Расхождение означает, что по мере того, как вы добавляете больше терминов, сумма никогда не перестает увеличиваться. Она не переходит к одному конечному значению.
Бесконечность означает, что вы всегда можете добавить еще один термин. Финального термина в серии не существует.
Ее название происходит от идеи гармоник в музыке: длина волны обертонов вибрирующей струны составляет 1/2, 1/3, 1/4 и т.д. от фундаментальной длины волны струны. Кроме первого термина, каждый термин серии является гармоническим значением терминов по обе стороны от него. Фраза «гармоническое значение» также происходит от музыки.
Содержание
История
Тот факт, что гармонические серии расходятся, впервые был доказан в 14 веке Николь Оресме, но был забыт. Доказательства были даны в 17 веке Пьетро Менголи, Иоганном Бернулли и Якобом Бернулли.
Архитекторы использовали гармоничные последовательности. В эпоху барокко архитекторы использовали их в пропорциях поэтажных планов, возвышенностей и во взаимоотношениях между архитектурными деталями церквей и дворцов.
Расхождение
Существует несколько известных доказательств расхождения гармонических рядов. Некоторые из них приводятся ниже.
Тест на сравнение
Одним из способов доказать расхождение является сравнение гармонического ряда с другим дивергентным рядом, в котором каждый знаменатель заменяется на следующий по величине — два:
Каждый член ряда гармоник больше или равен соответствующему члену второго ряда, и поэтому сумма ряда гармоник должна быть больше или равна сумме второго ряда. {k}}{\frac {1}{n}\geq 1+{\frac {k}{2}}}
на каждое положительное целое число k.
Это доказательство, предложенное Николь Оресме примерно в 1350 году, считается вершиной средневековой математики. Это по-прежнему является стандартным доказательством, преподаваемым на уроках математики сегодня.
Интегральный тест
Можно доказать, что гармонический ряд расходится, сравнивая его сумму с неправильным интегралом. Рассмотрим расположение прямоугольников, показанных на рисунке справа. Каждый прямоугольник имеет ширину 1 единицы и высоту 1/n единиц, поэтому общая площадь бесконечного числа прямоугольников является суммой гармонического ряда:
Общая площадь под кривой y = 1/x от 1 до бесконечности задается расходящимся неправильным интегралом:
область под кривой = ∫ 1 ∞ 1 x d x = ∞ . {k}{\frac {1}{n}=\ln k+\gamma +\varepsilon _{k}\leq (\ln k)+1}
где γ — константа Эйлера-Маскерони и εk ~ 1/2k, которая приближается к 0 по k, переходит в бесконечность. Леонхард Эйлер доказал как это, так и то, что сумма, которая включает только обратные связи праймов, также расходится, то есть:
где sn являются независимыми, идентично распределенными случайными переменными, принимающими значения +1 и -1 с равной вероятностью 1/2, является известным примером в теории вероятностей для ряда случайных переменных, сходящихся с вероятностью 1. Факт такого сходства является легким следствием либо теорем Колмогорова трех серий, либо близкородственным Колмогорову максимальным неравенством. Байрон Шмуланд из Университета Альберты дополнительно изучил свойства случайного ряда гармоник и показал, что сходящийся ряд является случайной переменной с некоторыми интересными свойствами. В частности, функция плотности вероятности этой случайной величины, оцененная при +2 или -2, принимает значение 0,124999999999999999999999999999764…, отличающееся от 1/8 менее чем на 10-42. В работе Шмуланда объясняется, почему эта вероятность так близка к 1/8, но не совсем точна. Точное значение этой вероятности дает бесконечный косинусный интеграл С2, разделенный на π.
Испорченный ряд гармоник
Обедненная гармоническая серия, в которой все термины, в которых цифра 9 появляется в любом месте знаменателя, удалены, может быть показана как сходящаяся, и ее значение меньше 80. Фактически, при удалении всех терминов, содержащих какую-либо определенную строку цифр (в любом основании), серия сходится.
Первые четырнадцать частичных сумм чередующихся гармонических рядов (сегменты черной линии) показаны сходящимися с натуральным логарифмом 2 (красная линия).
Заявления
Серия гармоник может быть интуитивно понятной. Это объясняется тем, что это расходящаяся серия, несмотря на то, что сроки серии становятся меньше и идут к нулю. Расхождение ряда гармоник является источником некоторых парадоксов.
«Червь на резинке». Предположим, что червь ползает по бесконечно упругой однометровой резинке одновременно с равномерно натянутой. Если червь будет двигаться со скоростью 1 см в минуту, а лента будет растягиваться на 1 метр в минуту, достигнет ли он когда-нибудь конца резинового кольца? Ответ интуитивно понятен: «Да», поскольку через n минут отношение пройденного червем расстояния к общей длине резинки составляет
1 100 ∑ k = 1 n 1 k . {n}{\frac {1}{k}}. }
Поскольку серия становится произвольно большой по мере того, как n становится больше, в конце концов это соотношение должно превысить 1, что означает, что червь достигает конца резиновой ленты. Однако значение n, при котором это происходит, должно быть чрезвычайно большим: примерно e100, число, превышающее 1043 минуты (1037 лет). Несмотря на то, что гармонический ряд действительно расходится, он делает это очень медленно.
Проблема с «Джипом» спрашивает, сколько всего топлива требуется автомобилю с ограниченной грузоподъемностью, чтобы пересечь пустыню, в результате чего топливо падает по маршруту. Расстояние, которое автомобиль может пройти с заданным количеством топлива, связано с частичными суммами гармонических серий, которые растут логарифмически. Таким образом, требуемое топливо возрастает экспоненциально с увеличением желаемого расстояния.
Проблема блочного стекания: при наличии коллекции одинаковых домино можно укладывать их по краю стола так, чтобы они свисали по краю стола, не падая. {n}{\frac {1}{k}}. }
Расчет суммы показывает, что время, необходимое для достижения скорости света, составляет всего 97 секунд.
Проблема укладки блоков: блоки, выровненные в соответствии с серией гармоник, перекрывают расщелины любой ширины.
Связанные страницы
Гармоническая прогрессия
Список сумм взаимных расчетов
Вопросы и ответы
В: Что такое гармонический ряд? О: Гармонический ряд — это бесконечный расходящийся ряд, в котором каждый член равен 1, деленной на его положение в последовательности.
В: Что значит для ряда быть расходящимся? О: Дивергентность означает, что по мере добавления новых членов сумма не перестает увеличиваться и не стремится к одному конечному значению.
В: Что означает для ряда быть бесконечным? О: Бесконечный означает, что Вы всегда можете добавить еще один член, и у ряда нет конечного члена.
В: Откуда взялось название этой серии? О: Название этой серии происходит от идеи гармоник в музыке, где длины волн обертонов составляют 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от основной длины волны струны.
В: Что такое среднее гармоническое? О: Среднее гармоническое — это когда каждый член последовательности равен среднему гармоническому соседних членов. Это выражение также пришло из музыки.
В: Как вычислить каждый член этой последовательности? О: Каждый член этой последовательности можно вычислить, разделив единицу на его положение в последовательности (1/n).
— books.google.com — «Praefatio [Preface]»- books.google.com — «Corollary III of
De seriebus varia«- books.google.com — Ars conjectandi, opus posthumum. Accedit Tractatus de seriebus infinitis— oeis.org — «Sequence A082912 (Sum of a(n) terms of harmonic series is > 10n)»- www.jstor.org — https://www.jstor.org/stable/24496876?seq=1#page_scan_tab_contents- www. stat.ualberta.ca — «Random Harmonic Series»- doi.org — 10.2307/3647827- mathworld.wolfram.com — Infinite Cosine Product Integral- www.qbyte.org — «Nick’s Mathematical Puzzles: Solution 72»- www.pme-math.org — «Problem 52: Overhanging dominoes»
Значение слов — сборник словарей на Glosum.ru
Значение слов — сборник словарей на Glosum.ru
Главная
Контакты
Добавить
слово
Возможно, запрашиваемая Вами страница была перенесена или удалена. Также возможно, Вы допустили
небольшую опечатку при вводе адреса – такое случается, поэтому еще раз внимательно проверьте.
В алгебре гармоническая последовательность , иногда называемая гармонической прогрессией , представляет собой последовательность чисел, разность между обратными величинами любых двух последовательных членов постоянна. Другими словами, гармоническая последовательность формируется путем взятия обратных величин каждого члена арифметической последовательности.
Например, и являются гармоническими последовательностями; однако и не являются.
Более формально, гармоническая прогрессия биусловно удовлетворяет Аналогичное определение верно для бесконечных гармонических последовательностей. Чаще всего он появляется в трехчленной форме: а именно, что константы , и находятся в гармонической прогрессии тогда и только тогда, когда .
Содержание
1 Свойства
2 Сумма
3 примера
3.1 Пример 1
3.2 Пример 2
3.3 Пример 3
4 Дополнительные проблемы
4.1 Введение
5 См. также
Свойства
Поскольку обратные величины членов гармонической последовательности находятся в арифметической прогрессии, можно применить свойства арифметических последовательностей для получения общей формы гармонических последовательностей. А именно, для некоторых констант и членов любой конечной гармонической последовательности можно записать как
Распространенная лемма состоит в том, что последовательность находится в гармонической прогрессии тогда и только тогда, когда она является средним гармоническим значением и для любых последовательных членов. В символах, . Это в основном используется для выполнения замен, хотя иногда оно служит определением гармонических последовательностей.
Сумма
Гармонический ряд представляет собой сумму всех членов гармонического ряда. Все бесконечные гармонические ряды расходятся, что следует по критерию предельного сравнения с рядом . Эта серия называется 9.0051 гармонический ряд . Что касается конечных гармонических рядов, то для их суммы не существует известного общего выражения; нужно найти стратегию для оценки в каждом конкретном случае.
Примеры
Вот несколько примеров задач, в которых используются гармонические последовательности и ряды.
Пример 1
Найдите все действительные числа, которые являются гармонической последовательностью.
Решение : Используя свойства гармонического среднего гармонических последовательностей, обратите внимание, что это создало бы термин — что-то, что нарушает определение гармонических последовательностей — что исключает их как возможные решения. Таким образом, мы можем умножить обе части на, чтобы получить . Расширение этих факторов дает , что упрощается до . Таким образом, это единственное решение уравнения, как и требовалось.
Пример 2
Пусть , и будут положительными действительными числами. Покажите, что если , , и находятся в гармонической прогрессии, то , , и тоже.
Решение : Используя свойство среднего гармонического гармонических последовательностей, нам дано, что , и мы хотим показать, что . Мы работаем в обратном направлении от последнего уравнения.
Один из подходов может заключаться в добавлении к обеим частям уравнения, что в сочетании с дробями возвращает Поскольку , , и все положительны, . Таким образом, мы можем разделить обе части уравнения на , чтобы получить , которое было задано как истинное.
Отсюда легко записать доказательство вперед. Это доказывает, что , откуда следует, что , , является гармонической последовательностью, как и требовалось.
Пример 3
2019 AMC 10A Задача 15. Последовательность чисел определяется рекурсивно как , , и для всех Тогда можно записать как , где и взаимно простые положительные целые числа. Что ?
Решение : Упростим рекурсивную формулу ряда. Взяв обратные обе стороны, мы получаем равенство Таким образом, . Это гармоническое среднее, что подразумевает гармоническую прогрессию. Таким образом, вся последовательность находится в гармонической прогрессии.
Используя инструменты гармонических последовательностей, мы теперь найдем замкнутое выражение для последовательности. Пусть и . Упрощение первого уравнения дает, а подстановка его во второе уравнение дает . Так и так. Тогда ответ.
Другие задачи
Вот еще несколько задач, в которых используются гармонические последовательности и ряды. Обратите внимание, что гармонические последовательности встречаются довольно редко по сравнению с их арифметическими и геометрическими аналогами.
Вводный
1959 Задача ASHME 33
См. также
Арифметическая последовательность
Геометрическая последовательность
Гармоническая серия
Последовательность
Серия
В полной гармонии | plus.
maths.org
Сентябрь 2000
Введение
В школьной математике изучаются два элементарных ряда:
арифметический ряд, например
и
геометрические ряды, например
Существует такой же элементарный ряд, называемый гармоническим рядом :
Несмотря на элементарную форму, гармонический ряд содержит много увлекательной математики, несколько сложных олимпиадных задач, несколько удивительных приложений и даже известную нерешенную задачу. Есть ряд вопросов о гармоническом ряду, ответы на которые изначально оскорбляют нашу интуицию и, следовательно, имеют особое значение для преподавания и изучения математики.
Почему сериал называется «Гармонический»?
Пятые
Название произошло от греков, у которых, как мы знаем, были слова для многих вещей. Пифагор первым изучил ноты, издаваемые щипковыми струнами разной длины. Если струну, которая при защипывании издает среднюю до, сократить до двух третей своей длины, она издаст ноту соль (музыканты называют интервал от до до соль квинтой ). Если длина строки уменьшится вдвое, то
будет излучать верхнее C, на октаву выше. Эти ноты являются фундаментальными для пифагорейской теории гармонии, и соответствующие длины струн
1
2/3
1/2
считаются в гармонической прогрессии , с 2/3 гармонического среднего из 1 и 1/2. Теперь обратные значения этих чисел
1
3/2
2
образуют арифметическую прогрессию, поэтому говорят, что последовательность чисел, обратные числа которой находятся в арифметической прогрессии, находится в гармонической прогрессии.
Куб и октаэдр
Пифагор смешал свою математику и физику с щедрой порцией мистической чепухи. Он отметил, например, что куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер. Поскольку 6, 8 и 12 находятся в гармонической прогрессии, для Пифагора куб был «гармоническим» телом. Существуют ли другие «гармонические» тела? Есть октаэдр с 8 гранями, 12 ребрами и 6 вершинами. Есть ли другие? Это
достаточно простой вопрос, но я не видел, чтобы его задавали раньше. Задача нахождения всех гармонических тел требует знания формулы Эйлера для многогранников и уравнения Пелла для ее решения.
Сумма гармонического ряда
Для суммы
не существует простой формулы, аналогичной формулам сумм арифметического и геометрического рядов
Тем не менее, мы можем ответить на вопрос: какова сумма «до бесконечности» гармонического ряда?
Можно извинить вас за то, что вы думаете, что сумма гармонического ряда до бесконечности есть некоторое конечное число, потому что по мере того, как вы добавляете все больше и больше членов, к промежуточной сумме добавляется все меньше и меньше. В самом деле, если вы попросите свой дружественный карманный калькулятор или домашний компьютер просуммировать ряд, вы получите конечную сумму. Это потому, что ваш обычный калькулятор обрабатывает числа только до определенного размера.
(обычно 10 100 ), а 1/(10 100 +1) будет считаться нулем. Такой калькулятор скажет вам, что сумма гармонического ряда составляет около 230, если вы позволите ему работать достаточно долго.
Однако на самом деле гармонический ряд расходится — сумма неограниченно возрастает. Этот удивительный результат впервые доказал средневековый французский математик Николь Орем, живший более 600 лет назад. Он отметил, что если заменить серию
по ряду меньших членов
и скобки, как показано, тогда последний ряд будет просто
, сумму которых можно сделать сколь угодно большой.
Если используется для обозначения суммы членов гармонического ряда, то аргумент Орема показывает, что
Так ползет все медленнее к бесконечности, увеличиваясь все меньшими и меньшими шагами. Интересно наблюдение, что после , никогда больше не оказывается целое число. Я встречал эту задачу более чем в одной олимпиадной работе по математике, и ее решение, красивое рассуждение, заслуживает описания.
Отсутствие трещин
Предположим, что . Выберите целое число такое, что . Затем рассмотрим наименьшее общее кратное . Это число будет иметь вид , где — нечетное целое число. Теперь умножьте обе части уравнения на это число, чтобы получить 9.0007
Теперь при умножении все члены слева будут целыми числами, кроме одного:
не является целым числом, так как является нечетным. Таким образом, левая часть не является целым числом, а значит, и правая часть не является целым числом. Это означает, что это не целое число.
Рекордное количество осадков
Как часто бьются рекорды погоды? Гармонический ряд дает ответ.
Предположим, у нас есть список данных об осадках за сто лет. Как вы думаете, сколько рекордных дождей выпало за этот период? Мы предполагаем, что количество осадков является случайным в том смысле, что количество осадков в любой год не влияет на количество осадков в любой последующий год.
Первый год, несомненно, был рекордным. Во второй год количество осадков с одинаковой вероятностью могло быть больше или меньше, чем количество осадков в первый год. Так что есть вероятность, что второй год был рекордным. Таким образом, ожидаемое количество учетных лет в первые два года ведения учета равно . Переходим на третий год. Вероятность того, что третье наблюдение выше, чем первые два, равна 1/3, поэтому ожидаемое количество рекордных осадков за три года равно . Продолжая эту линию рассуждений, мы приходим к выводу, что ожидаемое количество записей в списке наблюдений равно 9.0007
Как вы думаете, сколько рекордных осадков выпало за сто лет ведения статистики осадков? Если бы это было 5, вы были бы почти правы, так как сумма первых сотен членов гармонического ряда равна 5,19.
Даже после рекордного количества осадков никто не будет отрицать, что рекорд будет побит когда-то в будущем — возможно, уже в следующем году. Количество рекордных лет в бесконечности наблюдений явно бесконечно. Здесь у нас есть интуитивная причина полагать, что гармонический ряд расходится.
Спортивные записи не следуют той же схеме, поскольку они не случайны в том смысле, в каком случайны записи об осадках. Спортсмены всегда стараются побить текущий рекорд, а методы тренировок постоянно совершенствуются. Никто ничего не делает для улучшения погоды.
Для записи, в обоих смыслах, вот некоторые значения:
n
1
5
10
50
100
500
1000
Н(н)
1
2,28
2,93
4,50
5,19
6,79
7,49
Транспортный поток
Плотный трафик
В однополосном движении, без обгона, за медленным автомобилем будет следовать группа автомобилей, которые хотят ехать быстрее, но не могут этого сделать. Если автомобили тронутся в путь, сколько сгустков получится? Это то же самое, что спросить, сколько рекордно низких скоростей будет наблюдаться, и мы знаем ответ: поскольку сгустки последовательно замедляются, они будут располагаться все дальше друг от друга. Это объясняет, почему автомобили у выхода из длинного туннеля, как правило, движутся быстрее и в меньших группах более далеко друг от друга, чем автомобили у входа в туннель.
Испытания на уничтожение
Предположим, у вас есть сотня одинаковых деревянных балок и вы хотите найти их минимальное разрушающее усилие. Вы строите простую машину, которая прикладывает постепенно возрастающую силу к центру балки, в то время как ее концы поддерживаются в горизонтальном положении. Увеличивая силу до тех пор, пока балка не сломается, вы можете найти разрывную деформацию каждой балки. Предположим, что мы обозначаем разрушающую деформацию th балки через .
Испытание на разрушение, проводимое таким образом, имеет один существенный недостаток. В конце вы знаете точное значение для каждого, но уничтожили все лучи в процессе. Однако на самом деле нам нужно не точное значение для каждого , а только минимальное значение для . Вместо того, чтобы испытывать каждую балку на разрушение, вы действуете следующим образом.
Испытать первую балку на разрушение и записать ее деформацию при разрушении (). Теперь проверьте вторую балку, постепенно увеличивая усилие до , но не больше. Если балка уцелеет, вы знаете, что ее разрывная деформация больше . Если он сломается, вы запишите его разрывную нагрузку. Теперь проверьте третью балку, увеличив усилие до или , в зависимости от того, что меньше. Если он сломается, запишите его разрывную нагрузку. Если он выживет, идите на следующий луч.
Эта процедура последовательно находит рекордные минимальные разрывные деформации. При испытании разрушаются только балки с рекордно низкой деформацией разрушения. Из ста лучей вы рассчитываете уничтожить 5.19этим последовательным испытанием до разрушения. Если бы у вас была тысяча лучей для проверки, вы бы рассчитывали уничтожить только 7,49.
Перетасовка карт
Почти самый простой (с математической точки зрения) способ перетасовки карт называется «Перетасовка сверху в случайном порядке». Верхняя карта карточной колоды карт удаляется и вставляется в колоду случайным образом. Сколько раз нужно повторить эту перетасовку, прежде чем мы сможем считать колоду «случайной»?
Давайте проследим за ходом карты, которая изначально находится внизу колоды. Эта карта (обозначьте ее ) остается внизу до тех пор, пока под ней не будет вставлена другая карта. Поскольку есть места, куда может попасть карта, взятая сверху, вероятность того, что она окажется ниже, равна , и, следовательно, в среднем она будет перетасовываться «сверху наугад» до того, как карта будет помещена ниже . Теперь вероятность того, что карта, взятая сверху и вставленная случайным образом в колоду, окажется внизу, равна , поскольку теперь внизу есть два места, и ожидаемое количество перетасовок, необходимых для получения второй карты внизу, равно . Таким образом, ожидаемое количество перетасовок, необходимых для получения двух карт ниже, равно . Таким образом, ожидаемое количество перетасовок, необходимых для получения двух карт ниже, равно . Обратите внимание, что на данном этапе карты ниже расположены в случайном порядке. Продолжая в том же духе, мы видим, что ожидаемое количество случайных перетасовок, необходимых для того, чтобы оказаться наверху колоды, равно 9.0007
На этом этапе карты ниже находятся в случайном порядке, и для рандомизации колоды требуется еще одна тасовка, которая случайным образом кладет ее в колоду. Таким образом, общее количество необходимых перетасовок равно
.
Пересечение пустыни
Эта небольшая проблема привлекла к себе большое внимание во время последней войны — настолько, что, по слухам, она была изобретена немцами и сброшена с парашютом в Великобританию, чтобы отвлечь британских ученых от военных действий.
Вам предстоит пересечь пустыню на джипе. В пустыне нет источников горючего, а в джипе не возьмешь столько горючего, чтобы переправиться за один раз. У вас нет времени устанавливать топливные склады, но у вас есть большой запас джипов. Как пересечь пустыню, используя минимальное количество топлива?
Измерим расстояние, которое может проехать джип с полным баком топлива. Один джип сам по себе может проехать расстояние в один полный бак. Если два джипа отправляются в путь вместе, они проезжают 1/3 полного бака, тогда джип 2 передает 1/3 своего бака джипу 1 и возвращается на базу на оставшейся 1/3 полного бака. Таким образом, джип 1 может проехать в общей сложности 1+1/3 заправки.
С тремя джипами остановитесь, проехав 1/5 полного бака, и перелейте 1/5 полного бака из джипа 3 в каждый из джипов 1 и 2, которые теперь заполнены. У джипа 3 теперь 2/5 бака, джипы 1 и 2 теперь продолжают движение, как и раньше, а джип 2 возвращается с пустым баком к джипу 3. Между ними у них достаточно топлива, чтобы вернуться на базу. Между тем, Jeep 1 проехал в общей сложности 1+1/3+1/5 заправок.
Те же рассуждения показывают, что на четырех джипах можно проехать 1+1/3+1/5+1/7 заправок, а на джипах можно проехать на джипе по пустыне, что составляет
Здесь мы имеем новый ряд, тоже гармонический (обратные числа в арифметической прогрессии), а также расходящийся, ибо явно
Тот факт, что ряд расходится, показывает, что, используя систему перекачки топлива, вы можете осуществить переход произвольной длины, если у вас достаточно джипов. Можно добавить: пока пустыня достаточно широка, чтобы вместить все эти джипы!
Другой ряд
Мы только что видели, что ряд, полученный из исходного гармонического ряда удалением каждого второго члена, по-прежнему расходится. Как насчет серии
где первый член и все члены с составными (не простыми) знаменателями были удалены? Поскольку все остальные знаменатели являются простыми, а простые числа разбросаны очень тонко, действительно удивительно, что ряды, обратные простым числам, все еще расходятся.
Доказательство этого факта слишком сложно, чтобы приводить его здесь (хотя это только уровень первого курса университета), так что я оставлю вас, чтобы вы попытались найти его самостоятельно. Когда вы доказали, что этот ряд расходится, вы можете сделать вывод, что существует бесконечно много простых чисел, хотя есть более простой способ доказать этот факт.
Вместо того, чтобы удалять все члены с составными знаменателями, давайте удалим все члены, у которых в знаменателе ноль. Похоже, что удаляется примерно каждый десятый член исходного гармонического ряда. Таким образом, кажется разумным предположение, что оставшийся ряд расходится, и для вашей интуиции может быть шоком узнать, что ваше предположение неверно.
Посмотрим сначала на все члены оставшегося ряда с одной цифрой в знаменателе. Их ровно 9, и все они меньше 1. Таким образом, их сумма меньше 9.
Теперь посмотрим на члены этого ряда, в знаменателе которых ровно две цифры. Их 81, все меньше 1/10. Их сумма меньше .
В общем случае есть члены ряда с ровно цифрами в знаменателе, и каждый меньше . Таким образом, их сумма меньше . Таким образом, сумма членов ряда меньше 9.0007
, который представляет собой геометрический ряд, сумма которого до бесконечности равна 90. Таким образом, гармонический ряд без членов, содержащих нулевые цифры, сходится. Можно провести более тщательный анализ, чтобы показать, что сумма этого ряда равна 23,10345 с точностью до пяти знаков после запятой.
Логарифмическая связь
Вернемся теперь к доказательству Орема расходимости гармонического ряда, которое было получено путем демонстрации того, что . Это неравенство предполагает логарифмическую связь.
Вы помните, что Пифагор заметил, что нота, издаваемая струной, поднимается на квинту, если струна укорачивается на 2/3 своей длины. Он также отметил, что интервал четверти был получен путем сокращения струны до 3/4 ее длины. Разница между квартой и квинтой составляет тон, отношение которого (8/9) получается делением на 2/3 на 3/4. Это, вероятно,
первое проявление логарифмического закона.
Связь между гармоническим рядом и логарифмами еще более тесная. Более тщательный анализ неравенства Орема, который требует небольшого расчета, показывает, что увеличивается с той же скоростью, что и натуральный логарифм . Анализ показывает, что разница
сходится к постоянному значению, обычно обозначаемому , так как стремится к бесконечности. Это постоянная Эйлера, названная в честь известного швейцарского математика Леонарда Эйлера. Было рассчитано, что значение приблизительно равно 0,577, но очень мало известно о природе . Неизвестно даже, рационально это или иррационально. Мгновенная слава ждет вас, если вы сможете решить эту известную нерешенную проблему.
Об авторе
Джон Х. Уэбб родился в Кейптауне и изучал математику в Кейптаунском университете. Он выиграл стипендию в Кембридже, где получил докторскую степень. Вернувшись в Кейптаунский университет, его карьера математика-исследователя в конечном итоге уступила место интересам к математике.
образования, уделяя особое внимание популяризации математики, а также выявлению и стимулированию перспективных учащихся.
Он редактирует «Математический дайджест», ежеквартальный журнал для средних школ, проводит соревнования по математике для школ в Кейптауне и руководит общенациональной программой «Поиск математических талантов» — программой решения задач по переписке, которая отбирает и обучает южноафриканские команды для Международная математическая олимпиада.
В эпоху барокко архитекторы использовали их в пропорциях поэтажных планов, возвышенностей и во взаимоотношениях между архитектурными деталями церквей и дворцов.
{k}}{\frac {1}{n}\geq 1+{\frac {k}{2}}}
{k}{\frac {1}{n}=\ln k+\gamma +\varepsilon _{k}\leq (\ln k)+1}
5
71786
25156
59774
81596
{\infty }{\frac {s_{n}}{n},}
{n}{\frac {1}{k}}. }
{n}{\frac {1}{k}}. }
д. от основной длины волны струны.
stat.ualberta.ca — «Random Harmonic Series»- doi.org — 10.2307/3647827- mathworld.wolfram.com — Infinite Cosine Product Integral- www.qbyte.org — «Nick’s Mathematical Puzzles: Solution 72»- www.pme-math.org — «Problem 52: Overhanging dominoes»
сети
Расширение этих факторов дает , что упрощается до . Таким образом, это единственное решение уравнения, как и требовалось.
Что ? 
maths.org
Пифагор первым изучил ноты, издаваемые щипковыми струнами разной длины. Если струну, которая при защипывании издает среднюю до, сократить до двух третей своей длины, она издаст ноту соль (музыканты называют интервал от до до соль квинтой ). Если длина строки уменьшится вдвое, то
будет излучать верхнее C, на октаву выше. Эти ноты являются фундаментальными для пифагорейской теории гармонии, и соответствующие длины струн
В самом деле, если вы попросите свой дружественный карманный калькулятор или домашний компьютер просуммировать ряд, вы получите конечную сумму. Это потому, что ваш обычный калькулятор обрабатывает числа только до определенного размера.
(обычно 10 100 ), а 1/(10 100 +1) будет считаться нулем. Такой калькулятор скажет вам, что сумма гармонического ряда составляет около 230, если вы позволите ему работать достаточно долго.
Таким образом, левая часть не является целым числом, а значит, и правая часть не является целым числом. Это означает, что это не целое число.
Продолжая эту линию рассуждений, мы приходим к выводу, что ожидаемое количество записей в списке наблюдений равно 9.0007
Никто ничего не делает для улучшения погоды.
Это объясняет, почему автомобили у выхода из длинного туннеля, как правило, движутся быстрее и в меньших группах более далеко друг от друга, чем автомобили у входа в туннель. 
Сколько раз нужно повторить эту перетасовку, прежде чем мы сможем считать колоду «случайной»?
Продолжая в том же духе, мы видим, что ожидаемое количество случайных перетасовок, необходимых для того, чтобы оказаться наверху колоды, равно 9.0007
В пустыне нет источников горючего, а в джипе не возьмешь столько горючего, чтобы переправиться за один раз. У вас нет времени устанавливать топливные склады, но у вас есть большой запас джипов. Как пересечь пустыню, используя минимальное количество топлива?
Между тем, Jeep 1 проехал в общей сложности 1+1/3+1/5 заправок.
Как насчет серии
Таким образом, кажется разумным предположение, что оставшийся ряд расходится, и для вашей интуиции может быть шоком узнать, что ваше предположение неверно.
Это постоянная Эйлера, названная в честь известного швейцарского математика Леонарда Эйлера. Было рассчитано, что значение приблизительно равно 0,577, но очень мало известно о природе . Неизвестно даже, рационально это или иррационально. Мгновенная слава ждет вас, если вы сможете решить эту известную нерешенную проблему.
