Базис (Лекция №17)

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ

1. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. если .

   Действительно, используя свойства операций умножения вектора на число и сложении векторов будем иметь

   .

   При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, т.е. если .

   Доказательство очевидно.

   Условие коллинеарности двух векторов в коорднинатной форме.

   Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Т.е. если , то.

   Доказательство:

   1. Пусть вектор коллинеарен , тогда найдется λ такое, что . Значит, и . Поскольку разложение вектора по элементам базиса единственно, то .
   2. Пусть выполняется равенство . Обозначим коэффициент пропорциональности через λ. Тогда и, следовательно, , т.е. . Теорема доказана.
      Пример.
      1. Даны векторы . Найти вектор .

         .

      2. Найти координаты вектора в базисе, образованном векторами , , .

         Обозначим координаты вектора в новом базисе . Тогда в новом базисе будем иметь:

         Итак, .

      Рассмотрим две произвольные точки и . Найдем координаты вектора .

      Очевидно, что . Но по определению координат вектора и . Следовательно,

      Таким образом, чтобы найти координаты вектора , нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала.

      Примеры.

      1. Заданы точкиA
         (1; -2; 3), B(2; 0; -1). Найти вектор .

      2. Даны A(-2; 3; 1), В(-1; 2; 0), С(0; 1; 1). Найти .

      3. Известно, что. Найти координаты точки D, если

         А(3; -4; -1), В(-4; 4; 1), С(-3; -5; 4).

         Пусть тогда

         . С другой стороны . Следовательно, должно выполняться равенство (x+3; y+5; z-4)=(5;10;-8). Отсюда

         x=2, y=5, z=-4, т.е. точка D имеет координаты D(2; 5; -4).

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА

Мы рассмотрели умножение вектора на число. Однако во многих задачах механики и физики встречается операция умножения вектора на вектор. Но при этом результат может быть как числом, так и вектором. Поэтому рассматривают два вида умножения векторов: скалярное и векторное.

Пусть даны два вектора и , угол между, которыми равен .

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение обозначается . Итак, .

Если один из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное произведение по определения считается равным нулю.

Рассмотрим свойства скалярного произведения.

1. Скалярное произведение двух векторов подчиняется коммутативному закону, т.е. для любых векторов и .

   Очевидно, из определения скалярного произведения:

   .

2. Для любого числа λ и любых векторов имеем:

   .

   Доказательство. Ограничимся случаем, когда λ > 0. В этом случае угол между векторами и совпадает с углом между векторами и , .

   Поэтому . Откуда

   Аналогично доказывается и равенство .

   Случай λ <0 рассмотреть самостоятельно.

3. Для любых векторов выполняется равенство .
   Доказательство. Используя определение скалярного произведения и свойства проекций вектора на ось, будем иметь

4. Для любого вектора выполняется соотношение.

   Действительно, так как , то .

   Из этого свойства в частности следует .

5. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда,когда равен нулю один из сомножителей или векторы перпендикулярны.

   Это свойство очевидно из определения скалярного произведения.

   Таким образом, необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

   Пример. Дан вектор . Известно, что

   Найти .

   Имеем, т.е. .

   Найдем:

   Следовательно, .

Рассмотрим, как находится скалярное произведение векторов, если они заданы в координатной форме. Пусть даны два вектора и .

Рассмотрим сначала все возможные скалярные произведения векторов друг на друга.

Поэтому

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат: .

Это соотношение позволяет вычислить длину вектора через его координаты:

.

Далее из определения скалярного произведения находим

.

Выражая скалярное произведение и длины векторов через их координаты,получим формулу для нахождения косинуса угла между векторами

.

Условие ортогональности двух векторов:

или .

Т.о., для того чтобы два вектора были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.

Примеры.

1. Пусть А(-1; 1; 0), B(3; 1; -2), . Найти:
   1. ;
   2. и ;
   3. .
      1. .
      2. .
      3. .
2. Найти в , если известны координаты его вершин A (1; 5; 6),

   B(5; 3; 10), C(2; 1; 14).

3. При каком значении m векторы и перпендикулярны?

   Условие ортогональности двух векторов .

   . Следовательно, m = 15.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА

Введем сначала понятие ориентации тройки векторов.

Пусть даны три некомпланарных вектора с общим началом, перечисленных в определенном порядке: первый – , второй – , третий – .

Тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной или просто

правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройку векторов называют левой, в этом случае если мы будем смотреть с конца вектора , то кратчайший поворот от к осуществляется по часовой стрелке.

Векторным произведением векторов и называется новый вектор , удовлетворяющий условиям:

1. Длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и .
2. Вектор перпендикулярен плоскости этого параллелограмма.
3. Он направлен так, что векторы и образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение векторов и обозначается символом . Если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то векторное произведение по определению считают равным нулю

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

1. Из определения следует, что длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах, и, следовательно, находится по формуле:

   .

   Таким образом, и .

2. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак .

   Действительно из определения векторного произведения следует, что векторы и имеют одинаковые модули, расположены на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Поэтому, векторы и являются противоположными векторами и поэтому .

3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. для любого числа λ и любых векторов

   .

   Доказательство этого свойства непосредственно следует из определения векторного произведения. Докажем для λ > 0. В этом случае . Тогда по определению векторного произведения

   Вектор перпендикулярен векторам и . Вектор также векторам и , т.к. векторы и , и лежат в одной плоскости. Следовательно, векторы и коллинеарны. Очевидно, что направления их также совпадают. Т. к. , и следовательно, , то .

   Поэтому .

   Аналогично проводится доказательство для случая λ < 0.

4. Для любых векторов имеет место равенство

   .

   Примем без доказательства.

5. Векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы коллинеарны.

   Действительно, если векторы коллинеарны, то , т.е. площадь параллелограмма, построенного на данных векторах,равна нулю.

   Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.

   В частности .

Примеры.

1. Раскрыть скобки

   .

2. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и , если известно, что и .

   .

   Найдем .

   .

Можно показать, что если и , то координаты векторного произведения векторов и находятся по формуле:

.

Примеры.

1. Найти векторное произведение векторов и .

   .

2. Найти площадь , если A(2; 3; 1), B(-1; -2; 0), C(-3; 0; 1).

3. Даны векторы . Найти параметры n, p, q если известно, что векторы и коллинеарны, а векторы и ортогональны.

   Так как векторы и коллинеарны, то . Векторы и ортогональны, поэтому . Итак, получили систему уравнений

Действия с векторами в координатах

В первой части урока мы рассматривали правила сложения векторов и умножения вектора на число. Но рассматривали их с принципиально-графической точки зрения. Посмотрим, как данные правила работают аналитически – когда заданы координаты векторов:

1) Правило сложения векторов. Рассмотрим два вектора плоскости и . Для того, чтобы сложить векторы, необходимо сложить их соответствующие координаты: . Как просто. На всякий случай запишу частный случай – формулу разности векторов: . Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, добавим например, вектор и найдём сумму трёх векторов:

Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы , то их суммой является вектор .

2) Правило умножения вектора на число. Ещё проще! Для того чтобы вектор умножить на число , необходимо каждую координату данного вектора умножить на число :
.

Для пространственного вектора правило такое же:

Приведённые факты строго доказываются в курсе аналитической геометрии.

Примечание:Данные правила справедливы не только для ортонормированных базисов , но и для произвольного аффинного базиса плоскости или пространства. Более подробно о базисах читайте в статьеЛинейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.

Пример 7

Даны векторы и . Найти и

Решение чисто аналитическое:

Ответ:

Чертеж в подобных задачах строить не надо, тем не менее, геометрическая демонстрация будет весьма полезной. Если считать, что векторы заданы в ортонормированном базисе , то графическое решение задачи будет таким:

Коль скоро речь идет только о векторах в ортонормированном базисе, то оси рисовать не обязательно. Достаточно начертить базисные векторы, причём, где угодно. Ну, и координатную сетку для удобства. Строго говоря, ранее я допустил небольшой огрех – в некоторых чертежах урока тоже можно было не чертить декартову прямоугольную систему координат. Векторам она не нужна, им нужен базис. Впрочем, лучше всегда рисуйте, а то напугаете всех своими знаниями =)

Как видите, графический способ решения привёл к тем же результатам, что и аналитический способ решения. Ещё раз заметьте свободу векторов: любую из трёх «конструкций» можно переместить в любую точку плоскости.

Для векторов в пространстве можно провести аналогичные выкладки. Но там чертежи строить значительно сложнее, поэтому ограничусь аналитическим решением (на практике, собственно, бОльшего и не надо):

Пример 8

Даны векторы и . Найти и

Решение:Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:

Ответ:

И в заключение занятный пример с векторами на плоскости:

Пример 9

Даны векторы . Найти и

Это задача для самостоятельного решения.

Какой вывод? Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты, главное, не допустить вычислительных ошибок. Следующие рекомендуемые к изучению уроки:

!!! Скалярное произведение векторов
Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов
Векторное и смешанное произведение векторов

Это, так скажем, вектор-минимум студента =)

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Решения и ответы:

Задание: ,

Пример 2:Решение:
а)

б)

в)

г)

Пример 4:Решение:
По соответствующей формуле: и

Ответ:

 

Свойство умножения вектора на число Планометрия

Привет, сегодня поговорим про свойство умножения вектора на число, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое свойство умножения вектора на число , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Планометрия

Теорема  

Абсолютная величина вектора λa равна |λ| |a|. Направление вектора λa при a≠ 0 совпадает с направлением вектора a, если λ>0, и противоположно направлению вектора a, если λ<0. 

свойство умножения вектора на число » /> 

Доказательство. 

Построим векторы OA и OB равные a и λa соответственно (O – начало координат) . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Пусть a1 и a2 – координаты вектора  a. Тогда координатами точки A будут числа a1 и a2 координатами точки B – числа λa1 и λa2. Уравнение прямой OA имеет вид: αx + βy = 0. 
Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A (a1; a2), то ему удовлетворяют и координаты точки B (λa1; λa2). Отсюда следует, что точка B лежит на прямой OA. Координаты c1 и c2 любой точки C, лежащей на луче OA, имеют те же знаки, что и координаты a1 и a2 точки A, и координаты любой точки, которая лежит на луче, дополнительном к OA, имеют противоположные знаки.
Поэтому, если λ > 0, то точка B лежит на луче OA, а следовательно, векторы a и λa одинаково направлены. Если λ < 0, то точка B лежит на дополнительном луче и векторы a и λa противоположно направлены. 
Абсолютная величина вектора λa равна: 

 

Теорема доказана.

Если я не полностью рассказал про свойство умножения вектора на число? Напиши в комментариях Надеюсь, что теперь ты понял что такое свойство умножения вектора на число и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Планометрия

Самостоятельная работа по теме «Координаты суммы, разности, умножения вектора на число»

 

Вариант 1

1. Найти координаты вектора  — , если ; .
2. Найти координаты вектора +, если ; .
3. Найти координаты вектора –6, если .
4. Найти координаты вектора =3–5, если ; .
5. Запишите  координаты   данных   векторов,  если  их  разложение по координатным векторам имеет вид:  .
6. Запишите разложение данного вектора   по координатным векторам.

 

 

 

 

Вариант 1

1. Найти координаты вектора  — , если ; .
2. Найти координаты вектора +, если ; .
3. Найти координаты вектора –6, если .
4. Найти координаты вектора =3–5, если ; .
5. Запишите  координаты   данных   векторов,  если  их  разложение по координатным векторам имеет вид:  .
6. Запишите разложение данного вектора   по координатным векторам.

 

 

 

 

 

Вариант 2

1. Найти координаты вектора -, если ,.
2. Найти координаты вектора +, если ; .
3. Найти координаты вектора 4, если .
4. Найти координаты вектора =4–3, если ; .

5.      Запишите  координаты   данных   векторов,  если  их  разложение по координатным векторам имеет вид:  .

6.      Запишите разложение данного вектора   по координатным векторам.

 

 

 

 

Вариант 2

1. Найти координаты вектора -, если ;.
2. Найти координаты вектора +, если  .
3. Найти координаты вектора 4, если .
4. Найти координаты вектора =4–3, если ; .

5.      Запишите  координаты   данных   векторов,  если  их  разложение по координатным векторам имеет вид:  .

6.      Запишите разложение данного вектора   по координатным векторам.

 

 

Координаты вектора. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

 

Координаты вектора. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

Если векторы a⃗ и b⃗ коллинеарны и a⃗≠0⃗, то существует такое число k, что b⃗=ka⃗.

Пусть a⃗ и b⃗ – два данных вектора. Если вектор p представлен в виде p⃗=xa⃗+yb⃗, где x и y – некоторые числа, то говорят, что вектор p⃗ разложен по векторам a⃗ и b⃗. Числа x и y называются коэффициентами разложения.

Теорема

На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Напомню, что для задания прямоугольной системы координат нужно провести две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрать направление (оно обозначается стрелкой) и выбрать единицу измерения отрезков. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.

В дальнейшем под длиной отрезка мы будем понимать это число.

 

 

Отложим от начала координат O единичные векторы (т.е. векторы, длины которых равны единице) i⃗ и j⃗ так, чтобы направление вектора i⃗совпало с напралением оси Ox, а направление вектора j⃗ – с направлением оси Oy. Векторы i⃗ и j⃗ назовем координатными векторами.

Координатные векторы не коллинеарны, поэтому любой вектор p⃗ можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде p⃗=xi⃗+yj⃗, причем коэффициенты разложения (числа x и y) определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p⃗ по координатным векторамназываются координатными векторамиp⃗ в данной системе координат. Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: p⃗{x;y}.

Так как нулевой вектор можно представить в виде 0⃗=0.i⃗+0^.j⃗, то его координаты равны нулю: 0⃗{0;0}. Если векторы a⃗=x1i⃗+y1j⃗ и b⃗=x₂i⃗+y₂j⃗ равны, то x₁ = x₂ и y₁ = y₃. Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

Рассмотрим правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число.

1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

   Докажем это утверждение для двух векторов. Рассмотрим векторы a{x1;y1} и b{x2;y2}. Так как a⃗=x1i⃗+y1j⃗ и b ⃗=x2i⃗ +y2j⃗ ,то, пользуясь свойствами сложения векторов и умножения вектора на число, получим:

   a⃗+b⃗=x₁i⃗+y₁j⃗+x₂i⃗+y₂j⃗=(x₁+x₂)i⃗+(y₁+y₂)j⃗ .

   Следовательно, что координаты вектора a⃗+b⃗ равны {x1+x2;y1+y2}.

   Аналогично доказывается следующее утверждение:

2. Каждая координата разности двух или более векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

   Иными словами, если a⃗{x₁;y₁} и b⃗{x₂;y₂} – данные векторы, то вектор a⃗–b⃗ имеет координаты {x1-x2;y1-y2}.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

   В самом деле, пусть вектор a⃗ имеет координаты {x;y}. Найдем координаты вектора ka⃗, гдеk – произвольное число. Так как a⃗=xi⃗+yj⃗, то kxi⃗+kyj⃗. Отсюда следует, что координаты вектора ka⃗ равны {kx;ky}.

   Рассмотренные правила позволяют определить координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.

   Найти координаты вектора a⃗+b⃗,если a⃗{3;2},b⃗{2;5}

   Чтобы найти координаты вектора суммы, надо сложить соответствующие координаты данных векторов, получим:

   a⃗+b⃗ имеет координаты {3 + 2; 2 + 5}, то есть {5; 7}

   Найти координаты вектора 2a⃗, если a⃗{3;2}

   Значит, вектор 2a⃗ имеет координаты {2 ⋅ 3; 2 ⋅ 2}, то есть {6;4}

Итак, сегодня мы узнали, что любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, ввели понятие координат вектора и рассмотрели правила, позволяющие находить координаты суммы, разности векторов, и произведения вектора на число. А в следующий раз мы найдем связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.

8.8: Векторы — математика LibreTexts

Пример \ (\ PageIndex {2B} \): показывает, что два вектора равны

Покажите, что вектор \ (\ vec {v} \) с начальной точкой в ​​\ ((5, −3) \) и конечной точкой в ​​\ ((- 1,2) \) равен вектору \ (\ vec { u} \) с начальной точкой в ​​\ ((- 1, −3) \) и конечной точкой в ​​\ ((- 7,2) \). Нарисуйте вектор положения в той же сетке, что и \ (\ vec {v} \) и \ (\ vec {u} \). Затем найдите величину и направление каждого вектора.

Решение

Как показано на рисунке \ (\ PageIndex {8} \), нарисуйте вектор \ (\ vec {v} \), начиная с начальной \ ((5, −3) \) и конечной точки \ ((- 1,2 ) \).Нарисуйте вектор \ (\ vec {u} \) с начальной точкой \ ((- 1, −3) \) и конечной точкой \ ((- 7,2) \). Найдите стандартную позицию для каждого.

Затем найдите и нарисуйте вектор положения для \ (\ vec {v} \) и \ (\ vec {u} \). У нас

\ [\ begin {align *} v & = ⟨− 1−5,2 — (- 3)⟩ \\ [4pt] & = ⟨− 6,5⟩u \\ [4pt] & = ⟨− 7− (−1), 2 — (- 3)⟩ \\ [4pt] & = ⟨− 6,5⟩ \ end {align *} \]

Поскольку векторы позиций одинаковы, \ (\ vec {v} \) и \ (\ vec {u} \) одинаковы.

Альтернативный способ проверки равенства векторов — показать, что величина и направление одинаковы для обоих векторов.{−1} \ left (- \ dfrac {5} {6} \ right) \\ [4pt] & = −39,8 ° \ end {align *} \]

Однако мы видим, что вектор положения заканчивается во втором квадранте, поэтому мы добавляем \ (180 ° \). Таким образом, направление равно \ (- 39,8 ° + 180 ° = 140,2 ° \).

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \)

Можете ли вы умножить скаляр на вектор? — MVOrganizing

Можно ли умножить скаляр и вектор?

Однако скаляр нельзя умножить на вектор.Чтобы умножить вектор на скаляр, просто умножьте аналогичные компоненты, то есть величину вектора на величину скаляра. Это приведет к новому вектору с тем же направлением, но произведению двух величин.

Можно ли разделить вектор на скаляр?

Нет, деление вектора смещения на скаляр не изменяет направление, а только величину (это верно для типичных декартовых систем координат с чисто пространственными координатами). тогда обе координаты изменяются с одинаковым соотношением (обе уменьшаются вдвое) и направление одинаковое.

Как умножение вектора на скалярное значение числа пи меняет вектор?

Умножение векторной величины на скалярную величину только увеличит величину векторной величины. Направление вектора все равно останется прежним. Таким образом, ответ будет буквой C. Не изменит направление, только увеличится величина.

Что, если мы умножим скаляр на единичный вектор?

Величина единичного вектора изменится на величину умножения скаляра.Не направление. Поскольку направление фиксируется после применения вычисления единичного вектора. Это вектор, деленный на его величину.

Какая формула вектора?

Векторное уравнение прямой, проходящей через точку a в направлении d: r = a + td, где t изменяется.

Что произойдет, если вектор умножить на 2?

Когда вектор умножается на {-2}, результирующий вектор оказывается в противоположном направлении, а величина удваивается.

Что произойдет, если вектор умножить на 10?

Что произойдет, если вектор умножить на 10? а) Величина вектора в десять раз больше, чем у него. направление остается прежним.

Можете ли вы перемножить два вектора?

Точечное произведение — также известное как «скалярное произведение», операция, которая берет два вектора и возвращает скалярную величину. Скалярное произведение двух векторов может быть определено как произведение величин двух векторов и косинуса угла между двумя векторами.

Что произойдет, если умножить вектор на?

Когда вектор умножается на скаляр, размер вектора «масштабируется» в большую или меньшую сторону. Умножение вектора на положительный скаляр изменит только его величину, но не направление. Когда вектор умножается на отрицательный скаляр, направление меняется на противоположное.

Когда вектор умножается на нулевой вектор получаем?

Если вектор умножается на ноль, результатом является нулевой вектор.

Что такое скалярное кратное вектора?

Скалярное умножение — это умножение вектора на скаляр (где произведение — вектор), и его следует отличать от внутреннего произведения двух векторов (где произведение — скаляр).

Может ли вектор быть любым действительным числом?

Действительные числа представляют собой векторное пространство над самими действительными числами: как таковые, они представляют собой векторное пространство размерности 1. Действительные числа также являются векторным пространством над рациональными числами: на этот раз это бесконечномерное векторное пространство. .

Что означает ∈?

установить членство

Какое наименьшее натуральное число?

1

Какое наибольшее натуральное число?

Нет наибольшего натурального числа.Следующее натуральное число можно найти, прибавив 1 к текущему натуральному числу, в результате чего получатся числа, которые будут продолжаться «вечно». Не существует бесконечного натурального числа. Любое натуральное число можно получить, прибавив единицу к наименьшему натуральному числу.

75 — натуральное число?

75 (семьдесят пять) — натуральное число после 74 и перед 76… .75 (число)

← 74 75 76 →
← 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 → Список чисел — Целые числа ← 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 →
Кардинал	семьдесят пять
Порядковый номер	75-я (семьдесят пятая)
Факторизация	3 × 52

Какие первые 10 натуральных чисел?

Следовательно, первые десять натуральных чисел — это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.И среднее трех чисел a, b, c равно a + b + c3. Следовательно, среднее значение первых 10 натуральных чисел равно 5,5.

Какое наибольшее и наименьшее целое число?

Итак, 1 — наименьшее натуральное число, а 0 — наименьшее целое число. Но не существует наибольшего целого или натурального числа, потому что у каждого числа есть его преемник. Каждое целое число состоит из одного или нескольких символов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

Какие наименьшие числа, которые вы знаете, вы думаете, что это действительно наименьшее число?

Ответ: 1.) 0. это наименьшее число из целых чисел.

Введение в трехмерную математику — Гарольд Серрано

Введение

Всякий раз, когда вы перемещаете персонажа по экрану, в игру вступают концепции Линейная алгебра . Векторы постоянно обрабатываются матрицей ; по сути Преобразование , системы координат вектора. Движение в трехмерной графике происходит, когда система координат персонажа преобразуется в другую систему координат.

Вектор — это просто объект, который имеет величину, но также содержит информацию о его направлении. Вектор представляет смещение между двумя объектами. Матрица — это объект, который содержит в себе информацию, необходимую для преобразования одной системы координат в другую.

A Преобразование — это процесс преобразования системы координат объекта в другую систему координат. Матрица преобразования — это матрица, используемая для преобразования систем координат.Система координат вектора будет преобразована простым умножением вектора на матрицу преобразования.

Основные понятия линейной алгебры

Векторы

Каждую вершину символа можно назвать вектором с n -числом компонентов. Каждый из этих компонентов представляет смещение по оси x, y или z. Например, вершина, представленная как вектор (2,3,1), представляет собой смещение на две единицы по оси x; три единицы по оси ординат; одна единица по оси z.

Векторы не имеют понятия позиции. Два вектора, расположенные в разных положениях в системе координат, идентичны, если они имеют одинаковую величину и направление.

Матрица

Полезность матрицы в компьютерной графике заключается в ее способности преобразовывать геометрические данные в различные системы координат. Матрица состоит из элементов, упорядоченных по строкам и столбцам. Строки и столбцы матрицы определяют размерность матрицы.

Матрица, содержащая 2 строки и 3 столбца, имеет размерность 2×3 .Размеры в матричной арифметике очень важны, поскольку некоторые операции невозможны, если матрицы не имеют одинаковых размеров.

Преобразование

Систему координат вектора можно вращать, масштабировать или наклонять. Как это происходит, зависит от элементов матрицы преобразования . Матрицы преобразования, которые вращают, масштабируют или наклоняют систему координат, называются матрицами преобразования Rotation , Scale и Skew соответственно.

Когда вектор умножается на Матрица преобразования вращения , элементы матрицы манипулируют вектором и вращают его систему координат. То же самое относится к преобразованию масштаба или перекоса.

Матрица преобразования вращения может вращать систему координат вокруг оси x, y или z. Матрицы преобразования вращения также можно комбинировать для образования двойных или тройных поворотов. Этот тип вращения называется вращения Эйлера . Например, мы можем объединить поворот вокруг оси x с вращением вокруг оси y , создав новую матрицу преобразования, которая будет вращать систему координат вокруг оси x и y одновременно.

Операции линейной алгебры

Операции с векторами

Векторы можно складывать и вычитать между собой. Векторы можно умножать на скаляр, но нельзя умножать между собой. В векторной арифметике есть два эквивалента умножения. Это: Точечное произведение и Перекрестное произведение . Точечное произведение создает скаляр и в основном используется для определения угла между векторами. Перекрестное произведение создает вектор, перпендикулярный векторам множимого и множителя.

Операции с матрицами

Матрицы можно складывать и вычитать. Однако они должны быть одного размера. Матрицы можно умножать на скаляр. В отличие от сложения матриц, умножение матриц не требует, чтобы матрицы имели одинаковые размеры. Однако количество строк в одной матрице должно быть равно количеству столбцов во второй матрице.

Преобразования в 3D

Основная интересующая нас операция линейной алгебры называется Преобразованием .Преобразования происходят, когда вектор умножается на матрицу преобразования . Чтобы понять, как это делается, сначала рассмотрим, как вектор умножается на матрицу. Затем вы познакомитесь с матрицей преобразования Rotation Transformation Matrix и с тем, как она вращает систему координат вектора.

Вектор, умноженный на матрицу

Вектор состоит из компонентов, каждая из которых представляет смещение вдоль оси. Размерность вектора определяет количество компонентов в векторе.Трехмерный вектор будет содержать три компонента; x, y и z. Математически вектор представлен следующим образом:

Основные уравнения линий и плоскостей

Основные уравнения линий и плоскостей

Основные уравнения линий и плоскостей

Уравнение прямой

Важной темой школьной алгебры является «уравнение прямой». Это означает уравнение относительно x и y, множество решений которого представляет собой линию в (x, y) самолет.

Самая популярная форма в алгебре — это форма «наклон-пересечение»

y = mx + b.

Фактически это использует x как параметр и записывает y как функцию от x: y = f (x) = mx + b. Когда x = 0, y = b и точка (0, b) является пересечением прямой с осью Y.

Думая о линии как о геометрическом объекте, а не о графике функции, имеет смысл относиться к x и y более беспристрастно. Общее уравнение для строка (нормальная форма) —

ax + by = c,

с условием, что хотя бы одно из a или b не равно нулю.Это может легко преобразовать в форму пересечения наклона путем решения для y:

y = (-a / b) + c / b,

, за исключением особого случая b = 0, когда линия параллельна оси y.

Если коэффициенты в нормальной форме умножить на ненулевую константу, множество решений точно такое же, поэтому, например, все эти уравнения имеют ту же строку, что и решение.

2x + 3 y = 4
4x + 6y = 8
-x — (3/2) y = -2
(1/2) x + (3/4) y = 1

В общем, если k — ненулевая константа, то это уравнения для та же строка , так как у них одинаковые решения.

ax + by = c
(ka) x + (kb) y = kc.

Популярный выбор для k в случае, когда c не равно нулю, это k = (1 / с). Тогда уравнение принимает вид

(a / c) x + (b / c) y = 1.

Еще одна полезная форма уравнения — разделить на | (a, b) |, квадратный корень из ² + b ² . Этот выбор будет объяснен в разделе Normal Vector.

Упражнение : Если на линии стоит O, покажите, что уравнение принимает вид ax + by = 0 или y = mx.

Упражнение: Найдите пересечения этой прямой с оси координат.

Упражнение : Каково уравнение прямой, проходящей через (0,0) а точка (h, k)?

---

Нахождение уравнения прямой, проходящей через 2 точки на плоскости

Для любых двух точек P и Q существует ровно одна прямая PQ, проходящая через точки. Если координаты точек P и Q известны, то коэффициенты a, b, c Уравнение для линии можно найти, решив систему линейных уравнений.

Пример : Для P = (1, 2), Q = (-2, 5) найдите уравнение ax + by = c строки PQ.

Поскольку точка P находится на прямой, ее координаты удовлетворяют уравнению: a1 + b2 = c, или a + 2b = c.
Поскольку Q находится на линии, его координаты удовлетворяют уравнению: a (-2) + b5 = c, или -2 a + 5b = c.

Умножьте первое уравнение на 2 и сложите, чтобы исключить a из уравнения: 4b + 5b = 9b = 2c + c = 3c, поэтому b = (1/3) c. Затем подставляя в первый уравнение, a = c — 2b = c — (2/3) c = (1/3) c.

Это дает уравнение [(1/3) c] x + [(1/3) c} y = c . Почему не решено? Помните, что существует бесконечное количество уравнений для линии, каждая из которых кратна другой. Мы можем вынести c (или установить c = 1 для того же результата) и получите (1/3) x + (1/3) y = 1 в качестве одного варианта уравнение для линии. Другой вариант: c = 3: x + y = 3 , что очистил знаменатели.

Этот метод всегда работает для любых различных P и Q.Конечно, есть формула также для a, b, c. Это может быть выражено детерминантами , или крестное произведение .

Упражнения : Найдите уравнения этих прямых. Обратите внимание на особые случаи.

Линия через (3, 4) и (1, -2).
Строка через (3, 4) и (-6, -8).
Строка через (3, 4) и (3, 7).

---

Связь с параметрической формой линии

Для двух точек P и Q точки прямой PQ можно записать как F (t) = (1-t) P + tQ, если t пробегает все действительные числа.Если и P, и Q удовлетворяют одному и тому же уравнение ax + by = c, то вычисление показывает, что это также верно для (1-t) P + tQ для любого выбора t.

Вот это вычисление. Пусть P = (p ₁ , p ₂ ), Q = (q ₁ , q ₂ ). Тогда, поскольку точки находятся на линии, мы знаем, что оба

ap ₁ + bp ₂ = c
aq ₁ + bq ₂ = c.

Для точки F (t) мы должны проверить a [(1-t) p ₁ + tq ₁ ] + b [(1-t) p ₂ + tq ₂ ] = с.Но левую часть можно переставить как (1-t) (ap ₁ + bp ₂ ) + t (aq ₁ + bq ₂ ), и это равно (1-t) c + tc = c. Так что уравнение выполнено. Сравните это явное вычисление с данным вычислением для плоскости, которая использует точечное произведение. Вычисления те же, но одно показывает больше деталей, а один скрывает координаты и показывает более концептуальный рисунок.

---

---

Уравнение плоскости

Самолет в 3-м пространстве имеет уравнение

ax + by + cz = d,

, где хотя бы одно из чисел a, b, c должно быть ненулевым.

Что касается линии, если уравнение умножить на любую ненулевую константу k, чтобы получаем уравнение kax + kby + kcz = kd, плоскость решений такая же.

Если c не равно нулю, часто полезно думать о плоскости как о графике функция z от x и y. Уравнение можно переформулировать так:

z = — (a / c) x + (-b / c) y + d / c

Еще один полезный выбор, когда d не равно нулю, — разделить на d так, чтобы константа термин = 1.

(a / d) x + (b / d) y + (c / d) z = 1.

Еще одна полезная форма уравнения — разделить на | (a, b, c) |, квадрат корень ² + b ² + c ² . Этот выбор будет быть объяснено в разделе Normal Vector.

Упражнение: Где плоскость ax + by + cz = d пересекает координату топоры?

Упражнение: В чем особенность уравнения плоскости, проходящей через через 0.

---

Нахождение уравнения плоскости через 3 точки в космос

Даны точки P, Q, R в пространстве, найти уравнение плоскости через 3 точки.

Пример : P = (1, 1, 1), Q = (1, 2, 0), R = (-1, 2, 1). Ищем коэффициенты уравнения ax + by + cz = d, где P, Q и R удовлетворяют уравнениям, таким образом:

a + b + c = d
a + 2b + 0c = d
-a + 2b + c = d

Вычитая первое уравнение из второго и затем добавляя первое уравнение к третьему, мы исключаем a, чтобы получить

b — c = 0
4b + c = 2d

Сложение уравнений дает 5b = 2d или b = (2/5) d, затем решение для c = b = (2/5) d, а затем a = d — b — c = (1/5) d.

Итак, уравнение (с ненулевой константой, которую можно выбрать): d (1/5) x + d (2/5) y + d (2/5) z = d, поэтому один выбор константы дает

х + 2у + 2z = 5

или другой вариант: (1/5) x + (2/5) y + (2/5) z = 1

Учитывая координаты точек P, Q, R, существует формула для коэффициентов плоскость, в которой используются детерминанты или перекрестное произведение .

Упражнение. Какое уравнение плоскости проходит через точки I, J, K?

Упражнение: Каково уравнение плоскости через (1, 1, 1), (-1, 1, -1) и (1, -1, -1)?

Упражнение: сравните этот метод нахождения уравнения плоскости с перекрестным произведением. метод.

---

Связь с параметрической формой плоскости

Для 3 точек P, Q, R все точки плоскости могут быть записаны в параметрическом образуют F (s, t) = (1 — s — t) P + sQ + tR, где s и t пробегают все действительные числа.

Вычисление, подобное приведенному выше для уравнения линии, показывает, что если P, Q, R все удовлетворяют одному и тому же уравнению ax + by + cz = d, тогда все точки F (s, t) также удовлетворяют тому же уравнению.

Это ключ к пониманию того, что уравнение ax + by + cz = d на самом деле является уравнением плоскости (когда хотя бы один из a, b, c не равен нулю.

Это вычисление здесь производиться не будет, так как оно может быть выполнено гораздо проще. с использованием скалярного произведения .

Вернуться к индексу векторных координат

векторных изображений — Nexus Wiki

Поскольку мы будем описывать движение в нескольких направлениях — и поскольку такие движения часто требуют двух или трех независимых пространственных координат, наше описание положения представляет собой математическую величину, отличную от числа, даже с единицами измерения расстояния.

Чтобы указать позицию, мы должны указать три числа. Например, если вы были в Нью-Йорке, вы могли бы сказать во время обеда: «Давай встретимся на углу 5-й авеню и 42-й улицы». (2 координаты) Конечно, вы могли бы сказать: «Давайте встретимся прямо перед лифтами на третьем этаже Times Building на углу 5-й авеню и 42-й улицы». (3 координаты) (И действительно, поскольку вы указываете не просто местоположение, а событие , вам нужно будет указать дату , когда встретит вас там: 4 координаты.Давайте более подробно рассмотрим математическую модель, которую мы используем для описания местоположения.

Наша математическая модель теперь не просто отображение точки в пространстве в одно число, а в набор чисел. Если мы выбрали начало координат и оси, мы можем использовать нашу первую координату как указание местоположения по оси x, а вторую — по оси y, точно так же, как когда мы рисовали график для глаза. Когда мы говорим о графах положение-положение, мы обычно указываем местоположение как смещение от начала координат (считается фиксированным) и записываем пару чисел следующим образом: ( x, y ), где x и y — расстояния (с единицами измерения).

Поскольку мы говорим о пространственных координатах, мы склонны выбирать символы x , y и z для трех задействованных координат).

Векторы положения

Но с нашим графиком x-y — графиком для глаза — двумерный график действительно должен обозначать изображение физического пространства — карту. Иногда полезно думать о точке в пространстве как о единственном смещении от начала координат и представлять это как новый вид математического объекта — вектор положения: стрелку, идущую непосредственно из начала координат в положение, указанное координатами ( x , и ).Мы называем эту стрелку вектором .

Вектор — это больше, чем просто пара чисел; он имеет физический смысл: смещение от начала координат в определенном направлении на определенное расстояние . Как только у нас появится эта идея, мы сможем представить один и тот же вектор множеством разных способов. Мы могли вращать систему координат вокруг начала координат. Мы могли бы выбрать другую шкалу для измерения расстояний. Но вектор положения — направление и расстояние до интересующей нас точки в пространстве от начала координат — останется прежним.(Если, конечно, вы не переместите начало координат своей системы координат! Вот почему мы должны сначала исправить нашу исходную точку.)

Хороший способ физически понять, что означает вектор — это настоящая стрелка. Концы стрелки привязаны к нашей исходной точке, длина стрелки представляет собой расстояние от начала координат, а кончик представляет фактическое положение рассматриваемой нами точки в пространстве. Другими словами, вектор действительно описывает смещение, необходимое для перехода от начала координат к определенной позиции в пространстве.

Хотя это может сбивать с толку, мы обычно НЕ различаем точку на вершине вектора — позицию — и вектор, который указывает на нее из начала координат. Можно сказать что-то вроде «мое положение задается этим вектором».

Мы идентифицируем в символах, что величина имеет направление, а также позицию, помещая на нее маленькую стрелку, например: $ \ overrightarrow {r} $. (Иногда в учебниках векторы выделяются жирным шрифтом.)

Чтобы установить связь между геометрической картиной и алгеброй, нам нужно будет произвести вычисления, мы вводим обозначение, которое позволяет нам включать направление в наше алгебраическое представление уравнений.Это окажется чрезвычайно полезным при построении математической модели, которая описывает, где что-то находится.

Мы указываем направления, о которых говорим, рисуя две маленькие стрелки единичной длины (без размеров или единиц!) В наших двух перпендикулярных направлениях. Затем мы умножаем их на расстояние (положительное или отрицательное) с единицей измерения. Это позволяет нам отделить (в алгебре) направление от количества.

Положительное направление по оси x указано стрелкой под названием «$ \ hat {i} $» с небольшой шляпкой над ней, чтобы показать, что это единичный вектор — вектор с размером 1 и без размеров.Положительное направление y указано стрелкой под названием «$ \ hat {j} $» с маленькой шляпкой над ней.

Чтобы получить вектор, который имеет единицы измерения, мы умножаем $ \ hat {i} $ и $ \ hat {j} $ на то, что мы хотим, чтобы вектор был — например, расстояние, если нам нужен вектор положения (или смещения). . Итак, мы пишем:

$$ \ overrightarrow {r} = x \ hat {i} + y \ hat {j} $$

• Буква «r» со стрелкой над ней — это вектор положения .
• «$ \ hat {i} $» и $ \ hat {j} $ — это единичный вектор, определяющий положительные направления x и y. Они безразмерны (несмотря на то, что их называют «единичными векторами»).
  
• « x » и «y» называются координатами . Они имеют единицы измерения и могут быть положительными или отрицательными, с отрицательным знаком, указывающим вам изменить направление единичного вектора, с которым он связан.

Координаты и направления

Если мы хотим указать вектор в 2D, мы можем указать положительные направления x и y (используя единичные векторы $ \ hat {i} $ и $ \ hat {j} $) и x и y координаты точки в пространстве, которая находится на вершине нашего вектора.Но это не единственный способ описать вектор в этой системе координат. 2} $$

$$ \ tan {\ theta} = \ frac {y} {x} $$

Их можно перевернуть, чтобы получить

$$ x = r \ cos {\ theta} $$

$$ y = r \ sin {\ theta} $$.

Предупреждения:

• Если мы перемещаемся только в одномерном пространстве, подходящий способ записать смещение — это $ \ overrightarrow {r} = x \ overrightarrow {i} $, но часто, особенно в начале этого класса, иногда используется x-координата сам по себе.
• Иногда пара координат записывается просто как (x, y) — и эта пара чисел, записанных в круглых скобках вокруг них, описывается как «вектор». Это нормально, только если вы никогда не собираетесь менять используемую систему координат, поскольку фактические направления x и y ($ \ hat {i} $ и $ \ hat {j} $) скрыты.

Векторы в 3D

Иногда нам нужны векторы в 3D. Затем мы добавим третий единичный вектор «$ \ hat {k} $», указывающий перпендикулярно плоскости x-y и соответствующий координате z.

Иногда, когда мы работаем с векторами в 3D, нам нужно указать на экране или бумаге, что вектор указывает за пределы экрана или внутрь него. Когда нам нужно это сделать, мы будем использовать этот символ для «направления на вас перпендикулярно экрану»: $ \ odot $. Думайте об этом как о наконечнике стрелы, который выглядит так, как будто острие стрелки приближается к вам.Мы будем использовать этот символ для того, чтобы «указывать от вас перпендикулярно экрану»: ⊗. Думайте об этом как о хвостовых перьях стрелы, которые выглядят так, как будто стрела улетает от вас.

Джо Редиш и Вольфганг Лозерт 02.09.2012

Страница не найдена | Ларсон Precalculus — Precalculus 9e

MathArticles.com предоставляет соответствующие статьи из известных математических журналов. Статьи согласованы по тематике исчисления Ларсона.Посетите MathArticles.com, чтобы получить доступ к статьям из:

Журнал	Организации
AMATYC Обзор	Американская математическая ассоциация двухгодичных колледжей
Американский математический ежемесячник	Математическая ассоциация Америки
Журнал математики колледжа	Математическая ассоциация Америки
Журнал химического образования	Американское химическое общество
Математические горизонты	Математическая ассоциация Америки
Математический вестник	Математическая ассоциация (Великобритания)
Математический журнал	Математическая ассоциация Америки
Учитель математики	Национальный совет учителей математики
Учитель физики	Американская ассоциация учителей физики
Scientific American	Scientific American
Журнал UMAP	Консорциум математики и ее приложений

Математика, лежащая в основе преобразований

В моем предыдущем посте я говорил о преобразованиях, связанных с вращением вида вокруг внешней точки, но я также сказал, что вам не нужно понимать матрицы для работы с преобразованиями.Если вы не согласны с этим и все же хотите узнать, как матрицы заставляют работать преобразования, то этот пост для вас.

Этот пост не преследует цель охватить всю линейную алгебру, достаточно только для понимания преобразований.

У нас есть объекты на нашем экране, которые визуально определяются четырьмя углами прямоугольника, внутри которого они находятся. Даже объекты, которые сами не являются прямоугольниками, могут содержаться в прямоугольнике. Мы знаем, что применение преобразования к этому объекту на экране приводит к изменению его положения, размера или поворота на экране.Преобразование используется для вычисления новых положений четырех углов, и все внутри прямоугольника растягивается, чтобы заполнить прямоугольник так же, как и до преобразования. Наша цель — понять, как рассчитываются новые позиции для различных видов преобразований.

Пусть вас не пугает заголовок этого раздела. Вы пришли сюда учиться, помните?

Математика в более чем одном измерении

В «нормальной» математике, с которой должен быть знаком каждый, у нас есть числа.Иногда, когда мы хотим произвести вычисления, но не знаем заранее всех чисел, мы заменяем их буквами и вместо этого можем производить вычисления с этими буквами. Если бы мы нарисовали линию, мы могли бы представить эти числа на этой линии как расстояние справа от «ориго», точки, представляющей ноль. Часть «справа» позволяет нам представлять отрицательные числа, помещая их слева от оригинала.

Сложение двух чисел может быть проиллюстрировано рисованием стрелки с длиной первого числа от ориджина и другой стрелки с длиной второго числа, начинающейся с конца первой стрелки.Сумма двух чисел — это стрелка, идущая от исходной точки до конца второй стрелки. Это можно увидеть на изображении ниже (с a = 2 и b = 3).

-2 -10 1 2 3 4 5 6 7aba + b Иллюстрация сложения двух чисел.

То же самое работает для отрицательных чисел (например, a = 4 и b = -6), как показано ниже.

-2 -10 1 2 3 4 5 6 7aba + b Иллюстрация вычитания двух чисел.

Аналогичным образом мы можем представить умножение как взятие одной из стрелок и прибавление ее к концу самого такое же количество раз, что и длина другой стрелки.

Рисование таких чисел становится немного глупым, когда мы все знаем, как складывать простые числа, поэтому давайте сделаем еще один шаг вперед. Если мы назовем линию, на которой нарисованы стрелки вдоль оси , и добавим еще одну ось, перпендикулярную той, которая у нас уже была, то мы получим плоскость . Любую точку на этой плоскости теперь можно определить двумя координатами, по одной для каждой оси. Мы называем горизонтальную ось осью x, а вертикальную ось — осью y. Теперь мы можем описать любую точку на этой плоскости по ее значениям x и y.Этот самолет совсем как экран наших устройств.

(x, y) -2 -11 2 3 4 5 6 77654321-1-2 Стрелка, указывающая на координату в 2D-плоскости.

Стрелка в этой плоскости не похожа на стрелки на линии выше, поскольку для их описания требуется два числа вместо одного. Мы называем эти новые стрелки векторами , а старые стрелки скалярами . Если мы хотим, мы можем нарисовать те же скаляры, что и раньше, вдоль оси x, но когда эта стрелка представлена ​​в этой плоскости, она больше не является скаляром.Вместо этого это вектор с координатой Y, равной 0.

Так же, как мы сделали со скалярами, мы можем представить сложение двух векторов как размещение одного из них в точке другого. Результатом сложения является вектор, который указывает на ту же точку, что и второй вектор. Вы можете заметить, что сложение векторов работает путем добавления двух компонентов x вместе в новый компонент x и компонентов y вместе в новый компонент y. Он работает в обоих направлениях, добавляя один вектор к другому, вы можете попробовать это на листе бумаги, если хотите.

-2 -11 2 3 4 5 6 77654321-1-2 → a → b → & rarr; & rs; a + ba + b Иллюстрация сложения двух векторов.

Добавление одного вектора к самому себе снова и снова похоже на умножение, которое мы проделали со скалярами. В такой плоскости мы называем это скалярным умножением, поскольку мы умножаем наш вектор на скаляр.

Умножение вектора на другой вектор становится немного сложнее для понимания. Что на самом деле означает умножение вектора на другой вектор? Учитывая, что добавление вектора добавило две компоненты x и y, нас не должно удивлять, что две компоненты x и y умножаются.Что, вероятно, вызывает удивление, так это то, что в результате этих умножений к добавляется скаляр . Правильно, умножение двух векторов — это скаляр. Этот вид умножения чаще всего называют «скалярным произведением», поскольку в качестве знака умножения используется точка.

Есть и другие очень мощные операции, которые мы можем выполнять с векторами, например, вычисление перекрестного произведения. Хотя это очень важная часть линейной алгебры и трехмерной компьютерной графики, она не обязательна для понимания преобразований, поэтому мы пропустим ее в этой статье.

Мы строим нашу 2D-плоскость, добавляя еще одну ось, перпендикулярную обеим осям, и называем ее осью z ^{. Теперь у нас есть полная декартова система координат, которую можно использовать для представления любой точки в трехмерном пространстве, используя ее координаты x, y и z.}

В отличие от прошлого раза, когда мы добавляли измерение в наше пространство, мы по-прежнему называем стрелку, указывающую на координату в пространстве, вектором. Иногда для дифференциации мы называем эти векторы трехмерными векторами, но на самом деле вектор может иметь любое количество значений, если они находятся в одной строке или одном столбце, но не в обоих сразу.

Если бы у вектора были и строки, и столбцы, он бы больше не был вектором. Это будет матрица . Матрицы — это так далеко, как мы здесь пойдем. В других областях науки есть вещи, размерность которых на одно больше, чем у матрицы, называемые тензорами.

Нет хорошего способа визуального представления матрицы на плоскости или в пространстве, как мы это делали для вектора, поэтому пока мы его пропустим. Вместо этого давайте сосредоточимся на том, как они складываются и умножаются.

Сложение двух матриц — это просто новая матрица, каждое значение которой является сложением соответствующих значений для этой строки и столбца в исходных двух матрицах.Единственное, что следует отметить, это то, что две матрицы могут быть сложены только вместе, если они имеют одинаковый размер, то есть одинаковое количество строк и столбцов.

С другой стороны, умножение матриц

— вот где все становится интересно. При матричном умножении значения строки в первой матрице (далее называемой M _A ) умножаются на значения столбца в другой матрице (далее называемой M _B ). Как и в случае скалярного произведения (векторного умножения), это дает скалярное значение, которое является значением для этой конкретной строки и столбца в результирующей матрице.порядок имеет значение]. M _A × M _B ≠ M _B × M _A .

Лучший способ понять умножение матриц — начать с пустого результата и ввести значение для каждой строки и столбца по одному. Результирующее значение для первой строки и первого столбца такое же, как скалярное произведение первой строки M _A и первого столбца M _B . Поскольку мы вычисляем скалярное произведение строк M _A и столбцов M _B , они должны иметь одинаковое количество элементов, т.е.е. M _A должен иметь такое же количество столбцов, а M _B — строки. (Нет, это не опечатка. Количество элементов в каждой строке такое же, как и количество столбцов, и наоборот.)

A 1,1	А 1,2
A 2,1	А 2,2
A 3,1	А 3,2
A 4,1	А 4,2

×

B 1,1	В 1,2	В 1,3
В 2,1	В 2,2	В 2,3

знак равно

С 1,1	С 1,2	С 1,3
С 2,1	С 2,2	С 2,3
С 3,1	С 3,2	С 3,3
С 4,1	С 4,2	С 4,3

Наведите курсор на матрицу C… Матрица 4 × 2, умноженная на матрицу 2 × 3.

Если мы подумаем о векторе как о матрице только с одним столбцом, тогда мы можем умножить матрицу на этот вектор и преобразовать ее в новый вектор. Это означает, что у нас есть математический способ преобразования точек на нашем экране в другие точки.

Прежде чем фактически менять точки зрения, давайте выясним, как мы можем умножить матрицу на вектор и преобразовать ее в точно такой же вектор. Мы могли бы просто умножить его на скаляр 1, но мы действительно хотим использовать для этого матрицу.Для каждой комбинации строка-столбец в матрице мы помещаем значение в i, j, где i — строка, а j — столбец. Поскольку наш вектор состоит из трех строк, нам нужно иметь три столбца, и поскольку мы хотим, чтобы результат имел три строки, нам также нужно иметь три строки, оставляя нам матрицу с тремя строками и тремя столбцами, часто называемую 3 × 3 матрица.

M 1,1	M 1,2	M 1,3
M 2,1	M 2,2	M 2,3
M 3,1	M 3,2	M 3,3

× знак равно Матрица, умноженная на вектор, чтобы получить новый вектор.

Это матричное умножение также можно описать этими тремя уравнениями.

{

x новый	=	M 1,1 ⋅ x	+	M 1,2 ⋅ y	+	M 1,3 ⋅ z
y новый	=	M 2,1 ⋅ x	+	M 2,2 ⋅ y	+	M 2,3 ⋅ z
z новый	=	M 3,1 ⋅ x	+	M 3,2 ⋅ y	+	M 3,3 ⋅ z

Три уравнения для умножения матрицы и вектора.

Мы быстро видим, что значения на диагонали, где i равно j, равны единице, а все остальные значения равны нулю. Эта специальная матрица называется идентификационной матрицей и часто обозначается буквой «I». Теперь, когда мы знаем, как построить матрицу, которая не изменяет перемноженный вектор, мы можем приступить к рассмотрению матриц, которые изменяют.

Существует три основных типа преобразований: масштабирование, перемещение и вращение. Независимо от того, о каком из них мы говорим, мы можем смотреть на преобразованные значения x, y и z отдельно, просматривая каждую строку матрицы.

Масштабирование

Масштабирование прямоугольника очень легко описать: прямоугольник изменяет свой размер на коэффициент масштабирования, не перемещаясь и не теряя своего соотношения сторон. Это означает, что каждый угол увеличивает расстояние до центра без изменения угла. Чтобы это произошло, все компоненты вектора должны увеличиваться на один и тот же коэффициент — масштабный коэффициент. Если бы мы сделали прямоугольник вдвое больше, мы бы хотели, чтобы результирующий вектор имел все его значения x, y и z, вдвое превышающие исходный вектор.

Возвращаясь к нашим трем уравнениям сверху, мы видим, что все значения по диагонали теперь равны двум, а не единицам (нули по-прежнему равны нулю). Если мы поместим разные значения по диагонали (например, 2 для первой строки и 1 для другой), мы увидим, что прямоугольник растягивается и теряет свое соотношение сторон, забавный эффект масштабирования и совершенно допустимое преобразование масштабирования по этой оси.

Независимо от того, как мы меняем значения по диагонали, прямоугольник никогда не перемещается, поэтому давайте посмотрим, как перемещать прямоугольник.

Перевод

Один из способов перемещения прямоугольника — это добавить вектора ко всем четырем точкам, определяющим углы, которые создадут новые векторы, указывающие на новые точки. Это прекрасно работает, но мы действительно хотим, чтобы это работало с матрицами, потому что матрицы можно умножать друг на друга, что позже окажется очень мощным. Глядя на уравнения для нашей матрицы 3 × 3, мы в конце концов понимаем, что чего-то не хватает. У нас есть только средства для указания множителей x, y и z, но у нас нет возможности использовать константу.

Итак, мы добавляем константу для каждого из трех уравнений и посмотрим, как это повлияет на матрицу. Поскольку теперь к уравнению добавляются четыре элемента, у нас должно быть четыре столбца в матрице и, следовательно, четыре строки в нашем векторе.

Не убегайте от страха, что мы представили четвертое измерение или что-то в этом роде. Четвертое значение нашего вектора совершенно безобидно, это 1. Наш вектор теперь (x, y, z, 1). Четвертое значение не используется для представления нашей точки в трехмерном пространстве, оно используется только для умножения матриц.Мы еще не закончили. Наш результирующий вектор потеряет свою четвертую строку, если мы не убедимся, что матрица также имеет четвертую строку.

Теперь у нас есть матрица единиц по диагонали (мы все еще хотим, чтобы четвертое значение вектора сохраняло свое значение после умножения) и три константы вдоль самого правого края матрицы. Эти три константы отражают перемещение по каждой из трех осей.

1	0	0	C x
0	1	0	C y
0	0	1	С z
0	0	0	1

× знак равно Матрица преобразования перевода.

Давайте вернемся к масштабированию, чтобы убедиться, что оно по-прежнему работает для нас с нашей новой матрицей 4 × 4.

Повторное масштабирование

Мы не хотим перемещаться при масштабировании, поэтому в крайнем правом столбце установлены нули (кроме диагонали). Мы быстро понимаем, что масштабирование по-прежнему работает с нашей новой матрицей 4 × 4. Это означает, что пора переходить к ротации.

Так же, как мы можем масштабировать только по одной оси, мы можем вращаться только вокруг одной оси. Фактически, мы чаще всего это делаем. Если вы попросите кого-нибудь описать вращение на экране, не сообщая ему, по какой оси, он, вероятно, будет описывать плоское вращение, как стрелки часов.Что это будет за ось?

Изящный трюк для определения вращения вдоль оси — это взять правую руку и согнуть пальцы, не сжимая ее, а затем направить большой палец вверх. Если вы теперь направите большой палец вдоль оси, вдоль которой вы вращаетесь, и поверните запястье, ваши пальцы будут изгибаться в направлении вращения. В качестве альтернативы вы можете расположить руку так, чтобы пальцы изгибались, как вращение, которое вы имели в виду, чтобы определить ось. Вы можете заметить, что вращение по часовой стрелке и против часовой стрелки выполняется в отрицательном или положительном направлении вдоль этой оси.

A 2D вращение

Обычное плоское вращение выполняется вокруг оси z, поэтому значения z для повернутых точек останутся неизменными, но значения x и могут измениться. Я сказал «может измениться», поскольку вращение на 360º вокруг любого угла приведет нас к той же точке, что и раньше.

Чтобы выяснить, как значения x и y меняются при вращении вокруг оси z, мы смотрим на два вектора (1,0,0) и (0,1,0). Если мы нарисуем круг в центре нашей x, y-плоскости с тем же радиусом, что и расстояние до наших точек, мы ожидаем, что точки будут перемещаться по краю этого круга.Мы можем легко представить себе поворот θ против часовой стрелки для обоих этих векторов и нарисовать два новых вектора, которые указывают на наш ожидаемый конечный результат. Базовая тригонометрия (синус и косинус) помогает нам выразить, как новые точки соотносятся со старыми.

(1, 0, 0) (0, 1, 0) θθ (cos θ, sin θ, 0) (- sin θ, cos θ, 0) Вращение двух векторов

Преобразованный вектор только для x дает значения для первого столбца нашей матрицы вращения, а преобразованный y-only-вектор дает нам значения для второго столбца нашей матрицы вращения.Третий или четвертый столбцы не изменяют преобразованный вектор, поэтому они такие же, как для единичной матрицы. Итоговая матрица вращения:

cos θ	-sin θ	0	0
грех θ	cos θ	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1

× знак равно

cos θ⋅x	—	sin θ⋅y
sin θ⋅x	+	cos θ⋅y
	z
	1

Матрица вращения для вращения вокруг оси z.

Проверка того, что эта матрица работает для вектора с компонентами x и y, оставлена ​​читателю в качестве упражнения. Выберите новый вектор с компонентами x и y и используйте указанную выше матрицу для вычисления повернутого вектора. Наконец, нарисуйте повернутый вектор в 2D-плоскости, чтобы конечный результат соответствовал нашим ожиданиям.

3D-вращения и перспектива

Применяя те же методы к вращению вокруг оси x и оси y, мы можем вычислить их преобразования вращения (см. Ниже).

R _x (θ) =

1	0	0	0
0	cos θ	-sin θ	0
0	грех θ	cos θ	0
0	0	0	1

R _y (θ) =

cos θ	0	грех θ	0
0	1		0
-sin θ	0	cos θ	0
0	0	0	1

R _z (θ) =

cos θ	-sin θ	0	0
грех θ	cos θ	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1

Отдельные матрицы вращения для всех трех осей.

Хотя точка правильно преобразована в трехмерном пространстве, она совсем не похожа на трехмерное вращение. Это потому, что 3D-точка проецируется на 2D-экран без перспективы. Если вы вернетесь назад и масштабируете или переведете z-значение, вы столкнетесь с той же проблемой (хотя здесь вы не увидите никакой разницы). Мы ожидаем, что трехмерные объекты будут выглядеть не так. Мы ожидаем, что далекие объекты будут казаться меньше, а близкие — больше.

Оказывается, у компьютерной графики есть еще одна хитрость в рукаве.Мы всегда следим за тем, чтобы четвертое значение нашего вектора было 1. Если это не так, мы делим весь вектор на это значение, чтобы оно стало 1 (мы используем скалярное деление, поэтому каждое значение делится индивидуально). Это означает, что матрица преобразования с 1, 1, 1, 2 по диагонали будет масштабировать x, y, z на 0,5 (поскольку это ¹ / ₂ ). Чтобы создать иллюзию перспективы, мы хотим получить значение нашего вектора больше одной четвертой для удаленных точек и значение меньше единицы для ближайших точек.Для этого нам нужно некоторое постоянное значение в третьей строке и четвертом столбце нашей матрицы преобразования, поскольку оно будет умножено на наше z-значение. Какая постоянная величина? Короткий ответ: значение, при котором перспектива выглядит хорошо .

Один из способов думать об этом состоит в том, что виды, которые мы преобразуем, имеют ширину / высоту в несколько сотен точек, поэтому вращение приведет к тому, что дальние точки будут находиться на расстоянии нескольких сотен точек от нас. Поскольку изменение с 1 на 2 уменьшило вдвое размер изображения на экране, и мы говорим о c⋅z, где z равно нескольким сотням, мы, вероятно, хотим, чтобы z было ¹ / _{несколько сотен} .Неудивительно, что типичное значение этой константы может быть ^-1 / ₅₀₀ . Знак минус связан с тем фактом, что ось z указывает на на экране, а не за пределы экрана.

Другой способ думать об этом — представить себе, что экран находится на определенном расстоянии d от того места, где мы смотрим (абстрактно). Расстояние выражается в какой-то вымышленной единице, которая никак не связана с тем, насколько далеко наши глаза находятся от экрана в реальной жизни. Поскольку экран двухмерный, все необходимо проецировать на этот экран.Точка, из которой мы смотрим, и точка, на которую мы смотрим, остаются фиксированными в трехмерном пространстве, но мы можем решить, насколько далеко от экрана. Если мы переместим экран ближе к себе, мы получим больше перспективы, а если мы отодвинем его от себя, мы получим меньше перспективы.

zobjectprojection «экран» usd Размер объекта на нашем «экране».

Константа для нашей перспективы зависит от расстояния до нашего экрана как ^-1 / _d . Это точно так же, как и раньше. Это всего лишь еще одно объяснение того, что означает эта ценность.Чем больше знаменатель, тем больше расстояние до экрана, что означает меньшую перспективу. Как было сказано выше, оказывается, что 500 единиц — подходящее расстояние до «экрана».

Одна из действительно мощных вещей с матрицами преобразования — это то, как их можно применять друг за другом и как их можно комбинировать (также известное как объединение). Возможно, вы помните из предыдущего поста, что порядок преобразований имеет значение. Вращение с последующим перемещением — это не то же самое, что перемещение с последующим вращением.К настоящему времени это должно быть вам знакомо. Помните, что умножение матриц работает точно так же, а преобразование — это просто матрица. Оказывается, вы можете взять две матрицы преобразования и умножить их, и вы получите новую матрицу преобразования, которая описывает полное преобразование за одно умножение.

Давайте рассмотрим пример. Мы хотим перевести, затем повернуть, а затем преобразовать четыре угла небольшого вида (то же преобразование, которое мы сделали в предыдущем посте). В результате получается матрица умножения

. T _x (-c) × R _z (θ) × T _x (c) =

cos θ	-sin θ	0	c⋅cos θ — c
cos θ	грех θ	0	c⋅sin θ
0	0	1	0
0	0	0	1

Умноженное преобразование для преобразования-поворота-преобразования.

Учитывая произвольный угол, расстояние перемещения и углы, мы можем вычислить новые точки для наших углов после преобразования. Рисуя новые углы в нашей системе координат, мы видим, что прямоугольник заканчивается там, где мы ожидаем. Ввод значений в матрицу и рисование преобразованных углов оставлены в качестве упражнения для читателя.

Точно так же мы можем взять любое количество преобразований и умножить их в том порядке, в котором они должны применяться, чтобы предварительно вычислить одну матрицу преобразования, которая инкапсулирует полное преобразование всех остальных.

Обновление

Спасибо Ричарду Тертону за исправление моего английского.

---

Прочитав все это, я надеюсь, что вы больше не чувствуете, что преобразования — это маленькие кусочки черной магии, применяемые к вашим представлениям. Если у вас есть отзывы, комментарии или исправления, я хотел бы их услышать. Я @davidronnqvist в Твиттере и @ronnqvist в ADN.