Site Loader

Содержание

17. Момент инерции тела и его физический смысл. Примеры вычисления момента инерции твердых тел. Теорема Штейнера .

Момент инерции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Обозначение: I или J.

2. Физический смысл момента инерции. Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил, приложенных к телу. Сравните. Вращательное движение. Поступательное движение. Момент инерции представляет собой меру инерции тела во вращательном движении

Например, момент инерции диска относительно оси О’ в соответствии с теоремой Штейнера:

                                     

 Теорема Штейнера: Момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями :

 

18. Момент импульса твердого тела. Вектор угловой скорости и вектор момента импульса. Гироскопический эффект. Угловая скорость прецессии

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, из которых состоит тело относительно оси. Учитывая, что , получим .

Если сумма моментов сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса сохраняется (закон сохранения момента импульса):  . Производная момента импульса твердого тела по времени равна сумме моментов всех сил, действующих на тело:.

 угловую скорость как вектор, величина которого численно равна угловой скорости, и направленный вдоль оси вращения, причем, если смотреть с конца этого вектора, то вращение направлено против часовой стрелки. Исторически сложилось2, что положительным направлением вращения считается вращение «против часовой стрелки», хотя, конечно, выбор этого направления абсолютно условен.  Для определения направления вектора угловой скорости можно также воспользоваться «правилом буравчика» (которое также называется «правилом правого винта») − если направление движения ручки буравчика (или штопора) совместить с направлением вращения, то направление движения всего буравчика совпадет с направлением вектора угловой скорости.

Вращающееся тело ( колесо мотоцикла ) стремиться сохранять положение оси вращения в пространстве неизменным .( гироскопический эффект ) Поэтому возможно движение на 2-х колёсах, но не возможно стояние на двух колёсах Этот эфект используется в корабельных и танковых системах наведения орудий. ( корабль качается на волнах, а орудие смотрит в одну точку )  В навигации и др.

Наблюдать прецессию достаточно просто. Нужно запустить волчок и подождать, пока он начнёт замедляться. Первоначально ось вращения волчка вертикальна. Затем его верхняя точка постепенно опускается и движется по расходящейся спирали. Это и есть прецессия оси волчка.

Главное свойство прецессии — безынерционность: как только сила, вызывающая прецессию волчка, пропадёт, прецессия прекратится, а волчок займёт неподвижное положение в пространстве. В примере с волчком этого не произойдет, поскольку в нём вызывающая прецессию сила — гравитация Земли — действует постоянно.

19. Идеальная и вязкая жидкость. Гидростатика несжимаемой жидкости. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бирнулли.

Идеальной жидкостью назвается воображаемая несжимаемая жидкость, в которой отсутствуют вязкость, внутреннее трение и теплопроводность. Так как в ней отсуствует внутреннее трение, то нет 

касательных напряжений между двумя соседними слоями жидкости.

вязкая жидкость характеризуется наличием сил трения, которые возникают при ее движении. вязкой наз. жидкость, в которой при движении кроме нормальных напряжений наблюдаются и касательные напряжения

Рассматриваемые в Г. ур-ния относит. равновесия несжимаемой жидкости в поле сил тяжести (относительно стенок сосуда, совершающего движение по нек-рому известному закону, напр. поступательное или вращательное) дают возможность решать задачи о форме свободной поверхности и о плескании жидкости в движущихся сосудах — в цистернах для перевозки жидкостей, топливных баках самолётов и ракет и т. п., а также в условиях частичной или полной невесомости на космич. летат. аппаратах. При определении формы свободной поверхности жидкости, заключённой в сосуде, кроме сил гидростатич. давления, сил инерции и силы тяжести необходимо учитывать поверхностное натяжение жидкости. В случае вращения сосуда вокруг вертик. оси с пост. угл. скоростью свободная поверхность принимает форму параболоида вращения, а в сосуде, движущемся параллельно горизонтальной плоскости поступательно и прямолинейно с пост. ускорением 

а, свободной поверхностью жидкости является плоскость, наклонённая к горизонтальной плоскости под углом 

Физический смысл момента инерции твердого тела? — Мегаобучалка

Чтобы найти момент инерции тела, надо просуммировать момент инерции всех материальных точек, составляющих данное тело

(5.4)

В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой совокупность множества точек с бесконечно малыми массами , и моменты инерции тела определяется интегралом

(5.5)

о где — расстояние от элемента до оси вращения.

Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать с помощью
плотности

(5.5)

где m — масса однородного тела, V — его объем. Для тела с неравномерно распределенной массой это выражение даетсреднюю плотность.

Плотность в данной точке в этом случае определяется следующим образом

и тогда

(5.6)

Пределы интегрирования зависят от формы и размеров тела Интегрирование уравнения (5.5) наиболее просто осуществить для тех случаев, когда ось вращения проходит через центр тяжести тела. Рассмотрим результаты интегрирования для простейших (геометрически правильных) форм твердого тела, масса которого равномерно распределена по объему.

Момент инерции полого цилиндра с тонкими стенками, радиуса R.

Для полого цилиндра с тонкими стенками

Сплошной однородный диск. Ось вращения является осью диска радиуса . и массы m с плотностью Высота диска h. Внутри диска на расстоянии вырежем пустотелый цилиндр с толщиной стенки и массой . Для него

Весь диск можно разбить на бесконечное множество цилиндров, а затем просуммировать:

Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Момент инерции стержня длиной L и массой m относительно оси, проходящей:

а) через центр стержня —

б) через начало стержня —

Теорема Штейнера. Имеем тело, момент инерции которого относительно оси, проходящей через его центр масс известен. Необходимо определить момент инерции относительно произвольно оси параллельной оси . Согласно теореме Штейнера, момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:



 

Получить расчетные формулы (31) и (44) для определения момента инерции?

Записать второй закон Ньютона для движения центра масс и основной закон динамики вращательного движения, дать определение всех величин, входящие в данные законы?

Второй закон Ньютона связывает вместе три, на первый взгляд, совершенно не связанные друг с другом величины: ускорение, массу и силу. Хотите легко и быстро, на примерах понять, как это происходит? Запросто. Надо будет проделать пару элементарных опытов и немного порассуждать.

аналогия с линейным движением, примеры

Любая физическая величина, которая предлагается в математических уравнениях при изучении того или иного явления природы, несет некоторый смысл. Не является исключением из этого правила и момент инерции. Физический смысл этой величины подробно рассмотрен в данной статье.

Момент инерции: математическая формулировка

В первую очередь следует сказать, что рассматриваемая физическая величина используется для описания систем вращения, то есть таких движений объекта, которые характеризуются круговыми траекториями вокруг некоторой оси или точки.

Приведем математическую формулу момента инерции для материальной точки:

I = m*r2.

Здесь m и r — масса и радиус вращения частицы (расстояние до оси) соответственно. Любое твердое тело, каким бы сложным оно ни было, мысленно можно разбить на материальные точки. Тогда формула момента инерции в общем виде будет иметь вид:

I = ∫mr2dm.

Это выражение справедливо всегда, причем не только для трехмерных, но и для двумерных (одномерных) тел, то есть для плоскостей и стержней.

Из этих формул трудно понять смысл физический момента инерции, однако можно сделать важный вывод: он зависит от распределения массы в теле, которое вращается, а также от расстояния до оси вращения. Причем зависимость от r является более резкой, чем от m (см. знак квадрата в формулах).

Движение по окружности

Понять, каков физический смысл момента инерции, невозможно, если не рассмотреть круговое движение тел. Не вдаваясь в подробности, приведем сразу два математических выражения, описывающих вращение:

I11 = I22;

M = I *dω/dt.

Верхнее уравнение носит название закона сохранения величины L (момента импульса). Оно означает, что какие бы изменения ни происходили внутри системы (сначала был момент инерции I1, а затем он стал равным I2), произведение I на угловую скорость ω, то есть момент импульса, будет оставаться неизменным.

Нижнее выражение демонстрирует изменение скорости вращения системы (dω/dt) при воздействии на нее некоторого момента силы M, который имеет внешний характер, то есть порождается силами, не связанными с внутренними процессами в рассматриваемой системе.

И в верхнем, и в нижнем равенствах присутствует I, причем чем больше ее значение, тем меньше будет угловая скорость ω или угловое ускорение dω/dt. В этом и заключается физический смысл момента инерции тела: он отражает способность системы сохранять свою угловую скорость. Чем больше I, тем сильнее проявляется эта способность.

Аналогия с линейным импульсом

Теперь перейдем к тому же выводу, что был озвучен в конце предыдущего пункта, проведя аналогию между вращательным и поступательным движениями в физике. Как известно, последнее описывается следующей формулой:

p = m*v.

Это простое выражение определяет импульс системы. Сравним его форму с таковой для момента импульса (см. верхнее выражение в предыдущем пункте). Мы видим, что величины v и ω имеют одинаковый смысл: первая характеризует скорость изменения линейных координат объекта, вторая — угловых координат. Поскольку обе формулы описывают процесс равномерного (равноуглового) движения, то величины m и I также должны иметь одинаковый смысл.

Теперь рассмотрим 2-й закон Ньютона, который выражается формулой:

F = m*a.

Обращая внимание на форму записи нижнего равенства в предыдущем пункте, имеем подобную рассмотренной ситуацию. Момент силы M в его линейной представлении — это сила F, а линейное ускорение a полностью аналогично угловому dω/dt. И снова мы приходим к эквивалентности массы и момента инерции.

Какой смысл несет масса в классической механике? Она является мерой инерции: чем больше m, тем труднее сдвинуть предмет с места, а тем более придать ему ускорение. То же самое можно сказать и о моменте инерции применительно к движению вращения.

Физический смысл момента инерции на бытовом примере

Зададимся простым вопросом о том, как легче крутить металлический стержень, например, арматуру — когда ось вращение направлена вдоль его длины или когда поперек? Конечно же, легче раскрутить стержень в первом случае, потому что его момент инерции для такого положения оси будет очень маленьким (для тонкого стержня он равен нулю). Поэтому достаточно зажать между ладошек предмет и легким движением привести его во вращение.

Кстати, описанный факт экспериментально проверили наши предки еще в стародавние времена, когда научились добывать огонь. Они раскручивали палочку с огромными угловыми ускорениями, что приводило к созданию больших сил трения и, как следствие, к выделению значительного количества теплоты.

Маховик авто — яркий пример использования большого значения момента инерции

В завершение хотелось бы привести, пожалуй, самый важный для современной техники пример использования физического смысла момента инерции. Маховик авто представляет собой сплошной стальной диск, имеющий относительно большие радиус и массу. Эти две величины обуславливают существование значительной величины I, характеризующей его. Маховик призван «смягчать» любые силовые воздействия на коленвал автомобиля. Импульсивный характер действующих моментов сил от цилиндров двигателя на коленвал сглаживается и делается плавным благодаря тяжелому маховику.

Кстати, чем больше момент импульса, тем больше энергии находится во вращающейся системе (аналогия с массой). Этот факт хотят использовать инженеры, запасая энергию торможения авто в маховике, чтобы впоследствии направить ее на разгон транспортного средства.

Имеют ли моменты массы высшего порядка какой-либо физический смысл?

Хотя это не совсем «физическая интерпретация», метод инерциальной визуализации позволяет использовать моменты массы более высокого порядка для характеристики и идентификации биологических молекул и молекулярных комплексов. (См .: Инерциальная визуализация с наномеханическими системами )

Основная идея здесь заключается в том, что прилипание («адсорбирование») молекулы («анализируемого вещества») к механическому резонатору наноразмера («NEMS» = наноэлектромеханическая система) смещает резонансные частоты NEMS таким образом, что позволяет нам определять моменты массы молекула. Различные молекулы (даже с одинаковыми массами) обычно различаются по своим пространственным размерам (2-й момент) и асимметрии (3-й и более высокий моменты), поэтому, измеряя эти более высокие моменты, можно улучшить идентификацию неизвестных аналитов (по сравнению с некоторым каталогом моментов). известных аналитов).

Если говорить более формально, рассмотрим 1D резонансную систему, такую ​​как балка NEMS с двойной фиксацией или кантилевер. (Мы работаем в 1D здесь для простоты, все это очень естественно распространяется на более высокие измерения.) Это устройство будет иметь режимы φ N ( х ) φ N ( Икс ) с резонансными частотами ω ( 0 ) N ω N ( 0 ) , Для удобства мы нормализуем эти режимы так, чтобы ∫ ρ d е v ( х ) | φ N ( х ) | 2 d х = М ∫ ρ d е v ( Икс ) | φ N ( Икс ) | 2 d Икс знак равно M с M M масса устройства и ρ d е v ( х ) ρ d е v ( Икс ) его массовая плотность.

Теперь предположим, что на устройство адсорбируется небольшой, мягкий, совместимый аналит. При этих допущениях мы можем рассматривать влияние аналита как небольшое возмущение массы ρ ( х ) ρ ( Икс ) в системе. Это 1D массовое распределение ρ ρ это то, что мы будем измерять моменты. Для таких вещей, как белки или комплексы (например, гемоглобин) это ρ ρ является хорошей мерой некоторой линейной проекции исходного трехмерного распределения массы и несет больше информации об аналите, чем простое измерение его общей массы ∫ ρ ( х ) д Икс ∫ ρ ( Икс ) d Икс , Эта дополнительная информация может быть использована для характеристики известных белков и помогает идентифицировать неизвестные.

Для малых масс эффект этого возмущения будет заключаться в понижении резонансных частот. ω ( 0 ) N ω N ( 0 ) на некоторые новые частоты ω N ω N сохраняя оригинальные колебательные моды φ N φ N , Отсюда можно показать, что сдвиг в резонансной частоте Δ N ≡ ( ω N — ω ( 0 ) N ) / ω N Δ N ≡ ( ω N — ω N ( 0 ) ) / ω N дан кем-то Δ N = — 1 2 М ∫ ρ ( x ) | φ N ( х ) | 2 d Икс Δ N знак равно — 1 2 M ∫ ρ ( Икс ) | φ N ( Икс ) | 2 d Икс , Эти сдвиги частоты могут быть измерены с помощью ряда методов с различной степенью точности.

Ключом к извлечению моментов является рассмотрение линейных комбинаций этих частот. По сути, мы будем проецировать функции, генерирующие момент грамм ( к ) ( х ) ∼ х К грамм ( К ) ( Икс ) ~ Икс К на основе колебательных мод φ N ( х ) φ N ( Икс ) , Позволять F N ≡ ∫ ρ ( x ) | φ N ( х ) | 2 d Икс F N ≡ ∫ ρ ( Икс ) | φ N ( Икс ) | 2 d Икс (так Δ N = — 1 2 М F N Δ N знак равно — 1 2 M F N ). Тогда, поскольку интегрирование является линейным, линейная комбинация этих F N F N факторы как:

Σ N α N F N = ∫ ρ ( x ) [ ∑ N α N | φ N ( г ) | 2 ] д х ≡ ∫ ρ ( х ) г ( х ) д х = — 1 2 М Σ N α N Δ N Σ N α N F N знак равно ∫ ρ ( Икс ) [ Σ N α N | φ N ( р ) | 2 ] d Икс ≡ ∫ ρ ( Икс ) грамм ( Икс ) d Икс знак равно — 1 2 M Σ N α N Δ N ,

Так что, если мы решим для определенного набора α ( к ) N α N ( К ) такой, что грамм ( х ) = ∑ N α N | φ N ( х ) | 2 ∼ х К грамм ( Икс ) знак равно Σ N α N | φ N ( Икс ) | 2 ~ Икс К локально о положении аналита Икс 0 Икс 0 тогда мы можем использовать частотные сдвиги Δ N Δ N определить моменты массы ∫ ρ ( х ) х К d Икс ∫ ρ ( Икс ) Икс К d Икс , Учитывая желаемую область сходимости и известные формы мод φ N φ N относительно легко вычислить наиболее подходящие коэффициенты α ( к ) N α N ( К ) , При достаточном количестве (см. Ниже) мод и аналитов, которые являются небольшими по сравнению с измерительным устройством, ошибка в этом приближении может быть уменьшена до ~ 1%.

В одном измерении, как правило, необходимо измерить к + 1 К + 1 частоты для того, чтобы извлечь К К Момент Этого достаточно для аналитов бесконечно малого размера; для тех, чей пространственный размер не бесконечно мал по сравнению с измерительным устройством, точность увеличивается быстро по мере измерения большего количества частот.

В статье, приведенной в верхней части этого ответа, авторы используют эти методы для измерения массы, размера (дисперсии) и асимметрии (асимметрии) некоторых капель жидкости, которые хорошо согласуются с оптическими измерениями.

Момент инерции и его физический смысл. Теорема Штейнера.

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Момент инерции представляет собой меру инерции тела во вращательном движении.

Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями: , где

— известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

— искомый момент инерции относительно параллельной оси,

— масса тела,

— расстояние между указанными осями.

 

Закон сохранения импульса.

В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

 

Закон сохранения момента импульса.

Если сумма моментов сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса сохраняется (закон сохранения момента импульса)

:
.

Закон сохранения энергии.

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остаётся постоянной.

,

,

Работа и мощность.

РаботойA, совершаемой постоянной силой называется физическая величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус углаα между векторами силы и перемещения : A = F*s* cosα

Мощность — это работа за единицу времени (1 с):

 

Кинетическая и потенциальная энергия.

Потенциальной энергией называется энергия, которая определяется взаимным положением взаимодействующих тел или частей одного и того же тела.

Потенциальная энергия упругих тел:

Кинетическая энергия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек в выбранной системе отсчёта. (для твердого тела).

Скалярно умножим уравнение на перемещение частицы . Учитывая, что , получим:

Если система замкнута, то есть внешние по отношению к системе силы отсутствуют, или равнодействующая всех сил равна нулю, то , а величина

остаётся постоянной. Эта величина называется кинетической энергией частицы.

Уравнение Бернулли.

Уравнение Бернулли — для стабильно текущего потока (газа или жидкости) сумма кинетической и потенциальной энергии, давления на единицу объема является постоянной в любой точке этого потока.

Первое и второе слагаемое в Законе Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. А третье слагаемое в нашей формула является работой сил давления и не запасает какую-либо энергию. Из этого можно сделать вывод, что размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящаяся на единицу объёма жидкости или газа.Постоянная в правой части уравнения Бернулли называется полным давлением и зависит в общих случаях, только от линии потока.

Характеристики колебаний.

Для описания колебательного движения существуют следующие характеристики: амплитуда, частота, период колебаний, циклическая частота.

Модуль максимально возможного смещения относительно положения равновесия называется амплитудой колебания А.

Промежуток времени, в течение которого происходит одно полное колебание, называется периодом колебания Т. Измеряется в секундах.

Число колебаний за одну секунду называетсячастотой . Измеряется в герцах (Гц). Если частота равна 1 Гц, то это значит, что за одну секунду тело совершает одно колебание.

Циклическая частота это величина на больше частоты. Она показывает сколько колебаний совершается за секунд. Измеряется в с-1

Гармонические колебания.

Гармонические колебания — колебания, при которых физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид

или

,

где х — смещение (отклонение) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t; А — амплитуда колебаний, это величина, определяющая максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия; ω — циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний происходящих в течение 2π секунд; — полная фаза колебаний, — начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде

 

Лабораторная работа 1.9 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПОМО- ЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА. О моменте инерции

Лабораторная работа 8

1 Лабораторная работа 8 Определение момента инерции твердых тел методом крутильных колебаний (унифилярный подвес). Цель работы: определение момента инерции твердого тела методом крутильных колебаний. Приборы

Подробнее

Составитель Н.С. Кравченко, Н.И.Гаврилина

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» УТВЕРЖДАЮ Проректор-директор

Подробнее

Виртуальная лабораторная работа 3

Виртуальная лабораторная работа 3 ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ПУЛИ С ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА (компьютерное моделирование) В.В.Монахов, Л.А.Евстигнеев, О.В.Огинец Цель работы — изучить основные закономерности

Подробнее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА Цель работы: определение момента инерции маховика по периоду его совместных колебаний с телом, момент инерции которого известен. Задание: по периоду малых колебаний

Подробнее

Лабораторная работа 2

Лабораторная работа Определение момента инерции системы тел Цель работы: экспериментальное определение момента инерции системы тел и сравнение полученного результата с теоретически рассчитанным значением

Подробнее

Лабораторная работа 5. Краткая теория

Лабораторная работа 5 Определение модуля сдвига по крутильным колебаниям Целью работы является изучение деформации сдвига и кручения, определение модуля сдвига металлического стержня. Краткая теория Модуль

Подробнее

Лабораторная работа 14. Маятник Максвелла

Лабораторная работа 14 Маятник Максвелла Цель работы: вычисление момента инерции кольца при помощи маятника Максвелла; проверка закона сохранения механической энергии. Оборудование: установка «Маятник

Подробнее

Ф. И. О. группа. Допуск Выполнение Защита

Ф. И. О. группа Допуск Выполнение Защита 1 Лабораторная работа 1-6: ИЗУЧЕНИЕ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА. Цель работы: освоение баллистического метода определения скоростей полёта тел. Приборы

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 133

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 133 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА. Цель работы: Целью работы является изучение основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела и экспериментальное

Подробнее

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3-7

1 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3-7 Изучение прецессии гироскопа Теория метода Гироскопом называется массивное тело, быстро вращающееся вокруг своей оси симметрии. При вращении вокруг этой оси момент импульса гироскопа

Подробнее

Описание экспериментальной установки.

ст преп Виноглядов ВН Лабораторная работа -3 Маятник Максвелла Цель работы: экспериментальное определение момента инерции тела вращения, изучение уравнения вращательного движения, проверка точности работы

Подробнее

I = M, (5.1) ε ( ) , (5.2) τ =, (5.3)

Методические указания к выполнению лабораторной работы 1.3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА * * Аникин А.И. Механика: методические указания к выполнению лабораторных работ по физике. Архангельск:

Подробнее

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ НИВЕРСИТЕТ Кафедра физики ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ Учебно-методическое пособие для студентов к выполнению лабораторной работы 5- по теме «Механические колебания»

Подробнее

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ И МЕТОД ЭКСПЕРИМЕНТА

Цель работы: изучение законов колебательного движения на примере физического маятника. Приборы и принадлежности: маятник универсальный ФПМ04. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ И МЕТОД ЭКСПЕРИМЕНТА Колебаниями называются

Подробнее

Лабораторная работа 10

КАЛМЫЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра экспериментальной и общей физики Лабораторная работа 10 Изучение движения гироскопа Лаборатория 210 Лабораторная работа 10 «ИЗУЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА» Цель

Подробнее

ИЗУЧЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ КРУЧЕНИЯ

Лабораторный практикум по ФИЗИКЕ МЕХАНИКА Задача 1 ИЗУЧЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ КРУЧЕНИЯ 10 3 9 4 5 6 7 8 1 МОСКВА 013 Автор описания: Митин И.В. Впервые подобная задача описана в самом первом издании физического

Подробнее

Лабораторная работа № 4.4 — Студопедия

Цель работы:изучение законов динамики вращательного движения и экспериментальное определение момента инерции тел вращения с помощью трифилярного подвеса.

Принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, штангенциркуль, образцы для измерений, линейка.

 

 Описание установки и методика измерений

     

 

В данной работе для определения момента инерции пользуются методом трифилярного подвеса. Трифилярный подвес представляет собой круглую платформу, подвешенную на трёх симметрично расположенных нитях (рис.1).  

     Наверху эти нити также прикреплены к диску меньшего, чем у платформы, диаметра. Платформа может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси. Центр тяжести при этом перемещается по оси вращения. Период колебаний определяется величиной момента инерции платформы. При нагружении платформы период колебаний изменяется, и этим пользуются в данной работе.

   Если платформа массой m, вращаясь, поднялась на высоту h, то приращение потенциальной энергии будет равно

U = m g h.

    Вращаясь в другом направлении, платформа придёт в положение равновесия с кинетической энергией, равной 


                                                   ,                                           где  I — момент инерции платформы; wmах  — угловая скорость платформы в момент прохождения ею положения равновесия.

   Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения имеем

                                                        .                                     (1)

    Считая, что платформа совершает гармонические колебания, можно записать зависимость углового смещения платформы от времени в виде

где j — угловое смещение платформы; j0 — амплитуда смещения;  Т — период колебаний; t — текущее время.

       

      Угловая скорость вращения платформы выразится так                                                                                                                                                                         

.

     В момент прохождения через положение равновесия                                              ( t=0; T/2; T; 3T/2 и т.д.)  и угловая скорость будет максимальной:

                                                   .                                     (2)

   На основании выражений (1) и (2) имеем

                                           .                              (3)                Если l — длина нитей подвеса,  R — радиус платформы,  r- радиус верхнего диска, то из рис.1 легко видеть, что

    

Высота подъёма платформы определяется формулой

                                    .                            (4)


  Подставим в (4) вместо h1 и h2   их значения, получим

                                  

 .     Вследствие малости угла 0 синус можно заменить аргументом. Тогда получаем

                                                .                                         (5)

      Подставляя (5) в (3), получим

,

отсюда

                                                       .                                          (6)                                    

     По формуле (6) могут быть определены момент инерции самой платформы и платформы с телом, т.к. все величины в правой части формулы могут быть непосредственно измерены.      

     Вращательный импульс, необходимый для начала крутильных колебаний, сообщается платформе путём поворота верхнего диска вокруг его оси при помощи натяжения шнура, приводящего в движение рычажок, связанный с диском. Этим и достигается почти полное устранение других некрутильных колебаний, наличие которых вносит погрешность в определение момента инерции.  

 Порядок выполнения работы 

1. Измерить внутренний и внешний диаметры диска. Значения массы диска, его внешний и внутренний радиусы, а также параметры трифилярного подвеса занести  в табл. 1.

                                                                                                       


                                                                                                                Таблица 1.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

L, м R, м g, м/с2 m0,кг m*,кг R1, м R2, м r, м
               

     

      2. Привести пустую платформу во вращательное движение, измерить время 10 полных колебаний, рассчитать период колебаний.  Опыт проделать 3 раза и полученные результаты занести в табл.2.

     3. Аналогичные измерения и расчёты сделать для нагруженной платформы.

 

                                                                                                               Таблица 2.

  

 Ненагруженная платформа

 

Нагруженная платформа

Номер Опыта t0, с   n  T0,  с   t, с N    T, с
1            
2 …            
3            
Ср.            

       

         

. 4. Вычислить моменты инерции ненагруженной  I0 и нагруженной I1 платформы по формуле (6). Определить момент инерции измеряемого тела по формуле I = I1 — I0. Записать окончательный результат.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

       

 5. Рассчитать теоретическое значение момента инерции:                

                                               ,

где R1 — внешний радиус тела; R2 — внутренний радиус тела.

     6. Полученные в п. 5 данные сравнить с результатами опыта. Оценить в процентах отклонение значения момента инерции, полученное в опыте, от теоретически рассчитанной величины.

 

Контрольные вопросы

1. В чём состоит физический смысл момента инерции твёрдого тела?

2. Как рассчитать момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр инерции?

3. Как формулируется основной закон динамики вращательного движения?

4.  От чего зависит кинетическая энергия вращающегося тела?

5. Как записать закон сохранения механической энергии в условиях данной работы?

6. Как формулируется теорема Штейнера?

7. По какой формуле определяется теоретическое значение момента инерции диска с соосным круглым отверстием?  

 

 

 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ПОЛЕТА ПУЛИ

классическая механика — Физический смысл момента инерции относительно оси

Момент инерции массы 3 × 3 представляет собой тензор, который выражает единичный радиус вращения для каждой плоскости, проходящей через центр масс.

Что такое радиус вращения?

Радиус вращения (RGYR) выражает распределение массы вокруг оси вращения (перпендикулярно указанной плоскости) в виде эквивалентного кольца или цилиндра со всей массой на одном радиусе от оси.

Но это еще не все. Он также определяет, где находится ось удара для данного вращения от центра масс.

Что такое ударная ось?

Ось удара, обычно обозначаемая как «золотая середина» . в спорте — это ось в пространстве, которая при ударе вызывает определенное вращение.

Как?

В 2D это какое-то волшебство. Предположим, у вас есть твердое тело с радиусом вращения $ r_G $, и вы хотите повернуть его вокруг оси, расположенной на расстоянии $ c $ от центра масс.Вот эскиз на плоскости, перпендикулярной вращению

.

Я нарисовал радиус вращения от центра масс.

Теперь выполните следующие действия:

  1. Нарисуйте вспомогательные линии от касательной точки вращения к радиусу вращения и соедините точки касания
  2. Отразите эту линию относительно центра масс

Теперь у вас есть ось перкуссии , определенная

$$ p = \ frac {I _ {\ rm plane}} {m c} = \ frac {r_G ^ 2} {c} $$

Обратите внимание, что ось удара является чисто геометрической конструкцией, если известен радиус вращения.Сказанное выше относится к полярно-полярному отображению в геометрии.

Лемма

Радиус вращения на плоскости может отображать каждую точку на плоскости (центр вращения) на уникальную линию на плоскости (ось удара) и наоборот. Если точка вращения находится на бесконечности (чистое перемещение), тогда ось удара проходит через центр масс (сила, действующая через CM, перемещает тело). Кроме того, если точка вращения находится в центре масс, тогда ось удара находится на бесконечности, что представляет собой чистый крутящий момент на теле.2 \ end {vmatrix} $$

Вышеупомянутое сокращается до трех основных радиусов вращения вокруг некоторой повернутой системы координат, что исключает перекрестные члены (недиагональные члены).


Подтверждение ударной геометрии

Рассмотрим треугольник ABC от точки поворота до точки касания и центра масс.

Угол $ \ theta $ находится по $ \ sin \ theta = \ frac {r_G} {c} $

Теперь рассмотрим маленький треугольник BDC со стороной $ p = r_G \ sin \ theta $, потому что он похож на ABC .2} {c}} $$

Я предоставлю читателю возможность доказать, что сила, действующая через ось удара на покоящееся тело, вызовет вращение вокруг оси без каких-либо сил реакции .

ньютоновской механики — Первая производная момента инерции во времени как физического параметра

Теорема Гюйгенса-Штейнера (преобразование параллельных осей):

$$ J_P = J_C-m \, \ tilde {r} \, \ tilde {r} \ tag 1 $$

где

  • $ J_C $ — тензор инерции в системе координат, расположенной в центре масс

  • м — общая масса

  • $ \ vec {r} $ — вектор из ЦМ в точку P, компоненты вектора r заданы в системе координат ЦМ.T \ tag 3 $$

    где $ R $ — матрица преобразования неподвижной системы тела в инерциальную систему.

    уравнение движения:

    $$ \ frac {d} {dt} \ vec {L} = \ frac {d} {dt} \ left (J_I \, \ vec {\ omega} \ right) = J_I \ vec {\ dot {\ omega }} + \ frac {d} {dt} \, \ left (J_I \ right) \, \ vec {\ omega} = J_I \ vec {\ dot {\ omega}} + \ vec {\ omega} \ times (J_I \, \ vec {\ omega}) = \ vec {\ tau} \ tag 4 $$

    вот где нужна производная тензора инерции


    Приложение $$ \ vec {r} = \ left [\ begin {array} {c} x \\ y \\ z \ end {array} \ right] \ quad, \ tilde {r} = \ left [\ begin {array} {ccc} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ — y & x & 0 \ end {array} \ right]

    $

    редактировать

    $$ \ frac {d} {dt} \ left (R \, J_P \, R ^ T \ right) \, \ omega = \ left (\ dot R \, J_P \, R ^ T + R \, J_P \, \ dot R ^ T \ right) \ omega $$

    с $$ ~ \ dot R = \ tilde \ omega \, R \\\ dot R ^ T = -R ^ T \, \ tilde \ omega $$

    $ \ Rightarrow $

    $$ \ влево (\ тильда \ омега \, R \, J_P \, R ^ T-R \, J_P \, R ^ T \, \ тильда \ омега \ вправо) \ omega = \ omega \ times J_I \, \ omega $$

    Момент инерции твердого тела



    привет, ребята, сегодня coolknowledge расскажу о моменте инерции твердого тела.Когда мы говорим о В момент инерции в нашем уме возникают два известных случая. Они момент инерции Сферы и момент инерции Цилиндра.

    Есть два объекта, один из объектов малой массы, а другой объекты имеют большую массу. Какие объекты легче перемещать при движении с в том же стиле? Этот факт указывает на то, что объект, масса которого меньше, легче двигаться, чем объект, масса которого больше. Такая большая или маленькая масса объект большой или малый, ускорение определяет движение объектов, если работал над стилем.Если при прямом движении масса объекта определяет легко или трудно перемещать (ускорять), то вращательное движение, момент инерции объекта для определения легкости объекта или трудно двигаться. Чтобы лучше понять определение момента инерция, объяснения узнал ниже.

    В момент инерции — это мера инерции объекта, который вращается на своем ось. Это измерение аналогично вращению, а не массам. В момент инерции играет роль во вращательной динамике, поскольку масса в основном динамики и определения взаимосвязи между угловым моментом и угловым скорость, момент силы и угловое ускорение, и некоторые другие количества.Хотя обсуждение скалярного момента инерции, обсуждение тензорный подход позволяет анализировать более сложные системы, такие как гироскопические движение. Поэтому, прежде чем мы обсудим эти два случая подробнее, мы должны знать сначала о моменте инерции самого твердого тела. Момент силы — это форма бизнеса, в которой одна точка ориентир. Например, дети, играющие на качелях, с точкой поворота ссылка — это качели. Во вращающемся шкиве из-за трения о трос тянут и подключают к нагрузке.

    Момент силы — это произведение силы и направления движения. линия работы кратчайшее расстояние до точки опоры. Момент силы часто называется крутящим моментом или крутящим моментом.

    Моментную инерцию твердого тела можно определить следующим образом: Зная формулу момента инерции твердого тела, Теперь мы можем определить момент инерции Сферы и Цилиндра следующим образом:

    Теперь вы можете хорошо и легко понять момент инерции твердого тела, и вы можете увидеть очевидно воплощение в вашу повседневную жизнь. 2 \\ & = \ frac {MR} {2 \ pi} dx \ dots (i) \\ \ end {align *} Следовательно, момент инерции I всего кольца относительно YY ‘может быть получен путем интегрирования уравнения} (i) {для всей окружности кольца \ begin {align *} \ текст {я.2} {2} \\ \ end {align *}

    Это уравнение дает момент инерции тонкого однородного круглого диска относительно оси, проходящей через центр и перпендикулярной его плоскости. Моменты инерции некоторых правильных твердых тел показаны на рисунке.

    г Каков физический смысл момента инерции? Момент инерции — это угловой момент объекта при заданных

    Ответ:

    Я немного запутался —

    Пояснение:

    Не могли бы вы переписать и объяснить вопрос подробнее?

    Ответ: Масса скульптуры 11.2

    L = длина струны = 90 см = 0,9 м

    μ = массовая плотность = масса струны / Длина струны

    масса струны = 5 г = 0,005 кг

    L = 0,9 м

    μ = 0,005 / 0,9 = 0,0056 кг / м

    Использование (Уравнение 1)

    80 = 1 / (2 * 0,9) √ (T / 0,0056)

    144 = √ (T / 0,0056)

    Квадрат с обеих сторон

    20736 = T / 0,0056

    T = 116,12N

    Напомним, что T = Mg

    116,12 = M * 9,8

    M = 116,12 / 9,8

    M = 11,8 кг

    Следовательно, масса скульптуры равна 11.8 кг

    Ответ:

    Пояснение:

    Привет! Это будет A. Плоские зеркала создают только виртуальные изображения, а вогнутые зеркала создают реальные и виртуальные изображения.

    Потому что это была треска, поэтому

    Ответ:

    I = 2,945 10⁻² Вт / м²

    Пояснение:

    В этом упражнении требуется вычислить интенсивность излучения, которая определяется мощностью на единицу ар.

    I = P / A

    Приблизиться к Земле в виде сферы с площадью

    A = 4π R²

    Заменим

    I = P / 4π R²

    Давайте уменьшим величины

    Вт = 15 10¹² Вт

    R = 6366 км (10³ м / 1 км) = 6.366 10⁶ м

    Рассчитаем

    I = 15 10¹² / 4π (6,366 10⁶) ²2

    I = 2,945 10⁻² Вт / м²

    Это очень небольшая величина по сравнению с интенсивностью, исходящей от Солнца 1353 Вт / м²

    Связь между крутящим моментом и угловым ускорением


    Далее: Кинетическая энергия вращения Up: Вращательное равновесие и динамика Предыдущая: Центр тяжести

    Рассмотрим массу м , движущуюся по окружности радиуса r , действовавшую на тангенциальной силой F t , как показано на рисунке 8.2.
    Рисунок 8.2: Крутящий момент и угловое ускорение

    Используя второй закон Ньютона, чтобы связать F t с тангенциальным ускорение a t = r , где — угловой ускорение:

    F t = ma t = mr

    и тот факт, что крутящий момент вокруг центра вращения из-за F t это: = F t r , получаем:

    = mr 2 .

    Для вращающегося твердого тела, состоящего из набора масс м 1 , м 2 …. общий крутящий момент вокруг оси вращения составляет:
    знак равно
    знак равно ( м i r i 2 ). (9)
    Вторая строка выше использует тот факт, что угловое ускорение всех точек твердого тела одинакова, поэтому его можно взять вне суммирования.

    Определение: Момент инерции твердого тела

    Момент инерции , I твердого тела дает меру принадлежащий количество сопротивления тела изменению своего состояния вращательное движение. Математически,

    I = м i r i 2 . (10)
    Примечание: Момент инерции измеряется в кг · м 2 .

    Это позволяет нам переписать уравнение 8.9 как:

    = I (11)
    который является вращательным аналогом второго закона Ньютона.

    Примечание:

    • Полный набор динамических уравнений, необходимых для описания движение твердого тела состоит из уравнения крутящего момента, заданного выше, плюс второй закон Ньютона , примененный к центру масса объекта :

      = м

      куда — ускорение центра масс.
    • Момент инерции, как и крутящий момент, должен быть определен примерно конкретная ось. Он отличается для разных вариантов выбора осей.
    • Протяженные объекты снова можно рассматривать как очень большие совокупность склеенных вместе гораздо меньших масс, к которым может применяться приведенное выше определение момента инерции.
    • Примеры моментов инерции протяженных объектов:
      униформа обруч: I = mr 2
      цилиндрическая оболочка I = mr 2
      длинный тонкий стержень (около середины) I = мл 2
      длинный тонкий стержень (около одного конца) I = мл 2
      сплошной цилиндр I = mr 2
      сплошная сфера I = mr 2
    • Момент инерции зависит от того, как распределяется масса о оси.Для данной общей массы момент инерции равен больше, если больше массы находится дальше от оси, чем если бы такая же масса распределяется ближе к оси.


    Далее: Кинетическая энергия вращения Up: Вращательное равновесие и динамика Предыдущая: Центр тяжести
    [email protected]
    09.10.1997

    Тензор инерции

    Угловой момент твердого тела

    Угловой момент твердого тела (рисунок 1) можно получить из суммы угловых моментов частиц, образующих корпус:

    [1]

    Рисунок 1

    , где r i = вектор положения частицы i и w = вектор угловой скорости твердого тела.А теперь пусть

    [2]

    [3]

    Обратите внимание, что локальный опорный кадр, система XYZ , является определены и закреплены на корпусе на O и r i & w сот описано в этом кадре. Подставляя [2] и [3] в [1]:

    [4]

    Верх

    Тензор инерции

    Пусть

    [5]

    Подставляя [5] в [4]: ​​

    [6]

    [7]

    , где I = тензор инерции.Угловой момент твердого тела, вращающегося вокруг оси, проходящей через начало локальной привязки Фактически, кадр является произведением тензора инерции объекта и угловой скорости. Диагональные элементы в тензоре инерции, показанном в [7], I xx , I yy & I zz , называются моменты инерция , а остальные элементы называются произведениями инерции .Также см. Момент инерции и Эллипсоид инерции для получения дополнительной информации. детали моментов и произведений инерции. Как показано в [7], тензор инерции симметричный .

    Матрица 3 x 3 в [7] достаточна для требования тензора 2-го ранга:

    [8]

    , где i , j , k и l = от 1 до 3, t ij = элемент матрицы ортогонального преобразования, и I ‘ ij = элемент преобразованный тензор инерции.Это свойство подробно объясняется в Преобразовании. тензора инерции. Фактически скаляр — это тензор нулевого ранга:

    [9]

    , где S = скаляр, S ‘ = преобразованный скаляр.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.