Site Loader

Содержание

1. Пространство геометрических векторов

    1. Геометрический вектор. Длина и направление вектора. Равенство векторов

Из школьного курса геометрии известно, что через две различные точки A и B можно провести прямую и при том только Точки A и B, а также все точки, лежащие между ними, называют отрезком. Расстояние между точками A и B, называют длиной отрезка.

A

C

D

B

Рис. 1.1. Отрезок прямой (AB). Вектор .

Определение 1.1. Геометрическим вектором называют направленный отрезок, то есть отрезок, конечные точки которого упорядочены: одна из них является началом, а вторая – концом отрезка.

Чтобы отличать вектор от отрезка, у конца вектора ставят стрелку. Вектор имеет две характеристики:

  1. длина,

  2. направление.

Длина вектора определяется путем измерения: выбрав единичный отрезок, устанавливаем, сколько раз этот единичный отрезок или какая-либо его часть укладывается в данном отрезке. (Например, =1,38 см. означает, что в качестве единичного отрезка выбран отрезок длиной в 1 сантиметр и в отрезкеPQ 138 раз укладывается сотая доля такого отрезка). Далеко не всегда единичный отрезок или любая его часть укладывается в измеряемый отрезок целое число раз. Например, если построить квадрат, сторона которого имеет длину, равную 1, то на какие бы доли мы ни дробили сторону, в диагональ квадрата не может уложиться целое число таких долей. Это означает, что сторона и диагональ квадрата

несоизмеримы и длина диагонали выражается иррациональным числом.

Существование несоизмеримых отрезков было установлено древнегреческим математиком и философом-мистиком Пифагором ( VI в. до н.э). Необходимость выражать числом длины всех отрезков потребовала введения, наряду с рациональными, иррациональных чисел. Множество, включающее в себя все рациональные и иррациональные числа, называют множеством действительных чисел и обозначают символом «R». Теория действительных чисел в своем современном виде существует благодаря трудам выдающихся европейских математиков второй половины XIX в. Р. Дедекинда (1831-1916), Г. Кантора (1845-1918), К. Вейерштрасса (1815-1897).

Теория действительного числа позволила строго обосновать возможность установления взаимно однозначного соответствия между действительными числами и точками прямой (аксиома непрерывности Кантора-Дедекинда). Если на прямой выбрать направление и эталон длины (отрезок OE на рис. 1.2.), то каждой точке X этой прямой соответствует действительное число x равное длине отрезка OX со знаком “+”, если направление вектора

совпадает с направлением прямой, и со знаком “ — “ , если направления прямой и вектора противоположны. С другой стороны, каждому действительному числу, соответствует вполне определенная точка такой прямой. Из школьного курса математики известно, что описанную выше прямую называютчисловой осью. Связь между действительными числами и точками числовой оси столь глубока, что конкретные числа в математике часто называют “точками”.

X«

O E X`

   

x« x`

Рис. 1.2. Числовая ось.

Определение 1.2. Векторы называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Определение 1.3. Два коллинеарных вектора называют сонаправленными, если после приложения их к какой-либо одной точке конец одного из векторов оказывается лежащим между началом и концом второго вектора или совпадать с ним, и противонаправленными , если концы их оказываются лежащими по разные стороны от общего начала.

На рис. 1.2. и, а также

. Здесь символами «» и «» обозначены сонаправленность и противонаправленность векторов.

Отметим, что величина угла между сонаправленными векторами равна 0, между противонаправленными — .

Определение 1.4. два вектора называют равными, если они сонаправлены и длины их равны. Два вектора называют противоположными, если они противонапрвлены и длины их равны.

Аналогично тому, как длина вектора определяется путем сравнения с длиной заранее выбранного единичного отрезка,

направление вектора определяется путем сравнения с заранее выбранными «базисными» направлениями. Базисные направления указываются с помощью базисных векторов.

Пусть V1 — множество всех направленных отрезков, лежащих на одной числовой прямой и приложенных к точке О (рис. 1.2). Каждый из этих отрезков определяет длину и направление всех, равных ему векторов, как лежащих на той же прямой, но приложенных к другим точкам, так и лежащих на любой из параллельных ей прямых. Поэтому, определив направления векторов из множества V1 , мы определим направления всех, коллинеарных им векторов.

Очевидно, что векторы из множества V1 имеют лишь 2 возможных направления: они могут быть сонаправленныи или противонаправленными единичному вектору . Это означает, что выбравв качестве базисного вектора, и приняв его направление за положительное, можно описать направления всех, коллинеарных ему векторов либо как положительное, либо как отрицательное.

Определение 1.6. Векторы называют компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Отметим, что два вектора всегда компланарны (см. рис 1.3 и рис. 1.4). Действительно два направленных отрезка могут быть либо коллинеарны либо неколлинеарны. Если они коллинеарны, то они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рс.1.3.). Как известно из школьного курса геометрии через прямую можно провести бесконечно много плоскостей, для которых эта прямая является линией пересечения. Через две параллельные прямые также всегда можно провести плоскость. Это и означает, что коллинеарные отрезки являются также и компланарными.

Пусть теперь два направленных отрезка неколлинеарны (рис 1.4). Начала этих векторов могут быть приложены либо к одной точке, либо к разным точкам. В первом случае направленные отрезки определяют три точки: общее начало и два различных конца, а через три точки можно провести плоскость. Во втором случае к каждому из начал этих отрезков можно приложить векторы, равные другому направленному отрезку. Таким образом, получим два параллельных треугольника, которые определят две параллельные плоскости.

D A A

B

B C С

D

Рис.1.3. Коллинеарные векторы всегда компланарны

A B

A B D`

C

C

B`

D

Рис.1.4. Два неколлинеарных вектора всегда компланарны

O`

A`

O

E2

V2 E1 A

O«

A«

A

E2

O E2

Рис.1.5.Направления всех компланарных друг другу векторов можно задать указав величины углов, которые образует представитель этого вектора вV2с базисными векторамиOE1 и OE2

Пусть V2 — множество всех направленных отрезков, лежащих в одной плоскости и приложенных к какой-либо «удобной» точке плоскости (точке О на рис 1.5). Проведем через эту точку две взаимно перпендикулярные числовые оси с единичными векторами и. Каждый из направленных отрезков множества V2 определяет длину и направление всех, равных ему векторов, как лежащих в той же плоскости, но приложенных к другим точкам, так и лежащих на любой из параллельных ей плоскостей. Поэтому, определив направления векторов из множества V2 , мы определим направления всех, компланарных им векторов.

Очевидно, что направление любого вектора из V2 можно задать, указав углы, которые образует этот вектор с двумя базисными векторами и(рис 1.5). Таким образом, имея два базисных вектора, можно задать направление любого направленного отрезка, компланарного им. Для этого достаточно найти в V2 вектор, равный интересующему нас направленному отрезку, и указать величины углов, которые он образует с базисными векторами

O

E3

E1 O E2

Рис.1.6. Три вектора могут быть компланарны или некомпланарны. Направление вектора в пространстве задают величинами углов, которые этот вектор образует с базисными векторами ,,

Три вектора могут быть как компланарны, так и некомпланарны (рис. 1.6). Пусть V3 – множество всех направленных отрезков в пространстве, приложенных к какой-либо «удобной» точке пространства – точке О. проведем через эту точку три взаимно перпендикулярных оси и приложим к ней три единичных вектора отрезками(рис. 1.6), направление которых совпадает с направлениями осей. Тогда направление любого вектора из V3 можно задать, указав величины углов, которые данный вектор образует с ,и(рис. 1.6). Любой направленный отрезок пространства имеет своего «представителя» во множестве V3 . Его направление можно задать, указав направление равного ему вектора из V3.

Таким образом, направление и длина любого геометрического вектора может быть задана, если известны длина и направление равного ему отрезка, приложенного к «удобной» точке, к которой приложены также и базисные векторы. Для описания всех коллинеарных векторов достаточно рассмотреть множество V1, всех компланарных – V2, всех векторов пространства – V3 .

Определение 1.5. Множество всех равных друг другу векторов называют свободным вектором.

Свободные векторы обозначают символами: ,и т.п. Свободный вектор будем рассматривать через его представителя: направленный отрезок, приложенный к «удобной» точке. Таким образом, изучение всех геометрических векторов будет сведено к изучению пространств V1, V2 и V3.

Но пространства эти будут неполны, если в каждое из них не ввести нуль-вектор.

Определение 1.6. Нуль-вектор – это вектор, длина которого равна 0.

Обозначение нуль-вектора: . В пространствах V1, V2 и V3нуль-вектором принято считать точку приложения базисных векторов.

Предложения со словосочетанием ВЕКТОР НАПРАВЛЕНИЯ

После того как мы вышли из ангара, получили вектор направления для прыжка. Только вектор направления изменим. Да вам вообще только небольшой доли удачи не хватает да вектора направления. А денежный поток (поток капитала) создаёт огромный канал, по которому можно определить вектор направления власти и её количественное соотношение. Когда мы в пути, обходя препятствие отклоняемся от вектора направления, мы не обязательно уходим от цели.

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.

Вопрос: боеголовка — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?

Положительное

Отрицательное

При этом каждый реально существующий стационарный источник, будь то ядра галактики, звезды, планеты, торнадо, атома или электрона, должен иметь знак89 заряда массы или электричества, а движение ещё и вектор направления — это закон природы! Соответственно, наши конечности имеют не только разный знак, но и разный вектор направления: одна нога (как и рука) притягивается к земле, а другая отталкивается, одна нога имеет направление вглубь тела, а другая — во внешнее пространство — тело идёт на разрыв. Потребность в новом поколении юристов была вызвана рядом причин: советская модель образования постепенно изжила себя, и по инерции просуществовала 20 лет, юриспруденция того периода была основана на общественно-экономической формации тех времён, тем самым современное российское образование, как и юриспруденция нуждается во внесении изменений и новшеств; уровень правосознания и правой культуры среди граждан уже на протяжении многих лет не имеет определённого вектора направления, большинству гражданского населения свойственна склонность к заблуждению относительно своих прав и обязанностей; правоохранительная система государства также нуждается в пресыщении новыми достойными кадрами, а правоприменительная практика в возвращении к эстетическому и подлинному своему выражению. Органы судебной власти являются самыми активными и ответственными участниками применения законодательных и иных нормативных правовых актов, что обуславливает их роль в определении вектора направления правоприменительной практики. Но нет, резко меняется вектор направления опасности. Вот он начинает смещаться в мою сторону. Однако я уже на месте. Моя задача — дать вам вектор направления, а ваша — дополнительно изучить ту или иную заинтересовавшую вас тематику уже по книгам с профессиональным уклоном. Судмедэксперт может по характеру раны определить вектор направления травмирующего предмета, положение пострадавшего в момент травмы, а также выяснить возможность причинения ранения собственноручно пострадавшим. Жизненный статус определяет вектор направления рабочего состояния каждого. Мечта задаёт вектор направления, без которого не горят глаза и отсутствует желание активно жить и светить в этом мире. Здесь заметно соответствие вектора направления перемены деградации жизни и уменьшение количества свободы. Вектор направления энергии выбирается самой личностью, исходя из имеющегося духовного багажа и иерархии ценностей. Вектор направления луча — зенит. И, если обстоятельства благоприятствуют, то можно задать вектор направления развития определённого сектора экономики или бизнеса на ближайшее время. — Создав заклинание «ураган» и придав ему нужный вектор направления, я полетел в сторону пытающегося улизнуть кораблика, поднимая вокруг себя на воде огромные волны. Указывает на то, что человек должен в себе развить, на то, чем должен заниматься, даёт вектор направления. Может показаться, что малюсенькие шажочки ничего не меняют, но именно они в итоге формируют вектор направления нашей жизни, и, как следствие, составляют то, что мы называем судьбой. Движения носят фазовый, возвратно-поступательный характер и эти перемещения ограничены вектором направления — слог однонаправленности но. Их изломы на горизонте обретали чёткую линию — вектор направления, по которому лежал путь к спасению. Он не изменял массу, скорость, вектор направления движущегося объекта или другие его характеристики. Но иногда, чтобы сделать первый шаг, ему нужна помощь, толчок, который поможет преодолеть инерционное движение по жизни и перенаправит вектор направления в другую сторону. Для всех остальных надо знать вектор направления. По-моему, возрастная психология пытается изучать те изменения, которые происходят в психической реальности, ориентируясь как на главный вектор направления изменения — физическое время жизни человека. Как вы скоро увидите — это законы квантовой физики, в которых сознание и вектор направления напрямую связаны с энергетическими затратами. Дочь с претендентом на секунду замерли, осознавая, что манёвр не удался, и сменили вектор направления. — Не то чтобы сформировал, но он мог всего несколькими словами задать целый вектор направления жизненных принципов. Так как в структуре атома всегда присутствует вращение электронов вокруг своей оси, то всегда присутствует вектор направления движения, собственный момент вращения, не связанный с перемещением самой частицы. Именно этот «импульс собственного вращения», называется спин, вектор направления движения, который несёт информацию о былом вращении частицы, электрона. В любом случае вектор направлений поисков меняется. В настоящее время под стрессом подразумевают довольно широкий спектр всевозможных событий, то есть любое существенное изменение окружающего мира, как в традиционном негативном понимании этого слова, так и в позитивном аспекте: ведь стрессом в равной степени являются и свадьба, и похороны; и тяжёлая болезнь, и участие в олимпийских играх — вся разница лишь в векторе направления наших эмоций. Это признаки распада политического пространства, социума, идейно-информационной сферы и утрата вектора направления движения. Караван двигался, меняя вектор направления три или четыре раза, чтобы в случае обнаружения не было возможности однозначно вычислить конечную точку маршрута, поэтому его поиск не был задачей тривиальной. Чувствительный медицинский сканер выявил главный вектор направления развития болезни. Дистанция до противника быстро сокращалась, она непрерывно бросала машину из стороны в сторону, меняя углы атаки и векторы направления, но с каждой секундой уклоняться от несущих смерть лучей становилось всё легче. Всего-то и надо было, что убрать из плетения вектор направления, сделать разряд расфокусированным и определить границы его распространения. Для этого был лишь необходим более точный вектор направления поиска артефактов из текущего положения. В этих, как вы их назвали, духовных поисках очень важен вектор направления, а у алхимии он был изначально несколько сомнительный.

Неточные совпадения

Если резко ударить каждый из них тупым концом карандаша, то импульс силы заставит брусок сдвинуться с места на некоторое расстояние по направлению приложенного вектора силы, а пузырь с водой начнёт совершать колебательные движения в разные стороны, вобрав перед этим в себя импульс приложенной силы. Из приоритета сознания в механизмах эволюции цивилизации вытекают некоторые выводы, которые показывают характер развития человечества, и направление его вектора. Поэтому суммарный вектор реполяризации имеет то же направление, что и вектор деполяризации желудочков. При этом рождается новая нездоровая механика сустава, в первую очередь нарушается параллельное вектору травмы и противоложное его направлению движение. Проще сказать, они изменяли вектор человеческой истории в нужном направлении. В соответствии с величиной и направлением этого вектора частица и будет смещаться в данный момент времени. Свойства кристаллов зависят только от направления выделенной оси и описываются вектором. Величина проекции силы на ось равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением сил. Он тоже что-то писал во время рассказа историка, и когда я проходил мимо, обнаружил, что это столбцы чисел и значков, похожие на вычисления вектора для расчёта силы и направления действия пентаграммы. Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине и всегда направлено по касательной к траектории; при ускорении его направление совпадает с направлением скорости; при замедлении оно направлено противоположно направлению вектора скорости. Таким образом, задание вектора w указывает положение оси вращения, направление вращения и модуль угловой скорости. Планомерному описанию векторное кольцо не поддаётся, и тем не менее именно векторное кольцо вскрывает некие неявные устремления знака, демонстрирует тот самый вектор, в направлении которого двигается знак. Изменение культуры мыслимо лишь в том случае, если в ней самой вектор изменений в желаемом направлении уже наметился. Из этого видно, что вектор углового ускорения совпадает по направлению с элементарным, достаточно малым изменением вектора угловой скорости dw: при ускоренном вращении угловое ускорение направлено так же, как и угловая скорость, при замедленном вращении — противоположно ей. Нам уже известно, что в более плотном теле (брусок, кость) энергия передаётся по направлению вектора силы, в то время как в жидких средах во все стороны одинаково. Они со временем могут слегка изменяться, но общее направление осознанного народом стремления, его вектор остаются почти неизменными. Чтобы выбрать верное направление при растяжении, важно иметь представление об анатомическом расположении и векторе прикрепления мышц. Каждое из них идёт к этому опыту по-своему, и никто не даёт внятного решения или ответа, но само направление, сам вектор движения мысли имеет огромное значение. В современных «традиционных» методиках силового тренинга, как правило, присутствует эффект вертикальной весовой нагрузки на позвоночник а, также, принцип совекторной работы сил, когда вектор присутствующей везде и повсеместно силы тяжести и вектор мускульной силы в процессе силовой работы направлены диаметрально по направлению друг к другу, т. Проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора силы и оси и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси. Они пропорционально своей величине оттягивают вектор в своём направлении. Для лечения суставов направление движения не играет решающей роли, а вот при лечении дыхательной системы направление массажа соответствует вектору поступления воздуха. Векторы линейных напряжений изображают чаще соединяющими векторы соответствующих фазных направлений, как показано на рисунке 23б. Благодаря возникшей в последние секунды перед приземлением подъёмной силе, вектор скорости поменял направление, переведя снижение в поступательное горизонтальное движение. При графическом способе определения равнодействующей векторы сил можно вычерчивать в любом порядке, результат (величина и направление равнодействующей) при этом не изменится. Это представление оставляет в тени те политические отношения, которые сформировали сами рынки и определили направление и основные векторы их развития. Направление вектора равнодействующей определяется углами. Это, безусловно, люди, одарённые силой лидерства и принявшие этот дар. Вопрос в направлении вектора этой силы. Угловая скорость есть вектор, который направлен по оси вращения и связан с направлением вращения. Принципы отрасли права суть специфические способы и концептуальные основы взаимодействия предмета и метода правового регулирования, пронизывающие сквозными «красными нитями» ткань нормативного материала; определяющие своеобразие целей и задач правового регулирования, а также направления и тенденции реформирования и доктринального переосмысления векторов развития соответствующей отрасли права. Огонь меняет уклад жизни человека, способствует изменению его внешнего облика, становится важным фактором изменения направления вектора развития от биологических изменений в сторону развития социума и технологии. Изменение времени возможно, но опасно, так как оно определяет пройденный путь, а его изменение влечёт за собой изменение человека, которое ведёт к необратимым процессам развития и изменяет направление вектора движения.

Вектор (геометрия) — это… Что такое Вектор (геометрия)?

Под направленным отрезком \overrightarrow{AB} в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых — точка A — называется его началом, а вторая — B — его концом.

Определение

Вектором в простейшем случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Учитывая изоморфизм между множеством свободных векторов и множеством их параллельных переносов пространства, если операцию сложения отождествить с композицией переносов, можно использовать множество параллельных переносов пространства даже для определения вектора.

Большую роль играют векторы в изучении бесконечно малых трансформаций пространства.

  • Вектор, начало которого совпадает с его концом, называют нулевым: \overrightarrow{AA} = \vec{\mathbf{0}}.
  • Вектор \overrightarrow{BA} называют противоположным вектору \overrightarrow{AB}.
  • Длиной вектора, или модулем вектора, называют длину соответствующего направленного отрезка: \overrightarrow{AB}.

Свободные, скользящие и фиксированные векторы

Иногда, вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных» (когда отождествляются все равные по длине и направлению направленные отрезки, считаясь полностью равными или одним и тем же вектором), «скользящих» (отождествляются между собой все направленные отрезки, равные в смысле свободных векторов, начала и концы которых расположены на одной прямой) и «фиксированных» векторах (по сути дела, просто о направленных отрезках, когда разное начало означает уже неравенство векторов).

Определение. Говорят, что свободные векторы \overrightarrow{AB} и \ \overrightarrow{CD} равны, если найдутся точки E и F такие, что четырёхугольники ABFE и CDFE — параллелограммы.

  • Замечание. «Ухищрение» (введение дополнительных точек) в определении равенства касается, прежде всего, случая, когда точки A,B,C,D располагаются на одной прямой. В противном случае определение выглядит проще:

Определение. Говорят, что свободные векторы \overrightarrow{AB} и \ \overrightarrow{CD}, не лежащие на одной прямой, равны, если четырёхугольник ABDC — параллелограмм.

Определение. Говорят, что скользящие векторы \overrightarrow{AB} и \ \overrightarrow{CD} равны, если

  • точки A,B,C,D располагаются на одной прямой,
  • векторы \overrightarrow{AB} и \ \overrightarrow{CD} равны между собой как свободные векторы.

Неформально говоря, скользящему вектору разрешено двигаться вдоль его прямой без изменения величины и направления.

  • Замечание. Скользящие векторы особо употребимы в механике. Простейший пример скользящего вектора в механике — сила. Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на котой он лежит, не меняет момента силы ни относительно какой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (скорее даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.

Определение. Говорят, что фиксированные векторы \overrightarrow{AB} и \ \overrightarrow{CD} равны, если попарно совпадают точки A и C, B и D.

Операции над векторами

Сложение векторов

\ \overrightarrow{CD}

Два вектора u, v и вектор их суммы

Сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника.

Правило треугольника. Для сложения двух векторов \vec{u} и \vec{v} по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов \vec{u} и \vec{v} по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение коллинеарных скользящих векторов

Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные вектора. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы \vec{a} и \vec{b}, расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы \vec{c} и -\vec{c}, расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы \vec{a} и \vec{c}, \vec{a} и -\vec{c} пересекаются. Поэтому определены векторы

\vec{a}

Прямые, на которых расположены векторы \vec{a} и \vec{b}, пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы \vec{a} и \vec{b} равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы \vec{a} и -\vec{a} образуют пару (векторов).

Таким образом, под суммой векторов \vec{a} и \vec{b} можно понимать сумму векторов \vec{a} и \vec{b}, и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы \vec{a} и \vec{b} не образуют пару.

Произведение вектора на число

Произведением вектора \vec{a} и числа λ называется вектор, обозначаемый \lambda\vec{a}(или \vec{a}\lambda), модуль которого равен \vec{a}\lambda, а направление совпадает с направлением вектора \vec{a}, если \lambda>0 \,, и противоположно ему, если \lambda<0 \,. Если же \lambda=0 \,, или вектор \vec{a} нулевой, тогда и только тогда произведение \lambda\vec{a} — нулевой вектор.

  • Обычно принято в записи произведения числа и вектора число записывать слева, но в принципе допустим и обратный порядок, хотя все же обычное соглашение состоит в том, чтобы его избегать, если нет прямой необходимости. Так или иначе, \lambda\vec{a} = \vec{a}\lambda.

Из определения произведения вектора на число легко вывести следующие свойства:

  1. если \vec{b} = \vec{a}\lambda, то \vec{b}. Наоборот, если \vec{b}, то при некотором λ верно равенство \vec{b}=\vec{a}\lambda;
  2. всегда \vec{a}=°, то есть каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Скалярное произведение

Скалярным произведением векторов \vec{a} и \vec{b} называют число, равное \vec{b}, где \varphi \, — угол между векторами \vec{a} и \vec{b}. Обозначения: (\vec{a},\vec{b}) или \vec{a}\cdot\vec{b}.

Если один из векторов является нулевым, то несмотря на то, что угол \varphi не определён, произведение равно нулю.

Свойства скалярного произведения векторов:

  1. \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\, — коммутативность.
  2. \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}\, — дистрибутивность.
  3. (\alpha\vec{a},\vec{b})=\alpha (\vec{a},\vec{b}) — линейность по отношению к умножению на число.
  4. (\vec{a},\vec{a})= — норма вектора.

Геометрически скалярное произведение есть произведение длины одного из сомножителей на ортогональную проекцию другого на направление первого (или наоборот). Скалярное произведение какого-то вектора \vec{a} с единичным вектором есть ортогональная проекция вектора \vec{a} на направление единичного вектора.

Векторное произведение

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:

  • длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ; между ними


\left

  • вектор c ортогонален каждому из векторов a и b
  • вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой.

Обозначение:  \vec c = \left[ \vec a \vec b \right] = \left[ \vec a, \vec b \right] = \vec a \times \vec b

Геометрически векторное произведение \vec a \times \vec b есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах \vec a, \vec b, представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Свойства векторного произведения:

  1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е
 \vec a \times \vec b = -(\vec b \times \vec a)
  1. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть
\lambda(\vec a \vec b) = (\lambda \vec a) \times \vec b = \vec a \times (\lambda \vec b)
  1. Векторное произведение обладает распределительным свойством:
(\vec a + \vec b) \times \vec c = \vec a \times \vec c + \vec b \times \vec c

Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние  ( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} ) векторов \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} — скалярное произведение вектора \vec{a} на векторное произведение векторов \vec{b} и \vec{c}:

(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \left(\vec{a}, [\vec{b}, \vec{c}]\right) = \vec{a}\cdot\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)

(равенство записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения).

Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрически смешанное произведение  ( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} ) есть (ориентированный) объем параллелепипеда, построенного на векторах \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}.

Условие перпендикулярности векторов

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Пример

Даны два вектора \vec a(x_1;y_1) и \vec b(x_2;y_2). Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение x1x2 + y1y2 = 0.

Условие коллинеарности векторов

Векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

Пример

Даны два вектора \vec a=(x_1;y_1) и \vec b=(x_2;y_2). Эти векторы коллинеарны, если x1 = λx2 и y1 = λy2, где \lambda \in \mathbb R

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

направление вектора — это… Что такое направление вектора?


направление вектора
мат. vector direction

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

  • направление вдоль окружности
  • направление вероятного скольжения

Смотреть что такое «направление вектора» в других словарях:

  • Направление — Направление  неоднозначное слово, которое может обозначать: Основное значение и производные от него Направление вектора  для вектора в геометрии. Азимут  направление на местности, на поверхности с заданной системой координат. Имеет …   Википедия

  • направление вращения плоскости поляризации — Вектор волны с круговой поляризацией, который вращается по часовой стрелке или в противоположном направлении. Направление вектора вращения результирующего поля в точке наблюдения определяется знаком угла сдвига фаз между составляющими Ех и Еу (см …   Справочник технического переводчика

  • направление твёрдого вектора алмаза — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN Rib …   Справочник технического переводчика

  • Поток вектора — В математике поток векторного поля используется для двух различных понятий: 1. Поток векторного поля через гиперповерхность (см. ниже), 2. Поток векторного поля однопараметрическое семейство диффеоморфизмов Γt определямых дифференциальным… …   Википедия

  • ВЕКТОР — В физике и математике вектор это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент,… …   Энциклопедия Кольера

  • Правило буравчика — Прямой провод с током. Ток (I), протекая через провод, создаёт магнитное поле (B) вокруг провода. Правило буравчика (правило винта), или правило правой руки  варианты мнемониче …   Википедия

  • Вектор (математика) — Вектор У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор …   Википедия

  • Ротор (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Ротор. Ротор, или вихрь  векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Обозначается (в русскоязычной[1] литературе) или (в англоязычной литературе), а также как векторное умножение …   Википедия

  • Вектор (геометрия) — Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых  точка A  называется его началом, а вторая  B  его концом. Содержание 1 Определение …   Википедия

  • Вектор (Геометрические представления) — Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых  точка A  называется его началом, а вторая  B  его концом. Содержание 1 Определение …   Википедия

  • Направленный отрезок — Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых  точка A  называется его началом, а вторая  B  его концом. Содержание 1 Определение …   Википедия


направление вектора — это… Что такое направление вектора?


направление вектора
n

electr. Sinn des Vektors

Универсальный русско-немецкий словарь. Академик.ру. 2011.

  • направление ведущей плоскости
  • направление вектора перегрузки

Смотреть что такое «направление вектора» в других словарях:

  • Направление — Направление  неоднозначное слово, которое может обозначать: Основное значение и производные от него Направление вектора  для вектора в геометрии. Азимут  направление на местности, на поверхности с заданной системой координат. Имеет …   Википедия

  • направление вращения плоскости поляризации — Вектор волны с круговой поляризацией, который вращается по часовой стрелке или в противоположном направлении. Направление вектора вращения результирующего поля в точке наблюдения определяется знаком угла сдвига фаз между составляющими Ех и Еу (см …   Справочник технического переводчика

  • направление твёрдого вектора алмаза — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN Rib …   Справочник технического переводчика

  • Поток вектора — В математике поток векторного поля используется для двух различных понятий: 1. Поток векторного поля через гиперповерхность (см. ниже), 2. Поток векторного поля однопараметрическое семейство диффеоморфизмов Γt определямых дифференциальным… …   Википедия

  • ВЕКТОР — В физике и математике вектор это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент,… …   Энциклопедия Кольера

  • Правило буравчика — Прямой провод с током. Ток (I), протекая через провод, создаёт магнитное поле (B) вокруг провода. Правило буравчика (правило винта), или правило правой руки  варианты мнемониче …   Википедия

  • Вектор (математика) — Вектор У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор …   Википедия

  • Ротор (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Ротор. Ротор, или вихрь  векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Обозначается (в русскоязычной[1] литературе) или (в англоязычной литературе), а также как векторное умножение …   Википедия

  • Вектор (геометрия) — Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых  точка A  называется его началом, а вторая  B  его концом. Содержание 1 Определение …   Википедия

  • Вектор (Геометрические представления) — Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых  точка A  называется его началом, а вторая  B  его концом. Содержание 1 Определение …   Википедия

  • Направленный отрезок — Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых  точка A  называется его началом, а вторая  B  его концом. Содержание 1 Определение …   Википедия


направление вектора — это… Что такое направление вектора?


направление вектора

direzione del vettore

Dictionnaire technique russo-italien. 2013.

  • направление
  • направление ветра

Смотреть что такое «направление вектора» в других словарях:

  • Направление — Направление  неоднозначное слово, которое может обозначать: Основное значение и производные от него Направление вектора  для вектора в геометрии. Азимут  направление на местности, на поверхности с заданной системой координат. Имеет …   Википедия

  • направление вращения плоскости поляризации — Вектор волны с круговой поляризацией, который вращается по часовой стрелке или в противоположном направлении. Направление вектора вращения результирующего поля в точке наблюдения определяется знаком угла сдвига фаз между составляющими Ех и Еу (см …   Справочник технического переводчика

  • направление твёрдого вектора алмаза — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN Rib …   Справочник технического переводчика

  • Поток вектора — В математике поток векторного поля используется для двух различных понятий: 1. Поток векторного поля через гиперповерхность (см. ниже), 2. Поток векторного поля однопараметрическое семейство диффеоморфизмов Γt определямых дифференциальным… …   Википедия

  • ВЕКТОР — В физике и математике вектор это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент,… …   Энциклопедия Кольера

  • Правило буравчика — Прямой провод с током. Ток (I), протекая через провод, создаёт магнитное поле (B) вокруг провода. Правило буравчика (правило винта), или правило правой руки  варианты мнемониче …   Википедия

  • Вектор (математика) — Вектор У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор …   Википедия

  • Ротор (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Ротор. Ротор, или вихрь  векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Обозначается (в русскоязычной[1] литературе) или (в англоязычной литературе), а также как векторное умножение …   Википедия

  • Вектор (геометрия) — Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых  точка A  называется его началом, а вторая  B  его концом. Содержание 1 Определение …   Википедия

  • Вектор (Геометрические представления) — Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых  точка A  называется его началом, а вторая  B  его концом. Содержание 1 Определение …   Википедия

  • Направленный отрезок — Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых  точка A  называется его началом, а вторая  B  его концом. Содержание 1 Определение …   Википедия


направление вектора — это… Что такое направление вектора?


направление вектора

1) Mathematics: vector direction

2) Makarov: direction of (a) vector, sense of a vector, vector line

Универсальный русско-английский словарь. Академик.ру. 2011.

  • направление вдоль профилей
  • направление вектора Пойнтинга

Смотреть что такое «направление вектора» в других словарях:

  • Направление — Направление  неоднозначное слово, которое может обозначать: Основное значение и производные от него Направление вектора  для вектора в геометрии. Азимут  направление на местности, на поверхности с заданной системой координат. Имеет …   Википедия

  • направление вращения плоскости поляризации — Вектор волны с круговой поляризацией, который вращается по часовой стрелке или в противоположном направлении. Направление вектора вращения результирующего поля в точке наблюдения определяется знаком угла сдвига фаз между составляющими Ех и Еу (см …   Справочник технического переводчика

  • направление твёрдого вектора алмаза — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN Rib …   Справочник технического переводчика

  • Поток вектора — В математике поток векторного поля используется для двух различных понятий: 1. Поток векторного поля через гиперповерхность (см. ниже), 2. Поток векторного поля однопараметрическое семейство диффеоморфизмов Γt определямых дифференциальным… …   Википедия

  • ВЕКТОР — В физике и математике вектор это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент,… …   Энциклопедия Кольера

  • Правило буравчика — Прямой провод с током. Ток (I), протекая через провод, создаёт магнитное поле (B) вокруг провода. Правило буравчика (правило винта), или правило правой руки  варианты мнемониче …   Википедия

  • Вектор (математика) — Вектор У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор …   Википедия

  • Ротор (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Ротор. Ротор, или вихрь  векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Обозначается (в русскоязычной[1] литературе) или (в англоязычной литературе), а также как векторное умножение …   Википедия

  • Вектор (геометрия) — Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых  точка A  называется его началом, а вторая  B  его концом. Содержание 1 Определение …   Википедия

  • Вектор (Геометрические представления) — Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых  точка A  называется его началом, а вторая  B  его концом. Содержание 1 Определение …   Википедия

  • Направленный отрезок — Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых  точка A  называется его началом, а вторая  B  его концом. Содержание 1 Определение …   Википедия


alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.