II. Умножение вектора на число

Следует обратить внимание учащихся на то, что разность векторов а и b можно найти, не прибегая к сложению векторов а и (-А). Можно соста­вить с учащимися алгоритм нахождения разности векторов а и Ъ :

1. отложить векторы а и Ъ от одной точки;

2. построить вектор, начало, которого совпадает с концом вектора Ъ, а конец совпадает с концом вектора а;

3. построенный вектор — искомый а — Ъ .

1. Учебник геометрии а. В. Погорелова.

Произведением вектора а{а\\ яг) на число Л называется вектор с коор­динатами Ла\, Хаъ

Затем выполняются упражнения на построение произведения вектора на число:

1. Постройте произведение вектора О А (4; 5) на число а) 2; б) -3; в) 0; г) 5; д)-1,5.

В процессе выполнения упражнений такого типа учащиеся могут заме­тить, что векторы О А и Л О А лежат на одной прямой и направления их совпа­дают, если Л > 0 и противоположны, если Л < 0.

Полезны упражнения на распознавание среди множества векторов таких, которые являются произведением данного вектора на некоторое число.

2. Среди векторов а(3; 5), А (-2; -10), с(0; 1),

   d (-2; 4), е(3; 6) указать такие, которые являются произведением вектора т (1; 2) на некоторое число.

Координатное определение произведения вектора на число позволяет легко обосновать все свойства умножения вектора на число. Однако оно не дает способа построения произведения данного вектора на заданное число. Возника­ет проблема отыскания такого способа. Приведенное нами первое упражнение позволяет ознакомить учащихся с тем, что длина вектора Ха равна \Л\ \а\. На­правление Ла [а ф б) совпадает с направлением а

, если Л > 0 и противополож­но направлению вектора 5, если Л < 0. Упражнение будет способствовать и «открытию» доказательства этой теоремы. Теорема, в свою очередь, мотивиру­ет введение понятие коллинеарных векторов.

2. Учебник геометрии j1. С. Атанасяна и Др.

В данном учебнике произведением ненулевого вектора а на число к назы­вают такой вектор Ъ , длина которого равна \к\ \а\, причем векторы а и Ъ сонаправлены при к >0 и противоположно направлены при к < 0. Произведени­ем нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Свойства умно­жения вектора на число в этом учебнике не доказываются.

Изучение новой операции над векторами — умножения вектора на число — можно начать со следующих заданий.

226

1. Построить вектор, представляющий сумму

АВ = а + a; CD = а + а + а.

В процессе выполнения этого задания выяснить с учащимися следующее:

а) Данный и построенный векторы являются сонаправленными.

б) Длина построенного вектора |

АВ | (или | CD |) равна произведению длины данного вектора а на число 2 (на число 3). Результат операции выразить и записи:

АВ =2-a; CD =3 • 5.

2. Рассматривая задачу построения вектора, противоположного данному нектору b , нетрудно мотивировать учащимся, что вектор -Ъ целесообразно рас­сматривать как произведение вектора Ь на число (- 1), т. е. -Ь = (- 1) • Ь .

После этого можно перейти к рассмотрению новой задачи.

Дан вектор с. Построить вектор MN — — с — с = — с + (~ с).

В беседе с учащимися следует выяснить, что:

а) вектор с и вектор MN — противоположно направленные векторы;

б) длина вектора MN равна произведению длины вектора с на число (-2), то in-11> | MN | = |- 2| ■ | с |. Результат операции выразить в записи: MN = — 2 с.

Полезно обратить внимание учащихся на то, что запись 2 • АВ не соот- нотствует порядку, принятому в словесной формулировке этой операции (век- юр умножается на число, в записи же числовой множитель принято ставить t*пена).

Можно привести аналогичную запись в курсе алгебры: а + а ~ 2а; такая шпись оказывается удобнее, чем запись вида а * 2.

После этого можно дать определение произведения вектора а на число к и рмесмотреть равенство \ка\ = Щ \а\, являющееся следствием этого определения.

Вытекающие отсюда равенства 0*а = 0и £‘0=0 следует рассмотреть цпальпее.

1. Если | к | = 0, то правая часть равенства

   \ka\- \к\ |й| обращается в нуль, ка­ком бы ни был вектор а : 0 • | а \ = 0. Но тогда векгор к • а имеет длину, равную ну-

ни> |к а | = 0, то есть является нулевым вектором; поэтому при j к | = 0 0 • а = 0 .

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что в правой части послед- IK’го равенства записано не число 0, а нулевой вектор, так как произведением век- юра па любое число является вектор.

2. Если

   а = 0 , то | а | = 10 | = 0.

Поэтому правая часть равенства \ ка \ = ]&| \а\ и в этом случае обращается в Iiv и»*, каково бы ни было число к: | к | • 0 = 0.

Таким образом, к — а ив этом случае имеет длину, равную нулю, то есть

ииииется нулевым вектором. Поэтому при а — 0 к ‘ 0=0.

11ри изучении сложения векторов, вычитания векторов и умножения век- юр:! па число следует выполнять упражнения не только на нахождение суммы, рмшости векторов, произведения вектора на число, но и на представление век-

227

Умножение вектора на число | Учебно-методическое пособие по геометрии (8, 9 класс):

1 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 3 см, длина вектора  равна 2 см. Постройте вектор . В параллелограмме KMNP выразите через векторы  и , векторы  и , где А – точка, лежащая на PN такая, что PA: AN=2:1, B – середина MN.	2 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 8 см, длина вектора  равна 3 см. Постройте вектор . В параллелограмме ABCD выразите через векторы  и  векторы  и , где N – точка, лежащая на AD такая, что AN: ND=2:1, M – середина MN.
1 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 3 см, длина вектора  равна 2 см. Постройте вектор . В параллелограмме KMNP выразите через векторы  и , векторы  и , где А – точка, лежащая на PN такая, что PA: AN=2:1, B – середина MN.	2 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 8 см, длина вектора  равна 3 см. Постройте вектор . В параллелограмме ABCD выразите через векторы  и  векторы  и , где N – точка, лежащая на AD такая, что AN: ND=2:1, M – середина MN.
1 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 3 см, длина вектора  равна 2 см. Постройте вектор . В параллелограмме KMNP выразите через векторы  и , векторы  и , где А – точка, лежащая на PN такая, что PA: AN=2:1, B – середина MN.	2 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 8 см, длина вектора  равна 3 см. Постройте вектор . В параллелограмме ABCD выразите через векторы  и  векторы  и , где N – точка, лежащая на AD такая, что AN: ND=2:1, M – середина MN.
1 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 3 см, длина вектора  равна 2 см. Постройте вектор . В параллелограмме KMNP выразите через векторы  и , векторы  и , где А – точка, лежащая на PN такая, что PA: AN=2:1, B – середина MN.	2 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 8 см, длина вектора  равна 3 см. Постройте вектор . В параллелограмме ABCD выразите через векторы  и  векторы  и , где N – точка, лежащая на AD такая, что AN: ND=2:1, M – середина MN.
1 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 3 см, длина вектора  равна 2 см. Постройте вектор . В параллелограмме KMNP выразите через векторы  и , векторы  и , где А – точка, лежащая на PN такая, что PA: AN=2:1, B – середина MN.	2 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 8 см, длина вектора  равна 3 см. Постройте вектор . В параллелограмме ABCD выразите через векторы  и  векторы  и , где N – точка, лежащая на AD такая, что AN: ND=2:1, M – середина MN.
1 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 3 см, длина вектора  равна 2 см. Постройте вектор . В параллелограмме KMNP выразите через векторы  и , векторы  и , где А – точка, лежащая на PN такая, что PA: AN=2:1, B – середина MN.	2 вариант Начертите два неколлинеарных вектора  так, что длина  равна 8 см, длина вектора  равна 3 см. Постройте вектор . В параллелограмме ABCD выразите через векторы  и  векторы  и , где N – точка, лежащая на AD такая, что AN: ND=2:1, M – середина MN.

Алгебра, линейная алгебра, геометрия, векторная геометрия, тригонометрия, предварительное исчисление и исчисление с одной переменной

∞

Определение собственных векторов и собственных значений

Собственные векторы и собственные значения имеют дело со всем набором комплексных чисел, обозначаемых как ℂ. А поскольку действительные числа, ℝ, являются подмножеством комплексных чисел, собственные векторы и собственные значения имеют дело как с действительными, так и с комплексными числами.

Учитывая следующую матрицу A, вычислите обе матрицы произведения AX, учитывая два столбца вектора X:

Ниже представлена ​​матрица произведения AX с использованием первого вектора X:

Обратите внимание, что произведение AX равно X, умноженному на 10. Другими словами, AX = 10X

Ниже представлена ​​матрица произведения AX с использованием второго вектора X:

Обратите внимание, что произведение AX равно X, умноженному на 0. Другими словами, AX = 0X.

Может показаться, что эта матрица A при вычислении AX дает kX для каждого вектора X. Однако при использовании другого вектора X следующее показывает, что это неверно:

В этом случае AX не привел к вектору вида kX для некоторого скаляра k.

С первыми двумя произведениями AX = kX, где k — некоторый скаляр. Когда это уравнение верно для некоторых X и k, скаляр k называется собственным значением A и обозначается как λ. В приведенном выше примере λ₁ = 10 и λ₂ = 0.

Когда AX = λX верно для некоторого X ≠ 0, X называется собственным вектором матрицы A.

Собственные векторы матрицы A связаны с собственным значением. Если λ₁ является собственным значением A, а AX = λ₁X, то собственный вектор X можно назвать X₁.

Собственные векторы также имеют геометрическое значение. Когда существует ненулевой вектор, который при умножении на матрицу дает другой вектор, параллельный первому вектору или являющийся нулевым вектором, такой вектор называется собственным вектором матрицы. Это когда векторы находятся в ℝⁿ.

Определение собственных значений и собственных векторов
Пусть A — матрица размера n x n, а X ∈ ℂⁿ — ненулевой вектор такой, что верно следующее:

AX = λX

для некоторого скаляра λ. Тогда λ называется собственным значением матрицы A, а X называется собственным вектором матрицы A, ассоциированным с λ. X также можно назвать λ-собственным вектором матрицы A.

Множество всех собственных значений матрицы A размера n x n называется спектром матрицы A и обозначается δ(A).

Собственными векторами матрицы A являются векторы X, где умножение на A дает вектор того же или противоположного направления, что и X. Поскольку нулевой вектор 0 не имеет направления, было бы бессмысленно иметь нулевой вектор в качестве собственный вектор вектора A.

Если AX = λX, то верно следующее: A)X = 0, который используется чаще.

Следовательно, в этом уравнении нахождение собственных векторов означает нахождение нетривиальных решений однородной системы уравнения.

Решения однородной системы уравнений состоят из основных решений и линейных комбинаций этих основных решений. Поэтому базисные решения уравнения (λI — A)X = 0 называются базисными собственными векторами. Любая ненулевая линейная комбинация основных собственных векторов также является собственным вектором.

Предположим, что матрица (λI — A) обратима, где (λI — A)⁻¹ существует. Тогда верно следующее:

Это утверждает, что X = 0. Однако, поскольку X не может равняться 0, то на самом деле (λI — A) не может иметь обратного.

Поскольку матрица необратима, если ее определитель равен 0, а (λI — A) не может иметь обратной, то относительно определителя (λI — A) верно следующее:

det(λI — A) = 0

Обратите внимание, что это эквивалентно det(A — λI) = 0.

Выражение (xI — A) представляет собой полином от переменной x, называемый характеристическим полиномом A, где det(xI — A) = 0 называется характеристическим уравнением. При этом собственные значения А можно также назвать характеристическими значениями А.

Теорема о существовании собственного вектора
Пусть A — матрица размера n x n, и предположим, что det(λI — A) = 0 для некоторого λ ∈ ℂ. Тогда λ является собственным значением A и существует ненулевой собственный вектор X ∈ ℂⁿ такой, что AX = λX.

Базис векторного пространства

Пусть V будет подпространством R ⁿ для некоторых n . Коллекция B = { v ₁ , v ₂ , …, v _r } векторов из V называется базисом для V , если B линейно независим и охватывает 0 V 90. Если хотя бы один из этих критериев не выполняется, то коллекция не является основой для V . Если набор векторов охватывает V , то он содержит столько векторов, что каждый вектор из V может быть записан как линейная комбинация векторов в наборе. Если набор линейно независим, то он не содержит столько векторов, чтобы одни становились зависимыми от других. Таким образом, интуитивно понятно, что базис имеет правильный размер: он достаточно велик, чтобы охватывать пространство, но не настолько велик, чтобы быть зависимым.

Пример 1 : Набор { i, j } является основой для R ² , поскольку он охватывает R ² , а векторы i и не являются ни линейно, ни независимыми. кратно другому). Это называется стандартной базой для R ² . Аналогично набор { i, j, k } называется стандартным базисом для R ³ и вообще

является стандартной основой для R ⁿ .

Пример 2 : Набор { i, i+j , 2 j

} не является основой для R ² . Хотя он охватывает R ² , он не является линейно независимым. Никакая коллекция из 3 или более векторов из R ² не может быть независимой.

Пример 3 : Коллекция { i+j, j+k } не является основанием для R ³ . Хотя он линейно независим, он не охватывает все R ³ . Например, не существует линейной комбинации i + j и j + k , равной i + j + k .

Пример 4 : Набор {

i + j, i − j } является основой для R ² . Во-первых, она линейно независима, поскольку ни i + j , ни i − j кратно другому. Во-вторых, он охватывает все R ² , потому что каждый вектор в R ² может быть выражен как линейная комбинация i + j и i − j . В частности, если A I + B J — любой вектор в R ² , тогда IF K ₁ = ½ ( A + B ) 1121121121121) 121) 1 2). = ½( а — б ).

Пространство может иметь много разных оснований. Например, и { i, j }, и { i + j, i − j } являются базовыми для R ² . Фактически, любой набор , содержащий ровно два линейно независимых вектора из R ² , является основой для R ² . Точно так же любой набор, содержащий ровно три линейно независимых вектора из R ³ , является основой для R ³ и так далее. Хотя никакое нетривиальное подпространство R ⁿ имеет уникальную основу, там есть то, что должно быть общим для всех баз для данного пространства.

Пусть V будет подпространством R ⁿ для некоторого n . Если V имеет базис, содержащий ровно r векторов, то каждый базис для V содержит ровно r векторов. То есть выбор базисных векторов для данного пространства не уникален, а номер базисных векторов является уникальным. Этот факт позволяет четко определить следующее понятие: число векторов в базисе векторного пространства V ⊆ R ⁿ называется размерностью V , обозначается dim V .

Пример 5 : Поскольку стандартный базис для R ² , { i, j } содержит ровно 2 вектора, каждый базис для R ² содержит ровно 2 вектора, поэтому dim R ² = 2. Точно так же, поскольку { i, j, k } является основой для R ³ , которое содержит ровно 3 вектора, Каждое основание для R ³ содержит ровно 3 вектора, поэтому DIM R ³ = 3. В общем, DIM R ^N = N для Every Natural .

Пример 6 : В R ³ , векторы i и k охватывают подпространство размерности 2. Это плоскость x−z , как показано на рисунке .

Рисунок 1

Пример 7: Одноэлементный набор { i + j = (1, 1)} является базой для одномерного подпространства V из R ² , состоящего из строки y = х . См. рис.

Рисунок 2

Пример 8 : Тривиальное подпространство, { 0 }, в R ⁿ , как говорят, имеет размерность 0. Таким образом, чтобы соответствовать определению размерности, можно получить основу для { 0 } должна быть коллекцией, не содержащей элементов; это пустой набор, ø.

Подпространства R ¹ , R ² и R ³ , некоторые из которых были проиллюстрированы в предыдущих примерах, можно резюмировать следующим образом:

  

Пример 9 : Найдите размерность подпространства V из R ⁴ , натянутого на векторы

 

Коллекция { V ₁ , V ₂ , V ₃ , V ₄ } не является основанием V — и DIM . потому что { v ₁ , v ₂ , v ₃ , v ₄ } не является линейно независимым; см. расчет, предшествующий приведенному выше примеру. Discarding v ₃ and v ₄ from this collection does not diminish the span of { v ₁ , v ₂ , v ₃ , v ₄ }, но результирующий набор { v ₁ , v ₂ } линейно независим. Таким образом, { v ₁ , v ₂ } является основой для V , поэтому тусклый V = 2.

Пример 10 : Найдите размер промежутка векторов

 

Поскольку эти векторы находятся в R ⁵ , их промежуток, S , является подпространством R ⁵ . Однако это не трехмерное подпространство R ⁵ , поскольку три вектора w ₁ , w ₂ и w ₃ не являются линейно независимыми. На самом деле, поскольку w ₃ = 3w ₁ + 2w ₂ , вектор w ₃ можно исключить из набора, не уменьшая его. Поскольку векторы w ₁ и w ₂ независимы — ни один из них не является скалярным кратным другого — набор { w ₁ , w ₂ } служит основой для S , поэтому его размерность равна 2.

Наиболее важным атрибутом базиса является возможность записать каждый вектор в пространстве уникальным способом в терминах базисных векторов. Чтобы понять, почему это так, пусть B = { v ₁ , v ₂ , …, v _r } пространство будет базисом для a 9 . Поскольку базис должен охватывать V , каждый вектор v в V может быть записан по крайней мере одним способом как линейная комбинация векторов в B . То есть существуют скаляры k ₁ , k ₂ , …, k _r такие, что

Чтобы показать, что никакой другой выбор скалярных множителей не может дать v , предположим, что

также является линейной комбинацией базисных векторов, равной в .

Вычитание (*) из (**) дает

 

Это выражение представляет собой линейную комбинацию базисных векторов, которая дает нулевой вектор. Поскольку базисные векторы должны быть линейно независимыми, каждый из скаляров в (***) должен быть равен нулю:

 

Следовательно, K ′ ₁ = K ₁ , K ′ ₂ = K ₂ ,… и K ′ _R = K _{. SO R = K 90. *) действительно уникален. Когда v is written as the linear combination (*) of the basis vectors v 1 , v 2 , …, v r , the uniquely determined scalar coefficients k 1 , k 2 , …, k r называются компонентами v относительно основы B . Вектор-строка ( k 1 , k 2 , …, k r ) называется компонентным вектором v относительно B и обозначается ( v ) B 9. Иногда удобно записать вектор компонента в виде вектора столбцов ; в этом случае компонентный вектор ( k 1 , k 2 , …, k r ) ^T обозначается [ 0 5 B 1 ]0156 .}

Пример 11 : Рассмотрим набор C = { i, i + j , 2 j } векторов в R ² . Обратите внимание, что вектор v = 3 i + 4 j можно записать как линейную комбинацию векторов C следующим образом:

   

и

Тот факт, что существует более одного способа выразить вектор v в R ² как линейная комбинация векторов в C дает еще одно указание на то, что C не может быть основой для R ² . Если бы C были базисом, вектор v можно было бы записать как линейную комбинацию векторов из C одним и только одним способом.

Пример 12 : Рассмотрим базис B = { i + j , 2 i − j } из R ² . Определить компоненты вектора v = 2 i − 7 j относительно B .

Компоненты v относительно B представляют собой скалярные коэффициенты k ₁ и k ₂ , которые удовлетворяют уравнению

 

Это уравнение эквивалентно системе

 

Решение этой системы равно k ₁ = −4 и k ₂ = 3, поэтому

 

Example 13 : Relative to the standard basis { i, j, k } = { ê ₁ , ê ₂ , ê ₃ } for R ³ , компонентный вектор любого вектора v в R ³ равен самому v : ( v ) _B = v . Тот же результат справедлив для стандартного базиса { х ₁ , х ₂ ,…, х _n } для каждого R 0 0 }

Ортонормированные базисы . Если B = { V ₁ , V ₂ ,…, V _N } — это базис для вектора V .0155 V можно записать как линейную комбинацию базисных векторов одним и только одним способом:

 

Нахождение компонент v относительно базиса B — скалярных коэффициентов k ₁ , k ₂ , …, k _{1 n 90 система уравнений. Однако, если базисные векторы являются ортонормированными , то есть взаимно ортогональными единичными векторами, то вычисление компонентов особенно легко. Вот почему. Предположим, что B = {vˆ 1 ,vˆ 2 ,…,vˆ n } является ортонормированным базисом. Начиная с приведенного выше уравнения — с Vˆ 1 , Vˆ 2 ,…, Vˆ N Замена V 1 , V 2 , V 155656565565656555655565555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555. что базисные векторы теперь считаются единичными — возьмем скалярное произведение обеих сторон с vˆ ¹ :}

 

Из-за линейности скалярного произведения левая часть становится равной 9.0003

 

Теперь, в силу ортогональности базисных векторов, vˆ _i · vˆ ₁ = 0 для i = 2 через n . Кроме того, поскольку vˆ является единичным вектором, vˆ ₁ · vˆ ₁ = ‖vˆ ₁ ‖1 ² = 1 ² = 1. Следовательно, приведенное выше уравнение упрощается до утверждения

В общем, если B = { vˆ ₁ , vˆ ₂ ,…, vˆ _n } является ортонормированным базисом векторного пространства V , то компоненты k _i любого вектора v относительно B находятся по простой формуле

 

Пример 14 : Рассмотрим векторы

из Р ³ . Эти векторы взаимно ортогональны, в чем легко убедиться, проверив, что v ₁ · v ₂ = V ₁ · V ₃ = В ₂ · В целом. , а затем найти компоненты вектора v = (1, 2, 3) относительно этого базиса.

Ненулевой вектор нормализуется — преобразуется в единичный вектор — путем деления его на длину. Следовательно,

 

С B = { Vˆ ₁ , Vˆ ₂ , Vˆ ₃ } является ортонормальной базовой для R 11130 3

3

3

3

3

3

3

3 9009. 3

3

3 9009. 3

3

3

3 _{3 9009. v} относительно B можно найти, просто взяв следующие скалярные произведения:

Следовательно, ( v ) _B = (5/3, 11/(3√2),3/√2), что означает, что уникальное представление v как линейная комбинация базисных векторов читается как v = 5/3 vˆ ₁ + 11/(3√2) vˆ ₂ + 1 3/√0902 , как вы можете убедиться.