Момент инерции шара, теория и примеры

Это скалярная (в общем случае тензорная) величина. Для непрерывного однородного тела, вращающегося около оси, момент инерции определяют как:

   

где r – функция положения материальной точки в пространстве; – плотность тела; –объем элемента тела.

Момент инерции однородного шара

Однородный по объем шар можно представить как систему сферических слоев (или тонких дисков), обладающих массами ().

По условию шар является однородным, плотность его можно представить как:

   

где – объем всего шара; m – масса всего шара.

В качестве элементарной массы выберем сферический слой радиуса r (указанный на рис.1). Его массу можно представить как:

   

При этом объем рассматриваемого сферического слоя равен:

   

Момент инерции тонкого диска (толщина диска ) равен:

   

Выделенный нами диск находится на расстоянии h от центра шара. Радиус рассматриваемого нами диска связан с расстоянием h выражением:

   

Тогда формулу (4) преобразуем к виду:

   

Просуммируем моменты инерции всех дисков:

   

Получили, что момент инерции однородного шара, относительно его диаметра равен:

   

Момент инерции полого шара (сферы)

Момент инерции сферы удобно находить, используя полярный момент инерции. Это момент инерции тела относительно некоторой точки, назовем ее O. Он равен произведению всех масс точек тела на квадраты расстояний от них до точки О. Если через полюс О провести прямоугольные оси, то полярный момент () равен:

   

Полярный момент инерции равен половине суммы моментов инерции тела относительно трех прямоугольных осей, которые проходят через полюс:

   

В центре тяжести тела полярный момент инерции имеет минимальной значение.

Рассмотрим сферу радиуса R. Для нее удобно сначала найти полярный момент инерции относительно ее центра ():

   

Согласно формуле (10) и зная, что для сферы , имеем:

   

Получаем, что момент инерции сферы (полого шара) равен:

   

Примеры решения задач

Вычисление момента инерции однородного шара

Рассчитаем момент инерции шара радиусаR и плотности ρ относительно оси, проходящей через его центр. Введем декартову прямоугольную систему координат с началом в центре шара (рис. 18). Пусть осью вращения является ось

OZ. Разобьем мысленно шар на малые объемы , сумма которых равна объему шара:, а сумма массравна его массе. Будем считать их материальными точками. Момент инерции системы материальных точек относительно осиOZ равен сумме моментов:

. (25)

Шар однороден, это значит ρ=const, поэтому . Тогда формула (25) запишется в виде:

. (26)

Если элементы объема уменьшать так, что , то пределом суммы (26) будет интеграл

. (27)

Введем сферическую систему координат . Положение произвольной точки

M в ней характеризуется тремя числами: , гдеr— расстояние от M до начала координат, θ – угол между радиусом-вектором точки M и осью вращения OZ, φ – полярный угол. Они будут меняться в пределах:

(28)

Связь между декартовыми координатами любой точки пространства M(x, y, z) и сферическими Mэтой же точки имеет вид:

(29)

Элемент объема в сферических координатах . Квадрат расстояния от произвольной точкиM до оси вращения равен:

. (30)

Формула (27) для момента инерции в сферических координатах примет вид:

. (31)

Вычисление начнем с интеграла

(32)

Вычислим интеграл

. (33)

И, наконец, найдем последний интеграл:

. (34)

Масса шара равна . (35)

Тогда момент инерции шара относительно оси OZ запишется в виде:

. (36)

Аналогично можно рассчитать моменты инерции относительно осей OX и OY.

Ход работы

1. Определите диапазон углов, в пределах которого справедлива формула (10) и период колебаний не зависит от амплитуды. Измерьте период колебаний маятника для 10 различных значений максимального угла отклонения, в пределах от 15⁰до0⁰_,постепенно уменьшая угол отклонения, до тех пор, пока измеряемые периоды колебаний престанут отличаться друг от друга в пределах случайных ошибок эксперимента. Результаты занесите в таблицу 1. Сделайте вывод, в каком диапазоне амплитудных углов колебания можно считать изохронными, то есть не зависящими от амплитуды, с точностью до0,1; 0,5; 1%.

Таблица 1

θ	θ1	θ2	θ3	…	θ10
T(θ)	T(θ1)	T(θ2)	T(θ3)	…	T(θ10)

2. Определите добротность маятника.

3. Рассчитайте, при какой длине нити закрепленный на ней груз можно считать материальной точкой. Для этого измерьте при помощи штангенциркуля радиус шара, найдите массу шара и рассчитайте, в каких пределах длины нити момент инерции однородного шара будет составлять 5% от момента инерции МТ, закрепленной на невесомой нити длиныl. Используйте формулу (13)

4. Исследуйте зависимость периода колебаний Tи квадрата периодаT

   2от длины нитиl. Результаты занесите в таблицу.

Постройте график экспериментальной зависимости .

Обработка результатов

5. Рассчитайте затухание маятника.

6. Оцените влияние затухания на период колебаний.

7. Методом наименьших квадратов найдите тангенс угла наклона зависимости и оцените погрешность метода.

8. По тангенсу угла наклона зависимости рассчитайтеg — ускорение свободного падения.

Контрольные вопросы

1. Что такое амплитуда, частота, фаза колебаний?

2. Как будут зависеть от времени кинетическая и потенциальная энергия математического маятника?

3. Какие функции являются решениями уравнения (9)? Проверить.

4. Как будут связаны между собой смещение, скорость и ускорение при гармоническом колебании?

5. Постройте график зависимости скорости осциллятора от его смещения при гармоническом колебании.

6. Что такое нелинейные колебания?

7. Что такое затухающие колебания? Запишите уравнение затухающих колебаний.

8. Начертите график зависимости затухающих колебаний от времени.

9. Рассчитайте логарифмический декремент затухания маятника.

10. Получите формулы для частоты и периода колебаний при наличии затухания.

11. Получите уравнение (14) для математического маятника, пользуясь законом сохранения энергии.

12. Убедитесь, что функция (18) является решением уравнения (17).

Литература: [1] — §34, [2] — § 39-41, [11] – глава 7.

6.5. Момент инерции сплошного шара

Рис. 6.3

Сплошной однородный шар можно представить как сумму бесконечно тонких сферических слоев с массами dm = mdV/V (рис. 6.3). Объем сферического слоя

dV представим в виде: dV = 4r²dr, где r – радиус сферического слоя. Объем шара V = 4/3R³, где R – радиус шара. Если шар полый, то момент инерции сферического слоя относительно его центра масс (точка С) ^I_c ^{= mR2, но ,} где из-за симметрии I_x = I_y = I_z. ^{Момент инерции сферического слоя относительно диаметра .}

Тогда момент инерции шара

6.5.1. Примеры моментов инерции некоторых тел

4. Тонкое кольцо радиусом R

и шириной d.

однородного состава относительно оси

3. Полый цилиндр с внутренним r и внешним R радиусами

.

2. Тонкое кольцо

радиуса R

1. Сплошной

цилиндр радиуса R

5. Тонкий параллелепипед

6.6. Работа, совершаемая телом

при вращательном движении

Если произвольная м. т. вращается по окружности и на нее действует сила (рис. 6.4), то при повороте на некоторый угол совершается элементарная работа

Рис. 6.4

А = F ds, где ds = r d.

Тогда А = (r F) d = M d. (6.8)

Полученное выражение остается справедливым и случае системы м.т. (твердых тел), совершающих вращательное движение относительно оси Z при  = сonst. В этом случае момент внутренних сил равен нулю и работа не совершается. Для нахождения полной работы необходимо вычислить интеграл:

, (6.9)

где  = ₂  _1.

Если действующая сила является потенциальной, то А =  dWp ,

где dWp  бесконечно малое изменение потенциальной энергии тела при повороте на малый угол dj, т. е.

dWp =  M_zd или M_{z =}  dWp/d .

6.7. Кинетическая энергия тела, совершающего

вращательное движение

Кинетическая энергия м. т. W_k = mv² / 2 . Тогда для системы м. т. или тела . Используя связь линейной скорости с угловой в видеv_i = r_i, получим . (6.10)

Замечание: При плоском движении тел (например, цилиндр скатывается по наклонной плоскости, рис. 6.5) полная скорость

, (6.11)

где С  центр инерции.

Полная кинетическая энергия тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения его центра масс (центра инерции) и кинетической энергии вращательного движения тела относительно точки С, т. е.

. (6.12)

Замечание: При скатывании тела (без проскальзывания) на него действует сила трения покоя (рис. 6.5).

Рис. 6.5

Несмотря на наличие диссипативной силы (сила трения покоя) можно применять законы сохранения, так как сила трения покоя приложена к точкам (А) тела, которые лежат на мгновенной оси вращения. Скорость таких точек равна нулю. Поэтому сила трения сцепления работы не совершает и не влияет на величину полной кинетической энергии.Роль силы трения сцепления заключается в том, чтобы привести тело во вращательное движение для обеспечения чистого качения. При этом работа силы тяжести приводит к увеличению кинетической энергии как поступательного, так и вращательного движений.

Определите момент инерции шара радиуса R, массой m относительно оси, проходящей через

Двом однаковим металевим кулькам надали певні заряди й розмістили на відстані 3 см одна від одної. Виявилося, що на цій відстані кульки притягуються і … з силою 90 мкН. Потім кульками торкнулися одна до одної й розвели на ту саму відстань, Тепер кульки почали відштовхуватися із силою 40 мкН. Які заряди були надані кулькам на початку досліду?​

При падении луча света на стеклянную пластинку (показатель преломления данного сорта стекла равен 1,74) угол между отраженным и преломленным лучами ра … вен 90°. Определите угол падения луча.​ (Пожалуйста, очень срочно…буду благодарна)

Пружина игрушечного пистолета сжата на 5 см. При выстреле вертикально вверх пуля с массой 5 г приобретает скорость 8 м/с. Вычис лите жесткость пружины … . (g=10 м/с²) A) 124 H/M B) 128 H/M C) 132 H/M D) 126 H/M E) 130 Н/м

Пружина игрушечного пистолета сжата на 5 см. При выстреле вертикально вверх пуля с массой 5 г приобретает скорость 8 м/с. Вычис лите жесткость пружины … . (g=10 м/с²) A) 124 H/M B) 128 H/M C) 132 H/M D) 126 H/M E) 130 Н/м

Запитання на фото. З поясненням, будь ласка

помогите срочнооВсё ли ты знаешь об электризации тел?Знаешь ли ты, к примеру, какой заряд получит электроскоп, если к нему поднести горный хрусталь, н … аэлектризованный трением о мех? Не знаешь? Тогда прочитай приведённую ниже информацию!Вещества можно расположить в ряды, в которых предыдущее тело электризуется положительно, а последующее — отрицательно.Рассмотри ряд Фарадея!(+) мех, фланель, слоновая кость, перья, горный хрусталь, флинтглас, бумажная ткань, шёлк, дерево, металл, сера (-)Некоторые из веществ этого ряда были выписаны в таблицу, однако при этом были допущены ошибки. Найди их и отметь.(Будь внимателен! Отметь вещества, которые внесли в таблицу ошибочно!)ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЗАРЯДЫОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЗАРЯДЫгорный хрустальшёлкслоновая костьмехметаллслоновая костьфланельбумажная тканьОтветь на вопрос!Какой заряд получит электроскоп, если к нему поднести флинтглас, наэлектризованный трением о фланель?Положительный.Не получит заряд.Отрицательный.

Человек ростом h=1,70 м (уровень глаз над землей 1,60 м) стоит на расстоянии /от плоского зеркальца и видит в нем отражение Солнца, которое находится … под углом 60° к горизонту (см. рис.). Чему равно расстояние l?​

срочно помогитее Какая из жидкостей лучше проводит электрический ток? Водопроводная вода Графит Вакуум Дистиллированная вода Ртуть Каучук Бумага Медна … я проволока

Человек ростом h=1,70 м (уровень глаз над землей 1,60 м) стоит на расстоянии /от плоского зеркальца и видит в нем отражение Солнца, которое находится … под углом 60° к горизонту (см. рис.). Чему равно расстояние l?​ Плиииз срочно!

У воді (ρв=1000 кг/м3) плаває занурена наполовину сталева (ρст=7800 кг/м3) порожниста куля масою m = 8 кг. Визначити об’єм порожнини V0.

Определение момента инерции однородного шара динамическим методом Текст научной статьи по специальности «Физика»

3. Махмудов Б.М., Сокуров В.Ф. и др. Исследование функции пространственного распределения черенковского излучения ШАЛ на установке СамГУ. М.: Изв. АН СССР, Сер. физ., 1982. Т. 9.

4. Глушков А.В., Сокуров В.Ф. и др. Флуктуации продольного развития ШАЛ и состав первичного излучения с Ео > 1017 эВ. М.: Изв. АН СССР, Сер. физ., 1985. Т. 49. № 7.

5. Сокуров В.Ф. Физика космических лучей: космическая радиация. Ростов-н/Д.: Феникс, 2005.

6. Сокуров В.Ф. Проблемы физики сверхвысоких энергий. Рук. деп. в ВИНИТИ 6.05.93. № 1439-B93. 1993.

6. Сокуров В.Ф. Поток электромагнитных вспышек в приземном слое. Рук. деп. в ВИНИТИ 01.02.02. № 209-В2002.

8. Glushkov A.V., SokurovV.F. et al. The Cerenkov Radiation Densities. Proc. 16-th ICRC, Kyoto, 1979. vol. 8, p.156-160.

9. Efimov N.N., Sokurov V.F. Measurement of Spectrum of the EAS Cerenkov Radiation Densities. Proc.16-th ICRC, Kyoto, 1979. vol. 8, p.152-155.

10. Diminshtein O.S., Egorov T.A., Sokurov V.F. et al. Electrons and Muons in EAS with Given Primary Energy. Proc. 14-th ICRC, Munchen, 1975. vol. 12, p. 4318-4323.

11. Efimov N.N., Sokurov V.F. Density Spektrum of the EAS Cerenkov Radiation and Primary Energy Spektrum. Proc. 18-th ICCR, Bongolor, India, 1983. v. 2.

12. Glushkov A.V., Grigoriev V.M., Sokurov V.F. et al. Lateral Distribution and Total Flux of EAS Cerenkov Radiation with E ICCR, Paris, 1981. v. 12.

13. Христиансен Г.Б., Сокуров В.Ф.и др. Исследование структурной функции пространственного распределения черенковского излучения ШАЛ: Доклад на Всесоюзной конференции по космическим лучам. Самарканд, 1982.

14. Сокуров В.Ф. Исследование первичного энергетического спектра космических лучей в интервале 1015-1017 эВ и прозрачнасти атмосферы по спектру плотностей черенковского излучения ШАЛ // Диссертация на соиск. степ. канд. физ.-мат. наук. М., 1983. 141 c.

15. Сокуров В.Ф. Результаты исследования спектра плотностей черенковского излучения ШАЛ / Космические лучи с энергией выше 1017 эВ. Якутск: ЯФ СО АН СССР, 1983. C. 61-76.

16. Глушков А.В., Сокуров В.Ф. и др. Энергетический спектр космических лучей экстремальных энергий / Характеристики широких атмосферных ливней космических лучей сверхвысоких энергий. Якутск: Изд. ЯФ СО АН СССР, 1976. C. 45-86.

17. Сокуров В.Ф. Радиоизлучение ШАЛ экстремально высоких энергий в ОНЧ диапазоне / Широкие атмосферные ливни с энергией выше 1017 эВ. Якутск: Изд. ЯФ СО АН СССР, 1987. C. 45-86.

18. Сокуров В.Ф. Механизмы радиоизлучения ШАЛ в ОНЧ диапазоне. М., 1991. — Деп. в ВИНИТИ. № 4770-В91.

19. Сокуров В.Ф. Связь космических лучей сверхвысоких энергий с ОНЧ радиоизлучением. М., 1991. — Деп. в ВИНИТИ. № 4767-В91.

К.Ю. Сушкин

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ОДНОРОДНОГО ШАРА ДИНАМИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Если к телу, которое может вращаться около неподвижной оси, приложен вращающий момент относительно данной оси, то под его действием тело получает упругое угловое ускорение, то есть начинает вращаться. При этом вращающий момент М и угловое ускорение ¡5, связаны соотношением:

„ М

Р = — > (1)

где I момент инерции тела относительно оси вращения, характеризует инертность тела во вращательном движении.

Момент инерции тела относительно данной оси вращения рассчитывается по формуле:

n

mri2

i=1

Вестник ТГПИ

Естественные науки

где mi — масса ьтой материальной точки тела, Г — расстояние ьтой материальной точки до оси вращения.

Если к телу приложен вращающий момент М , величина которого в процессе вращения остается постоянной, то вращение тела будет равноускоренным. Наблюдая равноускоренное вращения тела, под действием постоянного момента, и измеряя соответствующим образом угловое ускорение Р, можно определить момент инерции тела относительно оси вращения:

г М

1 = — (2)

Ниже предлагается описание установки и динамического метода определения инерции однородного шара. Однородный шар 1 (смотрите рисунок) жестко укреплён на валу 2. Вал может вращаться в подшипниках 3 с малым трением около горизонтальной оси. Ось вращения проходит через центр тяжести шара, через один из его диаметров. На валу шара также жестко закреплен плексигласовый шкив 4. В шкиве имеется маленькое отверстие для продевания капроновой нити 5; нить наматывается в несколько оборотов на шкив. На свободный конец нити подвешивается груз Р, приводящий всю систему в равноускоренное движение. Также крепится сантиметровая линейка.

Под действием груза Р на маховик будет действовать вращающий момент М , равный

77 а

произведению силы натяжения нити р на плечо = —, то есть:

(3)

Где d — диаметр шкива 4.

Если груз действует на нить с силой Р , то нить действует с силой Р и в соответствии с третьим законом Ньютона эти силы равны по величине и противоположны по направлению, то есть:

Р = Р

(4)

Для определения силы Р рассмотрим движение груза вниз. На груз действуют две силы: со стороны Земли — mg (вес груза Р), и со стороны нити Р. Под действием этих сил груз будет двигаться равноускоренно с ускорением а. Согласно второму закону Ньютона имеем:

т§ + Р — та (5)

где т — масса груза. Отсюда, в проекции на вертикальную координатную ось, получим:

Р = mg — та, (6)

где g — ускорение силы тяжести.

Вращающий момент М с учётом (4) и (6) определяется выражением

М = (7)

Тогда момент инерции однородного шара на основании (2), равен:

т М (Л л / = — =—т■ %-а

Р 2-0

(8)

где Р — угловое ускорение однородного шара и шкива. Угловое ускорение шкива /? и тангенциальное ускорение ат точек, лежащих на его ободе, связаны следующим образом:

2-аг

Р = —

d

(9)

Понятно, что тангенциальное ускорение С1Т с которым вращаются точки лежащие на ободе шкива (нить, накручена на шкив) и линейное ускорение а с которым опускается груз равны

Величину линейного ускорения а можно выразить из закона пути для равноускоренного

движения:

2-И.

а = —

(10)

где Н — высота с которой опускается груз.

С учётом (10) и (9) окончательно получим расчётную формулу для момента инерции одно родного шара:

т ■ (Лг

* 2 Та»

(11)

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ • Большая российская энциклопедия

• В книжной версии

  Том 20. Москва, 2012, стр. 707

• Скопировать библиографическую ссылку:

  ---

Авторы: В.2$.

Цен­тро­беж­ны­ми М. и. в сис­те­ме ко­ор­ди­нат $Oxyz$ на­зы­ва­ют­ся ве­ли­чи­ны $$J_{xy}=\sum_iM_ix_iy_i, \quad J_{yz}=\sum_iM_iy_iz_i, \quad J_{zx}=\sum_iM_iz_ix_i,$$ слу­жа­щие ха­рак­те­ри­сти­ка­ми ди­на­мич. не­урав­но­ве­шен­но­сти вра­щаю­ще­го­ся те­ла. Напр., при вра­ще­нии во­круг оси $z$ си­лы дав­ле­ния на под­шип­ни­ки, в ко­то­рых за­кре­п­ле­на эта ось, про­пор­цио­наль­ны зна­че­ни­ям $J_{yz}$ и $J_{zx}$.

Ес­ли ко­ор­ди­нат­ные оси сис­те­мы $Oxyz$ свя­за­ны с са­мим те­лом, то ве­ли­чи­ны $J_x, J_y, J_z, J_{xy}, J_{yz}, J_{zx}$ по­сто­ян­ны. Они об­ра­зу­ют т. н. тен­зор инер­ции те­ла в точ­ке $O$. Для ка­ж­дой точ­ки те­ла, вы­бран­ной за на­ча­ло от­счё­та сис­те­мы $Oxyz$, мож­но ука­зать вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ные оси $x,y,z$, для ко­то­рых $J_{xy}=J_{yz}=J_{zx}= 0$. Та­кие оси на­зы­ва­ют глав­ны­ми ося­ми инер­ции.

В ди­на­ми­ке твёр­до­го те­ла су­ще­ст­ву­ет спец. раз­дел, на­зы­вае­мый гео­мет­ри­ей масс, в ко­то­ром рас­смат­ри­ва­ют­ся М.2$. М. и. тел слож­ной кон­фи­гу­ра­ции оп­ре­де­ля­ют­ся, как пра­ви­ло, экс­пе­ри­мен­таль­но.

По­ня­тие М. и. ши­ро­ко ис­поль­зу­ет­ся при ре­ше­нии мн. за­дач ме­ха­ни­ки и тех­ни­ки (см. Вра­щаю­щий мо­мент, Ки­не­ти­че­ский мо­мент, Ди­на­ми­ка, Ки­не­ти­че­ская энер­гия).

Таблица моментов инерции некоторых фигур

Таблица моментов инерции некоторых фигур.

– кольца относительно оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости.	– однородного шара относительно оси, проходящей через центр шара.
– диска относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости.	– стержня относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему.

7-1. Перпендикулярно плоскости однородного диска массы m и радиуса R проходят две параллельные оси. Одна проходит через центр масс диска С, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х от точки А на краю диска. Точки О, С и А лежат на диаметре диска. Во сколько раз больше момент инерции диска , чем ?

m = 1 кг, R = 1 м, х = 0,4 м. Ответ: 1,72 раз

7-2. Перпендикулярно однородному тонкому стержню массы m и длиной l проходят две параллельные оси. Одна проходит через центр масс стержня С, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х от его конца А. Во сколько раз больше момент инерции стержня , чем ? m = 1 кг, l = 1 м, х = 0,4 м

Ответ: 1,12 раз

7-3. Через однородный шар массы m и радиуса R проходят две параллельные оси. Одна проходит через центр масс шара С, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х от края шара A. Точки А, О и С лежат на диаметре шара. Во сколько раз больше момент инерции шара , чем ?

m = 1 кг, R = 1 м, х = 0,4 м.

Ответ: 1,9 раз

7-4. Два одинаковых диска массой m и радиусом R каждый положили на плоскость и приварили друг к другу. Найти момент инерции получившейся детали относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости дисков через точку О (см. рис.). R = 1 м, m = 1 кг.

Ответ: 11 кгм²

7-5. Два одинаковых диска массой m и радиусом R каждый положили на плоскость и приварили друг к другу. Найти момент инерции получившейся детали относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости дисков через центр масс одного из дисков О. R = 1 м, m = 1 кг.

Ответ: 5 кгм²

7-6. Два одинаковых шара массой m и радиусом R каждый приварили друг к другу. Касательная к шару ось О проходит перпендикулярно линии, проходящей через центры шаров. Найти момент инерции получившейся детали относительно оси О. R = 1 м, m = 1 кг.

Ответ: 10,8 кгм²

7-7. Два одинаковых шара массой m и радиусом R каждый приварили друг к другу. Ось О проходит по диаметру шара перпендикулярно линии, соединяющей центры шаров. Найти момент инерции получившейся детали относительно оси О.

R = 1 м, m = 1 кг.

Ответ: 4,8 кгм²

7-8. Два одинаковых однородных тонких стержня массой m и длиной l каждый приварили концами перпендикулярно друг к другу. Через конец одного из стержней проходит ось О, перпендикулярная плоскости стержней. Найти момент инерции получившейся детали относительно оси О. l = 1 м, m = 1 кг.

Ответ: 1,677 кгм²

7-9. Два одинаковых однородных тонких стержня массой m и длиной l каждый приварили концами перпендикулярно друг к другу. Через центр одного из стержней проходит ось О, перпендикулярная плоскости стержней. Найти момент инерции получившейся детали относительно оси О. l = 1 м, m = 1 кг.

Ответ: 0,667 кгм²

7-10. Перпендикулярно плоскости однородного диска массы m= 1 кг и радиуса R = 1 м проходят две параллельные оси. Одна проходит через центр масс диска С, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х = 0,4 м от точки А на краю диска. Точки О, С и А лежат на диаметре диска. На сколько отличаются моменты инерции диска относительно этих осей?

Ответы: а) 0,36 кгм²

7-11. Перпендикулярно плоскости однородного диска массы m и радиуса R проходят две параллельные оси. Одна проходит через точку A на краю диска, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х от точки А. Точки О и А лежат на диаметре диска. m = 1 кг, R = 1 м, х = 0,4 м.

а) Во сколько раз отличаются моменты инерции диска и ?

б) На сколько отличаются моменты инерции диска относительно этих осей?

Ответы: а) 1,74 раз; б) 0,64 кгм²

7-12. Перпендикулярно однородному тонкому стержню массы m = 1 кг и длиной l = 1 м проходят две параллельные оси. Одна проходит через центр масс стержня С, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х = 0,4 м от его конца А. На сколько отличаются моменты инерции стержня относительно этих осей?

Ответ: 0,01 кгм²

7-13. Перпендикулярно однородному тонкому стержню массы m = 1 кг и длиной l = 1 м проходят две параллельные оси. Одна проходит через конец стержня А, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х = 0,4 м от точки А.

а) Во сколько раз отличаются моменты инерции стержня и ?

б) На сколько отличаются моменты инерции стержня относительно этих осей?

Ответы: а) 3,57 раз; б) 0,24 кгм²

7-14. Через однородный шар массы m и радиуса R проходят две параллельные оси. Одна касается шара в точке А, а другая проходит через точку О, лежащую на расстоянии х от точки A. Точки А и О лежат на одном диаметре шара.

m = 1 кг, R = 1 м, х = 0,4 м.

а) Во сколько раз отличаются моменты инерции шара и ?

б) На сколько отличаются моменты инерции шара относительно этих осей?

Ответы: а) 1,84 кгм²; б) 0,64 кгм²

7-15. Через однородный шар массы m и радиуса R проходят две параллельные оси. Одна проходит через центр масс шара С, а другая через точку О, лежащую на расстоянии х от края шара A. Точки А, О и С лежат на диаметре шара. На сколько отличаются моменты инерции шара относительно этих осей? m = 1 кг, R = 1 м, х = 0,4 м.

Ответ: 0,36 кгм²

7-16. На одну плоскость положили тонкий однородный стержень массы m и длины l = 2R и диск радиуса R и такой же массы m. Центр стержня О приварили к диску. Перпендикулярно плоскости получившейся детали проходит ось

а) через точку О б) через центр диска С

Найти момент инерции детали относительно этих осей.

m = 1 кг, R = 1 м. Ответы: а) 1,83 кгм²; б) 1,83 кгм²

7-17. Деталь в виде равностороннего треугольника сварили из трех одинаковых однородных тонких стержней массы m и длины l каждый. Ось О проходит перпендикулярно плоскости детали через вершину треугольника. Найти момент инерции детали относительно этой оси. m = 1 кг, l = 1 м.

Ответ: 1,5 кгм²

7-18. Деталь в виде равностороннего треугольника сварили из трех одинаковых однородных тонких стержней массы m и длины l каждый. Ось C проходит перпендикулярно плоскости детали через центр масс треугольника. Найти момент инерции детали относительно этой оси. m = 1 кг, l = 1 м.

Ответ: 0,5 кгм²

7-19. Деталь в виде квадрата сварили из четырех одинаковых однородных тонких стержней массы m и длины l каждый. Ось C проходит перпендикулярно плоскости детали через центр масс квадрата. Найти момент инерции детали относительно этой оси. m = 1 кг, l = 1 м.

Ответ: 1,33 кгм²

7-20. Тонкий стержень постоянного сечения длиной l = 1 м лежит на оси х и его левый конец совпадает с началом координат О. Линейная плотность вещества, из которого сделан стержень, зависит от координаты х по закону ( кг/м)

а) ; б) . ; в) ; г) ; д)

А) Рассчитать момент инерции стержня относительно оси у.

Б) Найти координату центра масс стержня.

Ответы:

А) а) 0,25 кгм²; б) 0,2 кгм²; в) 0,167 кгм²; г) 0,143 кгм²; д) 0,125 кгм²

Б) а) 0,667 м; б) 0,75 м; в) 0,80 м; г) 0,833 м; д) 0,857 м

7-21. Тонкий стержень постоянного сечения длиной l расположен параллельно оси у. Нижний конец стержня лежит на оси х на расстоянии l от начала координат. Линейная плотность вещества, из которого сделан стержень, зависит от координаты у по закону

а) ; б) ; в) ; г) ; д) . Рассчитать момент инерции стержня относительно оси у. кг/м, l = 1 м.

Ответы: а) 0,5 кгм²; б) 0,333 кгм²; в) 0,25 кгм²; г) 0,2 кгм²; д) 0,167 кгм²

7-22э. Из жести вырезали три одинаковые детали в виде эллипса. Две детали разрезали: одну — пополам вдоль оси симметрии, а вторую — на четыре одинаковые части. Затем все части отодвинули друг от друга на одинаковое расстояние и расставили симметрично относительно оси OO’ (см. рис.). Выберите правильное соотношение между моментами инерции этих деталей относительно оси OO’.

а) б) в) г)

8. Кинетическая энергия. Мощность. Работа.

Кинетическая энергия катящегося тела , где – скорость центра масс тела, – момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс, – угловая скорость вращения.

Мощность , где – скорость перемещения точки приложения силы.

Работа силы ,где – перемещение,  – угол между вектором силы и вектором перемещения, .

Работа момента силы .

8-1. Шарик массы m и радиуса R катится по горизонтальной поверхности со скоростью без проскальзывания. Найдите кинетическую энергию этого шарика. m = 1 кг, R = 1 м, м/с.

Ответ: 0,7 Дж

8-2. Диск массы m и радиуса R катится по горизонтальной поверхности со скоростью без проскальзывания. Найдите кинетическую энергию этого диска. m = 1 кг, R = 1 м, м/с.

Ответ: 0,75 Дж

8-3. Катушка без ниток имеющая массу m, внешний радиус R и момент инерции I, катится по горизонтальной поверхности со скоростью без проскальзывания. Найдите кинетическую энергию этой катушки. m = 1 кг, R = 1 м, I = 1 , м/с.

Ответ: 1 Дж

8-4. Небольшое тело начало движение из начала координат вдоль горизонтальной оси х под действием силы, направленной под углом  = 30 к оси х. Модуль силы меняется в зависимости от координаты х по закону

а) ; б) ; в) ; г) ; д) . Найти работу этой силы на участке пути от . А = 1 Н, b = 1 м.

Ответы: а) 0,433 Дж; б) 0,289 Дж; в) 0,217 Дж; г) 0,173 Дж; д) 0,144 Дж

8-5. Небольшое тело начало движение из начала координат вдоль горизонтальной оси х под действием силы, направленной под углом  к оси х. Модуль силы F не меняется, но угол  зависит от координаты х по закону . Найти работу этой силы на участке пути от , если b = 1 м, F = 1 Н, а) А = 1 Н; б) А = Н; в) А = Н; г) А = Н; д) А = Н,

Ответы: а) 0 Дж; б) 0,637 Дж; в) 0,827 Дж; г) 0,955 Дж; д) 0,9 Дж

8-6. Найти работу, произведенную машиной за промежуток времени с, если мощность машины зависит от времени по закону

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

с, А = 1 Вт.

Ответы: а) 0,5 Дж; б) 0,333 Дж; в) 0,25 Дж; г) 0,2 Дж; д) 0,167 Дж

8-7. Массивный диск может вращаться вокруг закрепленной оси без трения. Найдите работу момента силы при повороте диска на угол , если момент сил, действующий на диск, зависит от угла поворота по закону

а) ; б) ; в) ; г) ;

А = 1 , рад.

Ответы: а) 0,5 Дж; б) 0,333 Дж; в) 0,25 Дж; г) 0,2 Дж

8-8. Тело движется вдоль горизонтальной оси х под действием силы , направленной под углом  к оси х. В некоторый момент тело достигает скорости . Найдите мощность силы в этот момент времени. F = 1 Н, м/с,  = 30. Ответ: 0,866 Вт

8-9. Тонкий однородный стержень массы m и длины l может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец стержня. Стержень привели в горизонтальное положение и толкнули так, что незакрепленный конец стержня приобрел скорость . Найдите кинетическую энергию стержня в первый момент времени. m =1 кг, l = 1 м, м/с. Ответ: 0,167 Дж

8-10. Шарик массы m и радиуса R катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности, вращаясь с угловой скоростью . Найдите кинетическую энергию этого шарика. m = 1 кг, R = 1 м,  = 1 рад/с.

Ответ: 0,7 Дж

8-11. Диск массы m и радиуса R катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности, вращаясь с угловой скоростью . Найдите кинетическую энергию этого диска. m = 1 кг, R = 1 м,  = 1 рад/с. Ответ: 0,75 Дж

8-12. Тело движется вдоль горизонтальной оси х под действием силы , направленной под углом  к оси х. В некоторый момент тело достигает скорости , а мощность силы равна N. Найдите а) косинус угола ; б) синус угола .

F = 1 Н, м/с, N = 0,5 Вт. Ответы: а) 0,5; б) 0,866

8-13э. В начальный момент времени t = 0 тонкий обруч с массой m = 0,1 кг и с радиусом R = 0,5 м не вращался, а поступательно скользил по горизонтальной поверхности с кинетической энергией 800 Дж. Под действием силы трения он начал катиться без проскальзывания с кинетической энергией поступательного движения 200 Дж. Сила трения совершила работу:

а) 300 Дж б) 600 Дж в) 500 Дж г) 400 Дж

8-14э. Два маленьких массивных шарика закреплены на невесомом длинном стержне на расстоянии r₁ друг от друга. Стержень может вращаться без трения в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей посередине между шариками. Стержень раскрутили из состояния покоя до угловой скорости , при этом была совершена работа А₁. Шарики раздвинули симметрично на расстояние r₂ = 2r₁ и раскрутили до той же угловой скорости. Какая работа при этом была совершена?

1) А₂ = А₁ 2) А₂ = 2А₁ 3) А₂ = А₁ 4) А₂ = 4А₁

9. Закон сохранения импульса и момента импульса.

При взаимодействии частиц системы между собой полный вектор импульса системы остается постоянным в случаях, когда

а) , б) и время взаимодействия очень мало. В этих случаях , где – векторная сумма импульсов частиц, которые существовали до взаимодействия, – векторная сумма импульсов всех частиц, которые будут существовать после взаимодействия. Если , то сохраняется только проекция полного импульса системы на ось x, .

При взаимодействии частиц системы между собой полный вектор момента импульса системы остается постоянным в случаях, когда

а) , б) и время взаимодействия очень мало. В этих случаях где – векторная сумма моментов импульсов частиц, которые существовали до взаимодействия, – векторная сумма моментов импульсов всех частиц, которые будут существовать после взаимодействия. Если , то сохраняется только проекция момента импульса системы на ось z (часто относительно закрепленной оси вращения).

Момент импульса частицы , где – радиус-вектор частицы, – импульс частицы. , где  – угол между и . Для твердого тела, вращающегося вокруг закрепленной оси z , где – момент инерции тела относительно оси z, – угловая скорость.

9-1. Маленький пластилиновый шарик массы m₁ движется горизонтально со скоростью . Под углом  к направлению его движения летит второй шарик массы m₂ со скоростью и сталкивается с первым. Шарики слипаются и движутся под углом  к первоначальному направлению движения

А) первого шарика; Б) второго шарика.

Найдите . 1 кг, 2 кг, 1 м/с, 2 м/с,

а)  = 30; б)  = 45; в)  = 60; г) 90.

А) Ответы: а) 0,448; б) 0,739; в) 1,155; г) 4

Б) Ответы: а) 0,103; б) 0,15; в) 0,192; г) 0,25

9-2. Маленький пластилиновый шарик массы m₁ движется горизонтально со скоростью . Под углом  к направлению его движения летит второй шарик массы m₂ со скоростью и сталкивается с первым. Шарики слипаются и движутся под со скоростью . Найдите после удара

А) модуль скорости ; Б) модуль импульса шариков.

1 кг, 2 кг, 1 м/с, 2 м/с, а)  = 30, б)  = 45, в)  = 60.

А) Ответы: а) 1,63 м/с; б) 1,59 м/с; в) 1,53 м/с

Б) Ответы: а) 4,89 кгм/с; б) 4,76 кгм/с; в) 4,58 кгм/с

9-3. Маленький пластилиновый шарик массы m₁ движется горизонтально со скоростью . Перпендикулярно к направлению его движения летит второй шарик массы m₂ со скоростью и сталкивается с первым. Шарики слипаются и далее движутся вместе. Найдите после удара

а) модуль импульса шариков; б) модуль скорости шариков.

1 кг, 2 кг, 1 м/с, 2 м/с.

Ответ: а) 4,123 кгм/с; б) 1,374 м/с

9-4. Маленький пластилиновый шарик массы m₁ движется горизонтально со скоростью . Перпендикулярно к направлению его движения летит второй шарик массы m₂ со скоростью и сталкивается с первым. Шарики слипаются и далее движутся вместе под углом  к первоначальному направлению движения А) первого шарика; Б) второго шарика. Найдите и .

1 кг, 2 кг, 1 м/с, 2 м/с.

А) Ответы: = 0,243; = 0,97

Б) Ответы: = 0,97; = 0,243

9-5. На горизонтальной плоскости лежит тонкий однородный стержень массы m =1 кг и длины l, который может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через А) центр масс стержня С; Б) конец стержня О. Под углом  =30 к стержню в той же плоскости движется маленький пластилиновый шарик такой же массы m со скоростью = 1 м/с. Шарик прилипает к концу стержня, и система приобретает угловую скорость вращения . Найти

а) угловую скорость вращения системы после удара, если l = 1 м;

б) длину стержня, если ,  = 1 рад/с

А) Б)

Ответы: Аа) 0,75 рад/с; Ба) : 0,375 рад/с; Аб) 0,75 м; Бб) 0,375 м

9-6. Тонкий однородный диск массы m = 1 кг и радиуса R может вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей

А) через его край О; Б) через его центр С. Под углом  =30 а) к вертикали;

б) к горизонтали в плоскости вращения диска движется маленький пластилиновый шарик такой же массы m со скоростью = 1 м/с. Шарик прилипает к нижней точке неподвижно висящего диска, и система приобретает угловую скорость вращения w.. Найти

1) угловую скорость вращения системы после удара, если R = 1 м;

2) Найти радиус диска, если  = 1 рад/с,

Аа) Ба) Аб)Бб)

Ответы: 1) Аа) 0,182 рад/с; Ба) 0,333 рад/с; Аб) 0,315 рад/с; Бб) 0,577 рад/с.

Ответы: 2) Аа) 0,182 м; Ба) 0,333 м; Аб) 0,315 м; Бб) 0,577 м.

9-7. Тонкий однородный стержень массы m = 1 кг и длины l может вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. С разных сторон на стержень горизонтально в той же плоскости налетают два одинаковых пластилиновых шарика той же массы m с одинаковыми скоростями = 1 м/с. Первый шарик застревает в центре стержня, второй – в нижнем конце, и система приобретает угловую скорость . Найти

а) угловую скорость вращения системы после удара, если l = 1 м;

б) Найти длину стержня, если  = 1 рад/с.

Ответы: а) 0,316 рад/с; б) 0,316 м

9-8. Тонкий однородный стержень массы m =1 кг и длины l может вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец O. Горизонтально в той же плоскости на стержень налетает пластилиновый шарик той же массы m со скоростью = 1 м/с. Шарик застревает в точке А стержня на расстоянии х= от точки О, и система приобретает угловую скорость . Найти

а) угловую скорость вращения системы после удара, если l = 1 м;

б) Найти длину стержня, если  = 1 рад/с.

Ответы: а) 0,837 рад/с; б) 0,837 м.

9-9э. Планета массой движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится звезда массы . радиус-вектор планеты (см.рисунок). Выберите правильное утверждение:

а) момент импульса планеты относительно центра звезды меняется и максимален при наибольшем ее удалении от звезды

б) момент силы тяготения, действующей на планету (относительно центра звезды), изменяется, но направлен перпендикулярно плоскости орбиты

в) величина момента импульса планеты относительно центра звезды в любой момент времени определяется выражением

г) момент импульса планеты относительно центра звезды не изменяется

9-10э. Два невесомых стержня длины b соединены под углом ₁ = 60 и вращаются без трения в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси О с угловой скоростью . На конце одного из стержней прикреплен очень маленький массивный шарик. В некоторый момент угол между стержнями самопроизвольно увеличился до ₂ = 120. С какой угловой скоростью стала вращаться такая система?

1) 3 2) 3) 4) 5) 

10. Закон сохранения полной механической энергии.

Полная механическая энергия складывается из двух составляющих:

, где – кинетическая энергия, – потенциальная энергия.

Если работа всех неконсервативных сил (и внешних, и внутренних) в системе частиц в интервале времени от до равна нулю, то полная механическая энергия системы сохраняется в этом интервале времени, т.е.

.

В случае только поступательного движения , где – масса системы, – скорость центра масс. В случае только вращательного движения , где – угловая скорость, – момент инерции тела относительно оси вращения. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия , где – ускорение свободного падения однородного гравитационого поля, – масса системы частиц, – высота центра масс системы над уровнем, потенциал поля на котором принимается за ноль (выбирается произвольным образом).

Если в некотором интервале времени над системой частиц была совершена работа со стороны неконсервативных сил то полная энергия системы изменяется, причем

.

В задачах в роли неконсервативных сил обычно выступают силы трения скольжения, сопротивления воздуха, тяги. Сила трения покоя работу не совершает.

10-1. Тонкий однородный диск массы m и радиуса R скатывается без проскальзывания с горки высоты h, совершая плоское движение. Начальная скорость центра масс диска равна . Сопротивление воздуха пренебрежимо мало, m = 1 кг, R = 1 м, = 1 м/с,

h = 1 м, g = 10 м/с². После того, как он скатится с горки, найдите

а) скорость центра масс диска

б) кинетическую энергию диска

в) Во сколько раз увеличилась кинетическая энергия диска

г) На сколько увеличится кинетическая энергия диска

д) Найдите угловую скорость вращения диска

Ответы: а) 3,79 м/с; б) 10,75 Дж; в) 14,33 раз; г) 10 Дж; д) 3,79 рад/с

10-2. Однородный шар массы m и радиуса R скатывается без проскальзывания с горки высоты h. Начальная скорость центра масс шара равна . Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. m = 1 кг, R = 1 м, = 1 м/с,

h = 1 м, g = 10 м/с². После того, как он скатится с горки, найдите

а) скорость центра масс шара

б) кинетическую энергию шара

в) Во сколько раз увеличилась кинетическая энергия шара

г) На сколько увеличится кинетическая энергия шара

д) Найдите угловую скорость вращения шара

Ответы: а) 3,91 м/с; б) 10,7 Дж; в) 15,29 раз; г) 10 Дж; д) 3,91 рад/с

10-3. Резиновая шайба массы m = 1 кг, двигаясь со скоростью = 1 м/с, соскальзывает с горки высоты

h = 1 м и приобретает скорость у подножия горки. Во время движения над шайбой была совершена работа сил трения А_тр. (g = 10 м/с²). Найдите

а) скорость шайбы , если А_тр = 1 Дж

б) кинетическую энергию шайбы у подножия горки, если А_тр = 1 Дж

в) во сколько раз изменилась кинетическая энергия шайбы, если А_тр = 1 Дж

г) на сколько изменилась кинетическая энергия шайбы, если А_тр = 1 Дж

д) модуль работы сил трения А_тр, если = 3 м/с

Ответы: а) 4,36 м/с; б) 9,5 Дж; в) 19 раз; г) 9 Дж; д) 6 Дж

10-4. Тонкий однородный стержень массы m и длины l может вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец стержня О. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают без толчка. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

m = 1 кг, l = 1 м, g = 10 м/с². В момент прохождения им положения равновесия найдите

а) кинетическую энергию стержня. б) скорость нижнего конца стержня

в) угловую скорость стержня г) скорость центра масс стержня

Ответы: а) 5 Дж; б) 5,48 м/с; в) 5,48 рад/с; г) 2,74 м/с

10-5. Тонкий однородный стальной стержень массы m = 1 кг и длины l = 1 м может вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец O. Горизонтально в той же плоскости на стержень налетает стальной шарик той же массы m со скоростью = 1 м/с и отскакивает со скоростью u после абсолютно упругого удара. Стержень начинает вращаться с угловой скоростью . Найти

а) скорость шарика u, если  = 1 рад/с.

б) угловую скорость стержня , если u = 0,5 м/с.

в) Во сколько раз уменьшится скорость шарика, если  = 1 рад/с.

г) На сколько уменьшится скорость шарика, если  = 1 рад/с.

Ответы: а) 0,816 м/с; б) 1,5 рад/с; в) 1,22 раз; г) 0,184 м/с

10-6э. Небольшая шайба начинает движение без начальной скорости по гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии шайбы от координаты х изображена на графике . Кинетическая энергия шайбы в точке С

а) в 2 раза больше, чем в точке В

б) в 2 раза меньше, чем в точке В

в) в 1,75 раза больше, чем в точке В

г)в 1,75 раза меньше, чем в точке В

10-7э. Тело массы m = 10 кг начинает движение со скоростью = 4 м/с по гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии этого тела от координаты х изображена на графике . В точке В тело, ударившись, прилипает к стене.

В результате абсолютно неупругого удара в точке В выделилось … теплоты

а) 140 Дж б) 160 Дж в) 20 Дж г) 150 Дж

Катящееся движение и момент инерции — видео и стенограмма урока

Измерение момента инерции

Итак, как мы можем измерить момент инерции? Есть много способов, но сегодня мы рассмотрим один конкретный сценарий. Мы представим мяч, катящийся с холма без трения. Очевидно, что в реальной жизни всегда есть трения, но мы просто будем упрощать.

Благодаря сохранению энергии мы знаем, что любая энергия, с которой мяч начал, должна быть равна энергии, с которой он закончил.Шар на вершине холма, выпущенный из состояния покоя, имеет только гравитационную потенциальную энергию, которая, как мы узнали на другом уроке, равна mgh. Как только вы его отпустите, он начнет двигаться, катясь вниз по холму, становясь все быстрее и быстрее. Но он движется двумя путями: поступательно и вращательно. Мяч целиком переводится вниз по склону, но мяч также поворачивается — он катится. Таким образом, гравитационная потенциальная энергия превращается в смесь поступательной кинетической энергии и вращательной кинетической энергии.Опять же, мы изучили уравнения для обоих из них на других уроках. Поступательная кинетическая энергия составляет 1/2-м-v-квадрат, а вращательная кинетическая энергия составляет 1/2-1-омега-квадрат. Напоминаем, что m — масса мяча, v — поступательная скорость мяча у подножия холма, g — ускорение свободного падения (которое на Земле равно 9,8), h — высота холма. , а I — момент инерции шара.

Итак, если мы можем измерить все, кроме I в этом уравнении, мы сможем вычислить момент инерции.Мы начинаем и выясняем, что мяч имеет массу 2 килограмма, радиус 0,1 метра, а холм имеет высоту 2 метра после многократных измерений, как и все хорошие ученые. Затем мы снимаем видео, как мяч катится с холма, и с помощью некоторого компьютерного программного обеспечения вычисляем его поступательные и вращательные скорости внизу. После этого, допустим, получится скорость 6 метров в секунду и угловая (или вращательная) скорость 28 радиан в секунду. Какой момент инерции мяча?

Что ж, все, что нам нужно сделать, это подставить числа в уравнение и решить для I .После большого количества алгебр, чтобы сделать I предметом, мы получаем следующее уравнение:

Мы вставляем наши числа и решаем, и мы получаем момент инерции 0,00816 килограмм на метр в квадрате.

Теоретическое значение

Насколько хорошо было наше экспериментальное значение? Для этого нам нужно посмотреть, что, согласно теории, ДОЛЖНО быть моментом инерции сферы. Предполагая, что это твердая сфера, небольшое вычисление подсказывает нам, что момент инерции твердой сферы должен быть равен двум пятым массы, умноженной на квадрат радиуса.Масса нашей сферы составляла 2 килограмма, а радиус — 0,1 метра. Итак, если мы подключим их, мы обнаружим, что момент инерции нашей твердой сферы должен был быть 0,008. Итак, мы были довольно близки!

Краткое содержание урока

Тяжелую дверь распахнуть гораздо сложнее, чем легкую. Кроме того, гораздо сложнее заставить дверь распахнуться, подтолкнув ее ближе к петле, чем оттолкнув ее дальше от петли. Тяжелая дверь имеет большую массу, а большая дверь — больше массы вдали от петель.В силу обоих этих факторов мы можем сказать, что у него больший момент инерции. Инерция вращения (также известная как момент инерции) — это число, которое представляет, сколько массы имеет вращающийся объект и как он распределяется. Объект с большей инерцией вращения сложнее ускорить.

Один из способов измерить момент инерции объекта — это скатить его с холма. Если мы можем измерить массу и радиус объекта, высоту холма и скорости (как вращательные, так и поступательные) у подножия холма, мы сможем использовать их для определения момента инерции.Мы делаем это, записывая и решая уравнение энергии для движения, которое гласит, что гравитационная потенциальная энергия на вершине холма равна сумме поступательной и вращательной кинетической энергии внизу холма.

Момент инерции однородного объекта стандартной формы также можно вычислить. Затем вы можете использовать это теоретическое значение, чтобы увидеть, насколько хороши были ваши реальные измерения.

Результаты обучения

После этого урока вы должны уметь:

• Определить момент инерции
• Объясните, как рассчитать момент инерции объекта, катящегося с холма
• Напомним, как сравнить расчетное значение с теоретическим значением

Момент инерции частиц и твердого тела — проблемы и решения

Момент инерции частицы

1.100-граммовый мяч, прикрепленный к одному концу шнура длиной 30 см. Каков момент инерции шара относительно оси вращения AB? Не обращайте внимания на массу шнура.

Известный:

Ось вращения на АБ

Масса шара (м) = 100 грамм = 100/1000 = 0,1 кг

Расстояние между шаром и осью вращения (r) = 30 см = 0,3 м

Требуется: Момент инерции шара (I)

Решение:

I = m r ² = (0.1 кг) (0,3 м) ²

I = (0,1 кг) (0,09 м ² )

I = 0,009 кг м ²

2. 100-граммовый мяч m ₁ и 200-граммовый мяч m ₂ , соединенные стержнем длиной 60 см. Масса стержня не учитывается. Ось вращения расположена в центре стержня. Каков момент инерции шаров относительно оси вращения?

Известный:

Масса шара 1 (м ₁ ) = 100 грамм = 100/1000 = 0.1 кг

Расстояние шара 1 и оси вращения (r ₁ ) = 30 см = 30/100 = 0,3 м

Масса шара (м ₂ ) = 200 грамм = 200/1000 = 0,2 кг

Расстояние шара 2 и оси вращения (r ₂ ) = 30 см = 30/100 = 0,3 м

Требуется: момент инерции шаров

Джаваб:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (0.1 кг) (0,3 м) ² + (0,2 кг) (0,3 м) ²

I = (0,1 кг) (0,09 м ² ) + (0,2 кг) (0,09 м ² )

I = 0,009 кг м ² + 0,018 кг м ²

I = 0,027 кг · м ²

3. Мяч 200 грамм, m ₁ и мяч 100 грамм, m _2, , соединенные стержнем длиной 60 см. Не обращайте внимания на массу стержня. Ось вращения расположена у шарика ₂ m. Какой момент инерции шаров.Не обращайте внимания на массу стержня.

Известный:

Масса шара 1 (м ₁ ) = 200 грамм = 200/1000 = 0,2 кг

Расстояние между шаром 1 и осью вращения (r ₁ ) = 60 см = 60/100 = 0,6 м

Масса шара 2 (м ₂ ) = 100 грамм = 100/1000 = 0,1 кг

Расстояние между шаром 2 и осью вращения (r ₂ ) = 0 м

Требуется: Момент инерции шариков

Решение:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (0.2 кг) (0,6 м) ² + (0,2 кг) (0) ²

I = (0,2 кг) (0,36 м ² ) + 0

I = 0,072 кг · м ²

4. Масса каждого мяча 100 грамм, связаны шнуром. Длина шнура 60 см, ширина 30 см. Каков момент инерции шаров относительно оси вращения. Не обращайте внимания на массу шнура.

Известный:

Масса шара = м ₁ = м ₂ = м ₃ = м ₄ = 100 грамм = 100/1000 = 0.1 кг

Расстояние между шаром и осью вращения (r ₁ ) = 30 см = 30/100 = 0,3 м

Расстояние между шаром 2 и осью вращения (r ₂ ) = 30 см = 30/100 = 0,3 м

Расстояние между шаром 3 и осью вращения (r ₃ ) = 30 см = 30/100 = 0,3 м

Расстояние между шаром 4 и осью вращения (r ₄ ) = 30 см = 30/100 = 0,3 м

Известно: Момент инерции

Решение:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ² + m ₃ r ₃ ² + m ₄ r ₄ ²

I = (0.1 кг) (0,3 м) ² + (0,1 кг) (0,3 м) ² + (0,1 кг) (0,3 м) ² + (0,1 кг) (0,3 м) ²

I = (0,1 кг) (0,09 м ² ) + (0,1 кг) (0,09 м ² ) + (0,1 кг) (0,09 м ² ) + (0,1 кг) (0,09 м ² )

I = 0,036 кг · м ²

Момент инерции жесткого объекта

5. Каков момент инерции однородного стержня длиной 2 кг и длиной 2 м. Ось вращения расположена в центре стержня.

Известный:

Масса стержня (М) = 2 кг

Длина стержня (L) = 2 м

Требуется: Момент инерции

Решение:

Формула момента инерции при расположении оси вращения в центре длинного однородного стержня:

I = (1/12) M L ²

I = (1/12) (2 кг) (2 м) ²

I = (1/12) (2 кг) (4 м ² )

I = (1/12) (8 кг · м ² )

I = 8/12 кг · м ²

I = 2/3 кг м ²

6.Каков момент инерции однородного стержня длиной 2 кг и длиной 2 м? Ось вращения расположена на одном конце стержня.

Известный:

Масса стержня (М) = 2 кг

Длина жесткого стержня (L) = 2 м

Требуется: Момент инерции

Решение:

Формула момента инерции при расположении оси вращения на одном конце стержня:

I = (1/3) M L ²

I = (1/3) (2 кг) (2 м) ²

I = (1/3) (2 кг) (4 м ² )

I = (1/3) (8 кг м ² )

I = 8/3 кг м ²

7.Сплошной цилиндр массой 10 кг и радиусом 0,1 м. Ось вращения расположена в центре сплошного цилиндра, показанного на рисунке ниже. Какой момент инерции цилиндра?

Известный:

Масса сплошного цилиндра (M) = 10 кг

Радиус цилиндра (L) = 0,1 м

Требуется: Момент инерции

Требуется: момент инерции

Решение:

Формула момента инерции, когда ось вращения расположена в центре цилиндра:

I = (1/2) M R ²

I = (1/2) (10 кг) (0.1 м) ²

I = (1/2) (10 кг) (0,01 м ² )

I = (1/2) (0,1 кг м ² )

I = 0,05 кг м ²

8. Однородный шар массой 20 кг и длиной 0,1 м. Ось вращения расположена в центре сферы, показанной на рисунке ниже.

Известный:

Масса сферы (M) = 20 кг

Радиус сферы (L) = 0,1 м

Требуется: момент инерции

Решение:

Формула момента инерции при расположении оси вращения в центре сферы:

I = (2/5) M R ²

I = (2/5) (20 кг) (0.1 м) ²

I = (2/5) (20 кг) (0,01 м ² )

I = (2/5) (0,2 кг м ² )

I = 0,4 / 5 кг м ²

I = 0,08 кг · м ²

9. Прямоугольная тонкая пластина массой 2 кг, длиной 0,5 м и шириной 0,2 м. Ось вращения расположена в центре прямоугольной пластины, показанной на рисунке ниже. Какой момент инерции у прямоугольника?

Известный:

Масса прямоугольной пластины (M) = 2 кг

Длина пластины (а) = 0.5 м

Ширина плиты (б) = 0,2 м

Требуется: Момент инерции

Решение:

Формула момента инерции, когда ось вращения расположена в центре платформы:

I = (1/12) M (a ² + b ² )

I = (1/12) (2) (0,5 ² + 0,2 ² )

I = (2/12) (0,25 + 0,04)

I = (1/6) (0,29)

I = 0,29 / 6 кг м ²

Как учесть инерцию шарика и ходового винта при проектировании системы

При определении размеров системы перемещения с шариковым или ходовым винтом первым шагом является определение диаметра и шага винта, которые могут соответствовать прикладным требованиям по осевой силе и скорости , и сжимающие (изгибающие) нагрузки.После того, как диаметр и шаг винта определены, следующим шагом будет выбор двигателя, который может обеспечить требуемый крутящий момент и скорость, а также обеспечить достаточный контроль перемещаемой нагрузки. Одним из ключевых факторов при определении размеров и выбора двигателя является инерция нагрузки.

Для управления нагрузкой двигатель должен преодолевать инерцию как внешней нагрузки, так и шарико-винтовой передачи.
Изображение предоставлено: THK

---

Первый закон Ньютона — иногда называемый законом инерции — объясняет, что объект будет сопротивляться изменению своего состояния движения, если на него не действует внешняя сила.Для системы линейного движения это означает, что для ускорения или замедления нагрузки двигатель должен преодолеть инерцию или сопротивление изменению движения объекта, который он пытается переместить — в данном случае внешнюю нагрузку плюс сам винт.

Отношение инерции нагрузки (внешняя нагрузка + винт) к инерции двигателя также играет важную роль в определении того, насколько хорошо двигатель может управлять нагрузкой во время ускорения и замедления и, в свою очередь, насколько точно двигатель может позиционировать нагрузку без превышение (или недостижение) или чрезмерное время установления.

---

Обратите внимание, что в этом контексте мы имеем в виду момент инерции массы, а не планарный момент инерции. Момент инерции массы описывает способность объекта сопротивляться угловому ускорению, в то время как плоский момент инерции описывает сопротивление объекта изгибу. Планарный момент инерции обычно используется при проектировании линейных перемещений для определения отклонения или изгиба консольной оси.

---

Инерцию относительно просто вычислить.Для точечной массы это просто масса объекта, умноженная на квадрат его расстояния от оси вращения:

I = момент инерции массы (кгм ² )

m = масса (кг)

r = радиус или расстояние от оси вращения (м)

Изображение предоставлено: brilliant.org

Инерцию шарикового или ходового винта можно приблизительно определить с помощью формулы для инерции твердого цилиндра:

Масса шнека зависит от его объема (радиуса и длины) и плотности материала:

V = объем (м ³ )

ρ = плотность материала (7810 кг / м ³ для подшипниковой стали )

А объем определяется радиусом и длиной винта:

L = длина (м)

Во многих руководствах по размерам уравнение инерции шарико-винтовой передачи включает переменные длины, плотности материала и радиуса, поскольку они будут варьироваться в зависимости от области применения:

---

Обратите внимание, что буква «I» обычно используется в качестве символа инерции, хотя некоторые производители и справочные тексты, особенно для приложений движения, используют «J» для момента инерции массы и «I» для момента инерции в плоскости. .

---

Применения, требующие большой длины хода и / или большого диаметра винта, могут привести к очень высокой инерции винта, что может потребовать более мощного двигателя и затруднить точное управление нагрузкой. Одним из преимуществ шарико-винтовой передачи с вращающейся гайкой, также называемой ведомой гайкой, является то, что она имеет относительно низкую инерцию, поскольку вал винта остается неподвижным, а вращается только гайка.

Вращение шариковой гайки (а не винтового вала) может значительно снизить инерцию системы с шарико-винтовой передачей.
Изображение предоставлено: SKF Group

Что такое момент инерции (MOI) в гольфе?

Аббревиатура «MOI» означает «момент инерции», а в гольфе MOI — это мера сопротивления клюшки перекручиванию. Этот термин обычно применяется к клюшкам, но также может применяться к мячам для гольфа и даже к стержням.

С точки зрения непрофессионала, гольф-клуб с более высоким MOI будет более снисходительным, чем клуб с более низким MOI. Почему? Это то сопротивление скручиванию.

Представьте себе удар водителя, при котором мяч для гольфа срывается с носка водителя.Этот удар создает силу, которая давит на носок водителя, заставляя головку клюшки немного поворачиваться (открывая лицо). Точно так же удары мячом по пятке заставят клюшку откручиваться назад со стороны пятки лица. Поворот клюшки в ответ на удары вне центра ведет к потере дистанции, и ни один гольфист не хочет терять дистанцию.

Но если момент инерции можно увеличить, клюшка становится более устойчивой к скручиванию. Следовательно, клюшка с более высоким MOI будет меньше поворачиваться при ударах вне центра, чем клюшка с более низким MOI, что означает меньшую потерю дистанции.

Способ, которым производители повышают MOI клуба, — это играть с весовыми характеристиками; MOI любого объекта будет увеличиваться по мере того, как большая часть его веса перемещается наружу по периметру. (Это одна из причин, по которой утяжеление по периметру привело к категории клубов для улучшения игры, и причина, по которой сегодня производители часто используют утяжелители по периметру клюшек.)

Максимально допустимый рейтинг MOI (включая допуски) в гольф-клубе в соответствии с Правилами гольфа составляет 6000.

Технические вопросы с MOI

Вышесказанное является простым английским объяснением роли момента инерции в клюшках для гольфа. Теперь перейдем к техническим вопросам. За этим мы обратились к дизайнеру гольф-клубов и создателю клюшек Тому Вишону, основателю Tom Wishon Golf Technology:

«Момент инерции или MOI — это физическое свойство, которое указывает относительную разницу в том, насколько легко или сложно будет привести любой объект в движение вокруг определенной оси вращения. Чем выше MOI объекта, тем больше сила необходимо будет применить, чтобы привести этот объект во вращательное движение.И наоборот, чем ниже MOI, тем меньше силы требуется, чтобы заставить объект вращаться вокруг оси «.

Вишон говорит, что мы можем лучше понять это техническое определение, изображая фигуриста:

«Чтобы понять MOI, представьте себе вращающегося фигуриста. В начале вращения фигуристка вытягивает руки, и скорость вращения низкая. По мере того, как фигуристка приближает руки к своему телу, скорость вращения значительно увеличивается. Таким образом, когда руки вытянуты, момент инерции фигуриста очень высок, и в результате получается более медленное вращение, потому что высокий MOI фигуриста препятствует скорости вращения.И наоборот, причина, по которой скорость вращения увеличивается, когда фигуристка тянет руки, заключается в том, что по мере того, как руки приближаются к ее телу, MOI фигуриста падает все ниже и ниже, создавая меньшее сопротивление вращению ».

Компании клуба MOI говорят о (намек: речь идет о прощении)

На самом деле существует несколько «моментов инерции», которые можно измерить на клюшке для гольфа. Но тот, который компании рекламируют в рекламе и о котором игроки в гольф читают в гольф-журналах и на веб-сайтах, связан с головкой клюшки, ее центром тяжести и вертикальной линией, которую мы можем представить, проходящей через это местоположение CG.

Или, выражаясь словами Вишона, «MOI клюшки относительно ее вертикальной оси центра тяжести».

Вишон продолжает:

«С точки зрения маркетинга, это свойство дизайна головы, которое влияет на степень прощения, которую клюшка предлагает для ударов вне центра. Чем больше голова клюшки и / или чем больше дизайнер включает взвешивание по периметру, тем выше MOI головка клюшки относительно ее центра тяжести будет иметь вертикальную ось. Чем выше MOI головки относительно ее вертикальной оси CG, тем меньше головка будет поворачиваться в ответ на удар со смещением от центра, и тем меньше расстояние будет потеряно от этого смещения. -центровое попадание.

«Чем меньше голова и чем больший вес головы расположен близко к центру головы, тем ниже будет MOI головы вокруг ее вертикальной оси CG, и тем большее расстояние будет потеряно при ударе мяча не по центру. »

Мы можем подытожить это так:

• Более высокое значение MOI означает большее сопротивление вращаемому вокруг оси объекту;
• более низкий MOI означает меньшее сопротивление объекту, вращающемуся вокруг оси.

Или, проще говоря:

• Более высокий MOI означает больше прощения при ударах вне центра клюшкой;
• более низкий MOI означает меньшее прощение при ударах со смещением от центра.

Другие MOI в гольф-клубах

Как упоминалось ранее, у гольф-клуба есть больше измеримых моментов инерции, чем просто тот, с которым мы наиболее знакомы (тот, который цитируется в рекламе и статьях).

Следующее было написано для нас Wishon, чтобы объяснить другие MOI в гольф-клубах:

Есть несколько различных моментов инерции, которые влияют на эффективность клюшки. Помните, что сначала необходимо определить MOI, указав, вокруг какой оси вращается объект.Для всего гольф-клуба существует MOI, который при повороте «вращается» вокруг гольфиста во время поворота.

Также есть три разных MOI, которые можно измерить для самой клюшки. Два из этих MOI важны в дизайне любой клюшки.

Во-первых, когда вы попадаете в центр лица, даже если голова прикреплена к стержню, она будет пытаться вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через центр тяжести клюшки. Это то, о чем игроки в гольф слышат и о которых, скорее всего, знают.Во-вторых, и в то же время, когда гольфист размахивает клюшкой на махе вниз, клюшка вращается вокруг оси через центр стержня.

• MOI головки клюшки вокруг вала : Второй пример относится к MOI головки клюшки вокруг оси вала. В маркетинге оборудования об этом значении MOI мало говорится, но это важный фактор конструкции головы, который может повлиять на точность выстрела, а не на расстояние. Чем больше головка или больший вес приходится на носок головки клюшки, тем выше значение MOI головки относительно оси стержня.Чем меньше голова или чем больший вес расположен в области пятки головы, тем ниже будет MOI головы относительно оси вала. Чем выше MOI клюшки вокруг стержня, тем больше у гольфиста тенденция оставлять лицо открытым при ударе. Чем ниже MOI клюшки вокруг стержня, тем больше у гольфиста тенденция повернуть лицо более закрытым при ударе.
• MOI всего клуба вокруг игрока в гольф : Как было сказано ранее, весь гольф-клуб также имеет MOI.Чем длиннее клюшка, чем тяжелее головка, тем тяжелее совокупный вес головки, рукояти и рукоятки, тем выше будет MOI для всей клюшки. И наоборот, чем короче клюшка, тем легче голова, чем меньше вес головы, рукояти и рукоятки, тем ниже будет MOI для клюшки.

MOI клуба важен для соответствия ощущению свинга всех клюшек в сумке. Теория соответствия клубам утверждает, что если все клюшки в наборе имеют одинаковый, идентичный MOI, игрок в гольф будет более последовательным, потому что для каждой клюшки потребуется одинаковое усилие для качания.

Текущий метод подбора клюшек в стиле свинга называется подбором свинговых весов. Размах — это выражение отношения веса клюшки на конце клюшки к весу остальной части клюшки до головки клюшки. Клюшки для гольфа с подобранным весом не соответствуют по MOI, но относительно близки к соответствию MOI. Подбор клюшек MOI — это система свинга, которая в настоящее время предлагается только более продвинутыми изготовителями клубов.

Момент инерции (угловая и вращательная инерция): определение, уравнение, единицы

Будь то фигуристка, тянущая за руки и вращающаяся быстрее, чем она, или кошка, контролирующая, насколько быстро она вращается во время падения, чтобы гарантировать, что она приземлится на свою футов, понятие момента инерции имеет решающее значение для физики вращательного движения.

Также известный как вращательная инерция, момент инерции является вращательным аналогом массы во втором из законов движения Ньютона, описывающем склонность объекта сопротивляться угловому ускорению.

Поначалу концепция может показаться не слишком интересной, но в сочетании с законом сохранения углового момента ее можно использовать для описания многих увлекательных физических явлений и предсказания движения в широком диапазоне ситуаций.

Определение момента инерции

Момент инерции объекта описывает его сопротивление угловому ускорению с учетом распределения массы вокруг оси вращения.

По сути, это количественная оценка того, насколько сложно изменить скорость вращения объекта, будь то начало его вращения, остановка или изменение скорости уже вращающегося объекта.

Иногда его называют инерцией вращения, и полезно рассматривать его как аналог массы во втором законе Ньютона: F _net = ma . Здесь массу объекта часто называют инерционной массой, и она описывает сопротивление объекта (линейному) движению.Вращательная инерция работает точно так же для вращательного движения, и математическое определение всегда включает массу.

Выражение, эквивалентное второму закону для вращательного движения, связывает крутящий момент ( τ , вращательный аналог силы) с угловым ускорением α и моментом инерции I :

\ tau = I \ alpha

Один и тот же объект может иметь несколько моментов инерции, однако, поскольку большая часть определения касается распределения массы, оно также учитывает положение оси вращения.

Например, в то время как момент инерции стержня, вращающегося вокруг своего центра, равен I = ML ² /12 (где M — масса, а L — длина стержня), тот же стержень, вращающийся вокруг одного конца, имеет момент инерции, равный I = ML ² /3.

Уравнения момента инерции

Таким образом, момент инерции тела зависит от его массы M , его радиуса R и оси вращения.

В некоторых случаях R обозначается как d для обозначения расстояния от оси вращения, а в других (как и в случае стержня в предыдущем разделе) он заменяется длиной, L . Обозначение I используется для обозначения момента инерции, и его единицы измерения — кг · м ² .

Как и следовало ожидать, исходя из того, что вы уже узнали, существует множество различных уравнений для момента инерции, и каждое относится к определенной форме и определенной оси вращения.Во всех моментах инерции появляется член MR ² , хотя для разных форм перед этим членом указаны разные дроби, а в некоторых случаях может быть суммировано несколько членов.

Компонент MR ² представляет собой момент инерции для точечной массы на расстоянии R от оси вращения, а уравнение для конкретного твердого тела строится как сумма точечных масс, или путем интегрирования бесконечного количества мелких точечных масс над объектом.2

Инерция вращения и ось вращения

Понимание того, почему существуют разные уравнения для каждой оси вращения, является ключевым шагом к пониманию концепции момента инерции.

Подумайте о карандаше: вы можете вращать его, вращая его посередине, за конец или вращая вокруг его центральной оси. Поскольку инерция вращения объекта зависит от распределения массы вокруг оси вращения, каждая из этих ситуаций отличается и требует отдельного уравнения для ее описания.

Вы можете инстинктивно понять концепцию момента инерции, если масштабируете этот же аргумент до 30-футового флагштока.

Вращать его из стороны в сторону было бы очень сложно — если бы вы вообще могли с этим справиться, — в то время как вращение шеста вокруг его центральной оси было бы намного проще. Это связано с тем, что крутящий момент сильно зависит от расстояния от оси вращения, и в примере 30-футового флагштока, вращая его конец за концом, каждый крайний конец находится на расстоянии 15 футов от оси вращения.

Однако, если крутить вокруг центральной оси, все довольно близко к оси. Ситуация очень похожа на то, как переносить тяжелый предмет на расстоянии вытянутой руки или держать его близко к телу или управлять рычагом с конца, а не рядом с точкой опоры.

Вот почему вам нужно другое уравнение для описания момента инерции одного и того же объекта в зависимости от оси вращения. Выбранная вами ось влияет на то, как далеко части тела находятся от оси вращения, даже если масса тела остается прежней.

Использование уравнений для момента инерции

Ключ к вычислению момента инерции для твердого тела — это научиться использовать и применять соответствующие уравнения.

Рассмотрим карандаш из предыдущего раздела, который закручивают встык вокруг центральной точки по его длине. Хотя это не идеальный стержень (например, заостренный наконечник нарушает эту форму), его можно смоделировать как таковой, чтобы избавить вас от необходимости проходить полный момент инерции объекта.2

Более сложной задачей является определение момента инерции для составных объектов.

Например, рассмотрим два шара, соединенных стержнем (который мы будем рассматривать как безмассовый, чтобы упростить задачу). Первый мяч весит 2 кг и расположен на расстоянии 2 м от оси вращения, а второй мяч имеет массу 5 кг и находится на расстоянии 3 м от оси вращения.

В этом случае вы можете найти момент инерции для этого составного объекта, рассматривая каждый шар как точечную массу и исходя из основного определения:

\ begin {align} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2….2 \ end {align}

Момент инерции и сохранение углового момента

Угловой момент (вращательный аналог количества движения) определяется как произведение вращательной инерции (т.е. момента инерции, I ) объекта и его угловая скорость ω ), которая измеряется в градусах / с или рад / с.

Вы, несомненно, знакомы с законом сохранения количества движения, и момент количества движения сохраняется таким же образом.Уравнение для углового момента L ) выглядит следующим образом:

L = Iω

Размышление о том, что это означает на практике, объясняет многие физические явления, потому что (в отсутствие других сил), чем выше инерция вращения объекта, тем снизить его угловую скорость.

Представьте фигуриста, вращающегося с постоянной угловой скоростью с вытянутыми руками, и обратите внимание, что его вытянутые руки увеличивают радиус R , вокруг которого распределяется его масса, что приводит к большему моменту инерции, чем если бы его руки были близко к его телу.

Если L ₁ рассчитывается с вытянутыми руками, а L ₂ , после втягивания его рук должны иметь такое же значение (поскольку угловой момент сохраняется), что произойдет, если он уменьшает момент инерции, притягивая руки? Его угловая скорость ω увеличивается для компенсации.

Кошки выполняют аналогичные движения, чтобы помочь им приземлиться на лапы при падении.

Вытягивая ноги и хвост, они увеличивают момент инерции и уменьшают скорость вращения, и, наоборот, они могут втягивать ноги, чтобы уменьшить момент инерции и увеличить скорость вращения.Они используют эти две стратегии — наряду с другими аспектами своего «рефлекса выпрямления» — для обеспечения того, чтобы их ноги приземлялись первыми, и вы можете увидеть отдельные фазы сворачивания и вытягивания на покадровых фотографиях приземления кошки.

Момент инерции и вращательная кинетическая энергия

Продолжая параллели между линейным движением и вращательным движением, объекты также обладают кинетической энергией вращения точно так же, как и линейной кинетической энергией. 2 \ end {align}

Для шара весом 1 кг, движущегося с линейной скоростью 2 м / с с радиусом 0.2) \\ & = 2 \; \ text {J} + 0.71 \; \ text {J} \\ & = 2.71 \; \ text {J} \ end {align}

В зависимости от ситуации объект может обладают только линейной кинетической энергией (например, мяч падает с высоты без передачи ему вращения) или только кинетической энергией вращения (мяч вращается, но остается на месте).

Помните, что сохраняется всего энергии. Если мяч ударяется о стену без начального вращения, и он отскакивает обратно с меньшей скоростью, но с придаваемым вращением, а также с потерями энергии на звук и тепло при контакте, часть начальной кинетической энергии теряется. передается во вращательную кинетическую энергию, и поэтому он не может, , возможно, двигаться так быстро, как перед отскоком назад.

Момент инерции теннисного мяча

Момент инерции теннисного мяча Говард Броуди, Университет Пенсильвании, Филадельфия, Пенсильвания момент инерции теннисного мяча. относительно его центра массы — одно из физических свойств, которые определяют, как мяч реагирует на игру, но измерения не проводятся. of этот параметр встречается в литературе и не упоминается в Правилах тенниса. момент инерции определяет, сколько вращения шар приобретает для заданного углового импульс, прикладываемый струнами ракетки, а также то, как мяч ведет себя при отскоке. Когда мяч отскакивает, трение между мячом и поверхностью корта создает значительный крутящий момент.Для заданного крутящего момента величина момента инерции определяет, будет ли мяч скользит на протяжении всего отскока или переходит в режим качения, и если это происходит, момент инерции определяет соотношение конечная горизонтальная скорость равна начальной горизонтальной скорости.1 re — это несколько типов теннисных мячей , доступных в магазинах для тенниса , соответствуют требованиям Международной федерации тенниса (ITF) и поэтому могут использоваться в турнирах тенниса . re — это стандартный мяч , который приобретает способность отскока благодаря внутреннему давлению на атмосферного или около того выше окружающего внешнего давления. Эти называются «находящимися под давлением» теннисным мячом и используются на Уимблдоне, Открытом чемпионате США и т. д., поскольку внутренний сжатый газ медленно протекает через крышку шара , эти шары становятся «мертвыми» через несколько недель. Вот почему они продаются в герметичных контейнерах. Чтобы обойти эту проблему, используется теннисный мяч без давления или без давления, который приобретает свои характеристики отскока благодаря упругости его стенок. re — это мяч Tretorn Micro X, наполненный очень легким эластичным порошком для обеспечения требуемых характеристик отскока. Порошок не просачивается через стенки шара , поэтому, в отличие от шара под давлением воздуха, он удерживает его характеристики отскока. re — это мяч четвертого типа, одобренный ITF, мяч увеличенного размера, находящийся под давлением и соответствующий требованиям все стандарты ITF по массе, сжатию, отскоку и так далее, за исключением того, что он примерно на 6% больше в диаметре.Этот тип мяча был разработан (автором этой статьи) для замедления игры <сильного > теннис из-за его большего сопротивления воздуха. момент инерции (I) этих четырех типов теннисный мяч вокруг оси, проходящей через их центры массы, которые измерялись с помощью торсионного маятника.Для торсионного маятника крутящий момент = k θ = I d 2 θ / dt 2, где k — постоянная кручения торсионной проволоки, а θ — угловое смещение. решение этого уравнения: ω = 2 π / T = k / I, где ω — угловая скорость маятника. Использование объекта известного момента инерции , такого как однородный диск (I 0 = 0.5mR 2) на конце торсионной проволоки и измерения T 0, можно определить период колебаний, постоянную кручения k для маятника: k = 4 π 2 И 0 / Т 0 2. (1) момент инерции любого объекта (I b) может Теперь можно определить, прикрепив объект к диску на конце маятника и измерив новый период колебания. Новый момент инерции будет равен I t = I 0 + I b. (2) УЧИТЕЛЬ ФИЗИКИ ◆ Vol. 43, ноябрь 2005 г. DOI: 10.1119 / 1.2120375 503

Инерция вращения — Школа Грега

Качественно мы знаем, что полая сфера имеет большую инерцию вращения, чем твердый шар; поэтому ускорить или замедлить его вращение труднее. Но давайте докажем это количественно, решив интеграл в уравнении (2), чтобы найти инерцию вращения для полой сферы; затем, после этого, мы сделаем то же самое для твердой сферы.2θdm}, \ tag {3} $$

Чтобы решить интеграл в уравнении (3), давайте выразим подынтегральное выражение и пределы интегрирования относительно \ (θ \). Если полая сфера имеет очень тонкую оболочку, то мы можем игнорировать толщину оболочки и аппроксимировать всю массу сферы как находящуюся на поверхности сферы. Это означает, что каждый элемент беспорядка \ (dm \) находится на бесконечно малом элементе поверхности \ (Rdθ \). Если обозначить через \ (σ \) массу на единицу площади полой сферы, то масса \ (dm \) каждого элемента массы может быть выражена как

$$ dm = σ (2πRsinπ · Rdθ) = \ biggl (\ frac {M} {4πR ^ 2} \ biggr) (2πRsinπ · Rdθ) = \ frac {M} {2} sinθdθ.