/iC/iC = 49|m|²-70w« + 25|«|²=49-l²-70-l-V2cosI35°+25-(V2)²

-49-70-V2

+ 25-2 = 49 + 70 + 50 = 169.

Таким образом, ВС =

ВС

169 = 13.

3) Найдем высоту h треугольника ABC, опущенную на сторону ВС.

По формуле площади треугольника имеем S = -h-BC, откуда h = —

²ВС

Площадь треугольника S и сторона ВС найдены ранее:

S = 26, ВС =13. Следовательно, я = —— = — = 4

13 13 «

4.1.4. Приложение векторной алгебры к задачам аналитической геометрии

[2],гл.2,3; [8],гл.3,§1 Задачи на прямую и плоскость в пространстве рекомендуется решать средствами векторной алгебры. При решении задач необходимо уметь использовать различные формы уравнений прямых и плоскостей, а также умен, переходить от одной формы уравнения к другой.

Пример5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А/] (1,-2,3), М₂(2,-1,0) и точку пересечения прямой

х-1 у + 2 z + 2 ■ ■_

—- =—— = с плоскостью хОу.

3 11

Решение:Найдем координаты точки М₃(х,у z) — точки пересечения

заданной прямой с плоскостью хОу. Для этого от канонических

уравнений прямой перейдем к параметрическим и, добавив уравнение

плоскости хОу z = 0, получим систему для определения координат

искомой точки:

х = 1 + 3/

у = -2 + 2f z = -2 + / z = 0 Из третьего и четвертого уравнений получим t = 2, тогда х = 7; >> = 2; z = 0. Таким образом, М₃(7,2,0) — точка пересечения заданной прямой с плоскостью хОу.

Составим уравнение плоскости, проходящей через точки Mj,M₂,M₃ Если точка M(x,y,z) — текущая точка плоскости, то векторы MjM = (x-l, y + 2, z

(6,4,-3) — компланарны, следовательно, их смешанное

произведение равно нулю: М,М_ъ ■ [М,М₂х М_{М₃) = 0 или в координатной форме

jc-1 y + 2 z-3

1 1 -3 =0.

6 4-3

Раскрыв этот определитель по элементам первой строки, получим уравнение искомой плоскости:

9(x-\)-l5(y + 2)-2{z-3) = 0 или 9x-15.y-2z -33 = 0.

Пример 6.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку

‘х- y + 2z + \ = 0

Зх — у — z +1

Решение:Приведем общие уравнения прямой к каноническому

х-х₀У — Уо z — Zq — , ч

виду—————— =- ■■■—= , где S = {т;п;р) — направляющий вектор

м,м₃

прямой, a M₀(x₀,y₀,z₀) — точка, лежащая на этой прямой.₀-z₀+l = 0′ одну из координат произвольно, например,

положим z₀ = 0, получим < , откуда

Рис.1 [Зх₀-.у₀+1 = 0

х₀— 0, _у₀ = 1. Значит, Af₀(0;l;0), S =(3;7;2) и канонические уравнения

прямой имеют вид:

—. Теперь найдем уравнение плоскости,

проходящей через прямую и точку А. Выберем произвольную точку искомой плоскости M(x,y,z), тогда три вектора М₀М = (x;y-l;z\ М₀А = (2;-2;l), 5 = (3;7;2) компланарны, (см.рис.1), значит

m₀m-(m~_gaxs)=o.

х у — \

м_ом-(м~₀лх5) =

-2 1

7 2

Т.о. уравнение искомой плоскости 11х + у — 20z -1=0.

Рекомендуемые страницы:

Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где — угол между векторами и (рис.4).

Рис.4

Пусть заданы два вектора в координатной форме и

Скалярное произведение двух ненулевых векторов в координатной форме равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов: .

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле: .

Условием перпендикулярности ненулевых векторов и является равенство нулю их скалярного произведения:

.

Векторным произведением двух векторов и называется вектор , который:

1) имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах и : ;

2) перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма;

3) направлен в такую сторону, с которой кратчайший поворот от к рассматривается совершающимся против часовой стрелки (такое расположение векторов , и называется правой тройкой векторов) (рис.5).

Рис.5

Векторное произведение ненулевых векторов вычисляется через координаты данных векторов и

следующим образом:

Равенство нулю векторного произведения двух ненулевых векторов является условием их коллинеарности, т.е. ½½ .

Смешанное произведение трех векторов , и , которое обозначается или , есть скаляр, абсолютная величина которого равна объему параллелепипеда, построенного на векторах , и , как на ребрах.

Смешанное произведение трех векторов вычисляется в координатной форме по формуле:

.

Равенство нулю смешанного произведения трех ненулевых векторов является условием их компланарности: .

Задача. Определить внутренние углы и треугольника c вершинами в точках

Решение. Внутренний угол — это угол между векторами и , который вычисляется через скалярное произведение векторов по формуле:

Координаты векторов: .

Отсюда,

Аналогично, находя предварительно , получим

Отсюда

Задача.Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках и высоту (рис.6).

Решение.

Рис.6

Найдем координаты векторов Площадь треугольника вычисляется через векторное произведение векторов по формуле: .

Векторное произведение

Тогда .

С другой стороны , отсюда высота .

Так как ,

то высота .

Задача. Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках и высоту, опущенную из точки на основание (рис.7).

Решение.

Рис.7

Найдем координаты векторов : .

Объем пирамиды вычисляется через смешанное произведение векторов по формуле: .

Смешанное произведение векторов

.

Следовательно,

С другой стороны . Откуда высота пирамиды , где площадь треугольника

Векторное произведение

Тогда,

Следовательно, высота пирамиды =

Поиск по сайту:

Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов — Студопедия

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению их длин, умноженных на косинус угла между векторами:

. (2.11)

Перечислим основные свойства скалярного произведения векторов:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) или один из векторов нулевой.

Если =(x ,y ,z ), =( x ,y ,z ), то в базисе i, j, k

.

Геометрический смысл скалярного произведения заключается в следующем: длина вектора это корень квадратный из скалярного произведения вектора на себя ̶ .

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , с общим началом в точке О называется правой, если кратчайший поворот от вектора к вектору наблюдается из конца вектора происходящим против движения часовой стрелки, иначе тройка векторов называется левой.

Векторным произведением неколлинеарных векторов и называется вектор , который удовлетворяет трем условиям:

1) тройка векторов , , – правая;

2)

3).

Если векторы коллинеарные, тогда векторное произведение векторов равно нулю.

Перечислим основные свойства векторного произведения векторов:

1)

2)

3) ;

4)

5) геометрический смысл векторного произведения: , где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах и , имеющих общее начало в точке О (рис. 7).

Рис. 7

Если , то в базисе i, j, k векторное произведение выражается через координаты данных векторов следующим образом:

. (2.12)

Смешанным произведением векторов , , называется число .

Перечислим основные свойства смешанного произведения векторов:

1)

2) ;

3) геометрический смысл смешанного произведения заключается в следующем: =±V, где V – объем параллелепипеда, построенного на векторах, взятый со знаком «+» если тройка векторов , , – правая, или со знаком «-», если она левая;

4) , , компланарные векторы.

Если , то в базисе i, j, k

. (2.13)

векторное и смешанное произведение векторов

Вы искали векторное и смешанное произведение векторов? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и векторное и смешанное произведение векторов и их свойства, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «векторное и смешанное произведение векторов».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как векторное и смешанное произведение векторов,векторное и смешанное произведение векторов и их свойства,векторное произведение векторов смешанное произведение векторов,векторное произведение и скалярное,векторное произведение и смешанное произведение векторов,векторное произведение смешанное произведение,векторное скалярное и смешанное произведение векторов,вычислить смешанное произведение трех векторов,геометрический смысл смешанного произведения векторов,как вычислить смешанное произведение векторов,как вычислить смешанное произведение трех векторов,как найти смешанное произведение векторов,как найти смешанное произведение трех векторов,как считать смешанное произведение векторов,найти смешанное произведение векторов,объем параллелепипеда через вектора,объем тетраэдра через смешанное произведение,определение смешанного произведения векторов,произведение векторов скалярное векторное смешанное произведение,произведение векторов трех,произведение трех векторов,свойства смешанного произведения,свойства смешанного произведения векторов,свойства смешанное произведение векторов,скалярное векторное и смешанное произведение векторов,скалярное и векторное произведение смешанное произведение,скалярное произведение векторное произведение смешанное произведение,скалярное смешанное и векторное произведение векторов,смешанное векторное и скалярное произведение векторов,смешанное векторное произведение,смешанное и векторное произведение векторов,смешанное произведение,смешанное произведение 3 векторов,смешанное произведение векторов,смешанное произведение векторов геометрический смысл,смешанное произведение векторов и его свойства,смешанное произведение векторов как найти,смешанное произведение векторов как считать,смешанное произведение векторов свойства,смешанное произведение векторов скалярное произведение векторов,смешанное произведение векторов формула,смешанное произведение векторов это,смешанное произведение трех векторов,смешанное произведение трех векторов как найти,смешанное скалярное и векторное произведение векторов,смешанное умножение векторов,смешанные произведения векторов,формула смешанного произведения векторов,формула смешанное произведение векторов. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и векторное и смешанное произведение векторов. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, векторное произведение векторов смешанное произведение векторов).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же векторное и смешанное произведение векторов Онлайн?

Решить задачу векторное и смешанное произведение векторов вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Смешанное произведение векторов | Математика

Пусть даны три вектора . Так как для векторов введены два вида произведений — скалярное и векторное, то для трех векторов относительно операции умножения существуют следующие виды произведений:

1)двойное векторное произведение, т.е. произведение, в котором вначале находится векторное произведение двух из заданных векторов, затем векторное произведение полученного вектора на третий из данных векторов.

Например, вначале находится векторное произведение , затем — векторное произведение ;

2)смешанное произведение, т.е. произведение, в котором вначале находится векторное произведение двух из заданных векторов, затем скалярное произведение полученного вектора на третий из данных векторов.

Например, вначале находится векторное произведение , затем — скалярное произведение .

Двойное векторное произведение обозначается в форме или в форме

Ясно, что результатом двойного векторного произведения является вектор.

Смешанное или иначе векторно-скалярное произведение обозначается символом или символом . Результатом смешанного произведения является число.

Пусть требуется определить смешанное произведение векторов, если известны координаты этих векторов

.

Вычислим предварительно Имеем

Воспользовавшись формулой (1.57), найдем

Полученное равенство, согласно теореме о разложении определителя по элементам строки, можно переписать в форме

Формула (1.62) дает выражение для смешанного произведения в координатной форме. Заметим, что в этой формуле координаты векторов записаны соответственно в первой, второй и третьей строках определителя.

Покажем, что для смешанного произведения векторов справедливы равенства

Проверим, например, справедливость равенства Согласно формуле (1.62) имеем

Как известно, при перестановке двух срок определителя знак определителя меняется на противоположный. Тогда, умножая обе части предыдущего равенства на , получим

Итак,

Формулы (1.63) проще всего запомнить с помощью правила круговой перестановки векторов, сущность которого пояснена на рис.1.1.25 и 1.1.26.

Рисунки 1.1.25 и 1.1.26

Выясним геометрический смысл смешанного произведения векторов . Отложим векторы от общего начала и построим на этих векторах, как на ребрах, параллелепипед (рис.1.1.27).

Рисунок 1.1.27

Пусть . Тогда, согласно определения векторного произведения векторов, модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах. Следовательно,

где

Обозначим через высоту параллелепипеда, опущенную из конца вектора на рассматриваемый параллелограмм, и выясним смысл произведения . Вектор перпендикулярен плоскости параллелограмма, тогда

если и

, если

Следовательно, если есть объем параллелепипеда, то

, если и

,если

Итак,

Равенство (1.64) означает, что модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах.

Следствие (условие компланарности трех векторов). Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю, т.е. или в координатной форме

Необходимость Пусть векторы компланарны. Тогда вектор перпендикулярен плоскости, в которой расположены данные векторы, следовательно, перпендикулярен вектору . Поэтому

Следовательно,

Достаточность Пусть векторы таковы, что

Если предположить, что векторы не компланарны, то на них можно построить параллелепипед с объемом . Но, согласно формуле (64)

Следовательно, или, , что противоречит исходному утверждению.

ПРИМЕР 1.1.26

Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами в точках

Решение. Построим три вектора

с общим началом точкой . На этих векторах, как на ребрах, построим параллелепипед. Его объем равен Объем пирамиды составляет шестую долю объема параллелепипеда. Следовательно,

Ответ: 3

Из геометрического смысла смешанного произведения векторов и рассмотренного примера следует, что оно широко используется при вычислении объемов любых многогранников.

Скалярное тройное произведение — Math Insight

Скалярное тройное произведение трех векторов $ \ vc {a} $, $ \ vc {b} $ и $ \ vc {c} $ — это $ (\ vc {a} \ times \ vc {b}) \ cdot \ vc {c} $. Это скаляр product, потому что, как и скалярное произведение, вычисляется одно число. (Таким образом, это не похоже на перекрестное произведение, которое является вектором.) скалярное тройное произведение важно, потому что его абсолютное значение $ | (\ vc {a} \ times \ vc {b}) \ cdot \ vc {c} | $ — объем параллелепипед, натянутый на $ \ vc {a} $, $ \ vc {b} $ и $ \ vc {c} $ (т.е., параллелепипед, соседними сторонами которого являются векторы $ \ vc {a} $, $ \ vc {b} $ и $ \ vc {c} $).

Эту формулу для объема можно понять из рисунка выше. Объем параллелепипеда — это площадь основания раз больше высоты. Из геометрического определения векторного произведения мы знаем, что его величина, $ \ | \ vc {a} \ times \ vc {b} \ | $, является площадью основания параллелограмма, и что направление вектора $ \ vc {a} \ times \ vc {b} $ перпендикулярно основанию.Высота параллелепипеда — это составляющая $ \ vc {c} $ в направлении, нормальном к основанию, т.е. в направлении $ \ vc {a} \ times \ vc {b} $. Следовательно, высота равна $ \ | \ vc {c} \ | ~ | \ cos \ phi | $, где $ \ phi $ — угол между $ \ vc {c} $ и $ \ vc {a} \ times \ vc {b} $. (Зачем нам нужен модуль? Если мы поменяли местами $ \ vc {a} $ и $ \ vc {b} $ на рисунке выше, то $ \ vc {a} \ times \ vc {b} $ будет указывать вниз. Угол $ \ phi $ будет больше, чем $ \ pi / 2 $, и $ \ cos \ phi $ будет быть отрицательным.)

Таким образом, объем параллелепипеда равен \ begin {align *} \ text {Volume} = \ | \ vc {a} \ times \ vc {b} \ | ~ \ | \ vc {c} \ | ~ | \ cos \ phi | = | (\ vc {a} \ times \ vc {b}) \ cdot \ vc {c} |. \ end {выровнять *} (Помните определение скалярного произведения.) формулу для перекрестного произведения в компонентной форме, мы можем записать скаляр тройное произведение в компонентной форме как \ begin {align *} (\ vc {a} \ times \ vc {b}) \ cdot \ vc {c} знак равно \ left | \ begin {array} {cc} а_2 и а_3 \\ b_2 и b_3 \ end {массив} \ право | c_1 — \ left | \ begin {array} {cc} а_1 и а_3 \\ b_1 и b_3 \ end {массив} \ право | c_2 + \ left | \ begin {array} {cc} а_1 и а_2 \\ b_1 и b_2 \ end {массив} \ право | c_3 \\ знак равно \ left | \ begin {array} {ccc} c_1 и c_2 и c_3 \\ а_1 и а_2 и а_3 \\ b_1 и b_2 и b_3 \ end {массив} \ право |.\ end {выровнять *}

Приведенный ниже апплет может помочь вам понять свойства скалярного тройного произведения $ (\ vc {a} \ times \ vc {b}) \ cdot \ vc {c} $. Он включает в себя контур параллелепипеда, натянутого на эти векторы, объем которого равен $ | (\ vc {a} \ times \ vc {b}) \ cdot \ vc {c} | $, а также вектор, соответствующий кросс-произведению $ \ vc {a} \ times \ vc {b} $. (Приносим извинения дальтоникам за то, что они полагаются на цвета в этом апплете.)

Скалярное тройное произведение может быть положительным, отрицательным или нулевым.(Вот почему нам нужен абсолют значение для объема.) Что определяет знак $ (\ vc {a} \ times \ vc {b}) \ cdot \ vc {c} $? Кроме того, когда $ (\ vc {a} \ times \ vc {b}) \ cdot \ vc {c} = 0 $, что происходит? (Если повернуть график после того, как сделал скалярное тройное произведение нулем, вы сразу увидите этот ответ.)

Загрузка апплета

Скалярное тройное произведение. Значение скалярного тройного произведения $ (\ color {blue} {\ vc {a}} \ times \ color {green} {\ vc {b}}) \ cdot \ color {magenta} {\ vc {c} } $ отображается вверху, где векторы $ \ color {blue} {\ vc {a}} $ (синим), $ \ color {green} {\ vc {b}} $ (зеленым) и $ \ color {magenta} {\ vc {c}} $ (пурпурный) можно изменить, перетащив их кончики мышью.Объем натянутого параллелепипеда (обведен контуром) равен величине $ \ | (\ color {blue} {\ vc {a}} \ times \ color {green} {\ vc {b}}) \ cdot \ color {magenta} {\ vc {c}} \ | $. Перекрестное произведение $ \ color {blue} {\ vc {a}} \ times \ color {green} {\ vc {b}} $ показано красным вектором; его величина — это площадь выделенного параллелограмма, который является одной из граней параллелепипеда.

Трехмерную перспективу этого графика трудно увидеть, когда график неподвижен. Если вы продолжите вращать фигуру, перетаскивая ее мышью, вы увидите ее намного лучше.

Подробнее об апплете.

Если вы хотите видеть это с цифрами, вот пример расчета объема параллелепипед с использованием скалярного тройного произведения.

Мы заботимся о параллелепипедах?

Скалярное тройное произведение, очевидно, очень полезно, если у вас много параллелепипедов и вы хотите узнать их объем. Но если вы не захотите узнать объем параллелепипеда, вы можете задаться вопросом, в чем польза от тройного скалярного произведения.

Для начала рекомендуем сначала освоить кросс-произведение. Если у вас достаточно клеток мозга, чтобы справиться с перекрестным произведением или скалярным тройным произведением, мы рекомендуем сосредоточиться на перекрестном произведении. Его приложения становятся более непосредственными, и его использование более широко распространено.

Тем не менее, тройное скалярное произведение действительно имеет свои применения, даже если параллелепипеды вас не особо интересуют. В многомерном исчислении оказывается, что за некоторыми важными формулами и теоремами скрываются параллелепипеды.Причина кроется в определении дифференцируемости функций. Вкратце, дифференцируемость означает, что функция выглядит линейной, если вы увеличиваете масштаб. Исчисление — это все о бесконечно малом (то есть, делая все маленьким), поэтому небольшая структура, которую вы видите при увеличении, имеет фундаментальное значение. Итог: линейные функции являются фундаментальными в исчислении.

Путь к параллелепипедам проходит через эти линейные функции, которые мы назовем линейными преобразованиями или линейными картами, чтобы подчеркнуть, как они сопоставляют объекты с другими объектами.Оказывается, трехмерные линейные преобразования всегда переводят параллелепипеды в другие параллелепипеды. Таким образом, свойства линейных карт можно увидеть по тому, как они преобразуют параллелепипеды. Одно из этих свойств — это то, как линейные карты расширяют или сжимают объекты. А вот и скалярное тройное произведение, так как оно измеряет изменяющийся объем. В частности, указанная выше детерминантная форма скалярного тройного произведения является ключевой, поскольку матрицы сильно связаны с линейными преобразованиями.

Если вы находите этот бизнес линейного преобразования слишком абстрактным, чтобы помочь вам оценить полезность тройного скалярного произведения, вы также можете подумать о тройных интегралах, определение которых основано на разделении области на маленькие квадраты.Если вы думаете, что коробка — это разновидность параллелепипеда, а маленький размер означает, что линейное преобразование имеет значение, тогда вам определенно нужно больше выходить и заниматься другими вещами, помимо математических. Но эти связи — это именно то, как скалярное тройное произведение связывается с тройными интегралами. Однако нам не нужно скалярное тройное произведение для обычного тройного интеграла, поскольку мы знаем, как вычислить объем ящика без него. Но когда вы начинаете изменять переменные в тройных интегралах, тогда прямоугольник превращается в параллелепипед, и становится важным вычисление объема тройного скалярного произведения.

Почему два вектора составляют скаляр? — MVOrganizing

Почему два вектора составляют скаляр?

5 ответов. Нет, другого вектора он не дает. Он дает произведение длины одного вектора на длину проекции другого. Это скаляр.

Почему скалярное произведение двух векторов является скаляром?

Простой ответ на ваш вопрос состоит в том, что скалярное произведение — это скаляр, а перекрестное произведение — это вектор, потому что они определены таким образом.Скалярное произведение определяет компонент одного вектора в направлении другого, когда второй вектор нормализован. По сути, это скалярный множитель.

Является ли произведение двух векторов скаляром?

Другой вид умножения — векторное произведение, также известное как перекрестное произведение. Скалярное произведение векторов — это число (скаляр). Векторное произведение векторов — это вектор. Оба вида умножения обладают свойством дистрибутивности, но только скалярное произведение обладает свойством коммутативности.

Для чего используется скалярное произведение векторов?

Скалярное произведение по существу говорит нам, какая часть вектора силы приложена в направлении вектора движения. Скалярное произведение также может помочь нам измерить угол, образованный парой векторов, и положение вектора относительно осей координат.

Что такое векторное произведение вектора на самого себя?

Наконец, произведение любого вектора на себя является нулевым вектором (a × a = 0). В частности, произведение любого стандартного единичного вектора на себя является нулевым вектором.

Может ли скалярное произведение быть отрицательным?

Ответ: Скалярным произведением может быть любое действительное значение, включая отрицательное и нулевое. Скалярное произведение равно 0, только если векторы ортогональны (образуют прямой угол).

Как вы запомните тройное произведение вектора?

Свойства тройного произведения векторов Перекрестное произведение векторов, таких как a × (b × c) и (a × b) × c, называется векторным тройным произведением векторов a, b, c. Векторное тройное произведение a × (b × c) представляет собой линейную комбинацию тех двух векторов, которые заключены в квадратные скобки.

Можете ли вы перемножить 3 вектора?

a × (b × c) = (a · c) b — (a · b) c. Особенно полезно смешанное произведение трех векторов: a · (b × c) = det (a b c), где точка обозначает скалярное произведение, а определитель det (a b c) имеет векторы a, b, c в качестве столбцов.

Что вычисляет тройное скалярное произведение?

Скалярное тройное произведение (также называемое смешанным произведением, квадратичным произведением или составным произведением) трех векторов a, b, c является скаляром (abc), численно равным перекрестному произведению [a × b], умноженному на вектор c как точку продукт.

Что представляет собой скалярное произведение?

Скалярное произведение показывает, какое количество одного вектора идет в направлении другого. Таким образом, скалярное произведение в этом случае даст вам величину силы, действующей в направлении смещения или в направлении движения прямоугольника.

Что такое крест крест Б?

Даны два линейно независимых вектора a и b, перекрестное произведение a × b (читается как «крест b») является вектором, перпендикулярным как a, так и b, и, следовательно, нормальным к плоскости, содержащей их.Его не следует путать с скалярным произведением (проекционным продуктом).

В чем разница между скалярным произведением и перекрестным произведением?

Основное различие между скалярным произведением и перекрестным произведением состоит в том, что скалярное произведение — это произведение величины векторов и cos угла между ними, тогда как перекрестное произведение — это произведение величины вектора и синуса угла. в котором они подчиняются друг другу.

Вы сначала делаете скалярное произведение или кросс-произведение?

ответов и ответов.Короче да. Помните, что на основе определений: (1) скалярное произведение двух векторов возвращает скаляр, и (2) перекрестное произведение двух векторов возвращает вектор.

Как вы производите скрещивание и точечное произведение?

Найдите направление, перпендикулярное двум заданным векторам. Найдите область со знаком, охватываемую двумя векторами. Определите, ортогональны ли два вектора (хотя проверка скалярного произведения 0, вероятно, быстрее). «Умножьте» два вектора, когда вклад вносят только перпендикулярные поперечные члены (например, определение крутящего момента).

Скалярное тройное произведение | Суперпроф

В этой статье мы обсудим, как вычислить тройное скалярное произведение векторов. Но прежде чем продолжить, давайте сначала определим вектор.

Вектор — это величина, которая определяется величиной, а также направлением. Мы представляем векторы с алфавитами со стрелкой вправо вверху, которая показывает их направление. Например,

, и являются представлениями векторов.

Скалярное тройное произведение векторов

Скалярное тройное произведение также известно как смешанное произведение .Скалярное тройное произведение трех векторов

Мы можем обозначить это произведение математически как:

Перекрестное произведение этих векторов равно определителю. Строки этого определителя равны координатам векторов относительно ортонормированного базиса.

Свойства тройного произведения

Свойства тройного произведения приведены ниже:

• Если порядок факторов вращается по кругу, то тройное произведение остается неизменным. Например,
• Однако тройное произведение меняет знаки, если множители переставляются. Например,
• Если три вектора линейно зависят друг от друга, то тройное произведение равно нулю.

Лучшие доступные репетиторы по математике

Поехали

Пример 1

Найдите скалярное тройное произведение следующих векторов:

Решение

Математически тройное скалярное произведение представлено как:

Во-первых, мы вычислим произведение

Мы вычислим определитель, используя формулу нахождения определителя матрицы 3×3 следующим образом:

Теперь мы вычислим скалярное произведение

Пример 2

Найдите скалярное тройное произведение следующих векторов:

Решение

Математически тройное скалярное произведение представлено как:

Сначала мы вычислим произведение

Мы вычислим определитель, используя формулу нахождения определителя матрицы 3×3 следующим образом:

Теперь мы вычислим скалярное произведение

Пример 3

Найдите скалярное тройное произведение следующих векторов:

Решение

Математически тройное скалярное произведение представлено как:

Сначала мы вычислим произведение

Мы вычислим определитель, используя формулу нахождения определителя матрицы 3×3, например:

Теперь мы вычислим скалярное произведение

Найти другого репетитора по математике можно здесь на Суперпроф.

Пример 4

Найдите скалярное тройное произведение следующих векторов:

Решение

Математически тройное скалярное произведение представлено как:

Сначала мы вычислим произведение

Мы вычислим определитель, используя формулу нахождения определителя матрицы 3×3 следующим образом:

Теперь мы вычислим скалярное произведение

Пример 5

Найти скалярное тройное произведение следующих векторов:

Решение

Математически тройное скалярное произведение представлено как:

Сначала мы вычислим произведение

Мы вычислим определитель, используя формулу нахождения определителя матрицы 3×3 следующим образом:

Теперь мы вычислим скалярное произведение

Тройное скалярное произведение: Определение , Формула и пример — видео и стенограмма урока

Организация векторных продуктов

Величины, такие как масса и объем, — это скаляров .Скаляр имеет величину, но не направление. Вектор , как и сила или скорость, имеет как величину, так и направление. Представьте, что вы умножаете три вектора вместе и получаете скаляр. Это происходит в тройном скалярном произведении.

Эти котята на фотографии сгруппированы как двое одного вида и один другого. Это похоже на тройное скалярное произведение , где мы берем перекрестное произведение двух из трех векторов. Этот кросс-продукт дает нам новый вектор. Затем мы берем скалярное произведение этого нового вектора на оставшийся вектор.Общий результат — скаляр. Это звучит сложнее, чем есть на самом деле. Мы рассмотрим это шаг за шагом. Это, конечно, проще, чем пасти котят.

Перекрестное произведение

Когда мы берем перекрестное произведение двух векторов, ⃗a и ⃗b, ​​мы получаем новый вектор. Чтобы показать это в общем виде, предположим, что вектор ⃗a записан с компонентами ax , ay и az . Точно так же вектор ⃗b записывается с компонентами bx , на и bz .Единичные векторы i , j и k завершают описание, как вы можете видеть:

Удобный способ вычислить перекрестное произведение — построить матрицу, используя компоненты векторов. Тогда определитель матрицы дает нам векторное произведение. Вот как мы строим матрицу. Первая строка матрицы содержит единичные векторы. Вторая строка содержит компоненты вектора ⃗a. Компоненты вектора ⃗b находятся в третьей строке.Вот перекрестное произведение ⃗a и ⃗b, ​​появляющееся здесь:

Когда мы расширяем этот определитель, результирующее перекрестное произведение будет следующим новым вектором:

Теперь возьмем скалярное произведение с вектором ⃗c. В скалярном произведении компоненты i каждого вектора умножаются вместе. В нашем общем случае компонент i вектора ⃗c равен cx , а компонент перекрестного произведения i равен ( ay bz — az на ).Это дает нам скаляр cx ( ay bz — az на ). То же самое мы делаем с компонентами j и k . Сложение этих трех скалярных произведений дает нам скаляр. Теперь у нас есть тройное скалярное произведение. Похоже, что формула отображается прямо сейчас на вашем экране:

Можно сделать интересное наблюдение. Полученный результат совпадает с определителем матрицы, строки которой являются компонентами векторов ⃗c, ⃗a и ⃗b.

Некоторые цифры помогут прояснить эту последнюю идею. Например, если здесь присутствуют векторы, мы можем уточнить результат, который совпадает с определителем матрицы, строки которой являются компонентами векторов, упомянутых ранее.

Можете ли вы считать компоненты вектора ⃗c? Если вы сказали (1,1,4), вы абсолютно правы. Скобки — удобный способ сгруппировать компоненты вектора.Как насчет компонентов вектора ⃗a? Верно. Компоненты вектора ⃗a равны (2, 0, 0). Компоненты ⃗b? (-1; 3,0).

Мы можем вычислить тройное скалярное произведение, используя следующее:

Мы видим, что в конечном итоге оно равно 24. Вы видите, как компоненты векторов помещаются в матрицу? Вы видите, как определитель дает скалярный ответ? Вы знаете, куда забрели трое котят?

Некоторые интересные факты

Если мы повторим последовательность векторов ⃗c, ⃗a и ⃗b, ​​мы получим ⃗c ⃗a ⃗b ⃗c ⃗a ⃗b и так далее.Если мы начнем с любого из трех векторов, сохраняя этот порядок, то мы сохраним циклический порядок таким же. Для тройного скалярного произведения ⃗c (⃗a x b) равно ⃗a (⃗b x ⃗c), что равно b (⃗c x a).

Тройное скалярное произведение эквивалентно умножению площади основания на высоту. Это рецепт поиска объема. Фактически, абсолютная величина тройного скалярного произведения — это объем трехмерной фигуры, определяемой векторами ⃗a, ⃗b и ⃗c.Эта фигура называется параллелепипедом . Это фигура с тремя наборами равных параллельных граней, каждая из которых представляет собой параллелограмм. Самая простая из этих фигур — куб, каждая грань которого представляет собой квадрат. Мы берем абсолютное значение, потому что объем является положительной величиной, а перекрестное произведение может быть положительным или отрицательным. Используя числовые три вектора из нашего примера, вот изображение получившегося параллелепипеда:

Вы видите, как три вектора определяют угол фигуры? Интересно, что нужно, чтобы трое котят остались в одном углу?

Резюме урока

Давайте на пару минут рассмотрим то, что мы узнали в этом уроке. Во-первых, мы должны помнить, что такие величины, как масса и объем, равны скалярам , а вектор , как сила или скорость, имеет как величину, так и направление.Тройное скалярное произведение дает скаляр из трех векторов. Скалярное произведение первого вектора на произведение второго и третьего векторов даст результирующий скаляр. Определитель матрицы, составленной из компонентов трех векторов, является удобным способом вычисления тройного скалярного произведения. Если циклический порядок трех векторов сохраняется, тройное скалярное произведение может быть выражено тремя различными способами. Абсолютное значение тройного скалярного произведения равно объему параллелепипеда , образованного тремя векторами.

Объяснитель урока: Скалярное тройное произведение

В этом объяснении мы узнаем, как вычислить скалярное тройное произведение и применить его в геометрических приложениях.

Прежде чем рассматривать скалярное тройное произведение, вы должны быть знакомы со скалярным произведением (скалярным произведением) и перекрестным произведением. Здесь мы вводим произведение трех векторов, объединяющее как скалярные, так и перекрестные произведения.

Определение: тройное скалярное произведение

Скалярное тройное произведение трех векторов ⃑𝐴, ⃑𝐵, а ⃑𝐶 определяется как ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶.

Мы можем записать скалярное тройное произведение как ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶 также. Однако скобки не нужны, поскольку выполнение ⃑𝐴⋅⃑𝐵 сначала дает скаляр, и мы не можем выполнить кросс-произведение между скаляром и вектором.

Тройное скалярное произведение дает скаляр, как следует из его названия.

Мы знаем, что ⃑𝐵 × ⃑𝐶 = 𝐵⃑𝑖 + 𝐵⃑𝑗 + 𝐵⃑𝑘 × 𝐶⃑𝑖 + 𝐶⃑𝑗 + 𝐶⃑𝑘 = 𝐵𝐶 − 𝐵𝐶⃑𝑖− (𝐵𝐶 − 𝐵𝐶) ⃑𝑗 + 𝐵𝐶 − 𝐵𝐶⃑𝑘. 

Следовательно, 𝐴⃑𝑖 + 𝐴⃑𝑗 + 𝐴⃑𝑘⋅𝐵𝐶 − 𝐵𝐶⃑𝑖− (𝐵𝐶 − 𝐵𝐶) ⃑𝑗 + 𝐵𝐶 − 𝐵𝐶⃑𝑘 = 𝐴𝐵𝐶 − 𝐵𝐶 − 𝐴 (𝐵𝐶 − 𝐵𝐶) + 𝐴𝐵𝐶 − 𝐵𝐶  = ||||| 𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶 |||||.

Свойство: вычисление скалярного тройного произведения с использованием Компоненты векторов

Вычисление скалярного тройного произведения ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶 эквивалентно вычислению определителя ||||| 𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶 ||||| .

Давайте применим это к первому примеру.

Пример 1: Вычисление скалярного тройного произведения трех векторов

Дано ⃑𝐴 = (1,5; −5), ⃑𝐵 = (2,4,3) и ⃑𝐶 = (0,5, −4), найти ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶.

Ответ

Мы знаем, что вычисление ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶 эквивалентно вычислению ||||| 𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶 ||||| . Итак, подставим компоненты векторов ⃑𝐴, ⃑𝐵, и ⃑𝐶 чтобы вычислить этот определитель: ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶 = |||| 15−524305−4 |||| = 1 (4 × (−4) −5 × 3) −5 (2 × (−4) −0 × 3) — 5 (2 × 5−0 × 4) = — 31 + 40−50 = −41.

Давайте теперь посмотрим на некоторые свойства скалярного тройного произведения. Мы знаем, что замена двух горизонтальных строк в 3 × 3 определитель меняет знак.Следовательно, переключение двух векторов в скалярном тройном произведении меняет знак товара: ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶 = −⃑𝐵⋅⃑𝐴 × ⃑𝐶.

Если мы выполним дальнейшую перестановку, он снова изменит знак. Так, путем перестановки ⃑𝐴 и ⃑𝐶 или ⃑𝐵 и ⃑𝐶 в × ⃑𝐶, находим, что ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶 = ⃑𝐵⋅⃑𝐶 × ⃑𝐴 = ⃑𝐶⋅⃑𝐴 × ⃑𝐵.

Мы видим, что тройные скалярные произведения равны, когда циклический порядок трех векторов не меняется, здесь ⃑𝐴, ⃑𝐵, ⃑𝐶.

Мы собираемся использовать это свойство в следующем примере.

Пример 2: Вычисление скалярного тройного произведения трех единичных векторов и его перестановок

Найти ⃑𝑖⋅⃑𝑗 × ⃑𝑘 + ⃑𝑗⋅⃑𝑘 × ⃑𝑖 + ⃑𝑘⋅⃑𝑖 × ⃑𝑗.

Ответ

У нас есть три скалярных тройных произведения с теми же тремя векторами, ⃑𝑖, ⃑𝑗, и ⃑𝑘, но в разном порядке. Скалярная тройка продукты с одинаковыми тремя векторами всегда имеют то же абсолютное значение, но тот же знак, только если три вектора находятся в одном циклическом порядке.Здесь, циклический порядок в первом скалярном тройном произведении равен ⃑𝑖, ⃑𝑗, ⃑𝑘, ⃑𝑖, ⃑𝑗, ⃑𝑘… и это тот же порядок в другом тоже два.

Следовательно, общее значение данного выражения в 3 раза больше значения одного из членов.

Чтобы вычислить одно из тройных скалярных произведений, мы можем использовать тот факт, что ⃑𝑖 × ⃑𝑗 = ⃑𝑘, поэтому ⃑𝑘⋅⃑𝑖 × ⃑𝑗 = ⃑𝑘⋅⃑𝑘 = ‖‖⃑𝑘‖‖ = 1.

В качестве альтернативы мы можем использовать метод определителя: ⃑𝑖⋅⃑𝑗 × ⃑𝑘 = |||| 100010001 |||| = 1.

Следовательно, ⃑𝑖⋅⃑𝑗 × ⃑𝑘 + ⃑𝑗⋅⃑𝑘 × ⃑𝑖 + ⃑𝑘⋅⃑𝑖 × ⃑𝑗 = 3.

Свойство: Скалярное тройное произведение копланарных векторов

Скалярное тройное произведение ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶 является скалярным произведением ⃑𝐴 с ⃑𝐵 × ⃑𝐶, то есть скалярное произведение ⃑𝐴 с вектором, перпендикулярным плоскости, определяемой формулой ⃑𝐵 и ⃑𝐶.

Получается, что если ⃑𝐴, ⃑𝐵 и ⃑𝐶 компланарны (т.е. в одной плоскости), то ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶 = 0 так как скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю.

Обратно, если ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶 = 0, то ⃑𝐴, ⃑𝐵 и ⃑𝐶 компланарны.

Воспользуемся этим свойством для решения следующего вопроса.

Пример 3: Нахождение недостающих компонентов копланарных векторов

Найдите значение 𝑘 для которого четыре точки (1,7, −2), (3,5,6), (−1,6, −4) и (−4, −3, 𝑘) все лежат в одной плоскости.

Ответ

Поскольку три неколлинеарных точки определяют плоскость, если (1,7, −2), (3,5,6) и (−1,6, −4) действительно неколлинеарны, то нам нужно найти значение 𝑘, для которого (−4, −3, 𝑘) лежит в плоскости, содержащей (1,7, −2), (3,5,6) и (−1,6, −4).

Сначала проверим, что 𝐴 (1,7, −2), 𝐵 (3,5,6) и 𝐶 (−1,6, −4) неколлинеарны. Для этого просто проверяем, что крестик произведение 𝐵𝐴 и 𝐵𝐶 не равно нулю (здесь можно взять любое два разных вектора, образованных тремя точками): 𝐵𝐴 × 𝐵𝐶 = ||||| ⃑𝑖⃑𝑗⃑𝑘𝐵𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴𝐵𝐶𝐵𝐶𝐵𝐶 ||||| = |||| ⃑𝑖⃑𝑗⃑𝑘 − 22−8−41−10 |||| = (- 12,12,6) ≠ 0. 

Найдем теперь значение 𝑘, для которого 𝐷 (−4, −3, 𝑘) находится в плоскости. Как скалярное тройное произведение трех копланарные векторы равны нулю, нам нужно найти значение 𝑘 для которого, например, 𝐴𝐷⋅𝐵𝐴 × 𝐵𝐶 = 0.В компоненты 𝐴𝐷 являются (−5, −10, + 2). Следовательно, 𝐴𝐷⋅𝐵𝐴 × 𝐵𝐶 = −12 × (−5) + 12 × (−10) +6 (𝑘 + 2) = 60−120 + 6𝑘 + 12 = 6𝑘 − 48.

𝐴𝐷⋅𝐵𝐴 × 𝐵𝐶 = 0, если 6𝑘 − 48 = 0, то есть, если 𝑘 = 8.

Следовательно, значение 𝑘, для которого четыре балла (1,7, −2), (3,5,6), (−1,6, −4) и (−4, −3, 𝑘) все лежат в одной плоскости, это 8.

Еще одно полезное свойство тройного скалярного произведения вытекает из его геометрический смысл. Как сказано выше, скалярное тройное произведение ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶 = 0 — скалярное произведение ⃑𝐴 с ⃑𝐵 × ⃑𝐶.Мы знаем, что ⃑𝐵 × ⃑𝐶 вектор, перпендикулярный плоскости, определяемой формулой ⃑𝐵 и ⃑𝐶 чьи величина ‖‖⃑𝐵 × ⃑𝐶‖‖ — площадь параллелограмма, охватываемого пользователя ⃑𝐵 и ⃑𝐶.

Рассмотрим параллелепипед, натянутый на, ⃑𝐵 и ⃑𝐶. Его объем равен площади параллелограмма, натянутого на ⃑𝐵 и ⃑𝐶 умножить на его высоту ℎ, как показано на рисунке. Высота ℎ, в свою очередь, задается формулой ℎ = ‖‖⃑𝐴‖‖cos𝜃, где 𝜃 — острый угол между векторами и.

Поскольку ⃑𝐵 × ⃑𝐶 — вектор, перпендикулярный на плоскость, определяемую и ⃑𝐶, у нас есть cos𝜃 = || ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶 || ‖‖⃑𝐴‖‖‖‖⃑𝐵 × ⃑𝐶‖‖.

Изменение ориентации ⃑𝐵 × ⃑𝐶 (вверх или вниз) не изменяет абсолютное значение своего скалярного произведения с ⃑𝐴, как показано на рисунке с 𝜃 ′ угол между ⃑𝐴 и ⃑𝐵 × ⃑𝐶 (вниз). Поскольку 𝜃 ′ = 180 − 𝜃∘, | 𝜃 ′ | = | 𝜃 | coscos.

Следовательно, объем параллелепипеда равен Объемcos = ‖‖⃑𝐵 × ⃑𝐶‖‖ℎ = ‖‖⃑𝐵 × ⃑𝐶‖‖‖‖⃑𝐴‖‖𝜃 = ‖‖⃑𝐵 × ⃑𝐶‖‖‖‖⃑𝐴‖‖ || ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶 || ‖‖⃑𝐴‖ ‖‖‖⃑𝐵 × ⃑𝐶‖‖ = || ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶 ||.

Свойство: геометрическое значение скалярного тройного произведения

Абсолютное значение скалярного тройного произведения трех векторов — это объем параллелепипеда, натянутый на три вектора: объем = || ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶 ||.

Стоит отметить, что три компланарных вектора не определяют параллелепипед, и поэтому скалярное тройное произведение равно нулю.

Давайте теперь воспользуемся этим свойством, чтобы найти объем параллелепипеда.

Пример 4: Определение объема параллелепипеда

Найдите объем параллелепипеда со смежными сторонами ⃑𝑈 = (1,1,3), ⃑𝑉 = (2,1,4) и 𝑊 = (5,1, −2).

Ответ

Параллелепипед натянут на ⃑𝑈 = (1,1,3), ⃑𝑉 = (2,1,4) и 𝑊 = (5,1, −2). Его объем определяется абсолютной величиной скалярного тройного произведения трех векторов. Следовательно, объем = || ⃑𝑈⋅⃑𝑉 × 𝑊 || = |||||||| 11321451−2 |||||||| = | −6 + 24−9 | = 9.

Объем параллелепипеда с прилегающими сторонами ⃑𝑈 = (1,1,3), ⃑𝑉 = (2,1,4), и 𝑊 = (5,1, −2) составляет 9 единиц объема.

В последнем примере мы собираемся найти возможные значения для отсутствующего вектора компоненту заданного объема параллелепипеда, натянутого на три вектора.

Пример 5: Нахождение недостающих компонент вектора с учетом объема параллелепипеда, растянутого на три вектора

Параллелепипед на векторах (−2, −2, 𝑚), (2,0, −2) и (−5,1,0) имеет объем 48. Что может 𝑚 быть?

Ответ

Объем параллелепипеда, натянутого на векторы ⃑𝐴 (−2, −2, 𝑚), ⃑𝐵 (2,0, −2), а ⃑𝐶 (−5,1,0) задается формулой объем = || ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶 || = |||||||| −2−2𝑚20−2−510 |||||||| = | −4−20 + 2𝑚 | = | −24+ 2𝑚 |,

Объем параллелепипеда 48 единиц объема; следовательно, | −24 + 2𝑚 | = 48.

Это уравнение проверяется, если −24 + 2𝑚 = 48 или если -24 + 2𝑚 = -48; следовательно, если 𝑚 = 36 или 𝑚 = −12.

Параллелепипед на векторах (−2, −2, 𝑚), (2,0, −2) и (−5,1,0) имеет объем 48, если 𝑚 = 36 или 𝑚 = −12.

Ключевые точки

• Скалярное тройное произведение трех векторов ⃑𝐴, ⃑𝐵, а ⃑𝐶 определяется как ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶.
• Скалярное тройное произведение эквивалентно Определитель 3 × 3: ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶 = ||||| 𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐶𝐶𝐶 ||||| .
• Скалярные тройные произведения равны, если циклический порядок трех векторов не изменился: ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶 = ⃑𝐵⋅⃑𝐶 × ⃑𝐴 = ⃑𝐶⋅⃑𝐴 × ⃑𝐵.
• Скалярное тройное произведение трех копланарных векторов равно нулю. Наоборот, если ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶 = 0, затем ⃑𝐴, ⃑𝐵, и ⃑𝐶 компланарны.
• Объем параллелепипед, натянутый на векторы ⃑𝐴, ⃑𝐵, и ⃑𝐶 задается формулой объем = || ⃑𝐴⋅⃑𝐵 × ⃑𝐶 ||.

Тройное произведение векторов — объяснение, доказательство, пример, формула и свойства

В векторной алгебре есть ветвь под названием Тройное произведение векторов. В векторном тройном произведении мы узнаем о перекрестном произведении трех векторов.

Если мы произведем перекрестное произведение вектора вместе с перекрестным произведением двух других векторов, можно вычислить количество векторного тройного произведения.

В результате это перекрестное произведение генерирует векторную величину.После упрощения векторного тройного произведения из результата можно получить идентификационное имя BAC — CAB.

Пусть \ [\ overrightarrow {a}, \ overrightarrow {b}, \ overrightarrow {c} \] — три вектора. Их тройное векторное произведение можно определить как произведение вектора a на произведение векторов \ [\ overrightarrow {b} \] и \ [\ overrightarrow {c} \].

Математически = \ [\ overrightarrow {a} × (\ overrightarrow {b} × \ overrightarrow {c}) \]

В этом векторном тройном произведении \ [\ overrightarrow {a} × (\ overrightarrow {b} × \ overrightarrow {c}) \]

Векторы \ [\ overrightarrow {b} \] и \ [\ overrightarrow {c} \] копланарны с тройным произведением.

Тройное произведение также перпендикулярно \ [\ overrightarrow {a} \].

В других методах мы также можем записать это как линейную комбинацию векторов \ [\ overrightarrow {b} \] и \ [\ overrightarrow {c} \].

Математическая форма: \ [\ overrightarrow {a} × (\ overrightarrow {b} × \ overrightarrow {c}) \] = \ [x \ overrightarrow {b} + y \ overrightarrow {c} \]

Вы знаете о скалярном тройном произведении?

Определение тройного скалярного произведения можно объяснить, поскольку это скалярное произведение одного из векторов на перекрестное произведение двух других векторов.Это также называется коробочным или смешанным продуктом.

Мы можем объяснить тройное скалярное произведение геометрически

a. (b × c)

Это объем параллелепипеда, отличающийся тремя показанными векторами.

Здесь скобки можно опустить, не вызывая неопределенности, поскольку скалярное произведение не может быть оценено в первую очередь.

Если бы это было так, то оставалось бы перекрестное произведение скаляра и вектора, которое не определено.

[Изображение будет скоро загружено]

Доказательство тройного произведения векторов

Нам нужно доказать, что тройное произведение векторов является правильным результатом, полученным из перекрестного произведения \ [\ overrightarrow {a}, \ overrightarrow {b}, и \ overrightarrow {c} \].

\ [\ overrightarrow {a} × (\ overrightarrow {b} × \ overrightarrow {c}) \]

Это произведение можно записать как линейную комбинацию векторов \ [\ overrightarrow {a} и \ overrightarrow {b } \].

Продукт можно записать как \ [(\ overrightarrow {a} × \ overrightarrow {b}) × \ overrightarrow {c} \] = \ [x \ overrightarrow {a} + y \ overrightarrow {b} \]

\ [\ overrightarrow {c}. (\ Overrightarrow {a} × \ overrightarrow {b}) × \ overrightarrow {c} \] = \ [\ overrightarrow {c}. (X \ overrightarrow {a} + y \ overrightarrow {b}) \]

\ [х.(\ overrightarrow {c}. \ overrightarrow {a}) + y. (\ overrightarrow {c}. \ overrightarrow {b}) \]

\ [x. (\ overrightarrow {a}. \ overrightarrow {c}) + y. (\ overrightarrow {b}. \ overrightarrow {c}) \] = 0

\ [\ frac {x} {\ overrightarrow {b}. \ overrightarrow {c}} \] = — \ [\ frac {y} {\ overrightarrow {a}. \ overrightarrow {c}} \] = λ

Итак, x = \ [λ (\ overrightarrow {b}. \ overrightarrow {c}) \] и y = \ [λ (\ overrightarrow {a}. \ overrightarrow {c}) \]

Теперь у нас есть \ [(\ overrightarrow {a} × \ overrightarrow {b}) × \ overrightarrow {c} \] = \ [x \ overrightarrow {a} + y \ overrightarrow {b} \] …… (1)

Давайте просто заменим значения x и y в приведенном выше уравнении (1)

\ [(\ overrightarrow {a} × \ overrightarrow {b }) × \ overrightarrow {c} \] = \ [(λ \ overrightarrow {b}.\ overrightarrow {c}) \ overrightarrow {a} + (-λ \ overrightarrow {a}. \ overrightarrow {c}) \ overrightarrow {b} \]

= \ [(λ \ overrightarrow {b}. \ overrightarrow { c}) \ overrightarrow {a} — (λ \ overrightarrow {a}. \ overrightarrow {c}) \ overrightarrow {b} \]

Произведение для каждого значения \ [\ overrightarrow {a}, \ overrightarrow { b} и \ overrightarrow {c} \]. Причина в том, что у каждого из них есть личность.

Положите \ [\ overrightarrow {a} = i, \ overrightarrow {b} = j, \ overrightarrow {c} = i \]

(i × j) × i = (λj.i) i — (λi. i) j

j = -λj

λ = -1

Следовательно, \ [(\ overrightarrow {a} × \ overrightarrow {b}) × \ overrightarrow {c} \] = \ [(\ overrightarrow {a}. \ overrightarrow {c}) \ overrightarrow {b} — (\ overrightarrow {b}. \ overrightarrow {c}) \ overrightarrow {a} \]

Пример тройного векторного произведения

Давайте решить некоторые задачи примера векторных тройных произведений.

Пример — 1

Есть три вектора, известные как \ [\ overrightarrow {a}, \ overrightarrow {b} и \ overrightarrow {c} \].Модули этих векторов равны \ [| \ overrightarrow {a} | = 1, | \ overrightarrow {b} | = 2, | \ overrightarrow {c} | = 1 \]. Уравнение: \ [\ overrightarrow {a} × (\ overrightarrow {a} × \ overrightarrow {b}) + \ overrightarrow {c} \] = 0. Затем вычислите угол между \ [\ overrightarrow {a} и \ overrightarrow {b} \].

Ответ: Учтите, что угол между \ [\ overrightarrow {a} и \ overrightarrow {b} \] = A

Мы знаем соотношение, которое

\ [\ overrightarrow {a}. \ Overrightarrow {b} \ ] = \ [| \ overrightarrow {a} || \ overrightarrow {b} | cosA \]

= 1 * 2 * cos A

= 2

Также \ [\ overrightarrow {a} × (\ overrightarrow { a} × \ overrightarrow {b}) + \ overrightarrow {c} \] = 0

\ [(\ overrightarrow {a}.2 \]

4cos2⁡A — 4cos⁡A.2cos⁡A + 4 = 1

4 (1-A) = 1

1 = 4 sin2 A

Давайте просто применим квадратный корень с обеих сторон, мы получим ;

1 = 2 sin A

Sin A = ½

A = Sin-1 (1/2) = π / 6

Пример — 2

Предположим, что векторы \ [\ overrightarrow {a}, \ overrightarrow {b} и \ overrightarrow {c} \] копланарны. Вопрос состоит в том, чтобы продемонстрировать, что \ [\ overrightarrow {a} × \ overrightarrow {b} \], \ [\ overrightarrow {a} × \ overrightarrow {c} \], \ [\ overrightarrow {b} × \ overrightarrow {c } \] также компланарны.2 \] = 0

\ [[(\ overrightarrow {a} × \ overrightarrow {b}) (\ overrightarrow {b} × \ overrightarrow {c}) (\ overrightarrow {c} × \ overrightarrow {a})] \] = 0

После этого результата доказывается, что \ [\ overrightarrow {a} × \ overrightarrow {b} \], \ [\ overrightarrow {a} × \ overrightarrow {c} \], \ [\ overrightarrow {b} × \ overrightarrow {c} \] также компланарны.

Пример — 3

Если \ [\ overrightarrow {a} и \ overrightarrow {c} \] коллинеарны, тогда докажите, что \ [(\ overrightarrow {a} × \ overrightarrow {b}) × \ overrightarrow {c } \] = \ [\ overrightarrow {a} × (\ overrightarrow {b} × \ overrightarrow {c}) \].

Ответ: Теперь нам нужно предположить, что

\ [(\ overrightarrow {a} × \ overrightarrow {b}) × \ overrightarrow {c} \] = \ [\ overrightarrow {a} × (\ overrightarrow {b } × \ overrightarrow {c}) \]

⇒ \ [- \ overrightarrow {c} × (\ overrightarrow {a} × \ overrightarrow {b}) \] = \ [\ overrightarrow {a} × (\ overrightarrow { b} × \ overrightarrow {c}) \]

⇒ \ [(- \ overrightarrow {c}. \ overrightarrow {b}) \ overrightarrow {a} \ — (- \ overrightarrow {c}. \ overrightarrow {a} ) \ overrightarrow {b} \] = \ [(\ overrightarrow {a} — \ overrightarrow {c}) \ overrightarrow {b} — (\ overrightarrow {a}.\ overrightarrow {b}) \ overrightarrow {c} \]

⇒ \ [(\ overrightarrow {b}. \ overrightarrow {c}) \ overrightarrow {a} \] = \ [(\ overrightarrow {a}. \ overrightarrow {b}) \ overrightarrow {c} \]

⇒ \ [\ overrightarrow {a} \] = \ [(\ frac {\ overrightarrow {a}. \ overrightarrow {b}} {\ overrightarrow {b}. \ overrightarrow {c}}) \ overrightarrow {c} \]

⇒ \ [\ overrightarrow {a} = λ \ overrightarrow {c} \]

Здесь λ ∊ R

Векторная формула тройного произведения

Вектор тройной Формула продукта может быть записана как:

\ [\ overrightarrow {a} × (\ overrightarrow {b} × \ overrightarrow {c}) \] = \ [(\ overrightarrow {a}.\ overrightarrow {c}) \ overrightarrow {b} — (\ overrightarrow {a}. \ overrightarrow {b}) \ overrightarrow {c} (\ overrightarrow {a} × \ overrightarrow {b}) × \ overrightarrow {c} \ ] = \ [(\ overrightarrow {a}. \ overrightarrow {c}) \ overrightarrow {b} — (\ overrightarrow {b}. \ overrightarrow {c}) \ overrightarrow {a} \]

Здесь \ [\ overrightarrow {a} × (\ overrightarrow {b} × \ overrightarrow {c}) \] ≠ \ [(\ overrightarrow {a} × \ overrightarrow {b}) × \ overrightarrow {c} \]

Свойства тройного произведения вектора

Предположим, что есть три вектора, такие как a, b, c.Перекрестное произведение векторов, таких как a × (b × c) и (a × b) × c, известно как векторное тройное произведение a, b, c.

Следовательно, его можно записать как a × (b × c) = (a. C) b — (a. B) c

1. Векторное тройное произведение a × (b × c) является линейной комбинацией из тех двух векторов, которые заключены в квадратные скобки.

2. Вектор «r» [r = a × (b × c)] перпендикулярен вектору и остается в плоскости b и c.

3. Выражение для вектора r = a1 + λb является фактическим только в том случае, если вектор лежит вне скобки и находится в крайней левой части.

Когда «r» не обнаруживается, как указано в приведенной выше теории, мы сначала меняем его на левую сторону с помощью свойств перекрестного произведения, а затем применяем точное выражение.

Следовательно, (b × c) × a

= — {a × (b × c)}

= — {(a. C) b — (a. B) c}

= (a. B ) c — (a. c) b

4. Векторное тройное произведение распознается как векторная величина.

5. a × (b × c) ≠ (a × b) × c

Определение, значение величины в математике и примерах!

Что такое величина в математике или физике, безусловно, имеет огромное значение.В математике величина или размер объекта — это характеристика, которая определяет, больше или меньше данный объект, чем другие объекты того же класса.

Более формально значение величины объекта — это проиллюстрированный результат порядка или ранга класса объектов, с которым он связан. В этой статье о величине мы подробно узнаем об определении величины, символе величины, значении величины в математике и других подобных темах.

С точки зрения физики величина обычно относится к количеству или длине.Что касается движения, мы можем связать величину с размером и скоростью объекта во время вождения или путешествия.

Если вы читаете Magnitude, прочтите эту статью о статистике.

Что означает величина?

Величина — это размер чего-то. Например, в случае скорости автомобиль движется быстрее велосипеда. В этом случае величина скорости автомобиля выше, чем скорость велосипеда. Он сообщает абсолютное или относительное направление или размер, в котором движется объект в смысле движения.

Величина числа, также называемого его абсолютным значением, находится на расстоянии от нуля, то есть величина 8 равна 8, тогда как величина -8 также равна 8.

Кроме того, здесь подробно изучите концепцию линий.

Что означает величина

Величина действительного числа — Величину действительного числа обычно называют абсолютным значением или модулем.

\ (Это \ написано \ | x |, \ и \ определено \ by: \\\)

\ (| x | = x, \ ifx \ ge \ 0 \ and \ | x | = -x, \ if \ x <0 \)

Точно так же, как величина землетрясения указывает, насколько велико землетрясение, величина балла математического выражения говорит нам, насколько значительным является этот член.В математике это означает, насколько далеко член находится от нуля или начала координат.

Величина вектора — Объект, обладающий как величиной, так и направлением, называется векторной величиной. Чтобы найти величину вектора, нам нужно вычислить длину вектора. Величины, например скорость, сила, импульс, смещение и т. Д., Называются векторными величинами.

Однако скорость, температура, расстояние, масса, объем и т. Д. Известны как скалярные величины.2} = 4. \)

Мы надеемся, что приведенная выше статья о величине будет полезна для вашего понимания и подготовки к экзамену. Следите за обновлениями приложения Testbook, чтобы получать больше обновлений по смежным темам из математики и другим подобным предметам. Кроме того, просмотрите серию доступных тестов, чтобы проверить свои знания по нескольким экзаменам.

Величина Часто задаваемые вопросы

Q.1 Что такое величина в физике?

Ans.1 Величина обычно относится к количеству или расстоянию.В связи с движением мы можем сравнивать величину с размером и скоростью объекта во время ходьбы. Размер объекта или мера — это его величина.

Q.2 Что такое величина в математике?

Ans.2 В математике величина или размер объекта — это характеристика, которая определяет, больше или меньше объект, чем другие объекты того же вида.

Q.3 Одинаковы ли величины и расстояние?

Отв.3 Расстояние — это мера величины или размера смещения между двумя точками.

Q.4 В чем разница между величиной и вектором?

Ans.4 Направленная величина, включающая как величину, так и направление, называется вектором. А величина присваивается вектору, указывающему его длину.

Q.5 Что такое величина простыми словами?

Ans.5 Величина простыми словами обозначает расстояние или количество.Он показывает абсолютное или относительное направление или размер, в котором движется объект в смысле движения.

Создайте бесплатную учетную запись, чтобы продолжить чтение

• Получите мгновенные оповещения о вакансиях бесплатно!

• Получите ежедневный GK и текущие новости Капсула и PDF-файлы

• Получите более 100 бесплатных пробных тестов и викторин