ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
Π’ΠΠΠ ΠΠΠ 22.1.Β ΠΡΡΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½ ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ Π±Π°Π·ΠΈΡΒ , Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌΒ Β ΠΈΒ . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ.Β Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ Π±Π°Π·ΠΈΡΒ , ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°Β Β ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π·Π°Π½Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π² ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ
ΠΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² Π±Π°Π·ΠΈΡΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈΠ· ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ
ΠΠ΅ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½Π°Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΒ . Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.
ΠΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 22.1.Β ΠΡΡΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΒ Β Π·Π°Π΄Π°Π½ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΈΡ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Β Β Π² Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°Β .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.Β ΠΠ· ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° 4. Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅Β Β Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ
ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΡΒ Β ΠΈΒ , ΠΎΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
ΠΡΠ»ΠΈΒ , ΡΠΎ Π΅ΡΡΡΒ , ΡΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°Β Β ΠΏΡΠΈΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΠ°Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄:
23 ΠΠ²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 23.1.Β ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΒ Β Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.
ΠΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡΒ Β ΠΈΒ Β ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½Ρ. Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡΒ Β ΠΈΒ Β ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡΒ Β ΠΈΒ Β Π½Π΅ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ, ΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΒ ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½, Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΒ , ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡΒ , Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ΅Π½ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈΒ Β ΠΈΒ . ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡΒ Β ΠΈΒ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ, ΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΒ Β ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΏΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΒ Β ΠΈΒ .
ΠΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠ°Ρ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΒ Β ΠΈΒ :
ΠΠ»Ρ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π° ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π²Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ Π±Π°Π·ΠΈΡ, Π²Π·ΡΠ² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΒ Β Π±Π°Π·ΠΈΡΠ° ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡΒ Β ΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ² Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΒ Β ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΒ Β ΠΈ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡΒ Β Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½Ρ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
ΠΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅Β Β ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ
Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅Β Β ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ
ΠΠ΅ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΈ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²Β Β ΠΈΒ Β ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°Β Β Π΄Π°Π΅Ρ Π²Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ.
ΠΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ Π΅ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
24 Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 24.1.Β Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²Β , Π²Π·ΡΡΡΡ Π² ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²Β Β ΠΈΒ Β Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΒ .
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²Β Β ΡΠ΅ΡΠ΅Π·Β . ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΡΠ°ΡΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ, ΡΠ°ΡΠΊΡΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Β , ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠΎΠΉ.
Π’ΠΠΠ ΠΠΠ 24.1.Β Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²Β Β ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ , ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΡΠ΅Π±ΡΠ°Ρ , ΠΈ Π²Π·ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΒ «», Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ. ΠΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
ΠΠ°Π»Π΅Π΅ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
Π³Π΄Π΅Β Β — ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈΒ Β ΠΈΒ . ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΡΒ , ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌΒ , Π° ΠΏΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Ρ 5. Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌΒ . ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎΒ , Π³Π΄Π΅Β Β — Π²ΡΡΠΎΡΠ° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊΒ Β — ΠΏΡΠ°Π²Π°Ρ, ΡΠΎ:
1.Β Π΅ΡΠ»ΠΈΒ Β — ΠΏΡΠ°Π²Π°Ρ, ΡΠΎΒ Β (ΡΠΌ. ΡΠΈΡ. 1) ΠΈ
2.Β Π΅ΡΠ»ΠΈΒ Β — Π»Π΅Π²Π°Ρ, ΡΠΎΒ Β (ΡΠΌ. ΡΠΈΡ. 2) ΠΈ
3.Β Π΅ΡΠ»ΠΈΒ Β — ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½Ρ, ΡΠΎ, ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Β ΠΈ
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
1.Β ΠΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊ. Π¦ΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ.Β ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΈΠ· Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅. Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²Β Β ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°, Π° ΡΡΠΎΠΉΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²Β Β Π΄ΡΡΠ³ΡΡ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°
2.Β Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΡΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Ρ.Π΅.
3.Β
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎΒ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² 2. ΠΈ 3. ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ.
4.Β
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ.Β Π ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΏΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Ρ 1.
5.Β ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½ΡΠ»ΠΎΡΡ Π½ΡΠ»Ρ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½Ρ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ.Β ΠΠ°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π° Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ 24.1.
ΠΡΡΡΡΒ , ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
ΠΠΎ ΡΡΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ :
(a)Β Β — ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½Ρ;
(b)Β Β — Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ, Π° Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½Ρ;
(c)Β Β — ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½Ρ.
ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
Π’ΠΠΠ ΠΠΠ 24.2.Β ΠΡΡΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½ ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ Π±Π°Π·ΠΈΡΒ , Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌΒ Β ΠΈΒ .Β Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
ΠΈΠ»ΠΈ
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ.Β ΠΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
ΠΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅Β Β ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΡΒ , ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅Β . ΠΠ΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΡΒ Β Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΡΒ Β ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ 24.1.Β
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ 24.1.Β ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡΒ Β ΠΈΒ , Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΡΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ°Β Β Π±ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½Ρ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ
ΠΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
Π Π΅ΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠ° 24.1.Β ΠΡΡΡΡ ΡΡΠΈ ΡΠ΅Π±ΡΠ° ΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠ΄ΡΠ° (ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠΈΡΠ°ΠΌΠΈΠ΄Π°), Π²ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈΒ . ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠ΄ΡΠ°.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.Β ΠΠ· ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΡΠ° Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° ΠΈ ΠΏΠΈΡΠ°ΠΌΠΈΠ΄Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌ
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ, Π° oΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠ΄ΡΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ, ΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° Π² Π΄Π²Π° ΡΠ°Π·Π° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠ΄ΡΠ°. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ
ΠΠ· ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ 24.1. ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎΒ , ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ
2. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅
ΠΡΡΡΡ Π΄Π°Π½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²ΠΈ:
= Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
(3.18)
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. ΠΠ· (3.18) ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠΌ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π° ΠΈ Π² ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ:
(3.19)
ΠΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° (3.18) ΠΈ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (3.19) Π½Π°ΠΉΠ΄ΡΠΌ:(ΠΈΠ»ΠΈ =(3.20)
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄ΡΠΌ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ. ΠΠ° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:cos
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° cos (3.21)
3.ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΎΡΡ
ΠΡΡΡΡ Π΄Π°Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΎΡΡ Ρ , ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ Ρ ΠΎΡΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠ³Π»Ρ ΠΈ Π΄Π°Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΎΡΡ Ρ .
ΠΠ° ΠΎΡΠΈ Ρ Π·Π°Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΡΠΌ ΠΏΡ-ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈΠΈ.
Π½ΠΎ Ρ.ΠΊ , ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ (, ΠΎΡΡΡΠ΄Π°ΠΡΠ°ΠΊ, Π₯cos+Π£cos+Zcos (3.22)
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ1: ΠΠ°Π½Ρ ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π(1;1;1), Π(2;2;1) ΠΈ Π‘(2;1;2). ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π°
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠ°ΠΉΠ΄ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ . ΠΠ° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (3.21).
cos
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2: ΠΠ°Π½Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π(1;1;1) ΠΈ Π(4;5;3). ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΠ Π½Π° ΠΎΡΡ Ρ , ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΎΡΡΠΌΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΠΎΡΡΡΡΠ΅ ΡΠ³Π»Ρ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΡΡΡ cos, cos, cos- Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡ ΠΎΡΠΈ Ρ ΠΈ ΠΏΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ: cos= cos= cos. ΠΠ½Π°Ρ, ΡΡΠΎ cos+cos+cos=1, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ cos cos. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (3.22):
4. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈΠ½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΠΌΡΠΉ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΈΠ»ΠΈΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌΠΈ:
ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ =ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π³Π΄Π΅ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈΠΈ;
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ =ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²ΠΈ;
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΌΠΎΡΡΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΈΠΊΡΠ°ΡΡΠ°ΠΉΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ ΠΎΡΠΊΠ±ΡΠ» Π²ΠΈΠ΄Π΅Π½ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² Ρ ΠΎΠ΄Π° ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ.
ΠΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°:
ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ .
ΠΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ:
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ:
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ: Π³Π΄Π΅ — ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
5. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅
ΠΡΡΡΡ Π΄Π°Π½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ
ΠΠ° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ:
. (3.23)
.
ΠΠ° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΈ (6.1) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ:
ΠΈΠ»ΠΈ
=(3.24)
ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ Π±Π°Π·ΠΈΡΡΠ‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ:
=(3.25)
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (3.24) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ΄Π°ΡΡ Π²ΠΈΠ΄:
=(3.26)
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1: ΠΠ°Π½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ.Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠΎ Π±Π°Π·ΠΈΡΡ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (3.25) ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
ΠΈΠ»ΠΈ
ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2: ΠΠ°Π½Ρ ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π(1;1;1), Π(4;3;5). ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ SΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΠΠ‘.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ: . ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ . ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΠΠ‘:. ΠΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (3.26) Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ.ΠΈΠ»ΠΈ
Π’ΠΎΠ³Π΄Π°
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅. β ΠΠΈΠ±Π΅ΡΠΠ΅Π΄ΠΈΡ
ΠΠ°Π½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ={ax, ay, az} ΠΈ ={bx, by, bz}.
1. ( Β± )={axΒ± bx, ay Β± by, azΒ± bz}.
2. l={lax, lay, laz}, Π³Π΄Π΅ l β ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ.
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅:ΠΠΎΠ΄ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ
ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ, Ρ.Π΅.=, — ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:
1. Γ=
2. ( + ) =
3.
4.
5. , Π³Π΄Π΅ β ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΡ.
6. Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ (ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Ρ), Π΅ΡΠ»ΠΈ .
7. ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° .
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄: ,Π³Π΄Π΅ ΠΈ .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠΎΠ΄ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ:
-ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ , Ρ.Π΅. , Π³Π΄Π΅ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ
-ΡΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ, Ρ.Π΅.
-Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ, ΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΡΠΎΠΉΠΊΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:
1.ΠΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ Π½Π° ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ, ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ, Ρ.Π΅.
2.ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, Ρ.Π΅.
3.Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Ρ.Π΅.
4.ΠΠ»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ ΡΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ
5.ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ :
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ,ΡΠΎ ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΈ , Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: .
, , ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΠΠ‘ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
,
Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅:Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΡΠΌ (Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎ-ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ) ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅: .
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:
1.Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ, Ρ.Π΅..
2.ΠΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ, Ρ.Π΅. .
3.ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² : =0.
4.Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ , Π²Π·ΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠ»ΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΡΠΎΠΉΠΊΡ, ΠΈ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ Π»Π΅Π²ΡΡ ΡΡΠΎΠΉΠΊΡ, Ρ.Π΅. .
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ,ΡΠΎ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΠ°Π·ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.ΠΠΎΠ΄ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΠΈ ΡΠΎΠΌΡ ΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΡR.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΠΎ ΠΈΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π±ΡΠΊΠ²ΠΎΠΉ Ρ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠ°ΠΌΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²ΠΈΠ΄Π° = Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² . Π§ΠΈΡΠ»Π° — ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. .
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² , ΡΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ .
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ-Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². Π ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ-Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΠΉ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ-Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠ°, Ρ. ΠΊ. Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ .
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ°.Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅Ρ Π±Π°Π·ΠΈΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ:
1) ΠΎΠ½Π° Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ-Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠ°,
2) Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π½Π΅Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1.ΠΠ°Π·ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° : .
2. Π ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π±Π°Π·ΠΈΡΠΎΠΌ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ: , Ρ.ΠΊ. Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ .
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅.Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π±Π°Π·ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ:
1) Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ,
2) Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΊ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄Ρ,
3) Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π±Π°Π·ΠΈΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ,
4) ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² Π±Π°Π·ΠΈΡΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΠ°Π½Π³Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.
Β
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
1. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°. ΠΠ΅ΠΊΡΠΈΡ 3.
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
β’Π ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»
ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ
ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ
Π±ΡΡΡ
ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°
Π΄Π²ΡΠΌΡ
ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΠΈΠ·
ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ²ΠΎΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈ
ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
3. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Π΅ΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ:
Π§Π°ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΡΠΏΠΎΡΡΠ΅Π±Π»ΡΡΡ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ:
F
A
M
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΈΠ· ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ,
ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠΉ ΠΊ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ
ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄Ρ ΠΏΡΠΈ
ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ s , Π° Π½Π° ΡΠΎΡΠΊΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ
F . Π Π°Π±ΠΎΡΠ°, ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ°Π΅ΠΌΠ°Ρ ΠΏΡΠΈ
ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΈΠ»ΠΎΠΉ F , Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½Π°:
ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ ΡΠΈΠ»Π°
Π F s cos . ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ
ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
AB , ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
Π F AB
5. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
β’ Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ :
6. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
β’ Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ
ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ:
7. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
β’ ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½Π°ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
8. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
β’ Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ.
β’ Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ
9. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
β’ Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»ΡΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π°
ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ (Ρ.Π΅. Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Ρ).
β’ ΠΡΠΎ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·
ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
β’ ΠΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ : Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Ρ, ΡΠΎ ΠΈΡ
ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ.
β’ ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΄Π²Π° Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π±ΡΠ»ΠΈ
ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Ρ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ
Π½ΡΠ»Ρ ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
10. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
β’ Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΡΠ΅Π±ΡΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ.
β’ ΠΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΈΠ·
ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ° ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
11. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅
β’ ΠΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅β’ ΠΡΡΠ°Π·ΠΈΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΈΡ
ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ, Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΡΡΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ
ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
12. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅
Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ, ΡΡΠΎ Π² ΡΠΈΠ»Ρ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡΡΠΎΠ² ΠΎΡΠ΅ΠΉ ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, Π° ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°
ΡΠ΅Π±Ρ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
13. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅
ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
14. ΠΡΠ°Π²ΡΠ΅ ΠΈ Π»Π΅Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
β’ ΠΠ°Π·ΠΎΠ²ΡΠΌ ΡΡΠΎΠΉΠΊΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊΡΠ°ΡΡΠ°ΠΉΡΠΈΠΉ
ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΊΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π½ Ρ
ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² Ρ ΠΎΠ΄Π°
ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ.
15. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
β’ ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ
Π½Π°Π·ΠΎΠ²ΡΠΌ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ , Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ
ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΠΊ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡΠΈΠΌ Ρ ΡΡΠΈΠΌΠΈ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ Π² ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅ a , b , c
ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΡΠΎΠΉΠΊΡ ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ
ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ
ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ
Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ
ΠΈ
ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°
ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°Ρ .
16. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
β’ ΠΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΈΠ»ΠΈ
.
β’ Π‘ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅
Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ: ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΠΈΠ»Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ°; ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ
ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ²ΡΡΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π»Π°; ΡΠΈΠ»Π°, Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡΠ°Ρ
Π½Π° Π΄Π²ΠΈΠΆΡΡΠΈΠΉΡΡ Π² ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π·Π°ΡΡΠ΄.
ΠΡΡΡΡ ΠΊ ΡΠ²ΡΡΠ΄ΠΎΠΌΡ ΡΠ΅Π»Ρ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° ΡΠΈΠ»Π° F . Π ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅
Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΡΠΈΠ»Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ°, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
M o F , ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΡΠΈΠ»Ρ Π½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΠΏΠ»Π΅ΡΠ° d
ΡΠΈΠ»Ρ F
ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ° Π ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ
ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ Π ΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΡΠΈΠ»Ρ F , Π² ΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ ΡΠ΅Π»Π°,
ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ°Π΅ΠΌΡΠΉ ΡΠΈΠ»ΠΎΠΉ, Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π½ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² Ρ ΠΎΠ΄Π° ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ
r F . ΠΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ r
F , ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΠΠ, Π² ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° ΠΊΡΠ°ΡΡΠ°ΠΉΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ ΠΎΡ r ΠΊ F Π²ΠΈΠ΄Π΅Π½
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΈ
ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² Ρ ΠΎΠ΄Π° ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ, ΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ
18. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
β’ ΠΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊ, ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½ΡΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ.
β’ ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ
ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ:
19. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
β’ ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ.
β’ ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΡΠΎ
Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ
ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ
ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ.
20. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ².
21. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅
22. Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
β’ Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a , b , cΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ
ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎ Π½Π° ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ , Π² ΠΈΡΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΡΠΌ
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²:
β’ ΠΠ»Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅
Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΡΠΎΡΠΌΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ:
23. Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
β’ ΠΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ
ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ 3-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°:
24. Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
β’ ΠΠ±ΡΡΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°,ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΡΡΠ΅Ρ
Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ , ΠΊΠ°ΠΊ
Π½Π° ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°Ρ , ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΈΡ
ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
β’ ΠΠ»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈ
Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΡ
ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΡΠ°Π²Π½ΡΠ»ΠΎΡΡ Π½ΡΠ»Ρ.
25. ΠΠ΅ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅Π½Π°.
Π‘ΠΏΠ°ΡΠΈΠ±ΠΎ Π·Π° Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅.43. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅
ΠΡΡΡΡ I, J, K ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ Π±Π°Π·ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° V3, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΡΠΎΠΉΠΊΡ. ΠΡΡΡΡ A = (X1, Y1, Z1), B = (X2, Y2, Z2) ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² Π±Π°Π·ΠΈΡΠ΅ I, J, K. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
A = X1I + Y1J + Z1K, B = X2I + Y2J + Z2K.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π±Π°Π·ΠΈΡ ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΡΠΎΠΉΠΊΡ, ΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² I, J, K. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ:
AΒ΄B = (X1I + Y1J + Z1K)Β΄(X2I + Y2J + Z2K) =
=(X1X2)(IΒ΄I) + (X1Y2)(IΒ΄J) + +(X1Z2)(IΒ΄K) + (Y1X2)(JΒ΄I) + (Y1Y2)(JΒ΄J) + (Y1Z2)(JΒ΄K) + (Z1X2)(KΒ΄I) + (Z1Y2)(KΒ΄J) + (Z1Z2)(KΒ΄K) =
= (Y1Z2 — Z1Y2)I — (Z1X2 —X1Z2)J + (X1Y2 — Y1X2) K .
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ΅:
AΒ΄B = I — J +K , (1)
ΠΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ
AΒ΄B = . ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π° ΠΈ b;
3Β° ΠΊΡΠ°ΡΡΠ°ΠΉΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ ΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a ΠΊ b, Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΡΠΉ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:
1Β° Π°Π½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ: aΒ΄b= — bΒ΄a.
aΒ΄b= Ρ, bΒ΄a= -Ρ.
2Β° (Ξ»a)Β΄b= Ξ» (aΒ΄b).
3Β° aΒ΄(b + Ρ)= aΒ΄b + aΒ΄Ρ.
4Β° a Β΄ Π°= 0.
β a Β΄ Π° β=βaβΒ·βΠ°βsin 0Β°= 0. ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ a Β΄ Π°= 0.
Β
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ².
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΎΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π½Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΡΡ, ΡΠΎ ΠΏΠΎ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ ΠΎΡΡ, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ Π²Π·ΡΡΡΠΉ Ρ Β«+Β», Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ, ΠΈ Π±Π΅ΡΠ΅ΡΡΡ Ρ Β«-Β», Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ΅.
iΒ΄j= k,
iΒ΄k= -j,
jΒ΄k= i,
jΒ΄i= -k,
iΒ΄i= 0.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅.
aΒ΄b= (axi + ayj + azk)Γ( bxi + byj + bzk)= ax bx iΓ i + ax by iΓ j + ax bz i Γk +
+ay bx jΓi + ay by jΓj + ay bz jΓk + az bx kΓi + az by kΓ j + az bz kΓk=
= ax by k β ax bz j- -ay bx k+ ay bz i+ az bx j — az by i=
= i(ay bz — azby )- j( ax bz — az bx)+ k(ax by — ay bx )=
=i — j + k .
.
Β
Π£Π·Π½Π°ΡΡ Π΅ΡΠ΅:
Π€Π°ΠΉΠ»: shpory_matematika.doc — Π‘ΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ββ11-13
,
Π³Π΄Π΅ , ΠΈ Π΅ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Ρ ΠΎΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ· ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ
Π³Π΄Π΅ ο‘, ο’ ΠΈ ο§ — ΡΠ³Π»Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Ρ ΠΎΡΡΠΌΠΈ 0Ρ , 0Ρ ΠΈ 0z.
Π‘ΠΠΠΠ‘Π’ΠΠ Π‘ΠΠΠΠ―Π ΠΠΠΠ ΠΠ ΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠ―
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Ρ. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π΅ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ, ΡΠΎ, ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° , Ρ.Π΅. .
Π‘ΠΠΠΠ―Π ΠΠΠ ΠΠ ΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠ Π ΠΠΠΠ ΠΠΠΠΠ’ΠΠΠ Π€ΠΠ ΠΠ
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅
.
13.ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠΎΠ΄ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ , ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ,ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ , ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ , ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΡΠΎΠΉΠΊΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² (Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°Ρ (ΡΡΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ).
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ: ΠΈΠ»ΠΈ . ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ (ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ). . ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ:
.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ°. ΠΡΡΡΡ , , . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°:
1) ;
2) .
Β Β ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ. 1) ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:
Β
.
Β Β ΠΠ°Π»Π΅Π΅, Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ:
Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β .
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²:
Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β
Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β ΡΠΈΡ.4.
, , .
ΠΡΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡΡΡΠ°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡ.4.
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ:
, Ρ.Ρ.Π΄.
2) ΠΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ:
Β Β Β Β Β Β Β .
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ, ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
, Ρ.Ρ.Π΄.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ:
Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β .
Π Π°Π·ΡΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ, Π° Π»ΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΌΠ° Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡΠ½Π° ΠΈ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½Π° Π΄Π»Ρ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΡ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΊΡΡΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΡΡΡΠΎΠΊ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ. ΠΡΠΈ ΡΡΠ°Π½ΡΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊ (ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊ.
Β Β ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ. Π‘ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ,
Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β .
Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ,
Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β .
ΠΠΎ, , ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°Π»Π΅Π΅, Ρ.ΠΊ. , ΡΠΎ
Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β .
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ°Π½ΡΠΏΠΎΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ, ΡΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎ ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ.
14. Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°. ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². Π£ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠ°Π·ΠΈΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ (ΡΡΠΈΡΠ°Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΌΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ) Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΌΡ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊΡΠ°ΡΡΠ°ΠΉΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΊΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ. Π ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π±Π°Π·ΠΈΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π»Π΅Π²ΡΠΌ.
ΠΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΎΠ² Π±Π°Π·ΠΈΡΠΎΠ² Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½. ΠΠ°Π·ΠΈΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΈΡ.
Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² , ΠΈ (Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ , Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½Ρ; ΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½Ρ.
Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² , ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ . ΠΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ Π² ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ. ΠΠ»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² , ΠΈ , ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ: = = = = = (2).
ΠΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 1.
ΠΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ Π±Ρ Π½ΠΈ Π±ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ , Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΡΠ½ΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ (Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡΠΈΠΉ ΠΎΡ ) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ: (1).
ΠΠΎΠΊ-Π²ΠΎ: Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° , Π° ΠΏΠΎΡΠΎΠΌ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ. ΠΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ , ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½Ρ ΠΈ =0. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ . Π Π°Π°ΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π°, ΡΡΠΎ , ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½Ρ. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π½Π° Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄ ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π·Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π½Π° ΠΈ . ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ OH, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. ΠΡ Π·Π°Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ Π΅Ρ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ 1, ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Ρ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΡΠΎΠΉΠΊΡ , , . (Π’ΡΠΎΠΉΠΊΠ° , , ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²Π°Ρ). — ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° . ΠΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΎΠ½Π° ΡΠ°Π²Π½Π° Π²ΡΡΠΎΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° ΠΠ, Π° Π·Π½Π°ΠΊ Π΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΉ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠΈ , , . ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅, Ρ.Π΅. ΡΡΠΎΠΉΠΊΠ° , , — ΠΏΡΠ°Π²Π°Ρ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠΈ , , ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ.
ΠΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ S β ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ²Π·Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, Π° Π·Π½Π°ΠΊ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ . ΠΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ . ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ (1), Π΅ΡΠ»ΠΈ (3). ΠΡΡΠ°Π»ΠΎΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΡΡΠ°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Π½Π΅ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ, Π° , ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½Ρ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ , ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ , Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (2). ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ =0 ΠΈ =0, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ (3) ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Ρ (2) ΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅. ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΌΡ Π½Π°ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Ρ (2) ΠΏΡΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠΎ ΠΈ . ΠΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΠΈ Π½Π°ΡΠ»ΠΎΡΡ 2 Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ , ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ: ΠΈ . ΠΎΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ =0. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ. ΠΡΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ , ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΡΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ (2), ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½. ΠΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 3. Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² , ΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ , ΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠΎ Ρ-Π»Π΅: = — *
Π ΠΎΠΊ-Π²ΠΎ: ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ . ΠΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ = + + , Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΡΠ°Π²-Π²Π° (1) ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π½Ρ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΡΠΉ Π½Π°ΠΌ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ.
Π§Π΅ΡΠ΅Π· Π΄Π΅ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΡΡ 3Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ: = (4)
ΠΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 2. Π Π°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ Π΄Π΅ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΡΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ 3Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π΅ΠΎΠ±ΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠΎΠΊ-Π²ΠΎ: ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π·Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· Ρ-Π»Ρ (4), Ρ.ΠΊ.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΡΠΈ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ, ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠΈΠΈ Π±ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΡ Π½Π°Ρ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π² ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΡΡΡΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ , ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠΈΠ»ΠΎΠΉ, ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡΡΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ° Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ ΠΊ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° (Ρ. Π. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ).ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅, ΠΈ Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ (Ρ.Π΅. ΠΏΠΎΠ΄ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎ ) ΠΊ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΌΡΡΠ»Π° Π² Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅Π΄Π΅. Π€Π°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΌΡΡΠ» ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΅ΠΌΠΈΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅Π΄Π΅ (ΠΌΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅Π΄Π΅).Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠ°ΡΠΈΡ Π½ΠΈΠΆΠ΅, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ Π΄Π²Π° ΠΎΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅.
ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅
Π’ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ AB β ΠΈ CD β ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ (Ρ.Π΅. ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ), ΠΈ Π½Π΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±Π° Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ. ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π±ΡΠ»ΠΈ Ρ Π²ΠΎΡΡΠΎΠΌ ΠΊ Ρ Π²ΠΎΡΡΡ, ΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠ΄Π½Π° (ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ) ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΠΎΠ±ΡΠ°Ρ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ AB β ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΅Π³ΠΎ Ρ Π²ΠΎΡΡ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π» Ρ Ρ Π²ΠΎΡΡΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° CD β. ΠΠ° ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π½Π° ΡΡΠΎΡ ΡΠ°Π· Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΠ°. Π‘Π΅ΡΠΊΠ° (ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ x — y ) ΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π±ΡΠ»ΠΈ ΡΠ΄Π°Π»Π΅Π½Ρ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ Ρ Π²ΠΎΡΡ ΠΊ Ρ Π²ΠΎΡΡΡ
Π§ΡΠΎ Π½Π°Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ΅Ρ, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ x , y ΠΈ z Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² , Π° Π½Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ x , y ΠΈ z ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ.ΠΠ°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² x , y ΠΈ z ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ x , y ΠΈ z Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° x ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ Π²ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ x Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. ΠΠΎΠ³Π΄Π° Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ±ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.ΠΠ° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ΄Π°Π»ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΠΈ x , y ΠΈ z .
ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b
ΠΡΡΠ΅ ΠΌΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² — ΡΡΠΎ Π½ΠΎΠ²ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ, Π½ΠΎ ΡΡΠΎ ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ Π½Π°Ρ Ρ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠΌ.ΠΡΡΡ Π΄Π²Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ. ΠΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅? ΠΡΠ²Π΅Ρ Π½Π° ΡΡΠΎΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎ Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ (ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π½ΠΎ ΠΌΡ ΠΏΠΎΡΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠΌΠΈ). ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ (ΠΏΡΠΎΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅) Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ a x b .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ
ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ°, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΠ°Π»ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ Π΄ΡΡΠ³ ΠΊ Π΄ΡΡΠ³Ρ, Π° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΊ ββΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ ΠΏΠ°Π»ΡΡΠ°ΠΌ, ΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a , Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° b , Π° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ a Γ b (Ρ.Π΅. Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ). ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ a ΠΈ b ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΡΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ Π΄ΠΎ ΡΡΠ° Π²ΠΎΡΡΠΌΠΈΠ΄Π΅ΡΡΡΠΈ Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ². ΠΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ a ΠΈ b Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ c . ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎ Ρ ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅Π΄ΠΎΠΉ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ Π»ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΠΉΡΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ c Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ a , ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ b .
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ a ΠΈ b Ρ ΠΈΡ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ c
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π²Ρ, Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎ, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ ΡΠ΅Π±Π΅ Π² ΡΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ, Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΡΠ»ΠΈ ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°ΠΌ x , y ΠΈ z Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° c , ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ? Π§ΡΠΎ ΠΆ, Π½Π΅ Π²Π΄Π°Π²Π°ΡΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ x , y ΠΈ z Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° c (Ρ.Π΅.Π΅. Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ), ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ x , y ΠΈ z Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
c x = a y b z — a z b y = (1) (1) (1) (1) (1) ( (-1) = -1
c y = a z b x — a x b z = 9019 ) (2) — (1) (- 2) = 4
c z = a x b y — a y b x = (1) (- 1) — (1) (2) = -3
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ c ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a ΠΈ b Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ, ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a ΠΈ b Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ x — y , ΠΈΡ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠ°Ρ z Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ x ΠΈ y Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° c ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ (Ρ.Π΅. Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ c Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅Π½ ΠΎΡΠΈ z ). Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ a ΠΈΠ»ΠΈ b ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ , ΠΈΠ»ΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ a ΠΈ b ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ , ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ. ΠΠΎΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ a ΠΈ b Π½Π΅ , Π° Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π»ΡΠ±ΡΠΌΠΈ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΈΠ· ΡΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠ΅ΠΉ ( x , y ΠΈ z ), ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ c Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ.
ΠΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅. ΠΡ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΡΡΠΎ, ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°Ρ 3Ρ 3 ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ , ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ x , y ΠΈ z Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b . ΠΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ· ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² x , y ΠΈ z . ΠΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ — ΡΡΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ (Ρ.Π΅.Π΅. Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ° ), ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ x , y ΠΈ z ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠΎΠ²:
ΠΠ°ΡΡΠΈΡΠ° 3Ρ 3 ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π° ββΠ½ΠΈΠΆΠ΅. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ x , y ΠΈ z ΠΏΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ²ΠΎΠ΅Π³ΠΎ ΡΠΎΠ΄Π° Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ.») Π½Π°Π΄ Π½ΠΈΠΌΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΡΡ ΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² x , y ΠΈ z Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ Π½Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ, Π²Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ Π² ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ° , ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΡΠΈ Π½Π° ΡΡΠΈ.ΠΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ΅Ρ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ (Ρ. Π. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b ). ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΈ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°, Π½ΠΎ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΎΠΊ ΡΡΠΎΠ»Π±ΡΡ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡΡΡ Π² Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΡΡ.
c = a Γ b = | x | y | z | = x 84 ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ: Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ°ΡΡΠ΅Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ: c = a Γ b = x ((1) (- 2) — (-1) (1)) — y ((1) (- 2) — (2) (1) )) + z ((1) (- 1) — (2) (1)) c = — x + 4 y — 3 z ΠΡΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° x , y ΠΈ z Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ: Ρ = (-1, 4, -3) ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° c (Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ) ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ a ΠΈ b ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΡΠΌΠ΅ΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ a ΠΈ b ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΡΠΌΠ΅ΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°. ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° Π½Π° Π΅Π³ΠΎ Π²ΡΡΠΎΡΡ. Π ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ b Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°. ΠΡΡΠΎΡΠ° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΡΠΎΠ½, ΠΏΡΠΈΠ»Π΅Π³Π°ΡΡΠΈΡ
ΠΊ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, Π½Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π΅Π³ΠΎ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½ΠΈΡ
ΡΠ³Π»ΠΎΠ².Π ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ , ΠΈ ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΞΈ . ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b , ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° c , ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ: | c | = | a Γ b | = | a || b | Π³ΡΠ΅Ρ
( ΞΈ ) ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ³Π»Π° ΞΈ (ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ a ΠΈ b ) ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b , ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΡ ΡΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅.ΠΠΎΠ³Π΄Π° Ρ Π²Π°Ρ Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅Ρ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠΈΠ½ΡΡΠ°, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ, Π½ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡ ΡΠΈΠ½ΡΡ Π½Π° Π²Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ΅. ΠΡΡΡ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½Π° Π²Π΅ΡΡ, ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ, ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΡ Π΄Π²ΠΈΠ½Π΅ΠΌΡΡ Π΄Π°Π»ΡΡΠ΅: Π² ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ , Π° Π½Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌΡ . ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, a Γ b Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡ b Γ a .Π€Π°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ b Γ a ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΡΡ ββΠΆΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ , ΡΡΠΎ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ a Γ b , Π½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ( b Γ a = — ( Π° Γ Π± )). ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ b Γ a ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ a Γ b ΠΠ° Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎ Ρ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ.ΠΡ Π½Π΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b , Ρ Π½Π°Ρ Π½Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ³Π»Π° ΞΈ (ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ Π² Π² ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ), ΠΈ ΠΌΡ Π½Π΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ x , y ΠΈ z Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° n . ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠΈ Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ? ΠΡ Π½Π°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ (ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b , ΡΡΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ: | a | = β a x 2 + a y 2 + a z 2 = 1 = β1 + 1 = 1 = β1 + 1 = 1 = β1 + 1 .732 | b | = β b x 2 + b y 2 + b z 2 = β4 + 1 = 4 = β4 + 1 Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» ΞΈ , ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b (Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Ρ Π½Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΡΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅).ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b , ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΡΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ: a Β· b = a x b x + a y b 93 b z = ((1) (2)) + ((1) (- 1) + (1) (- 2)) = 2 — 1-2 = -1 ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π΄Π»Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ a ΠΈ b ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄: a Β· b = | a || b | cos ( ΞΈ ) ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΞΈ : ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ: ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π°ΠΆΠ΅Π½. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ ΠΎΡΠΈΠ±Π»ΠΈΡΡ, Π²Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΊΡ ΡΠ³Π»Π° ΞΈ (ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΞΈ ΠΈ ΡΡΠΎ Π²ΠΎΡΠ΅ΠΌΡΠ΄Π΅ΡΡΡ Π³ΡΠ°Π΄ΡΡΠΎΠ² ), Π° Π½Π΅ ΞΈ . ΠΡΡΠ°Π»ΠΎΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ x , y ΠΈ z Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° n .ΠΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ Π²ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Ρ Π½Π°Ρ ΡΠΆΠ΅ Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ x , y ΠΈ z Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° c , ΡΡΠΎ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ. ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° c ΡΠΎΠΎΠ±ΡΠΈΡ Π½Π°ΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ n , ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ c . Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ x , y ΠΈ z Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° c Π½Π° Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ x , y ΠΈ z Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° n .Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° c , ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ΅Ρ: | c | = β c x 2 + c y 2 + c z 2 = β1 + 16 = 5,0 Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° n Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ: n x = -1 Γ· 5.099 = -0,196 n y = 4 Γ· 5,099 = 0,784 n z = -3 Γ· 5,099 = -0,588 Π£ Π½Π°Ρ ΡΠΆΠ΅ Π΅ΡΡΡ Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° c (ΡΠΌ. ΠΡΡΠ΅): | c | = | a Γ b | = | a || b | Π³ΡΠ΅Ρ
( ΞΈ ) ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° c Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ n , ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° c (Ρ.Π΅.Π΅. Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ), ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠΈΠ² ΡΠ»Π΅Π½ n : c = a Γ b = | a || b | sin ( ΞΈ ) n ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Π½Π°ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ ΡΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ Π½Π°Π±ΠΎΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° c , ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ· Π½Π°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΡΡ
ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠ°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² x , y ΠΈ z . a ΠΈ b : Ρ = 1.732 Γ 3 Γ sin (78,93 Β°) n = 5,099 n c = 5,099 Γ (-0,196, 0,784, -0,588) = (-0,999, 3,998, -2,998) Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ-ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ (-0,999, 3,998, -1,998). ΠΠΊΡΡΠ³Π»ΡΡ ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° Π² Π±ΠΎΠ»ΡΡΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ (-1, 4, -2). ΠΡΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° c x , c y ΠΈ c z , ΠΊ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΡΠ»ΠΈ ΡΠ°Π½Π΅Π΅.ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ n ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ (ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅), Π΅Π³ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ΅Π»Ρ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ — ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡΡ
Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΡ
ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ a , ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ b , ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π±ΡΠ»ΠΎ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½ΠΎ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ . ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° c , Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b , Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ³Π»Π° ΞΈ ΠΈ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ x , . y ΠΈ z ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° n .Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄, ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΠΉ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ
ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ΅ΡΡ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Ρ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΠ°ΡΡ. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΌ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΡΠΌ
(a, b, c) β
(d, e, f) = ad + be + cf. Π£ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΡ
ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²: ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ [x] Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² (a, b, c) ΠΈ
(d, e, f) — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ (bf — ce, cd — af, ae — bd). ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ
(Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Ρ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ). ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ: Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΠ΅ «Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ Π²Π²Π΅ΡΡ
», Π° ΠΏΠ°Π»ΡΡΡ ΡΠ³ΠΈΠ±Π°ΡΡΡΡ Π²
Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΡΡΡΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ Π΄ΠΎ
Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π°Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ°
ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ. ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ (a, b, c) ΠΈ (d, e, f) ΡΠ°Π²Π½Π°
ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ
(a, b, c) ΠΈ (d, e, f). ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ. Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, A x B =
-B x A.0.5$}
thick true}} {plot.polygon obj5 {super {transpt $0$ visible true addedz 0.0}
subdivs 1.0 color {coloring.constant obj23 {color [0.0 1.0 0.0 1.0]}} vertices
[$0,0,0$ $A$ $A+B$ $B$ $0,0,0$] dim 3.0 title Polygon thick false}} {plot.vector
obj3 {base $0,0,0$ endstyle 5.0 dir
$A_2*B_3 — A_3 * B_2,A_3 * B_1 — A_1 * B_3,A_1*B_2 — A_2 * B_1$ color
{coloring.group obj24 {colors [{coloring.constant obj25 {color [0.0 1.0 0.0
1.0]}}] opacities [1.0] mixings [0.0]}} dim 3.0 thick true basestyle 0.0 subdivs
1.0 len 1.0 basesize 10.0 super {transpt $0$ visible true addedz 0.0} endsize
10.0}} {plot.vector obj9 {base $0,0,0$ endstyle 5.0 dir $A$ color
{coloring.group obj26 {colors [{coloring.constant obj27 {color [1.0 0.0 0.0
1.0]}}] opacities [1.0] mixings [0.0]}} dim 3.0 thick true basestyle 0.0 subdivs
1.0 len 1.0 basesize 10.0 super {transpt $0$ visible true addedz 0.0} endsize
10.0}} {plot.vector obj7 {base $0,0,0$ endstyle 5.0 dir $B$ color
{coloring.group obj28 {colors [{coloring.constant obj29 {color [0.0 0.0 1.0
1.0]}}] opacities [1.0] mixings [0.0]}} dim 3.0 thick true basestyle 0.0 subdivs
1.0 len 1.0 basesize 10.0 super {transpt $0$ visible true addedz 0.0} endsize
10.0}}]} alpha true scale 100.01271474132783 surfacemode 2.0 drawmode 1.0 transf
[-0.8588879356477458 -0.34299431349358617 -0.3803503843955178 0.0
0.19849011519980353 -0.9075139515555519 0.3701622642841874 0.0
-0.4721368320378354 0.24243211141078502 0.8475337652212952 0.0 0.0 0.0 0.0
1.0]}} group null hotspots [{hotspot obj30 {origin $0, 0, 0$ entry A constraint
$Point$ cmode 0.0 cobjs [{id obj4}]}} {hotspot obj31 {origin $0, 0, 0$ entry B
constraint $Point$ cmode 0.0 cobjs [{id obj4}]}}] drawmode 1.0}} graph {id
obj11} frame {visible true plots [{id obj3} {id obj4} {id obj5} {id obj6} {id
obj7} {id obj8} {id obj9}] title $3D Graph$ labels
[$ Vector: A_2*B_3 — A_3 * B_2,A_3 * B_1 — A_1 * B_3,A_1*B_2 — A_2 * B_1 starting at 0,0,0$
$ Surface: cos(t)*cos(p),cos(t)*sin(p),sin(t)$ $ Polygon$
$ Curve: 0.0.5$
$ Vector: B starting at 0,0,0$ $ Polygon$ $ Vector: A starting at 0,0,0$]}}}] «/>
Π’ΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π’ΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Ρ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² A = (a, b, c), B = (d, e,
f), Π° C = (g, h, i) — ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ (A x B) β
C = (bf — ce) g + (cd — af) h
+ (ae — bd) i. Π’ΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°.
ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ΅ΠΌΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ.ΠΠ±ΡΠ΅ΠΌ
ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²Π΅ΡΠ΄ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎ — ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠΎΡΠ°, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π½Π°
Π²
ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, Π° Π²ΡΡΠΎΡΠ° — Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ C
ΠΊ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ A x B. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° (A x B) β
C ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ
ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ «ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠΉ ΡΠΎΠΌ»,
ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°, Π΅ΡΠ»ΠΈ C Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π²ΡΡΠ΅ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ A ΠΈ B Π²
ΡΡΠΎΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. Π ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ — ΡΡΠΎ Π±ΠΈΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ Π½Π°Π΄ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ Π² ΡΡΠ΅Ρ
ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ Π΄Π²Π° Π²Ρ
ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΠΈ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ, Π½ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ.ΠΡΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°ΡΡΠΈΡΡΠ΅Ρ Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ. ΠΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ
ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅ΡΠ½ΡΡ
ΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ
Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ
ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡΡ
ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π° Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΌΠ΅ΡΡ Β«ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈΒ» — Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡ
Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ, ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΈΠ±Π±ΡΠ° . ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ, ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΡΠ΅Ρ
ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΅ΠΌΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ°ΠΊ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠ½ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠΈ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Π° ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°. Π ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ° ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Β«ΡΡΠΊΠΈΒ». ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠΈΡΡ Π½Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ. ΠΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ΅ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ Π½Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ΅Π²Π΄ΠΎΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ° ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ
ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ
ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΎ Π²Π½Π΅ΡΠ½ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ a Γ b . Π ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ a β§ b [1] (ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ Π½Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°ΡΡ ΠΏΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ Ρ Π²Π½Π΅ΡΠ½ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ). Π ΡΡΠ΅Ρ
ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ a Γ b ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ c , ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΊΠ°ΠΊ a , ΡΠ°ΠΊ ΠΈ b , Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΡΠ°Π²Π½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΎΡ
Π²Π°ΡΡΠ²Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ [2] , Π³Π΄Π΅ ΞΈ — ΠΌΠ΅ΡΠ° ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ a ΠΈ b (0 Β° β€ ΞΈ β€ 180 Β°), a ΠΈ b — Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b , ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ a ΠΈ b , Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ a ΠΈ b ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ (Ρ. Π. Π£Π³ΠΎΠ» ΞΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 0 Β° ΠΈΠ»ΠΈ 180 Β°), ΡΠΎ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ a ΠΈ b ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ. Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ 0 . ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ a , Π° ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ — Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ b . ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²ΡΡ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΈΠ· Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Π»ΡΡΠ° (ΡΠΌ. Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ ΡΠΏΡΠ°Π²Π°).ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ°Π·ΡΠΌΠ΅Π²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ b Γ a = — ( a Γ b ). ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ Π² ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ b , Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠ°Π»ΡΡΠ΅ΠΌ Π² ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ a , Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²ΡΠ½ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°ΡΡΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ° Ρ
ΡΠ΅Π½ΠΎΠ²ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ (ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΡΠ²Π½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΡΠ΅).ΠΡΠ»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π»Π΅Π²Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ. ΠΡΠΎ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΠ° Π² Π΄ΡΡΠ³ΡΡ (, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, , ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π·Π΅ΡΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠ· ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ Π² Π»Π΅Π²ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ) Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° ΠΏΡΠΎΡΡΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΠΎΠ·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ (ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΡΠΌ) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ, Π° ΡΠΊΠΎΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠ΅Π²Π΄ΠΎΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ .Π‘ΠΌ. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΡΡΠΊΡ Π΄Π»Ρ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ. ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ i , j ΠΈ k ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°ΠΌ: ΠΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ Π°ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈ Π±ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΡΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ
ΡΡΠ΅Ρ
ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ² Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π»ΡΠ±ΡΡ
Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ΄ΠΎΡΡΠΎΠ²Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠΈΡ
ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Ρ Π±Π΅Π· Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ³Π»Ρ: ΠΡΡΡΡ ΠΈ ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ:
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΏΡΠ°Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊ
ΠΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π΅Π²ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΡΠ²ΡΠ·Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ i , j ΠΈ k , ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π²ΡΡΠ΅,
ΠΠ· ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ
[ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] ΠΠ°ΡΡΠΈΡΠ½Π°Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ: ΠΡΠΎΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π‘Π°ΡΡΡΡΠ°. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΠΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΡΠ΄Ρ Π½Π°ΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ ΡΡΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ, Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠ· Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΡ i , a 2 ΠΈ b 3 ), ΠΈ ΠΎΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΡΠ΄Ρ ΡΠΈΡΡΡΡ ΡΡΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ, Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠ· Π²Π»Π΅Π²ΠΎ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΡ i , a 3 ΠΈ b 2 ).ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΡΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΡΠ΅ΡΡΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ ΠΈ Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠ½ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ: [ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°[ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 1: ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 2: ΠΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ; ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ c Π½Π° a Γ b ΠΈ a Π½Π° b Γ c , ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΠ°Π³ Π² ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ.ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ a ΠΈ b (ΡΠΌ. Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 1): ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ V ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ a , b ΠΈ c , ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠΉΠ½ΡΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (ΡΠΌ. Π ΠΈΡ. 2): Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 2 Π΄Π΅ΠΌΠΎΠ½ΡΡΡΠΈΡΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎΡ ΡΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ, Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Ρ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Β«ΡΠΎΡΠΊΠ°Β» ΠΈ Β«ΠΊΡΠ΅ΡΡΒ» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π±Π΅Π· ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ°.Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ: ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΠΈΠ½ΡΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΅Π³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ΅ΡΡ Β«ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈΒ» ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΉ Β«ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈΒ». Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ Π΄Π²Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ 1, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ, ΠΈ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ. [ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ,
ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ²Π΅ΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ,
ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ
ΠΠ΅ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π΅Π½, Π½ΠΎ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Ρ Π―ΠΊΠΎΠ±ΠΈ :
ΠΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ ΠΎΠ± ΠΎΡΠΌΠ΅Π½Π΅:
ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Π° a Β· b = a Β· c ΠΈ a Γ b = a Γ c , ΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ b = Ρ . ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ b — c ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΌ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ a .ΠΡΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ b — c = 0 . ΠΠΈΡΡΡΠΈΠ±ΡΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ, Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΈ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ Π―ΠΊΠΎΠ±ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ R 3 Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΠΈ. Π€Π°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ, Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° ΠΠΈ — ΡΡΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ Π² 3-Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ , SO (3). ΠΠ°Π»Π΅Π΅, Π΄Π²Π° Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a ΠΈ b ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° a Γ b = 0 . ΠΠ· Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠ΅, ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ ΠΎΡΠΈ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ a Γ b . [ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] Π’ΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ°ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½Π°Ρ ΡΡΠ°ΡΡΡ: Π’ΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ Π°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° , ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, ΡΠ²ΡΠ·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² (Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΡΡΠΎΠΉΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ) Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ:
ΠΠ½Π΅ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊΠ° Β«BAC ΠΌΠΈΠ½ΡΡ CABΒ» ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ.ΠΡΠ° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΡΠΈΠΉΡΡ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡΡ Π² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ. ΠΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ°-Π΄Π΅ Π Π°ΠΌΠ° Ξ = d Ξ΄ + Ξ΄ d . Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ²ΡΠ·ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΠΌΡΠ»ΡΡΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π½ΠΎΡΠΌΡ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ°. [ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] ΠΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ[ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] QuaternionsΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ², ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π±ΡΠΊΠ²Ρ i , j , k ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΡΠΌΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ: ΠΎΠ½ΠΈ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΠΌΠΈ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ i , j ΠΈ k ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΡΡΡΡΡ Ρ ΠΌΡΠ»ΡΡΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ i , j ΠΈ k .Π ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ [ a 1 , a 2 , a 3 ] ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ a 1 i + a 2 j + a 3 k , ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ, Π²Π·ΡΠ² ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½Ρ ΠΈ ΡΠ΄Π°Π»ΠΈΠ² Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ°. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Ρ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡΡΠΌΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π²ΡΡΠ΅ΡΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡΡΠΎΠ΅ ΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Β«ΡΠΈΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ Β» ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² Ρ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ° Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ². [ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² (ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΎ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ: Π³Π΄Π΅ Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ: , Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΡΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ²Π°Π΅Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠ΅Π²Π΄ΠΎΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² (ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅) ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ.ΠΠΎΠ½ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ n (n-1) / 2 Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² Π² n ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ , ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ (ΠΈ ΡΠ°ΡΠ΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ) Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ². Π‘ ΡΡΠΈΠΌΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π² ΡΠΏΠΈΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ. ΠΠ· ΠΎΠ±ΡΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π·Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ
ΠΈ ΠΈΠ· ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΠΊΡΠ°, ΡΡΠΎ Π°ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΉ, ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΡΡΠ΅ΡΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡΡΠΎΠ΅ ΡΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π±Π°ΠΊ-ΠΊΠ°Π±ΠΈΠ½Ρ) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½Π°Π±ΠΎΡΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ 3 Γ 3, ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° ΠΠΈ ΠΈΠ· SO (3) , ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΉ Π²Π·ΡΡΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ. [ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] ΠΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»Π° ΠΠ΅Π²ΠΈ-Π§ΠΈΠ²ΠΈΡΠ°, , Π³Π΄Π΅ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΡ i , j , k ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅, ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.ΠΡΠ° Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡΠ½ΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΉΠ½ΡΡΠ΅ΠΉΠ½Π° ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ , Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΡ ΡΡΠΌΠΌΠΈΡΡΡΡΡΡ ΠΎΡ 1 Π΄ΠΎ 3. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ: [ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] ΠΠ½Π΅ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊΠ°Π‘Π»ΠΎΠ²ΠΎ xyzzy ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΄Π»Ρ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠ»ΠΈ Π³Π΄Π΅: Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ: ΠΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΡΠ² ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΡ ΠΏΠΎ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ: x β y β z β x .ΠΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°, ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, Π² ΡΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΎΡΡΡΠΏΠ½Ρ Π΄Π²Π° Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠ°: Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ Π΄Π²Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΡΡ Π΅ΠΌΡ Π‘Π°ΡΡΡΡΠ° (ΡΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Ρ i ), Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ xyzzy. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Ρ Π² ΡΡ Π΅ΠΌΠ΅ Π‘Π°ΡΡΡΡΠ° — ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π³Π»Π°Π²Π½Π°Ρ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Ρ Π²ΡΡΠ΅ΡΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΡΡΠΈ Π±ΡΠΊΠ²Ρ ΡΠ»ΠΎΠ²Π° xyzzy ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ. [ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] ΠΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ[ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° — ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ, ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΡΡΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅. Π Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΎΡΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π°, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ p 1 = ( x 1 , y 1 ), p 2 = ( x 2 , y 2 ) ΠΈ p 3 = ( x 3 , y 3 ). ΠΠ½ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠΎΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ p 1 , p 2 ΠΈ p 1 , p 3 , Ρ.Π΅.Π΅., Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ P = ( x 2 — x 1 ) ( y 3 — y 1 ) — ( y 2 — y 1 ) ( x 3 — x 1 ). Π Β«ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉΒ» ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 0, ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ; Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ, ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ° Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ p 2 ΠΎΡ p 1 Π΄ΠΎ p 3 , Π² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ — ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ³ΠΎΠ».Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, Π·Π½Π°ΠΊ P ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π»ΠΈ p 3 ΡΠ»Π΅Π²Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ΠΎΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ p 1 , p 2 . [ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] ΠΡΡΠ³ΠΎΠ΅ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡΠ° curl. ΠΠ½ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ»Ρ ΠΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ°, ΠΈΡΠΏΡΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π΄Π²ΠΈΠΆΡΡΠΈΠΌΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ Π·Π°ΡΡΠ΄ΠΎΠΌ Π² ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΡΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΈ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π£Π»ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΏΠΈΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ, Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄Π΅ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ. [ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π½Π΅ΡΠ½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΡ. ΠΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ²Π΅ΡΠΎΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ ΠΈ Β«ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΉΒ» Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡ.ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ°. ΠΡΠΎΡ Π²ΠΈΠ΄ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.ΠΠΎ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΌ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ»ΠΈΠ½Π°) Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ. ΠΠΈΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡ — ΡΡΠΎ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΈ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ — ΡΡΠΎ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ. Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a ΠΈ b , ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡ a β§ b ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ, Π½Π°ΡΡΠ½ΡΡΡΠΉ Π½Π° a ΠΈ b . ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ Π²Π·ΡΡΠΈΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΈΠΊΠ° Π₯ΠΎΠ΄ΠΆΠ° Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a β§ b , ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠΈΡΠΈΡΡΡ 2-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ: ΠΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ, Β«ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉΒ» Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ.Π’ΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΡΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ — ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠ°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π² ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΠΎ Π₯ΠΎΠ΄ΠΆΡ Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ — Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΡΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ a ΠΈ b ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ, Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΊ Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ a β§ b : ΠΎΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, Ρ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΉ, Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΎΡ ΡΡΠΊΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊΡΡ ββΠΆΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ a β§ b ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°; ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅. [ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΡΡΠ½ΠΎΡΡΡΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΠΌΡΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΌ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±ΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ Π²ΡΠ±ΠΎΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ (Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΡΡΠΊΡ). Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ ΠΈ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π΄Π²Π΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π½Π΅ Π²Π΅Π΄ΡΡ ΡΠ΅Π±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΡ , ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ.ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Π° ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΡ Π²ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° , Π° Π½Π΅ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π°ΠΏΡΠΈΠΎΡΠΈ, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½Π΅ (ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΡΠΉ) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π° ΠΏΡΠ΅Π²Π΄ΠΎΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΄Π»Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡ Π΄ΡΡΠ³Π°Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π²Π΄ΠΎΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ. [ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠ° ΡΡΡΠ»ΠΊΠ° ] Π Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΌΡΡΠ»Π΅, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π²Π΄ΠΎΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΠΈΠΏΠ° Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°Π½Π΄ΠΎΠ² (Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π²Π΄ΠΎΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ).Π ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π²Π΄ΠΎΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ (ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΡΠΌ) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ, ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π·Π΅ΡΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ, ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΠΌ Π²ΡΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°Π½Π΄ΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ (ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΡΠΌ) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ, Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ — ΠΏΡΠ΅Π²Π΄ΠΎΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ( e.Π³ΡΠ°ΠΌΠΌ. , ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²). ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠ΅Π΅ ΡΡΠΈ (ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΡΡ ) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ (ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΡΠΌ) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ. ΠΠ΅Π·ΡΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ΅Π½ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ. [ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] ΠΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΡΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ² ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. [ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ° ΠΠΈΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½Π°Ρ ΡΡΠ°ΡΡΡ: Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° ΠΠΈΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΠΈ, ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΡΠΈΠ·ΠΈΡΡΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π±ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠΈΠ΅ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π° Π―ΠΊΠΎΠ±ΠΈ.Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ ΠΠΈ, ΠΈ ΠΈΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ° ΠΠ΅ΠΉΠ·Π΅Π½Π±Π΅ΡΠ³Π° Π΄Π°Π΅Ρ Π΄ΡΡΠ³ΡΡ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΠΈ Π² Π±Π°Π·ΠΈΡΠ΅ { x , y , z }, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ [ x , y ] = z , [ x , z ] = [ y , z ] = 0. [ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΊΡΠΎΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ²ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½Π°Ρ ΡΡΠ°ΡΡΡ: Π‘Π΅ΠΌΠΈΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ 7-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΎΠΊΡΠΎΠ½ΠΈΠΎΠ½Ρ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ².ΠΡΡΡΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΌΠΈ Ρ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ 1, 2, 4 ΠΈ 8. [ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] ΠΠ»ΠΈΠ½ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½Π°Ρ ΡΡΠ°ΡΡΡ: ΠΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°Π ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³Π° Π΄Π²ΠΎΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ»ΠΈΠ½Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ»ΠΈΠ½Π° Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ 2-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ, Π° Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ.ΠΠ°ΠΊ ΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΡΡ Π²ΡΡΠ΅, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ»ΠΈΠ½Π° Π² ΡΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π₯ΠΎΠ΄ΠΆΠ° Π΄Π»Ρ ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΈ 2-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ»ΠΈΠ½Π° ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½Ρ Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ»ΠΈΡΡΠΎΡΠ΄Π°. [ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] ΠΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°Π ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ (1,2) -ΡΠ΅Π½Π·ΠΎΡ (ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ΅Π½Π·ΠΎΡ), ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠΌΡ ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠ°, [ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ 1] a (0,3) — ΡΠ΅Π½Π·ΠΎΡ, ΠΏΠΎΠ΄Π½ΡΠ² ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡ. ΠΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ, ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½Π°Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ, Π²Π·ΡΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΈΠΌΠΈ ΡΡΠ΅ΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠΎ Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ (ΡΠΈΠΊΡΠ°ΡΠΈΡ Π»ΡΠ±ΡΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π΄Π°Π΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΌ Π²Ρ ΠΎΠ΄Π΅) ΠΈ ΠΏΡΠΈ Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΠΈ Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ° (ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅; Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΌΡΡΠ»Π΅ Π½Π΅Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Π°Ρ Π±ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ°), Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ, ΠΈ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ ΠΊΠ°ΡΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ: (0,3) -ΡΠ΅Π½Π·ΠΎΡ (3 Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ Π²Ρ ΠΎΠ΄Π°, ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΉ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄) Π±ΡΠ» ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ Π² (1,2) -ΡΠ΅Π½Π·ΠΎΡ (2 Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ Π²Ρ ΠΎΠ΄Π°, 1 Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄) «ΠΏΠΎΠ΄Π½ΡΡΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠ°». ΠΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄Ρ Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Β«ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ ( a , b , -)Β» (Π³Π΄Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Ρ, Π° ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ), ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ: ΡΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π‘ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ — , ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠΎΠΉΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΈΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°Ρ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡ n -ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ (0, n ) -ΡΠ΅Π½Π·ΠΎΡΠΎΠΌ.Π‘Π°ΠΌΡΠΌ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ( k , n — k ) -ΡΠ΅Π½Π·ΠΎΡΡ Π΄Π»Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ k. ΠΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ, ΠΈ ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ. ( n — 1) -Π°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ: Π΄Π»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ n — 1 Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ ΠΈΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ:
ΠΡΠΎ ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠΎΠ² ΠΈ Ρ. Π. Π ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ n -Π°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² R n +1 ΠΏΠΎ: ΠΡΠ° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠ½Π° ΠΏΠΎ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π΄Π»Ρ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² R 3 Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° Π±Π°Π·ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΎΠΉ Π² ββΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅, Π° Π½Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ. ΠΡΠΈΡΠΈΠ½Π° Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ( v 1 ,…, v n , Ξ ( v 1 , …, v n )) ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ( e 1 , …, e n +1 ). ΠΡΠ»ΠΈ n ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅, ΡΡΠ° ΠΌΠΎΠ΄ΠΈΡΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΡ ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅Π· ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΡΠ΅ΡΡΡ Ρ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΠΎΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ n Π½Π΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅, ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΡΠΎΡ ΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΎ. ΠΡΠ° n -Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΠΈΠ· ΡΠ΅Ρ ΠΆΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ², ΡΡΠΎ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΎΠ½Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉΡΡ ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ, ΠΎΠ½Π° ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ, Π° Π΅Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π΄Π°Π΅Ρ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ.Π ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎ Π₯ΠΎΠ΄ΠΆΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ»ΠΈΠ½Π° Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ². [ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΡΡ] ΠΡΡΠΎΡΠΈΡΠ 1773 Π³ΠΎΠ΄Ρ ΠΠΎΠ·Π΅Ρ ΠΡΠΈ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆ Π²Π²Π΅Π» ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠ·ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΠ΄Ρ Π² ΡΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ . [3] Π 1843 Π³ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΡΠ»Π°Π½Π΄ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊ-ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΡ Π£ΠΈΠ»ΡΡΠΌ Π ΠΎΡΡΠ½ ΠΠ°ΠΌΠΈΠ»ΡΡΠΎΠ½ Π²Π²Π΅Π» ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π° Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ Π½ΠΈΠΌ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Ρ Β«Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΒ» ΠΈ Β«ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΒ».ΠΠ»Ρ Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² [0, u ] ΠΈ [0, v ], Π³Π΄Π΅ u ΠΈ v ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ Π² R 3 , ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ [- u Β· v , u Γ v ]. ΠΠΆΠ΅ΠΉΠΌΡ ΠΠ»Π΅ΡΠΊ ΠΠ°ΠΊΡΠ²Π΅Π»Π» ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π» ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² ΠΠ°ΠΌΠΈΠ»ΡΡΠΎΠ½Π° Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΈΡ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΎΠΌΠ°Π³Π½Π΅ΡΠΈΠ·ΠΌΠ°, ΠΈ ΠΏΠΎ ΡΡΠΎΠΉ ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½Ρ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ Π±ΡΠ»ΠΈ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΠ»ΠΈΠ²Π΅Ρ Π₯Π΅Π²ΠΈΡΠ°ΠΉΠ΄ Π² ΠΠ½Π³Π»ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΠΆΠΎΠ·ΠΈΡ Π£ΠΈΠ»Π»Π°ΡΠ΄ ΠΠΈΠ±Π±Ρ Π² ΠΠΎΠ½Π½Π΅ΠΊΡΠΈΠΊΡΡΠ΅ ΡΡΠΈΡΠ°Π»ΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² ΡΠ»ΠΈΡΠΊΠΎΠΌ Π³ΡΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΈΠΌΠΈ, ΡΠ°ΡΡΠΎ ΡΡΠ΅Π±ΡΡ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ°.Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΎΠΊ Π»Π΅Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ»ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ·Π²Π°Π»ΠΎ ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅. Π Π΅ΡΠ°ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ (Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΈΡΠΎΠ³Π΅) ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΈΡ Π±ΡΠ»Π° ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄Π°, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ²ΡΠ°Ρ Π₯Π΅Π²ΠΈΡΠ°ΠΉΠ΄Ρ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΎΠΌΠ°Π³Π½Π΅ΡΠΈΠ·ΠΌΠ° Ρ ΠΎΡΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ 20 ΠΠ°ΠΊΡΠ²Π΅Π»Π»Π° Π΄ΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ , ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΠΈΡ ΡΡ ΡΠ΅Π³ΠΎΠ΄Π½Ρ. Π Π·Π½Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΠΉ ΠΎΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΈ Π² Π·Π½Π°ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π½Π΅Π΄ΠΎΠΎΡΠ΅Π½Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π² ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΠ΅ΡΠΌΠ°Π½ ΠΡΠ°ΡΡΠΌΠ°Π½ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π» Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ, Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΡ ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠΈ, Ρ Π²Π½Π΅ΡΠ½ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΎΠΌ, ΠΈΠ³ΡΠ°ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ΅Π½ΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΠ»Ρ.Π£ΠΈΠ»ΡΡΠΌ ΠΠΈΠ½Π³Π΄ΠΎΠ½ ΠΠ»ΠΈΡΡΠΎΡΠ΄ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠ» Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΠ°ΠΌΠΈΠ»ΡΡΠΎΠ½Π° ΠΈ ΠΡΠ°ΡΡΠΌΠ°Π½Π°, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΎΠ·Π΄Π°ΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΠ»ΠΈΡΡΠΎΡΠ΄Π°, Π³Π΄Π΅ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π΄ΡΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π²ΠΎΡΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΡΡ Ρ ΠΠΈΠ±Π±ΡΠ°, ΠΏΠΎΡΠ»ΡΠΆΠΈΠ»ΠΎ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΡ Β«ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅Β». ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ²ΡΠΈΠΉΡΡ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π΄Π»Ρ ΡΠ²ΠΎΠΈΡ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² 1881 Π³ΠΎΠ΄Ρ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° , ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΈΠ±Π±ΡΠ° — ΠΈ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ — ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅ ΡΡΠ°Π»ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠΉ Π°ΡΠ΄ΠΈΡΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· (ΠΠΈΠ±Π±Ρ / Π£ΠΈΠ»ΡΠΎΠ½), ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊ Π±ΡΠ²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠ°.ΠΠ΄Π²ΠΈΠ½ ΠΠΈΠ΄Π²Π΅Π»Π» ΠΠΈΠ»ΡΡΠΎΠ½ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π» ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π» Π»Π΅ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΠΈΠ±Π±ΡΠ° Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ· ΠΏΡΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°ΡΠΈΠΉ Π₯Π΅Π²ΠΈΡΠ°ΠΉΠ΄Π°, Π€ΡΠΏΡΠ° ΠΈ ΠΠ°ΠΌΠΈΠ»ΡΡΠΎΠ½Π°. ΠΠ½ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ» Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Π½Π° ΡΡΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΈ:
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ Π΄Π²Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½Ρ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² ΡΡΠΎΠΉΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΎΠ² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ n Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ Π²ΡΠ΄Π°Π΅Ρ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±Π°ΡΠΎΡ, ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΡΠΎΠΏΠ°, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ: ΠΡΠΎ n -Π°ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ°. ΠΡΠΈ Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ, ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ, Π½ΠΎ Π² Π°Π±ΡΡΡΠ°ΠΊΡΠ½ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΡΡΠΎ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠ°. |