gecko / 20100101 Firefox / 33.0
• Любые сообщения об ошибках или подробное описание возникшей проблемы.
• Название вашей операционной системы, включая номер ее версии.
• Текущий IP-адрес или имя хоста вашего компьютера:
  REMOTE_ADDR (REMOTE_HOST) = 85.140.7.68 (68.mtsnet.ru)
• Точная дата и время, когда вы столкнулись с проблемой:
  DATE_LOCAL = суббота, 25 сентября 2021 г. 13:16:02 PDT

Спасибо!

---

Точечное произведение двух векторов

Векторы можно умножать двумя разными способами: скалярным произведением или скалярным произведением, в котором результат является скаляром, и векторным произведением или перекрестным произведением, в котором результатом является вектор.Точечное произведение двух векторов означает скалярное произведение двух данных векторов. Это скалярное число, которое получается путем выполнения определенной операции над различными компонентами вектора. Скалярное произведение применимо только для пар векторов с одинаковым числом измерений. Символ, который используется для скалярного произведения, — жирная точка. Этот скалярный продукт широко используется в математике и физике. В этой статье мы будем подробно обсуждать скалярное произведение векторов, определение скалярного произведения, формулу скалярного произведения и пример скалярного произведения.

Определение скалярного произведения

Скалярное произведение двух разных векторов, которые не равны нулю и обозначаются a.bis и задаются как:

ab = ab cos θ

, где — угол, образованный между и b, и,

0 ≤ θ ≤ π

[Изображение будет загружено в ближайшее время]

Если a = 0 или b = 0, θ не будет определен, и в этом случае

ab = 0

Формула скалярного произведения

Вы может определить скалярное произведение двух векторов двумя разными способами: геометрическим и алгебраическим.

Определение геометрии скалярного произведения

Геометрическое значение скалярного произведения означает, что скалярное произведение между двумя заданными векторами и bis обозначается как:

a⋅b = a ∣∣ b ∣ cos

Здесь | a | и | b | называются модулями векторов a и b, а θ — это угол между векторами a и b.

Если два вектора ортогональны, то есть угол между ними равен 90, тогда a.b = 0, поскольку cos 90 = 0.

Если два вектора параллельны друг другу, то a.b = | a || b | поскольку cos 0 = 1.

Определение алгебры скалярного произведения

Алгебра скалярного произведения говорит, что скалярное произведение данных двух произведений — a = (a ₁ , a ₂ , a ₃ ) и b = (b ₁ , b ₂ , b ₃ ) определяется по формуле:

ab = (a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂ + a ₃ b ₃ )

Точечное произведение двух векторов. Свойства

Ниже приведены свойства векторов:

1. Коммутативное свойство

a.b = b.a

a.b = | a | b | cos θ

ab = | b || a | cos θ

2. Распределительное свойство

a. (b + c) = ab + ac

3. Билинейное свойство

a. ( rb + c) = r. (ab) + (ac)

4. Свойство скалярного умножения

(xa). (yb) = xy (ab)

5. Неассоциативное свойство

Поскольку скалярное произведение между скаляром и вектором недопустимо

6. Ортогональное свойство

Два вектора ортогональны только тогда, когда .b = 0

Точечное произведение векторно-значных функций

Скалярное произведение векторных функций, то есть r (t) и u (t), каждая дает вам вектор в каждый конкретный момент времени t, и, следовательно, функцию r (t) ⋅u (t) называется скалярной функцией.

Решенные примеры

Пример 1:

Найдите скалярное произведение a = (1, 2, 3) и b = (4, −5, 6). Какой угол образовали бы векторы?

Решение:

Используя формулу скалярных произведений,

a.b = (a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂ + a ₃ b ₃ )

Вы можете рассчитать скалярное произведение как

= 1 (4) + 2 ( -5) + 3 (6)

= 4-10 + 18

= 12

Поскольку ab — положительное число, можно сделать вывод, что векторы будут образовывать острый угол.

Пример 2:

Два вектора A и B задаются следующим образом:

A = 2i — 3j + 7k и B = -4i + 2j -4k

Найдите скалярное произведение данных двух векторов.

Решение:

A.B = (2i — 3j + 7k). (-4i + 2j — 4k)

= 2 (-4) + (-3) 2 + 7 (-4)

= -8 — 6-28

= -42

Перекрестные проблемы произведения с решением

Описание проблемы:

Учитывая векторы: A = 3 i + 2 j — k и B = 5 i +5 j , находим:

1. Перекрестное произведение A × B .
2. Площадь параллелограмма между A и B .
3. Компоненты вектора y и z C = 2 i + C _y j + C _z k параллельно B .

Обнаружен блокировщик рекламы

Знания бесплатны, а серверы — нет. Пожалуйста, поддержите нас, отключив блокировку рекламы на YouPhysics. Спасибо!

Решение:

Очень важно при работе с векторами до использовать правильную нотацию .Всегда рисуйте стрелку над буквами, представляющими векторы. Вы также можете использовать жирные символы для обозначения векторной величины.

Перекрестное произведение двух векторов — это вектор , задаваемый следующим определителем:

И заменяя компоненты A и B :

Перекрестное произведение всегда перпендикулярно обоим векторам . Вы можете проверить это, выполнив скалярное произведение каждого вектора и результат их перекрестного произведения.Оба должны быть равны нулю.

Если мы позвоним по номеру D = A × B :

То же самое и с вектором B :

---

Обнаружен блокировщик рекламы

Знания бесплатны, а серверы — нет. Пожалуйста, поддержите нас, отключив блокировку рекламы на YouPhysics. Спасибо!

Площадь параллелограмма, охватываемого A и B , является величиной (модулем) их поперечного вектора:

---

Если вектор C параллелен B , их перекрестное произведение должно быть равно нулю:

И расширяя предыдущий определитель:

Но для того, чтобы вектор был нулевым, его компоненты тоже должны быть нулевыми:

Следовательно, C , выраженное в нотации единичного вектора, дается как:

Сообщение о проблемах, связанных с продуктами с решением, впервые появилось на YouPhysics. .