9.Момент инерции тела относительно оси.Радиус инерции тела.

Моментом инерции тела относительно данной оси Оz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина равная сумме произведений масс всех точек тела на квадраты их расстояний от этой оси: . Из определения следует что момент инерции тела относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.Согласно формуле момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси.Для одной мат.точки,находящейся на расстоянииh от оси : .Моменты инерции относительно осей опр. Формулами:+,+,+.

Радиус инерции тела относ.оси Oz называется ленейная вел-на определяемая равенством,

M-масса тела.Радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси OZ той точки,в которой надо сосредоточить муссу всего тела,чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

10.Теорема о моментах инерции тела относительно параллельных осей.

Теорема Гюйгенса: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно оси,ей параллельной, проходящей через центр масс тела,сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями. Если— момент инерции тела относительно оси, проходящей черезцентр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии от неё, равен.

11(12).Моменты инерции простых тел относительно главных центральных осей:однородного тонкого стержня,сплошного круглого цилиндра.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции J_xy и J_xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела.Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции.Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен

: . Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его середину:

Сплошного круглого диска:

12.Диф.Уравнения движения механической системы.

Рассмотрим сис.,состоящую из n мат.точек.Выделим какую-нибудь точку системы с массой .Обозначим равнодействующую всех приложенных к точке внешних сил через,а внутренних сил через.Если точка имеет при этом ускорение, то по основному закону динамики.Аналогичный результат получим для любой точкиУравнения представляют собой диф. Уравнения движения системы в векторной форме.Входящие в правые части уравнений силы могут в общем случае зависить от времени,координат точек системы и скоростей.Полное решение основной задачи динамики для системы будет состоять в том,чтобы,зная заданные силы и наложенные связи,проинтегрировать соответствующие диф. Уравнения и определить в результате закон движ. Каждой из точек системы и реакции связи.

13.Теорема о движении центра масс механической системы.

Уравнение и выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. Сравнивая с уравнением дви­жения материальной точки, получаем другое вы­ражение теоремы: центр масс системы движется как мате­риальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему. Проектируя обе части равенства  на координатные оси, получим:

Эти уравнения представляют собою дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.Значение доказанной теоремы состоит в следующем.1) Теорема дает обоснование методам динамики точки. Из урав­нений видно, что решения, которые мы получаем, рассмат­ривая данное тело как материальную точку, определяют закон движения центра масс этого тела, т. е. имеют вполне конкрет­ный смысл.2) Теорема позволяет при определении закона движения центра масс любой системы исключать из рассмотрения все наперед неиз­вестные внутренние силы. В этом состоит ее практическая ценность.

Момент инерции тела относительно оси в теоретической механике

Момент инерции тела относительно оси

Движение системы зависит не только от действующих на нее сил и массы системы, но еще и от распределения этой массы. Помимо положения центра масс системы, распределение ее массы характеризуется еще одной, имеющей очень важное значение в динамике системы, величиной — моментом инерции.

Моментом инерции твердого тела относительно какой-либо оси (осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме, составленной из произведений массы каждой точки тела на квадрат ее расстояния до данной оси.

Для того чтобы найти момент инерции твердого тела относительно какой-либо его оси (рис. 180), необходимо разбить все тело на очень большое число элементарных объемов, составить сумму из произведений массы каждого элементарного объема тела на квадрат его расстояния до данной оси и затем вычислить предел этой суммы, предполагая, что число стремится к бесконечности, а масса каждого элемента объема стремится к нулю:

Для краткости символы предела и пределы суммирования будем опускать и момент инерции тела относительно какой-либо оси определять просто как сумму, составленную из произведений массы каждой частицы тела на квадрат расстояния этой частицы от данной оси:

При приближенном вычислении моментов инерции полых цилиндрических тел с тонким ободом (например, маховых колес) иногда пренебрегают толщиной обода и принимают такое тело за бесконечно тонкое кольцо (материальную окружность). В этом случае можно считать все точки тела находящимися на одинаковом расстоянии от оси его вращения. Полагая в формуле (139) , будем иметь:

Момент инерции бесконечно тонкого кольца (материальной окружности) относительно его оси вращения равен произведению его массы на квадрат радиуса:

Иногда бывает удобно момент инерции тела относительно оси представить в виде произведения массы тела на квадрат длины некоторого отрезка называемого радиусом инерции тела относительно соответствующей оси:

Очевидно, что под радиусом инерции тела относительно какой-либо оси можно понимать радиус такого бесконечно тонкого кольца, в котором нужно сосредоточить всю массу тела, чтобы получить момент инерции кольца, равный моменту инерции тела относительно этой оси.

Если момент инерции тела относительно оси найден, то радиус инерции тела относительно этой оси легко находится из предыдущей формулы:

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Сумма — момент — инерция

Сумма — момент — инерция

Cтраница 3

Момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составляющих ее частей.  [31]

Момент инерции молекулы АВ равен сумме моментов инерции атомов.  [32]

Момент инерции составного тела равен сумме моментов инерции отдельных частей относительно той же оси вращения.  [33]

Момент инерции всей площади равен сумме моментов инерции элементарных площадок

.  [34]

Следовательно, моментом инерции тела называется сумма моментов инерции всех материальных точек, составляющих тело.  [35]

Момент инерции относительно какой-либо оси равен сумме моментов инерции относительно двух ортогональных плоскостей, проходящих через рассматриваемую ось.  [36]

Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы системы на квадрат расстояния между осями.  [37]

Таким образом, при повороте прямоугольных осей

сумма моментов инерции не изменяется и равна полярному моменту инерции относительно начала координат.  [38]

Этот результат объясняется также тем, что сумма моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно начала координат [ см. формулу (11.5) ]; величина же полярного момента инерции не изменяется, если начало координат остается на месте, а координатные оси поворачиваются.  [39]

Таким образом, при повороте прямоугольных осей сумма моментов инерции не изменяется и равна полярному моменту инерции относительно начала координат.  [40]

Моментом инерции материальной системы относительно оси называется сумма моментов инерции всех точек системы относительно той же оси.  [41]

Равенство ( 153) говорит о свойстве суммы моментов инерции относительно двух перпендикулярных осей, выведенном раньше, в § 48, другим путем.  [42]

Момент инерции твердого тела относительно оси равен сумме моментов инерции всех материальных точек, составляющих это тело.  [43]

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен

сумме момента инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции тела ( центральной оси), и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.  [44]

Страницы:      1    2    3

Момент инерции тела относительно неподвижной оси. Теорема Штейнера

Момент инерции –характеристика инерциальных свойств при вращательном движении. Характеризует распределение массы относительно оси вращения.

– это точки

(это не «зе» английская, а знак такой).

Осевые моменты инерции некоторых тел:

Шар – , ось сплошного цилиндра , ось полого цилиндра — , прямой тонкий стержень — .

Теорема Штейнера – Для того, чтобы найти момент инерции относительно произвольной оси нужно сложить момент инерции этого телаотносительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Момент силы определяет скорость изменения момента импульса.

Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точ­ки О в точку А приложения силы, на силу F :

Здесь М — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. Модуль момента силы

(18.1)

где a- угол между r и F; r sina = l — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О —плечо силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина M_z , равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z. Значение момента М_z не зависит от выбора положения точки О на оси z.

(18.3)

Уравнение (18.3) представляет собойуравнение динамики вращательного движения твердого телаотносительно неподвижной оси.

Закон сохранения момента импульса.

В замкнутых системах моментов импульса отдельных частей с течением времени не изменяются.

( над всеми L нужен вектор «стрелка»).

В замкнутой системе момент внешних сил

Здесь мы продемонстрируем закон сохранения момента импульса с помощью скамьи Жуковского. Человек, сидящий на скамье, вращающаяся вокруг вертикальной оси, и держащий в вытянутых руках гантели (рис. 2), вращается внешним механизмом с угловой скоростью ω₁. Если человек прижмет гантели к телу, то момент инерции системы уменьшится. Но момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется и угловая скорость вращения ω₂ увеличивается. Аналогичным образом, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, с целью уменьшить свой момент инерции и тем самым увеличить угловую скорость вращения.

Момент инерции

Момент инерции

В рассмотренных до сих пор случаях мы рассматривали тело как частицу, так что «все оно» вращается по кругу одного радиуса. Когда это нереально, мы должны рассматривать вращающееся тело как систему сохраняющихся «частиц», движущихся по кругам разного радиуса. То, как распределяется масса тела, влияет на его поведение.

Это может быть показано тем, кто сидит на свободно вращающемся стуле с тяжелым грузом в каждой руке.Когда он вытягивает руки, скорость вращения уменьшается, но увеличивается, когда он приближает их к своему телу. Угловая скорость системы явно зависит от того, как масса распределена вокруг оси вращения.

Масса тела — это мера его встроенного сопротивления любому изменению линейного движения. т.е. инерция измерения массы. Соответствующее свойство вращательного движения называется моментом инерции. Тем сложнее изменить угловую скорость тела относительно определенной оси.Тем больше его момент инерции.

Эксперимент показывает, что колесо, большая часть массы которого находится на ободе, труднее запускать или останавливать. Точно так же человек на вращающемся кресле имеет больший момент инерции, когда его руки вытянуты, чем когда руки находятся близко к его телу. Узнаем, рассматривая кинетическую энергию вращающегося тела

Кинетическая энергия вращающегося тела

Предположим, что тело вращается вокруг оси, проходящей через точку O, с постоянной угловой скоростью ω.Частица A массой m , находящаяся на расстоянии r ₁ от O , описывает свой круговой путь. Если v ₁ — это его линейная скорость по касательной к траектории, то в показанный момент времени v ₁ = r ₁ ω и кинетическая энергия A = (1/2 ) м ₁ v ₁ ² = (1/2) м ₁ v ₁ ² ω ²

Отсюда следует, что кинетическая энергия всего тела является суммой кинетической энергии составляющих его частиц.Если они имеют массы м ₁ , м ₂ , м ₃ и т. Д. И распределены на расстояниях r ₁ , r ₂ , r ₃ и т. Д. Из O , то, поскольку все частицы имеют одинаковую угловую скорость (тело жесткое).

Величина ∑ m _i r _i представляет собой сумму значений mr ² , зависит от массы и распределения и принимается как мера момента инерции тела относительно рассматриваемая ось.Обозначается символом I .

Следовательно, ротационный K.E. корпуса

Момент инерции

Момент инерции
Далее: Кинетическая энергия вращения Up: крутящий момент Предыдущая: Статическое равновесие

Момент инерции Второй закон Ньютона, Сила = масса x ускорение, связывает ускорение что объект определенной массы переживает, когда подчиняется данному сила.Аналогичное соотношение между крутящим моментом и угловым ускорение, которое вводит понятие момент инерции :

Так же, как масса — это мера того, насколько легко объект ускоряется. из-за заданной силы момент инерции объекта измеряет, насколько легко объект вращается вокруг определенного точка вращения. Таким образом, объекты с большим моментом инерции относительно заданной точки будет труднее вращать с заданным крутящим моментом. Соответственно, больший крутящий момент вызовет большее ускорение. на конкретном теле.

Момент инерции тела, который всегда измеряется относительным до точки вращения, в целом зависит от масса объекта и его форма. Возможно, очевидно, что для единичная масса, движущаяся по кругу фиксированного радиуса, тем больше радиус тем сложнее изменить угловую скорость. Это потому что фактическое смещение и, следовательно, линейная скорость масса пропорциональна радиусу, поэтому больший радиус для данное угловое смещение означает большее линейное смещение.В протяженном объекте части, удаленные от оси вращение вносит больший вклад в момент инерции, чем части ближе к оси. Итак, как правило, для двух объектов с такая же общая масса, объект с большей массой расположен дальше от ось будет иметь больший момент инерции. Например, момент инерции сплошного цилиндра массой M и радиусом R о линии, проходящей через его центр MR ² , а полый цилиндр с такой же массы и радиуса имеет момент инерции MR ² .сходным образом когда вращающаяся фигуристка подтягивает руки к своему телу, она кладет больше ее масса тела приближается к оси вращения и уменьшается ее момент инерции.

---

Далее: Кинетическая энергия вращения Up: крутящий момент Предыдущая: Статическое равновесие

[email protected]
1999-09-29

ФАКТОРЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛА

Поскольку масса является мерой инерции тела, мы можем разумно ожидать момент инерции тела зависеть от массы.
	Например, представьте себе два маховика, подобных показанному здесь, один из алюминий (плотность около 2700кгм -3 ) а другой из свинца, плотностью около 11300кгм (-3 ).
	(«Маховик» — это просто колесо, но обычно довольно массивный, используется для накопления энергии за счет вращения.)
	Какой из них сложнее ускорить или замедлить?
	Ответ очевиден.
	Эксперименты показывают, что если сравнить тела одинаковой формы и размера , но имеющий различных масс , момент инерции, I прямо пропорционален масса.
	(Это также предполагает, что мы вращаем тела вокруг одного и того же ось.)
	Теперь рассмотрим маховик, подобный показанному здесь.
	Представьте, что его общая масса такая же, как и у вышеупомянутого.
	Понятно, что здесь масса намного дальше от оси , чем раньше.
	Это означает, что для заданная угловая скорость ω, линейная скорость частиц, из которых сделано колесо, намного больше (поэтому они обладают большей кинетической энергией).
	Следовательно, чтобы разогнать колесо с нуля до ω потребуется на дополнительных работ и поэтому мы разумно ожидаем, что потребуются большие силы и / или крутящие моменты.
	Делаем вывод, что это колесо имеет на больший момент инерции г. предыдущий.
В заключении:
Момент инерции тела прямо пропорционален его массе. и увеличиваются на по мере того, как масса перемещается на дальше от оси вращения .
Во второй части заключения вы сможете убедиться в следующий раз, когда купите в супермаркете что-нибудь тяжелое (массивное), например пачку бутылок с водой (или, что интереснее, пивные или винные бутылки).
Положите массивные пачки рядом с собой в супермаркете тележка … без проблем при повороте избежать столкновения с другим тележка…
Теперь попробуйте положить пакет на передний конец тележки, как можно дальше от вы … вы обнаружите, что риск столкновения намного выше!
N.B.
Дело в том, что я зависит от массы распределение означает, что одно и то же тело может иметь разные моменты инерция в зависимости от того, какую ось вращения мы рассматриваем.

Кинетическая энергия вращения и момент инерции твердого тела

Момент инерции и ее физическое значение

Согласно первому закону движения Ньютона, тело должно оставаться в состоянии покоя или равномерного движения, если оно не по принуждению некоего внешнего агентства, называемого силой. Невозможность материала тело для изменения своего состояния покоя или равномерного движения само по себе называется инерция.Инерция — фундаментальное свойство материи. Для данной силы чем больше масса, тем выше будет противодействие движению, или больше инерция. Таким образом, при поступательном движении масса тела измеряет коэффициент инерции.

Точно так же и во вращательном движении тело, который может свободно вращаться вокруг заданной оси, противодействует любому изменению, которое желательно произведен в его состоянии.Мера противостояния будет зависеть от массы тело и распределение массы вокруг оси вращения. Коэффициент инерции во вращательном движении называется моментом инерции тела относительно данной оси.

Момент инерции играет ту же роль в вращательное движение как движение массы в поступательном движении. Кроме того, чтобы вызвать При изменении состояния вращения необходимо приложить крутящий момент.

Вращающийся кинетическая энергия и момент инерции твердого тела

Рассмотрим твердое тело, вращающееся с угловым скорость ω вокруг оси XOX ′. Рассмотрим частицы масс м ₁ , м ₂ , м ₃ ? расположены на расстояниях r _1, r ₂ , г ₃ ? соответственно от оси вращения.Угловая скорость из всех частицы такие же, но частицы вращаются с разными линейными скоростями. Пусть линейные скорости частицы будут v ₁ , v ₂ , v ₃ ? соответственно.

Кинетическая энергия первой частицы =? м ₁ v ₁ ²

Но v ₁ = r ₁ ω

∴ Кинетическая энергия первой частицы

= 1/2.м ₁ (r ₁ ω) ² = 1/2. м ₂ (r ₂ ω) ²

Аналогично

Кинетическая энергия второй частицы

= 1/2 м ² r ₂ ² w ²

Кинетическая энергия третьей частицы

= 1/2. м ₃ r ₃ ² ω ² и так далее.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна равна сумме кинетических энергий всех частиц.

∴ Кинетическая энергия вращения

= 1/2. (m ₁ r ₁ ² ω ² + m ₂ r ₂ ² ω ² + м ₃ r ₃ ² ω ² + ???. + м _n r _n ² ω ² )

= 1/2. ω ² (м ₁ r ₁ ² + м ₂ r ₂ ² + м ₃ r ₃ ² + ???.+ м _н г _н ² )

При поступательном движении кинетическая энергия = 1/2 мВ ²

По сравнению с указанным выше В уравнении инерционную роль играет член ∑ m _n r _n ² . Это известно как момент инерции вращающегося твердого тела вокруг оси вращение. Следовательно, момент инерции I = масса? (расстояние) ²

Кинетическая энергия вращения = 1/2 ω ² I

При ω = 1 рад с ^-1 , кинетическая энергия вращения

= ER = 1/2 (1) ² I

(или) I = 2E _R

Показывает момент инерция тела равна удвоенной кинетической энергии вращающегося тела, угловая скорость — один радиан в секунду.

Единица на момент инерция — кг · м ² , а размерная формула — ML ² .

Радиус вращения

Момент инерции вращающегося твердого тела,

I = ∑ м _i r _i ² = m ₁ r ₁ ² + m ₁ r ₁ ² + ?? + м _n r _n ²

Если частицы твердого тела имеют одинаковые масса, то

м ₁ = м ₂ = м ₃ = ?.. знак равно м (скажем)

∴ Вышеприведенное уравнение принимает вид

I = нм [r ₁ ² + r ₂ ² +? .. + r _n ² ] / n

где n — количество частиц в жестком тело.

∴ I = МК ²

где M = нм, полная масса тела и K ² = [r ₁ ² + r ₂ ² + ?.. + r _n ² ] / n

Здесь K называется радиусом вращения

твердое тело вокруг оси вращения.

Радиус инерции равен среднему среднему значению. квадратные расстояния частиц от оси вращения тела.

Радиус вращения также можно определить как расстояние по перпендикуляру между осью вращения и точкой, где должен быть сконцентрирован весь вес тела.

Также из уравнения (2) K ² = r / M

Страница не найдена — Vijaya College

404 Страница не найдена

Вернуться на главную Виджая колледж