Site Loader

Содержание

Умножение вектора на число — презентация онлайн

1. УРОК №9

УМНОЖЕНИЕ
ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

2. ЗАДАЧА№1

Найдите:
B
a ) AB BC
C
б ) CB CD
в ) AC DA
г ) DC BD AB
д) AB AD
е) AC DC
D
A

3. ЗАДАЧА№2

Докажите:
B
C
а) AB AD CB CD
б ) AD BD AC BC
D
A

4. ЗАДАЧА№3

ABCD-прямоугольник
AB=5; AD=12.
Докажите:
C
B
a) AB BC 2 AO
O
б ) BA DA OD OB
Найдите:
AO DO CD
A
D
Умножение вектора на число.
Произведением ненулевого вектора
a
на число
k
b, длина которого равна k a ,
причем векторы a и b сонаправлены при k>0 и
притивоположно направлены при k
называется такой вектор
a
3a
1
12
a
— 2a
Умножение вектора на число.
b
2b
a
2b b
2b = 2 b
1
a
2
1
a
2
1
a
2
a
=
1
2
a
Умножение вектора на число.
Для любого числа

a
ka
любого вектора
векторы
a
и
коллинеарны.
1
2
— a
a
1
12
a
— 2a
Произведение нулевого вектора на любое число
считается нулевой вектор.
k o=o
Произведение любого вектора на число нуль есть
нулевой вектор.
o a=o
Назовите вектор, который получится в результате
умножения.
A
B
C
D
N
M
R
E
S
F
Q
I
H
V
O
J
T
P
K
Y
X
L
U
G
Z
JO 3
1
ML
3
4 AB
4 ЕУ
3
NZ
4
х JO
СК = -4
JO = – х1
4 CK
XD =– х3
4 CK
A
B
C
D
N
0 XD
NN = х
M
R
E
S
F
ХТ = х XD
Q
V
T
Y
U
х не существует
х XT
XT = 1
I
O
P
X
G
х XT
TX = -1
H
J
K
L
Z
О – точка пересечения медиан треугольника.
3 ОК
ВК = х
B
КO =– х1
3 ВK
2 КО
ОВ = х
T
O
A
K
C
T
A
B
7
3
C
TВ = 7
AC = 3
х TВ
AC = 3
7
х AC
TB = 7
3
10
D
O
DO = 10
2,5
K
F
KF = 2,5
KF = – х1 DO
4
х KF
DO = –4
Длина вектора TB на 25% больше длины вектора АС
T
B
х АС
ТВ = 1,25
A
C
Длина вектора SD на 25% меньше длины вектора LK
L
K
х LK
SD =-0,75
D
S
ABCD – трапеция.
В
С
8
х DA
BC = –0,8
х BC
DA = – 10
8
А
10
D
ABCD – параллелограмм. CS : SB = 5 : 3
В
А
С
S
D
3
BS = – х
8
DA
8
DA = – х
3
BS
Умножение вектора на число обладает следующими
основными свойствами.
Для любых
равенства:
a, b
и любых чисел
1
(kl)a = k (l a)
2
(k+l)a = ka + la
k, l
справедливы
Сочетательный закон
Первый распределительный закон
3
k (a + b) = ka + kb
Второй распределительный закон
Рисунок иллюстрирует сочетательный закон.
Представлен случай, когда
k = 2, l = 3.
1
Сочетательный закон
(kl)a = k (l a)
a
a
a
A
O
OВ = 2OA = 2(3
a a
B
a)
a a a a
B
O
OВ = 6
a = (2 3) a
Рисунок иллюстрирует первый распределительный
закон. Представлен случай, когда
2
(k+l)a = ka + la
Первый
распределительный закон
B
la
a
ka
k = 3, l = 2.
A
OA =
ka;
AB =
la
O
OB =
(k+l)a = ka + la
3
k (a + b) = ka + kb
Второй
распределительный
закон
Рисунок иллюстрирует второй распределительный закон.
ОА1В1, коэффициент подобия
На рисунке ОАВ
k
A
OA =
ka
AB =
kb
OB =
k(a+b)
OB = OA + AB =
ka+kb
A1
a
O
b
a+b
B1
С другой стороны,
Таким образом,
B
k(a+b) = ka+kb
№ 781
Пусть х = m + n, y = m – n
Выразите через m и n
векторы
2х – 2у 2(m n ) 2(m n ) 2m 2n 2m 2n 4n
1
1
1
2(m n ) (m n ) 2m 2n m n
2
2
2
1
1
2 m 1 n
2
2
1
1
1
–х – 1 у (m n ) (m n ) m n m n
3
3
3
3
1
2
1 m n
3
3
2х + 1 у
2
ЗАДАЧА №4
Построить вектор
3
1
3
3
1
ВС АВ АС ( ВС АС ) АВ
7
14
7
7
14
В
С
3
1
( ВС СА) АВ
7
14
3
1
7
ВА ВА
ВА
7
14
14
А
1
ВА
2
ЗАДАЧА №5
Построить вектор
5
1
5 1
5
1
( АВ ВС АС ) ( АС АС ) АС
2
2
2 2
2
2
В
5
АС
С
4
А
ЗАДАЧА№6
Построить вектор.
В
2
1
2
1
СD DA BС AB =
9
3
9
3
С
2
1
(СD BС ) ( АВ DA)
9
3
CA
AC
2
1
(СD СB) ( АВ AD)
9
3
А
D
2
1
2
1
CA AC СА СА
9
3
9
3
АВСD – параллелограмм.
1
СА
9
ЗАДАЧА№7
Построить вектор.
2
1
2
АВ СA DA
5
10
5
В
2
1
( АВ DA) CА
5
10
С
AC
2
1
( АВ AD) CА
5
10
2
1
5
AС AC
АС
5
10
10
А
D
АВСD – параллелограмм.
1
АС
2
АВСD – ромб. Е ВС, ВЕ : ЕС = 3 : 1,
К – середина DC, АВ =
векторы
a
и
b
b. Выразите через
3
AE AB BE AB BC a b
4
из АВЕ
a
1
AK AD DK AD DС
2
из АDK
E
А
С
K
D
AD =
векторы:
В
b
a,
1
b a
2
1
KE KA AE (b a ) (a b)
2
из АEK
1
a
2
Естественно
считать,
что одно
вектор
2v получается
Если мы чем
изобразим
первого
автомобиля
Прежде,
ввести скорость
еще
действие
– умножение
умножением
v на число
2, а вектор
-2v получается
вектором
v, число,
товектора
естественно
изобразить
скорость
второго
вектора на
обратимся
к примеру.
Представим
себе,
умножением
вектора vдвижется
число прямолинейно
-2.
Этот пример
автомобиля
вектором,
унакоторого
направление
что один автомобиль
стакое же,
показывает
каким
образом
вести виумножение
как
у вектора
v, а длина
в 2 следует
разадвижется
больше,
обозначить
этот
постоянной
скоростью,
второй
том
же
вектора
наСкорость
число
и что
при умножении
получается
вектор.
вектор
2v.
третьего
автомобиля
изобразиться
направлении
со скоростью,
вдвое
большей,
а третий
вектором,
противоположным
вектору т.е.
2v, в
т.е. вектором -2v.
автомобиль
движется им навстречу,
противоположном направлении, и величина его скорости
такая же, как у второго автомобиля.
v
2v
-2v

Урок по теме: «Умножение вектора на число»

Умножение вектора на число. 9 класс.

ПОВТОРЕНИЕ:

1) Постройте сумму а + b,

используя правило треугольника.

Дано:

d

c

b

а

Построение:

1)

a + b

b

а

2) Постройте сумму с + d,

используя правило параллелограмма .

Дано:

d

c

b

а

Построение:

2)

с

c + d

d

3) Постройте разность с — b, используя

теорему о разности векторов.

Дано:

d

c

b

а

Построение:

3)

с

-b

с — b

4) Постройте разность d — а,

используя правило вычитания векторов .

Дано:

d

c

b

а

Построение:

4)

х = d – a, значит d = а + х

d — a

а

d

5) Упростите выражение:

1 вариант.

CA – OB – CD + AB =

2 вариант.

BA + CD – OD – CA =

= BA + CD + DO + AC =

= CA + BO + DC + AB =

= BA + AC + CD + DO =

= DC + CA + AB + BO =

= DO.

= BO.

У мно же ние вектора на число.

0, и меняется на противоположное, если t Произведение вектора на число t обозначается . По определению, В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой Произведение вектора на число -1 называется вектором, противоположным и обозначается По определению, вектор имеет направление, противоположное вектору и «

Умножение вектора на число

Произведением вектора на число

t называется вектор, длина которого равна , а направление остается прежним, если t 0, и меняется на противоположное, если t

Произведение вектора на число t обозначается . По определению,

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Произведение вектора на число -1 называется вектором, противоположным и обозначается По определению, вектор имеет направление, противоположное вектору и

Свойства

Для умножения вектора на число справедливы свойства, аналогичные свойствам умножения чисел, а именно:

Свойство 1. (сочетательный закон).

Свойство 2 . (первый распределительный закон).

Свойство 3 . (второй распределительный закон).

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Что получается при умножении

вектора на число?

d

c

b

а

— 0,5d

3b

0,5с

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ:

  • № 775, 776(в,г), 778, 782.

Упражнение 1

В треугольнике АВС укажите векторы:

а)

б)

в)

г)

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а)

б)

в)

г)

13

Упражнение 2

В параллелограмме АВСD укажите векторы:

а)

б)

в)

г)

д)

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а)

б)

в)

д)

г) ;

14

Упражнение 3

Точки M и N — середины сторон соответственно АВ и АС треугольника АВС . Выразите векторы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) через векторы ,

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) ;

д)

б) ;

в) ;

г) ;

15

Упражнение 4

Отрезки АА 1 , ВВ 1 , СС 1 — медианы треугольника АВС . Выразите векторы: а) ; б) ; в) через векторы и

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) ;

б) ;

в) .

16

Упражнение 5

Упростите выражение:

а)

б)

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) ;

б) .

17

Упражнение 6

Сторона равностороннего треугольника АВС равна а . Найдите: а) ; б) .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) a ;

б) a .

Упражнение 7

В треугольнике АВС АВ = 6, ВС = 8, B = 90°. Найдите: а) ; б) ; в) ; г) .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

б) 10;

в) -2;

г) 10.

Ответ: а) -2;

Домашняя работа.

Повторить материал пунктов 82- 86,

выполнить №№ 776(а,б), 777, 779.

Презентация на тему: Умножение вектора на число Л.С. Атанасян «Геометрия 7-9» Савченко Е.М., учитель

1

Первый слайд презентации

Умножение вектора на число Л.С. Атанасян «Геометрия 7-9» Савченко Е.М., учитель математики, МОУ гимназия №, г. Полярные Зори, Мурманской обл.

Изображение слайда

2

Слайд 2

Прежде, чем ввести еще одно действие – умножение вектора на число, обратимся к примеру. Представим себе, что один автомобиль движется прямолинейно с постоянной скоростью, второй движется в том же направлении со скоростью, вдвое большей, а третий автомобиль движется им навстречу, т.е. в противоположном направлении, и величина его скорости такая же, как у второго автомобиля. ТАКСИ v 2v -2v Если мы изобразим скорость первого автомобиля вектором v, то естественно изобразить скорость второго автомобиля вектором, у которого направление такое же, как у вектора v, а длина в 2 раза больше, и обозначить этот вектор 2 v. Скорость третьего автомобиля изобразиться вектором, противоположным вектору 2 v, т.е. вектором -2 v. Естественно считать, что вектор 2 v получается умножением вектора v на число 2, а вектор -2 v получается умножением вектора v на число -2. Этот пример показывает каким образом следует вести умножение вектора на число и что при умножении получается вектор.

Изображение слайда

3

Слайд 3

Умножение вектора на число. Произведением ненулевого вектора на число называется такой вектор, длина которого равна, причем векторы и сонаправлены при и притивоположно направлены при. a k a b a k k>0 b k<0 a 3 a 1 a 1 2 — 2 a

Изображение слайда

4

Слайд 4

Умножение вектора на число. a b 2b 2b b b 2b 2 = 2 a 1 2 a 1 a 2 a 1 a 2 1 =

Изображение слайда

5

Слайд 5

Умножение вектора на число. Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор. o a o = Произведение нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. o o k = Для любого числа и любого вектора векторы и коллинеарны. a k a ka a — 2 a — a 1 2 1 a 1 2

Изображение слайда

6

Слайд 6

A B C D N M R E S F H J K L Z Q V T Y U Назовите вектор, который получится в результате умножения. I O P X G

Изображение слайда

7

Слайд 7

XT = XT х -4 4 1 – 4 3 – 0 СК = JO х A B C D N M R E S F H J K L Z Q V T Y U I O P X G JO = CK х XD = CK х NN = XD х ХТ = XD х х не существует 1 TX = XT х -1

Изображение слайда

8

Слайд 8

2 ВК = ОК х 3 A C O K T B О – точка пересечения медиан треугольника. 3 1 – К O = В K х ОВ = КО х

Изображение слайда

9

Слайд 9

х DO = KF –4 A C 7 T B AC = T В х 3 T В = 7 AC = 3 O D K F 10 2,5 DO = 10 KF = 2,5 7 3 TB = AC х 3 7 KF = DO х 4 1 –

Изображение слайда

10

Слайд 10

х D S L K SD = LK Длина вектора SD на 25% меньше длины вектора LK 1,25 A C T B ТВ = АС х Длина вектора TB на 25% больше длины вектора АС -0, 7 5

Изображение слайда

11

Слайд 11

BC = DA 8 В С ABCD – трапеция. А D 10 х –0,8 DA = BC х – 8 10

Изображение слайда

12

Слайд 12

– 3 8 В С ABCD – параллелограмм. CS : SB = 5 : 3 А D BS = DA х – 8 3 S х DA = BS

Изображение слайда

13

Слайд 13

Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами. k (l a) (kl)a = Сочетательный закон Первый распределительный закон Второй распределительный закон k (a + b) = ka + kb (k+l)a = ka + la Для любых, и любых чисел, справедливы равенства: a b b k l 1 2 3

Изображение слайда

14

Слайд 14

B O a Рисунок иллюстрирует сочетательный закон. Представлен случай, когда k = 2, l = 3. k (l a) (kl)a = Сочетательный закон 1 B O A O В = 2OA = 2( 3 ) a a a a O В = 6 a a a = (2 3 ) a a a a

Изображение слайда

15

Слайд 15

B Рисунок иллюстрирует первый распределительный закон. Представлен случай, когда k = 3, l = 2. O a Первый распределительный закон 2 A ka l a OA = ka ; AB = la (k+l)a = ka + la OB = (k+l)a = ka + la

Изображение слайда

16

Слайд 16

O a Второй распределительный закон 3 A k (a + b) = ka + kb Рисунок иллюстрирует второй распределительный закон. На рисунке, коэффициент подобия ОАВ ОА 1 В 1 k A 1 B 1 B b a+b OA = ka k(a+b) kb AB = OB = ka+kb OB = OA + AB = С другой стороны, Таким образом, k(a+b) ka+kb =

Изображение слайда

17

Слайд 17

№ 781 Пусть х = m + n, y = m – n Выразите через и векторы m n 2х – 2у 2х + у 2 1 –х – у 3 1

Изображение слайда

18

Слайд 18

Задача Построить вектор С А В

Изображение слайда

19

Слайд 19

Задача Построить вектор С А В

Изображение слайда

20

Слайд 20

Задача Построить вектор. С А В = АВС D – параллелограмм. D CA AC

Изображение слайда

21

Слайд 21

Построить вектор. С А В D AC Задача АВС D – параллелограмм.

Изображение слайда

22

Слайд 22

B Точка С – середина отрезка АВ, а О – произвольная точка плоскости. Доказать, что Задача A O O А + АС O С = O В + ВС O С = + 2 O С = ОА + ОВ + АС + ВС 0 ( ) 2 O С = ОА + ОВ : 2 O С = (ОА + ОВ) 1 2 C

Изображение слайда

23

Слайд 23

2 NM = NB + NA + АС + В M + CM 0 ( ) A NB + BM NM = NM = + 2 NM = AC : 2 NM = AC 1 2 Задача Докажите теорему о средней линии треугольника. В С N M NA + A С + CM 0 ( ) NM = AC 1 2 NM AC

Изображение слайда

24

Слайд 24

Теорема Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Дано: трапеция АВС D, MN — средняя линия Доказать:

Изображение слайда

25

Слайд 25

2 NM = NB + NA + B С + AD + CM +DM 0 ( ) Правило многоугольника 0 ( ) A NM = NM = + : 2 В С N M NA + AD + DM D NB + B С + СМ 2 NM = В C + AD NM = (BC+AD) 1 2 NM = BC+AD 1 2 NM BC AD; Доказать:

Изображение слайда

26

Слайд 26

Задача АВС D – ромб. Е ВС, ВЕ : ЕС = 3 : 1, К – середина DC, АВ =, AD =. Выразите через векторы и векторы: С А В a b a D b a b E K AE AK KE

Изображение слайда

27

Последний слайд презентации: Умножение вектора на число Л.С. Атанасян «Геометрия 7-9» Савченко Е.М., учитель

АВ — СВ = — ОА — РО = MN — RN = — KM + KM = — KM + OM = А S — С S = — MN — LM = RP — RP = — KZ + KZ = — ED + KD = MK + К O + OP + PR = SK + К V + VP + PM =

Изображение слайда

сложение, вычитание, умножение вектора на число. Схематические изображения. — КиберПедия

Вектор – это направленный отрезок.

Векторы могут обозначаться как 2-мя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой.

Длина вектора называется его модулем и обозначается

Если

Если

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными.

Если начало и конец вектора совпадают , то такой вектор называется нулевым и обозначается Длина нулевого вектора равна нулю: , а направление – неопределенно.

Сложение векторов

 

Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , отложенного из конца вектора (правило треугольника).

Суммой векторов и называется такой третий вектор , что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы и служат сторонами параллелограмма, а вектор – его диагональю (называется сложением по правилу параллелограмма).

Сумма любого конечного числа векторов может быть найдена по правилу многоугольника: чтобы построить сумму конечного числа векторов, достаточно совместить начало каждого последующего вектора с концом предыдущего и построить вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.

При сложении векторов выполняется переместительныйзакон, т.е. + = +

 

и сочетательныйзакон, т.е. ( + )+ = +( + )

Вычитание векторов

Под разностью векторов и понимается вектор такой, что (см. рис. 5).

 

Умножение вектора на число

Произведением вектора на число k называется такой вектор , длина которого равна |k|⋅| |, причем векторы сонаправлены, если k>0, и противоположно направлены, если k<0.

Произведение нулевого вектора на любое число есть нулевой вектор.

Обозначение

Вектора и коллинеарны для любого k. Если два вектора и коллинеарны – то существует такое число k, что =k .
Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Для любых векторов и и чисел k и l справедливы следующие законы:

Сочетательный: (kl)a→=k(l )

Первый распределительный: k( + )=k +k

Второй распределительный: (k+l) =k +l

 

Разложение вектора по базисным ортам. Направляющие косинусы. Длины векторов. Примеры.

Единичные векторы выходящие из начала координат в положительных направлениях осей OX, OYи OZназываются ортами этих осей.

Любой вектор можно разложить по ортам осей координат: , или

(на плоскости).

Пример:

Задание. Вектор задан своими координатами: . Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.

Решение.

Числа называются направляющими косинусами вектора .

 

Направляющие косинусы вектора определяются соотношениями:

, ясно что

Пример: а = (3; -6; 2).

Длина вектора называется его модулем и обозначается

Если

Если

Пример: а = (3; -6; 2).

 

 

17. Ортогональные, коллинеарные и компланарные векторы: определения и примеры. Условия ортогональности, коллинеарности и компланарности.

Два вектора называются ортогональными, если в пересечении они образуют прямой угол, т.е. угол в 90о.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых.

Три вектора называются компланарными , если они лежат в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.

Условие ортогональности векторов. Два вектора и ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю. · = 0

Условия коллинеарности

Ø Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что
a = n · b

Ø Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

Ø Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

 

Условия компланарности векторов

Ø Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

Ø Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

Ø Для n векторов. Вектора компланарны если среди них не более двух линейно независимых векторов.

 

 

(НУЖНЫ ПРИМЕРЫ)

 

 

Глава 30. Линейные операции над вектрами

Глава 30. Линейные операции над вектрами

Глава 30. Линейные операции над векторами

Суммой двух векторов и называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора (правильно треугольника). Построение суммы изображено на рис. 1.

Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) правилом параллелограма: если векторы и приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма есть вектор, совпадающий с диагональю этого паралеллограмма, идущей из общего начала и (рис. 2). Отсюда сразу следует, что .

Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника (см. рис. 3, где изображено построение суммы четырех векторов , , , ).

Разность двух векторов и называется вектор, который в сумме с вектором составляет вектор . Если два вектора и приведены к общему началу, то разность их есть вектор, идущий из конца («вычитаемого») к концу («уменьшаемого»). Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимно обратными: если один из них обозначен символом , то другой обозначается символом . Легко видеть, что . Таким образом, построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемого».

Произведение (или также ) вектора на число называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора на модуль числа ; он параллелен вектору или лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор , если — число положительное, и противоположно вектору , если — число отрицательное.

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.

Имеют место следующие две основные теоремы о проекциях векторов:

1). Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна сумме ее проекций на эту же ось:

2). При умножении вектора на число его проекция умножается на то же число:

.

В частности, если

, ,

то

,

и

.

Если , то для любого числа

.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух векторов

, ,

является пропорциональность их координат:

.

Тройка векторов , , называется координатным базисом, если эти векторы удовлетворяют следующим условиям:

1). Вектор лежит на оси Ох, вектор — на оси Оу, вектор — на оси Oz;

2). Каждый из векторов , , направлен по своей оси в положительную сторону;

3). Векторы , , единичные, то есть , , .

Каким бы ни был вектор , он всегда может быть разложен по базису , , , то есть может быть представлен в виде

;

коэффициенты этого разложения являются координатами вектора (то есть X, Y, Z суть проекции вектора на координатные оси).

Текст издания: © Д.В.Клетеник «Сборник задач по аналитической геометрии». М., Наука, Физматлит, 1998.
Решение задач: © Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/.
Все права принадлежат мне, если не оговорено иное 😉

Сайт управляется системой uCoz

Конспект урока с ЭОР по теме «Умножение вектора на число» | План-конспект урока (геометрия, 9 класс) на тему:

Приложение 1

 ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА


Произведение  вектора на число

1

ФИО (полностью)

Пастухова Наталья Алексеевна

2

Место работы

МОУ «СОШ № 18» г. Энгельс Саратовская область

3

Должность

Учитель

4

Предмет

Геометрия

5

Класс

9

6

Тема и номер урока в теме

Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач. Урок №1

7

Базовый учебник

Геометрия 7-9 Атанасян Л.С.

8. Цель  урока: Познакомиться с  понятием произведения вектора на число; научиться использовать его при решении практических задач на построение суммы и разности векторов и  решении геометрических задач.

9. Задачи:

— обучающие: сформировать понятие произведения вектора на число; совершенствовать  навыки решения практических задач на построение суммы и разности векторов; научить применять знания при решении геометрических задач;

-развивающие: формировать у учащихся таких приемов мышления и мыслительных операций как сравнение и аналогия, обобщение и конкретизация, умение делать логические выводы;

-воспитательные: воспитывать самостоятельность и ответственность. 

10. Тип урока: Урок изучения нового материала 

11. Формы работы учащихся:  устная фронтальная работа по готовым чертежам; самостоятельное выполнение лабораторной работы и закрепление теоретических знаний по ЭУМ К-типа; выполнение практических заданий из учебника на построение суммы и разности векторов; самостоятельное решение параметризированных геометрических задач на закрепление понятия произведения вектора на число по ЭУМ П — типа; пошаговое  решение задания из ЭУМ П – типа.

12. Необходимое техническое оборудование: персональные компьютеры (компьютерный класс), мультимедийный проектор, интерактивная доска.

Таблица 1.

СТРУКТУРА И ХОД УРОКА

Этап урока

Название используемых ЭОР

(с указанием  порядкового номера из Таблицы 2)

Деятельность учителя

(с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация)

Деятельность ученика

Время

(в мин.)

1

2

3

5

6

7

1

Организационный момент.

Мотивационная беседа с последующей постановкой цели

Слушают учителя

1

2

Актуализация опорных знаний

Задает вопросы учащимся по готовым рисункам (приложение к плану конспекту)

Отвечают на вопросы учителя

5

3

Ответы учащихся на вопросы учителя по осмыслению новой темы

1

Задает вопросы по ЭУМ И – типа,  просмотренному учащимися  дома

Отвечают на вопросы учителя

2

4

Формулировка учителем заданий  для самостоятельного выполнения учащимися

2

Определяет ЭУМ К — типа

Знакомятся с заданием и задают вопросы по его условию

1

5

Выполнение заданий учащимися

2

Анализирует результаты выполнения учащимися заданий

Самостоятельно выполняют задание на компьютере

4

6

Самостоятельное выполнение практического задания из учебника  №775

Контролирует выполнение задания

Самостоятельно выполняют задание в тетради

4

7

Выполнение практического задания из учебника  № 777

Руководит выполнением задания по очереди четырьмя  учащимися на интерактивной доске и консультирует остальных учащихся, работающих на местах

Самостоятельно выполняют задание в тетради

8

8

Формулирования задания учащимися

3

Определяет ЭУМ П-типа, (предусматривающее индивидуальное задание для каждого учащегося), ставит задачи по выполнению.

Знакомятся с заданием

1

9

Выполнение учащимися задания

3

Анализирует ответы учащихся, оценивает их деятельность

Самостоятельно выполняют задание на компьютере; учащиеся, окончившие задание раньше выполняют задание по карточке (приложение к плану-конспекту)

8

10

Совместный пошаговый разбор задания №2 из УМК П-типа

4

Руководит поиском решения задания, демонстрирует его на экране, координирует его выполнение учащимся на интерактивной доске.

Обсуждают способ решения задания, оформляют решение в тетради.

8

11

Формулирование выводов урока

Фиксирует выводы

Формулируют выводы по уроку

2

12

Домашнее задание

П. 83, в.14-17 с. 214, № 776, 782

5, 6, 7

Определяет ЭУМ И- типа, задание из учебника

Записывают домашнее задание, копируют ссылки на ЭУМ И — типа

1

Приложение к плану-конспекту урока

Произведение вектора на число

Таблица 2.

ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ НА ДАННОМ УРОКЕ ЭОР

Приложение к плану- конспекту урока

Произведение вектора на число

Этап урока №2. Актуализация опорных знаний по готовым чертежам:

1. ABCD – параллелограмм.  Назовите пары: а) коллинеарных векторов; б) сонаправленных векторов; в) противоположно направленных векторов; г) равных векторов.

2.

3.

4.

5. ABCD – трапеция. Выразить вектор через векторы

Этап урока №3.

Вопросы:

  1. Какой смысл числа  в формуле, связывающей скорость пешехода со скоростью грузовой машины?
  2. Какой смысл числа –m в формуле, связывающей скорость машины со скоростью пешехода?
  3. Какой вектор называется произведением вектора на число?
  4. Могут ли векторы  быть неколлинеарными?

Этап урока №9.

Карточка:

Глубокое (обучение), как у Жака Кусто — Часть 4 — Скалярное умножение

(TL; DR: умножьте вектор на скаляр по одному элементу за раз.)

Предупреждение LaTeX и MathJax для тех, кто просматривает мою ленту: пожалуйста, просмотрите прямо на сайте!

Строим, складываем, умножаем

Нейт Догг из «Multiply» на Xzibit

Последняя время, мы узнали о векторах .До что, мы узнали о скалярах . Что произойдет, если мы умножим вектор на скаляром ?

(я не знаю, куда я иду с этой диаграммой … но терпите меня!)

Давайте воспользуемся нашим вектором из прошлого раза.

Давайте возьмем скаляр , чтобы умножить его на. Мне нравится номер два, так что умножим на два!

Чтобы оценить это, мы выполняем скалярное умножение . То есть мы умножьте каждого элемента нашего вектора на наш скаляр.Легкий!

В общем, если наш вектор содержит элементы и умножаем его на какой-то скаляр, получаем:

Как мы можем выполнить скалярное умножение в R?

Это просто. Это то, что делает R по умолчанию.

Давайте определим наш вектор x .

 х <- с (1, 2, 3)
печать (х)

## [1] 1 2 3
 

Давайте определим наш скаляр, c .

 с <- 2
печать (с)

## [1] 2
 

Теперь давайте умножим наш вектор на наш скаляр.

 с * х

## [1] 2 4 6
 

Бум! Сила векторизации!

Как приведение типов влияет на скалярное умножение?

Комментарии, которые мы сделали в более ранней публикации о приведении типа , применяются здесь. Давайте определим x как целочисленный вектор .

 x <- c (1L, 2L, 3L)
класс (x)

## [1] «целое число»
 

Наш скаляр c также может выглядеть как целое число, но он был сохранен как числовой тип , который является нашим прокси для вещественных чисел .

 принт (с)

## [1] 2

класс (c)

## [1] "числовой"
 

Итак, когда мы умножаем числовой тип на наш вектор целочисленный , мы получить результат в более общем виде числовой !

 класс (c * x)

## [1] "числовой"
 

Чтобы умножить вектор на скаляр, просто умножьте каждый элемент вектора на скаляр. Это довольно просто, не правда ли?

Давайте узнаем, как сложить двух векторов, прежде чем мы рассмотрим скалярных произведений .Только тогда мы сможем войти в матрицу !

Джастин

Связанные

3D векторной математики | vvvv

Итальянский

Определение

вектор - это элемент векторного пространства. вектор содержит то же количество элементов, что и размерность векторного пространства.

Векторное пространство

vvvv представляет собой (численное приближение) R3, трехмерное евклидово пространство действительных чисел. таким образом, vvvvector - это набор из трех чисел (x, y, z) трехмерного пространства vvvvector чисел vvvv.

Представительство

вектор v можно интерпретировать как:

направление (x, y, z) и длина | v |, стрелка, перенос, связь между двумя точками (см. Выделение), как точка (если вектор является ограниченным вектором в начало координат), сила, скорость, скорость ....

как символ:
букв, часто полужирный или подчеркнутый v , v

в виде трех чисел (x, y, z):
пространство vvvvector создается комбинацией трех ортогональных одномерных направлений, осей x, y и z.каждое направление, не параллельное осям, можно описать как линейную комбинацию трех направлений (векторов), параллельных осям. линейная комбинация здесь складывает три вектора (см. Дополнение). для включения второго аспекта вектора (длины) три (осевых) вектора n1 , n2 , n3 устанавливаются на длину один, это ортонормированное основание. чтобы построить все другие векторы с этой базой, длина трех базовых векторов масштабируется числами x, y, z, а затем векторы складываются вместе:

v = x * n1 + y * n2 + z * n3 =

, поскольку n векторов - это (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1), результат будет:

v = (1 * x, 0 * x, 0 * x) + (0 * y, 1 * y, 0 * y) + (0 * z, 0 * z, 1 * z) =

= (х, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z) = (x, y, z)

Операции

Абсолютное значение |

v | (длина)
математический

одно действительное число, определяемое как:

| v | = | (x, y, z) | = sqrt (x² + y² + z²)

vvvv узел

используйте Normalize (3d).выводит на первом выходном контакте вектор с тем же направлением, но длиной один, входной длины на втором выходном контакте. умножение их на * (значение) является исходным вектором.

Умножение на скаляр s


математический

умножить вектор на скаляр - это умножить каждый элемент вектора на скаляр.

v * s = (x * s, y * s, z * s) (= s * v )

vvvvnode

* (значение)

геометрический

при масштабировании длины, направление инвариантно, но становится отрицательным, если скаляр отрицательный.

важный результат:
| v * s | = | v | * | s |

Дополнение


математический

сложение векторов добавляет элементы одинаковой размерности.

v + w = (x, y, z) + (a, b, c) =

= (x + a, y + b, z + c) (= w + v )

vvvv узел

+ (Стоимость)

геометрический

возьмите вектор v и поместите начало вектора w на вершину v .теперь вектор от начала v до конца w является результатом сложения v и w (или w и v ).

Вычитание


математический

по аналогии со сложением вычитание - это вычитание элементов одинаковой размерности. но здесь v - w НЕ w - v , но - ( w - v ).

v - w = (x, y, z) - (a, b, c) =

= (x - a, y - b, z - c) = - ( w - v )

vvvv узел

- (Стоимость)

геометрический

поместите начало v и w в одну и ту же точку.теперь вектор от вершины w к вершине v является результатом вычитания w из v . вычитание v из w ( w - v ) - то же самое, но результирующий вектор начинается на вершине v и заканчивается на вершине w .

Точечное произведение


также известный как внутренний продукт или скалярный продукт
математический

одно действительное число, определяемое (в каждом пространстве) путем умножения элементов одного измерения и сложения результатов.ИЛИ (в евклидовом пространстве) умножение абсолютных значений и косинуса угла фи между векторами.

v * w = (x, y, z) * (a, b, c) =

= x * a + y * b + z * c (= w * v )

или:

v * w = (x, y, z) * (a, b, c) =

= | v | * | w | * cos (фи)

vvvv узел
 * (3D точка)
 
геометрический

start v и w в общей начальной точке, затем длина v умножается на длину проекции (тени) w на v (или наоборот).геометрически не очень интересно, но с помощью двух формул угол между двумя векторами может быть вычислен. если результат равен нулю, векторы ортогональны (угол 90 °).

Угол фи между двумя векторами


математический

две формулы скалярного произведения используются для получения косинуса фи.

x * a + y * b + z * c = | v | * | w | * cos (фи)

cos (phi) = (x * a + y * b + z * c) / (| v | * | w |)

узлов вввв

используйте * (Value) и + (Value Spectral), чтобы получить скалярное произведение.используйте два узла Normalize (3D Vector), чтобы получить абсолютные значения (длины) из векторов и умножить их на другое * (Value). теперь разделите скалярное произведение на произведение длин с помощью узла / (Значение), это косинус фи. термин arccos (A) в узле Expr (Value) дает phi в радианах (от 0 до Pi).

Перекрестное произведение


математический

умножение: длины v и w , синуса угла фи между v и w и единичного вектора n (длина = один), который ортогонален (перпендикулярен) v И w .

v x w = (x, y, z) x (a, b, c) =

= | v | * | w | * грех (фи) * н

в евклидовом пространстве есть более простая формула:

v x w = (x, y, z) x (a, b, c) =

= (y * c - z * b, z * a - x * c, x * b - y * a)

vvvv узел
геометрический

вектор, ортогональный v и w . значение длины - это размер области параллелограмма со сторонами v и w .

по tf

python - умножение векторной матрицы numpy

Самое простое решение

Используйте numpy.dot или a.dot (b) . Смотрите документацию здесь.

  >>> a = np.array ([[5, 1, 3],
                  [1, 1, 1],
                  [1, 2, 1]])
>>> b = np.array ([1, 2, 3])
>>> напечатайте a.dot (b)
массив ([16, 6, 8])
  

Это происходит потому, что массивы numpy не являются матрицами, а стандартные операции *, +, -, / работают с массивами поэлементно.

Обратите внимание, что, хотя вы можете использовать numpy.matrix (по состоянию на начало 2021 года), где * будет обрабатываться как стандартное умножение матриц, numpy.matrix устарело и может быть удалено в будущих выпусках. . См. Примечание в его документации (воспроизведено ниже):

Больше не рекомендуется использовать этот класс даже для линейной алгебры. Вместо этого используйте обычные массивы. В будущем этот класс может быть удален.

Спасибо, @HopeKing.


Другие решения

Также знаю, что есть другие варианты:

  • Как указано ниже, при использовании python3.5 + оператор @ работает так, как и следовало ожидать:

      >>> печать (a @ b)
    массив ([16, 6, 8])
      
  • Если вы хотите излишка, вы можете использовать numpy.einsum . Документация даст вам представление о том, как это работает, но, честно говоря, я не полностью понимал, как его использовать, пока не прочитал этот ответ и не просто поиграл с ним самостоятельно.

      >>> np.einsum ('ji, i-> j', a, b)
    массив ([16, 6, 8])
      
  • По состоянию на середину 2016 года (numpy 1.10.1) вы можете попробовать экспериментальный numpy.matmul , который работает как numpy.dot с двумя основными исключениями: без скалярного умножения, но он работает со стеками матриц.

      >>> нп.матмуль (а, б)
    массив ([16, 6, 8])
      
  • numpy.inner работает так же, как numpy.dot для умножения матрицы на вектор, но ведет себя по-разному для умножения матрицы на матрицу и тензор (см. Википедию относительно различий между внутренним продуктом и скалярным произведением в целом или см. этот ответ SO относительно реализаций numpy).

      >>> np.inner (a, b)
    массив ([16, 6, 8])
    
    # Остерегайтесь использования для умножения матрицы на матрицу!
    >>> b = a.T
    >>> np.dot (a, b)
    массив ([[35, 9, 10],
           [9, 3, 4],
           [10, 4, 6]])
    >>> нп.внутренний (а, б)
    массив ([[29, 12, 19],
           [7, 4, 5],
           [8, 5, 6]])
      

Более редкие варианты для крайних случаев

  • Если у вас есть тензоры (массивы с размерностью больше или равной единице), вы можете использовать numpy.tensordot с необязательным аргументом axes = 1 :

      >>> np.tensordot (a, b, axes = 1)
    массив ([16, 6, 8])
      
  • Не используйте numpy.vdot , если у вас есть матрица комплексных чисел, так как матрица будет сведена к 1D-массиву, тогда она попытается найти комплексно-сопряженное скалярное произведение между вашей плоской матрицей и вектором. (что не удастся из-за несоответствия размеров n * m и n ).

Математика - Векторы - Мартин Бейкер

Как и многие математические концепции, векторы можно понимать и исследовать по-разному.

Есть как минимум два способа смотреть на векторы:

  • Алгебраический - обрабатывает вектор как набор скалярных значений как единое целое с добавлением, вычитанием и скалярным умножением, которые работают со всем вектором.
  • Геометрический - вектор представляет величину, имеющую как величину, так и направление.

Мы можем абстрагироваться от различий в этих подходах и просто посмотреть, что всегда верно для векторов, когда мы это делаем, мы получаем набор аксиом, обычно в форме уравнений. Примером аксиомы для векторов является «закон распределенности»:

c (v 1 + v 2 ) = c v 1 + c v 2

, где v 1 и v 2 - векторы, а c - скаляр.

Эта аксиома важна, потому что она описывает линейное свойство векторов

Геометрические свойства

Вектор - это величина, имеющая как величину, так и направление, с векторами определены две операции, и обе имеют очень прямую геометрическую интерпретацию.Мы рисуем вектор как линию со стрелкой, а пока я назову конец без стрелки «началом» вектора, а конец со стрелкой - «концом» вектора.

  • Сложение вектора: чтобы сложить два вектора, мы берем начало второго вектора и перемещаем его в конец первого вектора. Сложение этих двух векторов представляет собой вектор от начала первого вектора до конца второго вектора.
  • Скалярное умножение изменяет длину вектора без изменения его направления.То есть мы «масштабируем» его на коэффициент умножения. Итак, скалярное умножение включает в себя умножение скаляра (одного числа) на вектор, чтобы получить другое число.

Мы можем рассматривать эти две операции: сложение векторов и скалярное умножение как определение линейного пространства (см. Евклидово пространство).

Итак, как вообще получить векторы? Мы могли бы принять уже существующую систему координат и определить все наши векторы в этой системе координат, или мы могли бы начать с набора базисных векторов и представить векторы как линейную комбинацию этих базисных векторов, то есть путем скалярного умножения и сложения базисные векторы мы можем создать любой вектор в пространстве при условии, что:

  • Существует столько базисных векторов, сколько измерений в пространстве.
  • Все базисные векторы независимы (не более двух в любой данной плоскости).

Таким образом, любая точка может быть идентифицирована по:

α V a + β V b

где:

  • α, β = скалярные множители
  • V a , V b = базисные векторы.

Итак, два скалярных множителя (α, β) могут представлять положение точки в терминах наших базисных векторов.Это приводит к способу работы с векторами чисто алгебраическим способом.

Алгебраические свойства

Алгебраический подход и его операции объяснены на этой странице, поэтому здесь мы просто дадим обзор.

Мы можем думать о векторе как о концепции массива на компьютерном языке, например,

  • Векторы имеют размер, равный количеству элементов в массиве.
  • Все элементы в векторе должны быть одного типа.
Вектор может отображаться в виде одного столбца
или строкой

Однако есть отличие от компьютерного массива, потому что в случае компьютера элементами массива могут быть любые допустимые объекты, при условии, что все они одного типа. В случае векторов элементы должны иметь определенные математические свойства, в частности, для них должны быть определены операции сложения и умножения с определенными свойствами.Свойства, необходимые для элементов вектора, заключаются в том, что они должны образовывать математическую структуру, известную как поле (см. Рамку справа). В математической терминологии это известно как вектор над полем, другими словами вектор, элементами которого являются поля.

операция обозначение объяснение
добавление В (а + б) = В (а) + В (б) сложение двух векторов выполняется путем сложения соответствующих элементов двух векторов.
скалярное умножение В (с * а) = с * В (а) скалярное произведение вектора получается путем умножения скалярного произведения на каждый из его членов по отдельности.

Эти операции взаимодействуют согласно свойству распределенности:

с * (b + c) = s * b + s * c

Что придает векторам линейное свойство. Теперь мы можем составить набор аксиом для векторов:

аксиома дополнение скалярное умножение
ассоциативность (а + б) + с = а + (б + в) (s1 s2) a = s1 (s2 a)
коммутативность а + Ь = Ь + а
распределение с * (b + c) = s * b + s * c
(s1 + s2) * a = s1 * a + s2 * a
идентификационный номер а + 0 = а
0 + а = а
1 а = а
обратное а + (- а) = 0
(-а) + а = 0

Где:

  • a, b, c - векторы
  • 0 - это тождественный вектор
  • s, s1, s2 - скаляры
  • 1 - тождественный скаляр

Сравните это с аксиомами поля (на этой странице)

Векторы также могут иметь дополнительную структуру, определенную в терминах других определенных для них умножений, таких как скалярные произведения и перекрестные произведения, как мы увидим позже.Это необязательные операции, единственными обязательными операциями являются сложение и скалярное умножение.

Векторное обозначение

До сих пор мы показывали вектор как набор значений в сетке, так как это более удобно на веб-странице html, но обычное обозначение вектора - помещать значения в квадратные скобки:

Где:

  • x = компонент в измерении x.
  • y = составляющая в измерении y.
  • z = компонент по оси z.

Иногда, когда мы представляем весь вектор как символ, мы можем поместить стрелку над символом (в данном случае v ), чтобы подчеркнуть, что это вектор.

Или альтернативно, мы можем использовать следующие обозначения:

= a 1 x + a 2 y + a 3 z

Где:

  • x = единичный вектор в измерении x.
  • y = единичный вектор в измерении y.
  • z = единичный вектор в измерении z.

Первая форма более удобна при работе с матрицами, а вторая форму легче написать в текстовой форме.

Здесь «x», «y» и «z» - операторы, они часто могут использоваться в уравнениях аналогично переменным, но у них могут быть разные законы (например, умножение может не коммутировать). Это может быть удобным способом кодирования законов комбинирования векторов в обычной алгебре поиска.

Связь с другими математическими величинами

Мы можем расширить концепцию векторов (обычно добавляя дополнительные типы умножения для добавления к встроенному сложению и скалярному умножению), чтобы сформировать более сложные математические структуры, в качестве альтернативы мы можем рассматривать векторы как подмножества этих структур, например :

  • Как подмножество матрицы или тензора (матрица 1 на n или n на 1).Матрица - это двумерный массив с скалярным произведением.
  • Как подмножество мультивекторов (алгебра Клиффорда). Например, комплексные числа - это двухэлементные векторы с добавлением определенного типа умножения.

Чего мы не можем сделать, так это иметь вектор, элементы которого сами являются векторами. Это связано с тем, что элементы вектора должны быть математической структурой, известной как «поле», а вектор сам по себе не является полем, потому что он не обязательно имеет коммутативное умножение и другие свойства, необходимые для поля.

Тем не менее, было бы неплохо, если бы мы могли построить матрицу из вектора (нарисованного в виде столбца), элементы которого сами являются векторами (нарисованными в виде строки):

Чтобы создать матрицу путем объединения векторных структур, нам нужно сделать две вещи с «внутренним вектором»:

  • Нам нужно сделать транспонирование так, чтобы это была строка, а не столбец.
  • Нам нужна операция умножения, которая сделает его полем.

Для этого мы создаем «двойник» вектора, это называется ковектором, как описано на этой странице.

Векторы могут быть умножены на скаляры, даже если они являются отдельными объектами, векторы и скаляры не могут быть добавлены, например (только когда мы дойдем до алгебры Клиффорда), но мы можем определить тип умножения, называемый скалярным умножением, обычно обозначаемый '* 'или скаляр может быть записан рядом с вектором с подразумеваемым умножением. Этот тип умножения требует одного вектора и одного скаляра. Скалярное умножение умножает величину вектора, но не меняет его направления, поэтому:

если есть,

vOut = 2 * vIn

где:

тогда vOut будет вдвое больше vIn, но в том же направлении.

Квадратичная структура на линейном пространстве

Однако этих линейных свойств самих по себе недостаточно, чтобы определить свойства евклидова пространства, используя только алгебру. Чтобы иметь возможность определять такие понятия, как расстояние и угол, мы должны определить квадратичную структуру.

Например, пифагор:

r 2 = x 2 + y 2 + z 2

в алгебраических терминах,

, если a - трехмерный вектор с основаниями e 1 , e 2 , e 3

a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3

так,

a • a = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2

Другие векторные алгебры

В уже обсуждаемой векторной алгебре квадрат вектора всегда является положительным числом:

а х а = 0
a • a = положительное скалярное число

Однако мы могли бы определить одинаково действительную и непротиворечивую векторную алгебру, которая возводит в квадрат отрицательное число:

а × а = 0
a • a = отрицательное скалярное число

Мы также могли бы определить алгебру, в которой мы смешиваем размерности: квадрат с положительным, другой квадрат с отрицательным.Примером этого является квадрат Эйнштейна пространства-времени, пространства и времени в квадрате с разными значениями, если пространство квадратов в положительное значение, то квадрат времени в отрицательное и наоборот.

Приложения векторов

Для 3D программирования (тематика этого сайта) нас больше всего интересует с векторами из 2 или 3 чисел.

Вектор размерности 3 может представлять физическую величину, которая является направленной. например положение, скорость, ускорение, сила, импульс, и т.п.

Например, если вектор представляет точку в пространстве, эти 3 числа представляют положение в координатах x, y и z (см. системы координат). Где x, y и z - взаимно перпендикулярные оси в какое-то согласованное направление и единицы.

Трехмерный вектор может также представлять смещение в пространстве, например перевод в каком-то направлении. В случае библиотеки Java Vecmath эти это два класса: Point3f и Vector3f, оба производные от Tuple3f.(Обратите внимание на эти использовать числа с плавающей запятой, существуют также классы, оканчивающиеся на d, которые содержат двойные значения). Класс Point3f используется для представления абсолютных точек и Класс Vector3f представляет смещение. В большинстве случаев поведение этих классы одинаковы, насколько я знаю разница между этими классами когда они преобразуются матрицей Point3f будет транслироваться матрицей но Vector3f не будет.

Здесь мы разрабатываем следующие классы для хранения вектора и инкапсуляции операции, описанные здесь,

Можно было бы построить векторный класс, который мог бы содержать вектор любого измерение, но класс переменного измерения будет менее эффективным.Поскольку мы когда речь идет об объектах в трехмерном пространстве, важнее работать с двухмерными и трехмерными объектами. векторы эффективно.

Другие векторные величины

Альтернативная интерпретация векторов

До сих пор мы думали о векторе как о позиции на 2,3- или n-мерном пространстве. сетка. Однако для некоторых физических ситуаций может не быть готово определенного Декартова система координат. Альтернативой может быть представление вектора как линейная комбинация из 3-х базисов:

σ 1
σ 2
σ 3

Эти основания не обязательно должны быть взаимно перпендикулярными (хотя в большинстве случаев они, вероятно, будут), но они должны быть независимыми друг от друга, другими словами, они не должны быть параллельны друг другу, и все 3 не должны быть в одной плоскости.

Таким образом, вектор в 3 измерениях может быть представлен как [a, b, c], где a, b и c представляют масштабирование 3-х базисов, чтобы сделать вектор следующим образом:

а σ 1 + б σ 2 + с σ 3

Обратите внимание, что если этот вектор представляет положение, то это будет относительное положение, т.е. относительно некоторой другой точки, если мы хотим определить абсолютную точку, мы еще нужно определить происхождение.

Итак, остается проблема, как определить основу, могут быть некоторые естественные определение их в проблемной области.В качестве альтернативы мы могли бы определить базируются как трехмерные векторы с использованием системы координат. Но зачем беспокоиться сделайте это, если у нас есть система координат, почему бы просто не представить векторы в это система координат? Что ж, мы могли бы захотеть изменить систему координат или перевести все векторы каким-то образом (см. здесь). Например, мы могли бы захотеть представить точки на твердом объекте в некотором локальном системе координат, но твердый объект может сам двигаться относительно некоторого абсолютная система координат.

Дополнительная литература

Векторы могут управляться с помощью матриц, для пример переведен, повернут, масштабирован, отражен.

Есть математические объекты, известные мультивекторами, их можно использовать для выполнения многих задач, которые выполняют векторы, но у них нет некоторые ограничения (например, векторное векторное произведение ограничено 3-мя измерениями и не имеет обратного).

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *