Site Loader
Posted on 20.06.1971

Содержание

Умножение вектора на число [wiki.eduVdom.com]

Теорема 1. Два вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$ .

Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами.

Свойства. Для любых чисел k, l и любых векторов $\overrightarrow{a}\,, \overrightarrow{b}$ справедливы следующие равенства:

  1. $(kl)\overrightarrow{a} = k(l\overrightarrow{a})$ {сочетательный закон).

  2. $(k + l)\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{a}$ {первыйраспределительный закон).

  3. $k(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = k\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}$ {второй распределительный закон).

Рисунок 1 иллюстрирует сочетательный закон. На этом рисунке представлен случай, когда k = 2, l = 3.

Рис.1

Рисунок 2 иллюстрирует первый распределительный закон. На этом рисунке представлен случай, когда k = 3, l = 2.

Рис.2

Примечание. Рассмотренные свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например, выражение $$ \overrightarrow{р} = 2(\overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{c} + \overrightarrow{a}) — 3(\overrightarrow{b} — \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a}) $$ можно преобразовать так: $$ \overrightarrow{р} = 2\overrightarrow{a} — 2\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} — 3\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c} — 3\overrightarrow{a} = — 5\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c} $$

Пример 1. Коллинеарны ли векторы $2\overrightarrow{a} \,и\, -\overrightarrow{a}$ ?

Решение. Имеем $2\overrightarrow{a} = -2(-\overrightarrow{a})$ . Значит, данные векторы коллинеарны.

Пример 2. Дан треугольник ABC. Выразите через векторы $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{АВ} \,и\, \overrightarrow{b} = \overrightarrow{АС}$ следующие векторы: $а)\, \overrightarrow{ВА}\text{ ; б) }\overrightarrow{СВ}\text{ ; в) }\overrightarrow{СВ} + \overrightarrow{ВА}$ .

Решение

а) Векторы $\overrightarrow{ВА} \,и\, \overrightarrow{АВ}$ — противоположные, поэтому $\overrightarrow{ВА} = -\overrightarrow{АВ}\text{ , или }\overrightarrow{ВА} = -\overrightarrow{a}$ .

б) По правилу треугольника $\overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{СА} + \overrightarrow{АВ}$ . Но $\overrightarrow{СА} = -\overrightarrow{АС}$ , поэтому $\overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{АВ} + (-\overrightarrow{АС}) = \overrightarrow{АВ} -\overrightarrow{АС} = \overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}$ .

в) $\overrightarrow{СВ} + \overrightarrow{ВА} = \overrightarrow{СА} = -\overrightarrow{АС} = -\overrightarrow{b}$.

29.Умножение вектора на число. Свойства линейных операций над векторами.

Произведением ненулевого вектора на действительное числоназывается вектор, удовлетворяющий условиям:

1) длина вектора равна, т.е.;

2) векторы иколлинеарные;

3) векторы иодинаково направлены, если, и противоположно направлены, если. (рис. 9). Если среди сомножителей есть 0, то под произведениемпонимается нулевой вектор.

Геометрический смысл операции умножения вектора на число следующий: если , то при умножении векторана числовектор«растягивается» враз, а если– «сжимается» враз. На рис. 9 изображен случай.

Утверждение 1. Если векторы иколлинеарны и, то существует единственное число, что.

Свойства линейных операций над векторами

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами. Для любых векторов ,,и любых действительных чиселсправедливы равенства:

30.Угол между векторами. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

31. Составляющие вектора: на плоскости, по прямой и плоскости, по трем прямым

Проведём a и b,, ,ab, . Из точки О отложим .По правилу парал. сложения векторов устанав, что, гдесост вектора , леж на прямыхa и b, соответственно. Предст вектора равенством назразлож вектора на состав, леж на прямых a и b.Заданы прямая и плоскость , причёмне лежит ви не паралл..

Возьмём и отложим его от О. Получим. Пусть точка– проекцияV на в направлении в направлении, то есть.навыбрана так, что

Тогда(1)

или(2),гдеявл сост, леж наи на.Представлениеравенствами(1) или(2) назывразложна составл, леж на и на.Пусть заданы три прямые a,

b, c, пересек в O и не леж в одной плоскости.. Разлаживаем по прямa и плосa:

на составляющие Теперь разложим на составляющие , леж наb и c, в a :В итоге имеем, что.где составляющиеv,леж на a, b, c,соответственно.Представление назыв разлож на сост, леж наa, b, c.

Вопрос32. Разложение вектора по базису

Разложить по базису – это значит представить его.Числкоэфx, y, zв правой части равенства – координаты в базисе .Координаты векторов (как и их сост.) обладают след.св-ми (операции слож. векторов и умн. на число):

При слож векторов их координаты складываются. Разл. вектора по базисуимеет вид

, где – действ.числа. Тогда сум., и предст. векторс координатами,,в базисе

При умнож.вектора на число его координаты умнож. на это число. — действ. число. Разлож по базису имеет вид. Тогда.Тройка базисных векторов в пространстве наз. Правой (левой), если эти векторы, отлож. от одной точки, распол. так, как распол. большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

Вопрос33.Прямоугольные декартовы координаты в пространстве

Координатами вектора , начало кот. Точка А(), а конец В() в прям. дек. системе координатOxyz наз. числа ,,. Сначала фикс. в прям. дек. сист. координат Охуz точку А(х, у, z). Потом строят точку В(х+, у+, z+). Получаемравн.. Радиусом-вектором – наз. векторс точкой прилож. в нач. координат О, а конец — в А..

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра

Понятие вектора

      Рассмотрим две произвольные точки. Если соединить эти точки стрелкой (рис.1),

Рис.1

то мы получим вектор.

      Точку, из которой стрелка выходит, называют началом вектора. Точку, в которую стрелка входит, называют концом вектора.

      Чтобы отличить вектор от отрезка с концами в тех же точках, используют обозначение     (рис.2) или     (рис.3).

Рис.2Рис.3
Рис.2
Рис.3

      Иногда для вектора используют обозначения     (рис.4) или     (рис.5).

Рис.4Рис.5
Рис.4
Рис.5

      Если две точки (начало и конец вектора) совпадают, то говорят, что эти точки задают нулевой вектор.

Координаты вектора

      Рассмотрим произвольный вектор     и предположим, что в пространстве задана декартова прямоугольная система координат   Oxyz   (рис.6).

Рис.6

      Если в системе координат   Oxyz   точки   A   и   B   имеют координаты

A = (a1; a2; a3)       и       B = (b1; b2; b3) ,(1)

то координатами вектора     называют набор чисел

(2)

      Этот определение часто формулируют так: «Для того, чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора».

      Замечание. В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на некоторой координатной плоскости, в формулах (1) и (2) не будет третьих координат. Если же рассматриваются векторы, лежащие на некоторой координатной прямой, то в формулах (1) и (2) останутся только первые координаты.

Длина вектора

      Длиной (модулем) произвольного вектора     называют длину отрезка   AB

      Длина вектора   ,   координаты которого имеют вид

вычисляется по формуле

(3)

      Этот факт часто формулируют так: «Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат».

      Замечание. В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на координатной плоскости, формула (3) принимает вид

(4)

и совпадает с формулой, позволяющей найти расстояние между двумя точками координатной плоскости.

      В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на координатной прямой, формулы (3) и (4) принимают вид

.

Равенство векторов

      Векторы называют коллинеарными векторами, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

      Два вектора

      и      

являются коллинеарными векторами тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

      Другими словами, векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число t, что выполняются равенства

a1 = tb1,       a2 = tb2,       a3 = tb3.

      Два вектора называют сонаправленными, если, во-первых, они коллинеарные, а, во-вторых, направлены так, как показано на рисунке 7.

      Другими словами, если совместить начала этих векторов, то они окажутся лежащими на одной прямой, при этом будут направлены в одну сторону (концы векторов будут лежать на одном луче).

Рис.7

      Два вектора называют противоположно направленными, если, во-первых, они коллинеарные, а, во-вторых, направлены так, как показано на рисунке 8.

      Другими словами, если совместить начала этих векторов, то они окажутся лежащими на одной прямой, при этом будут направлены в разные стороны (концы векторов будут лежать по разные стороны от их общего начала).

Рис.8

      Определение. Два вектора равны, если, во-первых, они сонаправленные, а, во-вторых, имеют одинаковую длину.

      Другими словами, если совместить начала этих векторов, то их концы совпадут.

      Замечание. Два вектора равны тогда и только тогда, когда у них совпадают наборы координат.

Умножение вектора на число

      В результате умножения любого вектора     на любое действительное число   k   получается такой вектор   ,   который удовлетворяет следующим условиям:

  1. При   k > 0   вектор     сонаправлен с вектором   ;
  2. При   k < 0   вектор     противоположно направлен с вектором   ;
  3. Длина вектора     равна длине вектора   ,   умноженной на число   |k|.

      Если вектор     имеет координаты

то вектор     имеет координаты

      Другими словами, если вектор умножается на число, то и все его координаты умножаются на это число.

Сложение и вычитание векторов

      Для того, чтобы найти сумму двух произвольных векторов     и     нужно совместить начало вектора     с концом вектора   .   Тогда началом вектора     будет начало вектора   ,   а концом вектора     будет конец вектора     (рис.9).

Рис.9

      При этом, если

      и      

то

      Этот факт часто формулируют так: «При сложении векторов их координаты складываются».

      Для того, чтобы найти разность двух произвольных векторов     и     нужно воспользоваться формулой

      Операция вычитания двух векторов наглядно изображена на рисунке 10.

Рис.10

      При этом, если

      и      

то

      Этот факт часто формулируют так: «Для того, чтобы найти координаты вектора   ,   нужно из координат вектора     вычесть координаты вектора   ».

Скалярное произведение векторов

      Определение. Скалярным произведением векторов      и   ,   которое обозначается     называют число, равное произведению длин векторов      и   ,   умноженному на косинус угла между этими векторами (рис.11).

Рис.11

      Таким образом,

(5)

      Из формулы (5) вытекает соотношение

которое можно сформулировать так: «Модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя».

      Следствие 1. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

      Утверждение. Если в декартовой прямоугольной системе координат векторы имеют координаты

      и      (6)

то их скалярное произведение выражается формулой:

(7)

      Другими словами, в декартовой прямоугольной системе координат скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

      Замечание. Зная координаты векторов (6), из формул (3), (5) и (7) можно найти косинус угла между векторами      и  

Примеры решения задач

      Пример 1. При каких значениях параметра   p   векторы     и     перпендикулярны?

      Решение. Воспользовавшись формулой (7), получим

      Ответ: 4.

      Пример 2. При каких значениях параметров   α   и   β   векторы   (α; – 2; 5)   и   (1; β; – 4)   коллинеарны?

      Решение. Векторы, в силу изложенного выше, являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число t, что выполняются равенства:

      Ответ:   .

      Пример 3. Длины векторов     и     равны   2   и   1 ,   соответственно, а угол между ними равен   60° . Найти длину вектора   .

      Решение. Рассмотрим рисунок 12.

Рис.12

      Воспользовавшись теоремой косинусов, получим

      Ответ: .

      Пример 4. Длины векторов  и равны 3 и 1, соответственно, а угол между ними равен   60°.   Найти длину вектора .

      Решение. Рассмотрим рисунок 13.

Рис.13

      Воспользовавшись теоремой косинусов, получим

      Ответ:   .

      Пример 5. Найти угол между векторами   (3; 6; 2)   и   (4; 7; 4) .

      Решение. Воспользовавшись формулой (8), получим

      Ответ:   .

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Умножение вектора на число » Аналитическая геометрия f(x)dx.Ru

п.9. Умножение вектора на число.

Определение. Произведением вектора  на действительное число  называется вектор , удовлетворяющий следующим двум условиям:

1) ;

2) , если  и , если ;

и обозначается .

Теорема. (Свойства умножения вектора на число.)

1. Свойство ассоциативности:  верно

    равенство .

2. Свойство дистрибутивности умножения относительно

   сложения чисел:  верно равенство

                           .

3. Свойство дистрибутивности умножения относительно

   сложения векторов:  верно равенство

                           .

4.  верно равенство .

Доказательство. Свойство 4 вытекает из определения умножения вектора на число. Докажем свойство 1.

   Умножение вектора  на число  можно интерпретировать как гомотетию какой-нибудь плоскости Р, в которой лежит данный вектор, с центром гомотетии в начале вектора и коэффициентом .

   Такая гомотетия плоскости Р оставляет точку А на месте, , а конец вектора – точку В переводит (отображает) в точку С, , причем

и точка С лежит на луче АВ, если  и на

противоположном луче, если . См. рис. 10 и 11.

                      А                  В                            С 

                 

                                      рис. 10.

                С                            А                      В

                                         

                                       рис.11.

Теперь свойство 1 следует из того что композиция гомотетий (т.е. последовательное их выполнение) есть гомотетия, причем  и  верно равенство: .

Пусть .

        D           А                  В                            С 

                     |

                                                       

                                      рис. 12.

Тогда ,  и , т.е. .

   Таким образом,  и ,

следовательно, , ч.т.д.

   Доказательство свойства 2 оставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения. Заметим, что если оба числа  и  имеют одинаковый знак, то свойство 2 очевидно. Осталось рассмотреть случай разных знаков чисел  и .

   И, наконец, свойство 3 очевидно из следующего

рисунка, построенного для случая :

                                      рис. 13.

Заметим, что такая картинка возникает, если мы применим к плоскости, в которой лежат оба вектора, отложенные от одной точки О, преобразование гомотетии с центром гомотетии в точке О и коэффициентом .

Теорема доказана.

Теорема. Множество всех векторов  как направленных отрезков в пространстве точек S является векторным пространством над полем действительных чисел.

   Доказательство следует из свойств сложения векторов и их умножения на действительные числа.

Определение. Векторное пространство над полем действительных чисел называется вещественным векторным пространством.

   Пусть L произвольная прямая в пространстве S. Тогда ясно, что , т.е. множество векторов коллинеарных прямой L является подмножеством всех векторов .

  Далее, сумма любых двух векторов коллинеарных прямой L также является вектором коллинеарным прямой L:

 . В этом случае говорят, что множество векторов  замкнуто относительно сложения векторов. Аналогично, , т.е. множество  замкнуто относительно операции умножения вектора на действительное число. Отсюда сразу же следует, что для векторов из множества  справедливы все свойства сложения и умножения на действительные числа, т.е. справедливы все аксиомы вещественного векторного пространства.

   Таким образом, множество  также является вещественным векторным пространством.

   Говорят, что векторное пространство  является векторным подпространством векторного пространства .

   Аналогично и для множества  всех векторов лежащих на некоторой плоскости Р или на параллельной ей плоскости. Множества  также является векторным пространством и векторным подпространством векторного пространства .

   Если прямая L лежит в плоскости Р или параллельна ей, то  и  – подпространство векторного пространства  и одновременно векторного пространства .

   Векторное пространство  мы будем называть пространством векторов на прямой L, а  –пространством векторов на плоскости Р.

п.10. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.

Определение. Пусть  и  два произвольных вектора. Если верно равенство , где , то говорят, что вектор  линейно выражается через вектор .

Теорема. (О коллинеарности двух векторов.)

Для того, чтобы два вектора были коллинеарными необходимо и достаточно, чтобы либо один из них был нулевым, либо один из них линейно выражался через другой.

   Другими словами, .

   Доказательство. Если , то  по определению. Пусть  и . Тогда из определения умножения вектора на число следует, что либо , либо , в зависимости от знака числа , т.е. , ч.т.д.

   Пусть теперь  и  и . (Если  или , то доказывать нечего.) Рассмотрим два возможных случая.

а) Пусть . Т.к. , то .

   Обозначим буквой  отношение длин этих векторов: . Отсюда следует равенство  и, применяя определение умножения вектора на число, получаем, что .

б) Пусть . Положим по определению . Отсюда следует равенство  и, применяя определение умножения вектора на число, получаем, что .

Теорема доказана.

Возможно найдутся ответы здесь:

9 класс. Геометрия. Метод координат. Векторы. — Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число в координатах.

Комментарии преподавателя

Рис. 1. Век­то­ры

Ранее мы умели скла­ды­вать век­то­ры (рис. 1) по пра­ви­лу па­рал­ле­ло­грам­ма либо по пра­ви­лу тре­уголь­ни­ка.

На­при­мер, от одной точки от­кла­ды­ва­ем век­тор , от его конца от­кла­ды­ва­ем век­тор и от конца  от­кла­ды­ва­ем век­тор  (рис. 2).

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

В ре­зуль­та­те по­лу­ча­ет­ся сумма: ().

Мы умеем умно­жать век­тор на число.

Если был задан век­тор то мы умели по­стро­ить 2, рас­тя­нув  в два раза (рис. 3).

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Те­перь рас­смот­рим, как это все нужно де­лать через ко­ор­ди­на­ты.

Вспом­ним, как мы ввели ко­ор­ди­на­ты (рис. 4).

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Мы до­ка­за­ли тео­ре­му, что если есть два некол­ли­не­ар­ных век­то­ра  и , то любой тре­тий век­тор од­но­знач­но вы­ра­жа­ет­ся через эти два век­то­ра (рис. 5).

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Это озна­ча­ет, что .

Числа х и у един­ствен­ны для дан­но­го век­то­ра.

Далее мы ввели еди­нич­ные век­то­ры  и  (рис. 6).

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Тогда век­тор  од­но­знач­но рас­кла­ды­ва­ет­ся по ко­ор­ди­нат­ным век­то­рам  его ко­ор­ди­на­ты, =

Рас­смот­рим пра­ви­ла, поз­во­ля­ю­щие по ко­ор­ди­на­там век­то­ров на­хо­дить ко­ор­ди­на­ты их суммы, раз­но­сти и про­из­ве­де­ния на число.

Пра­ви­ло 1. Ко­ор­ди­на­ты суммы век­то­ров.

Каж­дая ко­ор­ди­на­та суммы век­то­ров равна сумме со­от­вет­ству­ю­щих ко­ор­ди­нат этих век­то­ров.

Дано:  ; .

До­ка­зать: .

До­ка­за­тель­ство:

.

Век­тор суммы имеет такие ко­ор­ди­на­ты:

Пра­ви­ло 2. Ко­ор­ди­на­ты раз­но­сти век­то­ров.

Каж­дая ко­ор­ди­на­та раз­но­сти двух век­то­ров равна раз­но­сти со­от­вет­ству­ю­щих ко­ор­ди­нат этих век­то­ров.

.

До­ка­зы­ва­ет­ся ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му пра­ви­лу.

Пра­ви­ло 3. Ко­ор­ди­на­ты про­из­ве­де­ния век­то­ра на число.

Каж­дая ко­ор­ди­на­та про­из­ве­де­ния век­то­ра на число равна про­из­ве­де­нию со­от­вет­ству­ю­щей ко­ор­ди­на­ты век­то­ра на это число.

Дей­стви­тель­но,  

Если умно­жить слева и спра­ва это ра­вен­ство на k, по­лу­чим:

 зна­чит, .

За­кре­пим рас­смот­рен­ные пра­ви­ла ре­ше­ни­ем задач.

За­да­ча 1.

Дано: ;  ;  ;  .

Найти: ко­ор­ди­на­ты век­то­ра .

Ре­ше­ние:

Век­тор  – ли­ней­ная ком­би­на­ция век­то­ров ,  и  .

Ответ: 

За­да­ча 2.

Дано: ;  ;  .

До­ка­зать: ко­ор­ди­на­ты кол­ли­не­ар­ных век­то­ров про­пор­ци­о­наль­ны.

До­ка­за­тель­ство:

Век­то­ры  и  кол­ли­не­ар­ны – это озна­ча­ет, что век­тор  можно по­лу­чить из век­то­ра , умно­жив его на неко­то­рое число k:

Из ра­вен­ства век­то­ров сле­ду­ет ра­вен­ство их ко­ор­ди­нат:

то есть ко­ор­ди­на­ты про­пор­ци­о­наль­ны, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

За­да­ча 3.

Дано: ;  ; ; .

Найти: по­пар­но кол­ли­не­ар­ные век­то­ры среди дан­ной груп­пы век­то­ров.

Ре­ше­ние:

Век­то­ры кол­ли­не­ар­ные, если их ко­ор­ди­на­ты про­пор­ци­о­наль­ны.

Рас­смот­рим век­то­ры  и :

  кол­ли­не­ар­ны.

Рас­смот­рим век­то­ры  и :

   и  кол­ли­не­ар­ны.

Ответ:  и .

Итак, мы рас­смот­ре­ли дей­ствия сло­же­ния, вы­чи­та­ния век­то­ров, умно­же­ния век­то­ра на число через ко­ор­ди­на­ты, вы­ве­ли со­от­вет­ству­ю­щие пра­ви­ла и ре­ши­ли при­ме­ры.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/metod-koordinat/slozhenie-i-vychitanie-vektorov-umnozhenie-vektora-na-chislo-v-koordinatah

http://www.youtube.com/watch?v=a0ohdyq56vQ

 

Координаты вектора. Направляющие косинусы, формулы и онлайн калькуляторы

Содержание:

Для решения задач с векторами необходимо определить вектор на плоскости или в пространстве, то есть дать информацию о его направлении и длине.

Координаты вектора

Пусть задана прямоугольная декартова система координат (ПДСК) $x O y$ и произвольный вектор $\overline{a}$, начало которого совпадает с началом системы координат (рис. 1).

Определение

Координатами вектора $\overline{a}$ называются проекции $a_{x}$ и $a_{y}$ данного вектора на оси $O x$ и $O y$ соответственно:

$$a_{x}=Пр_{O x} \bar{a}, a_{y}=Пр_{O y} \bar{a}$$

Величина $a_{x}$ называется абсциссой вектора $\overline{a}$, а число $a_{y}$ — его ординатой. То, что вектор $\overline{a}$ имеет координаты $a_{x}$ и $a_{y}$, записывается следующим образом: $\overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$.

Пример

Запись $\overline{a}=(5 ;-2)$ означает, что вектор $\overline{a}$ имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

Сумма двух векторов, заданных координатами

Пусть заданы $\overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$ и $\overline{b}=\left(b_{x} ; b_{y}\right)$, тогда вектор $\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}$ имеет координаты $\left(a_{x}+b_{x} ; a_{y}+b_{y}\right)$ (рис. 2).

Определение

Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, надо сложить их соответствующие координаты.

Слишком сложно?

Координаты вектора. Направляющие косинусы не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Заданы $\overline{a}=(-3 ; 5)$ и $\overline{b}=(0 ;-1)$. Найти координаты вектора $\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}$

Решение. $\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}=(-3 ; 5)+(0 ;-1)=(-3+0 ; 5+(-1))=(-3 ; 4)$


Умножение вектора на число

Если задан $\overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$, то тогда вектор $m \overline{a}$ имеет координаты $m \overline{a}=\left(m a_{x} ; m a_{y}\right)$, здесь $m$ — некоторое число (рис. 3).

Определение

Чтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное число.

Пример

Задание. Вектор $\overline{a}=(3 ;-2)$. Найти координаты вектора 2$\overline{a}$

Решение. $2 \overline{a}=2 \cdot(3 ;-2)=(2 \cdot 3 ; 2 \cdot(-2))=(6 ;-4)$

Рассмотрим далее случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что в ПДСК заданы две точки $A\left(a_{x} ; a_{y}\right)$ и $B\left(b_{x} ; b_{y}\right)$. Тогда координаты вектора $\overline{A B}=\left(x_{1} ; y_{1}\right)$ находятся по формулам (рис. 4):

$x_{1}=b_{x}-a_{x}, y_{1}=b_{y}-a_{y}$

Определение

Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат конца отнять соответствующие координаты начала.

Пример

Задание. Найти координаты вектора $\overline{A B}$, если $A(-4 ; 2), B(1 ;-3)$

Решение.{2} \gamma=1$

Если известны направляющие косинусы вектора $\overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$, то его координаты могут быть найдены по формулам:

$a_{x}=|\overline{a}| \cos \alpha, a_{y}=|\overline{a}| \cos \beta$

Аналогичные формулы имеют место и в трехмерном случае — если известны направляющие косинусы вектора $\overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right)$, то его координаты могут быть найдены по формулам:

$a_{x}=|\overline{a}| \cos \alpha, a_{y}=|\overline{a}| \cos \beta, a_{z}=|\overline{a}| \cos \gamma$

Читать дальше: длина (модуль) вектора.

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

Код и классификация направлений подготовки Код группы образовательной программы Наименование групп образовательных программ Количество мест
8D01 Педагогические науки   
8D011 Педагогика и психология D001 Педагогика и психология 45
8D012 Педагогика дошкольного воспитания и обучения D002 Дошкольное обучение и воспитание 5
8D013 Подготовка педагогов без предметной специализации D003 Подготовка педагогов без предметной специализации 22
8D014 Подготовка педагогов с предметной специализацией общего развития D005 Подготовка педагогов физической культуры 7
8D015 Подготовка педагогов по естественнонаучным предметам D010 Подготовка педагогов математики 30
D011 Подготовка педагогов физики (казахский, русский, английский языки) 23
D012 Подготовка педагогов информатики (казахский, русский, английский языки) 35
D013 Подготовка педагогов химии (казахский, русский, английский языки) 22
D014 Подготовка педагогов биологии (казахский, русский, английский языки) 18
D015 Подготовка педагогов географии 18
8D016 Подготовка педагогов по гуманитарным предметам D016 Подготовка педагогов истории 17
8D017 Подготовка педагогов по языкам и литературе D017 Подготовка педагогов казахского языка и литературы 37
D018 Подготовка педагогов русского языка и литературы 24
D019 Подготовка педагогов иностранного языка 37
8D018 Подготовка специалистов по социальной педагогике и самопознанию D020 Подготовка кадров по социальной педагогике и самопознанию 10
8D019 Cпециальная педагогика D021 Cпециальная педагогика 20
    Всего 370
8D02 Искусство и гуманитарные науки   
8D022 Гуманитарные науки D050 Философия и этика 20
D051 Религия и теология 11
D052 Исламоведение 6
D053 История и археология 33
D054 Тюркология 7
D055 Востоковедение 10
8D023 Языки и литература D056 Переводческое дело, синхронный перевод 16
D057 Лингвистика 15
D058 Литература 26
D059 Иностранная филология 19
D060 Филология 42
    Всего 205
8D03 Социальные науки, журналистика и информация   
8D031 Социальные науки D061 Социология 20
D062 Культурология 12
D063 Политология и конфликтология 25
D064 Международные отношения 13
D065 Регионоведение 16
D066 Психология 17
8D032 Журналистика и информация D067 Журналистика и репортерское дело 12
D069 Библиотечное дело, обработка информации и архивное дело 3
    Всего 118
8D04 Бизнес, управление и право   
8D041 Бизнес и управление D070 Экономика 39
D071 Государственное и местное управление 28
D072 Менеджмент и управление 12
D073 Аудит и налогообложение 8
D074 Финансы, банковское и страховое дело 21
D075 Маркетинг и реклама 7
8D042 Право D078 Право 30
    Всего 145
8D05 Естественные науки, математика и статистика      
8D051 Биологические и смежные науки D080 Биология 40
D081 Генетика 4
D082 Биотехнология 19
D083 Геоботаника 10
8D052 Окружающая среда D084 География 10
D085 Гидрология 8
D086 Метеорология 5
D087 Технология охраны окружающей среды 15
D088 Гидрогеология и инженерная геология 7
8D053 Физические и химические науки D089 Химия 50
D090 Физика 70
8D054 Математика и статистика D092 Математика и статистика 50
D093 Механика 4
    Всего 292
8D06 Информационно-коммуникационные технологии   
8D061 Информационно-коммуникационные технологии D094 Информационные технологии 80
8D062 Телекоммуникации D096 Коммуникации и коммуникационные технологии 14
8D063 Информационная безопасность D095 Информационная безопасность 26
    Всего 120
8D07 Инженерные, обрабатывающие и строительные отрасли   
8D071 Инженерия и инженерное дело D097 Химическая инженерия и процессы 46
D098 Теплоэнергетика 22
D099 Энергетика и электротехника 28
D100 Автоматизация и управление 32
D101 Материаловедение и технология новых материалов 10
D102 Робототехника и мехатроника 13
D103 Механика и металлообработка 35
D104 Транспорт, транспортная техника и технологии 18
D105 Авиационная техника и технологии 3
D107 Космическая инженерия 6
D108 Наноматериалы и нанотехнологии 21
D109 Нефтяная и рудная геофизика 6
8D072 Производственные и обрабатывающие отрасли D111 Производство продуктов питания 20
D114 Текстиль: одежда, обувь и кожаные изделия 9
D115 Нефтяная инженерия 15
D116 Горная инженерия 19
D117 Металлургическая инженерия 20
D119 Технология фармацевтического производства 13
D121 Геология 24
8D073 Архитектура и строительство D122 Архитектура 15
D123 Геодезия 16
D124 Строительство 12
D125 Производство строительных материалов, изделий и конструкций 13
D128 Землеустройство 14
8D074 Водное хозяйство D129 Гидротехническое строительство 5
8D075 Стандартизация, сертификация и метрология (по отраслям) D130 Стандартизация, сертификация и метрология (по отраслям) 11
    Всего 446
8D08 Сельское хозяйство и биоресурсы   
8D081 Агрономия D131 Растениеводство 22
8D082 Животноводство D132 Животноводство 12
8D083 Лесное хозяйство D133 Лесное хозяйство 6
8D084 Рыбное хозяйство D134 Рыбное хозяйство 4
8D087 Агроинженерия D135 Энергообеспечение сельского хозяйства 5
D136 Автотранспортные средства 3
8D086 Водные ресурсы и водопользование D137 Водные ресурсы и водопользования 11
    Всего 63
8D09 Ветеринария   
8D091 Ветеринария D138 Ветеринария 21
    Всего 21
8D11 Услуги   
8D111 Сфера обслуживания D143 Туризм 11
8D112 Гигиена и охрана труда на производстве D146 Санитарно-профилактические мероприятия 5
8D113 Транспортные услуги D147 Транспортные услуги 5
D148 Логистика (по отраслям) 4
8D114 Социальное обеспечение D142 Социальная работа 10
    Всего 35
    Итого 1815
    АОО «Назарбаев Университет» 65
    Стипендиальная программа на обучение иностранных граждан, в том числе лиц казахской национальности, не являющихся гражданами Республики Казахстан 10
    Всего 1890

Скалярное умножение | Начало математики и физики для программистов игр

Я уверен, что в течение многих лет вы умножали скаляры на другие скаляры. Помните, что скалярная величина — это просто обычное число. Обратим внимание на скаляр, умноженный на вектор. Если вы думаете о векторе, выраженном в полярных координатах, все, что у вас есть, — это величина и направление. Когда вы умножаете скаляр на этот вектор, все, что вы на самом деле делаете, это изменяете величину, увеличивая или уменьшая масштаб.Если скалярное значение представляет собой целое число, величина увеличивается. Точно так же, если скаляр представляет собой дробь меньше 1, величина становится меньше.

Скалярное умножение в полярных координатах

для любого скаляра c и вектора.


Пример 4.10: Скаляр * Вектор в полярных координатах

Вычислить 5A, если вектор A = 3 фута @ 22.

Решение

5A = 5 (3 фута @ 22) = 15 футов @ 22

Если вы ‘ Чтобы попытаться визуализировать влияние скалярного умножения на вектор, взгляните на рисунок 4.17.

Рисунок 4.17. 2 * вектор A.

Помните, что векторы часто представлены стрелками, длина которых соответствует величине, а направление вектора указывает направление. Как видите, вектор 2A вдвое длиннее A, но по-прежнему указывает в том же направлении.

Если вы уже настроили программирование вектора в декартовых координатах, вы все равно можете выполнить скалярное умножение без преобразования обратно в полярные координаты.Просто умножьте каждый компонент на скалярное значение, и это даст тот же эффект.

Скалярное умножение в декартовых координатах

для любого скаляра c и вектора.


Пример 4.11: Скалярный * вектор в декартовых координатах

Вычислить вектор A if.

Решение

Довольно часто в программировании используется термин нормализация .На самом деле это просто причудливое слово для уменьшения величины вектора до 1. Довольно часто вектор используется для простого определения направления. Фактически, и являются прекрасными примерами тому. На самом деле это просто вектор длиной в одну единицу в положительном направлении x. Аналогично, это вектор с величиной 1 в положительном направлении y. В следующих разделах вы увидите приложения, в которых вектор длины 1 используется для определения направления.

Нормализовать вектор в полярных координатах очень просто.Просто измените величину на 1 и оставьте направление прежним. Однако в контексте программирования вектор, скорее всего, будет в декартовых координатах, прежде чем вам потребуется его нормализовать. В этом случае вы должны сначала вычислить величину вектора, а затем разделить каждую составляющую на величину. По сути, вы выполняете скалярное умножение на 1 по величине.

Нормализация 2D-вектора

для любого вектора A = [a 1 a 2 ].

В 3D этот процесс происходит еще чаще.

Нормализация трехмерного вектора

для любого вектора A = [a 1 a 2 a 3 ].


ПРИМЕЧАНИЕ

Символ нормализованного вектора — это крышка. Например, когда величина A равна 1, ее можно записать как.


Пример 4.12: Нормализация вектора

Нормализация вектора A = [5 0 12].

Решение

  1. Первое, что вам нужно найти, это величина A. (Возможно, вам потребуется обратиться к разделу «Полярные координаты и декартовы координаты» ранее в этой главе.)


  2. Сейчас что вы знаете величину, все, что осталось сделать, это разделить на нее каждый компонент:


ПРИМЕЧАНИЕ

Чтобы проверить себя, вы всегда можете рассчитать.Он всегда должен быть равен 1, если вы нормализовали правильно.

Как видите, скалярное умножение имеет эффект масштабирования величины вектора вверх или вниз. Направление всегда остается неизменным; меняется только величина. Кроме того, процесс нормализации — отличный пример скалярного умножения на вектор. Следующий естественный вопрос, который следует задать: «Как мне перемножить два вектора?» На этот вопрос не так просто ответить, но он будет рассмотрен в следующих двух разделах.

Самооценка
1.

Влияет ли скалярное умножение на величину или направление вектора?

2.

Вычислить (1/3) A, если вектор A = 12 м / с при 43.

3.

Вычислить 6B, если вектор.

4.

Нормализовать вектор C = [24 10].

5.

Нормализовать вектор D = [0 7 24].


Умножение вектора на матрицу

(2) x = (x 1 , x 2 ) = x 1 (1,0) + x 2 (0,1)

Применить сейчас (1) к (2): f ( x ) = x 1 f (1,0) + x 2 f (0,1), где f (1,0), что правильнее было бы записать как f ((1,0)), это результат применения f к вектору (1,0). Похожий замечание справедливо для f (0,1) и f (x 1 , x 2 ) в следующем.Пусть f (1,0) = (f 11 , f 21 ) и f (0,1) = (f 12 , f 22 ). Затем

(3) f ( x ) = f (x 1 , x 2 ) = x 1 (f 11 , f 21 ) + x 2 (f 12 , f 22 ) = (x 1 f 11 + x 2 f 12 , x 1 f 21 + x 2 f 22 )

Предположим, что g — другое линейное преобразование, а g (1,0) = (g 11 , g 21 ) и g (0,1) = (g 12 , g 22 ).Тогда по (3)

(4) g (f ( x )) = ((x 1 f 11 + x 2 f 12 ) g 11 + (x 1 f 21 + x 2 f 22 ) g 12 , (x 1 f 11 + x 2 f 12 ) g 12 + (x 1 f 21 + x 2 f 22 ) г 22 )

или, после перегруппировки,

(4 ‘) g (f ( x )) = (x 1 (f 11 g 11 + f 21 g 12 ) + x 2 (f 12 g 11 + f 22 г 12 ), x 1 (f 11 g 12 + f 21 g 22 ) + x 2 (f 12 g 12 + f 22 г 22 ))

Мы видим, что композиция g (f ( x )) двух линейных преобразований, в свою очередь, линейна.Кроме того,

(5) g (f (1,0)) = (f 11 g 11 + f 21 g 12 , f 11 g 21 + f 21 g 22 ) и
g (f (0,1)) = (f 12 g 11 + f 22 g 12 , f 12 g 21 + f 22 g 22 )

Теперь пара чисел x 1 , x 2 может быть записана либо как вертикальный (матрица 2×1), либо как горизонтальный (матрица 1×2) вектор .Учитывая ограничения HTML, горизонтальное соглашение действительно спасает жизнь и используется до сих пор. Однако я должен отметить, что вертикальные обозначения гораздо более распространены. В зависимости от обозначений (3) и (5) могут быть по-разному переписаны в векторно-матричном формате:

x (x 1 , x 2 )
F
f ( x ) x F 14 F 900 x
г (f ( x )) x FG GF x

Мы пришли к выводу, что линейное преобразование векторного пространства может быть выражено как произведение матрицы и вектора.Представлена ​​композиция двух линейных преобразований. произведением соответствующих матриц. Заявление носит более общий характер, чем то, что было показано на самом деле. R 2 известен как арифметическое векторное пространство . Набор всех комбинаций rsin (x) + scos (x), где x изменяется в течение некоторого интервала, является еще одним примером двумерного вектора пространство, элементы которого выглядят иначе, чем у R 2 . Однако, как мы уже отмечали, векторные пространства той же размерности изоморфны , и один из способов установить соответствие ( изоморфизм ) между ними осуществляется путем выбора оснований и определения их векторы с наборами координат.Например, вектор rsin (x) + scos (x) может быть идентифицирован с упорядоченной парой (r, s). При таком соответствии sin (x) и cos (x) появляются как (1,0) и (0,1) соответственно.

Таким образом, выбор базисов в векторных пространствах приводит к отождествлению векторов с кортежами. координат (по горизонтали или по вертикали). Горизонтальные кортежи обычно называются векторами-строками , тогда как вертикальные они известны как векторов-столбцов . Матрицы появляются как представление линейных преобразований для фиксированной пары баз.Чтобы получить результат применения преобразования к вектору, умножьте соответствующая матрица и кортеж. Произведение двух матриц представляет собой состав (продукт) двух преобразований (функций).

Номер ссылки

  1. H.Eves, Великие моменты в математике после 1650 года , MAA, 1983

Что можно умножить?


| Контакты | | Первая страница | | Содержание | | Геометрия | | Вверх |

Copyright © 1996-2018 Александр Богомольный

68662665

Операции над векторами, сложение векторов, умножение вектора на вещественное число.

Рассмотрим вектор v, начальная точка которого — , начало в системе координат xy, а конечная точка -. Мы говорим, что вектор находится в стандартной позиции и называем его вектором позиции. Обратите внимание, что упорядоченная пара однозначно определяет вектор. Таким образом, мы можем использовать для обозначения вектора. Чтобы подчеркнуть, что мы думаем о векторе, и чтобы избежать путаницы с обозначениями упорядоченных пар и интервалов, мы обычно пишем
v =.


Координата a — это скаляр , горизонтальный компонент , вектора, а координата b — это скаляр , вертикальный компонент , вектора. Под скаляром мы подразумеваем числовую величину , а не векторную величину . Таким образом, считается, что это компонентная форма v. Обратите внимание, что a и b НЕ являются векторами, и их не следует путать с определением компонента вектора.

Теперь рассмотрим с A = (x 1 , y 1 ) и C = (x 2 , y 2 ).Давайте посмотрим, как найти вектор положения, эквивалентный. Как вы можете видеть на рисунке ниже, начальная точка A перемещена в начало координат (0, 0). Координаты P находятся путем вычитания координат A из координат C. Таким образом, P = (x 2 — x 1 , y 2 — y 1 ) и вектор положения равен.

Можно показать, что и имеют одинаковую величину и направление и, следовательно, эквивалентны. Таким образом, = = 2 — x 1 , y 2 — y 1 >.

Компонент формирует of с A = (x 1 , y 1 ) и C = (x 2 , y 2 ) равен
= 2 — x 1 , y 2 — y 1 >.

Пример 1 Найдите форму компонента, если C = (- 4, — 3) и F = (1, 5).

Решение У нас
= =.

Обратите внимание, что вектор эквивалентен вектору положения, как показано на рисунке выше.

Теперь, когда мы знаем, как записывать векторы в компонентной форме, давайте еще раз сформулируем некоторые определения.
Длину вектора v легко определить, когда известны компоненты вектора. Для v = 1, v 2 > имеем
| v | 2 = v 2 1 + v 2 2 Использование теоремы Пифагора
| v | = √v 2 1 + v 2 2 .

Длина или величина вектора v = 1, v 2 > задается формулой | v | = √v 2 1 + v 2 2 .

Два вектора эквивалентны , если они имеют одинаковую величину и одинаковое направление.

Пусть u = 1, u 2 > и v = 1, v 2 >. Тогда
1, u 2 > = 1, v 2 > тогда и только тогда, когда u 1 = v 1 и u 2 = v 2 .

Операции над векторами

Чтобы умножить вектор v на положительное действительное число, мы умножаем его длину на число. Его направление остается прежним.Например, когда вектор v умножается на 2, его длина удваивается и его направление не изменяется. Когда вектор умножается на 1,6, его длина увеличивается на 60%, а его направление остается прежним. Чтобы умножить вектор v на отрицательное действительное число, мы умножаем его длину на число и меняем его направление на обратное. Когда вектор умножается на 2, его длина удваивается, а его направление меняется на противоположное. Поскольку действительные числа работают как коэффициенты масштабирования при векторном умножении, мы называем их скалярами , а произведения kv называются скалярными кратными v.

Для действительного числа k и вектора v = 1, v 2 >, скалярное произведение k и v равно
kv = k.1, v 2 > = 1, kv 2 >.
Вектор kv представляет собой скалярное кратное вектора v.

Пример 2 Пусть u = и w =. Найдите — 7w, 3u и — 1w.

Решение
— 7w = — 7. =,
3u = 3. =,
— 1w = — 1. =.

Теперь мы можем сложить два вектора с помощью компонентов.Чтобы сложить два вектора, заданных в форме компонентов, мы добавляем соответствующие компоненты. Пусть u = 1, u 2 > и v = 1, v 2 >. Тогда
u + v = 1 + v 1 , u 2 + v 2 >

Например, если v = и w =, то
v + w = ​​=

Если u = 1, u 2 > и v = 1, v 2 >, то
u + v = 1 + v 1 , u 2 + v 2 >.

Прежде чем мы определим вычитание векторов, нам нужно определить — v.Противоположность v = 1, v 2 >, показанная ниже, это
— v = (- 1). V = (- 1) 1, v 2 > = 1, — v 2 >

Вычитание вектора, такое как u — v, включает вычитание соответствующих компонентов. Покажем это, переписав u — v как u + (- v). Если u = 1, u 2 > и v = 1, v 2 >, то
u — v = u + (- v) = 1, u 2 > + 1, — v 2 > = 1 + (- v 1 ), u 2 + (- v 2 )> = 1 — v 1 , u 2 — v 2 >

Мы можем проиллюстрировать векторное вычитание с помощью параллелограммов, точно так же, как мы делали векторное сложение.

Вычитание вектора

Если u = 1, u 2 > и v = 1, v 2 >, то
u — v = 1 — v 1 , u 2 — v 2 >.

Интересно сравнить сумму двух векторов с разностью тех же двух векторов в одном параллелограмме. Векторы u + v и u — v — диагонали параллелограмма.

Пример 3 Выполните следующие вычисления, где u = и v =.
a) u + v
b) u — 6v
c) 3u + 4v
d) | 5v — 2u |

Решение
а) u + v = + = =;
б) и — 6в = — 6. = — =;
в) 3u + 4v = 3. + 4. = + =;
d) | 5v — 2u | = | 5. — 2. | = | — | = || = √ (- 29) 2 + 21 2 = √1282 ≈ 35,8

Прежде чем мы сформулируем свойства сложения векторов и скалярного умножения, нам нужно определить другой специальный вектор — нулевой вектор. Вектор, у которого обе точки являются начальной и конечной, — это нулевой вектор , обозначенный буквой O или.Его величина равна 0. Помимо вектора, нулевой вектор является аддитивным вектором идентичности:
v + O = v. 1, v 2 > + = 1, v 2 >
Операции над векторами имеют много общего. свойства как операции с действительными числами.

Свойства сложения векторов и скалярного умножения

Для всех векторов u, v и w и для всех скаляров b и c:
1. u + v = v + u.
2. и + (v + w) = (u + v) + w.
3. v + O = v.
4 1.v = v; 0. v = 0.
5. v + (- v) = 0.
6. b (cv) = (bc) v.
7. (b + c) v = bv + cv.
8. b (u + v) = bu + bv.

Единичные векторы

Вектор величины или длины 1 называется единичным вектором . Вектор v = является единичным вектором, поскольку
| v | = || = √ (- 3/5) 2 + (4/5) 2 = √9 / 25 + 16/25 = √25 / 25 = √1 = 1.

Пример 4 Найдите единичный вектор, который имеет то же направление, что и вектор w =.

Решение Сначала находим длину w:
| w | = √ (- 3) 2 + 5 2 = √34. Таким образом, нам нужен вектор, длина которого равна 1 / √34 от w, а направление совпадает с направлением вектора w. Этот вектор равен
u = w / √34 = / √34 = 34, 5 / √34>.
Вектор u является единичным вектором, поскольку
| u | = | w / √34 | = = √34 / 34 = √1 = 1.

Если v — вектор и v ≠ O, то
(1 / | v |) • v или v / | v |,
— это единичный вектор в направлении v.

Хотя единичные векторы могут иметь любое направление, единичные векторы, параллельные осям x и y, особенно полезны. Они определены как
i = и j =.

Любой вектор может быть выражен как линейная комбинация единичных векторов i и j. Например, пусть v = 1, v 2 >. Тогда
v = 1, v 2 > = 1, 0> + 2> = v 1 + v 2 = v 1 i + v 2 j.

Пример 5 Выразите вектор r = как линейную комбинацию i и j.

Решение
r = = 2i + (- 6) j = 2i — 6j.

Пример 6 Запишите вектор q = — i + 7j в компонентной форме.

Решение q = — i + 7j = -1i + 7j =

Операции с векторами также могут выполняться, когда векторы записываются как линейные комбинации i и j.

Пример 7 Если a = 5i — 2j и b = -i + 8j, найти 3a — b.

Решение
3a — b = 3 (5i — 2j) — (- i + 8j) = 15i — 6j + i — 8j = 16i — 14j.

Углы направления

Конечная точка P единичного вектора в стандартном положении — это точка на единичной окружности, обозначенная (cosθ, sinθ). Таким образом, единичный вектор может быть выражен в форме компонентов,
u =,
или как линейная комбинация единичных векторов i и j,
u = (cosθ) i + (sinθ) j,
, где компоненты u являются функциями угла направления θ, измеренного против часовой стрелки от оси x к вектору. Поскольку θ изменяется от 0 до 2π, точка P следует по окружности x 2 + y 2 = 1.Это принимает все возможные направления для единичных векторов, поэтому уравнение u = (cosθ) i + (sinθ) j описывает все возможные единичные векторы на плоскости.

Пример 8 Вычислите и нарисуйте единичный вектор u = (cosθ) i + (sinθ) j для θ = 2π / 3. Включите единичный круг в свой эскиз.

Решение
u = (cos (2π / 3)) i + (sin (2π / 3)) j = (- 1/2) i + (√3 / 2) j

Пусть v = 1, v 2 > с направленным углом θ. Используя определение касательной функции, мы можем определить угол направления из компонентов v:

Пример 9 Определите угол направления θ вектора w = — 4i — 3j.

Решение Мы знаем, что
w = — 4i — 3j =.
Таким образом, мы имеем
tanθ = (- 3) / (- 4) = 3/4 и θ = tan — 1 (3/4).
Поскольку w находится в третьем квадранте, мы знаем, что θ — это угол третьего квадранта. Базовый угол составляет
тангенс угла — 1 (3/4) ≈ 37 °, а θ ≈ 180 ° + 37 °, или 217 °.

При работе с прикладными задачами и в последующих курсах, таких как математические вычисления, удобно иметь способ выразить вектор так, чтобы его величину и направление можно было легко определить или прочитать.Пусть v вектор. Тогда v / | v | является единичным вектором в том же направлении, что и v. Таким образом, мы имеем
v / | v | = (cosθ) i + (sinθ) j
v = | v | [(cosθ) i + (sinθ) j] Умножение на | v |
v = | v | (cosθ) i + | v | (sinθ) j.

Пример 10 Скорость и направление самолета. Самолет летит по пеленгу 100 ° со скоростью 190 км / ч, а ветер дует 48 км / ч со скоростью 220 °. Найдите путевую скорость самолета и направление его траектории или курса относительно земли.

Решение Сначала делаем рисунок. Ветер представлен как, а вектор скорости самолета — как. Результирующий вектор скорости равен v, сумме двух векторов:
v = +.

Пеленг (отсчитываемый от севера) вектора воздушной скорости равен 100 °. Угол направления (измеренный против часовой стрелки от положительной оси x) составляет 350 °. Пеленг (отсчитываемый от севера) вектора ветра составляет 220 °. Угол направления (измеренный против часовой стрелки от положительной оси x) составляет 50 °.Величины и равны 190 и 48 соответственно. Имеем
= 190 (cos350 °) i + 190 (sin350 & deg) j и
= 48 (cos50 °) i + 48 (sin50 & deg) j.
Таким образом,
v = +
= [190 (cos350 °) i + 190 (sin350 & deg) j] + [48 (cos50 °) i + 48 (sin50 & deg) j]
= [190 (cos350 °) i + 48 ( cos50 °) i] + [190 (sin350 & deg) j + 48 (sin50 & deg) j]
≈ 217,97i + 3,78j.
Из этой формы мы можем определить путевую скорость и курс:
Путевая скорость ≈ √ (217,97) 2 + (3,78) 2 ≈ 218 км / ч.
Пусть α будет направленным углом v. Тогда
tanα = 3,78 / 217,97
α = tan — 1 3,78 / 217,97 ≈ 1 °.
Таким образом, курс самолета (направление с севера) составляет 90 ° — 1 °, или 89 °.

Угол между векторами

Когда вектор умножается на скаляр, результатом является вектор. Когда два вектора складываются, результат также является вектором. Таким образом, мы могли бы ожидать, что произведение двух векторов также будет вектором, но это не так. скалярное произведение двух векторов является действительным числом или скаляром.Этот продукт полезен при нахождении угла между двумя векторами и при определении того, перпендикулярны ли два вектора.

Точечный продукт двух векторов u = 1, u 2 > и v = 1, v 2 > равен
u • v = u 1 .v 1 + u 2 .v. 2
(Обратите внимание, что u 1 v 1 + u 2 v 2 является скаляром , а не вектором.)

Пример 11 Найдите указанное скалярное произведение, когда
u =, v = и w =.
а) ш • ш
б) ш • ш

Решение
а) u • w = 2 (- 3) + (- 5) 1 = — 6 — 5 = — 11;
б) w • v = (- 3) 0 + 1 (4) = 0 + 4 = 4.

Скалярное произведение можно использовать для определения угла между двумя векторами. Угол между двумя векторами является наименьшим положительным углом, образованным двумя направленными отрезками прямой. Таким образом, угол θ между u и v равен углу между v и u, а 0 ≤ θ ≤ π.

Если θ — угол между двумя ненулевыми векторами u и v, то
cosθ = (u • v) / | u || v |.

Пример 12 Найдите угол между u = и v =.

Решение Начнем с нахождения u • v, | u | и | v |:
u • v = 3 (- 4) + 7 (2) = 2,
| u | = √3 2 + 7 2 = √58 и
| v | = √ (- 4) 2 + 2 2 = √20.
Тогда
cosα = (u • v) / | u || v | = 2 / √58.√20
α = cos — 1 (2 / √58.√20)
α ≈ 86,6 °.

Силы в равновесии

Когда несколько сил действуют через одну и ту же точку на объект, их векторная сумма должна быть равна нулю, чтобы произошло равновесие.Когда происходит равновесие, объект либо неподвижен, либо движется по прямой без ускорения. Тот факт, что векторная сумма должна быть равна нулю для баланса, и наоборот, позволяет нам решать многие прикладные задачи, связанные с силами.

Пример 13 Подвесной блок. Блок весом 350 фунтов подвешен на двух тросах, как показано слева. В точке A действуют три силы: W, тянущий вниз блок, и R и S, два троса, тянущие вверх и наружу. Найдите натяжение каждого троса.

Решение Нарисуем диаграмму сил с начальными точками каждого вектора в начале координат. Для обеспечения баланса векторная сумма должна быть вектором O:

R + S + W = O.
Мы можем выразить каждый вектор через его величину и угол направления:
R = | R | [( cos125 °) i + (sin125 °) j],
S = | S | [(cos37 °) i + (sin37 °) j] и
W = | W | [(cos270 °) i + (sin270 °) j]
= 350 (cos270 °) i + 350 (sin270 °) j
= -350j cos270 ° = 0; sin270 ° = — 1.
Подставляя R, S и W в R + S + W + O, получаем
[| R | (cos125 °) + | S | (cos37 °)] i + [| R | (sin125 °) + | S | (sin37 °) — 350] j = 0i + 0j.
Это дает нам систему уравнений:
| R | (cos125 °) + | S | (cos37 °) = 0,
| R | (sin125 °) + | S | (sin37 °) — 350 = 0.
Решая эту систему, получаем
| R | ≈ 280 и | S | ≈ 201.
Натяжение тросов составляет 280 фунтов и 201 фунт.

Модуль 24 — Векторы — Урок 1

В этом уроке вы научитесь определять векторы на TI-89 и выполнять три типа умножения векторов.Будут обсуждены единичные векторы, и будут определены два формата, используемых для обозначения векторов.

Определение векторов

Величины, которые имеют как величину, так и направление, называются векторами и часто представлены направленными отрезками линии, как показано ниже.

Показанный вектор имеет начальную точку при ° и конечную точку при P .

Представление векторов с помощью скобок

Векторы могут быть представлены на TI-89, задав координаты острия стрелки. Например, вектор, идущий от начала координат к точке (3, 2), представлен на TI-89 с обозначением [3, 2]. Обратите внимание на использование скобок вместо скобок для обозначения того, что величина является вектором.

  • Выполнить NewProb
  • Сохраните вектор [3, 2] в переменной a на вашем TI-89.
    • Скобки находятся над и ключи.

Вам нужно ввести «запятую» между компонентами при вводе вектора на TI-89, но калькулятор не отображает его, когда он отображает векторы. Этот факт проиллюстрирован на снимке экрана выше.

Определение единичных векторов i и j

Вектор i имеет длину одну единицу и указывает вдоль положительной оси x , а вектор j имеет длину одну единицу и указывает вдоль положительной оси y .Поскольку векторы i и j имеют длину в одну единицу, они называются единичными векторами. И i , и j показаны ниже вместе с вектором [3, 2].

Представление векторов с использованием i и j

В другом обозначении для представления вектора используются единичные векторы i и j . Вектор [3, 2] также можно записать как

a = 3 i + 2 j

Обратите внимание, что a , i и j выделены жирным шрифтом, чтобы обозначить, что они являются векторами.

Нахождение длины вектора

Длина или величина любого вектора a = [x, y] равна

Длина a = [3, 2] равна единицы измерения.

Векторное умножение

Есть три типа умножения, в которых используются векторы.Два типа создают вектор, а оставшийся тип дает действительное число. Каждый тип умножения обсуждается ниже.

Скалярное умножение векторов

Пусть c представляет собой

Скаляр — это действительное число.У него есть величина, но нет направления.
скаляр и a представляют вектор, кратное скалярное число c a представляет собой вектор, длина которого равна | c | умноженное на длину a и направление которого такое же, как a , если c, положительное, и направление, противоположное a , если c отрицательное.

Координаты c a находятся путем умножения каждой координаты a на c .

c a = c [ a 1 , a 2 ] = [ ca 1 , ca 2 ]

  • Сохраните вектор [3, -1] в переменной a на вашем калькуляторе и умножьте вектор на скаляр 2.

  • Умножьте вектор [2, -5] на скаляр 3, не сохраняя вектор в переменной.

Использование команды unitV

Вектор, который указывает в том же направлении, что и a , и имеет величину, равную единице, можно найти с помощью команды unitV .

Определите единичный вектор, который указывает в том же направлении, что и a = [3, 2].

  • Откройте меню Math, нажав
  • Откройте подменю Матрица, выбрав 4: Матрица и нажав
  • Прокрутите до L: Vector ops
  • Откройте подменю векторной операции, нажав

Пункт меню «1: unitV (» должен быть выделен.

  • нажимать чтобы вставить его в строку редактирования
  • Введите unitV (a)

Каждый компонент a был умножен на величину, обратную величине a , чтобы создать единичный вектор, который указывает в том же направлении, что и a . Обратите внимание, что дроби были

Рационализация (знаменатель): дробь рационализируется путем записи ее в виде эквивалентной дроби без радикалов в знаменателе.
рационализированный.

Нахождение точечных произведений векторов

Второй тип умножения называется скалярным произведением . Скалярное произведение двух векторов [ a 1 , a 2 ] и [ b 1 , b 2 ] определяется как a 1 · b 1 + a 2 · b 2 .
Скалярное произведение a и b можно найти с помощью команды dotP , которая находится в меню Math Matrix: Vector ops.

  • Сохраните вектор -2 i + 5 j в b

Вычислите скалярное произведение a · b .

  • Откройте подменю «Матрица» в меню «Математика».
  • Откройте подменю: Vector ops подменю Matrix.
  • Вставьте точку P (в строку редактирования
  • Введите dotP (a, b)

Скалярное произведение a · b равно 4.

Обратите внимание, что результатом скалярного произведения двух векторов является действительное число , а не вектор. Скалярное произведение равно произведению величины a , величины b и косинуса угла между a и b .
Если это угол между a и b

Точечные произведения широко используются в физике.Например, они используются для расчета работы, выполняемой силой, действующей на объект.

Проецирование одного вектора на другой вектор

Проекцию можно рассматривать как тень одного вектора на другом. Когда два вектора имеют одинаковую начальную точку, проекция b на a параллельна a и имеет длину тени b .На приведенной ниже диаграмме показана проекция b на a , записанная как proj a b и показанная более темным вектором.

Проекции и точечные произведения

Величина проекции b на a , | proj a b |, также называется составляющей b вдоль a , и она равна | b | потому что .Обратите внимание, что компонент b вдоль a равен a · b / | а |.

Поиск формулы для точечных произведений на вашем калькуляторе

Формула для нахождения скалярного произведения двух векторов [ a 1 , a 2 ] и [ b 1 , b 2 ] может быть получена на TI-89.

  • Введите dotP ([a1, a2], [b1, b2])

24.1.1 Напишите формулу для нахождения скалярного произведения двух векторов. Нажмите здесь, чтобы получить ответ.

Определение перекрестных продуктов

Третий тип умножения называется перекрестным произведением и используется в геометрии и во многих ситуациях в физике и технике.Перекрестное произведение a x b двух трехмерных векторов представляет собой вектор, который находится на перпендикулярно как a , так и b . Если это угол между a и b , тогда длина a x b определяется как

Перекрестное произведение определяется только для 3-мерных векторов, но TI-89 вычисляет перекрестное произведение 2-мерных векторов, рассматривая их как 3-мерные векторы с 0 в качестве третьего компонента.

Поиск перекрестных продуктов

Перекрестное произведение можно вычислить с помощью команды crossP , которая находится в меню операций Math Matrix Vector.

Найдите векторное произведение a x b ранее определенных векторов a = [3, 2] и b = [-2, 5].

[3, 2, 0] x [-2, 5, 0] = [0, 0, 19] = 0 i + 0 j + 19 k

Результатом перекрестного произведения является вектор , который имеет три компонента, что означает, что это трехмерный вектор.Единичный вектор k указывает вдоль положительной оси z. Вектор 0 i + 0 j + 19 k направлен вверх вдоль положительной оси z и имеет длину 19.

Перекрестное произведение двух векторов a и b всегда перпендикулярно каждому из двух векторов. Его величина равна величине a , умноженной на величину компонента b , которая перпендикулярна a .

24.1.2 Найдите векторное произведение трехмерных векторов a = 2 i + j — 4 k и b = — i — 2 j + k . Опишите взаимосвязь между a , b и их перекрестным произведением. Щелкните здесь, чтобы проверить свой ответ.

Геометрия (точки и векторы преобразования)

Геометрия

Точки преобразования

Мы ввели почти все, что нам нужно знать, чтобы теперь написать код, который будет преобразовывать точки с помощью матриц.Однако, хотя перевод кажется самым простым линейным оператором, который можно применить к точке, мы не часто упоминали об этом в предыдущей главе. Потому что для того, чтобы перевод работал с теорией умножения матриц, нам нужно внести изменения в точечную структуру, которые могут вас немного запутать.

Как мы упоминали в последних двух главах, умножение матрицы на матрицу может работать только в том случае, если две задействованные матрицы имеют совместимый размер. То есть если они имеют размер m x p и p x n.Имейте это в виду. Начнем с единичной матрицы 3×3. Мы знаем, что точка, умноженная на эту матрицу, имеет неизменные координаты. Давайте посмотрим, какие изменения нам нужно внести в эту матрицу для обработки перевода. Смещение точки — это не что иное, как добавление числа к каждой из ее координат (эти числа могут быть положительными или отрицательными). Например, если мы хотим переместить точку (1, 1, 1) в координату (2, 3, 4), нам нужно добавить значения 1, 2 и 3 соответственно к каждой из координат x, y и z точек. .Все очень просто. Обратите внимание, что с этого момента мы будем рассматривать точки и векторы как матрицу размером 1×3.

$$ \ begin {array} {l} P’.x = P.x + Tx \\ P’.y = P.y + Ty \\ P’.z = P.z + Tz \ end {array} $$

Теперь вернемся к коду, преобразующему точку с помощью матрицы:

$$ \ begin {array} {l} P’.x = P.x * M_ {00} + P.y * M_ {10} + P.z * M_ {20} \\ P’.y = P.x * M_ {01} + P.y * M_ {11} + P.z * M_ {21} \\ P’.z = P.x * M_ {02} + P.y * M_ {12} + P.z * M_ {22} \ end {array} $$

Что нам нужно, чтобы матрица вращения была расширена так, чтобы она также обрабатывала перевод? Нам понадобится четвертый термин справа, который будет кодировать перевод. Примерно так:

$$ \ begin {array} {l} P’.x = P.x * M_ {00} + P.y * M_ {10} + P.z * M_ {20} + T_X \\ P’.y = P.x * M_ {01} + P.y * M_ {11} + P.z * M_ {21} + T_Y \\ P’.z = P.x * M_ {02} + P.y * M_ {12} + P.z * M_ {22} + T_Z \ end {массив} $$

Теперь вспомните, что мы хотим создать матрицу, которая кодирует масштаб, поворот и перенос.Итак, каким-то образом нам нужно получить Tx, Ty, Tz, чтобы они соответствовали коду умножения точечной матрицы (и сохранить эти значения где-нибудь в матрице). Посмотрите пока на первую строчку. Обратите внимание, что для вычисления x ‘мы используем только коэффициенты первого столбца матрицы. Если бы в столбце было четыре коэффициента вместо трех, то Tx было бы \ (M_ {30} \). То же самое можно сделать с Ty и Tz. Тогда мы получим:

$$ \ begin {array} {l} P’.x = P.x * M_ {00} + P.y * M_ {10} + P.z * M_ {20} + M_ {30} \\ P’.y = P.x * M_ {01} + P.y * M_ {11} + P.z * M_ {21} + M_ {31} \\ P’.z = P.x * M_ {02} + P.y * M_ {12} + P.z * M_ {22} + M_ {32} \ end {массив} $$

Однако это предполагает, что наша матрица теперь имеет размер 4×3, а не 3×3. Это нормально. Мы сказали, что матрицы могут иметь любой размер. Однако мы знаем, что умножение матриц возможно только в том случае, если их размеры совместимы. Но теперь мы пытаемся умножить точку как матрицу 1×3 на матрицу 4×3, и теория подсказывает нам, что это невозможно.Что нам следует сделать? Решение простое. Мы добавим к точке один дополнительный столбец, чтобы превратить ее в матрицу 1×4, и установим четвертый коэффициент этой точки равным 1. Теперь наша точка выглядит так (x, y, z, 1). В компьютерной графике это называется однородной точкой (или точкой с однородными координатами ). С такой точкой мы можем легко закодировать перевод в нашей матрице. Посмотрите, как он волшебным образом встал на место в следующем коде:

$$ \ begin {array} {l} П’.x = P.x * M_ {00} + P.y * M_ {10} + P.z * M_ {20} + 1 * M_ {30} \\ P’.y = P.x * M_ {01} + P.y * M_ {11} + P.z * M_ {21} + 1 * M_ {31} \\ P’.z = P.x * M_ {02} + P.y * M_ {12} + P.z * M_ {22} + 1 * M_ {32} \ end {array} $$

Это теория. Чтобы кодировать перемещение, масштабирование и вращение в матрице, нам нужно иметь дело с точками, которые имеют однородные координаты. Но поскольку четвертое значение всегда равно 1, мы никогда не определяем его явно в коде. Мы определяем только x, y, z и предполагаем, что существует четвертое значение.Код точечной матрицы теперь выглядит так:

$$ \ begin {array} {l} P’.x = P.x * M_ {00} + P.y * M_ {10} + P.z * M_ {20} + M_ {30} \\ P’.y = P.x * M_ {01} + P.y * M_ {11} + P.z * M_ {21} + M_ {31} \\ P’.z = P.x * M_ {02} + P.y * M_ {12} + P.z * M_ {22} + M_ {32} \ end {array} $$

Наша матрица теперь представляет собой матрицу 4×3. Итак, вы можете задаться вопросом, как перейти от матрицы 4×3 к нашей окончательной матрице 4×4, которая является формой, наиболее часто используемой в компьютерной графике? Четвертый столбец играет роль в перспективной проекции и для некоторых других типов преобразований, которые не очень распространены (например, преобразование сдвига), но обычно для него просто установлено значение (0, 0, 0, 1).Но что происходит, когда коэффициент в этом столбце имеет значения, отличные от значения по умолчанию (мы говорили, что это необычно, но такое случается несколько раз)? Прежде чем мы сможем ответить на этот вопрос, нам сначала нужно узнать еще кое-что об однородных точках.

Уловка с однородными точками

Представление точки как родной точки необходимо для обеспечения возможности умножения точки на матрицы [4×4], однако в коде это делается неявно, поскольку, как мы объяснили, w всегда равно 1.Наш класс Point C ++ будет определять тип точки не с четырьмя числами с плавающей запятой, а только с тремя (x, y и z). Технически, если бы мы умножили однородную точку на матрицу [4×4], координата w преобразованной точки была бы получена путем умножения координат точки на коэффициенты четвертого столбца матрицы. Однако, как мы упоминали ранее, этот столбец почти всегда имеет значение (0, 0, 0, 1). В этом случае значение w ‘(координата w преобразованной точки) должно быть 1 (w’ = x * 0 + y * 0 + z * 0 + w (= 1) * 1 = 1), а полученный результат преобразованные координаты x ‘, y’ и z ‘могут использоваться напрямую.Но, как мы также вкратце упомянули, этот четвертый столбец не всегда имеет значение (0, 0, 0, 1), особенно когда вы имеете дело с матрицами проекции (матрицами, которые проецируются на экран). В этих особых случаях результат для w ‘может отличаться от 1 (что является преднамеренным), но для того, чтобы эту точку можно было использовать в качестве декартовой точки, нам нужно нормализовать w’ обратно к 1, разделив его на себя, что требует деления другие координаты (x ‘, y’ и z ‘) также на w’. В псевдокоде это дает что-то вроде этого:

П ‘.x = P.x * M00 + P.y * M10 + P.z * M20 + M30; P’.y = P.x * M01 + P.y * M11 + P.z * M21 + M31; P’.z = P.x * M02 + P.y * M12 + P.z * M22 + M32; w ‘= P.x * M03 + P.y * M13 + P.z * M23 + M33; if (w ‘! = 1 && w’! = 0) { P’.x / = w ‘, P’.y / = w’, P’.z / = w ‘; }

Как видите, нам не нужно объявлять координату w в типе Point. Мы можем просто вычислить значение для w ‘на лету, поскольку мы неявно предполагаем, что точка, которую мы преобразуем, является декартовой точкой, которую вы можете рассматривать как однородную точку, координата w которой не объявлена ​​явно (потому что она всегда равна 1).Однако, если матрица, на которую мы умножаем точку, является матрицей проекции, например, результат w ‘может отличаться от 1. В этом конкретном случае нам нужно нормализовать все координаты P’, чтобы вернуть его к 1 Как только это будет сделано, мы получим точку, которую снова сможем использовать в нашей декартовой системе координат.

Все, что вам нужно помнить, это то, что вам никогда не придется заботиться об однородных координатах, за исключением случаев, когда точки умножаются на матрицу перспективной проекции.Однако на самом деле вы, вероятно, не столкнетесь с этой проблемой, если будете работать с трассировщиком лучей, поскольку этот особый тип матрицы не используется при трассировке лучей. Если вам все еще сложно понять, что это за координата w и для чего она используется, ознакомьтесь с уроком «Матрица перспективы и ортогональной проекции» в разделе «Базовая трехмерная визуализация». Вы узнаете, как проецировать 3D-точки на плоскость изображения с помощью перспективной проекции. Тогда концепция однородной точки должна иметь больше смысла.

Когда дело доходит до реализации этой функции в C ++, обычно есть две школы, которые решают эту проблему.Некоторым разработчикам нравится код для умножения точки на матрицу, чтобы всегда вычислять значение для w ‘и делить координаты преобразованных точек на значение w’, если оно отличается от 1. Однако это полезно только тогда, когда мы умножаем точки на матрицы проекции, что встречается не так часто (особенно в трассировщиках лучей). Это может закончиться тем, что в 99% случаев вычисление w ‘и проверка, отличается ли оно от 1, являются пустой тратой времени ЦП. Можно игнорировать w и w ‘все вместе и всегда предполагать, что код умножения точечной матрицы будет использоваться с матрицами, четвертый столбец которых всегда установлен в (0, 0, 0, 1).Имея дело с особым случаем матриц проекции, вы можете придумать другую конкретную функцию, которая будет вычислять w ‘и делить x’ y ‘и z’ на значение w. Вы можете выбрать между универсальным, но не полностью оптимизированным решением, и более оптимизированным решением, для которого требуется хотя бы две функции вместо одной. Для ясности мы предоставим здесь реализацию для первого решения:

void multVecMatrix (const Vec3 & src, Vec3 & dst) const { dst.x = src.x * m [0] [0] + src.y * m [1] [0] + src.z * m [2] [0] + m [3] [0]; dst.y = src.x * m [0] [1] + src.y * m [1] [1] + src.z * m [2] [1] + m [3] [1]; dst.z = src.x * m [0] [2] + src.y * m [1] [2] + src.z * m [2] [2] + m [3] [2]; T w = src.x * m [0] [3] + src.y * m [1] [3] + src.z * m [2] [3] + m [3] [3]; if (w! = 1 && w! = 0) { dst.x = х / ш; dst.y = y / w; dst.z = z / w; } }

Преобразование векторов

Векторы как-то проще преобразовать, чем точки.Векторы, как мы сказали в преамбуле этого урока, представляют направление, тогда как точки представляют положение в пространстве. Таким образом, векторы не нуждаются в переводе , потому что их положение фактически бессмысленно. В случае векторов нас интересует только направление, в котором они указывают, и, в конечном итоге, их длина, которая иногда является информацией, которая нам нужна для решения геометрических задач или задач затенения. Векторы можно преобразовать так же, как мы преобразовали точку, но мы можем удалить часть кода, отвечающую за бит преобразования.Код, используемый для преобразования векторов, выглядит следующим образом (сравните его с кодом для преобразования точек).

V’.x = V.x * M00 + V.y * M10 + V.z * M20; V’.y = V.x * M01 + V.y * M11 + V.z * M21; V’.z = V.x * M02 + V.y * M12 + V.z * M22;

Вот код, преобразующий векторы:

void multDirMatrix (const Vec3 & src, Vec3 & dst) const { dst.x = src.x * m [0] [0] + src.y * m [1] [0] + src.z * m [2] [0]; dst.y = src.x * m [0] [1] + src.y * m [1] [1] + src.z * m [2] [1]; dst.z = src.x * m [0] [2] + src.y * m [1] [2] + src.z * m [2] [2]; }

Преобразование нормалей

Как ни странно это звучит, вы можете подумать, что нормали подобны векторам и могут быть преобразованы с помощью того же кода. На самом деле это не так просто, и мы объясним почему в главе о преобразовании нормалей.

Заключение

В этой главе мы узнали, почему мы используем матрицы [4×4], а не [3×3].Коэффициенты \ (c_ {30} \) \ (c_ {31} \) и \ (c_ {32} \) содержат значения сдвига. Теперь, когда матрица имеет размер [4×4], нам нужно увеличить размер точки, добавив дополнительную координату. Мы можем сделать это, неявно рассматривая точки как точки Homegenous, но чтобы продолжать использовать их в декартовой системе координат (как декартовы точки), мы должны быть уверены, что w, эта четвертая координата всегда установлена ​​в 1. Большую часть времени матрицы, которые мы Использование для преобразования точки будет иметь четвертый столбец, установленный на (0, 0, 0, 1), и с этими матрицами значение w ‘всегда должно быть 1.Однако в особых случаях (матрица проекции, сдвиговое преобразование) значение w ‘может отличаться от 1, и в этом случае вам нужно будет его нормализовать (мы разделили w’ на себя), что также требует деления других преобразованных координат x ‘, y ‘и z’ по w ‘.

Матрицы — не единственный метод «кодирования» или хранения преобразований. Вы также можете, например, представить вращение, используя метод, первоначально предложенный Эйлером. Идея состоит в том, чтобы определить поворот в этом случае как вектор и угол, представляющий поворот вокруг этого вектора.Вы также можете использовать технику, разработанную Бенджамином Олинде Родригесом. Для оси \ (\ hat r \), угла \ (\ theta \) и точки \ (p \) вращение задается следующим уравнением: $$ R (\ hat r, \ theta, p) = p \ cos \ theta + (\ hat r \ times p) \ sin \ theta + \ hat r (\ hat r \ cdot p) (1 — \ cos \ тета). $$ Хотя это и необычно, оба метода время от времени используются для решения задач в компьютерной графике. Вращения в компьютерной графике также обычно выполняются с использованием кватернионов . Сами матрицы имеют определенные ограничения, особенно когда речь идет о повороте на угол более 360 градусов.Это может привести к проблеме, известной как блокировка кардана. Матрицы также сложно интерполировать, что часто требуется при рендеринге для вычисления размытия объектов при движении. По этой причине кватернионы, как правило, предпочтительны, хотя их сложнее понять. Урок посвящен только теме кватернионов [ссылка].

Вектор координат

Марко Табога, доктор философии

Ранее мы предоставили два определения векторного пространства:

  • неформальное определение: вектор — это конечный массив чисел, и набор таких массивы называется векторным пространством тогда и только тогда, когда оно закрыто относительно взять линейный комбинации;

  • формальное определение: векторное пространство — это набор, снабженный двумя операциями, называется сложением векторов и скалярным умножением, которые удовлетворяют ряду аксиомы.

Мы также объяснили, что более простое неформальное определение идеально совместим с более формальным определением, как набор числовых массивов удовлетворяет всем свойствам векторного пространства при условии, что сложение векторов и скалярное умножение определены обычным образом, и что множество замкнуты относительно линейных комбинаций.

Теперь мы вводим новую концепцию координатного вектора, которая делает два определения почти эквивалентны: если мы имеем дело с абстрактным вектором пространство, но его размерность конечна, и мы можем определить основу для пробел, то мы можем записать каждый вектор как линейную комбинацию базиса; в виде как следствие, мы можем представить вектор в виде массива, называемого координатой вектор, содержащий коэффициенты линейной комбинации.Как только у нас есть Получив это простое представление, мы можем применить обычные правила матрицы алгебры к координатным векторам, даже если мы имеем дело с абстрактным векторное пространство. Это не только очень удобно, но и стирает различия. между двумя подходами к определению векторов и векторных пространств (по крайней мере, для конечномерный случай).

Определение

Теперь мы готовы дать определение координатному вектору.

Обратите внимание, что уникальность скаляров гарантируется уникальность представления с точки зрения основы.

Сложение векторов координат

Сложение двух векторов можно осуществить, выполнив обычную операция сложения вектора на соответствующие им координатные векторы.

Проба

Умножение координатных векторов на скаляры

Умножение вектора на скаляр можно выполнить, выполнив обычная работа умножение скаляром на его координатном векторе.

Проба

Числовые массивы — это векторы координат относительно каноническая основа

Когда элементы линейного пространства являются одномерными массивами чисел (векторами в простейшем смысле член), то они совпадают со своими векторами координат относительно стандартная основа.Например, пусть быть пространством для всех векторы-столбцы. Позволять быть его каноническим основанием, где вектор, все элементы которого , кроме -й, что равно : Брать любой Затем, совпадает со своим координатным вектором относительно базиса , тот это потому что

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с объясненными решениями.

Упражнение 1

Позволять — векторное пространство всех многочленов третьего порядка.Выполните добавление два полиномы используя свои координатные векторы относительно baseCheck что результат будет таким же, как если бы вы суммировали два полинома напрямую.

Решение

Упражнение 2

Позволять быть пространством для всех векторов. Рассмотрим основу где найти вектор координат с уважение к данной основе.

Решение

У нас есть thatTherefore, вектор координат является

Как цитировать

Укажите как:

Табога, Марко (2017).«Координатный вектор», Лекции по матричной алгебре. https://www.statlect.com/matrix-algebra/coordinate-vector.

Как умножить вектор на число

Если одну из двух крайних точек произвольного отрезка можно назвать начальной, то этот отрезок следует называть вектором. Отправной точкой считается точка приложения вектора, а длина отрезка — его длина или модуль. С векторами можно выполнять различные операции, включая умножение на произвольное число.

Инструкция по эксплуатации

1

Определите длину (модуль) вектора, который нужно умножить на число. Если этот вектор показан на чертеже, просто измерьте расстояние между его начальной и конечной точками.

2

Если решение необходимо отобразить на бумаге, умножьте длину (модуль) вектора, измеренного на предыдущем шаге, на абсолютное значение числа, указанного в начальных условиях задачи. Например, если длина вектора 5 см, а число, которое нужно умножить, будет -7.5, затем умножьте 5 на 7,5 (5 * 7,5 = 37,5 см).

3

Отобразите результат на бумаге. В этом случае начальная точка будет совпадать с начальной, а конечная точка должна быть отделена от нее расстоянием, полученным на предыдущем шаге. Если число, на которое умножается этот направленный сегмент, отрицательное, то направление результирующего вектора будет обратным, а если оно положительное, просто увеличьте существующий сегмент до новой длины.

4

Если начальная и конечная точки исходного вектора заданы в некоторой системе координат, то проще всего сначала определить координаты новой конечной точки.Для этого определите длины выступов на каждой из координатных осей и индивидуально умножьте их на заданное число. Например, пусть направленный отрезок AB в трехмерной системе координат определяется начальной точкой A (1; 4; 5) и конечной точкой B (3; 5; 7), и умножьте его на число 3. Тогда длина проекции на ось X будет 3-1 = 2, и после умножения на 3 она должна стать равной 2 * 3 = 6. Аналогичным образом рассчитайте новые длины проекции по осям Y и Z: (5- 4) * 3 = 3 и (7-5) * 3 = 6.Затем вычисляем координаты новой конечной точки (C), складывая полученные значения проекции с координатами начальной точки: 1 + 6 = 7, 4 + 3 = 7 и 5 + 6 = 11. Т.е. результирующий вектор AC будет образован начальной точкой A (1; 4; 5) и конечной точкой C (7; 7; 11).

.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *