Site Loader

Содержание

Понятие передаточных функций фильтров нижних частот

Добавлено 21 декабря 2019 в 07:01

Данная статья дает некоторое представление о взаимосвязи между передаточной функцией в s-области и поведением фильтра нижних частот первого порядка.

В последнее время я довольно много пишу на тему фильтров, и хотя я сосредоточился на практических соображениях, я чувствую необходимость объяснить некоторые важные теоретические концепции в пользу тех, кто хотел бы более подробно понять и проанализировать поведение аналоговых фильтров. В настоящее время каждый имеет доступ к программным инструментам, которые делают сложное проектирование фильтров относительно безболезненным, но я не думаю, что было бы разумно полностью игнорировать математические основы просто потому, что они не являются строго необходимыми для выполнения многих реальных задач проектирования.

s-область

Отклик фильтра может быть выражен передаточной функцией в s-области; переменная s появляется из преобразования Лапласа и представляет комплексную частоту. Например:

\[T(s) = \frac{K}{1+ \left( \frac{s}{\omega_0} \right) }\]

Эта передаточная функция является математическим описанием поведения фильтра нижних частот первого порядка в частотной области. Выражение в s-области эффективно передает общие характеристики, и если мы хотим вычислить конкретную информацию об амплитуде и фазе, всё, что нам нужно сделать, это заменить s на , а затем вычислить выражение при заданной угловой частоте.

Вам может быть интересно, откуда берутся K и ω0 – вы, вероятно, никогда не видели принципиальной схемы, в которой значения компонентов были выражены в значениях K и ω0. Идея в том, что K и ω0 подобны частям шаблона, и в следующем разделе мы рассмотрим взаимосвязь между этим шаблоном и принципиальной схемой.

Анализ схем в s-области

RC фильтр нижних частот является частотно-зависимым делителем напряжения. При анализе в s-области импеданс резистора равен R, а импеданс конденсатора равен \(\frac{1}{sC}\).

Рисунок 1 – RC фильтр нижних частот является частотно-зависимым делителем напряжения

\[\frac{V_{вых}}{V_{вх}} = {\frac{1}{sC} \over \frac{1}{sC} + R} = \frac{1}{1+sRC}\]

Если мы сравним это выражение с нормированной передаточной функцией, то увидим, что K = 1 и \(\omega_0 = \frac{1}{RC}\). Удобство использования нормированной формы становится понятным, как только вы узнаете, что представляют собой K и ω0: K – это коэффициент усиления схемы при постоянном напряжении, а ω0 – это частота среза. Таким образом, сравнивая передаточную функцию схемы с нормированной передаточной функцией, вы можете сразу же сформулировать выражения для двух определяющих характеристик фильтра нижних частот первого порядка, а именно для коэффициента усиления при постоянном напряжении и частоты среза.

Другой нормированной формой передаточной функции фильтра нижних частот первого порядка является следующее:

\[T(s)=\frac{a_0}{s+\omega_0}\]

Мы можем встроить передаточную функцию схемы в этот шаблон, если разделим числитель и знаменатель на RC:

\[T(s)= \frac{1}{1+sRC} \rightarrow { \frac{1}{RC} \over s + \frac{1}{RC} } \]

Таким образом, \(a_0=\frac{1}{RC}\), и \(\omega_0 = \frac{1}{RC}\). Эта форма напрямую не дает нам коэффициент усиления по постоянному напряжению, но если мы вычислим нормированное выражение для s = 0, то получим

\[T(s=0) = \frac{a_0}{\omega_0}\]

Это означает, что коэффициент усиления по постоянному напряжению нашего RC-фильтра равен

\[\left( \frac{1}{RC} \right) / \left( \frac{1}{RC} \right) = 1\]

А коэффициент усиления по постоянному напряжению, равный единице, – это именно то, что мы ожидаем от пассивного фильтра нижних частот.

Понятие частоты среза

Мы видели, что ω0 в стандартной передаточной функции представляет частоту среза, но каково математическое основание этого факта?

Во-первых, давайте, преобразуем стандартную передаточную функцию в s-области в эквивалентную передаточную функцию .

\[T(s) = \frac{K}{1 + \frac{s}{\omega_0}} \rightarrow T(j\omega) = \frac{K}{1 + j\frac{\omega}{\omega_0}}\]

Теперь давайте вычислим выражение при частоте среза.

\[T(j\omega = j\omega_0) = \frac{K}{1 + j\frac{\omega_0}{\omega_0}}= \frac{K}{1+j}\]

Знаменатель является комплексным числом, поэтому модуль будет равен

\[|T(j\omega = j\omega_0)|= \frac{K}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{K}{\sqrt{2}}\]

Поскольку K – это коэффициент усиления по постоянному напряжению, очень низкочастотный входной сигнал с амплитудой в один вольт приведет к выходному сигналу с амплитудой в K вольт. Если входная частота увеличивается до ω0 радиан в секунду, выходная амплитуда будет равна \(\frac{K}{\sqrt{2}}\). Коэффициент \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) соответствует –3 дБ, и, как вы, вероятно, знаете, другое название частоты среза – это частота –3 дБ.

Рисунок 2 – Амплитудно-частотная характеристика пассивного фильтра нижних частот первого порядка (амплитуда откладывается в дБ в зависимости от частоты в логарифмическом масштабе)

Этот простой анализ передаточной функции ясно продемонстрировал, что частота среза – это просто частота, на которой амплитудно-частотная характеристика фильтра снижается на 3 дБ относительно выходного уровня на очень низкой частоте.

Частота среза и сдвиг фазы

Частота среза фильтра нижних частот имеет особое значение также в отношении фазо-частотной характеристики схемы. Если мы напишем комплексное число в форме x + jy, мы рассчитаем фазу следующим образом:

\[\theta=\text{arctg}\left( \frac{y}{x} \right)\]

Таким образом, общая фазо-частотная характеристика нашего RC фильтра низких частот следующей:

\[\theta(\omega)= -\text{arctg}\left( \frac{\frac{\omega}{\omega_0}}{1} \right)= -\text{arctg}\left( \frac{\omega}{\omega_0} \right)\]

Если мы вычислим это выражение при ω = ω0, сдвиг фазы будет равен

\[-\text{arctg}\left( \frac{\omega_0}{\omega_0} \right) = -\text{arctg}\left( 1 \right) = -45^\circ\]

Рисунок 3 – Фазо-частотная характеристика пассивного фильтра нижних частот первого порядка (фаза откладывается в зависимости от частоты в логарифмическом масштабе)

Максимальный сдвиг фазы, создаваемый фильтром нижних частот первого порядка, составляет 90°, поэтому этот анализ говорит нам, что частота среза является «центром» фазо-частотной характеристики схемы – другими словами, это частота, на которой фильтр создает половину своего максимального сдвига фазы.

Заключение

Я надеюсь, что вам понравилось это краткое введение в концепции s-области и анализ передаточных функций. Поначалу математические основы схем аналоговых фильтров могут быть немного пугающими, но я думаю, что стоит потратить некоторое время на то, чтобы получить некоторое представление об этих темах. Я продолжу исследовать эту тему в будущих статьях.

Оригинал статьи:

  • Robert Keim. Understanding Low-Pass Filter Transfer Functions

Теги

s-областьАЧХ (амплитудно-частотная характеристика)Комплексные числаПередаточная функцияПреобразование ЛапласаСдвиг фазыФНЧ (фильтр нижних частот)ФЧХ (фазо-частотная характеристика)Частота среза

Передаточные функции аналоговых фильтров.

Оглавление

1. Назначение, классификация и принцип работы пассивных фильтров. Передаточные функции аналоговых фильтров. Описание RC-фильтров. Сравнение пассивных фильтров с другими видами фильтров. 3

2. Назначение, классификация и принцип работы пассивных фильтров. Передаточные функции аналоговых фильтров. Описание LC-фильтров. Сравнение пассивных фильтров с другими видами фильтров. 12

3. Описание и классификация активных фильтров. Фильтр нижних частот. 22

4. Описание и классификация активных фильтров. Фильтр верхних частот. 27

5. Описание и классификация активных фильтров. Полосовые фильтры. 31

6. Генераторы гармонических сигналов. Теоретические сведения. Принцип работы. Генератор на основе моста Вина. 35

7. Генераторы гармонических сигналов. Теоретические сведения. Принцип работы. Генератор на основе сдвига фаз с одним ОУ. 48

8. Генераторы гармонических сигналов. Теоретические сведения. Принцип работы. Буферированный генератор на основе сдвига фаз. 58

9. Генераторы гармонических сигналов. Теоретические сведения. Принцип работы. Генератор Буббы. 68

10. Генераторы гармонических сигналов. Теоретические сведения. Принцип работы. Квадратурный генератор. 78

6 – 10 вопросы. Заключение по всем генераторам. 88

11. Модуляция и разновидности модулированных сигналов. Общие сведения о модуляции. Широтно-импульсная модуляция. 89

12. Инверторы. Общие сведения, принцип работы, схемотехника. Автономный однофазный инвертор. Полумостовая и мостовая топологии. 94

13. Инверторы. Общие сведения, принцип работы, схемотехника. Автономный трехфазный инвертор. Способы управления. 102

14. Принципы автоматического управления. Общие сведения о структурах систем управления. Регуляторы. 111

15. Электрический ток в вакууме. Вакуумный диод. Вакуумный триод. 119

16. Ламповый генератор с независимым возбуждением. 126

17. Ламповый генератор с самовозбуждением. 140

  1. Назначение, классификация и принцип работы пассивных фильтров. Передаточные функции аналоговых фильтров.

    Описание RC-фильтров. Сравнение пассивных фильтров с другими видами фильтров.

    Назначение, классификация и принцип работы пассивных фильтров.

Электронный фильтр – это частотно-избирательное устройство, которое служит для передачи (пропускания) сигналов в заданном диапазоне частот (полосе пропускания) и подавления сигналов в других диапазонах частот (полоса задерживания). Фильтры широко используются в системах связи, в схемах защиты электронных систем от помех. Основное назначение фильтра состоит в том, чтобы исключить прохождение сигналов определенного диапазона частот и в то же время обеспечить передачу сигналов другого диапазона частот.

Функциональная схема трехфазного тиристорного выпрямителя показана ниже, одним из составляющих данной схемы является фильтр.

Различают аналоговые фильтры, в которых обрабатываемый сигнал имеет аналоговую форму, и цифровые фильтры, предназначенные для обработки цифровых сигналов. Рассмотрим аналоговые фильтры.

Фильтры делятся на активные и пассивные. Активные фильтры представляют собой частотно-избирательный усилительный каскад. К пассивным фильтрам относятся

RC- и LC-фильтры. Фильтры также можно классифицировать исходя из диапазона частот, которые они пропускают или подавляют.

Существуют четыре типа фильтров:

  1. Фильтр нижних частот, который пропускает все сигналы с частотой ниже некоторого заданного значения и подавляет сигналы более высоких частот.

  2. Фильтр верхних частот, который пропускает все сигналы с частотой выше некоторого заданного значения и подавляет сигналы более низких частот.

  3. Полосно-заграждающий фильтр (режекторный), который используется для подавления сигналов определенного диапазона частот, тогда как сигналы с частотами выше и ниже этого диапазона проходят беспрепятственно.

  4. Полосно-пропускающий фильтр (полосовой), который пропускает сигналы заданной полосы частот и препятствует прохождению сигналов любых других частот.

Амплитудно-частотные характеристики данных четырех типов фильтров представлены выше, где:

а) фильтр нижних частот;

б) фильтр верхних частот;

в) полосно-пропускающий фильтр;

г) полосно-заграждающий фильтр.

Частотой среза фильтра называют частоту, при которой амплитуда выходного сигнала составляет 1/√2 (≈0,71) от амплитуды входного сигнала или -3 дБ (по логарифмической шкале).

Аналоговый фильтр представляет линейную частотно-селективную цепь, поведение которой определяется операторной передаточной функцией H(p). Операторная передаточная функция – отношение изображений по Лапласу выходного и входного сигналов (см. выражение (1)), где U1(p) и U2(p) – изображения напряжений на входе и выходе фильтра, р – комплексная частотная переменная.

Известно, что передаточная функция линейной цепи является дробно-рациональной, т. е. представляет отношение двух полиномов от комплексной переменной 

р (см. выражение (2)).

Полагая в (2) p = jω, получаем комплексную передаточную функцию, определяющую реакцию фильтра на гармоническое воздействие (см. выражение (3)).

Представим передаточную функцию в показательной форме (см. выражение (4)).

Модуль комплексной передаточной функции – амплитудно-частотная характеристика, а ее аргумент – фазочастотная характеристика.

Операторная передаточная функция H(p). Числитель и знаменатель H(p) можно записать в виде произведения сомножителей первого порядка в соответствии с выражением (5).

Корни полинома числителя называют нулями, а корни полинома знаменателя – полюсами передаточной функции. Расположение полюсов и нулей

H(p) на комплексной плоскости определяет поведение цепи как в частотной, так и во временной областях. В частности, от расположения полюсов и нулей зависит форма частотных характеристик фильтра. Как правило, нули передачи частотно-селективных фильтров расположены на мнимой оси, включая начало координат и бесконечность.

В простейших случаях нули передачи расположены в начале координат (ФВЧ) или в бесконечности (ФНЧ). Такие фильтры имеют меньшую селективность, чем фильтры с нулями передачи на мнимой оси. Однако уменьшение селективности окупается значительным упрощением структуры цепи, реализующей передаточную функцию с нулями в начале координат или бесконечности.

В общем случае для получения передаточной функции, обеспечивающей заданную форму частотных характеристик, используют методы оптимизации. На практике часто используют типовые передаточные функции, имеющие аналитическое решение. Перечислим наиболее распространенные передаточные функции, аппроксимирующие АЧХ фильтра нижних частот:

  • Фильтр Баттерворта с максимально плоской амплитудно-частотной характеристикой.

  • Фильтр Чебышева с равноволновой характеристикой в полосе пропускания.

  • Инверсный фильтр Чебышева с равноволновой характеристикой в полосе задерживания.

  • Эллиптический фильтр, имеющий равноволновые характеристики в полосе пропускания и полосе задерживания.

  • Фильтр Бесселя с фазочастотной характеристикой, близкой к линейной.

Порядок передаточной функции n выбирают из условия обеспечения требуемого затухания в полосе задерживания на частоте ω > ωс:

Схема фильтра верхних частот, реализованная на основе сопротивления R и емкости C, и его амплитудно-частотная характеристика показаны ниже.

В этой схеме входное напряжение прикладывается и к резистору, и к конденсатору. Выходное же напряжение снимается с сопротивления. При уменьшении частоты сигнала возрастает реактивное сопротивление конденсатора, а, следовательно, и полное сопротивление цепи. Поскольку входное напряжение остается постоянным, то ток, протекающий через цепь, уменьшается.

Таким образом, снижается и ток через активное сопротивление, что приводит к уменьшению падения напряжения на нем.

Фильтр характеризуется затуханием, выраженным в децибелах, которое он обеспечивает на заданной частоте. RC-фильтры рассчитываются таким образом, чтобы на выбранной частоте среза коэффициент передачи снижался приблизительно на 3 дБ (т.е. составлял 0,707 входного значения сигнала). Частота среза фильтра по уровню -3 дБ определяется по формуле (6).

Фильтр нижних частот имеет аналогичную структуру, только емкость и сопротивление меняются местами (см. ниже).

В этой цепи входное напряжение также прикладывается и к резистору, и к конденсатору, но выходное напряжение снимается с конденсатора. При увеличении частоты сигнала реактивное сопротивление конденсатора, а, следовательно, и полное сопротивление уменьшаются. Однако, поскольку это полное сопротивление состоит из реактивного и фиксированного активного сопротивлений, его значение уменьшается не так быстро, как реактивное сопротивление. Следовательно, при увеличении частоты снижение реактивного сопротивления (относительно полного сопротивления) приводит к уменьшению выходного напряжения. Частота среза этого фильтра по уровню -3 дБ также определяется по формуле (6).

Рассмотренные выше фильтры представляют собой RC-цепи, которые характеризуются тремя параметрами, а именно: активным, реактивным и полным сопротивлениями. Обеспечиваемая этими RC-фильтрами величина затухания зависит от отношения активного или реактивного сопротивления к полному сопротивлению.

П ри расчете любого RC-фильтра можно задать номинал либо резистора, либо конденсатора и вычислить значение другого элемента фильтра на заданной частоте среза. При практических расчетах обычно задают номинал сопротивления, поскольку он выбирается на основании других требований. Например, сопротивление фильтра является его выходным или входным полным сопротивлением.

Соединяя фильтры верхних и нижних частот, можно создать полосовой RC-фильтр. Схема и амплитудно-частотная характеристика приведены выше.

На схеме R1 – полное входное сопротивление; R2 – полное выходное сопротивление, а частоты низкочастотного и высокочастотного срезов определяются по формулам (7) и (8).

Следует отметить, что значение верхней частоты среза (fс2) должно быть, по крайней мере, в 10 раз больше нижней частоты среза (fс1), поскольку только в этом случае полосно-пропускающий фильтр будет работать достаточно эффективно.

Заграждающий RC-фильтр состоит из одного звена ФНЧ и одного звена ФВЧ, включенных параллельно.

Одиночный RC-фильтр не может обеспечить достаточного подавления сигналов вне заданного диапазона частот, поэтому для формирования более крутой переходной области довольно часто используют многозвенные фильтры (см. ниже).

Частота среза многозвенного фильтра определяется по формуле ВЧ, НЧ RC-фильтра. Добавление каждого звена приводит к увеличению затухания на заданной частоте среза примерно на 6 дБ.

На рисунке а) – многозвенный ФВЧ, б) – многозвенный ФНЧ.

Что такое фильтр баттерворта, расчет и схема. Расчёт фильтра с характеристикой Баттерворта Передаточная функция фильтра баттерворта

Передаточная функция фильтра нижних частот Баттерворта n -го порядка характеризуется выражением:

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта обладает следующими свойствами:

1) При любом порядке n значение АЧХ

2) на частоте среза щ=щ с

АЧХ ФНЧ монотонно убывает с ростом частоты. По этой причине фильтры Баттерворта называют фильтрами с максимально плоскими характеристиками. На рисунке 3 показаны графики амплитудно-частотных характеристик ФНЧ Баттерворта 1-5 порядков. Очевидно, что чем больше порядок фильтра, тем точнее аппроксимируется АЧХ идеального фильтра нижних частот.

Рисунок 3 — АЧХ для фильтра Баттерворта нижних частот порядка от 1 до 5

На рисунке 4 представлена схемная реализация ФВЧ Баттерворта.

Рисунок 4 — ФВЧ-II Баттерворта

Достоинством фильтра Баттерворта является максимально гладкая АЧХ на частотах полосы пропускания и ее снижение практически до нуля на частотах полосы подавления. Фильтр Баттерворта — единственный из фильтров, сохраняющий форму АЧХ для более высоких порядков (за исключением более крутого спада характеристики на полосе подавления) тогда как многие другие разновидности фильтров (фильтр Бесселя, фильтр Чебышева, эллиптический фильтр) имеют различные формы АЧХ при различных порядках.

Однако в сравнении с фильтрами Чебышева I и II типов или эллиптическим фильтром, фильтр Баттерворта имеет более пологий спад характеристики и поэтому должен иметь больший порядок (что более трудно в реализации) для того, чтобы обеспечить нужные характеристики на частотах полосы подавления.

Квадрат модуля передаточной функции фильтра Чебышева определяется выражением:

где — полином Чебышева. Модуль передаточной функции фильтра Чебышева равен единице на тех частотах, где обращается в нуль.

Фильтры Чебышева обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна.

Различают фильтры Чебышева I и II родов.

Фильтр Чебышева I рода. Это более часто встречающаяся модификация фильтров Чебышева. В полосе пропускания такого фильтра видны пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации е. В случае аналогового электронного фильтра Чебышева его порядок равен числу реактивных компонентов, использованных при его реализации. Более крутой спад характеристики может быть получен если допустить пульсации не только в полосе пропускания, но и в полосе подавления, добавив в передаточную функцию фильтра нулей на мнимой оси jщ в комплексной плоскости. Это, однако, приведёт к меньшему эффективному подавлению в полосе подавления. Полученный фильтр является эллиптическим фильтром, также известным как фильтр Кауэра.

АЧХ для фильтра Чебышева нижних частот I рода четвёртого порядка представлена на рисунке 5.

Рисунок 5 — АЧХ для фильтра Чебышева нижних частот I рода четвёртого порядка

Фильтр Чебышева II рода (инверсный фильтр Чебышева) используется реже, чем фильтр Чебышева I рода ввиду менее крутого спада амплитудной характеристики, что приводит к увеличению числа компонентов. У него отсутствуют пульсации в полосе пропускания, однако присутствуют в полосе подавления.

АЧХ для фильтра Чебышева нижних частот II рода четвёртого порядка представлена на рисунке 6.

Рисунок 6 — АЧХ для фильтра Чебышева нижних частот II рода

На рисунке 7 представлены схемные реализации ФВЧ Чебышева I и II порядка.

Рисунок 7 — ФВЧ Чебышева: а) I порядка; б) II порядка

Свойства частотных характеристик фильтров Чебышева:

1) В полосе пропускания АЧХ имеет равноволновой характер. На интервале (-1?щ?1) имеется n точек, в которых функция достигает максимального значения, равного 1, или минимального значения, равного. Если n нечетно, если n четно;

2) значение АЧХ фильтра Чебышева на частоте среза равно

3) При функция монотонно убывает и стремится к нулю.

4) Параметр е определяет неравномерность АЧХ фильтра Чебышева в полосе пропускания:

Сравнение АЧХ фильтров Баттерворта и Чебышева показывает, что фильтр Чебышева обеспечивает большее ослабление в полосе пропускания, чем фильтр Баттерворта такого же порядка. Недостаток фильтров Чебышева заключается в том, что их фазочастотные характеристики в полосе пропускания значительно отличаются от линейных.

Для фильтров Баттерворта и Чебышева имеются подробные таблицы, в которых приведены координаты полюсов и коэффициенты передаточных функций различных порядков.

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Кафедра РЭУ

КУРСОВАЯ РАБОТА
РАСЧЁТНО-ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ФИЛЬТР ВЕРХНИХ ЧАСТОТ БАТТЕРВОРТА

Харьков 2008 г.

Техническое задание

Спроектировать фильтр верхних частот (ФВЧ) с аппроксимацией амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) полиномом Баттерворта, определить необходимый порядок фильтра, если заданы параметры АЧХ (рис. 1): К 0 =26дБ

U m Вх =250мВ

где — максимальный коэффициент передачи фильтра;

Минимальный коэффициент передачи в полосе пропускания;

Максимальный коэффициент передачи фильтра в полосе задержки;

Частота среза;

Частота, начиная с которой коэффициент передачи фильтра меньше .

Рисунок 1 – Шаблон ФВЧ Баттерворта.

Обеспечить небольшую чувствительность к отклонениям номиналов элементов.

РЕФЕРАТ

Расчётно-пояснительная записка: 26 с., 11 рис., 6 табл.

Цель работы: синтез схемы активного RC-фильтра верхних частот и расчёт её компонентов.

Метод исследования: аппроксимация АЧХ фильтра полиномом Баттерворта.

Аппроксимированная передаточная функция реализована с помощью активного фильтра. Фильтр построен каскадным соединением независимых звеньев. В активных фильтрах использованы неинвертирующие усилители с конечным усилением, которые реализованы с помощью операционных усилителей.

Результаты работы могут использоваться для синтеза фильтров радиотехнической и бытовой аппаратуры.

Вступление

1. Обзор аналогичных схем

3.1 Осуществление нормировки ФВЧ

3.2 Определение необходимого порядка фильтра

3.3 Определение полинома Баттерворта

3.4 Обратный переход от нормированного к проектируемому ФВЧ

3.5Переход от передаточной функции к схеме

3.6Переход от передаточной функции к схеме

4. Расчёт элементов схемы

5. Методика настройки регулировки разработанного фильтра

Вступление

До недавнего времени результаты сопоставления цифровых и аналоговых устройств в радиоаппаратуре и технических средствах электросвязи не могли не вызывать чувства неудовлетворённости. Цифровые узлы, реализуемые с широким использованием интегральных микросхем (ИМС), выгодно отличались своей конструктивно-технологической завершённостью. Иначе обстояло дело с узлами аналоговой обработки сигналов, которые, например, в телекоммуникациях составляли от 40 до 60% объёма и массы аппаратуры связи. Громоздкие, содержащие большое число ненадёжных и трудоёмких намоточных элементов, они выглядели на фоне больших интегральных схем столь удручающе, что породили у ряда специалистов мнение о необходимости “тотальной цифризации” радиоэлектронной аппаратуры.

Последнее, однако, как любая другая крайность, не привело (да и не могло привести) к результатам, адекватным ожидаемым. Истина, как и во всех других случаях, оказалась где-то посередине. В ряде случаев более эффективной оказывается аппаратура, построенная на функциональных аналоговых узлах, элементный базис которых адекватен возможностям и ограничениям микроэлектроники.

Адекватность в данном случае может быть обеспечена переходом к активным RC-цепям, в элементный базис которых не входят катушки индуктивностей и трансформаторы, принципиально не реализуемые средствами микроэлектроники.

Обоснованность такого перехода определяется в настоящее время, с одной стороны, достижениями теории активных RC-цепей, а с другой – успехами микроэлектроники, предоставившей в распоряжение разработчиков высококачественные линейные интегральные схемы, в том числе и интегральные операционные усилители (ОУ). Эти ОУ, обладая большими функциональными возможностями, существенно обогатили аналоговую схемотехнику. Особенно ярко это проявилось в схемотехнику активных фильтров.

До 60-х годов для реализации фильтров применялись, в основном пассивные элементы, т.е. индуктивности, конденсаторы и резисторы. Основной проблемой при реализации таких фильтров оказывается размер катушек индуктивности (на низких частотах они становятся слишком громоздкими). С разработкой в 60-х годах интегральных операционных усилителей появилось новое направление проектирования активных фильтров на базе ОУ. В активных фильтрах применяются резисторы, конденсаторы и ОУ (активные компоненты), но в них нет катушек индуктивности. В дальнейшем активные фильтры почти полностью заменили пассивные. Сейчас пассивные фильтры применяются только на высоких частотах (выше 1 МГц), за пределами частотного диапазона большинства ОУ широкого применения. Но даже во многих высокочастотных устройствах, например в радиопередатчиках и приёмниках, традиционные RLC-фильтры заменяются кварцевыми фильтрами и фильтрами на поверхностных акустических волнах.

Сейчас во многих случаях аналоговые фильтры заменяются цифровыми. Работа цифровых фильтров обеспечивается, в основном, программными средствами, поэтому они оказываются значительно более гибкими в применении по сравнению с аналоговыми. С помощью цифровых фильтров можно реализовать такие передаточные функции, которые очень трудно получить обычными методами. Тем не менее, цифровые фильтры пока не могут заменить аналоговые во всех ситуациях, поэтому сохраняется потребность в наиболее популярных аналоговых фильтрах – активных RC-фильтрах.

1. Обзор аналогичных схем

Фильтры – это частотно-избирательные устройства, которые пропускают или задерживают сигналы, лежащие в определённых полосах частот.

Фильтры можно классифицировать по их частотным характеристикам:

1. Фильтры нижних частот (ФНЧ) – пропускают все колебания с частотами не выше некоторой частоты среза и постоянную составляющую.

2. Фильтры верхних частот (ФНЧ) – пропускают все колебания не ниже некоторой частоты среза.

3. Полосовые фильтры (ПФ) – пропускают колебания в определённой полосе частот, которая определяется по некоторому уровню частотной характеристики.

4. Полосно-подавляющие фильтры (ППФ) — задерживают колебания в определённой полосе частот, которая определяется по некоторому уровню частотной характеристики.

5. Режекторные фильтры (РФ) – вид ППФ, имеющий узкую полосу задержки и называемый ещё фильтром-пробкой.

6. Фазовые фильтры (ФФ) – имеют постоянный в идеальном случае коэффициент передачи на всех частотах и предназначен для изменения фазы входных сигналов (в частности для временной задержки сигналов).

Рисунок 1.1 – Основные типы фильтров

С помощью активных RC-фильтров нельзя получить идеальные формы частотных характеристик в виде показанных на рис.1.1 прямоугольников со строго постоянным коэффициентом передачи в полосе пропускания, бесконечным ослаблением в полосе подавления и бесконечной крутизной спада при переходе от полосы пропускания к полосе подавления. Проектирование активного фильтра всегда представляет собой поиск компромисса между идеальной формой характеристики и сложностью её реализации. Это называется “проблемой аппроксимации“. Во многих случаях требования к качеству фильтрации позволяют обойтись простейшими фильтрами первого и второго порядков. Некоторые схемы таких фильтров представлены ниже. Проектирование фильтра в этом случае сводиться к выбору схемы с наиболее подходящей конфигурацией и последующему расчёту значений номиналов элементов для конкретных частот.

Однако бывают ситуации, когда требования к фильтрации могут оказаться гораздо более жёсткими, и могут потребоваться схемы более высоких порядков, чем первый и второй. Проектирование фильтров высоких порядков является более сложной задачей, чему посвящена данная курсовая работа.

Ниже приведены некоторые основные схемы первого второго порядков с описанием достоинств и недостатков каждой из них.

1. ФНЧ-I и ФВЧ-Iна основе не инвертирующего усилителя.

Рисунок 1. 2 – Фильтры на основе неинвертирующего усилителя:

а) ФНЧ-I, б) ФВЧ-I.

К достоинствам схем фильтров можно отнести главным образом простоту реализации и настройки, недостатки – малая крутизна частотных характеристик, малоустойчивы к самовозбуждению.

2. ФНЧ-IIи ФВЧ-IIс много петлевой обратной связью.

Рисунок 1.3 – Фильтры с многопетлевой обратной связью:

а) ФНЧ-II, б) ФВЧ-II.

Таблица 2.1 – Достоинства и недостатки ФНЧ-II с много петлевой обратной связью

Таблица 2.2 – Достоинства и недостатки ФВЧ-II с много петлевой обратной связью

2. ФНЧ-IIи ФВЧ-IIСаллена-Кея.

Рисунок 1.4 – Фильтры Саллена-Кея:

а) ФНЧ-II, б) ФВЧ-II

Таблица 2.3 – Достоинства и недостатки ФНЧ-II Саллена-Кея.

Таблица 2.4 – Достоинства и недостатки ФВЧ-II Саллена-Кея.

3. ФНЧ-IIи ФВЧ-IIна основе конверторов полного сопротивления.

Рисунок 1.5 – Схема ФНЧ IIна основе конверторов полного сопротивления:

а) ФНЧ-II, б) ФВЧ-II.

Таблица 2.3 – Достоинства и недостатки ФНЧ-II и ФВЧ-II на основе конверторов полного сопротивления.

2. Выбор и обоснование схемы фильтра

Методы проектирования фильтров отличаются по конструктивным особенностям. Проектирования пассивных RC-фильтров большей частью определяется структурной схемой

Активные фильтры АФ математически описывают передаточною функцией. Типам АЧХ предоставлен названия полиномов передаточных функций. Каждый тип АЧХ реализуют определенным количеством полюсов (RC-цепей) в соответствии с заданной крутизной спада АЧХ. Известнейшими, есть аппроксимации Баттерворта, Бесселя, Чебышева.

Фильтр Баттерворта имеет максимально плоскую АЧХ, в полосе подавления наклон переходного участка равняется 6 дБ/окт на полюс, но он имеет нелинейную ФЧХ, входное импульсное напряжение служит причиной осцилляции на выходе, потому фильтр используется для непрерывных сигналов.

Фильтр Бесселя имеет линейную ФЧХ, небольшую крутизну переходного участка АЧХ. Сигналы всех частот в полосе пропускания имеют одинаковые временные задержки, поэтому он пригодный для фильтрации прямоугольных импульсов, которые надо посылать без искажений.

Фильтр Чебышева — фильтр равных волн в СП, масс плоскую форму за ее пределами, пригодный для непрерывных сигналов в случаях, капы надо иметь крутой склон АЧХ за частотой среза.

Простые схемы фильтров первого и второго порядков применяются лишь, когда нет жестких требований к качеству фильтрации.

Каскадное соединение звеньев фильтра осуществляют, если нужен порядок фильтра выше второго, то есть когда надо сформировать передаточную характеристику с очень большим послаблением сигналов в полосе подавленный и большой крутизной затухания АЧХ Результирующую передаточную функцию получают, перемножая частичные коэффициенты передачи

Цепи строят по одинаковой схеме, но номиналы элементов

R, С разные, и зависят от частот среза фильтра и его ланок: f зр.ф /f зр.л

Однако следует помнить, что каскадное соединение, например, двух фильтров Баттерворта второго порядка не дает фильтр Баттерворта четвертого порядка, так как результирующий фильтр будет иметь другую частоту среза и другую АЧХ. Поэтому необходимо выбирать коэффициенты одиночных звеньев таким образом, чтобы следующее произведение передаточных функций отвечал выбранному типу аппроксимации. Поэтому проектирования АФ вызовет затруднения со стороны получения идеальной характеристики и сложности ее реализации.

Благодаря очень большим входным и маленьким выходным сопротивлениям каждого звена обеспечивается отсутствие искажений заданной передаточной функции и возможность независимого регулирования каждого звена. Независимость звеньев дает возможность широко регулировать свойства каждого звена изменением его параметров.

Принципиально не имеет значения, в котором порядке размещенные частичные фильтры, так как результирующая передаточная функция всегда будет одинаковой. Тем не менее, существуют разнообразные практические рекомендации относительно порядка соединения частичных фильтров. Например, для защиты от самовозбуждения следует организовать последовательность звеньев в порядке возрастания частичной предельной частоты. Другой порядок может привести к самовозбуждению второго звена в области выброса его АЧХ, поскольку фильтры с высшими предельными частотами обычно имеют большую добротность в области граничной частоты.

Другой критерий, связан с требованиями минимизации, уровня шумов на входе. В этом случае последовательность звеньев обратная, так как фильтр с минимальной предельной частотой ослабляет уровень шума, который возникает от предыдущих звеньев каскада.

3. Топологическая модель фильтра и передаточная функция по напряжению

3.1 В данном пункте будет выбран порядок ФВЧ Баттерворта и определён вид его передаточной функции согласно заданным в ТЗ параметрам:

Рисунок 2.1 – Шаблон ФВЧ согласно техническому заданию.

Топологическая модель фильтра.

3.2 Осуществление нормировки ФВЧ

За коэффициентом передачи:

К max =K 0 -K п =26-23=3дБ

К min =К 0 -К з =26-(-5)=31дБ

По частоте:

3.3 Определение необходимого порядка фильтра

Округляем nдо ближайшего целого значения: n = 3.

Таким образом, для удовлетворения требований, заданных шаблоном, необходим фильтр третьего порядка.

3.4 Определение полинома Баттерворта

Согласно таблице нормированных передаточных функций фильтров Баттерворта находим полином Баттерворта третьего порядка:

3.5 Обратный переход от нормированного к проектируемому ФВЧ

Проведём обратный переход от нормированного ФВЧ к проектируемому ФВЧ.

· масштабирование по коэффициенту передачи:

· масштабирование по частоте:

Производим замену

В результате масштабирования получаем передаточную функцию W(p) в виде:

Рисунок 2.2 – АЧХ проектируемого ФВЧ Баттерворта.

3.6 Переход от передаточной функции к схеме

Представим передаточную функцию проектируемого ФВЧ третьего порядка в виде произведения передаточных функций двух активных ФВЧ первого и второго порядка, т.е. в виде

и ,

где – коэффициент передачи на бесконечно высокой частоте;

– частота полюса;

– добротность фильтра (отношение коэффициента усиления на частоте к коэффициенту усиления в полосе пропускания).

Этот переход справедлив, так как общий порядок последовательно соединенных активных фильтров будет равен сумме порядков отдельно взятых фильтров (1 + 2 = 3).

Общий коэффициент передачи фильтра (K0 = 19.952) будет определяться произведением коэффициентов передачи отдельных фильтров (K1, K2).

Разложив передаточную функцию на квадратичные сомножители, получим:

В этом выражении

. (2.5.1)

Нетрудно заметить, что частоты полюсов и добротности передаточных функций отличаются.

Для первой передаточной функции:

частота полюса ;

добротность ФВЧ-Iпостоянна и равна .

Для второй передаточной функции:

частота полюса ;

добротность .

Для того чтобы к операционным усилителям в каждом каскаде предъявлялись примерно равные требования по частотным свойствам, целесообразно общий коэффициент передачи всего фильтра распределить между каждым из каскадов обратно пропорционально добротности соответствующих каскадов, а характерную частоту (частоту единичного усиления ОУ) выбрать максимальную среди всех каскадов.

Так как в данном случае ФВЧ состоит из двух каскадов, то указанное выше условие можно записать в виде:

. (2.5.2)

Подставляя выражение (2.5.2) в (2.5.1), получаем:

;

Проверим правильность расчёта коэффициентов передачи. Общий коэффициент передачи фильтра в разах будет определяться произведением коэффициентов отдельных фильтров. Переведём коэффициент издБ в разы:

Т.е. расчёты верны.

Запишем передаточную характеристику с учётом расcчитанных выше величин ():

.

3.7 Выбор схемы активного ФВЧ третьего порядка

Так как согласно заданию необходимо обеспечить небольшую чувствительность к отклонениям элементов, то выберем в качестве первого каскада ФВЧ-Iна основе не инвертирующего усилителя (рис.1.2,б), а второго – ФВЧ-IIна основе конверторов полного сопротивления (КПС), схема которого приведена на рис.1.5,б.

Для ФВЧ-I на основе не инвертирующего усилителя зависимость параметров фильтра от номиналов элементов схемы таково:

Для ФВЧ-IIна основе КПС параметры фильтра зависят от номиналов элементов следующим образом:

; (3. 4)

;

4. Расчёт элементов схемы

· Расчёт первого каскада (ФВЧ I) с параметрами

Выберем R1 исходя из требований к величине входного сопротивления (): R1 = 200 кОм. Тогда из (3.2) следует, что

.

Выберем R2 = 10 кОм, тогда из (3.1) следует, что

· Расчёт второго каскада (ФВЧ II) с параметрами

. .

Тогда (коэффициент в числителе подобран так, чтобы получить номинал ёмкости из стандартного ряда Е24). Итак С2 = 4.3 нФ.

Из (3.3) следует, что

Из (3.1) следует, что

Пусть . Итак С1 = 36 нФ.

Таблица 4.1– Номиналы элементов фильтра

Из данных таблицы 4.1мы можем приступить к моделированию схемы фильтра.

Это мы делаем при помощи специальной программы Workbench5.0.

Схема и результаты моделирования приведены на рис.4.1. и рис.4.2,а-б.

Рисунок 4.1 – Схема ФВЧ Баттерворта третьего порядка.

Рисунок 4.2– Результирующие АЧХ (а) и ФЧХ (б) фильтра.

5. Методика настройки и регулирования разработанного фильтра

Это очень просто сделать для резисторов, если их брать с допуском не более 1%, и тяжелее для емкостей конденсаторов, потому что допуски у них в районе 5-20%. Из-за этого сначала рассчитывается емкость, а потом рассчитывается сопротивление резисторов.

5.1 Выбор типа конденсаторов

· Выберем низкочастотный тип конденсаторов в силу их меньшей стоимости.

· Необходимы небольшие габариты и масса конденсаторов

· Выбирать конденсаторы нужно с как можно меньшими потерями (с маленьким тангенсом угла диэлектрических потерь).

Некоторые параметры группы К10-17 (взяты из ):

Размеры, мм.

Масса, г0,5…2

Допускаемое отклонение ёмкости, %

Тангенс угла потерь0,0015

Сопротивление изоляции, МОм1000

Диапазон рабочих температур, – 60…+125

5.2 Выбор типа резисторов

· Для схемы проектируемого фильтра, чтобы обеспечить низкую температурную зависимость, необходимо выбирать резисторы с минимальным ТКС.

· Выбираемые резисторы должны обладать минимальными собственными ёмкостью и индуктивностью, поэтому выберем непроволочный тип резисторов.

· Однако у непроволочных резисторов более высокий уровень токовых шумов, поэтому необходимо учесть и параметр уровня собственных шумов резисторов.

Прецизионные резисторы типа С2-29В удовлетворяют заданным требованиям (параметры взяты из ):

Номинальная мощность, Вт 0.125;

Диапазон номинальных сопротивлений, Ом ;

ТКС (в интервале температур ),

ТКС (в интервале температур ),

Уровень собственных шумов, мкВ/В1…5

Предельное рабочее напряжение постоянного

и переменного тока, В200

5.3 Выбор типа операционных усилителей

· Главный критерий при выборе ОУ – это его частотные свойства, так как реальные ОУ имеют конечную полосу пропускания. Для того чтобы частотные свойства ОУ не влияли на характеристику проектируемого фильтра, необходимо чтоб для частоты единичного усиления ОУ в i-том каскаде выполнялось соотношение:

Для первого каскада: .

Для второго каскада: .

Выбирая большее значение, получаем, что частота единичного усиления ОУ не должна быть менее 100 Кгц.

· Коэффициент усиления ОУ должен быть достаточно большим.

· Напряжение питания ОУ должно соответствовать напряжению источников питания, если таковое известно. В противном случае, желательно выбрать ОУ с широким диапазоном напряжений питания.

· При выборе ОУ для многокаскадного ФВЧ лучше выбрать ОУ с возможно меньшим напряжения смещения.

Согласно справочнику выберем ОУ типа 140УД6А, конструктивно оформленный в корпусе типа 301.8-2. ОУ этого типа являются ОУ общего назначения с внутренней частотной коррекцией и защитой выхода при коротких замыканиях нагрузки и имеют следующие параметры:

Напряжение питания , В

Напряжение питания , В

Ток потребления , мА

Напряжение смещения, мВ

Коэффициент усиления ОУ по напряжению

Частота единичного усиления , МГц1

5.4 Методика настройки и регулировки разработанного фильтра

Настройка данного фильтра не представляет большой сложности. Параметры частотной характеристики “подгоняются” с помощью резисторов, как первого, так и второго каскадов независимо друг от друга, при чём настройка одного параметра фильтра не влияет на значения других параметров.

Настройка проводится следующим образом:

1. Коэффициент усиления устанавливается резисторами R2 первого и R5 второго каскада.

2. Частота полюса первого каскада настраивается резистором R1, частота полюса второго каскада – резистором R4.

3. Добротность второго каскада регулируется резистором R8, а добротность первого каскада не регулируется (постоянна при любых номиналах элементов).

Итогом данной курсовой работы является получение и расчёт схемы заданного фильтра. ФВЧ с аппроксимацией частотных характеристик полиномом Баттерворта с параметрами, приведенными в техническом задании, имеет третий порядок и представляет собой двокаскадно — соединённых ФВЧ первого порядка (на основе не инвертирующего усилителя) и второго порядка (на основе конвертеров полного сопротивления). Схема содержит три операционных усилителя, восемь резисторов и три ёмкости. В данной схеме используется два источника питания по 15 В каждый.

Выбор схемы для каждого каскада общего фильтра проводился на основании технического задания (обеспечить малую чувствительность к отклонениям номиналов элементов) с учётом достоинств и недостатков каждого типа схем фильтров, используемых в качестве каскадов общего фильтра.

Номиналы элементов схемы подбирались и рассчитывались таким образом, чтобы максимально приблизить их к стандартному номинальному ряду Е24, а также, чтобы получить при этом как можно большее входное сопротивление каждого каскада фильтра.

После моделирования схемы фильтра с помощью пакета ElectronicsWorkbench5.0 (рис.5.1) были получены частотные характеристики (рис.5.2), имеющие требуемые параметры, приведённые в техническом задании (рис.2.2).

К достоинствам данной схемы можно отнести простоту настройки всех параметров фильтра, независимую настройку каждого каскада отдельно, малую чувствительность к отклонениям от номиналов элементов.

Недостатками является использование в схеме фильтра трёх операционных усилителей и соответственно его повышенная стоимость, а также относительно невысокое входное сопротивление (порядка 50 кОм).

Список использованной литературы

1. Зеленин А.Н., Костромицкий А.И., Бондарь Д.В. – Активные фильтры на операционных усилителях. – Х.: Телетех, 2001. изд. второе, исправ. и доп. – 150 с.: ил.

2. Резисторы, конденсаторы, трансформаторы, дроссели, коммутационные устройства РЭА: Справ./Н.Н. Акимов, Е.П. Ващуков, В.А. Прохоренко, Ю.П. Ходоренок. – Мн.: Беларусь, 2004. – 591 с.:ил.

Аналоговые интегральные схемы: Справ./А.Л. Булычёв, В.И. Галкин, 382 с.: В.А. Прохоренко. – 2-е изд., перераб. и доп. – Мн.: Беларусь, 1993. – черт.

АЧХ фильтра Баттерворта описывается уравнением

Особенности фильтра Баттерворта: нелинейная ФЧХ; частота среза не зависящая от числа полюсов; колебательный характер переходной характеристики при ступенчатом входном сигнале. С увеличением порядка фильтра колебательный характер усиливается.

Фильтр Чебышева

АЧХ фильтра Чебышева описывается уравнением

,

где T n 2 (ω/ω н ) – полином Чебышева n –го порядка.

Полином Чебышева вычисляется по рекуррентной формуле

Особенности фильтра Чебышева: повышенная неравномерность ФЧХ; волнообразная характеристика в полосе пропускания. Чем выше коэффициент неравномерности АЧХ фильтра в полосе пропускания, тем более резкий спад в переходной области при одном и том же порядке. Колебания переходного процесса при ступенчатом входном сигнале сильнее, чем у фильтра Баттерворта. Добротность полюсов фильтра Чебышева выше, чем у фильтра Баттерворта.

Фильтр Бесселя

АЧХ фильтра Бесселя описывается уравнением

,

где
;B n 2 (ω/ω cp з ) – полином Бесселя n -го порядка.

Полином Бесселя вычисляется по рекуррентной формуле

Особенности фильтра Бесселя: достаточно равномерные АЧХ и ФЧХ, аппроксимируемые функцией Гаусса; фазовый сдвиг фильтра пропорционален частоте, т.е. фильтр обладает частотно-независимым групповым временем задержки. Частота среза изменяется при изменении количества полюсов фильтра. Спад АЧХ фильтра обычно более пологий, чем у Баттерворта и Чебышева. Особенно хорошо этот фильтр подходит для импульсных цепей и фазочувствительной обработки сигнала.

Фильтр Кауэра (эллиптический фильтр)

Общий вид передаточной функции фильтра Кауэра

.

Особенности фильтра Кауэра: неравномерная АЧХ в полосе пропускания и в полосе задерживания; самый резкий спад АЧХ из всех приведенных фильтров; реализует требуемые передаточные функции при меньшем порядке фильтра, чем при использовании фильтров других типов.

Определение порядка фильтра

Требуемый порядок фильтра определяется по приведенным ниже формулам и округляется в сторону ближайшего целого значения. Порядк фильтра Баттерворта

.

Порядка фильтра Чебышева

.

Для фильтра Бесселя не существует формулы расчета порядка, вместо этого приводятся таблицы соответствия порядка фильтра минимально необходимым на заданной частоте отклонению времени задержки от единичной величины и уровню потерь в дБ).

При расчете порядка фильтра Бесселя задаются следующие параметры:

    Допустимое процентное отклонение группового времени задержки на заданной частоте ω ω cp з ;

    Может быть задан уровень ослабления коэффициента передачи фильтра в дБ на частоте ω , нормированной относительно ω cp з .

На основании этих данных определяется требуемый порядок фильтра Бесселя.

Схемы каскадов фнч 1–го и 2–го порядка

На рис. 12.4, 12.5 приведены типовые схемы каскадов ФНЧ.


а ) б )

Рис. 12.4. Каскады ФНЧ Баттерворта, Чебышева и Бесселя: а – 1–го порядка; б – 2–го порядка


а ) б )

Рис. 12.5. Каскады ФНЧ Кауэра: а – 1–го порядка; б – 2–го порядка

Общий вид передаточных функций ФНЧ Баттерворта, Чебышева и Бесселя 1–го и 2–го порядка

,
.

Общий вид передаточных функций ФНЧ Кауэра 1–го и 2–го порядка

,
.

Ключевым отличием фильтра Кауэра 2–го порядка от заграждающего фильтра является то, что в передаточной функции фильтра Кауэра отношение частот Ω s ≠ 1.

Методика расчета ФНЧ Баттерворта, Чебышева и Бесселя

Данная методика построена на основе коэффициентов, приведенных в таблицах и справедлива для фильтров Баттерворта, Чебышева и Бесселя. Методика расчета фильтров Кауэра приводится отдельно. Расчет ФНЧ Баттерворта, Чебышева и Бесселя начинается с определения их порядка. Для всех фильтров задаются параметры минимального и максимального ослабления и частота среза. Для фильтров Чебышева дополнительно определяется коэффициент неравномерности АЧХ в полосе пропускания, а для фильтров Бесселя – групповое время задержки. Далее определяется передаточная функция фильтра, которая может быть взята из таблиц, и рассчитываются его каскады 1–го и 2–го порядка, соблюдается следующий порядок расчета:

    В зависимости от порядка и типа фильтра выбираются схемы его каскадов, при этом фильтр четного порядка состоит из n /2 каскадов 2–го порядка, а фильтр нечетного порядка – из одного каскада 1–го порядка и (n 1)/2 каскадов 2–го порядка;

    Для расчета каскада 1–го порядка:

По выбранному типу и порядку фильтра определяется значение b 1 каскада 1–го порядка;

Уменьшая занимаемую площадь, выбирается номинал емкости C и рассчитывается R по формуле (можно выбрать и R , но рекомендуется выбирать C , из соображения точности)

;

Вычисляется коэффициента усиления К у U 1 каскада 1–го порядка, который определяется из соотношения

,

где К у U – коэффициент усиления фильтра в целом; К у U 2 , …, К у Un – коэффициенты усиления каскадов 2–го порядка;

Для реализации усиления К у U 1 необходимо задать резисторы, исходя из следующего соотношения

R B = R A ּ(К у U1 –1) .

    Для расчета каскада 2–го порядка:

Уменьшая занимаемую площадь выбраются номиналы емкостей C 1 = C 2 = C ;

Выбраются по таблицам коэффициенты b 1 i и Q pi для каскадов 2–го порядка;

По заданному номиналу конденсаторов C рассчитываются резисторы R по формуле

;

Для выбранного типа фильтра необходимо задать соответствующий коэффициент усиления К у Ui = 3 – (1/Q pi ) каждого каскада 2-го порядка, посредством задания резисторов, исходя из следующего соотношения

R B = R A ּ(К у Ui –1) ;

Для фильтров Бесселя необходимо умножить номиналы всех емкостей на требуемое групповое время задержки.

План:

    Введение
  • 1 Обзор
    • 1.1 Нормированные полиномы Баттерворта
    • 1.2 Максимальная гладкость
    • 1. 3 Спад характеристики на высоких частотах
  • 2 Проектирование фильтра
    • 2.1 Топология Кауэра
    • 2.2 Топология Саллена-Кея
  • 3 Сравнение с другими линейными фильтрами
  • 4 Пример
  • Литература

Введение

Фильтр Баттерво́рта — один из типов электронных фильтров. Фильтры этого класса отличаются от других методом проектирования. Фильтр Баттерворта проектируется так, чтобы его амплитудно-частотная характеристика была максимально гладкой на частотах полосы пропускания.

Подобные фильтры были впервые описаны британским инженером Стефаном Баттервортом в статье «О теории фильтрующих усилителей» (англ. On the Theory of Filter Amplifiers ), в журнале Wireless Engineer в 1930 году.


1. Обзор

АЧХ фильтра Баттерворта максимально гладкая на частотах полосы пропускания и снижается практически до нуля на частотах полосы подавления. При отображении частотного отклика фильтра Баттерворта на логарифмической АФЧХ, амплитуда снижается к минус бесконечности на частотах полосы подавления. В случае фильтра первого порядка АЧХ затухает со скоростью −6 децибел на октаву (-20 децибел на декаду) (на самом деле все фильтры первого порядка независимо от типа идентичны и имеют одинаковый частотный отклик). Для фильтра Баттерворта второго порядка АЧХ затухает на −12 дБ на октаву, для фильтра третьего порядка — на −18 дБ и так далее. АЧХ фильтра Баттерворта — монотонно убывающая функция частоты. Фильтр Баттерворта — единственный из фильтров, сохраняющий форму АЧХ для более высоких порядков (за исключением более крутого спада характеристики на полосе подавления) тогда как многие другие разновидности фильтров (фильтр Бесселя, фильтр Чебышева, эллиптический фильтр) имеют различные формы АЧХ при различных порядках.

В сравнении с фильтрами Чебышева I и II типов или эллиптическим фильтром, фильтр Баттерворта имеет более пологий спад характеристики и поэтому должен иметь больший порядок (что более трудно в реализации) для того, чтобы обеспечить нужные характеристики на частотах полосы подавления. Однако фильтр Баттерворта имеет более линейную фазо-частотную характеристику на частотах полосы пропускания.

АЧХ для фильтров Баттерворта нижних частот порядка от 1 до 5. Наклон характерстики — 20n дБ/декаду, где n — порядок фильтра.

Как и для всех фильтров при рассмотрении частотных характеристик используют фильтр нижних частот, из которого легко можно получить фильтр высоких частот, а, включив несколько таких фильтров последовательно, — полосовой фильтр или режекторный фильтр.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта -го порядка может быть получена из передаточной функции :

Легко заметить, что для бесконечных значений АЧХ становится прямоугольной функцией, и частоты ниже частоты среза будут пропускаться с коэффициентом усиления , а частоты выше частоты среза будут полностью подавляться. Для конечных значений спад характеристики будет пологим.

С помощью формальной замены представим выражение в виде :

Полюсы передаточной функции расположены на круге радиуса равноудалённо друг от друга в левой полуплоскости. То есть передаточную функцию фильтра Баттерворта можно определить лишь определением полюсов его передаточной функции в левой полуплоскости s-плоскости. -й полюс определяется из следующего выражения:

Передаточную функцию можно записать в виде:

Аналогичные рассуждения применимы и к цифровым фильтрам Баттерворта, с той лишь разницей, что соотношения записываются не для s -плоскости, а для z -плоскости.

Знаменатель этой передаточной функции называется полиномом Баттерворта.


1.1. Нормированные полиномы Баттерворта

Полиномы Баттерворта могут записываться в комплексной форме, как показано выше, однако обычно они записываются в виде соотношений с вещественными коэффициентами (комплексно-сопряжённые пары объединяются с помощью умножения). Нормируются полиномы по частоте среза: . Нормированные полиномы Баттерворта, таким образом, имеют следующую каноническую форму:

, — чётно , — нечётно

Ниже представлены коэффициенты полиномов Баттерворта для первых восьми порядков:

Коэффициенты полиномов
1
2
3
4
5
6
7
8

1.

2. Максимальная гладкость

Приняв и , производная амплитудной характеристики по частоте будет выглядеть следующим образом:

Она монотонно убывает для всех так как коэффициент усиления всегда положителен. Таким образом, АЧХ фильтра Баттерворта не имеет пульсаций. При разложении амплитудной характеристи в ряд, получим:

Другими словами, все производные амплитудно-частотной характерситики по частоте до 2n -й равны нулю, из чего следует «максимальная гладкость».


1.3. Спад характеристики на высоких частотах

Приняв , найдём наклон логарифма АЧХ на высоких частотах:

В децибелах высокочастотная асимптота имеет наклон −20n дБ/декаду.

2. Проектирование фильтра

Существует ряд различных топологий фильтра, с помощью которых реализуются линейные аналоговые фильтры. Эти схемы отличаются только значениями элементов, структура же остаётся неизменной.

2.1. Топология Кауэра

Топология Кауэра использует пассивные элементы (ёмкости и индуктивности) . Фильтр Баттеворта с заданной передаточной функцией может быть построен в форме Кауэра 1 типа. k-й элемент фильтра задаётся соотношением:

; k нечётно ; k чётно

2.2. Топология Саллена-Кея

Топология Саллена-Кея использует помимо пассивных также и активные элементы (операционные усилители и ёмкости). Каждый каскад схемы Саллена-Кея представляет собой часть фильтра, математически описываемую парой комплексно-сопряжённых полюсов. Весь фильтр получается последовательным соединением всех каскадов. В случае, если попадается действительный полюс, он должен быть реализован отдельно, обычно в виде RC-цепочки, и включён в общую схему.

Передаточная функция каждого каскада в схеме Саллена-Кея имеет вид:

Нужно, чтобы знаменатель представлял собой один из множителей полинома Баттерворта. Приняв , получим:

Последнее соотношение даёт две неизвестных, которые могут быть выбраны произвольно.


3. Сравнение с другими линейными фильтрами

Рисунок ниже показывает АЧХ фильтра Баттерворта в сравнении с другими популярными линейными фильтрами одинакового (пятого) порядка:

Из рисунка видно, что спад АЧХ фильтра Баттерворта самый медленный из четырёх, однако он имеет и самую гладкую АЧХ на частотах полосы пропускания.

4. Пример

Аналоговый фильтр Баттерворта нижних частот (топология Кауэра) с частотой среза со следующими номиналами элементов: фарад, ом, и генри.

Логарифмический график плотности передаточной функции H(s) на плоскости комплексного аргумента для фильтра Баттерворта третьего порядка с частотой среза . Три полюса лежат на круге единичного радиуса в левой полуплоскости.

Рассмотрим аналоговый низкочастотный фильтр Баттерворта третьего порядка с фарад, ом, и генри. Обозначив полное сопротивление ёмкостей C как 1/Cs и полное сопротивление индуктивностей L как Ls , где — комплексная переменная, и используя уравнения для расчёта электрических схем, получим следующую передаточную функцию для такого фильтра:

АЧХ задаётся уравнением:

а ФЧХ задаётся уравнением:

Групповая задержка определяется как минус производная фазы по круговой частоте и является мерой искажений сигнала по фазе на различных частотах. Логарифмическая АЧХ такого фильтра не имеет пульсаций ни в полосе пропускания, ни в полосе подавления.

График модуля передаточной функции на комплексной плоскости ясно указывает на три полюса в левой полуплоскости. Передаточная функция полностью определяется расположением этих полюсов на единичном круге симметрично относительно действительной оси.

Заменив каждую индуктивность ёмкостью, а ёмкости — индуктивностями, получим высокочастотный фильтр Баттерворта.

И групповая задержка фильтра Баттерворта третьего порядка с частотой среза


Литература

  • В.А. Лукас Теория автоматического управления. — M.: Недра, 1990.
  • Б.Х. Кривицкий Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. — М .: Энергия, 1977.
  • Miroslav D. Lutovac Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©. — New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. — ISBN 0-201-36130-2
  • Richard W. Daniels Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1974. — ISBN 0-07-015308-6
  • Steven W. Smith The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. — Second Edition. — San-Diego: California Technical Publishing, 1999. — ISBN 0-9660176-4-1
  • Britton C. Rorabaugh Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1999. — ISBN 0-07-054004-7
  • B. Widrow, S.D. Stearns Adaptive Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. — ISBN 0-13-004029-0
  • S. Haykin Adaptive Filter Theory. — 4rd Edition. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. — ISBN 0-13-090126-1
  • Michael L. Honig, David G. Messerschmitt Adaptive Filters — Structures, Algorithms, and Applications. — Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. — ISBN 0-89838-163-0
  • J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Linear Prediction of Speech. — New York: Springer-Verlag, 1982. — ISBN 0-387-07563-1
  • L.R. Rabiner, R.W. Schafer Digital Processing of Speech Signals. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. — ISBN 0-13-213603-1
  • Richard J. Higgins Digital Signal Processing in VLSI. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. — ISBN 0-13-212887-X
  • A. V. Oppenheim, R. W. Schafer Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. — ISBN 0-13-214635-5
  • L. R. Rabiner, B. Gold Theory and Application of Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. — ISBN 0-13-914101-4
  • John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Introduction to Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. — ISBN 0-02-396815-X

В данной статье мы поговорим про фильтр Баттерворта, рассмотрим порядки фильтров, декады и октавы, подробно разберем фильтр низких частот Баттерворта третьего порядка с расчетом и схемой.

Введение

В устройствах, которые используют фильтры для формирования частотного спектра сигнала, например, в системах связи или управления, форма или ширина спада, также называемая «полосой перехода», для простого фильтра первого порядка может быть слишком длинной или необходимы широкие и активные фильтры, разработанные с более чем одним «заказом». Эти типы фильтров обычно известны как фильтры «высокого порядка» или «n- го порядка».

Порядок фильтров

Сложность или тип фильтра определяется «порядком» фильтров и зависит от количества реактивных компонентов, таких как конденсаторы или катушки индуктивности в его конструкции. Мы также знаем, что скорость спада и, следовательно, ширина полосы перехода зависит от порядкового номера фильтра и что для простого фильтра первого порядка он имеет стандартную скорость спада 20 дБ / декаду или 6 дБ / октава.

Тогда для фильтра, имеющего n- й порядковый номер, он будет иметь последующую скорость спада 20n дБ / декаду или 6n дБ / октаву. Таким образом:

  • фильтр первого порядка имеет скорость спада 20 дБ / декаду (6 дБ / октава)
  • фильтр второго порядка имеет скорость спада 40 дБ / декаду (12 дБ / октава)
  • фильтр четвертого порядка имеет частоту спада 80 дБ / декада (24 дБ / октава) и т. д.

Фильтры высокого порядка, такие как третий, четвертый и пятый, обычно формируются путем каскадного объединения одиночных фильтров первого и второго порядка.

Например, два фильтра нижних частот второго порядка могут быть соединены каскадно для получения фильтра нижних частот четвертого порядка и так далее. Несмотря на то, что порядок фильтра, который может быть сформирован, не ограничен, при увеличении порядка увеличиваются его размер и стоимость, а также снижается его точность.

Декады и октавы

Последний комментарий о Декадах и Октавах . По шкале частот декада — это десятикратное увеличение (умножение на 10) или десятикратное уменьшение (деление на 10). Например, от 2 до 20 Гц представляют одну декаду, тогда как от 50 до 5000 Гц представляют две декады (от 50 до 500 Гц, а затем от 500 до 5000 Гц).

Октава — это удвоение (умножить на 2) или уменьшение в два раза (деление на 2) по шкале частот. Например, от 10 до 20 Гц представляет одну октаву, а от 2 до 16 Гц — это три октавы (от 2 до 4, от 4 до 8 и, наконец, от 8 до 16 Гц), каждый раз удваивая частоту. В любом случае, логарифмические шкалы широко используются в частотной области для обозначения значения частоты при работе с усилителями и фильтрами, поэтому важно понимать их.

Поскольку резисторы, определяющие частоту, все равны, как и конденсаторы, определяющие частоту, отсечка или угловая частота (ƒ C) для первого, второго, третьего или даже для фильтра четвертого порядка также должны быть равны и найдены, используя знакомое уравнение:

Как и в случае фильтров первого и второго порядка, фильтры верхних частот третьего и четвертого порядка формируются простым взаимным обменом положений определяющих частоту компонентов (резисторов и конденсаторов) в эквивалентном фильтре нижних частот. Фильтры высокого порядка можно спроектировать, следуя процедурам, которые мы видели ранее в руководствах по фильтру нижних частот и фильтрам верхних частот. Однако общий коэффициент усиления фильтров высокого порядка является фиксированным, поскольку все компоненты, определяющие частоту, являются одинаковыми.

Аппроксимации фильтра

До сих пор мы рассматривали низкочастотные и высокочастотные схемы фильтра первого порядка, их результирующие частотные и фазовые характеристики. Идеальный фильтр дал бы нам спецификации максимального усиления полосы пропускания и плоскостности, минимального затухания полосы пропускания, а также очень крутой полосы пропускания, чтобы остановить спад полосы (полоса перехода), и поэтому очевидно, что большое количество сетевых откликов будет удовлетворять эти требования.

Неудивительно, что в линейном дизайне аналоговых фильтров есть ряд «аппроксимационных функций», в которых используется математический подход для наилучшего приближения передаточной функции, которая требуется нам для проектирования фильтров.

Такие конструкции известны как Эллиптический , Баттерворт , Чебышев , Бессель , Кауэр и многие другие. Из этих пяти «классических» функций аппроксимации линейного аналогового фильтра только фильтр Баттерворта и особенно конструкция фильтра Баттерворта нижних частот будут рассматриваться здесь как его наиболее часто используемая функция.

Низкочастотный фильтр Баттерворта

Частотная характеристика аппроксимационной функции фильтра Баттерворта также часто называется «максимально плоской» (без пульсаций) характеристикой, поскольку полоса пропускания спроектирована так, чтобы иметь частотную характеристику, которая является настолько плоской, насколько это математически возможно, от 0 Гц (DC) до частоты среза -3 дБ без пульсаций. Более высокие частоты за пределами точки отсечки снижаются до нуля в полосе останова на уровне 20 дБ / декада или 6 дБ / октава. Это потому, что он имеет «фактор качества», «Q» всего 0,707.

Однако одним из основных недостатков фильтра Баттерворта является то, что он достигает этой плоскостности полосы пропускания за счет широкой полосы перехода, когда фильтр изменяется от полосы пропускания к полосе остановки. Он также имеет плохие фазовые характеристики. Идеальная частотная характеристика, называемая фильтром «кирпичной стены», и стандартные аппроксимации Баттерворта для различных порядков фильтра приведены ниже.

Обратите внимание, что чем выше порядок фильтра Баттерворта, тем больше количество каскадных ступеней в конструкции фильтра и тем ближе фильтр подходит к идеальному отклику «кирпичной стены».

Однако на практике идеальная частотная характеристика Баттерворта недостижима, поскольку она вызывает чрезмерную пульсацию в полосе пропускания.

Где обобщенное уравнение, представляющее фильтр Баттерворта «n-го» порядка, частотная характеристика дается как:

Где: n представляет порядок фильтра, ω равно 2πƒ, а ε — максимальное усиление полосы пропускания (A max).

Если A max определено на частоте, равной угловой точке отсечки -3 дБ (ƒc), тогда ε будет равно единице и, следовательно, ε 2 также будет равно единице. Однако, если вы теперь хотите определить A max при другом значении усиления по напряжению, например, 1 дБ или 1.1220 (1 дБ = 20 * logA max), тогда новое значение ε находится по формуле:

Подставляя данные в уравнения, получаем:

Частотная характеристика фильтра может быть определена математически его передаточной функции с стандартом передачи напряжения Функция H (jω) и записывается в виде:

Примечание: (jω) также можно записать как (s) для обозначения S-области. и результирующая передаточная функция для фильтра нижних частот второго порядка задается как:

Нормализованные полиномы фильтра Баттерворта низких частот

Чтобы помочь в разработке своих фильтров нижних частот, Баттерворт создал стандартные таблицы нормализованных полиномов нижних частот второго порядка с учетом значений коэффициента, которые соответствуют частоте отсечки угла 1 радиан / с.

N Нормализованные полиномы знаменателя в факторизованной форме
1(1 + S)
2(1 + 1,414 с + с 2)
3(1 + с) (1 + с + с 2)
4(1 + 0,765 с + с 2) (1 + 1,848 с + с 2)
5(1 + с) (1 + 0,618 с + с 2) (1 + 1,618 с + с 2)
6(1 + 0,518 с + с 2) (1 + 1,414 с + с 2) (1 + 1,932 с + с 2)
7(1 + с) (1 + 0,445 с + с 2) (1 + 1,247 с + с 2) (1 + 1,802 с + с 2)
8(1 + 0,390 с + с 2) (1 + 1,111 с + с 2) (1 + 1,663 с + с 2) (1 + 1,962 с + с 2)
9(1 + с) (1 + 0,347 с + с 2) (1 + с + с 2) (1 + 1,532 с + с 2) (1 + 1,879 с + с 2)
10(1 + 0,313 с + с 2) (1 + 0,908 с + с 2) (1 + 1,414 с + с 2) (1 + 1,782 с + с 2) (1 + 1,975 с + с 2)

Расчет и схема фильтра Баттерворта низких частот

Найти порядок активного фильтра Баттерворта нижних частот, чьи характеристики приведены в качестве: A макс = 0,5 дБ на частоте полосы пропускания (ωp) 200 радиан / сек (31. 8 гЦ), и A min = -20 дБ на частоте полосы остановки (ωs) 800 радиан / сек. Также разработайте подходящую схему фильтра Баттерворта, соответствующую этим требованиям.

Во-первых, максимальное усиление полосы пропускания A max = 0,5 дБ, которое равно усилению 1,0593 , помните, что: 0,5 дБ = 20 * log (A) на частоте (ωp) 200 рад / с, поэтому значение эпсилона ε находится по:

Во-вторых, минимальное усиление полосы остановки A min = -20 дБ, которое равно усилению 10 (-20 дБ = 20 * log (A)) на частоте полосы остановки (ωs) 800 рад / с или 127,3 Гц.

Подстановка значений в общее уравнение для частотной характеристики фильтров Баттерворта дает нам следующее:

Так как n всегда должно быть целым числом, то следующим самым высоким значением 2,42 будет n = 3 , поэтому «требуется фильтр третьего порядка», и для создания фильтра Баттерворта третьего порядка, ступени фильтра второго порядка требуется каскадное соединение со ступенью фильтра первого порядка.

Из приведенной выше таблицы нормализованных полиномов Баттерворта низких частот коэффициент для фильтра третьего порядка дается как (1 + s) (1 + s + s 2), и это дает нам усиление 3-A = 1 или A = 2 . В А = 1 + (Rf / R1) , выбирая значение как для резистора обратной связи Rf и резистора R1 дает нам значения 1 кОм и 1 кОм, соответственно, как: (1 кОм / 1 кОм) + 1 = 2 .

Мы знаем, что угловая частота отсечки, точка -3 дБ (ω o) может быть найдена с помощью формулы 1 / CR , но нам нужно найти ω o по частоте полосы пропускания ω p ,

Таким образом, частота отсечки угла задается как 284 рад / с или 45,2 Гц (284 / 2π), и, используя знакомую формулу 1 / RC, мы можем найти значения резисторов и конденсаторов для нашей схемы третьего порядка.

Обратите внимание, что ближайшее предпочтительное значение до 0,352 мкФ будет 0,36 мкФ или 360 нФ.

И, наконец, наша схема низкочастотного фильтра Баттерворта третьего порядка с угловой частотой среза 284 рад / с или 45,2 Гц, максимальным усилением полосы пропускания 0,5 дБ и минимальным усилением полосы остановки 20 дБ строится следующим образом.

Таким образом, для нашего фильтра низких частот Баттерворта 3-го порядка с угловой частотой 45,2 Гц, C = 360 нФ и R = 10 кОм

Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой

Автор: Торгушин Иван Васильевич

Рубрика: Информационные технологии

Опубликовано в Молодой учёный №19 (361) май 2021 г.

Дата публикации: 10.05.2021 2021-05-10

Статья просмотрена: 70 раз

Скачать электронную версию

Скачать Часть 1 (pdf)

Библиографическое описание:

Торгушин, И. В. Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой / И. В. Торгушин. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2021. — № 19 (361). — С. 28-30. — URL: https://moluch.ru/archive/361/80840/ (дата обращения: 28.09.2022).



Описаны основные характеристики цифровых фильтров, включая фильтры с конечной импульсной характеристикой. Показано, что изменение частоты дискретизации позволяет практически плавно изменять крутизну фазочастотной характеристики фильтра.

Ключевые слова: цифровой фильтр, конечная импульсная характеристика, фазочастотная характеристика.

Проблемой, ограничивающей использование цифровых фильтров (ЦФ) в различных системах передачи данных, является необходимость работы в широком диапазоне частот. При увеличении частот использования ЦФ уменьшается интервал дискретизации, что ограничивает максимально допустимый порядок цифровых фильтров.

Главной характеристикой ЦФ является алгоритм фильтрации. По алгоритму фильтрации осуществляется реализация фильтра.

Импульсной характеристикой ЦФ h ( n ) является реакция фильтра на единичный импульс при нулевых начальных условиях. Импульсная характеристика позволяет определить выходной сигнал фильтра по формуле дискретной свёртки входного сигнала [1].

С импульсной характеристикой фильтра связана передаточная функция H ( z ). Она определяется как отношение Z -преобразований выходного и входного сигналов. Импульсная и передаточная функции связаны парой Z -преобразований. С помощью передаточной функции H ( z ) так же можно найти реакцию фильтра на любое входное воздействие.

Комплексная частотная характеристика фильтра H exp( jT ) определяется как отношение преобразований Фурье выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях. Комплексная частотная характеристика равна значениям передаточной функции на единичной окружности Z -плоскости, и связана с импульсной характеристикой парой преобразований Фурье. Комплексная частотная характеристика является периодической по частоте с периодом, который равен частоте дискретизации [2].

Импульсная характеристика, передаточная функция и комплексная частотная характеристика дают полное описание ЦФ как линейной стационарной системы.

Модуль комплексной частотной характеристики рассматривают как амплитудно-частотную характеристику A ( T ) (АЧХ), а аргумент — как фазочастотную характеристику ( T ) (ФЧХ). Они также являются периодическими функциями с периодом, который равен частоте дискретизации.

По алгоритму работы ЦФ делятся на рекурсивные и нерекурсивные.

В рекурсивных алгоритмах фильтрации процесс вычисления выходного сигнала в заданный момент времени осуществляется с использованием предыдущих отсчётов входного и выходного сигналов. В рекурсивных фильтрах имеет место обратная связь. Количество используемых отсчётов выходного сигнала характеризует глубину рекурсии [3].

В нерекурсивных алгоритмах фильтрации процесс вычисления выходного сигнала в заданный момент времени осуществляется только с использованием предыдущих отсчётов входного сигналов. Обратная связь отсутствует. Нерекурсивные алгоритмы являются частными случаями рекурсивных алгоритмов при глубине рекурсии равной нулю.

В зависимости от расположения нулей передаточной функции на Z -плоскости различают фильтры минимально-фазового и неминимально-фазового типа. У минимально-фазовых фильтров A ( T ) и ( T ) связаны между собой парой дискретных преобразований Гильберта.

У неминимально-фазовых фильтров A ( T ) и ( T ) являются независимыми. То есть, при неизменной A ( T ) можно получить необходимую характеристику ( T ). Кроме этого, в классе неминимально-фазовых фильтров существуют фильтры с идеальными линейными ( T ).

Последнее свойство ЦФ является наиболее важным, так как позволяет выполнить условие линейности характеристик разработанных генераторных преобразователей, обладающих повышенной чувствительностью.

Рассмотрим условия реализации ЦФ с линейными ФЧХ [4]. Их реализация возможна в классе одномерных скалярных вещественных стационарных нерекурсивных линейных неминимально-фазовых цифровых фильтров.

Известны 4 вида фильтров с линейными ФЧХ.

Фильтры вида 1 имеют импульсную характеристику симметричную относительно центра, а значение отсчётов импульсной характеристики М является чётным: . Такие фильтры могут быть фильтрами нижних частот, верхних частот, полосными и режекторными.

В фильтрах 2-го вида импульсная характеристика симметрична относительно центра, а значение отсчётов импульсной характеристики М является нечётным: . Такие фильтры могут быть фильтрами нижних частот или полосными.

У фильтров вида 3 импульсная характеристика асимметрична относительно центра, а значение отсчётов импульсной характеристики М является чётным: . Такие фильтры могут быть только полосными.

У фильтров вида 4 импульсная характеристика антисимметрична относительно центра, а значение отсчётов импульсной характеристики М является нечётным: . Такие фильтры могут быть фильтрами верхних частот или полосными.

Сравнительный анализ фильтров указанных видов показывает, что предпочтение следует отдать фильтрам вида 1. Используя метод «окон» получим фильтры с конечной импульсной характеристикой или КИХ-фильтры.

ЦФ с конечной импульсной характеристикой (КИХ) имеют один неоспоримый плюс: линейные фазочастотные характеристики.

ФЧХ КИХ-фильтров ступенчатые и всегда проходят через начало координат, либо смещены на 90 градусов. Для получения большей точности необходимо увеличивать частоту дискретизации системы. Однако быстродействие процессора не всегда позволяет получить необходимую частоту дискретизации, а, соответственно, и точность.

Кратко остановимся на двух характеристиках КИХ-фильтров.

Как уже отмечалось выше, ФЧХ КИХ-фильтров является ступенчатой прямой, проходящей через начало координат или с постоянным смещением относительно начала координат. Чтобы фазовый сдвиг изменился скачком на одну ступеньку, надо чтобы период входного сигнала фильтра получил приращение, равное периоду дискретизации. Крутизна ФЧХ S зависит от порядка фильтра R и частоты дискретизации F d :

.

Порядок фильтра определяется количеством отсчётов КИХ, длина которой равна RT . Порядок фильтра в основном определяет форму АЧХ. Изменение порядка фильтра приводит к скачкообразному изменению крутизны ФЧХ, поэтому этот способ настройки ФЧХ не подходит.

Изменение частоты дискретизации позволяет практически плавно изменять крутизну ФЧХ. Этот способ настройки ФЧХ наиболее удобен.

Литература:

1. Антонью, А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование [Текст] / А. Антонью; Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1983. — 320 с.

  1. Гадзиковский, В. И. Теоретические основы цифровой обработки сигналов [Текст] / В. И. Гадзиковский. — М.: Радио и связь, 2004. — 378 с.
  2. Голденберг, Л. М. Цифровая обработка сигналов: Справочник [Текст] / Л. М. Голденберг, Б. Д. Матюшкин, М. Н. Поляк и др. — М.: Радио и связь, 1985–312 с.
  3. Сергиенко, А. Б. Цифровая обработка сигналов [Текст] / А. Б. Сергиенко. — СПб.: Питер, 2004. — 608 с.

Основные термины (генерируются автоматически): импульсная характеристика, фильтр, передаточная функция, комплексная частотная характеристика, входной сигнал, конечная импульсная характеристика, выходной сигнал, порядок фильтра, частота дискретизации, обратная связь.

Ключевые слова

цифровой фильтр, конечная импульсная характеристика, фазочастотная характеристика

цифровой фильтр, конечная импульсная характеристика, фазочастотная характеристика

Похожие статьи

Активные и пассивные электрические

фильтры | Молодой ученый

 Фильтр — устройство, которое передает сигналы в определенной области частот и препятствует прохождению сигналов вне этой области. Идеальный фильтр имеет постоянную и отличную от нуля передаточную характеристику в необходимом диапазоне частот (полоса…

ПИД-регулятор понижающего преобразователя напряжения

2. Передаточная функция понижающего преобразователя. Стабилизация выходного напряжения достигается путем регулирования

Рис. 1. Аналоговая и цифровая обратная связь понижающего преобразователя. Цифровой преобразователь обладает рядом преимуществ и…

Методы z-преобразования для расчета

передаточной функции

2) Искажения частотных характеристик должны быть подвержены прогнозированию с целью их последующей коррекции, должна существовать возможность формирования требований к аналоговому прототипу; 3) Порядок передаточной функции цифрового фильтра не должен. ..

Аналого-цифровое преобразование | Статья в журнале…

Монотонность характеристики преобразования.

Дискретизация (от лат. discretio — различать) — преобразование непрерывной функции в дискретную функцию.

В случае если частота дискретизации значительно выше частоты Найквиста, то в данном случае…

Принципы проектирования систем автоматизации повышенной…

Рис.3. Частотная характеристика фильтров МНК второго порядка. Как видно из рисунка 3, полоса частот пропускания такого фильтра лежит в диапазоне (0.2-0.3) частоты дискретизации, что позволяет с большой точностью устранить шумовую составляющую…

Разработка КИХ-

фильтра с использованием распределенной. ..

Сигнал — это функция независимой переменной, которая содержит информацию.

Обрабатывая сигнал нам нужно удалить шум от информации и фильтр как раз помогает с

Он представляет из себя частотно-избирательную сеть, которая модифицирует входной сигнал

Реакция рекурсивной ЛДС с

передаточной функцией в виде…

К таким фильтрам относятся фильтры низких частот (ФНЧ), высоких частот (ФВЧ), полосно-пропускающие (ППФ)

В цифровых системах ввод аналоговых сигналов производятся путём их дискретизации в

замкнутая система, передаточная функция, переходная характеристика

Исследование процесса цифровой обработки

сигнала при работе. ..

частотная область, DFTFILT, передаточная функция фильтра, основной шаг фильтрации, мнимая часть, исходное изображение, TYPE, MATLAB

Из графика АЧХ фильтра видно, что разрабатываемый ФНЧ пропускает диапазон частот сигнала до. Для этого надо в окне справки…

Алгоритмы преобразования Фурье и их применение при анализе…

– периодический дискретный сигнал можно разложить в конечный ряд Фурье. На практике, обычно, используется последний вид преобразований в связи с тем, что компьютеры способны работать с конечным набором данных. Дискретное преобразование Фурье.

Похожие статьи

Активные и пассивные электрические

фильтры | Молодой ученый

 Фильтр — устройство, которое передает сигналы в определенной области частот и препятствует прохождению сигналов вне этой области. Идеальный фильтр имеет постоянную и отличную от нуля передаточную характеристику в необходимом диапазоне частот (полоса…

ПИД-регулятор понижающего преобразователя напряжения

2. Передаточная функция понижающего преобразователя. Стабилизация выходного напряжения достигается путем регулирования

Рис. 1. Аналоговая и цифровая обратная связь понижающего преобразователя. Цифровой преобразователь обладает рядом преимуществ и…

Методы z-преобразования для расчета

передаточной функции

2) Искажения частотных характеристик должны быть подвержены прогнозированию с целью их последующей коррекции, должна существовать возможность формирования требований к аналоговому прототипу; 3) Порядок передаточной функции цифрового фильтра не должен. ..

Аналого-цифровое преобразование | Статья в журнале…

Монотонность характеристики преобразования.

Дискретизация (от лат. discretio — различать) — преобразование непрерывной функции в дискретную функцию.

В случае если частота дискретизации значительно выше частоты Найквиста, то в данном случае…

Принципы проектирования систем автоматизации повышенной…

Рис.3. Частотная характеристика фильтров МНК второго порядка. Как видно из рисунка 3, полоса частот пропускания такого фильтра лежит в диапазоне (0.2-0.3) частоты дискретизации, что позволяет с большой точностью устранить шумовую составляющую…

Разработка КИХ-

фильтра с использованием распределенной. ..

Сигнал — это функция независимой переменной, которая содержит информацию.

Обрабатывая сигнал нам нужно удалить шум от информации и фильтр как раз помогает с

Он представляет из себя частотно-избирательную сеть, которая модифицирует входной сигнал

Реакция рекурсивной ЛДС с

передаточной функцией в виде…

К таким фильтрам относятся фильтры низких частот (ФНЧ), высоких частот (ФВЧ), полосно-пропускающие (ППФ)

В цифровых системах ввод аналоговых сигналов производятся путём их дискретизации в

замкнутая система, передаточная функция, переходная характеристика

Исследование процесса цифровой обработки

сигнала при работе. ..

частотная область, DFTFILT, передаточная функция фильтра, основной шаг фильтрации, мнимая часть, исходное изображение, TYPE, MATLAB

Из графика АЧХ фильтра видно, что разрабатываемый ФНЧ пропускает диапазон частот сигнала до. Для этого надо в окне справки…

Алгоритмы преобразования Фурье и их применение при анализе…

– периодический дискретный сигнал можно разложить в конечный ряд Фурье. На практике, обычно, используется последний вид преобразований в связи с тем, что компьютеры способны работать с конечным набором данных. Дискретное преобразование Фурье.

Передаточная функция FIR

Фильтр передаточной функции использует передаточную функцию и Теорема свертки изготовить фильтр. В этой статье обсуждается пример такого фильтра, использующего конечную импульсную характеристику, и показано применение фильтра в реальных данных.

Содержание

  • 1 FIR (Finite Impulse Response) Линейные фильтры
  • 2 Математическая модель
  • 3 Односторонний линейный фильтр
    • 3.1 Функция ввода
    • 3.2 Односторонний фильтр
  • 4 Двусторонний фильтр
  • 5 КИХ Передаточная функция Линейный фильтр Применение
  • 6 Рекомендации

FIR (Finite Impulse Response) Линейные фильтры

В цифровой обработке КИХ-фильтр — это непрерывный во времени фильтр, инвариантный со временем. Это означает, что фильтр не зависит от конкретного момента времени, а скорее зависит от продолжительности времени. В спецификации этого фильтра используется функция передачи который имеет частотную характеристику, которая будет передавать только желаемые частоты входного сигнала. Этот тип фильтра является нерекурсивным, что означает, что выходные данные могут быть полностью получены из комбинации входных данных без каких-либо рекурсивных значений выходных данных. {T} х (т- тау) , ч ( тау) , д тау}

час(τ{ Displaystyle тау}) — передаточная функция импульсного отклика на вход. В свертка позволяет активировать фильтр только тогда, когда на входе записан сигнал с тем же значением времени. Этот фильтр возвращает входные значения (x (t)), если k попадает в область поддержки функции h. По этой причине этот фильтр называется конечным откликом. Если k находится за пределами области поддержки, импульсная характеристика равна нулю, что делает выход равным нулю. Центральная идея этого h (τ{ Displaystyle тау}) можно рассматривать как частное двух функций.[2]

По словам Хуана (1981)[3] Используя эту математическую модель, существует четыре метода проектирования нерекурсивных линейных фильтров с различными параллельные конструкции фильтров:

  1. Метод оформления окон
  2. Метод частотной выборки
  3. Обычное линейное программирование
  4. Итеративное линейное программирование

Односторонний линейный фильтр

Функция ввода

Определите входной сигнал:

у(т)=грех⁡(т)+рапd([1200]){ Displaystyle у (т) = грех (т) + рандом ({ begin {bmatrix} 1 & 200 end {bmatrix}})}

рапd([1200]){ displaystyle rand ({ begin {bmatrix} 1 & 200 end {bmatrix}})} добавляет случайное число от 1 до 200 к синусоидальной функции, которая служит для искажения данных. {- t}, & forall & 0 & leq & t & leq + infty end {case}}}

Изучите этот фильтр в его частотной области, мы увидим, что характеристика амплитуды соответствует той же тенденции, что и односторонний фильтр. Однако пропускаемые частоты меньше, чем у одностороннего фильтра. Это привело к более плавному выходу. Существенным из этого следствия является то, что типы двусторонних фильтров линейных фильтров лучше являются фильтрами.

КИХ Передаточная функция Линейный фильтр Применение

Линейный фильтр работает лучше, если это двусторонний фильтр. Это требует, чтобы данные были известны заранее, что затрудняет правильное функционирование этих фильтров в ситуациях, когда сигналы не могут быть известны заранее, например, при обработке радиосигналов. Однако это означает, что линейные фильтры чрезвычайно полезны при фильтрации предварительно загруженных данных. Кроме того, из-за своей нерекурсивной природы, которая сохраняет фазовые углы входа, линейные фильтры обычно используются в обработка изображений, обработка видео, обработка данных или обнаружение закономерностей. Хуанг, Т. С. (1981). Темы прикладной физики: двумерная цифровая обработка сигналов I (3-е изд., Том 42, разделы прикладной физики). Берлин: Springer.

:::Режекторный фильтр с регулируемой величиной добротности для подавления помехи от силовой сети (50 Гц) :::

Режекторный фильтр с регулируемой величиной добротности для  подавления помехи от силовой сети (50 Гц)
Регулируемый активный режекторный фильтр

  Заявляемое устройство относится к приборостроению, а именно к частотноизбирательным средствам, и предназначено для использования в устройствах фильтрации сигналов от помех на фиксированных частотах, в частности сетевой частоты 50 или 60 Гц, а также в акустических системах для устранения акустической “завязки”
Известно, что режекторные фильтры (РФ)  широко применяются в системах связи, в различных измерительных приборах для соответствующей  обработки сигналов
В литературе описано множество вариантов таких фильтров, пост­роенных на основе RC-звеньев [Harris, 1968[3]; Steber & Kraeger, 1969[6]; Inigo, 1969[4]; Chakraborty & Choudhary, 1969[2]; Bhattacharyya & Swamy, 1970[1]]
Для режекторных фильтров требуется, чтобы на частоте среза коэффициент передачи фильтра равнялся нулю. Но на практике это условие бывает трудно­выполнимым. Для точной регулировки таких фильтров желательно иметь возможность подстройки величины коэффициента добротности независимо от величины коэффициента передачи
Коэффициент передачи или передаточная функция фильтра являются основными характеристиками, отражающими способность фильтра к частотной селективности
Для исходного фильтра, который является неинвертирующим симметричным режекторным фильтром второго порядка,   передаточная функция имеет вид
(1) 
где р = j×ω – оператор Лапласа, ω = 2×π×f – круговая частота режекции,
Qисх – коэффициент добротности исходного фильтра,
Nрф(р) – числитель передаточной функции, Dрф(р) – её знаменатель.
При этом не учитывается, с помощью каких конкретно RC или LC звеньев обеспечивается селективность фильтра.
Величина добротности Qисх  =  ω0 / ( ω2 – ω1 )  характеризует селективные свойства режекторного фильтра, во многих случаях бывает недостаточна и требуется увеличение добротности режекторного фильтра.
Каскадное включение  двух режекторных фильтров с одинаковой добротностью    не позволяет увеличить добротность , поскольку дает режекторный фильтр с более низкой добротностью,  чем исходный.
Из уровня техники известен    РФ 2-го порядка с включением на вход исходного РФ дополнительного корректирующего фильтра, являющегося амплитудным корректором и имеющим частоту подьема усиления, совпадающего с частотой режекции.
Каскадное (последовательного) включение   звеньев фильтров [5],   позволяет получить повышение добротности имеющегося исходного режекторного фильтра (РФ)  за счет последовательного включения с ним корректирующего звена   [1] ,  имеющего подьем коэффициента усиления на частоте режекции РФ.
При последовательном включении амплитудного корректора с передаточной функцией (2) и исходного РФ (1) происходит компенсация низкодобротных полюсов знаменателя передаточной функции исходного РФ нулями числителя амплитудного корректора. При этом полиномом знаменателя РФ становится полином знаменателя амплитудного корректора, имеющего большую добротность, что и обеспечивает повышение добротности результирующего режекторного фильтра (3)
(2) 
(3) 
 Однако недостатком такого решения является необходимость использования дополнительных усилительных и реактивных элементов в частотно- избирательных цепях активного корректирующего фильтра, что усложняет и удорожает режекторный фильтр. Кроме того, усложняется  настройка величины добротности из-за необходимости регулировки большого числа элементов.
Практически невозможно оперативно регулировать добротность нового режекторного фильтра.
Известны устройства РФ с  повышением  величины   добротности  за счет введение в исходный режекторный фильтр частотнонезависимой положительной обратной связи (ПОС) [ 3-5 ] в селективную цепь на основе Т или 2Т мостов.
РФ с 2Т–мостом и частотно независимым резистивным делителем [4] позволяет регулировать добротность РФ, но компоненты 2Т–моста требуют тщательного подбора и поддержания точного значений номиналов резисторов и конденсаторов 2Т–моста, что также усложняет и удорожает производство РФ
Такое повышение добротности за счет введения ПОС в частотноселективную цепь Т–моста не позволяет регулировать добротность РФ в процессе эксплуатации. Кроме того, использование положительной обратной связи повышает уровень  шумов фильтра.
Наиболее близким аналогом по совокупности существенных признаков к предлагаемому режекторному фильтру является режекторный фильтр по патенту США   № 4 242 642 (МПК Н03F1/34, 1980)
Схема этого режекторного фильтра содержит дифференциальный операционный усилитель, инвертирующий вход которого соединен с первым резистором, а также с первыми выводами второго и третьего резисторов, который образует резистивный делитель. Выход дифференциального операционного усилителя соединен со входом исходного режекторного фильтра и с вторым выводом третьего резистора, неинвертирующий вход дифференциального операционного усилителя и один вывод исходного режекторного фильтра подсоединены к общему проводу (заземлению) Выход исходного режекторного фильтра соединен со вторым выводом второго резистора.
Схема прототипа приведена на фиг. 1.
Достоинством этого режекторного фильтра являются:
—    исключение дополнительных реактивных элементов, усложняющих настройку фильтра,
—  использование только отрицательной обратной связи для подстройки величины добротности,
Недостатком прототипа являются трудности оперативной регулировки величины добротности.

Фиг.1. Схема режекторного фильтра-прототипа

Фиг.2. Граф схемы режекторного фильтра-прототипа

Определим передаточную функцию схемы режекторного фильтра-прототипа по графу   фиг. 2:
(4) 
Из рассмотрения полученной передаточной функции РФ (4) имеем
(5) 
(6) 
Из формул (5), (6) следует что регулирование величины добротности Qнов, можно обеспечить путём изменения величины резистора R3 при фиксированном R2. Однако варьирование резистора R3 вызывает изменение величин пеедачи фильтра на постоянном токе Ko, что нежелательно и является недостатком схемы фильтра.На  фиг.2 приведены АЧХ фильтра в различных точках схемы

Фиг.2 Амплитудно-частотные характеристики схемы РФ- прототипа в различных точках схемы: кривая 1- АЧХ исходного режекторногофильтра с низкой добротностью. кривая 3 – АЧХ корректирующего фильтра на выходе первого ОУ кривая 2 — АЧХ режекторного фильтра с повышенной добротностью

Технический результат, на достижение которого направлено предлагаемое техническое решение, заключается в повышении добротности исходного режекторного фильтра (неинвертирующего симметричного второго порядка) с обеспечением его оперативной подстройки путем регулировки одного элемента, а также в исключении влияния изменения величины добротности на коэффициент передачи фильтра на постоянном токе и в уменьшении общего количества используемых в схеме элементов, что удешевляет устройство.
Для достижения этого технического результата предлагаемый активный режекторный фильтр, так же как и известный, содержит дифференциальный операционный усилитель, инвертирующий вход которого соединен с первыми выводами первого и второго резисторов, а выход соединен со входом исходного режекторного фильтра и со вторым выводом второго резистора, при этом вывод исходного режекторного фильтра соединен со вторым выводом первого резистора и один вывод исходного режекторного фильтра подсоединен к общему проводу заземления, но в отличие от известного неинвертирующий вход дифференциального операционного усилителя является входом активного режекторного фильтра.

На фиг.3 приведена схема предлагаемого активного режекторного фильтра с регулированием добротности

Фиг . 4 Схема предлагаемого регулируемого активного режекторного фильтра

Схема содержит дифференциальный операционный усилитель, неинвертирующий режекторный  фильтр второго порядка, резистивный  делитель, включённый между выходом  и входом неинвертирующего режекторного  фильтра второго порядка, причём отвод резистивного делителя подклю­чен к  инвертирующему входу дифференциального операционного усилителя блок фильтрации 4, зажим 1 являющийся его входом, который соединён с резистором  2 (R1), другой конец резистора 2 соединён с инвертирующим входом 5 дифференциального операционного усилителя 8, а также с резисторами 3 (R2) и 7 (R3). Выход 9 дифференциального операционного усилителя 8 соединён со входом 10 исходного РФ 11 и с резистором 7. Выход 13 исходного РФ 11 соединяется с резистором 3 и зажимом 14, являющимся выходом блока фильтрации 4. Неинвертирующий вход 6 дифференциального операционного усилителя 8 и РФ 8 подсоединены к общему проводу заземления 12
Получим передаточную функцию предлагаемого режекторного фильтра.

где B = R3 / (R2 + R3)


тогда имеем 

Из рассмотрения последнего уравнения   (7) можно сделать следующие выводы
— добротность  фильтра зависит только от коэффициента B
 — коэффициент передачи на постоянном токе равен единице и не зависит от B, что выгодно отличает предлагемую схему от прототипа
Регулируемый активный режекторный фильтр  работает следующим образом.
При положении движка на левом краю потенциометра, т.е. при соединении выхода операционного усилителя с его инвертирующим входом,  имеем коэффициент передачи операционного усилителя, равный единице,  ( ОУ работает в режиме повторителя напряжения ) следовательно весь фильтр с учетом работы повторителя напряжения становится режекторным фильтром с исходной (начальной) величиной  добротности   Q исх. )
При перемещении движка к положению на середине потенциометра, т.е. когда сопротивления левой и правой части потенциометра равны, тогда на частоте режекции, где передача исходного режекторным фильтра равна нулю, передача сигнала с неинвертирующего входа на выход операционного усилителя будет равна двум, т.е. на входе исходного режекторным фильтр будет действовать удвоеное входное напряжение
Увеличение частотнозависимого напряжения на входе исходного режекторного фильтра компенсирует снижение усиления исходного режекторного фильтра за счет его малого значения исходной величины добротности Q исх, что приводит к увеличению добротности всего режекторного фильтра
При указанном положении движка потенциометра и расстройке от частоты режекции Fo режекторного фильтра в сторону снижения частоты  на выходе всего фильтра будет появляться напряжение с фазовым сдвигом, причем в сторону отставания или   в  сторону опережения при отклонении частоты в сторону повышения.
При большом отклонение частоты от значения Fo в сторону понижения или повышения частоты фаза выходного напряжения относительно входного напряжения становится равной нулю. Можно считать что выходное напряжение всего фильтра будет в тойже фазе, что и  входное.
На правом выводе потенциометра будет появляться напряжение в той же фазе , что и на левом выводе, причем равное по амплитуде,Формула изобретения  поэтому из-за равенства напряжения на выводах  потенциометра ток через потенциометр протекать не будет.
В результате на всех трех выводах потенциометра при больших расстройках частоты входного напряжения будет действовать одинаковое входное напряжение, вследствие “виртуального нуля” напряжения между входами дифференциального операционного усилителя. Из этого следует, что  коэффициент передачи со входа на выход будет равен единице
Можно  также сделать вывод , что перемещение движка потенциометра на частотах, достаточно удаленных от частоты режекции, не влияет на величину коэффициента передачи режекторного фильтра.
Формула   изобретения
Регулируемый активный режекторный фильтр с плавной регулировкой     добротности, содержащий дифференциальный операционный усилитель, неинвертирующий режекторный фильтр второго порядка, резистивный  делитель, включённый между выходом  и входом неинвертирующего режекторного фильтра второго порядка, причём отвод резистивного делителя подклю­чен к  инвертирующему входу дифференциального операционного усилителя,   отличающийся тем, что   резистивный делитель выполнен в виде   потенциометра, включенного крайними выводами ко входу и выходу  неинвертирующего режекторного  фильтра второго порядка, движок потенциометра подключён  к инвертирующему входу дифференциального операционного уси­лителя,  при этом в­ходом фильтра является неинвертирующий вход дифференциального операционного уси­лителя, а выходом схемы является выход неинвертирующего режекторного фильтра второго порядка

Анализ передаточной функции | Введение в цифровые фильтры

В этой главе обсуждаются передаточные функции фильтра и связанные с ними анализ. Передаточная функция обеспечивает алгебраическое представление линейного стационарного (LTI) фильтра в частотной области:

Передаточную функцию также называют системной функцией . [60].

Обозначим импульсную характеристику фильтра. получается получается (как мы покажем), что передаточная функция равна z преобразование импульсной характеристики :

Поскольку умножение входного преобразования на передаточную функцию дает выходное преобразование, мы видим, что воплощает в себе передают характеристики фильтра—отсюда и название.

Остается определить « z преобразование» и доказать, что z преобразование импульсная характеристика всегда дает передаточную функцию, что мы и сделаем доказав теорему свертки для z преобразований.

Преобразование

Z

Двустороннее z преобразование сигнала дискретного времени определяется как

(7. 1)

где комплексная переменная. Поскольку сигналы обычно определяются начинаться (становиться ненулевым) в момент времени , и поскольку фильтры часто считается причинным, 7.1 нижний предел суммирования, указанный выше, может быть записан как 0, а не как дать односторонний z преобразование :

(7.2)

Чаще всего используется одностороннее преобразование z . Для инвертирования преобразований z см. §6.8.

Напомним (§4.1), что математическое представление сигнал дискретного времени отображает каждое целое число к комплексу количество ( ) или действительное число ( ). z преобразование of , с другой стороны, отображает каждое комплексное число на новый комплексный номер . На более высоком уровне, преобразование z , рассматриваемое как линейный оператор , отображает весь сигнал к его преобразованию z . Мы думаем об этом как о «функции для сопоставление функций. Мы можем сказать, что это преобразование z , написав

или, используя операторную запись,

который можно сократить как

Можно также увидеть удобное, но, возможно, вводящее в заблуждение обозначение

, в котором и следует понимать как обозначающий все домены

и

, как в отличие от обозначения конкретных фиксированных значений.

Преобразование сигнала z можно рассматривать как полином в , с коэффициентами, заданными образцами сигнала. Например, сигнал

имеет z преобразование

.


Существование

Z Трансформировать

Преобразование z конечно-амплитудного сигнал всегда будет существовать при условии, что (1) сигнал начинается в конечное время и (2) он асимптотически экспоненциально ограничено , т. е. , существует конечные целые и конечные действительные числа и , такой, что для всех . ограничивающая экспонента может даже расти вместе с (). Это не самые общие условия существования z трансформируются, но они достаточно для большинства практических целей.

Для сигнала, растущего как , для одного естественно ожидать, что преобразование z будет определено только в область, край сложной плоскости. Это ожидается потому что бесконечный ряд

требуется

для обеспечения сходимости. С

для разлагающегося экспоненциальной, мы видим, что область сходимости преобразование затухающей экспоненты всегда включает единичный круг самолет .

В более общем случае оказывается, что во всех случаях, представляющих практический интерес, домен может быть расширен для включения вся комплексная плоскость , за исключением изолированной «сингулярной» точек 7.2 в каких подходах бесконечность (например, в когда ). Математическая техника для этого называется аналитическим методом. продолжение и описано в §D.1 применительно к Преобразование Лапласа (непрерывный аналог преобразования z ). Однако следует отметить, что в области расширения (все точки такой, что в приведенном выше примере) сигнал компонента, соответствующая каждой особенности внутри расширения область «перевернута» во временной области. То есть «причинно-следственный». экспоненты становятся «антикаузальными» экспонентами, как обсуждалось в §8.7.

Преобразование z более подробно обсуждается в другом месте. [52,60], и ниже мы выведем только что нам понадобится.


В этом разделе мы докажем очень полезную теорему о сдвиге и теорема свертки для односторонних z преобразований. Мы рассматриваем пространство г. бесконечно длинные, причинно-следственные, сложные последовательности , , с за .

Теорема о сдвиге

Теорема сдвига говорит, что задержки отсчетов во временной области соответствует умножению на в частотной области:

S HIFT

или, используя более распространенные обозначения,

Таким образом,

, то есть сигнал, задержанный на образцы, имеет преобразование z

.


Доказательство:


где мы использовали предположение причинности для .


Теорема свертки

9Теорема свертки 0003 для z преобразует утверждает, что для любого (действительного или) сложные причинно-следственные сигналы и , свертка во временной области есть умножение в домен , т. е. ,

или, используя операторную запись,

где

и

. (Видеть [84] для развития теоремы свертки для дискретных преобразования Фурье.)


Доказательство:


Теорема свертки является краеугольным камнем линейных систем. теория. Это подразумевает, например, что любой стабильный причинно-следственный фильтр LTI (рекурсивный или нерекурсивный) может быть реализован путем свертки входных данных сигнал с импульсной характеристикой фильтра, как показано в следующем раздел.


Из уравнения (5.5) получаем, что выход линейного задан стационарный фильтр с входной и импульсной характеристикой к свертка а , т.е. ,

(7. 3)

где «’ означает свертку, как и раньше. Используя преобразование z обе части уравнения (6.3) и применяя теорему свертки из предыдущий раздел дает

(7.4)

где H(z) — преобразование z импульсной характеристики фильтра. Мы можем разделить уравнение (6.4) на, чтобы получить

Это показывает, что, как прямой результат теоремы свертки, z преобразование импульсной характеристики равно передаче функция

фильтра при условии, что фильтр линейный и неизменен во времени.


Начиная с z преобразование представления свертки для цифровых фильтров было так плодотворно, давайте применим его теперь к общему разностному уравнению, Уравнение (5. 1). Для этого требуются два свойства z преобразование, линейность (легко показать) и теорема о сдвиге (получено в §6.3 выше). Используя эти два свойства, мы может записать преобразование z любого разностного уравнения путем проверки, как сейчас покажем. В В §6.8.2 мы также покажем, как инвертировать путем проверки.

Повторяя общее разностное уравнение для фильтров LTI, имеем (из уравнения (5.1))

Возьмем z преобразование обеих сторон, обозначающее преобразование . Потому что является линейным оператором, его можно распределить через члены в правой части как следует: 7,3 где мы использовали суперпозиционные и скейлинговые свойства линейности указано на странице , после чего используется сдвиг теорема именно в таком порядке. Термины в могут быть сгруппированы вместе с левой стороны, чтобы получить


Факторизация общих терминов и дает

Определение многочленов


преобразование z разностного уравнения дает

Наконец, решение для , которое по определению передаточная функция дает

(7. 5)

Таким образом, преобразование общего разностного уравнения z привело к новому формула для передаточной функции в терминах разностного уравнения коэффициенты. (Теперь знаки минус для коэффициентов обратной связи в объясняются разностные уравнения (5.1).)


Факторная форма

По основной теореме алгебры каждый многочлен th порядка может быть разложено на в произведении полиномов первого порядка. Следовательно, уравнение (6.5) выше может быть записано в виде с учетом формы как

(7.6)

Корни числителя

называются нулями передаточной функции, а корни знаменателя

называются полюсами фильтра. Полюса и нули обсуждается далее в главе 8.


Передаточная функция удобно фиксирует алгебраическая структура операции фильтрации по отношению к серия или параллельная комбинация . В частности, у нас есть следующие случаи:

  1. Передаточные функции последовательно соединенных фильтров перемножаются.
  2. Передаточные функции фильтров, включенных параллельно, суммируются.

Случай серии

На рис. 6.1 показано последовательное соединение двух фильтры а также . Выход фильтра 1 используется как вход для фильтра 2. Таким образом, общая передаточная функция

Таким образом, если выходные данные фильтра заданы как входные данные для фильтр (последовательная комбинация), как показано на рис.6.1, общая передаточная функция равна

—передача функции фильтров, соединенных последовательно умножьте вместе.


Параллельный случай

Рисунок 6.2 иллюстрирует параллельную комбинацию двух фильтры. Фильтры и приводятся в действие тот же входной сигнал и соответствующие им выходы и суммируются . Передаточная функция параллельного комбинация поэтому

где нам нужна была только линейность z преобразовать, чтобы получить это

.

Комбинация серий коммутативна

Так как умножение комплексных чисел коммутативно, то

что означает, что любое последовательное расположение фильтров приводит к одинаковая общая передаточная функция. Обратите внимание, однако, что численное обычно влияет на производительность общего фильтра заказом ступеней фильтрации в последовательной комбинации [103]. Глава 9дополнительно рассматривает числовую производительность структур реализации фильтра.

По теореме свертки для z преобразований, из коммутативности произведения передаточных функций следует, что свертка коммутативна :


Расширение частичной дроби

Важный инструмент для инвертирования преобразования z и преобразования между цифровыми структуры реализации фильтра — это неполная дробь расширение (PFE). Термин «расширение частичной дроби» относится к разложение рациональной передаточной функции в сумму первых и/или термины второго порядка. Случай членов первого порядка является наиболее простым и самое основное:

(7.7)

куда


а также . (Случай рассматривается в следующем разделе.) Коэффициенты знаменателя называются полюса шт. передаточная функция, а каждый числитель называется остаток столба . Уравнение (6.7) является общим, только если полюса являются различными . (Повторяющиеся полюса рассматриваются в §6.8.5 ниже.) И полюса, и их остатки могут быть сложный. Полюса можно найти, разложив полином на множители в члены первого порядка, 7.4 напр. , используя функцию root в Matlab. Вычет, соответствующий полюсу, может быть найден аналитически как

(7.8)

когда полюса различны. Функция Matlab

остаткиz

7.5 найдет столбы и остатки вычислительно, учитывая разностное уравнение (передаточная функция) коэффициенты.

Обратите внимание, что в уравнении (6.8) всегда присутствует нулевая компенсация полюса в точке . То есть термин всегда отменяется тождественный член в знаменателе , который должен существовать, потому что имеет полюс в . Остаток — это просто коэффициент однополюсного члена частично дробное расширение at . Передаточная функция это , в пределе, как .

Пример

Рассмотрим двухполюсный фильтр

Полюса и . Тогда соответствующие остатки


Таким образом, мы заключаем, что

В качестве проверки мы можем добавить два однополюсных члена выше, чтобы получить

как и ожидалось.


Сложный пример

Чтобы проиллюстрировать пример со сложными полюсами, рассмотрим фильтр

где может быть любое действительное или комплексное значение. (Когда реально, фильтр в целом тоже реален.) Полюсы то и (или наоборот), а факторизованная форма может быть записана как

Используя уравнение (6.8), остатки равны


Таким образом,

Более сложный пример разложения частичной дроби на комплексную. однополюсные секции приведены в §3.12.1.


PFE в Real, разделы второго порядка

Когда все коэффициенты и действительны (имеется в виду, что является передаточной функцией настоящий фильтр ), он будет всегда случается, что сложные однополюсные фильтры встречаются в комплексно-сопряженные пары . Обозначим любой однополюсный сечение в ПФЭ уравнения (6.7). Тогда если сложно и описывает реальный фильтр, мы также найдем где-то среди членов однополюсного разложения. Эти два термина можно объединить в сформировать реальный раздел второго порядка выглядит следующим образом:


Выражая полюс в полярной форме как , а остаток как , последнее выражение выше можно переписать как

Использование коэффициентов полярной формы обсуждается далее в разделе на двухполюсных фильтрах (§B.1.3).

Разложение передаточной функции в сумму членов второго порядка с реальные коэффициенты дают нам коэффициенты фильтра для параллельного банка реальных секций фильтра второго порядка. (Конечно, каждый реальный полюс может реализовать в своей реальной однополюсной секции параллельно другие разделы.) Ввиду вышеизложенного, мы можем заключить, что каждый реальный фильтр с может быть реализован как параллельный банк из биквадраты . 7.6 Однако полная общность биквадрата сечение (два полюса и два нуля) не нужно, т.к. требуется только один нуль на член второго порядка.

Чтобы понять, почему мы должны оговаривать в уравнении (6.7), рассмотрим сумму двух членов первого порядка прямым вычислением:

(7.9)

Обратите внимание, что порядок числителя, рассматриваемый как многочлен от , равен на один меньше порядка знаменателя. Таким же образом легко математической индукцией показано, что сумма однополюсных членов

может дать числитель порядка не более (в то время как порядок знаменателя, если нет полюс-ноль Аннулирование). Следуя терминологии, используемой для аналоговых фильтров, мы назвать дело строго правильным переводом функция . 7.7 Таким образом, каждый строго может быть реализована правильная передаточная функция (с разными полюсами) с использованием параллельного набора двухполюсных секций фильтра с одним нулем.


Инвертирование Z-преобразования

Разложение на частичные дроби (PFE) обеспечивает простое средство для обращение преобразования z рациональных передаточных функций. ОФЭ дает сумму членов первого порядка вида

Легко проверить, что таким членом является преобразование z

Таким образом, обратное преобразование z просто

Таким образом, импульсная характеристика каждого строго правильного фильтра LTI (с отчетливыми полюсов) можно интерпретировать как линейная комбинация выборки комплексные экспоненты . Напомним, что равномерная экспонента — это то же самое, что и геометрическая . последовательность . Таким образом, является линейной комбинацией геометрических последовательности. Отношение членов th геометрической последовательности равно полюса, , а коэффициент го последовательность — остаток, .

В случае неправильных , обсуждаемом в следующем разделе, мы дополнительно получить КИХ-часть в преобразовании z для инвертирования:

КИХ-часть (многочлен конечного порядка по ) также легко перевернут осмотром.

Случай повторяющихся полюсов рассматривается в §6.8.5 ниже.


FIR Часть PFE

Когда в уравнении (6.7) мы можем выполнить шаг деления в длину для производства FIR часть параллельно с строго правильная часть IIR:

(7. 10)

куда


Когда , мы определяем . Этот тип разложения вычисляется функцией остатка (функция Matlab для вычисление полного разложения частичной дроби, как показано на §6.8.8 ниже).

Альтернативная КИХ-часть получается путем выполнения длинного деления на инвертировали коэффициента полинома, чтобы получить

(7.11)

где

снова порядок FIR-части. Этот тип разложения вычисляется (как часть PFE) на

остаток

, описанный в §J.6 и проиллюстрированный численно в §6.8.8 ниже.

Мы можем сравнить эти две альтернативы PFE следующим образом: Обозначим , , а также . ( То есть , мы используем нижний индекс для обозначения полиномиального порядка, а `’ опущен для простоты обозначений. ) Тогда для имеем два случая:


В первой форме, коэффициенты «левые» оправдано» в реконструированном числителе, а во второй форме они «право оправданы». Вторая форма, как правило, более эффективен для целей моделирования , поскольку числитель IIR часть ( ) может использоваться для сопоставления дополнительных термины в импульсной характеристике после того, как часть КИХ имеет «вымерли».

Таким образом, передаточная функция произвольного цифрового фильтра с различные полюса всегда могут быть выражены как параллельная комбинация из комплексные однополюсные фильтры вместе с параллельной КИХ-частью когда . Когда есть часть FIR, строго правильный IIR часть может быть задержана таким образом, что ее импульсная характеристика начинается там, где части FIR уходит.

В приложениях с искусственной реверберацией КИХ-часть может соответствовать к ранним отражениям , в то время как часть IIR обеспечивает поздняя реверберация , обычно плотная, гладкая и экспоненциально затухает [86]. predelay («предварительная задержка») контроль в некоторых коммерческих ревербераторах количество чистой задержки в начале ревербератора импульсивный ответ. Таким образом, пренебрегая ранними отражениями, порядок часть FIR можно рассматривать как величину предварительной задержки для части IIR.

Пример: General Biquad PFE

Общий случай второго порядка с (т.н. biquad section) можно записать когда как

Чтобы выполнить разложение частичной дроби, нам нужно извлечь порядок 0 (длина 1) FIR-часть через длинное деление. Пусть и переписать как отношение полиномов от :

Тогда длинное деление дает
уступающий

или же

Задержанная форма разложения частичной дроби получается с помощью оставляя коэффициенты в их первоначальном порядке. Это соответствует записать как отношение полиномов от :

Длинное деление теперь выглядит как
давать

Численные примеры разложения неполных дробей приведены в §6. 8.8. ниже. Другой рабочий пример, в котором фильтр преобразуется в набор параллельных, второго порядка разделы приведены в §3.12. См. также §9.2 относительно преобразование в разделы второго порядка в целом и §G.9.1 (особенно Уравнение (G.22)) относительно подход в пространстве состояний к разложению частичной дроби.


Альтернативные методы PFE

Другой метод нахождения полюсных вычетов состоит в том, чтобы записать общее форма ФФЭ, получить общий знаменатель, расширить числитель условия для получения одного многочлена, и приравнять подобные степени . Это дает линейную систему уравнений с неизвестными, .

Еще один метод нахождения остатков — с помощью рядов Тейлора. разложения числителя и знаменателя по каждому полюс, используя l’Hôpital’s правило..

Наконец, в качестве альтернативы можно построить пространство состояний . реализация строго правильной передаточной функции (с использованием, например, , tf2ss в матлабе), а затем диагонали через преобразование подобия . (См. Приложение G для введение в модели в пространстве состояний и их диагонализация с помощью преобразования подобия.) Передаточная функция диагонализированной модели в пространстве состояний имеет вид тривиально получается как сумма однополюсных членов — т.е. , PFE. В других словами, неявно диагонализируя реализацию фильтра в пространстве состояний выполняет частичное расширение передачи фильтра функция. Когда полюса различны, модель в пространстве состояний может быть диагональный; когда есть повторяющиеся полюса, это может быть вместо этого блочно-диагональные, как обсуждается далее в §G.10.


Повторяющиеся поляки

Когда полюса повторяются, возникает новое интересное явление. К посмотрим, что происходит, давайте рассмотрим два одинаковых полюса, расположенных в параллельно и последовательно. В параллельном случае имеем

В случае серии получаем

Таким образом, два однополюсных фильтра параллельно эквивалентны новому однополюсный фильтр 7,8 (при совпадении полюсов), а те же два фильтры серии дают двухполюсный фильтр с повторным столб. Чтобы учесть обе возможности, общая частичная дробь расширение должно включать термины

для полюса, имеющего кратность 2.

Аналитическая работа с повторяющимися полюсами

Полюс кратности имеет остатки, связанные с ним. Например,

  (7.12)

и три остатка, связанные с полюсом, это 1, 2 и 4.

Обозначим th остаток, связанный с полюсом , . Последовательно дифференцируя раз с относительно и установка изолирует остаток:


или же


Пример

Для примера уравнения (6. 12) получаем



Импульсная характеристика повторяющихся полюсов

Во временной области повторяющиеся полюса дают полином огибающие амплитуды на затухающих экспонентах, соответствующих (устойчивые) столбы. Например, в случае повторения одного полюса дважды, у нас есть


Доказательство: Сначала обратите внимание, что

Следовательно,

 
 
 
 
  (7. 13)

Обратите внимание, что это полином первого порядка по . Аналогично, столб повторенный три раза соответствует компоненту импульсного отклика, который представляет собой экспоненциальное затухание, умноженное на квадратичный полином в , и так далее. Пока импульсная характеристика будет в конечном итоге затухает до нуля, потому что экспоненциальный затухание всегда настигает полиномиальный рост в пределе при стремлении к бесконечности.


Итак, что случилось с повторяющимися полюсами?

В предыдущем разделе мы обнаружили, что повторяющиеся полюса порождают полиномиальные амплитудные огибающие, умножающие экспоненциальный спад из-за к полюсу. С другой стороны, два различных полюса могут только дают свертку (или сумму) двух разных экспоненциальных распадов с полиномиальная оболочка не допускается. Это правда, независимо от того, насколько близко полюса сходятся; полиномиальная оболочка может иметь место только тогда, когда полюса точно сливаются. Это может нарушить интуитивную ожидание непрерывного изменения при переходе от двух близких разнесенные полюса к повторяющемуся полюсу.

Для дальнейшего изучения этого явления рассмотрим свертку двух однополюсные импульсные характеристики а также :

(7.14)

Конечные пределы суммирования возникают из-за того, что оба и являются причинными. Напомним сумму усеченного геометрический ряд:

Применяя это к уравнению (6.14), получаем

Заметим, что результат симметричен относительно и . Если

, то становится пропорциональным для больших, а если

, становится вместо пропорционально .

Возвращаясь к уравнению (6. 14), имеем

(7.15)

Настройка урожайности

(7.16)

что является случаем полиномиальной амплитуды-огибающей первого порядка для повторный полюс. Мы видим, что переход от «двух свернутых экспоненты» в «одну экспоненту с полиномиальной амплитудой конверт» совершенно непрерывен, как и следовало ожидать.

Мы также видим, что полиномиальная амплитуда огибает фундаментально возникают из повторных сверток . Это соответствует повторные полюса расположены в серии , а не в параллельно. Простейший случай, когда повторяющийся полюс находится в точке , в в этом случае его импульсная характеристика является постоянной:

Свертка константы с самой собой представляет собой рампу:

Свертка константы и рампы является квадратичной, поэтому на: 7,9



Альтернативный Критерий стабильности

В §5. 6 (стр.) фильтр был определен для быть стабильным , если его импульсная характеристика затухает до 0 в величина с течением времени стремится к бесконечности. В §6.8.5 мы видели, что импульсная характеристика каждого фильтра LTI конечного порядка может быть выражена как возможная КИХ-часть (которая всегда стабильна) плюс линейная сочетание терминов формы , где какой полином конечного порядка по , и является th полюсом фильтр. В таком виде видно, что импульсная характеристика всегда затухает до нуля, когда каждый полюс находится строго внутри единичной окружности самолет, т.е. , когда . Таким образом, имея все полюса строго внутри единичного круга находится достаточный критерий для фильтрации стабильность. Если фильтр наблюдаемых (имеется в виду, что есть в передаточной функции от входа к выход), то это тоже необходимый критерий.

Говорят, что передаточная функция без нулевого сокращения полюса неприводимый . Например, является неприводимый, в то время как приводим, так как есть общий фактор в числителе и знаменатель. Используя эту терминологию, мы можем констатировать следующее. Критерий стабильности:

Эта характеристика устойчивости будет продолжена в §8.4. и еще один тест на стабильность (наиболее часто используемый на практике) дано в §8.4.1.


Резюме разложения частичной дроби

Таким образом, разложение частичной дроби можно использовать для расширения любое рациональное преобразование z

в виде суммы членов первого порядка

(7.17)

для и

(7. 18)

для , где термин

является необязательным, но часто предпочтительно. Для реальных фильтров комплексные однополюсные члены могут быть объединены в пары. до получения членов второго порядка с действительными коэффициентами. Процедура PFE выполняется в два или три этапа:

  1. При , выполните шаг длинного деления, чтобы получить часть FIR и строго правильная часть IIR .
  2. Найди полюса, (корни из ).
  3. Если полюса различны, найти остатки , из
  4. Если есть повторяющиеся полюса, найти дополнительные остатки через метод §6.8.5, а общая форма PFE такова:
    (7.19)

    где обозначает количество различных полюсов, а обозначает кратность -го полюса.

На шаге 2 полюса обычно находятся с помощью факторизации полином знаменателя. Это опасный шаг численно который может выйти из строя, когда есть много полюсов, особенно когда много полюсов сгруппированы близко друг к другу в плоскости.

Следующий код Matlab иллюстрирует факторинг к получить три корня, , :

А = [1 0 0 -1]; % Полином знаменателя фильтра
полюса = корни (A) % полюсов фильтра
 

Дополнительные сведения о цифровых фильтрах см. в главе 9. реализованы как параллельные разделы (особенно §9.2.2).


Программное обеспечение для разложения неполных дробей

Рисунок 6.3 иллюстрирует использование вычетаz (§J.5). для выполнения разложения частичной дроби на передаточную функцию

Комплексно-сопряженные члены можно комбинировать, чтобы получить два действительных секции второго порядка, что в сумме дает одну реальную секцию первого порядка параллельно с двумя реальными секциями второго порядка, как обсуждалось и изображено в §3. 12. 95]; [r,p,f] = остатокz(B,A) % г = % 0,16571 % 0,22774 — 0,02016i % 0,22774 + 0,02016i % 0,18940 + 0,03262i % 0,18940 — 0,03262i % % р = % -0,

% -0,27812 — 0,85595i % -0,27812 + 0,85595i % 0,72812 — 0,52901i % 0,72812 + 0,52901i % %f = [](0x0)

Пример 2

Для фильтра

(7.20)
  (7.21)

мы получаем вывод

остатков

(§J.6), показанный в Рис.6.4. В отличие от остатка

z

, остатка

задерживает часть IIR до окончания части FIR. В отличие от этого результата,

остатокz

возвращает

r=[-24;16]

и

f=[10;2]

, соответствующий ПФЭ

(7.22)

в котором части FIR и IIR имеют перекрывающиеся импульсные характеристики.

См. Разделы J.5 и J.6, начиная со стр. списки остатковz, остатков и родственных обсуждение.

Рисунок 6.4: Использование остатка для выполнения частичное разложение передаточной функции БИХ-фильтра .
В=[2 6 6 2]; А=[1 -2 1];
[r,p,f,m] = остаток(B,A)
% г =
% 8
% 16
%
% р =
% 1
% 1
%
% ф =
% 2 10
%
% м =
% 1
% 2
 

Полиномиальное умножение в Matlab

Функция Matlab conv ( свертка ) может использоваться для выполнить полиномиальное умножение . Например:

В1 = [1 1]; % 1-я строка треугольника Паскаля
В2 = [1 2 1]; % 2-я строка треугольника Паскаля
B3 = конв(B1,B2)% 3-я строка
% В3 = 1 3 3 1
B4 = конв(B1,B3)% 4-я строка
% В4 = 1 4 6 4 1
% ...
 

Matlab

conv(B1,B2)

идентичен

filter(B1,1,B2)

, за исключением того, что

conv

возвращает полную свертку двух своих входные векторы, а фильтр

усекает результат до длина «входного сигнала»

В2

. 7.10 Таким образом, если

B2

дополненный нулями

length(B1)-1

нулей, будет возвращена полная свертка:

В1 = [1 2 3];
В2 = [4 5 6 7];
конв(B1,B2)
% и = 4 13 28 34 32 21
фильтр(B1,1,B2)
% исп = 4 13 28 34
фильтр(B1,1,[B2,нули(1,длина(B1)-1)])
% и = 4 13 28 34 32 21
 

Полиномиальное деление в Matlab

Функция Matlab deconv ( 92 [первая часть, остаток] = deconv(B,A) % часть = % 2 10 % остаток = % 0 0 24 -8

Таким образом, этот пример находит то, что написано в уравнении (6. 21). Этот результат можно проверить, найдя общий знаменатель, чтобы чтобы пересчитать числитель прямой формы:

Bh = остаток + конв (первая часть, A)
% = 2 6 6 2
 

Операция deconv(B,A) может быть реализована с использованием фильтровать способом, аналогичным полиномиальному случай умножения (см. §6.8.8 выше):

firpart = filter(B,A,[1,zeros(1,length(B)-length(A))])
% = 2 · 10
остаток = B - conv(Firstpart,A)
% = 0 0 24 -8
 

В том, что это должно работать, можно убедиться, взглянув на уравнение (6.21) и отметив, что импульсная характеристика остатка (строго часть) не начинается до времени , так что первые два образца импульсного отклика исходят только из FIR-части.

Таким образом, мы можем удобно использовать свертки и деконволюции для выполнять полиномиальное умножение и деление соответственно, например при преобразовании передаточных функций в различные альтернативные формы.

При выполнении разложения частичной дроби на передаточную функцию порядок числителя которого равен или превышает знаменатель порядок, необходимым предварительным шагом является выполнение длинного деления на получить КИХ-фильтр параллельно со строго правильным переносом функция. В этом разделе описывается, как КИХ-часть любой длины может быть извлекаются из БИХ-фильтра, и это можно использовать как для PFE, так и для для более сложных приложений [].


См. http://ccrma.stanford.edu/~jos/filtersp/Transfer_Function_Analysis_Problems.html.


Следующий раздел:
Анализ частотной характеристики
Предыдущий раздел:
Представления цифрового фильтра во временной области

Работа с передаточными функциями фильтра нижних частот в моделировании | Блог Advanced PCB Design

 

Мой папа недавно взял в аренду новый автомобиль, который заменит его проверенный 20-летний грузовик. Как только он получает новую игрушку, ему всегда нравится нажимать на все кнопки и смотреть, какие странные вещи он может делать. В последнее время он играет с изменением выхода динамика для любой музыки или звука и возится со своими пассажирами. Это напоминает мне игру с эквалайзером на старой аналоговой стереосистеме. Эти ручки тогда были подключены к схеме фильтра.

Из различных типов фильтров фильтры нижних частот очень важны для получения чистых сигналов в ряде систем. Итак, как проще всего посмотреть, как работает конкретный фильтр нижних частот? Это функция передачи фильтра нижних частот пригодится.

Фильтры нижних частот и их передаточные функции

Как следует из названия, фильтр нижних частот представляет собой электронное устройство, позволяющее низкочастотным сигналам переменного тока пропускать ток через схему фильтра. Выходной сигнал схемы фильтра будет ослаблен в зависимости от частоты входного сигнала. Для построения схем фильтров с различными характеристиками можно использовать ряд различных активных и пассивных компонентов. Некоторые фильтры включают фильтры нижних частот, верхних частот, полосовые, всепроходные эллиптические фильтры, фильтры Чебышева и Баттерворта.

Самый простой способ описать поведение фильтра — определить передаточную функцию. Передаточная функция сообщает вам, как выходной сигнал связан с входным сигналом на различных частотах. Если вы проектируете схему фильтра, вы можете легко определить передаточную функцию по графику выходного сигнала на различных частотах. Вы также можете рассчитать передаточную функцию, используя законы Кирхгофа, чтобы получить дифференциальное уравнение, управляющее цепью.

 

Определение передаточной функции, ее величины и фазы для синусоидального сигнала

 

Когда сигнал проходит через фильтр, фильтр применяет некоторый фазовый сдвиг к выходному сигналу по отношению к входному сигналу. Это означает, что передаточная функция фильтра является сложной функцией частоты, а передаточная функция содержит всю информацию, необходимую для определения величины выходного сигнала и его фазы. Общее определение передаточной функции, ее величина и фаза показаны на изображении выше. Зная передаточную функцию фильтра, вы можете преобразовать ее в график Боде, чтобы получить представление о передаточной функции в дБ.

Если эта идея передаточной функции, определяющей поведение фильтра, вам незнакома, удобно рассматривать передаточную функцию в терминах импеданса. Подобно тому, как импеданс представляет собой комплексное число, определяющее частотно-зависимое сопротивление, передаточная функция определяет частотно-зависимое затухание или усиление. Вместо того, чтобы связывать выходной ток и входное напряжение, как в случае с законом Ома, вы просто меняете значение входного напряжения на какое-то другое значение. Передаточные функции фильтра нижних частот существенно увеличивают затухание по мере увеличения частоты.

Передаточные функции фильтра нижних частот высшего порядка

В некоторых приложениях вы можете обнаружить, что спад в передаточной функции фильтра нижних частот недостаточно крутой. Это означает, что в выходном сигнале все еще присутствует некоторый высокочастотный контент, который пропускается через фильтр. Если вам нужна более качественная фильтрация этих более высоких частот, вы можете создать фильтр более высокого порядка, соединив несколько фильтров последовательно. В общем, простой фильтр, построенный из RLC или аналогичной схемы, называется фильтром первого порядка. Два фильтра первого порядка, соединенные последовательно, называются фильтром второго порядка, и так далее…

 

Фильтр более высокого порядка похож на стопку кофейных фильтров

 

более высокие частоты. Это очень полезно для подавления высокочастотного шума. Один пример включает в себя сбор сигнала от массива датчиков, которые могут быть чувствительны к радиочастотам. Если вы пропускаете сигнал через фильтр нижних частот, вы можете значительно подавить радиочастотные сигналы на более высоких частотах. Средние и высокие частоты будут подавлены в большей степени при использовании фильтра более высокого порядка.

Более общие передаточные функции

Обратите внимание, что передаточная функция часто определяется в терминах преобразования Лапласа для дифференциального уравнения, описывающего цепь. Однако вы можете записать передаточную функцию через частоту синусоидального источника, используя приведенное выше уравнение. Это делается путем подстановки s=iω в типичную передаточную функцию. Это дает вам удобное представление передаточной функции для отдельных частот.

В случае цепи с гармоническим возбуждением, которая не выходит из равновесия, передаточная функция может быть легко определена простым преобразованием Фурье дифференциального уравнения, описывающего цепь. Использование преобразования Лапласа для получения передаточной функции обычно предпочтительнее в системах с обратной связью, поэтому вам нужно будет определить, является ли система стабильной. Если вы не проектируете фильтр нижних частот с активной обратной связью (например, фильтр Баттерворта), при синусоидальном возбуждении не следует учитывать элемент стабильности, поэтому подход Фурье подходит для большинства приложений.

Если вы используете развертку частоты переменного тока с пакетом SPICE и измеряете выходное напряжение фильтра нижних частот, вы можете определить амплитуду и фазу на каждой частоте возбуждения и построить график передаточной функции в частотной области. Для определения переходной характеристики цепи необходимо использовать поиск во временной области при импульсном управлении или управлении ступенчатой ​​функцией.

 

Операционные усилители присутствуют в ряде схем фильтров

 

Наконец, при работе с активными компонентами вы можете использовать анализ во временной области для схемы на разных частотах, если хотите проверить стабильность. Это требует некоторого времени, поскольку вы изучаете влияние двух параметров. Если вы выполняете развертку по частоте, вы можете увидеть пик передаточной функции вблизи собственной частоты схемы, соответствующий усилению в системе вблизи отсечки.

Определение передаточной функции и построение диаграммы Боде для любой схемы и любого типа источника значительно упрощается при использовании мощного пакета SPICE, упрощающего анализ сложных схем в частотной области. Пакет OrCAD PSpice Simulator от Cadence позволяет выполнять развертку по частоте, анализ переходных процессов и многие другие задачи, важные для проектирования и анализа аналоговых схем для любого приложения.

Этот уникальный пакет адаптирован для сложных конструкций печатных плат, напрямую взаимодействует с вашими проектными данными и помогает создавать передаточные функции для ваших схем фильтров.

Если вы хотите узнать больше о решениях, которые Cadence предлагает вам, обратитесь к нам и нашей команде экспертов.

Решения Cadence PCB — это комплексный инструмент для проектирования от начала до конца, позволяющий быстро и эффективно создавать продукты. Cadence позволяет пользователям точно сократить циклы проектирования и передать их в производство с помощью современного отраслевого стандарта IPC-2581.

Подпишитесь на LinkedIn Посетить сайт Больше контента от Cadence PCB Solutions