Site Loader

Содержание

Уравнения Максвелла в интегральной форме, с примерами

Система уравнений Максвелла является обобщением основных законов об электрических и электромагнитных явлениях. Она описывает абсолютно все электромагнитные явления. Являясь основой теории электромагнитного поля, эта система уравнений позволяет решать задачи, связанные с отысканием электрических и магнитных полей, создаваемых заданным распределением электрических зарядов и токов. Уравнения Максвелла были отправной точкой для создания общей теории относительности Эйнштейна. В теории Максвелла раскрывается электромагнитная природа света. Уравнения сформулированы Дж. Максвеллом в шестидесятых годах 19 века на основе обобщения эмпирических законов и развития идей ученых, исследовавших электромагнитные явления до него (Законы Кулона, Био – Савара, Ампера и, в особенности, исследования Фарадея). Сам Максвелл записал 20 уравнений с 20 неизвестными в дифференциальной форме, которые позднее были преобразованы. Современная форма Максвелла дана немецким физиком Г. Герцем и английским физиком О. Хевисайдом. Запишем уравнения используя систему единиц Гаусса.

Система уравнений Максвелла

В состав системы уравнений Максвелла входят четыре уравнения.

Первое уравнение:

   

Это Закон Фарадея (Закон электромагнитной индукции).

где -напряженность электрического поля, -вектор магнитной индукции, c – скорость света в вакууме.

Это уравнение говорит, о том, что ротор напряженности электрического поля равен потоку (т.е. скорости изменения во времени) вектора магнитной индукции сквозь этот контур.

Уравнение (1.1) представляет собой первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

Это же уравнение можно записать в интегральной форме, тогда оно примет следующий вид:

   

или

   

где – проекция на нормаль к площадке dS вектора магнитной индукции,

– магнитный поток.

рис. 2.

Циркуляция вектора напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура L (ЭДС индукции) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность, ограниченную данным контуром. Знак минус по правилу Ленца означает направление индукционного тока.

Согласно Максвеллу закон электромагнитной индукции (а это именно он), справедлив для любого замкнутого контура, произвольно выбранного в переменном магнитном поле.

Смысл этого уравнения: Переменное магнитное поле в любой точке пространства создает вихревое электрическое поле.

Второе уравнение Максвелла:

   

где -вектор магнитной напряженности, — плотность электрического тока, — вектор электрического смещения.

Данное уравнение Максвелла является обобщение эмпирического закона Био- Савара о том, что магнитные поля возбуждаются электрическими токами. Смысл второго уравнения в том, что источником возникновения вихревого магнитного поля является также переменное электрическое поле, магнитное действие которого характеризуется током смещения. ( -плотность тока смещения).

В интегральном виде второе уравнение Максвелла (Теорема о циркуляции магнитного поля) представлено следующим образом:

   

или

   

Циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по произвольному контуру равна алгебраической сумме токов проводимости и тока смещения, сцепленных с контуром.

Когда Максвелл вводил уравнения (более ста лет тому назад!), природа электромагнитного поля была не понятна. В настоящее время природа поля выяснена, и стало ясно, что может быть названo «током» лишь формально. По pяду расчетных соображений такое название, не придавая ему прямого физического смысла, целесообразно сохранить, что в электротехнике и делается. По этой же причине вектор D, входящий в выражение для тока смещения, называют вектором электрического смещения.

Помимо первых двух уравнений в систему уравнений Максвелла входит теорема Гаусса-Остроградского для электрического и магнитного полей:

   

и

   

где —плотность электрического заряда.

Что в интегральном виде представляет собой следующее:

   

и

   

где -поток электрического смещения — поток магнитной индукции сквозь замкнутую поверхность, охватывающую свободный заряд q.

Смысл уравнения 3.2. Электрический заряд – источник электрической индукции.

Уравнение 4.2 выражает факт отсутствия свободных магнитных зарядов.

Полная система уравнений Максвелла в дифференциальном виде (характеризует поле в каждой точке пространства):

   

   

   

   

Полная система уравнений Максвелла в интегральном виде

Полная система уравнений Максвелла в интегральном виде (интегральная форма записи уравнений облегчает их физическую интерпретацию так ка делает их визуально ближе к известным эмпирическим законам):

   

   

   

   

Систему уравнений Максвелла дополняют «материальными уравнениями», связывающими векторы c величинами, описывающими электрические и магнитные свойства среды.

   

   

   

где – относительная диэлектрическая проницаемость, – относительная магнитная проницаемость, -удельная электропроводность, – электрическая постоянная, – магнитная постоянная. Среда предполагается изотропной, неферрромагнитной, несегнетоэлектрической.

На границе раздела двух сред выполняются граничные условия:

   

   

где — поверхностная плотность свободных зарядов, n- единичный вектор нормали к границе раздела, проведенный из среды 2 в 1, единичный вектор, касательный к границе, — проекция вектора плотности поверхностных токов проводимости на единичный вектор.

Данные уравнения выражают непрерывность нормальных составляющих вектора магнитной индукции и скачок нормальных составляющих вектора смещения. Непрерывность касательных составляющих вектора напряженностей электрического поля на границе раздела и скачок этих составляющих для напряженности магнитного поля.

Примеры решения задач

Уравнения Максвелла в интегральной форме

Система уравнений Максвелла является обобщением основных законов электрических и электромагнитных явлений. Она описывает абсолютно все электромагнитные явления. Основываясь на теории электромагнитного поля, эта система уравнений позволяет решать задачи, связанные с нахождением электрических и магнитных полей, создаваемых данным распределением электрических зарядов и токов. Уравнения Максвелла были отправной точкой для создания общей теории относительности Эйнштейна. Теория Максвелла раскрывает электромагнитную природу света. Уравнения были сформулированы Дж. Максвелом в шестидесятых годах XIX века на основе обобщения эмпирических законов и развития идей ученых, изучавших перед ним электромагнитные явления (законы Кулона, Био-Савара, Ампера и в частности, исследование Фарадея). Сам Максвелл записал 20 уравнений с 20 неизвестными в дифференциальной форме, которые впоследствии были преобразованы. Современная форма Максвелла дана немецким физиком Г. Герцем и английским физиком О. Хевисайдом. Запишем уравнения с использованием системы Гаусса единиц.

Система уравнений Максвелла

В состав системы уравнений Максвелла входят четыре уравнения.

Первое уравнение:

Это закон Фарадея (закон электромагнитной индукции).

где — напряженность электрического поля, — вектор магнитной индукции, c — скорость света в вакууме.

Это уравнение говорит, что ротор напряженности электрического поля равен скорости потока (т.

Е. Скорости изменения во времени) вектора магнитной индукции через эту схему.

Уравнение (1.1) является первым уравнением Максвелла в дифференциальной форме.

Одно и то же уравнение можно записать в интегральной форме, тогда оно примет следующий вид:

или же

где Bn — проекция на нормаль к площади dS вектора магнитной индукции,

— магнитный поток.

рис 2

Циркуляция вектора напряженности электрического поля вдоль замкнутой петли L (индукционная э.д.с.) определяется скоростью изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность, ограниченную данной схемой. Знак минус согласно правилу Lenc означает направление тока индукции.

Согласно Максвеллу, закон электромагнитной индукции (и это именно он) справедлив для любой замкнутой петли, произвольно выбранной в переменном магнитном поле.

Смысл этого уравнения: переменное магнитное поле в любой точке пространства создает вихревое электрическое поле.

Второе уравнение Максвелла:

где — вектор магнитной интенсивности, плотность электрического тока, — вектор электрического смещения.

Это уравнение Максвелла является обобщением эмпирического закона Би-Савара, что магнитные поля возбуждаются электрическими токами. Смысл второго уравнения состоит в том, что источником вихревого магнитного поля является также переменное электрическое поле, магнитное действие которого характеризуется током смещения. ( плотность тока смещения).

В интегральной форме второе уравнение Максвелла (теорема о циркуляции магнитного поля) представляется следующим образом:

или же

Циркуляция вектора магнитного поля вдоль произвольного контура равна алгебраической сумме токов проводимости и тока смещения, связанного с контуром.

Когда Максвелл вводил уравнения (более ста лет тому назад!), природа электромагнитного поля была не понятна. В настоящее время природа поля выяснена, и стало ясно, что может быть названo «током» лишь формально. По pяду расчетных соображений такое название, не придавая ему прямого физического смысла, целесообразно сохранить, что в электротехнике и делается.

По этой же причине вектор D, входящий в выражение для тока смещения, называют вектором электрического смещения.

Помимо первых двух уравнений в систему уравнений Максвелла входит теорема Гаусса-Остроградского для электрического и магнитного полей:

и

где —плотность электрического заряда.

Что в интегральном виде представляет собой следующее:

и

где поток электрического смещения — поток магнитной индукции сквозь замкнутую поверхность, охватывающую свободный заряд q.

Смысл уравнения 3.2. Электрический заряд – источник электрической индукции.

Уравнение 4.2 выражает факт отсутствия свободных магнитных зарядов.

Полная система уравнений Максвелла в дифференциальном виде (характеризует поле в каждой точке пространства):

Полная система уравнений Максвелла в интегральном виде

Полная система уравнений Максвелла в интегральном виде (интегральная форма записи уравнений облегчает их физическую интерпретацию так ка делает их визуально ближе к известным эмпирическим законам):

Систему уравнений Максвелла дополняют «материальными уравнениями», связывающими векторы c величинами, описывающими электрические и магнитные свойства среды.

где – относительная диэлектрическая проницаемость, – относительная магнитная проницаемость, -удельная электропроводность, – электрическая постоянная, — магнитная постоянная. Среда предполагается изотропной, неферрромагнитной, несегнетоэлектрической.

На границе раздела двух сред выполняются граничные условия:

где — поверхностная плотность свободных зарядов, n- единичный вектор нормали к границе раздела, проведенный из среды 2 в 1, — единичный вектор, касательный к границе, — проекция вектора плотности поверхностных токов проводимости на единичный вектор.

Данные уравнения выражают непрерывность нормальных составляющих вектора магнитной индукции и скачок нормальных составляющих вектора смещения. Непрерывность касательных составляющих вектора напряженностей электрического поля на границе раздела и скачок этих составляющих для напряженности магнитного поля.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

  • Задание

    Из системы уравнений Максвелла получить уравнения непрерывности токов и закон сохранения заряда.

  • Решение

    Используем уравнение:

    Проведем для него операцию дивергенции ( или ). Получим:

    из системы уравнений Максвелла знаем, что

    Подставим (с) в (b) получим:

    отсюда следует

    или в интегральной форме:

    Соответственно для замкнутых изолированных областей получим:

    Это уравнение непрерывности для тока, содержащее в себе закон сохранения заряда – один из фундаментальных принципов, который подтверждается экспериментом.

    ПРИМЕР 2

  • Задание

    Доказать, что сумма токов проводимости и тока смещения, сцепленных с контуром, действительно непрерывна и, следовательно, полный ток, сцепленный с любым контуром, не зависит от выбора поверхности, натянутой на этот контур.

  • Доказательство

    Допустим, что в произвольном магнитном поле на некоторый контур натянуты две произвольные поверхности S1 и S2. (рис. 3)

    рис. 3.

    Знак вектора потока , сцепленного с контуром, связывается правилом правого винта с направлением обхода контура L. В частности, пpи том направлении силовых линий, которое изображено на поток D сцепленный, с контуром для поверхностей, S1 и S2 нужно считать положительным. Рассмотрим замкнутую полость, ограниченную поверхностью S1 + S2. В соответствии с теоремой Гаусса для нее можно записать уравнение:

    Здесь q — сумма зарядов, попадающих в рассматриваемую полость, ограниченную поверхностью S1 + S2.Продифференцируем обе части этого уравнения по времени:

    Преобразуем раздельно левую и правую части этого уравнения. Поток вектора D сквозь замкнутую поверхность можно представить следующим образом:

    Линии векторного поля D входят в замкнутую полость через поверхность S2. По определению они создают отрицательный поток. Если рассматривать поток, сцепленный с контуром, то, используя правило знаков, его необходимо считать положительным. Следовательно, выражение (c) применительно к контуру, можно записать так:

    Уясним, что собой представляет правая часть уравнения (b). Производная от полного заряда, заключенного в полости, стоящая в правой части (b), показывает, на какую величину изменяется заряд в полости в секунду. За счет чего может изменяться заряд в полости? В силу закона сохранения заряда он может изменяться только за счет неравных токов входящих и выходящих из нее. Пpи равенстве этих токов полный заряд в полости оставался бы постоянным. Причём, токи, входящие в полость, следует считать положительными (они увеличивают заряд в полости), а токи, выходящие из нее, — отрицательными. Таким образом, уравнение (b) можно представить следующим образом:

    или

  • Что и требовалось доказать.
  • 5)Система уравнений Максвелла в интегральной форме и физический смысл входящих в неё уравнений. Электромагнитное поле как единство электрического и магнитного полей.

    В 60-х годах Д.К. Максвелл разработал законченную теорию единого электромагнитного поля. Теория Максвелла была обобщением законов электростатики и электродинамики. В ней решается основная задача электродинамики: найти характеристики электромагнитного поля заданной системы электрических зарядов и токов.

    Математическим выражением теории Максвелла служат 4 уравнения Максвелла, которые принято записывать в двух формах: интегральной и дифференциальной.

    Ур-я в интегральной форме выражают соотношения, справедливые для мысленно проведенных в электромагнитном поле неподвижных замкнутых контуров и поверхностей.

    1 уравнение Максвелла получилось, когда он обобщил закон электромагнитной индукции.

    Он выявил, что с переменным магнитным полем неразрывно связано вихревое электрическое поле, которое не зависит от того, находятся в нем проводники или нет.

    Физический смысл: Циркуляция вектора Е напряженности электрического поля по произвольному неподвижному замкнутому контуру равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока через поверхность S, натянутую на контур.

    2 уравнение Максвелла получилось, когда он обобщил закон полного тока, добавив к имеющемуся уравнению ток смещения.

    Это обобщенная теорема о циркуляции магнитного вектора.

    Физический смысл: циркуляция вектора Н напряженности магнитного поля по произвольному неподвижному замкнутому контуру L равна сумме макротоков и тока смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур.

    3 и 4 уравнения Максвелла служат обобщением теоремы Остроградского-Гаусса(или просто Гаусса) для электростатического и магнитного поля.

    ρ – объемная плотность свободных зарядов.

    Физический смысл: поток смещения через произвольную замкнутую поверхность равен суммарному свободному заряду, который находится внутри области, ограниченной этой поверхностью.

    Физический смысл: магнитный поток через произвольную замкнутую поверхность равен нулю.

    Теория Максвелла показывает, что эл. и магн. поля тесно взаимосвязаны и являются проявлением единого электромагнитного поля.

    6)Гармонические колебания и их характеристики: период, частота, циклическая частота, амплитуда, фаза.

    Колебаниями называются процессы (движения или изменения состояния), в той или иной степени повторяющиеся во времени.

    В зависимости от физической природы колебательного процесса различают: механические колебания( маятников, струн, качка корабля, волнение моря и т.п.), электромагнитные колебания (колебания тока в цепи, колебания векторов Е и В электромагнитного поля и т.п.), электромеханические.

    Периодические колебания – движение, при котором значение какой-либо физической величины периодически изменяется со временем. Если значение изменяющейся со временем физ. величины можно описать по закону sin или cos, то такое колебательное движение называется гармоническим. Характерным признаком гармонических колебаний является наличие возвращающей силы F=-kx, которая называется квазиупругой. Эта сила направлена к положению равновесия.

    Свободные колебания – колебания, которые происходят в отсутствие переменных воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от состояния равновесия. Происходят под действием внутренних сил.

    Вынужденные колебания – колебания, возникающие в системе под влиянием переменного внешнего воздействия. Происходят под действием внешних сил (например колебания силы тока, вызываемые переменной э.д.с.).

    Период колебаний – время, за которое система совершает одно полное колебание.

    Частота колебаний – число полных колебаний, совершающихся в единицу времени.

    Общий вид гармонических колебаний:

    S(t) = Asin(ωt + φ0),

    Где ω = 2Пv = 2П/Т – циклическая частота колебаний – число полных колебаний, совершающихся на 2П единиц времени.

    А – амплитуда колебаний – максимальное значение колеблющейся величины.

    Значение S в произвольный момент времени t определяется значением фазы колебаний. Это значение аргумента в функции. Ф = ωt + φ0.

    Величина φ0 представляет собой начальную фазу колебаний, т.е. значение фазы в момент t = 0 начала отсчета времени.

    7)Свободные незатухающие механические колебания. 2) = const.

    Примерами таких систем, совершающие свободные незатухающие гармонические колебания могут служить: пружинный маятник, физический маятник, математический маятник и др.

    Пружинный маятник ( линейный гармонический осциллятор) – материальная точка массы m, подвешенный на абсолютно упругой пружине( k – коэф., характеризующий упругие свойства пружины).

    На такой маятник по второму закону Ньютона действует сила Fупр = ma. , где Fупр = — kx.

    Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. F=mg.

    Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме

    Введение тока смещения позволило Дж. Максвеллу создать теорию, которая объяснила все известные на тот момент явления из области электромагнетизма и позволила выдвинуть ряд новых гипотез, которые позднее были подтверждены.

    В основу данной теории легли уравнения Максвелла, которые в электромагнетизме играют такую же роль, как начала в термодинамике или законы Ньютона в классической механике.

    Уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

    В настоящей интерпретации система уравнений Максвелла имеет четыре структурных векторных уравнения:

    Первое уравнение устанавливает связь между полным током (суммой тока проводимости и током смещения) и магнитным полем, которое они вызывают.

    Второе уравнение является выражением закона электромагнитной индукции в интерпретации Максвелла (переменное магнитное поле — один из источников возникновения электрического поля).

    Третье уравнение — указывает на факт отсутствия магнитных зарядов.

    Четвертое уравнение говорит о том, что источниками электрического поля являются электрические заряды.

    Уравнения (1) — (4) являются уравнениями Максвелла в дифференциальной форме. Каждое из векторных уравнений эквивалентно трем скалярным уравнениям, которые связывают компоненты векторов в правых и левых частях выражений.

    Для того, чтобы применять систему уравнений Максвелла для расчета конкретных полей, уравнения данной системы дополняются материальными уравнениями, которые связывают векторы $\overrightarrow{D}\ и\ \overrightarrow{j}$ c вектором $\overrightarrow{E}$, а вектор $\overrightarrow{H}$ c вектором $\overrightarrow{B}$. Эти равнения имеют вид:

    где величины $\varepsilon $,$\ \mu $, $\sigma $ — материальные постоянные, характеризующие свойства среды.

    Если уравнения (1) — (4) являются фундаментальными, то относительно уравнений (5) надо отметить, что они выполняются совсем не всегда. Так, если речь идет о нелинейных явлениях, получение материальных уравнений составляет отдельную научную задачу.

    Уравнения Максвелла в интегральной форме

    Систему структурных уравнений Максвелла можно представить в интегральной форме. Так, если проинтегрировать уравнение (1) по произвольной поверхности $S$:

    По теореме Стокса левая часть выражения (6) преобразуется к виду:

    где интеграл в правой части берется по контуру $L$, который ограничивает поверхность $S$. Если считать, что контур и поверхность неподвижны, то операции дифференцирования по времени и интегрирования по поверхности можно поменять местами в выражении (6) левой части, получим:

    здесь интеграл $\int\limits_S{\overrightarrow{D}d\overrightarrow{S}}$ является функцией только от времени, поэтому можно заменить частную производную обычной. Интегрируя уравнение (2) подобным образом, получим второе уравнение системы Максвелла:

    Если проинтегрировать уравнение (3) по объему $V$, и использовать для преобразования левой части теорему Остроградского — Гаусса в интеграл по замкнутой поверхности $S$, которая ограничивает объем $V$, то получим:

    Аналогичную процедуру проводят с уравнением (4). Получается:

    Так получают систему уравнений Максвелла в интегральной форме:

    Замечание

    Уравнения Максвелла применимы к поверхностям любого размера. 2,\ $где $C=const.$ Запишите функцию тока смещения $j_{sm}\left(r\right),$ где $r$ — расстояние от оси соленоида.

    Решение:

    По определению, плотность тока смещения можно записать как:

    \[j_{sm}=\frac{\partial D}{\partial t}\left(1.1\right).\]

    Используя одно из уравнений системы Максвелла:

    \[\int\limits_S{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l}}=-\int\limits_S{\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}d\overrightarrow{S}}\ (1.2),\]

    найдем напряженность электрического поля, которое порождается переменным магнитным полем, а зная связь напряжённости электрического поля и электрического смещения:

    \[\overrightarrow{D}=\varepsilon {\varepsilon }_0\overrightarrow{E}(1.3)\]

    получим функцию $D(r)$.

    Итак, используя уравнение изменения индукции магнитного поля из условий задачи, найдем частную производную $\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}:$

    \[\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}=2Ct\left(1. 2}{r}.\]

    Для $r=R$, из (1.2) — (1.4) найдем ток смещения:

    \[E=-RCt\to D=-C\varepsilon {\varepsilon }_0Rt\to j_{sm}=-C\varepsilon {\varepsilon }_0R.\]

    Ответ: $j_{sm}=-C\varepsilon {\varepsilon }_0r\ \left(rR\right),\ j_{sm}=-C\varepsilon {\varepsilon }_0R\ \left(r=R\right).$

    Пример 2

    Задание: Запишите систему уравнений Максвелла для стационарных полей ($\overrightarrow{E}=const,\overrightarrow{H}=const\ $) в интегральной форме.

    Решение:

    В том случае, если поля стационарны, система уравнений максвелла распадается на две группы независимых уравнений. Первую группу составляют уравнения электростатики:

    \[\int\limits_S{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{l}}=0\ \ и\] \[\oint\limits_S{\overrightarrow{D}d\overrightarrow{S}=\int\limits_V{\rho }dV.}\]

    Вторая группа — уравнения магнитостатики:

    \[\int\limits_L{\overrightarrow{H}d\overrightarrow{l}}=\int\limits_S{\overrightarrow{j}d\overrightarrow{S}}\ и\] \[\oint\limits_S{\overrightarrow{B}d\overrightarrow{S}=0}. \]

    Уравнения Максвелла — презентация онлайн

    Похожие презентации:

    Уравнения и электромагнитная теория Максвелла

    Свойства уравнений Максвелла

    Уравнения Максвелла

    Уравнения Максвелла

    Уравнения Максвелла

    Уравнения Максвелла

    Уравнения Максвелла

    Уравнения Максвелла

    Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

    Явление электромагнитной индукции. Уравнения Максвелла

    УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
    Гипотеза Максвелла о вихревом электрическом поле. 1-ое
    уравнение Максвелла.
    При электромагнитной индукции в замкнутом проводящем
    контуре возникает ЭДС индукции εi
    Следовательно, имеются сторонние силы (силы не кулоновской
    природы)
    Джеймс Клерк
    Максвелл
    (1831-1879)
    Какова природа этих сторонних сил?
    1.
    I
    e
    f LII
    l
    V
    Движущийся проводник
    Роль сторонней силы – составляющая силы Лоренца
    2. Конфигурация контура не изменяется
    (проводник неподвижен), магнитный
    поток через поверхность, ограниченную
    контуром, меняется за счёт изменения
    магнитного поля: само- и взаимная
    индукция, движение магнита.
    ind

    dt
    Какая сторонняя сила
    создаёт ЭДС в этом
    случае??
    Гипотеза Максвелла о вихревом электрическом поле. 1-ое
    уравнение Максвелла.
    2. Магнитный поток через поверхность,
    Какая сторонняя сила
    создаёт ЭДС в этом
    ограниченную контуром, меняется за
    счёт изменения магнитного поля.
    случае
    εi??
    Максвелл:
    изменяющееся во времени магнитное поле приводит к возникновению вихревого (не
    потенциального) электрического поля, существование которого не зависит от наличия
    проводников
    напряженность вихревого электрического поля E * в точке :
    по аналогии с определением напряженности
    электростатического поля
    F*
    – сила, действующая со стороны вихревого электрического поля на
    точечный заряд q, помещенный в данную точку.
    В проводнике, помещенном в вихревое электрическое поле, возникает индукционный ток движение свободных носителей заряда под действием сил вихревого электрического поля.
    F*
    i
    — сторонняя сила
    Aстор
    q
    1
    Fl*dl
    ql
    i El*dl
    l
    Гипотеза Максвелла о вихревом электрическом поле. 1-ое
    уравнение Максвелла.
    i El*dl
    Bn f (t , x, y, z )
    l
    d
    i
    dt
    Bn dS
    d
    l E dl dt Bn dS
    S
    *
    l
    Bn
    l E dl t dS
    S
    *
    l
    S
    Максвелл: контур ℓ – не обязательно проводящий!
    Это может быть воображаемый, мысленный контур.
    Переменное магнитное поле приводит к появлению вихревого электрического
    поля независимо от того, в какой среде это происходит.
    Например, если магнитное поле меняется в вакууме, то вихревое электрическое
    поле существует в вакууме (как и кулоновское)
    Гипотеза Максвелла о вихревом электрическом поле. 1-ое уравнение Максвелла.
    Особенности вихревого электрического поля
    ВИХРЕВОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
    Bn
    E
    dl
    l
    S t dS ≠
    *
    l
    ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
    кул
    E
    l dl
    0
    l
    Поле характеризуется потенциалом
    Нельзя ввести потенциал
    Источником вихрев. электр. поля
    не являются электр. заряды
    ВСЕГДА:
    *
    E
    n dS
    =0
    S
    Силовые линии вихревого
    электр. поля замкнуты (не
    имеют начала и конца)
    =0
    Теорема
    Гаусса
    Источником потенц. электр. поля
    являются электр. заряды
    E
    кул
    n
    S
    dS
    1
    dV ≠ 0
    0 V
    Силовые линии потенц. электр.
    поля начинаются и заканчиваются
    на электрических зарядах
    1-ое уравнение Максвелла
    +
    кул
    E
    l dl 0
    l
    Bn
    l E dl t dS
    S
    *
    l
    Bn
    l El dl S t dS
    El E
    кул
    l
    E
    кул
    n
    dS
    S
    +
    *
    E
    n dS 0
    S
    E
    *
    l
    1
    проекция напряженности результирующего электрического
    поля на направление элементарного перемещения вдоль
    замкнутого контура
    dV
    0 V
    1-ое уравнение Максвелла
    1
    E dS dV
    n
    S
    0 V
    D dS dV
    n
    S
    3-е уравнение Максвелла
    V
    2-е ур-е Максвелла
    Ток смещения
    Рассмотрим заряд плоского конденсатора:
    1
    +
    dD
    dt

    2
    q cU
    С
    0 S
    d
    Индукция
    электр. поля
    U
    D
    Ed 0 ES DS
    q DS
    j
    Ток в проводах
    +
    Максвелл:
    jСМ
    D
    t
    I СМ
    I S
    dD
    S
    dt
    dD
    dt
    Размерность
    силы тока
    ТОК СМЕЩЕНИЯ (в случае однородного поля)
    ПЛОТНОСТЬ ТОКА СМЕЩЕНИЯ
    В общем случае неоднородного электрического поля (как обычно) I СМ
    I СМ
    Dn
    D
    dS (
    n ) dS
    t
    t
    S
    S
    j dS
    n
    S
    Плотность тока смещения
    Покажем: направления токов проводимости и смещения совпадают
    Рассмотрим заряд плоского
    конденсатора:
    1
    +
    dD
    dt

    Рассмотрим разаряд плоского конденсатора:
    +
    dD
    dt

    2
    j
    j
    +
    +

    D
    D
    dD
    dt
    j
    На участке 1-2 j и jСМ совпадают
    dD
    0
    dt
    по направлению

    dD
    0
    dt
    dD
    dt
    j
    На участке 1-2 j и jСМ совпадают
    по направлению
    На границе пластин конденсатора и диэлектрика
    плотность тока проводимости
    dD
    и плотность тока смещения jСМ
    совпадают не только по направлению,
    dt
    но и по величине.
    jСМ
    1
    +
    dD
    dt

    Действительно:
    В плоском конденсаторе
    Ток смещения
    2
    Ток в проводах
    I S
    j
    +

    Поле однородно
    j
    dD
    dt
    dD
    dt
    I
    j
    S
    jСМ j
    Таким образом, линии тока проводимости в проводах на границах обкладок
    непрерывно переходят в линии тока смещения внутри конденсатора
    (независимо от того заряжается или разряжается конденсатор).
    j
    Гипотеза Максвелла
    Ток смещения создает в пространстве
    его окружающем магнитное поле такое
    же,
    как
    и
    магнитное
    поле
    эквивалентного тока проводимости.
    Экспериментальное доказательство существования магнитного поля тока
    смещения
    лампочка
    накаливания
    Лампочка горит!!
    Конденсатор, в переменное
    электрическое поле которого
    помещается тороид
    Источник
    переменного
    напряжения
    Переменный
    ток смещения
    Переменное
    магнитное поле
    d
    i
    dt
    Теорема о циркуляции вектора
    магнитной индукции:
    Постоянный ток
    Bdl 0 I i
    i
    l
    Bdl 0 jn dS
    l
    Циркуляция
    вектора
    магнитной
    индукции по произвольному замкнутому
    контуру равна алгебраической сумме
    токов (полному току), охватываемых
    этим контуром, умноженной на …….
    S
    Равноценны в отношении
    создания магнитного поля
    МАКСВЕЛЛ: полный ток
    Плотность полного тока
    I полн I I СМ
    D
    jполн j jСМ j
    t
    Плотность тока
    проводимости
    Плотность тока
    смещения
    Из всех свойств, присущих
    току
    присуще лишь одно – создавать в
    окружающем пространстве магнитное поле
    2-ое уравнение Максвелла
    Рассмотрим проводящую среду, в которой существуют переменное
    электрическое поле и ток проводимости.
    проводящая среда
    dD
    dt
    j
    D
    jполн j jСМ j
    t
    Теорема о циркуляции вектора
    магнитной индукции:
    D
    l Bdl 0 S ( j t ) n dS
    n
    (l )
    произвольный контур
    В 0 H
    D
    l Hdl S ( j t ) n dS
    2-е уравнение Максвелла
    2-ое уравнение Максвелла
    2-ое уравнение Максвелла справедливо для любой среды, в
    том числе для диэлектрика, вакуума или неоднородной
    среды, включающей в себя проводники и диэлектрики.
    dD
    dt
    Например, в случае вакуума (воздуха)
    n
    (l )
    произвольный контур
    D
    l Bdl 0 S ( t ) n dS
    D
    l Hdl S ( t ) n dS
    Система уравнений Максвелла в интегральной форме
    Дополнив основные факты из области электромагнетизма установлением
    магнитных действий токов смещения, Максвелл написал систему
    фундаментальных уравнений электродинамики.
    1.
    B
    E dl ( t ) dS
    l
    n
    l
    S
    циркуляция вектора напряженности электрического поля
    по произвольному контуру, равна «минус» скорости
    изменения магнитного потока через поверхность,
    ограниченную этим контуром (закон ЭМИ Фарадея).
    D
    ) n dS
    2. H l dl ( j
    t
    l
    S
    3.
    D dS dV
    n
    S
    4.
    V
    B dS 0
    n
    S
    циркуляция вектора напряжённости магнитного
    поля по произвольному контуру равна
    алгебраической сумме токов проводимости и
    токов смещения, охватываемых этим контуром
    (теорема о циркуляции для м.п. +.ток смещения)
    поток вектора электрической индукции через
    произвольную замкнутую поверхность равен
    алгебраической сумме свободных зарядов,
    находящихся внутри этой поверхности (теорема
    Гаусса – закон Кулона)).
    Поток вектора магнитной индукции через
    произвольную замкнутую поверхность равен нулю
    (отсутствие магнитных зарядов)
    Система уравнений Максвелла в интегральной форме
    B
    E
    dl
    1. l (
    ) n dS
    Уравнения Максвелла — это основные
    t
    l
    S
    D
    ) n dS
    2. H l dl ( j
    t
    l
    S
    3.
    D dS dV
    n
    S
    4.
    аксиомы электродинамики полученные
    путём обобщения опытных фактов (их
    нельзя вывести).
    V
    B dS 0
    n
    S
    Из уравнений Максвелла следует возможность существования электромагнитных
    волн.
    Система уравнений Максвелла в интегральной форме
    B
    4 уравнения Максвелла не составляют
    E
    dl
    1. l (
    ) n dS
    полной
    системы
    уравнений
    t
    l
    S
    D
    ) n dS
    2. H l dl ( j
    t
    l
    S
    3.
    D dS dV
    n
    S
    4.
    V
    B dS 0
    n
    электромагнитного поля.
    Уравнения Максвелла не содержат
    данных о свойствах среды.
    Уравнения
    Максвелла
    следует
    дополнить
    соотношениями,
    характеризующими свойства среды –
    «материальными уравнениями»
    S
    D 0 E
    B 0 H
    j E
    Если электромагнитное поле
    не слишком сильное,
    не меняется слишком быстро в о времени и
    резко в пространстве,
    отсутствуют ферромагнетики и
    сегнетоэлектрики,
    материальные уравнения
    Сивухин
    Уравнения Максвелла в
    дифференциальной форме
    Математическое введение к ур-ниям
    Максвелла в дифференциальной форме
    Теоремы Стокса и Остроградского-Гаусса
    Al dl (rotA) n dS
    Т. Стокса
    (l )
    Т. Остроградского Гаусса
    где
    S
    A n dS div A dV
    (S)
    (a )
    (b)
    S – поверхность
    ограниченная контуром l
    V – объём внутри
    замкнутой поверхности S
    V
    A x A y A z
    div A
    x
    y
    dz
    Дивергенция векторного
    (c)
    поля, скаляр
    A z A y
    (rotA ) x
    y
    z
    A x A z
    (rotA ) y
    z
    x
    A y A x
    (rotA ) z
    x
    y
    Ротор векторного поля,
    (d ) вектор
    Пример перехода к дифф. форме.
    Теор. Гаусса (3-е ур-е М.)
    D dS dV
    n
    S
    V
    =
    Т. О.– Г.
    div D dV
    V
    div D dV dV
    V
    div D
    V
    Физ. смысл дивергенции вектора
    ρ = 0, поток через замкн. поверхность =0, нет
    источников
    и стоков, поток не расходится. При этом
    дивергенция характеристика
    div D 0
    расходимости потока
    Закон Фарадея (1-е ур-е Максвелла)
    dB
    (l ) El dl S dt dS
    n
    =
    Т. Стокса
    (rotE ) n dS
    (S )
    dB
    ( S )(rotE ) n dS S dt dS
    n
    B
    rotE
    t
    Уравнения Максвелла
    B
    rotE
    t
    B
    E dl ( t ) dS
    1.
    l
    n
    D
    ) n dS
    2. H l dl ( j
    t
    l
    S
    l
    3.
    S
    div D
    D dS dV
    n
    S
    4.
    D
    rotH jпр
    t
    V
    divB 0
    B dS 0
    n
    S
    Интегральная форма
    Дифференциальная форма
    Материальные уравнения
    D 0 E
    B 0 H
    j E

    English     Русский Правила

    Уравнения Максвелла — формулы и физический смысл » Kupuk.net

    Взаимодействие между электрическими зарядами, обладающими дипольным моментом, характеризуется возникновением электромагнитного поля. Изучает это явление электродинамика. Фундаментальными правилами в этом разделе физики являются уравнения Максвелла. С их помощью можно определить поля, учитывая распределение зарядов и токов. Существует четыре закона, в своё время совершившие переворот в научном мире.

    Основная идея

    Если в замкнутом контуре меняется магнитный поток, то по нему течёт электрический ток. В итоге возникает электродвижущая сила магнитной индукции. Происходит это из-за изменения магнитного поля. Предположим, имеется магнит, у которого поток с течением времени увеличивается. Если в поле поместить замкнутый проводник кольцевого типа, то по правилу Ленца в нём возникнет индукционный ток, противоположный магнитной силе через контур.

    Ток — это направленное движение заряженных частиц. Сила, заставляющая их перемещаться, называется электрическим полем. Появляется она при изменении магнитного потока. Отсюда можно сделать вывод, что электрическое поле существует всегда там, где есть изменяющееся магнитное, при этом оно имеет замкнутую форму. Этот вид силы и называли вихревым полем. Когда вектор магнитной силы возрастает, то увеличивается и вихревое поле, а если убывает, то, соответственно, оно уменьшается.

    Джеймс Клерк Максвелл предположил, что если меняющееся магнитное поле порождает электрическое, то этот процесс может быть и обратным. Его идея заключалась в том, что если имеется проводник с током, то вокруг него существует стационарное магнитное поле. На длине этого проводника он выбрал произвольные три точки равноудалённые от него на расстояние r.

    В этих точках поле будет одинаковое. Максвелл предположил, что если проводник разорвать, то для того чтобы ток продолжал движение, нужно сохранить заряды. То есть фактически использовать конденсатор. По мнению Максвелла, тогда в точке разрыва поле будет такое же, как и вокруг проводника. Между обкладками возникнет электрическая сила, так как на них происходит сохранение (накопление) зарядов. Учитывая это, физик пришёл к выводу, что изменяющееся электрическое поле приводит к возникновению магнитного потока.

    Так как на обкладках имеется заряд, то сила тока будет равняться I = dq / dt. Заряд можно связать с напряжением на обкладках конденсатора и электроёмкостью: q = C * U. Ёмкость же в вакууме определяется как E0 * S/ d, а напряжение — как E * d.

    Подставив значения в формулу, Максвелл получил выражение: dq / dt = E0 * S * dE / dt. Так как ток между обкладками не течёт, а перенос происходит полем, физик предложил ввести понятие фиктивный ток смещения. Плотность этого тока можно найти по формуле: j = E0 * dE / dt. Это позволило упростить вычисления магнитной силы. Ток смещения и вихревое поле стали основой для создания системы уравнений.

    Физическая суть

    Электромагнитное поле представляет собой материю, с помощью которой заряженные элементарные частицы взаимодействуют между собой. В вакууме явление характеризуется напряжённостью E и магнитной индукцией B. Эти параметры определяют силы, воздействующие на подвижные и неподвижные заряды. Кроме них, значение электромагнитного поля определяется скалярным и векторным потенциалами и двумя дополнительными величинами: индукцией D и напряжённостью магнитных линий H.

    Открытие в 1831 году Фарадеем закона электромагнитной индукции, устанавливающего зависимость между зарядом и намагниченностью у токоведущих тел, помогло Максвеллу сформулировать ряд уравнений, после названных его именем. Главное его исследование заключалось в исследовании тока смещения, равного по магнитному действию электрическому току.

    Сформулировав свою систему, физик смог связать электрическое и магнитное поле с зарядом и током. Физический смысл уравнений Максвелла заключается в том, что электромагнитное поле рассматривалось им как самостоятельный объект, в котором передача энергии происходит колебанием от точки к точке с конечной скоростью. При этом в вакууме она определяется скоростью света.

    С точки зрения математики, для описания процессов учёный использовал векторный анализ, выраженный через инвариантную форму, использующую кватернионы Гамильтона. Написанные им уравнения неохотно принимались учёным советом Лондонского Королевского общества. Это происходило из-за того, что они не были похожи ни на одно из описаний известных ранее.

    Тем не менее система Максвелла получила признание и стала фундаментальной в области электродинамики. При этом её справедливость получила подтверждение не только в микромире, ни и в области квантовой физики.

    Основным следствием открытия стало понятие о скорости распространения электромагнитных волн и создании теории света. По сути, эта система теории волн в науке об электромагнетизме играет роль сопоставимую с законами Ньютона в области механики или с теоремами в электродинамике.

    Дифференциальная запись

    Открытие в проводящих телах тока смещения позволило Максвеллу вывести четыре уравнения, на основе которых была создана теория электромагнитных явлений. Обычно в физике математическая запись процессов не зависит от системы единиц, но в термодинамике это не так. Всё дело в том, что при записи в различных системах изменяются коэффициенты (постоянные).

    Например, в системе единиц, используемой в описании квантовой теории поля, скорость света и электромагнитная константа равна единице. Поэтому уравнения не будут иметь ни одной постоянной. Для записи используют две системы: СГС — симметричная гауссова, и СИ — Международная система единиц.

    В этих двух стандартах система уравнений Максвелла может быть описана словесно и математически следующим образом:

  • В качестве источника электрической индукции выступает заряженная частица. В СГС: ∇ * D = 4*p* ρ; в СИ: ∇ * D = 4* ρ.
  • В электромагнитном поле магнитных зарядов нет. В обеих системах формула выглядит одинакового: ∇ * B = 0.
  • При изменении величины магнитной индукции возникает электрическое вихревое поле. В СГС: ∇ * E = — δ B / c * δ t; в СИ: ∇ * E = — δ B / δ t.
  • Вихревое магнитное поле появляется из-за изменений электрической индукции и тока. В СГС: ∇ * H = 4 pj / c + δ D / c * δ t; в СИ: ∇ * H = j + δ D / δ t.
  • Это классические четыре закона описывающие природу и условия возникновения электромагнитного поля. Первая гипотеза связывает напряжённость с индукцией и является выражением теоремы электромагнитной индукции. Вторая доказывает отсутствие объектов, генерирующих магнитное поле. Третья устанавливает зависимость между током смещения и проводимостью, создающейся в магнитном поле. Четвёртая объясняет, что источником вектора электрической индукции служит сторонний заряд.

    Указанные уравнения представляют собой запись в дифференциальной форме. При этом каждое из них эквивалентно скалярным уравнениям. В этой форме они имеют следующий вид:

  • (δEy / δx) — (δEx / δy) = — δBx / δt;
  • (δBx / δx) — (δEy / δy) + (δBz / δz) = 0;
  • (δHy / δx) — (δHx / δy) = jz + δDx / δt;
  • (δDx / δx) — (δDy / δy) + (δDz / δz) = ρ.
  • Для того чтобы воспользоваться этими постулатами для расчёта полей, нужно уравнения дополнить граничными правилами объединяющим электрическую индукцию (D), плотность электрического тока (j), напряжённость (E). Эти положения имеют вид: D = e0*e*E; B = m0*m*H; j = δ*E. Совокупность этих соотношений позволяет сделать вывод об основе электродинамики сред, находящихся в спокойном состоянии.

    Интегральная форма

    Запись уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме позволяет рассчитать электромагнитное поле в любой среде. Первые два уравнения, включающие интегралы, получаются путём преобразования дифференциальных форм по произвольной поверхности и применения теоремы Стокса, ограничивающей поверхность. Вторые же два путём интегрирования по произвольному объёму с дальнейшим их упрощением по теореме Остроградского — Гаусса, по ограниченной поверхности в замкнутом объёме.

    Выглядят они следующим образом:

  • ∫ D * ds = 4 pQ. Это закон Гаусса устанавливающий, что поток электрической индукции сквозь ограниченную поверхность зависит от величины свободного заряда, существующего в объёме формирующимся этой поверхностью.
  • ∫ B * ds = 0. Теорема для магнитного поля сообщающая, что сила линий магнитной индукции через ограниченную поверхность равна нулю.
  • ∫ E * dl = — d / dt*c ∫ B * ds. Свойство Фарадея обозначающее, что поток магнитной индукции, проходя через замкнутую поверхность пропорционален вращению электрического поля в контуре ограничивающим поверхность.
  • ∫ H * dl = 4pI / c + (d / dt) ∫ D * ds. Правило циркуляции магнитного поля. Электрический ток свободных частиц и колебания электромагнитной индукции зависят от размера и движения магнитного потока, ограниченного контуром l.
  • В этих уравнениях буквой S обозначается замкнутое пространство двухмерной поверхности определяющей границы объёма V или контура l. При этом Q является электрическим зарядом, находящимся в замкнутом объёме площадью S и равным: Q = ∫p * dV, а I — электрическим током, протекающим сквозь S и определяющимся из уравнения: I = ∫j * ds.

    Нужно отметить, что вектор потока по ограниченной поверхности считается направленным из объёма. Вращение же находится согласно правилу правого винта по незамкнутой площади. В уравнениях величины E, B, D и H являются равнозначными значениями, определяющимися в результате решения системы.

    Значение уравнений

    Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля объясняет все электромагнитные явления. Её применяют при полном анализе полей при известных распределениях токов и заряженных частиц. Часто уравнения называют материальными, подчёркивая индивидуальные свойства занимающей пространство среды: D = e * e0 * E, B = m * m0 * H, J = E .

    Формулы физика подтверждают существование электромагнитных волн. Иначе говоря, предпологают возможность электрического поля излучать энергию вне зависимости от присутствия электрических зарядов и токов. Из всего многообразия применения уравнений можно выделить основные четыре:

  • Нахождение характеристик электрического и магнитного поля по известному распределению заряженных частиц и токов. То есть это теория электромагнитного поля (ЭМП) примирительная к любой системе зарядов и токов. Она обобщает электрические и магнитные явления.
  • Изучение макроскопических полей. Уравнения Максвелла применимы к макрозарядам и макротокам. Их можно использовать в среде, где расстояния от источника излучения до зафиксированной точки намного превышает периоды внутренних явлений.
  • Теоремы Максвелла раскрывают внутренний механизм процессов в среде, описываемых тремя фундаментальными характеристиками: ε, μ и σ.
  • Используя теорию, являющуюся близкодейственной, можно описать электрические и магнитные взаимодействия, возникающие в электромагнитном поле распространяющимся с ограниченной скоростью.
  • Система включает в себя все основные законы электрического и магнитного поля с учётом такого важного параметра, как электромагнитная индукция. Теоретическое исследование физика позволило утверждать, что свет представляет собой электромагнитные волны и существования токов смещения в магнитном поле. То есть изменение ЭМП без движения электрических зарядов. Благодаря этому стало возможным находить полный ток.

    Максвеллом было найдено четыре важных закономерности, заключающиеся в том, что электрический заряд образует электрическое поле, колебания магнитных волн порождает электрические вихри, магнитных зарядов быть не может, изменение индукции приводит к появлению вихревого магнитного потока. Эти теоретические суждения после были подтверждены экспериментально и позволили получить картину распространения свободной энергии электромагнитной волны в пространстве.

    Простое объяснение уравнений Максвелла – Fosco Connect

    Физические значения уравнений Максвелла

    Уравнения Максвелла состоят из четырех уравнений, каждое из которых описывает одно явление соответственно.

    Максвелл не изобретал все эти уравнения, а скорее объединил четыре уравнения, составленные Гауссом (также Кулоном), Фарадеем и Ампером.

    Но Максвелл добавил в закон Ампера одну информацию (4-е уравнение) — Ток смещения , что делает уравнение полным.

    1. Закон Гаусса для статических электрических полей
    2. Закон Гаусса для статических магнитных полей
    3. Закон Фарадея, согласно которому изменяющееся магнитное поле  (изменяющееся во времени) создает электрическое поле
    4. Закон Ампера-Максвелла, согласно которому изменяющееся электрическое поле (изменяющееся во времени) создает магнитное поле

    Комбинация уравнений 3 и 4 может объяснить электромагнитную волну (например, свет), которая может распространяться сама по себе.

    Комбинация говорит о том, что изменяющееся магнитное поле порождает изменяющееся электрическое поле, а это изменяющееся электрическое поле порождает другое изменяющееся магнитное поле. Таким образом, цикл продолжается, и создается электромагнитная волна, которая распространяется в пространстве.


    Математические представления

    Уравнения Максвелла могут быть выражены в двух формах:

    • Форма интегральных уравнений
    • Форма дифференциальных уравнений
    Название формулы Форма интегральных уравнений

    Закон Гаусса
    для статических электрических полей

    • Электрический заряд q создает электрическое поле E
    • Поток электрического поля, проходящий через любую замкнутую поверхность, пропорционален общему заряду, содержащемуся на этой поверхности

    Закон Гаусса
    для статических магнитных полей

    • Суммарный магнитный поток, проходящий через любую замкнутую поверхность, равен 0,
    • Предположение об отсутствии магнитных монополей.
    • Источников магнитного потока нет, и силовые линии магнитного потока всегда замкнуты сами на себя.
    • Также называется законом сохранения магнитного потока
    Закон индукции Фарадея
    • Изменение магнитного потока через поверхность индуцирует электродвижущую силу (ЭДС) на любом граничном пути этой поверхности.
    • Изменяющееся магнитное поле индуцирует циркулирующее электрическое поле.
    • Напряжение, накопленное вокруг замкнутой цепи, пропорционально скорости изменения во времени магнитного потока, который она окружает.

    Закон Ампера
    (с добавлением тока смещения Максвелла)

    • Электрический ток I или изменяющийся электрический поток через поверхность создает циркулирующее магнитное поле вокруг любого пути, ограничивающего эту поверхность.
    • Электрические токи и изменения электрических полей пропорциональны магнитным полям, циркулирующим в областях, где они накапливаются.

     

    Название уравнения

    Форма дифференциальных уравнений

    (Функции точки)

    Закон Гаусса
    для статических электрических полей

    Электрическое поле, создаваемое электрическим зарядом, расходится с положительным зарядом и сходится с отрицательным зарядом.

    Закон Гаусса
    для статических магнитных полей

    • Дивергенция магнитного поля в любой точке равна нулю.
    • Предположение об отсутствии магнитных монополей.
    Закон индукции Фарадея

    Циркуляционное электрическое поле создается магнитным полем, которое меняется со временем.

    Закон Ампера
    (с добавлением тока смещения Максвелла)

    Циркуляционное магнитное поле создается электрическим током и электрическим полем, которое изменяется во времени.

     


     

    Интегральные формы

    1. Закон Гаусса для статического электрического поля s

     

    Концепции Значение

    Электрическое поле

    • Электрическая сила (в ньютонах), которую испытывает один кулон пробного заряда в поле.
    • Единица измерения: ньютон/кулон или вольт/метр.

    Точечный продукт

    • Скалярное произведение E n представляет проекцию E на направление n
    • Объяснение скалярного произведения

    Единица нормального вектора

    • n — вектор единичной длины, указывающий в направлении, перпендикулярном поверхности.
    • В любой точке замкнутой поверхности мы можем найти разные n

    Составляющая Е по нормали к поверхности

    • Представляет компонент вектора электрического поля, который перпендикулярен рассматриваемой поверхности
    • Используется для расчета электрического потока

    Поверхностный интеграл

    • Пояснение к поверхностному интегралу

    Поток электрического поля E над поверхностью S

    • Аналог потока жидкости очень полезен для понимания значения «потока» векторного поля
    • Поток векторного поля на поверхность — это «количество» этого поля, которое «течет» через поверхность

    Электрический поток через замкнутую поверхность

    Закрытый электрический заряд внутри закрытой поверхности

    Поскольку любой заряд, расположенный за пределами закрытой поверхности, производит равное количество входящего (отрицательного) потока и внешнего (положительного) потока, поэтому суммарный поток определяется только зарядами внутри закрытой поверхности.

    Если общий замкнутый заряд положителен, то мы имеем положительный (внешний) суммарный поток. Если общий замкнутый заряд отрицателен, то мы имеем отрицательный суммарный поток (внутрь).

    Диэлектрическая проницаемость свободного пространства

    Диэлектрическая проницаемость материала определяет его реакцию на приложенное электрическое поле

    В диэлектрических материалах заряды не двигаются свободно, но могут немного смещаться от своего равновесного положения (так называемая поляризация) под действием электрического поля.

    Диэлектрическая проницаемость среды является фундаментальным параметром, определяющим скорость, с которой электромагнитная волна распространяется в этой среде.

    ε 0 = 8,8541878176 x 10 -12 кулон/(вольтметр)

     

    2. Закон Гаусса для статических магнитных полей

     

    Концепции Значение

    Плотность магнитного потока

    Также называется магнитное поле . Магнитное поле определяется с помощью магнитной силы, действующей на движущуюся заряженную частицу

    • F B магнитная сила
    • q — заряд пробной частицы
    • v скорость частицы
    • B – плотность магнитного потока
    • x — это векторное произведение двух векторов
    • величина B может быть записана как: (θ угол между v и B )

    Узнайте больше о векторном перекрестном произведении здесь

    Магнитных монополей нет

    • Чистый магнитный поток, направленный наружу через любую замкнутую поверхность, всегда равен нулю
    • Нет источников магнитного потока, таких как магнитные монополи
    • Линии магнитного потока всегда замыкаются друг на друга, образуя непрерывные петли
    • Традиционное обозначение северного и южного полюсов в постоянном стержневом магните не означает, что изолированный положительный магнитный заряд существует на северном полюсе, а соответствующее количество изолированного отрицательного магнитного заряда существует на южном полюсе.
    • Если этот магнитный стержень разрезать на два сегмента, появятся новые южный и северный полюса. Магнитные полюса не могут быть изолированы.

    Магнитный поток через замкнутую поверхность

    Как и электрический поток, магнитный поток через поверхность представляет собой «количество» магнитного поля, «текущего» через поверхность.

    Для закрытой поверхности проникновение через поверхность представляет собой улицу с двусторонним движением: внешний поток положительный, а внутренний поток отрицательный. Чистый поток представляет собой сумму внешнего потока и внутреннего потока.

     

    3. Закон индукции Фарадея

     

    9

    Значение

    Индуцированное электрическое поле

    • Это электрическое поле, индуцированное изменением магнитного потока
    • Структура этого индуцированного электрического поля отличается от электростатического поля, создаваемого заряженными частицами, как показано ниже
    • Электрические поля, основанные на зарядах, возникают на положительном заряде и заканчиваются на отрицательном заряде
    • Наведенная петля электрического поля, замкнутая на себя, без точки возникновения или окончания
    • Индуцированное электрическое поле вызывает электрический ток, который создает магнитный поток, противодействующий изменению потока из-за изменяющегося магнитного поля (попытка сохранить стабильный магнитный поток)

    Линейный интеграл по замкнутому контуру C

    • Вышеуказанная проволока имеет переменную плотность λ(x), и мы хотим знать ее общую массу
    • Представьте, что провод разделен на ряд очень коротких отрезков (N отрезков) так, что плотность λ i примерно постоянна
    • Тогда общая масса проволоки равна сумме масс всех сегментов

    Если мы сделаем кусочки бесконечно малыми (N -> ∞), то сумма станет линейным интегралом

    Циркуляция индуцированного электрического поля

    • Наведенные электрические поля образуют замкнутые контуры, поэтому они могут перемещать заряженные частицы по непрерывным цепям и производить электрический ток
    • Эта циркуляция электрического поля называется «электродвижущей силой» или ЭДС
    • Это не сила, а скорее сила на единицу заряда, интегрированная по длине цепи
    • Физический означает работу, совершаемую индуцированным электрическим полем при перемещении единичного заряда по этому пути.
    • Другими словами, это энергия, передаваемая одному кулону заряда при движении по цепи.

    Скорость изменения магнитного потока

    • Интегрирование представляет собой просто магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым контуром C
    • Этот магнитный поток не равен нулю! Это магнитный поток через открытую поверхность, а не через закрытую поверхность. Не путайте это с законом Гаусса для статического магнитного поля.
    • Затем возьмем направление по времени (t), это скорость изменения магнитного потока
    • Магнитный поток можно изменить тремя способами:
    • Величина B может измениться
    • Угол между B и нормалью к поверхности может изменяться (cosθ на скалярное произведение)
    • Площадь поверхности может меняться

     

    4. Закон Ампера-Максвелла

     

    Концепции Значение

    Циркуляция индуцированного магнитного поля

    Электрический ток или изменяющийся электрический поток через поверхность создает циркулирующее магнитное поле вокруг любого пути, ограничивающего эту поверхность.

    Ток и индуцированное магнитное поле подчиняются правилу правой руки, как показано ниже.

    Эта циркуляция магнитного поля рассчитывается путем линейного интеграла скалярного произведения B и dl (бесконечно малая дифференциальная длина пути) на замкнутом пути C

    Проницаемость свободного пространства

    • Магнитная проницаемость определяет реакцию материала на приложенное магнитное поле.
    • Здесь проницаемость свободного пространства («вакуумная проницаемость»)
    μ 0 = 4π x 10-7 Вс/Ам (вольт-секунды на амперметр)

    Закрытый электрический ток

    • «Замкнутый» означает, что этот ток проходит через любую поверхность, ограниченную замкнутым путем C
    • Мы должны учитывать направление электрического тока относительно направления интегрирования линии магнитного поля B.
    • Правило правой руки определяет, считается ли ток положительным или отрицательным

    Этот электрический ток считается замкнутым, поскольку он проходит через любую поверхность, ограниченную замкнутым путем C 1 .

    Этот электрический ток считается незамкнутым, поскольку он не проходит через одну из поверхностей, ограниченных замкнутым путем C 2 .

    Скорость изменения электрического потока (тока смещения)

    Этот член является аналогом электрического потока члена изменяющегося магнитного потока в законе индукции Фарадея, как упоминалось выше.

    Закон индукции Фарадея гласит, что изменяющийся магнитный поток через любую поверхность индуцирует циркулирующее электрическое поле вдоль граничного пути.

    Эта часть была добавлена ​​Максвеллом в исходное уравнение Ампера. В нем говорится, что изменяющийся электрический поток через поверхность должен индуцировать циркулирующее магнитное поле вокруг границы этой поверхности.

    Этот термин разрешил парадокс зарядки/разрядки конденсатора, который не может считаться электрическим током.

    Следует ли на следующем рисунке считать i c закрытым током?

    Нет. Вместо этого мы должны считать изменение потока электрического поля между пластинами конденсатора (Q и -Q). Это изменение электрического потока происходит, когда конденсатор заряжается или разряжается.

    Это изменение электрического потока рассчитывается путем интегрирования электрического поля E по выпуклой поверхности, ограниченной замкнутым контуром C, а затем принимается прямое отклонение по времени (t).

     


     

    Дифференциальные формы

    1. Закон Гаусса для статического электрического поля
    • В статическом электрическом поле расходимость в одной точке равна объемной плотности электрического заряда ρ в этой точке, деленной на ε 0 .
    • Итак, если вы знаете распределение электрического заряда, вы можете рассчитать создаваемое электрическое поле.

     

    Концепции Значение

    Набла — Оператор Дел (Градиент)

    Символ набла — это математический оператор (как и символ квадратного корня). Это означает брать производные от следующей за ней величины, которая является градиентом величины.

    В декартовой системе координат оператор Del определяется как:

    где — единичный вектор по оси x, — единичный вектор по оси y, — единичный вектор по оси z.

    Дель Точка — Оператор Дивергенции

    • Дель оператор берет расхождение в одной точке в поле.
    • Дивергенция измеряет тенденцию в одной точке к тому, что векторы поля «уносят» от нее больше материала, чем приближаются к ней
    • Точки положительного расхождения являются «источниками»
    • Точки отрицательного расхождения являются «стоками»

    Положительное расхождение в исходной точке (источник)

    Отрицательное расхождение в исходной точке (стоке)

    Дивергенция является скалярной величиной (не вектором). Но поле, на которое он действует, является вектором.

    Поток определяется по площади, а дивергенция определяется в отдельных точках, не путайте их.

    Дивергенция — это предел потока через бесконечно малую поверхность, окружающую точку, как определено ниже.

    р

    Объемная плотность заряда в одной точке, ее единица измерения кул/метр 3

    Дивергенция электрического поля

    В декартовой системе координат вектор электрического поля можно разложить на три составляющие.

    Согласно определению оператора del dot , мы имеем:

    Таким образом, дивергенция электрического поля есть сумма

    • Изменение его x-компоненты по оси x
    • Изменение его y-компоненты вдоль оси y
    • Изменение его z-компоненты вдоль оси z

     

    2. Закон Гаусса для статических магнитных полей
    • Дивергенция — это измерение того, больше ли «утекает» из точки, чем к этой точке. Если больше «утекающих», то это «источник», если больше «втекающих», то это сток.
    • Однако, поскольку мы никогда не открывали магнитных монополей (только южный полюс или только северный полюс), в точке магнитного поля всегда имеется одинаковое количество «вытекающих» и «втекающих» магнитных полей.
    • В этом утверждении подчеркивается, что магнитных монополей не существует.

     

    3. Закон индукции Фарадея
    • Физический смысл в том, что изменяющееся магнитное поле создает циркулирующее электрическое поле.
    • Это точечная функция, она применима к каждой точке пространства, будь то в свободном пространстве или в материальной среде.
    • Таким образом, напряженность электрического поля в области изменяющейся во времени плотности магнитного потока является неконсервативной и не может быть выражена в виде градиента скалярного потенциала.

     

    Концепции Значение

    Дель Кросс — оператор завивки

    Вы получите завиток точки интереса в векторном поле A , выполнив следующие шаги:

    1. Нарисуйте небольшой круг вокруг точки интереса, назовите его закрытым путем C
    2. Рассчитайте циркуляцию, выполнив линейный интеграл от A вокруг пути C. Этот линейный интеграл выполняется, всегда сохраняя внутреннюю часть круга на левой стороне пути.
    3. Разделить этот тираж на площадь круга
    4. Сделать окружность бесконечно малой, а пределом будет завиток
    5. Направление завитка является тогда нормальным направлением поверхности, для которой циркуляция максимальна
    6. Направление положительного завитка определяется правилом правой руки: если вы сгибаете пальцы правой руки вдоль кровообращения, ваш большой палец указывает в направлении положительного загиба.

    Рот векторного поля является точечной функцией и измеряет, какая часть вектора A закручивается вокруг рассматриваемой точки. Ротор векторного поля — это еще одно векторное поле, как и любое векторное произведение.

    В декартовых координатах завихрение вычисляется путем выполнения частных производных, выраженных в виде определителя:

    Каждый компонент ротора A указывает тенденцию поля вращаться вокруг соответствующих осей x, y, z.

    Завиток электрического поля

    Поля на основе оплаты:

    Электрические поля, основанные на зарядах, расходятся от точек положительного заряда и сходятся к точкам отрицательного заряда. Поля этого типа не циркулируют обратно сами по себе, и их завитки равны нулю в каждой точке.

    Индуцированные поля:

    Электрические поля, индуцированные изменением магнитных полей, сильно отличаются от электрических полей, основанных на зарядах.

    Индуцированные поля циркулируют обратно сами по себе и не имеют точек возникновения или окончания. Таким образом, индуцированные электрические поля имеют завихрение. Чем быстрее меняется магнитное поле, тем больше вихрь индуцированного электрического поля.

     

    4. Закон Ампера-Максвелла

    В статическом электрическом поле расхождение в одной точке равно объемной плотности электрического заряда ρ в этой точке, деленной на ε 0 .

    Физический смысл:

    Циркуляционное магнитное поле создается электрическим током и/или электрическим полем, которое изменяется во времени.

     

    Концепции Значение

    Завиток индуцированного магнитного поля

    Все магнитные поля циркулируют обратно сами по себе, и его завиток отличен от нуля в точных местах , через которые протекает электрический ток или меняется электрическое поле.

    То, что поле выглядит кривым, не означает, что кривизна везде отлична от нуля! Это распространенная ошибка. Посмотрите на картинку ниже.

    Похоже, что гребное колесо будет вращаться по часовой стрелке из-за кривизны поля. Однако кривизна поля вниз компенсируется ослаблением поля по мере удаления от центра кривизны.

    Толчок вверх-вниз точно компенсируется более слабым-сильным толчком, и крыльчатка не вращается. Завиток в этом месте равен нулю, несмотря на то, что силовые линии искривлены!

    Магнитное поле может искривляться во многих местах, но только в точках, где протекает электрический ток или электрический поток изменяется так, что искривление не равно нулю.

    Плотность тока смещения

    Плотность тока смещения выражается в единицах плотности электрического тока (Ампер/метры 2 ) и имеет соответствующее магнитное поле, как и реальный ток.

    Однако ток смещения представляет собой не фактический ток движущихся зарядов, а переменное во времени электрическое поле, скорость изменения электрического поля во времени.

    В диэлектрических материалах (в отличие от вакуума) ток смещения также вносит свой вклад из-за небольшого смещения связанных зарядов (что называется диэлектрической поляризацией).

    Термин тока смещения был решающим дополнением к Закону Ампера о цепях, который дополнил уравнения Максвелла и объединил электричество, магнетизм и оптику в единую единую теорию электромагнетизма.

    Добавление этого термина (изменяющееся электрическое поле как источник магнитного поля) распространило закон Ампера на поля, зависящие от времени, устранив противоречие с принципом сохранения заряда.

    Ключевой концепцией здесь является то, что изменяющееся электрическое поле создает изменяющееся магнитное поле, даже когда нет зарядов и не протекает физический ток. Благодаря этому механизму электромагнитные волны (включая оптические волны) могут распространяться в идеальном вакууме, поскольку изменяющиеся магнитные поля индуцируют электрические поля, а изменяющиеся электрические поля индуцируют магнитные поля.

    Плотность электрического тока проводимости

    Плотность электрического тока определяется как вектор тока, протекающего через единицу площади поперечного сечения перпендикулярно направлению тока. Таким образом, он имеет единицу измерения ампер на квадратный метр (А/м 2 ).

    Плотность электрического тока в законе Ампера-Максвелла включает все токи, включая связанную плотность тока в магнитных материалах.

    Если плотность носителей заряда равна n, а заряд на один носитель равен q, то количество заряда, проходящего через единицу площади перпендикулярно потоку в секунду, составляет:

    Суммарный ток I в зависимости от плотности тока J :

    Если J однороден по поверхности S:

    Если J неоднороден:

    электромагнетизм — Имеют ли интегральные формы уравнений Максвелла ограниченную применимость из-за замедления?

    Я предполагаю, что мы пренебрегаем любой кривизной пространства (без ОТО) и любыми квантовыми эффектами (без КМ).

    Дифференциальная и интегральная формы полностью эквивалентны, но интегральные формы не так физически интуитивны, как можно было бы ожидать в случаях, которые не являются статическими или квазистатическими.

    Другой фактор заключается в том, что их полезность может быть сомнительной. Например, в высокосимметричной ситуации в статике вы можете использовать Гаусс или Ампер, чтобы найти электрическое или магнитное поле. Те же законы действуют вне статики, но они могут быть не такими полезными.

    Кроме того, некоторые отношения между терминами и более практическими вопросами, которые сохраняются только в статике, могут больше не сохраняться.

    Давайте рассмотрим пример. У вас есть очень большой проводящий провод, и магнитное поле, которое меняется во времени быстрее, чем радиус цепи, деленный на $c$. Поскольку мы находимся вне статики или квазистатики, больше нет равенства между разностью электрических потенциалов на клемме батареи и полной ЭДС в цепи в фиксированный момент времени. Но все же существует равенство между потоком через цепь скорости изменения магнитного поля во времени и частью ЭДС через цепь из-за электрической силы, потому что этот результат не зависит ни от какого статического или квазистатического результата. Но его нужно интерпретировать более тщательно.

    Интегральные уравнения выполняются для кванта времени в фиксированной системе отсчета, поэтому зафиксируйте систему отсчета. Поток $\vec{B}$ через контур является скалярной величиной, имеющей значение во все моменты времени, и изменяется по двум причинам: от мгновенной скорости изменения поля $\vec{B}$, расположенного вдоль некоторого неподвижной поверхности через мгновенные положения контура и мгновенное движение зарядов в контуре через реакцию на мгновенное поле $\vec{B}$ в мгновенных положениях контура.

    Скорость изменения $\vec{B}$ во времени можно проинтегрировать по некоторой фиксированной поверхности через мгновенные положения цепи, что даст (по закону Фарадея) интеграл $-\oint \vec{ E}\cdot d\vec{\ell}$ вдоль мгновенных положений цепи. Дело не в том, что внешнее поле $\vec{B}$ вызвало циркуляцию электрического поля, на самом деле циркуляция электрического поля вызывает изменение магнитного поля, так что причинно-следственная связь совершенно иная. Лучше всего думать, что электрические и магнитные поля не имеют независимо определяемой скорости изменения во времени. Частицы могут иметь скорость, а затем силы определяют ускорение частиц, но завихрение $\vec{E}$ и $\vec{B}$ (и источников) заставляет поля иметь скорость изменения во времени, которую они имеют. Таким образом, каждое поле имеет значение, которое оно имеет из-за предыдущего значения и производной поля по времени, и определяется производная поля по времени. Это почти система первого порядка (за исключением того, что ток зависит от источника, поэтому электрическое поле имеет некоторые характеристики второго порядка, поскольку его изменение во времени зависит от скорости частиц). Но прямо вверх магнитное поле должно развиваться в соответствии с тем, что диктует циркуляция электрического поля (поскольку нет магнитных монопольных токов). Таким образом, электрическая сила на единицу заряда, интегрированная по мгновенным точкам цепи, как всегда, численно равна мгновенному потоку $-\partial \vec{B}/\partial t$ через петлю. Однако причинно-следственная связь заключается в том, что циркуляция поля $\vec{E}$ приводит к тому, что поток $-\partial \vec{B}/\partial t$ становится тем, чем он является. В частности, именно мгновенный $\vec{E}$ везде вдоль этой мгновенной поверхности делает поток $-\partial \vec{B}/\partial t$ таким, какой он есть вдоль этой мгновенной поверхности.

    Теперь, если вместо этого вы посмотрите на скорость изменения мгновенного полного магнитного потока, вы получите этот вклад плюс еще один вклад в движущийся провод. В квазистатике вы получаете, что другой вклад равен магнитной силе на единицу заряда, интегрированной вдоль мгновенного положения провода. И вы получили это из немонопольного закона. Так что в статике все вместе получается, что интеграл силы Лоренца на единицу заряда равен $-d\Phi/dt$. Закон немонополя остается в силе, но вы не получаете результат $-d\Phi/dt$, потому что скорость зарядов больше не равна скорости части цепи плюс скорость, параллельная части цепи.

    И даже если бы у вас была вся ЭДС, она уже не равна разности потенциалов на участке цепи с аккумулятором.

    Однако верна любая интегральная форма уравнений. Я описал закон Фарадея, часть, которая все еще выполняется (мгновенный поток $-\partial \vec{B}/\partial t$ равен линейному интегралу $E$ вокруг контура).

    Закон немонополя все еще действует, но он не дает вам результатов, к которым он привык (например, о магнитной ЭДС), но он все же дает вам векторный потенциал. Это по-прежнему дает вам, что линии поля, входящие в регион, покидают регион.

    Закон Гаусса остается в силе, поэтому для любого мгновенного объема мгновенный поток через поверхность пропорционален мгновенному заряду внутри. И это по-прежнему дает вам то, что линии поля начинаются и останавливаются на электрических зарядах.

    Уравнение неразрывности остается верным в интегральной форме. Заряд — это мгновенный заряд внутри, ток — это мгновенный поток заряда через мгновенную поверхность.

    Закон Ампера гласит, что вы можете выбрать контур, мгновенный в системе отсчета, и поток тока через него (мгновенный $I$) плюс поток мгновенного тока смещения через мгновенную поверхность численно равен циркуляции $\ vec{B}$ через мгновенный цикл. Но опять-таки причинность заключается в том, что мгновенная циркуляция $\vec{B}$ в области за вычетом мгновенного текущего потока $I$ через область пропорциональна скорости изменения ортогональной составляющей $\vec{E}$ поле и фактически делает изменение $\vec{E}$ таким образом. Таким образом, ток в этом направлении и циркуляция вокруг этого направления говорят вам, как изменяется эта компонента поля $\vec{E}$, и именно циркуляция и ток прямо здесь (и прямо тогда) определяют, что (хорошо в район). И снова $\vec{E}$ развивается на основе того, что $\vec{E}$ было раньше, плюс изменение времени на основе $\vec{B}$ поблизости и $\vec{J}$ поблизости. Таким образом, Ампер точно так же верен в интегральной форме.

    Все уравнения Максвелла верны и в интегральной форме. Вы даже можете получить версию с полной производной по времени версий потоков законов, если рассматриваемая петля является фиксированной петлей в пространстве. И мы по-прежнему можем ясно видеть причинно-следственную связь, поэтому известно, что делает каждое поле тем, чем оно является.

    электромагнетизм — Есть ли случай, когда лучше использовать интегральную форму уравнений Максвелла, а не дифференциальную форму?

    Динамический пример

    Докажите, что не существует электромагнитных несимметричных антенн/источников

    Поле несимметричной антенны представляет собой изменяющееся во времени сферически-симметричное электромагнитное поле, т. е. поле, инвариантное к любому вращению вокруг центральной точки.

    Любое такое векторное поле должно быть радиально направлено, поэтому оно должно иметь вид $\vec{F} = f(r,\,t)\,\mathbf{\hat{r}}$. Это верно независимо от того, говорим ли мы об электрических или магнитных полях (см. сноску в конце для обсуждения часто замалчиваемых моментов в основном аргументе симметрии).

    Применим закон Гаусса для магнетизма, используя сферический дот: мы сразу увидим, что радиальное магнитное поле должно быть равно нулю, иначе будет центральный магнитный заряд / сферически-симметричное распределение чистого магнитного заряда.

    Проделайте то же самое с законом Гаусса для электрического поля: сделайте вывод о сферически-симметричном распределении электрического заряда.

    Теперь предположим, что гауссовский дот — это сфера в свободном пространстве снаружи, заключающая в себе все сферически-симметричные источники заряда и тока. Затем, поскольку у заряда нет возможности пересечь эту сферу (по предположению), общий заряд внутри должен быть постоянным в силу сохранения заряда, так что электрическое поле не может изменяться во времени . Таким образом, только возможное монополярное электромагнитное поле, отделенное от своих источников, является электростатическим полем из-за сферически-симметричного распределения заряда, а монополярных антенн нет.

    92 \, \ vec {J} = — \ frac {\ mathrm {d} \, Q} {\ mathrm {d} \, t} \, \ mathbf {\ hat {r}} \ quad \ Rightarrow \ quad \ vec{J} = -\partial_t f(r,\,t) \mathbf{\hat{r}}$$

    Конечно, мы должны иметь $\vec{J}(0,\,t)=\mathbf {0}$. Как мы видели, не может быть никакого магнитного поля, и действительно, ток, определенный выше, точно компенсирует электрический ток смещения.

    Таким образом, заряд в этом своеобразном примере может перемещаться туда и обратно вдоль радиально направленных токов, однако излучение в общем ускоренного заряда совершенно и точно поглощается встречным, противоположно ускоренным зарядом, и только статическое электрическое поле остается вне времени. -переменное распределение заряда/тока.

    Некоторые общие комментарии

    Несколько несколько расплывчатых, но я верю важным словам, прежде чем приведу свой пример. Дело не в том, что существует дихотомия между двумя подходами или в том, что один «лучше» другого — один является ограничивающей формой другого, и я думаю, что почти всегда, когда я интуитивно думаю об электромагнетизме — в отличие от расчетов — Я почти всегда думаю в терминах интегральных форм. Когда я вижу символ «завитка», я всегда думаю о маленьком цикле, где завиток связывает интеграл вокруг цикла операнда с потоком результата завитка через цикл — даже если я работаю с дифференциальными формами. Когда я вижу символ «div», я также думаю о маленьком ограниченном, односвязном блобе, где div связывает поток операнда через границу блоба с интегралом по объему результата div по блобу. Для меня электромагнетизм почти всегда связан с каплями и циклами, а иногда и с кодом на C++ (если только я не смогу заставить кого-то сделать это!). Позже, если вы еще этого не сделали, вы узнаете об объединении grad, curl и div во внешнюю производную; первый является одно-, двух- и трехмерным, особенным для второго (по модулю нескольких незначительных соглашений, испорченных изобретателями grad div и curl). Возьмем небольшой гиперкляксу — ограниченное $n+1$-многообразие с нетривиальной границей и дифференциальную $n$-форму, принимающую на вход $n$-векторы, определяющие элемент границы; мы суммируем результат для векторов, которые определяют «триангуляцию» (или «политопизацию» — если это слово) границы. Затем мы делим на объем гиперкляксы и вычисляем предел этого процесса, поскольку мы сводим объем гиперкляксы к нулю. Все, что нам нужно сделать, — это доказать, что этот процесс определен корректно (и так оно и есть при соответствующих предположениях о непрерывности производных задействованных форм) и что мы имеем смысл внешней производной: предельная форма суммы по «внешнему «многообразия рассматриваемой формы, разделенного на объем многообразия, поскольку объем сжимается до нуля (я думаю, что это происхождение названия «внешняя» производная, но я никогда не проверял истинность этой фантазии). Теоремы Стокса и Гаусса теперь являются лишь частью определения, поскольку их обобщение в обобщенной Фундаментальной теореме дифференциального исчисления бесплатно выпадает из корректной определенности. Завиток — это буквально предел интеграла вокруг петли, дивергенция — предел поверхностного интеграла, и я считаю, что это основные значения, которые следует ассоциировать с этими понятиями, а не позволять себе отвлекаться на почти непостижимый символический беспорядок, который часто эти вещи выписываются как компоненты. Я закончу свой стук цитатой из названия раздела 4.3 у Мизнера, Торна и Уилера, «Гравитация»:

    «Формы освещают электромагнетизм, а электромагнетизм освещает формы»

    , который я настоятельно рекомендую вам прочитать, как только у вас появится опыт работы с формами. У авторов явно очень яркий, почти поэтически-наглядный образ мышления.

    Другой документ, с которым я столкнулся в последние годы по этим темам, ясность которого произвела на меня впечатление, — это главы с I по V «Быстрого и грязного введения во внешнее исчисление», которые сами по себе являются частью прекрасно написанного курса лекций Калифорнийского технологического института:

    Петер Шредер, «Дискретная дифференциальная геометрия»


    Сноска: сферическая симметрия подразумевает радиальное векторное поле в трех пространственных измерениях

    В трех измерениях сферически симметричное векторное поле должно всегда быть радиально направленным.

    Это потому, что в силу инвариантности относительно вращения $f$ не может зависеть от $\theta$ или $\phi$. Если бы в этом независимом от $\theta$ и $\phi$ поле существовала $\boldsymbol{\hat{\phi}}$ или $\boldsymbol{\hat{\theta}}$ компонента, исчезающее неособое векторное поле на поверхности 2-сферы, противоречащее теореме о волосатом шаре.

    Отметим также важное отступление: также можно видеть, что это радиально направленное условие не требуется и не выполняется в четномерных сферически-симметричных полях. Такого вывода нельзя было бы сделать, если бы имелся случай заняться, например, четырехмерным электромагнетизмом.

    Но, что более практично, оно не выполняется и в двух измерениях: таким образом, мы можем иметь сферически симметричные чисто азимутальные магнитное и электрическое поля, а также радиальные в задачах с цилиндрической симметрией. Мы постоянно видим их вокруг электрических проводов!

    Physics for Science & Engineering II