3D векторной математики | vvvv

Итальянский

Определение

вектор - это элемент векторного пространства. вектор содержит то же количество элементов, что и размерность векторного пространства.

vvvv представляет собой (численное приближение) R3, трехмерное евклидово пространство действительных чисел. таким образом, vvvvector - это набор из трех чисел (x, y, z) трехмерного пространства vvvvector чисел vvvv.

Представительство

вектор v можно интерпретировать как:

направление (x, y, z) и длина | v |, стрелка, перенос, связь между двумя точками (см. Выделение), как точка (если вектор является ограниченным вектором в начало координат), сила, скорость, скорость ....

как символ:
букв, часто полужирный или подчеркнутый v , v

в виде трех чисел (x, y, z):
пространство vvvvector создается комбинацией трех ортогональных одномерных направлений, осей x, y и z.каждое направление, не параллельное осям, можно описать как линейную комбинацию трех направлений (векторов), параллельных осям. линейная комбинация здесь складывает три вектора (см. Дополнение). для включения второго аспекта вектора (длины) три (осевых) вектора n1 , n2 , n3 устанавливаются на длину один, это ортонормированное основание. чтобы построить все другие векторы с этой базой, длина трех базовых векторов масштабируется числами x, y, z, а затем векторы складываются вместе:

v = x * n1 + y * n2 + z * n3 =

, поскольку n векторов - это (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1), результат будет:

v = (1 * x, 0 * x, 0 * x) + (0 * y, 1 * y, 0 * y) + (0 * z, 0 * z, 1 * z) =

= (х, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z) = (x, y, z)

Операции

Абсолютное значение |

математический

одно действительное число, определяемое как:

| v | = | (x, y, z) | = sqrt (x² + y² + z²)

vvvv узел

используйте Normalize (3d).выводит на первом выходном контакте вектор с тем же направлением, но длиной один, входной длины на втором выходном контакте. умножение их на * (значение) является исходным вектором.

Умножение на скаляр s

математический

умножить вектор на скаляр - это умножить каждый элемент вектора на скаляр.

v * s = (x * s, y * s, z * s) (= s * v )

vvvvnode

* (значение)

геометрический

при масштабировании длины, направление инвариантно, но становится отрицательным, если скаляр отрицательный.

важный результат:
| v * s | = | v | * | s |

Дополнение

математический

сложение векторов добавляет элементы одинаковой размерности.

v + w = (x, y, z) + (a, b, c) =

= (x + a, y + b, z + c) (= w + v )

vvvv узел

+ (Стоимость)

геометрический

возьмите вектор v и поместите начало вектора w на вершину v .теперь вектор от начала v до конца w является результатом сложения v и w (или w и v ).

Вычитание

математический

по аналогии со сложением вычитание - это вычитание элементов одинаковой размерности. но здесь v - w НЕ w - v , но - ( w - v ).

v - w = (x, y, z) - (a, b, c) =

= (x - a, y - b, z - c) = - ( w - v )

vvvv узел

- (Стоимость)

геометрический

поместите начало v и w в одну и ту же точку.теперь вектор от вершины w к вершине v является результатом вычитания w из v . вычитание v из w ( w - v ) - то же самое, но результирующий вектор начинается на вершине v и заканчивается на вершине w .

Точечное произведение

математический

одно действительное число, определяемое (в каждом пространстве) путем умножения элементов одного измерения и сложения результатов.ИЛИ (в евклидовом пространстве) умножение абсолютных значений и косинуса угла фи между векторами.

v * w = (x, y, z) * (a, b, c) =

= x * a + y * b + z * c (= w * v )

или:

v * w = (x, y, z) * (a, b, c) =

= | v | * | w | * cos (фи)

vvvv узел

 * (3D точка)
 

геометрический

start v и w в общей начальной точке, затем длина v умножается на длину проекции (тени) w на v (или наоборот).геометрически не очень интересно, но с помощью двух формул угол между двумя векторами может быть вычислен. если результат равен нулю, векторы ортогональны (угол 90 °).

Угол фи между двумя векторами

математический

две формулы скалярного произведения используются для получения косинуса фи.

x * a + y * b + z * c = | v | * | w | * cos (фи)

cos (phi) = (x * a + y * b + z * c) / (| v | * | w |)

узлов вввв

используйте * (Value) и + (Value Spectral), чтобы получить скалярное произведение.используйте два узла Normalize (3D Vector), чтобы получить абсолютные значения (длины) из векторов и умножить их на другое * (Value). теперь разделите скалярное произведение на произведение длин с помощью узла / (Значение), это косинус фи. термин arccos (A) в узле Expr (Value) дает phi в радианах (от 0 до Pi).

Перекрестное произведение

математический

умножение: длины v и w , синуса угла фи между v и w и единичного вектора n (длина = один), который ортогонален (перпендикулярен) v И w .

v x w = (x, y, z) x (a, b, c) =

= | v | * | w | * грех (фи) * н

в евклидовом пространстве есть более простая формула:

v x w = (x, y, z) x (a, b, c) =

= (y * c - z * b, z * a - x * c, x * b - y * a)

vvvv узел

геометрический

вектор, ортогональный v и w . значение длины - это размер области параллелограмма со сторонами v и w .

по tf

python - умножение векторной матрицы numpy

Самое простое решение

Используйте numpy.dot или a.dot (b) . Смотрите документацию здесь.

  >>> a = np.array ([[5, 1, 3],
                  [1, 1, 1],
                  [1, 2, 1]])
>>> b = np.array ([1, 2, 3])
>>> напечатайте a.dot (b)
массив ([16, 6, 8])
  

Это происходит потому, что массивы numpy не являются матрицами, а стандартные операции *, +, -, / работают с массивами поэлементно.

Обратите внимание, что, хотя вы можете использовать numpy.matrix (по состоянию на начало 2021 года), где * будет обрабатываться как стандартное умножение матриц, numpy.matrix устарело и может быть удалено в будущих выпусках. . См. Примечание в его документации (воспроизведено ниже):

Больше не рекомендуется использовать этот класс даже для линейной алгебры. Вместо этого используйте обычные массивы. В будущем этот класс может быть удален.

Спасибо, @HopeKing.

Другие решения

Также знаю, что есть другие варианты:

• Как указано ниже, при использовании python3.5 + оператор @ работает так, как и следовало ожидать:

    >>> печать (a @ b)
  массив ([16, 6, 8])
    

• Если вы хотите излишка, вы можете использовать numpy.einsum . Документация даст вам представление о том, как это работает, но, честно говоря, я не полностью понимал, как его использовать, пока не прочитал этот ответ и не просто поиграл с ним самостоятельно.

    >>> np.einsum ('ji, i-> j', a, b)
  массив ([16, 6, 8])
    

• По состоянию на середину 2016 года (numpy 1.10.1) вы можете попробовать экспериментальный numpy.matmul , который работает как numpy.dot с двумя основными исключениями: без скалярного умножения, но он работает со стеками матриц.

    >>> нп.матмуль (а, б)
  массив ([16, 6, 8])
    

• numpy.inner работает так же, как numpy.dot для умножения матрицы на вектор, но ведет себя по-разному для умножения матрицы на матрицу и тензор (см. Википедию относительно различий между внутренним продуктом и скалярным произведением в целом или см. этот ответ SO относительно реализаций numpy).

    >>> np.inner (a, b)
  массив ([16, 6, 8])
  
  # Остерегайтесь использования для умножения матрицы на матрицу!
  >>> b = a.T
  >>> np.dot (a, b)
  массив ([[35, 9, 10],
         [9, 3, 4],
         [10, 4, 6]])
  >>> нп.внутренний (а, б)
  массив ([[29, 12, 19],
         [7, 4, 5],
         [8, 5, 6]])
    

Более редкие варианты для крайних случаев

• Если у вас есть тензоры (массивы с размерностью больше или равной единице), вы можете использовать numpy.tensordot с необязательным аргументом axes = 1 :

    >>> np.tensordot (a, b, axes = 1)
  массив ([16, 6, 8])
    

• Не используйте numpy.vdot , если у вас есть матрица комплексных чисел, так как матрица будет сведена к 1D-массиву, тогда она попытается найти комплексно-сопряженное скалярное произведение между вашей плоской матрицей и вектором. (что не удастся из-за несоответствия размеров n * m и n ).

Математика - Векторы - Мартин Бейкер

Как и многие математические концепции, векторы можно понимать и исследовать по-разному.

Есть как минимум два способа смотреть на векторы:

• Алгебраический - обрабатывает вектор как набор скалярных значений как единое целое с добавлением, вычитанием и скалярным умножением, которые работают со всем вектором.
• Геометрический - вектор представляет величину, имеющую как величину, так и направление.

Мы можем абстрагироваться от различий в этих подходах и просто посмотреть, что всегда верно для векторов, когда мы это делаем, мы получаем набор аксиом, обычно в форме уравнений. Примером аксиомы для векторов является «закон распределенности»:

Эта аксиома важна, потому что она описывает линейное свойство векторов

Геометрические свойства

Вектор - это величина, имеющая как величину, так и направление, с векторами определены две операции, и обе имеют очень прямую геометрическую интерпретацию.Мы рисуем вектор как линию со стрелкой, а пока я назову конец без стрелки «началом» вектора, а конец со стрелкой - «концом» вектора.

• Сложение вектора: чтобы сложить два вектора, мы берем начало второго вектора и перемещаем его в конец первого вектора. Сложение этих двух векторов представляет собой вектор от начала первого вектора до конца второго вектора.
• Скалярное умножение изменяет длину вектора без изменения его направления.То есть мы «масштабируем» его на коэффициент умножения. Итак, скалярное умножение включает в себя умножение скаляра (одного числа) на вектор, чтобы получить другое число.

Мы можем рассматривать эти две операции: сложение векторов и скалярное умножение как определение линейного пространства (см. Евклидово пространство).

Итак, как вообще получить векторы? Мы могли бы принять уже существующую систему координат и определить все наши векторы в этой системе координат, или мы могли бы начать с набора базисных векторов и представить векторы как линейную комбинацию этих базисных векторов, то есть путем скалярного умножения и сложения базисные векторы мы можем создать любой вектор в пространстве при условии, что:

• Существует столько базисных векторов, сколько измерений в пространстве.
• Все базисные векторы независимы (не более двух в любой данной плоскости).

Таким образом, любая точка может быть идентифицирована по:

α V _a + β V _b

где:

• α, β = скалярные множители
• V _a , V _b = базисные векторы.

Итак, два скалярных множителя (α, β) могут представлять положение точки в терминах наших базисных векторов.Это приводит к способу работы с векторами чисто алгебраическим способом.

Алгебраические свойства

Алгебраический подход и его операции объяснены на этой странице, поэтому здесь мы просто дадим обзор.

Мы можем думать о векторе как о концепции массива на компьютерном языке, например,

• Векторы имеют размер, равный количеству элементов в массиве.
• Все элементы в векторе должны быть одного типа.

Однако есть отличие от компьютерного массива, потому что в случае компьютера элементами массива могут быть любые допустимые объекты, при условии, что все они одного типа. В случае векторов элементы должны иметь определенные математические свойства, в частности, для них должны быть определены операции сложения и умножения с определенными свойствами.Свойства, необходимые для элементов вектора, заключаются в том, что они должны образовывать математическую структуру, известную как поле (см. Рамку справа). В математической терминологии это известно как вектор над полем, другими словами вектор, элементами которого являются поля.

Эти операции взаимодействуют согласно свойству распределенности:

с * (b + c) = s * b + s * c

Что придает векторам линейное свойство. Теперь мы можем составить набор аксиом для векторов:

Где:

• a, b, c - векторы
• 0 - это тождественный вектор
• s, s1, s2 - скаляры
• 1 - тождественный скаляр

Сравните это с аксиомами поля (на этой странице)

Векторы также могут иметь дополнительную структуру, определенную в терминах других определенных для них умножений, таких как скалярные произведения и перекрестные произведения, как мы увидим позже.Это необязательные операции, единственными обязательными операциями являются сложение и скалярное умножение.

Векторное обозначение

До сих пор мы показывали вектор как набор значений в сетке, так как это более удобно на веб-странице html, но обычное обозначение вектора - помещать значения в квадратные скобки:

Где:

• x = компонент в измерении x.
• y = составляющая в измерении y.
• z = компонент по оси z.

Иногда, когда мы представляем весь вектор как символ, мы можем поместить стрелку над символом (в данном случае v ), чтобы подчеркнуть, что это вектор.

Или альтернативно, мы можем использовать следующие обозначения:

= a ₁ x + a ₂ y + a ₃ z

Где:

• x = единичный вектор в измерении x.
• y = единичный вектор в измерении y.
• z = единичный вектор в измерении z.

Первая форма более удобна при работе с матрицами, а вторая форму легче написать в текстовой форме.

Здесь «x», «y» и «z» - операторы, они часто могут использоваться в уравнениях аналогично переменным, но у них могут быть разные законы (например, умножение может не коммутировать). Это может быть удобным способом кодирования законов комбинирования векторов в обычной алгебре поиска.

Связь с другими математическими величинами

Мы можем расширить концепцию векторов (обычно добавляя дополнительные типы умножения для добавления к встроенному сложению и скалярному умножению), чтобы сформировать более сложные математические структуры, в качестве альтернативы мы можем рассматривать векторы как подмножества этих структур, например :

• Как подмножество матрицы или тензора (матрица 1 на n или n на 1).Матрица - это двумерный массив с скалярным произведением.
• Как подмножество мультивекторов (алгебра Клиффорда). Например, комплексные числа - это двухэлементные векторы с добавлением определенного типа умножения.

Чего мы не можем сделать, так это иметь вектор, элементы которого сами являются векторами. Это связано с тем, что элементы вектора должны быть математической структурой, известной как «поле», а вектор сам по себе не является полем, потому что он не обязательно имеет коммутативное умножение и другие свойства, необходимые для поля.

Тем не менее, было бы неплохо, если бы мы могли построить матрицу из вектора (нарисованного в виде столбца), элементы которого сами являются векторами (нарисованными в виде строки):

Чтобы создать матрицу путем объединения векторных структур, нам нужно сделать две вещи с «внутренним вектором»:

• Нам нужно сделать транспонирование так, чтобы это была строка, а не столбец.
• Нам нужна операция умножения, которая сделает его полем.

Для этого мы создаем «двойник» вектора, это называется ковектором, как описано на этой странице.

Векторы могут быть умножены на скаляры, даже если они являются отдельными объектами, векторы и скаляры не могут быть добавлены, например (только когда мы дойдем до алгебры Клиффорда), но мы можем определить тип умножения, называемый скалярным умножением, обычно обозначаемый '* 'или скаляр может быть записан рядом с вектором с подразумеваемым умножением. Этот тип умножения требует одного вектора и одного скаляра. Скалярное умножение умножает величину вектора, но не меняет его направления, поэтому:

если есть,

vOut = 2 * vIn

где:

тогда vOut будет вдвое больше vIn, но в том же направлении.

Квадратичная структура на линейном пространстве

Однако этих линейных свойств самих по себе недостаточно, чтобы определить свойства евклидова пространства, используя только алгебру. Чтобы иметь возможность определять такие понятия, как расстояние и угол, мы должны определить квадратичную структуру.

Например, пифагор:

r ² = x ² + y ² + z ²

в алгебраических терминах,

, если a - трехмерный вектор с основаниями e ₁ , _{e 2 , e 3}

a = a ₁ e ₁ + a ₂ e ₂ + a ₃ e ₃

так,

a • a = a ₁ ² + a ₂ ² + a ₃ ²

Другие векторные алгебры

В уже обсуждаемой векторной алгебре квадрат вектора всегда является положительным числом:

а х а = 0
a • a = положительное скалярное число

Однако мы могли бы определить одинаково действительную и непротиворечивую векторную алгебру, которая возводит в квадрат отрицательное число:

а × а = 0
a • a = отрицательное скалярное число

Мы также могли бы определить алгебру, в которой мы смешиваем размерности: квадрат с положительным, другой квадрат с отрицательным.Примером этого является квадрат Эйнштейна пространства-времени, пространства и времени в квадрате с разными значениями, если пространство квадратов в положительное значение, то квадрат времени в отрицательное и наоборот.

Приложения векторов

Для 3D программирования (тематика этого сайта) нас больше всего интересует с векторами из 2 или 3 чисел.

Вектор размерности 3 может представлять физическую величину, которая является направленной. например положение, скорость, ускорение, сила, импульс, и т.п.

Например, если вектор представляет точку в пространстве, эти 3 числа представляют положение в координатах x, y и z (см. системы координат). Где x, y и z - взаимно перпендикулярные оси в какое-то согласованное направление и единицы.

Трехмерный вектор может также представлять смещение в пространстве, например перевод в каком-то направлении. В случае библиотеки Java Vecmath эти это два класса: Point3f и Vector3f, оба производные от Tuple3f.(Обратите внимание на эти использовать числа с плавающей запятой, существуют также классы, оканчивающиеся на d, которые содержат двойные значения). Класс Point3f используется для представления абсолютных точек и Класс Vector3f представляет смещение. В большинстве случаев поведение этих классы одинаковы, насколько я знаю разница между этими классами когда они преобразуются матрицей Point3f будет транслироваться матрицей но Vector3f не будет.

Здесь мы разрабатываем следующие классы для хранения вектора и инкапсуляции операции, описанные здесь,

Можно было бы построить векторный класс, который мог бы содержать вектор любого измерение, но класс переменного измерения будет менее эффективным.Поскольку мы когда речь идет об объектах в трехмерном пространстве, важнее работать с двухмерными и трехмерными объектами. векторы эффективно.

Другие векторные величины

Альтернативная интерпретация векторов

До сих пор мы думали о векторе как о позиции на 2,3- или n-мерном пространстве. сетка. Однако для некоторых физических ситуаций может не быть готово определенного Декартова система координат. Альтернативой может быть представление вектора как линейная комбинация из 3-х базисов:

σ ₁
σ ₂
σ ₃

Эти основания не обязательно должны быть взаимно перпендикулярными (хотя в большинстве случаев они, вероятно, будут), но они должны быть независимыми друг от друга, другими словами, они не должны быть параллельны друг другу, и все 3 не должны быть в одной плоскости.

Таким образом, вектор в 3 измерениях может быть представлен как [a, b, c], где a, b и c представляют масштабирование 3-х базисов, чтобы сделать вектор следующим образом:

а σ ₁ + б σ ₂ + с σ ₃

Обратите внимание, что если этот вектор представляет положение, то это будет относительное положение, т.е. относительно некоторой другой точки, если мы хотим определить абсолютную точку, мы еще нужно определить происхождение.

Итак, остается проблема, как определить основу, могут быть некоторые естественные определение их в проблемной области.В качестве альтернативы мы могли бы определить базируются как трехмерные векторы с использованием системы координат. Но зачем беспокоиться сделайте это, если у нас есть система координат, почему бы просто не представить векторы в это система координат? Что ж, мы могли бы захотеть изменить систему координат или перевести все векторы каким-то образом (см. здесь). Например, мы могли бы захотеть представить точки на твердом объекте в некотором локальном системе координат, но твердый объект может сам двигаться относительно некоторого абсолютная система координат.

Дополнительная литература

Векторы могут управляться с помощью матриц, для пример переведен, повернут, масштабирован, отражен.

Есть математические объекты, известные мультивекторами, их можно использовать для выполнения многих задач, которые выполняют векторы, но у них нет некоторые ограничения (например, векторное векторное произведение ограничено 3-мя измерениями и не имеет обратного).