Используя формулу, можно выделить проекции о() на оси координат:

Модуль векторного момента о() и косинусы углов его с осями координат определяем по формулам:

Момент силы относительно оси.

Моментом силы относительно оси называют алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения плоскостью.

где п – вектор проекции силы на плоскость П, перпендикулярную оси Оz, а точка О- точка пересечения оси Оz с плоскостью П.

Момент силы относительно оси можно выразить через площадь треугольника, построенного на проекции силы п и точке пересечения О оси с плоскостью:

Из этой формулы можно получить следующие важные свойства момента силы относительно оси.

1. Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси.

2. Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает эту ось. В этом случае линия действия силы на плоскость, перпендикулярную оси, проходит через точку пересечения оси с плоскостью и, следовательно, равно нулю плечо силы п относительно точки О.

В обоих этих случаях ось и сила лежат в одной плоскости. Объединяя их, можно сказать, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

Связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси.

Формула отражает искомую связь между моментом силы относительно оси и векторными моментами силы относительно точек, лежащих на этой оси: момент силы относительно оси равен проекции на эту ось векторного момента силы относительно любой точки на оси.

Эту зависимость между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки на оси можно принять за определение момента силы относительно оси.

Формулы для моментов силы относительно осей координат.

По этим формулам получаются необходимые знаки для М_х (F), М_у (F)_y M_z (F), если проекции силы F_x, F _у F_z на оси координат и ко­ординаты х, у, z точки приложения силы подставлять в них со знаками этих величин.

При решении задач момент силы относительно оси часто получают, используя его определение, т.е. проецируя силу на плоскость, перпендикулярную оси, и вычисляя затем алгебраический момент этой проекции относительно точки пересечения с этой плоскостью.

Теорема о моменте равнодействующей силы (Теорема Вариньона).

Для случая, когда любая система сил, приложенных к твердому те­лу, плоская или пространственная, приводится к равнодействующей силе, часто применяют так называемую теорему Вариньона: вектор­ный момент равнодействующей рассматриваемой системы сил относи­тельно любой точки равен сумме векторных моментов всех сил этой системы относительно той же точки.

Добавим к заданной системе сил ее уравновешивающую силу *’, которая равна по модулю, но противоположна по направлению равно­действующей силе * и имеет с ней общую линию действия. Тогда

но

откуда следует теорема Вариньона

Момент равнодействующей силы относительно произвольной оси равен сумме моментов сил системы относительно той же оси.

Например для оси Оz: .

Для случая плоской системы сил, если точку О выбрать в плоскости действия сил, получаем:

Это теорема Вариньона для плоской системы сил: алгебраический момент равнодействующей плоской системы сил относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил, равен сумме алгебраических моментов всех сил этой системы относительно той же точки.

Моменты силы относительно точки и оси в теоретической механике

Содержание:

Моменты силы относительно точки и оси:

Для рассмотрения различных систем сил необходимо ввести понятия алгебраического и векторного моментов силы относительно точки и момента силы относительно оси. Введем эти характеристики действия силы на твердое тело и рассмотрим их свойства.

При рассмотрении плоской системы сил, приложенных к твердому телу, используется понятие алгебраического момента силы относительно точки.

Рис. 19

Алгебраическим моментом силы относительно точки называют произведение модуля силы на плечо силы относительно этой точки (рис. 19), взятое со знаком плюс или минус.

Плечом относительно точки называют кратчайшее расстояние между этой точкой и линией действия силы, т. е. длину отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы .

Обозначим или алгебраический момент силы относительно точки . Тогда

Если сила стремится вращать тело вокруг моментной точки (точки, относительно которой вычисляют алгебраический момент силы) против часовой стрелки, то берем знак плюс, если по часовой стрелке — знак минус.

Алгебраический момент силы представляет собой произведение силы на длину (в ).

Из определения алгебраического момента силы относительно точки следует, что он не зависит от переноса силы вдоль ее линии действия. Алгебраический момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку. Сумма алгебраических моментов относительно точки двух равных по модулю, но противоположных по направлению сил, действующих вдоль одной прямой, равна нулю. Численно алгебраический момент относительно точки равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе  и моментной точке:

При рассмотрении пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, применяется понятие векторного момента силы относительно точки.

Векторным моментом силы относительно точки называют вектор, приложенный в этой точке и равный по модулю произведению силы на плечо силы относительно этой точки. Векторный момент силы направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка, таким образом, что с его конца можно видеть стремление силы вращать тело против движения часовой стрелки (рис. 20).

Плечом силы относительно точки называют кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы.

Рис. 20

Условимся векторный момент  силы относительно точки обозначать , а его числовую величину — . Тогда, согласно определению,

Как и для алгебраического момента, векторный момент силы относительно точки равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе и моментной точке:

Справедлива формула

где —радиус-вектор, проведенный из моментной точки в точку приложения силы или любую другую точку линии действия силы.

Чтобы убедиться в справедливости формулы (3), достаточно показать, что по величине и направлению выражает векторный момент силы относительно точки . По определению векторного произведения двух векторов известно, что

Как показано на рис. 20, , причем это равенство справедливо для любой точки линии действия, куда проведен радиус-вектор . Итак,

что совпадает с векторным моментом силы относительно точки . Вектор , как известно, перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы и , т. е. плоскости треугольника , которой перпендикулярен и векторный момент .

Направление тоже совпадает с направлением . Заметим, что векторный момент силы относительно точки считается вектором, приложенным к этой точке.

Векторный момент силы относительно точки не изменяется от переноса силы вдоль ее линии действия. Он станет равным

нулю, если линия действия силы пройдет через моментную точку.

Рис. 21 

Если сила дана своими проекциями на оси координат и даны координаты точки приложения этой силы (рис. 21), то векторный момент относительно начала координат, согласно формуле (3), после разложения по осям координат вычисляем по формуле

где — единичные векторы, направленные по осям координат.

Используя формулу (4), можно выделить проекции на оси координат:

Модуль векторного момента и косинусы углов его с осями координат определяем по формулам

В формулах (6) числовую величину берем со знаком плюс.

Моментом силы относительно оси называют алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью (рис. 22). Момент силы относительно оси считается положительным, если проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси (проекция силы на плоскость является вектором), стремится вращать тело вокруг положительного направления оси против часовой стрелки, и отрицательным, если она стремится вращать тело по часовой стрелке. Момент силы, например, относительно оси обозначим .

 Рис. 22

По определению,   

где — вектор проекции силы на плоскость , перпендикулярную оси , а точка — точка пересечения оси с плоскостью .

Из определения момента силы относительно оси следует, что введенный выше алгебраический момент силы относительно точки можно считать моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку, перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и моментная точка. Момент силы относительно оси можно выразить через площадь треугольника, построенного на проекции силы   и точке пересечения оси с плоскостью:

Из формулы (8) можно получить следующие важные свойства момента силы относительно оси:

1. Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси.
2. Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы пересекает эту ось. В этом случае линия действия проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, проходит через точку пересечения оси  с плоскостью и, следовательно, равно нулю плечо силы относительно точки .

В обоих этих случаях ось и сила лежат в одной плоскости. Объединяя их, можно сказать, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

Используя формулу (8), имеем (рис. 23)

Векторный момент силы относительно точки , взятой на пересечении оси с перпендикулярной плоскостью , выражается в виде

Векторный момент направлен перпендикулярно плоскости треугольника . Аналогично, для другой точки  оси 

причем векторный момент  направлен перпендикулярно плоскости треугольника . Треугольник является проекцией треугольников и на плоскость . Из геометрии известно, что площадь проекции плоской фигуры равна площади проецируемой фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостями, в которых расположены эти фигуры. Угол между плоскостями измеряется углом между перпендикулярами к этим плоскостям. Перпендикуляром к плоскости треугольника является ось , а перпендикулярами к плоскостям треугольников  и —соответственно векторные моменты и . Таким образом, , где — угол между вектором и осью . Отсюда по формулам (8′) и (9) имеем

причем знак полностью определяется знаком .

Аналогично,

т. е.

где  — любая точка на оси .

Формулы (11) и (12) отражают искомую связь между моментом силы относительно оси и векторными моментами силы относительно точек, лежащих на этой оси: момент силы относительно оси равен проекции на эту ось векторного момента силы относительно любой точки на оси.

Эту зависимость между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки на оси можно принять за определение момента силы относительно оси.

Рис. 23

Используя связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси, можно получить формулы для вычисления моментов относительно осей координат, если даны проекции силы на оси координат и координаты точки приложения силы. Для оси имеем

Согласно (5),

следовательно,

Аналогично, для осей и

Окончательно

По формулам (13) можно вычислить моменты силы относительно прямоугольных осей координат.

По этим формулам получаются необходимые знаки для  , если проекции силы на оси координат и координаты точки приложения силы подставлять в них со знаками этих величин.

При решении задач момент силы относительно какой-либо оси часто получают, используя его определение, т. е. проецируя силу на плоскость, перпендикулярную оси, и вычисляя затем алгебраический момент этой проекции относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

При изучении теоретической механики необходимо совершенно отчетливо уяснить, что в статике рассматриваются два простейших элемента: сила и пара сил. Любые две силы, кроме сил, образующих пару, всегда можно заменить одной —сложить их (найти равнодействующую). Пара сил нс поддается дальнейшему упрощению, она не имеет равнодействующей и является простейшим элементом.

Действие пары сил на тело характеризуется ее моментом — произведением одной из сил пары на ее плечо (на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, образующих пару).

Единицей момента пары сил в Международной системе служит 1 нм (ньютон-метр = 1 н-1ж), а в системе МКГСС (технической)— 1 кГ-м.

Несколько пар сил, действующих на тело в одной плоскости, можно заменить одной парой сил (равнодействующей парой), момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар:

При равновесии пар сил

Если пары сил действуют в одной плоскости, то при решении задач достаточно рассматривать моменты пар как алгебраические величины. Причем знак момента определяется в зависимости от направления вращающего действия пары сил.

Дальнейшее изложение основано на правиле, т. е. считается момент положительным, если пара сил действует против хода часовой стрелки, если же пара сил действует на тело но ходу часовой стрелки, то момент считается отрицательным.

В том случае когда пары сил действуют на тело будучи расположенными в различных плоскостях, гораздо удобнее рассматривать пару сил как вектор, направленный перпендикулярно

к плоскости действия пары сил (рис. 62). Направление вектора в зависимости от направления вращательного действия пары определяется по направлению движения винта с правой нарезкой.

Определить момент пары сил (рис. 63), если н, АВ — 0,5 м и а = 30°.

Решение.

1.    При определении момента пары сил нужно прежде всего правильно определить плечо пары. При этом необходимо различать следующие понятия: плечо пары сил и расстояние между точками приложения сил нары.

Так как в механике твердого тела сила—скользящий вектор, то действие силы не изменяется при переносе точки ее приложения вдоль линии ее действия. Значит расстояние между точками приложения сил, образующих пару, можно изменять неограниченно. Но плечо пары при этом переносе остается неизменным.

В частном случае расстояние между точками приложения сил, образующих пару, может быть равно плечу.

Чтобы определить плечо данной пары из точки приложения одной из сил, например из точки В, восставим перпендикуляр ВС к линии действия другой силы. Расстояние ВС и есть плечо данной пары сил. Расстояние между точками приложения сил, образующих пару, АВ=0,5 м.

Легко видеть, что

2.    Найдем момент пары сил:

Как изменится момент пары сил показанной на рис. 64, а (P = 50 н, AВ=0,4 м и а=135), если

повернуть силы так, чтобы они стали перпендикулярными АВ? Решение.

1.    Найдем момент пары при заданном положении ее сил (рис. 64, а).

Из точки В восставим перпендикуляр ВС к линиям действия сил  и найдем его длину:

Момент пары при заданном положении сил

2. Повернем силы из заданного положения на угол =а°— 90э в направлении против хода часовой стрелки (рис. 64, б). При таком положении сил относительно АВ плечом пары сил является расстояние между точками их приложения, поэтому

3.    Сравнивая полученные результаты, видим, что после поворота сил момент пары увеличивается на 20—14,5 = 5,85 н-м.

4.    Легко заметить, что силы могут достичь перпендикулярного положения к АВ после их поворота на угол у в направлении по ходу часовой стрелки (рис. 64, в). В том случае плечом пары является тот же отрезок АВ, но момент пары

Момент пары сил изменяет свой знак.

К точкам А, С и В, D, образующим вершины квадрата со стороной 0,5 м (рис. 65, а), приложены равные по модулю силы (Р = 12н) таким образом, что они образуют две пары сил

Определить момент равнодействующей пары сил

Решение 1.

Плечи у обеих пар сил равны стороне квадрата поэтому

Решение 2.
1.    Перенесем силы из точек в точки В и D (рис. 65, б). В точках В и D получаются системы сходящихся сил  и одинаковыми модулями.

2.    Сложим попарно эти силы у каждой из точек В и D. В обоих случаях

3.    Силы R, модули которых теперь известны, направлены перпендикулярно к диагонали BD квадрата. Значит эта диагональ является плечом вновь образовавшейся пары сил заменяющей собой две данные.

4.    Найдем момент пары 

и, следовательно,

Эту пару в соответствии со вторым решением можно представить в виде пары с плечом BD (диагональю данного квадрата).

Но можно равнодействующую пару представить и в любом другом виде, например в виде сил Q = 24 и, приложенных к двум любым вершинам квадрата ABCD (рис. 65, в)

На прямоугольник ABCD (рис. 67) вдоль его длинных сторон действует пара сил Какую пару сил нужно приложить к прямоугольнику, направив силы вдоль его коротких сторон, чтобы уравновесить пару

Решение.

1.    Момент данной пары сил

необходимо уравновесить парой, момент которой обозначим Л1м. Тогда, согласно условию равновесия,

Откуда

2.    Обозначив силы, образующие искомую пару замечая, что ее плечо равно ВС, получим
Отсюда

•Значит к прямоугольнику необходимо приложить пару сил с положительным (направленным против хода часовой стрелки) моментом, равным 48 н м. Силы, образующие эту пару, равняются

20 н каждая и одна из них должна действовать вдоль стороны АВ от А к В, вторая — вдоль стороны CD от С к D.

Прямолинейный стержень АВ должен находиться в равновесии в положении, показанном на рис. 68, а (угол а = При этом в точках А и В на стержень действуют вертикальные силы образующие пару Какие две равные силы нужно приложить к стержню в точках С и D, направив их перпендикулярно к стержню, чтобы обеспечить равновесие. АВ = 3 м, CD— 1 м,

Решение.

1. Пару сил можно уравновесить только парой сил. Поэтому в точках С и D к стержню необходимо приложить две равные силы так, чтобы они образовали пару сил с моментом, равным моменту пары но имеющим противоположный знак.

Так как пара поворачивает стержень на ходу часовой стрелки, искомые силы должны поворачивать его против хода часовой стрелки (рис. 68, б).

2. Применяем условие равновесия:

Или, подставив значения моментов,
 где

Отсюда

Следовательно, в точках С и D необходимо приложить силы по 150 н каждая, как показано на рис. 68, б.

Момент силы относительно точки при решении задач по статике, а затем и по динамике имеет не менее важное значение, чем проекции сил. Поэтому нужно уметь определять эту величину безошибочно. Обычно его числовое значение находят неправильно из-за ошибок, допускаемых при определении плеча.

Чтобы не допускать ошибок при определении моментов сил относительно точки, рекомендуется придерживаться следующего порядка:

1. Прежде всего нужно научиться «видеть» силу, момент которой определяем, и центр моментов — точку, относительно которой определяем момент (рис. 70 — сила  и центр моментов — точка В).
2. Затем из центра момента проводим прямую ВЬ перпендикулярно к линии действия силы DF. Длина перпендикуляра ВС от центра момента до линии действия силы и есть плечо.
3. Потом находим знак момента. При этом если сила стремится повернуть плечо вокруг центра момента против хода часовой стрелки, то считаем момент положительным; если по ходу часовой стрелки, то отрицательным (тоже правило, что и при определении знака момента пары сил).
4. Находим числовое значение момента силы относительно точки, умножив модуль силы на плечо.

По рис. 70

В частном случае момент силы может равняться нулю. Это происходит тогда, когда центр моментов лежит на линии действия силы, при этом плечо равняется нулю. По рис. 70 момент силы  относительно точки А (или С) равен нулю.

Определить моменты шести заданных сил (рис. 71) относительно точек А, В и С, если 

Решение 1 — определение моментов гнести заданных сил относительно точки А (рис. 71, а).

1.    Центр моментов в точке А. Через точку А проходят линии действия трех сил Значит для этих сил плечи равны нулю. Следовательно,

2.    Находим момент силы  Опустив из точки А на линию действия

силы перпендикуляр AD, получим плечо силы Длину AD легко найти, так как это катет треугольника ABD:

3.    Величина момента отрицательная (сила поворачивает плечо AD вокруг точки А но ходу часовой стрелки), следовательно,

4.    Находим момент силы Плечом силы является перпендикуляр АЕ к СЕ — линии действия силы Из треугольника АСЕ

Величина момента положительная (плечо АЕ поворачивается около точки А силой против хода часовой стрелки). Следовательно,

5.    Находим момент силы Плечом силы относительно точки А является отрезок АС, так как сила направлена к АС перпендикулярно. Величина момента отрицательная:

Решение 2 — определение моментов сил относительно точки В (рис. 71, б).

1.    Центр моментов в точке В.

2.    Через точку В проходят линии действия двух сил: Следовательно,

3.    Находим момент силы Плечо силы

Величина момента отрицательная:

4.    Находим момент силы Плечо силы

Момент отрицательный:

5.    Находим момент силы Плечо силы

Величина момента положительная:

6.    Находим момент силы Плечом силыявляется отрезок ВС. Момент положительный:

Решение 3 — определение моментов сил относительно точки С (рис. 71, в) рекомендуется выполнить самостоятельно.
 

Ответ.

В задаче  силы расположены так, что либо их плечи определяются очень просто — как катеты прямоугольных треугольников, в которых даны гипотенузы, либо плечи заданы в условии задачи (ВС и АС).

Но иногда некоторые силы заданной системы оказываются расположенными относительно выбранного центра моментов так, что определить длину плеча трудно и требуется, например, предварительно вычислить длины еще одного-двух отрезков. В таких случаях целесообразно силу разложить на две составляющие и применить для определения ее момента теорему Вариньона.

Определить моменты относительно точки я, приложенных в точках А, В и С, как показано на рис. 72, а. Углы ВС =1,5 м.

Решение.

1.    Относительно точки А моменты сил определяются аналогично

2. Находим момент силы Вариант 1-й (рис. 72, а). Плечо АЕ силы в данном случае определяем из в котором известен только . Значит нужно предварительно определить одну из сторон. Найдем AF:

AF = AB — FB.
Величину FB находим из в котором

следовательно,

И теперь можем определить плечо АЕ:

Раскрываем скобки и заменяем

Момент положительный, следовательно:

Вариант 2-й. Чтобы избежать определения плеча АЕ, которое в данном случае находится после предварительного вычисления двух отрезков (FB и AF), необходимо момент силы относительно точки А найти по теореме Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно любой точки, лежащей в той же плоскости, равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Разложим силу на две составляющие: одну, направленную вдоль отрезка ВС, и другую — перпендикулярно к нему (рис. 72, б).

Модуль первой составляющей а ее плечо — отрезок АВ, длина которого задана. Модуль второй составляющей а ее плечо АК = ВС =1,5 м.

Применяя теорему Вариньона, получаем

Как видно, получено точно такое же значение момента, что и в первом варианте решения:

Момент силы относительно точки и оси. Связи между ними — Студопедия

Если к абсолютно твердому телу приложена произвольная пространственная система сил, то изучение ее действия на это тело, в отличие от системы сходящихся сил, требует введения новых понятий. В частности, определения моментов силы относительно точки (центра) и оси. Понятия эти исторически появились в учении Архимеда о равновесии рычагов. Затем были обобщены для любых пространственных систем сил. В начале момент силы относительно точки рассматривался в плоскости, проходящей через линию действия и точку. Он определялся как произведение модуля силы на кратчайшее расстояние (плечо) от линии действия силы до точки, относительно которой брался момент. Причем эта величина считалась положительной, если сила, действующая на тело, стремилась вращать его против движения часовой стрелки и наоборот отрицательной, если она стремилась вращать тело по движению часовой стрелки. Однако при переходе к пространственным системам сил такое определение момента силы относительно точки стало недостаточным. Это в основном было связано с необходимостью учета возможных направлений плоскостей, проходящих через линии действия сил системы и общей для них моментной точки. В связи с этим, вводился такой вектор, приложенный в этой точке, числовое значение которого равно произведению силы на кратчайшее расстояние от моментной точки до линии действия силы и направленный перпендикулярно к той плоскости, в которой расположены линия действия силы и моментная точка. Причем здесь необходимо во внимание принимать и возможный поворот тела под действием силы вокруг выбранного центра. Теперь введем понятие момента силы сформулировав его следующим образом: моментом силы относительно какой-либо точки называется вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо и направленный перпендикулярно к плоскости содержащей силу и выбранную точку, таким образом, чтобы с конца этого вектора можно было бы видеть стремление силы вращать тело против движения часовой стрелки.

Так как существуют правая и левая системы координат, то следует конкретно выбрать одну из них, чтобы единым образом определить направление векторного момента силы относительно точки. В дальнейшем будем пользоваться только первой системой координат. Это позволяет применить «правило буравчика», хорошо известное читателям еще со школьной скамьи.

Итак пусть даны сила , приложенная в точке А какого-либо абсолютно твердого тела, и некоторый центр О (рис.2.11). Тогда моментом силы относительно точки О называется вектор, приложенный к центру (или точке) О, направленный перпендикулярно к плоскости треугольника ОАВ в ту сторону, откуда поворот тела, совершаемый силой, виден против хода стрелки часов (по правилу буравчика) и численно равный удвоенный площади треугольника ОАВ, иначе, этот вектор можно представить как векторное произведение радиуса-вектора (т.е вектор, направленный от моментной точки О, к точке А приложения силы и модуль которого равен длине между этими точками) на силу, т.е.

= х . (2.11)

Рис.2.11.

Здесь для вектора момента силы введено обозначение , где в индексе указывается точка, относительно которой берется момент, а внутри скобки сила, действующая на тело и сверху символа проводится прямая, означающая, что эта величина является векторной. Кроме этого обозначения в существующих литературах по теоретической механике применяются и такие обозначения , .

Теперь докажем, что модуль вектора , представленного формулой (2.11) равен произведению величины силы на плечо, а направление векторного произведения двух векторов и , т.е. х точно совпадает с направлением вектора .

Как известно из векторной алгебры, модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителях и , т.е.

| × |=rF×sin( ).

Однако из прямоугольного треугольника KOA, где OK=h, имеем rsin( )=h. Следовательно, rFsin( )=F×h=m₀( ). Это выражение дает, что модуль вектора равен числовому значению вектора . Кроме того, вектор, равный векторному произведению х направлен по перпендикуляру к плоскости DAOB. Причем в ту сторону, откуда кратчайший поворот вектора к направлению вектора представляется происходящим против хода часовой стрелки, т.е. направление векторного произведения х совпадает с направлением вектора . Таким образом, формула (2.11) полностью определяет модуль и направление момента силы .

ЗАМЕЧАНИЯ

1.При переносе силы по линии ее действия в другие точки, допустим в М₁, М₂,…., М_n, ее момент относительно данного центра не изменится (рис.2.12).

Рис.2.12.

То, что направления векторных произведений х , , , …, , перпендикулярных к одной и той же плоскости совпадают, а их числовые значения равны, не вызывают сомнений, так как равны площади соответствующих их параллелограммов, имеющих одно и то же основание и одну и ту же высоту h.

2.Момент силы относительно центра О меняет свой знак при перестановке его сомножителей и . Для доказательства этого составим векторное произведение х . Для этой цели откладываем от произвольной точки В вектор , а из конца его проводим вектор и на отложенных векторах строим параллелограмм (рис.2.13). Тогда направление вектора х противоположно направлению х , а площади параллелограммов между собой равны. Таким образом, х =- х .

Рис.2.13.

3.Момент силы относительно точки равен нуля, когда ее линия действия проходит через центр (точку) момента, так как в этом случае плечо равно нулю.

4.В случае, когда заданы величина и направление силы и ее момент относительно центра О, то всегда определима линия действия силы. При этом наикратчайшее расстояние h от моментной силы О до линии действия силы , т.е. плечо h находится из выражения h=| | / F.

Момент силы относительно точки О можно также определить, зная проекции силы на прямоугольные декартовы оси и координаты точки приложения силы х, y, z. Действительно, если иметь в виду выражение (2.11), то момент силы относительно этих проекций выражается следующим образом:

= (2.12)

ЗАМЕЧАНИЕ

Если все силы, действующие на тело лежат в одной плоскости, то векторы, изображающие моменты этих сил относительно какой-либо точки, лежащей в той же плоскости, будут перпендикулярны к плоскости. Следовательно, в данном случае моменты сил различаются между собой только числовой величиной и знаком, а не направлением, как в случае пространственной системы сил и их можно рассматривать как скалярные величины. При это величина момента силы равна m₀( )=| | = ±F×h, где знак ± зависит от того, куда сила стремиться вращать тело (+ соответствует вращению тела против движения часовой стрелки и наоборот — движения часовой стрелки). Раскрывая определитель (2.12) по столбцам получим:

=(yF_z-zF_y) +(zF_x-xF_z) +(xF_y-yF_x) (2.13)

В то же время, если проекции этого момента силы на прямоугольные декартовы оси координат соответственно обозначим через m_0х( ), m_0y( ), m_0z( ), то для m₀( ) находим:

=m_0x( ) +m_0y( ) + m_0z( ) (2.14)

Далее сравнивая выражения (2.12) и (2.13), которые определяют одну и ту же величину, получим:

m_0x( )=yF_z-zF_y, m_0y( )=zF_x-xF_z, m_0z( )=xF_y-yF_x (2.15)

Формула (2.15) называется аналитическими выражениями моментов силы относительно координатных осей, что будет доказано ниже.

Момент силы относительно оси. Пусть к некоторому твердому телу в точке А приложена сила . Чтобы вычислить момент этой силы относительно какой-либо оси (допустим ею является ось OZ), следует спроектировать силу на перпендикулярную плоскость P_z к указанной оси, затем взять момент от проекции относительно точки О₁ пересечения оси с перпендикулярной плоскостью, взяв его со знаком плюс или минус (рис.2.14). Момент силы относительно оси обозначив символом m_z( ), согласно выше сказанному, можно его записать следующим образом:

m_z( )=±F_n×H (2.16)

При этом момент силы относительно оси m_z( ), вычисляемый соотношением (2.16) может быть взят со знаком плюс, если проекция силы стремится вращать тело против движения часовой стрелки; когда смотрим с конца оси и со знаком минус в противном случае.

Рис.2.14.

ЗАМЕЧАНИЯ

1.Значение момента силы относительно оси может быть также выражено удвоенной площадью треугольника

m_z( ) = 2 (2.17)

2.Если проекция силы на перпендикулярную плоскость P_z к оси OZ относительно которой берется момент равна нулю, т.е F_n=0, то линия действия силы параллельна к этой оси.

3.Если расстояние от точки О пересечения оси OZ с перпендикулярной плоскостью P_z до линии действия проекции силы на эту плоскость равно нулю, т.е. H=0, то линия действия силы пересекает ось, относительно которой вычисляется момент.

Таким образом, момент силы относительно некоторой оси равен моменту проекции силы на перпендикулярную плоскость к этой оси, взятому относительно точки пересечения оси с перпендикулярной плоскостью.

Также, можно показать, что проекция вектора момента силы относительно некоторой точки на ось, проходящую через эту точку, равна моменту силы относительно этой же оси. Для этого заметим, что проекция m_0z( ) вектора момента на ось OZ равна

m_0z( )=пр_OZ[ ]=| |cosj=2S_DOABcosj=±2 (2.18)

так как угол j между вектором и осью OZ равен углу между плоскостями DOAB и P_z, где площадь DOA₁B₁ есть проекция площади DOAB. Однако по определению момент силы относительно оси определяется выражение вида (2.17). Далее, сравнивая (2.17) с (2.18), имеем, что

m_0z( )=m_z( ),

что и требовалось показать. Следовательно, чтобы вычислить моменты силы относительно соответствующих осей координат X,Y,Z можно использовать соотношения вида (2.15).

Вопросы для самопроверки

1. Что называется сходящейся системой сил?

2. Как определяется равнодействующая системы сходящихся сил геометрически и аналитический способами?

3. Сформулируйте и запишите условия равновесия системы сходящихся сил в векторной и аналитической формах.

4. Если для плоской системы сходящихся сил åF_kx=0, а åF_ky¹0, что можно сказать о ее равнодействующей?

5. Может ли находиться в равновесии система 3-х сходящихся сил, не лежащих в одной плоскости?

6. Дайте определение векторного момента силы относительно центра. Где он приложен, как направлен?

7. Нарисуйте рисунок, изображающий векторное произведение. Запишите векторный момент силы относительно центра в виде векторного произведения радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы.

8. Как определяется модуль момента силы относительно центра? Что называется плечом силы? Как выражается момент силы относительно центра через площадь треугольника.

9. Дайте определение алгебраического момента силы относительно центра.

10. В каких случаях момент силы относительно центра равен нулю.

11. Дайте определение момента силы относительно оси. В каких случаях этот момент равен нулю.

12. Запишите формулы для моментов силы относительно координатных осей.

13. Какова связь между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно любой точки, лежащей на этой оси?

Момент силы относительно точки и оси

Основные понятия статики

Теоретическая механика — наука, изучающая общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Мех. движением называется перемещение тела по отношению к другому телу, происходящее в пространстве и времени.

Мех. взаимодействием называется такое взаимодействие материальных тел, которое изменяет или стремится изменить характер их мех. движения.

Статика — раздел механики, в котором изучаются методы преобразования систем сил в эквивалентные системы и устанавливаются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу.

Материальное тело, размеры которого в рассматриваемых конкретных условиях можно не учитывать, называют материальной точкой (МТ). МТ обладает массой и способностью взаимодействовать с другими телами. Системой МТ или механической системой называется такая совокупность МТ, в которой положение и движение каждой точки зависят от положения и движения других точек этой системы. Тела, расстояния между любыми точками которых остаются неизменными, называют абсолютно твердыми.

Кинематическое состояние тела — состояние покоя или движения определенного характера.

Сила — мера механического взаимодействия тел, определяющая интенсивность и направление этого взаимодействия. Сила определяется тремя элементами: числовым значением (модулем), направлением и точкой приложения. Изображается сила вектором. Прямая, по которой направлена сила называется, называется линией действия силы.

Совокупность нескольких сил, действующих на данное тело, называется системой сил.

Системы сил, под действием каждой из которых твердое тело находится в одинаковом кинематическом состоянии, называются эквивалентными.

Сила, эквивалентная некоторой системе сил, называется равнодействующей.

Сила, равная по модулю равнодействующей и направленная по линии ее действия в противоположную сторону, называется уравновешивающей силой.

Система сил, которая, будучи приложенной к твердому телу, находящемуся в состоянии покоя, не выводящая его из этого состояния, называется системой взаимно уравновешивающихся сил.

Внешними называются силы, действующие на МТ (тела) данной системы со стороны МТ (тел), не принадлежащих этой системе. Внутренними называются силы взаимодействия между МТ (телами) рассматриваемой системы.

Аксиомы статики

1) Аксиома инерции. Под действием взаимно уравновешивающихся сил материальная точка (тело) находится в состоянии покоя или движется равномерно прямолинейно.

2) Аксиома равновесия двух сил. Две силы, приложенные к твердому телу, взаимно уравновешиваются только в том случае, если их модули равны, и они направлены по одной линии прямой в противоположные стороны.

3) Аксиома присоединения и исключения уравновешивающихся сил. Действие системы сил на твердое тело не изменится, если к ней присоединить или из нее исключить систему взаимно уравновешивающихся сил.

Следствие. Не изменяя кинематического состояния абсолютно твердого тела, силу можно переносить вдоль линии ее действия, сохраняя неизменными ее модуль и направление.

4) Аксиома параллелограмма сил. Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах.

φ – угол между направлениями сил

5) Аксиома равенства действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное по величине и противоположное по направлению противодействие.

6) Аксиома сохранения равновесия сил, приложенных к деформирующемуся телу при его затвердении. Равновесие сил приложенных к деформирующемуся телу сохраняется при его затвердении.

Связи и их реакции

Тело называется свободным, если оно может перемещаться в пространстве в любом направлении.

Тело, ограничивающие свободу движения данного твердого тела, является по отношению к нему связью.

Твердое тело, свобода движения которого ограничена связями, называется несвободным.

Задаваемые силы выражают действие на твердое тело других тел, вызывающих или свободных вызвать изменение его кинематического состояния. Реакцией связи называется сила или система сил, выражающая механическое действие связи на тело.

Принцип освобождаемости твердых тел от связей — несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, на которое кроме задаваемых сил действуют реакции связей.

Теорема Пуансо

Приведение силы к заданному центру (метод Пуансо) – силу можно перенести параллельно самой себе в любую точку плоскости, если добавить соответствующую пару сил, момент которой равен моменту этой силы относительно рассматриваемой точки.

Добавим к системе в точке A две силы, равные по величине между собой и величине заданной силы, направленные по одной прямой в противоположные стороны параллельно заданной силе.

Кинематическое состояние не изменилось (аксиома о присоединении). Исходная сила и одна из добавленных сил противоположно направленная образуют пару сил. Момент этой пары численно равен моменту исходной силы относительно центра приведения. Во многих случаях пару сил удобно изображать дуговой стрелкой.

Центр параллельных сил

При сложении двух параллельных сил две параллельные приводятся к одной силе — равнодействующей, линия действия которой направлена параллельно линиям действия сил. Равнодействующая приложена в точке делящей прямую, на расстояния обратно пропорциональные величинам сил.

Поскольку силу можно переносить по линии ее действия, то точка приложения равнодействующей не определена. Если силы повернуть на один и тот же угол и вновь произвести сложение сил, то получим другое направление линии действия равнодействующей. Точка пересечения этих двух линий равнодействующих может рассматриваться как точка приложения равнодействующей, не изменяющая своего положения при повороте всех сил одновременно на один и тот же угол. Такая точка называется центром параллельных сил.

Теорема Вариньона

Теорема о моменте равнодействующей силы: момент равнодействующей относительно любой точки равен геометрической сумме моментов составляющих сил относительно этой точки, а момент равнодействующей силы относительно оси равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно этой оси.

Определим момент равнодействующей силы , приложенной в точке К, относительно произвольно выбранного центра приведения О:

Тогда , что сформулировано в первой части теоремы.

Проекция момента равнодействующей на произвольную ось проходящую через точку O равна:

– угол между осью и направлением .

, что сформулировано во второй части теоремы.

Фермы. Методы расчета ферм

Фермой называется геометрически не изменяемая шарнирно-стрежневая конструкция. Если все оси фермы лежат в одной плоскости, то ферму называют плоской. Точки, в которых сходятся оси стержней, называют узлами фермы, а те узлы, которыми ферма опирается на основание, называются опорными узлами. Стержни плоской фермы, расположенные по верхнему контуру, образуют верхний пояс фермы, а расположенные по нижнему контуру — нижний пояс фермы. Вертикальные стержни называются стойками, а наклонные — раскосами.

Способ вырезания узлов. Суть способа заключается в том, что мысленно вырезают каждый узел фермы, прикладывают к нему известные силы и реакции стержней, которые направляют от узла, т.к. неизвестно какие стержни фермы растянуты, а какие сжаты, изначально полагают, что все стержни растянуты, а затем составляются уравнения равновесия сил, приложенных к каждому узлу. Расчет фермы начинают с узлов, к которым приложено не более двух неизвестных сил для плоской фермы, и не более трех для пространственной.

Метод Риттера. Ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуется определить усилия, и рассматривают равновесие одной из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т. е. считая их растянутыми. Затем составляют уравнения моментов относительно точек Риттера (точка пересечения двух из трех перерезанных стержней). Из полученных уравнений определяются усилия в стержнях.

Сила трения. Законы трения

Силы трения скольжения появляются при скольжении одного тела по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел. Часто приходится учитывать действие этих сил при изучении равновесия тел. С этой целью используются приближенные законы трения, полученные опытным путем:

1. Сила трения возникает лишь тогда, когда приложенные к телу силы стремятся сдвинуть его или оно уже скользит по поверхности другого тела. Сила трения направлена в сторону, противоположную направлению движения или в сторону, противоположную той, в которую приложенные силы стремятся сдвинуть тело.

2. В конкретных условиях сила трения может принимать любые значения в пределах от нуля до некоторого придельного значения , которое достигается в состоянии относительного проскальзывания или в состоянии предельного равновесия тела.

3. Величина предельной силы трения пропорциональна силе нормального давления N между трущимися поверхностями и не зависит от величины площади соприкасания тел:

,

где – коэффициент трения скольжения.

Наибольший угол, на который может отклониться линия действия силы реакции негладкой поверхности от нормали, проведенной к ней в точке контакта тел, называется углом трения скольжения. Тангенс угла скольжения равен коэффициенту трения скольжения:

Трением качения называется сопротивление, возникающие при качении одного тела по поверхности другого. Трение качения возникает оттого, что поверхность катящегося тела и плоскость, по которой тело катится, не абсолютно тверды, а несколько деформируются вследствие давления тела на плоскость.

– вес колеса и его линия действия проходит через центр О катка. Приложим в этой точке горизонтальную силу . В месте контакта катка и поверхности возникает сила трения скольжения , препятствующая проскальзыванию катка.

Под действием силы происходит деформация в месте контакта, в результате чего нормальная реакция смещается в сторону действия силы на некоторое расстояние h. Максимальная величина h=k, соответствующая предельному положению равновесия, называют трением качения.

Значение , соответствующее случаю предельного равновесия,

.

Основные понятия кинематики. Скорость точки. Ускорение

Кинематикой называют раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин, его вызывающих.

Механическим движением тела называют изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

Тело, относительно которого рассматривается положение изучаемого тела, называется телом отсчета.

Перемещаясь с течением времени из одной точки в другую, тело (материальная точка) описывает некоторую линию, которую называют траекторией движения тела.

Перемещением тела называют направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением. Перемещение есть векторная величина.

Пройденный путь l равен длине дуги траектории, пройденной телом за некоторое время t. Путь – скалярная величина.

Скорость — векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета.

Для характеристики движения вводится понятие средней скорости:

Мгновенная скорость определяется как предел, к которому стремится средняя скорость на бесконечно малом промежутке времени Δt:

Ускорение — быстрота изменения модуля и направления скорости точки.

Среднее ускорение:

Мгновенное ускорение:

Поступательное движение тела. Задание движения. Распределение скоростей и ускорений точек тела

Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, соединяющая две точки тела, движется параллельно самой себе.

Теорема. Все точки твердого тела, движущегося поступательно, описывают одинаковые (совпадающие при наложении) траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения.

Уравнениями поступательного движения твердого тела являются уравнения движения любой точки этого тела — обычно уравнения движения его центра тяжести:

Общие для всех точек твердого тела, движущегося поступательно, скорость ускорение называют скоростью и ускорением поступательного движения твердого тела.

Вращательное движение. Задание движения

Вращательным называется такое движение тела, при котором остаются неподвижными все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения.

При этом движении все остальные точки тела движутся в плоскостях перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.

При вращении тела угол поворота изменяется в зависимости от времени: .

Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота с течением времени называется угловой скоростью тела.

Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением тела.

Уравнение равномерного вращения тела. Вращение тела с постоянной скоростью называется равномерным.

Уравнение равнопеременного вращения тела. Вращение тела, при котором угловое ускорение постоянно, называют равнопеременным вращением.

Основные понятия статики

Теоретическая механика — наука, изучающая общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Мех. движением называется перемещение тела по отношению к другому телу, происходящее в пространстве и времени.

Мех. взаимодействием называется такое взаимодействие материальных тел, которое изменяет или стремится изменить характер их мех. движения.

Статика — раздел механики, в котором изучаются методы преобразования систем сил в эквивалентные системы и устанавливаются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу.

Материальное тело, размеры которого в рассматриваемых конкретных условиях можно не учитывать, называют материальной точкой (МТ). МТ обладает массой и способностью взаимодействовать с другими телами. Системой МТ или механической системой называется такая совокупность МТ, в которой положение и движение каждой точки зависят от положения и движения других точек этой системы. Тела, расстояния между любыми точками которых остаются неизменными, называют абсолютно твердыми.

Кинематическое состояние тела — состояние покоя или движения определенного характера.

Сила — мера механического взаимодействия тел, определяющая интенсивность и направление этого взаимодействия. Сила определяется тремя элементами: числовым значением (модулем), направлением и точкой приложения. Изображается сила вектором. Прямая, по которой направлена сила называется, называется линией действия силы.

Совокупность нескольких сил, действующих на данное тело, называется системой сил.

Системы сил, под действием каждой из которых твердое тело находится в одинаковом кинематическом состоянии, называются эквивалентными.

Сила, эквивалентная некоторой системе сил, называется равнодействующей.

Сила, равная по модулю равнодействующей и направленная по линии ее действия в противоположную сторону, называется уравновешивающей силой.

Система сил, которая, будучи приложенной к твердому телу, находящемуся в состоянии покоя, не выводящая его из этого состояния, называется системой взаимно уравновешивающихся сил.

Внешними называются силы, действующие на МТ (тела) данной системы со стороны МТ (тел), не принадлежащих этой системе. Внутренними называются силы взаимодействия между МТ (телами) рассматриваемой системы.

Аксиомы статики

1) Аксиома инерции. Под действием взаимно уравновешивающихся сил материальная точка (тело) находится в состоянии покоя или движется равномерно прямолинейно.

2) Аксиома равновесия двух сил. Две силы, приложенные к твердому телу, взаимно уравновешиваются только в том случае, если их модули равны, и они направлены по одной линии прямой в противоположные стороны.

3) Аксиома присоединения и исключения уравновешивающихся сил. Действие системы сил на твердое тело не изменится, если к ней присоединить или из нее исключить систему взаимно уравновешивающихся сил.

Следствие. Не изменяя кинематического состояния абсолютно твердого тела, силу можно переносить вдоль линии ее действия, сохраняя неизменными ее модуль и направление.

4) Аксиома параллелограмма сил. Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке их пересечения и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах.

φ – угол между направлениями сил

5) Аксиома равенства действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное по величине и противоположное по направлению противодействие.

6) Аксиома сохранения равновесия сил, приложенных к деформирующемуся телу при его затвердении. Равновесие сил приложенных к деформирующемуся телу сохраняется при его затвердении.

Связи и их реакции

Тело называется свободным, если оно может перемещаться в пространстве в любом направлении.

Тело, ограничивающие свободу движения данного твердого тела, является по отношению к нему связью.

Твердое тело, свобода движения которого ограничена связями, называется несвободным.

Задаваемые силы выражают действие на твердое тело других тел, вызывающих или свободных вызвать изменение его кинематического состояния. Реакцией связи называется сила или система сил, выражающая механическое действие связи на тело.

Принцип освобождаемости твердых тел от связей — несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, на которое кроме задаваемых сил действуют реакции связей.

Момент силы относительно точки и оси

Момент силы — векторная величина, равная произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы на вектор этой силы. МС характеризует вращательное действие этой силы на твердое тело.

Алгебраическим моментом силы относительно точки (центра момента) называется взятое со знаком «+» или «-» произведение величины силы на плече силы.

Плечо силы — кратчайшее расстояние от точки центра момента до линии действия силы.

Правило знаков: если сила стремится повернуть тело вокруг точки центра момента против часовой стрелки ставится знак «+», если по часовой знак «-».

Из определения следует, что момент силы относительно точки равен нулю лишь в том случае, когда плече силы равно нулю, т.е. линия действия силы проходит через точку центр момента.

Момент силы относительно оси — момент проекции силы на плоскость перпендикулярную оси взятый относительно точки пересечения оси и плоскости.

Правило знаков: если с острия оси видеть вращение плоскости под действием проекции силы против часовой стрелки ставится знак «+», если по часовой — знак «-».

Из определения следует что момент силы относительно оси равен нулю если:

1) сила пересекает ось (h=0)

2) сила параллельна оси (F_p=0)

3) сила совпадает с осью (h=0 и F_p=0)

Для вычисления момента силы относительно оси необходимо:

1) Выбрать плоскость перпендикулярную оси;

2) Спроецировать силу на эту плоскость;

3) Найти точку пересечения оси и плоскости;

4) Определить плечо относительно точки;

5) Определить знак момента.

МОМЕНТ СИЛЫ — это… Что такое МОМЕНТ СИЛЫ?

— величина, характеризующая вращательный эффект силы; имеет размерность произведения длины на силу. Различают момент силы относительно центра (точки) и относительно оси.

M. с. относительно центра О наз. векторная величина M₀, равная векторному произведению радиуса-вектора r, проведённого из O в точку приложения силы F, на силу M₀ = [rF]или в др. обозначениях M₀ = r F (рис.). Численно M. с. равен произведению модуля силы на плечо h, т. е. на длину перпендикуляра, опущенного из О на линию действия силы, или удвоенной площади

треугольника, построенного на центре O и силе:

Направлен вектор M₀ перпендикулярно плоскости, проходящей через O и F. Сторона, куда направляется M₀, выбирается условно (M₀ — аксиальный вектор). При правой системе координат вектор M₀ направляют в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден против хода часовой стрелки.

M. с. относительно оси z наз. скалярная величина M_z, равная проекции на ось z вектора M. с. относительно любого центра О, взятого на этой оси; величину M_z можно ещё определять как проекцию на плоскость ху, перпендикулярную оси z, площади треугольника OAB или как момент проекции F_xy силы F на плоскость ху, взятый относительно точки пересечения оси z с этой плоскостью. T. о.,

В двух последних выражениях M. с. считается положительным, когда поворот силы F_xy виден с положит. конца оси z против хода часовой стрелки (в правой системе координат). M. с. относительно координатных осей Oxyz могут также вычисляться по аналитич. ф-лам:

где F_x, F_y, F_z — проекции силы F на координатные оси, х, у, z — координаты точки А приложения силы. Величины M_x, M_y, M_z равны проекциям вектора M₀ на координатные оси.

Если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно любого центра (или оси) равен сумме моментов всех сил системы относительно того же центра (оси) (см. Вариньона теорема). Понятие о M. с. является одним из осн. понятий механики.

Лит. см. при ст. Статика. С. M. Тарг.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.

Момент силы относительно точки и оси. Пара сил

1.4.1. Момент силы относительно точки и оси.Рассмотрим силу , приложенную к твердому телу в точке А(x, y, z).

Очевидно, что сила стремится повернуть тело относительно начала координат. Это воздействие назовем моментом силы относительно точки О; оно характеризуется:

— величиной, пропорциональной как модулю силы, так и наименьшему расстоянию от линии действия силы до начала координат (это расстояние на рис.9 обозначено h и называется плечом силы ),

— положением в пространстве плоскости, в которой лежат векторы и (точнее, нормали к этой плоскости),

— направлением вращательного воздействия.

Сопоставим воздействию математическую модель в виде связанного с точкой О вектора, равного

(5.а)

Очевидно, что принятая математическая модель учитывает все указанные выше характеристики моделируемого вращательного воздействия.

Если известны модуль силы и ее плечо относительно точки О, то модуль вектора момента может быть вычислен как:

(5.б)

Момент силы относительно точки О может быть определен и через проекции соответствующих векторов на оси координатной системы, как

(5.в)

Моментом силы относительно оси называется проекция на эту ось момента силы относительно любой точки оси.

В качестве примера разберем вычисление момента силы относительно оси z.

Сначала (см. рис. 10) разложим силу на две составляющие – вдоль оси z ( ) и перпендикулярную оси z ( ).

Поскольку состояние тела должно сохраняться при замене равнодействующей на ее составляющие, момент от равнодействующей может быть вычислен, как сумма моментов от ее составляющих, т.е.

(6)

Заметим, что приведенное выше соображение в некоторых источниках носит название теоремы Вариньона.

Очевидно, что составляющая стремится сдвинуть тело вдоль оси z, не стремясь повернуть его вокруг оси z (т.е. ее момент относительно оси z равен нулю). Кратчайшее расстояние от линии действия составляющей до оси z есть h (см. рис. 3.2).

Таким образом,

(7)

что совпадает с проекцией вектора момента на ось z в формуле (5.в).

Отметим следующие свойства момента силы:

— момент силы относительно точки не меняется при переносе силы вдоль ее линии действия (т.к. не изменяется плечо силы),

— момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку (т.к. плечо силы равно нулю),

— момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси, либо ее пересекает (т.е. если сила и ось лежат в одной плоскости).

1.4.2. Пара сил. Момент пары сил.Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил , действующих на твердое тело (рис. 11). Кратчайшее расстояние h между линиями действия сил называется плечом пары.

Действие пары сил на твердое тело сводится к некоторому вращательному эффекту, который можно моделировать вектором, называемым моментом пары.

Момент пары рассчитывается как сумма моментов сил, образующих пару, и вычисленных относительно некоторой точки О твердого тела, т.е.:

(8)

Так как выбор точки О был произволен, то вектор момента пары можно считать приложенным в любой точке, т.е. это вектор свободный.

Таким образом, математической моделью момента пары сил является свободный вектор, направленный перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда видно стремление пары повернуть тело против часовой стрелки; модуль вектора пары равен произведению модуля одной из сил на плечо пары (см. рис. 11). Заметим, что связанные векторы момента силы относительно точки В и момента силы относительно точки А совпадают с вектором момента пары по величине и направлению; отмеченное обстоятельство позволяет для расчета момента пары использовать формулы (5).

Из формулы (8) следует, что две пары сил, имеющих одинаковые моменты, эквивалентны, т.е. оказывают на твердое тело одинаковое механическое действие. При этом пары сил могут располагаться как в одной плоскости, так и в параллельных плоскостях, а величины сил и плеч могут принимать любые значения (при сохранении, конечно, величины их произведения).

Очевидно (см. формулу (8)), что если на тело действует несколько пар с моментами , то сумма моментов всех сил, образующих эти пары, относительно любой точки будет равна

(9)

то есть вся совокупность этих пар эквивалентна одной паре с моментом . Этот результат выражает теорему о сложении пар.

Рекомендуемые страницы:

Момент силы относительно точки. Разложение момента силы по декартовой системе координат

Момент силы относительно произвольной точки.Пусть частица A движется относительно точки О под действием произвольной силы F (см. рис. 9.3).

Моментом силы M относительно произвольной точки О называется векторное произведение радиус-вектора частицы r, проведенного из точки O в точку приложения силы, на вектор силы F:

M = [r, F].

Момент силы относительно оси.

Момент силы относительно оси есть проекция момента силы относительно точки этой оси.

4. Теорема 1:

Моменты силы относительно оси независят от выбора полюса на этой оси.

Вычисление моментов силы относительно оси по этим формулам явл. аналитическим способом.

Теорема 2:

Момент силы оси равен моменту проекции силы на плоскость перпенд. этой оси.

Графоаналитический способ:

a. Спроецировать силу на плоскость параллельную оси.

b. Найти плечо проекции

c. Умножить проекцию на плечо

d. Взять знак +, если выражение силы предусматривается против часовой стрелки, когда ось в глаз.

Характеристики силы. Сила, действующая на твердое тело. Задание силы.

Сила определяется своей величиной, направлением, точкой приложения. Величина силы практически измеряется в весовых единицах (граммах, килограммах, тоннах), направление совпадает с направлением того движения, которое данная сила сообщила бы телу, находившемуся до приложения силы в состоянии покоя. Сила графически изображается вектором – отрезком, начало которого находится в точке приложения силы; указываемое стрелкой направление совпадает с направлением силы, и длина представляет в некотором масштабе величину силы (АВ на рис.). Точка приложения силы, действующей на твердое тело, может быть без изменения действия силы взята где угодно на прямой, совпадающей с направлением силы.

К системе сил, действующих на твёрдое тело, можно всегда добавить две силы, равные по величине, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны.

Сходящаяся система сил.

Системой сходящихся силназывается такая система сил, линии действия которой пересекаются в одной точке, которую всегда можно принять за начало координат (рис.5).

Проекции равнодействующей:

;

;

Если , то сила вызывает движение твёрдого тела.

Условие равновесия для сходящейся системы сил:

Понятие о паре сил. Характеристики пары.

Пара сил –это система двух сил, равных по величине и противоположных по направлению.

Момент пары сил –это вектор, направленный перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откуда вращение пары представляется против часовой стрелки.

Объяснитель урока: Момент силы относительно точки в 3D

В этом объяснителе мы узнаем, как найти момент векторных сил. воздействуя на тело около точки в 3D.

Сила или система сил, действующая на тело, может иметь поворотный эффект на этом теле. Этот эффект поворота описывается моментом силы (или системы сил). Возможно, вы уже знакомы с моментом силы, определяемой как скаляр, заданный произведением величины сила с перпендикулярным расстоянием между линией действия сила и точка, относительно которой берется момент: 𝑀 = 𝐹𝑑.⟂

В этом пояснении мы узнаем, что момент силы правильно определяется как вектор.

Момент силы зависит от точки тела, о которой она взят. Направление вектора момента дает направление вращение вокруг той точки, которую создаст сила, в то время как ее величина указывает силу поворачивающего эффекта силы.

Давайте сначала посмотрим, как определяется вектор момента.

Определение: Момент силы

Момент силы ⃑𝐹, действующий на тело, взятая около точки, определяется выражением 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹, где ⃑𝑟 — вектор положения 𝐴, точка приложения силы ⃑𝐹.

В этом определении мы видим, что система координат была выбрана так, что ее начало отсчета совпадает с точкой, о которой мы говорим. Если бы мы хотели отработать момент силы ⃑𝐹 относительно точки 𝑃 это не начало координат, то мы просто заменим ⃑𝑟 на 𝑃𝐴: 𝑀 = 𝑃𝐴 × ⃑𝐹.

Буква 𝑃 добавлена ​​в качестве индекса к 𝑀 чтобы указать, что момент взят около точки.

Свойства кросс-произведения позволяют нам сначала заключить, что 𝑀 вектор, перпендикулярный плоскости, определяемой и ⃑𝐹.Направление задается формулой Правило правой руки. Это правило иногда объясняют вращением винта: направление вектора ⃑𝐴 × ⃑𝐵 соответствует направлению движения (вверх или вниз) крышки бутылки или гайки, которое можно было бы повернуть в том же направлении вращения, что и при переходе от ⃑𝐴 к ⃑𝐵, как показано на следующей диаграмме.

Эта ссылка на вращение имеет большой смысл, когда речь идет о моменте силы. Давайте возьмем диаграмму, использованную в блоке определений выше, и представим движение стержня, закрепленного в 𝑂 и подвергается единственной силе ⃑𝐹 в 𝐴.Стоит отметить, что для простоты здесь выбрана такая система координат, что И ⃑𝐹 лежат в-плоскости, так что параллельна оси.

Мы видим, что стержень поворачивается по часовой стрелке до совмещения с ⃑𝐹, то есть, когда ⃑𝐹 больше не поворачивает стержень, который действительно описывается тем фактом, что его момент равен нулю (что согласуется с перекрестным произведением двух коллинеарных векторов равны нулю). Это вращение по часовой стрелке соответствует вращению вектора ⃑𝑟 к вектору ⃑𝐹.

Используя правило правой руки, как объяснено выше, это означает, что момент ⃑𝐹 примерно на 𝑂 точек вниз. Другими словами, его единственный компонент, который находится вдоль Ось отрицательна, поскольку положительная ось направлена ​​вверх. Помнить что в трехмерной декартовой системе координат правильный набор единичных векторов ⃑𝑖, ⃑𝑗, ⃑𝑘 такое, что ⃑𝑘 = ⃑𝑖 × ⃑𝑗.

Величина момента определяется выражением ‖‖𝑀‖‖ = ‖‖⃑𝑟‖‖‖‖⃑𝐹‖‖ | 𝜃 |, грех где 𝜃 — угол между ⃑𝑟 и ⃑𝐹.Мы использовали столбцы абсолютных значений вокруг sin𝜃 здесь, потому что если использовать направленные углы, sin𝜃 может быть отрицательным, как в случае вращения по часовой стрелке обсуждалось выше, где 𝜃 — отрицательный угол. Если использовать геометрический углы, то 0≤𝜃≤180∘, и, таким образом, sin𝜃≥0.

Давайте теперь посмотрим, почему такой способ определения величины эквивалент того, что вы, возможно, узнали раньше; а именно, ‖‖𝑀‖‖ = ‖‖⃑𝐹‖‖𝑑⟂, где 𝑑⟂ — перпендикулярное расстояние между линия действия ⃑𝐹 и точка, относительно которой момент взятый.

Взяв наш предыдущий пример стержня, мы можем нарисовать круг с центром 𝐴 и радиус ‖‖⃑𝑟‖‖. Мы можем думать об этом как о единичный круг, масштабированный на ‖‖⃑𝑟‖‖ и повернутый на таким образом, чтобы ось 𝑥, связанная с кругом, была в том же направлении как ⃑𝐹. Скалярная проекция вектора ⃑𝑟 на оси 𝑦, связанной с единичной окружностью, находится отрезок, длина которого тогда равна ‖‖⃑𝑟‖‖ | 𝜃 | sin. Рассматривая теперь отрезок 𝑂𝐶 (заметим, что треугольники 𝐴𝐵𝑌 и 𝑂𝐴𝐶 конгруэнтны), мы видите, что эта длина также является перпендикулярным расстоянием между линией действия ⃑𝐹 и 𝑂.

Чтобы показать, что перпендикулярное расстояние между линией действия ⃑𝐹 и 𝑂 задается формулой ‖‖⃑𝑟‖‖ | 𝜃 | sin, мы также можем использовать то свойство, что два дополнительных углы имеют одинаковое значение синуса ((180 − 𝛼) = 𝛼) sinsin∘. Поскольку ∠𝑂𝐴𝐶 = 180 − 𝜃∘ (здесь 𝜃 — геометрический угол) имеем sinsin∠𝑂𝐴𝐶 = 𝜃. В треугольнике 𝑂𝐴𝐶 имеем 𝑂𝐶 = ‖‖⃑𝑟‖‖∠𝑂𝐴𝐶 = ‖‖⃑𝑟‖‖𝜃.sinsin

Этот результат означает, что для определения величины момента мы можем взять любой угол между линия действия ⃑𝐹 и линия ⃖⃗𝑂𝐴; результат будет таким же.

Как сказано выше, величина момента силы указывает силу силы эффект поворота. Мы можем связать уравнение ‖‖𝑀‖‖ = ‖‖⃑𝐹‖‖𝑑⟂ с тем, что мы все испытали в нашей повседневной жизни, а именно: что поворачивающий эффект данной силы будет увеличиваться, если сила приложена дальше от точки поворота объекта. Это принцип работы рычага.

Метод вычисления векторного произведения двух векторов из его компонентов может быть применен к вычислить момент силы.С помощью силы ⃑𝐹 и вектор положения точки приложения силы ⃑𝐹 определен в системе координат 𝑂, ⃑𝑖, ⃑𝑗, ⃑𝑘 так как ⃑𝐹 = 𝐹⃑𝑖 + 𝐹⃑𝑗 + 𝐹⃑𝑘 и ⃑𝑟 = 𝑟⃑𝑖 + 𝑟⃑𝑗 + 𝑟⃑𝑘, момент ⃑𝐹 относительно точки определяется выражением 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹 = ||||| ⃑𝑖⃑𝑗⃑𝑘𝑟𝑟𝑟𝐹𝐹𝐹 ||||| = 𝑟𝐹 − 𝑟𝐹⃑𝑖− (𝑟𝐹 − 𝑟𝐹) ⃑𝑗 + 𝑟𝐹 − 𝑟𝐹⃑𝑘. 

Рассмотрим пример, в котором определяется трехмерный вектор момента.

Пример 1: Определение момента силы относительно точки в трех измерениях

Сила величиной 6 Н действует на и представляется вектором на плоскости перпендикулярно оси 𝑦, как показано на рисунке.Определять его вектор момента около в ньютон-сантиметрах.

Ответ

Чтобы ответить на этот вопрос, сначала определим компоненты вектора 𝐴𝐶, который является вектором из точки около где берется момент и точка приложения силы, и сила ⃑𝐹, действующая на 𝐶.

Из рисунка находим 𝐴 (0,0, −16) и 𝐶 (0,16,8), при этом 1 см — единица измерения длина системы координат.Следовательно, 𝐴𝐶 = (0−0) ⃑𝑖 + (16−0) ⃑𝑗 + (8 — (- 16)) ⃑𝑘𝐴𝐶 = 16⃑𝑗 + 24⃑𝑘.cm

Величина силы ⃑𝐹 равна 6 N. Проведем направление ⃑𝐹 в плоскости, перпендикулярной оси, что находится в плоскости, параллельной 𝑥𝑧-плоскости. Остерегайтесь ориентации оси, когда работает в трех измерениях! Мы представили здесь самолет посмотрев на него слева направо на данной диаграмме, то есть такой, что единичный вектор равен направленный вниз по отношению к нашему экрану.

⃑𝐹 лежит в плоскости, перпендикулярной ось; следовательно, 𝐹 = 0. Из рисунка видно, что 𝐹 = ‖‖⃑𝐹‖‖30 = ‖‖⃑𝐹‖‖2, 𝐹 = −‖‖⃑𝐹‖‖30 = −√3‖‖⃑𝐹‖‖2.∘∘sincos

Так как ‖‖⃑𝐹‖‖ = 6, мы находим, что ⃑𝐹 = 3⃑𝑖 − 3√3⃑𝑘.N

Теперь мы можем вычислить момент ⃑𝐹 о 𝐴 как 𝑀 = 𝐴𝐶 × ⃑𝐹 = ||||| ⃑𝑖⃑𝑗⃑𝑘𝐴𝐶𝐴𝐶𝐴𝐶𝐹𝐹𝐹 ||||| 𝑀 = ||||| ⃑𝑖⃑𝑗⃑𝑘0162430−3√3 ||||| 𝑀 = 16⋅ − 3√3− 0⋅24⃑𝑖 − 0⋅ − 3√3 − 3⋅24⃑𝑗 + (0⋅0−3⋅16) ⃑𝑘, 𝑀 =  − 48√3⃑𝑖 + 72⃑𝑗 − 48⃑𝑘⋅. Ncm

Давайте теперь посмотрим на пример, где несколько сил действуют в точке, создавая момент.

Пример 2: Нахождение вектора результирующего момента двух сил относительно начала координат в трех измерениях

На рисунке, если силы ⃑𝐹 = −7⃑𝑖 − ⃑𝑗 + 3⃑𝑘 и ⃑𝐹 = −7⃑𝑖 + 8⃑𝑗 − 6⃑𝑘 действуют на точку 𝐴, где ⃑𝐹 и ⃑𝐹 измеряются в ньютонах, определить вектор момента равнодействующей относительно точки 𝑂 в ньютон-сантиметрах.

Ответ

Две силы действуют в 𝐴, ⃑𝐹 и ⃑𝐹.Поскольку две силы действуют в одной точке, сумма их моментов равна моменту их равнодействующей. По этой причине, нас просят найти момент их равнодействующей (т. е. их суммы).

Начнем с нахождения равнодействующей ⃑𝐹 ⃑𝐹 и ⃑𝐹: ⃑𝐹 = ⃑𝐹 + ⃑𝐹⃑𝐹 = −7⃑𝑖 − ⃑𝑗 + 3⃑𝑘 − 7⃑𝑖 + 8⃑𝑗 − 6⃑𝑘⃑𝐹 = −14⃑𝑖 + 7⃑𝑗 − 3⃑𝑘.

Мы хотим вычислить момент ⃑𝐹 относительно точки 𝑂, начало координат, поэтому нам нужно найти вектор положения 𝐴, ⃑𝑟.Из рисунка находим что ⃑𝑟 = 9⃑𝑖 + 12⃑𝑗 + 8⃑𝑘.

Момент ⃑𝐹 около точки 𝑂 дан кем-то 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹 = ||||| ⃑𝑖⃑𝑗⃑𝑘𝑟𝑟𝑟𝐹𝐹𝐹 ||||| 𝑀 = |||| ⃑𝑖⃑𝑗⃑𝑘9128−147−3 |||| 𝑀 = (12⋅ (−3) −7⋅8) ⃑𝑖 — (9⋅ (−3) — (- 14) ⋅8) ⃑𝑗 + (9⋅7 — (- 14) ⋅12) ⃑𝑘𝑀 =  − 92⃑𝑖 − 85⃑𝑗 + 231⃑𝑘⋅. Ncm

Теперь рассмотрим пример, в котором определяются неизвестные компоненты вектора силы. с момента около точки из-за силы.

Пример 3: Нахождение неизвестных компонентов силы по ее вектору положения и моменту Компоненты вокруг оси в трех измерениях

Если сила ⃑𝐹 = 𝑚⃑𝑖 + 𝑛⃑𝑗 − ⃑𝑘 действует в точке, вектор положения которой равен ⃑𝑟 = 14⃑𝑖 − ⃑𝑗 + 12⃑𝑘 и 𝑥- и 𝑦-компоненты момента силы ⃑𝐹 относительно исходной точки соответственно 73 и 242 единицы момента, найти значения 𝑚 и 𝑛.

Ответ

Поскольку здесь приведены 𝑥- и 𝑦-компоненты момент силы ⃑𝐹 относительно начала координат, сначала поработаем момент, используя векторы положения и силы. Это даст нам три компонента момента через 𝑚 и 𝑛: 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹 = ||||| ⃑𝑖⃑𝑗⃑𝑘𝑟𝑟𝑟𝐹𝐹𝐹 ||||| 𝑀 = |||| ⃑𝑖⃑𝑗⃑𝑘14−112𝑚𝑛 − 1 |||| 𝑀 = ((- 1) ⋅ (−1) −12𝑛) ⃑𝑖− (14⋅ (−1) −12𝑚) ⃑𝑗 + (14𝑛 + 𝑚) ⃑𝑘𝑀 = (1−12𝑛) ⃑𝑖 + (14 + 12𝑚) ⃑𝑗 + (14𝑛 + 𝑚) ⃑𝑘.

Приравнивание 𝑥- и 𝑦-составляющих 𝑀 со значениями, указанными в вопросе, дает

Решим уравнение (1): −12𝑛 = 72, 𝑛 = 72−12 = −6.

И уравнение (2) дает 12𝑚 = 228, 𝑚 = 22812 = 19.

Ответ: 𝑚 = 19 и 𝑛 = −6.

Давайте теперь посмотрим на другой пример, в котором нас просят определить неизвестные компоненты вектора положения точки, в которой действует сила, используя момент силы.

Пример 4: Нахождение неизвестных координат точки, лежащей на линии действия силы с учетом ее вектора и момента силы относительно точки в трех измерениях

Момент силы ⃑𝐹 относительно начала координат равен 𝑀, где ⃑𝐹 = ⃑𝑖 − 2⃑𝑗 − ⃑𝑘 и 𝑀 = 20⃑𝑖 + 27⃑𝑗 − 34⃑𝑘.Учитывая, что сила проходит через точку, 𝑦-координата которой равна 4, найти -и 𝑧-координаты точки.

Ответ

Момент силы, действующей в точке 𝐴 относительно начала координат, равен задается перекрестным произведением вектора положения, ⃑𝑟, а сила ⃑𝐹: 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹.

В этом вопросе нам не дается точка приложения силы, но нас просят найти 𝑥-координату точки, лежащей на линия действия силы.

Однако мы знаем, что ⃑𝑟 × ⃑𝐹 = ‖‖⃑𝑟‖‖‖‖⃑𝐹‖‖ | 𝜃 | ⃑𝑛, грех где 𝜃 — угол между ⃑𝑟 и ⃑𝐹 и ⃑𝑛 единичный вектор, перпендикулярный плоскости, определяемой и ⃑𝐹 (при условии ⃑𝑟 и ⃑𝐹 неколлинеарны). В качестве ‖‖⃑𝑟‖‖ | 𝜃 | sin равно перпендикулярному расстоянию между линией действия и точкой, о которой момент взят (здесь начало координат),, мы можем написать 𝑀 = ‖‖⃑𝐹‖‖𝑑⃑𝑛.⟂

Мы видим, что если взять ⃑𝑟 как вектор положения любой точки на линии действия ⃑𝐹 даст тот же момент, 𝑀.

Таким образом, теперь мы можем вычислить 𝑀, вычислив ⃑𝑟 × ⃑𝐹, где ⃑𝑟 является вектором положения. точки на линии действия с координатами (𝑥, 4, 𝑧): 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹 = ||||| ⃑𝑖⃑𝑗⃑𝑘𝑟𝑟𝑟𝐹𝐹𝐹 ||||| 𝑀 = |||| ⃑𝑖⃑𝑗⃑𝑘𝑥4𝑧1−2−1 |||| 𝑀 = ((- 1) ⋅4 — (- 2) 𝑧 ) ⃑𝑖 — ((- 1) 𝑥 − 1⋅𝑧) ⃑𝑗 + ((- 2) ⋅𝑥 − 1⋅4) ⃑𝑘𝑀 = (- 4 + 2𝑧) ⃑𝑖 + (𝑥 + 𝑧) ⃑𝑗 + (- 2𝑥 −4) ⃑𝑘.

В вопросе говорится, что 𝑀 = 20⃑𝑖 + 27⃑𝑗 − 34⃑𝑘.

Приравнивание обоих выражений для 𝑀 дает уравнение для каждого компонента: −4 + 2𝑧 = 20, 𝑥 + 𝑧 = 27, −2𝑥 − 4 = −34.

Первое уравнение можно решить следующим образом: 2𝑧 = 24𝑧 = 12.

И третье уравнение дает значение 𝑥: 𝑥 = −34 + 4−2𝑥 = 15.

Теперь мы можем проверить, что эти решения подтверждают второе уравнение, чтобы сделать убедитесь, что наша система уравнений непротиворечива: 𝑥 + 𝑧 = 15 + 12 = 27.

Сила проходит через точку с координатами (15,4,12).

Давайте посмотрим на пример, в котором перпендикулярное расстояние между линией действия силы и точки.

Пример 5: Нахождение вектора момента силы, действующей на заданную точку, и длины Перпендикуляр между начальной точкой и линией действия силы

Найдите момент 𝑀 силы ⃑𝐹 об исходной точке, учитывая, что ⃑𝐹 = −2⃑𝑖 + ⃑𝑗 + ⃑𝑘 и действует в точке 𝐴 вектор положения которого равен ⃑𝑟 = 6⃑𝑖 + 6⃑𝑗 − 3⃑𝑘 относительно исходной точки, затем определить длину 𝐿 перпендикулярный сегмент, проведенный от исходной точки до линии действия силы ⃑𝐹.

Ответ

Нас просят сначала найти момент силы ⃑𝐹 о происхождении. Это дается 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹 = ||||| ⃑𝑖⃑𝑗⃑𝑘𝑟𝑟𝑟𝐹𝐹𝐹 ||||| 𝑀 = |||| ⃑𝑖⃑𝑗⃑𝑘66−3−211 |||| 𝑀 = (6⋅1−1⋅ (−3)) ⃑𝑖 — (6⋅1 — (- 2) ⋅ (−3)) ⃑𝑗 + (6⋅1 — (- 2) ⋅6) ⃑𝑘𝑀 = 9⃑𝑖 + 18⃑𝑘.

Тогда мы попросили определить длину 𝐿 перпендикуляра отрезок, проведенный от исходной точки до линии действия силы ⃑𝐹. 𝐿 это то, что обычно называют to как перпендикулярное расстояние между началом координат и линией действия ⃑𝐹, обозначаемый 𝑑⟂.

Зная, что ‖‖𝑀‖‖ = ‖‖⃑𝑟‖‖‖‖⃑𝐹‖‖ | 𝜃 | = ‖‖⃑𝐹‖‖𝑑, sin⟂ мы видим, что, поскольку 𝐿 = 𝑑⟂, задается формулой 𝐿 = ‖‖𝑀‖‖‖‖⃑𝐹‖‖.

У нас есть ‖‖𝑀‖‖ = 𝑀 + 𝑀 + 𝑀‖‖𝑀‖‖ = √9 + 18‖‖𝑀‖‖ = √9 + 9⋅2‖‖𝑀‖‖ = √9⋅5‖‖ 𝑀‖‖ = 9√5 а также ‖‖⃑𝐹‖‖ = 𝐹 + 𝐹 + 𝐹‖‖⃑𝐹‖‖ = √2 + 1 + 1‖‖⃑𝐹‖‖ = √6.

Следовательно, 𝐿 = ‖‖𝑀‖‖‖‖⃑𝐹‖‖𝐿 = 9√5√6𝐿 = 9√306𝐿 = 3√302.lengthunits

Давайте подведем итог тому, что мы узнали в этом объяснении.

Ключевые моменты

• Момент силы вокруг точки описывает эффект поворота вокруг это точка силы.
• Момент силы ⃑𝐹, действующий на тело, взято вокруг точки, начала системы координат, дан кем-то 𝑀 = ⃑𝑟 × ⃑𝐹 = ||||| ⃑𝑖⃑𝑗⃑𝑘𝑟𝑟𝑟𝐹𝐹𝐹 |||||,  где ⃑𝑟 — вектор положения, точка приложения силы ⃑𝐹.
  Когда момент силы ⃑𝐹 берется относительно точки 𝑃, который не является источником, ⃑𝑟 в приведенное выше уравнение заменяется на.
• Учитывая свойства векторного произведения, величина момента определяется выражением ‖‖𝑀‖‖ = ‖‖⃑𝑟‖‖‖‖⃑𝐹‖‖ | 𝜃 |, грех где 𝜃 — угол между ⃑𝑟 и ⃑𝐹.
• Поскольку перпендикулярное расстояние 𝑑⟂ между линией действия силы ⃑𝐹 и точка, относительно которой измеряется момент, равна равно ‖‖⃑𝑟‖‖ | 𝜃 | sin (или ‖‖𝐴𝑃‖‖ | 𝜃 | грех), у нас есть ‖‖𝑀‖‖ = ‖‖⃑𝐹‖‖𝑑; ⟂ то есть, 𝑑 = ‖‖𝑀‖‖‖‖⃑𝐹‖‖.⟂

Момент силы, Пара

Владелец сайта: Джеймс Миллер