Site Loader
Posted on 18.04.1987

Содержание

4.4. Второе уравнение Максвелла.@

Максвелл ввел понятие полного тока. Плотность полного тока

.

В замкнутых цепях переменного тока полный ток всегда замкнут, на концах проводника обрывается лишь ток проводимости, а в диэлектрике и в вакууме между концами проводника имеется ток смещения, который замыкает цепь переменного тока.

Пользуясь новыми введенными понятиями, Максвелл обобщил закон полного тока (теорему о циркуляции вектора Н). Ранее он имел вид . Максвелл заменил ток проводимостиI на полный ток сквозь поверхность S, ограниченную контуром L:

.

Тогда обобщенная теорема о циркуляции вектора принимает вид

.

Это и есть второе уравнение Максвелла в интегральной форме: циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль произвольного замкнутого контура равна полному току, охватываемому этим контуром. Уравнение показывает, что магнитные поля могут порождаться либо электрическими токами, либо переменными электрическими полями.

4.5. Система уравнений Максвелла в интегральной форме.@

Итак, первое уравнение Максвелла имеет вид

.

Второе уравнение Максвелла

.

Третье уравнение Максвелла – это уже знакомая нам теорема Гаусса для вектора электрического смещения:

,

где q – суммарный заряд в объеме, ограниченном поверхностью S.

Четвертое уравнение Максвелла – это теорема Гаусса для магнитного поля В, также полученная нами ранее:

.

Если изучаемые среды несегнетоэлектрические, неферромагнитные и изотропные, между величинами индукции и напряженности магнитного и электрического полей, а также между плотностью тока и напряженностью электрического поля существуют линейные зависимости:

Эти зависимости, характеризующие электрические и магнитные свойства среды, называются иногда материальными уравнениями.

Уравнения Максвелла несимметричны относительно электрического и магнитного полей. Это связано с тем, что электрические заряды существуют в природе, а магнитных зарядов не существует.

Если электрическое и магнитное поля стационарны, т.е. постоянны во времени, то уравнения Максвелла принимают вид:

В данном случае источниками электрического поля являются только электрические заряды, а источниками магнитного поля — только токи проводимости. Электрическое и магнитное поля теперь не зависят друг от друга, что позволяет изучать их в отдельности.

4.6. Электромагнитное поле. Электромагнитные волны.@

Итак, электрические и магнитные поля неразрывно связаны друг с другом. Теория, созданная Максвеллом, позволила ему предсказать существование электромагнитного поля – особой формы материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между заряженными частицами и токами.

Электромагнитное поле неподвижных или равномерно движущихся заряженных частиц неразрывно с ними

Векторыиперпендикулярны друг другу и направлению распространения волны, как показано на рис. 4.4.

Электромагнитные волны пронизывают все окружающее нас пространство. В первую очередь это свет, а также радиоволны, тепловое излучение, ультра-фиолетовое, рентгеновское и γ-излучение. Все эти электромагнитные волны различаются по длине волны и, соответственно, по частоте, как показано в табл.4. 1.

Таблица 4.1. Шкала электромагнитных волн

Электромагнитные волны

Порядок длины волны, м

Источники излучения

Радиоволны

107-10-1

Генераторы радиоволн разных частот

Инфракрасные волны

10-1-10-4

Тепловое излучение молекул, Солнце

Видимый свет

10-7

Солнце, атомы, молекулы

Ультрафиолетовые

волны

10-7-10-9

Солнце, звезды, высокотемпературная плазма, атомы и молекулы

Рентгеновские волны

10-9-10-11

Атомные процессы

γ-лучи

10-12

Ядерные процессы, радиоактивный распад, космические процессы

Применение электромагнитных волн в науке, технике и повседневной жизни весьма разнообразно.

Самые длинные электромагнитные волны – радиоволны используются для радио- и телевизионных трансляций, радиотехники, радиолокации, радионавигации, радиоспектроскопии и т.д. Инфракрасное излучение применяют при анализе и структурных исследованиях различных веществ, спектров далеких звезд и атмосферы планет, при измерениях теплового баланса Земли. В промышленных целях ИК излучение используют для сушки древесины, лакокрасочных покрытий. Ультрафиолетовые волны находят применение в светотехнике, химических технологиях и медицине, поскольку обладают значительной биологической активностью. Обработка ИК и УФ лучами лежит в основе современных методов консервирования пищевых продуктов. Рентгеновское излучение, благодаря его высокой проникающей способности, также широко используют в медицине, науке и технике.

Итак, нами рассмотрены основы магнитостатики и основные электрические и магнитные явления, происходящие с постоянными и переменными токами, покоящимися или равномерно движущимися зарядами. Изложена электромагнитная теория, позволяющая найти электрические и магнитные поля для любых точек пространства и любого момента времени. Значение этой теории огромно, так как в большинстве физических явлений преобладают электромагнитные взаимодействия.

1Самофракийские кольца – это железные кольца с золотым ободком

111

Уравнения Максвелла — что это, их обе формы и физический смысл

Уравнения Максвелла — это 4 уравнения, которые описывают, как электрические и магнитные поля распространяются и взаимодействуют; т.е. эти уравнения (правила или даже законы) описывают процессы/взаимодействия электромагнетизма.

Эти правила описывают, как проходит управление поведением электрических и магнитных полей. Уравнения Максвелла показывают, что электрический заряд (положительный и отрицательный):

  1. Порождает электрическое поле (также если заряд изменяется со временем, то он вызывает появление электрического поля).
  2. В дальнейшем он вызывает появление магнитного поля.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

Уравнение 1: Закон Гаусса или Теорема Гаусса

Первое уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): div D = ρ

Дивергенция электрического поля равняется плотности заряда. Существует вязь между электрическим полем и электрическим зарядом.

Дивергенция в физике показывает, насколько данная точка пространства является источником или потребителем потока поля.

Очень кратко: Электрические поля расходятся от электрических зарядов: электрический заряд создаёт поле вокруг себя и, таким образом, действует как источник электрических полей. Это можно сравнить с краном, который является источником воды.

Ещё закон Гаусса говорит о том, что отрицательные заряды действуют как сток для электрических полей (способ, как вода стекает через отверстие стока). Это означает, что линии электрического поля имеют начало и поглощаются при электрическом заряде.

Заряды с одинаковым знаком отталкиваются друг от друга, а противоположные заряды притягиваются друг к другу (если есть два положительных заряда, они будут отталкиваться; а если есть один отрицательный и один положительный, они будут притягиваться друг к другу).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

Второе уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): rot E = — ∂B/∂t

Можно создать электрическое поле, изменив магнитное поле.

Очень кратко: Закон Фарадея гласит, что изменяющееся магнитное поле внутри контура вызывает индуцированный ток, который возникает из-за силы или напряжения внутри контура. Это значит:

  1. Электрический ток порождает магнитные поля, а эти магнитные поля (вокруг цепи) вызывают электрический ток.
  2. Изменяющееся во времени магнитное поле вызывает распространение электрического поля.
  3. Циркулирующее во времени электрическое поле вызывает изменение магнитного поля во времени.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

Третье уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): div B = 0

Дивергенция магнитного потока любой замкнутой поверхности равна нулю. Магнитного монополя не существует.

Закон Гаусса для магнетизма утверждает (очень кратко):

  1. Магнитных монополей не существует.
  2. Расхождение полей B или H всегда равно нулю в любом объёме.
  3. На расстоянии от магнитных диполей (это круговой ток) магнитные поля текут по замкнутому контуру.

Уравнение 4: Закон Ампера

Четвёртое уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): rot H = j + ∂D/∂t

Магнитное поле создаётся с помощью тока или изменяющегося электрического поля.

Очень кратко: Электрический ток порождает магнитное поле вокруг тока. Изменяющийся во времени электрический поток порождает магнитное поле.

Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

Вспомним сначала в дифференциальной форме и следом будет в интегральной форме.

Уравнение 1: Закон Гаусса (Теорема Гаусса)

Первое уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): div D = ρ

Это же уравнение в интегральной форме:

Первое уравнение в интегральной форме: ∮DdS = ∫ρdV

Поток вектора электрической индукции D через любую замкнутую поверхность равняется сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью. Электрическое поле создаётся нескомпенсированными электрическими зарядами (это те, что создают вокруг себя своё собственное электрическое поле).

Уравнение 2: Закон электромагнитной индукции (Закон Фарадея)

Второе уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): rot E = — ∂B/∂t

И это же уравнение в интегральной форме:

Второе уравнение Максвелла (в интегральной форме) ∮Edl = — ∫ ∂B/∂t dS

Циркуляция вектора напряжённости Е вихревого электрического поля (по любому замкнутому контуру) равняется скорости изменения магнитного потока через площадь контура (S) с противоположным знаком.

Уравнение 3: Закон Гаусса для магнетизма

Третье уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): div B = 0

И это же уравнение в интегральной форме:

Третье уравнение Максвелла в интегральной форме: ∮BdS = 0

Силовые линии магнитного поля замкнуты, т.к. поток вектора индукции В магнитного поля через любую замкнутую поверхность равняется нулю.

Уравнение 4: Закон Ампера

Четвёртое уравнение Максвелла (в дифференциальной форме): rot H = j + ∂D/∂t

И это же уравнение в интегральной форме:

Четвёртое уравнение Максвелла в интегральной форме: ∮Hdl = ∫ (j +∂D/∂t)dS

Циркуляция вектора напряжённости Н магнитного поля по замкнутому контуру равняется алгебраической сумме токов, которые пронизывают этот контур. Магнитное поле создаётся не только током проводимости, но и переменным электрическим полем.

Узнайте также про Напряжённость электрического поля, Резонанс и Магнитную индукцию.

Дата обновления 07/04/2021.

Другие значения и понятия, которые могут вас заинтересовать

  • Закон сохранения энергии
  • Модуль Юнга
  • Магнитная индукция
  • Источники права
  • Теорема Виета
  • Сансара
  • Напряженность электрического поля
  • Карма
  • Сила Архимеда
  • Колесо сансары

Физический смысл интегральной формы уравнений Максвелла.

⇐ ПредыдущаяСтр 39 из 42Следующая ⇒

В основу теории электромагнитного поля Дж.Максвелл положил систему из четырех уравнений — теорем, которая была названа уравнениями Максвелла в интегральной форме.

Уравнения Максвелла описывают огромную область явлений. Они лежат в основе электротехники и радиотехники и играют важнейшую роль в развитии таких актуальных направлений современной физики, как физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций, магнитная гидродинамика, нелинейная оптика, конструирование ускорителей заряженных частиц, астрофизика и т. д. Уравнения Максвелла неприменимы лишь при больших частотах электромагнитных волн, когда становятся существенными квантовые эффекты, то есть когда энергия отдельных квантов электромагнитного поля — фотонов — велика и в процессах участвует сравнительно небольшое число фотонов.

Максвелла уравнение в интегральной форме определяют не векторы E, В, D и Н в отд. точках пр-ва, а некоторые интегральные величины, зависящие от распределения этих характеристик поля: циркуляцию векторов Е и Н вдоль произвольных замкнутых контуров и потоки векторов D и B через произвольные замкнутые поверхности.

Первое Максвелла уравнение является обобщением на перем. поля эмпирического Био — Савара закона о возбуждении магнитного поля электрическими токами. Максвелл высказал гипотезу, что магнитное поле порождается не только токами, текущими в проводнике, но и переменными электрическими полями в диэлектриках или вакууме. Величина, пропорционально скорости изменения электрического поля во времени, была названа Максвеллом током смещения, он возбуждает магнитное поле по тому же закону, что и ток проводимости. Полный ток, равный сумме тока смещения и тока проводимости, всегда является замкнутым. Первое Уравнение Максвелла имеет вид:

т. е. циркуляция вектора магнитной напряжённости вдоль замкнутого контура L (сумма скалярных произведений вектора Н в данной точке контура на бесконечно малый отрезок dl контура) определяется полным током через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром. Здесь jn — проекции плотности тока проводимости j на нормаль к бесконечно малой площадке ds, являющейся частью поверхности S; (1/4p)(дDn/дt) — проекция плотности тока смещения на ту же нормаль; с—3•1010см/с — постоянная, равная скорости распространения электромагнитных воздействий (скорость света) в вакууме.

Второе Уравнение Максвелла является математической формулировкой закона электромагнитной индукции Фарадея и записывается в виде:

т. е. циркуляция вектора напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура L (эдс индукции) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность S, ограниченную данным контуром. Здесь Bn — проекция на нормаль к площадке ds вектора магнитной индукции В; знак «-» соответствует Ленца правилу для направления индукционного тока.

Третье уравнение Максвелла выражает опытные данные об отсутствии магнитных зарядов, аналогичных электрическим (магнитное поле порождается только электрическими токами):

т. е. поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю.

Четвёртое уравнение Максвелла(обычно наз. Гаусса теоремой) представляет собой обобщение закона воздействия неподвижных электрических зарядов — Кулона закона:

т. е. поток вектора электрической индукции через произвольную замкнутую поверхность S определяется электрическим зарядом, находящимся внутри этой поверхности (в объёме V, ограниченном поверхностью S).

Если считать, что векторы электро-магнитного поля (Е, В, D и Н) являются непрерывными функциями координат, то, рассматривая циркуляцию Н и Е по бесконечно малым контурам и потоки векторов В и D через поверхности, ограничивающие бесконечно малые объёмы, можно от интегральных М. у- (1, а—г) перейти к системе дифференциальных М. у., характеризующих поле в каждой точке пр-ва:

Физ. смысл уравнений (2) тот же, что уравнений(1).

Ток смещения.

Ток смещения или абсорбционный ток — величина, прямо пропорциональная быстроте изменения электрической индукции. Это понятие используется в классической электродинамике. Введено Дж. К. Максвеллом при построении теории электромагнитного поля.

Введение тока смещения позволило устранить противоречиев формуле Ампера для циркуляции магнитного поля, которая после добавления туда тока смещения стала непротиворечивой и составила последнее уравнение, позволившее корректно замкнуть систему уравнений (классической) электродинамики.

Строго говоря, ток смещения не является электрическим током, но измеряется в тех же единицах, что и электрический ток.


В вакууме, а также в любом веществе, в котором можно пренебречь поляризацией либо скоростью её изменения, током смещения JD (с точностью до универсального постоянного коэффициента) называется поток вектора быстроты изменения электрического поля через некоторую поверхностьs.

В диэлектриках (и во всех веществах, где нельзя пренебречь изменением поляризации) используется следующее определение:

где D — вектор электрической индукции (исторически вектор D назывался электрическим смещением, отсюда и название «ток смещения»)

Соответственно, плотностью тока смещения в вакууме называется величина:

а в диэлектриках — величина:

⇐ Предыдущая33343536373839404142Следующая ⇒

2.4: Связь между интегральной и дифференциальной формами уравнений Максвелла

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    24989
    • Дэвид Х. Стейлин
    • Массачусетский технологический институт через MIT OpenCourseWare

    Теорема Гаусса о расходимости

    Две теоремы очень полезны для связи дифференциальной и интегральной форм уравнений Максвелла: теорема Гаусса о расходимости и теорема Стокса. Теорема Гаусса о расходимости (2.1.20) утверждает, что интеграл от нормальной компоненты произвольного аналитического надлинейного поля \(\overline A \) по поверхности S, ограничивающей объем V, равен объемному интегралу от \( \nabla \cdot \ overline{\mathrm{A}}\) над V. Теорему можно быстро вывести, если вспомнить (2.1.3):

    \[\nabla \cdot \overline{A} \equiv \frac{\partial A_{x}}{\partial x}+\frac{\partial A_{y}}{\partial y}+\frac{ \partial A_{z}}{\partial z} \]

    Следовательно, \( \nabla \cdot \overline{A}\) в позиции x o , y o , z o можно найти используя (2.4.1) в пределе, когда Δx, Δy и Δz стремятся к нулю:

    \[\begin{align}
    \nabla \cdot \overline{A}=\lim _{\Delta i \rightarrow 0} &\left\{\left[A_{x}\left(x_{0}+\Delta x/2\right)-A_{x}\left(x_{0}-\Delta x/2\right)\ вправо] / \Дельта х\вправо. \\
    &+\left[A_{y}\left(y_{0}+\Delta y / 2\right)-A_{y}\left(y_{0}-\Delta y/2\right)\right] / \Delta y \nonumber\\
    &\left.+\left[A_{z}\left(z_{0}+\Delta z / 2\right)-A_{z}\left(z_{0}- \Delta z / 2\right)\right] / \Delta z\right\} \nonumber
    \end{align} \]

    \[\begin{align}
    =\lim _{\Delta i \rightarrow 0 } &\left\{\Delta y \Delta z\left[A_{x}\left(x_{0}+\Delta x / 2\right)-A_{x}\left(x_{0}-\Delta x / 2\right)\right]\right.\\
    &+\Delta x \Delta z\left[A_{y}\left(y_{0}+\Delta y / 2\right)-A_{y }\left(y_{0}-\Delta y / 2\right)\right] \nonnumber\\
    &\left.+\Delta x \Delta y\left[A_{z}\left(z_{0}+\Delta z / 2\right)-A_{z}\left(z_{0}-\Delta z / 2\right)\right]\right\} / \Delta x \Delta y \Delta z \nonumber
    \end{align} \]

    \[ =\lim _{\Delta \mathbf{v} \ стрелка вправо 0} \ влево \ {\ oiint _ {\ mathrm {S} _ {\ mathrm {c}}} \ overline {\ mathrm {A}} \ пуля \ шляпа {n} \ mathrm {da} / \ Delta \ mathrm {v}\right\}\]

    где \(\hat{n}\) — единичная нормальная черта для инкрементного куба размерностей Δx, Δy, Δz; da — его дифференциальная поверхность; С c – площадь его поверхности; Δv — его объем, как показано на рис. 2.4.1 (а).

    Теперь мы можем сложить произвольное количество таких бесконечно малых кубов, чтобы сформировать объем V, подобный показанному на рис. 2.4.1(b). Затем мы можем просуммировать (2.4.4) по всем этим кубам, чтобы получить:

    \[ \lim _{\Delta v \rightarrow 0} \sum_{i}(\nabla \bullet \overline{A}) \Delta v_ {i}=\lim _{\Delta v \rightarrow 0} \sum_{i}\left\{\oiint_{S_{c}} \overline{A} \bullet \hat{n} d a_{i}\ right\}\]

    Рисунок \(\PageIndex{1}\): Вывод теоремы Гаусса о расходимости.

    Поскольку все вклады в \(\sum_{i}\left\{\oiint_{S} \overline{A} \bullet \hat{n} d a_{i}\right\} \) от обращенного внутрь смежного куба грани сокращаются, в правой части (2.4.5) остаются только вклады от внешней поверхности объема V. Переходя к пределу, получаем Теорема Гаусса о расходимости }(\nabla \bullet \overline{A}) d v=\oiint_{S}(\overline{A} \cdot \hat{n}) d a\]

    Теорема Стокса

    Теорема Стокса утверждает, что интеграл ротора надлинеторного поля над ограниченной поверхностью равен линейному интегралу этого надлинейторного поля по контуру C, ограничивающему эту поверхность. Его вывод аналогичен выводу теоремы Гаусса о расходимости (раздел 2.4.1), начиная с определения z-компоненты оператора ротора [из уравнения (2.1.4)]:

    \[ (\nabla \times \overline{\mathrm{A}})_{\mathrm{z}} \equiv \hat{z}\left(\frac{\partial \mathrm{A}_{\ mathrm{y}}}{\partial\mathrm{x}}-\frac{\partial\mathrm{A}_{\mathrm{x}}}{\partial\mathrm{y}}\right)\]

    \[ \begin{align}
    =\hat{z} \lim _{\Delta x, \Delta y \rightarrow 0} &\left\{\left[A_{y}\left(x_{0}+ \Delta x / 2\right)-A_{y}\left(x_{0}-\Delta x / 2\right)\right] / \Delta x\right.\\
    &\left.-\left[ A_{x}\left(y_{0}+\Delta y/2\right)-A_{x}\left(y_{0}-\Delta y/2\right)\right]/\Delta y\right \}\номер
    \end{align}\]

    \[ \begin{align}
    =\hat{z} \lim _{\Delta x, \Delta y \rightarrow 0}\{& \Delta y\left[A_{ y}\left(x_{0}+\Delta x / 2\right)-A_{y}\left(x_{0}-\Delta x/2\right)\right] / \Delta x \Delta y \ \
    &\left.-\Delta x\left[A_{x}\left(y_{0}+\Delta y/2\right)-A_{x}\left(y_{0}-\Delta y/ 2\right)\right] / \Delta x \Delta y\right\} \nonumber
    \end{align}\]

    Рассмотрим поверхность в плоскости x-y, перпендикулярную \(\hat{z}\) и \(\hat{n}\), локальная нормаль к поверхности, как показано на рис. 2.4.2(a).

    Рисунок \(\PageIndex{2}\): Вывод теоремы Стокса.

    Тогда (2.4.9) применительно к ΔxΔy принимает следующий вид: n}=\oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{A}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}} \]

    , где d\(\overline s\) представляет собой дифференциальную длину линии над линией [м] вдоль контура C, ограничивающего инкрементальную область, определяемую ΔxΔy = da. Контур C трансверсирован в правом направлении относительно \(\hat{n}\). Мы можем собрать такие бесконечно малые области, чтобы сформировать поверхности произвольной формы и площади A, как показано на рис. 2.4.2(b). Суммируя (2.4.10) по всем этим бесконечно малым площадям da, мы находим, что все вклады в правую внутренность области A сокращаются, остаются только вклады от контура C вдоль границы A. Таким образом, (2.4. 10) становится Теорема Стокса :

    \[ \int \int _{\mathrm{A}}(\nabla \times \overline{\mathrm{A}}) \bullet \hat{n} \mathrm{da}=\ oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{A}} \cdot \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}\]

    где соотношение между направлением интегрирования вокруг контура и ориентация \(\шляпа{n}\) подчиняется правилу правой руки (если пальцы правой руки сгибаются в направлении d\(\над чертой s\), то большой палец указывает в направлении \(\шляпа{ п}\)).

    Уравнения Максвелла в интегральной форме

    Дифференциальную форму уравнений Максвелла (2.1.5–8) можно преобразовать в интегральную форму с помощью теоремы Гаусса о дивергенции и теоремы Стокса. Закон Фарадея (2.1.5):

    \[\nabla \times \overline{\mathrm{E}}=-\frac{\partial \overline{\mathrm{B}}}{\partial \mathrm{t }} \]

    Применяя теорему Стокса (2.4.11) к криволинейной поверхности A, ограниченной контуром C, получаем:

    \[ \iint_{\mathrm{A}}(\nabla \times \overline{ \mathrm{E}}) \bullet \hat{n} \mathrm{d} \mathrm{a}=\oint _{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{E}} \bullet \mathrm{d} \ overline {\ mathrm {s}} = — \ iint _ {\ mathrm {A}} \ frac {\ partial \ overline {\ mathrm {B}}} {\ partial \ mathrm {t}} \ bullet \ hat {n } \mathrm{d} \mathrm{a}\]

    Это становится интегральной формой закона Фарадея: } \overline{B} \bullet \hat{n} d a \quad\quad\quad\quad\quad(\text {Закон Фарадея} a w)\]

    Аналогичное применение теоремы Стокса к дифференциальной форме уравнения Ампера закон дает свою интегральную форму:

    \[ \oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{H}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}=\iint_{\mathrm {A}}\left[\overline{\mathrm{J}}+\frac{\partial \overline{\mathrm{D}}}{\partial \mathrm{t}}\right] \bullet\hat{n } \mathrm{d} \mathrm{a} \quad\quad\quad\quad\quad \text { (Закон Ампера) }\]

    Теорему Гаусса о расходимости (2. {\prime} s \text {Закон заряда}\right)\]

    \[\oiint_{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{B}} \bullet \hat{n}) \mathrm{d} \mathrm{a}=0 \quad \quad \quad \ quad \quad \text{ (Закон Гаусса для } \overline{B}) \]

    Наконец, закон сохранения заряда (1.3.19) может быть преобразован к интегральной форме, как и законы Гаусса:

    \[ \oiint_{\ mathrm {A}} (\ overline {\ mathrm {J}} \ bullet \ hat {n}) \ mathrm {d} \ mathrm {a} = — \ int \ int \ int _ {\ mathrm {V}} \ frac {\ парциальное \ rho} {\ парциальное \ mathrm {t}} \ mathrm {d} \ mathrm {v} \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad (\ text {сохранение заряда}) \]

    Рисунок \(\PageIndex{3}\): уравнения Максвелла в эскизной форме.

    Четыре схемы уравнений Максвелла, представленные на рис. 2.4.3, могут облегчить запоминание; их можно интерпретировать как в дифференциальной, так и в интегральной форме, поскольку они охватывают основную физику.

    Пример \(\PageIndex{A}\)

    Используя закон Гаусса, найдите \(\overline E\) на расстоянии r от точечного заряда q. {2}\).

    Пример \(\PageIndex{B}\)

    Что такое \(\overline H\) на расстоянии r = 1 см от тока линии \(\overline I\) = \(\hat{z}\) [ ампер] расположен на r = 0?

    Решение

    Поскольку геометрия этой задачи цилиндрически симметрична, решение тоже. Используя интегральную форму закона Ампера (2.4.15) и интегрируя в правом смысле по окружности радиуса r с центром в токе и в плоскости, ортогональной ему, получаем 2\(\pi\)rH = I , поэтому \(\overline H\) = \(\hat{\theta}\) 100/2\(\pi\) [A m -1 ].

    Эта страница под названием 2.4: Связь между интегральной и дифференциальной формами уравнений Максвелла распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Дэвидом Х. Стелином (MIT OpenCourseWare) через исходный контент это было отредактировано в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

    1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или Страница
        Автор
        Дэвид Х. Стаелин
        Лицензия
        CC BY-NC-SA
        Версия лицензии
        4,0
        Программа ООР или издатель
        MIT OpenCourseWare
      2. Теги
        1. source@https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-013-electromagnetics-and-applications-spring-2009
        2. Теорема Стокса

      Уравнение электромагнитного поля Максвелла № 1

      Уравнение электромагнитного поля Максвелла № 1

      Максвеллс Электромагнитный Уравнение поля № 1

      По Джордж Дж. Спикс

      1. 0 Уравнение

      Следующее электростатическое поле уравнения будут разработаны в этом разделе:

      Цельная форма

      Дифференциальные формы

      Первое уравнение Максвелла основано на Гауссе закон электростатики, опубликованный в 1832 году, в котором Гаусс установил связь между статическими электрическими зарядами и сопутствующими им статические поля.

      Приведенное выше интегральное уравнение утверждает, что электрический поток через площадь замкнутой поверхности равна общему заключенному заряду.

      Дифференциальная форма уравнения утверждает, что дивергенция или исходящий из точки поток электрического тока равен объемному заряду плотность в этой точке.

      1.1. уравнение Максвелла №1; Область Интеграл

      Выведем интеграл уравнение, рассматривая суммирование плотности электрического потока на площади поверхности, а затем как сумма объема, содержащего электрические обвинение. Показано, что два интеграла равны, когда они основаны на тот же заряд. Два примера с использованием уравнений: показано.

      1.1.1 Закон Гаусса

      Закон электростатики Гаусса гласит, что линии электрических поток,

      f E , исходят из положительного заряда, q , и оканчиваются, если оканчиваются, на отрицательном заряде. Пространство внутри поле, на которое оказывают влияние заряды, называется электростатическим полем.

      Эскиз на рис. 1.1 представляет заряды и три размерное поле. Поле визуализируется как состоящее из линий поток. Для изолированного заряда линии потока не обрываются. считается простирающимся до бесконечности.

      Чтобы получить уравнение, связывающее электрическую заряд q и его поток

      f E , предположим, что центр заряда находится в сфере радиус г метров. Тогда плотность электрического потока D равна электрический поток, исходящий от заряда, q , деленный на площадь сфера.

      кулона на квадратный метр; где находится площадь перпендикулярно линиям тока. (Один кулон равен величина заряда 6,25

      X 10 18 электронов.) Тогда заряд, заключенный в сфере, равен электрическому потоку плотность на его поверхности, умноженная на площадь, охватывающую заряд.

      q (кулоны прилагаются) =

      D x 4 r 2 .

      Линии потока, способствующие плотность потока — это те, которые покидают сферу перпендикулярно поверхности сферы. Это приводит к интегральной формулировке этой части закон Гаусса;

      Знак интеграла указывает на сумму бесконечно малые площади, d

      a , чтобы получить всю площадь поверхности.

      Кружок на знаке интеграла означает, что интеграл или суммирование площадей берется по замкнутой сплошной поверхности.

      Буквы, выделенные жирным шрифтом, означают, что буква представляет собой вектор, т. е. эта величина имеет величину и направление. Расстояние, скорость, ускорение и сила являются общими примерами векторов.

      Д

             — вектор плотности электрического потока в кулонах на квадратный метр.

      (указанная точка) после Д показывает, что скалярное произведение векторов должно использоваться при умножении двух векторы, D и д а .

      Скалярное произведение (обсуждается ниже) показывает, что величины два вектора перемножаются, а затем этот продукт умножается на косинус угла между двумя векторами. Скалярный продукт здесь позволяет определить эффективные линии потока, протекающего через поверхность.

      1.1.2 Векторное скалярное произведение

      Приложение векторного скалярного произведения можно проиллюстрировать вычислением решить следующую задачу по физике.

      Вспомним, что работа = сила, умноженная на расстояние. Работа равна произведению силы, то есть в направлении движения силы, умноженной на расстояние, на которое движется сила.

      В следующем примере предположим, что человек толкает швабру по пол ручкой швабры под углом 60 градусов к полу, как в Рисунок 1.2. Стрелки используются на этих диаграммах для представления векторов.

       

      Сила в 20 фунтов приложена через ручка швабры. Как показано на диаграмме, только та составляющая силы, направление, параллельное полу, используется при расчете работы. Мы видим, что сила параллельна полу;

      20 фунтов x косинус 60 0 = 10 фунтов.

      Какова работа, совершаемая при перемещении швабры по полу на расстояние 8 футов?

      10 фунтов x 8 футов = 80 фут-фунтов.

      Используя скалярное произведение, уравнение для работы:

      Работа = F orce d расстояние.

      Скалярное произведение показывает, что работа равна величине силы умножить на величину пройденного расстояния, умножить на косинус угла между двумя векторами.

      Или, Работа = Сила на ручке швабры, умноженная на расстояние силы перемещений, умноженное на косинус угла между силой и полом.

      Работа = 20 фунтов умножить на 8 футов умножить на 1/2 = 80 футо-фунтов.

      Только та составляющая общей силы в направлении, параллельном пол, полученный с помощью скалярного произведения, используется в расчет работы.

      Это показывает, что скалярное произведение определяется как метод векторного умножение, при котором величины векторов перемножаются вместе и затем этот продукт умножается на косинус включенных векторов угол. Всегда должен быть вектор на каждой стороне точки в скалярном произведении.

      Поэтому, когда скалярное произведение используется в законе Гаусса, только то, что составляющая потока, параллельная вектору, представляющему площадь, будет внести свой вклад в общую вложенную плату.

      1.2 Закон Гаусса; Интеграл площади Примеры

      Метод определения заряда с помощью скалярного произведения is аналогично нахождению работы как скалярного произведения между приложенной Силой и Расстояние. С помощью этого метода только те компоненты векторных линий потока в том же направлении, что и вектор, представляющий площадь, будет суммируется при расчете платы. Или, говоря иначе: только те линии потока, перпендикулярные поверхности, включены в результат скалярного произведения для получения прилагаемого заряда.

      Скалярное значение всегда является результатом скалярного произведения. В таком случае, результат — число кулонов. Примеры других скалярных величин являются температура, масса и мощность. Скалярная величина, в отличие от вектор не имеет направления.

      Дифференциальный элемент площади равен

      d a . Вектор представляющая область, направлена ​​нормально, то есть перпендикулярно этой области. Используя скалярное произведение между вектором, представляющим площадь д а и плотность потока D , приводит к получению эффективного потока через область. Сумма всей площади находится в квадратные метры.

      Предварительное уравнение (закон Гаусса) в нашей процедуре для получения Первое уравнение Максвелла теперь;

      Это интегральное уравнение утверждает, что величина плотности электрического потока, нормальная к поверхности, вызвана конкретная сумма заряда, q , закрытый поверхностью.

      Рассмотрим следующие примеры нахождения плотности электрического потока на сферической поверхности и на цилиндрической поверхности.

      1.2.1 Определение плотности потока на сфере

      Предположим, что заряд в один кулон сосредоточен в сфере радиусом r метров, как на рисунке 1.3. Рассчитать плотность электрического потока

      Д на поверхность на сфере. Интеграл или сумма площадей сфера 4 p r 2 кв.

      Вектор, представляющий площадь, направлен нормально для этой области. Вектор, представляющий малую область,

      d a , тогда находится прямо на одной линии с линия электрического потока, выходящего из сферы. D представляет собой плотность линий электрического потока, выходящих из сфера. Угол между плотностью смещения D и стрелкой представляющая бесконечно малую площадь, равна нулю градусов. Косинус нуля градус один.

      Переформулирование интегрального уравнения площади закона Гаусса:

      q (кулоны прилагаются) =

      один кулон = D x 4 p r 2 .

      кулона на квадратный метр на поверхности сфера.

      1.2.2 Определение плотности потока на цилиндре

      Предположим, что имеется длинная линия стационарных зарядов q кулона на метра, как показано на рисунке 1.4. Имеется цилиндр длиной «L» и радиус «r» с центром на зарядах. Какова плотность электрического потока на поверхность цилиндра?

      Уравнение Гаусса:

      Q T , приложенный общий заряд = q кулона на метр х L метров.

      = Q T = D x 2pr x L .

      D

      в кулонах на квадратный метр =

      1,3 Уравнение Максвелла № 1; Объемный интеграл

      Закон электростатики Гаусса также записано в виде объемного интеграла:

      Это уравнение утверждает, что заряд заключенный в объеме, равен объемной плотности заряда,

      r , (ро) суммируется для весь объем.

      q — заряд, заключенный в объеме.

      r

       — объемная плотность заряда в кулонах на кубический метр.

      — бесконечно малый элемент объема.

      Весь объем указан в кубических метрах.

      Общий заряд, заключенный в объеме, равен объему в кубических метрах. раз больше плотности заряда в кулонах на кубический метр. Средний объем плотность заряда, суммированная для всего объема, представляет собой заключенный заряд. А обсуждение r находится в разделе 1.5.3.

      1.4 Уравнение Максвелла № 1; Интегральная форма заполнена

      Для получения интегральной формы Уравнение Максвелла № 1, предположим, что эксперимент поставлен так, что в каждом из уравнений закона Гаусса содержится одинаковый заряд q кулонов. Тогда интегралы от одного и того же заряда должны быть равны.

      Затем,

      Таким образом, мы получили интегральную форму Уравнение Максвелла №1. Это уравнение утверждает, что эффективная электрическая поле через поверхность, охватывающую объем, равно полному заряду внутри объема. Уравнение показывает что площадь, ограниченная левым интегралом, должна охватывать объем правого интеграла. Это похоже на утверждение, что площадь поверхности шара или коробки заключает в себе объем шара или коробки. Площадь и объем, указанный уравнениями нужно не быть наблюдаемыми физическими поверхностями, часто они будут математическими пределы.

      Чтобы запомнить интегральную форму уравнения Максвелла № 1, рассмотрим что заряд q , заключенный в объем, должен быть равен объему плотность заряда,

      р, раз объем. Кроме того, один и тот же заряд q вызовет некоторый поток площади плотность, D , раза на определенной площади. Область должна охватывать объем. интегралы (суммы) должны быть равны, так как одинаковые число кулонов должно быть получено с каждой стороны от знака равенства.

      1.5 Уравнение Максвелла №1; Дифференциальная форма

      Дифференциальная форма Уравнение Максвелла №1:

      есть дифференциальный оператор читается как «del» (обсуждается ниже).

      читается как «расхождение».

      Д

             — плотность электрического потока в кулонах на квадратный метр.

      р

       (rho) – объемная плотность заряда в кулонов на кубический метр.

      1.5.1 Обсуждение (удален)

      — это математическое расширение обычного одиночного измерения. исчисление производной в трех измерениях.

      Мы начнем обсуждение с рассмотрения обычных деривативов.

      Например, для обозначения скорости используется производная. Скорость (v) — это увеличение расстояния, с , для увеличения время, т .

      Скорость (об) =.

      Поскольку изменение во времени сделано очень малым, дифференциальное исчисление символ используется для скорости.

      Теперь рассмотрим обычное одиночное измерение производная по ускорению.

      Вспомните уравнение для определения скорости объекта, когда он упал с высоты. Скорость, которую достигает объект, находится по формуле;

      Скорость, v, = ускорение свободного падения, g, умноженное на время в течение куда падает объект.

      Скорость = v = g t. Или

      В интегральной форме закона Гаусса мы просуммировали бесконечно малые значения площади и объема, da и dv. Здесь мы используем дифференциал, ds, dv и dt, чтобы найти мгновенные скорости изменения расстояние и скорость во времени.

      Существует правило дифференциального исчисления, на которое мы укажем здесь. как мы будем использовать правило ниже.

      Обратите внимание, что скорость равна ускорению (g), умноженному на время (t). Итак, мы можно взять производную скорости следующим образом:

      Правило исчисления состоит в том, что производная от переменная, умноженная на константу, есть константа.

      Теперь мы расширим эту концепцию обычных производных до частных производных. производные. Это позволит нам получить скорость изменения объема в трех измерениях, что, в свою очередь, приводит к определению

      С (удален). Для иллюстрации скорости изменения трех измерениях, предположим, что прямоугольник расположен в начале координат прямоугольника. систему координат, как показано на рис. 1.5.

      Объем ящика, V, = длина x ширина x высота; знак равно Д х Ш х В.

      Какова скорость изменения объема, если только длина увеличивается на небольшое количество, но ширина и высота остаются постоянными?

      Здесь используется символ частной производной. символ для частных производных немного отличается от символа для обычные (одномерные) производные. Символ указывает, что только один независимых переменных меняется на данный момент рассматривается. Зависимая переменная, объем,

      v изменения, определяемые изменениями независимых переменных; L,W и H. При изменении только длины;

      Символ частной производной показывает, что изменение объема только за счет изменения длины. Ширина и высота сохраняются постоянный. Мы также видим, что производная переменной, умноженная на константу — постоянная, W, умноженная на H. Из симметрии следует, что скорость изменение объема в зависимости от ширины или высоты выражается как частная производная.

       

      Когда изменение громкости связано с одновременным изменением длины, ширина и высота, изменения будут происходить в направлениях x, y и z и частные производные добавляются, чтобы найти результирующую скорость изменения объем. Это достигается в векторной форме путем умножения каждого частичного производная по единичным векторам, указывающим в направлениях x, y и z. Ед. изм векторы указаны здесь и обсуждаются далее в разделе 1.5.2. С использованием единичные векторы и одновременные изменения в трех измерениях, общее изменение громкости обозначается:

      Для более общего случая тома

      V переодевание направления x , y и z ;

      Это обсуждение обычных и частичных производных была направлена ​​на получение группы из трех частных производных термины в приведенных выше скобках.

      означает градиент . В этой статье мы не будем использовать градиент.

      Нам понадобится Ñ (del точка, обсуждается ниже) и С 5 (del cross, обсуждается в Раздел 3).

      1.5.2 Обсуждение компонентов вектора в связи с

      Прежде чем продолжить часть дифференциальной формы уравнения Максвелла № 1, мы должны рассмотрим компоненты x, y и z вектора в прямоугольные координаты.

      В разделе 1.1.2 скалярное произведение двух векторов, силы и расстояния, использовался для расчета работы. Здесь мы вычислим ту же работу, используя компоненты вектора силы и расстояния и использовать скалярное произведение.

      Обратите внимание, что компоненты вектора силы в прямоугольной координаты размещаются либо на нуле, либо под углом 90 градусов к расстоянию движение. Косинус нуля градусов равен единице, а косинус 90 градусов равен нулю.

      Из рис. 1.3;

      Компоненты вектора силы = 17,3 фунта. и + 10 фунтов. х .

      Компоненты вектора расстояния = 0 футов y + 8 футов x .

      Процедура векторного (точечного) умножения теперь заключается в умножении модули компонент вектора и косинус угла между ними, срок за сроком.

      Нулевое расстояние y, умноженное на две составляющие силы, равно нулю.

      8 футов x расстояние, умноженное на силу 17,8 фунта в направлении y, умноженное на косинус 90 градусов равен нулю. 8 футов x направленное расстояние, умноженное на Сила 10 фунтов в направлении x, умноженная на косинус нуля градусов, равна те же 80 ft lbs, что мы нашли в предыдущем примере.

      Выполняется эта процедура умножения компонентов вектора x, y и z в выполнении продукта ниже. Умножение компонентов вектора, которые всегда равны нулю или 90 степени друг от друга, значительно упрощает векторную математику.

      Мы определили компоненты в разделе 1.5.1. Выше мы обсуждали умножение скалярного произведения векторов, используя их компоненты. Эти два понятия теперь используются для рассчитать

       

      1.5.3 Расчет

      Компоненты вектора D — его проекции на x, y и z ось. Направления векторов D Компоненты обозначены единичные векторы x, y и z . На рис. 1.6 вектор D начинается в начале координат, указывает вверх и вправо и указано как выходящее из бумаги. Величины проекций Д по осям D х , Dy, и D z . На рис. 1.7 показаны единичные векторы в направлениях x, y и z, которые дают компоненты D их векторные отношения. Одинаковый единичные векторы обозначены в

      Уравнение для вектора

      D в проекции на три оси координат, D = D x х + Д у у + Д у у. Сейчас мы сделаем указанный скалярный продукт .

      Скалярное произведение указывает, что мы должны умножить скобки, термин по члену, умноженному на косинус прилежащего угла между каждой парой условия. Эта серия умножений может дать девять членов, но обратите внимание, что единичный вектор пересекается с одним и тем же единичным вектором:

      Остальные шесть комбинаций единичного вектора произведение скалярного произведения содержит косинус 90 градусов и следовательно, ноль.

      Окончательный результат операция является скаляром всего из трех членов:

      Это уравнение показывает сумму изменений в плотности электрического потока,

      D , в каждом из трех ортогональных направлений. изменение связано с небольшим, (приближающимся ноль), изменение расстояния в тех же ортогональных направлениях.

      Изменение расстояния в трех ортогональных направлениях является объемом изменить, как показано в Разделе 1.5.1. Следовательно, электрическая плотность ( D ) изменение в трех направлениях, которое мы получили использование скалярного произведения с единичными векторами в del на самом деле изменение объема единицы. Поскольку заряд измеряется в кулонах, сумма заряд в кулонах. Результат сложения трех электрических плотностей изменения составляет кулон на кубический метр. Это определяет

      r , объемная плотность заряда, , как указано в разделе 1.3.

      1.6 Уравнение № 1, Дифференциал Форма заполнена

      Делая указанные операция, которую мы получили

      r , объемная плотность заряда. это дифференциал формулировка уравнения Максвелла №1.

      Уравнение утверждает, что дивергенция плотность электрического потока в точке равна заряду на единицу громкость в этот момент. Скалярное произведение, как всегда, дает скаляр результат. В этом случае результат равен

      r, число кулонов плата за кубический метр.

      1.7 Теорема о расходимости

      Это поучительно на данный момент продолжать использовать только что разработанные интегральные и дифференциальные уравнения для уравнения Максвелла № 1, чтобы проиллюстрировать векторную идентичность называется «Теорема Гаусса о расходимости». Этот тождество приравнивает интеграл векторной поверхности к интегралу векторного объема, и потребуется позже в Разделе 2.5.

      Из Раздела 1.4,

      Из раздела 1.5;

      Заменив на

      r в интегральном уравнении получаем;

      Это типичная иллюстрация Гаусса. теорема о дивергенции на примере вектора

      D . Дело в том, что каждый раз, когда у нас есть векторный поверхностный интеграл этого можно заменить интегралом по объему. Если у нас есть векторный объем интеграл указанного типа можно заменить поверхностным интегралом. интеграл дивергенции вектора, суммированного по всему объему, равен равен интегралу от произведения вектора, умноженного на его эффективный площадь суммируется по площади. Это аналогично утверждению, что объем шара содержится в пределах площади его поверхности. Круг на Знак интеграла указывает на то, что интеграл берется по непрерывному область.

      Если бы мы просто воспользовались теоремой Гаусса о расходимости из учебника векторных тождеств, мы могли бы сразу записать дифференциальная форма уравнения Максвелла №1 от интегральной формы. Этот более подробный способ получения личности пригодится в последующих выводах.

      1.8 Связь

      D , E и e

      Помещение, в котором заряды оказывают свое влияние, называется полем электрического заряда. Вокруг электрического заряда q существует электрическое поле поля сила

      Е . Именно напряженность электрического поля E вызовет величина плотности потока, D , в зависимости от диэлектрической проницаемости, e окружающая среда.

      D

             находится в кулонов на квадратный метр.

      E

             в ньютонах на кулон или вольтах на метр.

      и

      находится в кулонах 2 на ньютон метр 2 .

      Е

             — это напряжение в пространстве, которое вызывает проявление D . В связи к этому уравнению и по причинам, обсуждавшимся в разделе 3.7, Д есть часто обозначается как плотность смещения электрического потока в дополнение к плотность электрического потока. Кроме того, в разделе 4 будет показано, что магнитно-индуцированное электрическое поле также обозначенный E , с размерностью вольт на метр. Это индуцированное электрическое поле это то же поле, что и напряженность статического поля, обсуждаемая здесь, но это создается изменяющимся магнитным полем.

      Диэлектрическая проницаемость

      е — это степень, в которой окружающая среда плотность электрического потока, D , возникает из-за заданная напряженность электрического поля, E . В среде воздуха или свободного пространства,

      и

      = 8,85×10 -12 кулон 2 на ньютон метр 2 .

      Эти понятия и определения будут использоваться в разделах 6 и 7.

      1.9 Закон Кулона

      В разделе 1.2.1 мы обнаружили, что плотность электрического потока D от заряда q, расположенного внутри сфера:

      Затем, используя E и e, как указано в разделе 1,8;

      Когда другой заряд q 2 , расположен в r метрах от q 1 , сила испытывается q 2 . Сила равна

      E умножить на q 2 Ньютон. Или же,

      , где q 1 и q 2 обозначают индивидуальное обвинения. Это уравнение является законом Кулона. Напомним, что сила одного Ньютон разгонит массу в один килограмм в один метр в секунду 2 .

      Закон Кулона гласит, что сила между двумя зарядами пропорциональна произведению двух зарядов на расстояние между двумя зарядами в квадрате. Уравнение основу для экспериментального определения силы между двумя зарядами и диэлектрическую проницаемость различных сред. Этот важный электрический закон не включен в список Максвелла, так как считается производным от Гаусса закона и не используется в этих уравнениях поля.

      На этом обсуждение уравнения Максвелла завершено. №1.

      Электромагнитное моделирование на основе интегральной формы уравнений Максвелла

      • Авторская панель Авторизация

      Что такое открытый доступ?

      Открытый доступ — это инициатива, направленная на то, чтобы сделать научные исследования бесплатными для всех. На сегодняшний день наше сообщество сделало более 100 миллионов загрузок. Он основан на принципах сотрудничества, беспрепятственного открытия и, самое главное, научного прогресса. Будучи аспирантами, нам было трудно получить доступ к нужным нам исследованиям, поэтому мы решили создать новое издательство с открытым доступом, которое уравняет правила игры для ученых со всего мира. Как? Упрощая доступ к исследованиям и ставя академические потребности исследователей выше деловых интересов издателей.

      Наши авторы и редакторы

      Мы являемся сообществом из более чем 103 000 авторов и редакторов из 3 291 учреждения в 160 странах мира, включая лауреатов Нобелевской премии и самых цитируемых исследователей мира. Публикация на IntechOpen позволяет авторам получать цитирование и находить новых соавторов, а это означает, что больше людей увидят вашу работу не только из вашей собственной области исследования, но и из других смежных областей.

      Оповещения о содержимом

      Краткое введение в этот раздел, описывающий открытый доступ, особенно с точки зрения IntechOpen

      Как это работаетУправление предпочтениями

      Контакты

      Хотите связаться? Свяжитесь с нашим головным офисом в Лондоне или командой по работе со СМИ здесь:

      Карьера:

      Наша команда постоянно растет, поэтому мы всегда ищем умных людей, которые хотят помочь нам изменить мир научных публикаций.

      Рецензируемая глава в открытом доступе

      Написано

      Наофуми Кицунэдзаки

      Представлено: 9 июля 2018 г. Рецензировано: 5 сентября 2018 г. Опубликовано: 27 ноября 2018 г.

      DOI: 10.5772/intechopen.81338

      СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

      Из отредактированного тома

      Под редакцией Франсиско Булнеса 907 Глава Загрузки

      Посмотреть полные показатели

      СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

      Рекламное объявление

      Abstract

      Введены алгоритмы вычислительного метода электромагнетизма, основанного на интегральной форме уравнений Максвелла. Алгоритмы поддерживаются аппроксимацией интегралов низшего и следующего за низшим порядками по поверхности ячейки и ребрам уравнений. Метод, поддерживаемый аппроксимацией интегралов низшего порядка, совпадает с исходным методом конечных разностей во временной области (FDTD), хорошо известным вычислительным методом электромагнетизма, основанным на дифференциальной форме уравнений Максвелла. Метод, поддерживаемый аппроксимацией следующего за низшим порядком, можно рассматривать как поправку к методу FDTD. Также показаны численные результаты распространения электромагнитной волны в двумерном пластинчатом волноводе с использованием исходного и скорректированного методов FDTD для сравнения их с аналитическим результатом. Кроме того, результаты скорректированного метода FDTD также оказались более точными и надежными, чем результаты исходного метода FDTD.

      Ключевые слова

      • Уравнения Максвелла
      • интегральная форма
      • метод конечных разностей во временной области
      • низшее приближение
      • следующее за низшим приближение
      • 0 9. 0010 9.01010 вычислительный метод

        Уравнения Максвелла считаются фундаментальными уравнениями электромагнитного поля. Они состоят из законов Фарадея, Ампера-Максвелла и Гаусса для плотности магнитного и электрического потоков

        ∂tB=−∇×E, E1

        ∂tD=∇×H−i, E2

        ∇⋅B=0, E3

        ∇⋅D=ρ, E4

        где Е а также ЧАС электрические и магнитные поля соответственно Д а также Б – плотности электрического и магнитного потоков соответственно, я плотность тока, р плотность заряда, ∂tf производная поля по времени ф , ∇×А это вращение векторного поля А , ∇⋅А дивергенция вектора А , а также р — плотность электрического заряда. Взяв расхождение обеих частей уравнения. (2) и используя формулу. (4), выводится закон сохранения заряда:

        ∂tρ+∇⋅i=0. E5

        Уравнения Максвелла в сочетании с законом Лоренца являются основой электроники, оптики и электрических цепей, используемых для понимания зависимости распределения электромагнитного поля от физической структуры, взаимодействия между структурой и полем и других соответствующих характеристик. Однако ситуации, имеющие их аналитическое решение, встречаются редко. Таким образом, вычислительный метод электромагнетизма важен.

        Для вычислительных методов электромагнетизма существует два основных типа: во временной области и в частотной области. В методе временной области время дискретизируется. Распределение поля конкретного временного шага определяется уравнениями Максвелла и распределением предыдущего временного шага. В методе частотной области производная по времени заменяется на iω , куда я является мнимой единицей и ю — угловая частота. Таким образом, уравнения Максвелла решаются. Пользователь выбирает метод, учитывая объект анализа, точность расчетов, технические характеристики своего компьютера и другие важные факторы.

        Метод конечных разностей во временной области (FDTD) — это метод во временной области, используемый для анализа высокочастотных электромагнитных явлений в оптических устройствах, антеннах и подобных устройствах [1]. Его алгоритм основан на законах Фарадея (1), Ампера-Максвелла (2) и законе сохранения заряда (5). В методе FDTD законы Гаусса (3) и (4) не учитываются, кроме начального условия. Причину легко понять, взяв расхождение обеих частей уравнения. (1) и (2), а совмещение закона сохранения заряда (5) дает

        ∂t∇⋅B=0, E6

        ∂t∇⋅D−ρ=0, E7

        производные уравнения по времени. (3) и (4) соответственно. Это означает, что законы плотности электрического и магнитного потоков Гаусса всегда выполняются, когда они выполняются изначально.

        В следующем разделе показан алгоритм исходного метода FDTD. Далее показан скорректированный алгоритм метода FDTD, основанный на интегральной форме уравнений Максвелла [2, 3]. Затем показан численный результат распространения электромагнитных волн в двумерном пластинчатом волноводе. В следующем разделе сравнивается точность исходного и скорректированного методов FDTD, показывая различия между вычислительным и аналитическим методами. Аналитический метод показан в приложении. Последний раздел посвящен выводам.

        Объявление

        2.

        Алгоритм метода FDTD

        Метод FDTD представляет собой вычислительный метод анализа пространственно-временной зависимости электромагнитных полей путем дискретизации пространственно-временных переменных. В этом методе используется дуальная решетка, называемая решеткой Йи [1].

        фигура 1 показывает решетку Йи. На рисунке есть два куба, называемых ячейками. Компонент, параллельный краю электрического поля, находится в центре каждого края желтой ячейки. Компонента, перпендикулярная поверхности магнитного поля, находится в центре каждой поверхности ячейки. Голубая ячейка размещена таким образом, что компонента, параллельная краю магнитного поля, находится в центре его края, а нормальная к поверхности электрического поля компонента находится в центре его поверхности.

        Рис. 1.

        Решетка Йи, используемая в методе FDTD.

        Желтая ячейка используется для расчета магнитного поля во времени t=t0+Δt с помощью магнитного поля на т=т0 и электрическое поле на t=t0+12Δt применяя уравнение (1), где t0 это конкретное время и Δt это временной шаг. Теперь рассмотрим верхнюю поверхность клетки. В центре поверхности, координаты которой x0y0z0 , уравнение (1) становится

        ∂tBztx0y0z0=−∂xEytx0y0z0+∂yExtx0y0z0, E8

        где переменные Икс , у , а также г из Б а также Е представлять Икс -, у -, а также г -компоненты Б а также Е поля соответственно и ∂х а также ∂y представляют частные производные в Икс — а также у — направления соответственно. Замена частных производных центральными разностями дает

        ∂tBztx0y0z0=Bzt0+Δtx0y0z0−Bzt0x0y0z0Δt+OΔt2, E9

        ∂xEytx0y0z0=Eyt0+12Δtx0+12Δxy0z0−Eyt0+12Δtx0−12Δxy0z0Δx+OΔy2, E10

        ∂yExtx0y0z0=Ext0+12Δtx0y0+12Δyz0−Ext0+12Δtx0y0−12Δyz0Δy+OΔx2, E11

        где t=t0+12Δt . Затем, Bzt0+Δtx0y0z0 выводятся из уравнений (9), (10) и (11) в следующем виде: ,x0+12Δx,y0,z0)Δx+Ey(t0+12Δt,x0−12Δx,y0,z0)Δx+Ex(t0+12Δt,x0,y0+12Δy,z0)Δy−Ex(t0+12Δt,x0 ,y0−12Δy,z0)Δy+O(Δx,Δy)2]+O(Δt)3. Е12

        где OΔxΔy2 означает ∑m+n≥2,m,n≥2O∆xm∆yn . Вх а также По в t=t0+Δt также можно вывести аналогичным образом. Обычно ЧАС поле может быть получено из Б поле. Например, в вакууме, на воздухе или в диэлектрике

        H=1µ0B, E13

        где μ0 – вакуумная проницаемость со значением 4π×10−7 Вс/Ам . В магнитном материале соотношение между ЧАС а также Б часто становится нетривиальным, но это выходит за рамки данной книги. Однако в малых ЧАС а также Б областей, его можно аппроксимировать следующим уравнением:

        Н=1 мкБ, E14

        где мю зависит от материала. Часто значение

        µ∗=µµ0, E15

        называется относительной проницаемостью. В оптическом диапазоне длин волн μ0 равно 1.

        Голубая ячейка используется для расчета электрического поля при t=t0+12Δt с помощью электрического поля на t=t0−12Δt и магнитное поле на t=t−Δt применяя уравнение (2) представляет собой закон Ампера-Максвелла. Рассмотрим правую поверхность клетки. В центре поверхности, координаты которой x1y1z1 , уравнение (2) становится

        ∂tDytx1y1z1=∂zHxtx1y1z1−∂xHztx1y1z1−iytx1y1z1. E16

        Замена частных производных центральными разностями дает

        E17

        ∂xHztx1y1z1=Hzt0+12Δtx1+12Δxy1z1−Hzt0+12Δtx1−12Δxy1z1Δx+OΔx2, E18

        ∂zHxtx1y1z1=Hxt0+12Δtx1y1z1+12Δz−Hxt0+12Δtx1y1z1−12ΔzΔz+OΔz2, E19

        где т=т0 . Затем, Dyt0x1y1z1 получается следующим образом:

        Dy(t0+12Δt,x1,y1,z1)=Dy(t0−12,x1,y1,z1)+Δt[Hx(t0,x1,y1,z1+12Δz)Δz−Hx (t0,x1,y1,z1−12Δz)Δz−Hz(t0,x1+12Δx,y1,z1)Δx+Hz(t0,x1−12Δx,y1,z1)Δx−iy(t0,x1,y1,z1 )+O(∆x,∆z)2]+O(∆t)3. Е20

        Дх а также Дз в t=t0+Δt также можно вывести аналогичным образом. Как правило, Е поле может быть получено из Д плотность потока. Например, в вакууме, воздухе или магнитном материале

        E=1ε0D, E21

        где ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума, значение которой равно 8,85418782×10−12Ас/Вм . В диэлектрическом материале соотношение между Е а также Д часто становится нетривиальным, но это выходит за рамки данной книги. Однако в малых Е а также Д регионов, его можно аппроксимировать

        Е=1εD, E22

        где ε зависит от материала. Часто значение

        ε∗=εε0, E23

        называется относительной диэлектрической проницаемостью, а значение

        n=ε∗, E24

        называется индексом, используется.

        фигура 2 показывает алгоритм метода FDTD для случая, когда уравнения. (14) и (22) выполняются. Изначально дистрибутивы Е а также ЧАС заданы поля, которые, в свою очередь, удовлетворяют уравнениям (3) и (4). Когда Е распределение поля на t=t0−Δt/2 и ЧАС распределение поля на т=т0 известны, т. Е поле в t=t0+Δt/2 рассчитывается с использованием уравнений. (20) и (22), учитывая Е поле в t=t0−Δt/2 и ЧАС поле в т=т0 . ЧАС поле в t=t0+Δt рассчитывается с использованием уравнений. (12) и (14), учитывая ЧАС поле в т=т0 , определив Е поле в t=t0+Δt/2 . Если время т меньше чем плавник , тогда время становится t+Δt и поток повторяется. Если время т превышает плавник , алгоритм завершается.

        Рис. 2.

        Алгоритм FDTD.

        Реклама

        3. Интегральная форма уравнения Максвелла и поправка к методу FDTD

        Метод FDTD — это численный метод решения уравнений Максвелла с помощью компьютера. Любой компьютер может иметь конечное число степеней свободы, потому что у него конечный объем памяти. Напротив, электромагнитное поле в непрерывном пространстве имеет бесконечно много степеней свободы, потому что поле существует в каждой точке пространственно-временного континуума. Следовательно, уравнения Максвелла должны быть соответствующим образом аппроксимированы, чтобы мы могли вычислить их с помощью компьютера. Алгоритм, показанный в предыдущем разделе, кажется подходящим для этой цели, потому что только конечное число степеней свободы используется для расчета распределения электромагнитного поля, если область расчета компактна.

        Обратите внимание, что уравнения. (12) и (20) точны на решетке Йи только после принятия ограничения на нулевой размер ячейки. Кажется, это не вызывает проблем, но в физике элементарных частиц есть пример, показывающий, что дискретизированная теория континуума отличается от исходной теории континуума [4]. В этом примере фермион в дискретизированной квантовой теории поля порождает нефизические фермионные степени свободы. Эта проблема называется удвоением фермионов. По сути, это явление вызвано заменой дифференциалов на разности, как в уравнениях. (9)–(10) и (17)–(19). Во избежание подобных проблем необходимо рассмотреть алгоритм, в котором дифференциалы не заменяются разностями.

        В результате теоремы Стокса, законов Фарадея и Ампера-Максвелла в уравнениях. (1) и (2) можно записать в интегральной форме как

        ddt∫Sda⋅B=−∫∂Sds⋅E, E25

        ddt∫Sda⋅D=∫∂Sds⋅H−∫Sda⋅i, E26

        где С представляет собой компактную и связную поверхность, ∂S — граничная кривая поверхности, да — элемент поверхности, нормальный к поверхности, и дс представляет собой линейный элемент, параллельный кривой. Кроме того, интегрирование обеих частей уравнения. (25) больше т из т=т0 к t0+Δt и уравнения. (26) больше т из t=t0−Δt/2 к t0+Δt/2 дает

        ∫Sda⋅Bt0+Δtxyz=∫Sda⋅Bt0xyz−∫t0t0+Δtdt∫∂Sds⋅Etxyz, E27

        ∫Sda⋅D(t0+∆t/2,x,y,z)=∫Sda⋅D(t0−∆t/2,x,y,z)+∫t0−∆t/2t0+∆t/2dt[ ∫∂Sds⋅H(t,x,y,z)−∫Sda⋅i(t,x,y,z)]. E28

        Обратите внимание, что в уравнениях не используется производная. (27) и (28), в результате чего такие проблемы, как удвоение фермионов, не возникают. Наша проблема состоит в том, как аппроксимировать интегралы в уравнениях. (27) и (28).

        Обычно, когда ф является аналитическим в регионе, в том числе ξ0−Δξ/2≤ξ≤ξ0+Δξ/2 , выполняется следующее соотношение:

        ∫ξ0−Δξ/2ξ0+Δξ/2dξfξ=∫ξ0−Δξ/2ξ0+Δξ/2dξ∑n=0∞1n!dnfξ0dξnξ−ξ0n, E29

        и когда грамм является аналитическим в регионе, в том числе ξ0−Δξ/2≤ξ≤ξ0+Δξ/2 а также η0−Δη/2≤η≤η0+Δη/2 , выполняется следующее соотношение: ∑m,n=0∞1m!n!∂m+ngξ0η0∂ξm∂ηnξ−ξ0mη−η0n. E30

        Самые низкие приближения уравнений. (29) и (30) равны соответственно

        ∫ξ0−∆ξ/2ξ0+∆ξ/2dξfξ=fξ0∆ξ+O∆ξ3, E31

        ∫ξ0−Δξ/2ξ0+Δξ/2dξ∫η0−Δη/2η0+Δη/2dηgξη=gξ0η0ΔξΔη+OΔξΔη4. Е32

        Алгоритм метода FDTD, поддерживаемый аппроксимацией низшего порядка интегральной формы уравнений Максвелла, получен путем применения уравнений. (31) и (32) к уравнениям. (27) и (28). Когда С представляет собой верхнюю поверхность желтой клетки в фигура 1 , уравнение (27) аппроксимируется как ,z0)Δy−Ex(t+Δt/2,x0,y0+Δy/2,z0)Δx−Ey(t+Δt/2,x0−Δx/2,y0,z0)Δy+ Ex(t+Δt/ 2,x0,y0−Δy/2,z0)Δx]Δt+O(Δt)3, E33

        где x0y0z0 координаты центра поверхности. Сравнение уравнения (12) с уравнением (33) показывает, что они по существу одинаковы.

        Когда С правая поверхность голубой клетки в фигура 1 , уравнение (28) можно аппроксимировать как +Δz/2)Δx−Hz(t0,x1+Δx/2,y1,z1)Δz−Hx(t0,x1,y1,z1−Δz/2)Δx+Hz(t0,x1−Δx/2,y1 ,z1)Δz−iy(t0,x1,y1,z1)ΔxΔz]Δt+O(Δt)3, E34

        где x1y1z1 координаты центра поверхности. Сравнение уравнения (20) с уравнением (34) показывает, что они по существу одинаковы. Следовательно, исходный метод FDTD, основанный на дифференциальной форме уравнений Максвелла, аналогичен методу FDTD, поддерживаемому аппроксимацией интегральной формы этих уравнений низшим порядком.

        Затем выводится алгоритм для метода FDTD, поддерживаемый аппроксимацией интегральной формы уравнения Максвелла следующим за низшим порядком. В этом случае ближайшая к низшей аппроксимация применяется только в пространственных направлениях, а низшая аппроксимация применяется во временном направлении. В дальнейшем метод FDTD, поддерживаемый аппроксимацией интегралов следующего за низшим порядком, называется скорректированным методом FDTD.

        В общем, ближайшие к самому низкому порядку приближения уравнений. (29) и (30) составляют соответственно

        ∫ξ0−Δξ/2ξ0+Δξ/2dξfξ=fξ0Δξ+124d2fξ0dξ2Δξ3+OΔξ5, E35

        ∫ξ0 — Δξ/2ξ0+Δξ/2ddr∫η0 — Δη/2η0+Δη/2dηgξη = gξ0,20Δη+124,2G2G2Δξ3 4+∂2Gξη2ΔξΔη3+OΔξΔη6. E36

        Когда С представляет собой верхнюю поверхность желтой клетки в фигура 1 , уравнение (27) аппроксимируется применением уравнений. (35) and (36) to yield

        Bzt0+Δtx0y0z0ΔxΔy+124∂x2Bzt0+Δtx0y0z0Δx3Δy+∂y2Bzt0+Δtx0y0z0ΔxΔy3=Bzt0x0y0z0ΔxΔy+124∂x2Bzt0x0y0z0Δx3Δy+∂y2Bzt0x0y0z0ΔxΔy3−Eyt+Δt/2×0+Δx/2y0z0Δy+124∂y2Ey(t+Δt /2×0+Δx/2y0z0)Δy3−Ext+Δt/2x0y0+Δy/2z0Δx−124∂x2Ext+Δt/2x0y0+Δy/2z0Δx3−Eyt+Δt/2×0−Δx/2y0z0Δy−124∂y2Eyt+Δt/2×0−Δx /2y0z0∆y3+Ext+∆t/2x0y0−∆y/2z0∆x+124∂x2Ex(t+∆t/2x0y0−∆y/2z0)∆x3∆t+O∆t3. Е37

        Когда С — правая поверхность голубой клетки в фигура 1 , уравнение (28) аппроксимируется применением уравнений. (35) and (36) to yield

        Dyt0+Δt/2x1y1z1ΔxΔz+124∂x2Dyt0+Δt/2x1y1z1Δx3Δy+∂y2Dyt0+Δt/2x1y1z1ΔxΔy3=Dyt0−Δt/2x1y1z1ΔxΔz+124∂x2Dyt0−Δt/2x1y1z1Δx3Δy+∂y2Dyt0−Δt/2x1y1z1ΔxΔy3 +Hxt0x1y1z1+ΔZ/2Δx+124 дес2HX (t0x1y1z1+ΔZ/2) Δx3 — Hzt0x1+Δx/2y1z1ΔZ -124 дес111+Δx/2y1z1ΔZ3 -Hxt0x1z1z1x1x10x1x110x1. /2y1z1Δz+124∂z2Hzt0x1−Δx/2y1z1Δz3−iyt0x1y1z1ΔxΔz−124∂x2iy(t0x1y1z1)Δx2Δz−124∂z2iy(t0x1y1z1)ΔxΔz2Δt+OΔt3. Е38

        В уравнениях есть вторые производные. (37) и (38), но они не рассчитываются в методе FDTD. Поэтому вторые производные определяются из рассчитанного электромагнитного поля. Для определения вторых производных используется соотношение E39

        для любой функции ф применены. Применение уравнения (39) к уравнению. (37) yields

        56Bzt0+Δtx0y0z0+124Bzt0+Δtx0+Δxy0z0+Bz(t0+Δtx0−Δxy0z0)+Bzt0+Δtx0y0+Δyz0+Bz(t0+Δtx0y0−Δyz0)xΔy=56Bzt0x0y0z0+124Bzt0x0+Δxy0z0+Bz(t0x0 −∆xy0z0)+Bz(t0x0y0+∆yz0)+Bz(t0x0y0−∆yz0)∆x∆y−1112Eyt+∆t/2×0+∆x/2y0z0+124Eyt+∆t/2×0+∆x/2y0+∆yz0+Ey(t+∆t/2×0+∆x /2y0−Δyz0)Δy−1112Ext+Δt/2x0y0+Δy/2z0+124Ext+Δt/2×0+Δxy0+Δy/2z0+Ex(t+Δt/2×0−Δxy0+Δy/2z0)Δx−1112Eyt+Δt/2×0 −Δx/2y0z0+124(Ey(t+Δt/2×0−Δx/2y0+Δyz0)+Ey(t+Δt/2×0−Δx/2y0−Δyz0))Δy+1112Ext+Δt/2x0y0−Δy/2z0+124Ext +Δt/2×0+Δxy0−Δy/2z0+Ex(t+Δt/2×0−Δxy0−Δy/2z0)ΔxΔt+OΔt3. Е40

        Применение уравнения (39) к уравнению. (38) дает

        56Dyt0+∆t/2x1y1z1+124(Dy(t0+∆t/2×1+∆xy1z1)+Dy(t0+∆t/2×1−∆xy1z1)+Dyt0+∆t/2x1y1z1+∆z+Dy(t0+∆t/ 2x1y1z1−Δz))ΔxΔz=56Dyt0−Δt/2x1y1z1+124(Dy(t0−Δt/2×1+Δxy1z1)+Dy(t0−Δt/2×1−Δxy1z1)+Dyt0−Δt/2x1y1z1+Δz+Dy(t0−Δt /2x1y1z1−Δz))ΔxΔz+1112Hxt0x1y1z1+Δz/2+124(Hx(t0x1+Δxy1z1+Δz/2)+Hx(t0x1−Δxy1z1+Δz/2))Δx−1112Hzt0x1+Δx/2y1z1+124Hzt0x1+Δx/ 2y1z1+Δz+Hz(t0x1+Δx/2y1z1−Δz)Δz−1112Hxt0x1y1z1−Δz/2+124Hxt0x1+Δxy1z1−Δz/2+Hx(t0x1−Δxy1z1−Δz/2)Δx+1112Hzt0x1−Δx1y2Hzt0+x12y1z1 Δx/2y1z1+Δz+Hz(t0x1−Δx/2y1z1−Δz)Δz−56iyt0x1y1z1+124iyt0x1+Δxy1z1+iy(t0x1−Δxy1z1)+iy(t0x1y1z1+Δz)+iy(t0x1y1z1−Δz+Δz)ΔxΔ.O. Е41

        Обратите внимание, что точки xi±Δxyizi а также xiyizi±Δz находятся в соседних ячейках с ячейкой, включая сиизы . Таким образом, все условия в уравнениях. (40) и (41) — поля, определенные на решетке Йи. Однако, в отличие от исходного метода FDTD, левые части (LHS) этих уравнений представляют собой линейную комбинацию полей в пяти точках. Поэтому напрямую определить значения полей в новые моменты времени по этим уравнениям невозможно.

        Левая часть уравнений. (40) и (41) можно символически записать как

        ∑m,nσx0y0x0+m∆xy0+n∆yBzt0+∆tx0+m∆xy0+n∆yz0, E42

        ∑m,nσx1z1x1+mΔxy1z1+nΔzDyt+Δt/2×1+mΔxy1z1+nΔz, E43

        где

        σξηξ+mΔξη+nΔη=56δm,0δn,0+124δm,1δn,0+δm,−1δn,0+δm,0δn,1+δm,0δn,−1, Е44

        и δp,q — дельта Кронекера, определяемая как

        δp,q=1p=q0p≠q. E45

        Обратный оператор “ σ−1 ” определяется как

        ∑p,qσξηξ+pΔξη+qΔησ−1ξ+pΔξη+qΔηξ+mΔξη+nΔη=δm,0δn,0. E46

        Использование σ−1 включает уравнение (40) переписать как

        Bzt0+Δtx0y0z0ΔxΔy=Bzt0x0y0z0ΔxΔy−∑m,nσ−1x0y0x0+mΔxy0+nΔy×1112Ey(t0+Δt/2×0+m+12Δxy0+nΔyz0)−zΔyΔmΔyΔt/2×0 Ey(t0+∆t/2×0+m∆xy0+n+12∆yz0)−Ey(t0+∆t/2×0+m∆xy0+n−12∆yz0)∆x+124Ey(t0+∆t/2×0+m+12∆xy0+n+1∆yz0)+Ey( t0+Δt/2×0+m+12Δxy0+n−1Δyz0)−Ey(t0+Δt/2×0+m−12Δxy0+n+1Δyz0)−Ey(t0+Δt/2×0+m−12Δxy0+n−1Δyz0)Δy− Ex(t0+Δt/2×0+m+1Δxy0+n+12Δyz0)+Ex(t0+Δt/2×0+m+1Δxy0+n−12Δyz0)−Ex(t0+Δt/2×0+m−1Δxy0+n+12Δyz0) −Ex(t0+∆t/2×0+m−1∆xy0+n−12∆yz0)∆x∆t+O∆t3. E47

        Кроме того, уравнение. (40) также можно переписать как

        dyt0+ΔT/2x1y1z1ΔxΔZ = dyt0 — ΔT/2x1y1z1+Iy (t0x1y1z1) ΔxΔZ+∑m, nσ — 1x1z1x1+mΔxz1+nΔZ × 112Hx (T0x1+MΔx1+–111+–1111+–1111111+ -2 )Δx−Hz(t0x1+m+12Δxy1z1+nΔz)−Hz(t0x1+m−12Δxy1z1+nΔz)Δz+124Hx(t0x1+m+1Δxy1z1+n+12Δz)+Hx(t0x1+m−1Δxy1z1+n+12Δz −Hx(t0x1+m+1Δxy1z1+n−12Δz)−Hx(t0x1+m−1Δxy1z1+n−12Δz)Δx−Hz(t0x1+m+12Δxy1z1+n+1Δz)+Hz(t0x1+m+12Δxy1z1+n −1Δz−Hz(t0x1+m−12Δxy1z1+n+1Δz)−Hz(t0x1+m−12Δxy1z1+n−1Δz))ΔzΔt+OΔt3. E48

        Тогда алгоритм скорректированного метода FDTD, который поддерживается аппроксимацией следующего за низшим порядком, может быть получен с использованием уравнений. (48) и (47) неоднократно.

        Объявление

        4. Численные результаты

        В этом разделе численные результаты передачи электромагнитных волн в двумерном пластинчатом волноводе, основанные на исходном и скорректированном методах FDTD, сравниваются с аналитическим результатом.

        Рисунок 3 показывает пластинчатый волновод, используемый в вычислительных методах, и Рисунок 4 показывает его расчетную область. Эта система состоит из областей сердцевины и оболочки, индексы которых сержант а также нкл , соответственно. Центральная область простирается бесконечно в у — а также г -направления и имеет ширину г в Икс -направление. Оболочка — это остальное пространство. Электромагнитная волна распространяется в г -направление, а его электромагнитное поле считается не имеющим у зависимость. Потому что в системе нет у зависимости, это по существу двумерная система. Аналитическое решение известно и выведено в приложении. Решение

        Exanltxyz=βh0ωnco2ε0cos2uxdsinωt−βz∣x∣≤d2βh0ωncl2ε0cosue−w2x−ddsinωt−βz∣x∣>d2, E49

        Eyanltxyz=0, E50

        Ezanltxyz=2uh0ωnco2ε0dsin2uxdcosωt−βz∣x∣≤d22wh0ωncl2ε0dsignxsinue−w2∣x∣−ddcosωt−βz∣x∣>d2, E51

        Hxanltxyz=0, E52

        Hyanltxyz=h0cos2uxdsinωt−βz∣x∣≤d2h0cosue−w2x−ddsinωt−βz∣x∣>d2, E53

        Hzanltxyz=0, E54

        , где «anl» указывает на то, что это аналитическое решение. ты а также ж удовлетворить

        w=nclnco2utanu, Е55

        v2=u2+w2=nco2−ncl2d2π2λ2, E56

        где λ длина волны в вакууме, ю — угловая частота, а β – постоянная распространения. Постоянная распространения представляет собой составляющую направления распространения вектора волнового числа и рассчитывается как

        β=2πnco2w2+ncl2u2vλ. E57

        Рис. 3.

        Пластинчатый волновод, использованный в численном расчете.

        Рис. 4.

        Расчетная область.

        в определяется уравнением (56) называется V-параметром, который определяется параметрами, определяющими систему. ты а также ж определяются с помощью Рисунок 5 . На рисунке красные кривые представляют уравнение (55) симметричное относительно преобразования четности х↦−х как

        Hyt-xyz=Hytxyz. E58

        Рис. 5.

        w3.org/1999/xlink» xmlns:xsi=»http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance»> Графики уравнений. (55), (59) и (56) для определения u и w.

        Коричневые кривые представляют

        w=−ncl2nco2ucotu, E59

        , антисимметричный относительно преобразований четности х↦−х как

        Hyt-xyz=-Hytxyz. E60

        Синяя кривая показывает уравнение. (56). На каждом пересечении кривых Ур. (55) и (56), существует независимая симметричная мода, удовлетворяющая уравнению (58), и на каждой из кривых (59) и (56), существует независимая антисимметричная мода, удовлетворяющая уравнению (60). Режим с самым низким ты называется основной модой. Количество режимов системы определяется В и увеличивается на единицу относительно каждого π/2 .

        В вычислительных методах параметры системы задаются длиной волны λ в качестве 0,30 м, ширина ядра г в качестве 0,30 м, то же с длиной волны, индекс ядра сержант в качестве 2.0 , а индекс оболочки нкл в качестве 1,0 . Длины ребер ячеек Δх а также Δz оба λ/20 , а шаг по времени Δt является 10−12 с. При этих значениях параметров значения параметров аналитического решения в уравнениях. (49)–(54) можно получить как

        u=1,50, E61

        ш=5,23, Е62

        v=5,44, E63

        βλ2π=1,94, E64

        , где LHS уравнения. (64) называется эффективным индексом, значение между нкл а также сержант . Эти значения параметров показывают, что решение является основной модой. Магнитное поле возбуждается при г=0 как

        Hytx,0,0=h0cos2uxdsinωt∣x∣≤d2h0signxcosue-w2x-ddsinωt∣x∣>d2, E65

        со значениями параметров в уравнениях. (61) и (62).

        Рисунки 6 – 14 представляют собой численные и аналитические результаты в моменты времени, когда ωt значения являются целыми кратными 2π . На этих рисунках фиолетовые кривые обозначают Х/ч0 , а зеленые кривые представляют области сердцевины и оболочки. Область, в которой значение равно 0,5, является областью сердцевины с индексом 2,0, а область, в которой значение равно -0,5, является областью оболочки с индексом 1,0. На рисунках время идет вниз. Значения времени 1,0 , 5,0 , 10,0 , а также 20,0 нс. Левый столбец рассчитан с использованием исходного метода FDTD, средний столбец рассчитан с использованием скорректированного метода FDTD, а правый столбец представляет собой аналитическое решение, в котором область

        ωt<βz, E66

        Рис. 6.

        Hy рассчитано с использованием оригинального метода FDTD при t=1,0×10-9 секунд.

        Рис. 7.

        Hy рассчитано с использованием скорректированного метода FDTD при t=1,0×10-9 секунд.

        Рис. 8.

        Hy аналитически рассчитано при t=1,0×10-9 секунд.

        Рис. 9.

        Hy рассчитано с использованием оригинального метода FDTD при t=5,0×10-9 секунд.

        Рис. 10.

        Hy рассчитано с использованием скорректированного метода FDTD при t = 5,0 × 10–9.второй.

        Рис. 11.

        Hy аналитически рассчитано при t=5,0×10-9 секунд.

        Рис. 12.

        Hy рассчитано с использованием оригинального метода FDTD при t=1,0×10-8 секунд.

        Рис.
        13.

        Hy рассчитано с использованием скорректированного метода FDTD при t=1,0×10-8 секунд.

        Рис. 14.

        Hy аналитически рассчитано при t=1,0×10-8 секунд.

        Гц равен нулю. Более того, различия в результатах расчетов FDTD и аналитических показывают, что ∣Hy/h0∣ в некоторых точках превышает единицу в расчетах FDTD, даже если значения в любой точке равны или меньше 1 в аналитических результатах. Однако различия в результатах расчетов между исходным и скорректированным методами FDTD неясны. Это указывает на то, что по этим цифрам невозможно сделать вывод о том, лучше ли скорректированный метод FDTD, чем исходный.

        Для сравнения точности и надежности исходного и скорректированного методов FDTD мы используем функцию ошибаться определяется как

        errt=∑p,qHynumtpΔx0qΔz−HyanltpΔx0qΔznpΔx0qΔz2∑p,qHyanltpΔx0qΔz2npΔx0qΔz2, E67

        , который показывает ошибку между FDTD и аналитическими расчетами в каждый момент времени. В уравнении (67) знаменатель правой части пропорционален мощности распространяющейся электромагнитной волны, проходящей через х-у плоскости на единицу длины у -направление.

        Рисунок 15 показывает ошибаться функции исходного и скорректированного методов FDTD, определенных формулой. (67). Как показано на рисунке, почти каждый раз, за ​​исключением менее 0,14 нс, ошибаться функция исправленного метода FDTD меньше, чем у исходного. Это означает, что исправленный метод более точен, чем исходный. Кроме того, когда время больше 6 нс, обе кривые начинают колебаться. Амплитуда колебаний скорректированного метода FDTD явно меньше, чем у исходного. Это свидетельствует о том, что скорректированный метод более надежен.

        Рисунок 15.

        ошибка исходного и исправленного методов FDTD.

        Реклама

        5.

        Заключение

        В этой главе была показана коррекция более высокого порядка к исходному методу FDTD, поддерживаемая приближением интегральной формы уравнения Максвелла, следующим за низшим порядком. Суть этого метода заключается в аппроксимации интегралов по поверхности и ребру ячейки с использованием дискретизированных электрического и магнитного полей.

        Приведены также результаты численных расчетов электромагнитной волны, распространяющейся в двумерном пластинчатом волноводе с использованием скорректированного и оригинального методов FDTD и анализа. Различия между исправленным и исходным методами FDTD сравнивались с помощью ошибаться функция, и скорректированный метод оказался более точным и надежным, чем исходный.

        Реклама

        Благодарности

        Автор хотел бы поблагодарить г-на А. Окабе, который является соавтором ссылки [2], которая основана на этой главе. Автор также хотел бы поблагодарить Enago (www.enago.com) за обзор на английском языке.

        Реклама

        Конфликт интересов

        Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов, связанного с этой рукописью.

        Объявление

        А.1 Результаты анализа двумерного пластинчатого волновода

        Аналитическое решение электромагнитной волны в пластинчатом волноводе, показанное на рис. Рисунок 3 содержится в различных учебниках по оптическим волноводам и смежным областям [5, 6, 7, 8]. В этом приложении аналитические результаты уравнений. (49)–(54) выведены в соответствии с этими ссылками.

        Распространяющаяся электромагнитная волна без у -зависимость в г -направление с угловой частотой ю и постоянная распространения β , волновое число в г -направление, записывается как

        Etxyz=exeiωt−βz, Е68

        Htxyz=hxeiωt−βz. Е69

        Уравнения Максвелла в диэлектриках с использованием уравнений. (13) и (22) становятся

        iμ0ωhxx=−iβeyx Е70

        iμ0ωhyx=iβexx+∂xezx, Е71

        iμ0ωhzx=−∂xeyx, Е72

        inx2ε0ωexx=iβhyx, Е73

        inx2ε0ωeyx=−iβhxx−∂xhzx, Е74

        дюймx2ε0ωezx=∂xhyx, Е75

        где пх это распределение индекса, показанное на Рисунок 16 . Как показано в уравнениях. (70)–(75) имеется два замкнутых класса уравнений. Первый класс содержит уравнения. (70), (72) и (74), которые имеют составляющие электрического и магнитного полей, поперечные направлению распространения, и продольную составляющую магнитного поля в этом направлении. Второй класс содержит уравнения. (71), (73) и (75), которые имеют компоненты электрического и магнитного полей, поперечные направлению распространения, и продольную компоненту электрического поля в этом направлении. Решение для первого класса включает поперечную электрическую (TE) моду, поскольку электрическое поле имеет только компонент, поперечный направлению распространения, а решение для второго класса включает поперечную магнитную (TM) моду, поскольку магнитное поле имеет только компонент, поперечный направлению распространения. в этом направлении. В разделе 4 приведены численные и аналитические результаты Хай показаны, и они являются режимами ТМ.

        Рис. 16.

        w3.org/1998/Math/MathML» xmlns:xlink=»http://www.w3.org/1999/xlink» xmlns:xsi=»http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance»> Распределение показателей пластинчатого волновода.

        В дальнейшем наше обсуждение ограничивается режимом ТМ. Затем уравнения (71), (73) и (75) переписываются как

        ∂x2hyx=−2πnxλ2−β2hyx, Е76

        exx=βnx2ε0ωhyx, Е77

        ezx=1inx2ε0ω∂xhyx. Е78

        Прерывистость пх в х=-d/2 а также х=d/2 , Показано в Рисунок 16 , требует, чтобы граничное условие на х=±d/2 быть на рассмотрении. Из-за интегральной формы уравнений Максвелла компоненты электрического и магнитного полей, параллельные граничной поверхности индексов, непрерывны, а компоненты плотностей электрического и магнитного потоков, нормальные к поверхности, непрерывны. Следовательно, Хикс а также ∂xhyx в уравнениях (76)–(78) непрерывны.

        Решение уравнения. (76) требует рассмотрения следующих трех случаев:

        1. ∣β∣<нкл

        2. ncl≤∣β∣

        3. nco≤∣β∣

        В случае 1 решения уравнения (76)

        hyx=QcosPxx≤d/2QcosPd2cosQd2+PsinPd2sinQd2cosQx−PsinPd2cosQd2−QcosPd2sinQd2sinQxx≥d/2, Е79

        и

        hyx=QsinPxx≤d/2signx{QsinPd2cosQd2−PcosPd2sinQd2cosQx+PcosPd2cosQd2+QsinPd2sinQd2sinQx}x≥d/2, Е80

        где

        P=2πncoλ2−β2, Е81

        Q=2πnclλ2−β2. Е82

        Однако это решение не показывает распространение электромагнитных волн в г -направлении, но показывает проблему отражения и пропускания пленки, когда угол падения меньше критического угла. Давайте обсудим это более подробно. Когда ∣x∣≤d/2 , Хитксиз является линейной комбинацией

        eiωt-Px-βz,andeiωt+Px-βz, Е83

        плоская волна с волновым числом P0β а также −P0β , соответственно. Когда ∣x∣>d/2 , Hytxy.z является линейной комбинацией

        eiωt-Qx-βz,andeiωt+Qx-βz, Е84

        плоская волна, волновые числа которой Q0β а также −Q0β , соответственно. Таким образом, с подходящей линейной комбинацией уравнений. (79) и (80), решение принимает вид плоской волны с волновым числом P0β инцидент из х<−d/2 области, отражаемой и пропускаемой пленкой ∣x∣≤d/2 области с отраженной волной, распространяющейся в х<−d/2 область и прошедшая волна, распространяющаяся в х>d/2 область, край. Следовательно, это решение не то, что нам нужно.

        В случае 2 решения уравнения. (76)

        hyx=cosPx∣x∣≤d/2cosPd2e−Q2∣x∣−dd, Е85

        где

        P=2πncoλ2−β2, Е86

        Q=β2−2πnclλ2, Е87

        Qd2=nclnco2Pd2tanPd2, Е88

        и

        hyx=sinPx∣x∣≤d/2signxsinPd2e−Q2∣x∣−dd∣x∣>d/2, Е89

        где

        Qd2=-nclnco2Pd2cotPd2. Е90

        Определение

        и=Pd2, Е91

        ш=Фd2, Е92

        дает уравнения. (53), (55), (56) и (59). Это решение, которое мы хотим.

        В случае 3 решения уравнения. (76)

        hyx=coshPx∣x∣≤d/2coshPd2e−Qx−d/2∣x∣>d/2, Е93

        где

        P=β2−2πncoλ2, Е94

        Q=β2−2πnclλ2, Е95

        Q=PtanhPd2, Е96

        и

        hyx=sinhPx∣x∣≤d/2signxsinhPd2e-Qx-d/2∣x∣>d/2, Е97

        где

        Q=-PcothPd2. Е98

        В результате формул. (94) и (95),

        −P2+Q2=2πncoλ2−2πnclλ2, Е99

        доволен. Когда п является чисто мнимым и Вопрос действительно, решение сводится к случаю 2. Существует вероятность, что Вопрос не является ни реальным, ни чисто воображаемым. Однако такое решение должно быть ослаблено, когда г становится большим. Математически может быть расходящееся решение, когда г становится большим, но такое решение не может сохранять энергию. Поэтому такое решение не то, что нам нужно.

        Литература

        1. 1. Йи К. Численное решение начально-краевых задач для уравнений Максвелла в изотропных средах. Транзакции IEEE по антеннам и распространению. 1966; 14:302-307. DOI: 10.1109/TAP.1966.1138693
        2. 2. Kitsunezaki N, Okabe A. Поправка высшего порядка к методу FDTD, основанному на интегральной форме уравнений Максвелла. Коммуникации по компьютерной физике. 2014;185:1582-1588. DOI: 10.1016/j.cpc.2014.02.022
        3. 3. Кицунэдзаки Н. Поправка высшего порядка к методу конечных разностей во временной области, основанному на интегральной форме уравнений Максвелла. В: 4-й ежегодный глобальный конгресс экономики знаний BIT; 19–21 сентября 2017 г. ; Циндао, Далянь: BIT Group Global Ltd.; 2017. с. 096
        4. 4. Нильсен Х.Н., Ниномия М. Неверная теорема для регуляризации киральных фермионов. Письма по физике. 1981; В105: 219-223. DOI: 10.1016/0370-2693(81)
          5. -1
        5. 5. Маркузе Д. Оптика передачи света. 2-е изд. Нью-Йорк: Van Nostrand Reinhold Company Inc.; 1982. 534 с. ISBN: 0-442-26309-0
        6. 6. Дом HA. Волны и поля в оптоэлектронике. Прентис Холл: Энглвуд Криффс; 1983. 402 с. ISBN: 0-139-460-535
        7. 7. Бух Ю.А. Основы оптических волокон. Хобокен: Уайли; 2004. 332 с. ISBN: 0-471-221-910
        8. 8. Окамото К. Основы оптических волноводов. Сан-Диего: Академическая пресса; 2006. 561 с. ISBN: 0-12-525096-7

        Разделы

        Информация об авторе

        • 1.Введение
        • 2. Алгоритм метода FDTD
        • 4. Численные результаты
        • 5. Заключение
        • Благодарности
        • Конфликт интересов
        • Рисунок 16.

        Ссылки

        Реклама

        Написано

        NAOFUMI Kitsunezaki

        33, 2017, 2018, 2018 года, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018, 2018 года, 2018 года, 2018 года, 2018 года, 2018 года, 2018, 2018 года, 2018, 2018, 2018 года, 2018 года: 2018 года. БЕСПЛАТНО

        © 2018 Автор(ы). Лицензиат IntechOpen. Эта глава распространяется в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution 3.

      alexxlab

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *