Равенство векторов. Сложение векторов. » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru

п.6. Равенство векторов.

Определение. Два вектора называются равными, если они сонаправленные и имеют равные модули.

   Иначе, .

Равные векторы можно обозначать одной буквой (с чертой или со стрелкой): . В этом случае говорят, что вектор  отложен от точки А. Если , то говорят, что вектор  отложен от точки С. Таким образом, любой вектор можно отложить от любой точки пространства S.

Замечание. На самом деле, понятие равенства векторов расширяет само понятие вектора. Если первоначально под вектором мы понимали упорядоченную пару точек пространства S, т.е. направленный отрезок, то теперь под вектором мы будем понимать множество  в с е х направленных отрезков, сонаправленных друг с другом и имеющих одинаковую длину. Если один и тот же вектор отложить от двух различных точек, например, , то направленный отрезок  можно совместить с направленным отрезком  с помощью параллельного переноса. Часто направленные отрезки  и  называются представителями одного и того же вектора .

п.7. Сложение векторов.

   Пусть  – множество всех векторов пространства точек S. Определим на этом множестве операцию сложения векторов.

Определение. Пусть  – два произвольных вектора.

Отложим вектор , от какой-нибудь точки А и обозначим его конец буквой В, так что . Вектор  отложим от точки В (от конца первого вектора) и обозначим его конец буквой С, так что  Тогда вектор  называется суммой векторов  и  и обозначается .

                             А                                               В

                                                       С

                                                    рис. 7.

   Это правило сложения векторов носит название правило треугольника.

   Существует еще одно правило сложения векторов, которое называется правилом параллелограмма и дает точно такой же результат.

   Оба вектора  и  отложим от одной точки А и обозначим через В конец вектора , через D – конец вектора .

   Достраиваем до параллелограмма. Через точку D проводим прямую параллельную АВ, через точку В – прямую параллельную AD, точку пересечения построенных прямых обозначим буквой С. Тогда ABCD – параллелограмм. Вектор . См. рис.8:

                             А                                               В

        D                                            С

                                      рис. 8.

Равенство  следует из равенства векторов  и из определения, т.е. из правила треугольника сложения векторов.

Определение. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором.

Обозначение нулевого вектора: .

   Заметим, что модуль нулевого вектора равен нулю:

. Более того, нулевой вектор является нулевым элементом относительно сложения векторов. Этот факт сразу же следует из правила треугольника сложения векторов.

   Полагаем также, по определению, что нулевой вектор коллинеарный любому вектору и, более того, сонаправленный с любым вектором и, одновременно, противоположно направлен любому вектору.

Определение. Вектор  называется противоположным вектору , если:

1) , т.е. они имеют противоположные направления;

2)  – имеют равные модули.

Обозначение. Вектор противоположный вектору  обозначается .

   Из определения противоположного вектора следует, что если , то . Действительно,  и . Из правила сложения векторов (правило треугольника) сразу же следует, что сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

, т.е. .

Возможно найдутся ответы здесь:

Определение и физический смысл вектора в пространстве. Геометрия, 10 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Вопросы по векторам в пространстве Сложность: среднее	1
2.	Основные определения Сложность: лёгкое	4
3.	Знание теоретических основ Сложность: лёгкое	1
4.	Определение векторов заданного типа Сложность: лёгкое	4
5.	Определение по чертежу векторов Сложность: среднее	5
6.	Определение «равных по длине» векторов Сложность: среднее	4
7.	Использование коллинеарности векторов Сложность: среднее	4
8.	Вычисление длины вектора Сложность: сложное	10
9.	Нахождение длины равных векторов Сложность: сложное	10
10.	Длина вектора Сложность: сложное	3

Свойства коллинеарных векторов:

1. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору: Если (или ), то (или ).

2. Нулевой вектор одинаково направлен с любым вектором, .

3. Любые два коллинеарных вектора можно отложить на одной прямой.

Достаточно отложить векторы от одной точки.

4. На прямой можно указать всего два направления, следовательно, два вектора, отложенных на ней могут иметь либо одно и то же направление, либо противоположное.

Определение 4.

Векторы и называются противоположными.

Рассмотрим вектор . Отложим его от точки А.

Для вектора = противоположным называется вектор , =–.

Вектор, противоположный , это вектор , т.е. =–(–).

Для нулевого вектора противоположным является вектор , или =–.

Определение 5.

Ненулевые векторы и называются одинаково направленными (сонаправленными), если лучи АВ и CD одинаково направлены, обозначается символом :

.

Ненулевые векторы и называются противоположно направленными, если лучи АВ и CD противоположно направлены, обозначается символом :

.

3. Абсолютная величина вектора

Определение 6.

Модулем (длиной, абсолютной величиной) вектора называется длина отрезка АВ, обозначается , или АВ.

Длина нулевого вектора равна нулю: .

Определение 7.

Вектор, абсолютная величина которого равна единице, называется единичным.

Единичный вектор обозначается , .

4. Равенство векторов

Определение 8.

Два вектора и называются равными, если выполнены следующие условия:

1) они имеют одинаковое направление, ;

2) абсолютные величины их равны, ||=||.

Из определения следует, что два нулевых вектора всегда равны.

Равенство векторов обладает свойствами, аналогичными свойствам равенства чисел.

Свойства равенства векторов:

1. Рефлексивность: каждый вектор равен самому себе ;

2. Симметричность: .

3. Транзитивность: .

Равенство векторов является отношением эквивалентности.

5. Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называются сложение векторов и умножение вектора на действительное число.

5.1. Сложение векторов

Определение 9 (Правило треугольника).

Суммой векторов и , отложенных последовательно, называется вектор , начало которого совпадает с началом первого слагаемого вектора, а конец – с концом второго.

,

(7.1)

Сумма векторов существует и определена однозначно.

Свойства сложения:

1.	С=В
2.	С=В, В=А
3.	С=А
4.	Коммутативность
5.	Ассоциативность

Определение 10 (Правило параллелограмма).

Суммой векторов и , отложенных от общего начала, называется вектор , задаваемый диагональю построенного на них, как на сторонах, параллелограмма, исходящей из их общего начала. Начало вектора суммы совпадает с началом слагаемых векторов, а конец – с противоположным концом диагонали параллелограмма.

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение двух связных (фиксированных) векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.

Определение 11 (Правило многоугольника).

Суммой n векторов , отложенных последовательно, называется вектор, начало которого совпадает с началом первого слагаемого вектора, а конец – с концом последнего слагаемого вектора.

12. Понятие вектора — Контрольные работы по математике и другим предметам!

Существуют величины, которые характеризуются помимо своей величины ещё и направленностью. Это скорость, ускорение, сила, смещение материальной точки и т. п. Можно абстрагироваться от конкретной физической величины и считать, что вектор — это направленный отрезок. Определение: вектор — это направленный отрезок.

Будем обозначать вектор AB. А — начало вектора, В — конец вектора.

— означает длина вектора (символ модуля).

Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают.

Важное свойство векторов — коллинеарность. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Теперь сформулируем понятие равенства двух векторов: два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление. Два нулевых вектора считаются равными.

равные неравные

Из определения равенства векторов следует, что мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения. Иными словами, точка приложения вектора может быть произвольной. В соответствии с этим векторы в геометрии называются свободными.

Определим линейные операции над векторами.

Сложение. Суммой двух векторов Называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало приложено к концу вектора .

Геометрически это можно изобразить правилом треугольника:

Правило сложения векторов обладает теми же четырьмя свойствами, что и правило сложения вещественных чисел:

1. (переместительное свойство).

2. (сочетательное свойство).

3. Существует нулевой вектор, такой, что .

4. Для каждого существует такой что .

Эти свойства доказываются геометрическими построениями. К примеру свойство 1:

Эти свойства позволяют оперировать с векторами так же как и с вещественными числами.

Определим разность векторов как сумму где — противоположный вектор вектору .

Определим, наконец, операцию умножения вектора на вещественное число.

Произведением называется вектор, коллинеарный , имеющий длину и имеющий направление, совпадающее с если И противоположное, если .

Геометрический смысл умножения — вектор растягивается в раз.

Операция умножения обладает тремя свойствами:

5. (распределительное свойство относительно суммы векторов).

6. (распределительное свойство относительно суммы чисел).

7. (сочетательное свойство).

Доказываются эти свойства тоже графически.

Рассмотрим Теорему 1. Если вектор Коллинеарен вектору , то существует такое вещественное число , что .

Совместим И . В силу коллинеарности они окажутся на одной прямой. Т. е.

O

(*)

Докажем, что . Т. е. что длины их равны, направления совпадают, коллинеарны.

Коллинеарность вытекает из определения произведения И коллинеарности И , равенство длин непосредственно из определения произведения и (*). Наконец, опять из определения произведения следует, что если , направления совпадают, и если , то И — противоположно направлены.

Определение 1. Линейной комбинацией n векторов мы называем сумму вида

Где — вещественные числа.

Определение 2. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство:

Если все , то такие векторы называются линейно независимыми.

Докажем Теорему 2. Если среди N Векторов хотя бы один нулевой, то эти векторы являются линейно зависимы. Доказательство: пусть для определённости . Тогда выполняется равенство:

Где .

И по определению линейной зависимости эти векторы линейно зависимы.

Теорема номер три: если среди П Векторов Какие либо (П-1) линейно зависимы, то и все П являются линейно зависимы.

Действительно: линейная зависимость (П-1) векторов означает:

Добавим сюда равное 0 слагаемое и получим ,

Где не все равны нулю, т. е. теорема доказана.

< Предыдущая		Следующая >

Разработка урока по теме «Понятие вектора. Равенство векторов. Откладывание вектора от данной точки».

Г – 9 класс Урок № 2

Тема: Понятие вектора. Равенство векторов. Откладывание вектора от данной точки.

Цели:

• ввести понятие вектора, его длины, коллинеарных и равных векторов;

• научить обучающихся изображать и обозначать векторы, откладывать от любой точки плоскости вектор, равный данному;

• закрепить знания обучающихся в ходе решения задач;

• развивать память, внимание, математическое мышление;

• вырабатывать трудолюбие, стремление достигать поставленные цели и задачи.

Ход урока.

1. Организационные моменты.

Сообщение темы и целей урока.

2. Актуализация знаний и умений обучающихся.

1. Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных заданий.

2. Проверка теоретических сведений:

1. Равнобедренный треугольник и его свойства. Признаки равенства треугольников.

2. Определение средней линии треугольника и ее свойство.

3. Теорема Пифагора и обратная ей теорема.

4. Формула для вычисления площади треугольника.

5. Понятие параллелограмма, свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника.

6. Определение трапеции, виды трапеций.

7. Площадь параллелограмма, площадь трапеции.

3. Изучение нового материала.

Материал пунктов 76–78 изложить в виде небольшой лекции с применением разнообразных презентации «Вектора»

1. Понятие векторных величин (или коротко векторов).

2. Примеры векторных величин, известных обучающимся из курса физики: сила, перемещение материальной точки, скорость и другие (рис. 240 учебника).

3. Определение вектора (рис. 241, 242).

4. Обозначение вектора – двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например, , или часто обозначают одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: (рис. 243, а, б).

5. Понятие нулевого вектора: любая точка плоскости также является вектором; в этом случае вектор называется нулевым; обозначают:  (рис. 243, а).

6. Определение длины или модуля ненулевого вектора . Обозначение: . Длина нулевого вектора = 0.

7. Найти длины векторов, изображенных на рисунках 243, а и 243, б.

8. Выполнить практические задания № 738, 739.

9. Рассмотреть пример движения тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении (из пп. 77 учебника), рис. 244.

10. Ввести понятие коллинеарных векторов (рис. 245).

11. Определение понятий сонаправленных векторов и противоположно направленных векторов, их обозначение (рис. 246).

12. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

13. Определение равных векторов: если  и , то .

14. Объяснение  смысла  выражения:  «Вектор  отложен  от  точки А» (рис. 247).

15. Доказательство утверждения, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один (рис. 248).

16. Выполнение практического задания № 743.

17. Устно по готовому чертежу на доске решить задачу № 749.

4. Решение задач.

1. Решить задачу № 740 (а) на доске и в тетрадях.

2. Устно решить задачу № 744.

3. Решить задачу № 742.

4. Решить задачу № 745 (выборочно).

5. Устно по заготовленному чертежу решить задачу № 746.

6. Доказать прямое утверждение в задаче № 750:

Доказательство

По условию , то AB || CD, значит, по признаку параллелограмма АВDС – параллелограмм, а диагонали  параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, значит, середины отрезков AD и BC  совпадают.

 

Повторение организовать в ходе решения следующих задач — Задания для повторения из банка заданий ОГЭ (ГИА)-2016:

№ 9, 10, 11, 12, 13 – из модуля «Геометрия»; № 24 – из части 2 модуля «Геометрия» Вариант № 3

 

5. Итоги урока.

Подведение итогов урока. Выставление отметок.

В результате изучения § 1 обучающиеся должны знать определения вектора и равных векторов; уметь изображать и обозначать векторы, откладывать от данной точки вектор, равный данному; решать задачи типа №№ 741–743; 745–752.



6. Домашнее задание: изучить материал пунктов 76–78; ответить на вопросы 1–6, с. 213 учебника; решить задачи №№ 747, 749, 751.

Векторы. Свойства вектора

Векторы в пространстве

Понятие вектора появилось в 19 веке в работах математиков Г. Грассмана У. Гамильтона

Задание

Записать все термины по теме «Векторы на плоскости».

Вектор

Нулевой вектор

Длина вектора

Коллинеарные векторы

Сонаправленные векторы

Противоположно направленные векторы

Равенство векторов

Определение вектора в пространстве

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой- концом, называется вектором .

В

Обозначение вектора

АВ, с

с

А

ТТ

Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется

нулевым.

Обозначение нулевого вектора

ТТ, 0

0

Длина ненулевого вектора

• Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ.

• Длина вектора АВ ( вектора а) обозначается так :

АВ , а

• Длина нулевого вектора считается равной нулю :

= 0

0

Определение коллинеарности векторов

• Два ненулевых вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Коллинеарные векторы

Сонаправленные векторы

Противоположно направленные векторы

Какие векторы на рисунке сонаправленные? Какие векторы на рисунке противоположно направленные? Найти длины векторов АВ ; ВС; СС 1.

Сонаправленные векторы:

5 см

D 1

C 1

AA 1 BB 1 , A 1 D B 1 C

AB D 1 C 1

3 см

В 1

A 1

Противоположно-направленные:

CD D 1 C 1, CD AB,

DA BC

9 см

9 см

D

C

АВ = 5 см; ВС = 3 см; ВВ1 = 9 см.

3 см

A

B

5 см

Равенство векторов

Векторы называются равными , если они

сонаправлены и их длины равны .

С

В

АВ=ЕС, так как

АВ ЕС и АВ = ЕС

Е

А

Могут ли быть равными векторы на рисунке? Ответ обоснуйте.

• Рисунок № 1 Рисунок № 2

О

А

В

Н

К

А

М

С

АН=ОК, т. к АН ОК

АВ=СМ, т. к АВ = СМ

Э

Э

Доказать , что от любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один

Дано: а, М.

Доказать: в = а, М в, единственный.

Доказательство:

К

Проведем через вектор а и точку

М плоскость.

М

В этой плоскости построим

МК = а.

а

Из теоремы о параллельности

прямых следует МК = а и М МК .

В

Решение задач

№ 322

Укажите на этом рисунке

все пары:

М

В 1

С 1

а) сонаправленных векторов

Д 1

А 1

К

ДК и СМ; C В и С 1 В 1 и Д 1 А 1;

б) противоположно направленных

векторов

СД и АВ; АД и СВ; АА 1 и СС 1; АД и Д 1 А 1; АД и С 1 В 1;

С

в) равных векторов

C В = С 1 В 1 ; Д 1 А 1 = С 1 В 1; ДК=СМ

А

Д

Решение задач

№ 321 (б)

Решение:

C 1

D 1

DC 1 =

B 1

A 1

DB =

DB 1 =

C

D

B

A

В

Решение задач

№ 323

Дано : точки М, N, P,Q – середины сторон

AB, AD, DC, BC ; AB = AD = DC = BC = DD=AC ;

D

а) выписать пары равных векторов;

MN = QP ; PN = QM ; DP = PC ;

б) определить вид четырехугольника

MNHQ .

Р

N

Решение: NP- средняя линия треугольника

ADC, NP = 0,5AC, NP\\AC ;

MQ- средняя линия тр . ABC, MQ = 0,5AC,

MQ\\AC,

А

С

NP=MQ, NP\\MQ .

PQ- средняя линия треугольника D В C ;

PQ = 0,5DB, PQ\\DB ;

Q

М

NM -средняя линяя треугольника ADB,

MN = 0,5DB, MN\\DB,

PQ=MN, PQ\\MN .

По условию все ребра тетраэдра равны , то он правильный и скрещивающиеся ребра в нем перпендикулярны.

DB перпендикулярно АС .

MNPQ-

квадрат

NP=MQ = PQ=MN

NP\\MQ

MN\\PQ

В

Решение задач

№ 326 (а , б , в)

Назовите вектор , который

получится , если отложить:

а) от точки С вектор , равный DD 1

М

С 1

В 1

К

D 1

А 1

CC 1 = DD 1

б) от точки D вектор , равный СМ

DK = CM

в) от точки А 1 вектор , равный АС

С

А 1 С 1 = АС

А

D

Самостоятельная работа

Дан тетраэдр МАВС , угол АСВ прямой. Точки К и Р середины сторон МВ и МС , АС = 9 см и ВА = 15 см. Найти КМ .

Решение:

М

М

Треугольник АВС , угол АСВ- прямой.

По теореме Пифагора

К

С

9

КМ – средняя линия треугольника МВС ,

КМ = 0 ,5 ВС = 6 см.

КМ = 6 см.

А

15

В

Домашнее задание

Стр. 84 – 85

№ 320 , 321(а) , 325.

Координаты вектора в математике: определение и свойства

Координаты вектора ― это коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

Содержание:

1. Координаты вектора
2. Свойства координат вектора

Координаты вектора

Для введения понятия координат вектора следует рассмотреть возможность разложения вектора по осям координат. Мы хотим каждый вектор задать парой чисел — проекциями этого вектора на оси координат. При таком подходе действия над векторами можно свести к действиям с парами чисел.

Определим проекции вектора на координатную ось. Пусть задана координатная ось Ох. Единичный отрезок ОЕ теперь будем считать единичным вектором , т. е. вектором, длина которого равна 1 (рис. 2.506).

       

Возьмем любой вектор и отложим его от некоторой точки А:

Спроектируем точки А и В на ось Ох. Получим точки и составляющую  вектора по оси Ох (рис. 2.507). Ее длина со знаком «плюс» или «минус» и называют проекцией вектора на ось Ох.

Определение. Проекцией вектора на ось Ох называют длину его составляющей  по этой оси, взятую со знаком «плюс» или «минус». При этом берется знак «плюс», если направление вектора совпадает с направлением оси Ох, и знак «минус», если эти направления противоположны. Если = 0, т. е.

Проекция точки — точка, проекция отрезка — отрезок (или точка), а проекция вектора — число.

Вектор получается из коллинеарного ему единичного вектора умножением на . При этом если сонаправлен с , то Если же противоположно направлен , то 

Следовательно, имеет место равенство

Можно доказать следующие свойства проекций векторов на ось.

1.    Равные векторы имеют равные проекции на заданную ось.

2.    При сложении векторов их проекции на ось складываются.

3.    При умножении вектора на число его проекция умножается на это число.

Прежде чем ввести понятие координат вектора, докажем теорему.

Теорема 6. Пусть на плоскости введена прямоугольная система координат с единичными векторами координатных осей Ох и Оу. Пусть — некоторый вектор, а — его проекции на оси координат. Тогда вектор единственным образом представляется в виде (рис. 2.508).

Выше получена формула для разложения вектора а по векторам (с учетом обозначения): .

Пару чисел называют координатами вектора в данной системе координат.

Координаты вектора в пространстве определяются так же, как на плоскости. Справедлива следующая теорема.

Теорема 7. Пусть в пространстве введена прямоугольная система координат с единичными векторами координатных осей Ох, Оу, Oz. Тогда вектор единственным образом представляется в виде (рис. 2.509).

Числа называются координатами вектора относительно векторов, которые называются базисными векторами или, короче, базисом.

Введенные координаты вектора позволяют получить формулу длины вектора.

Рассмотрим рисунок 2.508.

1.    Если точка А не лежит на координатных осях, то треугольник прямоугольный.

2.     (1, теорема Пифагора).

3.    Так как то получаем, что (2).

4.    Но  поэтому

(3, 4).

Формула справедлива и в тех случаях, когда точка А лежит на какой-то оси координат.

Свойства координат вектора

В курсе геометрии нам практически не приходится работать с векторами в координатах (это приходится делать в курсе физики). Можно доказать различные свойства координат вектора:

1.    Координаты равных векторов соответственно равны. Обратно: векторы, имеющие соответственно равные координаты, равны.

2.    При сложении векторов их соответствующие координаты складываются. А именно, если 

3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. А именно, если

 

Координаты вектора связаны с координатами точки по следующему правилу: чтобы найти координаты вектора, нужно от координат конца вектора отнять координаты начала вектора.

В частности, если вектор отложен от начала координат, то координаты вектора равны координатам его конца.

Возьмем в пространстве некую прямоугольную систему координат с началом в точке О и координатными осями х, у, z (рис. 2.510). Пусть А, В, С — точки с единичными координатами на этих осях, т. е. А(1, 0, 0), В(0, 1, 0), С(0, 0, 1).

Тогда векторы — это направляющие единичные векторы координатных осей х, у, z.

Возьмем любую точку М(х, у, г), и пусть — ее радиус-вектор.

Теорема 8. Координаты точки М соответственно равны координатам ее радиус-вектора относительно базиса .

 

 

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

linear algebra — Определение равенства между элементами векторного пространства

Это действительно хороший вопрос! Итак, то, о чем вы говорите, является примером теории первого порядка с равенством . Мы заранее определяем аксиомы равенства (я сформулирую их через минуту), а затем добавляем набор правильных символов $ \ mathcal P $ и соответствующих аксиом. К другим примерам теорий первого порядка с равенством относятся теории групп, абелевых групп, решеток, множеств и т. Д.

Аксиомы равенства:

1. $ \ forall x (x = x)
долларов США
2. $ \ forall x_1.n $ на языке первого порядка.

Теперь мы добавляем к вышеприведенным аксиомам набор из собственных аксиом и правильных символов , чтобы описать то, что известно как векторное пространство:

Правильные символы, функции, отношения:

1. Есть элемент $ 0 \ in V $, называемый нулем.
2. Функциональный символ $ \ alpha: V \ times V \ to V $, записанный как $ \ alpha (v, w) = v + w $.
3. Другой функциональный символ $ \ mu: \ mathbb F \ times V \ to V $, записанный как $ \ mu (\ lambda, v) = \ lambda \ cdot v $.

Вы можете спросить, почему я называю это теорией первого порядка . Следующие аксиомы сделают это очевидным:

Аксиомы векторного пространства (собственное):

1. $ \ forall x \ forall y (x + y = y + x)
долларов США
2. $ \ forall x \ forall y \ forall z (x + (y + z) = (x + y) + z) $
3. $ \ forall x (0 + x = x)
$
4. $ \ forall x \ существует y (x + y = 0) $
5. $ \ forall x (1 \ cdot x = x)
долларов США
6. $ \ forall a \ forall b \ forall x ((ab) \ cdot x = a \ cdot (b \ cdot x)) $
7. $ \ forall a \ forall x \ forall y (a \ cdot (x + y) = a \ cdot x + a \ cdot y) $
8. $ \ forall a \ forall b \ forall x ((a + b) \ cdot x = a \ cdot x + b \ cdot x) $

Когда я говорю $ \ forall x, \ forall y, \ exists y $, я на самом деле имею в виду $ \ forall x \ in V, \ forall y \ in V, \ exists y \ in V $ соответственно.Когда я говорю $ \ forall a, \ forall b $, я на самом деле имею в виду $ \ forall a \ in \ mathbb F, \ forall b \ in \ mathbb F $ соответственно.

Ясно, что все аксиомы векторных пространств выражаются в терминах языка первого порядка (обратите внимание на кванторы $ \ forall, \ exists $), наделенного специальным символом равенства (и его аксиомами). Следовательно, это теория первого порядка с равенством. Надеюсь, это поможет. Пожалуйста, дайте мне знать, если у вас возникнут вопросы!

---

Подводя итог: Мы не беспокоимся об определении $ = $ среди аксиом векторного пространства, потому что цель состоит в том, чтобы дополнить аксиомы векторного пространства аксиомами равенства — и их объединение представляет собой теорию первого порядка . (с равенством) векторных пространств.

Угол между двумя векторами — обзор

4.2 Точечное произведение

Теперь мы вводим правило для умножения двух векторов, которое дает в результате обычное число (а не другой вектор). Он называется скалярным произведением . Мы хотим, чтобы скалярное произведение двух векторов A и B не зависело от ориентации векторов относительно системы координат и зависело только от величин A и B и от угла θ между их направлениями.Используя центральную точку в качестве символа для этой операции, ее определение принимает вид

(4.14) A · B = ABcosθ.

Угол θ обозначен на рис. 4.7.

Рисунок 4.7. Угол между векторами A и B .

Обратите внимание, что уравнение. (4.14) делает скалярное произведение коммутативной операцией,

(4.15) A · B = B · A,

и что скалярное произведение равно нулю, когда A и B расположены под прямым углом друг к другу, как cosθ тогда равен нулю.Перпендикулярные векторы называются ортогональными ; если они также имеют единичную длину, они называются ортонормированными (вектор единичной длины иногда называют нормализованными ).

Можно показать, что скалярное произведение линейно в A и B , что означает, что в формуле скалярного произведения мы можем заменить A и B на

A = Axeˆx + Ayeˆy + Azeˆz , B = Bxeˆx + Byeˆy + Bzeˆz,

и разверните результат.Получаем

(4.16) A · B = AxBxeˆx · eˆx + AyByeˆy · eˆy + AzBzeˆz · eˆz + (AxBy + AyBx) eˆx · eyˆ + (AxBz + AzBx) eˆx · ezˆ + (AyBz + AzBy) eˆy · ezˆ.

Уравнение (4.16) можно упростить, используя свойства единичных векторов в координатных направлениях. Поскольку эти направления взаимно перпендикулярны, и все единичные векторы (по определению) имеют единичную длину, применение уравнения. (4.14) дает

(4.17) eˆx · eˆx = eˆy · eˆy = eˆz · eˆz = 1andeˆx · eˆy = eˆx · eˆz = eˆy · eˆz = 0.

Эти отношения представляют собой утверждения, что декартовы единичные векторы ортонормированы .Используя уравнение. (4.17), уравнение (4.16) сокращается до

(4.18) A · B = AxBx + AyBy + AzBz.

Чтобы составить уравнение, подобное Ур. (4.18) применимы к векторам в пространствах, отличных от трех измерений, мы запишем эту формулу в более общем виде. Используя 1,2,… для идентификации базисных единичных векторов, скалярное произведение принимает следующую форму для пространства размерности n:

(4.19) A · B = ∑i = 1nAiBi.

Оглядываясь назад на определение, мы видим, что эта формула применима, только если наша система координат ортогональна (т.е.е., оси взаимно перпендикулярны), как в случае использования декартовых координат. Это не является серьезным ограничением, поскольку мы используем только наклонные системы координат под давлением (например, для обсуждений с участием кристалла, оси симметрии которого не расположены под прямым углом друг к другу).

Наше первое использование скалярного произведения будет заключаться в получении формулы для величины вектора с использованием его компонентов. Пусть A или A∣ обозначают величину вектора A , мы имеем (снова в 2-D), сравните уравнение.(4.6),

(4.20) A · A = (Ax) 2+ (Ay) 2 = A2 = ∣A∣2.

Таким образом, у нас есть еще один способ записать квадрат величины вектора A , а именно A · A, часто сокращаемый до A2. Обратите внимание, что A2 — это не вектор, а обычное (неотрицательное) число; это обозначение следует интерпретировать как означающее, что векторы A объединяются путем получения их скалярного произведения.

Интересно рассмотреть скалярное произведение C · C, где мы положили C = A + B. Расширяясь, мы получаем

C · C = (A + B) · (A + B),

, которое расширяется до

C2 = A2 + B2 + 2A · B.

Решая для A · B, мы получаем

(4,21) A · B = C2-A2-B22 = ABcosθ,

, который мы идентифицируем как закон косинусов, известный из тригонометрии. Обратите внимание, что знак минус в законе косинусов, который обычно представлен, относится к (внутреннему) углу треугольника ABC, противоположному стороне длины C. Здесь, как показано на рис. 4.7, мы определили θ как внешний угол, поэтому что θ = 0 соответствует B , находящемуся в том же направлении, что и A. Этот выбор θ объясняет отсутствие знака минус в правой части уравнения.(4.21).

Поскольку скалярное произведение не зависит от общей ориентации, его часто также называют скалярным произведением . Теперь мы используем термин , скаляр , чтобы обозначать нечто большее, чем «не вектор»; мы определяем его как величину, не зависящую от нашего выбора системы координат. Подчеркивая этот момент, мы отметили, что, хотя поворот либо векторов, либо системы координат изменяет значения компонентов вектора, комбинация этих компонентов, которая формирует скалярное произведение, оценивается как независимый от вращения результат.Именно эта инвариантность связана с термином скаляр .

Поскольку cosθ может принимать все значения в диапазоне (-1, + 1), мы видим, что формула A · B = ABcosθ будет иметь значения в диапазоне от + AB (когда векторы находятся в одном направлении) до -AB (когда они направлены в противоположные стороны), с A · B = 0, когда A и B расположены под прямым углом (ортогонально). В математическом контексте ортогональных относится к величинам с нулевым скалярным произведением, даже если они более абстрактны и для языка нет очевидной физической основы.

В 2-D два вектора, которые являются ортогональными, имеют компоненты, которые удовлетворяют уравнению

AxBx + AyBy = 0, которое мы можем преобразовать в AyAxByBx = -1.

Здесь Ay / Ax — наклон, соответствующий направлению A , а By / Bx — наклон, соответствующий направлению B . Тот факт, что произведение этих наклонов равно -1, является хорошо известным показателем того, что они перпендикулярны.

Пример 4.2.1 Угол между двумя векторами

Нам нужен угол между двумя векторами

A = 4-24 и B = 24-4.

Чтобы найти его, нам нужны значения A, B и A · B. Получаем

A = 42 + (- 2) 2 + 42 = 6, B = 22 + 42 + (- 4) 2 = 6, A · B = 4 (2) + (- 2) (4) +4 ( -4) = — 16.

По этим данным мы вычисляем

cosθ = A · BAB = -1636 = -49.

Взяв арккосинус, находим θ = 2,031 радиана, или около 116 °.

Проекции

Простейшие примеры так называемых проекций вектора соответствуют удалению одного или нескольких (но не всех) его компонентов. Например, рассмотрим трехмерный вектор, хвост которого находится в точке (x1, y1, z1), а голова — в точке (x2, y2, z2).Если мы подавим (т. Е. Удалим) его компонент z, тогда он будет в 2-D области (плоскость xy) с концами в (x1, y1,0) и (x2, y2,0). Поскольку это результат, который соответствует тени (т. Е. Изображению) вектора на плоскости xy при освещении с направления z, разумно назвать это проекцией нашего вектора на плоскость xy.

В качестве альтернативы мы можем удалить компоненты y и z из трехмерного вектора. Тогда останется вектор вдоль оси x от x1 до x2.Это также называется проекцией, но теперь на линию (ось x).

Точечное произведение дает нам формальный способ нахождения проекций произвольных векторов. Если нам нужна проекция вектора A на ось x (результат, очевидно, Axeˆx), и мы пишем A = Axeˆx + Ayeˆy + Azeˆz, ясно, что результат, который мы ищем, может быть получен, если мы можем исключить Члены eˆy и eˆz из выражения для A . Для этого нужно взять скалярное произведение A на eˆx.Это будет работать, потому что базисные единичные векторы ортонормированы, с отношениями, приведенными в формуле. (4.17). Следовательно,

(4,22) eˆx · A = eˆx · (Axeˆx + Ayeˆy + Azeˆz) = Ax,

и

(4,23) Проекция Aonx = (eˆx · A) eˆx.

Обратите внимание, что проекция — это не просто Ax, а вектор в направлении x длины Ax.

Формула вышеуказанного типа все еще применима (но менее тривиальна), если нам нужна проекция в направлении, отличном от координатной оси.Предположим, мы хотим получить проекцию A на направление другого вектора, B . Затем нам нужен единичный вектор в направлении B , а именно Bˆ = B / B, и сформируем нашу проекцию как

Projection ofAonB = BB · ABˆ = (B · A) BBˆ.

Это уравнение также показывает, что величина проекции A на B равна B · A / B, что эквивалентно наблюдению, что A · B равно произведению звездных величин B и проекции из A по B .Поскольку скалярное произведение симметрично в A и B , это наблюдение можно обобщить, чтобы заявить, что скалярное произведение A · B равно произведению величины любого фактора, умноженного на величину проекции на него другой фактор. Когда A · B записывается как ABcosθ, Acosθ — это величина проекции A на B , а Bcosθ — величина проекции B на A .

Когда сложение двух векторов может быть нулевым? — MVOrganizing

Когда сложение двух векторов может быть нулевым?

Да, два вектора одинаковой величины, направленные в противоположные стороны, будут в сумме равны нулю.Два вектора неравной величины никогда не могут равняться нулю. Если они указывают на одну и ту же линию, поскольку их величина различна, сумма не будет равна нулю.

Что значит складывать векторы?

Сложение векторов — это операция сложения двух или более векторов в векторную сумму. Так называемый закон параллелограмма дает правило для векторного сложения двух или более векторов. Для двух векторов и векторную сумму можно получить, поместив их голову к хвосту и проведя вектор от свободного хвоста к свободной голове.

Имеет ли смысл называть физическую величину вектором, если его величина равна нулю?

Имеет ли смысл называть физическую величину вектором, когда его величина равна нулю? Да, нулевой вектор имеет определенное физическое значение. Aakash EduTech Pvt.

Какое количество нельзя обнулить?

Ответ. Объяснение: Векторная величина не может быть равна нулю, если ее величина равна нулю …… Но смещение может быть нулевым, и это векторная величина, потому что, если объект перемещается на расстояние 20 м и возвращается домой, его смещение будет нулевымоооо ……

Почему векторы можно складывать алгебраически?

Потому что вектор имеет и величину, и направление.Величина может быть добавлена ​​алгебраически, но направление не может быть добавлено алгебраически.

Есть ли направление у нулевого вектора?

Нулевой вектор — это вектор, величина которого равна нулю. Нулевой вектор не имеет направления или может иметь любое направление. Обычно нулевой вектор либо равен результату двух равных векторов, действующих в противоположных направлениях, либо множеству векторов в разных направлениях.

В чем разница между нулевым и нулевым вектором?

Если все компоненты → x равны нулю, он называется нулевым вектором.Если длина вектора → x равна нулю, то он называется нулевым вектором. В n-мерном евклидовом пространстве (En) нет различия между нулевым вектором и нулевым вектором.

Что такое нулевой вектор записи двух свойств?

Если мы добавим или вычтем нулевой вектор к любому вектору, результирующий вектор будет тем же вектором. Вектор положения нулевого вектора равен нулю. Нулевой вектор — это вектор с нулевой величиной и произвольным направлением. Сумма или перекрестное произведение двух векторов являются векторами, поэтому при таких операциях возникают нулевые векторы.

Что такое свойство записи нулевого вектора?

Он определяется как вектор с нулевой длиной или без длины и без длины, он не указывает ни в каком конкретном направлении. Следовательно, у него нет определенного направления или, можно сказать, неопределенного направления. Единичный элемент векторного пространства называется нулевым вектором. Он также известен как нулевой вектор.

Что такое нулевой вектор, приведи два примера?

Когда модуль вектора равен нулю, он известен как нулевой вектор.Нулевой вектор имеет произвольное направление. Примеры: (i) Исходный вектор позиции — нулевой вектор. (ii) Если частица находится в состоянии покоя, то смещение частицы является нулевым вектором.

Вектор

Свойства вектора

Это соглашение напечатайте векторы жирным шрифтом, чтобы отличать их от скаляров. Графически говоря, стрелка может удобно и эффективно представлять вектор.Длина стрелки пропорциональна своей величине, а острие стрелки показывает ее направление (Рисунок 1).

Рисунок 1

Вектор также может быть задан его компонентами:

[1]

Количество компонентов в основном определяет размерность вектора: 2-мерный (2 компонента) против 3-мерного (3 компоненты). Компоненты связаны с используемой системой координат.Видеть подробные сведения см. на странице «Системы координат». Фигура 2 показаны векторы, описанные в декартовых координатах.

Рисунок 2

Векторную алгебру можно описать как графически. (стрелками) и с компонентами.

Величина вектора совпадает с величиной длина векторной стрелки, показанной на рисунке 2:

[2]

Вектор, величина которого равна единице (= 1), называется единицей . вектор .Единичный вектор вектора v показан на рисунке. 2 можно получить, разделив вектор на его величину.

[3]

Единичный вектор осей ( единичных векторов координат ) можно выразить как

[4]

, где i , j и k = единичные векторы осей X , Y и Z соответственно.

Верх

Векторная алгебра

Для двух векторов a и b , пусть

[5]

Если два вектора равны друг другу, все соответствующие компоненты также равны между собой:

[6]

Векторов одного типа могут быть добавлены для получения результирующий вектор.Добавление двух векторов эквивалентно добавлению компонентов (рис. 3):

Рисунок 3

[7]

Как показано на Рисунке 3, векторы a и b были соединены кончиками к сказкам , образуя два стороны треугольника. Третья сторона — это нарисованный результирующий вектор ( c ). от сказки первого вектора до кончика последнего добавленного вектора. Это так называемый поэтапный (графический) подход сложения векторов.В последовательность сложения не важна в этом процессе ( коммутатив ):

[8]

Можно также добавить более двух векторов аналогично, по два за раз:

[9]

Как показано в [9], вектор сложение ассоциативное . Можно свободно перемещать векторы, чтобы соединить от подсказки к сказке, насколько велики и направления векторов нетронутый.Последовательность дополнительно не важна.

Когда вектор умножается на скаляр, он увеличивается (рис. 4):

Рисунок 4

[10]

, где d = скалярный множитель. Вектор удлиняется, когда | d | > 1 в то время как он сокращается, если | d | <1. Если d отрицательно, направление вектора меняется на противоположное. Операция, показанная в [10] коммутативный :

[11]

Скалярное умножение также распределительное :

[12]

Чтобы вычислить смещение или вычислить изменение скорости, нужно вычесть один вектор из другого того же Добрый.Вычитание вектора эквивалентно вычитанию соответствующего компоненты (рисунок 5):

[13]

Рисунок 5

На рисунке 5 показаны два эквивалентные графические методы, которые находят c . Как показано в [13], вычитание векторов — это частный случай сложения векторов.

Теперь вернемся к рисунку 2. Как показано на рисунке 6, вектор может быть выражен в виде суммы составляющих векторов:

Рисунок 6

[14]

, где i , j и k = единица измерения векторы координат осей X , Y и Z , соответственно.

Верх

Векторное умножение

Есть два разных вида умножения векторов: скалярное произведение и векторное произведение . Во-первых, скалярное произведение определяется как:

[15]

Результат скалярного произведения — скаляр . В скалярное произведение также называется , скалярное произведение после произведения используемый символ.Скалярное произведение коммутативный:

[16]

и дистрибутив:

[17]

Из [15]:

[18]

Как показано в [18], квадрат модуль вектора совпадает со скалярным произведением вектора с сам. Применим [18] к треугольнику, образованному тремя векторами, показанными на рисунке 7:

Рисунок 7

[19]

Из теоремы Пифагора :

[20]

Из [19] и [20]:

[21]

где q = угол между двумя векторами.[21] — это альтернативное определение скалярного произведения. С [21]:

[22]

Другими словами, компоненты вектора — это его проекции на оси.

Еще одно важное и очень полезное векторное умножение — векторное произведение . Векторное произведение определяется как:

[23]

Понятно, почему он называется вектором произведение: результат этого умножения — вектор .Это также называется перекрестным произведением после используемого символа. Из [23]:

[24]

и

[25]

Из [23]:

[26]

Другими словами, векторное произведение вектора с сам по себе всегда 0.

Из [18], [21] и [23]:

[27]

Здесь очень интересно то, что результирующий вектор из перекрестного произведения перпендикулярен двум векторам участвует в кросс-продукте:

[28]

с

[29]

Фактическое направление результирующего вектора следует правило правой руки : направление результирующего вектора — это направление правый винт продвигается, когда он вращается от направления первый вектор к направлению второго вектора через наименьший угол между ними (рисунок 8).

Рисунок 8

Из правила правой руки:

[30]

Верх

Дифференциация

Пусть вектор v будет функцией времени ( t ):

[31]

операция вывода является распределительной, так что производная по времени вектора является суммой производных по времени составляющих векторов:

[32]

[32] выполняется, потому что единичные векторы координат постоянны.Если координата объекта векторы не являются постоянными (например, во вращающейся системе отсчета), [32] не держит.

В как правило, также выполняются следующие правила:

[33]

с

[34]

Верх

2. Векторная кинематика

2.1. Векторы

Величина, имеющая такое же значение при измерении разных наблюдателей в разных системах отсчета называется скаляр .Некоторые из величин, использованных в предыдущей главе, являются скаляры; например, смещение ∆s и временной интервал ∆t .

Рисунок 2.1: Свободные векторы.

Примеры физических величин, которые не являются скалярными: компоненты положения, скорости и ускорения по оси. Изменение направления или происхождения этого оси значения этих величин также изменяются.

Полезно писать уравнения физики так, чтобы они равны в любой системе отсчета, и векторы могут использоваться для достижения этой цели. Цель.Типичный пример — вектор смещения, который направленный отрезок прямой между двумя точками P ₁ и P ₂ в пространстве, где считается первая точка начальная точка или начало сегмента, а второй точка — конечная точка отрезка.

Например, на Рисунке 2.1, a представляет вектор, начинающийся с P ₁ и заканчивающийся P ₂ ; стрелка в П ₂ указывает, что это конечная точка, также используется стрелка над буквой, обозначающей вектор, чтобы он ясно, что это вектор, а не регулярный алгебраический Переменная.

2.1.1. Векторные свойства

Расстояние между начальной и конечной точками Вектор смещения называется его величиной или длиной. В этой книге, если вектор обозначается a его величина тогда обозначается (та же буква без стрелки сверху). Поскольку расстояние между двумя точками — скаляр, величина вектор тоже является скаляром. Вектор определяется своим звездная величина и ее направление , которое является ориентация линии через две точки.

Два вектора равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые направление и величина независимо от их начального точка. Например, в Рисунок 2.1 вектор между точки P ₁ и P ₂ равны вектор между P ₃ и P ₄ , и это почему они оба были обозначены как a . Расстояние между P ₃ и P ₄ равно расстояние между P ₁ и P ₂ и линии, проходящие через эти две пары точек, параллельно.Вектор b , от точки P ₅ до P ₆ , не равно a потому что это величина и направление разные. Этот вид векторы, в которых начальная точка не имеет значения, являются называется бесплатные векторы.

Рисунок 2.2: Сложение вектора.

На рисунке 2.2, начиная с точка P вектор смещения a заканчивается в точка Q, а затем из этой точки вектор смещения b приводит к конечной точке R. А именно, совмещенная смещения a и b эквивалентны смещение из точки P в R, обозначенное на рисунке как вектор c .Комбинированное перемещение c определяет сумму векторов a и b

(2,1)

a + b = c

Таким образом, сложение двух векторов выполняется путем размещения начальная точка второго вектора на терминале точка первой, а затем присоединение к начальной точке первого вектора с конечной точкой второго один.

Уравнение a + b = c подразумевает что b = c — a а также На рисунке 2.2 показано, что вектор b соединяется с конечной точкой a с конечная точка c , когда эти два вектора размещен в той же начальной точке.Таким образом, вычитание двух векторов выполняется размещение этих двух векторов на одном и том же начальная точка, а затем присоединение к конечной точке второй вектор в конечную точку первого вектор.

Сложение векторов — это коммутативная операция: помещая начальную точку вектора b на конечная точка вектора a приводит к тому же комбинированный вектор, полученный путем размещения начальной точки вектор a на конечной точке вектора b (см. рисунок 2.3). Сумма векторы a и b это диагональ параллелограмма, образованного размещением векторов в общей начальной точке, а затем повторяя каждый вектор с его начальной точкой в ​​конечной точке другого.Также следует сложение нескольких векторов ассоциативный закон.

Рисунок 2.3: Правило параллелограмма для сложения векторов.

Согласно определению векторного сложения и вычитание, сумма вектора с самим собой, a + a , — вектор того же направления, но величина вдвое больше. Вычитание вектора из сама, a — a , приводит к нулевому вектору (a вектор, начальная и конечная точки которого являются тем же). Обобщая эти результаты, произведение скаляра k и вектор a , определяется как другой вектор в том же направлении, если k положительный, или в противоположное направление, если k отрицательный и с величиной равно | k | a .Произведение скаляра и вектора равно обычно сначала пишется скаляр, а затем вектор, но порядок не имеет особого значения. Если k является равен нулю, то ka это нулевой вектор 0 .

Любой вектор a равна произведению своего величина, а , а единичный вектор â , с тем же направление a но величина равна 1 (см. Рисунок 2.4). Таким образом, блок вектор â определяет направление соответствующий вектор a . В этой книге единичные векторы обозначаются буквой со шляпкой вместо стрелки, на нем.

Рисунок 2.4: Единичный вектор â определение направление вектора a .

Как упоминалось в предыдущей главе, положение точка P в пространстве может быть задана тремя координатами в некоторых система координат и прямоугольные координаты была введена система. На рисунке 2.5 показан прямоугольные координаты (x , y , z ) точки P.

Рисунок 2.5: Прямоугольные координаты точка P и прямоугольные единичные векторы.

Есть два разных способа определить направления три оси x , y e z .Обычный способ определения эти направления следуют правилу правой руки : после закрытия пальцы правой руки в ладонь, большой, указательный и затем разжимают средние пальцы, делая их правильными углы между собой; направление x ось указательным пальцем будет указывать направление Oни ось средним пальцем и направление z ось большим пальцем. Прямоугольная система координат определяется точкой O, которая является началом координат, и тремя прямоугольный единичные векторы, ˆı , ˆ а также ˆK , которые перпендикулярны между собой и определить направления 3 осей.

Любой вектор может быть получен сложением трех векторы с направлениями, параллельными трем осям,

(2,2)

a = axˆı + ayˆ + azˆkb = bxˆı + byˆ + bzˆk

где (ax , ау , az ) и (bx , к , bz ) являются прямоугольные компоненты векторы. Из свойств сложения векторов и произведения скаляра на вектор следует, что сумма двух векторов a и b может быть получается сложением их компонентов соответственно:

(2.3)

a + b = (ax + bx) ˆı + (ay + by) ˆ + (az + bz) ˆk

То есть сумма двух векторов является другим вектором с прямоугольные компоненты равны сумме исходных компоненты векторов. Обратите внимание, что направление и величина вектора a не зависят от координаты используемая система и происхождение; однако его прямоугольная компоненты (топор , ау , az ) разные для различные прямоугольные системы координат. Если два вектора равны, то их прямоугольные компоненты на одном система также должна быть равной.

Позиция вектор точки P с координатами (x , y , z ), — вектор r с начальной точкой в ​​исходной точке и конечной точка на P; его можно получить, сложив 3 вектора вдоль три оси, как показано на рисунке 2.5

(2,4)

r = xˆı + yˆ + zˆk

Обратите внимание, что компоненты вектора положения равны в координаты точки P, (x , y , z ). В вектор положения зависит от выбора начала координат система; следовательно, это не свободный вектор, так как его начальная точка всегда находится в начале координат, а ее величина и направление не совпадают в системах координат с разное происхождение.

2.1.2. Векторы скорости и ускорения

Траекторию движущейся точки можно определить на каждый момент т выражением для вектора положения точки как функция времени

(2,5)

r (t) = x (t) ˆı + y (t) ˆ + z (t) ˆk

Каждая из трех составляющих x (t) , y (t) и z (t) является функция времени. На временном интервале ∆t = t2 − t1 смещение точки (см. Рисунок 2.6) равно

(2,6)

∆r = r2 − r1

где r1 и r2 позиция векторы при t ₁ и t ₂ .

Рисунок 2.6: Траектория точки и смещение ∆r между двумя моменты t1 и t2 .

Вектор, полученный делением смещения ∆r автор: ∆t — средняя скорость, который имеет то же направление, что и смещение ∆r . В вектор скорости в момент t определяется как предел среднего скорости, когда интервал времени ∆t , стремится к нулю, начиная с момента t

(2,7)

v = lim∆t → 0∆r∆t = drdt

Так как прямоугольные составляющие смещения вектор ∆r являются ∆x , ∆y и ∆z , то вектор скорости равен

(2.8)

v = ˙xˆı + ˙yˆ + ˙zˆk

Применение уравнение 1.5 к каждый из трех компонентов вектора положения, три результата можно объединить в следующий вектор уравнение

(2,9)

r = r0 + t0vdt

Увеличение вектора скорости, ∆v , во временном интервале ∆t деленное на этот временной интервал определяет вектор ускорения

(2,10)

a = lim∆t → 0∆v∆t = dvdt

и его прямоугольные компоненты являются производными от компоненты вектора скорости

(2.11)

a = ˙vxˆı + ˙vyˆ + ˙vzˆk = ¨xˆı + ¨yˆ + ¨zˆk

Результаты получены из уравнение 1.11 для каждой из трех компонент вектора скорости также можно объединить в одно векторное уравнение

(2,12)

v = v0 + t0adt

Уравнения 2.8 и 2.11 — кинематическая уравнения в 3-х измерениях, записанные в векторной форме. С из равенства двух векторов следует равенство их компоненты, эти два уравнения эквивалентны vx = ˙x , ах = ˙vx = ¨x и подобные уравнения для y и z компоненты.Следовательно, движение в трех измерениях всегда есть суперпозиция три одномерных движения по оси x , y и z ось.

Существует еще одно кинетическое уравнение для каждого прямоугольная составляющая, связывающая ускорение с скорость и позиция

(2,13) ​​

ax = vxdvxdxay = vydvydyaz = vzdvzdz

эти три уравнения также можно объединить в одно векторное уравнение: a · dr = v · dv , где точка «·» Обозначает скалярное произведение векторов, который будет представлен в следующем разделе.Однако в для решения дифференциальных уравнений методом разделение переменных, использованное в предыдущей главе, будет полезнее решить каждый из трех уравнения 2.13 отдельно.

Скорость | v | упомянутые в предыдущей главе величина вектора скорости v ; v это составляющая скорости вдоль траектории, которая может быть либо положительным, либо отрицательным. Когда векторы используются для описать движение, v и a просто называется скоростью и ускорением.

Пример 2. 2 * exp (-t / 5), 3-exp (-t / 12)];

(% o1) 5 − t2e − t / 5,3 − e − t / 12

И функции diff и интегрировать может быть используется для дифференциации и интеграции этого списка, чтобы найти компоненты ускорения и позиция.Две составляющие ускорения (производная скорости по времени) равны найдено следующим образом

(% i2) a: diff (v, t);
(% o2) t2e − t / 55−2te − t / 5, e − t / 1212

Компоненты вектора положения получаются с использованием Уравнение 2.9.

(% i3) принять (t> 0) $
(% i4) r: expand ([2,5] + интегрировать (v, t, 0, t));
(% o4) 5t2e − t / 5 + 50te − t / 5 + 250e − t / 5 + 5t − 248,12e − t / 12 + 3t − 7

команда принимает использовался, чтобы сообщить Maxima, что t положительный; если это команда не была дана, Maxima спросила бы о знак т перед вычислением интеграла, поскольку результат зависит от этого знака.

Положение, скорость и ускорение через 15 секунд затем

(% i5) float (subst (t = 15, r));
(% o5) [-67,2,41,44]
(% i6) float (subst (t = 15, v));
(% o6) [-6,202,2,713]
(% i7) с плавающей запятой (subst (t = 15, a));
(% o7) [0,7468,0,02388]

Найти предел этих векторов при приближении времени бесконечность, используется предел функции и обозначается бесконечность по символу Maxima inf

(% i8) limit (r, t, inf);
(% o8) [∞, ∞]
(% i9) предел (v, t, inf);
(% o9) [5,3]
(% i10) предел (a, t, inf);
(% o10) [0,0]

Это означает, что частица достигает постоянной скорости. 5ˆı + 3ˆ , уходя в бесконечность.

Для построения графика траектории, опция параметрический Функция Maxima plot2d используется. Х и у компоненты вектора положения должны быть указаны отдельно, а не списком, потому что это форма, ожидаемая plot2d. Первый элемент в списке r (Икс компонент позиции) получается с синтаксисом р [ 1] а второй элемент (y компонент) с р[ 2]

(% i11) plot2d ([параметрический, r [1], r [2]], [t, 0,60], [xlabel, «x»], [ylabel, «y»]);

Временной интервал от 0 до 60 задавался с помощью обозначение [t , 0 , 60 ].Результат показан на Рисунке 2.7.

Рисунок 2.7: Траектория частицы в течение 60 секунд после прохождения точки (5, 2).

2.1.3. Скалярное произведение

Точка или скаляр произведение двух векторов a а также b , обозначается точкой между векторами, a · b (читать как a точка b ), определяется как произведение их величины и косинус угла θ между их

(2,14)

a · b = abcosθ

Рисунок 2.8 показаны два вектора a и b а угол θ между их. Проекция вектора a в направлении вектора b равно acosθ и проекция вектора b в направлении вектора a равно bcosθ . Следовательно, точка произведение векторов равно проекции одного из них в направлении другого, умноженное на величину этого второго вектора.

Рисунок 2.8: Два вектора a а также b а угол θ между ними.

Название скаляр связано с тем, что, поскольку величина векторов и угол между ними равны обе скалярные величины, скалярное произведение дает также скалярная величина, не зависящая от системы отсчета выбрал.

Две прямые линии, пересекающиеся в точке, определяют два разные углы, θ и (180 ° — θ ). В случае векторов нет двусмысленности в определение угла между ними, потому что если два вектора помещаются в одну и ту же начальную точку, угол между ними всегда измеряется в области, где a + b находится (см. Рисунок 2.9).

Скалярное произведение двух векторов с величинами a а также б всегда будет в пределах интервала [-ab , ab ]. Если угол между векторами острый, то cosθ > 0 и скалярное произведение положительно.Если угол тупой, то cosθ <0 и точка товар отрицательный. Если векторы перпендикулярны, тогда cosθ = 0 и их скалярное произведение равно нулю (см. Рисунок 2.9). Минимальное значение скалярного произведения, −ab , получается, когда направления векторов противоположны и максимальное значение, ab , получается, когда оба вектора находятся в то же направление.

Рис. 2.9: Векторов, образующих острую, прямые и тупые углы между ними.

Поскольку единичные векторы имеют величину, равную 1, точка произведение двух единичных векторов дает косинус угол между их направлениями.Таким образом, угол между два направления в пространстве можно получить как арккосинус скалярного произведения двух единичных векторов в тех направления

(2,15)

θab = arccosˆa · ˆb

В терминах прямоугольных компонент векторов, скалярное произведение —

(2,16)

a · b = (axˆı + ayˆ + azˆk) · (bxˆı + byˆ + bzˆk)

Используя закон распределения скалярного произведения и факт, что скалярное произведение между двумя разными прямоугольные единичные векторы равны нулю, потому что они перпендикулярно, а скалярное произведение любого единичного вектора с самим собой 1, потому что его величина 1, очень Получено полезное выражение для скалярного произведения

(2.17)

a · b = axbx + ayby ​​+ azbz

Прямоугольные компоненты двух векторов равны разные в разных системах отсчета, но их точка продукт (axbx + айби + азбз ) должен дать тот же результат в любой системе отсчета, поскольку a · b — скалярная величина.

Использование выражений 2.14 и 2.17 для вычисления скалярного произведения вектор с самим собой, следующее соотношение получено

(2,18)

A · a = a2 = a2x + a2y + a2z

Затем делается вывод, что величина вектора a с компонентами (топор , ау , az ) дано по

(2.19)

а = a2x + a2y + a2z

2.2. Относительное движение

На рисунке 2.10 показано положение векторы rP и rQ двух точек P и Q одновременно. Вектор rP / Q является положение точки P относительно Q. Три вектора связаны следующим векторным уравнением:

(2,20)

rP = rP / Q + rQ

Если обе точки движутся, три вектора будут непрерывные функции времени t .

Рисунок 2.10: Позиционные векторы двух точки P и Q и положение P относительно Q..

Векторы скорости двух точек являются производными по времени. их векторов положения

(2,21)

vP = drPdtvQ = drQdt

И производная по времени вектора положения P относительно Q дает вектор скорости P относительно Q:

(2,22)

vP / Q = drP / Qdt

Следовательно, дифференцирование трех векторов в уравнение 2.20 относительно время приводит к соотношению между 3 скоростями

(2,23)

vP = vP / Q + vQ

А именно, скорость точки P равна ее скорости. относительно другой точки Q, плюс скорость этой точки В.Кроме того, скорость P относительно Q равна скорость P минус скорость Q.

Связь между скоростями может быть дифференцирована снова, чтобы получить аналогичное выражение для относительной вектор ускорения

(2,24)

aP = aP / Q + aQ

Например, когда кто-то едет в поезде, движущемся с скорость vt и наблюдает за объектом со скоростью v измеренная внутри поезда, скорость этого объект относительно Земли равен v + vt .Но поскольку Земля движется относительно Солнце со скоростью ve , скорость этого объекта относительно Солнца v + vt + ve . Относительно Галактики нужно было бы добавить скорость Солнца относительно Галактики и т. д.

Закон сложения относительных скоростей и ускорения используется для обучения будущих космонавтов. Если ученик свободно падает внутри самолета, его ускорение относительно Земли — это вектор g , указывающий на центр Земли и с величиной равно ускорению свободного падения.Если самолет также свободно падающие на Землю, ее ускорение относительное к Земле тот же вектор g (видеть Рисунок 2.11). Ускорение обучаемого относительно самолета равна разница этих двух ускорений, что дает нуль. То есть относительно самолета обучаемый не ускоряется в любом направлении, но плавает внутри самолета за секунды, которые пилот самолета может позволить самолет упал свободно.

Рисунок 2.11: Самолет и пассажир в свободное падение (нулевое относительное ускорение).

2.3. Движение снаряда

Движение объекта при свободном падении, когда воздух сопротивлением можно пренебречь, он изучался в главе 1. та же проблема будет обсуждаться здесь с использованием векторов. Если z ось выбрана в вертикальном направлении и направлена вверх вектор, представляющий ускорение гравитация

(2,25)

a = −gˆk

где g составляет примерно 9,8 м / с ² .

Если снаряд запускается с начальной скоростью v0 , перемена скорости из-за ускорения свободного падения находится в противоположное направление ˆk , что приводит к новой скорости которые будут находиться в одной плоскости с векторами v0 и ˆk .Затем делается вывод, что траектория движения снаряд всегда находится в вертикальной плоскости, определяемой v0 и ˆk . Единственное исключение — когда v0 находится в вертикальном направлении, и в этом случае v0 и ˆk не образуют плоскости и траектория — вертикальная прямая линия.

Пример 2.2

Пушка стреляет пулей с крыши здания из позиция (в единицах СИ):

r0 = 9ˆı + 4ˆ + 15ˆk

и с начальной скоростью (единицы СИ):

v0 = 13ˆı + 22.5ˆ + 15ˆk

где z ось направлена ​​вверх в вертикальном направлении и с началом на уровне земли. Предполагая, что воздух сопротивление незначительно, найдите максимальную достигнутую высоту пулей и положением, в котором она упадет на землю.

Решение . Выражение для скорости как функция времени находится заменой начальной скорости и выражение 2.25 для ускорения гравитации в уравнение 2.12 и интегрирование по времени

v = 13ˆı + 22.5ˆ + 15ˆk − t09.8ˆkdt = 13ˆı + 22,5ˆ + (15−9,8t) ˆk

Где t отсчитывается с момента выстрела пули.

Выражение для вектора положения получается заменой это выражение в уравнение 2.9 и вычисляя интеграл

r = 9ˆı + 4ˆ + 15ˆk + t013ˆı + 22,5ˆ + (15−9,8t) ˆkdt = (9 + 13t) ˆı + (4 + 22,5t) ˆ + (15 + 15t) −4.9t2) k

Максимальная высота будет достигнута, когда скорость станет равной горизонтально, а именно, когда составляющая vz скорости исчезает

15-9.8t = 0 = ⇒t = 159,8 = 1,531 с

г компонент вектора положения в этот момент дает максимальная высота

hmax = 15 + 15t − 4,9 t2 = 15 + 15 × 1,531−4,9 × 1,5312 = 26,48 м

Мгновение t когда пуля попадает в землю, когда z составляющая вектора положения равна нулю

15 + 15t − 4,9t2 = 0t = 15 + 152 + 4 × 4,9 × 159,8 = 3,855 с

, а позиция пули в этот момент —

.

r = (9 + 13 × 3,855) ˆı + (4 + 22,5 × 3,855) ˆ = (59,12ˆı + 90,74ˆ) м

2.4. Зависимые ходы

Некоторые системы, которые явно требуют нескольких переменных для описывать движение его частей, может приводить к меньшему количеству градусов свободы из-за ограничений на тех переменные. На рис. 2.12 показан пример; пока цилиндр движется вниз, тележка движется дальше стол.

Рисунок 2.12: Система с двумя зависимыми движениями и единственная степень свободы.

Движение тележки можно описать вариацией горизонтальное расстояние x к центру фиксированного шкив.Движение цилиндра такое же, как и движение подвижного шкива, что означает, что его можно описать изменением вертикального расстояния y между центры шкивов.

Пока струна остается натянутой без разрыва, будет связь между скоростями и ускорения цилиндра и тележки. Чтобы найти это отношение, выражение для длины строки, L , записывается в терминах двух изменяющихся расстояний, Икс и у

(2.26)

L = х + 2у + d + πr12 + πr2

где r1 и r2 — радиусы двух шкивов. В струна соприкасается с четвертью периметра фиксированный шкив (πr1 / 2 ) и с половиной периметра подвижного шкива (πr2 ). Имея в виду, что L , d , r1 и r2 оставаться постоянным и дифференцирующим обе стороны этого последнего уравнения относительно времени, получается следующий результат

(2,27)

˙x = −2˙y

То есть скорость тележки всегда будет вдвое больше велика как скорость цилиндра.Знак минус означает что если цилиндр поднимается (y уменьшается), тележка движется налево (x увеличивается) и наоборот.

Еще раз дифференцируя это последнее уравнение по к времени обнаружено, что тангенциальное ускорение тележка также вдвое больше тангенциального ускорения цилиндра и с обратным знаком

(2,28)

¨x = −2¨y

Эти отношения между положениями, скоростями и ускорения двух объектов подразумевают, что система только одна степень свободы.Когда-то выражения для положение, скорость и ускорение одного из объектов известны соответствующие выражения для другого объекта получаются умножением или делением на -2.

Второй пример с двумя степенями свободы — это система из трех шкивов и трех цилиндров, показанная на Рисунок 2.13. Высоты три цилиндра определяются из трех расстояний да , yB и yC . С движется только одна струна, будет только одна ограничение (длина этой строки остается постоянной) которое можно использовать для выражения одного из трех расстояний в терминах из двух других и, следовательно, система имеет две степени свободы.

Рисунок 2.13: Система с тремя зависимыми движения и две степени свободы.

Длина строки

(2,29)

L = yA + 2yB + yC + константа

, где константа равна сумме половины периметры шкивов, которые не должны быть известны в чтобы найти соотношения между скоростями или ускорения, так как он обращается в нуль, когда производные вычислено.

Дифференцирование обеих частей последнего уравнения приводит к

(2.30)

˙yA + 2˙yB + ˙yC = 0

В этом случае есть несколько возможных движений; для Например, если цилиндр A движется вверх, а цилиндр C движется вниз с той же скоростью, то цилиндр B останется в отдыхать. Или один из цилиндров может опускаться, пока двое других продвигаются вверх. Однако это было бы невозможно что три цилиндра движутся все вверх или все вниз.

Дифференциация уравнение 2.30 относительно время приводит к соотношению между ускорениями

(2.31)

¨yA + 2¨yB + ¨yC = 0

Пример 2.3

В системе, показанной на рисунке, найдите скорость движение цилиндра вверх при вытягивании кольца A вниз со скоростью 2 м / с.

Решение . В этом случае есть 4 части с различные движения, три подвижных шкива и кольцо A ( движение цилиндра такое же, как у движущегося шкив, где он подвешен) и 3 струны с постоянным длины. Следовательно, эта система имеет только одну степень свободы. а скорость A даст возможность найти скорости всех остальных частей.

Если y1 расстояние от потолка до кольца и y2 , y3 и y4 расстояния от потолка до каждый из движущихся шкивов, как показано на рисунке, длины трех струн

L1 = y1 + 2y2 + константа L2 = y3 + (y3 − y2) + константа L3 = y4 + (y4 − y3) + константа

Дифференцируя обе части каждого из этих уравнений, результаты

˙y1 = −2˙y2˙y2 = 2˙y3˙y3 = 2˙y4

и решение для ˙y1 в терминах ˙y4 ,

˙y1 = −8˙y4

то есть скорость нисходящего движения кольца 8 раз больше, чем скорость восходящего движения цилиндр.Таким образом, цилиндр движется вверх со скоростью 0,25 м / с.

Основы линейной алгебры

Основы линейной алгебры

Этот документ представляет собой список некоторых материалов по линейной алгебре. с которым вы должны быть знакомы. В дальнейшем мы будем считать A матрицей 3 x 4.

Я предполагаю, что вы знакомы со сложением и умножением матриц и векторов.

• Все векторы будут столбцами векторов.
• Учитывая вектор v , если мы так говорим, мы имеем в виду, что v имеет хотя бы один ненулевой составная часть.
• транспонирование вектора или матрицы обозначается надстрочным индексом T . Например,
  
  
• Внутренний продукт или скалярное произведение двух векторов u и v в можно написать u ^T v ; это означает . Если u ^T v = 0, то u и v являются ортогональными .
• Нулевое пространство из A — это набор всех решений x для матрично-векторное уравнение Ax = 0.
• Чтобы решить систему уравнений Ax = b , используйте метод исключения Гаусса. Например, если , затем решаем Ax = b следующим образом: (Мы настраиваем расширенную матрицу и уменьшаем строку (или сводим) к верхнему треугольная форма.)
  
  Таким образом, решениями являются все векторы x вида
  
  для любых номеров s и t .
• Диапазон набора векторов — это набор всех линейных комбинаций векторов. Например, если а также тогда диапазон v ¹ и v ² — это набор все векторы вида sv ¹ + tv ² для некоторых скаляров s и t .
• Диапазон набора векторов в дает подпространство из. Любое нетривиальное подпространство можно записать как оболочку любого из несчетное количество наборов векторов.
• Набор векторов линейно независимый если единственное решение векторного уравнения является для всех и . Если набор векторов не является линейно независимым, то это линейно зависимый . Например, строки A являются , а не линейно независимыми, поскольку
  
  Чтобы определить, является ли набор векторов линейно независимым, запишите векторы как столбцы матрицы C , скажем, и решите Cx = 0.Если есть какие-либо нетривиальные решения, то векторы линейно зависимый; в противном случае они линейно независимы.
• Если линейно независимый набор векторов охватывает подпространство тогда векторы образуют базис для этого подпространства. Например, v ¹ и v ² образуют основу для диапазона строк A . Учитывая подпространство S , каждый базис S содержит одинаковое количество векторы; это число — размерность подпространства.Чтобы найти основу для диапазона набора векторов, запишите векторы как строки матрицы, а затем уменьшите матрицу по строкам.
• Промежуток строк матрицы называется пространством строк матрица. Размерность строки — , ранг матрицы.
• Диапазон столбцов матрицы называется диапазоном или пространство столбцов матрицы. Пространство строки и пространство столбца всегда имеют одинаковое измерение.
• Если M — это матрица m x n , то пустое пространство и пространство строки M подпространства и диапазон M является подпространством.
• Если u находится в пространстве строк матрицы M и v находится в нулевом пространстве из M , то векторы ортогональны. Размерность пустого пространства матрицы — это , нулевое значение . матрицы. Если M имеет n столбцов, тогда ранг ( M ) + недействительность ( M ) = n . Любая основа для пространства строк вместе с любой основой для нулевого пространства дает основу для.
• Если M — квадратная матрица, — скаляр, а x — вектор удовлетворение тогда x — это собственный вектор из M с соответствующим собственным значением .Например, вектор является собственным вектором матрицы
  
  с собственным значением.
• Собственные значения симметричной матрицы всегда действительны. Несимметричная матрица может иметь комплексные собственные значения.
• Учитывая симметричную матрицу M , следующие эквивалентны:

  1.

  Все собственные значения M положительны.

  2.

  x ^T Mx > 0 для любого.

  3.

  M — положительно определенный .

• Учитывая симметричную матрицу M , следующие эквивалентны:

  1.

  Все собственные значения M неотрицательны.

  2.

  для любых х .

  3.

  M — положительное полуопределенное значение .

---

---

Джон Э. Митчелл
2004-08-31

Обсудите свойства скаляра и вектора

Решение:

Свойства скалярных произведений: (i) Количество продукта `vecA.(2)) `Свойства векторных произведений: (i) Векторное произведение любых двух векторов всегда является другим вектором, направление которого перпендикулярно плоскости, содержащей эти два вектора, т. Е. Ортогонально обоим векторам,` vecA и vecB` могут или могут не быть взаимно ортогональными. (ii) Векторное произведение двух векторов не является коммутативным: `vecA xx vecB ne vecB xx vecA`, а` vecA xx vecB = — [vecBxxvecA] `. Здесь стоит отметить, что `| vecAxxvecB | = | vecBxxvecA | = AB sin theta`. т.е. в случае векторов-произведений `vecAxxvecB` и` vecB xx vecA` величины равны, но направления противоположны друг другу.(@) = hatn = vec0` В физике нулевой вектор vec0 обозначается просто как ноль. (vi) Самовекторные произведения единичных векторов равны нулю. `hatixxhati = hatjxxhatj = hatkxxhatk = vec0` (vii) В случае ортогональных единичных векторов,` hati, hatj, hatk` в соответствии с правилом правого винта: `hatixxhatj = hatk, hatjxxhatk = hati и hatk xx hati = hatj `Кроме того, поскольку перекрестное произведение не коммутативно. `hatjxxhati = -hatkxxhatj = -hati и hati xx hatk = -hatj` (viii) В терминах компонентов векторное произведение двух векторов` vecA и vecB` равно `vecAxxvecB = | (hati, hatj, hatk), (A_ (x), A_ (y), A_ (z)), (B_ (x), B_ (y), B_ (z)) | « = хати (A_ (y) B_ (z) -A_ (z) B_ (y)) + hatj (A_ (z) B_ (x) -A_ (x) B_ (z)) + hatk (A_ (x) B_ (y) -A_ (y) B_ (x)) `Обратите внимание, что в хатном компоненте порядок умножения отличается от хатического и хатического компонентов.(ix) Если два вектора `vecA и vecB` со смежных сторон в параллелограмме, то величина` vecAxxvecB` даст площадь параллелограмма, представленную графически. (x) Разделите параллелограмм на два равных треугольника: площадь треугольника со сторонами `vecA` и` vecB` равна `(1) / (2) | vecAxxvecB |`.