%d1%81%d0%bb%d0%be%d0%b6%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5%20%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%be%d0%b2 — со всех языков на все языки

Все языкиАбхазскийАдыгейскийАфрикаансАйнский языкАканАлтайскийАрагонскийАрабскийАстурийскийАймараАзербайджанскийБашкирскийБагобоБелорусскийБолгарскийТибетскийБурятскийКаталанскийЧеченскийШорскийЧерокиШайенскогоКриЧешскийКрымскотатарскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧувашскийВаллийскийДатскийНемецкийДолганскийГреческийАнглийскийЭсперантоИспанскийЭстонскийБаскскийЭвенкийскийПерсидскийФинскийФарерскийФранцузскийИрландскийГэльскийГуараниКлингонскийЭльзасскийИвритХиндиХорватскийВерхнелужицкийГаитянскийВенгерскийАрмянскийИндонезийскийИнупиакИнгушскийИсландскийИтальянскийЯпонскийГрузинскийКарачаевскийЧеркесскийКазахскийКхмерскийКорейскийКумыкскийКурдскийКомиКиргизскийЛатинскийЛюксембургскийСефардскийЛингалаЛитовскийЛатышскийМаньчжурскийМикенскийМокшанскийМаориМарийскийМакедонскийКомиМонгольскийМалайскийМайяЭрзянскийНидерландскийНорвежскийНауатльОрокскийНогайскийОсетинскийОсманскийПенджабскийПалиПольскийПапьяментоДревнерусский языкПортугальскийКечуаКвеньяРумынский, МолдавскийАрумынскийРусскийСанскритСеверносаамскийЯкутскийСловацкийСловенскийАлбанскийСербскийШведскийСуахилиШумерскийСилезскийТофаларскийТаджикскийТайскийТуркменскийТагальскийТурецкийТатарскийТувинскийТвиУдмурдскийУйгурскийУкраинскийУрдуУрумскийУзбекскийВьетнамскийВепсскийВарайскийЮпийскийИдишЙорубаКитайский

 

Все языкиАбхазскийАдыгейскийАфрикаансАйнский языкАлтайскийАрабскийАварскийАймараАзербайджанскийБашкирскийБелорусскийБолгарскийКаталанскийЧеченскийЧаморроШорскийЧерокиЧешскийКрымскотатарскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧувашскийДатскийНемецкийГреческийАнглийскийЭсперантоИспанскийЭстонскийБаскскийЭвенкийскийПерсидскийФинскийФарерскийФранцузскийИрландскийГалисийскийКлингонскийЭльзасскийИвритХиндиХорватскийГаитянскийВенгерскийАрмянскийИндонезийскийИнгушскийИсландскийИтальянскийИжорскийЯпонскийЛожбанГрузинскийКарачаевскийКазахскийКхмерскийКорейскийКумыкскийКурдскийЛатинскийЛингалаЛитовскийЛатышскийМокшанскийМаориМарийскийМакедонскийМонгольскийМалайскийМальтийскийМайяЭрзянскийНидерландскийНорвежскийОсетинскийПенджабскийПалиПольскийПапьяментоДревнерусский языкПуштуПортугальскийКечуаКвеньяРумынский, МолдавскийРусскийЯкутскийСловацкийСловенскийАлбанскийСербскийШведскийСуахилиТамильскийТаджикскийТайскийТуркменскийТагальскийТурецкийТатарскийУдмурдскийУйгурскийУкраинскийУрдуУрумскийУзбекскийВодскийВьетнамскийВепсскийИдишЙорубаКитайский

Интегрированный урок геометрия-физика «Сложение векторов» (9 класс)

— обучающие: продолжить знакомство с понятием вектора, действий над векторами, метод сложения векторов, практическое применение метода сложения при решении физических и математических задач.

Методические: показать возможность практического, осознанного применения полученных на уроке геометрии знаний, к решению физических задач.

Задачи урока: 

• Продолжить формирование и закрепление навыков выполнения действий над векторами.

• Показать связь между физикой и математикой.

• Способствовать  развитию внимания и интереса у учащихся  к математике и физике.  

• Организовать деятельность учащихся по изучению понятий

• Развивать познавательный интерес, умение сравнивать, обобщать.

• Развивать внимание, воображение учащихся.

Учебник: 1) Геометрия 7 – 9 классы : учеб.для общеобразоват. организаций / [Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.]. – М. :

Просвещение, 2016.

2) Физика. 9кл. : учебник / А.В. Перышкин, Е.М. Гутник. – М. : Дрофа, 2014

Оборудование:

• ПК, проекционное оборудование, презентация к уроку;

• Чертёжные инструменты

• Карточки-задания

Цель деятельности учителя

Термины и понятия

Векторы, скалярные и векторные величины, сумма векторов, равнодействующая (результирующая) сил

Планируемые результаты

Познавательные: умеют создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач, использовать средства наглядности математики и физики для иллюстрации, интерпретации, аргументации.
Регулятивные: умеют самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осуществлять контроль по результату и способу действий на уровне произвольного внимания, вносить необходимые коррективы, выделение и осознание обучающимся того, что уже усвоено и что нужно усвоить

Коммуникативные: выстраивают аргументацию, участвуют в диалоге, участвуют в коллективном обсуждении учебной проблемы, оформляют свои мысли в устной форме.
Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических и физических объектов, задач, решений, рассуждений, креативность мышления, инициативность, находчивость активность при решении геометрических и физических задач

Обеспечение мотивации учения детьми, принятия ими целей урока

Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания. Урок я начну с высказывания Г.Галилея: «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать».

Регулятивные: самоорганизация, настрой на работу, развитие внимания.

Что мы знаем о векторах в физике и геометрии?

Напомню, возникнув, понятие «вектор» сразу нашло применение в физике. И неслучайно, вектор в школьной программе изучается в математике и физике. Важность этого понятия никто уже не оспаривает.

Как показываем в физике действие на тело нескольких сил?

Когда тело находится в движении? В состоянии покоя? Когда тело находится в покое, действуют ли на него силы?

Уч-ся отвечают, показывают на чертежах. Перечисляют факты геометрические и физические, уже изученные по теме «Векторы»: понятие вектора, векторной величины и ее обозначения на чертежах, скалярной величины, равных векторов, коллинеарных векторов, параллельный перенос вектора, относительность движения, противополож. векторы

Регулятивные: выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения; развитие эрудиции, воображения, опора на жизненный опыт; развитие самостоятельности, самоконтроля. Реципация.

Коммуникативные: умение вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении учебной проблемы,

оформление своих мыслей в устной форме.

Практическая работа по группам. Тема: “ Векторы в физике и математике” (вопросы в прил. 1)

В ходе жеребьевки учащиеся разбиваются на две команды, между которыми проводится игра. Та команда, которая раньше готова ответить на вопрос, дает сигнал.

Регулятивные: взаимопроверка; сравнение результатов; оценивают успешность своей работы.

Создание проблемной ситуации

(слайд 3)

Учитель математики:

История о том, как «лебедь, рак и щука вести с поклажей воз взялись» известна всем.

Однажды Лебедь, Рак да Щука

Везти с поклажей воз взялись

И вместе, трое, все в него впряглись;

Из кожи лезут вон,

А возу все нет ходу!

Учитель физики:

Поклажа бы для них казалась и легка:

Да Лебедь рвется в облака,

Рак пятится назад,

А Щука тянет в воду!

Кто виноват из них, кто прав –

Судить не нам;

Да только воз и ныне там!”

На воз действуют силы? Почему он не движется? Скалярная величина имеет численное значение, которым можно оперировать, векторная величина имеет еще и направление, значит и с ним можно что-то делать. Численное значение сил мы сложить умеем, но ведь это векторная величина, значит можно сложить векторы. Оставим чертеж, вернемся к нему позже.

Регулятивные: видение, постановка, принятие познавательной цели. Выделение и осознание того, что уже усвоено и что нужно усвоить;

Личностные: проявляют способность к эмоциональному восприятию математических и физических объектов

Познавательные: формирование метапредметных связей, опора на жизненный опыт учащихся, предположение

(слайд 4)

(слайд 5)

Познакомимся с алгоритмом применения правила треугольника (анимационный слайд с последовательным появлением каждого шага построения)

Познакомимся с алгоритмом применения правила параллелограмма

Визуальное восприятие готового чертежа, иллюстрирующего правило треугольника. По наблюдению составляют алгоритм его применения

Познавательные: понимать информацию, представленную в изобразительной, схематич-ной, модельной форме, использовать знаково-символичные средства для решения учебных задач, преобразование знаково-символических средств, моде-лей и схем; использование средств наглядности матема-тики и физики для иллюстра-ции, интерпретации, аргу-ментации; развитие эрудиции, познавательного интереса; работа с алгоритмом.

Регулятивные: построение речевых конструкций: небольших монологические высказываний, осуществлять совместную деятельность с учётом конкретных учебно-познавательных задач.

Физминутка.

Минутка отдыха. Зарядка для глаз, мышц

Отвечаем на вопросы: при согласии – движение головой вверх – вниз; при несогласии – повороты головы влево – вправо; не знаю – вращение глазами

1. Вектор = отрезок

2. Сила тяжести ┴ силе реакции опоры

3. Если равнодействующая равна 0, то тело движется равномерно

4. Не коллинеарные вектор с длиной 3 + вектор с длиной 4 = вектор с длиной 7

5. Векторы, изображающие силу тяги рака и рыбы сонаправлены.

Ученики выполняют упражнения.

Регулятивные: контролировать процесс и результаты деятельности; Личностные: совершенствовать имеющиеся знания, осознавать свои трудности и стремиться к их преодолению

(прил. 2)

(слайд 6)

(слайд 7)

http://www.fizika.ru/zadachki/index.php?theme=12&id=12410

На заранее заготовленных карточках показать применение правил треугольника и параллелограмма. Построение выполнять в границах сетки

Автомобиль перемещается сначала по вектору AВ₁ и затем по вектору В₁В₂ до поворота на мост. Переведите на язык геометрии. На слайде задание выполняется с помощью интерактивной доски.

На слайде 7 выполняем также у интерактивной доски.

Я предлагаю нам с вами провести сравнительный анализ понятия «вектор» и действий над векторами при изучении вектора в математике и в физике показывают подходы в изучении понятия «вектор» в математике и физике.

Вывод:

-особенности: в математике вектор можно отложить от любой точки плоскости, в физике силы приложены к одной точке; в математике используют при сложении векторов правило треугольника и правило параллелограмма, в физике чаще пользуются правилом параллелограмма;  в математике длину вектора называют  модулем, в физике – длиной.

Выполняют построения, с последующими проверкой и сравнением результата с сидящим рядом

Делают необходимые построения и отвечают на вопрос.

Другими словами, мы ищем вектор суммы или, что то же самое, сумму векторов AВ₁ и В₁В₂. Затем

Обучающиеся делают вывод: в каждом учебном предмете вектор рассматривается так, как это удобно для изучаемого вопроса, но суть – одна

Познавательные: осуществлять для решения учебных задач операции анализа, синтеза, сравнения; умение работать по алгоритму.

Коммуникативные:

оформление своих мыслей в устной форме, умение взаимодействовать с соседом при выполнении учебной задачи; обмен знаниями для принятия эффективных совместных решений

(слайд 8)

(слайд 9)

Решение задач с применением изученного. Задача (см. слайд 8). Сделать чертеж, записать решение в тетради

Работа в парах. Осмысливают условие задачи, составляют план действий, оформляют решение в тетради.

Проверяют решение по слайду 9

Личностные:

умение делать умозаключения, аргументировать свою точку зрения.

Читательские: понимание, осмысливание условия задач

Коммуникативные:

умение взаимодействовать с соседом при выполнении учебной задачи; обмен знаниями для принятия эффективных совместных решений

(слайд 10)

Домашнее задание. 1) Учебник геометрии №753, №755.

2) Задача 1 и 2 (карточка, прил. 3) 3) Проектная работа: сделать слайд иллюстрирующий сложение 10 неколлинеарных векторов. (Получить правило многоугольника)

Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых Инициировать рефлексию по поводу психоэмоциона-льного состояния, мотивации, их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими обучающимися

https://www.google.ru/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact

(слайд 11)

(слайд 12)

Вернемся к возу, который «и ныне там». В тетради на чертеже построить равнодействующую сил

Подведём итог.

Какие правила для построения суммы векторов изучили на уроке? В чем их отличие?

Составьте синквейн к уроку. Пример перед вами

Соотносят цель и результаты, ставят цель на следующий урок. Осуществляют самооценку собственной учебной деятельности. Приобретают навык рефлексии результатов деятельности.

Научиться сложению векторов.

Познавательные: развитие критического мышления. Регулятивные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли; оценка качества и уровня знаний.

Векторы

В физике мы часто встречаемся с векторами, т. е. с величинами, которые характеризуются не только число­вым значением, но и направлением. Примерами таких вели­чин могут служить отрезок, соединяющий начало коорди­нат с данной точкой; скорость движения материальной точки; сила, действующая на тело.

Если тело движется по определенной линии, например по прямому рельсовому пути, то положение тела можно определять расстоянием от определенной точки данной линии, измеренным вдоль этой линии. Вдоль заданной ли­нии движение возможно лишь в двух направлениях, кото­рые можно различать, приписывая одному направлению знак плюс, а противоположному — знак минус.

Если же нам известно, что тело движется по плоскости (или в пространстве), то мы не сможем указать положения тела в данный момент времени, если задано только расстояние тела от определенной точки; необхо­димо задать еще направление линии, соединяющей тело с этой точкой (началом координат). Точно так же, задавая скорость тела, надо указывать ее величину и направле­ние. Величины, имеющие направление, называются векто­рами. Мы будем обозначать их полужирным шрифтом или буквами со стрелкой наверху. В отличие от векторов вели­чины, не имеющие направления, называют скалярами. При­мерами скаляров служат масса тела, его энергия, темпера­тура тела в какой-либо точке. Пока мы не рассматривали векторов, специальное слово «скаляр» можно было не вво­дить в употребление.

Векторы можно рассматривать в трехмерном простран­стве или на плоскости (т. е. в «двумерном пространстве»).

Во введении мы уже отмечали, что в точных науках пользуются величинами двух видов: скалярными и вектор­ными.

Скалярная величина (скаляр) — это величина, характери­зующаяся только числом. Число получается при измерении заданной величины с помощью выбранной единицы измере­ния.

Примеры скалярных величин:

—длина стального стержня L = 0,5 м;

—температура воздуха t = 22 или t =15 ;

—отвлеченное число, например 7, тоже является скаляром.

Величина, которая характеризуется не только числом, но и направлением в пространстве, называется векторной величиной (вектором). Вот примеры векторов: направленный отрезок, скорость, ускорение, сила, действующая в некото­рой точке тела, и т. д. Векторы в виде направленных от­резков прямой широко применяются и в геометрии.

Вектор определяется положе­нием прямой, на которой он лежит, стороной, куда он обращен на этой прямой, и своей длиной. Незави­симо от того, какую величину он представляет (скорость или силу и т. д.), он изображается в виде пря­молинейного отрезка со стрелкой на конце. Концы А и В от­резка АВ, изображающего вектор, называются соответственно началом и концом вектора. Длина вектора, отложенная в определенном масштабе, является количественной характеристикой вектора. Вектор мы будем обозначать одной буквой с чертой над ней или двумя буквами с чертой над ними, причем первая буква отметит начало, а вторая конец вектора: . Длина век­тора называется также модулем вектора. Модуль вектора а обозначают |а| или а.

Различают свободные, скользящие и связанные векторы. Свободный вектор мы можем переносить параллельно са­мому себе в любое место пространства, не изменяя этим его значение. Как правило, мы и будем пользоваться сво­бодными векторами. Скользящий вектор может быть выб­ран где угодно вдоль одной прямой линии. Так, например, вектор угловой скорости при вращательном движении мо­жет иметь начало в любой точке оси вращения тела, всег­да располагаясь вдоль этой оси. У связанных векторов его начало (точка приложения) всегда должно быть зафиксиро­вано.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллель­ных прямых, называют коллинеарными.

В екторы, равные по длине (по модулю), оказываются не­равными между собой, если они различно направ­лены. Показанные на рис. 23 векторы и , и — не­равные векторы, а векторы и —равные.

Рис. 23 РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ

В екторы называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые модули и одинаковые направления.

Любое число заданных векторов мы можем „привести к общему началу», т. е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало в произвольно выбранной точке (рис. 24).

Как мы уже говорили, вектор определяется величиной и направлением. Приведём примеры, показывающие, что векторы, одинаковые по модулю, но направленные различно, приводят к разным результатам.

Некоторая сила тяги, приложенная к вертолету, нахо­дящемуся в воздухе, заставляет его подниматься вертикаль­но. Такая же по величине сила тяги, приложенная к тому же вертолету, но уже в другом направлении, заставляет его перемещаться горизонтально.

Брошен камень с начальной скоростью , направленной горизонтально. Камень, описав траекторию, близкую к па­раболе, упадет на некотором расстоянии от проекции на поверхность земли той точки, в которой он был брошен. Тот же камень, брошенный с той же по величине началь­ной скоростью, но теперь направленной вниз, пролетит по вертикали и упадет в точке, которая является проекцией на поверхность земли точки бросания.

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ НА ЧИСЛО

Теперь мы покажем ряд операций, которые произво­дятся над векторами в векторном исчислении. Эти опера­ции являются обобщением тех действий, которые производятся над векторными величинами в физике, механике и математике.

Чтобы пояснить, как производится сложение двух век­торов и , рассмотрим примеры. Лодка плывет поперек реки с постоянной (относительно воды) скоростью (рис. 25). Вода перемещается с постоянной скоростью и вдоль бере­гов. За время t лодка переместится из точки А в точку С. Как происходит перемещение лодки?

Как мы уже говорили, вектор определяется величиной и направлением. Приведем примеры, показывающие, что векторы, одинаковые по модулю, но направленные различ­но, приводят к разным результатам.

Если бы она двигалась со скоростью в неподвижной воде, то прошла бы за время t путь, равный vt, направ­ленный перпендикулярно к берегам. А если бы лодка пе­ремещалась без усилий гребца и только под влиянием течения и реки, то за время t она прошла бы путь ut, направленный вдоль берегов. Чтобы найти действительное (в условиях поставленной задачи) перемещение лодки wt, надо от точки А провести отрезок , направленный по­перек реки, а затем из точки В „вдоль течения» отложить отрезок :

+ = .

Мы привели простой пример сложения двух направлен­ных перемещений точки, т. е. пример сложения двух век­торов.

Хорошо известен читателю способ сложения двух сил по правилу параллелограмма. Поэтому напоминаем его н е входя в подробности. К материальной точке А (рис. 26) приложены силы и . Для определения равнодейст­вующей силы строим параллелограмм ABCD. Диагональ параллелограмма АС определяет (по направлению и по величине) равнодействующую силу .

Итак, суммой двух векторов является диагональ параллелограмма (построенного на этих векторах) и проходя­щая через общее начало слагаемых векторов.

О чевидно, что сумма двух векторов может быть найдена и по такому правилу (правило треугольника): если из конца первого вектора провести второй, то суммой двух векторов явится вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго.

В самом деле, и при нахождении равнодействующей двух сил (см. рис. 26) мы могли из конца вектора провести вектор = ( = как противоположные стороны параллелограмма) и, соединив начало вектора с концом = , найти равнодействующую .

Производя операцию сложения векторов, пользуются принятым в алгебре знаком сложения:

= + .

Векторы и называют слагаемыми векторами, вектор —их суммой (или геометрической суммой, или результирующим вектором).

Из построения геометрической суммы (рис. 27) мы за­мечаем, что

+ = + .

Следовательно, при сложении векторов справедлив переместительный (коммутативный) закон: геометриче­ская сумма не меняется от перестановки слагаемых. Заме­тим, что не все операции векторного исчисления облада­ют свойством коммутативности. В этом мы убедимся позд­нее. Чтобы сложить любое число векторов (рис. 28), надо к концу первого вектора приложить начало второго. Затем, построив второй вектор, к его концу приложить начало третьего и т. д.; наконец, построив последний из слагае­мых векторов, соединить начало первого вектора и конец последнего. Суммой данной системы векторов является вектор, замыкающий построенный таким образом много­угольник, причем начало результирующего вектора сов­падает с началом первого вектора, а конец результирующего вектора совпадает с концом последнего из слагаемых векторов.

Заметим, что операция сложения векторов подчиняется сочетательному (ассоциативному) закону, например:

+ ( + ) = ( + ) + .

В справедливости приведенного тождества читатель убедится, рассмотрев рис. 29, где приведен пример раз­личного „сочетания» слагаемых векторов.

Разумеется, операцию сложения трех и большего числа векторов можно представить себе не только в плоско­сти, но и в виде некоторого пространственного „зигзага», состоящего из ряда направленных прямых. При этом, пользуясь переместительным и сочетательным законами, мы можем складывать векторы в произвольном порядке, заменяя, если пожелаем, любое их количество соответствующим результирующим вектором.

На рис.30 показано геометрическое сложение трёх расположенных в пространстве векторов. Изучая этот рисунок, читатель убедится в том, что если сумма двух векторов изображается диагональю параллелограмма, то сумма трех пространственных векторов изображается ди­агональю параллелепипеда, построенного так, что данные векторы являются его ребрами.

Рассматривая разность двух векторов, обратимся к простому примеру. Тихоходный самолет летит со скоростью строго против ветра. Скорость ветра по модулю рав­на скорости самолета: | | = | [. Какова скорость самоле­та относительно земли?

Так как к самолету „приложены» две равные по мо­дулю, но противоположные по направлению скорости, то самолет относительно земли остается неподвижным, его „результирующая» скорость равна нулю.

В таком случае мы можем записать:

+ = 0

или, в общем виде,

+ = 0.

Здесь вектор равен по величине, но противоположен по направлению вектору , что принято записывать так:

= — .

Вычесть из вектора + вектор , всё равно что прибавить к вектору + вектор — , противоположный :

— = + (— ).

Интересно отметить, что параллелограмм, построенный на заданных векторах и (рис. 31), дает не только сумму векторов + , но и разность векторов — . Сумма векторов ОВ совпадает с диагональю, проходящей через общее начало двух заданных векторов, а разность векто­ров— с другой диагональю параллелограмма.

В самом деле:

= + = — + = — .

З аметим, что в векторном исчислении не вводят понятий «положительный вектор» или „отрицательный вектор». Вектор— , противоположный вектору , не является отрицательным вектором. Нельзя также утверждать, например, что > или < . Можно сравнивать лишь модули (длины) векторов, где и уместны понятия „больше» или „меньше».

Ч то касается принятого в векторном исчислении поня­тия нулевого вектора (0, нуль-вектор), то заметим следующее: сумма системы векторов равна 0, если конец пос­леднего слагаемого вектора совпадает с началом первого (рис. 32). Таково, например, условие равновесия материальной точки, находящейся под действием нескольких сил.

Нуль-вектор теряет не только свое количественное зна­чение, но и качество направленности: направление этого вектора считают неопределенным. Подобно тому, как это принято в арифметике, сумму одинаковых векторов представляют в виде произведения вектора на целое положительное число, например:

+ + = 3 ,

и вообще:

+ + + … + = n ,

где n — число равных слагаемых векторов.

В векторное исчисление вводят и операцию умножения вектора на любое число m. Если m положительное число, то при умножении вектора на него он „растягивается» в m раз, сохраняя свое направление. Однако это „растяже­ние» надо понимать в широком смысле слова. Так, при умножении вектора на m = мы получаем новый век­тор, длина которого уменьшилась в 3 раза. Если же век­тор умножается на отрицательное число, то он не толь­ко претерпевает „растяжение», но и меняет свое направ­ление на противоположное.

Операция умножения вектора на число обладает сле­дующими свойствами, аналогичным свойствам умножения чисел в обычной алгебре:

1) сочетательное (ассоциативное) свойство:

m(n ) = (mn) ;

2) распределительное (дистрибутивное) свойство по отношению к числовому (скалярному) множителю:

(m + n) = m + n ;

3) распределительное (дистрибутивное) свойство по отношению к векторному множителю:

m ( + ) = m + m .

Эти свойства становятся ясными, если их выразить с по­мощью наглядного геометрического языка. Поясним пер­вое, сочетательное, свойство умножения: если мы растянем вектор сначала в n раз, а затем вновь полученный век­тор n еще в m раз, то будем иметь такой же вектор, какой мы получаем при растяжении непосредственно в mn раз. В этом случае мы можем сначала „сочетать» чис­ловые сомножители вместо последовательного умножения вектора на каждый из множителей.

Р аспределительное по отношению к числовому множи­телю свойство можно пояснить так: при растяжении векто­ра а непосредственно в (m + n) раз получается такой же вектор, как при сложении вектора , растянутого в m раз с вектором , растянутым в n раз. Это свойство позволяет „распределять» векторный множитель по числовым мно­жителям.

Третье, распределительное по отношению к векторно­му множителю, свойство поясняет рис. 33. В самом деле, при растяжении результирующего вектора + в m раз мы получаем вектор = m ( + ), равный сумме двух «уже растянутых» векторов m и m . Отмеченное равенство получается вследствие пропорциональности сторон двух векторных треугольников, имеющих один равный (общий) угол.

Третье свойство позволяет «распределить» числовой множитель по двум слагаемым векторного множителя. Очевидно, что это свойство справедливо для суммы не только двух, но и нескольких векторов:

m ( + + …+ ) = m +m +…+ m .

Итак, выполняя операции с векторами, мы можем рас­крывать скобки и производить другие выкладки, аналогич­ные выкладкам обычной алгебры. Поэтому совокупность ряда операций над векторами и получила название вектор­ной алгебры.

Если мы имеем два вектора и , причем = m , то вполне очевидно, что такие векторы коллинеарны (парал­лельны между собой). Отметим важное свойство коллинеарных векторов: любой вектор может быть выражен через другой, коллинеарный ему вектор, с помощью выбранного числового (скалярного) множителя. Это свойство выража­ется уже известной простой формулой = m .

Очевидно, что скалярный множитель равен отношению модулей векторов и . Этот множитель берется со зна­ком „плюс», если векторы одинаково направлены, и со знаком „минус» в случае их противоположного (обратного) направления.

Если заданный вектор можно выразить через любой, ему коллинеарный, то проще всего этот заданный вектор может быть выражен при помощи единичного вектора.

Единичный вектор—это вектор, коллинеарный данному, и имеющий длину, равную единице.

Единичный вектор одинакового с вектором направле­ния обозначают символом . Для всякого вектора мы будем иметь такое выражение:

= а .

В этой формуле символ а обозначает скалярный мно­житель, равный длине вектора , и символ — направле­ние вектора.

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Кроме операции сложения векторов, рассматривается и разложение вектора по заданным направлениям. Предва­рительно заметим, что три или большее число векторов называются компланарными векторами, если они, будучи приведены к общему началу, располагаются в одной плоскости. Так, суммарный вектор всегда компланарен с век­торами-слагаемыми-—ведь эти три вектора расположены вдоль сторон одного и того же треугольника.

Всякий заданный вектор может быть разложен на два других компланарных ему вектора или на три неком­планарных ему вектора. Разложение векторов наряду с их вычитанием является вторым обратным действием по от­ношению к операции сложения в векторной алгебре. Раз­ложение векторов часто применяется в теоретической ме­ханике, а также при изучении ряда технических вопросов.

Приведем простые примеры.

П ри „наборе» самолетом высоты интересуются не толь­ко скоростью самолета, но и его „скороподъемностью», т. е. вертикальной составляющей скорости.

При движении тела, сброшенного с некоторой начальной скоростью, рассматривают не только скорость „вдоль’ траектории», но горизонтальную и вертикальную состав­ляющие этой скорости.

Другие примеры разложения сил, скоростей, ускорений и т. д. на составляющие легко приведет и сам читатель.

Заметим, что составляющую вектора называют также; компонентой вектора.

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ВЕКТОРОВ НА ОСЬ

Прежде чем ввести следующую операцию векторной алгебры— cкалярное умножение векторов, мы рассмотрим вопрос о проектировании вектора на какое-либо направ­ление, т. е. на ось или на другой вектор.

Пусть мы имеем вектор = и ось . Проекцией вектора ось называется длина отрезка А В между основаниями перпендикуляров, опущенных из то­чек А и В на ось .

Проекцию вектора на ось обозначают так:

пр или а .

Длина проекции берется со знаком плюс, если направ­ление отрезка А В совпадает с направлением оси , и со знаком минус—в противном случае.

Проекция вектора есть скаляр. Размерность ее такая же, как размерность длины вектора.

Если угол между вектором и осью обозначим =( ), то будем иметь а = acos . Если угол острый—косинус положителен и а положительна. Если угол тупой, то cos и а отрицательны.

Итак, всегда проекция вектора на какую-либо ось рав­на произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью.

Отметим основные свойства проекций.

1. Если вектор увеличить (растянуть) в несколько раз, то и проекция его увеличится во столько же раз:

m а = (ma) .

2. Проекция суммы векторов на некоторую ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось (рис. 35):

с = a + b

и в общем виде:

( + + …+ ) = a + a +…+ a .

Кроме проектирования вектора на ось, применяется и проектирование вектора на другой вектор. Эту проекцию обозначают так:

пр или а .

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА

О братимся к простому примеру, взятому из физики. Точка, получающая перемещение S (рис. 36), находится под действием постоянной (по величине и направлению) силы . Работа A, совершаемая силой при этом переме­щении, равна

А = Fcos , где — угол между векторами и .

Итак, при определении работы учитывают только сос­тавляющую силы по направлению перемещения. Аналогичное выражение очень часто встречается в физике и математике. В результате такой операции мы получаем скаляр, а потому сама операция называется скалярным произведением.

Скалярным или внутренним произведением двух век­торов и называется произведение длин этих векто­ров на косинус угла между ними.

Скалярное произведение принято обозначать:

или или ( , ). Итак,

= ab cos ( ). В приведенном примере мы получили работу в виде скалярного произведения вектора силы F и вектора пере­мещения S:

A = .

Непосредственно из определения следует, что скаляр­ное произведение векторов и положительно, если век­торы составляют между собой острый угол, и отрицатель­но, если угол между векторами тупой.

В математике часто пользуются следующими важными свойствами скалярного произведения:

1. Скалярное произведение равно нулю в том и только в том случае, если векторы перпендикулярны. (При этом ни один из векторов и не равен нулю.) Действительно, тогда

cos ( )= cos = 0 и =0.

2. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:

= а ,

так как угол между векторами равен нулю, а cos ( ) = 1.

3. Свойство переместительности. Скалярное произведение не зависит от порядка сомножителей:

= .

Это свойство следует из определения:

= ab cos ( ).

4. Скалярное произведение двух векторов равно произведению длины другого вектора на направление первого. В этом мы убеждаемся, группируя разными способами множители скалярного произведения:

= a cos ( ) b = а •b;

= bcos( )a = b •a.

5. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством по отношению к скалярному множителю или, другими словами, скалярный множитель можно выносить из-под знака скалярного произведения.

В самом деле, очевидно, что

(m , n ) = manb cos ( ) = mnab cos ( ) = mn ( , ).

6. Скалярное произведение подчиняется распредели­тельному закону:

( + ) = + .

В самом деле, ( + ) = пр ( + ) c = (a + b ) c = a c + b c = + .

Здесь мы использовали только что приведенное на­ми четвертое свойство скалярного произведения, а также другое, известное нам свойство, что проекция суммы век­торов равна сумме их проекций:

пр ( + ) = a + b .

Таким образом, скалярное умножение векторов дает воз­можность раскрывать скобки.

Свойства скалярного произведения позволяют произ­водить ряд действий, аналогичных действиям обычной ал­гебры, например:

( + ) = + + 2 = а +b + 2 ;

( + )( — ) = а — b .

Пользуясь скалярным умножением векторов, удается очень просто решать некоторые задачи математики и фи­зики. Приведем несколько таких задач.

Задача 1

Дан треугольник ABC (рис, 37). Требуется вывести три­гонометрическую формулу

с = а + b — 2 a b cos с.

П редставим стороны треугольника в виде суммы век­торов.

= + .

Помножим обе части этого тождества скалярно сами на себя:

с = (a + b) = а + b + 2 = а +b + 2ab cos ( ),

но

( ) = — с; cos ( ) = cos ( — с) = — cos с.

Следовательно,

с = а + b — 2 a b cos с.

Задача 2

П оказать, что сумма квадратов диагоналей параллело­грамма равна сумме квадратов его сторон.

Пусть стороны и диагонали параллелограмма представ­лены в виде таких векторов (рис. 38):

= +

= —

(Здесь читатель вспомнит замечание о представлении сум­мы векторов и разности векторов диагоналями параллело­грамма).

Составим следующие тождества: = ( + )

= ( — )

Или = а + b + 2

= а + b — 2

Складывая эти тождества, получим + = 2 а + 2b .

Задача 3

Доказать, что диагонали параллелограмма (см. рис. 38) только в том случае взаимно перпендикулярны, если этот параллелограмм есть ромб.

Напишем известное нам тождество:

( + )( — ) =а — b ;

оно выражает также то свойство параллелограмма, что скалярное произведение его диагоналей равно разности квадратов его сторон. Но написанное нами скалярное про­изведение только в том случае равно нулю, если = , Дру­гими словами, диагонали параллелограмма лишь в том случае взаимно перпендикулярны, если равны его сторо­ны, если он является ромбом.

Задача 4

Доказать, что работа равнодействующей несколь­ких сил , ,. . ., , приложенных к одной и той же материальной точке М на пути этой точки, равна ал­гебраической сумме работ составляющих сил.

Действительно, если обе части равенства

= + +…+

мы умножим скалярно на , то получим

= + + . . . + ,

а это и значит, что работа равнодействующей силы равна сумме работ составляющих сил.

ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ

С начала укажем еще один способ определения положения точки в пространстве. Выберем некоторую началь­ную точку О (рис. 39) и назовем ее полюсом. Положение любой точки пространства М может быть определено за­данием вектора , идущего от полюса к данной точке. Вектор мы будем обозначать г и называть радиу­сом-вектором точки М.

В ряде случаев столь простое определение поло­жения точки с помощью по­люса и радиуса-вектора предпочтительнее способа координат.

Векторное произведе­ние двух векторов и (рис. 40) представляет со­бой вектор, по модулю равный площади паралле­лограмма, построенного на данных векторах и . Этот вектор с перпендикулярен к плоскости указанного параллелограмма и направлен так, чтобы из конца это- го вектора кратчайший поворот множителя к множителю наблюдался против хода часовой стрелки.

Векторное произведение обозначают так:

= . По определению:

| |= absin ( ).

На первый взгляд век­торное умножение может показаться довольно слож­ной и даже искусственно созданной операцией век­торной алгебры. Однако ряд важных вопросов ме­ханики и физики приводит нас к необходимости рассматривать вектор, образованный как раз по закону, указанному, в приведенном определении. Подтвердим эту мысль примерами.

Пример 1. Вспомним принятое в механике понятие момента силы относительного центра. Если сила (рис. 41) приложена к материальной точке А, то моментом силы относительно центра О называется вектор, приложенный к центру О, определяемый формулой

=

где = — радиус-вектор точки приложения силы .

В ектор направлен так, чтобы из его конца крат­чайший поворот множителя к множителю наблюдал­ся против хода часовой стрелки. Модуль этого вектора M = | | равен удвоенной площади треугольника ОАВ или произведению модуля силы на расстояние h от центра О до линии действия силы, т. е.

| | = Fh.

Расстояние h называют также плечом силы.

=

Если сила измеряется в кГ, а плечо в м, то размер­ность вектора будет кГ• м, т. е. момент силы измеряет­ся в килограммометрах.

Пример 2. Пусть некоторое твердое тело вращает­ся вокруг оси с постоянной угловой скоростью (рис. 42).

Произвольная точка Р тела будет при этом вращении опи­сывать окружность радиуса NP с центром в точке N, ле­жащей на оси вращения .

Точка Р тела будет обладать угловой скоростью и линейной скоростью . Вектор перпендикулярен к плос­кости, проходящей через ось вращения и точку Р.

В озьмем произвольную точку О на оси вращения и от­ложим от нее вдоль оси вектор , равный по модулю уг­ловой скорости . Вектор направлен так, чтобы враще­ние тела, наблюдаемое из конца вектора, происходило про­тив хода часовой стрелки.

Теперь мы можем определить величину и направление линейной скорости произвольной точки Р тела:

= или = ,

где — радиус-вектор точки Р относительно точки О.

Здесь модуль вектора скорости | | будет | | = w • ОР sin ( ) = w • ОР • sin PON = w NР, а направление вектора таково, что из конца его мы на­блюдаем кратчайший поворот множителя к множителю против хода часовой стрелки.

Заметим, что для ориентации в направлении век­тора, получаемого в результате векторного умножения, существуют правила, носящие разные названия: правило штопора, буравчика, правого или левого винта, правой или левой руки и т. д. Мы им предпочитаем наиболее наглядное „правило наблюдения из конца вектора за ходом часовой стрелки», соответствующее „правилу правой руки». Это правило можно проверить так: построив данную схему рас­положения трех векторов с помощью трех карандашей (острие карандаша—конец вектора), „заглянуть внутрь этой системы» из конца вектора- произведения.

Рассмотрим важнейшие свойства векторного произве­дения.

1. Если векторы и коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю.

Длина вектора = по определению равна

с = a b sin ( )

параллельность векторов и означает, что sin( ) = 0. Тогда и площадь параллелограмма, превратившегося в отрезок, равна нулю. Итак, = 0 равносильно тому, что || .

2. Скалярный множитель можно выносить из-под знака векторного произведения:

(m ) = (m ) = m ( ).

Другими словами, векторное произведение обладает сочетательным свойством по отношению к скалярному мно­жителю. Это свойство означает, что если одну из сторон параллелограмма увеличить в m раз, не меняя ее направ­ления, то и площадь увеличится в m раз.

3. От перестановки сомножителей векторное произведение меняет свой знак:

= -( ).

При перемене порядка сомножителей параллелограмм не изменится, направление же вектора произведения мы должны изменить на противоположное, ибо лишь в этом случае кратчайший поворот вектора к вектору будет наблюдаться против направления хода часовой стрелки.

Итак, векторное произведение не обладает свойством переместительности.

4. Векторное произведение подчиняется распределитель­ному закону:

( + ) = +

( + ) = + .

Для доказательства приведем векторы , и к об­щему началу О (рис. 43) и через точку 0 проведем плос­кость Q, перпендикулярную вектору .

Н а векторах и построим параллелограмм с диагональю . Спроектируем этот параллелограмм на плоскость Q. Затем спроектированный параллелограмм повернём в плоскости Q вокруг оси на 90° по часовой стрелке если смотреть из конца вектора , одновременно подвергнув его растяжению в с раз. После этого мы получим новый параллелограмм со сторонами и и диагональю . Заметим, что по построению

= — и = + . (5)

Теперь рассмотрим последовательно вновь полученные нами векторы и и диагональю . Вектор (см. рис. 43) по пост­роению перпендикулярен к вектору , и одновременно он же перпендикулярен к вектору (так как перпенди­кулярен к плоскости Q). Следовательно, вектор перпен­дикулярен и к плоскости А ОС. Кроме того (по построе­нию), длина а = ОА •с. Однако площадь параллелограмма, построенного на векторах и , также равна произведе­нию ОА•с, так как с —сторона этого параллелограмма, а ОА — его высота.

Но это значит, по определению векторного произведе­ния, что

= .

Из аналогичных соображений мы находим, что

= .

=

Окончательно, с учетом зависимостей (5), мы полу­чаем

( + ) = = = + = +

т. е.

( + ) = +

Переставив в последнем выражении порядок множи­телей и соответственно этому поменяв знаки, получим также

( + ) = + .

СМЕШАННОЕ ИЛИ ВЕКТОРНО-СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Исследовав векторное произведение, интересно сразу же перейти к рассмотрению так называемого смешанного произведения: здесь наше внимание привлечет тесная гео­метрическая связь между двумя указанными произведе­ниями Смешанное или векторно-скалярное произведение трех векторов , и имеет вид

( ) • .

Геометрический смысл этого произведения поясняет рис. 44.

В ектор = по модулю равен площади паралле­лограмма, построенного на векторах и . Обозначим эту площадь S.

Теперь построим на векторах , и параллелепипед. Высота его равна проекции вектора на направление век­тора , а именно h = c .

Объем V полученного нами параллелепипеда равен V = S h = d c = = ( ) .

Итак, наше смешанное произведение оказалось некото­рым скаляром, по величине равным объему параллелепи­педа, построенного на векторах , и .

Построенное нами на рис. векторное произведение = является положительным. Скалярное произведение также положительное (угол — острый), и по­этому скаляр V, объем, мы получаем со знаком плюс. Если бы угол был тупой, то мы получили бы

( ) = —V.

Отметим следующие свойства смешанного произведения.

1. При циклической перестановке множителей смешанное произведение не меняется.

Напомним, что циклическая перестановка векторов (перечисленных в определенном порядке: первый , второй , третий ) это такая перестановка, когда второй пере­ставляется на место первого, третий —на место второго и первый—на место третьего (или наоборот). Действительно, при такой перестановке не меняется ни построенный параллелепипед, ни знаки векторного и скалярного произ­ведений, входящих в смешанное произведение.

Однако при перестановке двух множителей знак векторно-скалярного произведения меняется, например:

( ) = -( ) .

2. Смешанное произведение равно нулю, если три вектора , и компланарны. В этом случае очевидно, что объем параллелепипеда обращается в нуль.

ВЕКТОРЫ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ

Чтобы подойти по возможности просто к важному во­просу о координатах вектора, представим себе, что нача­ло вектора (рис. 45) совпадает с началом О декартовой прямоугольной системы координат в пространстве. Спро­ектируем вектор на каждую из координатных осей. В дан­ном случае значения проекций вектора окажутся соответ­ственно равными значениям координат х, у, z точки М, которая является концом вектора .

Если мы обозначим проекции вектора на координат­ные оси X, У, Z, то получим

X = х; У = у; Z = z.

В общем же случае, когда начало вектора находится в точке А(х , y , z ), а конец —в точке В (х , у , z ), проек­ции вектора определяются формулами: X = х — х У = y — y , Z = z — z .

П роекции X, У, Z вектора называют координатами вектора, так как чисел Х, У, Z достаточно для задания единственного вектора .

Вектор, выраженный через его координаты, принято обозначать так:

(Х, У, Z).

Координаты вектора связаны простой зависимостью с его модулем (см. рис. 45):

а = .

Действительно, модуль вектора является диагональю параллелепипеда, построенного на его сторонах X, У, Z.

Вектор образует с осями координат Ох, Оу и Oz со­ответственно углы .

Косинусы углов , называются направляющи­ми косинусами вектора .

Между направляющими косинусами существует простая связь. Возведем эти косинусы в квадрат и после этого сложим и получим

Отсюда следует

cos + cos + cos = 1.

Заканчивая наше краткое изложение векторной алгеб­ры, покажем, как ее формулы могут быть выражены при помощи координат и основных векторов или ортов. По­добные выражения часто применяются. Они будут исполь­зованы нами и в дальнейшем изложении.

Единичные векторы (орты) — это векторы, длина кото­рых равна единице, направленные соответственно положи­тельным направлениям осей Ox, Оу, Oz и приведенные к началу координат О (рис. 46). Эти векторы обознача­ются соответственно через , , . Теперь совместим с началом координат начало данного вектора и разложим на составляющие векторы , , , направленные по трем координатным осям.

М ы уже знаем, что любой вектор может быть выра­жен через единичный вектор с помощью подходящим об­разом выбранного скалярного множителя m. Ничего не мешает нам теперь выразить векторы , , , компо­ненты нашего вектора через орты , , и скалярные множители, которые в данном случае оказываются числен­но равными соответствующим проекциям нашего вектора , т. е. числам Х, У, Z. Итак, вектор мы можем выразить в виде следующей геометрической суммы:

= X + Y + Z .

Подобным же образом может быть выражен наш любой заданный вектор.

Кроме векторной алгебры, существует в математике и векторный анализ. В векторном анализе рассматриваются переменные величины, векторные величины, зависящие от скалярных переменных, векторные величины, зависящие от векторных переменных, пределы, производные, интегралы от векторных функций.

О днако во многих случаях векторы можно переносить либо по линии их действия, либо в лю­бую точку пространства парал­лельно самим себе. В соответ­ствии с этим различают:

1) свободные векторы, изображающие векторные величины, каждую из которых, не нарушая ее физического или иного смысла и числового значения, можно отнести к любой точке про­странства. Такие векторы характеризуются полностью модулем и на­правлением в пространстве, их можно переносить в любую точку пространства параллельно самим себе.

Из курса физики хорошо известен пример свободного вектора (рис. 1.1, а) скорости поступательно движущегося тела (скорости всех точек тела в этом случае одинаковы, поэтому безразлично, в какой точке будет приложен соответствующий вектор). К этой же категории векторов можно отнести вектор напряженности однородного элек­трического поля, вектор напряженности однородного магнитного поля, вектор плотности однородного потока энергии и т. п.;

2) скользящие векторы, изображающие величины, каждую из кото0рых, не нарушая ее смысла и числового значения, можно отнести к любой точке некоторой прямой (основания или линии действия соответствующего вектора). Скользящие векторы характеризуются модулем, направлением и линией действия. Их можно переносить в пространстве без какой бы то ни было компенсации переноса только по линии их действия.

Характерным примером скользящего вектора является вектор мгновенной частоты вращения тела (рис. 1.1, б), линия действия кото­рого совмещается с мгновенной осью вращения тела. К скользящим векторам следует отнести также вектор силы, приложенной к абсо­лютно твердому телу; вектор ( ) момента силы , приложенной к некоторой точке А абсолютно твердого тела относительно другой точки О; вектор силы постоянного тока в прямолинейном провод­нике; вектор напряженности магнитного поля на оси прямолиней­ного равномерно намотанного соленоида (бесконечной или практически достаточно большой длины), питаемого постоянным током, и т. д.;

3) неподвижные, или связанные, векторы изображают величины, каждая из которых относится к некоторой фиксированной точке пространства.

С вязанные векторы характеризуются модулем, направлением и точкой приложения. Такие векторы переносить в пространстве без каких-либо дополнительных, компенсирующих перенос, действий, вообще говоря, нельзя.

К неподвижным, или связанным, векторам можно отнести: вектор скорости отдельной движущейся точки или точки тела, совершаю­щего непоступательное (вращатель­ное или сложное) движение; вектор полного напряжения в произ­вольной точке конструкции, находя­щейся под воздействием произвольной пространственной системы на­грузок; вектор плотности потока энергии произвольного электро­магнитного поля в данной точке поля, который определяется через на­пряженности электрического и магнитного полей (рис. 1.2) и др.

В курсе высшей математики рассматриваются правила выполнения основных операций над свободными векторами. Действия над сколь­зящими и связанными векторами сводятся к соответствующим дейст­виям над свободными векторами с помощью специальных приемов, которые рассматриваются в общеинженерных и специальных курсах.

Переходя к изучению основных операций над векторами, введем необходимую символику и основные определения.

Символика. Векторы принято записывать следующим образом: либо двумя прописными буквами латинского алфавита, обозначающими начало и конец вектора, либо одной строчной буквой со стрелкой вверху, либо одной строчной буквой полужир­ного начертания. В общеинженерных и специальных дис­циплинах иногда, следуя традиции, векторы обозначают одной прописной буквой латинского алфавита со стрелкой вверху,

Нулевой вектор. Нулевым вектором называют такой вектор, у ко­торого начало и конец совпадают. Модуль нулевого вектора равен нулю. Направление этого вектора принято считать неопределенным.

Единичный вектор. Вектор, совпадающий по направлению с задан­ным вектором и имеющий модуль, равный 1, называют единичным вектором или ортом данного вектора и обозначают (| |) = 1).

Коллинеарные векторы. Векторы, расположенные на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными. Принято считать, что нуль- вектор коллинеарен любому другому вектору. Коллинеар­ность обозначают символом ||: || .

Компланарные векторы. Векторы, расположенные в одной или параллельных плоскостях, называются компланарными.

Равные векторы. Равными называются коллинеарные векторы, направленные в одну и ту же сторону и имеющие одинаковые модули.

Противоположные векторы. Противоположными называются коллинеарные векторы, противоположно направленные и имеющие одинаковые модули.

Вектор как единое, фундаментальное понятие в физике и математике

При изучении школьных курсов физики и математики встречаются с различными трактовками понятия век­тора, например такими:

вектор как направленный отрезок;

вектор как класс эквивалентных направленных отрезков;

вектор как параллельный перенос [2; 14].

Во всех этих подходах уделяется внимание лишь геометрическому подходу к векторному исчислению, рассматриваются действия над «геометрическими» векторами, что приводит к не правильному пониманию существа понятия вектора.

Рассматривается возможность формирова­ния общего понятия вектора с тем, чтобы содержание этого по­нятия включало в явном виде те физические и математические его интерпретации, с которыми придется иметь дело при дальнейшем образовании.

Для формирования такого общего представления мы ис­пользовали понятие вектора как элемента векторного пространства. Понятие векторного пространства является одним из фун­даментальных понятий современных математики и физики. На­пример, трехмерное векторное пространство является объектом изучения аналитической геометрии, векторное пространство произвольной размерности изучается в линейной алгебре. По­нятие бесконечномерного векторного пространства играет фун­даментальную роль в современном анализе, а конечномерные векторные пространства широко используются в теории функ­ций многих переменных.

Векторный аппарат широко используется в физике. Он применяется, в классической и релятивистской механике, теории поля. Понятие бесконечномерного векторного пространства иг­рает фундаментальную роль в квантовой механике. Вводя не­евклидову метрику, то есть существование таких векторов, квадрат которых меньше нуля, приходим к понятию псевдоевклидова пространства Минковского, которое применяется в спе­циальной теории относительности Эйнштейна. Если рассматривать ненулевой вектор, квадрат которого равен нулю, то придём к понятию полуевклидова пространства, которое связано с клас­сической механикой Ньютона [123; 131].

Таким образом, понятие векторного пространства широко применяется как в математике, так и в физике. Причем в прило­жениях векторного аппарата в различных областях науки ис­пользуются различные интерпретации векторного пространства.

Целесообразно обобщить знания о различных примерах векторов, которые использова­лись в физике.

Известно, что в физике рассматриваются различные виды векторов:

Свободные — такие векторы, которые можно переносить в любую точку пространства параллельно самим себе. Приме­рами таких векторов являются; вектор скорости поступательно­го движения тела, вектор ускорения, вектор момента силы, век­тор магнитной индукции постоянного магнитного поля.

Скользящие – такие векторы, которые можно переносить только по линии их действия. Их примерами являются: вектор силы, приложенной к абсолютно твёрдому телу, вектор углово­го ускорения.

Связанные — такие векторы, которые связаны с опреде­лённой точкой своего приложения. Например: вектор мгновен­ной скорости точки, вектор напряженности неоднородных элек­трических и магнитных полей.

Актуализируя знания учащихся о векторах скорости по­ступательного движения, ускорения, мгновенной скорости, си­лы, приложенной к абсолютно твердому телу, выделяем их общие свойства. В данном случае нас будут интересовать свойства сложения этих векторов и умножения на число. Особое внимание следует уде­лить свойствам сложения векторов: переместительному; сочета­тельному, существованию нулевого и противоположного векто­ра; и умножения вектора на число: сочетательному, двум рас­пределительным, умножению на единицу.

В процессе решения задач замечают, что все из­вестные векторы из курса физики обладают одинаковыми свойствами сложения и умножения на число. Целесообразно объединить выделенные свойства в таблицу. Рассмотрим на примере сил, приложенных к абсолютно твёрдому телу. и . Для определения равнодейст­вующей силы

1. Сложение: + =	2. Умножение на число: k = .
Переместительное свойство: + = + .	Псиное распределительное свойст­во: (k+n) • = k• +Mi • .
Сочетательное свойство: +( + ) = ( + )+ .	Второе распределительное свойст­во: k• ( + ) = k• +k• .
Существование нулевой си­лы : + =	Сочетательное свойство: (к • n) • =к • (n • ).
Существование для любой силы ей противоположной + (- ) = .	Умножение на единицу: 1 • = .
, , силы, приложенные к абсолютно твердому телу, к, n — числа.

Проиллюстрировать сложение векторов и умножение век­тора на число можно на следующих физических примерах.

1

68

ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ • Большая российская энциклопедия

ВЕ́КТОРНОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ, раз­дел ма­те­ма­ти­ки, в ко­то­ром изу­ча­ют­ся век­то­ры евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва и опе­ра­ции над ни­ми.

Воз­ник­но­ве­ние В. и. свя­за­но с по­треб­но­стя­ми ме­ха­ни­ки и фи­зи­ки. Ос­но­вы В. и. бы­ли за­ло­же­ны ис­сле­до­ва­ния­ми У. Га­миль­то­на и Г. Грас­сма­на (1844–1850). Их идеи бы­ли ис­поль­зо­ва­ны Дж. К. Мак­свел­лом в его ра­бо­тах по элек­три­че­ст­ву и маг­не­тиз­му. Совр. вид В. и. при­дал Дж. Гиббс. Зна­чительный вклад в раз­ви­тие В. и. внёс М. В. Ос­т­ро­град­ский.

Векторная алгебра

Век­то­ром на­зы­ва­ет­ся на­прав­лен­ный от­ре­зок пря­мой, у ко­то­ро­го один ко­нец (точ­ка $A$) счи­та­ет­ся на­ча­лом, дру­гой (точ­ка $B$) – кон­цом век­то­ра. Обыч­но век­то­ры обо­зна­ча­ют­ся $AB, \overline{AB}, \overrightarrow{AB}, \boldsymbol a, \bar a, \vec a$, или про­сто $a$. Век­тор, на­ча­ло и ко­нец ко­то­ро­го сов­па­да­ют, на­зы­ва­ет­ся ну­ле­вым и обыч­но обо­зна­ча­ет­ся $\boldsymbol 0$ или 0. Ха­рак­те­ри­сти­ка­ми век­то­ра яв­ля­ют­ся его мо­дуль (дли­на), ко­то­рый ра­вен дли­не от­рез­ка $AB$ (обо­зна­ча­ет­ся $|AB|$), и на­прав­ле­ние от $A$ к $B$. Ну­ле­во­му век­то­ру при­пи­сы­ва­ют лю­бое на­прав­ле­ние. Все ну­ле­вые век­то­ры счи­та­ют­ся рав­ны­ми. Век­тор еди­нич­ной дли­ны на­зы­ва­ет­ся еди­нич­ным век­то­ром или ор­том. Век­то­ры на­зы­ва­ют­ся кол­ли­не­ар­ны­ми, ес­ли они ле­жат ли­бо на од­ной пря­мой, ли­бо на па­рал­лель­ных пря­мых, и ком­пла­нар­ны­ми, ес­ли они ле­жат на од­ной плос­ко­сти. Век­тор на­зы­ва­ет­ся сво­бод­ным, ес­ли его на­чаль­ная точ­ка мо­жет быть вы­бра­на про­из­воль­но. Обыч­но два век­то­ра на­зы­ва­ют­ся рав­ны­ми, ес­ли они кол­ли­не­ар­ны, име­ют оди­на­ко­вую дли­ну и оди­на­ко­во на­прав­ле­ны.

Кро­ме сво­бод­ных век­то­ров в ме­ха­нике и фи­зи­ке час­то рас­смат­ри­ва­ют­ся век­то­ры, ко­то­рые ха­рак­те­ри­зу­ют­ся мо­ду­лем, на­прав­ле­ни­ем и по­ло­же­ни­ем на­чаль­ной точ­ки (точ­кой при­ло­же­ния). Та­кие век­то­ры на­зы­ва­ют­ся свя­зан­ны­ми. Свя­зан­ные век­то­ры счи­та­ют­ся рав­ны­ми, ес­ли они име­ют не толь­ко рав­ные мо­дули и оди­на­ко­вые на­прав­ле­ния, но и об­щую точ­ку при­ло­же­ния. Мно­же­ст­во рав­ных ме­ж­ду со­бой век­то­ров, рас­по­ло­жен­ных на од­ной пря­мой, на­зы­ва­ет­ся сколь­зя­щим век­то­ром. За­да­ние сколь­зя­ще­го или свя­зан­но­го век­то­ра мо­жет быть за­ме­не­но за­да­ни­ем двух сво­бод­ных век­торов. В В. и. рас­смат­ри­ва­ют­ся толь­ко сво­бод­ные век­то­ры.

В век­тор­ной ал­геб­ре рас­смат­ри­ва­ют­ся ли­ней­ные опе­ра­ции над век­то­ра­ми, т. е. сло­же­ние век­то­ров и ум­но­же­ние век­то­ра на дей­ст­ви­тель­ное чис­ло.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Сум­мой $a+b$ век­то­ров $a$ и $b$ на­зы­ва­ет­ся век­тор, иду­щий из на­ча­ла век­то­ра $a$ в ко­нец век­то­ра $b$ при ус­ло­вии, что на­ча­ло век­то­ра $b$ при­ло­же­но к кон­цу век­то­ра $a$ (рис. 1), этот век­тор ра­вен так­же диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма, по­стро­ен­но­го на век­то­рах $a$ и $b$ (рис. 2). По­строе­ние сум­мы не­сколь­ких век­то­ров по­ка­зано на рис. 3.

Про­из­ве­де­ни­ем $\alpha a$ век­то­ра $a$ и чис­ла $\alpha$ на­зы­ва­ет­ся век­тор, кол­ли­не­ар­ный век­то­ру $a$, имею­щий дли­ну $|\alpha|\cdot |a|$ и на­прав­ле­ние, сов­па­даю­щее с на­прав­ле­ни­ем $a$ при $\alpha > 0$ и про­ти­во­по­лож­ное при $\alpha < 0$. Ес­ли $\alpha =0$ или/и $a=0$, то $\alpha a = 0$.

Век­тор $-1\cdot a$ на­зы­ва­ет­ся про­ти­во­по­лож­ным век­то­ру $a$ и обо­зна­ча­ет­ся $-a$.

Опе­ра­ции сло­же­ния век­то­ров и ум­но­же­ния век­то­ра на чис­ло об­ла­да­ют свой­ст­ва­ми $a+b = b+a, (a+b)+c = a+(b+c), a+0 = a, a+(-a) = 0, 1\cdot a=a, \alpha(\beta a) = (\alpha\beta)a, \alpha(a+b) = \alpha a +\alpha b, (\alpha +\beta)a = \alpha a +\beta a$, где $a,b,c$ – век­то­ры, а $\alpha$ и $\beta$ – дей­ст­ви­тель­ные чис­ла. Раз­но­стью $a-b$ век­то­ров $a$ и $b$ на­зы­ва­ет­ся век­тор $x$ та­кой, что $x+b = a, x = a+(-b)$. Мно­же­ст­во всех век­то­ров евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва с вве­дён­ны­ми в нём опе­ра­ция­ми сло­же­ния и ум­но­же­ния на чис­ло об­ра­зу­ет век­тор­ное про­стран­ст­во.

В век­тор­ной ал­геб­ре час­то ис­поль­зу­ют­ся по­ня­тия ли­ней­ной за­ви­си­мо­сти и ли­ней­ной не­за­ви­си­мо­сти век­то­ров. Век­то­ры $a_1, \ldots , a_n$ на­зы­ва­ют­ся ли­ней­но за­ви­си­мы­ми, ес­ли су­ще­ст­ву­ют чис­ла $\alpha_1, \ldots , \alpha_n$, из ко­то­рых хо­тя бы од­но от­лич­но от нуля, та­кие, что ли­ней­ная ком­би­на­ция $\alpha_1 a_1 + \ldots + \alpha_n a_n = 0$, т. е. сум­ма век­то­ров в ле­вой час­ти это­го ра­вен­ст­ва рав­на ну­ле­во­му век­то­ру. В про­тив­ном слу­чае век­то­ры $a_1, \ldots, a_n$ на­зы­ва­ют­ся ли­ней­но не­за­ви­си­мы­ми.

Рис. 4.

В ме­ха­ни­ке и фи­зи­ке обыч­но ис­поль­зу­ют­ся дву­мер­ные и трёх­мер­ные век­тор­ные про­стран­ст­ва. В трёх­мер­ном про­стран­ст­ве су­ще­ст­ву­ют трой­ки ли­ней­но не­за­ви­си­мых век­то­ров, лю­бые че­ты­ре век­то­ра ли­ней­но за­ви­си­мы; в дву­мер­ном про­стран­ст­ве, т. е. на плос­ко­сти, су­ще­ст­ву­ют па­ры ли­ней­но не­за­ви­си­мых век­то­ров, лю­бые три век­то­ра ли­ней­но за­ви­си­мы. Ли­ней­но не­за­ви­си­мые век­то­ры $e_1, e_2, e_3$ трёх­мер­но­го евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва об­ра­зу­ют ба­зис, т. е. лю­бой век­тор $a$ мо­жет быть един­ст­вен­ным об­ра­зом пред­став­лен в ви­де $a = a_1e_1 + a_2e_2 + a_3e_3$, где $a_1, a_2, a_3$ – чис­ла, на­зы­вае­мые ко­ор­ди­на­та­ми (ком­по­нен­та­ми) век­то­ра $a$ в дан­ном ба­зи­се. Век­тор $a$ c ко­ор­ди­на­та­ми $a_1, a_2, a_3$ час­то за­пи­сы­ва­ют в ви­де $a=(a_1,a_2, a_3)$. Три вза­им­но ор­то­го­наль­ных (пер­пен­ди­ку­ляр­ных) век­то­ра, дли­ны ко­то­рых рав­ны еди­ни­це и ко­то­рые обыч­но обо­зна­ча­ют $i, j, k,$ об­ра­зу­ют т. н. ор­то­нор­ми­ро­ван­ный ба­зис. Ес­ли на­ча­ла этих век­то­ров по­мес­тить в не­ко­то­рую точ­ку $O$, то по­лу­чит­ся де­кар­то­ва пря­мо­уголь­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат в трёх­мер­ном про­стран­ст­ве (рис. 4). Ука­зан­ным вы­ше ли­ней­ным опе­ра­ци­ям над век­то­ра­ми со­от­вет­ст­ву­ют ана­ло­гич­ные опе­ра­ции над их ко­ор­ди­на­та­ми: ес­ли век­то­ры $a$ и $b$ име­ют ко­ор­ди­на­ты $(a_1, a_2, a_3)$ и $(b_1, b_2, b_3)$, то сум­ма $a+b$ этих век­то­ров име­ет ко­ор­ди­на­ты $(a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$, а век­тор $\alpha a$ име­ет ко­ор­ди­на­ты $(\alpha a_1,\alpha a_2, \alpha a_3)$.

Раз­ви­тие и при­ме­не­ние век­тор­ной ал­геб­ры тес­но свя­за­ны с разл. век­тор­ны­ми про­из­ве­де­ния­ми: ска­ляр­ным, век­тор­ным и сме­шан­ным. Ска­ляр­ным про­из­ве­де­ни­ем век­то­ров $a$ и $b$ на­зы­ва­ет­ся чис­ло, обо­зна­чае­мое $(a, b)$, рав­ное про­из­ве­де­нию длин этих век­то­ров на ко­си­нус уг­ла $\varphi$ ме­ж­ду ни­ми:

$$(a, b) = |a| |b| \cos \varphi$$

Ска­ляр­ным про­из­ве­де­ни­ем вы­ра­жа­ет­ся, напр., ра­бо­та си­лы $F$ на пря­мо­ли­ней­ном пу­ти $s$, ко­то­рая рав­на $|F| |s| \cos \varphi$, где $\varphi$ – угол ме­ж­ду век­то­ра­ми $F$ и $s$.

Cкалярное про­из­ве­де­ние об­ла­да­ет сле­дую­щи­ми свой­ст­ва­ми:

$$(a, b) = (b, a) , \quad (\alpha a, b) = \alpha (a, b),$$ $$(a+b, c) = (a, c) + (b, c), \quad (a, a) \geq 0,$$

где $a, b, c$ — век­то­ры, $\alpha$ — чис­ло; в по­след­нем не­ра­вен­ст­ве ра­вен­ст­во име­ет ме­сто лишь при $a = 0$.2}}$$

Рис. 5.

При оп­ре­де­ле­нии век­тор­но­го про­из­ве­де­ния ис­поль­зу­ет­ся по­ня­тие ле­вой и пра­вой упо­ря­до­чен­ных троек век­то­ров. Упо­ря­до­чен­ная трой­ка век­то­ров $a, b, c$ ($a$ — пер­вый, $b$ — вто­рой, $c$ — тре­тий век­то­ры), при­ве­дён­ных к об­ще­му на­ча­лу и не ле­жа­щих в од­ной плос­ко­сти, на­зы­ва­ет­ся пра­вой (ле­вой), ес­ли они рас­по­ла­га­ют­ся так, как рас­по­ла­га­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но боль­шой, ука­за­тель­ный и сред­ний паль­цы пра­вой (ле­вой) ру­ки. На рис. 5 изо­бра­же­ны сле­ва – пра­вая, а спра­ва – ле­вая трой­ки век­то­ров.

Век­тор­ным про­из­ве­де­ни­ем век­то­ров $a$ и $b$ на­зы­ва­ет­ся век­тор, обо­зна­чае­мый $[a ,b]$, та­кой, что дли­на век­то­ра $[a, b]$ рав­на про­из­ве­де­нию длин век­то­ров $a$ и $b$ на си­нус уг­ла $\varphi$ ме­ж­ду ни­ми, и ес­ли $a$ и $b$ не­кол­ли­не­ар­ны, то век­тор $[a, b]$ пер­пен­ди­ку­ля­рен век­то­рам $a$ и $b$ и на­прав­лен так, что трой­ка век­то­ров $a, b, [a, b]$ яв­ля­ет­ся пра­вой. В слу­чае, ес­ли $a$ и $b$ кол­ли­не­ар­ны, то $[a, b] = 0$. Век­тор­ное про­из­ве­де­ние об­ла­да­ет сле­дую­щи­ми свой­ст­ва­ми:

$$[a ,b] = — [b, a], \quad [(\alpha a), b] = \alpha [a, b],$$ $$[c, (a + b)] = [c, a] + [c, b],$$ $$[a, [b, c]] = b(a, c) — c(a, b),$$ $$([a, b], [c, d]) = (a, c)(b, d) — (a, d)(b, c),$$

где $a, b, c, d$ — век­то­ры, $\alpha$ — чис­ло.

Ес­ли в ор­то­нор­ми­ро­ван­ном ба­зи­се $i, j, k$, об­ра­зую­щем пра­вую трой­ку, век­то­ры $a$ и $b$ име­ют со­от­вет­ст­вен­но ко­ор­ди­на­ты $(a_1, a_2, a_3)$ и $(b_1, b_2, b_3)$, то

$$[a,b] = (a_2b_3 — a_3b_2, a_3b_1 — a_1b_3, a_1b_2 — a_2b_1),$$

или

$$[a, b] = \begin {vmatrix} i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

По­ня­тие век­тор­но­го про­из­ве­де­ния при­ме­ня­ет­ся в разл. за­да­чах ме­ха­ни­ки и фи­зи­ки. Напр., мо­мент си­лы $F$, при­ло­жен­ной к точ­ке $M$, от­но­си­тель­но точ­ки $O$ ра­вен век­тор­но­му про­из­ве­де­нию $[\overline{OM}, F]$.

Сме­шан­ным про­из­ве­де­ни­ем век­то­ров $a, b$ и $c$ на­зы­ва­ет­ся чис­ло, обо­зна­чае­мое $abc$, рав­ное ска­ляр­но­му про­из­ве­де­нию $([a, b], c)$ век­то­ра $[a, b]$ на век­тор $c$. Сме­шан­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров $a, b$ и $c$, не па­рал­лель­ных од­ной плос­ко­сти, рав­но объ­ё­му па­рал­ле­ле­пи­пе­да, по­стро­ен­но­го на при­ве­дён­ных к об­ще­му на­ча­лу век­то­рах $a, b$ и $c$, взя­то­му со зна­ком плюс, ес­ли трой­ка $a, b, c$ пра­вая, и со зна­ком ми­нус, ес­ли трой­ка ле­вая. Ес­ли век­то­ры $a, b$ и $c$ па­рал­лель­ны од­ной плос­ко­сти, то $abc = 0$. Спра­вед­ли­вы так­же ра­вен­ст­ва $abc = bca = cab$. Ес­ли ко­ор­ди­на­ты век­то­ров $a, b$ и $c$ в ор­то­нор­ми­ро­ван­ном ба­зи­се $i, j, k$, об­ра­зую­щем пра­вую трой­ку, суть $(a_1, a_2, a_3), (b_1, b_2, b_3)$ и $(c_1, c_2, c_3)$, то

$$abc = \begin {vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end {vmatrix}$$

Вектор-функции скалярных аргументов

Рис. 6.

В ме­ха­ни­ке, фи­зи­ке, диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии ши­ро­ко ис­поль­зу­ет­ся по­ня­тие век­тор-функ­ции од­но­го или не­сколь­ких ска­ляр­ных ар­гу­мен­тов. Ес­ли ка­ж­до­му зна­че­нию пе­ре­мен­ной $t$ из не­ко­то­ро­го мно­же­ст­ва $\{t\}$ ста­вит­ся в со­ответ­ст­вие оп­ре­де­лён­ный век­тор $r$, то го­во­рят, что на мно­же­ст­ве $\{t\}$ за­да­на век­тор-функ­ция (век­тор­ная функ­ция) $r = r(t)$. Т. к. век­тор $r$ оп­ре­де­ля­ет­ся ко­ор­ди­на­та­ми $(x, y, z)$ в ба­зи­се $i, j, k$, то за­да­ние век­тор-функ­ции $r = r(t)$ эк­ви­ва­лент­но за­да­нию трёх ска­ляр­ных функ­ций $x = x(t), y = y(t), z=z(t)$.

По­ня­тие век­тор-функ­ции ста­но­вит­ся на­гляд­ным, ес­ли об­ра­тить­ся к го­до­гра­фу этой функ­ции, т. е. мно­же­ст­ву кон­цов всех век­то­ров $r(t)$, при­ло­жен­ных к на­ча­лу ко­ор­ди­нат $O$ (рис. 6). Ес­ли при этом рас­смат­ри­вать ар­гу­мент $t$ как вре­мя, то век­тор-функ­ция $r(t)$ пред­став­ляет со­бой за­кон дви­же­ния точ­ки $M$, дви­жу­щей­ся по кри­вой $L$ – го­до­гра­фу функ­ции $r(t)$.{\prime}].$$

В диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии век­тор-функ­ции од­но­го ар­гу­мен­та ис­поль­зу­ют­ся для за­да­ния кри­вых. Для за­да­ния по­верх­но­стей поль­зу­ют­ся век­тор-функ­ция­ми двух ар­гу­мен­тов.

Векторный анализ

В ме­ха­ни­ке, фи­зи­ке и гео­мет­рии ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся по­ня­тия ска­ляр­ных и век­тор­ных по­лей. Темп-ра не­рав­но­мер­но на­гре­той пла­сти­ны и плот­ность не­од­но­род­но­го те­ла пред­став­ля­ют со­бой фи­зич. при­ме­ры со­от­вет­ст­вен­но плос­ко­го и про­стран­ст­вен­но­го ска­ляр­ных по­лей. При­ме­ра­ми век­тор­но­го по­ля яв­ля­ют­ся мно­же­ст­во всех век­то­ров ско­ро­стей час­тиц ус­та­но­вив­ше­го­ся по­то­ка жид­ко­сти, по­ле си­лы тя­же­сти и на­пря­жён­ность элек­трич. по­ля.

Для ма­те­ма­тич. за­да­ния ска­ляр­ных и век­тор­ных по­лей ис­поль­зу­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но ска­ляр­ные и век­тор­ные функ­ции. Плот­ность те­ла пред­став­ля­ет со­бой ска­ляр­ную функ­цию точ­ки, а по­ле ско­ро­стей час­тиц ус­та­но­вив­ше­го­ся по­то­ка жид­ко­сти – век­тор­ную функ­цию точ­ки. Для гео­мет­рич. ха­рак­те­ри­сти­ки ска­ляр­но­го по­ля ис­поль­зу­ют­ся по­ня­тия ли­ний и по­верх­но­стей уров­ня. Ли­ни­ей уров­ня плос­ко­го ска­ляр­но­го по­ля на­зы­ва­ет­ся ли­ния, на ко­то­рой функ­ция, за­даю­щая по­ле, име­ет по­сто­ян­ное зна­че­ние. Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся по­верх­ность уров­ня про­стран­ст­вен­но­го ска­ляр­но­го по­ля. При­ме­ра­ми ли­ний уров­ня мо­гут слу­жить изо­тер­мы – ли­нии уров­ня ска­ляр­но­го по­ля тем­пе­ра­тур не­рав­но­мер­но на­гре­той пла­сти­ны.

Пусть $M$ – про­из­воль­ная точ­ка на ли­нии (по­верх­но­сти) уров­ня ска­ляр­но­го по­ля. При дви­же­нии точ­ки $M$ по ли­нии (по­верх­но­сти) уров­ня функ­ция $f$, за­даю­щая по­ле, не ме­ня­ет­ся, а макс. из­ме­не­ние функ­ции $f$ про­ис­хо­дит при сме­ще­нии по нор­ма­ли к этой ли­нии (по­верх­но­сти) в точ­ке $M$. Это из­ме­не­ние ха­рак­те­ри­зу­ет­ся с по­мо­щью т. н. гра­ди­ен­та ска­ляр­но­го по­ля. Гра­ди­ент пред­став­ля­ет со­бой век­тор, на­прав­лен­ный по нор­ма­ли к ли­нии (по­верх­но­сти) уров­ня в точ­ке $M$ в сто­ро­ну воз­рас­та­ния $f$ в этой точ­ке. Ве­ли­чи­на гра­ди­ен­та рав­на про­из­вод­ной функ­ции $f$ в ука­зан­ном на­прав­ле­нии. Гра­ди­ент обо­зна­ча­ет­ся сим­во­лом $grad \:f$. В ба­зи­се $i, j, k$ гра­ди­ент $grad \:f$ име­ет ко­ор­ди­на­ты $(\partial f/{\partial x}, \partial f/{\partial y}, \partial f/{\partial z})$ (для плос­ко­го по­ля $(\partial f/{\partial x}, \partial f/{\partial y})$). Гра­ди­ент ска­ляр­но­го по­ля пред­став­ля­ет со­бой век­тор­ное по­ле.

Рис. 8.

Рис. 7.

Для век­тор­ных по­лей вво­дят­ся по­ня­тия век­тор­ной ли­нии, век­тор­ной труб­ки, цир­ку­ля­ции, ди­вер­ген­ции и вих­ря (ро­то­ра). Пусть в не­ко­то­рой об­лас­ти $\Omega$ за­да­но век­тор­ное по­ле с по­мо­щью век­тор­ной функ­ции $a= a(M)$ пе­ре­мен­ной точ­ки $M$ из $\Omega$. Ли­ния $L$ в об­лас­ти $\Omega$ на­зы­ва­ет­ся век­тор­ной ли­ни­ей, ес­ли век­тор ка­са­тель­ной в ка­ж­дой её точ­ке $M$ на­прав­лен по век­то­ру $a(M)$ (рис. 7). Ес­ли по­ле $a$ – по­ле ско­ро­стей час­тиц ста­цио­нар­но­го по­то­ка жид­ко­сти, то век­тор­ные ли­нии это­го по­ля – тра­ек­то­рии час­тиц жид­ко­сти. Часть про­стран­ст­ва в $\Omega$, со­стоя­щая из век­тор­ных ли­ний, на­зы­ва­ет­ся век­тор­ной труб­кой (рис. 8). В слу­чае век­тор­но­го по­ля ско­ро­стей час­тиц ста­цио­нар­но­го по­то­ка жид­ко­сти век­тор­ная труб­ка есть часть про­стран­ст­ва, ко­то­рую «за­ме­та­ет» при сво­ём пе­ре­ме­ще­нии не­ко­то­рый объ­ём жид­ко­сти.

Пусть $AB$ – не­ко­то­рая глад­кая ли­ния в $\Omega, l$ – дли­на ду­ги, от­счи­ты­вае­мая от точ­ки $A$ до пе­ре­мен­ной точ­ки $M$ этой ли­нии, $t$ – еди­нич­ный век­тор ка­са­тель­ной к $AB$ в $M$. Цир­ку­ля­ци­ей по­ля $a$ вдоль кри­вой $AB$ на­зы­ва­ет­ся ве­ли­чи­на

$$\int _{AB} (a, t) dl.$$

Ес­ли $a$ – си­ло­вое по­ле, то цир­ку­ля­ция $a$ вдоль $AB$ пред­став­ля­ет со­бой ра­бо­ту это­го по­ля вдоль пу­ти $AB$.

Ди­вер­ген­ци­ей век­тор­но­го по­ля $a$, имею­ще­го в ба­зи­се $i, j, k$ ко­ор­ди­на­ты $P, Q, R$, на­зы­ва­ет­ся сум­ма

$$\partial P/{\partial x} + \partial Q/{\partial y} + \partial R/{\partial z},$$

ко­то­рая обо­зна­ча­ет­ся $\mathrm{div}\:a$. Напр., ди­вер­ген­ция гра­ви­та­ци­он­но­го по­ля, соз­да­вае­мо­го не­ко­то­рым рас­пре­де­ле­ни­ем масс, рав­на объ­ём­ной плот­но­сти $\rho (x, y, z)$ это­го по­ля, ум­но­жен­ной на $4\pi$.

Вихрь (ро­тор) век­тор­но­го по­ля $a$ пред­став­ля­ет со­бой век­тор­ную ха­рак­тери­сти­ку вра­ща­тель­ной со­став­ляю­щей это­го по­ля, вихрь по­ля $a$, обо­зна­чае­мый $\mathrm{rot} \:a$, ра­вен

$$\left ( \frac {\partial R}{\partial y} — \frac {\partial Q}{\partial z}, \frac {\partial P}{\partial z} — \frac {\partial R}{\partial x}, \frac {\partial Q}{\partial x} — \frac {\partial P}{\partial y}  \right).$$

На­хо­ж­де­ние гра­ди­ен­та ска­ляр­но­го по­ля, ди­вер­ген­ции и вих­ря век­тор­но­го по­ля обыч­но на­зы­ва­ют осн. диф­фе­рен­ци­аль­ны­ми опе­ра­ция­ми век­тор­но­го ана­ли­за. Спра­вед­ли­вы сле­дую­щие фор­му­лы, свя­зы­ваю­щие эти опе­ра­ции:

$$\mathrm {grad} (fh) = f\: \mathrm {grad}\:h + h\:\mathrm {grad}\: f, $$ $$ \mathrm {div} (fa) = (a, \mathrm {grad}\: f) + f\: \mathrm {div}\: a,$$ $$\mathrm {rot} (fa) = f\: \mathrm {rot}\: a + [\mathrm {grad}\: f, a],$$ $$\mathrm {div} [a, b] = (b, \mathrm {rot}\: a) — (a, \mathrm {rot}\: b),$$

где $f$ и $h$ – ска­ляр­ные, а $a$ и $b$ – век­тор­ные по­ля. Век­тор­ное по­ле $a$ на­зы­ва­ет­ся по­тен­ци­аль­ным по­лем, ес­ли это по­ле пред­став­ля­ет со­бой гра­ди­ент не­ко­то­ро­го ска­ляр­но­го по­ля $f$. При этом по­ле $f$ на­зы­ва­ет­ся по­тен­циа­лом век­тор­но­го по­ля $a$. Для то­го что­бы по­ле $a$, ко­ор­ди­на­ты ко­то­ро­го $P, Q, R$ име­ют не­пре­рыв­ные ча­ст­ные про­из­вод­ные, бы­ло по­тен­ци­аль­ным, не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы в ка­ж­дой точ­ке об­лас­ти $\Omega$ вихрь это­го по­ля был ра­вен ну­лю. Ес­ли в од­но­связ­ной об­лас­ти $\Omega$ за­да­но по­тен­ци­аль­ное по­ле $a$, то по­тен­ци­ал $f$ это­го по­ля мо­жет быть най­ден по фор­му­ле

$$f(M) = \int_{AM} (a, t) dl,$$

в ко­то­рой $AM$ – лю­бая глад­кая кри­вая, со­еди­няю­щая фик­си­ро­ван­ную точ­ку $A$ из $\Omega$ с точ­кой $M, t$ – еди­нич­ный век­тор ка­са­тель­ной к кри­вой $AM$ и $l$ – дли­на ду­ги $AM$, от­счи­ты­вае­мая от точ­ки $A$.

Век­тор­ное по­ле $a$ на­зы­ва­ет­ся со­ле­нои­даль­ным, или труб­ча­тым, ес­ли это по­ле пред­став­ля­ет со­бой вихрь не­ко­то­ро­го по­ля $b$. При этом по­ле $b$ на­зы­ва­ет­ся век­тор­ным по­тен­циа­лом по­ля $a$. Для то­го что­бы по­ле $a$ бы­ло со­ле­нои­даль­ным, не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы в ка­ж­дой точ­ке об­лас­ти $\Omega$ ди­вер­ген­ция это­го по­ля бы­ла рав­на ну­лю. Век­тор­ное по­ле $a$, для ко­то­ро­го $\mathrm {div} \:a = 0, \mathrm {rot} \: a = 0$, на­зы­ва­ет­ся гар­мо­ни­че­ским.

В век­тор­ном ана­ли­зе важ­ную роль иг­ра­ют ин­те­граль­ные со­от­но­ше­ния: Ост­ро­град­ско­го фор­му­ла, име­нуе­мая так­же ос­нов­ной фор­му­лой век­тор­но­го ана­ли­за, и Сто­кса фор­му­ла.

Урок Сложение векторов

Тема: « Сложение векторов»

Класс: 9 «б»

Тип урока: урок усвоения новых знаний, работа с информационным текстом.

Цели урока:Сформировать навыки учащихся по нахождению суммы векторов, используя различные правила сложения.

Задачи урока: Учащиеся должны научиться:

1. Приобретать математические знания и умения.

2.Находить сумму векторов по правилу треугольника, правилу параллелограмма, правилу многоугольника.

3.Уметь решать задачи, опираясь на знание законов физики, применять знания в новой ситуации.

4. Формировать умения работать с задачей.

5. Развивать устную речь, учить анализировать, сравнивать, делать выводы, осуществлять перенос знаний и умений в нестандартной ситуации.

Методы: словесный, проблемный эвристический (частично-поисковый) .

Форма обучения: групповая, парная, индивидуальная с учетом возрастных особенностей учащихся.

Необходимое оборудование и материалы: Компьютер, интерактивная доска .

Учебник (Л. С. Атанасян и др.) Крылов И.А. басня «Лебедь, рак и щука»

Перельман Я. И. «Занимательная физика»

Чертежные инструменты.

Ход урока

Мотивация учащихся. Видеоролик «Команда» Для более успешной работы весь класс разбит на  три группы, в каждой группе работает консультант

Высокая познавательная активность обеспечивается мультимедиа компонентом, самостоятельной поисковой деятельностью учеников.

Структура урока.

1.Организационный момент.

2.Постановка проблемы (задача).

3.Актуализация знаний учащихся. (Самостоятельная работа учащихся).

4.Самостоятельная работа по приобретению новых знаний. (Устная работа).

5.Исследовательская самостоятельная работа по приобретению новых знаний. (Работа в группах).

6. Закрепление изученного материала.

7.Итоги работы (рефлексия деятельности).

8 Домашнее задание.

Тема сегодняшнего урока « Сложение векторов»

Цель работы: Сформировать навыки учащихся по нахождению суммы векторов, используя различные правила сложения.

Сегодня на уроке попытаемся выяснить прав ли Крылов Н.А. «А воз и ныне там?» История о том, как «лебедь, рак и щука вести с поклажей воз взялись» известна всем. Напомним её .

Презентация, слайд № 2. На слайде басня Крылова Н.А. «Лебедь, рак и щука» Постановка проблемы. «А воз и ныне там?»

Когда в товарищах согласья нет,

На лад их дело не пойдет,

И выйдет из него не дело, только мука.

Однажды Лебедь, Рак да Щука

Везти с поклажей воз взялись,

И вместе трое все в него впряглись;

Из кожи лезут вон, а возу все нет ходу!

Поклажа бы для них казалась и легка:

Да Лебедь рвется в облака,

Рак пятится назад, а Щука тянет в воду.

Кто виноват из них, кто прав, — судить не нам;

Да только воз и ныне там. На протяжении урока мы выясним эту проблему и еще раз вернемся к этой басне

Сейчас я познакомлю вас с терминами необходимыми вам на уроке (слайд 3, приложение 1).

Казахский	Русский	Английский
Вектор	Вектор	Vector
Вектордың ұзындығы	Длина вектора	Modulus of vector
Параллелограмм ережесі	Правило параллелограмма	Parallelogram law, parallelogram rule
Үшбұрыш ережесі	Правило треугольника	Triangle law
Вектордың проекциясы	Проекция вектора	Vector projection
Қарама-қарсы векторлар	Противоположные векторы	Opposite vectors
Бағыттас векторлар	Сонаправленные векторы	Codirectional vectors
Вектордың қураушылары	Составляющие вектора	Vector component

Термины проговариваются учениками совместно с учителем.

2. Актуализация знаний учащихся.(3мин)

Презентация, слайд № 3. Содержание слайда: Таблица с вопросами, на которые учащиеся должны ответить на листочке, затем взаимопроверка, ответы появляются на слайде

вопрос	ответ
1. Как называются величины, которые имеют не только числовые значения, но и направление в пространстве.	Вектор — направленный отрезок
2. Какие физические величины можно представить в виде вектора.	Скорость, сила тяжести, сила инерции. Перемещение материальной точки
3. Выпишите векторы.
4. Длина вектора	Длина вектора — это длина отрезка его задающего
5. Какой вектор называется нулевым	Нулевой вектор-это вектор, у которого начало и конец совпадают.
6. Дайте определение коллинеарных векторов.	Векторы называются коллинеарными, если лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
7. Определение сонаправленных и противоположно направленных векторов.
8. Выпишите векторные величины: масса, температура, длина, площадь, сила, скорость, длина?	Сила, скорость

2. Стадия вызова (5мин)

Конструирование предполагаемого текста по опорным словам, обсуждение заглавия текста и прогноз его содержания и проблематики , на стадии вызова учитель обращается к личному опыту учеников, который поможет подготовиться им к восприятию информационного текста / на всех стадиях учащиеся работают в парах).

Учитель предлагает учащимся составить текст на основе опорных слов (векторы, сумма, треугольник, параллелограмм, свойства) в соответствии с предложенным заглавием текста “Сумма векторов”. При этом им предлагается ответить в создаваемом тексте на следующие вопросы:

Как можно изобразить перемещение человека из пункта А в пункт В, из пункта В в пункт С?
– Как изобразить его итоговое перемещение?

3. Стадия осмысления(10мин)

Объяснение нового материала происходит с помощью презентации (Презентация).Учитель предлагает ученикам прочтение текста “с остановками” — чтение небольшими отрывками с обсуждением содержания каждого и прогнозом его развития.

Учащиеся читают первую часть текста (просматривают слайд 4, сделав первую остановку отвечают на следующие вопросы (слайд 5)):

– О чем вы узнали в этой части?
– Как понимаете выражение “сумма векторов”?
– Что такое “правило треугольника”?
– О чем пойдет речь дальше?
– Как найти суммарное перемещение, если тело одновременно испытывает два перемещения (лодка, пересекающая реку; перемещение лодки слагается из перемещений поперек реки и по течению реки)?

Далее учащиеся читают следующую часть текста, просматривают слайд 6, делают вторую остановку, отвечают на следующие вопросы (слайд 7):

Ваш прогноз оправдался?

Какие новые понятия или определения были в тексте?

Что такое “правило параллелограмма”?

В каком случае складывают векторы по правилу треугольника? А в каком случае по правилу параллелограмма?

Какие вы знаете правила сложения чисел?

Завершив чтение последней части текста и просмотрев слайды 8–10, ученики отвечают на вопросы (слайд 11):

–Ваш прогноз оправдался?
– Какие новые понятия или определения были в тексте?
– Какие вы знаете правила сложения векторов?
– Что осталось непонятным?
– Какие вопросы возникли в ходе работы с текстом?

4. Закрепление изученного материала (7мин)

Учащиеся работают в группах. Каждая группа получает карточки-задания. Консультанты в группах помогают учащимся своей группы. От каждой группы защита кластера( оформление задачи)

Задача1 1.
Парашютист опускается вертикально вниз со скоростью 4 м/с в безветренную погоду. С какой скоростью он будет двигаться при горизонтальном ветре, скорость которого относительно Земли 3 м/с. На какое расстояние отнесет его от места падения, если он спускается с высоты 2км?
 Работа над задачей. Составляем модель решения задачи.

Запишем закон сложения скоростей в векторном виде.

Сделаем чертеж, произведя сложение векторов скоростей.

Искомый вектор является гипотенузой прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора вычислим её, найдя тем самым модуль скорости.

Зная, что при прямолинейном равномерном движении модуль перемещения пропорционален скорости, составим пропорцию  и найдем модуль искомого перемещения.

Задача 2.
Штурман пытается провести судно в тумане через узкий проход между рифами. Представьте себе, что проход между рифами идет в северном направлении, Скорость океанского течения равна 5м/с, направлено оно на восток, а скорость, сообщаемая винтом судну 9 м/с. Выполните построение и покажите в каком направлении штурман должен вести судно по компасу.  
Задача 3.
Скорость лодки относительно течения 10 м/с, скорость течения 5 м/с. Под каким углом к береговой линии должен лодочник вести лодку, чтобы попасть на противоположный берег строго против того места, от которого он отплыл? Сделайте чертеж.
5.Исследовательская работа учащихся по приобретению новых знаний. (15мин) Работа в группах.

На столах тексты с задачами на сложение векторов.

1.Из норки выбежали двенадцать мышек и увидели кусочек сыра в виде прямоугольника, они с разных сторон взялись его нести, удастся ли им принести его в норку?

2.Представьте басню в виде задачи сила тяги лебедя, сила тяги рака, сила тяги щуки и выясните, чему будет равна сумма всех сил, действующих на тело?

Выполняя задания, ученики строят чертеж и представляют результаты работы на доске

Презентация, слайд № 1. Содержание слайда Решение задачи «Мышки и сыр»

Находим сумму противоположных векторов, она равна нулю, затем находим сумму остальных векторов.

Презентация, слайд № 2. Содержание слайда. Рисунок к задаче «Лебедь, рак и щука»

Презентация, слайд № 3. Содержаниеслайда ( выступление ученика)

Решение задачи «Лебедь, рак и щука» История о том, как «лебедь, рак да щука везти с поклажей воз взялись», известна всем. Но едва ли кто пробовал рассматривать эту басню с точки зрения механики. Результат получается вовсе не похожий на вывод баснописца Крылова. Перед нами механическая задача на сложение нескольких сил, действующих под углом одна к другой. Направление сил определено в басне так:

… Лебедь рвется в облака,
Рак пятится назад, а щука тянет в воду.

Э то значит (см. рис.), что одна сила, тяга лебедя, направлена вверх; другая, тяга щуки (ОВ), – вбок; третья, тяга рака (ОС), – назад. Не забудем, что существует еще четвертая сила – вес воза, которая направлена отвесно вниз. Басня утверждает, что «воз и ныне там», другими словами, что равнодействующая всех приложенных к возу сил равна нулю.
Равнодействующая (OD) должна увлекать воз в реку. Так ли это? Посмотрим. Лебедь, рвущийся к облакам, не мешает работе рака и щуки, даже помогает им: тяга лебедя, направленная против силы тяжести, уменьшает трение колес о землю и об оси, облегчая тем вес воза, а может быть, даже вполне уравновешивая его, – ведь груз невелик («поклажа бы для них казалась и легка»). Допустив для простоты последний случай, мы видим, что остаются только две силы: тяга рака и тяга щуки. О направлении этих сил говорится, что «рак пятится назад, а щука тянет в воду». Само собой разумеется, что вода находилась не впереди воза, а где-нибудь сбоку . Значит, силы рака и щуки направлены под углом одна к другой. Если приложенные силы не лежат на одной прямой, то равнодействующая их никак не может равняться нулю.

Поступая по правилам механики, строим на обеих силах ОВ и ОС параллелограмм, диагональ его OD дает направление и величину равнодействующей. Ясно, что эта равнодействующая сила должна сдвинуть воз с места, тем более, что вес его полностью или частично уравновешивается тягой лебедя. Другой вопрос – в какую сторону сдвинется воз: вперед, назад или вбок? Это зависит уже от соотношения сил и от величины угла между ними.

6. Этап информирования учащихся о домашнем задании(2мин)

Инструктаж по его выполнению. П.81; вопрос 11

1-й уровень сложности – № 755,760,761, 118 (рабочая тетрадь по геометрии)
2-й уровень сложности – № 760,

Дополнительные задачи:

1) Даны два параллелограмма MNKP и M₁NK₁P. Докажите, что  .

2) В треугольнике АВС М – точка пересечения медиан. Докажите, что  .

7. Подведение итогов

Рефлексия: метод «Микрофон» (3мин)

– Что нового и интересного вы сегодня узнали на уроке?
– Что нужно знать и уметь, для того, чтобы сложить два вектора? Несколько векторов? Какие правила сложения векторов вы узнали?
– Как вы думаете, пригодится ли изученное вами сегодня на уроке в вашей дальнейшей жизни? 
– Где это может пригодиться?
– Подведем итоги урока. задание « -синквейн»

Карта рефлексии

Я узнал много нового, мне было интересно, у меня хорошее настроение
Урок не интересный, я ничего не понял, настроение мое ухудшилось
Я ничего нового не узнал, но урок был интересен.
Понравилось слушать, делать ничего не хотелось.
Понравились слушать, выполнять задания, я доволен;

Литература

1. Атанасян  Л.С. и др « Геометрия 7-9 «,Москва,» Просвещение» 2011г.

 2. Н.Ф. Гаврилова « Поурочные разработки по геометрии» Москва .

                           « Вако» 2005г.

3.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Поздняк Л.В., Юдина И.И. Геометрия 7-9 кл. Просвещение,2006

4.Зив Б. Г., Мейлер В. М. Геометрия. Дидактические материалы для 9 класса. Просвещение,2006

5.Задачник Степановой Г.Н.для 7-9 классов

6.А.В. Пёрушкин, Е.М. Путник Физика -9 .Просвещение,2006

 

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/111475-urok-slozhenie-vektorov

Применение векторов в повседневной жизни

6

Введение

С уверенностью можно сказать, что мало кто из людей задумывается о том, что векторы окружают нас повсюду и помогают нам в повседневной жизни. Рассмотрим ситуацию: парень назначил девушке свидание в двухстах метрах от своего дома. Найдут ли они друг друга? Конечно, нет, так как юноша забыл указать главное: направление, то есть по-научному – вектор. Далее, в процессе работы над данным проектом, я приведу ещё множество не менее интересных примеров векторов.

Вообще, я считаю, что математика – это интереснейшая наука, в познании которой нет границ. Я выбрала тему о векторах не случайно, меня очень заинтересовало то, что понятие «вектор» выходит далеко за рамки одной науки, а именно математики, и окружает нас практически везде. Таким образом, каждый человек должен знать, что такое вектор, поэтому, я думаю, что эта тема весьма актуальна. В психологии, биологии, экономике и многих других науках употребляют понятие «вектор». Подробнее об этом я расскажу позже.

Целями данного проекта являются приобретение навыков работы с векторами, умение видеть необычное в обычном, выработка внимательного отношения к окружающему миру.

История возникновения понятия вектор

Одним из фундаментальных понятий современной математики является вектор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.

Вектор относительно новое математическое понятие. Сам термин «вектор» впервые появился в 1845 году у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона (1805 – 1865) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа. Гамильтону принадлежат и термин «скаляр», «скалярное произведение», «векторное произведение». Почти одновременно с ним исследования в том же направлении, но с другой точки зрения вёл немецкий математик Герман Грассман (1809 – 1877). Англичанин Уильям Клиффорд (1845 – 1879) сумел объединить два подхода в рамках общей теории, включающий в себя и обычное векторное исчисление. А окончательный вид оно приняло в трудах американского физика и математика Джозайи Уилларда Гиббса (1839 – 1903), который в 1901 году опубликовал обширный учебник по векторному анализу.

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.

Понятие вектора возникает там, где приходится иметь дело с объектами, которые характеризуются величиной и направлением. Например, некоторые физические величины, такие, как сила, скорость, ускорение и др., характеризуются не только числовым значением, но и направлением. В связи с этим указанные физические величины удобно изображать направленными отрезками. В соответствии с требованиями новой программы по математике и физике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики.[2]

Векторы в математике

Вектором называется направленный отрезок, который имеет начало и конец.[1]

Вектор с началом в точке А и концом в точке В принято обозначать как  АВ. Векторы также могут обозначаться малыми латинскими буквами со стрелкой (иногда — чёрточкой) над ними, например .

Вектор в геометрии естественно сопоставляется переносу (параллельному переносу), что, очевидно, проясняет происхождение его названия (лат. vector, несущий). Действительно, каждый направленный отрезок однозначно определяет собой какой-то параллельный перенос плоскости или пространства: скажем, вектор АВ естественно определяет перенос, при котором точка А перейдет в точку В, также и обратно, параллельный перенос, при котором А переходит в В, определяет собой единственный направленный отрезок АВ.

Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ, её обычно обозначают АВ. Роль нуля среди векторов играет нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают; ему, в отличие от других векторов, не приписывается никакого направления.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых, либо на одной прямой. Два вектора называются сонаправленными, если они коллинеарны и направлены в одну сторону, противоположно направленными, если коллинеарны и направлены в разные стороны.

Операции над векторами

Модуль вектора

Модулем вектора АВ называется число, равное длине отрезка АВ. Обозначается, как АВ. Через координаты вычисляется, как:

=+ +

Сложение векторов

В координатном представлении вектор суммы получается суммированием соответствующих координат слагаемых:

){\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})}

Для геометрического построения вектора суммы {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}}c = используют различные правила (методы), однако они все дают одинаковый результат. Использование того или иного правила обосновывается решаемой задачей.

Правило треугольника

Правило треугольника наиболее естественно следует из понимания вектора как переноса. Ясно, что результат последовательного применения двух переносов {\displaystyle {\vec {a}}} и {\displaystyle {\vec {b}}} некоторой точки будет тем же, что применение сразу одного переноса {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}}, соответствующего этому правилу. Для сложения двух векторов{\displaystyle {\vec {a}}} и {\displaystyle {\vec {b}}} по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной:

Правило многоугольника

Начало второго вектора совмещается с концом первого, начало третьего — с концом второго и так далее, сумма же {\displaystyle n} векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом {\displaystyle n}- го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную). Так же называется правилом ломаной.

Правило параллелограмма

Для сложения двух векторов {\displaystyle {\vec {a}}} и {\displaystyle {\vec {b}}} по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Правило параллелограмма особенно удобно, когда есть потребность изобразить вектор суммы сразу же приложенным к той же точке, к которой приложены оба слагаемых — то есть изобразить все три вектора имеющими общее начало.

Вычитание векторов

Для получения разности в координатной форме надо вычесть соответствующие координаты векторов:

‚ {\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{x}-b_{x},a_{y}-b_{y},a_{z}-b_{z})}

Для получения вектора разности {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}} начала векторов соединяются и началом вектора {\displaystyle {\vec {c}}} будет конец {\displaystyle {\vec {b}}}, а концом — конец {\displaystyle {\vec {a}}}. Если записать, используя точки векторов, то AC-AB=BC{\displaystyle {\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {BC}}}.

Умножение вектора на число

Умножение вектора {\displaystyle {\vec {a}}} на число {\displaystyle \alpha 0}, даёт сонаправленный вектор с длиной в {\displaystyle \alpha } раз больше. Умножение вектора {\displaystyle {\vec {a}}} на число {\displaystyle \alpha , даёт противоположно направленный вектор с длиной в {\displaystyle \alpha } раз больше. Умножение вектора на число в координатной форме производится умножением всех координат на это число:

{\displaystyle \alpha {\vec {a}}=(\alpha a_{x},\alpha a_{y},\alpha a_{z})}

Скалярное произведение векторовСкалярное

Скалярным произведением называют число, которое получается при умножении вектора на вектор. Находится по формуле:

Скалярное произведение можно найти ещё через длину векторов и угол между ними. Применение векторов в смежных науках Векторы в физике Векторы — мощный инструмент математики и физики. На языке векторов формулируются основные законы механики и электродинамики. Чтобы понимать физику, нужно научиться работать с векторами. В физике, как и в математике, вектор – это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент, импульс, напряженность электрического и магнитного полей. Векторы в литературе Вспомним басню Ивана Андреевича Крылова о том, как «лебедь, рак да щука везти с поклажей воз взялись». Басня утверждает, что «воз и ныне там», другими словами, что равнодействующая всех сил приложенных к возу сил равна нулю. А сила, как известно, векторная величина. Векторы в химии

Нередко даже великими учеными высказывалась мысль, что химическая реакция является вектором. Вообще-то, под понятие «вектор» можно подвести любое явление. Вектором выражают действие или явление, имеющее четкую направленность в пространстве и в конкретных условиях, отражаемое его величиной. Направление вектора в пространстве определяется углами, образующимися между вектором и координатными осями, а длина (величина) вектора – координатами его начала и конца.

Однако утверждение, что химическая реакция является вектором, до сих пор было неточно. Тем не менее основой этого утверждения служит следующее правило: «Любой химической реакции отвечает симметричное уравнение прямой в пространстве с текущими координатами в виде количеств веществ (молей), масс или объемов».

Все прямые химических реакций проходят через начало координат. Любую прямую в пространстве нетрудно выразить векторами, но поскольку прямая химической реакции проходит через начало системы координат, то можно принять, что вектор прямой химической реакции находится на самой прямой и называется радиус-вектором. Начало этого вектора совпадает с началом системы координат. Таким образом, можно сделать вывод: любая химическая реакция характеризуется положением ее вектора в пространстве. Векторы в биологии

Вектором (в биологии) называется организм, переносящий паразита от одного организма-хозяина к другому. Например, вши переносят возбудителей сыпного тифа, крысы – чумы.

Вектор (в генетике) — молекула нуклеиновой кислоты, чаще всего ДНК, используемая в генетической инженерии для передачи генетического материала другой клетке.

Векторы в экономике

Одним из разделов высшей математики является линейная алгебра. Ее элементы широко применяются при решении разнообразных задач экономического характера. Среди них важное место занимает понятие вектора.

Вектор представляет собой упорядоченную последовательность чисел. Числа в векторе с учетом их расположения по номеру в последовательности называются компонентами вектора. Отметим, векторы можно рассматривать в качестве элементов любой природы, в том числе и экономической. Предположим, что некоторая текстильная фабрика должна выпустить в одну смену 30 комплектов постельного белья, 150 полотенец, 100 домашних халатов, тогда производственную программу данной фабрики можно представить в виде вектора, где всё, что должна выпустить фабрика – это трехмерный вектор.

Векторы в психологии

На сегодняшний день имеется огромное количество информационных источников для самопознания, направлений психологии и саморазвития. И не трудно заметить, что все больше обретает популярность такое необычное направление, как системно-векторная психология, в ней существует 8 векторов.

Векторы в повседневной жизни

 Я обратила внимание, что векторы, помимо точных наук, встречаются мне каждый день. Так, например, во время прогулки в парке, я заметила, что ель, оказывается, можно рассматривать как  пример вектора в пространстве: нижняя её часть – начало вектора, а верхушка дерева является концом вектора. А вывески с изображением вектора  при посещении больших магазинов помогают нам быстро найти тот или иной отдел и сэкономить время.  

Векторы в знаках дорожного движения

        Каждый день, выходя из дома, мы становимся участниками дорожного движения в роли пешехода либо в роли водителя. В наше время практически каждая семья имеет машину, что, разумеется, не может не отразиться на безопасности всех участников дорожного движения. И, чтобы избежать казусов на дороге, стоит соблюдать все правила дорожного движения. Но не стоит забывать того, что в жизни всё взаимосвязано и, даже в простейших предписывающих знаках дорожного движения, мы видим указательные стрелки движения, в математике называемые – векторами. Эти стрелки (векторы) указывают нам направления движения, стороны движения, стороны объезда, и ещё многое другое. Всю эту информацию можно прочитать на знаках дорожного движения на обочинах дорог.

Заключение

 Базовое понятие «вектор», рассмотренное нами ещё на уроках математики в школе, является основой для изучения в разделах общей химии, общей биологии, физики и других наук. Я наблюдаю необходимость векторов в жизни, которые помогают найти нужный объект, сэкономить время, они выполняют предписывающую функцию в знаках дорожного движения.

Выводы

1. Каждый человек постоянно сталкивается с векторами в повседневной жизни.

2. Векторы необходимы нам для изучения не только математики, но и других наук.

3. Каждый должен знать, что такое вектор.

Источники

1. Башмаков М.А. Что такое вектор?-2-е изд., стер.- М.: Квант, 1976.-221с. 

2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.-3-е изд., стер. — М.: Наука, 1978.-186с.

3. Гусятников П.Б. Векторная алгебра в примерах и задачах.-2-е изд., стер.- М.: Высшая школа, 1985.-302с.

4. Зайцев В.В. Элементарная математика. Повторительный курс.-3-е изд., стер.- М.: Наука,1976.-156с.

5. Коксетер Г.С. Новые встречи с геометрией.-2-е изд., стер. — М.: Наука,1978.-324с.

6. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия.- 3-е изд., стер. — М.: Квант,1968.-235с.

Физики не нашли нарушений CPT-симметрии в распадах ортопозитрония

P. Moskal et al / Nature, 2021

Физики проверили выполнение CPT-симметрии в процессах трехфотонного распада ортопозитрония с точностью, которая оказалась в три раза больше, чем в предыдущих поисках. Они искали корреляции между спином ортопозитрония и плоскостью, в которой распространяются фотоны после его аннигиляции. Обнаруженная ими величина оказалась статистически незначимой, подтверждая таким образом сохранение фундаментальной симметрии с точностью 10^-4. Исследование опубликовано в Nature.

CPT-симметрия — это фундаментальное свойство физических законов, чье нарушение еще ни разу не подтверждалось в эксперименте. Согласно ей, поведение любой физической системы, включая всю Вселенную, не должно поменяться при одновременной замене всех частиц на античастицы, инверсии четности и времени. В физике, однако, не принято утверждать, что нарушений CPT-инвариантности не существует: ученые предпочитают говорить о ее сохранении с некоторой точностью, которая определяется погрешностью эксперимента. Такой подход подразумевает постоянный поиск этих нарушений, который выражается в уменьшении погрешности и постоянном сужении диапазона параметров, в котором CPT-симметрия могла бы не работать.

Поскольку эта инвариантность касается всех типов взаимодействия, физики пробуют искать ее нарушения в различных типах материи. Они проверяют это свойство и на чистых барионах, и на барион-лептонных системах, которым относятся атомы и антиатомы, и на чистых лептонах. В последнем случае интересны электрон-позитронные взаимодействия, поскольку они описываются в рамках квантовой электродинамики, чьи теория и эксперимент достигли точности в 12 знаке после запятой. Предполагается, что исследование угловых корреляций при распаде ортопозитрония на три фотона могло бы помочь обнаружить нарушения CPT-симметрии модельно-независимым способом, но последний подобный эксперимент был проведен почти 20 лет назад, показав относительную точность 3 × 10^-3.

Физики, работающие в коллаборации J-PET, базирующейся в Ягеллонском университете, проверили нарушение CPT-симметрии при распаде ортопозитрония на три фотона с точностью, превышающей предыдущий результат в три раза. Установка J-PET представляет собой позитронно-эмиссионный томограф, состоящий цилиндрической камеры, в которой рождаются позитроны, окруженной кольцом из пластиковых сцинтилляторов. Позитронии, то есть связанные системы электронов и позитронов, образуются преимущественно на поверхности вещества, окружающего источник. Эти экзотические атомы довольно нестабильны и благодаря аннигиляции быстро распадаются с рождением нескольких гамма-квантов, которые и детектируются сцинтилляторами.

Поскольку и электрон, и позитрон обладают полуцелыми спинами, результат их сложения может быть равен нулю или единице. В первом случае говорят об образовании парапозитрония, который распадается на два фотона, во втором — ортопозитрония, распадающегося на три фотона. Второй процесс представляет интерес с точки зрения проверки CPT-инвариантности, чье нарушения можно найти, если обнаружить корреляции между спином позитрония и ориентацией плоскости, в которой разлетаются все три фотона. Если конкретнее, физики рассматривают скалярное произведение вектора спина на вектор нормали к плоскости движения фотонов в системе центра масс ортопозитрония, получаемого как нормированное векторное произведение волновых векторов двух фотонов с наибольшими энергиями. Равенство нулю этой величины, усредненной по большому количеству измерений, будет означать отсутствие корреляций и, следовательно, выполнение CPT-симметрии.

Для проведения эксперимента авторы помещали в центр камеры атомы радиоактивного изотопа натрия-22. Натрий-22 испытывает бета-распад с образованием атома неона-22, позитрона и электронного нейтрино. Позитроны улавливались стенкой камеры, покрытой мезопористым кремнием, и образовывали позитронии. В силу того, что поляризация позитронов связана с углом, под которым они вылетают из источника, физики могли получить информацию о спине ортопозитрония, восстанавливая информацию о его местоположении в камере по продуктам его распада.

(a) Фотография детектора J-PET. (b) Схематическое изображение поперечного сечения детектора J-PET.

P. Moskal et al / Nature, 2021

Физики фиксировали разлетающиеся в разные стороны высокоэнергетические фотоны по сигналу с пластиковых сцинтилляторов, расположенных так, чтобы точность определения направления составляла один градус. Помимо непосредственно трехфотонного распада ортопозитрония вклад в сигнал давало множество процессов, например, релаксация возбужденного ядра неона с последующим излучением фотона. Чтобы отсеять нерелевантные сигналы, ученые использовали фильтрационную функцию от формы сигналов, которая определяла характерные сигнатуры от трех фотонов.

Сцинтилляторы не давали информации об энергии фотонов, однако высокого углового и временного разрешения было достаточно для восстановления информации о положении их источника для фильтрованных сигналов. Зная направление разлета фотонов, физики восстанавливали их волновые вектора, а зная положение ортопозитрония — его спин. В совокупности этой информации было достаточно для проверки корреляций.

Авторы провели 26-дневное непрерывное измерение в августе 2018 года, в результате которого собрали информацию о более чем 7 миллионах событий. Физики отфильтровали те из них, для которых реконструкция обладала слишком большой геометрической неопределенностью, а также ложные трехфотонные события. В результате они выяснили, что большинство распадов отропозитрония происходит на поверхности стенки камеры, как изначально и предполагалось. Наконец, среднее значение корреляционного параметра с учетом всех неопределенностей, вызываемых экспериментальной установкой, оказалось равно 0,00067 ± 0,00095. Другими словами, обнаруженное нарушение симметрии оказалось меньше стандартного отклонения, равного 10^-4, а потому статистически не значимо.

Реконструированное распределение событий по координатам. Максимум плотности наблюдается в пределах кольца радиусом 12 сантиметров, что соответствует радиусу стенок камеры.

P. Moskal et al / Nature, 2021

Авторы упомянули, что на момент выхода статьи они усовершенствуют свою установку, добавляя к ней дополнительный слой плотноупакованных сцинтилляторов. Вместе с усовершенствованием аннигиляционной камеры и увеличением длительности измерения это должно будет, по их оценкам, увеличить чувствительность измерения в 64 раза.

Аннигиляцию электрона и позитрона в пару фотонов пронаблюдать относительно просто, а вот обратный процесс: рождения электрон-позитронной пары из двух гамма-квантов — долгое время оставался чисто теоретическим. Недавно физики увидели этот процесс в периферических столкновениях релятивистских ядер золота, а также создали лазер, который в будущем позволит наблюдать рождение пар частица-античастица прямо из вакуума.

Марат Хамадеев

Добавление векторов — Nexus Wiki

Мы описали математическую структуру, которая позволяет нам кодировать как направление, так и величину количества — векторов. Один из способов представить это — стрелку в системе координат, начинающуюся от начала координат и уходящую в определенном направлении на определенное расстояние. Основная физическая система, которую мы отображаем в этой математической системе, — это смещение объекта в пространстве.

Ментальная модель для сложения векторов

Эта физическая модель дает нам быстрый и простой способ подумать о том, как сложить два вектора.Вы начинаете с начала координат и проходите по первому вектору от хвоста к голове. (Вы подвергаетесь первому смещению.) Затем, оттуда, где вы находитесь, вы перемещаете вторую стрелу от хвоста к голове. (Вы подвергаетесь второму смещению.) Результатом является стрелка, проведенная от хвоста первой стрелки непосредственно к головке второй. (Ваше общее перемещение.)

Этот смысл сложения векторов напрямую дает нам графический способ сложения векторов. Например, если бы мы рассматривали смещение в 2D-пространстве, описанном «графиком для глаза», который представляет собой плоскость xy, и у нас было бы два смещения, обозначенные $ \ overrightarrow {r_1} $ (показано красным) и $ \ overrightarrow { r_2} $ (показано синим), тогда сумма этих двух смещений, $ \ overrightarrow {r} $ (показана черным), — это то, что вы получите, выполняя одно смещение за другим, как показано на рисунке:

$ \ overrightarrow {r} = $ $ \ overrightarrow {r_1} $ + $ \ overrightarrow {r_2} $

Это предоставляет графический метод сложения двух векторов.

Алгебраический способ сложения векторов

В нашем обсуждении векторов мы также показали, как мы можем представить их алгебраически с помощью единичных векторов направления $ \ hat {i} $ и $ \ hat {j} $. Общий 2D-вектор может быть представлен суммой смещений в двух перпендикулярных направлениях: $ x $ и $ y $. Произвольный вектор (часто обозначаемый в математическом классе как $ (x, y) $), который имеет смещение суммы $ x $ в направлении $ x $ и суммы $ y $ в направлении $ y $, может быть записан как

$$ \ overrightarrow {r} = x \ hat {i} + y \ hat {j} $$

Значения $ x $ и $ y $ называются компонентами $ \ overrightarrow {r} $.

Если у нас есть два таких вектора и мы хотим их сложить, мы можем сделать это, используя простую алгебру: перегруппировку и перегруппировку.

$$ \ overrightarrow {r_1} = x_1 \ hat {i} + y_1 \ hat {j} $$

$$ \ overrightarrow {r_2} = x_2 \ hat {i} + y_2 \ hat {j} $$

$$ \ overrightarrow {r} = \ overrightarrow {r_1} + \ overrightarrow {r_2} $$

Замена $ r_1 $ и $ r_2 $ их составными формами:

$$ \ overrightarrow {r} = (x_1 \ hat {i} + y_1 \ hat {j}) + (x_2 \ hat {i} + y_2 \ hat {j}) $$

, а затем перегруппировка

$$ \ overrightarrow {r} = (x_1 \ + x_2) \ hat {i} + (y_1 + y_2) \ hat {j} $$

Если мы затем определим сумму, r , как имеющую компоненты $ x и $ y $, мы сможем определить, что они собой представляют:

$$ \ overrightarrow {r} = \ overrightarrow {r_1} + \ overrightarrow {r_2} = x \ hat {i} + y \ hat {j} $$

$$ x = x_1 + x_2 $$

$$ y = y_1 + y_2 $$

Таким образом, это дает удовлетворительный результат: чтобы добавить два вектора, мы просто добавляем компоненты $ x $ и называем его новым компонентом $ x $, добавляем компоненты $ y $ и называем его новым компонентом $ y $.

Математический способ сложения векторов

Третий способ добавления векторов естественен и уместен, когда вы рассматриваете свойства набора векторов как векторное пространство — математическую структуру, которая дает представление о математических свойствах векторов. В этом случае все векторы перемещаются так, чтобы они начинались в начале координат. Затем, чтобы построить сумму двух векторов, вы строите воображаемый параллелограмм, используя два заданных вектора как две стороны.Сумма равна диагонали параллелограмма (начиная с начала координат). Вы можете увидеть, как это делается, на рисунке ниже.

Вы можете увидеть их взаимосвязь в различных формах методов сложения векторов, с которыми вы можете столкнуться. Тщательное рисование этих диаграмм может существенно помочь понять, что делать, и дать правильный ответ.

Вычитание векторов

Вычитание векторов не сложнее сложения векторов, поскольку векторная математика следует стандартным правилам алгебры.Вычитание вектора аналогично добавлению отрицательного значения вектора. Это похоже на стандартную алгебру, где -2 = + (- 2). Например

$$ \ overrightarrow {a} = a_x \ hat {i} + a_y \ hat {j} $$

$$ \ overrightarrow {b} = b_x \ hat {i} + b_y \ hat {j} $$

$$ \ overrightarrow {a} — \ overrightarrow {b} = \ overrightarrow {a} + (- \ overrightarrow {b}) = a_1 \ hat {i} + a_1 \ hat {j} + \ big (-b_x \ шляпа {i} — b_y \ hat {j} \ big) $$

$$ \ overrightarrow {a} — \ overrightarrow {b} = \ big (a_x — b_x \ big) \ hat {i} + \ big (a_y — b_y \ big) \ hat {j} $$

В наших геометрических диаграммах вычитание аналогично сложению перевернутого вектора.

См. Примеры в разделе «Дополнения», чтобы увидеть, как сложение и вычитание векторов работают в конкретных случаях.

Тренировка: добавление нескольких векторов

Джо Редиш 04.10.13

lecdem.physics.umd.edu — Обзор демонстрации: Добавление вектора

Вектор — это математическая конструкция, которая имеет две характеристики: величину и направление. Многие общие величины в физике, такие как скорость и сила, являются векторами. Сложить два вектора не так просто, как просто сложить величины; поскольку вектор указывает в определенном направлении, вам необходимо сложить вместе компоненты векторов в любом заданном направлении, чтобы узнать общую величину и окончательное направление конечного вектора.Например, если вы скажете кому-то пройти три метра на восток, а затем на четыре метра на север, на самом деле он не находится в семи метрах от того места, где они начали!

В физике нам часто нужно добавлять векторные величины, и мы разработали несколько демонстраций, чтобы помочь смоделировать это.

Демонстрации A2-22: Магнитные векторы и A2-24: Векторная алгебра — это популярный способ создания видимых векторных моделей, которыми можно управлять в классе. Магнитные векторы различной длины могут быть прикреплены к классным доскам лекционного зала, а спроецированная сетка может служить как для измерения длины, так и для определения осей.Если мы повернем сетку, мы увидим, что сами векторы и их сумма остаются неизменными, даже если мы измеряем их по разным осям.

Демонстрация C2-41 представляет физический пример сложения векторов вместе. Два молота установлены над шаром на 90 градусов друг от друга. Если мы уроним один молот, он ударяет по мячу и отправляет его в одном направлении. Если мы уроним второй молот, он попадает в них по мячу и отправляет мяч в направлении, которое отклоняется на 90 градусов от первого. Если оба молота ударяют по мячу одновременно и с одинаковой силой, мяч уносится быстрее и под углом 45 градусов между ними.Один вектор силы вызывает ускорение в том же направлении, что и сила; сложение двух векторов силы дает ускорение в направлении суммы двух сил.

Вы можете попробовать это дома, если у вас есть несколько мячей и молотков и много терпения. Но если вы этого не сделаете или ваша семья расстроится, когда вы что-то сломаете, вы можете вместо этого попробовать сложение векторов с помощью симулятора.

Этот симулятор (ссылка здесь), , разработанный Dr.Эндрю Даффи из физического факультета Бостонского университета позволяет складывать векторы вместе дома без риска разбить окна. Симулятор настроен для сложения векторов направления вместе, но, как мы видели на примере векторов модели в классе, сложение одинаково, независимо от того, какие единицы измерения.

Два ползунка позволяют регулировать длину или величин каждого вектора. Еще два позволяют регулировать угол, который каждый вектор образует с горизонтальной осью. Если вы хотите сложить два вектора под прямым углом, как в нашей демонстрации с молотками, установите один на 0 градусов, а другой на 90 градусов, а затем установите две величины равными.Вы должны увидеть новый вектор суммы, который соединяет их. На этом графике векторы складываются кончик к хвосту, а не все, начиная с одной и той же точки, как это делает скорость мяча. Но, как мы видели на фотографиях демонстраций выше, добавление одинаково, независимо от того, как мы их перемещаем! Смена осей не меняет принцип работы лежащей в основе математики.

Теперь попробуйте поэкспериментировать — измените величину одного вектора и посмотрите, как это изменение повлияет на сумму. Попробуйте изменить угол.Посмотрите, сможете ли вы сделать это в обратном порядке — обратите внимание, какова сумма двух векторов, измените один из векторов на эту величину, затем измените угол, чтобы увидеть, какой угол вам нужен, чтобы получить величину исходного вектора.

Сложение векторов — OGHS AP Physics 1

Глава 3

---

Разделы с 3–1 по 3–4

Целей:

• Определите термины вектор и скаляр.
• Приведите по крайней мере по три примера скаляров и векторов.
• Используйте графические методы для добавления двух или более векторов.
• Используйте графические методы для вычитания двух или более векторов.
• Умножьте вектор на скалярную величину.
• Используйте тригонометрию, чтобы разбить вектор, лежащий на плоскости, на два перпендикулярных компонента.
• Объедините компоненты двух или более векторов, чтобы найти результат при сложении, вычитании или комбинации операций.
• Точно опишите компонентный вектор — величину и направление — объединения компонентов двух или более векторов при сложении, вычитании или комбинации операций.

Необходимые мероприятия

Чтение

Глава 3 разделы 1–4

Банкноты

Посмотрите следующую презентацию перед следующим занятием и распечатайте копию для своей записной книжки. Попробуйте предугадать, какие будут слова!

Примечания к разделам с 3–1 по 3–4

Примечания к разделам с 3–1 по 3–4

Видео

Посмотрите следующие видео перед следующим занятием.

Введение в сложение векторов от кончика к хвосту, векторов и скаляров

Сложение векторов, урок 1 из 2: Метод сложения «голова к хвосту»

Вводная задача сложения вектора кончик к хвосту

Введение в векторные компоненты

Добавление векторов, урок 2 из 2: Как добавлять векторы по компонентам

Вводная задача сложения векторов с использованием компонентных векторов

Вопросы и проблемы

Это вопросы и задачи, над которыми вы будете работать в классе.Вы можете загрузить этот PDF-файл или весь раздел в формате PDF на свой смартфон для использования в классе.

От 3–1 до 3–4 Задач

Дополнительные виды деятельности

Чтение

Векторы и направление (кабинет физики)

Сложение векторов (кабинет физики)

Результатов (кабинет физики)

Векторные компоненты (кабинет физики)

Векторное разрешение (класс физики)

Добавление компонентов (кабинет физики)

Видео

Скалярные и векторные

Механическая Вселенная — Векторы

Как использовать кардинальные направления с векторами

Использование таблицы данных для упрощения задач сложения векторов

Визуально сложная задача сложения векторов с использованием компонентных векторов

Физическая лаборатория 2 Добавление векторов — PHY 116 — CSI

Предварительный текст

Phy 116 (D001) Лабораторная работа № 2: Добавление векторов. CUNY Колледж Статен-Айленда

Цель лаборатории:

Основной целью этого эксперимента было доказать, что величина и направление равнодействующую нескольких сил, действующих на величину, можно определить, нарисовав вектор диаграмма.Когда результирующая сила принимается равной 0, частица находится в равновесии.

Введение:

Вектор определяется как физическая величина, величина и направление которой равны представлен стрелкой, имеющей то же направление количества и длины, что и пропорционально направлению. Для величины, имеющей величину и направление, которая считается вектор должен соответствовать определенным правилам. A + B = C, в этом случае A, B и C считаются векторов, векторная сумма должна быть визуализирована, когда вы помещаете вектор B поверх вектор A, а также вектор C.Это завершит треугольник и известен как вектор правило сложения. Сложение векторов — это процесс добавления двух или более векторов в вектор. сумма. Кроме того, вектор, что результирующая сила, испытываемая частицей, определяется величиной вычисление векторной суммы всех индивидуальных сил, действующих на этот объект. То есть сеть

сила является результатом сложения всех векторов силы. Есть множество способов выполнить сложение векторов методом параллелограмма, с помощью линейки, строящей фигуру, а также аналитически путем вычисления алгебраической суммы компонентов x и y и определения величина и направление с использованием теоремы Пифагора.

Процедура:

Был установлен силовой стол, на котором были размечены углы и шкив, установленный на около 20 градусов, и над ним подвешивалась гиря массой 100 граммов. Четыре разных объекта снова использовались алюминий, медный цилиндр и полевой шпат. Затем последовала установка еще одного шкив на 120 градусов подвешен на 200 грамм. Результирующая сила рассчитывалась, задавая до равновесия на столе. Он был установлен там, где величина была равна сумме двух силы, но в противоположном направлении.Кольцо было немного сдвинуто перед снятием штифта. от центра, чтобы получить точный угол и величину. Для второй части то же вещь была повторена, но градусы были изменены на шкив 20, 120 и 220 градусов и суспензия 100г, 150г и 200г. После позиционирования вектора равновесие было установлено в стол такой же, как и изначально.

Обсуждение:

Из приведенных выше теоретических и экспериментальных значений видно, что в первой части значения были аналогичными.В экспериментальном значении величина результирующего вектор был 65g при направлении 285 градусов. Теоретические значения с использованием

Сложение векторов — ключ физики

Сложение векторов не похоже на сложение скаляров. Для скаляров вы просто складываете или вычитаете числа, но векторная величина также связана с направлением, поэтому их сложение или вычитание отличается от обычного сложения или вычитания чисел.

Вы можете легко понять сложение или вычитание векторов по их графическому представлению, которое описано ниже. Помимо векторов, вам всегда нужно учитывать как величину, так и направление векторов.

Рассмотрим два вектора $ \ vec {A} $ и $ \ vec {B} $ на рисунке 1, которые мы складываем вместе, чтобы получить результирующий вектор. Обратите внимание, что вектор $ \ vec {B} $, показанный пунктирной линией на рисунке 2, чей хвост находится во главе $ \ vec {A} $, равен исходному $ \ vec {B} $, а теперь сумме $ \ vec {A} $ и $ \ vec {B} $ — это результирующий вектор, хвост которого находится в начальной точке, то есть в хвосте $ \ vec {A} $, а голова находится в конечной точке, то есть в глава $ \ vec {B} $.

Рисунок 1 $ \ vec {A} $ и $ \ vec {B} $ готовы к сложению. Рисунок 2 $ \ vec {B} $, показанный пунктирной линией, равен исходному вектору. Обратите внимание, что для того, чтобы векторы были равными, и величина, и направление должны быть одинаковыми.

На рисунке 3 вы можете видеть, что сумма $ \ vec {A} $ и $ \ vec {B} $ является результирующим вектором прямо от хвоста $ \ vec {A} $ к голове $ \ vec { B} $. Другими словами, когда вы двигаетесь по направлению $ \ vec {A} $ через величину $ A $, а затем по направлению $ \ vec {B} $ через величину $ B $, ваша результирующая величина и направление вашего движение будет таким, как показано результирующим вектором $ \ vec {R} = \ vec {A} + \ vec {B} $.

Теперь вычитание векторов аналогично сложению векторов. Если вычесть $ \ vec {A} $ и $ \ vec {B} $, например $ \ vec {A} — \ vec {B} $, это то же самое, что $ \ vec {R} = \ vec {A } + (- \ vec {B}) $. Теперь вы знаете, что отрицательный элемент вектора имеет ту же величину, но имеет противоположное направление. Итак, $ — \ vec {B} $ имеет ту же величину, что и $ \ vec {B} $, но имеет противоположное направление, и результирующий вектор будет таким, как показано на рисунке 4.

Рис. 3. Результирующий вектор $ \ vec {R} $ — это итоговый конечный вектор, хвост которого находится в хвосте $ \ vec {A} $, а голова — во главе $ \ vec {B} $.Рис. 4 Отрицательный вектор — это вектор с той же величиной, но в противоположном направлении, поэтому вычитание векторов — это то же самое, что сложение с отрицательным вектором.

Компоненты вектора

Вектор можно разделить на его компоненты. Мы находим компоненты x и y вектора $ \ vec {A} $ на рисунке 5. Компонент x вектора — это компонента вдоль оси x и компонента y вдоль оси y.

Рис. 5 $ \ vec {A} $ преобразуется в свои компоненты вдоль положительной оси x и положительной оси y.

Обратите внимание на рис. 5, что $ \ vec {A} $ образует угол $ \ phi $ с осью x. Теперь мы можем легко найти значение $ {{A} _ {x}} $ и $ {{A} _ {y}} $ равным $ {{A} _ {x}} = A \ cos \ phi $ и $ {{A} _ {y}} = A \ sin \ phi $. Таким образом, x и y-компоненты $ \ vec {A} $ могут быть записаны в векторной форме как,

\ [{{\ vec {A}} _ {x}} = (A \ cos \ phi) \ hat {i} \]

\ [{{\ vec {A}} _ {y}} = (A \ sin \ phi) \ hat {j} \]

Обратите внимание, что единичные векторы $ \ hat {i} $ и $ \ hat {j} $ задают направление вдоль положительной оси x и положительной оси y соответственно.{2}} \ tag {1} \ label {1} ​​\]

\ [\ phi = \ arctan \ left (\ frac {{A} _ {y}}} {{{A} _ {x}}} \ right) \ tag {2} \ label {2} \]

Здесь угол $ \ phi $ дает направление для $ \ vec {A} $, и вы, очевидно, знаете, что $ \ tan \ phi = \ frac {{{A} _ {y}}} {{{A} _ {x }}} $.

Сложение векторов с использованием компонентов

Сложение векторов с помощью компонентов — самый простой способ сложения векторов. На рисунке 6 представлены два вектора. Хвост $ \ vec {B} $ находится во главе $ \ vec {A} $.Сначала мы находим x- и y-компоненты $ \ vec {A} $ и $ \ vec {B} $, затем складываем все x-компоненты, чтобы найти общую x-компоненту результирующего вектора и все y-компоненты к найти полную y-компоненту результирующего вектора.

Рис. 6. Векторы можно добавить, добавив их x-компоненты, чтобы получить x-компонент результирующего вектора, и y-компоненты, чтобы получить y-компонент результирующего вектора.

Теперь общие x и y-компоненты результирующего вектора $ \ vec {R} $ равны $ {{R} _ {x}} = {{A} _ {x}} + {{B} _ {x} } $ и $ {{R} _ {y}} = {{A} _ {y}} + {{B} _ {y}} $.{2}} \]

\ [\ phi = \ arctan \ frac {{{R} _ {y}}} {{{R} _ {x}}} \]

Теперь $ \ vec {R} $ — это $ \ vec {R} = {{R} _ {x}} \ hat {i} + {{R} _ {y}} \ hat {j} $. Очевидно, что единичные векторы упрощают представление вектора, а также его компонентов.

Сложение векторов параллелограмма

При сложении векторов в виде параллелограмма мы располагаем векторы в форме параллелограмма, уравнивая противоположные векторы. На рисунке 7. векторы $ \ vec {A} $ и $ \ vec {B} $, показанные пунктирной линией, равны исходным векторам (эти векторы действуют как противоположные стороны параллелограмма) и помогают сформировать параллелограмм. .Вы, очевидно, знаете, что результирующий вектор $ \ vec {R} $ представляет собой сумму $ \ vec {A} $ и $ \ vec {B} $, и здесь мы находим величину и направление результирующего вектора.

Рисунок 7 Параллелограмм сложения векторов.

На рис. 7. создайте строку $ \ text {OM} $ до $ \ text {N} $ и нарисуйте $ \ text {PN} \ bot \ text {ON} $. Пусть угол $ \ angle \ text {PMN =} \ alpha $ и угол, образованный результирующим вектором $ \ vec {R} $ с $ \ vec {A} $, равны $ \ theta $. Теперь $ \ sin \ alpha = \ text {PN} / B $, который дает $ \ text {PN} = B \ sin \ alpha $ и $ \ cos \ alpha = \ text {MN} / B $, который дает $ \ text {MN =} B \ cos \ alpha $, поэтому $ \ text {ON} = \ text {OM} + \ text {MN} = A + B \ cos \ alpha $.{\ circ}} $, который мы должны получить.

Была ли эта статья полезной?

да Нет

С-1 ВЕКТОРНОЕ ДОБАВЛЕНИЕ СИЛ

1. НАЗНАЧЕНИЕ:

(1) Изучите статическое равновесие под действием нескольких одновременных сил.

(2) Проверить, суммируются ли силы, действующие на покоящееся тело, с нулем.

(3) Изучите, как распространяются ошибки в векторах.

2.АППАРАТ:

Силовой стол, три грузовых подвеса, метрический вес набор, бумага для рисования 17 x 11 или 17 x 22 дюймов.

3. СПРАВОЧНАЯ ИНФОРМАЦИЯ:

Прочтите главы о векторах и компонентах векторов в любом учебнике физики.

4. ПРИМЕЧАНИЕ К АППАРАТАМ:

Вы можете избежать ненужного умножения на 9,8 м / с ² или 980 см / с ² , выразив все веса в граммах.Этот «удобный блок» иногда называют «грамм-гирь».

5. ТЕОРИЯ:

Силы . Многие измеримые величины в физике подчиняются законам вектора алгебра, и force является одним из примеров. Векторная сумма сил, действующих на тело, равна важно, потому что он определяет, будет ли двигаться тело и как оно будет двигаться.

В этом эксперименте вы изучите частный случай покоящегося тела под действием всего трех сил.

Статическое равновесие описывает состояние, в котором тело находится в состоянии покоя с уважение к системе отсчета. Когда тело находится в статическом равновесии:

(1) Векторный многоугольник всех сил, действующих на тело в статическом равновесии, замкнут. Сумма векторов, представляющих силы, равна нулю.

(2) Сумма составляющих силы вдоль любой оси равна нулю.

6. ОБЩИЕ ИНСТРУКЦИИ:

Прочтите этот раздел перед тем, как приступить к разделу 7 «Процедура».

Рис. 1. Таблица сил.

Устройство таблицы сил демонстрирует сложение сил, действующих на тело, в двух измерениях. В этом эксперименте силовая таблица представляет собой диск с шкивы прикреплены по его краям. Струны прикрепляются к кольцу в центре, проходят через шкивы на весовые подвески.

Позаботьтесь отрегулировать шкивы так, чтобы струны проходили прямо над ними, обеспечивая минимальное трение.Используйте достаточный вес на вешалках, чтобы струны были почти параллельны столу и не сильно провисают. Почему это важно?

Важно: Сила, прилагаемая веревкой к кольцу, складывается из веса подвески и веса подвески . Масса вешалки обычно указывается на вешалке, но рекомендуется проверить это, взвесив их самостоятельно.

Когда вы достигаете равновесия тела, направления сил лежат вдоль направление струн.В каждой ситуации отрегулируйте веса и углы так, чтобы кольцо находилось по центру стола и не касалось центральной стойки. Запишите вес на каждой подвеске и прочтите направление ее веревки на шкале стола.

Ошибки в векторах . Одним из источников ошибок в этом эксперименте является начальный трение в шкивах. Размер этой ошибки оценивается путем определения того, насколько Вес на подвесе можно изменять, не нарушая равновесия.Сделай это, и найти полный диапазон неопределенности в каждой силе. «Лучшее» значение этой силы составляет центр этого диапазона. Запишите неопределенность силы и ее неопределенность в процентах. Таким же образом исследуйте и запишите ошибку в углу .

7. ПОЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ:

Каждая отдельная ситуация может быть записана на отдельном листе бумаги для рисования. Затем анализ каждой ситуации выполняется непосредственно на этом рабочем листе.

На вешалках используйте грузы от 200 до 500 грамм. Избегайте ситуаций, когда все вешалки такой же вес. Попробуйте для представительного, общего случая. Избегайте особых ситуаций например 30 °, 45 °, или 90 ° между силами.

(1) ТРИ СИЛЫ. Установите равновесную ситуацию с тремя силы, действующие на кольцо. Перенести силы на бумагу.

8. АНАЛИЗ:

Рис.2. Перемещаем линию, параллельную самой себе, с помощью линейки и треугольника.

(1) ПОЛИГОННЫЙ МЕТОД. При добавлении векторов методом многоугольника вы должны «перемещать» векторы параллельно самим себе. Это легко сделать с помощью линейки и треугольника в виде показано на рис. 2. Положите край треугольника вдоль вектора, затем линейку вдоль другого. край треугольника. Крепко держите линейку на бумаге и перемещайте треугольник по линейке, пока его край не упадет в то место, где вы хотите переместить вектор.Проведите линию действия этого вектора по краю треугольника.

На рис. 3. показано сложение трех векторов методом многоугольника. Векторы могут быть собраны в многоугольник в любом порядке, поскольку сложение векторов коммутативно. На случай, если статическое равновесие, которое вы исследуете, векторы, скорее всего, будут складываться почти до нуля, так что любой результирующий A + B + C будет очень маленьким относительно векторов добавляется.

Рис. 3. Метод многоугольника для сложения сил.

На чистой области рабочего листа перенесите силы на векторный многоугольник и проверьте закрывается ли многоугольник. Вероятно, он не закроется идеально. Почему нет? Какой размер и направление дополнительного вектора «ошибки», необходимого для закрытия многоугольника? Соответствует ли его размер с ошибкой, вызванной ошибкой в ​​каждой из отдельных сил? Этот последний вопрос потребует значительный анализ и рассмотрение того, как выполнить расчет распространения ошибки для векторов .Выполните этот анализ для обеих экспериментальных ситуаций.

(2) АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД. Для каждой ситуации выберите произвольные оси X и Y, и разложим векторы на компоненты вдоль этих осей. Нет необходимости перемещать исходные векторы на листе. Просто опустите вспомогательные линии (пунктирные линии на рис. 5) с их головы и хвосты перпендикулярны выбранной оси. Измерьте размеры компонентов и запишите их в табличной форме.Численно добавьте компоненты X и Y отдельно к получить компоненты X и Y результирующего. Результат равен нулю? Если нет, то его размер соответствует результату, найденному на этапе анализа (2)? Оцените, сколько дополнительной ошибки вводится в чертеж этапами построения и измерения.

Рис. 4. Компоненты векторов аналитическим методом.

Пример: См. Рис.6. Найдите компоненты вектора В . Его голова находится в координатах (16.2,4.7), а хвост — в (6.5,9.8). Его х компонент, следовательно, равен 16,2 — 6,5 = 9,7, а его компонент y равен 4,7 — 9,8 = -5,1. Уведомление как компонент y оказался отрицательным. Вектор направлен вниз (отрицательно) с относительно оси y, но «вперед» (положительно) относительно оси x.

Упражнение 1. См. Рис. 6. (a) Найдите компоненты вектора А. (b) Найдите компоненты A + B . (c) Найдите компоненты вектора C . (d) Найдите компоненты A + B + C .

Хорошая «бухгалтерия» важна при решении этих проблем. Например, следующие В таблице отслеживаются номера упражнения 1. Мы заполнили только часть: вы можете заполнить В остальном.

Рис. 5. Хорошая бухгалтерия.

Размер (величина) вектора всегда положительный и может быть найден с помощью Теорема Пифагора, если компоненты известны.Угол вектора удобно указана относительно положительной оси x, измеренной против часовой стрелки. Если компоненты известны, угол арктангенс (V _y / V _x ).

Обратите внимание, что ваш электронный калькулятор всегда возвращает угол менее 90 °, который необходимо преобразовать, чтобы правильно указать квадрант, в котором лежит угол. Очевидно, что калькулятор не может больше для вас из-за неоднозначности знака: V _y / V _x имеет одинаковый знак (положительный) в первом и третьем квадрантах, а во втором и четвертом квадрантах знак отрицательный.

9. ВОПРОСЫ:

(1) Если бы вес грузовых подвесов был одинаковым, их вес мог бы не учитывались в расчетах? Объяснять.

(2) Одна из разновидностей аппаратов для этого эксперимента имеет специальный круглый стол со степенью маркировка по краю. К струнам, прикрепленным к небольшому круглому металлу, прилагаются три силы. кольцо вокруг центральной стойки. Центральная стойка удерживает кольцо в центре во время работы системы. сбалансированный.Когда баланс достигнут, кольцо центрируется на стойке, но не касается Почта. После этого сообщение можно удалить. Было ли кольцо в равновесии в то время, когда веса были сбалансированы, в то время как кольцо все еще касалось стойки?

(3) Можно ли расположить три силы по 50, 75 и 150 грамм под такими углами, что они будут произвести равновесие? Объясните свой ответ и попытайтесь сделать общее заявление по этому поводу. ситуация.

(4) Где на Земле можно проехать 10 миль на север, затем на 10 миль на запад, затем на 10 миль юг и оказаться в начальной точке? Почему это не подчиняется законам вектора добавление.

(5) Один ответ на вопрос (6) найти несложно, но есть и другие ответы. По факту, есть неограниченное количество других отправных точек на поверхности земли, из которых это можно сделать, и все они имеют особые отношения друг к другу. Сделайте генерала заявление с описанием расположения этих точек.

(6) [Cioffari] Декартовы компоненты x и y определенной силы были измерены и оказались равными 68 ± 3 и 42 ± 2 Н соответственно.Вычислите направление и величину этой силы, выразив свой результат с помощью надлежащего числа значащих цифр и указав ошибку как по величине, так и по углу. Обратите внимание, что ошибка в последнем получается из ошибки в его касательная. Разработайте для этого процедуру и покажите свою работу.

Текст, рисунки и копия: 1997, 2004 Дональд Э.