Вектор длина которого равна 1 называется: основные понятия и определения, формулы и онлайн калькуляторы — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Определение вектора. Виды векторов — МегаЛекции

Математические или физические величины, которые характеризуются только числом, измеряющим их в определенных единицах меры, называют скалярными или скалярами. Скалярами являются, например масса, объем и т.п.

Кроме скалярных величин существуют величины векторные (скорость, ускорение, сила и т.п.)

Вектором называется величина, которая характеризуется числом, измеряющим ее в определенных единицах меры, и направлением в пространстве. Обозначается вектор или буквой со стрелкой , или жирной буквой a.

Число , измеряющее вектор в определенных единицах меры, называется модулем или длиной вектора. Зачастую обозначают простой буквой а.

Геометрически вектор изображают отрезком со стрелкой. Направление стрелки указывает направление вектора в пространстве, а длина отрезка изображает модуль вектора (см. рис. 1а).

Рис. 1

Два вектора называются равными, если равны их длины и совпадают направления.

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым. Его направление не определено.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Вектор называется противоположным вектору , так как его длина равна длине вектора и он имеет обратное направление.

Единичный вектор расположенный параллельно вектору , может быть определен соотношением . Соответственно, любой вектор может быть представлен в виде .

Проекцией вектора на направление единичного вектора называется вектор , направление которого совпадает с направлением единичного вектора , а длина равна произведению длины вектора на косинус угла между векторами и (см. рис. 2):

, где

Рис.2

В зависимости от видов допускаемых инвариантных[†] преобразований векторы как математическое понятие могут быть разделены на три типа.

1. Простые векторы, которые обычно мы называем одним словом вектор. Инвариантным преобразованием для векторов является параллельный перенос в произвольном направлении (см. рис.1.а).

2. Аксиальные векторы. Эти векторы могут располагаться только вдоль определенного направления (см. рис. 1.б). Инвариантным преобразованием для аксиального вектора является его перенос вдоль этого направления.

3. Радиус – вектор соединяет начало координат с точкой, имеющей определенные координаты x, y, z. Для радиус – вектора ни параллельный перенос, ни вращение инвариантными преобразованиями не являются.

Сложение и вычитание векторов

Суммой двух векторов и называется вектор, совпадающий с замыкающей стороной треугольника, построенного на данных двух векторах (см. рис. 1.а).

Рис.4

Правило сложения векторов:

1. ,

2. .

Эти законы позволяют находить сумму любого числа векторов. На рис. 3.б приведено сложение четырех векторов.

Если многоугольник, построенный на данных векторах, окажется замкнутым так, что конец последнего слагаемого вектора совпадет с началом первого слагаемого, то сумма данных векторов будет равна нулю.

И обратно, если сумма некоторых векторов равна нулю, то построенный на этих векторах многоугольник будет замкнутым.

Разностью двух векторов называется сумма вектора с вектором , противоположным вектору (см. рис. 4):

Рис.4

Умножение вектора на число

Произведением скаляра на вектор называется вектор, длина которого равна , а направление его совпадает с направлением , если , и противоположно , если . Произведение вектора на скаляр подчиняется законам умножения чисел:

Произведение векторов

Из двух векторов можно образовать два существенно различных произведения: скалярное и векторное.

Скалярное произведение

Скалярным произведением двух векторов и называется произведение модулей этих векторов на косинус угла между этими векторами: . Эквивалентной формой записи скалярного произведения является выражение .

Пусть — единичный вектор, , тогда , т. е. скалярное произведение любого вектора на единичный вектор определяет величину проекции вектора на направление этого единичного вектора.

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

1. ;

2. .

Если векторы и взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение . И обратно, если скалярное произведение двух отличных от нуля векторов равно нулю, то эти векторы взаимно перпендикулярны.

Векторное произведение

Векторным произведением двух векторов и называется

вектор или в эквивалентной форме , который

а) направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора и , в сторону поступательного перемещения правого винта, если его вращать от первого сомножителя ко второму в направлении наименьшего угла между векторами;

б) имеет длину, равную произведению длин векторов и на синус угла между ними (см. рис. 1): .

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

;

Рис.5

Произведение трех векторов

Из трех произвольных векторов и и можно образовать два существенно различных произведения: смешанное и двойное векторное произведение.

Смешанное произведение трех векторов

Смешанным произведением трех векторов , и называется скалярное произведение одного из них на векторное произведение двух других:

Абсолютная величина смешанного произведения трех векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих трех векторах.

С помощью смешанного произведения трех векторов решается вопрос об их компланарности.

Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях. Очевидно, любые два вектора являются компланарными.

Три вектора не всегда компланарны. Для того, чтобы три вектора были компланарными необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Двойное векторное произведение

Двойным векторным произведением трех векторов называется векторное произведение одного из них на векторное произведение двух других.

Вектор, получившийся в результате двойного векторного произведения , лежит в плоскости векторов и и может быть представлен выражением

Координатная форма представления векторов

В системе координат XYZопределим единичные векторы в направлении OX, OYи OZкак . Тогда произвольный вектор может быть представлен в виде суммы трех взаимно перпендикулярных векторов, направленных по осям координат: ,

где скаляры — проекции вектора на координатные оси OX, OYи OZсоответственно.

Векторы и взаимно перпендикулярны друг другу, поэтому для них выполняются соотношения:

;

Радиус – вектор, проведенный из начала координат в некоторую точку М с координатами (x;y;z), также может быть определен в координатной форме (рис.6): .

Рис.6

Правила действия над векторами, заданными в координатной форме:

1. Сложение и вычитание.

2. Скалярное произведение.

3. Векторное произведение.

Из формул для скалярного произведения двух векторов можно получить формулу для вычисления модуля произвольного вектора :

С другой стороны,

Поэтому .

Если — единичный вектор. Тогда его проекциями на оси координат будут косинусы углов , образованных единичным вектором с осями координат OX, OY, OZсоответственно. Из предыдущей формулы, записанной для случая единичного вектора, получим условие .

Отметим, что направляющие косинусы можно определить и для любого произвольного вектора :

Из формулы для скалярного произведения двух векторов можно получить также выражение, определяющее косинус угла между этими векторами:

Формулы дифференциального исчисления

Формулы интегрального исчисления

Соотношение между внесистемными единицами и единицами СИ

Длина	1 ангстрем ( ) =
Время	1 сут = 86400 с, 1 год = 365,25 сут =
Плоский угол
Объем, вместимость
Масса	,
Сила
Работа, энергия	, ,
Мощность
Давление	, , ,
Напряжение (механическое)
Частота вращения	,
Концентрация частиц
Теплота (количество теплоты)	,

Эффективный диаметр молекул, динамическая вязкость и теплопроводность газов при нормальных условиях

Вещество	Эффективный диаметр ,	Динамическая вязкость ,	Теплопроводность ,
Азот Аргон Водород Воздух Гелий Кислород Пары воды	0,38 0,35 0,28 – 0,22 0,36 –	16,6 21,5 8,66 17,2 – 19,8 8,32	24,3 16,2 24,1 – 24,4 15,8

Динамическая вязкость жидкостей при

Вода …………………. .……………….…… 1,00

Глицерин ………………………………….. 1480

Масло касторовое ………………….……… 987

Масло машинное ………………………….. 100

Ртуть ……………………….…………….… 1,58

Основные физические постоянные

(округленные с точностью до трех значащих цифр)

Нормальное ускорение свободного падения ………..

Гравитационная постоянная ……………

Постоянная Авогадро ………………..………

Молярная газовая постоянная …………….

Стандартный объем ^*……………………….

Постоянная Больцмана ……………………….

Атомная единица массы ………………………

* Молярный объем идеального газа при нормальных условиях

[*] Бесконечно малый угол поворота , может быть представлен в виде вектора, направленного вдоль оси вращения. Это возможно, когда радиус-вектор можно считать неизменным. Определение векторного произведения двух векторов см. в приложении (стр. 103).

[†] Инвариантностью в математике называется свойство неизменности по отношению какому либо преобразованию (условию) или совокупности преобразований.

Воспользуйтесь поиском по сайту:

N-МЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ

На предыдущую страницу На главную На следующую страницу

N-МЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ

2.1 Линейные операции над n-мерными векторами

2.2 Скалярное произведение и длина n-мерных векторов

2.3 Угол между n-мерными векторами

2.4 Коллинеарные векторы

2.5 Разложение вектора по системе векторов

2.6 Векторная форма записи системы линейных уравнений

2.7 Задания

2.1 Линейные операции над n-мерными векторами

В геометрии вектором в пространстве называется направленный отрезок. В фиксированной системе координат каждый вектор а однозначно определяется своими координатами:

(1)

где называются координатами вектора a.

Если – какой-либо другой вектор, то

(2)

(3)

где к – число.

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.

Обобщим понятие вектора следующим образом: назовем последовательность n чисел n-мерным вектором. Число a₁ называется первой координатой вектора a; a₂– второй координатой и т.д., а число n (количество координат) называется размерностью вектора а.

Если , , то ,

Два n-мерных вектора:

считаются равными только тогда, когда равны их соответствующие координаты , , .

Очевидно, что для любого вектора а: , где

Вектор O называется нулевым.

Вектор (-1)a называется противоположным вектору a и обозначается -a, т. е. Ясно, что и .

Так как операции над n-мерными векторами определяются через операции над их координатами, то свойства арифметических операций справедливы и для операций над векторами.

(сложение коммутативно).
(сложение ассоциативно).
, (сложение дистрибутивно, где к, к₁, к₂– некоторые вещественные числа).

2.2 Скалярное произведение и длина n-мерных векторов

Как известно из геометрии, если векторы а и в заданы своими координатами и , то их скалярное произведение ав определяется по формуле:

По аналогии скалярным произведением n-мерных векторов , , называется число

Некоторые свойства произведения чисел справедливы и для скалярного произведения векторов:

причем аа=0 тогда и только тогда, когда а=0 (нулевой вектор).

Длиной n-мерного вектора a называется число . Длина вектора a обозначается .

Из 4-го свойства скалярного произведения векторов вытекает, что каждый n-мерный вектор a обладает длиной, причем нулевой вектор O, является единственным вектором, длина которого равна нулю.

Если а и в n-мерные векторы, то справедливы следующие числовые соотношения:

, к — число
(неравенство Коши-Буняковского)
(неравенство треугольника)

Вектор называется нормированным, если его длина равна 1. Каждый вектор а можно нормировать, т.е. умножить на число к, чтобы вектор ка был нормированным.

В самом деле:

2.3 Угол между n-мерными векторами

Из неравенства Коши-Буняковского

следует

Углом между n-мерными векторами а и в называется значение, которое получается из решения уравнения:

(4)

и принадлежит отрезку

Причем решение единственно при любых и Следовательно, и угол между векторами а и в определен однозначно.

Перепишем соотношение (4) в виде

отсюда следует, что скалярное произведение векторов а и в равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Геометрическая характеристика векторов – длина вектора и угол между векторами – позволяет сформулировать критерий равенства n-мерных векторов.

Теорема. Ненулевые n-мерные вектора а и в равны тогда и только тогда, когда угол между ними равен нулю и длины этих векторов равны.

2.4 Коллинеарные векторы

Два ненулевых n — мерных вектора называются коллинеарными, если угол между ними равен 0 или π.

Если =0 то коллинеарные векторы считаются одинаково направленными, если же =π, то коллинеарные векторы противоположно направлены.

Символическая запись означает, что векторы а и в одинаково (противоположно) направлены.

Ненулевые векторы а и в коллинеарны, тогда и только тогда, когда можно подобрать такое к (число), что в=ка.

2.5 Разложение вектора по системе векторов

Пусть дана система n -мерных векторов , выбираем n – произвольных чисел .

Вектор называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами .

Пусть теперь наряду с векторами дан еще n-мерный вектор в. Будем говорить, что вектор в линейно выражается через векторы , если он равен некоторой линейной комбинации векторов , т.е. найдется такой набор чисел , что

(5)

В этом случае будем говорить также, что вектор в разлагается по векторам . Числа называются коэффициентами разложения вектора в по системе .

Разложение считается отличным от разложения (5), если различна хотя бы одна пара соответствующих коэффициентов разложения (т.е. хотя бы один ).

Справедливы следующие утверждения:

1. Нулевой вектор O разлагается по каждой системе векторов

2.Если вектор в разлагается по части системы векторов , где , то он разлагается и по всей системе векторов.

Предположим, что

тогда

3. Каждый n-мерный вектор разлагается по диагональной системе n-мерных векторов

с коэффициентами, которые равны координатам вектора в.

В самом деле

4. Если вектор а разлагается по системе векторов , а каждый вектор этой системы разлагается по системе векторов , то вектор а разлагается по системе векторов .

Из условия следует, что

После подстановки получаем:

Т.е. вектор а разлагается по векторам .

2.6 Векторная форма записи системы линейных уравнений

Используя введенные операции над векторами, запишем систему линейных уравнений:

(1)

в векторной форме. Обозначим столбцы коэффициентов при неизвестных

Тогда систему (1) можно представить в виде:

Уравнение (2) называется векторной формой системы линейных уравнений (1).

Последовательность чисел называют решением системы (2), если – верное векторное равенство.

Пусть n-мерный вектор () является решением системы (1). Тогда ясно, что для разложения вектора в по системе достаточно найти решение системы линейных уравнений (2).

Пример. Дана система векторов и вектор в

Пример. Выяснить разлагается ли вектор в по системе векторов . Для этого необходимо решить систему уравнений Имеем:

Получили систему уравнений:

которая эквивалентна исходной (т.е. имеет то же множество решений). Выразим главные неизвестные x₁и x₂ через свободные x₃и x₄. Получим общее решение:

Достаточно положить свободным неизвестным x₃и x₄ произвольные значения и получить разложение вектора в по системе векторов .

Пример. , тогда и .

Следовательно:

Если же , тогда , и

2.7 Задания

1. Найти разложение вектора В по диагональной системе (упражнение 1).

2. Найти разложение вектора В по системе А1, А2, А3 (упражнение 2).

3. Найти разложение вектора В по векторам А1, А2, А3 (упражнение 3).

4. Разложить каждый вектор системы А1, А2, …, Аn по векторам этой системы.

5. Доказать, что если векторы В1 и В2 разлагаются по системе векторов А1, А2, …, Аn, то векторы В1+В2, k×B1, t1×B1+t2×B2 также разлагаются по системе векторов А1, А2, …, Аn (k, t1, t2 – константы).

6. Вектор В разлагается по системе векторов А1, А2, …, Аm. Доказать, что каждый вектор системы В+А1, В+А2,…, В+Аm разлагается по системе А1, А2, …, Аm.

Упражнения 1, 2, 3 выполняются по вариантам, остальные – без вариантов.

Таблица 1

Наверх

На предыдущую страницу На главную На следующую страницу

Понятие вектора и линейных операций над векторами

Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь

КАТЕГОРИИ:

Археология
Биология
Генетика
География
Информатика
История
Логика
Маркетинг
Математика
Менеджмент
Механика
Педагогика
Религия
Социология
Технологии
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву

Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 7Следующая ⇒

Вектор – направленный отрезок, заданной длины.

Модуль вектора – длина вектора.

, где – координаты вектора

Единичный вектор – вектор, длина которого равна 1.

Нулевой вектор – вектор, начало которого совпадает с его концом.

· Вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину, лежат на параллельных прямых или на одной прямой, и направлены в одном направлении. Вектора также равны, если их координаты равны.

· Два вектора ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю.

· Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами.

Условия коллинеарности векторов:

1. Два вектора и коллинеарны, если существует число n такое, что .

2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны (не применимо если одна из координат равна 0).

3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

· Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Условия компланарности векторов:

1. Два отдельно взятых вектора всегда компланарны

2. Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

3. Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

4. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.

Свойства вектора, умноженного на число. Если , то:

2. , при , и , при

Нелинейная операция скалярного произведения двух векторов

= | | · | | · cos α

Проекция вектора на ось. Свойства проекции вектора на ось

Проекция вектора на ось – это длина отрезка этой оси , который расположен между основаниями проекций начала и конца вектора на ось .

Она берется со знаком плюс, если направление отрезка совпадает с направлением оси проекций, и со знаком минус, если эти направления противоположны.

Угол между вектором и осью – это угол, на который необходимо кратчайшим образом повернуть ось, чтобы она совпадала с направлением вектора.

Свойства проекций:

· равные векторы имеют равные проекции;

· при умножении вектора на число m его проекция на ось также умножается на то же число;

· проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций этих векторов;

Направляющие косинусы вектора. Свойства направляющих косинусов

Направляющие косинусы вектора – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.

Свойство направляющих косинусов. Сумма квадратов направляющих косинусов равна 1.

(для плоскости: )

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Читайте также:

Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США

Последнее изменение этой страницы: 2021-04-12; просмотров: 29; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 161.97.168.212 (0.008 с.)

Единичный вектор — формула, определение, расчет, обозначение

Векторы — это геометрические объекты, имеющие величину и направление. Векторы имеют начальную точку и конечную точку, которая представляет конечное положение точки. К векторам можно применять различные арифметические операции, такие как сложение, вычитание и умножение. Вектор, величина которого равна 1, называется единичным вектором. Например, вектор v = (1, 3) не является единичным, поскольку его модуль не равен 1, т. е. |v| = √(1 ² +3 ² ) ≠ 1.

Любой вектор может стать единичным вектором, если мы разделим его на величину того же заданного вектора. Единичный вектор также иногда называют вектором направления. Давайте узнаем больше об единичном векторе, его формуле вместе с несколькими решенными примерами.

9. Длина единичных векторов равна 1. Единичные векторы обычно используются для обозначения направления вектора. Единичный вектор имеет то же направление, что и данный вектор, но имеет величину, равную одной единице; Для вектора A ; единичный вектор; $\шляпа{А}$ и $\шляпа{А} = (1/|А|)\шляпа{А}$

i , j и k единичные векторы в направлениях осей x, y и z соответственно в трехмерной плоскости. то есть

| и | = 1
| и | = 1
| к | = 1

Величина вектора

Величина вектора дает числовое значение для данного вектора. Вектор имеет как направление, так и величину. Величина векторной формулы суммирует отдельные измерения вектора по осям x, y и z. Величина вектора A равна | А |. Для данного вектора с направлением вдоль оси x, оси y и оси z величина вектора может быть получена путем вычисления квадратного корня из суммы квадратов его соотношений направлений. Давайте ясно поймем это из приведенной ниже величины векторной формулы.

Для вектора A = a i + b j + c k его величина равна:
| А | = √(a ² + b ² + c ² )

Например, если A = 1 i + 2 j + 3 k, 3 k | А | = √(1 ² +2 ² +2 ² ) = √9 = 3 единицы.

Обозначение единичного вектора

Единичный вектор представлен символом ‘^’, который называется кепкой или шляпой, например $\hat{a}$. Это определяется как $\шляпа{а}$ = и /| и | Где | и | для нормы или величины вектора a . Его можно рассчитать с помощью формулы единичного вектора или с помощью калькулятора.

Единичный вектор в трехмерном пространстве

Единичные векторы i , j и k обычно представляют собой единичные векторы вдоль оси x, оси y и оси z соответственно. Каждый вектор, существующий в трехмерном пространстве, может быть выражен как линейная комбинация этих единичных векторов. Скалярное произведение двух единичных векторов всегда является скалярной величиной. С другой стороны, перекрестное произведение двух заданных единичных векторов дает третий вектор, перпендикулярный (ортогональный) к ним обоим.

Единица измерения вектора нормали

«Вектор нормали» — это вектор, перпендикулярный поверхности в определенной точке. Его также называют «нормальным» к поверхности, содержащей вектор. Единичный вектор, полученный после нормализации вектора нормали, является единичным вектором нормали, также известным как «единичная нормаль». Для этого разделим ненулевой вектор нормали на его векторную норму.

Формула единичного вектора

Поскольку векторы имеют как величину (значение), так и направление, они показаны стрелкой. В частности, $\hat{a}$ обозначает единичный вектор. Если мы хотим найти единичный вектор любого вектора, мы делим его на величину вектора. Обычно координаты x, y, z используются для представления любого вектора.

Вектор можно представить двумя способами:

1. a = (x, y, z) с помощью скобок.

2. a = x i + y j +z k

Формула модуля вектора:
| a |= √ (x ² + y ² + z ² )

Величина вектора

Как рассчитать единичный вектор?

Чтобы найти единичный вектор с тем же направлением, что и заданный вектор, просто разделите вектор на его модуль. Например, рассмотрим вектор v = (3, 4), величина которого равна | против |. Если мы разделим каждый компонент вектора v на | против | чтобы получить единичный вектор $\hat{v}$, который имеет то же направление, что и v.

| против | = √ (3 ² + 4 ² ) = 5

Таким образом, $\шляпа{v}$ = v / | против | = (3, 4) / 5 = (3/5, 4/5).

Как представить вектор в формате скобок?
Если a = (x, y, z), то единичный вектор в направлении a в формате скобок равен
. $\шляпа{а}$ = /| и | = (x, y, z)/ √ (x ² + y ² + z ² ) = (x/ √ (x ² + y ² + z ²), Y/ √ (x ² + y ² + z ²), z/ √ (x ² + y ² + z ² ) )

Как представить вектор в формате компонента единичного вектора?
Если a = x i + y j + z k является вектором, то единичный вектор в направлении a в компонентном формате равен
$\шляпа{а}$ = и /| и | = (x I + Y J + z K )/ √ (x ² + y ² + z ²) = x/ √ (x ² + y y. ² + z ² ). i + у/ √ (x ² + у ² + z ² ) . j + z/ √ (x ² + y ² + z ² ). к
Где x, y, z представляют значение вектора вдоль оси x, оси y, оси z соответственно и
$\hat{a}$ — единичный вектор, a — вектор, | и | — величина вектора, i , j , k — направленные единичные векторы вдоль осей x, y и z соответственно.

Применение единичного вектора

Единичные векторы задают направление вектора. Единичные векторы могут существовать как в двух, так и в трехмерных плоскостях. Каждый вектор может быть представлен своим единичным вектором в виде его компонентов. Единичные векторы вектора направлены вдоль осей.

В трехмерной плоскости вектор v будет определяться тремя перпендикулярными осями (осями x, y и z). В математических обозначениях единичный вектор вдоль оси x представлен как i . Единичный вектор вдоль оси Y представлен как j , а единичный вектор вдоль оси Z представлен как k .

Таким образом, вектор v может быть записан как:

v = x i + y j + z k

Электромагнетизм имеет дело с электрическими и магнитными силами. Здесь векторы пригодятся для представления и выполнения расчетов с участием этих сил. В повседневной жизни векторы могут представлять скорость самолета или поезда, где необходимы как скорость, так и направление движения.

Свойства векторов

Свойства векторов помогают получить подробное представление о векторах, а также выполнять многочисленные вычисления с использованием векторов. Здесь перечислены некоторые важные свойства векторов.

А . Б = Б . А
А × В ≠ В × А
и . i = j . Дж = К . к = 1
и . Дж = Дж . к = к . я = 0
i × i = j × j = k × k = 0
i × j = k ; j × k = i ; к × i = j
j × i = — k ; k × j = — i ; i × k = — j
Скалярное произведение двух векторов является скаляром и лежит в плоскости двух векторов.
Перекрестное произведение двух векторов — это вектор, который перпендикулярен плоскости, содержащей эти два вектора.

☛ Связанные темы:

Векторные величины
Калькулятор векторного вычитания
Векторные формулы
Калькулятор скалярного произведения

Важные замечания по единичным векторам:

Скалярное произведение ортогональных единичных векторов всегда равно нулю.
Перекрестное произведение параллельных единичных векторов всегда равно нулю.
Два единичных вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулю.
Норма вектора — это действительное неотрицательное значение, представляющее его величину.

Примеры на единичном векторе

Пример 1: Найдите единичный вектор в направлении 3i + 4j — 5k.
Решение: Данный вектор A = 3 i + 4 j — 5 k
Его величина равна,
| А | = √(3 ² + 4 ² + (-5) ² )
= √(9 + 16 + 25)
= √50
= 50
= 90 002 направление данного вектора:
$\шляпа A$ = A /| А |
= (3 i + 4 j — 5 k ) / (5√2)
Ответ: Следовательно, единичный вектор равен (3/5√2) i + (4/5√2) j — (5/5√2) k .
Пример 2: Найти вектор величиной 8 единиц и в направлении вектора i — 7 j + 2 k .
Решение: Дан вектор A = i — 7 j + 2 k .
| А | = √(1 ² + (-7) ² + (2) ² )
= √(1 + 49 + 4)
= √54
= 3√6
Единичный вектор можно рассчитать по приведенной ниже формуле.
$\шляпа A$ = A /| А |
= ( i — 7 j + 2 k ) / (3√6)
/ (3√6)
Ответ: Следовательно, вектор величины 8 единиц = (4√6/9) · ( i — 7 j + 2 k ).
Пример 3: Найти единичный вектор, параллельный равнодействующей векторов A = 2 i — 3 j + 4 k и B = — 7 i 5 0 + 2 к .
Решение:
Результирующий вектор данных двух векторов:
A + B = (2 i — 3 j + 4 k ) + (- i + 5 j — 2 k ) = i + 2 7 j + 2 .
Его величина равна,
| А + В | = √(1 ² + 2 ² + 2 ² )
= √(9)
= 3
вектор по его величине. Таким образом, искомый единичный вектор равен
( А + В ) / | А + В | Ответ: + 2/3 j + 2/3 k .

перейти к слайду перейти к слайду перейти к слайду

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы по Unit Vector

Что такое определение единичного вектора?

Вектор с величиной 1 является единичным вектором . Он также известен как вектор направления, поскольку обычно используется для обозначения направления вектора. Векторы i , j , k являются единичными векторами вдоль оси x, оси y и оси z соответственно.

Как найти единичный вектор с тем же направлением, что и заданный вектор?

Чтобы найти единичный вектор с тем же направлением, что и заданный вектор, мы делим вектор на его величину. Например, рассмотрим вектор v = (1, 4), величина которого равна |v|. Если мы разделим каждую компоненту вектора v на |v| мы получим единичный вектор $\hat v$, который находится в том же направлении, что и v.

Для чего используется единичный вектор?

Единичные векторы используются только для указания направления вектора. Единичные векторы существуют как в двух, так и в трехмерных плоскостях. Каждый вектор имеет единичный вектор в виде своих компонентов. Единичные векторы вектора направлены вдоль осей.

Что такое формула единичного вектора?

Единичный вектор $\hat{A}$ получается делением вектора A на его модуль | А |. Единичный вектор имеет те же координаты направления, что и заданный вектор. $\шляпа{А}$ = А /| А |.

Что такое нормальный единичный вектор?

Единичный вектор нормали к двумерной кривой — это вектор с величиной 1, перпендикулярный кривой в некоторой точке. Обычно вы ищете функцию, которая дает вам все возможные единичные векторы нормалей данной кривой, а не только один вектор.

Как найти единичный вектор, перпендикулярный двум векторам?

Перемножение двух непараллельных результатов дает вектор, который является вектором, перпендикулярным им обоим. Итак, для заданных двух векторов x и y мы знаем, что x × y будет вектором, перпендикулярным как x , так и y . Далее, чтобы найти единичный вектор этого результирующего вектора, мы делим его на его величину. т. е. ( x × г ) / | x × y |, это дало бы единичный вектор, который перпендикулярен заданным двум векторам.

Когда два вектора считаются параллельными?

Два или более вектора параллельны, если они движутся в одном направлении. Кроме того, векторное произведение параллельных векторов всегда равно нулю.

SpaceRn

По аналогии с предыдущими конструкциями ( R ² и R ³ ) можно считать сборку всех заказанных n ‐кортежи действительных чисел ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) и аналогичные скалярные операции сложения.

Это называется N — пространство (обозначено R ^N), а векторы в R ^N — N . Стандартные базисные векторы в R ⁿ есть

, где e _k имеет 1 на k -м месте и нули в других местах. На всех рисунках выше точки и векторы изображены в R ² и R ³ . Хотя невозможно нарисовать такие диаграммы для иллюстрации геометрических фигур в R ⁿ, если n > 3, то есть с ними можно работать алгебраически , и в этом заключается реальная мощь алгебраической машины.
Пример 1 : Рассмотрим векторы a = (1, 2, −3), b = (0, 1, −4, 2) и c = (5, −1, −1, 1) в р ⁴ . Определить вектор 2 a − b + c .
Расширьте определения скалярного умножения и сложения векторов естественным образом для векторов в R ⁴ для вычисления

Пример 2 : Определить сумму стандартных базисных векторов e ₁ , e ₃ и e ₄ в 3 4 R

Все векторы в R ⁵ состоят из пяти компонентов. Четыре компонента в каждом из стандартных базисных векторов в R ⁵ равны нулю, а одна компонента — первая в e ₁ , третья в e ₃ , а четвертый в e ₄ — имеет значение 1. Следовательно,

Норма вектора . The length (or Euclidean norm ) of a vector x is denoted ‖ x ‖, and for a vector x = ( x ₁ , y ₂ ) in R ² , ‖ x ‖ легко вычислить (см. рисунок ), применяя теорему Пифагора:

Рисунок 1

Выражение длины вектора x = ( x ₁, x ₂, x ₃) в R 903 3 ₃) в R 903 3 ₃). , как показано на рисунке:

Рисунок 2

В общем случае норма вектора x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ,…, x _n ) in R ⁿ is given by the equation

Пример 3 : Длина вектора x = (3, 1, −5, 1) в R ⁴ равно

Пример 4 : Пусть x будет вектором в R ⁿ . Если c является скаляром, как норма c x соотносится с нормой x ?

IF x = ( x ₁, x ₂,…, x _N), тогда 9. _{9 N}). cx ₂ ,…, cx _n ). Следовательно,

Таким образом, умножение вектора на скаляр c умножает свою норму на | с |. Обратите внимание, что это согласуется с приведенным ранее геометрическим описанием скалярного умножения.

Расстояние между двумя точками . Расстояние между двумя точками x и y в R ⁿ — величина, обозначаемая d ( x, y ) — определяется как длина вектора 7 4 y 9007:

Пример 5 : Каково расстояние между точками p = (3, 1, 4) и q = (1, 3, 2)?

Поскольку pq = q − p = (1, 3, 2) − (3, 1, 4) = (−2, 2, −2), расстояние между точками p и q равно

Единичные векторы . Любой вектор, длина которого равна 1, называется единичным вектором . Пусть x будет заданным ненулевым вектором и рассмотрим скалярное кратное x /‖ x ‖. (Нулевой вектор здесь следует исключить из рассмотрения, так как если x было бы 0 , тогда ‖ x ‖ было бы 0, и выражение x /‖ x ‖ было бы неопределенным.) Применяя результат примера 4 (с c = 1/‖ х ‖), норма вектора х /‖ х ‖ равна

Таким образом, для любого отличного от нуля вектора x является единичным вектором. Этот вектор обозначается ◯ («x шляпа») и представляет единичный вектор в направлении x . (Действительно, можно пойти дальше и назвать ◯ направление x .) Обратите внимание, в частности, что все стандартные базисные векторы являются единичными векторами; иногда их записывают как

, чтобы подчеркнуть этот факт.

Пример 6 : Найдите вектор y в R ² , длина которого равна 10 и который имеет то же направление, что и x = 3 i + 4 j .

Идея проста: найти единичный вектор в том же направлении, что и 3 i + 4 j , а затем умножьте этот единичный вектор на 10. Единичный вектор в направлении x равен

Следовательно,

Скалярный продукт . Один из способов перемножить два вектора — если они лежат в R ³ — состоит в том, чтобы составить их перекрестное произведение. Другой способ составить произведение двух векторов — из одного и того же пространства R ⁿ для любого n — состоит в следующем. Для любых двух n ‐vectors x = ( x ₁ , x ₂ ,…, x _n ) and y = ( y ₁ , y ₂ ,…, y _n ), их скалярное произведение (или евклидово скалярное произведение ) определяется уравнением

(Символ x·y читается как «x точка y». ) Обратите внимание, что, в отличие от перекрестного произведения, скалярное произведение двух векторов равно скаляр . По этой причине скалярное произведение также называют скалярным произведением . Можно легко показать, что скалярное произведение на R ⁿ удовлетворяет следующим полезным тождествам:

Пример 7 : Каково скалярное произведение векторов x =(−1, 0, 4) и y =(3, 6, 2) в R ³ ?

По свойству коммутативности не имеет значения, считается ли произведение равным x·y или y·x ; результат один и тот же в любом случае. Применение определения дает

Скалярное произведение вектора x = ( x ₁ , x ₂ ,…, x _{n 0 9089 ) с самим собой 9075 9089}

Обратите внимание, что правая часть этого уравнения также является выражением для ‖ x ‖ ² :

Следовательно, для любого вектора x ,

Это удостоверение используется следующим образом. Since ‖ a ‖ ² = a·a , the distributive and commutative properties of the dot product imply that for any vectors x and y in R ⁿ ,

Таким образом, ‖x + y ‖ ² = ‖x‖ ² + 2 x · y + ‖y‖ ² (*)

Теперь, если x ⊥ y , тогда по цифре теорема Пифагора скажет

Рисунок 3

Следовательно, если x ⊥ y , уравнение (*) и (**) подразумевает

, что упрощается до простого утверждения x·y = 0. Поскольку этот аргумент обратим (при условии, что принято, что нулевой вектор ортогонален каждому вектору ), был установлен следующий факт:

Это говорит о том, что два вектора ортогональны — то есть перпендикулярны — тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Пример 8 : Используйте скалярное произведение, чтобы убедиться, что векторное произведение векторов x = (2,3,0) и y = (−1,1,4) ортогонально как x , так и и ; затем покажите, что x x y ортогональны обоим x и y для любых векторов x и y в R ³ .

Вы можете определить, что x x y = (12,−8,5). Критерием ортогональности является обращение в нуль скалярного произведения. Поскольку оба

вектор x x y действительно ортогонален x и y . В общем

, и аналогичный расчет показывает, что ( x x y ) · x = 0 также.

Неравенство треугольника . Из элементарной геометрии вы знаете, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны. То есть, если A, B и C являются вершинами треугольника, то

Это просто говорит о том, что прямой путь от A до C (вдоль стороны AC ) короче, чем путь от A до B и затем до C ; см. рисунок . Это называется неравенством треугольника .

Рисунок 4

Неравенство треугольника может быть обобщено на векторы R ⁿ . Если x и y являются любыми двумя n ‐векторами, то

Рисунок показывает, что это утверждение можно интерпретировать так же, как элементарный геометрический факт о длинах сторон треугольника. [Однако заметное отличие состоит в том, что если x и y оказываются параллельными (то есть, если y является положительной скалярной величиной, умноженной на x ) или если либо x , либо y является нулевым вектором, то ‖ x + 4y 900 ‖ = ‖ х ‖ + ‖ у ‖. Обобщенное неравенство треугольника должно учитывать эти вырожденные случаи (отсюда слабое неравенство, ≤), тогда как неравенство треугольника из элементарной геометрии этого не делает (и, следовательно, сильное (или строгое ) неравенство, <).]

Рисунок 5

Пример 9 : Проверить неравенство треугольника для векторов x = (−1, 0, 4) и y = (3, 6, 2) из примера 20.

Сумма этих векторов равна x + y = (2, 6, 6), а длины векторов x, y и x + y равны

При этих длинах неравенство треугольника ‖ x + y ‖≤‖ x ‖+‖ y ‖, становится √76 ≤ √17+7, что безусловно верно, так как левая часть меньше 9, а правая часть больше 4 + 7 = 11.

Неравенство Коши-Шварца . Одно из наиболее важных неравенств в математике известно как неравенство Коши-Шварца . Для R ⁿ с внутренним произведением это неравенство утверждает

, в котором говорится, что абсолютное значение скалярного произведения двух векторов никогда не превышает произведения их норм. Из-за этого неравенства должно быть верным, что для любых двух ненулевых векторов х и у ,

Поскольку оба ‖ x ‖ и ‖ y ‖ положительны, знаки абсолютного значения могут быть переставлены:

утверждение, которое теперь прямо подразумевает

Это последнее неравенство говорит о том, что существует ровно одно значение θ между 0 и π (включительно), такое что

Этот θ называется углом между векторами x и y ; геометрически это меньший угол между ними. (Примечание: угол θ не определяется, если x или y является нулевым вектором.) Чтобы убедиться, что это θ действительно является геометрическим углом между x и y , рассмотрите рисунок , где предполагается, что угол между x и y является острым.

Рисунок 6

Вектор z ортогонален x , и рисунок показывает, что y является суммой z и положительного скаляра, кратного с х , из х :

Скалярное произведение обеих частей этого уравнения с x дает

Поскольку x и z ортогональны, скалярное произведение x·z равно 0. Это уменьшает приведенное выше уравнение до

.
Но рисунок и определение cos θ показывают, что
Теперь, поскольку c положительный, ‖ c х ‖ = | с | ‖ x ‖ = c ‖ x ‖, так что это уравнение становится

Уравнения (*) и (**) вместе с тождеством x · x , тогда подразумевают

, который становится
Это доказательство можно распространить на случай, когда угол между x и y тупой, тем самым подтверждая следующее альтернативное, но полностью эквивалентное определение скалярного произведения:

Обратите внимание, что это уравнение согласуется с наблюдением x ⊥ y ⟹ x · y = 0, поскольку θ = π/2 подразумевает cosθ = 0,
Пример 10 : Используйте скалярное произведение для определения угла между векторами x = (2, 3, 0) и y = (−1, 1, 4).
Из приведенного выше уравнения в рамке

Следовательно, θ = cos ⁻¹ √1/234.
[Обратите внимание, что θ = sin ⁻¹ √233/234. Хотя это согласуется с настоящим расчетом (поскольку cos ² θ + sin ² θ всегда должно быть равно 1 для любого θ, и это, безусловно, верно здесь), лучше использовать скалярное произведение, чем перекрестное произведение для определить угол между двумя векторами в R ³ . Почему? Утверждение sinθ = √233/234 подразумевает, что θ равно либо 86,25 ^°, либо 93,75 ^°, и без дальнейших исследований трудно сказать, что верно. Здесь может не помочь даже картинка; угол близок к 90 ^°, что ваш рисунок, вероятно, не будет достаточно точным, чтобы заметить разницу. Но утверждение cosθ = √1/234 говорит, что θ определенно равно 86,25 ^°, без какой-либо двусмысленности. В диапазоне от 0 до 180 ^° функция синуса полностью положительна и не может отличить острый угол от его дополнения. Однако функция косинуса положительна для острых углов и отрицательна для тупых углов, поэтому она может — сразу — различать острый угол и его дополнение.]
Ортогональные проекции . Рассмотрим два ненулевых вектора x и y , исходящих из начала координат в R ⁿ . Опускание перпендикуляра из вершины x на линию, содержащую y , дает (ортогональную) проекцию x на y . Этот вектор обозначается как proj _y x .
Если θ < π/2 (рис. ), то компонент x вдоль y , положительная скалярная величина, обозначаемая comp _y x , равно норме (векторной) проекции x на y . Если θ > π/2 (рисунок ), то составляющая x вдоль y является отрицательной скалярной величиной, равной отрицательной норме проекции x на y . (А если θ = π/2, то comp _y x = 0, поскольку ортогональная проекция x на y является нулевым вектором.) В любом случае выполняется следующее уравнение:
, где θ — угол между x и y . Теперь, поскольку x · y = ‖ x ‖ ‖ y ‖cosθ, это уравнение для компоненты x вдоль y можно переписать как

Рисунок 7

Рисунок 8
Проекция вектора x на y равна произведению этого скаляра на единичный вектор в направлении г :
Или, так как ‖ г ‖ ² = г·г ,

Пример 11 : Найдите проекцию x = (2, 2, 4) на вектор y = (2, 6, 3).
Если θ — это угол между x и y , то составляющая x вдоль y равна

Следовательно,

См. рис.

Рисунок 9
Строки . Линия определяется двумя различными точками, скажем, p и q . Если вектор pq проведен из p в q , то pq определяет направление линии. Таким образом, описание линии можно переформулировать следующим образом: линия L однозначно определяется
заданная точка, через которую проходит L ,
а также
заданный (ненулевой) вектор, параллельный L
Пусть p — заданная точка, через которую будет проходить прямая, а v — вектор, определяющий ее направление.
Из рисунка легко увидеть, что точка x будет на прямой тогда и только тогда, когда вектор px параллелен (или антипараллелен) вектору v , что происходит, если px является скалярным кратным против :

Рисунок 10
Или, поскольку пикселей = x − p ,

Это параметрическое уравнение для прямой, проходящей через p параллельно v . Скаляр t является параметром , и каждая точка на линии задается определенным выбором t .
Пример 12 : Найдите уравнение прямой L в R ³, проходящая через точку p = (2, 4, 2) и параллельная вектору v = (1, 2, 3). Где эта линия проходит через плоскость x−y ?
Точка x = ( x, y, z ) находится на линии L тогда и только тогда, когда вектор пикселей является скалярным числом, кратным v :
Следовательно,

Теперь линия пересекает плоскость x−y , когда z = 0. С
L пробивает плоскость x−y , когда параметр t принимает значение −2/3. Для этого т ,
, поэтому точка пересечения L и плоскости x−y равна a = (4/3, 8/3, 0). См. рис.

Рисунок 11
Пример 13 : Приведите уравнение прямой в R ⁴, проходящая через точки a = (−1, 1, 2, 0) и b = (3, 4, 0, −5). Находится ли точка c = (7, 7, −2, −2) на этой прямой?
Поскольку прямая параллельна вектору

каждая точка x на линии описывается параметрическим уравнением
Точка c = (7, 7, −2, −2) будет лежать на этой прямой тогда и только тогда, когда есть значение параметра t такой, что
Однако, хотя первые три компонента в (*) согласуются, когда t = 2, четвертые компоненты не совпадают. Следовательно, точка c не лежит на прямой.
Самолеты . Плоскость в R ³ определяется тремя неколлинеарными точками. Если эти точки помечены a, b и c , то векторное произведение векторов ab и ac даст вектор v перпендикулярно плоскости. Этот вектор v определяет ориентацию плоскости в пространстве; см. рисунок .

Рисунок 12
Описание плоскости можно сформулировать следующим образом: плоскость P однозначно определяется
заданная точка, через которую проходит P ,
и
заданный ненулевой вектор, который является нормальным — то есть перпендикулярным — к Р
Пусть a — заданная точка на плоскости, и пусть v — определяющий вектор нормали с начальной точкой a . Затем, как показано на рисунке , для того, чтобы точка x лежала в P , v должны быть перпендикулярны вектору x .

Рисунок 13
Поскольку v ⊥ ах ⟹ v · ах = 0, плоскость определяется уравнением
To illustrate, let the point a = ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) and the vector v = ( v ₁ , v ₂ , v ₃ ). Поскольку для любой точки x = ( x, y, z ), вектор 3 ), уравнение (*) принимает вид, который также можно записать как
where d = v ₁ a ₁ + v ₂ a ₂ + v ₃ a ₃ . Для самолета в R ³ это стандартное уравнение . Обратите внимание, что коэффициенты при x, y и z в стандартном уравнении являются в точности компонентами вектора, нормального к плоскости .
Пример 14 (0, 1, 1). Содержит ли этот план начало координат? Если нет, дайте уравнение плоскости, параллельной P , которая содержит начало координат.
Векторы pq = (0, 3, −3) и pr = (−2, 2, −1) лежат в P , а их векторное произведение pq x pr , нормальный P . См. рис.

Рисунок 14
Вызов выражения

для векторного произведения определяется, что
Поскольку вектор v = (3, 6, 6) является нормальным к P , стандартное уравнение P задается для некоторой константы d . Подставляя координаты любой из трех заданных точек ( p, q , или r ) в это уравнение дает d = 12. Таким образом, P задается уравнением 3 x + 6 y + 6 z = 12, или проще,
Теперь, поскольку (0, 0, 0) не удовлетворяет этому уравнению, P не содержит начало координат. Однако уравнение x + 2 y + 2 z = 0 задает плоскость, параллельную P , которой удовлетворяет 0 = (0, 0, 0). См. рис.

Рисунок 15
Описание направлений – доктора математики
Мы рассматриваем концепцию векторов на вводном уровне. На прошлой неделе мы рассмотрели, как они определяются в этом контексте (как величины с величиной и направлением) и как они складываются (что на самом деле является частью определения). Наша коллекция ответов от Ask Dr. Math на этот раз посвящена идеям единичных векторов, компонентов и «направленных косинусов», которые являются способами описания направления вектора.
Единичные векторы и коллинеарность
Первый вопрос из 2002:
Единичные векторы Я пытаюсь решить математическую задачу, которую я действительно не понимаю. Проблема гласит: «Найдите два единичных вектора , которые коллинеарны с каждым из следующих векторов. (a) вектор A = (3, -5)» Во всяком случае, это первый вопрос в этой задаче. Я не понимаю, что эта проблема даже просит меня сделать. Всегда ли единичный вектор равен 1? Я провел много исследований в своей книге и в Интернете, и я до сих пор не понимаю. Любая помощь, которую вы могли бы предоставить, будет БОЛЬШИМ образом оценена. Большое спасибо. 92}$$

Вот его три вектора, показывающие, что все они имеют длину 1: круг с центром в начале координат, радиус которого равен 1), вектор от начала до точки — единичный вектор (cos(a),sin(a)) , где a - угол от положительной оси x до точки.
Вот пример, где мой угол $\theta$ равен 133°, поэтому его компоненты равны $(\cos(133°), \sin(133°)) = (-0,68, 0,73)$ : 92) и разделить оба компонента на это: 1/|(а,б)| * (а,б) = (а/|(а,б)|, б/|(а,б)|) Вы понимаете, почему он всегда будет коллинеарным исходному вектору и почему его длина всегда будет равна 1? (Обратите внимание, что единичный вектор, указывающий в _противоположном_ направлении, также является коллинеарным.)
Деление обоих компонентов на $|a|$ уменьшает длину до 1 без изменения направления. Умножение на минус 1 меняет направление. Вот наш вектор $\mathbf{a} = (3, -5)$ и два единичных вектора $\mathbf{u}_a = \left(\frac{3}{\sqrt{34}}, -\frac{5}{\sqrt{34}}\right)$ и $-\mathbf{u}_a = \left(-\frac{3}{\sqrt{34}}, \frac{5 }{\sqrt{34}}\справа)$:
Единичные векторы, базисные векторы
Этот вопрос 1998 года от студента, чьи цели выходят далеко за рамки основ, но которому нужна помощь в запуске:
Единичные и базисные векторы в трех измерениях Пожалуйста, дайте мне простое объяснение: 1. Единичный вектор . Мои книги (например, «Векторный и тензорный анализ» Борисенко) неясны и предполагают, что я уже это понимаю. Кроме того, какая польза от единичного вектора? 2. Базисный вектор . Опять же, мои другие источники не ясны. P.S. Я изучаю теорию относительности самостоятельно, и поэтому я хотел бы понять основы, такие как тензорная алгебра.
Доктор Энтони ответил, дав основное определение векторов, которое мы обсуждали в прошлый раз, поскольку оно применимо (с некоторыми небольшими изменениями) к физике:
Вектор — это физическая величина, такая как скорость, перемещение или сила, имеющая оба величина и направление . Думайте о векторе как о прямой линии, указывающей в определенном направлении. Длина линии представляет собой звездную величину вектора. Таким образом, в случае единичного вектора , длина строки 1 ед. При работе над задачами удобно использовать единичные векторы. Если мы позволим u представлять вектор в определенном направлении и единичной величины, то 3u, 7u и -8u сразу же можно понять как векторы величин 3, 7 и -8, все в направлении вектора u (кроме -8u, поскольку отрицательный знак означает «в направлении, противоположном +u»).
Так же, как выше мы начали с вектора a и нашли единичный вектор в том же направлении, здесь мы можем обратить процесс и описать вектор как единичный вектор справа направление , умноженное на его длину . При этом мы разбиваем вектор на его величину (число) и направление (единичный вектор). Вот единичный вектор u и упомянутые кратные:
Но мы можем сделать гораздо больше, выбрав стандартный набор единичных векторов, чтобы использовать его в качестве «основы» для описания любого вектора:
Это очень распространено использование i, j и k в качестве единичных векторов в направлениях осей x, y и z соответственно в 3D пространстве. Это означает, что КАЖДЫЙ вектор в пространстве может быть задан через его «компоненты», параллельные этим трем осям. Так, например, 5i + 2j - 6k — это вектор в пространстве, и его величина будет представлена длиной линии, соединяющей начало координат (0,0,0) с точкой (5,2,-6). Кстати, это отвечает на ваш второй вопрос: i, j, k называются «базовыми» векторами, потому что они используются в качестве основы для выражения всех других векторов. Любой другой вектор в трехмерном пространстве может быть задан через i, j и k.
Здесь я буду придерживаться двух измерений. Единичные базисные векторы i и j такие же, как u и v , которые мы использовали на первой иллюстрации выше:
Иногда удобно использовать другие векторы в качестве базовых векторов. Любые два непараллельных вектора можно использовать в качестве базовых векторов, чтобы задать любую точку на плоскости двух векторов. То есть любой другой вектор в этой плоскости может быть выражен через базовые векторы, точно так же, как мы говорим 6i + 4j, чтобы выразить вектор в плоскости xy. Точно так же любые три некомпланарных вектора могут использоваться в качестве базовых векторов, «охватывающих» трехмерное пространство. Опять же, наиболее распространенными базовыми векторами являются i, j, k, но бывают случаи, когда используется совершенно другой набор базовых векторов. Наконец, векторы не ограничиваются 1, 2 или 3 измерениями. Вы можете имеют многомерные векторы, выраженные через 4, 5, 6 и высшие базовые векторы. Количество базовых векторов будет равно размер рассматриваемого пространства.
Вот наш вектор 6 i + 4 j , который также можно назвать (6, 4) с помощью его компонентов:
Направление как углы (2 измерения)
Следующий вопрос, из 1998 года, включает векторы, направление которых выражается как угол от положительной оси x :
Компоненты вектора, величина и направление Вектор M величиной 4,75 м находится под углом 58,0 градусов против часовой стрелки от положительной оси x. Это добавлено к вектору N , а результирующее представляет собой вектор величиной 4,75 м, расположенный под углом 39 градусов против часовой стрелки от положительной оси x. Найдите: (а) компоненты N и (б) величину и направление N. Я нарисовал графическую иллюстрацию проблемы. Но я действительно не могу решить это, потому что я не знаю, как это сделать.
Здесь у нас складываются два вектора, и один из них и сумма описываются в терминах величины и направления. Мы хотим найти вектор n как по компонентам, так и по направлению (углу) и величине:
Доктор Рик ответил, предложив наиболее вероятный метод:
Привет, Кристин, Я помогу вам начать решение этой проблемы. Для этого вам понадобятся два инструмента: (1) преобразование между величиной/направлением и компонентами вектора и (2) добавление векторов. Первый требует некоторой тригонометрии, так что я надеюсь, что у вас есть некоторые. (1) Вам даны величина и направление векторов M и P (сумма M и N). Прежде чем вы сможете добавить их, вы должны найти их компоненты . Запомните эту схему: Мой+-------------* M | /| | / | | / | | / | | / | | л/ | | / | sin(a)|-----+ | | /| | | 1/ | | | / | | | /)а | | |/____|_______|__________ O cos(a) Mx Вектор длины 1 имеет компоненты (cos(a), sin(a)). По подобным треугольникам вектор M длины L имеет компоненты Mx = L*cos(a), My = L*sin(a). Сделайте это с обоими векторами M и P, чтобы получить их компоненты (Mx, My) и (Px, Py).
Как мы видели выше, мы можем думать о векторе м как о единичном векторе в заданном направлении, умноженном на его длину. Тригонометрические функции косинуса и синуса дают компоненты единичного вектора x и y , как мы видели в нашем первом ответе. Для нашего вектора m угол равен 58°, а длина равна 4,75, поэтому вектор $$(m_x, m_y) = (4,75\cos(58°), 4,75\sin(58°)) = (2,517 , 4. 028)$$
Аналогично, для вектора p = m + n имеем угол 39° и длина 4,75, поэтому вектор равен $$(p_x, p_y) = (4,75\cos(39°), 4,75\sin(39°)) = (3,691, 2,989)$$
(2) Вы известно, что M + N = P. Чтобы сложить векторы, сложите их компоненты: Мх + Нх = Рх Мой + Ню = Ру Вы знаете Mx, My, Px и Py, поэтому должны быть в состоянии вычислить Nx и Ny. Это компоненты вектора N.
Чтобы найти компоненты n , мы просто вычитаем:{-1}(-0,885) = -41,5°$$
Вот инструменты, которые вам понадобятся. Посмотрим, сможешь ли ты выполнить эту работу сейчас. Напишите в ответ, если вы все еще запутались после того, как попробовали это.
Предположительно, Кристин сделала именно то, что мы сделали здесь.
Направление линии (3 измерения)
Этот вопрос 1997 года надеется найти способ указать направление трехмерного вектора, аналогичного углу или наклону в задаче предыдущего типа:
Формула для наклона 3- Линия D Спасибо, что ответили на наш вопрос о нахождении длины линии в трех измерениях. Теперь мы хотели бы знать формулу, чтобы найти наклон трехмерной линии . Мы просмотрели учебники и попытались адаптировать формулу, но безуспешно.
Доктор Роб ответил, сначала говоря о плоскостях, а не о линиях:
Не существует прямого аналога идеи наклона в двух измерениях . Предмет, который вы обсуждаете, — это аналитическая геометрия трех измерений. Следующие факты должны немного помочь. Линейное уравнение относительно x, y и z, такое как ax + by + cz = d, является уравнением 92). Результирующие коэффициенты x, y и z обладают тем свойством, что сумма их квадратов равна 1. Другая стандартная форма получается путем деления на d и записи уравнения в виде x/(d/a) + y/( d/b) + z/(d/c) = 1. Из этой формы вы можете прочитать точки пересечения с осями x, y и z: (d/a, 0, 0) является x- точка пересечения, (0, d/b, 0) — точка пересечения по оси y, а (0, 0, d/c) — точка пересечения по оси z (при условии, что все a, b, c и d отличны от нуля). Один из способов определения «наклона» плоскости состоит в том, чтобы записать единичный вектор, который перпендикулярен к ней, называемый 9.2), где I, J и K — единичные векторы в направлениях x, y и z. Коэффициенты I, J и K в этом выражении называются направляющими косинусами вектора, потому что они представляют собой косинусы углов между вектором и осями x, y и z соответственно.
Две стандартные формы, которые он упоминает для плоскости, суть $$a’x + b’y + c’z = d’$$, где вектор ( a ‘, b ‘, c ‘) — это единичный вектор, называемый единичным вектором нормали (это то, что мы увидим позже в этой серии или в последующих сериях), и $$\frac{x}{A} + \frac{y}{B} + \frac{z}{C} = 1$$, где A , B и C — точки пересечения трех осей. Вектор нормали представляет направление плоскости.
Но вопрос был о линии, и «направленные косинусы», только что упомянутые для единичного вектора нормали, также проявляются здесь:
Линия определяется как пересечение двух непараллельных плоскостей. Это означает, что вам нужно два линейных уравнения относительно x, y и z, чтобы определить линию. Существует несколько стандартных форм уравнений прямой, но наиболее часто используемой является х - х0 у - у0 z - z0 ------ = ------ = ------ а б в Здесь (x0, y0, z0) — точка на прямой, а числа a, b и c определяют направление вдоль прямой: вектор a*I = b*J + c*K параллелен прямой. (Примечание: эта форма работает только тогда, когда линия не параллельна ни одной из плоскостей xy, xz или yz, т. е. когда ни a, ни b, ни c не равны нулю).
Обратите внимание, что эта форма представляет собой не одно уравнение, а пару уравнений, которые приравнивают три величины. В этой форме $$\frac{x – x_0}{a} = \frac{y – y_0}{b} = \frac{z – z_0}{c}$$ вектор ( a , b , c ) дает направление линии, которое является лучшим ответом на вопрос, подобно вектору нормали к плоскости.
В некотором смысле косинусы направления являются ближайшим аналогом наклона. В двух измерениях это просто косинус наклона, который представляет собой угол с осью x, и косинус его дополнения, который является синусом наклона. Наклон - это отношение этих двух, тангенс наклона. Точного аналога нет, потому что не существует «отношения» трех направляющих косинусов или любых трех чисел.
Мы могли бы, однако, сказать, что тройное отношение a : b : c является разумным аналогом наклона линии, хотя это и не число; направляющие косинусы, как мы увидим ниже, являются просто компонентами единичного вектора в направлении линии.
Как он предлагает, мы можем сделать все это в двух измерениях для сравнения, что весьма поучительно. Мы можем записать строку в виде $$\frac{x – x_0}{a} = \frac{y – y_0}{b}$$, которая (находя y ) можно переписать как $$y = \frac{b}{a}(x – x_0) + y_0$$ Наклон – это число $\displaystyle\frac{b}{a} = \frac{ \cos(\theta_y)}{\cos(\theta_x)} = \frac{\sin(\theta_x)}{\cos(\theta_x)} = \tan(\theta)$, показывая, что отношение a : b тесно связано с наклоном, который является тангенсом угла к оси x .

Categories Разное

alexxlab
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *
Email *
Сайт

Навигация по записям
Previous ReadingСкольжение тела по горизонтальной поверхности: Сила трения скольжения — урок. Физика, 9 класс.
Next ReadingДиоды справочник: Страница не найдена

Рубрики
Прост
Радио
Разное
Своими руками
Советы
Схем
Схемы
Транзист
Транзисторы
Электрон
Электроника

Внимание! Внешний вид товара, комплектация и характеристики могут изменяться производителем без предварительных уведомлений. Данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, определяемой положениями Статьи 437 (2) Гражданского кодекса Российской Федерации. 2024 © Все права защищены.

1.	Что такое единичный вектор?
2.	Обозначение единичного вектора
3.	Формула единичного вектора
4.	Как рассчитать единичный вектор?
5.	Применение единичного вектора
6.	Свойства векторов
7.	Решенные примеры
8.	Практические вопросы по единичному вектору