Теорема Гаусса

Для полноценного описания электростатического поля заданной системы зарядов в вакууме достаточно экспериментально подтвержденного закона Кулона и принципа суперпозиции. Но при этом существует возможность свойства электростатического поля охарактеризовать в ином обобщенном виде, не опираясь на утверждения касательно кулоновского поля точечного заряда.

Поток вектора напряженности

Зададим новую физическую величину, описывающую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Предположим, что в пространстве, содержащем заданное электрическое поле, имеется некая достаточно малая площадка ΔS.

Определение 1

Элементарный поток вектора напряженности (через площадку S) – это физическая величина, равная произведению модуля вектора E→, площади ΔS и косинуса угла α между вектором и нормалью к площадке:

ΔΦ=EΔScos α=EnΔS.

В данной формуле En является модулем нормальной составляющей поля E→.

Рисунок 1. 3.1. Иллюстрация элементарного потока ΔΦ.

Пример 1

Теперь возьмем для рассмотрения некую произвольную замкнутую поверхность S. Разобьем заданную поверхность на площадки небольшого размера ΔSi, рассчитаем элементарные потоки ΔΦi поля через эти малые площадки, после чего найдем их сумму, что в итоге даст нам поток Φ вектора через замкнутую поверхность 

S (рис. 1.3.2):

Φ=∑∆Φi=∑Em∆Si

Когда речь идет о поверхности замкнутого типа, всегда используется внешняя нормаль.

Рисунок 1.3.2. Расчет потока Ф через произвольную замкнутую поверхность S.

Теорема Гаусса. Доказательство

Теорема или закон Гаусса для электростатического поля в вакууме является одним из основных электродинамических законов.

Теорема 1

Поток вектора напряженности электростатического поля E→ через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε0.

Уравнение Гаусса имеет вид:

Φ=1ε0∑qвнутр

Доказательство 1

Докажем указанную теорию: для этого исследуем сферическую поверхность (или поверхность шара) S.

В центре заданной поверхности расположен точечный заряд q. Любая точка сферы обладает электрическим полем, перпендикулярным поверхности сферы и равным по модулю: 

E=En=14πε0·qR2,

где R является радиусом сферы.

Поток Φ через поверхность шара запишется, как произведение E и площади сферы 4πR2. Тогда: Φ=1ε0q.

Следующим нашим шагом будет окружение точечного заряда произвольной поверхностью S замкнутого типа; зададим также вспомогательную сферу R0_{(рис. 1.3.3).}

Рисунок 1.3.3. Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S, окружающую заряд.

Возьмем для рассмотрения конус с малым телесным углом ΔΩ при вершине. Рассматриваемый конус задаст на сфере малую площадку ΔS0, а на поверхности S – площадку ΔS. Элементарные потоки ΔΦ0 и ΔΦ через эти площадки являются одинаковыми. В самом деле:

ΔΦ0 = E0ΔS0, ΔΦ = EΔS cos α = EΔS’,

где выражением ΔS’=ΔS cos α определяется площадка, которая задастся конусом с телесным углом ΔΩ на поверхности сферы радиуса n.

Поскольку  ∆S0∆S’=R02r2, то ∆Φ0=∆Φ. Из полученного следует вывод о том, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Φ0 через поверхность вспомогательной сферы:

Φ=Φ0=qε0.

Так же мы можем продемонстрировать, что, когда замкнутая поверхность S не охватывает точечный заряд q, поток Φ равен нулю. Этот случай проиллюстрирован на рис. 1.3.2. Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, т.е. в этой области не наблюдается обрыва или зарождения силовых линий.

Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов является следствием из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов возможно записать в виде векторной суммы электрических полей точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность 

S сложится из потоков Φi электрических полей отдельных зарядов. Когда заряд qiрасположен внутри поверхности S, он дает вклад в поток, равный qiε0. В случае расположения заряда снаружи поверхности его вклад в поток есть нуль.

Так, мы доказали теорему Гаусса.

Замечание 1

Теорема Гаусса, по сути, есть следствие закона Кулона и принципа суперпозиции. Однако, взяв за изначальную аксиому утверждения теоремы, следствием станет закон Кулона, в связи с чем теорему Гаусса порой называют

альтернативной формулировкой закона Кулона.

Опираясь на теорему Гаусса, в определенных случаях легко определить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела (при наличии заранее угаданных симметрии заданного распределения зарядов и общей структуры поля).

Применение теоремы Гаусса

Пример 2

В качестве примера можно рассмотреть задачу, в которой необходимо вычислить поле тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра с радиусом R. Такая задача имеет осевую симметрию, и из соображений симметрии электрическое поле должно иметь направление по радиусу.

Таким образом, чтобы иметь возможность применить теорему Гаусса, оптимально выбрать поверхность замкнутого типа S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l, закрытого с обоих торцов (рис. 1.3.4).

Рисунок 1.3.4. Иллюстрация поля однородно заряженного цилиндра. OO’ – ось симметрии.

Если r≥R, то весь поток вектора напряженности пройдет через боковую поверхность цилиндра, поскольку поток через оба основания есть нуль. Формула площади боковой поверхности цилиндра запишется как: 2πrl. Применим закон Гаусса и получим: 

Φ=E2πrl=τlε0.

В указанном выражении τ является зарядом длины цилиндра. Далее можно записать:

E=τ2πε0r.

Данное выражение не имеет зависимости от радиуса R заряженного цилиндра, а значит оно применимо и к полю длинной однородно заряженной нити.

Чтобы найти напряженность поля внутри заряженного цилиндра, необходимо создать замкнутую поверхность для случая r<R. В соответствии с симметрией задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра должен быть, и в этом случае он равен Φ=E2πrl. Исходя из гауссовской теоремы, этот поток находится в пропорции к заряду, расположенному внутри замкнутой поверхности. Заряд этот равен нулю, откуда вытекает, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра тоже есть нуль.

Точно так же теорема и формула Гаусса применимы для определения электрического поля в иных случаях, когда распределение зарядов охарактеризовано какой-либо симметрией, к примеру, симметрией относительно центра, плоскости или оси. Во всех этих случаях необходимо выбирать замкнутую гауссову поверхность подходящей формы.

Пример 3

К примеру, в случае центральной симметрии поверхность оптимально выбрать в виде сферы, у которой центр расположен в точке симметрии. Когда мы имеем симметрию относительно оси, подходящим видом замкнутой поверхности будет соосный цилиндр, закрытый с обоих торцов (аналогично рассмотренному выше примеру).

При отсутствии симметрии и невозможности угадать общую структуру поля, теорема Гаусса не сможет быть применена для упрощения решения задачи по определению напряженности поля.

Пример 4

Разберем еще пример распределения зарядов при наличии симметрии: нахождение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1.3.5).

Рисунок 1.3.5. Поле равномерно заряженной плоскости. σ – поверхностная плотность заряда. S – замкнутая гауссова поверхность.

Здесь гауссову поверхность S оптимально задать как цилиндр некой длины, замкнутый с обоих концов. Ось цилиндра является перпендикуляром к заряженной плоскости; в свою очередь, торцы цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от нее. В соответствии с симметрией поле равномерно заряженной плоскости должно везде иметь направление по нормали. Применим теорему Гаусса и получим:

2E∆S=σ∆Sε0 или E=σ2ε0.

Здесь σ является поверхностной плотностью заряда или зарядом, приходящимся на единицу площади.

Выражение, которое мы получили для электрического поля однородно заряженной плоскости, возможно использовать и для плоских заряженных площадок конечного размера: здесь расстояние от точки, в которой мы определяем напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значимо меньше размеров площадки.

Автор: Роман Адамчук

Преподаватель физики

Гауссова поверхность

Поверхность Гаусса — это замкнутая поверхность в трехмерном пространстве, через которую вычисляется поток векторного поля ; обычно гравитационное поле , электрическое поле или магнитное поле . ^[1] Это произвольная замкнутая поверхность S

= ∂ V ( граница трехмерной области V ), используемая в сочетании с законом Гаусса для соответствующего поля ( закон Гаусса , закон Гаусса для магнетизма или закон Гаусса для гравитации ) по формуле выполнениеповерхностный интеграл , чтобы вычислить общее количество включенной исходной величины; например, количество гравитационной массы в качестве источника гравитационного поля или количество электрического заряда в качестве источника электростатического поля или наоборот: рассчитайте поля для распределения источника.

Для конкретности в этой статье рассматривается электрическое поле, так как это наиболее часто встречающийся тип поля, для которого используется понятие поверхности.

Поверхности Гаусса обычно тщательно выбираются, чтобы использовать симметрию ситуации для упрощения вычисления поверхностного интеграла . Если гауссова поверхность выбрана так, что для каждой точки поверхности компонента электрического поля вдоль вектора нормали постоянна, то расчет не потребует сложного интегрирования, так как возникающие константы можно вынести из интеграла. Он определяется как замкнутая поверхность в трехмерном пространстве, по которой рассчитывается поток векторного поля.

Сферическая поверхность Гаусса используется при нахождении электрического поля или потока, создаваемого любым из следующих факторов: [ ^3]

В качестве примера рассмотрим заряженную сферическую оболочку S пренебрежимо малой толщины с равномерно распределенным зарядом Q и радиусом R. Мы можем использовать закон Гаусса, чтобы найти величину результирующего электрического поля E на расстоянии r от центра заряженной оболочки. Сразу видно, что для сферической гауссовой поверхности радиуса r < R заключенный заряд равен нулю: следовательно, суммарный поток равен нулю, и величина электрического поля на гауссовой поверхности также равна 0 (если положить Q _A = 0 в гауссовой закона, где Q _A — заряд, заключенный на поверхности Гаусса).

В том же примере, используя большую гауссову поверхность вне оболочки, где r > R , закон Гаусса создаст ненулевое электрическое поле. Это определяется следующим образом.

---

Цилиндрическая поверхность Гаусса обычно используется для расчета электрического заряда бесконечно длинного прямого «идеального» провода.

Примеры допустимых (слева) и недействительных (справа) поверхностей Гаусса. Слева: некоторые допустимые поверхности Гаусса включают поверхность сферы, поверхность тора и поверхность куба. Это закрытые поверхности , которые полностью охватывают трехмерный объем. Справа: некоторые поверхности, которые НЕЛЬЗЯ использовать в качестве поверхностей Гаусса, например, поверхность диска , поверхность квадрата или поверхность полусферы. Они не полностью охватывают трехмерный объем и имеют границы (красные). Обратите внимание, что бесконечные плоскости могут аппроксимировать поверхности Гаусса.

Замкнутая поверхность в виде цилиндра с линейным зарядом в центре и показывающая дифференциальные площади d A всех трех поверхностей.

гауссовых поверхностей

гауссовых поверхностей

Частично сила закона Гаусса в оценке электрических полей заключается в том, что он применим к любой поверхности. Часто бывает удобно построить воображаемую поверхность, называемую поверхностью Гаусса, чтобы воспользоваться преимуществами симметрии физической ситуации. Если симметрия такова, что можно найти поверхность, на которой электрическое поле постоянно, то оценку электрического потока можно выполнить, просто умножив значение поля на площадь гауссовой поверхности. Применение закона Гаусса Электрический поток

Индекс Концепции электрического поля

9 Гиперфизика***** Электричество и магнетизм R Ступица Назад Для проводника в равновесии: 1. Суммарный электрический заряд проводника полностью сосредоточен на его поверхности. (Взаимное отталкивание одноименных зарядов по закону Кулона требует, чтобы заряды находились как можно дальше друг от друга, следовательно, на поверхности проводника.) 2. Электрическое поле внутри проводника равно нулю. (Любое суммарное электрическое поле в проводнике вызвало бы движение заряда, поскольку его много и оно подвижно. Это нарушает условие равновесия: результирующая сила = 0.) 3. Внешнее электрическое поле на поверхности проводника перпендикулярно этой поверхности. (Если бы существовала составляющая поля, параллельная поверхности, это заставило бы мобильный заряд двигаться вдоль поверхности в нарушение предположения о равновесии.) Что насчет потенциала? Оценка электрического поля у поверхности. Index Концепции электрического поля   Гиперфизика***** Электричество и магнетизм R Ступица Назад Тот факт, что проводник находится в равновесии, является важным ограничением в этой задаче. Это говорит нам о том, что поле перпендикулярно поверхности, потому что в противном случае оно оказывало бы силу, параллельную поверхности, и вызывало бы движение заряда. Точно так же это говорит нам о том, что поле внутри проводника равно нулю, поскольку в противном случае заряд двигался бы, а не находился в равновесии. Исследование природы электрического поля вблизи проводящей поверхности является важным применением закона Гаусса. Рассматривая цилиндрическую гауссову поверхность, ориентированную перпендикулярно поверхности, можно увидеть, что вклад в электрический поток вносится только через вершину гауссовой поверхности. Поток определяется как , а электрическое поле просто . Хотя это строго верно только для бесконечного проводника, оно сообщает нам предельное значение, когда мы приближаемся к любому проводнику, находящемуся в равновесии. Подробнее о проводнике в равновесии 9005 8 8 Поля для другой геометрии заряда Индекс Концепции электрического поля  9 Гиперфизика***** Электричество и магнетизм R Ступица Назад Поверхность Гаусса — определение, свойства, уравнение, таблетка Гаусса Что такое поверхность Гаусса? Поверхность Гаусса известна как замкнутая поверхность в трехмерном пространстве, на которой вычисляется поток векторного поля. Эти векторные поля могут быть либо гравитационным полем, либо электрическим полем, либо магнитным полем. Используя закон Гаусса, можно рассчитать поверхность Гаусса: Где Q(V) — электрический заряд, содержащийся в V     Гауссова поверхность сферы Когда на поверхности сферической гауссовой поверхности создается поток или электрическое поле из-за любого из следующего: Точечный заряд Сферическая оболочка с равномерным распределением заряда Распределение заряда со сферической симметрией Рассмотрим сферическую оболочку S с равномерным распределением заряда Q, радиусом R и незначительной толщиной. Используя закон Гаусса, найти электрическое поле E на расстоянии r от центра заряженной оболочки. Поскольку r < R, чистый поток и величина электрического поля на гауссовой поверхности равны нулю. 9{2}}\конец{массив} \) Приведенное выше уравнение показывает сферическое распределение заряда, которое действует как точечный заряд, подтверждая закон Кулона. Вы также можете ознакомиться с темами, приведенными ниже! Линии электрического поля Электрический заряд Электромагнитное поле Уравнения Максвелла Гауссова поверхность цилиндра Когда поток или электрическое поле создается на поверхности цилиндрической гауссовой поверхности вследствие любого из следующего: Равномерное распределение заряда в бесконечно длинной линии Равномерное распределение заряда в бесконечной плоскости Равномерное распределение заряда на бесконечно длинном цилиндре Рассмотрим точечный заряд P на расстоянии r, имеющий плотность заряда λ бесконечного линейного заряда. Осью вращения цилиндра длины h является линейный заряд, далее следует заряд q, заключенный в цилиндре: 9{\circ}\end{массив} \) \(\begin{array}{l}=E\iint_{c}dA\end{массив} \) \(\begin{array}{l}\iint_{c}dA=2\pi rh\end{array} \) (площадь поверхности цилиндра) \(\begin{массив}{l}\Phi _{E}=E2\pi rh\end{массив} \) \(\begin{array}{l}\Phi _{E}=\frac{q}{\epsilon _{0}}\end{array} \) (по закону Гаусса) \(\ begin {массив} {l} E2 \ pi rh = \ frac {\ lambda h} {\ epsilon _ {0}} \ Rightarrow E = \ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon _ {0 }r}\end{массив} \) Приведенное выше уравнение показывает цилиндрическую поверхность Гаусса с однородным распределением зарядов. 9{2}}\конец{массив} \) Гауссова поверхность цилиндра \(\begin{array}{l}E=\frac{\lambda}{2\pi \epsilon _{0}r}\end{array} \) Что такое ДОТ Гаусса? Дот Гаусса — это поверхность с бесконечным зарядом однородной плотности заряда, используемая для определения электрического поля. Дот цилиндрической формы, состоящий из трех частей; диск на одном конце с площадью 𝝿r 4 , диск на другом конце с равной площадью и стороной цилиндра. Согласно закону Гаусса, сумма электрических потоков через каждый компонент пропорциональна заряду дота. Объяснение закона Гаусса Следите за новостями BYJU’S, чтобы не пропустить еще таких интересных статей. Кроме того, зарегистрируйтесь в «BYJU’S — The Learning App», чтобы получить множество интерактивных, увлекательных видеороликов по физике и неограниченную академическую помощь. Часто задаваемые вопросы – Часто задаваемые вопросы Что такое гауссова поверхность? Поверхность Гаусса известна как замкнутая поверхность в трехмерном пространстве, на которой вычисляется поток векторного поля. Эти векторные поля могут быть либо гравитационным полем, либо электрическим полем, либо магнитным полем. Что такое дот Гаусса? Дот Гаусса — это поверхность с бесконечным зарядом однородной плотности заряда, используемая для определения электрического поля. Дот цилиндрической формы, состоящий из трех частей; диск на одном конце площадью 𝝿r4, диск на другом конце с равной площадью и стороной цилиндра. Согласно закону Гаусса, сумма электрических потоков через каждый компонент пропорциональна заряду дота. Что такое линии электрического поля? Линии электрического поля — отличный способ визуализации электрических полей. Впервые их представил сам Майкл Фарадей. Линия поля проходит по касательной к сетке в точке. Таким образом, в любой точке касательная к линии электрического поля совпадает с направлением электрического поля в этой точке. Каковы свойства линий электрического поля? Линии поля никогда не пересекаются. alexxlab Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт Рубрики Прост Радио Разное Своими руками Советы Схем Схемы Транзист Транзисторы Электрон Электроника