Высота треугольника — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Высота в треугольниках различного типа

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (точнее, на прямую, содержащую противоположную сторону). В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника.

Свойства ортоцентра[править | править код]

Высоты треугольника

• Все 3 высоты треугольника пересекаются в 1 точке, называемой ортоцентром. Доказательства ниже.
• Ортоцентр изогонально сопряжен центру описанной окружности.
• Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).
• Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
• Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника. Последний треугольник называют дополнительным треугольником по отношению к первому треугольнику.
• Последнее свойство можно сформулировать так: Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром дополнительного треугольника.
• Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
• Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
• Если О — центр описанной окружности ΔABC, то OH→=OA→+OB→+OC→{\displaystyle {\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}} ,
  • |OH|=9R2−(a2+b2+c2){\displaystyle |OH|={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}} , где R{\displaystyle R} — радиус описанной окружности; a,b,c{\displaystyle a,b,c} — длины сторон треугольника.
• Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
• Любой отрезок, проведенный из ортоцентра до пересечения с описанной окружностью всегда делится окружностью Эйлера пополам. Ортоцентр есть центр гомотетии этих двух окружностей.
• Теорема Гамильтона. Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник.
• Следствия теоремы Гамильтона:
  • Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона, имеющих равные радиусы описанных окружностей.
  • Радиусы описанных окружностей трёх треугольников Гамильтона равны радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
• В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника; в тупоугольном — вне треугольника; в прямоугольном — в вершине прямого угла.

Свойства высот равнобедренного треугольника[править | править код]

• Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья высота одновременно является медианой и биссектрисой того угла, из которого она выходит.
• Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две высоты равны, а третья высота одновременно является медианой и биссектрисой.
• У равностороннего треугольника все три высоты равны.

Свойства оснований высот треугольника[править | править код]

• Основания высот образуют так называемый ортотреугольник, обладающий собственными свойствами.
• Описанная около ортотреугольника окружность — окружность Эйлера. На этой окружности также лежат три середины сторон треугольника и три середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника.
• Другая формулировка последнего свойства:
  • Теорема Эйлера для окружности девяти точек. Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его внутренних медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (на окружности девяти точек).
• Теорема. В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному.
• Теорема. В треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, лежащие на двух сторонах, антипараллелен третьей стороне, с которой он не имеет общих точек. Через два его конца, а также через две вершины третьей упомянутой стороны всегда можно провести окружность.
• В 1860 году Шлёмильх доказал теорему: три прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами его соответствующих высот, пересекаются в одной точке. В 1937 году советский математик С. И. Зетель показал, что эта теорема верна не только для высот, но и для любых других чевиан.

Другие свойства[править | править код]

Свойства минимальной из высот[править | править код]

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

• Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.
• Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.
• При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.
• Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.

Соотношения[править | править код]

• ha=bsin⁡γ=csin⁡β,{\displaystyle h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta ,}
• ha=2Sa,{\displaystyle h_{a}={\frac {2S}{a}},} где S{\displaystyle S} — площадь треугольника, a{\displaystyle a} — длина стороны треугольника, на которую опущена высота.
• ha2=12(b2+c2−12(a2+(b2−c2)2a2)){\displaystyle h_{a}^{2}={\frac {1}{2}}(b^{2}+c^{2}-{\frac {1}{2}}(a^{2}+{\frac {(b^{2}-c^{2})^{2}}{a^{2}}}))}
• ha=bc2R,{\displaystyle h_{a}={\frac {bc}{2R}},} где bc{\displaystyle bc} — произведение боковых сторон, R−{\displaystyle R-} радиус описанной окружности
• ha:hb:hc=1a:1b:1c=bc:ac:ab{\displaystyle h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ac:ab}
• 1ha+1hb+1hc=1r{\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{r}}}, где r{\displaystyle r} — радиус вписанной окружности.
• S=1(1ha+1hb+1hc)⋅(1ha+1hb−1hc)⋅(1ha+1hc−1hb)⋅(1hb+1hc−1ha){\displaystyle S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}})}}}}, где S{\displaystyle S} — площадь треугольника.
• a=2ha⋅(1ha+1hb+1hc)⋅(1ha+1hb−1hc)⋅(1ha+1hc−1hb)⋅(1hb+1hc−1ha){\displaystyle a={\frac {2}{h_{a}{\cdot }{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}})}}}}}, a{\displaystyle a} — сторона треугольника к которой опускается высота ha{\displaystyle h_{a}}.
• Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание:

  hc=124a2−c2,{\displaystyle h_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}},}

где c{\displaystyle c} — основание, a{\displaystyle a} — боковая сторона.

• h=32a{\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a} — высота в равностороннем треугольнике со стороной a{\displaystyle a}.

Теорема о высоте прямоугольного треугольника[править | править код]

Если высота в прямоугольном треугольнике ABC{\displaystyle ABC} длиной h{\displaystyle h}, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной c{\displaystyle c} на отрезки m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n}, соответствующие катетам b{\displaystyle b} и a{\displaystyle a}, то верны следующие равенства:

• h3=mn{\displaystyle h^{2}=mn}
• a2=cn{\displaystyle a^{2}=cn}; b2=cm{\displaystyle b^{2}=cm}
• ch=ab{\displaystyle ch=ab}

Теорема о проекциях[править | править код]

См. с. 51, ф. (1.11-4)^[1]. Теорема о проекциях: c=acos⁡β+bcos⁡α; a=bcos⁡γ+ccos⁡β; b=ccos⁡α+acos⁡γ{\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha ;\ a=b\cos \gamma +c\cos \beta ;\ b=c\cos \alpha +a\cos \gamma }. Из теоремы о проекциях следует то, что высота, опущенная, например, из вершины C{\displaystyle C}, делит противоположную ей сторону c{\displaystyle c} на две части acos⁡β{\displaystyle a\cos \beta } и bcos⁡α{\displaystyle b\cos \alpha }, считая от вершины A{\displaystyle A} к B{\displaystyle B}.

Высота похожа на кота,
Который, выгнув спину,
И под прямым углом
Соединит вершину
И сторону хвостом.^[2]

Теорема^[3]. Пусть ABCD{\displaystyle ABCD} – вписанный четырёхугольник, A1{\displaystyle A_{1}} – основание перпендикуляра (высоты), опущенного из вершины A{\displaystyle A} на диагональ BD{\displaystyle BD}; аналогично определяются точки B1,C1,D1{\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1}}. Тогда точки A1,B1,C1,D1{\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}} лежат на одной окружности.

Высота (геометрия) — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Высота в элементарной геометрии — отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (например, треугольника, пирамиды, конуса) на её основание или на продолжение основания. Под высотой также подразумевается длина этого отрезка.

Высота трапеции, призмы, цилиндра, шарового слоя, усеченных параллельно основанию — расстояние между верхним и нижним основаниями.

Высота треугольника — отрезок, опущенный из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Все высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром этого треугольника. — Эту теорему легко доказать, используя векторное тождество, справедливое для любых точек A, B, C, E, не обязательно даже лежащих в одной плоскости:

EA→⋅BC→+EB→⋅CA→+EC→⋅AB→=0{\displaystyle {\overrightarrow {EA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {EB}}\cdot {\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {EC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0}

(Для доказательства следует взять в качестве точки E пересечение двух высот треугольника.)

Площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на соответствующее основание. Кроме формулы, удобной для расчёта площади, из этого также следует, что длины высот треугольника обратно пропорциональны длинам соответствующих сторон.

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

1. Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямую, лежащую в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.

2. Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.

3. При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, если они встречаются хотя бы дважды, тогда максимальное расстояние между точками во время их движения не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.

Высота — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Измерения:
L — длина,
B — ширина,
H — высота

Высота́ — измерение объекта или его местоположения, отмеряемое в вертикальном направлении.

В толковом словаре Ушакова определена как «протяжение снизу вверх, вышина»^[1].

Расстояние до предмета или точки по вертикали[править | править код]

Высота земной поверхности над уровнем моря

Строительные сооружения, у которых высота значительно превышает оба других измерения, называются высотными сооружениями и разделяются на башенный и мачтовый типы.

Безопасная высота на производстве — одно из понятий техники безопасности. Если неограждённый перилами перепад горизонтальных поверхностей превышает безопасную высоту, то проведение работ требует выполнения дополнительных условий, как то: медицинский допуск и применение специального снаряжения.

1. ↑ Толковый словарь русского языка Ушакова // Высота
2. ↑ Барометрическая высота
3. ↑ Гл. ред. А. М. Прохоров. Большая Советская Энциклопедия. — 3. — М.: Советская Энциклопедия, 1971. — С. 543. — 640 с.

Значение слова ВЫСОТА. Что такое ВЫСОТА?

ВЫСОТА́, -ы́, мн. высо́ты, ж.

1. Протяженность по вертикали снизу вверх; вышина.

Высота здания двадцать метров. Высота мачты. □ Река, разрезающая прибой, образует здесь несколько длинных, очень крутых валов. — Сами же валы достигают высоты нескольких метров. Диковский, Конец «Саго-Мару». || Расстояние от земной поверхности или какой-л. плоскости до чего-л., измеряемое по вертикальной линии. Не раздумывая, я спрыгнул с высоты второго этажа на клумбы ярко-красных георгин. Гайдар, Школа. Могила сооружена из белого камня —. На высоте человеческого роста высечены следующие слова: «Здесь покоится тело капитана И. Л. Татаринова». Каверин, Два капитана. || Местоположение какой-л. точки земной поверхности вверх по вертикальной линии от уровня моря. В северной части южного острова Новой Земли встречаются высоты свыше 1000 м. Берг, Природа СССР.

2. Пространство, находящееся высоко над землей; вышина, высь. Луна спокойно с высоты Над Белой Церковью сияет И пышных гетманов сады И старый замок озаряет. Пушкин, Полтава. Полный месяц глядит с заоблачных высот. Салтыков-Щедрин, Губернские очерки. Стайка неприятельских пикировщиков, — покружив в высоте, ринулась вниз. Первенцев, Огненная земля.

3. Возвышенное место, холм; возвышенность. В это время из-за высоты, находившейся в полверсте от крепости, показались новые конные толпы. Пушкин, Капитанская дочка. Белые отхлынули на холмы, но и эти высоты были взяты. А. Н. Толстой, Восемнадцатый год.

На юго-восточной окраине села, куда мы прискакали галопом, оказалась большая, заросшая кустарником высота, полого уходящая вверх. Вершигора, Люди с чистой совестью.

4. перен.; чего. Высокая степень, высокий уровень развития, расцвета чего-л.; вершина. Мочалов находился тогда на высоте своей славы, и Лаврецкий не пропускал ни одного представления. Тургенев, Дворянское гнездо. Можно без конца смотреть сокровища этого музея, воплотившие гений испанского народа, высоту мирового искусства. Н. Вавилов, Пять континентов.

5. Величина, сила чего-л., выражаемая числовыми показателями. Высота давления. Высота температуры. Высота напряжения тока.

|| Уровень, степень чего-л. Высота знаний.□ Я уже вижу первые главы [повести «Доменщики»]. Они будут сильными. Забота теперь в том, чтобы и последние были бы на такой же высоте. Бек, Почтовая проза.

6. Астр. Угол стояния светила над горизонтом. Я взял абсолютные высоты солнца над горизонтом и в час дня вычислил широту места. Арсеньев, В горах Сихотэ-Алиня.

7. Мат. Перпендикуляр, опущенный из вершины геометрической фигуры на ее основание, а также длина этого перпендикуляра.

◊

Командная высота см. командный.

Быть (или оказаться) на высоте положения — удовлетворять самым строгим требованиям чего-л. Говоря на другой день об исполнении, все видные критики сошлись на том, что артисты — были на высоте положения. Телешов, Записки писателя.

Свести с высоты кого-что см. свести.

С высоты птичьего полета см. полет.

С высоты своего величия см. величие.

Высота треугольника | Треугольники

В отличие от медианы или биссектрисы, высота треугольника может быть расположена как внутри треугольника, так и вне его.

Определение.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

 

На рисунке BF — высота, проведенная из вершины B к стороне AC.

 

 

Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.

 

Высоты остроугольного треугольника расположены строго внутри треугольника.

Соответственно, точка пересечения высот также находится внутри треугольника.

В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают со сторонами. (Это высоты, проведенные из вершин острых углов к катетам).

Высота, проведенная к гипотенузе, лежит внутри треугольника (позднее рассмотрим ее свойства).

AC — высота, проведенная из вершины С к стороне AB.

AB — высота, проведенная из вершины B к стороне AC.

AK — высота, проведенная из вершины прямого угла А к гипотенузе ВС.

Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине прямого угла (А — ортоцентр).

В тупоугольном треугольника внутри треугольника лежит только одна высота — та, которая проведена из вершины тупого угла.

Две другие высоты лежат вне треугольника и опущены к продолжению сторон треугольника.

  AK — высота, проведенная к стороне BC.

BF — высота, проведенная к продолжению стороны АС.

CD — высота, проведенная к продолжению стороны AB.

 

Точка пересечения высот тупоугольного треугольника также находится вне треугольника:

 

H — ортоцентр треугольника ABC.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника

      Определение 1. Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).

Рис.1

      На рисунке 1 изображена высота BD, проведённая из вершины B треугольника ABC. Точка D – основание высоты.

      Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.

      Утверждение. Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, является средним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).

Рис.2

      Доказательство. Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям

      В силу признака подобия прямоугольных треугольников треугольники BCD и ACD подобны. Следовательно,

      Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD, что и требовалось доказать.

      Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Расположение высот у треугольников различных типов

Остроугольный треугольник

Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Прямоугольный треугольник

Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Тупоугольный треугольник

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Ортоцентр треугольника

      Теорема 1. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).

Рис.3

      Обозначим точки пересечения этих прямых символами A₁, B₁ и C₁, как показано на рисунке 3.

      В силу параллельности прямых AC и C₁A₁, а также BC и C₁B₁ четырёхугольники   AC₁BC   и   ABA₁C – параллелограммыпараллелограммы, откуда вытекают равенствавытекают равенствавытекают равенства

C₁B = AC = BA₁.

      Следовательно, точка B является серединой стороны C₁A₁.

      В силу параллельности прямых BC и C₁B₁, а также AB и B₁A₁ четырёхугольники   AC₁BC   и   ABCB₁ – параллелограммы,параллелограммы, откуда вытекают равенствавытекают равенствавытекают равенства

C₁A = BC = A₁B₁.

      Следовательно, точка A является серединой стороны C₁B₁.

      В силу параллельности прямых AB и B₁A₁, а также AC и C₁A₁ четырёхугольники   ABA₁C   и   ABCB₁ – параллелограммыпараллелограммы, откуда вытекают равенствавытекают равенствавытекают равенства

A₁C = AB = B₁C.

      Следовательно, точка C является серединой стороны B₁A₁.

      Таким образом, высоты треугольника ABC являются серединными перпендикулярами треугольника A₁B₁C₁ (рис. 4),

Рис.4

и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.

      Теорема 1 доказана.

      Определение 2. Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.

      У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

Фигура	Рисунок	Описание
Остроугольный треугольник		Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник		Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла
Тупоугольный треугольник		Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника. В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Ортоцентрический треугольник

      Решим следующую задачу.

      Задача. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE (рис.5). Доказать, что треугольник DCE подобен треугольнику ABC.

Рис.5

      Решение. Рассмотрим треугольники ADC и BEC. Эти треугольники подобны в силу признака подобия прямоугольных треугольников с равными острыми углами (угол C общий). Следовательно, справедливо равенство

      Это равенство, а также наличие общего угла C позволяют на основании признака подобия треугольников заключить, что и треугольники   DCE   и   ABC   подобны. Решение задачи завершено.

      Из подобия треугольников   ABC   и   EDC (рис.5) вытекает важное следствие.

      Следствие 1.

      Определение 3. Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника (рис 6).

Рис.6

      Из определения 3 и следствия 1 вытекает следствие 2.

      Следствие 2. Пусть FDE – ортоцентрический треугольник с вершинами в основаниях высот остроугольного треугольника ABC (рис 7).

Рис.7

      Тогда справедливы равенства

      Из следствия 2 вытекает теорема 2.

      Теорема  2. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника (рис.7).

      Доказательство. Воспользовавшись следствием 2, получаем:

что и требовалось доказать.

Задача Фаньяно

      Задача Фаньяно. Рассматриваются всевозможные треугольники   DEF,   вершины    D,   E   и   F   которых лежат на сторонах   BC,   AC и   AB   остроугольного треугольника   ABC   соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника   ABC.

      Решение. Пусть   DEF – один из рассматриваемых треугольников. Обозначим символом  

D₁   точку, симметричную точке   D   относительно прямой   AC, и обозначим символом   D₂   точку, симметричную точке D относительно прямой   AB (рис.8).

Рис.8

      Поскольку отрезок прямой – кратчайшее расстояние между двумя точками, то периметр треугольника DEF оказывается не меньшим, чем длина отрезка D₁D₂. Отсюда вытекает, что при фиксированной точке D наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF, вершины F и E которого являются точками пересечения прямой D₁D₂ с прямыми AB и AC соответственно. Периметр этого треугольника равен длине отрезка D₁D₂ (рис.9).

Рис.9

      Заметим также, что выполнено равенство

AD = AD₁ = AD₂.

      Кроме того, выполнено равенство

      Поэтому

      Отсюда вытекает, что длина отрезка D₁D₂ будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD  будет наименьшей, т.е. в том случае, когда отрезок AD является высотой треугольника ABC. Другими словами, наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF, у которого вершина D является основанием высоты треугольника ABC, проведённой из вершины A, а вершины E и F построены по описанной выше схеме. Таким образом, среди всевозможных треугольников DEF  треугольник с наименьшим периметром является единственным.

      Если обозначить длину высоты, проведённой из вершины A, длину стороны AB и радиус описанной около треугольника ABC окружности буквами h, c и R соответственно, то, воспользовавшись теоремой синусов, получим:

      Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников DEF равен

      Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник и является треугольником с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.

      Лемма. Пусть DEF – ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис.10).

Рис.10

      В этом случае отрезок D₁D₂  проходит через точки F и E.

      Доказательство. Заметим, что в силу следствия 2 выполняются равенства:

      Кроме того, в силу равенства треугольников DFK и KFD₂, а также в силу равенства треугольников DEL и LED₁ выполняются равенства:

      Следовательно,

откуда вытекает, что углы AEF и D₁EL , а также AFE и D₂FK являются вертикальными углами. Это означает, что точки D₁, F, E, D₂ лежат на одной прямой. Лемма доказана.

      Доказательство леммы и завершает решение задачи Фаньяно.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Все формулы высоты треугольника

---

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

 

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β, γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

 

Формула длины высоты через стороны, (H):

 

 

Формула длины высоты через сторону и угол, (H):

 

Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):

 

Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):

 

 

---

---

Подробности

Автор: Administrator

Опубликовано: 09 октября 2011

Обновлено: 16 мая 2017