Site Loader

Содержание

Координатная форма векторного произведения.

ТЕОРЕМА 22.1. Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис , в котором  и . Тогда

Доказательство. Рассмотрим ортонормированный базис , определяющий ориентацию пространства  и вычислим векторные произведения базисных векторов. Результаты занесем в таблицу

По определению координат вектора в базисе имеем

поэтому

Используя доказанные свойства векторного произведения, получаем

Используя результаты векторного произведения базисных векторов из таблицы, получим

Нетрудно видеть, что это подробная запись . Теорема доказана.

Приложения векторного произведения.

Вычисление площадей.

Задача 22.1. Пусть треугольник  задан координатами своих вершин  в декартовой системе координат. Найти площадь треугольника .

Решение. Из свойства 4. векторного произведения векторов получаем, что

Далее по формуле  находим

Наконец, используя формулы  и , окончательно получаем

Если , то есть , то формула  приобретает вид:

23 Двойное векторное произведение.

Определение 23.1. Вектор  называется двойным векторным произведением.

Отметим, что векторы  и  компланарны. В самом деле это так, если векторы  и  коллинеарны. Если же векторы  и  не коллинеарны, то вектор им перпендикулярен, а вектор , перпендикулярный вектору , будет компланарен с векторами  и . Значит, если векторы  и неколлинеарны, то вектор  можно разложить по векторам  и .

Приводимая ниже формула и дает разложение этого вектора по векторам  и :

Для доказательства этой формулы введем ортонормированный базис, взяв первый единичный вектор  базиса коллинеарным вектору  и расположив второй единичный вектор  этого базиса перпендикулярно  и так, чтобы векторы  были компланарны. Тогда

По формуле  последовательно находим

С другой стороны, по формуле  имеем

поэтому

Нетрудно проверить, что и в случае коллинеарности векторов  и  формула  дает верный результат.

Отметим еще формулу

Действительно,

24 Смешанное произведение векторов.

Определение 24.1. Смешанным произведением векторов , взятых в указанном порядке, называется число, равное скалярному произведению вектора векторного произведения векторов  и  на вектор .

Обозначается смешанное произведение векторов  через . Используя данное обозначение, определение смешанного произведения кратко можно записать так:

Докажем теперь теорему, раскрывающую геометрический смысл смешанного произведения трех векторов в пространстве , ориентированном правой тройкой.

ТЕОРЕМА 24.1. Смешанное произведение некомпланарных векторов  численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах, и взятого со знаком «», если тройка векторов

  — правая, и со знаком «», если тройка  — левая. Смешанное произведение компланарных векторов равно нулю.

Доказательство. По определению смешанного произведения векторов имеем

Далее по определению скалярного произведения получаем, что

где  — угол между векторами  и . Используя формулу , получаем , а по свойству 5. векторного произведения имеем . Поэтому

Заметим, что , где  — высота параллелепипеда. Так как  — правая, то:

1. если  — правая, то  (см. рис. 1) и

2. если  — левая, то  (см. рис. 2) и

3. если  — компланарны, то, очевидно,  и

Свойства смешанного произведения.

1. При перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет знак. Циклическая перестановка не меняет знак смешанного произведения.

Доказательство. Действительно, из доказанной теоремы следует, что при любом порядке сомножителей смешанные произведения равны по абсолютной величине. С другой стороны, из определения ориентации пространства следует, что тройки векторов  определяют одну ориентацию пространства, а тройки векторов  другую. Поэтому имеем равенства

2. Скалярный множитель при любом аргументе можно выносить за знак смешанного произведения, т.е.

3. 

Смешанное произведение линейно относительно каждого аргумента, т.е.

Доказательство свойств 2. и 3. следует из аналогичных свойств векторного и скалярного произведений.

4. 

Доказательство. В самом деле, по доказанному свойству 1.

5. Для того чтобы смешанное произведение трех векторов равнялось нулю необходимо и достаточно, чтобы эти векторы были компланарны.

Доказательство. Нам нужно доказать только необходимость, поскольку достаточность доказана в теореме 24.1.

Пусть , тогда по определению получаем

Но это возможно только в случаях:

(a)  — компланарны;

(b)  — линейно зависимы, а значит, компланарны;

(c)  — компланарны.

Координатная форма смешанного произведения.

ТЕОРЕМА 24.2. Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис , в котором  и . Тогда

или

Доказательство. По определению смешанного произведения векторов имеем

По формуле  получаем

Используя формулу , приходим к формуле . Легко видеть, что правая часть формулы  есть разложение определителя третьего порядка, стоящего в правой части формулы  по элементам третьей строки. Теорема доказана.

Замечание 24.1. 

Если векторы  и  заданы относительно произвольного аффинного базиса , то формула  приобретает вид:

Следствие 24.1. Для того чтобы векторы  и , заданные относительно произвольного аффинного базиса  были компланарны необходимо и достаточно, чтобы

Приложения смешанного произведения.

Решим следующую задачу

Задача 24.1. Пусть три ребра тетраэдра (произвольная треугольная пирамида), выходящие из одной вершины совпадают с векторами . Найти объем этого тетраэдра.

Решение. Из школьного курса геометрии известно, что объемы параллелепипеда и пирамиды вычисляются по формулам

Поскольку основанием параллелепипеда является параллелограмм, а oснованием тетраэдра является треугольник, то площадь основания параллелепипеда в два раза больше площади основания тетраэдра. Поэтому получаем равенство

Из теоремы 24.1. следует, что , поэтому получаем, что

2. Скалярное произведение векторов в координатной форме

Пусть даны векторы и. Тогда скалярное произведение векторови:

= вычисляется по формуле:

(3.18)

Скалярное произведение векторов равно сумме произведения одноименных координат. Из (3.18) следует, что необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов а и в является равенство:

(3.19)

Из определения скалярного квадрата (3.18) и из формулы (3.19) найдём:(или =(3.20)

Теперь найдём угол между двумя векторами и. На основании определения скалярного произведения имеем:cos

Тогда cos (3.21)

3.Проекция вектора на ось

Пусть дана некоторая ось х, которая составляет с осями координат углы и дан вектор. Найдём проекцию вектора на ось х.

На оси х зададим единичный вектор

Найдём пр-угол между векторамии.

но т.к , то получим (, отсюдаИтак, Хcos+Уcos+Zcos (3.22)

Пример1: Даны три точки А(1;1;1), В(2;2;1) и С(2;1;2). Найти косинус угла

Решение: Найдём векторы . На основании формулы (3.21).

cos

Пример 2: Даны точки А(1;1;1) и В(4;5;3). Найти проекцию вектора АВ на ось х, составляющие с координатными осями равные острые углы.

Решение: Пусть cos, cos, cos- направляющие косинусы оси х и по условию задачи: cos= cos= cos. Зная, что cos+cos+cos=1, имеем cos cos. Вектортогда по формуле (3.22):

4. Векторное произведение векторов

Определение: Векторным произведением двух векторов иназывается вектор, обозначаемый символомиликоторый определяется следующими тремя условиями:

  1. Модуль векторного произведения =равен гдеугол между векторамии;

  2. Вектор =перпендикулярен к каждому из векторови;

  3. Вектор направлен таким образом, чтобы смотря в направлении от конца векторана плоскость вектораикратчайший поворот откбыл виден против хода часовой стрелки.

Из определения векторного произведения вытекают следующие свойства:

  1. Если векторы иколлинеарны, то их векторное произведение равно нулю.

  2. Модуль векторного произведения двух векторов иравен площади параллелограмма построенного на этих векторах.

  3. При перестановке местами сомножителей векторное произведение меняет свой знак:

  4. Векторное произведение подчиняется распределительному закону:

  5. Векторное произведение подчиняется сочетательному закону по отношению к скалярному множителю: где — число.

5. Векторное произведение в координатной форме

Пусть даны векторы

На основании определения и свойств векторного произведения легко показать, что:

. (3.23)

.

На основании свойства и (6.1) можно установить, что:

или

=(3.24)

Получим разложение векторного произведения по базисуСледовательно координаты векторного произведения определяются:

=(3.25)

Заметим, что в формуле (3.24) можно придать вид:

=(3.26)

Пример 1: Даны векторы и.Разложить вектор по базису .

Решение: Используем формулу (3.25) и получим:

или

Координаты векторного произведения

Пример 2: Даны три точки А(1;1;1), В(4;3;5). Найти площадь Sтреугольника АВС.

Решение: Определим координаты векторов и: . Модуль векторного произведения векторовравен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Площадь треугольника АВС:. По формуле (3.26) найдем координаты.или

Тогда

Действия над векторами в координатной форме. — КиберПедия

Даны векторы ={ax, ay, az} и ={bx, by, bz}.

1. ( ± )={ax± bx, ay ± by, az± bz}.

2. l={lax, lay, laz}, где l – скаляр.

Скалярное произведение векторов.

Определение:Под скалярным произведением двух векторов и

понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.=, — угол между векторами и.

Свойства скалярного произведения:

1. ×=

2. ( + ) =

3.

4.

5. , где – скаляры.

6. два вектора перпендикулярны (ортогональны), если .

7. тогда и только тогда, когда .

Скалярное произведение в координатной форме имеет вид: ,где и .

Пример:Найти скалярное произведение векторов и

Решение:

Векторное проведение векторов.

Определение: Под векторным произведением двух векторов и понимается вектор, для которого:

-модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. , где угол между векторами и

-этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т.е.

-если векторы неколлинеарны, то они образуют правую тройку векторов.

Свойства векторного произведения:

1.При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т.е.

2.Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.

3.Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е.

4.Для любых трех векторов справедливо равенство

5.Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов и :

Векторное произведение в координатной форме.

Если известны координаты векторов и,то их векторное произведение находится по формуле:

.

Тогда из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах и , вычисляется по формуле:

Пример:Вычислить площадь треугольника с вершинами (1;-1;2), (5;-6;2), (1;3;-1).

Решение: .

, , тогда площадь треугольника АВС будет вычисляться следующим образом:

,

Смешанное произведение векторов.

Определение:Смешанным (векторно-скалярным) произведением векторов называется число, определяемое по формуле: .

Свойства смешанного произведения:

1.Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е..

2.При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е. .

3.Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов : =0.

4.Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку, т.е. .

Если известны координаты векторов ,то смешанное произведение находится по формуле:

Пример:Вычислить смешанное произведение векторов .

Решение:

Базис системы векторов.

Определение.Под системой векторов понимают несколько векторов, принадлежащих одному и тому же пространствуR.

Замечание. Если система состоит из конечного числа векторов, то их обозначают одной и той же буквой с разными индексами.

Пример.

Определение. Любой вектор вида = называется линейной комбинацией векторов . Числа — коэффициентами линейной комбинации.

Пример. .

Определение. Если вектор является линейной комбинацией векторов , то говорят, что вектор линейно выражается через векторы .

Определение. Система векторов называется линейно-независимой, если ни один вектор системы не может быть как линейная комбинация остальных векторов. В противном случае систему называют линейно-зависимой.

Пример. Система векторов линейно-зависима, т. к. вектор .

Определение базиса.Система векторов образует базис, если:

1) она линейно-независима,

2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.

Пример 1.Базис пространства : .

2. В системе векторов базисом являются векторы: , т.к. линейно выражается через векторы .

Замечание.Чтобы найти базис данной системы векторов необходимо:

1) записать координаты векторов в матрицу,

2) с помощью элементарных преобразований привести матрицу к треугольному виду,

3) ненулевые строки матрицы будут являться базисом системы,

4) количество векторов в базисе равно рангу матрицы.

 

Скалярное и векторное произведения векторов

1. Математика. Лекция 3.

Скалярное и векторное
произведения векторов.
•В отличие от умножения двух чисел
операция умножения вектора на вектор
может
быть
определена
двумя
различными способами, каждый из
которых имеет своё математическое и
прикладное значение.

3. Скалярным произведением векторов называют число, равное произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла между ними:

Часто для обозначения скалярного произведения
употребляют и запись:
F
A
M
Рассмотрим пример из механики,
приводящий к понятию скалярного произведения.
Пусть материальная точка М движется по прямой
из положения А в положение В, проходя при
этом расстояние s , а на точку действует
F . Работа, совершаемая при
этом перемещении силой F , будет равна:
постоянная сила
А F s cos . Если ввести вектор
перемещения
AB , то получим:
А F AB

5. Свойства скалярного произведения.

• Скалярное произведение двух векторов
обладает переместительным свойством :

6. Свойства скалярного произведения.

• Скалярное произведение двух векторов равно
произведению модуля одного из векторов и
проекции другого вектора на направление первого:

7. Свойства скалярного произведения.

• Проекция вектора на некоторое направление равна
скалярному произведению единичного вектора
рассматриваемого направления и данного вектора.

8. Свойства скалярного произведения.

• Скалярное произведение обладает сочетательным свойством
относительно скалярного множителя.
• Скалярное произведение обладает распределительным свойством

9. Свойства скалярного произведения.

• Скалярное произведение равно нулю, если равен нулю
один из перемножаемых векторов или косинус угла
между ними (т.е. векторы ортогональны).
• Это утверждение непосредственно следует из
определения.
• Верно и обратное : если векторы ортогональны, то их
скалярное произведение равно нулю.
• Для того, чтобы два ненулевых вектора были
ортогональны, необходимо и достаточно равенство
нулю их скалярного произведения.

10. Свойства скалярного произведения.

• Скалярное произведение вектора самого на себя
равно квадрату его модуля.
• Модуль вектора равен корню квадратному из
скалярного квадрата этого вектора.

11. Скалярное произведение в координатной форме

• Пусть векторы заданы в координатной форме
• Выразим скалярное произведение векторов через их
координаты, для чего воспользуемся разложением
векторов по координатным осям и полученными
свойствами скалярного произведения

12. Скалярное произведение в координатной форме

Учитывая, что в силу ортогональности ортов осей их скалярные
произведения равны нулю, а их скалярные произведения на
себя равны единице, получаем:

13. Скалярное произведение в координатной форме

скалярное произведение двух векторов равно
сумме произведений одноименных координат.

14. Правые и левые тройки векторов.

• Назовём тройку векторов
правой, если кратчайший
поворот от первого вектора
ко второму будет виден с
конца третьего вектора
происходящим против хода
часовой стрелки.

15. Векторное произведение двух векторов.

• Векторным произведением
вектора
на вектор
назовём
вектор , направленный
перпендикулярно к обоим
векторам, образующим с этими
векторами в порядке a , b , c
правую тройку и по модулю
равный площади
параллелограмма, построенного
на векторах
и
как на
сторонах.

16. Векторное произведение двух векторов.

• Для векторного произведения будем использовать
обозначения
или
.
• С векторным произведением связаны многие физические
величины: момент силы относительно центра; скорость точки
при вращательном движении твёрдого тела; сила, действующая
на движущийся в магнитном поле заряд.
Пусть к твёрдому телу в точке А приложена сила F . В физике и теоретической механике
вводится понятие момента силы относительно центра, например, точки О, как вектора
M o F , модуль которого равен произведению модуля силы на длину плеча d
силы F
относительно центра О и который направлен перпендикулярно плоскости, проходящей
через точку О и линию действия силы F , в ту сторону, откуда поворот тела,
совершаемый силой, будет виден против хода часовой стрелки. Рассмотрим теперь
r F . Этот вектор направлен перпендикулярно к векторам r
F , то есть к плоскости ОАВ, в сторону, откуда кратчайший поворот от r к F виден
векторное произведение
и
против хода часовой стрелки, и равен по модулю

18. Свойства векторного произведения

• При перестановке сомножителей векторное
произведение меняет знак, сохраняя модуль.
• Векторное произведение обладает
распределительным свойством:

19. Свойства векторного произведения

• Векторное произведение обладает сочетательным
свойством относительно скалярного множителя.
• Если векторное произведение равно нуль-вектору, то
либо один из сомножителей равен нуль-вектору, либо
синус угла между векторами равен нулю, то есть векторы
коллинеарны.

20. Векторное произведение в координатных ортов.

21. Векторное произведение в координатной форме

22. Смешанное произведение трех векторов

• Рассмотрим три вектора a , b , c
и первые два вектора
умножим векторно, а затем полученный вектор умножим
скалярно на третий вектор , в итоге получим число.
Такое произведение называют смешанным
произведением трёх векторов:
• Для записи смешанного произведения используют также
еще одну форму записи:

23. Смешанное произведение трех векторов

• Пусть векторы заданы в координатной форме. Тогда смешанное
произведение через координаты сомножителей выражается как
определитель 3-го порядка:

24. Смешанное произведение трех векторов

• Объём параллелепипеда,
построенного на трех
некомпланарных векторах, как
на сторонах, равен модулю их
смешанного произведения.
• Для компланарности трёх
векторов необходимо и
достаточно, чтобы их
смешанное произведение
равнялось нулю.

25. Лекция окончена.

Спасибо за внимание.

43. Векторное произведение векторов в координатной форме

Пусть I, J, K ортонормированный базис пространства V3, вектора которого образуют правую тройку. Пусть A = (X1, Y1, Z1), B = (X2, Y2, Z2) координаты этих векторов в базисе I, J, K. Тогда имеем

A = X1I + Y1J + Z1K, B = X2I + Y2J + Z2K.

Так как базис ортонормированный, и его вектора образуют правую тройку, то имеем следующую таблицу умножения базисных элементов I, J, K. Тогда по свойствам векторного произведения находим:

A´B = (X1I + Y1J + Z1K)´(X2I + Y2J + Z2K) =

=(X1X2)(I´I) + (X1Y2)(I´J) + +(X1Z2)(I´K) + (Y1X2)(J´I) + (Y1Y2)(J´J) + (Y1Z2)(J´K) + (Z1X2)(K´I) + (Z1Y2)(K´J) + (Z1Z2)(K´K) =

= (Y1Z2 — Z1Y2)I — (Z1X2 —X1Z2)J + (X1Y2 — Y1X2) K .

Таким образом, получаем следующую формулу для вычисления векторного произведения векторов в ортонормированном базисе:

A´B = IJ +K , (1)

Которую можно записать в виде определителя

A´B = . плоскости, в которой лежат вектора а и b;

3° кратчайший поворот от вектора a к b, видимый с конца вектора с будет против часовой.

Свойства векторного произведения:

1° антикоммутативность: a´b= — b´a.

a´b= с, b´a= -с.

(λa)´b= λ (a´b).

a´(b + с)= a´b + a´с.

a ´ а= 0.

│ a ´ а │=│a│·│а│sin 0°= 0. Отсюда следует, что a ´ а= 0.

 

Векторные произведения координатных ортов.

Если первый орт умножить векторно на второй орт, то по стрелке получим третий орт, причем взятый с «+», если поворот против часовой стрелки, и берется с «-», если по часовой стрелке.

i´j= k,

i´k= -j,

j´k= i,

j´i= -k,

i´i= 0.

Векторное произведение в координатной форме.

a´b= (axi + ayj + azk)×( bxi + byj + bzk)= ax bx i× i + ax by i× j + ax bz i ×k +

+ay bx j×i + ay by j×j + ay bz j×k + az bx k×i + az by k× j + az bz k×k=

= ax by k – ax bz j- -ay bx k+ ay bz i+ az bx j — az by i=

= i(ay bz — azby )- j( ax bz — az bx)+ k(ax by — ay bx )=

=i — j + k .

.

 


Узнать еще:

Файл: shpory_matematika.doc — Страницы №№11-13

,

где , и есть скалярное произведение вектора с ортами осей координат. Тогда из последнего равенства имеем

где ,  и  — углы, которые составляет вектор соответственно с осями 0х, 0у и 0z.

СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов не нулевой, то, по определению скалярного произведения, последнее может быть равно нулю только тогда, когда , т.е. .

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ

Скалярное произведение векторов в координатной форме

.

13.Векторное произведение. Координатная форма векторного произведения.

Под векторным произведением векторов и понимают вектор , имеющий длину и направленный перпендикулярно к плоскости ,определяемой векторами и , причем так, что векторы , и образуют правую тройку векторов (длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (это геометрический смысл векторного произведения).

Векторное произведение обозначают: или . Очевидно, что (из определения векторного произведения). . Векторное произведение подчиняется только распределительному закону:

.

Теорема. Пусть , , . Тогда:

1) ;

2) .

   Доказательство. 1) Используем свойство линейности векторного произведения:

 

.

   Далее, заметим, что векторные произведения коллинеарных векторов равны нулевому вектору:

                  .

Рассмотрим другие векторные произведения базисных векторов:

                      

                                            рис.4.

, , .

Эти равенства легко устанавливаются с помощью рис.4.

Отсюда следует:

, ч.т.д.

2) Воспользуемся только что доказанной формулой:

        .

Теперь, по теореме о скалярном произведении векторов в координатной форме, получаем:

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Замечание. Векторное произведение часто записывают в форме определителя:

                          .

Разумеется это не определитель, а лишь форма записи векторного произведения. Она компактна и удобна для запоминания.

Следствие. Определитель не изменяется при круговой перестановке строк (столбцов) определителя. При транспозиции двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

   Доказательство. С одной стороны,

                  .

С другой стороны,

                  .

Но, , откуда и следует утверждение. Далее, т.к. , то

               .

Так как определитель не изменяется при транспонировании, то доказанное свойство справедливо и для столбцов определителя.

14. Смешанное произведение. Координатная форма смешанного произведения.

  1. Смешанное произведение векторов и его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов. Условия компланарности трех векторов.

Базис в пространстве называется правым, если (считая векторы имеющими общее начало) с конца третьего вектора мы видим кратчайший поворот от первого вектора ко второму против часовой стрелки. В противном случае базис называется левым.


Пространство называется ориентированным, если из двух классов базисов выбран один. Базисы этого класса называются положительно ориентированными.

Если пространство ориентировано, мы можем ввести определение смешанного произведенния.

Смешанным произведением векторов , и (в данном порядке) называется число, равное оюъему ориентированного параллелепипеда, построенного на этих векторах, если они не компланарны; и равно нулю, если они компланарны.

Смешанное произведение векторов , и обозначается . При перестановке сомножителей в смешанном произведении может измениться только ориентация тройки векторов. Поэтому абсолютная величина смешанного произведения не зависит от порядка сомножителей. Для любых векторов , и , сравнивая ориентации тройки векторов, получаем: = = = = = (2).

Предложение 1.

Каковы бы ни были векторы и , найдется едиснтвенный (не зависящий от ) вектор такой, что при любом выполнено равенство: (1).

Док-во: Сначала докажем существование вектора , а потом установим его единственность. Пусть векторы и коллинеарны. Тогда при любом векторы , и компланарны и =0. Поэтому мы можем положить . Раасмотрим неколлинеарные векторы и и предположим сначала, что , и некомпланарны. Построим на них ориентированный параллелепипед и примем его за основание параллелограмм, построенный на и . Введем ориентацию на прямой OH, перпендикулярной основанию. Мы зададим её с помощью вектора длины 1, составляющего с и правую тройку , , . (Тройка , , также правая). — скалярная проекция вектора на . По модулю она равна высоте параллелепипеда ОН, а знак её определяется ориентацией тройки , , . тогда и только тогда, когда концы векторов и лежат в одном полупространстве, т.е. тройка , , — правая. Таким образом, положительно для правой тройки , , и отрицательно для левой.

Пусть положительное число S — площадь основания параллелепипеда. Тогда проивзедение по модулю равно объему параллелепипеда, а знак его совпадает со знаком . Это значит, что . Полученное равенство совпадает с (1), если (3). Осталось рассмотретьс лучай, когда и не коллинеарны, а , и компланарны. В этом случае лежит в плоскости векторов и , следовательно, ортогонален вектору , вычисленному по формуле (2). Поскольку =0 и =0, вектор (3) удовлетворяет равенству (2) и в этом случае. Итак, мы нашли вектор, который удовлетворяет равенству (2) при любом и определяется только по и . Допустим, что для фиксированных и нашлось 2 вектора и таких, что для любого выполнено равенство: и . отсюда следует, что или =0. Поэтому вектор ортогонален каждому вектору пространства и, следовательно, равен нулевому вектору. Это доказывает, что вектор , определяемый формулой (2), может быть только один. Предложение полностью доказано.

Теорема 3. Смешанное произведение векторов , и выражается через их компоненты , и в произвольном базисе по ф-ле: = — *


Д ок-во: Заметим, что и умножим скалярно обе части на вектор . Мы получим = + + , Учитывая рав-ва (1) и приводя подобные члены, получаем нужный нам результат.

Через детерминанты 3его порядка мы можем написать: = (4)

Предложение 2. Равенство нулю детерминанта матрицы из компонент 3х векторов необоходимо и достаточно для компланарности векторов.

Док-во: это сразу следует из ф-лы (4), т.к.


Перекрестное произведение двух векторов

При изучении математики, физики или инженерии бывают ситуации, когда от нас требуется вычислить перекрестного произведения двух векторов. Его можно использовать в механике, например, чтобы найти крутящий момент , приложенный силой, или в области компьютерной графики для расчета нормали к поверхности для многоугольника (т. Е. Вектора, перпендикулярного поверхности многоугольник).Перекрестное произведение является результатом умножения векторов вместе, и в результате будет получен третий вектор, который находится на перпендикулярно (т.е. под прямым углом или ортогонально ) к обоим исходным векторам. Следовательно, перекрестное произведение не имеет смысла в двумерной среде. Фактически, это имеет смысл только в трехмерной или семимерной среде (мы ограничимся обсуждением перекрестного произведения в трехмерной среде).Рассмотрим иллюстрацию ниже, на которой показаны два отдельных вектора в трехмерном пространстве.


Два вектора в трехмерном пространстве


Трехмерные векторы AB → и CD → имеют фиксированные исходные точки (т.е. они фактически являются векторами положения), и нет единой плоскости, в которой они оба лежат. Конечно, мы можем переместить один из векторов так, чтобы два вектора были хвостом к хвосту, и в этом случае будет существовать одна только одна ) плоскость, общая для обоих векторов.Переместим вектор AB → так, чтобы его хвост совпадал с хвостом вектора CD →. На иллюстрации ниже снова показаны два вектора, на этот раз с общей точкой отсчета. Сетка (которая лежит в плоскости x y ) и метки точек были удалены для ясности.


Векторы теперь хвост к хвосту


Что нас действительно интересует, так это компоненты x , y и z векторов , а не координаты x , y и z их конечных точек.Нахождение значений компонентов x , y и z является простой задачей, если мы знаем координаты x , y и z начальной и конечной точек для каждого вектора. Например, найти компонент вектора x означает вычесть координату x его начальной точки из координаты его конечной точки. Когда у нас есть значения компонентов для каждого вектора, мы можем просто рассматривать их как свободные векторы, которые имеют общую точку происхождения и, таким образом, лежат в одной плоскости.На следующем рисунке мы показываем только значений компонентов и полностью удалили оси x , y и z .


Значения компонентов векторов a и b


Выше мы сказали, что перекрестное произведение двух векторов — это новый вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, но это оставляет нас с вопросом.Есть два направления, перпендикулярных обоим векторам. Какое направление правильное? Ответ на этот вопрос обычно зависит от ориентации используемой системы координат. Предположим, для целей этого обсуждения, что мы имеем дело с правой системой координат (конечно, существуют и другие возможности, но мы постараемся сделать все относительно простыми). Затем можно применить правило правой руки (проиллюстрировано ниже) для определения направления, в котором указывает вектор перекрестного произведения.Обратите внимание, что перекрестное произведение векторов a и b записывается как a x b .


Применение правила правой руки


Как видно из рисунка, если первый и второй пальцы правой руки расположены более или менее под прямым углом друг к другу, а большой палец более или менее расположен под прямым углом к ​​обоим пальцам, то первый палец указывает примерно в направлении вектора a , второй палец в направлении вектора b , а большой палец в направлении a × b (т.е. вектор кросс-произведения). Обратите внимание, что угол между векторами a и b может быть любым углом от нуля до ста восьмидесяти градусов. Ниже приведен график, на котором показаны векторы a и b вместе с вектором перекрестного произведения, который мы обозначили вектором c . Обратите внимание: поскольку мы имеем дело с трехмерной средой, это всего лишь одна возможная точка зрения. Однако имейте в виду, что вектор c находится под прямым углом к как к вектору a , так и к вектору b .


Векторы a и b с их кросс-произведением, вектор c


Вопрос, который вы, вероятно, должны задать себе в этот момент, заключается в том, как мы пришли к компонентам x , y и z для вектора c , показанного на иллюстрации? Что ж, не вдаваясь в подробные объяснения, мы находим компоненты x , y и z вектора c (т.е.е. вектор векторного произведения), используя компоненты x , y и z векторов a и b следующим образом:

c x = a y b z a z b y = (1) (1) (1) (1) (1) ( (-1) = -1

c y = a z b x a x b z = 9019 ) (2) — (1) (- 2) = 4

c z = a x b y a y b x = (1) (- 1) — (1) (2) = -3

Обратите внимание, что поскольку вектор c перпендикулярен плоскости, в которой оба вектора a и b лежат, из этого следует, что если оба вектора a и b лежат в плоскости x y , их составляющая z будет равна нулю.Следовательно, компоненты x и y вектора c также будут равны нулю (т.е. вектор c будет параллелен оси z ). Также обратите внимание, что если вектор a или b является нулевым вектором , или если векторы a и b являются параллельными , их перекрестное произведение также будет нулевым вектором. Пока векторы a и b не , а не лежат в плоскости, определяемой любыми двумя из трех осей ( x , y и z ), тогда все компонентов вектор c будет ненулевым.

Мы также можем выразить кросс-произведение двух векторов в матричной форме. Мы делаем это, сначала создавая 3х3 матрицу размером , которая содержит компоненты x , y и z векторов a и b . Первая строка матрицы должна состоять из ортонормированных векторов x , y и z . Ортонормированный вектор — это единичный вектор (т.е.е. его величина единица ), которая имеет только один ненулевой компонент. Чтобы проиллюстрировать, что это означает, ортонормированные векторы x , y и z могут быть представлены с использованием следующих матриц столбцов:

Матрица 3х3 представлена ​​ниже. Векторы x , y и z по существу используются как своего рода заполнитель для представления значения или в каждом столбце первой строки матрицы.») над ними, чтобы обозначить тот факт, что они являются ортонормированными векторами. Вторая и третья строки содержат значения компонентов x , y и z векторов a и b соответственно.

Вектор взаимного произведения получается путем нахождения определителя этой матрицы. Если вы не знакомы с матрицами, вы можете посмотреть страницу матриц в разделе Алгебра , чтобы увидеть, как находится определитель матрицы три на три.Ниже приведен фактический расчет для нахождения определителя указанной выше матрицы (т. Е. Перекрестного произведения векторов a и b ). Обратите внимание, что определитель матрицы записывается в том же формате, что и исходная матрица, но вместо скобок столбцы заключаются в вертикальные полосы.

c = a × b = x y z = x

84

03 05
a z y a x a z z x a y
a x a 95 95 б г б г б 90 004 x b z b x b y 05 b y b z

Подставляя фактические значения, получаем:

c = a × b = x y z = x 09 904 y 1 1 + z 1 1
1 1 1 -2 -2 2 -1
2 -1 -2

Тогда расчет будет следующим:

c = a × b = x ((1) (- 2) — (-1) (1)) — y ((1) (- 2) — (2) (1) )) + z ((1) (- 1) — (2) (1))

c = — x + 4 y — 3 z

Это дает нам компоненты вектора x , y и z непосредственно для вектора перекрестного произведения:

с = (-1, 4, -3)

Обратите внимание, что величина вектора c (вектор векторного произведения) фактически совпадает с площадью параллелограмма, для которого векторы a и b обеспечивают смежные стороны, как показано ниже.


Векторы a и b могут обеспечивать смежные стороны параллелограмма.


Площадь параллелограмма получается путем умножения длины основания параллелограмма на его высоту. В приведенном выше примере мы предположили, что вектор b будет основанием параллелограмма. Высота параллелограмма получается путем умножения длины любой из сторон, прилегающих к основанию, на синус любого из его внутренних углов.В приведенном выше примере мы использовали вектор , и синус угла θ . Площадь параллелограмма, построенного с использованием векторов a и b , и, следовательно, величина вектора c , определяется как:

| c | = | a × b | = | a || b | грех ( θ )

Конечно, нам нужно получить значения для угла θ (угол между векторами a и b ) и величины векторов a и b , прежде чем мы сможем выполнить это вычисление.Когда у вас есть эти значения, вам не нужно понимать, как работает тригонометрическая функция синуса, чтобы получить правильный ответ, но вам нужно знать, как правильно использовать кнопку синус на вашем калькуляторе.

Есть еще одна вещь, о которой нужно знать, прежде чем мы двинемся дальше: в отличие от скалярного произведения двух векторов, перекрестное произведение равно , а не коммутативному . Другими словами, a × b дает результат, отличный от b × a .Фактически, перекрестное произведение b × a имеет точно такую ​​же величину , что и перекрестное произведение a × b , но указывает в противоположном направлении ( b × a = — ( а × б )).


Перекрестное произведение b × a указывает в направлении, противоположном a × b


На данный момент мы имеем дело с несколькими неизвестными.Мы не знаем величины векторов a и b , у нас нет значения для угла θ (который будет минимальным углом, на который должен быть повернут один из векторов, чтобы указать в в том же направлении, что и другой вектор), и мы не знаем компоненты x , y и z единичного вектора n . Как нам найти эти недостающие значения? Мы начнем с нахождения величин (то есть длин) векторов a и b , что относительно просто:

| a | = √ a x 2 + a y 2 + a z 2 = 1 = √1 + 1 = 1 = √1 + 1 = 1 = √1 + 1 .732

| b | = √ b x 2 + b y 2 + b z 2 = √4 + 1 = 4 = √4 + 1

Чтобы найти угол θ , мы можем использовать скалярное произведение векторов a и b (если вы не знакомы с скалярным произведением двух векторов, посмотрите соответствующую страницу в этом разделе).Мы можем найти скалярное произведение векторов a и b , используя уже имеющуюся информацию:

a · b = a x b x + a y b 93 b z = ((1) (2)) + ((1) (- 1) + (1) (- 2)) = 2 — 1-2 = -1

Поскольку уравнение косинуса для скалярного произведения a и b имеет следующий вид:

a · b = | a || b | cos ( θ )

мы можем изменить это уравнение, чтобы найти θ :

θ = cos -1 a · b
| a || b |

Подставляя фактические значения, получаем:

θ = cos -1 -1 = cos -1 (-0.192) = 101,10 °
1,732 × 3

Обратите внимание, что знак скалярного произведения важен. Если вы ошиблись, вы получите добавку угла θ (то есть разницу между θ и сто восемьдесят градусов ), а не θ .

Осталось только найти компоненты x , y и z единичного вектора n .Принимая во внимание, что у нас уже есть компоненты x , y и z вектора c , это довольно просто. Единичный вектор по определению имеет длину в одну единицу, поэтому общая длина вектора c сообщит нам скалярное значение, на которое нужно умножить единичный вектор n , чтобы получить вектор c . Таким образом, мы можем разделить компоненты x , y и z вектора c на его длину, чтобы получить компоненты x , y и z единичного вектора n .Чтобы найти длину вектора c , мы можем использовать следующий расчет:

| c | = √ c x 2 + c y 2 + c z 2 = √1 + 16 = 5,0

Тогда компоненты единичного вектора n находятся следующим образом:

n x = -1 ÷ 5.099 = -0,196

n y = 4 ÷ 5,099 = 0,784

n z = -3 ÷ 5,099 = -0,588

У нас уже есть альтернативное уравнение для величины вектора c (см. Выше):

| c | = | a × b | = | a || b | грех ( θ )

Поскольку направление вектора c задается единичным вектором n , мы можем получить альтернативное уравнение для вектора c (т.е.е. вектор кросс-произведения), просто включив член n :

c = a × b = | a || b | sin ( θ ) n

Если мы теперь подставим фактические значения в наше уравнение, мы сможем получить тот же набор компонентов вектора для вектора c , который мы получили из нашего исходного расчета, используя компоненты векторов x , y и z . a и b :

с = 1.732 × 3 × sin (78,93 °) n = 5,099 n

c = 5,099 × (-0,196, 0,784, -0,588) = (-0,999, 3,998, -2,998)

Таким образом, векторное произведение векторов a и b в виде вектор-строки равно (-0,999, 3,998, -1,998). Округляя эти числа в большую сторону, получаем (-1, 4, -2). Это компоненты вектора c x , c y и c z , к которым мы пришли ранее.Обратите внимание, что, поскольку n является единичным вектором (то есть имеет величину, равную одной единице), его единственная цель в уравнении — определить направление вектора перекрестного произведения. Это должно быть любое из двух направлений, перпендикулярных как вектору a , так и вектору b , которое было выбрано с использованием правила правой руки . Очевидно, чтобы использовать это уравнение для получения вектора c , нам необходимо знать величины векторов a и b , значение угла θ и значения x , . y и z компоненты вектора n .Таким образом, метод, фактически используемый для нахождения перекрестного произведения двух векторов, будет очень сильно зависеть от того, с какой информацией нам дается начать.


Дифференциальная геометрия

Дифференциальная геометрия Точечное произведение

Скалярное произведение между двумя векторами является важным качеством, определяемым (a, b, c) ⋅ (d, e, f) = ad + be + cf. У этого есть несколько важных свойств:
1) α⋅α = | α | 2
2) Если мы считаем, что нулевой вектор ортогонален всем векторам, то α⋅β = 0 тогда и только тогда, когда α ортогонален β
3) α⋅β = | α || β | cosθ, где θ угол между двумя векторами.
Скалярное произведение — это пример внутреннего продукта, имеющего значение для векторов во всех видах векторных пространств.



Перекрестное произведение

Перекрестное произведение [x] двух векторов (a, b, c) и (d, e, f) — вектор (bf — ce, cd — af, ae — bd).

Величина перекрестного произведения, эквивалентного произведению величины двух векторов, умноженные на синус угла между ними (начиная с первого). Направление определяется Правило правой руки: если вы показываете «большой палец вверх», а пальцы сгибаются в направление, в котором первый вектор должен повернуться, чтобы добраться до второй вектор, тогда ваш большой палец будет указывать в направлении креста продукт.

Величина векторного произведения (a, b, c) и (d, e, f) равна эквивалентной площади параллелограмма, определяемой векторами (a, b, c) и (d, e, f).

Обратите внимание, что перекрестное произведение не коммутативно. В частности, A x B = -B x A.0.5$} thick true}} {plot.polygon obj5 {super {transpt $0$ visible true addedz 0.0} subdivs 1.0 color {coloring.constant obj23 {color [0.0 1.0 0.0 1.0]}} vertices [$0,0,0$ $A$ $A+B$ $B$ $0,0,0$] dim 3.0 title Polygon thick false}} {plot.vector obj3 {base $0,0,0$ endstyle 5.0 dir $A_2*B_3 — A_3 * B_2,A_3 * B_1 — A_1 * B_3,A_1*B_2 — A_2 * B_1$ color {coloring.group obj24 {colors [{coloring.constant obj25 {color [0.0 1.0 0.0 1.0]}}] opacities [1.0] mixings [0.0]}} dim 3.0 thick true basestyle 0.0 subdivs 1.0 len 1.0 basesize 10.0 super {transpt $0$ visible true addedz 0.0} endsize 10.0}} {plot.vector obj9 {base $0,0,0$ endstyle 5.0 dir $A$ color {coloring.group obj26 {colors [{coloring.constant obj27 {color [1.0 0.0 0.0 1.0]}}] opacities [1.0] mixings [0.0]}} dim 3.0 thick true basestyle 0.0 subdivs 1.0 len 1.0 basesize 10.0 super {transpt $0$ visible true addedz 0.0} endsize 10.0}} {plot.vector obj7 {base $0,0,0$ endstyle 5.0 dir $B$ color {coloring.group obj28 {colors [{coloring.constant obj29 {color [0.0 0.0 1.0 1.0]}}] opacities [1.0] mixings [0.0]}} dim 3.0 thick true basestyle 0.0 subdivs 1.0 len 1.0 basesize 10.0 super {transpt $0$ visible true addedz 0.0} endsize 10.0}}]} alpha true scale 100.01271474132783 surfacemode 2.0 drawmode 1.0 transf [-0.8588879356477458 -0.34299431349358617 -0.3803503843955178 0.0 0.19849011519980353 -0.9075139515555519 0.3701622642841874 0.0 -0.4721368320378354 0.24243211141078502 0.8475337652212952 0.0 0.0 0.0 0.0 1.0]}} group null hotspots [{hotspot obj30 {origin $0, 0, 0$ entry A constraint $Point$ cmode 0.0 cobjs [{id obj4}]}} {hotspot obj31 {origin $0, 0, 0$ entry B constraint $Point$ cmode 0.0 cobjs [{id obj4}]}}] drawmode 1.0}} graph {id obj11} frame {visible true plots [{id obj3} {id obj4} {id obj5} {id obj6} {id obj7} {id obj8} {id obj9}] title $3D Graph$ labels [$ Vector: A_2*B_3 — A_3 * B_2,A_3 * B_1 — A_1 * B_3,A_1*B_2 — A_2 * B_1 starting at 0,0,0$ $ Surface: cos(t)*cos(p),cos(t)*sin(p),sin(t)$ $ Polygon$ $ Curve: 0.0.5$ $ Vector: B starting at 0,0,0$ $ Polygon$ $ Vector: A starting at 0,0,0$]}}}] «/> Тройное векторное произведение

Тройное векторное произведение трех векторов A = (a, b, c), B = (d, e, f), а C = (g, h, i) — скаляр (A x B) ⋅C = (bf — ce) g + (cd — af) h + (ae — bd) i.

Тройное векторное произведение дает площадь параллелепипеда. определяется тремя заданными векторами.Объем параллелепипедное твердое тело — это высота, умноженная на в площадь основания, а высота — длина проекции C к линии вдоль A x B. Обратите внимание, что величина (A x B) ⋅C может быть положительный или отрицательный, так что это фактически «подписанный том», положительна, если C лежит выше ориентированной плоскости, определяемой A и B в этот порядок и отрицательный, если он лежит ниже этой ориентированной плоскости.


Кросс-произведение — Википедия, бесплатная энциклопедия

Из Википедии, свободной энциклопедии

В математике перекрестное произведение — это бинарная операция над двумя векторами в трехмерном евклидовом пространстве, результатом которой является другой вектор, перпендикулярный плоскости, содержащей два входных вектора. Алгебра, определяемая перекрестным произведением, не является ни ассоциативной, ни коммутативной.Это контрастирует с скалярным произведением, которое дает скалярный результат. Во многих инженерных и физических задачах полезно иметь возможность построить перпендикулярный вектор из двух существующих векторов, и перекрестное произведение предоставляет средства для этого. Перекрестное произведение также полезно в качестве меры «перпендикулярности» — величина перекрестного произведения двух векторов равна произведению их величин, если они перпендикулярны, и масштабируется до нуля, когда они параллельны. Перекрестное произведение также известно как векторное произведение или векторное произведение Гиббса .

Перекрестное произведение не определяется, кроме трех или семи измерений. Как и скалярное произведение, он зависит от метрики евклидова пространства. В отличие от скалярного произведения, это также зависит от выбора ориентации или «руки». Некоторые особенности перекрестного произведения можно обобщить на другие ситуации. При произвольном выборе ориентации перекрестное произведение следует рассматривать не как вектор, а как псевдовектор. Для произвольного выбора метрики и в произвольных измерениях перекрестное произведение может быть обобщено внешним произведением векторов, определяя двойную форму вместо вектора.

Иллюстрация перекрестного произведения в правой системе координат.

[править] Определение

Перекрестное произведение двух векторов a и b обозначается a × b . В физике иногда используется обозначение a b [1] (математики не используют это обозначение, чтобы избежать путаницы с внешним произведением).

В трехмерном евклидовом пространстве с правой системой координат a × b определяется как вектор c , который перпендикулярен как a , так и b , с направлением, заданным формулой правило правой руки и величина, равная площади параллелограмма, который охватывают векторы.

Перекрестное произведение определяется по формуле [2]

, где θ — мера меньшего угла между a и b (0 ° ≤ θ ≤ 180 °), a и b — величины векторов a и b , и представляет собой единичный вектор, перпендикулярный плоскости, содержащей a и b , в направлении, заданном правилом правой руки, как показано.Если векторы a и b коллинеарны (т. Е. Угол θ между ними равен 0 ° или 180 °), то по приведенной выше формуле перекрестное произведение a и b равно нулю. вектор 0 .

Направление вектора задается правилом правой руки, по которому просто направляют указательный палец правой руки в направлении a , а средний палец — в направлении b . Затем вектор выходит из большого пальца (см. Рисунок справа).Использование этого правила подразумевает, что перекрестное произведение антикоммутативно, то есть b × a = — ( a × b ). Если сначала направить указательный палец в сторону b , а затем указать средним пальцем в сторону a , большой палец будет вынужден двигаться в противоположном направлении, меняя знак вектора произведения.

Использование перекрестного произведения требует учета хреновости системы координат (как это явно указано в определении выше).Если используется левая система координат, направление вектора задается правилом левой руки и указывает в противоположном направлении.

Это, однако, создает проблему, потому что преобразование из одной произвольной системы отсчета в другую (, например, , преобразование зеркального изображения из правой в левую систему координат) не должно изменять направление. Проблема проясняется осознанием того, что перекрестное произведение двух векторов не является (истинным) вектором, а скорее псевдовектором .См. Перекрестное произведение и ручку для более подробной информации.

[править] Вычисление векторного произведения

[править] Обозначение координат

Единичные векторы i , j и k из данной ортогональной системы координат удовлетворяют следующим равенствам:

i × j = k j × k = i k × i = j

Вместе с асимметрией и билинейностью перекрестного произведения этих трех тождеств достаточно для определения перекрестного произведения любых двух векторов.В частности, следующие удостоверения личности также имеют

j × i = — k k × j = — i i × k = — j
i × i = j × j = k × k = 0 .

С помощью этих правил координаты векторного произведения двух векторов могут быть легко вычислены без необходимости определять какие-либо углы: Пусть

a = a 1 i + a 2 j + a 3 k = ( a 1 90 a195, , a 3 )

и

b = b 1 i + b 2 j + b 3 k = ( b 1 90 b195, 1 90 2195 , б 3 ).

Перекрестное произведение можно вычислить методом распределительного перекрестного умножения:

a × b = ( a 1 i + a 2 j + a 3 k ) × (93 1 i + b 2 j + b 3 k )
a × b = a 1 i × ( b 1 i + b 2 j k5194

4 b ) + a 2 j × ( b 1 i + b 2 j + b 3 k41 914 a94) + k × ( b 1 i + b 2 j + b 3 k )
a × b = ( a 1 i × b 1 i ) + ( a 1 41 i4 914 914 j ) + ( a 1 i × b 3 k ) + ( a 2 j × b 1 a 2 j × b 2 j ) + ( a 2 j × b 3 k ) + (

4 a k × b 1 i ) + ( a 3 k × b 2 j ) + ( a 3 914 k 3 к ).

Поскольку скалярное умножение коммутативно с перекрестным умножением, правая часть может быть перегруппирована как

a × b = a 1 b 1 ( i × i ) + a 1 b 4 j ) + a 1 b 3 ( i × k ) + a 2 b 1 ( j × i ) 2 b 2 ( j × j ) + a 2 b 3 ( j × k ) + 4 1 ( k × i ) + a 3 b 2 ( k × j ) + a 3 14 b

42 к
× к ).

Это уравнение представляет собой сумму девяти простых перекрестных произведений. После того, как все умножение выполняется с использованием основных взаимосвязей между произведениями между i , j и k , определенными выше,

a × b = a 1 b 1 ( 0 ) + a 1 b 2 ( 9194 k ) 1 b 3 (- j ) + a 2 b 1 (- k ) + a 2 b 4 2 ) + a 2 b 3 ( i ) + a 3 b 1 ( j ) + a 3

4 b (- i ) + a 3 b 3 ( 0 ).

Из этого уравнения можно разложить

a × b = ( a 2 b 3 a 3 b 2 ) i + (

4 b 315
1 a 1 b 3 ) j + ( a 1 b 2 a 2 2 1

4

4 k
= ( a 2 b 3 a 3 b 2 , a 3 b 1 a b 3 , a 1 b 2 a 2 b 1 ).

[править] Матричная запись

Определение перекрестного произведения также может быть представлено определителем матрицы:

Этот определитель может быть вычислен с использованием правила Сарруса. Рассмотрим таблицу

Из первых трех элементов в первом ряду нарисуйте три диагонали, наклоненные вниз вправо (например, первая диагональ будет содержать i , a 2 и b 3 ), и от последние три элемента в первом ряду рисуют три диагонали, наклоненные вниз влево (например, первая диагональ будет содержать i , a 3 и b 2 ).Затем умножьте элементы на каждой из этих шести диагоналей и вычеркните последние три произведения. Перекрестное произведение можно определить как сумму этих произведений:

[править] Свойства

[править] Геометрическое значение

Рисунок 1: Площадь параллелограмма в виде векторного произведения. Рисунок 2: Объем параллелепипеда с использованием скалярных и перекрестных произведений; пунктирными линиями показаны проекции c на a × b и a на b × c , первый шаг в поиске скалярных произведений.

Величину перекрестного произведения можно интерпретировать как положительную площадь параллелограмма со сторонами a и b (см. Рисунок 1):

Действительно, можно также вычислить объем V параллелепипеда, имеющего стороны a , b и c , используя комбинацию векторного произведения и скалярного произведения, называемого тройным скалярным произведением (см. Рис. 2):

Рисунок 2 демонстрирует, что этот том можно найти двумя способами, геометрически показывая, что идентичность утверждает, что «точка» и «крест» можно поменять местами без изменения результата.То есть:

Поскольку величина перекрестного произведения равна синусу угла между его аргументами, перекрестное произведение можно рассматривать как меру «перпендикулярности» точно так же, как скалярное произведение является мерой «параллельности». Учитывая два единичных вектора, их перекрестное произведение имеет величину 1, если они перпендикулярны, и нулевую величину, если они параллельны.

[править] Алгебраические свойства

Перекрестное произведение антикоммутативно,

a × b = — b × a ,

распределительный сверх сложения,

a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ),

и совместим со скалярным умножением, так что

( r a ) × b = a × ( r b ) = r ( a × b ).

Не ассоциативен, но удовлетворяет тождеству Якоби :

a × ( b × c ) + b × ( c × a ) + c × ( a × b ) = 0 .

Не подчиняется закону об отмене:

Если a × b = a × c и a 0 , то:
( a × b ) — ( a × c ) = 0 и, согласно приведенному выше закону распределения:
a × ( b c ) = 0
Теперь, если a параллельно ( b c ), то даже если a 0 , возможно, что ( b c ) ≠ 0 и, следовательно, что b c .

Однако, если оба a · b = a · c и a × b = a × c , то можно заключить, что b = с . Действительно,

a · ( b c ) = 0 и
a × ( b c ) = 0

, так что b c является параллельным и перпендикулярным ненулевому вектору a .Это возможно, только если b c = 0 .

Дистрибутивность, линейность и тождество Якоби показывают, что R 3 вместе с векторным сложением и перекрестным произведением образует алгебру Ли. Фактически, алгебра Ли — это алгебра вещественной ортогональной группы в 3-х измерениях, SO (3).

Далее, два ненулевых вектора a и b параллельны тогда и только тогда, когда a × b = 0 .

Из геометрического определения, приведенного выше, следует, что перекрестное произведение инвариантно относительно вращений вокруг оси, определенной как a × b .

[править] Тройное расширение продукта

Основная статья: Тройной продукт

Расширение тройного произведения, также известное как формула Лагранжа , представляет собой формулу, связывающую перекрестное произведение трех векторов (называемое тройным произведением векторов ) с скалярным произведением:

a × ( b × c ) = b ( a · c ) — c ( a · b ).

Мнемоника «BAC минус CAB» используется для запоминания порядка векторов в правой части.Эта формула используется в физике для упрощения векторных вычислений. Ниже приводится частный случай, касающийся градиентов и полезных в векторном исчислении.

Это частный случай более общего оператора Лапласа-де Рама Δ = d δ + δ d .

Следующая идентичность также связывает перекрестное произведение и скалярное произведение:

Это частный случай мультипликативности нормы в алгебре кватернионов и ограничение на тождество Лагранжа.

[править] Альтернативные способы вычисления перекрестного произведения

[править] Quaternions

Перекрестное произведение также можно описать в терминах кватернионов, поэтому буквы i , j , k являются условными обозначениями для стандартной основы: они считаются воображаемыми кватернионами.

Например, приведенные выше отношения перекрестного произведения между i , j и k согласуются с мультипликативными отношениями между кватернионами i , j и k .В общем, если вектор [ a 1 , a 2 , a 3 ] представлен как кватернион a 1 i + a 2 j + a 3 k , перекрестное произведение двух векторов можно получить, взяв их произведение как кватернионы и удалив действительную часть результата. Действительная часть будет отрицательной величиной скалярного произведения двух векторов.

В качестве альтернативы и более прямо, используя вышеупомянутое отождествление «чисто мнимых» кватернионов с, векторное произведение можно представить как половину коммутатора двух кватернионов.

[править] Преобразование в матричное умножение

Перекрестное произведение двух векторов (которое может быть определено только в трехмерном пространстве) может быть переписано в терминах чистого матричного умножения как произведение кососимметричной матрицы и вектора следующим образом:

где

Также, если само является перекрестным произведением:

, затем

Это обозначение обеспечивает другой способ обобщения перекрестного произведения на более высокие измерения путем замены псевдовекторов (таких как угловая скорость или магнитное поле) такими кососимметричными матрицами.Понятно, что такие физические величины будут иметь n (n-1) / 2 независимых компонентов в n измерениях, что совпадает с числом измерений для трехмерного пространства, и поэтому векторы могут использоваться (и чаще всего используются) для представления таких количеств.

С этими обозначениями также часто намного проще работать, например, в эпиполярной геометрии.

Из общих свойств векторного произведения сразу следует, что

,
и

и из того факта, что асимметричный, следует, что

Вышеупомянутое тройное произведение (правило бак-кабины) может быть легко доказано с использованием этого обозначения.

Приведенное выше определение означает, что существует взаимно однозначное отображение между набором кососимметричных матриц 3 × 3, также известным как алгебра Ли из SO (3) , и операцией взятия перекрестного произведения с некоторым вектором.

[править] Индекс

Перекрестное произведение также можно определить с помощью символа Леви-Чивита,

, где индексы i , j , k соответствуют, как и в предыдущем разделе, ортогональным компонентам вектора.Эта характеристика перекрестного произведения часто выражается более компактно, используя соглашение Эйнштейна о суммировании как

, в котором повторяющиеся индексы суммируются от 1 до 3. Обратите внимание, что это представление является другой формой кососимметричного представления перекрестного произведения:

[править] Мнемоника

Слово xyzzy можно использовать для запоминания определения перекрестного произведения.

Если

где:

затем:

Второе и третье уравнения можно получить из первого, просто повернув индексы по вертикали: x y z x .Проблема, конечно, в том, как запомнить первое уравнение, и для этого доступны два варианта: либо запомнить соответствующие две диагонали схемы Сарруса (те, которые содержат i ), либо запомнить последовательность xyzzy.

Поскольку первая диагональ в схеме Сарруса — это просто главная диагональ вышеупомянутой матрицы, первые три буквы слова xyzzy можно очень легко запомнить.

[править] Приложения

[править] Вычислительная геометрия

Перекрестное произведение можно использовать для вычисления нормали для треугольника или многоугольника — операция, часто выполняемая в компьютерной графике.

В вычислительной геометрии плоскости перекрестное произведение используется для определения знака острого угла, определяемого тремя точками p 1 = ( x 1 , y 1 ), p 2 = ( x 2 , y 2 ) и p 3 = ( x 3 , y 3 ). Он соответствует направлению векторного произведения двух копланарных векторов, определяемых парами точек p 1 , p 2 и p 1 , p 3 , т.е.е., знаком выражения P = ( x 2 x 1 ) ( y 3 y 1 ) — ( y 2 y 1 ) ( x 3 x 1 ). В «правой» системе координат, если результат равен 0, точки лежат на одной прямой; если он положительный, три точки составляют отрицательный угол поворота вокруг p 2 от p 1 до p 3 , в противном случае — положительный угол.С другой стороны, знак P указывает, находится ли p 3 слева или справа от линии p 1 , p 2 .

[править] Другое

Перекрестное произведение входит в формулу векторного оператора curl. Он также используется для описания силы Лоренца, испытываемой движущимся электрическим зарядом в магнитном поле. Определения крутящего момента и углового момента также включают перекрестное произведение.

Уловка переписывания векторного произведения в терминах умножения матриц часто встречается в эпиполярной и многовидовой геометрии, в частности, при выводе ограничений сопоставления.

[править] Перекрестный продукт как внешний продукт

Перекрестное произведение по отношению к внешнему продукту. Красным цветом обозначены единичный вектор нормали и «параллельный» единичный бивектор.

Перекрестное произведение можно рассматривать с точки зрения внешнего продукта. Этот вид позволяет естественную геометрическую интерпретацию перекрестного произведения.Во внешнем исчислении внешнее произведение (или произведение клина) двух векторов является бивектором. Бивектор — это ориентированный плоский элемент, почти так же, как вектор — это ориентированный линейный элемент. Учитывая два вектора a и b , можно рассматривать бивектор a b как ориентированный параллелограмм, натянутый на a и b . Перекрестное произведение затем получается путем взятия двойника Ходжа бивектора a b , идентифицируя 2-вектора с векторами:

Его можно рассматривать как ориентированный многомерный элемент, «перпендикулярный» бивектору.Только в трех измерениях получается ориентированный линейный элемент — вектор — тогда как, например, в четырех измерениях двойственный по Ходжу бивектор является двумерным — еще один ориентированный плоский элемент. Таким образом, только в трех измерениях перекрестное произведение a и b является вектором, двойственным к бивектору a b : оно перпендикулярно бивектору, с ориентацией, зависящей от руки системы координат, и имеет такую ​​же величину относительно единичного вектора нормали, какую имеет a b относительно единичного бивектора; именно свойства, описанные выше.

[править] Перекрестное произведение и ручность

Когда измеряемые величины включают перекрестные произведения, вращение используемых систем координат не может быть произвольным. Однако, когда законы физики записываются в виде уравнений, должна быть возможность сделать произвольный выбор системы координат (включая ручку). Чтобы избежать проблем, нужно быть осторожным и никогда не записывать уравнение, в котором две стороны не ведут себя одинаково при всех преобразованиях, которые необходимо учитывать.Например, если одна сторона уравнения является перекрестным произведением двух векторов, необходимо принять во внимание, что, когда направленность системы координат равна , а не фиксированной априори, результатом будет не (истинный) вектор, а псевдовектор. . Следовательно, для единообразия другая сторона должна также быть псевдовектором. [ необходима ссылка ]

В более общем смысле, результатом перекрестного произведения может быть вектор или псевдовектор, в зависимости от типа его операндов (векторы или псевдовекторы).А именно, векторы и псевдовекторы связаны между собой следующим образом при применении кросс-произведения:

  • вектор × вектор = псевдовектор
  • вектор × псевдовектор = вектор
  • псевдовектор × псевдовектор = псевдовектор

Поскольку перекрестное произведение также может быть (истинным) вектором, оно не может изменять направление при преобразовании зеркального изображения. Это происходит, согласно приведенным выше отношениям, если один из операндов является (истинным) вектором, а другой — псевдовектором ( e.грамм. , произведение двух векторов). Например, векторное тройное произведение, включающее три (истинных) вектора, является (истинным) вектором.

Безрукий подход возможен с использованием внешней алгебры.

[править] Обобщения

Есть несколько способов обобщить перекрестное произведение на более высокие измерения.

[править] Алгебра Ли

Основная статья: алгебра Ли

Перекрестное произведение можно рассматривать как одно из простейших произведений Ли, и поэтому оно обобщается алгебрами Ли, которые аксиоматизируются как бинарные произведения, удовлетворяющие аксиомам полилинейности, кососимметрии и тождества Якоби.Существует множество алгебр Ли, и их изучение является важной областью математики, называемой теорией Ли.

Например, алгебра Гейзенберга дает другую структуру алгебры Ли в базисе { x , y , z }, произведение [ x , y ] = z , [ x , z ] = [ y , z ] = 0.

[править] Использование октонионов

Основная статья: Семимерное перекрестное произведение

Перекрестное произведение для 7-мерных векторов может быть получено таким же образом, используя октонионы вместо кватернионов.Отсутствие таких перекрестных произведений двух векторов в других измерениях связано с тем результатом, что единственными нормированными алгебрами с делением являются алгебры размерности 1, 2, 4 и 8.

[править] Клин продукт

Основная статья: Внешняя алгебра

В общем измерении нет прямого аналога двоичного кросс-произведения. Однако существует произведение клина, которое имеет аналогичные свойства, за исключением того, что произведение клина двух векторов теперь является 2-вектором, а не обычным вектором.Как упоминалось выше, перекрестное произведение можно интерпретировать как произведение клина в трех измерениях после использования двойственности Ходжа для идентификации 2-векторов с векторами.

Произведение клина и скалярное произведение могут быть объединены в произведение Клиффорда.

[править] Полилинейная алгебра

В контексте полилинейной алгебры перекрестное произведение можно рассматривать как (1,2) -тензор (смешанный тензор), полученный из формы трехмерного объема, [примечание 1] a (0,3) — тензор, подняв индекс.

Подробно, трехмерная объемная форма определяет продукт, взяв определитель матрицы, заданной этими тремя векторами. По двойственности это эквивалентно функции (фиксация любых двух входов дает функцию путем вычисления на третьем входе) и при наличии внутреннего продукта (такого как скалярное произведение; в более общем смысле невырожденная билинейная форма), у нас есть изоморфизм, и, таким образом, это дает карту, которая является перекрестным произведением: (0,3) -тензор (3 векторных входа, скалярный выход) был преобразован в (1,2) -тензор (2 векторных входа, 1 векторный вывод) «поднятием индекса».

Переводя вышеуказанную алгебру в геометрию, функция «объем параллелепипеда, определенный формулой ( a , b , -)» (где первые два вектора фиксированы, а последний является входом), которая определяет функцию, может быть представлено однозначно как скалярное произведение с вектором: этот вектор является перекрестным произведением. С этой точки зрения, перекрестное произведение — , определенное скалярным тройным произведением,

Таким же образом в более высоких измерениях можно определить обобщенные перекрестные произведения, увеличивая индексы формы n -мерного объема, которая является (0, n ) -тензором.Самым прямым обобщением перекрестного произведения является определение:

  • a (1, n -1) -тензор, который принимает в качестве входных данных n -1 векторов и дает в качестве выходных 1 вектор — ( n -1) -значное векторное произведение, или
  • a ( n -2,2) -тензор, который принимает на вход 2 вектора и дает на выходе кососимметричный тензор ранга n −2 — двоичное произведение с рангом n −2 значений тензора.

Можно также определить ( k , n k ) -тензоры для других k.

Все эти произведения являются полилинейными и кососимметричными, и их можно определить в терминах определителя и четности.

( n — 1) -арное произведение можно описать следующим образом: для данных n — 1 векторов определяют их обобщенное перекрестное произведение как:

  • перпендикулярно гиперплоскости, определяемой v i ,
  • Величина
  • — это объем параллелоэдра, определяемый v i , который может быть вычислен как определитель Грама для v i ,
  • сориентирован так, чтобы

Это уникальное полилинейное чередующееся произведение, вычисляющее циклические перестановки индексов и т. Д.

В координатах можно дать формулу для этого n -арного аналога перекрестного произведения в R n +1 по:

Эта формула идентична по структуре формуле определителя для нормального перекрестного произведения в R 3 за исключением того, что строка базисных векторов является последней строкой в ​​определителе, а не первой. Причина в том, чтобы упорядоченные векторы ( v 1 ,…, v n , Λ ( v 1 , …, v n )) имеют положительную ориентацию относительно ( e 1 , …, e n +1 ). Если n четное, эта модификация оставляет значение без изменений, поэтому это соглашение согласуется с обычным определением двоичного произведения. Однако в случае, если n нечетное, различие должно быть сохранено. Эта n -арная форма обладает многими из тех же свойств, что и векторное векторное произведение: она является чередующейся и линейной по своим аргументам, она перпендикулярна каждому аргументу, а ее величина дает гиперобъем области, ограниченной аргументами.И так же, как векторное векторное произведение, его можно определить независимо от координат как двойственное по Ходжу произведение клина аргументов.

[править] История

В 1773 году Жозеф Луи Лагранж ввел компонентную форму как скалярных произведений, так и перекрестных произведений, чтобы изучить тетраэдр в трех измерениях. [3] В 1843 году ирландский физик-математик сэр Уильям Роуэн Гамильтон ввел кватернионное произведение, а вместе с ним и термины «вектор» и «скаляр».Для двух кватернионов [0, u ] и [0, v ], где u и v являются векторами в R 3 , их кватернионный продукт можно суммировать как [- u · v , u × v ]. Джеймс Клерк Максвелл использовал инструменты кватернионов Гамильтона для разработки своих знаменитых уравнений электромагнетизма, и по этой и другим причинам кватернионы какое-то время были важной частью физического образования.

Однако Оливер Хевисайд в Англии и Джозия Уиллард Гиббс в Коннектикуте считали методы кватернионов слишком громоздкими, часто требуя извлечения скалярной или векторной части результата.Таким образом, примерно через сорок лет после кватернионного произведения были введены скалярное произведение и кросс-произведение, что вызвало ожесточенное противодействие. Решающим фактором (в конечном итоге) принятия была эффективность нового подхода, позволившая Хевисайду сократить уравнения электромагнетизма с оригинальных 20 Максвелла до четырех, обычно встречающихся сегодня.

В значительной степени независимый от этого развития и в значительной степени недооцененный в то время, Герман Грассман создал геометрическую алгебру, не привязанную к измерению два или три, с внешним продуктом, играющим центральную роль.Уильям Кингдон Клиффорд объединил алгебры Гамильтона и Грассмана, чтобы создать алгебру Клиффорда, где в случае трехмерных векторов бивектор, полученный из двух векторов, дуализируется в вектор, таким образом воспроизводя перекрестное произведение.

Перекрестное обозначение, которое началось с Гиббса, послужило источником названия «перекрестное произведение». Первоначально появившийся в частных заметках для своих учеников в 1881 году как Элементы векторного анализа , обозначение Гиббса — и название — позже стало известно более широкой аудитории через векторный анализ (Гиббс / Уилсон), учебник бывшего студента.Эдвин Бидвелл Вильсон переработал материал лекций Гиббса вместе с материалами из публикаций Хевисайда, Фёпса и Гамильтона. Он разделил векторный анализ на три части:

« Во-первых, то, что касается сложения и скалярных и векторных произведений векторов. Во-вторых, то, что касается дифференциального и интегрального исчисления в его отношениях со скалярными и векторными функциями. В-третьих, то, что содержит теорию линейной векторной функции. . «

Были определены два основных вида умножения векторов, и они назывались следующим образом:

  • прямое , скалярное или точечное произведение двух векторов
  • перекос , вектор или скрещивание произведение двух векторов

Были также исследованы несколько видов тройных продуктов и продуктов более чем трех векторов. Под формой объема понимается функция, которая принимает n векторов и выдает масштабатор, объем параллелотопа, определяемый векторами: Это n -арная полилинейная кососимметричная форма. При наличии основы, такой как на этом определитель, но в абстрактном векторном пространстве это добавленная структура.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *