Студопедия — Момент инерции материальной точки относительно оси вращения

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется физическая величина, численно равная произведению массы точки на квадрат расстояния точки до оси вращения (Рисунок 10).

 

I = m ∙;r²

 

Момент инерции — величина скалярная.

Единица измерения момента инерции является 1 кг∙м ²

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс всех точек системы на квадраты их расстояний до оси вращения.

I = m_i∙;r_i²

Для твердого тела, разбитого на элементарные массы ∆ m_i, момент инерции относительно оси равен I = ∆ m_i∙;r_i².

Моменты инерции тел правильной геометрической формы могут быть легко вычислены. Вычисления проводятся методом интегрирования бесконечно малых элементов инерции, выбираемых исходя из геометрической симметрии тел правильной формы. В Таблице 2 приведены результаты расчетов моментов инерции для тел правильной формы относительно оси вращения ОО’, проходящей через их центр масс.

 

Для расчета моментов инерции вращающихся тел вокруг оси, не проходящей через центр масс тела, можно использовать теорему Гюйгенса-Штейнера. Применение этой теоремы позволяет экспериментально определить момент инерции тела произвольной формы по известному периоду колебаний тела правильной формы заданной массы, что весьма полезно на практике.

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета…	Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где…	Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса…	Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар…
	Дренирование желчных протоков Показаниями к дренированию желчных протоков являются декомпрессия на фоне внутрипротоковой гипертензии, интраоперационная холангиография, контроль за динамикой восстановления пассажа желчи в 12-перстную кишку… Деятельность сестер милосердия общин Красного Креста ярко проявилась в период Тритоны – интервалы, в которых содержится три тона. К тритонам относятся увеличенная кварта (ув.4) и уменьшенная квинта (ум.5). Их можно построить на ступенях натурального и гармонического мажора и минора. &nbsp… Понятие о синдроме нарушения бронхиальной проходимости и его клинические проявления Синдром нарушения бронхиальной проходимости (бронхообструктивный синдром) – это патологическое состояние. ..		Сравнительно-исторический метод в языкознании сравнительно-исторический метод в языкознании является одним из основных и представляет собой совокупность приёмов… Концептуальные модели труда учителя В отечественной литературе существует несколько подходов к пониманию профессиональной деятельности учителя, которые, дополняя друг друга, расширяют психологическое представление об эффективности профессионального труда учителя… Конституционно-правовые нормы, их особенности и виды Характеристика отрасли права немыслима без уяснения особенностей составляющих ее норм…

Лекции План лекции Динамика вращения точки и тела вокруг постоянной оси, понятие о моменте инерции материальной точки и тела

---

©stom.tilimen.org 2023
әкімшілігінің қараңыз

План лекции План лекции 1. Динамика вращения точки и тела вокруг постоянной оси, понятие о моменте инерции материальной точки и тела. 2. Изменение момента инерции тела при переносе оси вращения. Теорема Штейнера. 3. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. 4. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. 5. Кинетическая энергия вращающегося тела. При вращательном движении наряду с понятием «масса» вводится понятие «момент инерции» J Момент инерции материальной точки вращающейся вокруг неподвижной оси, равен произведению массы этой точки на квадрат расстояния до оси. Момент инерции материальной точки вращающейся вокруг неподвижной оси, равен произведению массы этой точки на квадрат расстояния до оси. Любое тело можно рассматривать как совокупность материальных точек, не смещающихся друг относительно друга. Тело, не поддающееся деформации, называется абсолютно твердым. Для тел правильной геометрической формы выведены формулы для расчета момента инерции. Рассмотрим случай, когда ось вращения проходит через центр масс этих тел. Стержень где m – масса тела; l – длина стержня 4. Шар Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Он играет такую же роль, что и масса при описании поступательного движения. Но если масса считается величиной постоянной, то момент инерции данного тела зависит от положения оси вращения. Если для какого-либо тела известен его момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести, то легко может быть найден и момент инерции относительно любой оси, параллельной первой. Если для какого-либо тела известен его момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести, то легко может быть найден и момент инерции относительно любой оси, параллельной первой. Теорема Штейнера где Jc – момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести m – масса диска Теорема Штейнера: Момент инерции относительно любой оси вращения равен моменту инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр тяжести, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния от центра тяжести тела до оси вращения. Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси О–О. Разобьем это тело на элементарные участки. Выбираем произвольную материальную точку mi, принадлежащую этому телу. Точка вместе с вращающимся телом описывает окружность. Проведем от точки линию и обозначим ее Ri. Приложим к точке силу Fi Под действием силы Fi, направленной перпендикулярно к оси по касательной к окружности, описываемой материальной точкой, движущаяся точка начнет вращательное движение. По второму закону Ньютона. , Используем формулу, устанавливающую связь между линейной и угловой скоростью Используем формулу, устанавливающую связь между линейной и угловой скоростью где – угловая скорость; у всех точек вращающегося тела она одинакова Подставим значение линейной скорости в формулу ускорения Основное уравнение динамики вращательного движения или второй закон Ньютона для вращательного движения. Момент вращающейся силы приложенной к телу, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение. Выразим угловое ускорение: Величину J формулы (17) обозначим как L Дифференциал равен нулю, когда значение числа под дифференциалом постоянно, а это может быть только в том случае, если момент импульса Дифференциал равен нулю, когда значение числа под дифференциалом постоянно, а это может быть только в том случае, если момент импульса При поступательном движении кинетическая энергия тела определяется по формуле ( для материальной точки) При поступательном движении кинетическая энергия тела определяется по формуле ( для материальной точки) Кинетическая энергия материальной точки mi, вращаясь вокруг оси с линейной скоростью Vi, определяется кинетическая энергия вращающегося тела кинетическая энергия вращающегося тела Если тело одновременно участвует во вращательном и поступательном движениях, то его полная энергия определится по формуле: Каталог: company -> personal -> user -> 7334 -> files -> lib user -> Глоссарий Артезианские скважины user -> Лекция №3. «Болезни зубов кариозной этиологии. Кариес зубов, пульпит зубов, периодонтит; особенности лечения у разных видов животных» user -> Исследование органов ротовой полости у животных. Общие принципы фармакотерапии стоматологических болезней user -> Лекция №2. «Исследование органов ротовой полости у животных. Общие принципы фармакотерапии стоматологических болезней» user -> Экзаменационные вопросы по предмету «Патологическая анатомия и судебная ветеринарная экспертиза» user -> 1. Свободные от бруцеллеза lib -> Элементы геометрической оптики lib -> «Проводники в электрическом поле» жүктеу/скачать 445 b. Достарыңызбен бөлісу:

17.6: Массовые моменты инерции через интегрирование

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

ID Page

55343

• Jacob Moore & Antormors
• Университет штата Пенсильвания Мон -Альто через Mechanics Map

Момент инерции массы представляет сопротивление тела угловым ускорениям вокруг оси, точно так же, как масса представляет сопротивление тела линейным ускорениям. Это представлено в уравнении с вращательной версией второго закона Ньютона.

\[ F = ма \]

\[ М = I \альфа\]

Как и в случае с моментами инерции площадей, момент инерции масс можно рассчитать с помощью интегралов моментов или с помощью метода составных частей и теоремы о параллельных осях. На этой странице будет обсуждаться только метод интеграции, так как метод составных частей обсуждается на отдельной странице.

Момент инерции массы и угловые ускорения

Момент инерции массы представляет собой интеграл моментов, в частности второй полярный интеграл момента масс. Чтобы понять, почему это связано с моментами и угловыми ускорениями, мы начнем с изучения точечной массы на конце безмассовой палки, как показано ниже. Представьте, что мы хотим повернуть палку вокруг левого конца, приложив к ней момент. Мы хотим связать приложенный момент к угловому ускорению палки относительно этой точки.

Рисунок \(\PageIndex{1}\): Точечная масса на конце безмассовой палочки. Мы пытаемся вращать массу вокруг левого конца палки, прикладывая к ней момент.

Чтобы связать момент и угловое ускорение, нам нужно начать с традиционной формы второго закона Ньютона, утверждающего, что сила, действующая на точечную массу палкой, будет равна массе, умноженной на ускорение точечной массы (\ (F = m*a\)). В этом случае момент будет связан с силой в том смысле, что сила, действующая на массу, умноженная на длину палки (\(d\)) равна моменту. Мы также можем связать линейное ускорение массы с его вращательным аналогом в том смысле, что линейное ускорение равно угловому ускорению, умноженному на длину стержня (\(d\)). Если мы возьмем эти две замены и поместим их в исходное уравнение \(F = m*a\), мы можем получить уравнение, которое связывает момент и угловое ускорение для нашего сценария. Упрощенная версия этого нового соотношения гласит, что момент будет равен массе, умноженной на квадрат расстояния, умноженный на угловое ускорение. Этот член массы, умноженный на квадрат расстояния (относящийся к моменту и угловому ускорению), формирует основу для массового момента инерции. 92) * \alpha \]

Рисунок \(\PageIndex{2}\): Для систем с несколькими массами мы просто просуммируем все выражения массы, умноженные на квадрат расстояния, чтобы связать моменты и угловые ускорения.

Делая последний шаг, твердые тела с массой, распределенной по объему, подобны бесконечному количеству малых масс вокруг оси вращения. Вместо безмассовых палочек, удерживающих все на месте, масса просто удерживается на месте материалом вокруг нее. Чтобы связать момент и угловое ускорение в этом случае, мы используем интегрирование, чтобы сложить бесконечное число малых членов массы, умноженных на квадрат расстояния. 92) \]

Вычисление момента инерции масс путем интегрирования

Первым шагом в вычислении момента инерции масс является определение оси вращения, которую вы будете использовать. В отличие от массы, момент инерции массы зависит от точки и оси , вокруг которых мы вращаемся. Мы можем легко продемонстрировать это с помощью чего-то вроде метлы, где в зависимости от положения и направления оси, вокруг которой мы вращаемся, метле может быть более или менее трудно вращаться.

Рисунок \(\PageIndex{4}\): Момент инерции массы будет варьироваться в зависимости от точки и направления оси вращения.

После выбора оси вращения полезно нарисовать фигуру с включенной осью вращения. Это полярный интеграл, поэтому мы будем брать массовый интеграл, исходящий наружу от этой оси вращения.

Кроме того, мы интегрируем по массе, и масса в любой заданной точке будет равна плотности, умноженной на объем. Если исследуемый объект имеет однородную плотность, как это часто бывает, мы можем вынести эту константу плотности за пределы интеграла, оставив только интеграл от объема. Плотность в этих случаях указывается редко, но если вы можете определить общую массу и общий объем, вы также можете это использовать. Если мы поместим все это в исходное уравнение, которое у нас было выше, мы получим следующее. 92) \]

Для полярного интеграла нам нужно определить \(dV\) в терминах радиуса (\(r\)), движущегося наружу от оси вращения. Скорость изменения объема (\(dV\)) будет равна площади цилиндрической поверхности данного радиуса, умноженной на скорость, с которой этот радиус увеличивается (\(dr\)). 2\) и оценим интеграл.

Рисунок \(\PageIndex{5}\): Момент инерции массы для общей формы. Видеолекция по этому разделу, прочитанная доктором Джейкобом Муром. Источник YouTube: https://youtu.be/uarIssOmWUU.

Пример \(\PageIndex{1}\)

Тонкий круглый диск имеет массу 6 кг и радиус 0,3 метра. Определить момент инерции массы диска относительно оси \(z\).

Рисунок \(\PageIndex{6}\): схема проблемы для примера \(\PageIndex{1}\). Тонкий цилиндрический диск лежит вдоль оси \(z\) основанием на плоскости \(xy\) с центром в начале координат.

Решение:

Видео \(\PageIndex{2}\): Рабочее решение примера проблемы \(\PageIndex{1}\), предоставленное доктором Джейкобом Муром. Источник YouTube: https://youtu.be/e1ZDv6xDUV8.

Пример \(\PageIndex{2}\)

Определите массовый момент инерции относительно оси \(z\) для этого общего конуса с радиусом основания \(R\), высотой \(h\) и масса \(m\).

Рисунок \(\PageIndex{7}\): схема проблемы для примера \(\PageIndex{2}\). Конус лежит вдоль положительной оси \(z\) с центром в начале координат в плоскости \(xy\).

Решение:

Видео \(\PageIndex{3}\): Рабочее решение примера проблемы \(\PageIndex{2}\), предоставленное доктором Джейкобом Муром. Источник на YouTube: https://youtu.be/rL7xWl9FfWc.

---

Эта страница под названием 17.6: Массовые моменты инерции через интеграцию распространяется в соответствии с лицензией CC BY-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Джейкобом Муром и участниками (карта механики) через исходный контент, который был отредактирован для стиль и стандарты платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Джейкоб Мур и авторы

   Лицензия

   CC BY-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Показать оглавление

   нет

2. Теги

   1. угловое ускорение
   2. момент инерции массы
   3. источник@http://mechanicsmap. psu.edu

Момент инерции: определение и значение

Момент инерции связан с изучением вращательных движений тела (как правило, твердого). Это часть физики, которая очень полезна для изучения и понимания тем прикладной физики. Момент инерции можно определить как трение или силы, противодействующие вращательному движению тела или предмета и испытываемые им при вращении при вращении вокруг оси. С изучением момента инерции связана сила крутящего момента. Итак, чтобы правильно понять, что такое момент инерции, необходимо изучить все остальные термины.

Момент инерции

Момент инерции связан с двумя основными вещами — инерцией и крутящим моментом. Крутящий момент — это вид силы, которая заставляет объект вращаться вокруг оси, и, по сути, представляет собой вращающую силу, действующую на объект или тело. Инерция — это универсальная тенденция, наблюдаемая почти у каждого объекта во Вселенной, где они проявляют своеобразную особенность, впервые замеченную и систематизированную законами Ньютона.

Угловой момент

При изучении темы момента инерции необходимо помнить о некоторых вещах:

• Ось, участвующая во вращении, может быть или не быть фиксированной и может быть или не быть внешней
• Указывается момент инерции в любой заданной точке относительно оси
• Он представлен как (I).

Определение явления — момент инерции выглядит следующим образом — по существу является результатом умножения квадрата расстояния (рассчитываемого от точки оси) и индивидуальной массы каждой возможной частицы, содержащейся в этом объекте. Момент инерции очень важен для расчета углового момента (характеристика инерции вращения). Значение момента инерции было объяснено в приведенном выше отрывке, и это просто означает силы сопротивления, действующие и воздействующие на вращение тела, которое движется или вращается.

Инерция

Чтобы лучше понять вращательную инерцию (момент инерции), необходимо понять инерцию. Проще говоря, инерция — это тип сопротивления, которое испытывает объект и которое может изменить скорость объекта. Инерция влияет на две вещи – направление и скорость. Инерция тесно связана с гравитацией и ее действием, силой и движением, а также с относительностью. Вращательная инерция — это количество инерции в физике, которое постулирует, что твердое и вращающееся тело будет продолжать вращаться в течение всего своего времени с постоянным вращательным движением, и в угловом моменте не будет зарегистрировано никаких изменений.

Формула момента инерции

Вращательная инерция имеет формулу I = L/w. Здесь I обозначает инерцию вращения, L — полный угловой момент, а w — угловую скорость. При рассмотрении маятника формула меняется на I = mr2. Здесь m — масса маятника, r — расстояние до точки вращения.

Заключение

Благодаря инерции тело будет оставаться в состоянии бездействия или активности до тех пор, пока другая внешняя сила не вызовет никакого разрушения или изменения.