Сложение и вычитание векторов — svgpng.ru

Для логического взаимодействия нескольких отдельных векторов в Фигме есть встроенные инструменты, такие как Объединение, Вычетание, Пересечение и Исключение. 

Логические операции в Figma

В результате применения одного из этих инструментов Figma объединяет выбранные векторы в группу, в которой действуют определенные правила отображения. 

Результат логической операции

Это значит, что фактически сами векторы не изменяются. Это также означает для нас то, что мы можем вынести слои за пределы этой группы и увидеть их в исходном виде. 

 

Показать скрытое содержание

Да, выпиленное можно запилить обратно 

Органы управления

Чтобы увидеть кнопки для применения этих инструментов, вам нужно выделить более одного вектора. Иконки взаимодействия находятся вверху экрана на черном фоне. 

Инструменты логических операций

Union selection — объединение векторов 

Результатом объединения векторов станет то, что для них будут действовать общие параметры заливки, обводки и эффектов. 

Учитывайте, что параметры берутся от слоя, который находится выше в древе слоев. 

Используются параметры верхнего слоя

Subtract selection — вычитание 

В результате вычитания вы будете видеть всю область самого нижнего слоя, кроме тех ее частей, которые перекрывали остальные выбранные векторы. 

Остатком всегда будет часть именно самого нижнего из выбранных слоев. 

Intersect selection — пересечение

Пересечение оставляет видимой только ту часть, в которой есть наложение всех выбранных слоев. 

При этом параметры заливки, обводки и эффектов будут взяты из верхнего слоя. 

Exclude selection — исключение

Exclude показывает те области выбранных слоев, которые НЕ пересекаются. 

Нюанс заключается в том, что это логическая операция, и очевидно она работает для двух слоев. Третий слой же инвертирует действие в области пересечения. 

На примере хорошо видно, как треугольник делает невидимой видимую часть, и наоборот:

Exclude двух векторов

 

Exclude трёх векторов

Но если мы добавим еще один такой же треугольник, то он инвертирует действие предыдущего:

Exclude четырёх векторов

Как вычесть вектор

Операция вычитания векторов, как и вычитание обычных чисел, обозначает действие, обратное операции сложения. Для обычных чисел это означает, что одно из слагаемых превращается в свою противоположность (его знак меняется на противоположный), а остальные действия осуществляются по тем же правилам, что и при обычном сложении. Для операции вычитания векторов нужно действовать также — сделать один из них (вычитаемый) своей противоположностью (поменять направление), а затем применить обычные правила сложения векторов.

Если вычитание надо отобразить на бумаге, то воспользуйтесь, например, правилом треугольника. Оно описывает операцию сложения векторов, а для того, чтобы применить ее к операции вычитания надо внести соответствующие поправки, касающиеся вычитаемого вектора. Его начало и конец надо поменять местами, то есть инвертировать вектор, и этим поменять его знак, чтобы операция сложения стала операцией вычитания.

Перенесите вычитаемый вектор параллельно самому себе таким образом, чтобы его окончание совпало с окончанием уменьшаемого вектора. Затем соедините начало перенесенного вектора с началом уменьшаемого и поставьте стрелку в том конце отрезка, который совпадает с началом перенесенного вектора. Этот вектор с началом, совпадающим с началом уменьшаемого вектора, и окончанием в начале перенесенного вектора и будет результатом операции вычитания.

Используйте правило параллелограмма (с поправкой на инвертирование вычитаемого вектора) в качестве альтернативы правилу треугольника. Для этого перенесите вычитаемый вектор параллельно самому себе таким образом, чтобы его окончание совпадало с началом уменьшаемого вектора. Таким способом вы получите две стороны геометрической фигуры — параллелограмма. Достройте его недостающие стороны и проведите диагональ из точки, которая является концом вычитаемого и началом уменьшаемого векторов. Эта диагональ и будет вектором, полученным в результате вычитания.

Если уменьшаемый и вычитаемый векторы заданы не графически, а координатами своих конечных точек в двухмерной или трехмерной системе координат, то и результат вычитания можно представить в таком же виде. Для этого просто отнимите значения координат вычитаемого вектора от соответствующих значений координат уменьшаемого вектора. Например, если вектор A (уменьшаемый) задан координатами (Xa;Ya;Za), а вектор B (вычитаемый) — координатами (Xb;Yb;Zb), то результатом операции вычитания A-B будет вектор C с координатами (Xa-Xb; Ya-Yb; Za-Zb).

Геометрическая разность векторов. Как вычитать и складывать векторы

В математике и физике студентам и школьникам зачастую попадаются задачи на векторные величины и на выполнение различных операций над ними. В чём же отличие векторных величин от привычных нам скалярных, единственная характеристика которых — это численное значение? В том, что они обладают направлением.

Максимально наглядно применение векторных величин объясняется в физике. Самыми простыми примерами являются силы (сила трения, сила упругости, вес), скорость и ускорение, поскольку помимо численных значений они также обладают направлением действия. Для сравнения приведём пример скалярных величин : это может быть расстояние между двумя точками или масса тела. Для чего же необходимо выполнять действия над векторными величинами такие как сложение или вычитание? Это нужно, чтобы было возможно определить результат действия системы векторов, состоящей из 2 или более элементов.

Определения векторной математики

Введём главные определения, используемые при выполнении линейных операций.

1. Вектором называют направленный (имеющий точку начала и точку конца) отрезок.
2. Длина (модуль) — это длина направленного отрезка.
3. Коллинеарными называют такие два вектора, которые либо параллельны одной и той же прямой, либо одновременно лежат на ней.
4. Противоположно направленными векторами называют коллинеарные и при этом направленные в разные стороны. Если же их направление совпадает, то они являются сонаправленными.
5. Вектора являются равными, когда они сонаправлены и одинаковы по модулю.
6. Суммой двух векторов a и b является такой вектор c , начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом второго при условии, что b начинается в той же точке, в которой заканчивается a .
7. Разностью векторов a и b называют сумму a и (— b ), где (— b ) — противоположно направленный к вектору b . Также определение разности двух векторов может быть дано следующее: разностью c пары векторов a и b называют такой c , который при сложении с вычитаемым b образует уменьшаемое a.

Аналитический метод

Аналитический способ подразумевает получение координат разности по формуле без построения. Возможно выполнить вычисление для плоского (двухмерного), объёмного (трёхмерного) или же n-мерного пространства.

Для двухмерного пространства и векторных величин a {a₁; a₂ } и b {b₁; b₂ } расчёты будут иметь следующий вид: c {c₁; c₂ } = {a₁ – b₁; a₂ – b₂ }.

В случае с добавлением третьей координаты расчёт будет проводиться аналогично, и для a {a₁; a₂ ; a₃ } и b {b₁; b₂; b₃ } координаты разности будут также получены попарным вычитанием: c {c₁; c₂; c₃ } = {a₁ – b₁; a₂ – b₂; a₃ – b₃ }.

Вычисление разности графически

Для того чтобы построить разность графическим способом, следует воспользоваться правилом треугольника. Для этого необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. По заданным координатам построить векторы, для которых нужно найти разность.
2. Совместить их концы (т. е. построить два направленных отрезка, равных заданным, которые будут оканчиваться в одной и той же точке).
3. Соединить начала обоих направленных отрезков и указать направление; результирующий будет начинаться в той же точке, где начинался вектор, являющийся уменьшаемым, и заканчиваться в точке начала вычитаемого.

Результат операции вычитания показан на рисунке ниже .

Также существует метод построения разности, незначительно отличающийся от предыдущего. Его суть заключается в применении теоремы о разности векторов, которая формулируется следующим образом: для того чтобы найти разность пары направленных отрезков, достаточно найти сумму первого из них с отрезком, противоположно направленным ко второму. Алгоритм построения будет иметь следующий вид:

1. Построить исходные направленные отрезки.
2. Тот, что является вычитаемым, необходимо отразить, т. е. построить противоположно направленный и равный ему отрезок; затем совместить его начало с уменьшаемым.
3. Построить сумму: соединить начало первого отрезка с концом второго.

Результат такого решения изображён на рисунке:

Решение задач

Для закрепления навыка разберём несколько заданий, в которых требуется рассчитать разность аналитически или графически.

Задача 1 . На плоскости заданы 4 точки: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Определить координаты вектора q = AB — CD, а также рассчитать его длину.

Решение . Вначале следует найти координаты AB и CD . Для этого из координат конечных точек вычтем координаты начальных. Для AB началом является A (1; -3), а концом – B (0; 4). Рассчитаем координаты направленного отрезка:

AB {0 — 1; 4 — (- 3)} = {- 1; 7}

Аналогичный расчёт выполняется для CD :

CD {- 3 — 5; 2 — 8} = {- 8; — 6}

Теперь, зная координаты, можно найти разность векторов. Формула для аналитического решения плоских задач была рассмотрена ранее: для c = a — b координаты имеют вид {c₁; c₂ } = {a₁ – b₁; a₂ – b₂ }. Для конкретного случая можно записать:

q = {- 1 — 8; 7 — (- 6)} = { — 9; — 1}

Чтобы найти длину q , воспользуемся формулой | q | = √(q₁² + q ₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.

Задача 2 . На рисунке изображены векторы m, n и p.

Необходимо построить для них разности: p — n; m

— n; m — n — p. Выяснить, какая из них обладает наименьшим модулем.

Решение . В задаче требуется выполнить три построения. Рассмотрим каждую часть задания более подробно.

Часть 1. Для того чтобы изобразить p — n, воспользуемся правилом треугольника. Для этого при помощи параллельного переноса соединим отрезки так, чтобы совпала их конечная точка. Теперь соединим начальные точки и определим направление. В нашем случае вектор разности начинается там же, где и вычитаемый n.

Часть 2. Изобразим m — n . Теперь для решения воспользуемся теоремой о разности векторов. Для этого следует построить вектор, противоположный n, а затем найти его сумму с

m. Полученный результат будет выглядеть так:

Часть 3. Для того чтобы найти разность m — n — p, следует разбить выражение на два действия. Поскольку в векторной алгебре действуют законы аналогичные законам арифметики, то возможны варианты:

• m — (n + p) : в этом случае вначале строится сумма n + p , которая затем вычитается из m ;
• (m — n) — p : здесь сначала нужно найти m — n , а затем отнять от этой разности p ;
• (m — p) — n : первым действием определяется m — p , после чего из полученного результата нужно вычесть n .

Так как в предыдущей части задачи мы уже нашли разность

m — n , нам остаётся лишь вычесть из неё p . Построим разность двух данных векторов при помощи теоремы о разности. Ответ показан на изображении ниже (красным цветом обозначен промежуточный результат, а зелёным — окончательный).

Остаётся определить, модуль какого из отрезков является наименьшим. Вспомним, что понятия длины и модуля в векторной математике являются идентичными. Оценим визуально длины p — n, m — n и m — n — p . Очевидно, что самым коротким и обладающим наименьшим модулем является ответ в последней части задачи, а именно m — n — p .

Для правильного отображения законов природы в физике требуется соответствующий математический инструментарий.

В геометрии и физике есть величины, характеризующиеся и числовым значением, и направлением.

Их целесообразно изображать направленными отрезками или векторами .

У таких величин есть начало (отображается точкой) и конец, обозначаемый стрелкой. Длина отрезка называется (длиной).

• скорость;
• ускорение;
• импульс;
• сила;
• момент;
• силы;
• перемещение;
• напряженность поля и др.

Координаты на плоскости

Зададим на плоскости отрезок, направленный из точки, А (x1,y1) в точку В (x2,y2). Его координатами a (a1, a2) являются числа а1=x2-x1, а2=y2-y1.

Модуль рассчитывается по теореме Пифагора:

У нулевого вектора начало совпадает с концом. Координаты и длина равны 0.

Сумма векторов

Существуют несколько правил для расчета суммы

• правило треугольника;
• правило многоугольника;
• правило параллелограмма.

Правило сложения векторов можно объяснить на задачах из динамики и механики. Рассмотрим сложение векторов по правилу треугольника на примере сил, воздействующих на точечное тело и последовательных перемещений тела в пространстве.

Допустим, тело переместилось сначала из точки A в точку B, а затем из точки B в точку C. Итоговое перемещение есть отрезок, направленный от начальной точки A к конечной точке C.

Результат двух перемещений или их сумма s = s1+ s2. Такой способ называется правилом треугольника .

Стрелки выстраивают в цепочку одну за другой, при необходимости осуществляя параллельный перенос. Суммарный отрезок замыкает последовательность. Его начало совпадает с началом первого, конец — с концом последнего. В иностранных учебниках данный метод называется «хвост к голове» .

Координаты результата c = a + b равны сумме соответствующих координат слагаемых c (a1+ b1, a2+ b2).

Сумма параллельных (коллинеарных) векторов также определяется по правилу треугольника.

Если два исходных отрезка перпендикулярны друг другу, то результат их сложения представляет собой гипотенузу построенного на них прямоугольного треугольника. Длина суммы вычисляется по теореме Пифагора.

Примеры :

• Скорость тела, брошенного горизонтально, перпендикулярна ускорению свободного падения.
• При равномерном вращательном движении линейная скорость тела перпендикулярна центростремительному ускорению.

Сложение трех и более векторов производят по правилу многоугольника , «хвост к голове»

Предположим, что к точечному телу приложены силы F1 и F2.

Опыт доказывает, что совокупное воздействие этих сил равнозначно действию одной силы, направленной по диагонали построенного на них параллелограмма. Эта равнодействующая сила равна их сумме F = F1 + F 2. Приведенный способ сложения называется правилом параллелограмма .

Длина в этом случае вычисляется по формуле

Где θ – угол между сторонами.

Правила треугольника и параллелограмма взаимозаменяемы. В физике чаще применяют правило параллелограмма, так как направленные величины сил, скоростей, ускорений обычно приложены к одному точечному телу. В трехмерной системе координат применяется правило параллелепипеда.

Элементы алгебры

1. Сложение является двоичной операцией: за один раз можно сложить только пару.
2. Коммутативность : сумма от перестановки слагаемых не изменяется a + b = b + a. Это ясно из правила параллелограмма: диагональ всегда одна и та же.
3. Ассоциативность : сумма произвольного числа векторов не зависит от порядка их сложения (a + b)+ c = a +(b + c).
4. Суммирование с нулевым вектором не меняет ни направление, ни длину: a +0= a .
5. Для каждого вектора есть противоположный . Их сумма равна нулю a +(-a)=0, а длины совпадают.

Вычитание направленного отрезка равносильно прибавлению противоположного. Координаты равны разности соответствующих координат. Длина равна:

Для вычитания можно использовать видоизмененное правило треугольника.

Умножение на скаляр

Результатом умножения на скаляр будет вектор.

Координаты произведения получаются перемножением на скаляр соответствующих координат исходного.

Скаляр — числовая величина со знаком плюс или минус, больше или меньше единицы.

Примеры скалярных величин в физике:

• масса;
• время;
• заряд;
• длина;
• площадь;
• объем;
• плотность;
• температура;
• энергия.

Примеры :

• Перемещение равномерно движущегося тела равно произведению времени и скорости s = vt .
• Импульс тела — масса, умноженная на скорость p = mv .
• Второй закон Ньютона . Произведение массы тела на ускорение равно приложенной равнодействующей силе ma=F.
• Сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле, пропорциональна заряду F = qE.

Скалярное произведение направленных отрезков a и b равно произведению модулей на косинус угла между ними. Скалярное произведение взаимно перпендикулярных отрезков равно нулю.

Пример :

Работа является скалярным произведением силы и перемещения A = Fs .

Вектор — это математический объект, который характеризуется величиной и направлением (например, ускорение, перемещение), чем и отливается от скаляров, у которых направления нет (например, расстояние, энергия). Скаляры можно складывать, сложив их значения (например, 5 кДж работы плюс 6 кДж работы равно 11 кДж работы), а вот векторы складывать и вычитать не так просто.

Шаги

Сложение и вычитание векторов с известными компонентами

Так как векторы имеют величину и направление, то их можно разложить на компоненты, основываясь на размерностях х, у и/или z. Они, как правило, обозначаются так же, как точки в системе координат (например, ). Если компоненты известны, то сложить/вычесть векторы так же просто, как сложить/вычесть координаты x, y, z.

• Обратите внимание, что векторы могут быть одномерными, двумерными или трехмерными. Таким образом, векторы могут иметь компонент «х», компоненты «х» и «у» или компоненты «х», «у», «z». Ниже рассмотрены трехмерные векторы, но процесс аналогичен для одномерных и двумерных векторов.
• Предположим, что вам даны два трехмерных вектора — вектор А и вектор B. Запишите эти векторы в векторной форме: А = и B = , где a1 и а2 — компоненты «х», b1 и b2 — компоненты «у», c1 и c2 — компоненты «z».

Для сложения двух векторов сложите их соответствующие компоненты. Другими словами, сложите компонент «х» первого вектора с компонентом «х» второго вектора (и так далее). В результате вы получите компоненты х, у, z результирующего вектора.

• A+B = .
• Сложим векторы A и B. A = и B = . A + B = , или .

Для вычитания одного вектора из другого необходимо вычесть соответствующие компоненты. Как будет показано ниже, вычитание можно заменить сложением одного вектора и вектора, обратного другому. Если компоненты двух векторов известны, вычтите соответствующие компоненты одного вектора из компонентов другого.

• A-B =
• Вычтем векторы A и B. A = и B = . A — B = , or .

Графическое сложение и вычитание

1. Так как векторы имеют величину и направление, то у них есть начало и конец (начальная точка и конечная точка, расстояние между которыми равно значению вектора). При графическом отображении вектора он рисуется в виде стрелки, у которой наконечник — конец вектора, а противоположная точка — начало вектора.

   • При графическом отображении векторов стройте все углы очень точно; в противном случае вы получите неправильный ответ.

2. Для сложения векторов нарисуйте их так, чтобы конец каждого предыдущего вектора соединялся с началом следующего вектора. Если вы складываете только два вектора, то это все, что вам нужно сделать, прежде чем найти результирующий вектор.

   • Обратите внимание, что порядок соединения векторов не важен, то есть вектор А + вектор B = вектор B + вектор А.

3. Для вычитания вектора просто прибавьте обратный вектор, то есть измените направление вычитаемого вектора, а затем соедините его начало с концом другого вектора. Другими словами, чтобы вычесть вектор, поверните его на 180 o (вокруг точки начала) и сложите его с другим вектором.

   Если вы складываете или вычитаете насколько (больше двух) векторов, то последовательно соедините их концы и начала. Порядок, в котором вы соединяете векторы, не имеет значения. Этот метод можно использовать для любого числа векторов.

4. Нарисуйте новый вектор, начиная от начала первого вектора и заканчивая концом последнего вектора (при этом число складываемых векторов не важно). Вы получите результирующий вектор, равный сумме всех складываемых векторов. Обратите внимание, что этот вектор совпадает с вектором, полученным путем сложения компонентов «х», «у», «z» всех векторов.

   • Если вы нарисовали длины векторов и углы между ними очень точно, то вы можете найти значение результирующего вектора, просто измерив его длину. Кроме того, вы можете измерить угол (между результирующим вектором и другим указанным вектором или горизонтальной/вертикальной прямыми), чтобы найти направление результирующего вектора.
   • Если вы нарисовали длины векторов и углы между ними очень точно, то вы можете найти значение результирующего вектора при помощи тригонометрии, а именно теоремы синусов или теоремы косинусов. Если вы складываете несколько векторов (более двух), сначала сложите два вектора, затем сложите результирующий вектор и третий вектор и так далее. Смотрите следующий раздел для получения дополнительной информации.

5. Представьте результирующий вектор, обозначив его значение и направление. Как отмечалось выше, если вы нарисовали длины складываемых векторов и углы между ними очень точно, то значение результирующего вектора равно его длине, а направление — это угол между ним и вертикальной или горизонтальной прямой. К значению вектора не забудьте приписать единицы измерения, в которых даны складываемые/вычитаемые вектора.

   • Например, если вы складываете векторы скорости, измеряемые в м/с, то и к значению результирующего вектора припишите «м/с», а также укажите угол результирующего вектора в формате « o к горизонтальной прямой».

Сложение и вычитание векторов через нахождение значений их компонентов

1. Чтобы найти значения компонентов векторов необходимо знать значения самих векторов и их направление (угол относительно горизонтальной или вертикальной прямой). Рассмотрим двумерный вектор. Сделайте его гипотенузой прямоугольного треугольника, тогда катетами (параллельными осям Х и Y) этого треугольника будут компоненты вектора. Эти компоненты можно рассматривать как соединенные два вектора, которые при сложении дают исходный вектор.

   • Длины (значения) двух компонентов (компонентов «х» и «у») исходного вектора можно вычислить при помощи тригонометрии. Если «х» — это значение (модуль) исходного вектора, то компонент вектора, прилежащий к углу исходного вектора, равен xcosθ, а компонент вектора, противолежащий углу исходного вектора, равен xsinθ.
   • Важно отметить направление компонентов. Если компонент направлен противоположно направлению одной из осей, то его значение будет отрицательным, например, если на двумерной плоскости координат компонент направлен влево или вниз.
   • Например, дан вектор с модулем (значением) 3 и направлением 135 o (по отношению к горизонтали). Тогда компонент «х» равен 3cos 135 = -2,12, а компонент «у» равен 3sin135 = 2,12.

2. После того, как вы нашли компоненты всех складываемых векторов, просто сложите их значения и найдете значения компонентов результирующего вектора. Сначала сложите значения всех горизонтальных компонентов (то есть компонентов, параллельных оси Х). Затем сложите значения всех вертикальных компонентов (то есть компонентов, параллельных оси Y). Если значение компонента отрицательное, то оно вычитается, а не прибавляется.

   • Например, сложим вектор и вектор . Результирующий вектор будет таким или .

3. Вычислите длину (значение) результирующего вектора, используя теорему Пифагора: c 2 =a 2 +b 2 (так как треугольник, образованный исходным вектором и его компонентами является прямоугольным). В этом случае катетами являются компоненты «х» и «у» результирующего вектора, а гипотенузой — сам результирующий вектор.

   • Например, если в нашем примере вы складывали силу, измеряемую в Ньютонах, то ответ запишите так: 7,79 Н под углом -61,99 o (к горизонтальной оси).

• Не путайте векторы с их модулями (значениями).
• Векторы, у которых одно направление, можно складывать или вычитать, просто сложив или отняв их значения. Если складываются два противоположно направленных вектора, то их значения вычитаются, а не складываются.
• Векторы, которые представлены в виде xi + yj + zk можно сложить или вычесть, просто сложив или вычтя соответствующие коэффициенты. Ответ также запишите в виде i,j,k.
• Значение вектора в трехмерном пространстве можно найти с помощью формулы a 2 =b 2 +c 2 +d 2 , где a — значение вектора, b, c, и d — компоненты вектора.
• Векторы-столбцы можно складывать/вычитать, сложив/вычтя соответствующие значения в каждой строке.

Пусть $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ — два вектора (рис.1, а).

Возьмем произвольную точку О и построим вектор $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}$ . Затем от точки А отложим вектор $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$. Вектор $\overrightarrow{OB}$, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго (рис.1, б), называется суммой этих векторов и обозначается $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$ (правило треугольника ).

Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{b} $ (рис.1, в). Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОABC. Вектор $\overrightarrow{ОВ}$, служащий диагональю этого параллелограмма, проведенной из вершины О, является, очевидно, суммой векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ {правило параллелограмма ). Из рисунка 1, в непосредственно следует, что сумма двух векторов обладает переместительным свойством: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$

Действительно, каждый из векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \,и\, = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$ равен одному и тому же вектору $\overrightarrow{OB}$ .

Пример 1. В треугольнике ABC АВ = 3, ВС = 4, ∠ В = 90°. Найти: $а)\,\ \overrightarrow{|АВ|} + \overrightarrow{|ВС|};\,\,\ б)\,\ |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}|$ .

Решение

а) Имеем: $|\overrightarrow{АВ}| = АВ,\,\,\ |\overrightarrow{ВС}| = ВС$ и, значит, $|\overrightarrow{АВ}| + |\overrightarrow{BC}| = 7$ .2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \\ т.е.\, |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}| = 5. $$

Понятие суммы векторов можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.

Пусть, например, даны три вектора $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \,и\, \overrightarrow{c}$ (рис.2).

Построив сначала сумму векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ , а затем прибавив к этой сумме вектор $\overrightarrow{c}$, получим вектор $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c}$ . На рисунке 2 $$ \overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}\,; \overrightarrow{АВ} = b\,; \overrightarrow{ОВ} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\,; \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} \\ и \\ \overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВС} = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} $$ Из рисунка 2 видно, что тот же вектор $\overrightarrow{ОС}$ мы получим, если к вектору $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}$ прибавим вектор $\overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ . Таким образом, $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$ , т. е. сумма векторов обладает сочетательным свойством. Поэтому сумму трех векторов $\overrightarrow{a}\,\,\overrightarrow{b}\,\,\overrightarrow{c}$ записывают просто $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .

Разностью двух векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ называется третий вектор $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}$ , сумма которого с вычитаемым вектором $\overrightarrow{b}$ дает вектор $\overrightarrow{a}$. Таким образом, если $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}\,\, то\, \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}$ .

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис.3).

Откладываем векторы $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ из общей точки О. Вектор $\overrightarrow{BA}$ , соединяющий концы уменьшаемого вектора $\overrightarrow{a}$ и вычитаемого вектора $\overrightarrow{b}$ и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, является разностью $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} — \overrightarrow{b}$ . Действительно, по правилу сложения векторов $\overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВА} = \overrightarrow{ОА} \text{ , или } \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}$ .

Пример 2. Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Найти: $а) |\overrightarrow{ВА} — \overrightarrow{ВС}|\,;\,\ б)\,\,\ |\overrightarrow{АВ} — \overrightarrow{АС}|$ .

Решение а) Так как $\overrightarrow{ВА} — \overrightarrow{ВС} = \overrightarrow{СА}\text{ , а }|\overrightarrow{СА}| = а\text{ , то }|\overrightarrow{ВА} — \overrightarrow{ВС}| = а$ .

б) Так как $\overrightarrow{АВ} — \overrightarrow{АС} = \overrightarrow{СВ}\text{ , а }|\overrightarrow{СВ}| = а\text{ , то }|\overrightarrow{АВ} — \overrightarrow{АС}| = а$ .

Произведением вектора $\overrightarrow{a}$(обозначается $=\lambda\overrightarrow{a}$ или $\overrightarrow{a}\lambda$) на действительное число $\lambda$ называется вектор $\overrightarrow{b}$, коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$, имеющий длину, равную $|\lambda||\overrightarrow{a}|$, и то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$, если $\lambda > 0$ , и направление, противоположное направлению вектора $\overrightarrow{a}$, если $\lambda

В случае, когда $\lambda = 0$ или $\overrightarrow{a} = 0$ , произведение $\lambda\overrightarrow{a}$ представляет собой нулевой вектор. Противоположный вектор $-\overrightarrow{a}$ можно рассматривать как результат умножения вектора $\overrightarrow{a}$ на $\lambda = -1$ (см. рис.4): $$ -\overrightarrow{a} = \ (-1)\overrightarrow{a} $$ Очевидно, что $\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{a}) = \overrightarrow{0}$ .

Пример 3. Доказать, что если О, А, В и С — произвольные точки, то $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС} + \overrightarrow{СО} = 0$ .

Решение. Сумма векторов $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{ОС}$ , вектор $\overrightarrow{CO}$ — противоположный вектору $\overrightarrow{ОС}$ . Поэтому $\overrightarrow{ОС} + \overrightarrow{СО} = \overrightarrow{0}$ .

Пусть дан вектор $\overrightarrow{a}$. Рассмотрим единичный вектор $\overrightarrow{a_0}$ , коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$ и одинаково с ним направленный. Из определения умножения вектора на число следует, что $$ \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|\,\ \overrightarrow{a_0} $$ , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Далее из того же определения следует, что если $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$ , где $\overrightarrow{a}$ — ненулевой вектор, то векторы $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ коллинеарны. Очевидно, что и обратно, из коллинеарности векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ следует, что $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$.

Пример 4. Длина вектора AB равна 3, длина вектора AC равна 5. Косинус угла между этими векторами равен 1/15. Найдите длину вектора AB + AC.

Видео-решение.

ов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.

Определение 1

Если точка $A$ начала какого-либо вектора $\overrightarrow{a}$, то говорят, что вектор $\overrightarrow{a}$ отложен от точки $A$ (рис. 1).

Рисунок 1. $\overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$

Введем следующую теорему:

Теорема 1

От любой точки $K$ можно отложить вектор $\overrightarrow{a}$ и притом только один.

Доказательство.

Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:

Вектор $\overrightarrow{a}$ — нулевой.

В этом случае, очевидно, что искомый вектор — вектор $\overrightarrow{KK}$.

Вектор $\overrightarrow{a}$ — ненулевой.

Обозначим точкой $A$ — начало вектора $\overrightarrow{a}$, а точкой $B$ — конец вектора $\overrightarrow{a}$. Проведем через точку $K$ прямую $b$ параллельную вектору $\overrightarrow{a}$. Отложим на этой прямой отрезки $\left|KL\right|=|AB|$ и $\left|KM\right|=|AB|$. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{KL}$ и $\overrightarrow{KM}$. Из этих двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором $\overrightarrow{a}$ (рис. 2)

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».

Теорема доказана.

Вычитание векторов. Правило первое

Пусть нам даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.

Определение 2

Разностью двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называется такой вектор $\overrightarrow{c}$, который при сложении с вектором $\overrightarrow{b}$ дает вектор $\overrightarrow{a}$, то есть

\[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\]

Обозначение: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$.

Построение разности двух векторов рассмотрим с помощью задачи.

Пример 1

Пусть даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Построить вектор $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Решение.

Построим произвольную точку $O$ и отложим от нее векторы $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$. Соединив точку $B$ с точкой $A$, получим вектор $\overrightarrow{BA}$ (рис. 3).

Рисунок 3. Разность двух векторов

По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что

\[\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}\]

\[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}\]

Из определения 2, получаем, что

\[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}\]

Ответ: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}$.

Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения разности двух векторов. Чтобы найти разность $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ и соединить конец второго вектор с концом первого вектора.

Вычитание векторов. Правило второе

Вспомним следующее необходимое нам понятие.

Определение 3

Вектор $\overrightarrow{a_1}$ называется произвольным для вектора $\overrightarrow{a}$, если эти векторы противоположно направлены и имеют равную длину.

Обозначение: Вектор $(-\overrightarrow{a})$ противоположный для вектора $\overrightarrow{a}$.

Для того чтобы ввести второе правило для разности двух векторов, нам необходимо в начале ввести и доказать следующую теорему.

Теорема 2

Для любых двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ справедливо следующее равенство:

\[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\]

Доказательство.

По определению 2, имеем

Прибавим к обеим частям вектор $\left(-\overrightarrow{b}\right)$, получим

Так как векторы $\overrightarrow{b}$ и $\left(-\overrightarrow{b}\right)$ противоположны, то $\overrightarrow{b}+\left(-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{0}$. Имеем

Теорема доказана.

Из этой теоремы получаем следующее правило для разности двух векторов: Чтобы найти разность $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить вектор $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, затем от полученной точки $A$ отложить вектор $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{b}$ и соединить начало первого вектора с концом второго вектора.

Пример задачи на понятие разности векторов

Пример 2

Пусть дан параллелограмм $ADCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ (рис. 4). Выразить через векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ следующие векторы:

а) $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$

б) $\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}$

Рисунок 4. Параллелограмм

Решение.

а) Произведем сложение по правилу треугольника, получим

\[\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}\]

Из первого правила разности двух векторов, получаем

\[\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\]

б) Так как $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AO}$, получим

\[\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{AO}\]

По теореме 2, имеем

\[\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BO}+\left(-\overrightarrow{AO}\right)=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}\]

Используя правило треугольника, окончательно имеем

\[\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{a}\]

определение, формула для нахождения, аналитический метод и графическое построение

В математике и физике студентам и школьникам зачастую попадаются задачи на векторные величины и на выполнение различных операций над ними. В чём же отличие векторных величин от привычных нам скалярных, единственная характеристика которых — это численное значение? В том, что они обладают направлением.
[block id=»32″]

…

Вконтакте

Facebook

Twitter

Google+

Мой мир

[block id=»33″]
Максимально наглядно применение векторных величин объясняется в физике. Самыми простыми примерами являются силы (сила трения, сила упругости, вес), скорость и ускорение, поскольку помимо численных значений они также обладают направлением действия. Для сравнения приведём пример скалярных величин: это может быть расстояние между двумя точками или масса тела. Для чего же необходимо выполнять действия над векторными величинами такие как сложение или вычитание? Это нужно, чтобы было возможно определить результат действия системы векторов, состоящей из 2 или более элементов.

Определения векторной математики

Введём главные определения, используемые при выполнении линейных операций.

1. Вектором называют направленный (имеющий точку начала и точку конца) отрезок.
2. Длина (модуль) — это длина направленного отрезка.
3. Коллинеарными называют такие два вектора, которые либо параллельны одной и той же прямой, либо одновременно лежат на ней.
4. Противоположно направленными векторами называют коллинеарные и при этом направленные в разные стороны. Если же их направление совпадает, то они являются сонаправленными.
5. Вектора являются равными, когда они сонаправлены и одинаковы по модулю.
6. Суммой двух векторов a и b является такой вектор c, начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом второго при условии, что b начинается в той же точке, в которой заканчивается a.
7. Разностью векторов a и b называют сумму a и (— b), где (— b) — противоположно направленный к вектору b. Также определение разности двух векторов может быть дано следующее: разностью c пары векторов a и b называют такой c, который при сложении с вычитаемым b образует уменьшаемое a.

[block id=»3″]

Аналитический метод

Аналитический способ подразумевает получение координат разности по формуле без построения. Возможно выполнить вычисление для плоского (двухмерного), объёмного (трёхмерного) или же n-мерного пространства.

Для двухмерного пространства и векторных величин a {a₁; a₂} и b {b₁; b₂} расчёты будут иметь следующий вид: c {c₁; c₂} = {a₁ — b₁; a₂ — b₂}.

В случае с добавлением третьей координаты расчёт будет проводиться аналогично, и для a {a₁; a₂; a₃} и b {b₁; b₂; b₃} координаты разности будут также получены попарным вычитанием: c {c₁; c₂; c₃} = {a₁ — b₁; a₂ — b₂; a₃ — b₃}.

Вычисление разности графически

Для того чтобы построить разность графическим способом, следует воспользоваться правилом треугольника. Для этого необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. По заданным координатам построить векторы, для которых нужно найти разность.
2. Совместить их концы (т. е. построить два направленных отрезка, равных заданным, которые будут оканчиваться в одной и той же точке).
3. Соединить начала обоих направленных отрезков и указать направление; результирующий будет начинаться в той же точке, где начинался вектор, являющийся уменьшаемым, и заканчиваться в точке начала вычитаемого.

[block id=»4″]
Результат операции вычитания показан на рисунке ниже.

Также существует метод построения разности, незначительно отличающийся от предыдущего. Его суть заключается в применении теоремы о разности векторов, которая формулируется следующим образом: для того чтобы найти разность пары направленных отрезков, достаточно найти сумму первого из них с отрезком, противоположно направленным ко второму. Алгоритм построения будет иметь следующий вид:

1. Построить исходные направленные отрезки.
2. Тот, что является вычитаемым, необходимо отразить, т. е. построить противоположно направленный и равный ему отрезок; затем совместить его начало с уменьшаемым.
3. Построить сумму: соединить начало первого отрезка с концом второго.

Результат такого решения изображён на рисунке:

Решение задач

Для закрепления навыка разберём несколько заданий, в которых требуется рассчитать разность аналитически или графически.

Задача 1. На плоскости заданы 4 точки: A (1; —3), B (0; 4), C (5; 8), D (—3; 2). Определить координаты вектора q = AB — CD, а также рассчитать его длину.

Решение. Вначале следует найти координаты AB и CD. Для этого из координат конечных точек вычтем координаты начальных. Для AB началом является A (1; —3), а концом — B (0; 4). Рассчитаем координаты направленного отрезка:

AB {0 — 1; 4 — (— 3)} = {— 1; 7}

Аналогичный расчёт выполняется для CD:

CD {— 3 — 5; 2 — 8} = {— 8; — 6}

Теперь, зная координаты, можно найти разность векторов. Формула для аналитического решения плоских задач была рассмотрена ранее: для c = a — b координаты имеют вид {c₁; c₂} = {a₁ — b₁; a₂ — b₂}. Для конкретного случая можно записать:

q = {— 1 — 8; 7 — ( — 6)} = { — 9; — 1}

Чтобы найти длину q, воспользуемся формулой | q | = √(q₁² + q₂²) = √((— 9)² + (— 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.
[block id=»5″]
Задача 2. На рисунке изображены векторы m, n и p.

Необходимо построить для них разности: p — n; m — n; m — n — p. Выяснить, какая из них обладает наименьшим модулем.

Решение. В задаче требуется выполнить три построения. Рассмотрим каждую часть задания более подробно.

Часть 1. Для того чтобы изобразить p — n, воспользуемся правилом треугольника. Для этого при помощи параллельного переноса соединим отрезки так, чтобы совпала их конечная точка. Теперь соединим начальные точки и определим направление. В нашем случае вектор разности начинается там же, где и вычитаемый n.

Часть 2. Изобразим m — n. Теперь для решения воспользуемся теоремой о разности векторов. Для этого следует построить вектор, противоположный n, а затем найти его сумму с m. Полученный результат будет выглядеть так:

[block id=»6″]
Часть 3. Для того чтобы найти разность m — n — p, следует разбить выражение на два действия. Поскольку в векторной алгебре действуют законы аналогичные законам арифметики, то возможны варианты:

• m — (n + p): в этом случае вначале строится сумма n + p, которая затем вычитается из m;
• (m — n) — p: здесь сначала нужно найти m — n, а затем отнять от этой разности p;
• (m — p) — n: первым действием определяется m — p, после чего из полученного результата нужно вычесть n.

Так как в предыдущей части задачи мы уже нашли разность m — n, нам остаётся лишь вычесть из неё p. Построим разность двух данных векторов при помощи теоремы о разности. Ответ показан на изображении ниже (красным цветом обозначен промежуточный результат, а зелёным — окончательный).

Остаётся определить, модуль какого из отрезков является наименьшим. Вспомним, что понятия длины и модуля в векторной математике являются идентичными. Оценим визуально длины p — n, m — n и m — n — p. Очевидно, что самым коротким и обладающим наименьшим модулем является ответ в последней части задачи, а именно m — n — p.
[block id=»2″]
[block id=»10″]

Как найти сумму векторов в пространстве

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

То есть A + C + D = 0.

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением A_x + B_y + C_z + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Теорема 1 От любой точки ( K ) можно отложить вектор единственный ( overrightarrow ) .

Существование: Имеем два следующих случая:

Здесь получаем, что искомый нами вектор совпадает с вектором ( overrightarrow ) .

Из данного выше построения сразу же будет следовать единственность данного вектора.

Сумма векторов. Сложение векторов. Правило треугольника

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или по правилу параллелограмма.

Суммой нескольких векторов ( vec ) , ( vec ) , ( vec,;ldots ) называется вектор ( vec ) , получающийся в результате последовательного сложения данных векторов.

Такая операция выполняется по правилу многоугольника.

Сумма векторов в координатах
При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
( vec + vec = left( <+ , + , + >
ight) )

Отметим несколько свойств сложения двух векторов:

Для произвольного вектора ( overrightarrow ) выполняется равенство

Для произвольных точек ( A, B и C ) справедливо следующее равенство

Замечание Таким способом также можно строить сумму любого числа векторов. Тогда оно будет носить название правила многоугольника.

Разность векторов. Вычитание векторов

Разность двух одинаковых векторов равна нулевому вектору :
( vec – vec = vec <0>)

Длина нулевого вектора равна нулю:
( left| vec <0>
ight| = 0 )

Разность векторов в координатах
При вычитании двух векторов соответствующие координаты также вычитаются.
( vec – vec = left( <– , – , – >
ight) )

Умножение вектора на число

Пусть нам дан вектор ( overrightarrow ) и действительное число ( k ) .

Определение Произведением вектора ( overrightarrow ) на действительное число ( k ) называется вектор ( overrightarrow ) удовлетворяющий следующим условиям:

Длина вектора ( overrightarrow ) равна ( left|overrightarrow
ight|=left|k
ight||overrightarrow| ) ;

Векторы ( overrightarrow ) и ( overrightarrow ) сонаправлены, при ( kge 0 ) и противоположно направлены, если ( kle 0 )

Обозначение: ( overrightarrow=koverrightarrow ) .

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор

В механике существуют два типа величин:

• скалярные величины, задающие некоторое числовое значение – время, температура, масса и т.д.
• векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление – скорость, сила и т.д..

Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.

Покоординатное сложение векторов.

Пусть даны два вектора, заданные покоординатно ( чтобы вычислить координаты вектора, нужно вычесть из соответствующих координат его конца соответствующие координаты его начала, т.е. из первой координаты – первую, из второй – вторую и т.д.):

Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:

В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.

Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов: .

При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:

• правило параллелограмма
• правило треугольника
• тригонометрический способ

Правило параллелограмма.

Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:

• нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление
• от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление
• дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора – это его стороны
• результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора.

Правило треугольника

Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:

• нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении
• от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление
• результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго.

Тригонометрический способ

Результирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:

F = числовое значение вектора

α = угол между векторами 1 и 2

Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:

α = угол между исходными векторами

Пример – сложение векторов.

Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80 o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.

Результирующая сила вычисляется следующим образом:

F_рез = [ (5 кН) 2 + (8 кН) 2 – 2 (5 кН)(8 kН) cos(180 o – (80 o )) ] 1/2

Угол между результирующей силой и первой силой равен:

А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

α = arcsin [ (5 кН) sin(180 o – (80 o )) / (10,2 кН) ]

Он-лайн калькулятор сложения векторов.

Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Нежное введение в векторы для машинного обучения

Векторы являются основополагающим элементом линейной алгебры.

Векторы используются во всей области машинного обучения при описании алгоритмов и процессов, таких как целевая переменная (y) при обучении алгоритма.

В этом руководстве вы откроете для себя векторы линейной алгебры для машинного обучения.

После прохождения этого руководства вы будете знать:

• Что такое вектор и как его определить в Python с помощью NumPy.
• Как выполнять векторную арифметику, такую ​​как сложение, вычитание, умножение и деление.
• Как выполнять дополнительные операции, такие как скалярное произведение и умножение на скаляр.

Начните свой проект с моей новой книгой «Линейная алгебра для машинного обучения», включая пошаговые инструкции и Исходный код Python файлы для всех примеров.

Давайте начнем.

Нежное введение в векторы для машинного обучения
Фото Лахлана Дональда, некоторые права защищены.

Обзор учебного пособия

Это руководство разделено на 5 частей; они есть:

1. Что такое вектор?
2. Определение вектора
3. Векторная арифметика
4. Вектор точечный продукт
5. Векторно-скалярное умножение

Нужна помощь с линейной алгеброй для машинного обучения?

Пройдите мой бесплатный 7-дневный ускоренный курс электронной почты (с образцом кода).

Нажмите, чтобы зарегистрироваться, а также получите бесплатную электронную версию курса в формате PDF.

Загрузите БЕСПЛАТНЫЙ мини-курс

Что такое вектор?

Вектор — это кортеж из одного или нескольких значений, называемых скалярами.

Векторы строятся из компонентов, которые являются обычными числами. Вы можете рассматривать вектор как список чисел, а векторную алгебру как операции, выполняемые над числами в списке.

— Стр. 69, Руководство по линейной алгебре без ерунды, 2017

Векторы часто представлены строчными буквами, такими как «v»; Например:

Где v1, v2, v3 — скалярные значения, часто реальные значения.

Векторы также отображаются в вертикальном представлении или столбце; Например:

Обычно при описании обучения алгоритма машинного обучения целевую переменную представляют как вектор со строчной буквой «y».

Обычно векторы вводят с использованием геометрической аналогии, где вектор представляет точку или координату в n-мерном пространстве, где n — количество измерений, например 2.

Вектор также можно рассматривать как линию от начала векторного пространства с направлением и величиной.

Эти аналогии хороши в качестве отправной точки, но не должны проводиться слишком строго, поскольку мы часто рассматриваем очень многомерные векторы в машинном обучении. Я считаю вектор как координату наиболее убедительной аналогией в машинном обучении.

Теперь, когда мы знаем, что такое вектор, давайте посмотрим, как определить вектор в Python.

Определение вектора

Мы можем представить вектор в Python как массив NumPy.

Массив NumPy можно создать из списка чисел. Например, ниже мы определяем вектор длиной 3 и целочисленными значениями 1, 2 и 3.

# создать вектор из массива импорта numpy v = array ([1, 2, 3]) печать (v)

# создаем вектор из тупой импорт множество v знак равно множество([1, 2, 3]) Распечатать(v)

В примере определяется вектор с 3 элементами.

При выполнении примера печатается определенный вектор.

Векторная арифметика

В этом разделе будет продемонстрирована простая векторно-векторная арифметика, в которой все операции выполняются поэлементно между двумя векторами одинаковой длины, чтобы получить новый вектор такой же длины.

Сложение векторов

Два вектора равной длины можно сложить вместе, чтобы создать новый третий вектор.

Новый вектор имеет ту же длину, что и два других вектора. Каждый элемент нового вектора рассчитывается как сложение элементов других векторов с тем же индексом; Например:

а + Ь = (а1 + Ь1, а2 + Ь2, а3 + Ь3)

а + Ь = (а1 + Ь1, а2 + Ь2, а3 + Ь3)

Или, по-другому:

c[0] = а[0] + b[0] c[1] = а[1] + b[1] c[2] = а[2] + b[2]

c[0] = а[0] + b[0] c[1] = а[1] + b[1] c[2] = а[2] + b[2]

Мы можем добавлять векторы прямо в Python, добавляя массивы NumPy.

# добавляем векторы из массива импорта numpy a = array ([1, 2, 3]) print (a) b = array ([1, 2, 3]) print (b) c = a + b print (c)

# добавить векторы из тупой импорт множество а знак равно множество([1, 2, 3]) Распечатать(а) б знак равно множество([1, 2, 3]) Распечатать(б) c знак равно а + б Распечатать(c)

В примере определяются два вектора с тремя элементами в каждом, а затем они складываются.

При выполнении примера сначала печатаются два родительских вектора, а затем печатается новый вектор, который является сложением двух векторов.

Вычитание вектора

Один вектор можно вычесть из другого вектора равной длины, чтобы создать новый третий вектор.

Как и при сложении, новый вектор имеет ту же длину, что и родительские векторы, и каждый элемент нового вектора вычисляется как вычитание элементов с теми же индексами.

a — b = (a1 — b1, a2 — b2, a3 — b3)

a — b = (a1 — b1, a2 — b2, a3 — b3)

Или, по-другому:

c[0] = а[0] — б[0] c[1] = а[1] — б[1] c[2] = а[2] — б[2]

c[0] = а[0] — б[0] c[1] = а[1] — б[1] c[2] = а[2] — б[2]

Массивы NumPy можно напрямую вычитать в Python.

# вычесть векторы из массива импорта numpy a = array ([1, 2, 3]) print (a) b = array ([0.5, 0.5, 0.5]) print (b) c = a — b print (c)

# вычесть векторы из тупой импорт множество а знак равно множество([1, 2, 3]) Распечатать(а) б знак равно множество([0.5, 0.5, 0.5]) Распечатать(б) c знак равно а — б Распечатать(c)

Пример определяет два вектора с тремя элементами в каждом, а затем вычитает первый из второго.

При выполнении примера сначала печатаются два родительских вектора, а затем печатается новый вектор, первый минус второй.

[1 2 3] [ 0.5 0.5 0.5] [ 0.5 1.5 2.5]

[1 2 3] [ 0.5 0.5 0.5] [ 0.5 1.5 2.5]

Векторное умножение

Два вектора одинаковой длины можно перемножить.

Как и в случае с сложением и вычитанием, эта операция выполняется поэлементно, чтобы получить новый вектор той же длины.

a * b = (a1 * b1, a2 * b2, a3 * b3)

a * b = (a1 * b1, a2 * b2, a3 * b3)

или же

Или, по-другому:

c[0] = а[0] * б[0] c[1] = а[1] * б[1] c[2] = а[2] * б[2]

c[0] = а[0] * б[0] c[1] = а[1] * б[1] c[2] = а[2] * б[2]

Мы можем выполнить эту операцию прямо в NumPy.

# умножаем векторы из массива импорта numpy a = array ([1, 2, 3]) print (a) b = array ([1, 2, 3]) print (b) c = a * b print (c)

# умножить векторы из тупой импорт множество а знак равно множество([1, 2, 3]) Распечатать(а) б знак равно множество([1, 2, 3]) Распечатать(б) c знак равно а * б Распечатать(c)

В примере определяются два вектора с тремя элементами в каждом, а затем векторы умножаются.

При выполнении примера сначала печатаются два родительских вектора, затем печатается новый вектор.

Векторное деление

Можно разделить два вектора одинаковой длины.

Как и другие арифметические операции, эта операция выполняется поэлементно, чтобы получить новый вектор той же длины.

a / b = (a1 / b1, a2 / b2, a3 / b3)

a / b = (a1 / b1, a2 / b2, a3 / b3)

или же

a / b = (a1b1, a2b2, a3b3)

a / b = (a1b1, a2b2, a3b3)

Или, по-другому:

c[0] = а[0] / b[0] c[1] = а[1] / b[1] c[2] = а[2] / b[2]

c[0] = а[0] / b[0] c[1] = а[1] / b[1] c[2] = а[2] / b[2]

Мы можем выполнить эту операцию прямо в NumPy.

# делим векторы из массива импорта numpy a = array ([1, 2, 3]) print (a) b = array ([1, 2, 3]) print (b) c = a / b print (c)

# разделить векторы из тупой импорт множество а знак равно множество([1, 2, 3]) Распечатать(а) б знак равно множество([1, 2, 3]) Распечатать(б) c знак равно а / б Распечатать(c)

В примере определяются два вектора с тремя элементами в каждом, а затем первый делится на второй.

При выполнении примера сначала печатаются два родительских вектора, а затем результат деления вектора.

[1 2 3] [1 2 3] [ 1. 1. 1.]

[1 2 3] [1 2 3] [ 1. 1. 1.]

Вектор точечный продукт

Мы можем вычислить сумму умноженных элементов двух векторов одинаковой длины, чтобы получить скаляр.

Это называется скалярным произведением из-за оператора точки, используемого при описании операции.

Скалярное произведение — это ключевой инструмент для расчета векторных проекций, векторных разложений и определения ортогональности. Название скалярное произведение происходит от символа, используемого для его обозначения.

— Стр. 110, Руководство по линейной алгебре без ерунды, 2017

Операцию можно использовать в машинном обучении для вычисления взвешенной суммы вектора.

Скалярное произведение рассчитывается следующим образом:

а. b = (a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3)

а. b = (a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3)

или же

а. б = (a1b1 + a2b2 + a3b3)

а. б = (a1b1 + a2b2 + a3b3)

Мы можем вычислить скалярное произведение между двумя векторами в Python, используя функцию dot () в массиве NumPy.

# векторов скалярного произведения из массива импорта numpy a = array ([1, 2, 3]) print (a) b = array ([1, 2, 3]) print (b) c = a.dot (b) print (c)

# векторов скалярного произведения из тупой импорт множество а знак равно множество([1, 2, 3]) Распечатать(а) б знак равно множество([1, 2, 3]) Распечатать(б) c знак равно а.точка(б) Распечатать(c)

В примере определяются два вектора с тремя элементами в каждом, а затем вычисляется скалярное произведение.

При выполнении примера сначала печатаются два родительских вектора, а затем скалярное скалярное произведение.

Векторно-скалярное умножение

Вектор можно умножить на скаляр, по сути, масштабируя величину вектора.

Для упрощения обозначений мы будем использовать строчную букву «s» для представления скалярного значения.

или же

Умножение выполняется для каждого элемента вектора, чтобы получить новый масштабированный вектор той же длины.

s * v = (s * v1, s * v2, s * v3)

s * v = (s * v1, s * v2, s * v3)

Или, по-другому:

c[0] = а[0] * с с[1] = а[1] * с с[2] = а[2] * с

c[0] = а[0] * с c[1] = а[1] * с c[2] = а[2] * с

Мы можем выполнить эту операцию напрямую с массивом NumPy.

# векторно-скалярное умножение из массива импорта numpy a = array ([1, 2, 3]) print (a) s = 0,5 print (s) c = s * a print (c)

# векторно-скалярное умножение из тупой импорт множество а знак равно множество([1, 2, 3]) Распечатать(а) s знак равно 0,5 Распечатать(s) c знак равно с * а Распечатать(c)

В примере сначала определяется вектор, а затем скаляр умножается на скаляр.

При выполнении примера сначала печатается родительский вектор, затем скаляр, а затем результат их умножения.

[1 2 3] 0,5 [ 0.5 1. 1.5]

[1 2 3] 0,5 [ 0.5 1. 1.5]

Точно так же векторно-скалярное сложение, вычитание и деление могут выполняться таким же образом.

Расширения

Эта секция…

Разность векторов: определение, формула для нахождения, аналитический метод и графическое построение

В математике и физике студентам и школьникам зачастую попадаются задачи на векторные величины и на выполнение различных операций над ними. В чём же отличие векторных величин от привычных нам скалярных, единственная характеристика которых — это численное значение? В том, что они обладают направлением.

Максимально наглядно применение векторных величин объясняется в физике. Самыми простыми примерами являются силы (сила трения, сила упругости, вес), скорость и ускорение, поскольку помимо численных значений они также обладают направлением действия. Для сравнения приведём пример скалярных величин: это может быть расстояние между двумя точками или масса тела. Для чего же необходимо выполнять действия над векторными величинами такие как сложение или вычитание? Это нужно, чтобы было возможно определить результат действия системы векторов, состоящей из 2 или более элементов.

Определения векторной математики

Введём главные определения, используемые при выполнении линейных операций.

1. Вектором называют направленный (имеющий точку начала и точку конца) отрезок.
2. Длина (модуль) — это длина направленного отрезка.
3. Коллинеарными называют такие два вектора, которые либо параллельны одной и той же прямой, либо одновременно лежат на ней.
4. Противоположно направленными векторами называют коллинеарные и при этом направленные в разные стороны. Если же их направление совпадает, то они являются сонаправленными.
5. Вектора являются равными, когда они сонаправлены и одинаковы по модулю.
6. Суммой двух векторов a и b является такой вектор c, начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом второго при условии, что b начинается в той же точке, в которой заканчивается a.
7. Разностью векторов a и b называют сумму a и (— b), где (— b) — противоположно направленный к вектору b. Также определение разности двух векторов может быть дано следующее: разностью c пары векторов a и b называют такой c, который при сложении с вычитаемым b образует уменьшаемое a.

Аналитический метод

Аналитический способ подразумевает получение координат разности по формуле без построения. Возможно выполнить вычисление для плоского (двухмерного), объёмного (трёхмерного) или же n-мерного пространства.

Для двухмерного пространства и векторных величин a {a₁, a₂} и b {b₁, b₂} расчёты будут иметь следующий вид: c {c₁, c₂} = {a₁ b₁, a₂ b₂}.

В случае с добавлением третьей координаты расчёт будет проводиться аналогично, и для a {a₁, a₂, a₃} и b {b₁, b₂, b₃} координаты разности будут также получены попарным вычитанием: c {c₁, c₂, c₃} = {a₁ b₁, a₂ b₂, a₃ b₃}.

Вычисление разности графически

Для того чтобы построить разность графическим способом, следует воспользоваться правилом треугольника. Для этого необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. По заданным координатам построить векторы, для которых нужно найти разность.
2. Совместить их концы (т. е. построить два направленных отрезка, равных заданным, которые будут оканчиваться в одной и той же точке).
3. Соединить начала обоих направленных отрезков и указать направление, результирующий будет начинаться в той же точке, где начинался вектор, являющийся уменьшаемым, и заканчиваться в точке начала вычитаемого.

Результат операции вычитания показан на рисунке ниже.

Также существует метод построения разности, незначительно отличающийся от предыдущего. Его суть заключается в применении теоремы о разности векторов, которая формулируется следующим образом: для того чтобы найти разность пары направленных отрезков, достаточно найти сумму первого из них с отрезком, противоположно направленным ко второму. Алгоритм построения будет иметь следующий вид:

1. Построить исходные направленные отрезки.
2. Тот, что является вычитаемым, необходимо отразить, т. е. построить противоположно направленный и равный ему отрезок, затем совместить его начало с уменьшаемым.
3. Построить сумму: соединить начало первого отрезка с концом второго.

Результат такого решения изображён на рисунке:

Решение задач

Для закрепления навыка разберём несколько заданий, в которых требуется рассчитать разность аналитически или графически.

Задача 1. На плоскости заданы 4 точки: A (1, —3), B (0, 4), C (5, 8), D (—3, 2). Определить координаты вектора q = AB — CD, а также рассчитать его длину.

Решение. Вначале следует найти координаты AB и CD. Для этого из координат конечных точек вычтем координаты начальных. Для AB началом является A (1, —3), а концом B (0, 4). Рассчитаем координаты направленного отрезка:

AB {0 — 1, 4 — (— 3)} = {— 1, 7}

Аналогичный расчёт выполняется для CD:

CD {— 3 — 5, 2 — 8} = {— 8, — 6}

Теперь, зная координаты, можно найти разность векторов. Формула для аналитического решения плоских задач была рассмотрена ранее: для c = a — b координаты имеют вид {c₁, c₂} = {a₁ b₁, a₂ b₂}. Для конкретного случая можно записать:

q = {— 1 — 8, 7 — ( — 6)} = { — 9, — 1}

Чтобы найти длину q, воспользуемся формулой | q | = √(q₁² + q₂²) = √((— 9)² + (— 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9,06.
Задача 2. На рисунке изображены векторы m, n и p.

Необходимо построить для них разности: p — n, m — n, m — n — p. Выяснить, какая из них обладает наименьшим модулем.

Решение. В задаче требуется выполнить три построения. Рассмотрим каждую часть задания более подробно.

Часть 1. Для того чтобы изобразить p — n, воспользуемся правилом треугольника. Для этого при помощи параллельного переноса соединим отрезки так, чтобы совпала их конечная точка. Теперь соединим начальные точки и определим направление. В нашем случае вектор разности начинается там же, где и вычитаемый n.

Часть 2. Изобразим m — n. Теперь для решения воспользуемся теоремой о разности векторов. Для этого следует построить вектор, противоположный n, а затем найти его сумму с m. Полученный результат будет выглядеть так:

Часть 3. Для того чтобы найти разность m — n — p, следует разбить выражение на два действия. Поскольку в векторной алгебре действуют законы аналогичные законам арифметики, то возможны варианты:

• m — (n + p): в этом случае вначале строится сумма n + p, которая затем вычитается из m,
• (m — n) — p: здесь сначала нужно найти m — n, а затем отнять от этой разности p,
• (m — p) — n: первым действием определяется m — p, после чего из полученного результата нужно вычесть n.

Так как в предыдущей части задачи мы уже нашли разность m — n, нам остаётся лишь вычесть из неё p. Построим разность двух данных векторов при помощи теоремы о разности. Ответ показан на изображении ниже (красным цветом обозначен промежуточный результат, а зелёным — окончательный).

Остаётся определить, модуль какого из отрезков является наименьшим. Вспомним, что понятия длины и модуля в векторной математике являются идентичными. Оценим визуально длины p — n, m — n и m — n — p. Очевидно, что самым коротким и обладающим наименьшим модулем является ответ в последней части задачи, а именно m — n — p.

Как сложить и вычесть векторы алгебраически

Введение

В этой статье мы рассмотрим вектор. Векторы — в отличие от простых чисел (скаляров), которые имеют только величину — имеют как величину (длину), так и направление. Мы рассмотрим, как представлять векторные величины, а также как их складывать и вычитать.

Ключевые термины

Скаляр

Вектор

Нулевой вектор

Цели

Количественное определение векторов с использованием системы координат

Сложение и вычитание векторов графически и алгебраически

Отдельные числа, то есть значения, имеющие только (положительную или отрицательную) величину, называются скалярами. Числа 0, –3, π, i, 1,3, e, и т. Д. Являются примерами скаляров. Другой тип значения, который часто используется в математике, — это вектор. Вектор — это величина, имеющая направление как величиной , так и направление . В этой статье мы рассмотрим некоторые математические характеристики векторов. Векторы имеют широкое применение, например, в физике.

Введение в векторы

Чтобы понять разницу между скаляром и вектором, полезно вспомнить физические примеры.Рассмотрим, например, температуру. Вы можете использовать термометр для измерения температуры воздуха в разных местах. В каждом случае вы получите некоторое число (и единицу) — скажем, 65 ° F. Это величина, но с ней не связано никакого направления; таким образом, это скалярная величина. Теперь рассмотрим измерения ветра в тех же местах. Когда вы измеряете ветер, вы, вероятно, измеряете и скорость, и направление. Таким образом, ваши измерения ветра составляют вектор. Мы могли бы выразить этот вектор в виде стрелки, указывающей в направлении ветра, причем длина стрелки пропорциональна скорости ветра.Ниже показаны два измерения ветра, сделанные в разных точках; стрелки представляют векторы, связанные с этими измерениями.

Векторы имеют величину и направление, но сами по себе не имеют назначенного местоположения. То есть, пока сохраняется направление и длина «стрелки», мы можем перемещать ее куда угодно, не меняя ее. Это важная характеристика, которая позволит нам активно работать с векторами.

Представление векторов

Наша первая задача — найти способ четко и последовательно представлять векторы. Графически это просто: поскольку мы можем перемещать вектор куда угодно, давайте всегда располагаем «хвост» вектора в начале координатной плоскости. (Обратите внимание, что «голова» и «хвост» вектора определены, как показано ниже.)

Теперь, когда хвост вектора помещен в начало координат (помните, мы можем перемещать вектор куда угодно, если сохраняем его направление и длину), мы можем количественно определить его как координаты головы.Пример показан ниже для вектора v . (Обратите внимание, что чтобы отличать символы, представляющие векторы, от символов, представляющих скаляры, мы используем жирный шрифт. Другой распространенный метод — использовать небольшую стрелку над символом: например, вектор.)

Таким образом, вектор v — это просто координаты точки в (2, 3). Обратите внимание, что все векторы, показанные ниже, равны (2, 3) — наше соглашение заключается в том, что вектор описывается координатами точки в его голове только , когда его хвост расположен в начале координат.

Хотя мы показали вектор только в двух измерениях, этот подход можно обобщить на любое количество измерений. Например, в трех измерениях вектор будет иметь форму ( x, y, z ). Все свойства двумерных векторов можно легко расширить до трех измерений.

Но как нам «переместить» вектор с числовой точки зрения? Например, скажем, вектор v имеет голову в (3, 2) и хвост в (1, 4).

Ответ заключается в переводе (или перемещении) головы и хвоста на эквивалентное расстояние и в одном направлении. Это преобразование должно привести к тому, что хвост вектора переместится в начало координат — простой процесс, который включает вычитание каждой координаты хвоста из себя. В приведенном выше примере результат (3–3, 2–2) = (0, 0). Чтобы перевести голову, аналогичным образом вычтите координаты хвоста из координат головы — это удовлетворяет нашему критерию, что перевод имеет фиксированное расстояние и направление.Таким образом, голову нужно двигать следующим образом: (1 — 3, 4 — 2) = (–2, 2). Таким образом, в общем, чтобы найти значение произвольно расположенного вектора, вычтите координаты хвоста из координат головы. Этот процесс проиллюстрирован ниже.

Обратите внимание, что вектор (0, 0), иногда называемый нулевым вектором , имеет длину 0, но не имеет определенного направления. (То есть независимо от того, какое направление вы выберете, нулевой вектор будет одинаковым.)

Практическая задача: Определите значение каждого вектора, показанного на графике ниже.

Решение: В каждом случае можно найти координатное выражение для вектора, вычитая координаты хвоста из соответствующих координат головы. Это работает, даже если хвост находится в начале координат, имеющем координаты (0, 0). Но если хвост находится в начале координат, вектор также просто равен координатам головы. Если это вам поможет, перерисуйте векторы так, чтобы хвосты располагались в начале координат.

a = (–1, 4)

b = (–3, –3)

c = (3 — 3, 2 — 0) = (0, 2)

d = (3 — 2, –4 — [–1]) = (1, –3)

Сложение и вычитание векторов

Как и в случае со скалярами, мы можем складывать и вычитать векторы. Процесс аналогичен, но с одной или двумя оговорками. Чтобы сложить или вычесть два вектора a и b , добавьте или вычтите соответствующие координаты вектора.То есть, где a и b определены следующим образом, вот правила сложения и вычитания.

Обратите внимание, что, как и в случае со скалярами, сложение векторов коммутативно, а вычитание — нет. Графически мы складываем два вектора a и b , помещая хвост b в начало a , а затем создавая новый вектор, начинающийся с хвоста a и заканчивающийся в голове b. .Координаты этого нового вектора определяются так же, как и раньше: путем размещения его хвоста в начале координат. Этот процесс проиллюстрирован ниже для векторов a = (4, 1) и b = (-1, 2).

Обратите внимание, что

Вычитание векторов следует в основном той же процедуре, что и сложение, за исключением того, что вычитаемый вектор «меняет направление» на противоположное.Рассмотрим те же векторы a _{и b , как указано выше, за исключением того, что мы вычислим a — b. (Обратите внимание, что это то же самое, что и , где — b имеет ту же длину, что и b , но имеет противоположное направление.)}

Практическая задача: Выполните следующие векторные операции.

а. (3, 2) — (4, 5) б.(-1, 5) + (10, -6) с. (-1, 0) — (0, 0)

Решение: В каждом случае сложите или вычтите соответствующие координаты, чтобы найти результат. Один из полезных способов проверить свой ответ — нарисовать векторы на графике, показывая сложение или вычитание и сравнивая ваши результаты.

а. (-1, -3) б. (9, -1) с. (-1, 0)

Вычитание двух векторов | Решенные примеры | Геометрия

Предположим, что \ (\ vec a \) и \ (\ vec b \) — два вектора.Как мы можем интерпретировать вычитание этих векторов? То есть какой смысл мы придаем \ (\ vec a — \ vec b \)?

Для начала отметим, что \ (\ vec a — \ vec b \) будет вектором, который при добавлении к \ (\ vec b \) должен вернуть \ (\ vec a \):

\ [\ влево ({\ vec a — \ vec b} \ right) + \ vec b = \ vec a \]

Но как определить вектор \ (\ vec a — \ vec b \) по векторам и \ (\ vec b \)? На следующем рисунке показаны векторы \ (\ vec a \) и \ (\ vec b \) (мы нарисовали их как совместные инициалы):

Нам нужен способ определения вектора \ (\ vec a — \ vec b \).

(i) Используя параллелограммный закон сложения векторов, мы можем определить вектор следующим образом. Мы интерпретируем \ (\ vec a — \ vec b \) как \ (\ vec a + \ left ({- \ vec b} \ right) \), то есть векторную сумму \ (\ vec a \) и \ (- \ vec b \). Теперь мы обращаем вектор \ (\ vec b \), а затем складываем \ (\ vec a \) и \ (- \ vec b \), используя закон параллелограмма:

(ii) Мы также можем использовать треугольный закон сложения векторов. Обозначим вектор, проведенный от конечной точки \ (\ vec b \) до конечной точки \ (\ vec a \), как \ (\ vec c \):

.

Обратите внимание, что \ (\ vec b + \ vec c = \ vec a \, \).Таким образом, \ (\ vec c = \ vec a \, — \ vec b \). Другими словами, вектор \ (\ vec a — \ vec b \) — это вектор, проведенный от кончика \ (\ vec b \) к кончику \ (\ vec a \) (если \ (\ vec a \) и \ (\ vec b \) совпадают с инициалами).

Обратите внимание, что оба описанных выше способа дают нам один и тот же вектор для \ (\ vec a — \ vec b \). Это становится яснее из рисунка ниже:

Вектор \ (\ overrightarrow {PT} \) получается сложением \ (\ vec a \) и \ (- \ vec b \) по закону параллелограмма. Вектор \ (\ overrightarrow {RQ} \) получается путем рисования вектора от кончика \ (\ vec b \) к кончику \ (\ vec a \).Ясно, что оба вектора одинаковы (они являются переведенными версиями друг друга).

Пример 1: Вектор \ (\ vec a \) имеет величину 2 единицы и указывает на запад. Вектор \ (\ vec b \) имеет величину 2 единицы и составляет угол 120 ⁰ с восточным направлением:

Найдите \ (\ vec a \, — \ vec b \).

Решение: Сделайте \ (\ vec a \) и \ (\ vec b \) со-инициалом и проведите вектор от кончика \ (\ vec b \) к кончику \ (\ vec a \ ):

Ясно, что треугольник, образованный этими тремя векторами, равносторонний.Таким образом, \ (\ vec a \, — \ vec b \) является вектором величиной 2 единицы и составляет угол 120 ⁰ с восточным направлением, измеренный по часовой стрелке:

Пример 2: Единичный вектор — это вектор с единичной величиной. Единичный вектор обычно обозначается заглавной буквой. Например, всякий раз, когда вы встречаете такие символы, как \ (\ widehat a \), \ (\ widehat b \), \ (\ widehat c \) и т. Д., Вы должны интерпретировать их как единичные векторы. \ (\ widehat a \) и \ (\ widehat b \) — два единичных вектора, наклоненных под углом \ (\ theta \) друг к другу:

Найдите \ (\ left | {\ widehat a — \ widehat b} \ right | \).2} \ frac {\ theta} {2}} = 2 \ sin \ frac {\ theta} {2} \ end {align} \]

Пример 3: Что вы можете сказать о ненулевых векторах \ (\ vec a \) и \ (\ vec b \), если \ (\ left | {\ vec a \, + \ vec b} \ right | = \ left | {\ vec a \, — \ vec b} \ right | \)?

Решение: Соотношение \ (\ left | {\ vec a \, + \ vec b} \ right | = \ left | {\ vec a \, — \ vec b} \ right | \) говорит, что величина суммы векторов \ (\ vec a \) и \ (\ vec b \) равна величине их разности. Рассмотрим следующую цифру:

Обратите внимание, что на этом конкретном рисунке векторы \ (\ vec a \, + \ vec b \) и \ (\ vec a \, — \ vec b \) имеют неравную длину.Возможен ли какой-либо случай, когда двое имеют одинаковую длину? Небольшое размышление покажет, что это возможно только , когда \ (\ vec a \) и \ (\ vec b \) перпендикулярны. В таком сценарии \ (\ vec b \) и \ (- \ vec b \) имеют симметрию относительно \ (\ vec a \):

Ясно, что \ (\ vec a \, + \ vec b \) и \ (\ vec a \, — \ vec b \) в этом случае имеют одинаковую длину. Таким образом, для двух ненулевых векторов \ (\ vec a \) и \ (\ vec b \), \ (\ left | {\ vec a \, + \ vec b} \ right | = \ left | {\ vec a \, — \ vec b} \ right | \), только если \ (\ vec a \) и \ (\ vec b \) перпендикулярны.

Как сложить или вычесть два вектора с помощью метода параллелограмма

Этапы сложения или вычитания двух векторов с помощью метода параллелограмма

Шаг 1: При добавлении двух векторов {eq} \ vec {v} + \ vec {w} {/ eq}, нарисуйте два вектора так, чтобы у них была одна и та же начальная точка. Если вычесть два вектора, {eq} \ vec {v} — \ vec {w} {/ eq}, сначала измените направление второго вектора, {eq} \ vec {w} {/ eq}, чтобы создать {eq} — \ vec {w} {/ экв}. Затем нарисуйте {eq} \ vec {v} \ text {and} — \ vec {w} {/ eq}, чтобы у них была одна и та же начальная точка.

Шаг 2: Нарисуйте параллелограмм с двумя векторами в качестве двух смежных сторон.

Шаг 3: Нарисуйте вектор от начальной точки двух векторов до противоположной вершины параллелограмма, чтобы создать диагональ параллелограмма. Этот вектор представляет собой сумму или разность двух векторов.

Словарь для сложения или вычитания двух векторов с помощью метода параллелограмма

Метод параллелограмма для сложения векторов: Если {eq} \ vec {v} {/ eq} и {eq} \ vec {w} {/ eq} — векторы, мы можем найти сумму двух векторов, {eq} \ vec {v} + \ vec {w} {/ eq}, построив параллелограмм, диагональ которого равна сумме.

Метод параллелограмма для вычитания векторов: Если {eq} \ vec {v} {/ eq} и {eq} \ vec {w} {/ eq} — векторы, мы можем найти разницу между двумя векторами, {eq} \ vec {v} — \ vec {w} {/ eq}, используя тот факт, что отрицательное значение вектора имеет противоположное направление исходного вектора и что добавление отрицательного элемента эквивалентно вычитанию {eq} (\ vec {v} — \ vec {w} = \ vec { v} + (- \ vec {w})) {/ экв}. Затем мы можем использовать тот же метод параллелограмма, что и для добавления векторов.

Давайте воспользуемся этими шагами и определениями, чтобы попрактиковаться в сложении или вычитании двух векторов с помощью метода параллелограмма со следующими двумя примерами.

Пример задачи 1 — сложение или вычитание двух векторов с помощью метода параллелограмма

Для {eq} \ vec {v} {/ eq} и {eq} \ vec {w} {/ eq} на диаграмме, которая из следующего показывает {eq} \ vec {v} + \ vec {w} {/ eq} получено методом параллелограмма?

Вариант 1)

Вариант 2)

Вариант 3)

Вариант 4)95

019

Шаг 1: При добавлении двух векторов {eq} \ vec {v} + \ vec {w} {/ eq}, нарисуйте два вектора так, чтобы у них была одна и та же начальная точка.Если вычесть два вектора, {eq} \ vec {v} — \ vec {w} {/ eq}, сначала измените направление второго вектора, {eq} \ vec {w} {/ eq}, чтобы создать {eq} — \ vec {w} {/ экв}. Затем нарисуйте {eq} \ vec {v} \ text {and} — \ vec {w} {/ eq}, чтобы у них была одна и та же начальная точка.

Поскольку мы имеем дело с добавлением двух векторов, мы рисуем векторы {eq} \ vec {v} \ text {и} \ vec {w} {/ eq}, чтобы у них была одна и та же начальная точка.

Шаг 2: Нарисуйте параллелограмм с двумя векторами в качестве двух смежных сторон.

Теперь мы создаем параллелограмм, в котором векторы {eq} \ vec {v} \ text {и} \ vec {w} {/ eq} — смежные стороны параллелограмма. Для этого мы рисуем линии, параллельные {eq} \ vec {v} {/ eq} и {eq} \ vec {w} {/ eq}, чтобы создать другие стороны параллелограмма.

Шаг 3: Нарисуйте вектор от начальной точки двух векторов к противоположной вершине параллелограмма, чтобы создать диагональ параллелограмма. Этот вектор представляет собой сумму или разность двух векторов.

Диагональ от начальной точки векторов до противоположной вершины параллелограмма является результирующим вектором, поэтому мы рисуем эту диагональ, чтобы получить наш вектор, который является суммой векторов {eq} \ vec {v} \ text {и} \ vec {w} {/ экв}.

Мы видим, что вариант 4 показывает правильный способ найти {eq} \ bf {\ vec {v} + \ vec {w}} {/ eq} с использованием метода параллелограмма.

Пример задачи 2 — сложение или вычитание двух векторов с помощью метода параллелограмма

Для {eq} \ vec {v} {/ eq} и {eq} \ vec {w} {/ eq} на диаграмме, которая из следующего показывает {eq} \ vec {v} — \ vec {w} {/ eq} получено методом параллелограмма?

Вариант 1)

Вариант 2)

Вариант 3)

Вариант 4)95

019

Шаг 1: При добавлении двух векторов {eq} \ vec {v} + \ vec {w} {/ eq}, нарисуйте два вектора так, чтобы у них была одна и та же начальная точка.Если вычесть два вектора, {eq} \ vec {v} — \ vec {w} {/ eq}, сначала измените направление второго вектора, {eq} \ vec {w} {/ eq}, чтобы создать {eq} — \ vec {w} {/ экв}. Затем нарисуйте {eq} \ vec {v} \ text {and} — \ vec {w} {/ eq}, чтобы у них была одна и та же начальная точка.

В этом случае мы вычитаем два вектора, поэтому сначала мы меняем направление {eq} \ vec {w} {/ eq}, чтобы получить {eq} — \ vec {w} {/ eq}, а затем нарисуйте два вектора так, чтобы они имели одинаковую начальную точку.

Шаг 2: Нарисуйте параллелограмм с двумя векторами в качестве двух смежных сторон.

Шаг 3: Нарисуйте вектор от начальной точки двух векторов к противоположной вершине параллелограмма, чтобы создать диагональ параллелограмма. Этот вектор представляет собой сумму или разность двух векторов.

Мы видим, что вариант 3 показывает правильный способ найти {eq} \ bf {\ vec {v} — \ vec {w}} {/ eq} с использованием метода параллелограмма.

Узнайте о векторном вычитании | Чегг.com

На рисунке выше a и b — два заданных вектора. b нужно вычесть из a. Для этого сначала необходимо изменить направление b, сохранив его величину неизменной. Затем вектор –b помещается в продолжение вектора a, так что голова вектора a касается хвоста вектора –b. Направление вектора –b должно оставаться неизменным. Тогда треугольник завершен. Третья сторона треугольника указывает величину и направление вектора a – b.

Вычитание векторов иногда дает очень неожиданные результаты, которые могут быть невозможны при обычном вычитании цифр.Например, разность двух векторов может быть равна сложению двух векторов по величине. Предположим, что a и b — два вектора, как показано на рисунке ниже. Они наклонены под углом более 90 градусов. Другими словами, они делают тупой угол в месте встречи. Сложение обоих этих векторов было показано одной из диагоналей параллелограмма в соответствии с законом параллелограмма сложения векторов. Значение a – b также показано в соответствии с законом треугольника.Мы легко можем заметить, что величина a + b больше, чем величина a – b. Другими словами, сумма двух векторов больше, чем разность двух векторов по величине. Если мы возьмем угол между двумя векторами, равный 90 градусам, параллелограмм станет прямоугольником, а каждая диагональ станет равной по длине. Одна диагональ представляет собой a + b, а другая диагональ представляет собой a – b. Оба они равны. Следовательно, мы видим, что сумма двух векторов становится равной разнице двух векторов по величине.Далее можно заметить, что a + b становится меньше, чем a – b, если мы возьмем угол между двумя заданными векторами меньше 90 градусов.

Еще один удивительный результат сложения и вычитания векторов состоит в том, что вычитание двух равных векторов может стать равным одному из двух векторов. На следующем рисунке изображены векторы a, b, c и d. Длины a, b, c и d равны. Эти векторы отличаются только направлением. Здесь мы видим, что

a = b = c (только по величине, но они различаются по направлению, поскольку являются разными векторами).

Следовательно, a, b, c и a, -b, d — равносторонний треугольник.

Из треугольного закона сложения векторов,

a + b = c

a – b = d

Но c и d равны. Фактически, все векторы a, b, c и d равны.

Следовательно, можно видеть, что разность двух равных векторов равна любому из вычитаемых векторов.

Объяснение урока: векторные операции в 3D

В этом пояснительном материале мы узнаем, как выполнять операции с векторами в 3D, такие как сложение, вычитание и скалярное умножение.

Векторные операции сложения, вычитания и скалярного умножения работают так же в трех или более измерениях, как и в двух измерениях. Мы начнем с того, что вспомним, как выглядит вектор, записанный в трех измерениях.

Вектор, нарисованный в трех измерениях, имеет хвост (начальная точка) и голова (конечная точка). Направление вектора обозначено стрелкой, а длина вектора называется его величиной. Мы можем записать вектор через его единичные векторы ⃑𝑖, ⃑𝑗, и ⃑𝑘 или в виде компонентов.

Определение: единичные векторы

Единичный вектор — это вектор длины (величины), равной 1. Единичные векторы в 𝑥, 𝑦 и 𝑧 направления обозначаются буквами, ⃑𝑗 и ⃑𝑘 соответственно.

Любой вектор можно записать в виде 𝑥⃑𝑖 + 𝑦⃑𝑗 + 𝑧⃑𝑘. Альтернативно они могут быть представлены как (𝑥, 𝑦, 𝑧) и 𝑥𝑦𝑧.

Теперь рассмотрим формат любого вектора в пространстве, начальная точка которого находится в начале координат.

На диаграмме ниже точка 𝐴 имеет координаты (2,5,3) и вектор ⃑𝐴 (который иногда обозначается как 𝑂𝐴) — это отрезок прямой от начала координат до точки.

Из исходной точки мы перемещаем 2 единицы в направлении, 5 единиц в направлении и 3 единицы в направлении. такой, что вектор ⃑𝐴 = (2,5,3).

Напомним некоторые ключевые определения векторов.

Определение: векторы положения

Если точка 𝐴 имеет координаты (𝑥, 𝑦, 𝑧), как показано на диаграмме, то вектор ⃑𝐴 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), где компоненты 𝑥, 𝑦 и 𝑧 — смещения точки в-, -и 𝑧- направление от начала координат называется вектором положения.

Определение: сложение и вычитание векторов

Мы можем складывать или вычитать любые два вектора, добавляя или вычитая их соответствующие компоненты.

Если ⃑𝐴 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)  и ⃑𝐵 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) , тогда ⃑𝐴 + ⃑𝐵 = (𝑥 + 𝑥, 𝑦 + 𝑦, 𝑧 + 𝑧) .

Если ⃑𝐴 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)  и ⃑𝐵 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) , тогда ⃑𝐴 − ⃑𝐵 = (𝑥 − 𝑥, 𝑦 − 𝑦, 𝑧 − 𝑧) .

В нашем первом примере мы продемонстрируем, как вычесть один вектор из другого, когда оба они заданы в единицах их векторов.

Пример 1: Вычитание векторов в 3D

Если ⃑𝐴 = −5⃑𝑖 − 8⃑𝑗 + 6⃑𝑘 и ⃑𝐵 = 4⃑𝑖 − 3⃑𝑗 + 13⃑𝑘, найти ⃑𝐴 − ⃑𝐵.

Ответ

Мы знаем, что для вычитания двух векторов в трех измерениях мы вычитаем соответствующие компоненты индивидуально. Если ⃑𝐴 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)  и ⃑𝐵 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) , то ⃑𝐴 − ⃑𝐵 = (𝑥 − 𝑥, 𝑦 − 𝑦, 𝑧 − 𝑧) .

В этом вопросе нам нужно вычесть, ⃑𝑗 и ⃑𝑘 компоненты отдельно, чтобы получить ⃑𝐴 − ⃑𝐵 = (- 5, −8,6) — (4, −3,13) = (- 5−4, −8 — (- 3), 6−13) = (- 9, −5, — 7).

Следовательно, ⃑𝐴 − ⃑𝐵 = −9⃑𝑖 − 5⃑𝑗 − 7⃑𝑘.

Давайте теперь рассмотрим, как мы можем сложить два вектора в трех измерениях.

Пример 2: Добавление векторов в 3D

Учитывая два вектора ⃑𝐴 = (- 2, −3,0) и ⃑𝐵 = (- 3,3, −2), найти ⃑𝐴 + ⃑𝐵.

Ответ

Мы знаем, что для сложения двух векторов в трех измерениях мы добавляем соответствующие компоненты индивидуально. Если ⃑𝐴 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)  и ⃑𝐵 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) , то ⃑𝐴 + ⃑𝐵 = (𝑥 + 𝑥, 𝑦 + 𝑦, 𝑧 + 𝑧) .

Это означает, что ⃑𝐴 + ⃑𝐵 = (- 2 + (- 3), — 3 + 3,0 + (- 2)).

Следовательно, ⃑𝐴 + ⃑𝐵 = (- 5,0, −2).

Мы можем расширить правило сложения и вычитания векторов в трех измерениях до векторов в 𝑛-измерениях.

Если ⃑𝐴 = (𝑎, 𝑎, 𝑎,…, 𝑎, 𝑎)  и ⃑𝐵 = (𝑏, 𝑏, 𝑏,…, 𝑏, 𝑏) , то ⃑𝐴 + ⃑𝐵 = (𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏,…, 𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏) , и ⃑𝐴 − ⃑𝐵 = (𝑎 − 𝑏, 𝑎 − 𝑏, 𝑎 − 𝑏,…, 𝑎 − 𝑏, 𝑎 − 𝑏) .

Определение: умножение вектора на скаляр

Чтобы умножить любой вектор на скаляр, мы умножаем каждый из отдельных компонентов на этот скаляр.

Если ⃑𝐴 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), то 𝑘⃑𝐴 = (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧), для всех действительных констант.

Это также можно распространить на 𝑛-мерный случай.Если ⃑𝐴 = (𝑎, 𝑎, 𝑎,…, 𝑎, 𝑎) , то 𝑘⃑𝐴 = (𝑘𝑎, 𝑘𝑎, 𝑘𝑎,…, 𝑘𝑎, 𝑘𝑎) .

В следующем примере мы продемонстрируем, как можно умножить вектор на скалярную величину.

Пример 3: Масштабирование трехмерного вектора

Какой вектор получается в результате масштабирования вектора ⃑𝐴 = (- 6, −3, −1) с коэффициентом −6?

Ответ

Чтобы умножить любой вектор на скаляр, мы умножаем каждый из отдельных компонентов на этот скаляр. Если ⃑𝐴 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), тогда 𝑘⃑𝐴 = (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧).

В этом вопросе нам нужно умножить −6, −3 и −1 на −6. Напомним, что умножая два отрицательных числа дают положительный ответ: −6 × −6 = 36, −3 × −6 = 18, −1 × −6 = 6.

Итак, умножение (−6, −3, −1) на коэффициент −6 дает нам вектор (36,18,6).

В четвертом примере мы объединим умножение вектора на скаляр с вычитанием векторов.

Пример 4: Вычитание скалярных кратных векторов

Если ⃑𝐴 = (- 8,9,9) и ⃑𝐵 = (- 6,4,9), найти 25⃑𝐴 − 45⃑𝐵.

Ответ

Чтобы умножить любой вектор на скаляр, мы умножаем каждый из отдельных компонентов на этот скаляр.

Так как ⃑𝐴 = (- 8,9,9), то 25⃑𝐴 = 25 (−8,9,9) =  − 165,185,185.

Так как ⃑𝐵 = (- 6,4,9), то 45⃑𝐵 = 45 (−6,4,9) =  − 245,165,365.

Чтобы вычесть два вектора в трех измерениях, мы вычитаем соответствующие компоненты по отдельности: 25⃑𝐴 − 45⃑𝐵 =  − 165,185,185 −  − 245,165,365 =  − 165 −  − 245, 185−165,185−365 = 85,25, −185.

Следовательно, 25⃑𝐴 − 45⃑𝐵 = 85,25, −185.

В нашем следующем примере мы найдем отсутствующий вектор в векторном выражении.

Пример 5: Поиск неизвестного вектора по векторному выражению

Если ⃑𝐴 = (- 1,1,1) и ⃑𝐵 = (1,1, −2), определим вектор ⃑𝐶 для которого 2⃑𝐶 + 5⃑𝐴 = 5⃑𝐵.

Ответ

В вопросе нам сказано, что 2⃑𝐶 + 5⃑𝐴 = 5⃑𝐵, поэтому мы можем начать с переставляя и вычитая 5⃑𝐴 из обеих частей уравнения.Это дает нам уравнение 2⃑𝐶 = 5⃑𝐵 − 5⃑𝐴.

Далее вычисляем 5⃑𝐴 и 5⃑𝐵. Чтобы умножить любой вектор на скаляр, мы умножаем каждый из отдельных компонентов на этот скаляр.

Если ⃑𝐴 = (- 1,1,1), то 5⃑𝐴 = (- 5,5,5).

Если ⃑𝐵 = (1,1, −2), то 5⃑𝐵 = (5,5, −10).

Чтобы вычесть два вектора в трех измерениях, мы вычитаем соответствующие компоненты по отдельности.

Итак, 5⃑𝐵 − 5⃑𝐴 = (5,5, −10) — (- 5,5,5) = (10,0, −15).

Поскольку 2⃑𝐶 = (10,0, −15), мы можем разделить каждый отдельный компонент на 2, чтобы вычислить вектор ⃑𝐶.

Следовательно, ⃑𝐶 = 5,0, −152.

Если даны две точки в пространстве, мы можем применить формулу расстояния, чтобы найти расстояние между ними. Это вариант теоремы Пифагора. Данный две точки (𝑥, 𝑦)  и (𝑥, 𝑦) , расстояние 𝑑 между ними определяется как 𝑑 =  (𝑥 − 𝑥) + (𝑦 − 𝑦) .

Это можно обобщить еще больше, чтобы получить расстояние между точкой в ​​трехмерном пространстве и началом координат. В векторных терминах это означает, что мы можем найти длину вектора, которую мы называем величиной вектора.

Определение: величина вектора

Величина вектора сообщает нам его длину и обозначается ‖‖⃑𝐴‖‖.

Если ⃑𝐴 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), то ‖‖⃑𝐴‖‖ = √𝑥 + 𝑦 + 𝑧.

В нашем следующем примере мы вычислим величину векторов в трех измерениях.

Пример 6: Сравнение модулей векторных выражений

⃑𝑉 и 𝑊 — два вектора, где ⃑𝑉 = (- 1,5, −2) и 𝑊 = (3,1,1). Сравнивая ‖‖⃑𝑉 − 𝑊‖‖ и ‖‖⃑𝑉‖‖ − ‖‖𝑊‖‖, какое количество больше?

Ответ

Чтобы вычислить величину любого вектора, мы вычисляем квадратный корень из суммы квадратов отдельных компонентов.Если ⃑𝐴 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), то ‖‖⃑𝐴‖‖ = √𝑥 + 𝑦 + 𝑧.

Нам говорят, что ⃑𝑉 = (- 1,5, −2).

Итак, ‖‖⃑𝑉‖‖ =  (−1) + (5) + (- 2) = √30.

Нам также говорят, что 𝑊 = (3,1,1).

Итак, ‖‖𝑊‖‖ =  (3) + (1) + (1) = √11.

Это означает, что ‖‖⃑𝑉‖‖ − ‖‖𝑊‖‖ = √30 − √11≈2,1606.

Чтобы вычесть два вектора, мы вычитаем соответствующие компоненты по отдельности: ⃑𝑉 − 𝑊 = (- 1,5, −2) — (3,1,1) = (- 4,4, −3).

Итак, ‖‖⃑𝑉 − 𝑊‖‖ =  (−4) + (4) + (- 3) = √41.

Итак, √41≈6,4031, что больше 2,1606.

Следовательно, − 𝑊‖‖ больше, чем ‖‖⃑𝑉‖‖ − ‖‖𝑊‖‖.

В нашем последнем примере мы продемонстрировали, что величина разности двух векторов не равна разнице между их соответствующими величины. Важно понимать, что, хотя мы можем довольно легко найти сумму или разность двух или более векторов, мы не можем применить аналогичный понятие к сумме или разнице их величин.

В нашем последнем примере мы вычислим возможные пропущенные значения в векторной задаче.

Пример 7: Решение векторной задачи с использованием единичных векторов

Учитывая, что ⃑𝐴 = 3⃑𝑖 + ⃑𝑗 + 𝑚⃑𝑘 и что ⃑𝐵 — единичный вектор, равный 15⃑𝐴, определить возможные значения 𝑚.

Ответ

Чтобы умножить любой вектор на скаляр, мы умножаем каждый из отдельных компонентов на этот скаляр.

Так как ⃑𝐵 = 15⃑𝐴, то ⃑𝐵 = 153⃑𝑖 + ⃑𝑗 + 𝑚⃑𝑘 = 35⃑𝑖 + 15⃑𝑗 + 𝑚5⃑𝑘.

Нам говорят, что ⃑𝐵 — единичный вектор, и мы знаем, что любой единичный вектор имеет величину, равную 1, где ‖‖⃑𝐵‖‖ = √𝑥 + 𝑦 + 𝑧, если ⃑𝐵 = (𝑥, 𝑦, 𝑧): 35 + 15 + 𝑚5 = 1.

Возводя обе части уравнения в квадрат, 35 + 15 + 𝑚5 = 1,925 + 125 + 𝑚25 = 1.

Умножая на 25 и собирая одинаковые термины, 10 + 𝑚 = 25, 𝑚 = 25−10, 𝑚 = 15.

Найдя квадратный корень из обеих частей, 𝑚 может быть равно √15 или −√15.

Мы закончим это объяснение повторением некоторых ключевых моментов.

Ключевые точки

• Единичный вектор имеет величину 1, а единичные векторы параллельны осям-, 𝑦- и 𝑧 обозначаются ⃑𝑖, ⃑𝑗 и ⃑𝑘 соответственно.
• Вектор в трехмерном пространстве может быть записан в виде компонентов: (𝑥, 𝑦, 𝑧) или в терминах его основных единиц. векторы: 𝑥⃑𝑖 + 𝑦⃑𝑗 + 𝑧⃑𝑘.
• Чтобы сложить или вычесть два вектора, мы складываем или вычитаем их соответствующие компоненты.
  Если ⃑𝐴 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)  и ⃑𝐵 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) , то ⃑𝐴 + ⃑𝐵 = (𝑥 + 𝑥, 𝑦 + 𝑦, 𝑧 + 𝑧) .
  Если ⃑𝐴 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)  и ⃑𝐵 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) , то ⃑𝐴 − ⃑𝐵 = (𝑥 − 𝑥, 𝑦 − 𝑦, 𝑧 − 𝑧) .
• Чтобы умножить любой вектор на скаляр, мы умножаем каждый из отдельных компонентов на этот скаляр. Если ⃑𝐴 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), то 𝑘⃑𝐴 = (𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧).
• Величина вектора — это его длина, и ее можно вычислить, применив теорему Пифагора в трех измерениях. Если ⃑𝐴 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), то ‖‖⃑𝐴‖‖ = √𝑥 + 𝑦 + 𝑧.

Сложение и вычитание векторов

Векторы: \ (\ mathbf {u}, \) \ (\ mathbf {v}, \) \ (\ mathbf {w}, \) \ (\ mathbf {u_1}, \) \ (\ mathbf {u_2}, \; \ ldots \; \)
Нулевой вектор: \ (\ mathbf {0} \)

Координаты векторов: \ ({X_1}, \) \ ({Y_1}, \) \ ({Z_1}, \) \ ({X_2}, \) \ ({Y_2}, \) \ ({Z_2} \ )

1. Сумма двух векторов \ (\ mathbf {u} \) и \ (\ mathbf {v} \) является третьим вектором \ (\ mathbf {w} \), взятым из хвоста \ (\ mathbf {u } \) в голову \ (\ mathbf {v} \), если хвост вектора \ (\ mathbf {v} \) помещен в голову \ (\ mathbf {u} \).Сложение векторов выполняется по правилу треугольника или параллелограмма.
   \ (\ mathbf {w} = \ mathbf {u} + \ mathbf {v} \)
2. Сумма нескольких векторов \ (\ mathbf {u_1}, \) \ (\ mathbf {u_2}, \) \ (\ mathbf {u_3}, \ ldots \) ​​называется вектором \ (\ mathbf {w} \ ) в результате последовательного сложения этих векторов. Эта операция выполняется по правилу многоугольника.
   \ (\ mathbf {w} = \ mathbf {u_1} + \ mathbf {u_2} + \ mathbf {u_3} + \ ldots \) ​​\ (+ \; \ mathbf {u_n} \)
3. Коммутативный закон сложения
   \ (\ mathbf {u} + \ mathbf {v} = \ mathbf {v} + \ mathbf {u} \)
4. социативный закон сложения
   \ (\ left ({\ mathbf {u} + \ mathbf {v}} \ right) + \ mathbf {w} = \) \ (\ mathbf {u} + \ left ({\ mathbf {v} + \ mathbf {w}} \ right) \)
5. Сумма векторов в форме координат
   При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.
   \ (\ mathbf {u} + \ mathbf {v} = \) \ (\ big ({{X_1} + {X_2},} \) \ ({{Y_1} + {Y_2},} \) \ ( {{Z_1} + {Z_2}} \ big) \)
6. Разность двух векторов \ (\ mathbf {u} \) и \ (\ mathbf {v} \) называется вектором \ (\ mathbf {w} \) при условии, что
   \ (\ mathbf {w} = \ mathbf {u} — \ mathbf {v}, \) если \ (\ mathbf {w} + \ mathbf {v} = \ mathbf {u} \)
7. Разность векторов \ (\ mathbf {u} \) и \ (\ mathbf {v} \) равна сумме \ (\ mathbf {u} \) и противоположного вектора \ (- \ mathbf { v} \):
   \ (\ mathbf {u} — \ mathbf {v} = \) \ (\ mathbf {u} + \ left (- \ mathbf {v} \ right) \)
8. Разность двух равных векторов — это нулевой вектор:
   \ (\ mathbf {u} — \ mathbf {u} = \ mathbf {0} \)
9. Длина нулевого вектора равна нулю:
   \ (\ left | \ mathbf {0} \ right | = 0 \)
10. Разность векторов в координатной форме
    При вычитании двух векторов вычитаются соответствующие координаты:
    \ (\ mathbf {u} — \ mathbf {v} = \ big ({{X_1} — {X_2},} \) \ ({{Y_1} — {Y_2},} \) \ ({{Z_1} — {Z_2}} \ big) \)

арифметика — Зачем сдвигать результат вычитания векторов?

Почему мы сдвигаем полученный вектор после вычитания любых двух векторов a и b ?

Я узнал, что когда вы складываете любых двух векторов a и b , вектор суммы выглядит как тот, который можно увидеть на рисунке ниже (результат можно найти, сложив соответствующие координаты x и y два вектора или любые визуальные / геометрические методы, такие как методы треугольника или параллелограмма).

Теперь, после вычитания вектора b из , можно определить как добавление отрицательной (обратной) версии вектора b (или a + (-b) ), результат будет примерно таким:

Здесь вектор v вычитается из вектора u , или u + (-v).

Вместо этого в моей книге и на веб-сайте, объясняющем эту концепцию, говорится, что результирующий вектор можно просто сдвинуть на на или преобразовать так, чтобы получился своего рода полный «треугольник»:

Обратите внимание, что вектор (u — v) сейчас сдвинут вправо.

Хотя я понимаю, что направление и величина вектора не изменились в результате сдвига, я не понимаю, почему мы можем просто изменить его начало или положение в пространстве. Я предполагаю, что все эти векторы определены парой координат, что означает, что их начало координат неявно определяется как начало координат (0, 0), верно? Таким образом, сложение и вычитание любых двух векторов, происходящих из (0, 0), также будет начинаться с (0, 0,), как в случае сложения двух векторов.