Какой вектор называется произведение данного вектора на число: Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число? — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Задание 14 — ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян, Бутузов. Учебник. Вопросы для повторения к главе IX. Страница 209

Главная
ГДЗ
7 класс, 8 класс, 9 класс
Геометрия
Атанасян, Бутузов. Учебник
Вопросы для повторения к главе IX
Задание 14

← Предыдущее
Следующее →

Вернуться к содержанию учебника

Вопросы для повторения к главе IX. Страница 209

Вопрос

Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?

Подсказка

Вспомните:

Что такое вектор, длина вектора, нулевой вектор.
Какой вектор называется произведением вектора на число.
Какие векторы называются сонаправленными, какие противоположно направленными.

Ответ

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Вернуться к содержанию учебника

← Предыдущее
Следующее →

Пользовательское соглашение

Нашли ошибку?

Связаться с нами

Вопросы для повторения «Векторы и координаты»

1. Объясните, что такое ось координат, начало координат, положительная полуось, отрицательная полуось.

2. Что называется координатой точки, лежащей на оси координат?

3. Докажите, что координата середины отрезка, лежащего на оси координат, равна полусумме координат концов этого отрезка.

4. Объясните, как вводится прямоугольная (декартова) система координат. Как называются оси координат?

5. Объясните, как определяются координаты точки в заданной прямоугольной системе координат. Как называются координаты точки?

6. Докажите, что каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов этого отрезка.

7. Приведите примеры векторных величин, известных вам из курса физики.

8. Дайте определение вектора Как обозначаются векторы?

9. Какой вектор называется противоположным вектору ?

10. Объясните, какой вектор называется нулевым.

11. Что называется длиной вектора? Чему равна длина нулевого вектора?

12. Какие векторы называются равными?

13. Что называется координатами вектора в прямоугольной системе координат?

14. Сформулируйте и докажите теорему о координатах равных векторов.

15. Объясните смысл выражения: «Вектор отложен от точки M». Докажите, что от любой точки M можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один.

16. Докажите, что длина вектора равна корню из суммы квадратов его координат.

17. Выведите формулу, выражающую расстояние между двумя точками через координаты этих точек.

18. Объясните, что означают слова: «Угол между ненулевыми векторами и равен α».

19. Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их координаты.

20. Какие два вектора называются перпендикулярными? Выведите формулу, выражающую условие перпендикулярности двух ненулевых векторов с координатами {x₁; y₁} и {x₂; y₂}.

21. Какое равенство называется уравнением данной линии в заданной прямоугольной системе координат?

22. Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке.

23. Выведите уравнение прямой, проходящей через точку M₀ (x₀; y₀) перпендикулярно к ненулевому вектору {a; b}.

24. Какое число называется угловым коэффициентом прямой в данной системе координат? Докажите, что если угловые коэффициенты двух прямых различны, то эти прямые пересекаются, а если одинаковы, то прямые параллельны.

25. Выведите уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

26. Объясните, какой вектор называется суммой двух векторов. В чем заключается правило треугольника сложения двух векторов?

27. Докажите, что для любого вектора справедливы равенства: + = ; + (–) =.

28. Докажите, что каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

29. Какой вектор называется разностью двух векторов? Как выражаются координаты разности двух векторов через координаты этих векторов?

30. Сформулируйте и докажите теорему о свойствах сложения векторов.

31. Какие векторы называются коллинеарными? В чем заключается правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов?

32. В чем заключается правило многоугольника сложения нескольких векторов?

33. Какой вектор называется произведением данного ненулевого вектора на данное число, отличное от нуля?

34. Чему равно произведение k, если: а) = ; б) k = 0?

35. Докажите, что каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

36. Сформулируйте и докажите утверждение о свойствах умножения вектора на число.

37. Что называется скалярным произведением двух векторов?

38. Что такое скалярный квадрат вектора? Чему он равен?

39. Выведите формулу, выражающую скалярное произведение векторов через их координаты.

40. Докажите, что скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

41. В каком случае скалярное произведение двух ненулевых векторов положительно (отрицательно)?

42. Сформулируйте и докажите утверждение о свойствах скалярного произведения векторов.

43. Что означают слова: «вектор разложен по векторам и »? Что такое коэффициенты разложения?

44. Докажите, что если векторы и не коллинеарны, то любой вектор можно разложить по векторам и , причем коэффициенты этого разложения определяются единственным образом.

45. Докажите, что если векторы и коллинеарны и ≠, то существует такое число k, что = k.

46. Объясните, что такое отображение плоскости на себя.

47. Какое отображение плоскости на себя называется осевой симметрией? Какая прямая при этом называется осью симметрии?

48. Докажите, что при осевой симметрии сохраняются расстояния между точками.

49. Что означают слова «осевая симметрия сохраняет величину угла, но меняет его ориентацию»?

50. Какое отображение плоскости на себя называется движением?

51. Какое отображение плоскости на себя называется параллельным переносом на данный вектор?

52. Объясните, какое отображение плоскости на себя называется поворотом вокруг данной точки на данный угол? Какое отображение плоскости на себя называется центральной симметрией? Какая точка при этом называешься центром симметрии?

53. Какое отображение плоскости на себя называется центральным подобием (гомотетией)?

54. Какое отображение плоскости на себя называется преобразованием подобия? Какие фигуры называются подобными?

Презентация — Координаты векторов

Слайды и текст этой онлайн презентации

Слайд 1

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ Подготовила: Крылова Алина Викторовна учитель математики МБОУ «Видновская СОШ №2» Московская область Ленинский район г. Видное 2019 год

Слайд 2

Повторение Дайте определение вектора. Какой вектор называется нулевым? Длина вектора. Чему равна длина нулевого вектора? Какие векторы называются коллинеарными? Дайте определение равных векторов. Что значит «Вектор отложен от данной точки? Сколько векторов равных данному можно отложить от данной точки?

Слайд 3

Повторение В чем заключается правило треугольника сложения двух векторов? В чем заключается правило параллелограмма сложения двух векторов? Какой вектор называется разностью двух векторов? Какой вектор называется противоположным данному? Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число ? Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.

Слайд 4

Устная работа

Слайд 5

Устная работа

Слайд 6

Координаты вектора Определение Единичные векторы – векторы, длины которых равны единице. Векторы i и j называются координатными векторами.

Слайд 7

Обозначение

Слайд 8

Обозначение Координаты вектора указываются в фигурных скобках после обозначения вектора

Слайд 9

Определить координаты векторов

Слайд 10

Определить координаты векторов и построить их

Слайд 11

Разложите вектор по координатным векторам

Слайд 12

Свойства координатных векторов

Слайд 13

Координаты вектора Каждая координата суммы двух векторов или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Слайд 14

Координаты вектора Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов .

Слайд 15

Координаты вектора Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число.

Слайд 16

Слайд 17

Математический диктант Запишите разложение по координатным векторам вектора ? 2; 1 . Выпишите координаты вектора с , если с ? 2? . Найдите координаты вектора ? , равного разности векторов ? и ? , если ? 5;0 , ? 0; 4 . Найдите координаты вектора 3? , если ? 4; 2 . Найдите координаты вектора ? ? 4? , если ? 3; 2 , ? 2; 3 . Постройте вектор ? 3;1 с началом в точке О.

Слайд 18

Домашнее задание п.87; вопросы 1 – 3 (стр.224) № 921(в, г), № 922(в, г) , № 923(в, г), №924(в, г), №926

Слайд 19

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!

ЗАЧЕТ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРЫ

Билет 1.

1. Какие векторы называются коллинеарными? Дайте определение равных векторов.

2. Начертите ненулевой вектор АВ и отметьте точки М и N по разные стороны от прямой АВ и точку К на прямой АВ. Отложите от точек М. N и К соответственно векторы: ММ

1, сонаправленный с АВ; NN₁, равный АВ; КК₁, противоположно направленный по отношению к АВ.

3. Дано: АВ = СD. Докажите, что AC = BD.

Билет 2.

1.Объясните, какой вектор называется суммой двух данных векторов. Какие правила сложения двух и нескольких векторов вы знаете?

2.Начертите попарно неколлинеарные векторы a, b, c, d и постройте вектор p = a + b + c + d.

3.Найдите длину вектора m если m = MN + PR + KM + NP + RK.

Билет 3.

1. Какой вектор называется разностью двух данных векторов?

2. Начертите два неколлинеарных вектора а и b и постройте вектор а – b.

3. Найдите вектор х из условия PB – OD + x + MC = PA – BM – OA.

Билет 4.

1. Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?

2. Начертите два неколлинеарных вектора р и q и отметьте точку О. Отложите от точки О вектор ОА = 1,5p – 2q.

3. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О, а точка М делит сторону AD в отношении AM : MD = 1 : 2. Выразите вектор ОМ через векторы а = АВ и b = AD.

Билет 5

Приведите примеры векторных величин.
Дайте определение вектора. Объясните, какой вектор называется нулевым.
Начертите два неколлинеарных вектора р и q и отметьте точку О. Отложите от точки О вектор ОА = p – 2q.

Билет 6

Что называется длиной нулевого вектора. Чему равна длина нулевого вектора.
Какие векторы называются коллинеарными.
Начертите два неколлинеарных вектора а и в и отметьте точку О. Отложите от точки О вектор равный а + 2в.

Билет 7

Дайте определение равных векторов.
Какие вектора называются сонаправленными и противоположно направленными. Как они обозначаются.
Начертите два неколлинеарных вектора а и в. Постройте вектора 2а; — а; 3в; — 0,5в

Билет 8

По каким правилам можно сложить два вектора, 5 векторов. Приведите примеры.
Какой отрезок называется средней линией трапеции. Чему равна средняя линия трапеции.
Начертите два неколлинеарных вектора а и в. Постройте вектора 2а; — а; 3в; — 0,5в

Презентация «Координаты векторов»

Просмотр содержимого документа
«Презентация «Координаты векторов»»

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ

Подготовила: Крылова Алина Викторовна учитель математики МБОУ «Видновская СОШ №2» Московская область Ленинский район г. Видное 2019 год

Повторение

Дайте определение вектора.
Какой вектор называется нулевым?
Длина вектора.
Чему равна длина нулевого вектора?
Какие векторы называются коллинеарными?
Дайте определение равных векторов.
Что значит «Вектор отложен от данной точки?
Сколько векторов равных данному можно отложить от данной точки?

Повторение

В чем заключается правило треугольника сложения двух векторов?
В чем заключается правило параллелограмма сложения двух векторов?
Какой вектор называется разностью двух векторов?
Какой вектор называется противоположным данному?
Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число ?
Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.

Устная работа

Координаты вектора

Определение

Единичные векторы – векторы, длины которых равны единице.

Векторы i и j называются координатными векторами.

Обозначение

Координаты вектора указываются в фигурных скобках после обозначения вектора

Определить координаты векторов

Определить координаты векторов и построить их

Разложите вектор по координатным векторам

Свойства координатных векторов

Координаты вектора

Каждая координата суммы двух векторов или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Координаты вектора

Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов .

Координаты вектора

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число.

Математический диктант

Запишите разложение по координатным векторам вектора 𝑎 ⃗{2;−1}.
Выпишите координаты вектора с ⃗, если с ⃗=−𝑖 ⃗+2𝑗 ⃗.
Найдите координаты вектора 𝑏 ⃗, равного разности векторов 𝑚 ⃗ и 𝑡 ⃗, если 𝑚 ⃗{−5;0}, 𝑡 ⃗{0;−4}.
Найдите координаты вектора 3𝑑 ⃗, если 𝑑 ⃗{4;−2}.
Найдите координаты вектора 𝑚 ⃗=𝑎 ⃗−4𝑏 ⃗, если 𝑎 ⃗{3;−2}, 𝑏 ⃗{2;−3}.
Постройте вектор 𝑎 ⃗{−3;1} с началом в точке О.

Домашнее задание

п.87; вопросы 1 – 3 (стр.224)
№ 921(в, г), № 922(в, г) , № 923(в, г), №924(в, г), №926

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!

Какой вектор называется противоположным данному? Сформулируйте и докажите теорему о разности векторов.

5-9 класс

Alezbo 05 сент. 2013 г., 16:36:06 (7 лет назад) валюхаvaluha

05 сент. 2013 г., 17:40:24 (7 лет назад)

противоположный т.е. противоположно направленный
он должен лежать на параллельных прямых с данным вектором
или лежать на одной прямой, но направленный в противоположную сторону от данного
противоположный- коллинеарный противополжно направленный

Ответить

Другие вопросы из категории

Векторы, линейные операции над векторами, их свойства

Векторы, линейные операции над векторами, их свойства. {определение …}

Вектор – направленный отрезок, который можно передвигать параллельно самому себе.

Два вектора называются равными, если при параллельном переносе, совмещающим начала, совмещаются и концы.

Модулем вектора называется длина вектора (равная корню из суммы квадратов координат). Если модуль вектора равен 1, то вектор единичный.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных или совпадающих прямых.

Три вектора называются компланарными, если при их параллельном переносе, совмещающим начала, они оказываются лежащими в одной плоскости.

Углом между двумя векторами называется угол, полученный при параллельном переносе векторов в общее начало.

ω=0– векторы сонаправлены ω=p — противонаправлены ω=p/2 – перпендикулярны

Суммой двух векторов является вектор идущий из начала первого вектора в конец второго, если конец первого и начало второго совмещены параллельным переносом.

12.3: Точечное произведение — математика LibreTexts

Если мы прикладываем силу к объекту так, что объект перемещается, мы говорим, что работа выполняется за счет силы. Ранее мы рассматривали постоянную силу и предполагали, что сила приложена в направлении движения объекта. В этих условиях работа может быть выражена как произведение силы, действующей на объект, и расстояния, на которое объект перемещается. Однако в этой главе мы увидели, что и сила, и движение объекта могут быть представлены векторами.

В этом разделе мы разрабатываем операцию, называемую скалярным произведением, которая позволяет нам вычислять работу в случае, когда вектор силы и вектор движения имеют разные направления. Точечный продукт по существу говорит нам, какая часть вектора силы приложена в направлении вектора движения. Скалярное произведение также может помочь нам измерить угол, образованный парой векторов, и положение вектора относительно осей координат. Он даже обеспечивает простой тест, чтобы определить, встречаются ли два вектора под прямым углом.

Точечное произведение и его свойства

Мы уже научились складывать и вычитать векторы. В этой главе мы исследуем два типа умножения векторов. Первый тип умножения векторов называется скалярным произведением на основе обозначений, которые мы используем для него, и определяется следующим образом:

Определение: скалярное произведение

Точечное произведение векторов \ (\ vecs {u} = ⟨u_1, u_2, u_3⟩ \) и \ (\ vecs {v} = ⟨v_1, v_2, v_3⟩ \) дается как сумма изделий из комплектующих

\ [\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3.\]

Обратите внимание, что если \ (u \) и \ (v \) — двумерные векторы, мы вычисляем скалярное произведение аналогичным образом. Таким образом, если \ (\ vecs {u} = ⟨u_1, u_2⟩ \) и \ (\ vecs {v} = ⟨v_1, v_2⟩, \), то

\ [\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} = u_1v_1 + u_2v_2. \]

Когда два вектора объединяются путем сложения или вычитания, результатом является вектор. Когда два вектора объединяются с использованием скалярного произведения, результатом является скаляр. По этой причине скалярное произведение часто называют скалярным произведением . Его также можно назвать внутренним продуктом .

Пример \ (\ PageIndex {1} \): вычисление скалярных произведений

Найдите скалярное произведение \ (\ vecs {u} = ⟨3,5,2⟩ \) и \ (\ vecs {v} = ⟨− 1,3,0⟩ \).
Найдите скалярное произведение \ (\ vecs {p} = 10 \ hat {\ textbf i} −4 \ hat {\ textbf j} +7 \ hat {\ textbf k} \) и \ (\ vecs {q} = −2 \ hat {\ textbf i} + \ hat {\ textbf j} +6 \ hat {\ textbf k}. \)

Решение :

а. Подставьте компоненты вектора в формулу для скалярного произведения:

\ [\ begin {align *} \ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} & = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \\ [4pt] & = 3 (−1) +5 (3) +2 (0) \ \ [4pt] & = — 3 + 15 + 0 \\ [4pt] & = 12.\ end {align *} \]

г. Вычисления такие же, если векторы записаны с использованием стандартных единичных векторов. У нас все еще есть три компонента для каждого вектора, которые нужно подставить в формулу для скалярного произведения:

\ [\ begin {align *} \ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} & = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \\ [4pt] & = 10 (−2) + (- 4) (1) + (7 ) (6) \\ [4pt] & = — 20−4 + 42 \\ [4pt] & = 18. \ End {align *} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Найдите \ (\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} \), где \ (\ vecs {u} = ⟨2,9, −1⟩ \) и \ (\ vecs {v} = ⟨− 3, 1, −4⟩.\)

Подсказка: Умножьте соответствующие компоненты, а затем сложите их произведения.
Ответ: \ (7 \)

Подобно сложению и вычитанию векторов, скалярное произведение имеет несколько алгебраических свойств. Мы докажем три из этих свойств, а остальные оставим в качестве упражнений.

Свойства точечного произведения

Пусть \ (\ vecs {u} \), \ (\ vecs {v} \) и \ (\ vecs {w} \) — векторы, а \ (c \) — скаляр.2 \]

Проба

Пусть \ (\ vecs {u} = ⟨u_1, u_2, u_3⟩ \) и \ (\ vecs {v} = ⟨v_1, v_2, v_3⟩. \) Тогда

\ [\ begin {align *} \ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} & = ⟨u_1, u_2, u_3⟩⋅⟨v_1, v_2, v_3⟩ \\ [4pt] & = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \ \ [4pt] & = v_1u_1 + v_2u_2 + v_3u_3 \\ [4pt] & = ⟨v_1, v_2, v_3⟩⋅⟨u_1, u_2, u_3⟩ \\ [4pt] & = \ vecs {v} ⋅ \ vecs {u }. \ end {align *} \]

Ассоциативное свойство выглядит как ассоциативное свойство для умножения действительных чисел, но обратите внимание на разницу между скалярными и векторными объектами:

\ [\ begin {align *} c (\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v}) & = c (u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3) \\ [4pt] & = c (u_1v_1) + c (u_2v_2) + c (u_3v_3) \\ [4pt] & = (cu_1) v_1 + (cu_2) v_2 + (cu_3) v_3 \\ [4pt] & = ⟨cu_1, cu_2, cu_3⟩⋅⟨v_1, v_2, v_3⟩ \\ [4pt] & = c⟨u_1, u_2, u_3⟩⋅⟨v_1, v_2, v_3⟩ \\ [4pt] & = (c \ vecs {u}) ⋅ \ vecs {v}.2. \ end {align *} \]

□

Обратите внимание, что по свойству iv. имеем \ (\ vecs {0} ⋅ \ vecs {v} = 0. \) Также по свойству iv. если \ (\ vecs {v} ⋅ \ vecs {v} = 0, \), то \ (\ vecs {v} = \ vecs {0}. \)

Пример \ (\ PageIndex {2} \): использование свойств скалярного произведения

Пусть \ (\ vecs {a} = ⟨1,2, −3⟩ \), \ (\ vecs {b} = ⟨0,2,4⟩ \) и \ (\ vecs {c} = ⟨5 , −1,3⟩ \).

Найдите каждый из следующих продуктов.

\ ((\ vecs {a} ⋅ \ vecs {b}) \ vecs {c} \)
\ (\ vecs {a} ⋅ (2 \ vecs {c}) \)
\ (\ | \ vecs {b} \ | ^ 2 \)

Решение

а.Обратите внимание, что это выражение запрашивает скалярное кратное \ (\ vecs {c} \) на \ (\ vecs {a} ⋅ \ vecs {b} \):

\ [\ begin {align *} (\ vecs {a} ⋅ \ vecs {b}) \ vecs {c} & = (⟨1,2, −3⟩⋅⟨0,2,4⟩) ⟨5, −1,3⟩ \\ [4pt] & = (1 (0) +2 (2) + (- 3) (4)) ⟨5, −1,3⟩ \\ [4pt] & = — 8⟨5 , −1,3⟩ \\ [4pt] & = ⟨− 40,8, −24⟩. \ End {align *} \]

г. Это выражение является скалярным произведением вектора \ (\ vecs {a} \) и скалярного кратного 2 \ (\ vecs {c} \):

\ [\ begin {align *} \ vecs {a} ⋅ (2 \ vecs {c}) & = 2 (\ vecs {a} ⋅ \ vecs {c}) \\ [4pt] & = 2 (⟨1 , 2, −3⟩⋅⟨5, −1,3⟩) \\ [4pt] & = 2 (1 (5) +2 (−1) + (- 3) (3)) \\ [4pt] & = 2 (−6) = — 12.2 = 53 \)

Использование точечного произведения для определения угла между двумя векторами

Когда два ненулевых вектора помещаются в стандартное положение, будь то в двух измерениях или в трех измерениях, они образуют угол между ними (рисунок \ (\ PageIndex {1} \)). Точечное произведение позволяет найти меру этого угла. Это свойство является результатом того факта, что мы можем выразить скалярное произведение через косинус угла, образованного двумя векторами.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Пусть \ (θ \) будет углом между двумя ненулевыми векторами \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \) такими, что \ ( 0≤θ≤π \).

Оценка скалярного произведения

Скалярное произведение двух векторов — это произведение величины каждого вектора и косинуса угла между ними:

\ [\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} = ‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ. \ label {evaldot} \]

Проба

Поместите векторы \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \) в стандартное положение и рассмотрите вектор \ (\ vecs {v} — \ vecs {u} \) (Рисунок \ (\ PageIndex {2} \)). Эти три вектора образуют треугольник с длинами сторон \ (‖ \ vecs {u} ‖, ‖ \ vecs {v} ‖ \) и \ (‖ \ vecs {v} — \ vecs {u} ‖ \).2−2‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ \\ [4pt] −2 \ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} & = — 2‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ \\ [4pt] \ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} & = ‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ. \ end {align *} \]

□

Мы можем использовать форму скалярного произведения в уравнении \ ref {evaldot}, чтобы найти меру угла между двумя ненулевыми векторами, переставив уравнение \ ref {evaldot} для определения косинуса угла:

\ [\ cos θ = \ dfrac {\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v}} {‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖}. \ label {dot2} \]

Используя это уравнение, мы можем найти косинус угла между двумя ненулевыми векторами.Поскольку мы рассматриваем наименьший угол между векторами, мы предполагаем \ (0 ° ≤θ≤180 ° \) (или \ (0≤θ≤π \), если мы работаем в радианах). Обратный косинус уникален в этом диапазоне, поэтому мы можем определить меру угла \ (θ \).

Пример \ (\ PageIndex {3} \): определение угла между двумя векторами

Найдите угол между каждой парой векторов.

\ (\ mathbf {\ hat i} + \ mathbf {\ hat j} + \ mathbf {\ hat k} \) и \ (2 \ mathbf {\ hat i} — \ mathbf {\ hat j} — 3 \ mathbf {\ hat k} \)
\ (⟨2,5,6⟩ \) и \ (⟨− 2, −4,4⟩ \)

Решение

а.2}} \\ [4pt] & = \ dfrac {0} {\ sqrt {65} \ sqrt {36}} = 0. \ end {align *} \]

Теперь \ (\ cos θ = 0 \) и \ (0≤θ≤π \), поэтому \ (θ = π / 2 \).

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Найдите угол в радианах, образованный векторами \ (\ vecs {a} = ⟨1,2,0⟩ \) и \ (\ vecs {b} = ⟨2,4,1⟩ \). Округлить до ближайшей сотой.

Подсказка: Используйте уравнение \ ref {dot2}.
Ответ: \ (θ≈0.22 \) рад

Угол между двумя векторами может быть острым \ ((0 <\ cos θ <1), \) тупым \ ((- 1 <\ cos θ <0) \) или прямым \ ((\ cos θ = −1 ) \). Если \ (\ cos θ = 1 \), то оба вектора имеют одинаковое направление. Если \ (\ cos θ = 0 \), то векторы, помещенные в стандартное положение, образуют прямой угол (рисунок \ (\ PageIndex {3} \)). Мы можем формализовать этот результат в виде теоремы об ортогональных (перпендикулярных) векторах.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): (a) У острого угла \ (0 <\ cos θ <1 \).(b) Тупой угол имеет \ (- 1 <\ cos θ <0. \) (c) У прямой есть \ (\ cos θ = −1 \). (d) Если векторы имеют одинаковое направление, \ (\ cos θ = 1 \). (e) Если векторы ортогональны (перпендикулярны), \ (\ cos θ = 0. \)

Ортогональные векторы

Ненулевые векторы \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \) являются ортогональными векторами тогда и только тогда, когда \ (\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} = 0. \)

Проба

Пусть \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \) ненулевые векторы, и пусть \ (θ \) обозначает угол между ними.Сначала предположим, что \ (\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} = 0. \), Тогда

\ [‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ = 0. \]

Однако \ (‖ \ vecs {u} ‖ ≠ 0 \) и \ (‖ \ vecs {v} ‖ ≠ 0, \), поэтому мы должны иметь \ (\ cos θ = 0 \). Следовательно, \ (θ = 90 ° \), и векторы ортогональны.

Теперь предположим, что \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \) ортогональны. Тогда \ (θ = 90 ° \) и имеем

\ [\ begin {align *} \ vecs {u} ⋅ \ vecs {v} & = ‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ \\ [4pt] & = ‖ \ vecs { u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ \ cos 90 ° \\ [4pt] & = ‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖ (0) \\ [4pt] & = 0.\ end {align *} \]

□

Термины ортогональный, перпендикулярный, и нормальный каждый указывают, что математические объекты пересекаются под прямым углом. Использование каждого термина определяется главным образом его контекстом. Мы говорим, что векторы ортогональны, а прямые перпендикулярны. Термин нормальный используется чаще всего при измерении угла, образованного плоскостью или другой поверхностью.

Пример \ (\ PageIndex {4} \): определение ортогональных векторов

Определите, являются ли \ (\ vecs {p} = ⟨1,0,5⟩ \) и \ (\ vecs {q} = ⟨10,3, −2⟩ \) ортогональными векторами.

Решение

Используя определение, нам нужно только проверить скалярное произведение векторов:

\ [\ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} = 1 (10) + (0) (3) + (5) (- 2) = 10 + 0−10 = 0. \ nonumber \]

Поскольку \ (\ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} = 0, \) векторы ортогональны (рисунок \ (\ PageIndex {4} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Векторы \ (\ vecs {p} \) и \ (\ vecs {q} \) образуют прямой угол, когда их начальные точки выровнены.

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Для какого значения \ (x \) \ (\ vecs {p} = ⟨2,8, −1⟩ \) ортогонально \ (\ vecs {q} = ⟨x, −1,2⟩ \)?

Подсказка: Векторы \ (\ vecs {p} \) и \ (\ vecs {q} \) ортогональны тогда и только тогда, когда \ (\ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} = 0 \).
Ответ: \ (х = 5 \)

Пример \ (\ PageIndex {5} \): измерение угла, образованного двумя векторами

Пусть \ (\ vecs {v} = ⟨2,3,3⟩. \) Найдите меры углов, образованных следующими векторами.

\ (\ vecs {v} \) и \ (\ mathbf {\ hat i} \)
\ (\ vecs {v} \) и \ (\ mathbf {\ hat j} \)
\ (\ vecs {v} \) и \ (\ mathbf {\ hat k} \)

Решение

а.2} \ sqrt {1}} = \ dfrac {3} {\ sqrt {22}} \\ [4pt] γ & = \ arccos \ dfrac {3} {\ sqrt {22}} ≈0.877 \, \ text { рад.} \ end {align *} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)

Пусть \ (\ vecs {v} = ⟨3, −5,1⟩. \) Найдите меру углов, образованных каждой парой векторов.

\ (\ vecs {v} \) и \ (\ mathbf {\ hat i} \)
\ (\ vecs {v} \) и \ (\ mathbf {\ hat j} \)
\ (\ vecs {v} \) и \ (\ mathbf {\ hat k} \)

Подсказка: \ (\ mathbf {\ hat i} = ⟨1,0,0⟩, \ mathbf {\ hat j} = ⟨0,1,0⟩, \) и \ (\ mathbf {\ hat k} = ⟨0 , 0,1⟩ \)
Ответ: \ (г.α≈1,04 \) рад; б. \ (β≈2,58 \) рад; c. \ (γ≈1,40 \) рад

Угол, который вектор образует с каждой из координатных осей, называемый углом направления, очень важен в практических вычислениях, особенно в такой области, как инженерия. Например, в космонавтике угол запуска ракеты должен определяться очень точно. Очень маленькая ошибка в угле может привести к тому, что ракета отклонится от курса на сотни миль. Углы направления часто вычисляются с помощью скалярного произведения и косинусов углов, называемых направляющими косинусами.Поэтому мы определяем как эти углы, так и их косинусы.

Определение: углы направления

Углы, образованные ненулевым вектором и осями координат, называются углами направления для вектора (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)). Косинусы для этих углов называются направляющими косинусами .

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Угол \ (α \) образован вектором \ (\ vecs {v} \) и единичным вектором \ (\ mathbf {\ hat i} \). Угол β образован вектором \ (\ vecs {v} \) и единичным вектором \ (\ mathbf {\ hat j} \).Угол γ образован вектором \ (\ vecs {v} \) и единичным вектором \ (\ mathbf {\ hat k} \).

В примере, направляющие косинусы \ (\ vecs {v} = ⟨2,3,3⟩ \) равны \ (\ cos α = \ dfrac {2} {\ sqrt {22}}, \ cos β = \ dfrac {3} {\ sqrt {22}}, \) и \ (\ cos γ = \ dfrac {3} {\ sqrt {22}} \). Углы направления \ (\ vecs {v} \) равны \ (α = 1,130 \) рад, \ (β = 0,877 \) рад и \ (γ = 0,877 \) рад.

До сих пор мы сосредоточились в основном на векторах, связанных с силой, движением и положением в трехмерном физическом пространстве. Однако векторы часто используются более абстрактно.Например, предположим, что продавец фруктов продает яблоки, бананы и апельсины. В определенный день он продает 30 яблок, 12 бананов и 18 апельсинов. Он может использовать вектор количества \ (\ vecs {q} = ⟨30,12,18⟩, \), чтобы представить количество фруктов, которые он продал в тот день. Точно так же он может захотеть использовать вектор цен \ (\ vecs {p} = ⟨0.50,0.25,1⟩, \), чтобы указать, что он продает свои яблоки по 50 центов за штуку, бананы за 25 центов за штуку и апельсины за 1 доллар за штуку. В этом примере, хотя мы все еще можем изобразить эти векторы, мы не интерпретируем их как буквальные представления положения в физическом мире.Мы просто используем векторы, чтобы отслеживать отдельные фрагменты информации о яблоках, бананах и апельсинах.

Эта идея может показаться немного странной, но если мы просто будем рассматривать векторы как способ упорядочивания и хранения данных, мы обнаружим, что они могут быть довольно мощным инструментом. Возвращаясь к продавцу фруктов, давайте подумаем о скалярном произведении \ (\ vecs {q} ⋅ \ vecs {p} \). Мы вычисляем его, умножая количество проданных яблок (30) на цену за яблоко (50 центов), количество проданных бананов на цену за банан и количество проданных апельсинов на цену за апельсин.Затем мы складываем все эти значения вместе. Итак, в этом примере скалярный продукт сообщает нам, сколько денег продавец фруктов имел от продаж в этот конкретный день.

Когда мы используем векторы в более общем смысле, нет причин ограничивать количество компонентов тремя. Что, если продавец фруктов решит начать продавать грейпфрут? В этом случае он хотел бы использовать четырехмерные векторы количества и цен для представления количества проданных яблок, бананов, апельсинов и грейпфрутов и их удельных цен.Как и следовало ожидать, для вычисления скалярного произведения четырехмерных векторов мы просто складываем произведения компонентов, как и раньше, но в сумме четыре члена вместо трех.

Пример \ (\ PageIndex {6} \): использование векторов в экономическом контексте

AAA Party Supply Store продает приглашения, сувениры для вечеринок, украшения и предметы общественного питания, такие как бумажные тарелки и салфетки. Когда AAA покупает свой инвентарь, он платит 25 центов за упаковку за приглашения и вечеринки. Украшения стоят 50 центов AAA каждое, а предметы общественного питания — 20 центов за упаковку.AAA продает приглашения по цене 2,50 доллара за пакет, а сувениры для вечеринок по цене 1,50 доллара за пакет. Украшения продаются по 4,50 доллара за штуку, а предметы общественного питания — по 1,25 доллара за упаковку.

В течение мая AAA Party Supply Store продает 1258 приглашений, 342 праздничных подарка, 2426 украшений и 1354 предмета общественного питания. Используйте векторы и точечные произведения, чтобы подсчитать, сколько денег AAA заработало на продажах в мае. Какую прибыль принес магазин?

Решение

Векторы затрат, цены и количества равны

\ [\ begin {align *} \ vecs {c} & = ⟨0.25,0.25,0.50,0.20⟩ \\ [4pt] \ vecs {p} & = ⟨2.50,1.50,4.50,1.25⟩ \\ [4pt] \ vecs {q} & = ⟨1258,342,2426,1354⟩ . \ end {align *} \]

продаж AAA в мае можно рассчитать с помощью скалярного произведения \ (\ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} \). У нас

\ [\ begin {align *} \ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} & = ⟨2.50,1.50,4.50,1.25⟩⋅⟨1258,342,2426,1354⟩ \\ [4pt] & = 3145 + 513 + 10917 + 1692,5 \\ [4pt] & = 16267,5. \ end {align *} \]

Итак, AAA заработала 16 267,50 долларов в течение мая. Чтобы рассчитать прибыль, мы должны сначала подсчитать, сколько AAA заплатили за проданные товары.Мы используем скалярное произведение \ (c⋅q \), чтобы получить

\ [\ begin {align *} \ vecs {c} ⋅ \ vecs {q} & = ⟨0.25,0.25,0.50,0.20⟩⋅⟨1258,342,2426,1354⟩ \\ [4pt] & = 314,5 + 85,5 + 1213 + 270,8 \\ [4pt] & = 1883,8. \ end {align *} \]

Итак, AAA заплатила 1883,30 доллара за проданные товары. Таким образом, их прибыль равна

\ [\ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} — \ vecs {c} ⋅ \ vecs {q} = 16267,5−1883,8 = 14383,7. \ nonumber \]

Таким образом, магазин AAA Party Supply в мае заработал 14 383,70 долларов.

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \)

1 июня магазин AAA Party Supply решил повысить цену, которую они взимают за праздничные сувениры, до 2 долларов за упаковку.Они также сменили поставщиков для своих приглашений и теперь могут покупать приглашения всего за 10 центов за упаковку. Все остальные затраты и цены остаются прежними. Если в июне AAA продает 1408 приглашений, 147 сувениров, 2112 украшений и 1894 предмета общественного питания, используйте векторы и точечные продукты для расчета их общих продаж и прибыли за июнь.

Подсказка: Используйте четырехмерные векторы для определения стоимости, цены и количества проданных товаров.
Ответ: Продажи = 15 685,50 долларов США; прибыль = 14 073,15 $

Прогнозы

Как мы видели, сложение объединяет два вектора для создания результирующего вектора. Но что, если нам дан вектор и нам нужно найти его составные части? Мы используем векторные проекции, чтобы выполнить противоположный процесс; они могут разбить вектор на составляющие. Величина проекции вектора — это скалярная проекция.Например, если ребенок тянет за ручку повозки под углом 55 °, мы можем использовать проекции, чтобы определить, какая часть силы, действующей на ручку, фактически перемещает повозку вперед (\ (\ PageIndex {6} \)) . Мы вернемся к этому примеру и узнаем, как его решить, после того, как увидим, как рассчитывать прогнозы.

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Когда ребенок тянет повозку, только горизонтальная составляющая силы толкает повозку вперед.

Определение: вектор и проекция

Проекция вектора из \ (\ vecs {v} \) на \ (\ vecs {u} \) — это вектор с меткой \ (\ text {proj} _ \ vecs {u} \ vecs {v} \) на рисунке \ (\ PageIndex {7} \).Он имеет ту же начальную точку, что и \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \), и то же направление, что и \ (\ vecs {u} \), и представляет собой компонент \ (\ vecs {v} \), который действует в направлении \ (\ vecs {u} \). Если \ (θ \) представляет собой угол между \ (\ vecs {u} \) и \ (\ vecs {v} \), то по свойствам треугольников мы знаем длину \ (\ text {proj} _ \ vecs {u} \ vecs {v} \) равно \ (\ | \ text {proj} _ \ vecs {u} \ vecs {v} \ | = ‖ \ vecs {v} ‖ \ cos θ. \) Когда выражая \ (\ cos θ \) через скалярное произведение, получается

\ [\ | \ text {proj} _ \ vecs {u} \ vecs {v} \ | = ‖ \ vecs v‖ \ cos θ = ‖ \ vecs {v} ‖ \ left (\ dfrac {\ vecs {u } ⋅ \ vecs {v}} {‖ \ vecs {u} ‖‖ \ vecs {v} ‖} \ right) = \ dfrac {\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v}} {‖ \ vecs {u} ‖.2} \ vecs {u}. \]

Длина этого вектора также известна как скалярная проекция вектора \ (\ vecs {v} \) на \ (\ vecs {u} \) и обозначается цифрой

\ [\ | \ text {proj} _ \ vecs {u} \ vecs {v} \ | = \ text {comp} _ \ vecs {u} \ vecs {v} = \ dfrac {\ vecs {u} ⋅ \ vecs {v}} {‖ \ vecs {u} ‖.} \]

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): проекция \ (\ vecs {v} \) на \ (\ vecs {u} \) показывает компонент вектора \ (\ vecs {v} \) в направлении из \ (\ vecs {u} \).

Пример \ (\ PageIndex {7} \): поиск прогнозов

Найдите проекцию \ (\ vecs {v} \) на \ (\ vecs {u} \).2} (\ mathbf {\ hat i} +6 \ mathbf {\ hat j}) \\ [4pt] & = — \ dfrac {9} {37} (\ mathbf {\ hat i} +6 \ mathbf {\ hat j}) \\ [4pt] & = — \ dfrac {9} {37} \ mathbf {\ hat i} — \ dfrac {54} {37} \ mathbf {\ hat j}. \ end {align *} \]

Иногда полезно разложить векторы, то есть разбить вектор на сумму. Этот процесс называется разрешением вектора на компоненты в раз. Проекции позволяют нам идентифицировать два ортогональных вектора, имеющих желаемую сумму. Например, пусть \ (\ vecs {v} = ⟨6, −4⟩ \) и пусть \ (\ vecs {u} = ⟨3,1⟩.2} \ vecs {u} \\ [4pt] = \ dfrac {18−4} {9 + 1} \ vecs {u} \\ [4pt] = \ dfrac {7} {5} \ vecs {u} = \ dfrac {7} {5} ⟨3,1⟩ = ⟨\ dfrac {21} {5}, \ dfrac {7} {5}⟩. \ end {align *} \]

Теперь рассмотрим вектор \ (\ vecs {q} = \ vecs {v} — \ vecs {p}. \). У нас есть

\ [\ begin {align *} \ vecs {q} = \ vecs {v} — \ vecs {p} \\ [4pt] = ⟨6, −4⟩ − ⟨\ dfrac {21} {5}, \ dfrac {7} {5}⟩ \\ [4pt] = ⟨\ dfrac {9} {5}, — \ dfrac {27} {5}⟩. \ end {align *} \]

Ясно, что согласно тому, как мы определили \ (\ vecs {q} \), мы имеем \ (\ vecs {v} = \ vecs {q} + \ vecs {p}, \) и

\ [\ begin {align *} \ vecs {q} ⋅ \ vecs {p} = ⟨\ dfrac {9} {5}, — \ dfrac {27} {5} ⟩⋅⟨ \ dfrac {21} {5 }, \ dfrac {7} {5}⟩ \\ [4pt] = \ dfrac {9 (21)} {25} + — \ dfrac {27 (7)} {25} \\ [4pt] = \ dfrac { 189} {25} — \ dfrac {189} {25} = 0.\ end {align *} \]

Следовательно, \ (\ vecs {q} \) и \ (\ vecs {p} \) ортогональны.

Пример \ (\ PageIndex {8} \): преобразование векторов в компоненты

Выразите \ (\ vecs {v} = ⟨8, −3, −3⟩ \) как сумму ортогональных векторов, один из которых имеет то же направление, что и \ (\ vecs {u} = ⟨2,3 , 2⟩. 2} ⟨2, 3,2⟩ \\ [4pt] & = \ dfrac {1} {17} ⟨2,3,2⟩ \\ [4pt] & = ⟨\ dfrac {2} {17}, \ dfrac {3} {17 }, \ dfrac {2} {17}⟩.\ end {align *} \]

Затем,

\ [\ begin {align *} \ vecs {q} & = \ vecs {v} — \ vecs {p} = ⟨8, −3, −3⟩ − ⟨\ dfrac {2} {17}, \ dfrac {3} {17}, \ dfrac {2} {17}⟩ \\ [4pt] & = ⟨\ dfrac {134} {17}, — \ dfrac {54} {17}, — \ dfrac {53} { 17}⟩. \ end {align *} \]

Чтобы проверить нашу работу, мы можем использовать скалярное произведение, чтобы проверить, что \ (\ vecs {p} \) и \ (\ vecs {q} \) — ортогональные векторы:

\ [\ begin {align *} \ vecs {p} ⋅ \ vecs {q} & = ⟨\ dfrac {2} {17}, \ dfrac {3} {17}, \ dfrac {2} {17}⟩ ⋅⟨ \ dfrac {134} {17}, — \ dfrac {54} {17}, — \ dfrac {53} {17}⟩ \\ [4pt] & = \ dfrac {268} {17} — \ dfrac { 162} {17} — \ dfrac {106} {17} = 0.\ end {align *} \]

Затем,

\ [\ vecs {v} = \ vecs {p} + \ vecs {q} = ⟨\ dfrac {2} {17}, \ dfrac {3} {17}, \ dfrac {2} {17}⟩ + ⟨\ Dfrac {134} {17}, — \ dfrac {54} {17}, — \ dfrac {53} {17}⟩. \ nonumber \]

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Выразите \ (\ vecs {v} = 5 \ mathbf {\ hat i} — \ mathbf {\ hat j} \) как сумму ортогональных векторов, один из которых имеет то же направление, что и \ (\ vecs { u} = 4 \ mathbf {\ hat i} +2 \ mathbf {\ hat j} \).

Подсказка: Начните с поиска проекции \ (\ vecs {v} \) на \ (\ vecs {u} \).
Ответ: \ (\ vecs {v} = \ vecs {p} + \ vecs {q}, \), где \ (\ vecs {p} = \ dfrac {18} {5} \ mathbf {\ hat i} + \ dfrac {9} {5} \ mathbf {\ hat j} \) и \ (\ vecs {q} = \ dfrac {7} {5} \ mathbf {\ hat i} — \ dfrac {14} {5} \ mathbf {\ hat j} \)

Пример \ (\ PageIndex {9} \): Скалярная проекция скорости

Контейнеровоз покидает порт, двигаясь на \ (15 ° \) к северу от востока. Его двигатель развивает скорость 20 узлов по этому пути (см. Следующий рисунок).Кроме того, океанское течение перемещает корабль на северо-восток со скоростью 2 узла. С учетом двигателя и течения, насколько быстро корабль движется в направлении \ (15 ° \) к северу от востока? Ответ округлите до двух десятичных знаков.

Решение

Пусть \ (\ vecs {v} \) будет вектором скорости, генерируемым двигателем, и пусть w будет вектором скорости течения. Мы уже знаем \ (‖ \ vecs {v} ‖ = 20 \) по желаемому маршруту. Нам просто нужно добавить скалярную проекцию \ (\ vecs {w} \) на \ (\ vecs {v} \).Получаем

\ [\ begin {align *} \ text {comp} _ \ vecs {v} \ vecs {w} = \ dfrac {\ vecs {v} ⋅ \ vecs {w}} {‖ \ vecs {v} ‖} \\ [4pt] = \ dfrac {‖ \ vecs {v} ‖‖ \ vecs {w} ‖ \ cos (30 °)} {‖ \ vecs {v} ‖} = ‖ \ vecs {w} ‖ \ cos ( 30 °) = 2 \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} = \ sqrt {3} ≈1.73 \, \ text {knots.} \ End {align *} \]

Корабль движется со скоростью 21,73 узла в направлении \ (15 ° \) к северу от востока.

Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

Повторите предыдущий пример, но предположите, что океанское течение движется на юго-восток, а не на северо-восток, как показано на следующем рисунке.

Подсказка: Вычислите скалярную проекцию \ (\ vecs {w} \) на \ (\ vecs {v} \).
Ответ: 21 узел

Работа

Теперь, когда мы разбираемся в скалярных произведениях, мы можем увидеть, как применять их в реальных ситуациях. Наиболее распространенное применение скалярного произведения двух векторов — расчет работы.

Из физики мы знаем, что работа совершается, когда объект перемещается силой.Когда сила постоянна и приложена в том же направлении, в котором движется объект, тогда мы определяем проделанную работу как произведение силы и расстояния, которое проходит объект: \ (W = Fd \). Мы видели несколько примеров этого типа в предыдущих главах. Теперь представьте, что направление силы отличается от направления движения, как в примере с ребенком, тянущим повозку. Чтобы найти проделанную работу, нам нужно умножить компонент силы, действующей в направлении движения, на величину смещения.Точечный продукт позволяет нам это делать. Если мы представим приложенную силу вектором \ (\ vecs {F} \), а смещение объекта вектором \ (\ vecs {s} \), тогда работа , выполненная силой , будет скалярным произведением из \ (\ vecs {F} \) и \ (\ vecs {s} \).

Определение: постоянная сила

Когда к объекту прикладывается постоянная сила, так что объект движется по прямой от точки \ (P \) к точке \ (Q \), работа \ (W \), совершаемая силой \ (\ vecs {F } \), действующий под углом θ от линии движения, определяется выражением

\ [W = \ vecs {F} ⋅ \ vecd {PQ} = ∥ \ vecs {F} ∥∥ \ vecd {PQ} ∥ \ cos θ.\]

Вернемся к проблеме детской повозки, о которой говорилось ранее. Предположим, ребенок тянет тележку с силой в 8 фунтов на ручке под углом 55 ° . Если ребенок тянет повозку на 50 футов, найдите работу, выполняемую силой (рис. \ (\ PageIndex {8} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): Горизонтальная составляющая силы — это проекция \ (\ vecs {F} \) на положительную ось \ (x \) .

У нас

\ [W = ∥ \ vecs {F} ∥∥ \ vecd {PQ} ∥ \ cos θ = 8 (50) (\ cos (55 °)) ≈229 \, \ text {ft⋅lb.} \ nonumber \]

В стандартных единицах США мы измеряем величину силы \ (∥ \ vecs {F} ∥ \) в фунтах. Величина вектора смещения \ (∥ \ vecd {PQ} ∥ \) говорит нам, как далеко переместился объект, и измеряется в футах. Таким образом, общепринятой единицей измерения работы является фут-фунт. Один фут-фунт — это объем работы, необходимый для перемещения объекта весом 1 фунт на расстояние 1 фут по вертикали. В метрической системе единицей измерения силы является ньютон (Н), а единицей измерения величины работы является ньютон-метр (Н · м) или джоуль (Дж).

Пример \ (\ PageIndex {10} \): расчет работы

Конвейерная лента создает силу \ (\ vecs {F} = 5 \ mathbf {\ hat i} −3 \ mathbf {\ hat j} + \ mathbf {\ hat k} \), которая перемещает чемодан из точки \ ( (1,1,1) \) в точку \ ((9,4,7) \) по прямой. Найдите работу, проделанную конвейерной лентой. Расстояние измеряется в метрах, а сила — в ньютонах.

Решение

Вектор смещения \ (\ vecd {PQ} \) имеет начальную точку \ ((1,1,1) \) и конечную точку \ ((9,4,7) \):

\ [\ vecd {PQ} = ⟨9−1,4−1,7−1⟩ = ⟨8,3,6⟩ = 8 \ mathbf {\ hat i} +3 \ mathbf {\ hat j} +6 \ mathbf {\ hat k}.\ nonumber \]

Работа — это скалярное произведение силы и смещения:

\ [\ begin {align *} W & = \ vecs {F} ⋅ \ vecd {PQ} \\ [4pt] & = (5 \ mathbf {\ hat i} −3 \ mathbf {\ hat j} + \ mathbf {\ hat k}) ⋅ (8 \ mathbf {\ hat i} +3 \ mathbf {\ hat j} +6 \ mathbf {\ hat k}) \\ [4pt] = 5 (8) + (- 3 ) (3) +1 (6) \\ [4pt] & = 37 \, \ text {N⋅m} \\ [4pt] & = 37 \, \ text {J} \ end {align *} \]

Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

Постоянная сила в 30 фунтов прикладывается под углом 60 °, чтобы тянуть ручную тележку на 10 футов по земле.Какую работу выполняет эта сила?

Подсказка: Используйте определение работы как скалярное произведение силы и расстояния.
Ответ: 150 фут-фунтов

Векторное произведение

— перекрестное произведение

(Векторное произведение двух векторов)

Перекрестное произведение , также называемое векторным произведением из двух векторов записывается \ (\ vec {u} \ times \ vec {v} \) и является вторым способом умножения два вектора вместе.

Когда мы умножаем два вектора с помощью перекрестного произведения , мы получаем новый вектор . Это не похоже на скалярное произведение (или скалярное произведение) двух векторов, для которого результатом является скаляр (число, а не вектор!).

Фактически, перекрестное произведение двух векторов \ (\ vec {u} \) и \ (\ vec {v} \) является «новым» вектором , который перпендикулярен обоим \ (\ vec { u} \) и \ (\ vec {v} \) , мы говорим, что \ (\ vec {u} \ times \ vec {v} \) — это перпендикулярно плоскости , содержащей \ (\ vec {u} \) и \ (\ vec {v} \).

Как рассчитать перекрестное произведение

От

до вычислить векторное произведение или перекрестное произведение двух векторов , мы используем один из следующих двух вариантов:

Вариант 1: используйте Формулу (выучите ее наизусть)
Вариант 2: используйте матричную алгебру (рекомендуемый метод)

Здесь мы рассматриваем оба варианта.

Вариант 1 — Формула: Векторное произведение \ (\ vec {u} \ times \ vec {v} \)

Даны два вектора \ (\ vec {u} = \ begin {pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {v} = \ begin {pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \ end {pmatrix} \), векторное произведение или перекрестное произведение , \ (\ vec {u} \ times \ vec {v} \) можно рассчитать по следующей формуле: \ [\ vec {u} \ times \ vec {v} = \ begin {pmatrix} u_2v_3 — v_2u_3 \ end {pmatrix} \ vec {i} — \ begin {pmatrix} u_1v_3 -v_1u_3 \ end {pmatrix} \ vec { j} + \ begin {pmatrix} u_1v_2 — v_1u_2 \ end {pmatrix} \ vec {k} \] Чтобы избежать вычитания между первым и вторым семестрами, некоторые математические курсы (например, IB AA HL Mathematics ) переписывают эту формулу как: \ [\ vec {u} \ times \ vec {v} = \ begin {pmatrix} u_2v_3 — v_2u_3 \ end {pmatrix} \ vec {i} + \ begin {pmatrix} v_1u_3 — u_1v_3 \ end {pmatrix} \ vec { j} + \ begin {pmatrix} u_1v_2 — v_1u_2 \ end {pmatrix} \ vec {k} \] Обе формулы полностью эквивалентны.

Пример

Используя формулу, указанную выше, найдите перекрестное произведение , \ (\ vec {u} \ times \ vec {v} \) из \ (\ vec {u} = \ begin {pmatrix} 1 \\ -3 \ \ 2 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {v} = \ begin {pmatrix} 4 \\ 0 \\ 6 \ end {pmatrix} \).

Решение

Используя вторую формулу, указанную выше: \ [\ vec {u} \ times \ vec {v} = \ begin {pmatrix} u_2v_3 — v_2u_3 \ end {pmatrix} \ vec {i} + \ begin {pmatrix} v_1u_3 — u_1v_3 \ end {pmatrix} \ vec { j} + \ begin {pmatrix} u_1v_2 — v_1u_2 \ end {pmatrix} \ vec {k} \] С \ (u_1 = 1 \), \ (u_2 = -3 \), \ (u_3 = 2 \), \ (v_1 = 4 \), \ (v_2 = 0 \) и \ (v_3 = 6 \), мы нашли: \ [\ begin {выровнено} \ vec {u} \ times \ vec {v} & = \ begin {pmatrix} -3 \ times 6 — 0 \ times 2 \ end {pmatrix} \ vec {i} + \ begin {pmatrix} 4 \ times 2 — 1 \ times 6 \ end {pmatrix} \ vec {j} + \ begin {pmatrix} 1 \ times 0 — 4 \ times (-3) \ end {pmatrix} \ vec {k} \\ & = \ begin {pmatrix} -18-0 \ end {pmatrix} \ vec {i} + \ begin {pmatrix} 8-6 \ end {pmatrix} \ vec {j} + \ begin {pmatrix} 0 + 12 \ конец {pmatrix} \ vec {k} \\ \ vec {u} \ times \ vec {v} & = -18 \ vec {i} + 2 \ vec {j} + 12 \ vec {k} \ конец {выровнено} \]

Вариант 2: Матричная алгебра — определитель матрицы 3 на 3 (рекомендуется)

компоненты в первой строке состоят из единичных базовых векторов \ (\ vec {i} \), \ (\ vec {j} \) и \ (\ vec {k} \) (это всегда будет первая строка) ,
вторая строка — это первый вектор в произведении \ (\ vec {u} \ times \ vec {v} \), поэтому в этом случае \ (\ vec {u} \),
третья строка — это второй вектор в произведении \ (\ vec {u} \ times \ vec {v} \), поэтому в данном случае \ (\ vec {v} \).

Учебное пособие: Перекрестное произведение — метод определения

Учитывая два вектора \ (\ vec {a} = \ begin {pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {b} = \ begin {pmatrix} 5 \ \ 0 \\ 4 \ end {pmatrix} \), мы узнаем , как вычислить перекрестное произведение , \ (\ vec {a} \ times \ vec {b} \), используя матричную алгебру.

Пример

Учитывая \ (\ vec {u} = \ begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {v} = \ begin {pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \ end {pmatrix} \), вычислите их векторное произведение \ (\ vec {u} \ times \ vec {v} \).

Решение

Используя метод, который мы только что рассмотрели, мы можем заявить: \ [\ begin {выровнено} \ vec {u} \ times \ vec {v} & = \ begin {vmatrix} \ vec {i} & \ vec {j} & \ vec {k} \\ 2 и 1 и -3 \\ 4 и 0 и 5 \ end {vmatrix} \\ & = \ vec {i} \ begin {vmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 5 \ end {vmatrix} — \ vec {j} \ begin {vmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 5 \ end {vmatrix } + \ vec {k} \ begin {vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 0 \ end {vmatrix} \\ & = \ vec {i} \ begin {pmatrix} 1 \ times 5 — 0 \ times (-3) \ end {pmatrix} — \ vec {j} \ begin {pmatrix} 2 \ times 5 — 4 \ times (- 3) \ end {pmatrix} + \ vec {k} \ begin {pmatrix} 2 \ times 0 — 4 \ times 1 \ end {pmatrix} \\ & = \ vec {i} \ begin {pmatrix} 5 — 0 \ end {pmatrix} — \ vec {j} \ begin {pmatrix} 10 — (-12) \ end {pmatrix} + \ vec {k} \ begin {pmatrix} 0 — 4 \ end {pmatrix} \\ & = \ vec {i} \ begin {pmatrix} 5 \ end {pmatrix} — \ vec {j} \ begin {pmatrix} 10 + 12 \ end {pmatrix} + \ vec {k} \ begin {pmatrix} — 4 \ end {pmatrix} \\ \ vec {u} \ times \ vec {v} & = 5 \ vec {i} — 22 \ vec {j} — 4 \ vec {k} \ конец {выровнено} \] Это наш окончательный ответ, теперь мы можем сказать, что \ (\ vec {u} \ times \ vec {v} = 5 \ vec {i} — 22 \ vec {j} — 4 \ vec {k} \).

Упражнение 1

Найдите \ (\ vec {a} \ times \ vec {b} \), учитывая \ (\ vec {a} = \ begin {pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {b} = \ begin {pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \ end {pmatrix} \).

Найдите \ (\ vec {c} \ times \ vec {d} \), учитывая \ (\ vec {c} = 3 \ vec {i} + 5 \ vec {j} — \ vec {k} \) и \ (\ vec {d} = \ vec {i} -4 \ vec {j} +2 \ vec {k} \).

Найдите \ (\ vec {u} \ times \ vec {v} \), учитывая \ (\ vec {u} = 6 \ vec {i} — 3 \ vec {k} \) и \ (\ vec {v} = -2 \ vec {i} + \ vec {j} + 5 \ vec {k} \).

Найдите \ (\ vec {a} \ times \ vec {b} \), учитывая \ (\ vec {a} = \ begin {pmatrix} -2 \\ 0 \\ 6 \ end {pmatrix} \) и \ ( \ vec {b} = \ begin {pmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \ end {pmatrix} \).

Найдите \ (\ vec {m} \ times \ vec {n} \), учитывая \ (\ vec {m} = -3 \ vec {i} + 5 \ vec {j} — \ vec {k} \) и \ (\ vec {n} = 4 \ vec {j} + 7 \ vec {k} \).

Найдите \ (\ vec {u} \ times \ vec {v} \), учитывая \ (\ vec {u} = \ begin {pmatrix} 8 \\ — 1 \\ -2 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {v} = \ begin {pmatrix} -3 \\ — 2 \\ -4 \ end {pmatrix} \).

Найдите \ (\ vec {a} \ times \ vec {b} \), учитывая \ (\ vec {a} = 3 \ vec {i} — 2 \ vec {j} \) и \ (\ vec {b} = 5 \ vec {i} + \ vec {j} \).

Найдите \ (\ vec {c} \ times \ vec {d} \), учитывая \ (\ vec {c} = \ begin {pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {d} = \ begin {pmatrix} 0 \\ 3 \\ 5 \ end {pmatrix} \).

Примечание : это упражнение можно загрузить в виде рабочего листа для практики: Рабочий лист 1

ОБЛАСТИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Векторное произведение или перекрестное произведение двух векторов можно использовать для вычисления площади параллелограмма , а также площади треугольника .

ОБЛАСТЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ

Для параллелограмма, стороны которого определены двумя векторами \ (\ vec {a} \) и \ (\ vec {b} \), его площадь определяется как: \ [\ text {Area} = \ begin {vmatrix} \ vec {a} \ times \ vec {b} \ end {vmatrix} \] то есть: площадь параллелограмма равна величине векторного произведения .

Примечание : площадь параллелограмма равна длине вектора \ (\ vec {a} \ times \ vec {b} \):

Пример

У параллелограмма длины сторон определяются векторами \ (\ vec {a} = \ begin {pmatrix} 6 \\ -1 \\ 3 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {b} = \ begin {pmatrix } 1 \\ 5 \\ 4 \ end {pmatrix} \).

Найдите площадь этого параллелограмма.

Решение

Используя формулу, изложенную выше, мы можем написать: \ [\ text {Area} = \ begin {vmatrix} \ vec {a} \ times \ vec {b} \ end {vmatrix} \] Где: \ [\ begin {выровнено} \ vec {a} \ times \ vec {b} & = \ begin {vmatrix} \ vec {i} & \ vec {j} & \ vec {k} \\ 6 & -1 & 3 \\ 1 & 5 & 4 \ end {vmatrix} \\ & = \ vec {i} \ begin {vmatrix} — 1 & 3 \\ 5 & 4 \ end {vmatrix} — \ vec {j} \ begin {vmatrix} 6 & 3 \\ 1 & 4 \ end {vmatrix} + \ vec {k} \ begin {vmatrix} 6 & -1 \\ 1 & 5 \ end {vmatrix} \\ & = \ vec {i} \ begin {pmatrix} -1 \ times 4 — 5 \ times 3 \ end {pmatrix} — \ vec {j} \ begin {pmatrix} 6 \ times 4 — 1 \ times 3 \ end { pmatrix} + \ vec {k} \ begin {pmatrix} 6 \ times 5 — 1 \ times (-1) \ end {pmatrix} \\ & = \ vec {i} \ begin {pmatrix} — 4-15 \ end {pmatrix} — \ vec {j} \ begin {pmatrix} 24 — 3 \ end {pmatrix} + \ vec {k} \ begin {pmatrix } 30 — (-1) \ end {pmatrix} \\ & = \ vec {i} (- 19) — \ vec {j} (21) + \ vec {k} (31) \\ \ vec {a} \ times \ vec {b} & = — 19 \ vec {i} — 21 \ vec {j} + 31 \ vec {k} \ конец {выровнено} \] Таким образом, площадь параллелограмма равна: \ [\ begin {выровнено} \ text {Area} & = \ begin {vmatrix} \ vec {a} \ times \ vec {b} \ end {vmatrix} \\ & = \ sqrt {(- 19) ^ 2 + (-21) ^ 2 + 31 ^ 2} \\ & = \ sqrt {1763} \\ \ text {Площадь} & = 42.0 \ quad \ text {(3 н.ф.)} \ конец {выровнено} \] Округляя ответ до трех значащих цифр, получаем площадь \ (42,0 \) единиц площади.

Площадь треугольника

Для треугольника , стороны которого определены двумя векторами \ (\ vec {a} \) и \ (\ vec {b} \), его площадь определяется как: \ [\ text {Area} = \ frac {1} {2} \ begin {vmatrix} \ vec {a} \ times \ vec {b} \ end {vmatrix} \] Примечание : это половина площади параллелограмма , стороны которого равны \ (vec {a} \) и \ (\ vec {b} \).

Пример

У треугольника две стороны определяются векторами \ (\ vec {a} = \ begin {pmatrix} -1 \\ 7 \\ 1 \ end {pmatrix} \) и \ (\ vec {b} = \ begin {pmatrix } 1 \\ 4 \\ 3 \ end {pmatrix} \).

Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Используя формулу, изложенную выше, мы можем написать: \ [\ text {Area} = \ frac {1} {2} \ begin {vmatrix} \ vec {a} \ times \ vec {b} \ end {vmatrix} \] Где: \ [\ begin {выровнено} \ vec {a} \ times \ vec {b} & = \ begin {vmatrix} \ vec {i} & \ vec {j} & \ vec {k} \\ 6 & -1 & 7 \\ 1 & 4 & 3 \ end {vmatrix} \\ & = \ vec {i} \ begin {vmatrix} 7 & 1 \\ 4 & 3 \ end {vmatrix} — \ vec {j} \ begin {vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 3 \ end {vmatrix} + \ vec {k} \ begin {vmatrix} -1 & 7 \\ 1 & 4 \ end {vmatrix} \\ & = \ vec {i} \ begin {pmatrix} 7 \ times 3 — 4 \ times 1 \ end {pmatrix} — \ vec {j} \ begin {pmatrix} -1 \ times 3 — 1 \ times 1 \ end { pmatrix} + \ vec {k} \ begin {pmatrix} -1 \ times 4 — 1 \ times 7 \ end {pmatrix} \\ & = \ vec {i} \ begin {pmatrix} 21 — 4 \ end {pmatrix} — \ vec {j} \ begin {pmatrix} -3 — 1 \ end {pmatrix} + \ vec {k} \ begin {pmatrix } -4 — 7 \ end {pmatrix} \\ & = \ vec {i} (17) — \ vec {j} (- 4) + \ vec {k} (- 11) \\ \ vec {a} \ times \ vec {b} & = 17 \ vec {i} +4 \ vec {j} -11 \ vec {k} \ конец {выровнено} \] Таким образом, площадь треугольника равна: \ [\ begin {выровнено} \ text {Area} & = \ frac {1} {2} \ begin {vmatrix} \ vec {a} \ times \ vec {b} \ end {vmatrix} \\ & = \ sqrt {17 ^ 2 + 4 ^ 2 + (-11) ^ 2} \\ & = \ sqrt {426} \\ \ text {Площадь} & = 20.6 \ quad \ text {(3 н.ф.)} \ конец {выровнено} \] Округляя ответ до трех значащих цифр, получаем площадь \ (20,6 \) единиц площади.

Упражнение 2 (вопросы по стилю экзамена)

Векторы \ (\ vec {a} \), \ (\ vec {b} \), \ (\ vec {c} \) удовлетворяют уравнению \ (\ vec {a} + \ vec {b} + \ vec {c} = \ vec {0} \). Покажите, что \ (\ vec {a} \ times \ vec {b} = \ vec {b} \ times \ vec {c} = \ vec {c} \ times \ vec {a} \).

% PDF-1.3 % 9 0 объект > эндобдж xref 9 914 0000000016 00000 н. 0000018627 00000 п. 0000019679 00000 п. 0000019893 00000 п. 0000031109 00000 п. 0000031158 00000 п. 0000031207 00000 п. 0000031256 00000 п. 0000031305 00000 п. 0000031354 00000 п. 0000031403 00000 п. 0000031452 00000 п. 0000031501 00000 п. 0000031550 00000 п. 0000031599 00000 п. 0000031648 00000 н. 0000031697 00000 п. 0000031746 00000 п. 0000031795 00000 п. 0000031844 00000 п. 0000031893 00000 п. 0000031942 00000 п. 0000031991 00000 п. 0000032040 00000 п. 0000032089 00000 п. 0000032138 00000 п. 0000032187 00000 п. 0000032236 00000 п. 0000032285 00000 п. 0000032334 00000 п. 0000032383 00000 п. 0000032432 00000 п. 0000032481 00000 п. 0000032530 00000 п. 0000032579 00000 п. 0000032628 00000 н. 0000032677 00000 п. 0000032726 00000 п. 0000032775 00000 п. 0000032824 00000 н. 0000032873 00000 п. 0000032922 00000 н. 0000032971 00000 п. 0000033020 00000 п. 0000033069 00000 п. 0000033118 00000 п. 0000033167 00000 п. 0000033216 00000 п. 0000033265 00000 п. 0000033314 00000 п. 0000033363 00000 п. 0000033596 00000 п. 0000033809 00000 п. 0000034110 00000 п. 0000034264 00000 п. 0000034304 00000 п. 0000034353 00000 п. 0000034402 00000 п. 0000034451 00000 п. 0000034500 00000 н. 0000034549 00000 п. 0000034910 00000 п. 0000035456 00000 п. 0000035685 00000 п. 0000035914 00000 п. 0000036137 00000 п. 0000036475 00000 п. 0000036868 00000 н. 0000037022 00000 п. 0000037242 00000 п. 0000037574 00000 п. 0000037809 00000 п. 0000038244 00000 п. 0000038293 00000 п. 0000038342 00000 п. 0000038391 00000 п. 0000038440 00000 п. 0000038489 00000 п. 0000038538 00000 п. 0000038587 00000 п. 0000038636 00000 п. 0000038685 00000 п. 0000038734 00000 п. 0000038783 00000 п. 0000038832 00000 п. 0000038881 00000 п. 0000038930 00000 н. 0000038979 00000 п. 0000039028 00000 н. 0000039077 00000 н. 0000039126 00000 п. 0000039175 00000 п. 0000039225 00000 п. 0000039275 00000 п. 0000039325 00000 п. 0000039375 00000 п. 0000039425 00000 п. 0000039475 00000 п. 0000039524 00000 п. 0000039574 00000 п. 0000039623 00000 п. 0000039673 00000 п. 0000039723 00000 п. 0000039772 00000 п. 0000039822 00000 н. 0000039872 00000 н. 0000039922 00000 н. 0000039971 00000 н. 0000040021 00000 п. 0000040070 00000 п. 0000040119 00000 п. 0000040169 00000 п. 0000040219 00000 п. 0000040268 00000 п. 0000040318 00000 п. 0000040368 00000 п. 0000040418 00000 п. 0000040468 00000 п. 0000040518 00000 п. 0000040568 00000 п. 0000040618 00000 п. 0000040667 00000 п. 0000040717 00000 п. 0000040767 00000 п. 0000040817 00000 п. 0000040867 00000 п. 0000040917 00000 п. 0000040967 00000 п. 0000041017 00000 п. 0000041066 00000 п. 0000041115 00000 п. 0000041165 00000 п. 0000041215 00000 п. 0000041265 00000 п. 0000041315 00000 п. 0000041364 00000 п. 0000041414 00000 п. 0000041464 00000 п. 0000041514 00000 п. 0000041564 00000 п. 0000041614 00000 п. 0000041664 00000 н. 0000041714 00000 п. 0000041764 00000 п. 0000041787 00000 п. 0000044405 00000 п. 0000044428 00000 п. 0000047178 00000 п. 0000047201 00000 п. 0000049858 00000 п. 0000049881 00000 п. 0000052053 00000 п. 0000052076 00000 п. 0000053790 00000 п. 0000053813 00000 п. 0000055442 00000 п. 0000055465 00000 п. 0000056976 00000 п. 0000056999 00000 п. 0000058687 00000 п. 0000058795 00000 п. 0000058885 00000 п. 0000068293 00000 п. 0000068407 00000 п. 0000068488 00000 н. 0000068593 00000 п. 0000068698 00000 п. 0000068785 00000 п. 0000068890 00000 н. 0000068998 00000 п. 0000069103 00000 п. 0000069330 00000 п. 0000072008 00000 п. 0000072113 00000 п. 0000072212 00000 п. 0000072323 00000 п. 0000072404 00000 п. 0000072512 00000 п. 0000072591 00000 п. 0000072705 00000 п. 0000086491 00000 н. 0000086599 00000 п. 0000086686 00000 п. 0000086776 00000 п. 0000086878 00000 п. 0000097258 00000 п. 0000131918 00000 н. 0000132029 00000 н. 0000148878 00000 н. 0000149774 00000 н. 0000149864 00000 н. 0000149945 00000 н. 0000150230 00000 н. 0000150326 00000 н. 0000150413 00000 н. 0000150503 00000 н. 0000150590 00000 н. 0000150683 00000 н. 0000150767 00000 н. 0000150863 00000 н. 0000158545 00000 н. 0000158626 00000 н. 0000158716 00000 н. 0000158803 00000 н. 0000158908 00000 н. 0000158986 00000 н. 0000159192 00000 н. 0000159276 00000 н. 0000159375 00000 н. 0000159459 00000 н. 0000159558 00000 н. 0000159651 00000 н. 0000159741 00000 н. 0000159825 00000 н. 0000160032 00000 н. 0000167288 00000 н. 0000167372 00000 н. 0000167465 00000 н. 0000167582 00000 н. 0000167755 00000 н. 0000167875 00000 н. 0000167989 00000 н. 0000168106 00000 н. 0000168226 00000 н. 0000168328 00000 н. 0000168457 00000 н. 0000168627 00000 н. 0000168756 00000 н. 0000168926 00000 н. 0000169049 00000 н. 0000169169 00000 н. 0000169265 00000 н. 0000169358 00000 н. 0000169528 00000 н. 0000169639 00000 н. 0000169816 00000 н. 0000169939 00000 н. 0000170059 00000 н. 0000170161 00000 п. 0000170269 00000 н. 0000170380 00000 н. 0000170488 00000 н. 0000170587 00000 н. 0000170686 00000 н. 0000170788 00000 н. 0000170884 00000 н. 0000170983 00000 п. 0000171085 00000 н. 0000171190 00000 н. 0000171295 00000 н. 0000171400 00000 н. 0000171517 00000 н. 0000171622 00000 н. 0000171727 00000 н. 0000171841 00000 н. 0000171949 00000 н. 0000172057 00000 н. 0000172159 00000 н. 0000172264 00000 н. 0000172351 00000 н. 0000172465 00000 н. 0000172549 00000 н. 0000172663 00000 н. 0000172753 00000 н. 0000172876 00000 н. 0000172996 00000 н. 0000173089 00000 н. 0000173191 00000 н. 0000173299 00000 н. 0000173410 00000 н. 0000173518 00000 н. 0000173629 00000 н. 0000173737 00000 н. 0000173848 00000 н. 0000173953 00000 н. 0000174055 00000 н. 0000174169 00000 н. 0000174283 00000 н. 0000174391 00000 н. 0000174490 00000 н. 0000174595 00000 н. 0000174703 00000 н. 0000174805 00000 н. 0000174907 00000 н. 0000175009 00000 н. 0000175108 00000 н. 0000175204 00000 н. 0000175297 00000 н. 0000175405 00000 н. 0000175495 00000 н. 0000175606 00000 н. 0000175717 00000 н. 0000175822 00000 н. 0000175924 00000 н. 0000176032 00000 н. 0000176125 00000 н. 0000176313 00000 н. 0000176497 00000 н. 0000176682 00000 н. 0000176867 00000 н. 0000177052 00000 н. 0000177242 00000 н. 0000177437 00000 н. 0000177630 00000 н. 0000177827 00000 н. 0000178022 00000 н. 0000178220 00000 н. 0000178418 00000 н. 0000178615 00000 н. 0000178817 00000 н. 0000179011 00000 н. 0000179210 00000 н. 0000179405 00000 н. 0000179600 00000 н. 0000179795 00000 н. 0000179989 00000 н. 0000180184 00000 п. 0000180379 00000 н. 0000180574 00000 н. 0000180796 00000 н. 0000181018 00000 н. 0000181240 00000 н. 0000181458 00000 н. 0000181676 00000 н. 0000181897 00000 н. 0000182115 00000 н. 0000182344 00000 н. 0000182580 00000 н. 0000182812 00000 н. 0000183043 00000 н. 0000183275 00000 н. 0000183495 00000 н. 0000183718 00000 н. 0000183936 00000 н. 0000184159 00000 н. 0000184361 00000 н. 0000184557 00000 н. 0000184755 00000 н. 0000184952 00000 н. 0000185149 00000 н. 0000185328 00000 н. 0000185537 00000 н. 0000185716 00000 н. 0000185926 00000 н. 0000186105 00000 н. 0000186313 00000 н. 0000186492 00000 н. 0000186705 00000 н. 0000186884 00000 н. 0000187093 00000 н. 0000187272 00000 н. 0000187483 00000 н. 0000187662 00000 н. 0000187872 00000 н. 0000188068 00000 н. 0000188265 00000 н. 0000188460 00000 н. 0000188656 00000 н. 0000188852 00000 н. 0000189053 00000 н. 0000189256 00000 н. 0000189459 00000 н. 0000189664 00000 н. 0000189870 00000 н. 00001

00000 н. 00001

00000 н. 00001
00000 н. 00001 00000 н. 00001 00000 н. 00001
00000 н. 00001
00000 н. 00001
00000 н. 00001
00000 н. 00001
00000 н. 00001
00000 н. 00001
00000 н. 0000192509 00000 н. 0000192710 00000 н. 0000192910 00000 н. 0000193117 00000 н. 0000193349 00000 н. 0000193548 00000 н. 0000193772 00000 н. 0000193971 00000 н. 0000194203 00000 н. 0000194395 00000 н. 0000194625 00000 н. 0000194820 00000 н. 0000195048 00000 н. 0000195240 00000 н. 0000195439 00000 н. 0000195631 00000 н. 0000195828 00000 н. 0000196024 00000 н. 0000196227 00000 н. 0000196437 00000 н. 0000196633 00000 н. 0000196841 00000 н. 0000197037 00000 н. 0000197244 00000 н. 0000197440 00000 н. 0000197645 00000 н. 0000197841 00000 н. 0000198045 00000 н. 0000198248 00000 н. 0000198451 00000 н. 0000198652 00000 н. 0000198848 00000 н. 0000199047 00000 н. 0000199243 00000 н. 0000199443 00000 н. 0000199643 00000 н. 0000199839 00000 н. 0000200038 00000 н. 0000200234 00000 н. 0000200439 00000 п. 0000200641 00000 н. 0000200837 00000 н. 0000201037 00000 н. 0000201238 00000 н. 0000201438 00000 н. 0000201646 00000 н. 0000201842 00000 н. 0000202057 00000 н. 0000202274 00000 н. 0000202495 00000 н. 0000202690 00000 н. 0000202899 00000 н. 0000203091 00000 н. 0000203303 00000 н. 0000203499 00000 н. 0000203709 00000 н. 0000203901 00000 н. 0000204110 00000 н. 0000204302 00000 н. 0000204519 00000 н. 0000204711 00000 н. 0000204921 00000 н. 0000205131 00000 н. 0000205321 00000 н. 0000205528 00000 н. 0000205718 00000 н. 0000205925 00000 н. 0000206111 00000 н. 0000206315 00000 н. 0000206496 00000 н. 0000206682 00000 н. 0000206885 00000 н. 0000207066 00000 н. 0000207252 00000 н. 0000207455 00000 н. 0000207636 00000 н. 0000207822 00000 н. 0000208024 00000 н. 0000208205 00000 н. 0000208391 00000 н. 0000208594 00000 н. 0000208775 00000 н. 0000208962 00000 н. 0000209161 00000 н. 0000209343 00000 п. 0000209530 00000 н. 0000209731 00000 н. 0000209911 00000 н. 0000210090 00000 н. 0000210292 00000 п. 0000210479 00000 н. 0000210677 00000 н. 0000210856 00000 н. 0000211053 00000 н. 0000211251 00000 н. 0000211448 00000 н. 0000211642 00000 п. 0000211821 00000 н. 0000212015 00000 н. 0000212215 00000 н. 0000212394 00000 н. 0000212588 00000 н. 0000212784 00000 н. 0000212963 00000 н. 0000213154 00000 н. 0000213348 00000 н. 0000213527 00000 н. 0000213707 00000 н. 0000213912 00000 н. 0000214093 00000 н. 0000214274 00000 н. 0000214455 00000 н. 0000214637 00000 п. 0000214840 00000 н. 0000215018 00000 н. 0000215197 00000 н. 0000215401 00000 п. 0000215582 00000 н. 0000215763 00000 н. 0000215966 00000 н. 0000216145 00000 н. 0000216346 00000 н. 0000216527 00000 н. 0000216707 00000 н. 0000216907 00000 н. 0000217088 00000 н. 0000217294 00000 н. 0000217475 00000 н. 0000217680 00000 н. 0000217861 00000 н. 0000218063 00000 н. 0000218244 00000 п. 0000218441 00000 н. 0000218623 00000 н. 0000218818 00000 н. 0000219000 00000 н. 0000219205 00000 н. 0000219386 00000 п. 0000219590 00000 н. 0000219771 00000 п. 0000219972 00000 н. 0000220154 00000 н. 0000220349 00000 н. 0000220543 00000 н. 0000220736 00000 н. 0000220915 00000 н. 0000221107 00000 н. 0000221288 00000 н. 0000221480 00000 н. 0000221671 00000 н. 0000221870 00000 н. 0000222060 00000 н. 0000222259 00000 н. 0000222448 00000 н. 0000222626 00000 н. 0000222815 00000 н. 0000223009 00000 н. 0000223206 00000 н. 0000223394 00000 н. 0000223591 00000 н. 0000223779 00000 п. 0000223981 00000 н. 0000224169 00000 н. 0000224350 00000 н. 0000224538 00000 н. 0000224740 00000 н. 0000224921 00000 н. 0000225106 00000 н. 0000225291 00000 н. 0000225491 00000 п. 0000225672 00000 н. 0000225857 00000 н. 0000226038 00000 н. 0000226235 00000 н. 0000226419 00000 н. 0000226604 00000 н. 0000226785 00000 н. 0000226985 00000 н. 0000227172 00000 н. 0000227357 00000 н. 0000227542 00000 н. 0000227742 00000 н. 0000227930 00000 н. 0000228111 00000 п. 0000228293 00000 н. 0000228493 00000 н. 0000228682 00000 н. 0000228863 00000 н. 0000229048 00000 н. 0000229247 00000 н. 0000229436 00000 н. 0000229614 00000 н. 0000229799 00000 н. 0000229999 00000 н. 0000230192 00000 н. 0000230370 00000 н. 0000230567 00000 н. 0000230760 00000 н. 0000230956 00000 н. 0000231152 00000 н. 0000231330 00000 н. 0000231550 00000 н. 0000231746 00000 н. 0000231973 00000 н. 0000232172 00000 н. 0000232392 00000 н. 0000232598 00000 н. 0000232817 00000 н. 0000232998 00000 н. 0000233203 00000 н. 0000233384 00000 п. 0000233588 00000 н. 0000233767 00000 н. 0000233972 00000 н. 0000234151 00000 п. 0000234356 00000 п. 0000234537 00000 п. 0000234732 00000 н. 0000234913 00000 н. 0000235114 00000 п. 0000235305 00000 п. 0000235506 00000 н. 0000235707 00000 н. 0000235906 00000 н. 0000236084 00000 н. 0000236274 00000 н. 0000236465 00000 н. 0000236655 00000 н. 0000236845 00000 н. 0000237026 00000 н. 0000237215 00000 н. 0000237396 00000 н. 0000237589 00000 н. 0000237767 00000 н. 0000237948 00000 н. 0000238137 00000 н. 0000238326 00000 н. 0000238505 00000 н. 0000238683 00000 н. 0000238864 00000 н. 0000239057 00000 н. 0000239260 00000 н. 0000239449 00000 н. 0000239630 00000 н. 0000239816 00000 н. 0000240005 00000 н. 0000240191 00000 п. 0000240379 00000 н. 0000240565 00000 н. 0000240753 00000 п. 0000240934 00000 п. 0000241120 00000 н. 0000241301 00000 н. 0000241482 00000 н. 0000241667 00000 н. 0000241857 00000 н. 0000242042 00000 н. 0000242223 00000 н. 0000242417 00000 н. 0000242598 00000 н. 0000242779 00000 н. 0000242960 00000 н. 0000243141 00000 н. 0000243322 00000 н. 0000243507 00000 н. 0000243693 00000 н. 0000243879 00000 п. 0000244061 00000 н. 0000244246 00000 н. 0000244427 00000 н. 0000244606 00000 н. 0000244809 00000 н. 0000244996 00000 н. 0000245177 00000 н. 0000245358 00000 н. 0000245540 00000 н. 0000245747 00000 н. 0000245928 00000 н. 0000246109 00000 н. 0000246318 00000 н. 0000246523 00000 н. 0000246704 00000 н. 0000246885 00000 н. 0000247066 00000 н. 0000247271 00000 н. 0000247452 00000 н. 0000247637 00000 н. 0000247842 00000 н. 0000248023 00000 н. 0000248208 00000 н. 0000248419 00000 н. 0000248600 00000 н. 0000248788 00000 н. 0000249010 00000 н. 0000249191 00000 н. 0000249381 00000 п. 0000249590 00000 н. 0000249771 00000 н. 0000249952 00000 н. 0000250149 00000 н. 0000250330 00000 н. 0000250525 00000 н. 0000250725 00000 н. 0000250924 00000 н. 0000251105 00000 н. 0000251307 00000 н. 0000251523 00000 н. 0000251704 00000 н. 0000251921 00000 н. 0000252134 00000 п. 0000252315 00000 н. 0000252501 00000 н. 0000252687 00000 н. 0000252873 00000 н. 0000253073 00000 н. 0000253254 00000 н. 0000253435 00000 н. 0000253630 00000 н. 0000253811 00000 н. 0000254006 00000 н. 0000254187 00000 н. 0000254382 00000 н. 0000254563 00000 н. 0000254763 00000 н. 0000254945 00000 н. 0000255140 00000 н. 0000255322 00000 н. 0000255517 00000 н. 0000255715 00000 н. 0000255910 00000 н. 0000256089 00000 н. 0000256268 00000 н. 0000256467 00000 н. 0000256662 00000 н. 0000256857 00000 н. 0000257036 00000 н. 0000257235 00000 н. 0000257430 00000 н. 0000257624 00000 н. 0000257803 00000 н. 0000257989 00000 н. 0000258179 00000 н. 0000258369 00000 н. 0000258555 00000 н. 0000258736 00000 н. 0000258929 00000 н. 0000259119 00000 н. 0000259300 00000 н. 0000259493 00000 н. 0000259698 00000 н. 0000259895 00000 н. 0000260094 00000 н. 0000260275 00000 н. 0000260456 00000 н. 0000260658 00000 н. 0000260860 00000 н. 0000261064 00000 н. 0000261275 00000 н. 0000261456 00000 н. 0000261667 00000 н. 0000261852 00000 н. 0000262066 00000 н. 0000262275 00000 н. 0000262482 00000 н. 0000262688 00000 н. 0000262883 00000 н. 0000263078 00000 н. 0000263273 00000 н. 0000263468 00000 н. 0000263662 00000 н. 0000263856 00000 н. 0000264050 00000 н. 0000264235 00000 н. 0000264420 00000 н. 0000264602 00000 н. 0000264781 00000 н. 0000264963 00000 н. 0000265148 00000 н. 0000265333 00000 п. 0000265522 00000 н. 0000265703 00000 п. 0000265884 00000 н. 0000266069 00000 н. 0000266254 00000 н. 0000266439 00000 н. 0000266620 00000 н. 0000266801 00000 н. 0000266982 00000 п. 0000267163 00000 н. 0000267344 00000 п. 0000267525 00000 н. 0000267706 00000 н. 0000267891 00000 н. 0000268072 00000 н. 0000268253 00000 н. 0000268432 00000 н. 0000268613 00000 н. 0000268799 00000 н. 0000268980 00000 н. 0000269160 00000 н. 0000269341 00000 п. 0000269527 00000 н. 0000269708 00000 н. 0000269888 00000 н. 0000270069 00000 н. 0000270249 00000 н. 0000270430 00000 н. 0000270611 00000 п. 0000270797 00000 н. 0000270979 00000 п. 0000271159 00000 н. 0000271340 00000 н. 0000271520 00000 н. 0000271706 00000 н. 0000271887 00000 н. 0000272068 00000 н. 0000272248 00000 н. 0000272428 00000 н. 0000272609 00000 н. 0000272795 00000 н. 0000272976 00000 н. 0000273156 00000 н. 0000273336 00000 н. 0000273517 00000 н. 0000273698 00000 н. 0000273878 00000 н. 0000274058 00000 н. 0000274239 00000 н. 0000274419 00000 н. 0000274600 00000 н. 0000274780 00000 н. 0000274961 00000 н. 0000275141 00000 п. 0000275322 00000 н. 0000275503 00000 н. 0000275683 00000 н. 0000275864 00000 н. 0000276050 00000 н. 0000276230 00000 н. 0000276410 00000 н. 0000276591 00000 н. 0000276772 00000 н. 0000276952 00000 н. 0000277133 00000 н. 0000277313 00000 н. 0000277494 00000 н. 0000277673 00000 н. 0000277854 00000 н. 0000278034 00000 н. 0000278215 00000 н. 0000278394 00000 н. 0000278574 00000 н. 0000278755 00000 н. 0000278941 00000 н. 0000279122 00000 н. 0000279301 00000 н. 0000279482 00000 н. 0000279668 00000 н. 0000279847 00000 н. 0000280027 00000 н. 0000280209 00000 н. 0000280388 00000 н. 0000280569 00000 н. 0000280748 00000 н. 0000280929 00000 н. 0000281114 00000 н. 0000281295 00000 н. 0000281476 00000 н. 0000281657 00000 н. 0000281838 00000 н. 0000282019 00000 н. 0000282200 00000 н. 0000282381 00000 п. 0000282562 00000 н. 0000282743 00000 н. 0000282928 00000 н. 0000283117 00000 н. 0000283298 00000 н. 0000283483 00000 н. 0000283664 00000 н. 0000283849 00000 н. 0000284030 00000 н. 0000284215 00000 н. 0000284396 00000 н. 0000284581 00000 н. 0000284762 00000 н. 0000284943 00000 н. 0000285124 00000 н. 0000285309 00000 н. 0000285494 00000 н. 0000285674 00000 н. 0000285855 00000 н. 0000286036 00000 н. 0000286217 00000 н. 0000286397 00000 н. 0000286582 00000 н. 0000286767 00000 н. 0000286947 00000 н. 0000287128 00000 н. 0000287307 00000 н. 0000287488 00000 н. 0000287667 00000 н. 0000287848 00000 н. 0000288029 00000 н. 0000288209 00000 н. 0000288390 00000 н. 0000288570 00000 н. 0000288750 00000 н. 0000288932 00000 н. 0000289112 00000 н. 0000289293 00000 н. 0000289474 00000 н. 0000289654 00000 н. 0000289833 00000 н. 00002
00000 н. 00002
00000 н. 00002 00000 н. 00002
00000 н. 00002 00000 н. 00002
00000 н. 00002
00000 н. 00002
00000 н. 00002
00000 н. 00002
00000 н. 00002 00000 н. 00002
00000 н. 00002 00000 н. 00002 00000 п. 0000292525 00000 н. 0000292704 00000 н. 0000292883 00000 н. 0000293062 00000 н. 0000293241 00000 н. 0000293420 00000 н. 0000293599 00000 н. 0000293778 00000 н. 0000018717 00000 п. 0000019657 00000 п. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 10 0 obj > эндобдж 921 0 объект > транслировать HēMkTWVKX ki «@ B * t ׍ {: 8 / {‘/ jMMZWyΙɍ) v󼝹Js’4! Qkҵ Y> ~ & Cz 㺪 | G} iEq * CSce ۓ / * iU-P &.Z_җZ9YO} y -]? XL? Y 1ky / x kI7tK ש zӬ «5 @ * rђEJAv /? 1hhTjO) a-6 {jCMuUSQ-ȧFOszv˝m *:
Угол между двумя векторами — объяснение и примеры
Векторы, в частности направление векторов и углы, на которые они ориентированы, имеют большое значение в векторной геометрии и физике. Если есть два вектора, скажем, a и b в плоскости так, что хвосты обоих векторов соединены, тогда существует некоторый угол между ними, и этот угол между двумя векторами определяется как:
“ Угол между двумя векторами — это кратчайший угол, на который любой из двух векторов поворачивается относительно другого вектора, так что оба вектора имеют одинаковое направление.”
Кроме того, это обсуждение фокусируется на нахождении угла между двумя стандартными векторами, что означает, что их начало находится в (0, 0) в плоскости x-y.
В этой теме мы кратко обсудим следующие моменты:
Каков угол между двумя векторами?
Как узнать угол между двумя векторами?
Угол между двумя двумерными векторами.
Угол между двумя трехмерными векторами.
Примеры.
Проблемы.
Угол между двумя векторами
Векторы ориентированы в разных направлениях, образуя разные углы. Этот угол существует между двумя векторами и отвечает за определение возведения векторов.
Угол между двумя векторами можно найти с помощью векторного умножения. Существует два типа умножения векторов: скалярное произведение и перекрестное произведение .
Скалярное произведение — это произведение или произведение двух векторов, которое дает скалярную величину.Как следует из названия, векторное произведение или кросс-произведение дает векторную величину за счет произведения или умножения двух векторов.
Например, если мы говорим о движении теннисного мяча, его положение описывается вектором положения, а движение — вектором скорости, длина которого указывает скорость мяча. Направление вектора объясняет направление движения. Точно так же импульс шара также является примером векторной величины, которая равна массе, умноженной на скорость.
Иногда нам приходится иметь дело с двумя векторами, действующими на какой-то объект, поэтому угол вектора имеет решающее значение.В реальном мире любая рабочая система объединяет несколько векторов, связанных друг с другом, и образует несколько углов друг с другом в заданной плоскости. Векторы могут быть двухмерными или трехмерными. Следовательно, необходимо вычислить угол между векторами.
Давайте сначала обсудим скалярные произведения.
Угол между двумя векторами с использованием точечного произведения
Рассмотрим два вектора a и b , разделенных некоторым углом θ. Тогда по формуле скалярного произведения будет:
a.b = | a | | b | .cosθ
, где a.b — скалярное произведение двух векторов. | а | и | b | — величина векторов a, и b, и θ — угол между ними.
Чтобы найти угол между двумя векторами, мы начнем с формулы скалярного произведения, которая дает косинус угла θ.
Согласно формуле скалярного произведения
a.b = | a | | b | .cosθ
Это означает, что скалярное произведение двух векторов a и b равно величине двух векторов a и b, умноженной на косинус угла.Чтобы найти угол между двумя векторами, a и b, мы решим угол θ,
cosθ = a.b / | a |. | б |
θ = arccos ( a.b / | a |. | B |)
Итак, θ — это угол между двумя векторами.
Если вектор a = и b = ,
Тогда скалярное произведение между двумя векторами a и b задается как,
ab = <топор, ау>.
a.b = ax.bx + ay.by
Здесь мы можем получить пример выполненной работы, поскольку выполненная работа определяется как сила, приложенная для перемещения объекта на некоторое расстояние. И сила, и смещение являются векторами, и их скалярное произведение дает скалярную величину, то есть , работа. Проделанная работа — это скалярное произведение силы и смещения, которое можно определить как
F. d = | F | | d | cos (θ)
Где θ — угол между силой и смещением. Например, если мы рассматриваем автомобиль, движущийся по дороге, преодолевая некоторое расстояние в определенном направлении, на автомобиль действует сила, тогда как сила составляет некоторый угол θ со смещением.
Ниже приведены некоторые свойства скалярного произведения:
Скалярное произведение является коммутативным по своей природе.
По своей природе он является распределительным по сравнению с векторным сложением:
a. (b + c) = (a. b) + (a. c)
Он не ассоциативен по своей природе.
4. Скалярная величина может быть умножена на скалярное произведение двух векторов.
г. (а. б) = (в а). б = а. (c b)
Скалярное произведение является максимальным, когда два ненулевых вектора параллельны друг другу.
6. Два вектора перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда a. b = 0, поскольку скалярное произведение — это косинус угла между двумя векторами a и b, а cos (90) = 0.
Для единичных векторов
i. i = 1
дж. j = 1
к. k = 1
Умножение точек не соответствует закону отмены
a. б = а. c
а. (b — c) = 0
Точно так же для этой цели мы можем использовать перекрестные произведения. 2 + 2 | A || B | .2 = (1 + cos (θ))
1/2 = 1 + cos (θ)
1/2 — 1 = cos (θ)
-1 / 2 = cos (θ)
θ = cos -1 (-1 / 2)
θ = 120º
Итак, угол между двумя векторами, имеющими одинаковую величину, равен 120º.
Пример 2
Найдите угол между двумя векторами равной величины. Кроме того, вычислите величину результирующего вектора.
Решение
Дано, что,
| A | = | B |
Использование закона косинуса для вычисления величины результирующего вектора R .2 (θ / 2))
| R | = 2 A cos (θ / 2)
Теперь для вычисления результирующего угла α, который он составит с первым вектором,
tan α = (A sin θ) / (A + A cos θ)
tan α = (2 A cos (θ / 2). Sin (θ / 2) / (2 A cos2 (θ / 2))
tan α = tan (θ / 2)
α = θ / 2
Следовательно, это показывает, что результат будет делить пополам угол между двумя векторами, имеющими равную величину.
Пример 3
Найдите угол между заданными двумя векторами. 2)
| B | = √ (1 + 4 + 25)
| B | = √ (30)
Теперь, найдя скалярное произведение,
A.В = <4, 3, 2>. <1, 2, 5>
A.B = 4 + 6 + 10
A.B = 20
Подставляя в формулу скалярного произведения,
20 = (√ (29)). (√ (30)). cos (θ)
20 / (√ (29 x 30)) = cos (θ)
cos (θ) = 0,677
θ = cos-1 (0,677)
θ = 42,60º
Угол между Два вектора с использованием перекрестного произведения
Другой метод определения угла между двумя векторами — это перекрестное произведение.Перекрестное произведение определяется как:
«Вектор, перпендикулярный как векторам, так и направлению, задается правилом правой руки.
Итак, векторное произведение математически представляется как,
a x b = | a | | б | . sin (θ) n
Где θ — угол между двумя векторами, | a | и | b | — величины двух векторов a и b, и n — единичный вектор, перпендикулярный плоскости, содержащей два вектора a и b в направлении, заданном правилом правой руки.
Рассмотрим два вектора a и b , хвосты которых соединены вместе и, следовательно, образуют некоторый угол θ. Чтобы найти угол между двумя векторами, мы будем манипулировать вышеупомянутой формулой перекрестного произведения.
( axb ) / (| a |. | B |) = sin (θ)
Если данные векторы a и b параллельны друг другу, то согласно приведенной выше формуле крест продукт будет равен нулю, поскольку sin (0) = 0.Имея дело с перекрестным произведением, мы должны быть осторожны с направлениями.
Ниже приведены некоторые свойства перекрестного произведения:
Перекрестное произведение является антикоммутативным по своей природе.
Самостоятельное произведение векторов равно нулю.
A x A = 0
Перекрестное произведение распределительно по векторному сложению
a x ( b + c) = ( a x b ) + ( a x c )
Неассоциативная природа.
Скалярная величина может быть умножена на скалярное произведение двух векторов.
г. ( a x b ) = (c a ) x b = a x (c b )
Точечное произведение является максимальным, когда два ненулевых вектора перпендикулярны друг другу.
Два вектора параллельны (т. Е. Если угол между двумя векторами равен 0 или 180) друг другу тогда и только тогда, когда axb = 1, поскольку векторное произведение — это синус угла между двумя векторами a и b и синус (0) = 0 или синус (180) = 0.
Для единичных векторов
ixi = 0
jxj = 0
kxk = 0
ixj = k
= k
9199 jxk = j
Перекрестное умножение не соответствует закону отмены
axb = axc
ax ( b — c ) = 0
Вот некоторые из свойств перекрестного произведения .2) = 1/5
Теперь, подставляя в формулу,
| а х б | = | а | | б | sin θ
1/5 = (1) (1) sin θ
θ = sin-1 (1/5)
θ = 30º
Пример 6
Вычислите угол между двумя векторами так, чтобы a = 3 i — 2 j — 5 k и b = i + 4 j — 4 k , где a x b = 28 i + 7 к + 14 к .2)
| б | = √ (1 + 16 + 16)
| b | = √ (33)
Принимая во внимание, что величина a x b задается как,
| а х б | = √ ((28) 2 + (7) 2 + (14))
| а х б | = √ (1029)
| а х б | = 32.08
Теперь, подставив в формулу,
| а х б | = | а | | б | sin θ
32,08 = (√ (38)) (√ (33)) sin θ
sin θ = 32,08 / (√ (38)) (√ (33))
θ = 64,94º
Итак, Угол между двумя векторами a и b равен θ = 64.94º.
Векторы могут быть как двухмерными, так и трехмерными. Метод определения угла в обоих случаях одинаков. Единственное отличие состоит в том, что двумерный вектор имеет две координаты x и y, тогда как трехмерный вектор имеет три координаты x, y и z. В приведенных выше примерах используются как двухмерные, так и трехмерные векторы.
Практические задачи
При условии, что | A | = 3 и | B | = 5, где as a. b = 7,5, найдите угол между двумя векторами.
Вычислите угол между двумя векторами 3i + 4j — k и 2i — j + k.
Вычислите угол между двумя векторами так, чтобы a = 2 i — 3 j + 1 k и b = -1 i + 0 j + 5 k где a x b = -15 i — 11 j — 3 k .
Вычислите угол между двумя векторами так, чтобы a = 2 i + 3 j + 5 k и b = i + 6 j — 4 k , где . b = 0.
Найдите угол между заданными векторами t = (3, 4) и r = (−1, 6).
Каким будет результирующий вектор R двух векторов A и B , имеющих одинаковую величину, если угол между ними равен 90o.
Ответы
60 °
85,40 °
81,36 °
90 °
36,30 °
90 °
Все векторные диаграммы построены с использованием GeoGebra.
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок
Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение (также называемое скалярным произведением и внутренним произведением) векторов A и B записывается и определяется следующим образом:
Рисунок 1. — Угол между векторами и скалярным произведением.
A B = | А | | B | cos (θ)
где |
A | — величина вектора A, | B | — величина вектора B, а θ — угол между двумя векторами.Результатом скалярного произведения двух векторов является скалярная величина.
Для векторов, заданных их компонентами:
A = ( Ax, Ay, Az ) и B = ( Bx, By, Bz ), скалярное произведение равно A B = AxBx + AyBy + AzBz
Обратите внимание, что если θ = 90, то cos (θ) = 0, и поэтому мы можем утверждать, что: Два вектора с величинами, не равными нулю, перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение также можно использовать для нахождения косинуса и, следовательно, угла между двумя векторами
cos (θ) =
A B / | А | | B | Свойства скалярного произведения
1)
A B = B A
2)
A (B + C) = A B + A C Приложения скалярного произведения
Вопрос 1
Найдите действительное число b так, чтобы векторы A и B, указанные ниже, были перпендикулярны
A = (-2, -b), B = (-8, b).
Решение вопроса 1
Условием для перпендикулярности двух векторов A = (Ax, Ay) и B = ( Bx, By ) является то, что их скалярное произведение равно нулю:
AxBx + AyBy = 0.
Заменить компоненты и упростить
(-2) (- 8) + (-b) (b) = 0
16 — b ² = 0
b ² = 16
Решите относительно b
b = 4 и b = -4
Два возможных значения b; b = 4 и b = — 4 делают указанные выше векторы перпендикулярными.
Вопрос 2
Найдите угол между векторами A и B, приведенными ниже
A = (2, 1, 3), B = (3, -2, 1).
Решение вопроса 2
Сначала мы используем компоненты, чтобы найти скалярное произведение двух векторов.
A B = (2) (3) + (1) (- 2) + (3) (1) = 7
Далее мы выразим скалярное произведение, используя величины и угол θ, образованные двумя векторами.
A B = | A | | B | cos (θ) = 7
, что дает
cos (θ) = 7 / (| A | | B |)
| A | = √ (2 ² + 1 ² + 3 ²) = √14
| B | = √ (3 ² + (-2) ² + 1 ²) = √14
cos (θ) = 7 / (√14√14) = 7/14 = 1/2
θ = arccos (1/2) = 60
Вопрос 3
Для вектора U = (3, -7) найдите уравнение прямой, проходящей через точку B (2, 1) и перпендикулярную вектору U.
Решение вопроса 3
Точка M (x, y) находится на прямой, проходящей через точку B (2, 1) и перпендикулярна вектору U = (3, -7) тогда и только тогда, когда векторы BM и U перпендикулярны.
Сначала найдем компоненты векторов BM.
BM = (x — 2, y — 1)
Векторы BM = (x — 2, y — 1) и U = (3, -7) перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Следовательно,
(x — 2) (3) + (y — 1) (- 7) = 0 Разверните и упростите, чтобы получить уравнение прямой
3 x — 7 y = — 1
Вопрос 4
Учитывая точки A (1, 2) и B (-2, -2), найдите уравнение касательной в точке B к окружности диаметра AB.
Рисунок 1. — Касательная к окружности. Решение вопроса 4
Касательная к окружности в точке B перпендикулярна отрезку BC, где C — центр окружности (см. Рисунок справа). Любая точка M (x, y) на касательной такова, что скалярное произведение
BM BC равно нулю.
Точка C — это центр окружности и, следовательно, середина точек A и B. Его координаты:
C ((1 + (- 2)) / 2, (2 + (-2)) / 2) = C (-1 / 2, 0)
Определены векторы
BM и BC. точками B и M, B и C и их компоненты задаются формулами BM = (x — (-2)), y — (-2)) = (x + 2, y + 2) BC = (-1 / 2 — (-2)), 0 — (-2)) = (3/2, 2)
Теперь мы используем тот факт, что скалярное произведение равно нулю.
BM BC = (x + 2) (3/2) + (y + 2) (2) = 0
Расширьте и упростите, чтобы найти уравнение касательной.
3 x / 2 + 2 y = — 7
Вопрос 5
Найдите угол между линиями, задаваемыми уравнениями: y = 2 x + 4 и y = x + 3.
Рисунок 1. -Угол между двумя линиями. Решение вопроса 5
Пусть L1 будет линией с уравнением y = 2 x + 4, а линия L2 — линией с уравнением L2.
Сначала найдите точку пересечения, решив систему уравнений: y = 2 x + 4 и y = x + 3.
Точка пересечения находится в (-1, 2)
Теперь мы находим точки пересечения по оси Y двух линий
Для линии L1 точка пересечения по оси Y равна (0, 4), а для L2 точка пересечения по оси Y равна (0, 3)
Теперь мы находим два вектора V1 и V2, параллельные L1 и L2 соответственно. (см. рисунок справа)
V1 = (0 — (-1), 4-2) = (1, 2) и V2 = (0 — (-1), 3-2) = (1, 1)
Теперь вычисляем угол θ
θ = arccos [(
V1 V2) / (| V1 | | V2 |)] = arccos [(1, 2) (1, 1) / (√5 √2 )] = 18.43
Часть 14: Точечное произведение и произведение Адамара | Авниш | Линейная алгебра
Помимо умножения матриц, описанного ранее, векторы можно умножать еще двумя методами: скалярным произведением и произведением Адамара. Результаты, полученные обоими методами, различаются.
Элементы, соответствующие одной строке и столбцу, умножаются вместе, а произведения складываются так, что результат является скаляром.
Точечное произведение векторов a , b и c
В отличие от умножения матриц результатом скалярного произведения является не другой вектор или матрица, а скаляр.
Точечное произведение вектора a и b
Порядок векторов не имеет значения для скалярного произведения, просто количество элементов в обоих векторах должно быть одинаковым.
Геометрическая формула скалярного произведения
Здесь | a | и | b | являются величиной вектора a и b , и они умножаются на косинус угла между векторами
Точечное произведение также называется внутренним произведением или скалярным произведением.
Проекция вектора
Предположим, что у нас есть два вектора c и d , соединенные углом phi (Ф).
Теперь проекция вектора c на вектор d может быть представлена как
Вектор c с нижним индексом d представляет проекцию вектора c на вектор d
Из рисунка можно сделать вывод, что проекция равной горизонтальной составляющей вектора c по отношению к углу phi (Ф).
Это называется скалярной проекцией . Чтобы найти векторную проекцию вектора c на вектор d , мы должны умножить скалярную проекцию на единичный вектор d .
Подстановка значения единичного вектора d .
Таким образом, скалярное произведение также может быть представлено как
Проекции широко используются в линейной алгебре и машинном обучении (машина опорных векторов (SVM) — это алгоритм машинного обучения, используемый для классификации данных).
Произведение Адамара двух векторов очень похоже на сложение матриц, элементы, соответствующие одной строке и столбцам данных векторов / матриц, умножаются вместе, чтобы сформировать новый вектор / матрицу.
Он назван в честь французского математика Жака Адамара.
Произведение Адамара вектора g , h и m
Порядок перемножаемых матриц / векторов должен быть одинаковым, и результирующая матрица также будет того же порядка.
Произведение Адамара матрицы G и матрицы H (обе имеют порядок 2×3), дает другую матрицу NMatrix N того же порядка, что и входные матрицы (2×3).
Произведение Адамара используется в методах сжатия изображений, таких как JPEG. Он также известен как произведение Шура в честь немецкого математика Иссая Шура.
Произведение Адамара используется в ячейках LSTM (Long Short-Term Memory) рекуррентных нейронных сетей (RNN).
The SpaceR3
Если три взаимно перпендикулярных копии реальной линии пересекаются в своих началах, любая точка в результирующем пространстве определяется упорядоченной тройной действительных чисел ( x ₁, x ₂, х ₃). Набор всех упорядоченных троек действительных чисел называется 3-пробел , обозначается R ³ («R тройка»).См. Рисунок.

Рисунок 1
Операции сложения и скалярного умножения, указанные в R ², переносятся на R ³:
Векторы в R ³ называются 3-векторами (потому что есть 3 компонента), и геометрические описания сложения и скалярного умножения, данные для 2-векторов, также переносятся на 3-векторы.
Пример 1 : Если x = (3, 0, 4) и y = (2, 1, −1), то
Стандартные базисные векторы в R ³ .Поскольку для любого вектора x = ( x ₁, x ₂, x ₃) в R ³,
стандартные базисные векторы в R ³ равны
Любой вектор x в R ³ может быть записан как
См. Рисунок.

Рисунок 2
Пример 2 : Какой вектор нужно добавить к a = (1, 3, 1), чтобы получить b = (3, 1, 5)?
Пусть c — искомый вектор; тогда a + c = b .Следовательно,
Обратите внимание, что c — это вектор ab ; см. рисунок.

Рисунок 3
Перекрестное произведение . До сих пор вы видели, как можно складывать (или вычитать) два вектора и как вектор умножается на скаляр. Можно ли как-то «умножить» два вектора? Один из способов определить произведение двух векторов — который выполняется только с векторами в R ³ — состоит в том, чтобы сформировать их перекрестное произведение .Пусть x = ( x ₁, x ₂, x ₃) и y = ( y ₁, y ₂, y ₃) быть двумя векторами в R ³. Перекрестное произведение (или векторное произведение ) x и y определяется следующим образом:
Перекрестное произведение двух векторов является вектором, и, возможно, наиболее важной характеристикой этого векторного произведения является то, что оно перпендикулярно обоим факторам .(Это будет продемонстрировано, когда будет введено скалярное произведение.) То есть вектор x x y будет перпендикулярен как x , так и y ; см. рисунок. [Здесь есть двусмысленность: плоскость на рисунке, которая содержит векторы x и y , имеет два перпендикулярных направления: «вверх» и «вниз». Какой из них выбирает кросс-произведение? Ответ дает правило для правой руки : поместите запястье правой руки в общую начальную точку x и y , указав пальцами вдоль x ; когда вы сгибаете пальцы в направлении y , ваш большой палец будет указывать в направлении x x y .Это показывает, что перекрестное произведение антикоммутативно: y x x = — ( x x y ).]

Рисунок 4
Длина вектора x = ( x ₁, x ₂, x ₃) в R ³, что обозначается ∥ x ∥ , задается уравнением
результат, который следует из теоремы Пифагора (см. Обсуждение перед рисунком ниже).В то время как направление векторного произведения x и y определяется ортогональностью и правилом правой руки, величина (то есть длина) x x y равна площади параллелограмма, натянутого на векторы x и y .
Так как площадь параллелограмма на рисунке
выполняется следующее уравнение:
, где θ — угол между x и y .

Рисунок 5
Пример 3 : Пусть x = (2, 3, 0) и y = (−1, 1, 4) будут векторами положения в R ³. Вычислите площадь треугольника, вершины которого являются началом и конечными точками x и y , и определите угол между векторами x и y .

Задание 14 — ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян, Бутузов. Учебник. Вопросы для повторения к главе IX. Страница 209

Вопрос

Подсказка

Ответ

Вопросы для повторения «Векторы и координаты»

Презентация — Координаты векторов

Слайды и текст этой онлайн презентации

Слайд 1

Слайд 2

Слайд 3

Слайд 4

Слайд 5

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14

Слайд 15

Слайд 16

Слайд 17

Слайд 18

Слайд 19

ЗАЧЕТ ПО ТЕМЕ ВЕКТОРЫ

Презентация «Координаты векторов»

Какой вектор называется противоположным данному? Сформулируйте и докажите теорему о разности векторов.

Другие вопросы из категории

Читайте также

Векторы, линейные операции над векторами, их свойства

Рекомендуемые файлы

12.3: Точечное произведение — математика LibreTexts

Точечное произведение и его свойства

Использование точечного произведения для определения угла между двумя векторами

Прогнозы

Работа

— перекрестное произведение

(Векторное произведение двух векторов)

Как рассчитать перекрестное произведение

Вариант 1 — Формула: Векторное произведение \ (\ vec {u} \ times \ vec {v} \)

Пример

Решение

Вариант 2: Матричная алгебра — определитель матрицы 3 на 3 (рекомендуется)

Учебное пособие: Перекрестное произведение — метод определения

Пример

Решение

Упражнение 1

ОБЛАСТИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММ И ТРЕУГОЛЬНИКОВ

ОБЛАСТЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ

Пример

Решение

Площадь треугольника

Пример

Решение

Упражнение 2 (вопросы по стилю экзамена)

Угол между двумя векторами — объяснение и примеры

Скалярное произведение векторов

Часть 14: Точечное произведение и произведение Адамара | Авниш | Линейная алгебра

Проекция вектора

The SpaceR3

alexxlab

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики