Site Loader

Содержание

Системы счисления — презентация онлайн

1. Системы счисления

2. Литература

Острейковский В.А. Информатика: Учеб.
для вузов .-М. : Высш. шк.,2000

3. Система счисления

Система счисления — это метод записи
чисел с помощью набора специальных
знаков, которые называются цифрами.
Множество цифр, используемых в системе
счисления, называется алфавитом.
Системы счисления бывают позиционными
и непозиционными.
Непозиционные системы счисления
Вес цифры (т.е. тот вклад, который она
вносит в значение числа) не зависит от ее
позиции в записи числа.
Пример. Римская система счисления:
в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х
в любой позиции равен десяти, вес цифры
I в любой позиции равен единице и т.д.

5. Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления
значимость (вес) каждой цифры числа
зависит от позиции, которую она занимает
в числе.
Пример: в числе 757,7 первая семерка
означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а
третья – 7 десятых долей единицы.

6. Позиционные системы счисления

Сама запись числа 757,7 означает
сокращенную запись выражения
700+50+7+0,7 = 7•102+5•101+7•100+7•10-1= 757,7
Любая позиционная система счисления
характеризуется своим основанием.

7. Позиционные системы счисления

За основание системы счисления можно
принять любое натуральное число — 2, 3, 4
и т.д.
Следовательно, возможно бесчисленное
множество позиционных систем: двоичная,
троичная, четверичная и т.д.

8. Алфавит позиционной системы счисления

Для записи чисел в позиционной системе с
основанием q нужен алфавит из q цифр.
Таким образом, основание позиционной
системы счисления — это количество цифр в
её алфавите.
Обычно при q
арабских цифр, а при n > 10 к десяти арабским
цифрам добавляют латинские буквы.

9. Алфавит позиционной системы счисления

Примеры алфавитов нескольких систем:
Если требуется указать основание системы, к
которой относится число, то основание
приписывается нижним индексом к этому
числу. Пример:
1011012, 36718, 3B8F16.

10. Позиционные системы счисления

Запись чисел в каждой из систем счисления с
основанием q означает сокращенную запись
многочлена:
an-1qn-1 + an-2qn-2 +…+ a1q1 + a0q0 + a-1q-1 +…+ a-mq-m,
Здесь:
ai – цифры системы счисления;
n и m – число целых и дробных разрядов,
соответственно.

11. Позиционные системы счисления

Примеры:
Это и есть способ перевода числа из
системы счисления с основанием q в 10-ю
систему счисления.

12. Перевод числа из системы счисления с основанием q в 10-ю систему счисления

Пример.
Дано действительное число 101,012.
Записать его в десятичной системе
счисления.
Решение.
101,012 = 1•22 + 0•21 + 1•20 + 0•2-1 + 1•2-2 = 4 +
0 + 1 + 0 + 0,25 = 5,2510

13. Перевод числа из системы счисления с основанием q в 10-ю систему счисления

Пример: перевести число из 16-ой системы
счисления в 10-ю.
Решение:

14.

Задачи Перевести данные числа в 10-ю систему счисления:
А) 10000012
Б) 1000011111,01012
В) 1216,048
Г) 29А,516

15. Задачи

Пример. Определить наименьшие основания
позиционных систем счисления, при которых
56X = 63Y.
Решение. Запишем числа в виде многочленов:
56x = 5∙x1 + 6 ∙x0 и 63Y = 6∙y1 + 3 ∙y0
Получаем равенство: 5x + 6 = 6y + 3
Преобразуем равенство: x = (6y — 3)/5
При этом имеем еще 2 ограничения:
Х > 6 и Y > 6.
Теперь нужно найти значения X и Y,
удовлетворяющие всем трем условиям.

16. Пример

Перебирая значения Y>6 по возрастанию,
подбираем такое при котором X должно
быть целое:
Y=7: x = (6 ∙ 7 — 3)/5 = 39 / 5 – не целое
Y=8: x = (6 ∙ 8 — 3)/5 = 45 / 5 = 9
Ответ: Y = 8, X = 9.

17. Порождение чисел в позиционных системах счисления

В системе счисления цифры упорядочены в соответствии с
их значениями: 1 > 0, 2 > 1 и т.д.
Порождаются числа в позиционных системах счисления с
помощью правила продвижения цифры.
Продвижение цифры – это замена её на следующую по
величине.
Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть
цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д.
Продвинуть старшую цифру (например, 9 в 10-ой системе)
значит заменить её на 0.
В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и
1, продвижение 0 означает замену его на 1, а
продвижение 1 – замену её на 0.

18. Порождение чисел в позиционных системах счисления

Целые числа в любой системе счисления
порождаются с помощью Правила счета:
Для образования целого числа, следующего за
любым данным целым числом, нужно
продвинуть самую правую цифру числа;
если какая-либо цифра после продвижения
стала нулем, то нужно продвинуть цифру,
стоящую слева от неё.

19. Порождение чисел в позиционных системах счисления

Пример. Применяя правило счета, записать
первые десять целых чисел в 2-ой, 3-ой, 5ой, 8-ой системах счисления.
Решение.
2-я: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
3-я: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
5-я: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
8-я: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

20. Перевод целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q

При переводе целого десятичного числа Х в
систему с основанием q данное число
нужно последовательно делить на q до тех
пор, пока не будет получен остаток
Число в системе с основанием q
записывается как последовательность
остатков от деления, записанных в
обратном порядке, начиная с последнего.

21. Перевод целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q

Пример. Перевести число 7510 из 10-й в 2-ю с.с.
Решение.
1 001 0112

22. Задача

Перевести число 3710 в 2-ю.
Решение.
Ответ: 3710 = 1001012 .

23. Перевод целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q

Пример. Перевести число 31510 в 8-ю и 16-ю с.с.
Решение.
8-я с.с.
16-я с.с.
Ответ:
31510 = 4738 = 13B16
Примечание. 1110 – это B16.

24. Задача

Перевести число 7510 в восьмеричную и
шестнадцатеричную:
72
3 8
1
1
1138
Ответ: 7510 = 1138 = 4B16.

64
11
4
4(11)8 = 4В16

25. Перевод правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием q

1. Дробь умножается на q.
2. Результат умножения разделяется на 2 части целая часть произведения записывается в
результат, а дробная снова умножается.
3. Умножение производится, пока дробная часть
произведения не станет равной нулю (дробь
переводится точно), или не выявится период или
не будет достигнута заданная точность (например,
до 5 знаков после запятой).

26. Перевод правильной десятичной дроби в систему счисления с основанием q

Пример. Перевести десятичную дробь 0,1875 в 2-ю, 8-ю и 16-ю c.с.
Решение.
2-я
8-я
16-я
0,1875
×
2
0,3750
×
2
0,750
× 2
1,50
× 2
1,00
0,1875
×
8
0,5000
× 2
4,0
0,1875
×
16
11350
1 875
3,0000
Результат: 0,316
Результат: 0,148
Результат: 0,00112
Здесь в левом столбце находится целая часть чисел, а в
правом — дробная. Умножается только дробная.
Ответ: 0,187510 = 0,00112 = 0,148 = 0,316

27. Задача

Пример: Перевести число 0,3510 в 2-ю с.с.
Решение.
0, 35
×
2
0, 70
× 2
1, 4
× 2
0, 8
× 2
1, 6
× 2
1, 2
× 4
0, 8
× 2
1, 6 и т.д
Результат: 0,3510 = 0,0101101…2 = 0,01(011)2

28. Задача

Пример: Перевести число 0,3510 в 8-ю с.с.
Решение.
0, 35
×
8
2, 80
× 8
6, 4
× 8
3, 2
× 8
1, 6
× 2
1, 2
× 4
0, 8
× 8
6, 4 и т.д.
Результат: 0,3510 = 0,2631106…8 = = 0,2(63110)8

29. Задача

Пример: Перевести число 0,3510 в 2-ю, 8-ю и 16-ю.
Решение.
0, 35
× 16
5, 60
×16
9, 6
× 16
9, 6 и т.д.
Результат: 0,3510 = 0,5(9)16

30. Перевод смешанных десятичной чисел в систему счисления с основанием q

Перевод смешанных чисел, содержащих целую
и дробную части:
1. Переводится целая часть по алгоритму
перевода целых чисел.
2. Переводится дробная часть по алгоритму
перевода правильной десятичной дроби .
3. В итоговой записи числа в новой системе
счисления целая часть отделяется от
дробной запятой (точкой).

31. Задачи

1. Перевести число 20,37510 в 2-ю, 8-ю и 16-ю.
Ответ: 20,37510 =10100,0112 = 24,38 = 14,316
2. Перевести число 44,289062510 в 2-ю, 8-ю и
16-ю.
Ответ: 44,289062510 = 101100,01001012 = 54,2218 =
2С,4А16

32. Схема быстрого перевода между системами счисления, основания которых – это степени одного числа

Пример таких оснований — 2, 4, 8, 16.
Перевод осуществляется через систему счисления,
основание которой равно возводимому степень
числу. Для примера – это двоичная с.с.
Перевод 8-х чисел в 2-ю с.с.: каждую 8-ю цифру
заменяем эквивалентной ей двоичной триадой тройкой цифр (23 = 8).
Перевод 16-х чисел в 2-ю с.с.: каждую 16-ю цифру
заменяем эквивалентной ей двоичной тетрадой
— четверкой цифр (24 = 16).

33. Схема быстрого перевода между системами счисления, основания которых – это степени одного числа

Таблицы перевода:
10 — я
0
1
2
3
2–я
00
01
10
11
4–я
0
1
2
3
10 — я
0
1
2
3
4
5
6
7
2–я
000
001
010
011
100
101
110
111
8–я
0
1
2
3
4
5
6
7
10 — я
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2–я
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
16 – я
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F

34. Схема быстрого перевода между системами счисления, основания которых – это степени одного числа

Пример: Число 1111010101,112 перевести в 16-ю с. с.
Решение:

35. Задачи

Перевести число 10101001,101112 :
А) в 8-ю
Б) в 16-ю

36. Арифметические операции в системе счисления с основанием q

Правила выполнения сложения, вычитания,
умножения и деления те же, что и в
десятичной системе счисления —сложение,
вычитание и умножение выполняются
столбиком, а деление углом.
Эти правила применимы и ко всем другим
позиционным системам счисления

37. Двоичная система счисления: сложение

Таблица сложения:
Пример: Сложить число 11112 и 1102
перенос

38. Задача

Сложить два числа:
Решение.

39. Восьмеричная система счисления: сложение

Пример. 75368 + 4728
Решение. 7 5 3 68
+
4 7 28
7 9(10)8
-8
7 9(11)0
-8
7(10)3 0
-8
8 2 30
-8
1 0 2 3 08 Ответ: 75368 + 4728 = 102308

40. 16-я система счисления: сложение

Пример. 7B3E16 + 7AD16
Решение. Сначала заменим буквы числами
7B3E16 + 7AD16 = 7(11)3(14)16+ 7(10)(13)16
7 (11) 3 (14)16
+ 7 (10) (13)16
7 (18) (13) (27)
— 16
7 (18) (14) (11)
— 16
8 2 (14) (11)
Заменим числа на буквы :
8 2 E
B 16
Ответ: 7B3E16 + 7AD16 = 82EB16

41.

Задачи 1.
Решение:
Ответ: 311,28
2. A8D,816 + 93B,C16
Ответ: 13C9,416

42. Двоичная система счисления: вычитание

Выполнить действие:
Решение:
Ответ:
= 10001101,12

43. Задача

1100000011,0112 — 101010111,1(2)
Решение:

Ответ: 110101011,1112

44. 8-я система счисления: вычитание

Выполнить действие:
Решение:
Ответ:
= 215,48

45. Задача

1510,28 – 1230,548
Решение:

Ответ: 257,448

46. 16-я система счисления: вычитание

Выполнить действие:
Решение:
(12) 9 , 4
3 (11),(12)
8 (13), 8
Ответ:
= 8D,816

47. Задача

Вычислить: 27D,D816 – 191,216
Решение:
1 — заём

2 7 (13),(13) 8
1 9 1 , 2
(14)(12),(11) 8
Ответ: 27D,D816 – 191,216 = EC,B816

48. 2-я система счисления: умножение

При умножении в двоичной системе счисления
выполняется по правилам умножения в столбик.
Пример: 1001112 10001112
Решение:
Ответ: 1001112 10001112 = 1010110100012

49.

Задача Выполнить умножение:
Ответ: 11100112 ● 1100112 = 10110111010012

50. 8-я система счисления: умножение

Пример. Вычислить 1638 × 638
Умножаем на разряды 2-го
Решение. × 2 6 38
сомножителя, пока не учитывая
5 38
перенос.
Теперь, начиная с младших,
6 (18) 9
+
последовательно корректируем
10 (30) (15)
разряды, значение которых > 7:
10 (36) (34) 1
9 : 8 = частное 1 и остаток 1
10 (40) 2 1 Частное – это перенос, остаток –
это цифра разряда.
(15) 0 2 1
34 : 8 = частное 4 и остаток 2
40 : 8 = частное 5 и остаток 0
Заменяем двухразрядные числа на буквы:
Ответ: 1638 × 638 = F0218

51. Задача

Выполнить умножение:
Ответ: = 133518

52. 16-я система счисления: умножение

Пример. Вычислить 61A16 40D16
Решение. Заменяем буквы числами и перемножаем:
6 1 (10)16 Умножаем на разряды 2-го
× 4 0 (13) сомножителя, пока не учитывая
16
перенос.
(78)(13)(130)
Начиная с младших,
+
(24) 4 (40)
корректируем разряды,
значение которых > 15:
(24) 4(118)(13)(130)
130 : 16 = частное 8 и остаток 2
(24) 4(118)(21) 2
21 : 16 = частое 1 и остаток 5
(24) 4(119) 5 2
119 : 16 = частое 7 и остаток 7
24 : 16 = частое 1 и остаток 8
(24)(11) 7 5 2
Заменяем числа > 9 на буквы.
1 8 (11) 7 5 2
Ответ: 61A16 40D16 = 18B75216

53. Задача

Выполнить умножение: 173C16 4FA16
Ответ: = 73A09816

Для чего нужна шестнадцатиричная система счисления. Для чего нужна шестнадцатеричная система счисления

  1. Воспользуйтесь этим методом, если вы не знакомы с шестнадцатеричной системой счисления. Простой интуитивный метод может использовать практически любой человек. Если вам известны различные системы счисления, прочитайте о , который описан ниже.

    • Если вы вообще ничего не знаете о шестнадцатеричной системе, начните с изучения основных понятий .
  2. Возведите 16 в степень от 1 до 5 и запишите результаты. Разряд каждой цифры шестнадцатеричного числа является результатом возведения в степень числа 16, так же как разряд каждой цифры десятичного числа является результатом возведения в степень числа 10. Следующий список результатов возведения 16 в различные степени пригодится в процессе преобразования:

    • 16 5 = 1048576
    • 16 4 = 65536
    • 16 3 = 4096
    • 16 2 = 256
    • 16 1 = 16
    • Если конвертируемое десятичное число больше 1048576, возведите 16 в большую степень, а результат добавьте в список.
  3. В списке найдите наибольшее число, которое меньше данного десятичного числа. Запишите данное десятичное число, которое нужно преобразовать в шестнадцатеричное. Посмотрите на список, приведенный выше, и найдите наибольший результат (возведения 16 в степень), который меньше данного десятичного числа.

    • Например, нужно преобразовать десятичное число 495 в шестнадцатеричное. В списке выберите число 256.
  4. Разделите десятичное число на выбранный результат возведения 16 в степень. Работайте с целочисленным результатом деления – не обращайте внимания на цифры после десятичной запятой.

    • В нашем примере: 495 ÷ 256 = 1,93…, поэтому работайте с числом 1 (это целое частное от деления).
    • Полученный результат – это первая цифра шестнадцатеричного числа. В этом случае вы разделили данное десятичное число на 256, поэтому 1 находится в разряде 256-и.
  5. Найдите первый остаток. То есть остаток от деления данного десятичного числа на выбранное число (делитель). Остаток вычисляется так же, как при делении в столбик.

    • Умножьте полученное частное на делитель. В нашем примере: 1 х 256 = 256 (то есть 1 в шестнадцатеричном числе представляет 256 по основанию 10).
    • Результат умножения вычтите из данного десятичного числа: 495 — 256 = 239 .
  6. Разделите остаток на следующий (по списку) результат возведения 16 в степень. Посмотрите на список с результатами возведения 16 в разные степени. Найдите результат, который находится под результатом, который вы выбрали для предыдущего деления. Разделите остаток на выбранное число, чтобы найти следующую цифру шестнадцатеричного числа (если остаток меньше выбранного числа, следующая цифра равна 0).

    • 239 ÷ 16 = 14 . Не обращайте внимания на цифры после десятичной запятой.
    • Это вторая цифра шестнадцатеричного числа, которая находится в разряде 16-и. Любое число от 0 до 15 может быть представлено одной шестнадцатеричной цифрой. Полученные цифры будут преобразованы и расставлены в конце этого метода.
  7. Найдите второй остаток. Для этого умножьте полученное частное на делитель, а затем результат умножения вычтите из первого остатка. Второй остаток нужно преобразовать в цифру шестнадцатеричного числа.

    • 14 x 16 = 224.
    • 239 — 224 = 15, то есть остаток равен 15 .
  8. Повторяйте описанный процесс до тех пор, пока остаток не будет меньше 16. Если остаток равен числу от 0 до 15, он может быть выражен одной шестнадцатеричной цифрой. Эта цифра будет последней цифрой.

    • Последней цифрой шестнадцатеричного числа является число 15, которое находится в разряде единиц.
  9. Преобразуйте полученные цифры и запишите ответ. Вы нашли все цифры шестнадцатеричного числа. Но они записаны в десятичной системе счисления. Чтобы преобразовать каждую цифру по основанию 16, воспользуйтесь следующими инструкциями:

    • Цифры от 0 до 9 не меняются.
    • 10 = A; 11 = В; 12 = C; 13 = D; 14 = E; 15 = F
    • В нашем примере вы получили цифры (1)(14)(15). То есть шестнадцатеричное число запишется так: 1EF .
  10. Проверьте ответ. Это легко сделать, если знать основы шестнадцатеричной системы счисления. Преобразуйте каждую цифру шестнадцатеричного числа в цифру по основанию 10, а затем умножьте на результат возведения 16 в определенную степень, которая соответствует позиции цифры. В нашем примере:

    • 1EF → (1)(14)(15)
    • Работайте с цифрами справа налево. 15 находится в разряде единиц: 16 0 = 1, поэтому 15 х 1 = 15.
    • Следующая цифра находится в разряде 16-и: 16 1 = 16, поэтому 14 x 16 = 224.
    • Следующая цифра находится в разряде 256-и: 16 2 = 256, поэтому 1 x 256 = 256.
    • Сложите найденные результаты: 256 + 224 + 15 = 495, то есть получилось исходное десятичное число.

Теперь предстоит совсем легкая прогулка, связанная с шестнадцатеричной системой счисления. В этом случае, надеемся, вы подозреваете и, видимо, справедливо, что у нас должно теперь быть 16 различных цифр.

Но, как мы знаем, традиционных («арабских») цифр всего десять. А требуется шестнадцать. Получается, что не хватает шести знаков.

Замечание
Таким образом, возникает чисто дизайнерская задача по теме «Знаки» — придумать недостающие символы для цифр
.

Значит, в свое время специалистам необходимо было придумать какие-нибудь новые знаки. Но когда-то, в начале компьютерной эры, особого выбора в знаках не было. Программисты располагали только знаками цифр и букв. Поэтому они пошли по элементарному пути: взяли первые буквы латинского алфавита в качестве цифр, тем более что исторически это не первый случай (мы уже упоминали, что первоначально вместо цифр многие народы использовали буквы).

Замечание
Надеемся, что всем понятно, почему в этом случае нельзя использовать, например, числа «10», «11», «12» и т. д.? Потому что, если мы говорим о шестнадцатеричной системе счисления, то должно быть шестнадцать цифр , а не чисел
.

И десятичное число «10» стали обозначать латинской буквой «А» (точнее, «цифрой А»). Соответственно, дальше идут цифры «В», «С», «D», «Е» и «Р.

Поскольку мы намеревались построить шестнадцатеричную систему, то, начиная с нуля, здесь как раз и получится 16 цифр. Например, цифра «D» — это десятичное число «13», а цифра «F» — это десятичное число «15».

Когда к шестнадцатеричному числу «F» прибавляем единицу, то, поскольку эти цифры у нас кончились, в этом разряде ставим «О», а в следующий разряд переносим единицу, поэтому получается, что десятичное число «16» будет представлено в шестнадцатеричной системе счисления числом «10», т. е. получается «шестнадцатеричная десятка». Соединим десятичные и шестнадцатеричные числа в единую таблицу (табл. 4.5).

Таблица 4.5 . Соответствие десятичных и шестнадцатеричных чисел.

Десятичное число Шестнадцатеричное число Десятичное число Шестнадцатеричное число
0-9 0-9 29 1D
10 А 30
11 В 31 1F
12 С 32-41 20-29
13 D 42-47 2A-2F
14 Е 48-255 30-FF
15 F 256 100
16 10 512 200
17-25 11-19 1024 400
26 1280 500
27 4096 1000
28 1C

Шестнадцатеричная система используется, чтобы более компактно записывать двоичную информацию. В самом деле, «шестнадцатеричная тысяча», состоящая из четырех разрядов, в двоичном виде занимает тринадцать разрядов (1000 16 = 1000000000000 2).

При обсуждении систем счисления неоднократно фигурировали «десятки», «сотни» и «тысячи», поэтому необходимо обратить внимание на так называемые «круглые» числа.

Шестнадцатеричная система счисления. аша первая программа.

Для написания программ на Ассемблере, необходимо разобраться с шестнадцатеричной системой счисления. Ничего сложного в ней нет. Мы используем в жизни десятичную систему. Уверен, что вы все ее знаете, поэтому я постараюсь объяснить шестнадцатеричную систему, проводя аналогию с десятичной.

Итак, в десятичной системе если мы к какому-нибудь числу справа добавим нуль, то это число увеличится в 10 раз. Например: 1 х 10 = 10; 10 х 10 = 100; 100 х 10 = 1000 и т.д. В этой системе мы используем цифры от 0 до 9, т.е. десять разных цифр (собственно, поэтому она и называется десятичная).

В шестнадцатеричной системе мы используем, соответственно, шестнадцать «цифр». Я специально написал слово «цифр» в кавычках, т.к. в ней используются не только цифры. Да и в самом деле как так? Объясняю: от 0 до 9 мы считаем так же, как и в десятичной, а вот дальше будет так: A, B, C, D, E, F. Число F, как не трудно посчитать, будет равно 15 в десятичной системе (см. табл. 1).

Десятичное число

Шестнадцатеричное число

Таблица 1. Десятичная и шестнадцатеричная системы.

Т.о., если мы к какому-нибудь числу в шестнадцатеричной системе добавим справа нуль, то это число увеличится в 16 раз.

Пример 1: 1 х 16 = 10; 10 х 16 = 100; 100 х 16 = 1000 и т.д.

Вы смогли отличить в Примере 1 шестнадцатеричные числа от десятичных? А из этого ряда: 10, 12, 45, 64, 12, 8, 19? Это могут быть как шестнадцатеричные, так и десятичные. Для того, чтобы не было путаницы, и компьютер смог бы однозначно отличить одни числа от других, в Ассемблере принято после шестнадцатеричного числа ставить символ h или H (H это сокращение от англ. hexadecimal (шестнадцатеричное). Для краткости его иногда называют просто Hex ) . А после десятичного ничего не ставить. Т.к. числа от 0 до 9 в обоих системах имеют одинаковые значения, то числа, записанные как 5 и 5h одно и тоже.

Т.о. Пример 1 (см. выше) правильнее будет записать так: 1 х 16 = 10h; 10h x 16 = 100h; 100h x 16 = 1000h. Либо так: 1h x 10h = 10h; 10h x 10h = 100h; 100h x 10h = 1000h.

Для чего нужна шестнадцатеричная система, мы рассмотрим в последующих выпусках. А в данный момент для нашего примера программы, который будет рассмотрен ниже, нам необходимо знать о существовании шестнадцатеричных чисел.

Итак, подведем итог. Шестнадцатеричная система счисления состоит из 10 цифр (от 0 до 9) и 6 букв латинского алфавита (A, B, C, D, E, F). Если к какому-нибудь числу в шестнадцатеричной системе добавим справа нуль, то это число увеличится в 16 раз. Очень важно уяснить данную тему , так как мы будем постоянно использовать ее при написании программ.

Теперь немного о том, как я буду строить примеры на Ассемблере. Не совсем удобно приводить их в HTML-формате, поэтому сперва будет сам код программы с пронумерованными строчками, а сразу же после него объяснения и примечания.

Примерно так:

строк Код программы
(1) mov ah,9

Объяснения:

В строке (1) мы делаем то-то, а в строке (15) то-то.

Огромная просьба: НЕ копируйте программы со страницы в буфер, а затем не вставляйте их в Блокнот (или еще куда-нибудь)! Перепечатывайте их вручную в текстовом редакторе. Если есть принтер, то выделите программу, распечатайте выделенный фрагмент, а затем перебейте в редактор с бумаги. Все примеры нужно набирать самостоятельно! Это ускорит запоминание операторов.

И еще. Строчные и ПРОПИСНЫЕ буквы в Ассемблере не различаются. Записи вида:

Ассемблером воспринимаются одинаково. Можно, конечно, заставить Ассемблер различать строчные и ПРОПИСНЫЕ символы, но мы пока этого делать не будем. Для удобства чтения программы лучше всего операторы печатать строчными буквами, а названия подпрограмм и меток начинать с прописной. Но это как кому будет удобно.

Итак, переходим к нашей первой программе:

(1) CSEG segment

(2) org 100h

(4) Begin:

(6) mov ah,9

(7) mov dx,offset Message

(8) int 21h

(10) int 20h

(11)

(12) Message db «Hello, world!$»

(13) CSEG ends

(14) end Begin

Для того, чтобы объяснить все операторы данного примера, нам потребуется несколько выпусков. Поэтому описание некоторых команд мы просто опустим на данном этапе. Просто считайте, что так должно быть. В самое ближайшее время мы рассмотрим эти операторы подробно. Итак, строки с номерами (1), (2) и (13) вы просто игнорируете.

Строки (3), (5), (9) и (11) остаются пустыми. Это делается для наглядности. Ассемблер их будет просто опускать.

Теперь перейдем к рассмотрению остальных операторов. Со строки (4) начинается код программы. Это метка, указывающая Ассемблеру на начало кода. В строке (14) стоят операторы end Begin ( Begin англ. начало; end конец). Это конец программы. Вообще вместо слова Begin можно было бы использовать что-нибудь другое. Например, Start:. В таком случае, нам пришлось бы и завершать программу End Start (14).

Строки (6) (8) выводят на экран сообщение Hello, world!. Здесь придется вкратце рассказать о регистрах процессора (более подробно эту тему мы рассмотрим в следующем выпуске).

Регистр процессора это специально отведенная память для хранения какого-нибудь числа.

Например:

Если мы хотим сложить два числа, то в математике запишем так:

A, B и C это своего рода регистры (если говорить о компьютере), в которых могут хранится некоторые данные. А=5 можно прочитать как: Присваиваем А число 5 .

Для присвоения регистру какого-нибудь значения, в Ассемблере существует оператор mov (от англ. move загрузить). Строку (6) следует читать так: Загружаем в регистр AH число 9 (проще говоря, присваиваем AH число 9). Ниже рассмотрим зачем это надо.

В строке (7) загружаем в регистр DX адрес сообщения для вывода (в данном примере это будет строка Hello, world!$ ).

Прерывания будут подробно рассматриваться в последующих выпусках. Здесь я скажу несколько слов.

Прерывание MS-DOS это своего рода подпрограмма (часть MS-DOS) , которая находится постоянно в памяти и может вызываться в любое время из любой программы.

Рассмотрим вышесказанное на примере (мелким шрифтом выделим примечания ):

Программа сложения двух чисел

НачалоПрограммы

A=5 в переменную A заносим значение 5

B=8 в переменную B значение 8

ВызовПодпрограммы Сложение

теперь С равно 13

A=10 тоже самое, только другие числа

B=25

ВызовПодпрограммы Сложение

теперь С равно 35

КонецПрограммы

Подпрограмма Сложение

C=A+B

ВозвратИзПодпрограммы возвращаемся в то место, откуда вызывали

КонецПодпрограммы

В данном примере мы дважды вызвали подпрограмму Сложение , которая сложила два числа, переданные ей в переменных A и B. Результат помещается в переменную С. Когда вызывается подпрограмма, компьютер запоминает с какого места она была вызвана, а затем, когда закончила работу подпрограмма, компьютер возвращается в то место, откуда она вызывалась. Т.о. можно вызывать подпрограммы неопределенное количество раз с любого места.

При выполнении строки (8) программы на Ассемблере мы вызываем подпрограмму (в данном случае это называется прерывание), которая выводит на экран строку. Для этого мы, собственно, и помещаем необходимые значения в регистры. Всю необходимую работу (вывод строки, перемещение курсора) берет на себя подпрограмма. Эту строку можно прочитать так: вызываем двадцать первое прерывание ( int от англ. interrupt прерывание). Обратите внимание, что после числа 21 стоит буква h. Это, как мы уже знаем, шестнадцатеричное число (33 в десятичной системе). Конечно, нам ничего не мешает заменить строку int 21h на int 33. Программа будет работать корректно. Просто в Ассемблере принято указывать номер прерывания в шестнадцатеричной системе.

В строке (10) мы, как вы уже догадались, вызываем прерывание 20 h. Для вызова данного прерывания не нужно указывать какие-либо значения в регистрах. Оно выполняет только одну задачу: выход из программы (выход в DOS). В результате выполнения прерывания 20h, программа вернется туда, откуда ее запускали (загружали, вызывали). Например, в Norton Commander или DOS Navigator.

Строка (12) содержит сообщение для вывода. Первое слово ( message сообщение) название сообщения. Оно может быть любым (например, mess или string и пр.). Обратите внимание на строку (7), в которой мы загружаем в регистр DX адрес нашего сообщения.

Можно создать еще одну строку, которую назовем Mess2. Затем, начиная со строки (9) вставим следующие команды:

(10) mov dx,offset Mess2

(13) Message db «Hello, world!$»

(14) Mess2 db «Это Я! $»

и ассемблировать нашу программу заново. Надеюсь, что вы догадались, что произойдет

Обратите внимание на последний символ в строках Message и Mess2 — $. Он указывает на конец строки. Если мы его уберем, то 21 h прерывание продолжит вывод до тех пор, пока не встретится где-нибудь в памяти символ $. На экране мы увидим мусор .

Если у вас есть отладчик, то можно посмотреть как будет работать наша программа.

Целю настоящего выпуска не было разобраться подробно с каждым оператором . Это невозможно, т.к. у вас еще недостаточно знаний. Я полагаю, что уже через 3-4 выпуска вы поймете принцип и структуру программы на Ассемблере. Может быть, вам показался язык Ассемблера чрезвычайно сложным, но это, поверьте, с первого взгляда.

Для написания программ на Ассемблере, необходимо разобраться с шестнадцатеричной системой счисления. Ничего сложного в ней нет. Мы используем в жизни десятичную систему. Уверен, что вы все ее знаете, поэтому я постараюсь объяснить шестнадцатеричную систему, проводя аналогию с десятичной.

Итак, в десятичной системе если мы к какому-нибудь числу справа добавим нуль, то это число увеличится в 10 раз. Например: 1 х 10 = 10; 10 х 10 = 100; 100 х 10 = 1000 и т.д. В этой системе мы используем цифры от 0 до 9, т.е. десять разных цифр (собственно, поэтому она и называется десятичная).

В шестнадцатеричной системе мы используем, соответственно, шестнадцать «цифр». Я специально написал слово «цифр» в кавычках, т.к. в ней используются не только цифры. Да и в самом деле как так? Объясняю: от 0 до 9 мы считаем так же, как и в десятичной, а вот дальше будет так: A, B, C, D, E, F. Число F, как не трудно посчитать, будет равно 15 в десятичной системе (см. табл. 1).

Десятичное число

Шестнадцатеричное число

Таблица 1. Десятичная и шестнадцатеричная системы.

Т.о., если мы к какому-нибудь числу в шестнадцатеричной системе добавим справа нуль, то это число увеличится в 16 раз.

Пример 1: 1 х 16 = 10; 10 х 16 = 100; 100 х 16 = 1000 и т.д.

Вы смогли отличить в Примере 1 шестнадцатеричные числа от десятичных? А из этого ряда: 10, 12, 45, 64, 12, 8, 19? Это могут быть как шестнадцатеричные, так и десятичные. Для того, чтобы не было путаницы, и компьютер смог бы однозначно отличить одни числа от других, в Ассемблере принято после шестнадцатеричного числа ставить символ h или H (H это сокращение от англ. hexadecimal (шестнадцатеричное). Для краткости его иногда называют просто Hex ) . А после десятичного ничего не ставить. Т.к. числа от 0 до 9 в обоих системах имеют одинаковые значения, то числа, записанные как 5 и 5h одно и тоже.

Т.о. Пример 1 (см. выше) правильнее будет записать так: 1 х 16 = 10h; 10h x 16 = 100h; 100h x 16 = 1000h. Либо так: 1h x 10h = 10h; 10h x 10h = 100h; 100h x 10h = 1000h.

Для чего нужна шестнадцатеричная система, мы рассмотрим в последующих выпусках. А в данный момент для нашего примера программы, который будет рассмотрен ниже, нам необходимо знать о существовании шестнадцатеричных чисел.

Итак, подведем итог. Шестнадцатеричная система счисления состоит из 10 цифр (от 0 до 9) и 6 букв латинского алфавита (A, B, C, D, E, F). Если к какому-нибудь числу в шестнадцатеричной системе добавим справа нуль, то это число увеличится в 16 раз. Очень важно уяснить данную тему , так как мы будем постоянно использовать ее при написании программ.

Теперь немного о том, как я буду строить примеры на Ассемблере. Не совсем удобно приводить их в HTML-формате, поэтому сперва будет сам код программы с пронумерованными строчками, а сразу же после него объяснения и примечания.

Примерно так:

строк Код программы
(1) mov ah,9

Объяснения:

В строке (1) мы делаем то-то, а в строке (15) то-то.

Огромная просьба: НЕ копируйте программы со страницы в буфер, а затем не вставляйте их в Блокнот (или еще куда-нибудь)! Перепечатывайте их вручную в текстовом редакторе. Если есть принтер, то выделите программу, распечатайте выделенный фрагмент, а затем перебейте в редактор с бумаги. Все примеры нужно набирать самостоятельно! Это ускорит запоминание операторов.

И еще. Строчные и ПРОПИСНЫЕ буквы в Ассемблере не различаются. Записи вида:

Ассемблером воспринимаются одинаково. Можно, конечно, заставить Ассемблер различать строчные и ПРОПИСНЫЕ символы, но мы пока этого делать не будем. Для удобства чтения программы лучше всего операторы печатать строчными буквами, а названия подпрограмм и меток начинать с прописной. Но это как кому будет удобно.

Итак, переходим к нашей первой программе:

(1) CSEG segment

(2) org 100h

(4) Begin:

(6) mov ah,9

(7) mov dx,offset Message

(8) int 21h

(10) int 20h

(11)

(12) Message db «Hello, world!$»

(13) CSEG ends

(14) end Begin

Для того, чтобы объяснить все операторы данного примера, нам потребуется несколько выпусков. Поэтому описание некоторых команд мы просто опустим на данном этапе. Просто считайте, что так должно быть. В самое ближайшее время мы рассмотрим эти операторы подробно. Итак, строки с номерами (1), (2) и (13) вы просто игнорируете.

Строки (3), (5), (9) и (11) остаются пустыми. Это делается для наглядности. Ассемблер их будет просто опускать.

Теперь перейдем к рассмотрению остальных операторов. Со строки (4) начинается код программы. Это метка, указывающая Ассемблеру на начало кода. В строке (14) стоят операторы end Begin ( Begin англ. начало; end конец). Это конец программы. Вообще вместо слова Begin можно было бы использовать что-нибудь другое. Например, Start:. В таком случае, нам пришлось бы и завершать программу End Start (14).

Строки (6) (8) выводят на экран сообщение Hello, world!. Здесь придется вкратце рассказать о регистрах процессора (более подробно эту тему мы рассмотрим в следующем выпуске).

Регистр процессора это специально отведенная память для хранения какого-нибудь числа.

Например:

Если мы хотим сложить два числа, то в математике запишем так:

A, B и C это своего рода регистры (если говорить о компьютере), в которых могут хранится некоторые данные. А=5 можно прочитать как: Присваиваем А число 5 .

Для присвоения регистру какого-нибудь значения, в Ассемблере существует оператор mov (от англ. move загрузить). Строку (6) следует читать так: Загружаем в регистр AH число 9 (проще говоря, присваиваем AH число 9). Ниже рассмотрим зачем это надо.

В строке (7) загружаем в регистр DX адрес сообщения для вывода (в данном примере это будет строка Hello, world!$ ).

Прерывания будут подробно рассматриваться в последующих выпусках. Здесь я скажу несколько слов.

Прерывание MS-DOS это своего рода подпрограмма (часть MS-DOS) , которая находится постоянно в памяти и может вызываться в любое время из любой программы.

Рассмотрим вышесказанное на примере (мелким шрифтом выделим примечания ):

Программа сложения двух чисел

НачалоПрограммы

A=5 в переменную A заносим значение 5

B=8 в переменную B значение 8

ВызовПодпрограммы Сложение

теперь С равно 13

A=10 тоже самое, только другие числа

B=25

ВызовПодпрограммы Сложение

теперь С равно 35

КонецПрограммы

Подпрограмма Сложение

C=A+B

ВозвратИзПодпрограммы возвращаемся в то место, откуда вызывали

КонецПодпрограммы

В данном примере мы дважды вызвали подпрограмму Сложение , которая сложила два числа, переданные ей в переменных A и B. Результат помещается в переменную С. Когда вызывается подпрограмма, компьютер запоминает с какого места она была вызвана, а затем, когда закончила работу подпрограмма, компьютер возвращается в то место, откуда она вызывалась. Т.о. можно вызывать подпрограммы неопределенное количество раз с любого места.

При выполнении строки (8) программы на Ассемблере мы вызываем подпрограмму (в данном случае это называется прерывание), которая выводит на экран строку. Для этого мы, собственно, и помещаем необходимые значения в регистры. Всю необходимую работу (вывод строки, перемещение курсора) берет на себя подпрограмма. Эту строку можно прочитать так: вызываем двадцать первое прерывание ( int от англ. interrupt прерывание). Обратите внимание, что после числа 21 стоит буква h. Это, как мы уже знаем, шестнадцатеричное число (33 в десятичной системе). Конечно, нам ничего не мешает заменить строку int 21h на int 33. Программа будет работать корректно. Просто в Ассемблере принято указывать номер прерывания в шестнадцатеричной системе.

В строке (10) мы, как вы уже догадались, вызываем прерывание 20 h. Для вызова данного прерывания не нужно указывать какие-либо значения в регистрах. Оно выполняет только одну задачу: выход из программы (выход в DOS). В результате выполнения прерывания 20h, программа вернется туда, откуда ее запускали (загружали, вызывали). Например, в Norton Commander или DOS Navigator.

Строка (12) содержит сообщение для вывода. Первое слово ( message сообщение) название сообщения. Оно может быть любым (например, mess или string и пр.). Обратите внимание на строку (7), в которой мы загружаем в регистр DX адрес нашего сообщения.

Можно создать еще одну строку, которую назовем Mess2. Затем, начиная со строки (9) вставим следующие команды:

(10) mov dx,offset Mess2

(13) Message db «Hello, world!$»

(14) Mess2 db «Это Я! $»

и ассемблировать нашу программу заново. Надеюсь, что вы догадались, что произойдет

Обратите внимание на последний символ в строках Message и Mess2 — $. Он указывает на конец строки. Если мы его уберем, то 21 h прерывание продолжит вывод до тех пор, пока не встретится где-нибудь в памяти символ $. На экране мы увидим мусор .

Если у вас есть отладчик, то можно посмотреть как будет работать наша программа.

Целю настоящего выпуска не было разобраться подробно с каждым оператором . Это невозможно, т.к. у вас еще недостаточно знаний. Я полагаю, что уже через 3-4 выпуска вы поймете принцип и структуру программы на Ассемблере. Может быть, вам показался язык Ассемблера чрезвычайно сложным, но это, поверьте, с первого взгляда.

Возникла в древнем Вавилоне. В Индии система работает в виде позиционной десятичной нумерации с использованием нуля, у индусов данную систему чисел позаимствовала арабская нация, у них, в свою очередь, взяли европейцы. В Европе эту систему стали называть арабской.

Позиционная система счисления — значение всех цифр зависит от позиции (разряда) данной цифры в числе.

Примеры , стандартная десятичная система счисления — это позиционная система. Допустим, дано число 453 . Цифра 4 обозначает сотни и соответствует числу 400, 5 — кол-во десятков и соответствует значению 50 , а 3 — единицы и значению 3 . Легко заметить, что с увеличением разряда увеличивается значение. Таким образом, заданное число запишем в виде суммы 400+50+3=453.

Шестнадцатеричная система счисления.

Шестнадцатеричная система счисления (шестнадцатеричные числа) — позиционная система счисления. Основанием шестнадцатеричной системы счисления является число 16.

Записывая числа в восьмеричной системе счисления мы получаем довольно компактные выражения, однако в шестнадцатеричной системе мы получаем выражения более компактными.

Первыми десятью цифрами из шестнадцати шестнадцатеричных цифрах является стандартный интервал 0 — 9 , последующие шесть цифр выражают при помощи первых букв латинского алфавита: A , B , C , D , E , F . Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную систему и в обратную сторону делают аналогично процессу для восьмеричной системы.

Применение шестнадцатеричной системы счисления.

Шестнадцатеричную систему счисления довольно хорошо используют в современных компьютерах, например с ее помощью указывают цвет: #FFFFFF — белый цвет.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в десятичную.

Что бы перевести шестнадцатеричное число в десятичное , нужно заданное число привести к виду суммы произведений степеней основания шестнадцатеричной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах шестнадцатеричного числа.

Например , переведем шестнадцатеричное число 5A3 в десятичное. Здесь 3 цифры. Исходя их выше сказанного правила, приведем его к виду суммы степеней с основанием 16:

5A3 16 = 3·16 0 +10·16 1 +5·16 2 = 3·1+10·16+5·256 = 3+160+1280 = 1443 10

Перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную и наоборот.

Для перевода многозначного двоичного числа в шестнадцатеричную систему необходимо разделить его на тетрады справа налево и поменять все тетрады соответствующей шестнадцатеричной цифрой. Для перевода числа из шестнадцатеричной системы в двоичную необходимо поменять каждую все цифры на соответствующие тетрады из таблицы перевода, которую вы найдете ниже.

Например :

010110100011 2 = 0101 1010 0011 = 5A3 16

Таблица перевода чисел.

Алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую.

1. Из десятичной системы счисления:

  • делим число на основание переводимой системы счисления;
  • находим остаток от деления целой части числа;
  • записываем все остатки от деления в обратном порядке;

2. Из двоичной системы счисления:

  • для перевода в десятичную систему счисления находим сумму произведений основания 2 на соответствующую степень разряда;
  • для перевода числа в восьмеричную разбиваем число на триады.

Например, 1000110 = 1 000 110 = 1068

  • для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную разбиваем число на группы по 4 разряда.

Например, 1000110 = 100 0110 = 4616.

Таблицы для перевода:

Двоичная СС

Шестнадцатеричная СС

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Быстрый перевод между системами счисления с основаниями 2, 4, 8, 16.

.. | Стив Май

Когда я разбирал быстрый и точный перевод из десятичной системы в двоичную с использованием разрядов, я обещал, что напишу, как быстро переводить без десятичной системы между двоичной, восьмеричной, шестнадцатиричной системами (часто те, кто хорошо знает метод «деления уголком», переводят сначала в десятичную, а потом в нужную новую). И вот эта статья перед Вами. В ней я не только дам этот метод (он и так валяется везде в интернете), но и опишу его принцип и объясню, почему перевод 2<->8 работает, а 2<->10 или 8<->16 — нет. Как обычно, самое интересное — в конце.

Поехали

Метод

Очень простой: заменяем цифры в записи справа налево в соответствии с нужной таблицей:

Таблица для перевода

Таблица для перевода

Теперь всё очень просто, как это — туда, а то — сюда: в 16-ричной системе каждая цифра будет заменена на 4 двоичных и наоборот — каждые 4 двоичных цифры будут заменяться на одну 16-ричную.

Если требуется перевести из 8-ричной в 16-ричную, то перевод осуществляем через двоичную (8->2->16).

Пример: 7F21 из 16-ричной в двоичную. «1» заменим на «0001» , «2» — на «0010», «F» — на «1111» и «7» — на «0111»: «(0111)(1111)(0010)(0001)». Лидирующий (левый) ноль стираем: 111111100100001. Профит. Можно так же быстро в восьмеричную: (111)(111)(100)(100)(001)-77441_8

Теперь —

Как это устроено

Всё дело в волшебных… разрядах. Разряды идут:

Разряды в разных системах счисления

Разряды в разных системах счисления

Смотрите, они одинаковые. В четверичной используется каждый второй двоичный разряд, в восьмеричной — каждый третий, а в 16-ричной — каждый четвёртый. Для разбора, как это работает я возьму пример перевода из 8й системы в двоичную. Сделаем заготовку для двоичной:

По традиции я сразу записал веса разрядов в исходном восьмеричном числе и в двоичной заготовке

По традиции я сразу записал веса разрядов в исходном восьмеричном числе и в двоичной заготовке

Теперь можно просто «перенести» цифры:

Запись получилась не двоичная, но так и должно быть. Посмотрите, в двоичной системе ни один разряд не может браться 2,3,4 и более раз, а у нас 64 берётся 7 раз. Вспомним болты, гайки и шайбы, которые разменивались друг на друга пачками. Пусть у нас болт стоит 256, гайка — 128, а шайба — 64 с порогом размена по 2 (двоичная же система) . Имеем по факту 7 шайб. 7 шайб можно разменять на 3 гайки и одна шайба останется (каждую гайку за 2 шайбы):

Размен 6 «шайб» на 3 «гайки»

Размен 6 «шайб» на 3 «гайки»

Та же участь ждёт гайки. Из трёх гаек можно взять 2 и разменять на 1 болт:

Размен «7» прошёл до конца

Размен «7» прошёл до конца

Теперь надо так же разменять «4». Четыре «восьмёрки» (шайбы) разменяется ровнёхонько на один по «32» (болт)

перевод почти завершён

перевод почти завершён

В те разряды, которые не задействованы, ставим 0.

перевод завершён на 100%

перевод завершён на 100%

Из этого примера видно, почему в восьмеричной системе используются группы по три цифры — один восьмеричный разряд прекрасно разменивается на три двоичных. В общем-то, понятно, что при переводе 2-4 и 4-2 будут группы по две цифры, потому что в четверичной системе каждый второй двоичный разряд

Техника перевода будет работать и в других парах систем счисления, где разряды совпадают. Тут важно, чтобы каждый разряд старшей системы обязательно встречался среди разрядов младшей. Например, троичная-девятиричная:

Троичная система имеет хороший математический потенциал, а девятиричная при этом очень близка к привычной нам десятичной.

Троичная система имеет хороший математический потенциал, а девятиричная при этом очень близка к привычной нам десятичной.

Напрямую можно переводить и между четверичной и 16-ричной. А вот десятичная тут ущербная. Её разряды не встречаются ни в одной другой «практически полезной» системе: …-1000-100-10-1. Здесь есть корреляция с простыми делителями (не даром есть метод «деления уголком») оснований систем счисления. У чисел 4, 8, 16 и т.д. делитель только один — двойка. Поэтому и разряды в них только из двоичной системы. Для девятки делитель тоже только один — тройка. А вот у десятки сразу два простых делителя. Это 5 и 2. Значит, у «сродной» системы к десятичной будут делители основания 25 и 4 (квадраты), а это только 100-ричная.

Напоследок

Подарю пример перевода между системами 2->10 с помощью «деления уголком«. Не из десятичной в двоичную, а наоборот. Метод настолько универсальный, что работает даже там. Делим уголком 111001001 на 1010 (в двоичной системе так записывается основание «нашей» десятичной системы) и записываем остатки в обратном порядке:

Перевод «уголком» из двоичной системы в десятичную.

Перевод «уголком» из двоичной системы в десятичную.

Вдруг, кому пригодится деление в двоичной системе. Я хотел сначала в девятиричную перевести (надо было делить на 1001), но это неспециалисту проверить труднее.

Сколько цифр шестнадцатеричной системе счисления.

Двоичная восьмеричная шестнадцатеричная системы счисления

Шестнадцатеричная система счисления (также — шестнадцатеричный код) является позиционной системой счисления с целочисленным основанием 16. Иногда в литературе также используется термин hex (произносится «хекс», сокращение от англ. hexadecimal). Цифрами данной системы счисления принято использовать арабские цифры 0—9, а также первые символы латинского алфавита A—F. Буквы соответствуют следующим десятичным значениями:

  • * A —10;
  • * B —11;
  • * C —12;
  • * D —13;
  • * E — 14;
  • * F — 15.

Таким образом, десять арабских цифр вкупе с шестью латинскими буквами и составляют шестнадцать цифр системы.

Кстати, на нашем сайте вы можете перевести любой текст в десятичный, шестнадцатеричный, двоичный код воспользовавшись Калькулятором кодов онлайн .

Применение . Шестнадцатеричный код широко применяется в низкоуровневом программировании, а также в различных компьютерных справочных документах. Популярность системы обоснована архитектурными решениями современных компьютеров: в них в качестве минимальной единицы информации установлен байт (состоящий из восьми бит) — а значение байта удобно записывать с помощью двух шестнадцатеричных цифр. Значение байта может ранжироваться с #00 до #FF (от 0 до 255 в десятичной записи) — другими словами, используя шестнадцатеричный код , можно записать любое состояние байта, при этом не остаётся «лишних» не используемых в записи цифр.

В кодировке Юникод для записи номера символа используется четыре шестнадцатеричных цифры. Запись цвета стандарта RGB (Red, Green, Blue — красный, зелёный, синий) также часто использует шестнадцатеричный код (например, #FF0000 — запись ярко-красного цвета).

Способ записи шестнадцатеричного кода.

Математический способ записи . В математической записи основание системы записывают в десятичном виде в нижнем индексе справа от числа. Десятичную запись числа 3032 можно записать как 3032 10 , в шестнадцатеричной системе данное число будет иметь запись BD8 16 .

В синтаксисе языков программирования . Синтаксис различных языков программирования по-разному устанавливает формат записи числа, использующего шестнадцатеричный код :

* В синтаксисе некоторых разновидностей языка ассемблера используется латинская буква «h», которая ставится справа от числа, например: 20Dh. Если число начинается с латинской буквы, то перед ним ставится ноль, например: 0A0Bh. Это сделано для того, чтобы отличать от констант значения, использующие шестнадцатеричный код ;

* В прочих разновидностях ассемблера, а также в Pascal (и его разновидностях, таких как Delphi) и некоторых диалектах Basic, применяют префикс «$»: $A15;

* В языке разметки HTML, а также в каскадных файлах CSS, для указания цвета в формате RGB с шестнадцатеричной системой записи, используется префикс «#»: #00DC00.

Как перевести шестнадцатеричный код в другую систему?

Перевод из шестнадцатеричной системы в десятичную. Для совершения операции перевода из шестнадцатеричной системы в десятичную, требуется представить исходное число как сумму произведений цифр в разрядах шестнадцатеричного числа на степень основания.

Двоичная СС

шестнадцатеричная СС

Например, требуется выполнить перевод шестнадцатеричного числа A14: в нём три цифры. Используя правило, запишем его в виде суммы степеней с основанием 16:

A14 16 = 10.16 2 + 1.16 1 + 4.16 0 = 10.256 + 1.16 + 4.1 = 2560 + 16 + 4 = 2580 10

Перевод чисел из двоичной в шестнадцатеричную систему и наоборот.

Для перевода используется таблица тетрад. Чтобы выполнить перевод числа из двоичной в десятичную систему, необходимо произвести разбиение его на отдельные тетрады справа налево, после чего, используя таблицу, выполнить замену каждой тетрады на соответствующую шестнадцатеричную цифру. При этом, если количество цифр не кратно четырём, то необходимо добавить соответствующее количество нулей справа от числа, для того, чтобы общее число двоичных цифр стало кратно четырём.

Таблица тетрад для перевода.

Для перевода из шестнадцатеричной системы в двоичную, необходимо выполнить обратную операцию: выполнить замену каждой цифры на тетраду из таблицы.

Двоичная СС

Восьмеричная СС

Пример перевода из шестнадцатеричной системы в двоичную : A5E 16 = 1010 0101 1110 = 101001011110 2

Пример перевода из двоичной системы в шестнадцатеричную : 111100111 2 = 0001 1110 0111 = 1E7 16

В этом примере количество цифр в исходном двоичном числе не было равным четырём (9), поэтому были добавлены незначащие нули — общее число цифр стало 12.

Автоматический перевод . Быстрый перевод из шестнадцатеричной системы счисления в одну из трёх популярных систем (двоичную, восьмеричную и десятичную), как и обратный перевод, можно выполнить, используя стандартный калькулятор из комплекта поставки ОС Windows. Откройте калькулятор, выберите в меню Вид -> Программист. В данном режиме можно устанавливать систему счисления, используемую в данный момент (см. меню слева: Hex, Dec, Oct, Bin). При этом изменение текущей системы счисления автоматически производит перевод.

Шестнадцатеричная система счисления. аша первая программа.

Для написания программ на Ассемблере, необходимо разобраться с шестнадцатеричной системой счисления. Ничего сложного в ней нет. Мы используем в жизни десятичную систему. Уверен, что вы все ее знаете, поэтому я постараюсь объяснить шестнадцатеричную систему, проводя аналогию с десятичной.

Итак, в десятичной системе если мы к какому-нибудь числу справа добавим нуль, то это число увеличится в 10 раз. Например: 1 х 10 = 10; 10 х 10 = 100; 100 х 10 = 1000 и т.д. В этой системе мы используем цифры от 0 до 9, т.е. десять разных цифр (собственно, поэтому она и называется десятичная).

В шестнадцатеричной системе мы используем, соответственно, шестнадцать «цифр». Я специально написал слово «цифр» в кавычках, т.к. в ней используются не только цифры. Да и в самом деле как так? Объясняю: от 0 до 9 мы считаем так же, как и в десятичной, а вот дальше будет так: A, B, C, D, E, F. Число F, как не трудно посчитать, будет равно 15 в десятичной системе (см. табл. 1).

Десятичное число

Шестнадцатеричное число

Таблица 1. Десятичная и шестнадцатеричная системы.

Т.о., если мы к какому-нибудь числу в шестнадцатеричной системе добавим справа нуль, то это число увеличится в 16 раз.

Пример 1: 1 х 16 = 10; 10 х 16 = 100; 100 х 16 = 1000 и т.д.

Вы смогли отличить в Примере 1 шестнадцатеричные числа от десятичных? А из этого ряда: 10, 12, 45, 64, 12, 8, 19? Это могут быть как шестнадцатеричные, так и десятичные. Для того, чтобы не было путаницы, и компьютер смог бы однозначно отличить одни числа от других, в Ассемблере принято после шестнадцатеричного числа ставить символ h или H (H это сокращение от англ. hexadecimal (шестнадцатеричное). Для краткости его иногда называют просто Hex ) . А после десятичного ничего не ставить. Т.к. числа от 0 до 9 в обоих системах имеют одинаковые значения, то числа, записанные как 5 и 5h одно и тоже.

Т.о. Пример 1 (см. выше) правильнее будет записать так: 1 х 16 = 10h; 10h x 16 = 100h; 100h x 16 = 1000h. Либо так: 1h x 10h = 10h; 10h x 10h = 100h; 100h x 10h = 1000h.

Для чего нужна шестнадцатеричная система, мы рассмотрим в последующих выпусках. А в данный момент для нашего примера программы, который будет рассмотрен ниже, нам необходимо знать о существовании шестнадцатеричных чисел.

Итак, подведем итог. Шестнадцатеричная система счисления состоит из 10 цифр (от 0 до 9) и 6 букв латинского алфавита (A, B, C, D, E, F). Если к какому-нибудь числу в шестнадцатеричной системе добавим справа нуль, то это число увеличится в 16 раз. Очень важно уяснить данную тему , так как мы будем постоянно использовать ее при написании программ.

Теперь немного о том, как я буду строить примеры на Ассемблере. Не совсем удобно приводить их в HTML-формате, поэтому сперва будет сам код программы с пронумерованными строчками, а сразу же после него объяснения и примечания.

Примерно так:

строк Код программы
(1) mov ah,9

Объяснения:

В строке (1) мы делаем то-то, а в строке (15) то-то.

Огромная просьба: НЕ копируйте программы со страницы в буфер, а затем не вставляйте их в Блокнот (или еще куда-нибудь)! Перепечатывайте их вручную в текстовом редакторе. Если есть принтер, то выделите программу, распечатайте выделенный фрагмент, а затем перебейте в редактор с бумаги. Все примеры нужно набирать самостоятельно! Это ускорит запоминание операторов.

И еще. Строчные и ПРОПИСНЫЕ буквы в Ассемблере не различаются. Записи вида:

Ассемблером воспринимаются одинаково. Можно, конечно, заставить Ассемблер различать строчные и ПРОПИСНЫЕ символы, но мы пока этого делать не будем. Для удобства чтения программы лучше всего операторы печатать строчными буквами, а названия подпрограмм и меток начинать с прописной. Но это как кому будет удобно.

Итак, переходим к нашей первой программе:

(1) CSEG segment

(2) org 100h

(4) Begin:

(6) mov ah,9

(7) mov dx,offset Message

(8) int 21h

(10) int 20h

(11)

(12) Message db «Hello, world!$»

(13) CSEG ends

(14) end Begin

Для того, чтобы объяснить все операторы данного примера, нам потребуется несколько выпусков. Поэтому описание некоторых команд мы просто опустим на данном этапе. Просто считайте, что так должно быть. В самое ближайшее время мы рассмотрим эти операторы подробно. Итак, строки с номерами (1), (2) и (13) вы просто игнорируете.

Строки (3), (5), (9) и (11) остаются пустыми. Это делается для наглядности. Ассемблер их будет просто опускать.

Теперь перейдем к рассмотрению остальных операторов. Со строки (4) начинается код программы. Это метка, указывающая Ассемблеру на начало кода. В строке (14) стоят операторы end Begin ( Begin англ. начало; end конец). Это конец программы. Вообще вместо слова Begin можно было бы использовать что-нибудь другое. Например, Start:. В таком случае, нам пришлось бы и завершать программу End Start (14).

Строки (6) (8) выводят на экран сообщение Hello, world!. Здесь придется вкратце рассказать о регистрах процессора (более подробно эту тему мы рассмотрим в следующем выпуске).

Регистр процессора это специально отведенная память для хранения какого-нибудь числа.

Например:

Если мы хотим сложить два числа, то в математике запишем так:

A, B и C это своего рода регистры (если говорить о компьютере), в которых могут хранится некоторые данные. А=5 можно прочитать как: Присваиваем А число 5 .

Для присвоения регистру какого-нибудь значения, в Ассемблере существует оператор mov (от англ. move загрузить). Строку (6) следует читать так: Загружаем в регистр AH число 9 (проще говоря, присваиваем AH число 9). Ниже рассмотрим зачем это надо.

В строке (7) загружаем в регистр DX адрес сообщения для вывода (в данном примере это будет строка Hello, world!$ ).

Прерывания будут подробно рассматриваться в последующих выпусках. Здесь я скажу несколько слов.

Прерывание MS-DOS это своего рода подпрограмма (часть MS-DOS) , которая находится постоянно в памяти и может вызываться в любое время из любой программы.

Рассмотрим вышесказанное на примере (мелким шрифтом выделим примечания ):

Программа сложения двух чисел

НачалоПрограммы

A=5 в переменную A заносим значение 5

B=8 в переменную B значение 8

ВызовПодпрограммы Сложение

теперь С равно 13

A=10 тоже самое, только другие числа

B=25

ВызовПодпрограммы Сложение

теперь С равно 35

КонецПрограммы

Подпрограмма Сложение

C=A+B

ВозвратИзПодпрограммы возвращаемся в то место, откуда вызывали

КонецПодпрограммы

В данном примере мы дважды вызвали подпрограмму Сложение , которая сложила два числа, переданные ей в переменных A и B. Результат помещается в переменную С. Когда вызывается подпрограмма, компьютер запоминает с какого места она была вызвана, а затем, когда закончила работу подпрограмма, компьютер возвращается в то место, откуда она вызывалась. Т.о. можно вызывать подпрограммы неопределенное количество раз с любого места.

При выполнении строки (8) программы на Ассемблере мы вызываем подпрограмму (в данном случае это называется прерывание), которая выводит на экран строку. Для этого мы, собственно, и помещаем необходимые значения в регистры. Всю необходимую работу (вывод строки, перемещение курсора) берет на себя подпрограмма. Эту строку можно прочитать так: вызываем двадцать первое прерывание ( int от англ. interrupt прерывание). Обратите внимание, что после числа 21 стоит буква h. Это, как мы уже знаем, шестнадцатеричное число (33 в десятичной системе). Конечно, нам ничего не мешает заменить строку int 21h на int 33. Программа будет работать корректно. Просто в Ассемблере принято указывать номер прерывания в шестнадцатеричной системе.

В строке (10) мы, как вы уже догадались, вызываем прерывание 20 h. Для вызова данного прерывания не нужно указывать какие-либо значения в регистрах. Оно выполняет только одну задачу: выход из программы (выход в DOS). В результате выполнения прерывания 20h, программа вернется туда, откуда ее запускали (загружали, вызывали). Например, в Norton Commander или DOS Navigator.

Строка (12) содержит сообщение для вывода. Первое слово ( message сообщение) название сообщения. Оно может быть любым (например, mess или string и пр.). Обратите внимание на строку (7), в которой мы загружаем в регистр DX адрес нашего сообщения.

Можно создать еще одну строку, которую назовем Mess2. Затем, начиная со строки (9) вставим следующие команды:

(10) mov dx,offset Mess2

(13) Message db «Hello, world!$»

(14) Mess2 db «Это Я! $»

и ассемблировать нашу программу заново. Надеюсь, что вы догадались, что произойдет

Обратите внимание на последний символ в строках Message и Mess2 — $. Он указывает на конец строки. Если мы его уберем, то 21 h прерывание продолжит вывод до тех пор, пока не встретится где-нибудь в памяти символ $. На экране мы увидим мусор .

Если у вас есть отладчик, то можно посмотреть как будет работать наша программа.

Целю настоящего выпуска не было разобраться подробно с каждым оператором . Это невозможно, т.к. у вас еще недостаточно знаний. Я полагаю, что уже через 3-4 выпуска вы поймете принцип и структуру программы на Ассемблере. Может быть, вам показался язык Ассемблера чрезвычайно сложным, но это, поверьте, с первого взгляда.

Шестнадцатеричная система счисления имеет алфавит, состоящий из 16 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, b, c, d, e, f.

При записи числа в шестнадцатеричной системе для записи цифр обозначающих числа 10, 11, 12. 13, 14. 15 используются соответственно буквы А, В, С, D, E, F.

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в десятичную

Перевести любое шестнадцатеричное число в десятичное можно по уже известной формуле

Примеры.

    АЕ07 16 =10∙16 3 +14∙16 2 +0∙16 1 +7∙16 0 =44551 10 .

    100 16 =1∙16 2 +0∙16 1 +0∙16 0 =256 10 .

    58 16 =5∙16 1 +8∙16 0 =.88 10 .

    2А 16 =2∙16 1 +10∙16 0 =42 10 .

Перевод числа из десятичной системы в шестнадцатеричную осуществляется также, как в двоичную.

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно

Перевести любое шестнадцатеричное число в двоичное можно следующим образом. Каждая цифра шестнадцатеричной записи числа записывается четырехзначным двоичным числом — тетрадой . После этого нули, стоящие слева, можно отбросить.

2) 2A= 0010 1010 2 = 101010 2 .

3) 58 16 = 0101 1000 2 = 1011000 2 .

И наоборот, перевести любое двоичное число в шестнадцатеричное можно аналогичным образом. Каждые четыре двоичные цифры, считая справа налево, записываются одной шестнадцатеричной цифрой. Эти цифры располагаются также справа налево.

Примеры.

2. 101010 2 = 10 1010 2 = 2A.

3. 1011000 2 = 101 1000 2 = 58 16 .

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления имеет алфавит, состоящий из 8 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Перевод числа из десятичной системы в восьмеричную и обратно осуществляется по аналогии с переводом в двоичную / из двоичной.

Перевод чисел из восьмеричной системы в двоичную и обратно

Каждая цифра восьмеричной записи числа записывается трехзначным двоичным числом — триадой .

Примеры.

2563 8 = 010 101 110 011 2 =10101110011 2 .

1001101 2 = 001 001 101 2 = 115 8 .

Методические материалы для лабораторного занятия №1

Тема лабораторного занятия: Системы счисления. Измерение информации.

Количество часов: 2.

Примеры с решениями

    Перевод из p -ичной системы в 10-ичную. Пусть надо перевести число в некоторой системе счисления в десятичную. Для этого надо представить его в виде

11100110 2 = 1∙2 7 + 1∙2 6 + 1∙2 5 + 0∙2 4 + 0∙2 3 + 1∙2 2 + 1∙2 1 + 0∙2 0 = 128 + 64 + 32 + 4 + 2 = 230 10 .

2401 5 = 2∙5 3 + 4∙5 2 + 0∙5 1 + 1∙5 0 = 250 + 100 + 0 + 1 = 351.

    Перевод из 10-ичной системы в p -ичную.

2.1 98 10 → Х 2 .

Делим число на 2. Затем делим неполное частное на 2. Продолжаем до тех пор, пока неполное частное не станет меньше 2, т.е. равным 1.

    98: 2 = 49. Остаток — 0 .

    49: 2 = 24. Остаток — 1 .

    24: 2 = 12. Остаток — 0 .

    12: 2 = 6. Остаток — 0 .

    6: 2 = 3. Остаток — 0 .

    3: 2 = 1 . Остаток — 1 .

Так как последнее неполное частное равно 1, процесс окончен. Записываем все остатки снизу вверх, начиная с последнего неполного частного, и получаем число 1100010. Итак 98 10 = 1100010 2 .

2.2 2391 10 → Х 16 .

Делим число на 16. Затем делим неполное частное на 16. Продолжаем до тех пор, пока неполное частное не станет меньше 16.

    2391: 16 = 149. Остаток — 7 .

    149: 16 = 9 . Остаток — 5 .

Так как последнее неполное частное (9) меньше 16, процесс окончен. Записываем, начиная с последнего неполного частного, все остатки снизу вверх и получаем число 957. Итак 2391 10 = 957 16 .

2.3 12165 10 → Х 2 .

Если переводить делением в двоичную систему, то получится довольный громоздкий процесс. Можно сначала перевести число в восьмеричную систему, а затем заменять восьмеричные цифры справа налево триадами.

12165 10 = 27605 8 = 010 111 110 000 101 = 10111110000101.

    Определение основания системы счисления p .

Один мальчик так написал о себе: «Пальцев у меня 24, на каждой руке по 5, а на ногах 12». Как такое может быть?

Решение. Надо определить основание системы счисления p . Так как мы знаем, что пальцев на ногах всего 10 10 , то 12 p =1∙p +2 = 10 10 . Отсюда получаем уравнение p + 2 = 10  p = 8. Значит, мальчик имел в виду числа в восьмеричной системе. Действительно, всего пальцев 24 8 = 2∙8+4 = 20 10 , а на ногах — 12 8 = 1∙8+2 = 10 10 .

Результат уже получен!

Системы счисления

Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:

Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Тогда число 1287.923 можно представить в виде:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3·10 -3 .

В общем случае формулу можно представить в следующем виде:

Ц n ·s n +Ц n-1 ·s n-1 +…+Ц 1 ·s 1 +Ц 0 ·s 0 +Д -1 ·s -1 +Д -2 ·s -2 +…+Д -k ·s -k

где Ц n -целое число в позиции n , Д -k — дробное число в позиции (-k), s — система счисления.

Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, в восьмеричной системе счисления — из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7}, в двоичной системе счисления — из множества цифр {0,1}, в шестнадцатеричной системе счисления — из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.

Таблица 1
Система счисления
10 2 8 16
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

1 ·2 6 +0 ·2 5 +1 ·2 4 +1 ·2 3 +1 ·2 2 +0 ·2 1 +1 ·2 0 +0 ·2 -1 +0 ·2 -2 +1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

Пример 3 . Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:

Здесь A -заменен на 10, B — на 11, C — на 12, F — на 15.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.

Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления — последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС — на 2, для 8-ичной СС — на 8, для 16-ичной — на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.

Пример 4 . Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:

159 2
158 79 2
1 78 39 2
1 38 19 2
1 18 9 2
1 8 4 2
1 4 2 2
0 2 1
0

Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111 . Следовательно можно записать:

159 10 =10011111 2 .

Пример 5 . Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.

615 8
608 76 8
7 72 9 8
4 8 1
1

При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147 (см. Рис. 2). Следовательно можно записать:

615 10 =1147 8 .

Пример 6 . Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

19673 16
19664 1229 16
9 1216 76 16
13 64 4
12

Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 — D. Следовательно наше шестнадцатеричное число — это 4CD9.

Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).

Рассмотрим вышеизложенное на примерах.

Пример 7 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

0.214
x 2
0 0.428
x 2
0 0.856
x 2
1 0.712
x 2
1 0.424
x 2
0 0.848
x 2
1 0.696
x 2
1 0.392

Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011 .

Следовательно можно записать:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Пример 8 . Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

0.125
x 2
0 0.25
x 2
0 0.5
x 2
1 0.0

Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:

0.125 10 =0.001 2 .

Пример 9 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

0.214
x 16
3 0.424
x 16
6 0.784
x 16
12 0.544
x 16
8 0.704
x 16
11 0.264
x 16
4 0.224

Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:

0.214 10 =0.36C8B4 16 .

Пример 10 . Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.

0.512
x 8
4 0.096
x 8
0 0.768
x 8
6 0.144
x 8
1 0.152
x 8
1 0.216
x 8
1 0.728

Получили:

0.512 10 =0.406111 8 .

Пример 11 . Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Пример 12 . Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим.

Каково основание шестнадцатеричного числа 16? – СидмартинБио

Каково основание шестнадцатеричного числа 16?

Шестнадцатеричная система счисления, часто сокращаемая до «hex», представляет собой систему счисления, состоящую из 16 символов (основание 16). Стандартная система счисления называется десятичной (основание 10) и использует десять символов: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Шестнадцатеричный использует десятичные числа и шесть дополнительных символов.

Как записать 51 в двоичном формате?

51 в двоичном формате равно 110011.

Что такое 16-я шестнадцатеричная система счисления?

Шестнадцатеричные числа представлены только 16 символами.Этими символами или значениями являются 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F. Каждая цифра представляет десятичное значение. Например, D равно основанию 10 13.

Что такое двоичный восьмеричный и шестнадцатеричный формат числа 51 с основанием 10?

Десятичные, двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числа

Денарий (основание 10) Шестнадцатеричный (основание 16)
48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3A 3B 3C 3D 3E 3F
64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 4A 4B 4C 4D 4E 4F

Какая система счисления имеет основание 16?

Шестнадцатеричная система
Шестнадцатеричная система Шестнадцатеричная система счисления, основанная на 16.Таким образом, эта система имеет числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 и 15.

Как вы переводите числа в основание 16?

шага для преобразования из базы 10 в базу 16-

  1. Разделите данное число (по основанию 10) на 16, пока в итоге не останется меньше 16.
  2. Пройдитесь по остаткам снизу вверх, чтобы получить нужное число по основанию 16.

Какова основа шестнадцатеричной системы счисления?

Шестнадцатеричная (по основанию 16) [hex] В математике и информатике шестнадцатеричная (также по основанию 16 или шестнадцатеричная) представляет собой позиционную систему счисления с основанием 16.Он использует шестнадцать различных символов, чаще всего символы 0–9 для представления значений от нуля до девяти, и A, B, C, D, E, F (или, альтернативно, a, b, c, d, e, f) для представления значений. от десяти до пятнадцати.

Каково значение a в шестнадцатеричном формате 16?

Начиная справа, первая буква «А» представляет разряд «единиц», или 16 0. Вторая буква «А» справа представляет 16 1, а 2 представляет 16 2. Помните, что «А» в шестнадцатеричном эквиваленте до 10 в десятичной системе.

Как преобразовать шестнадцатеричные числа в десятичные?

Умножьте каждую цифру шестнадцатеричного числа на соответствующую степень 16 и суммируйте: десятичное число = dn-1×16n-1 + + d3×163 + d2×162 + d1×161+d0×160 3B по основанию 16 равно каждая цифра умножается на соответствующие ей 16 n: 3B 16 = 3×16 1 +11×16 0 = 48+11 = 59·10

Что такое шестнадцатеричный преобразователь?

Hex Converter используется для преобразования чисел из шестнадцатеричных в двоичные, десятичные, восьмеричные и другие системы счисления.В математике и информатике шестнадцатеричная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 16.

Системы счисления — Digilent Blog

Сегодня мы будем изучать системы счисления. «Система счисления» определяется здесь как «любое обозначение для представления цифр или чисел». Естественно, мы используем десятичную систему (с основанием 10), то есть мы используем числа 0-9 для представления всех остальных чисел. Сегодня мы поговорим о трех типах систем счисления: десятичная , двоичная и шестнадцатеричная , но их гораздо больше!

Десятичная судоку.0. Если мы упростим эту задачу, мы получим 8 + 0 + 0 + 1 = 9.

Шестнадцатеричный судоку.0.0, и это всего лишь математическое уравнение, которое мы можем решить! В расширенном виде это 14 * 16 * 16 * 16 + 4 * 16 * 16 + 1 * 16 + 13 * 1 = 58397.


До сих пор мы конвертировали только в десятичные числа и обратно. Но что, если мы хотим преобразовать шестнадцатеричный формат в двоичный. Если вы понимаете, что мы делали до сих пор, это будет намного проще, чем шестнадцатерично-десятичное преобразование!

 

Важно знать, что двоичная строка 1111 равна 15, и это здорово, так как мы можем использовать каждые 4 бита как одно число в шестнадцатеричном формате.Здесь мы используем некоторые десятичные преобразования, но это только от 0 до 15, что не так уж плохо.

 

Если мы возьмем двоичное число 1111111001. Если мы разделим его на строку из четырех, мы получим 11 1111 1001. Мы можем добавить два нуля впереди, чтобы получить 0011 1111 1001, это не меняет значение числа, но делает его легче читать.

Преобразование.

На рисунке показано преобразование каждых 4 битов в десятичное число, а затем преобразование этих десятичных чисел в шестнадцатеричное. Мы получаем 3F9 в качестве нашего шестнадцатеричного числа.Мы можем проверить два значения в десятичном виде, и они должны быть одинаковыми!


Мы используем разные системы счисления, потому что компьютеры «думают» иначе, чем люди! Компьютеры используют двоичную систему для вычислений, но большинство людей используют десятичную систему (теоретически, потому что у нас две руки с пятью цифрами в каждой). Шестнадцатеричный формат — это хороший баланс между ними, что значительно упрощает преобразование с помощью компьютеров и людей!

чисел Python, преобразование типов и математика

Числовой тип данных в Python

Python поддерживает целые числа, числа с плавающей запятой и комплексные числа.В Python они определены как классы int , float и complex .

Целые числа и числа с плавающей запятой разделяются наличием или отсутствием десятичной точки. Например, 5 — это целое число, тогда как 5,0 — это число с плавающей запятой.

Комплексные числа записываются в виде x + yj , где x — действительная часть, а y — мнимая часть.

Мы можем использовать функцию type() , чтобы узнать, к какому классу принадлежит переменная или значение, и функцию isinstance() , чтобы проверить, принадлежит ли она к определенному классу.

Давайте рассмотрим пример:

  а = 5

печать (тип (а))

печать (тип (5.0))

с = 5 + 3j
печать (с + 3)

печать (экземпляр (с, сложный))  

Когда мы запускаем вышеуказанную программу, мы получаем следующий вывод:

  <класс 'целое число'>
<класс 'плавающий'>
(8+3к)
Правда  

Хотя целые числа могут быть любой длины, число с плавающей запятой является точным только до 15 знаков после запятой (16-е место является неточным).

Числа, с которыми мы имеем дело каждый день, относятся к десятичной (с основанием 10) системе счисления.Но компьютерные программисты (обычно встроенные программисты) должны работать с двоичной (основание 2), шестнадцатеричной (основание 16) и восьмеричной (основание 8) системами счисления.

В Python мы можем представить эти числа, поместив соответствующий префикс перед этим числом. В следующей таблице перечислены эти префиксы.

Система счисления Префикс
Двоичный ‘0b’ или ‘0B’
Восьмеричный ‘0’ или ‘0’
Шестнадцатеричный ‘0x’ или ‘0X’

Вот несколько примеров

  # Вывод: 107
печать (0b1101011)

# Вывод: 253 (251 + 2)
печать (0xFB + 0b10)

# Выход: 13
печать (0o15)  

Когда вы запустите программу, вывод будет:

  107
253
13  

Преобразование типа

Мы можем преобразовать один тип числа в другой.Это также известно как принуждение.

Такие операции, как сложение и вычитание, неявно (автоматически) принуждают целое число к вещественному значению, если один из операндов является вещественным.

  >>> 1 + 2,0
3,0  

Выше мы видим, что 1 (целое) преобразуется в 1.0 (с плавающей запятой) для сложения, и результат также является числом с плавающей запятой.

Мы также можем использовать встроенные функции, такие как int() , float() и complex() для явного преобразования между типами.Эти функции могут даже конвертировать из строк.

  >>> целое (2.3)
2
>>> интервал(-2.8)
-2
>>> с плавающей запятой(5)
5,0
>>> сложный('3+5j')
(3+5к)  

При преобразовании из числа с плавающей запятой в целое число усекается (удаляются десятичные части).


Десятичный Python

Встроенный в Python класс float выполняет некоторые вычисления, которые могут нас удивить. Все мы знаем, что сумма 1,1 и 2,2 равна 3,3, но Python, похоже, с этим не согласен.

  >>> (1,1 + 2,2) == 3,3
Ложь  

Что происходит?

Оказывается, числа с плавающей запятой реализованы в аппаратном обеспечении компьютера как двоичные дроби, поскольку компьютер понимает только двоичные числа (0 и 1). По этой причине большинство известных нам десятичных дробей не могут быть точно сохранены в нашем компьютере.

Возьмем пример. Мы не можем представить дробь 1/3 в виде десятичного числа. Это даст 0,33333333… что бесконечно долго, и мы можем только приблизиться к нему.

Получается, что десятичная дробь 0,1 даст бесконечно длинную двоичную дробь 0,000110011001100110011… и наш компьютер хранит только ее конечное число.

Это значение будет приблизительно равным 0,1, но никогда не будет равным. Следовательно, это ограничение нашего компьютерного оборудования, а не ошибка в Python.

  >>> 1,1 + 2,2
3.3000000000000003  

Чтобы решить эту проблему, мы можем использовать десятичный модуль, который поставляется с Python.В то время как числа с плавающей запятой имеют точность до 15 знаков после запятой, точность десятичного модуля устанавливается пользователем.

Посмотрим разницу:

  импортировать десятичное число

печать (0,1)

печать (десятичный. Десятичный (0,1))  

Выход

  0,1
0,1000000000000000055511151231257827021181583404541015625  

Этот модуль используется, когда мы хотим выполнять десятичные вычисления, как мы учились в школе.

Он также сохраняет значение.Мы знаем, что 25,50 кг точнее, чем 25,5 кг, так как оно имеет два значащих знака после запятой по сравнению с одним.

  из десятичного импорта Десятичный как D

печать (D ('1.1') + D ('2.2'))

print(D('1.2') * D('2.50'))  

Выход

  3.3
3.000  

Обратите внимание на конечные нули в приведенном выше примере.

Мы могли бы спросить, почему бы не использовать Decimal каждый раз вместо числа с плавающей запятой? Основная причина – эффективность. Операции с плавающей запятой выполняются намного быстрее, чем операции Decimal .

Когда использовать Decimal вместо float?

Обычно мы используем Decimal в следующих случаях.

  • При разработке финансовых приложений, которым требуется точное десятичное представление.
  • Когда мы хотим контролировать требуемый уровень точности.
  • Когда мы хотим реализовать понятие значащих десятичных разрядов.

Фракции Python

Python предоставляет операции с дробными числами через модуль frac.

Дробь имеет числитель и знаменатель, оба из которых являются целыми числами. Этот модуль поддерживает арифметику рациональных чисел.

Мы можем создавать объекты Fraction различными способами. Давайте посмотрим на них.

  импортные фракции

печать (фракции. Дробь (1.5))

печать (фракции. Дробь (5))

печать (фракции. Дробь (1,3))  

Выход

  3/2
5
1/3  

При создании Fraction из float мы можем получить необычные результаты.Это связано с несовершенным представлением двоичных чисел с плавающей запятой, как обсуждалось в предыдущем разделе.

К счастью, Дробь также позволяет создавать экземпляры со строкой. Это предпочтительный вариант при использовании десятичных чисел.

  импортные фракции

# Как плавающий
# Вывод: 2476979795053773/2251799813685248
печать (фракции. Дробь (1.1))

# Как строка
# Вывод: 11/10
печать (фракции. Дробь ('1.1'))  

Выход

  2476979795053773/2251799813685248
11/10  

Этот тип данных поддерживает все основные операции.Вот несколько примеров.

  из импорта фракций Фракция как F

печать (F (1, 3) + F (1, 3))

печать (1 / F (5, 6))

печать (F (-3, 10)> 0)

печать (F (-3, 10) < 0)  

Выход

  2/3
6/5
Ложь
Правда  

Математика Python

Python предлагает такие модули, как math и random для выполнения различных математических операций, таких как тригонометрия, логарифмы, вероятность и статистика и т. д.

  импорт математики

печать (мат.Пи)

печать (math.cos (math.pi))

печать (математика.выражение (10))

печать (математика. log10 (1000))

печать (математика. sinh (1))

печать (математика. факториал (6))  

Выход

  3.141592653589793
-1,0
22026.465794806718
3.0
1.1752011936438014
720  

Вот полный список функций и атрибутов, доступных в математическом модуле Python.

  случайный импорт

печать (случайный. случайный диапазон (10, 20))

х = ['а', 'б', 'с', 'г', 'е']

# Получить случайный выбор
распечатать (случайно.выбор(х))

# Перемешать х
случайный.перемешать(х)

# Напечатать перемешанный x
печать (х)

# Напечатать случайный элемент
печать (случайный. случайный ())  

Когда мы запускаем указанную выше программу, мы получаем следующий вывод. (Значения могут отличаться из-за случайного поведения)

  18
е
['с', 'е', 'д', 'б', 'а']
0,5682821194654443  

Вот полный список функций и атрибутов, доступных в модуле Python random.

Раздаточный материал

Chicago Style (16-е издание) | Центр писательского мастерства Хоу

Chicago Style имеет две системы цитирования: (1) Notes and Bibliography или (2) Author-Date.В этом буклете описывается система Notes and Bibliography , которая обычно используется в истории и гуманитарных науках.

При использовании Чикагской системы примечаний и библиографии (NB) вы будете использовать надстрочные индексы в тексте для ссылки на цитаты в сносках или концевых сносках. Вы также будете цитировать все источники из текста в библиографии в конце документа.

Надстрочные индексы

Chicago использует надстрочные числа ( 1, 2, 3 ) в тексте, чтобы направлять читателей к цитате в сноске или концевой сноске.Вы будете использовать каждый номер надстрочного индекса только один раз.

В тексте размещайте надстрочные цифры в конце предложения или предложения и после всех знаков препинания, включая запятые, точки и кавычки.

Титаник затонул во время своего первого рейса после столкновения с айсбергом 14 апреля 1912 года. 1

Сноски и концевые сноски

В сносках внизу страницы приводится список ссылок на информацию, цитируемую на этой странице. В примечаниях перечислены все цитаты в конце документа.Общий формат цитаты одинаков как для сносок, так и для концевых сносок, в зависимости от того, что вы выберете.

  • Начинайте цитату с соответствующего номера, напечатанного обычным шрифтом или надстрочным индексом, за которым следует точка.
    • 1. Джеймс Смит...
    • 1 . Джеймс Смит...
  • Отступ первой строки каждой цитаты на полдюйма. Следующие строки для одной и той же цитаты будут выравниваться по левому краю.
  • Начинайте цитату с автора(ов).Напишите все имена авторов в обычном порядке (имя фамилия).
    • Для 2–3 авторов укажите имена всех авторов и объедините их с помощью «и».
    • Для 4 или более авторов укажите только первого автора, а затем «et al.» (что означает «и все остальные»). Поставьте точку после «al». и не используйте запятую между именем автора и «и др.». (Джеймс Смит и др.)
  • Укажите номера страниц только для конкретной цитаты или факта, который вы цитируете в этом конкретном предложении.Диапазон страниц для полных статей появится в библиографии.
  • При первом цитировании источника укажите всю необходимую информацию. При дополнительном цитировании одного и того же источника указывайте только фамилию автора, сокращенное название работы и номера страниц для этой цитаты или факта.
    • 2. Фамилия автора, Сокращенное название книги , #.
    • 2. AuthorLastName, "Сокращенное название статьи или веб-страницы", #.
  • При последовательном цитировании одного и того же источника используйте слово «Там же.(имеется в виду «там же»), вместо повторения имени автора или названия произведения. Включите номер страницы, если он отличается от предыдущей цитаты.

Информация, представленная в каждой цитате, будет отличаться для каждого типа источника. Вы можете проверить этот формат на Purdue OWL. Вот несколько примеров сносок/концевых сносок для распространенных типов источников:

Общий формат

#. AuthorFirstName LastName, Название книги курсивом (Город издания: Издательство, год издания),

номер страницы для цитаты/факта.

Пример, цитируется впервые

1. Уолтер Лорд, Ночь продолжается: Нерассказанные истории и секреты гибели «Непотопляемого»

Корабль — Титаник (Нью-Йорк: Open Road Integrated Media, 2012), 7.

Пример, дополнительное время цитирования

13. Лорд, Night Lives On , 20.

Общий формат

#. AuthorFirstName LastName, «Название статьи в кавычках», в Название книги курсивом , изд.Имя редактора

Фамилия (Город издания: Издательство, год издания), номер страницы для цитаты/факта.

Пример, цитируется впервые

2. Лоуренс Бисли, «Потеря СС Титаник, его история и уроки», в История Титаника: как было сказано

от «Выживших» , изд. Джек Винокур (Нью-Йорк: Dover Publications, 1960), 46.

Пример, дополнительное время цитирования

15. Лоуренс, Потеря С.С. Титаник , 40.

Общий формат

#. AuthorFirstName LastName, «Название статьи в кавычках», Название журнала курсивом том №, №. выпуск №

(год издания): номер страницы для цитаты/факта.

Пример, цитируется впервые

3. Бруно С. Фрей, Дэвид А. Сэвидж и Бенно Торглер, «Взаимодействие естественных инстинктов выживания и усвоенных

Социальные нормы, посвященные катастрофам Титаник и Лузитания », Proceedings of the National Academy of Sciences 107, no.11

(2010): 4862.

Пример, дополнительное время цитирования

17. Фрей, Сэвидж и Торглер, «Взаимодействие», 4863.

Общий формат

#. AuthorFirstName LastName, «Название статьи в кавычках»,  Название газеты, выделенное курсивом , День месяца, Год

публикации, http://www.fullURL.com/ (для интернет-газет).

Пример, цитируется впервые

4. Уильям Дж. Броуд, «Новый взгляд на роль природы в гибели Титаника: айсберг был лишь частью этого»,

The New York Times , апрель.9, 2012 г., http://www.nytimes.com/2012/04/10/science/a-new-look-at-natures-role-in-the-

.

titanics-sinking.html?_r=0.

Пример, дополнительное время цитирования

19. Броуд, «Новый взгляд».

Общий формат

#. AuthorFirstName LastName, «Название веб-страницы в кавычках», Название веб-сайта, выделенное курсивом , день месяца, год

публикации, http://www.fullURL.com/.

Пример, цитируется впервые

5. Канал National Geographic, «Титаник: факты о его строителях, жертвах и выживших»,

Канал National Geographic , декабрь.12, 2012 г., http://channel.nationalgeographic.com/titanic-100-years/articles/titanic-the-

.

последнее слово с фактами о Джеймсе Кэмероне/.

Пример, дополнительное время цитирования

21. Канал National Geographic, «Титаник: факты».

Библиография

Библиография содержит полные ссылки на каждый источник, использованный в вашей статье, а также может включать дополнительную литературу, которая показалась вам полезной. Следуйте этим общим примечаниям к формату Чикаго:

.
  • Начните библиографию с новой страницы.Напишите «Библиография» в верхней части страницы и отцентрируйте ее, не выделяя жирным шрифтом или курсивом.
  • Создать висячий отступ для всех ссылок, чтобы каждая строка после первой была с отступом в полдюйма. Выполните следующие действия в Microsoft Word:
    1. Выделите все цитаты в библиографии.
    2. Щелкните правой кнопкой мыши и выберите «Абзац».
    3. В разделе «Отступ» перейдите к «Специальный» и выберите «Подвесной» в раскрывающемся меню.
  • Расположите источники в алфавитном порядке по фамилии автора.Если автора нет, расположите в алфавитном порядке по первому основному слову в названии.
  • Начинайте цитату с автора(ов). Напишите имя первого автора в обратном порядке (Фамилия, Имя), а имя каждого последующего автора напишите в обычном порядке (Имя Фамилия).
    • Для авторов от 4 до 7 включите все имена в библиографию.
    • Для 8 или более авторов укажите первые 7 имен, а затем «и др.» (Эллисон, Лоррейн, Молли Браун, Ноэль Роутс, Глэдис Черри, Джейкоб Астор, Эмили Пейдж, Люсиль Гордон и др.)
  • Выделяйте книги и журналы курсивом и заключайте в кавычки заголовки статей и веб-страниц. Полностью заглавные буквы (кроме артиклей и предлогов).
    • "Заголовок статьи будет выглядеть так."
    • Название книги будет выглядеть так .
  • Когда вас попросят указать месяц публикации, сократите месяц в соответствии со следующими стандартами:
    • Январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, авг., Сентябрь, Октябрь, Ноябрь, Декабрь

Информация, представленная в каждой цитате, будет отличаться для каждого типа источника. Вы можете проверить этот формат на Purdue OWL. Вот несколько примеров библиографических ссылок на распространенные типы источников:

Общий формат

Фамилия автора, Имя. Название книги курсивом . Город издания: Издательство, год издания.

Пример

Лорд, Уолтер. Ночь продолжается: невыразимые истории и секреты гибели «Непотопляемого»

Корабль — Титаник.Нью-Йорк: Open Road Integrated Media, 2012.

.
Общий формат

Фамилия автора, Имя. «Название статьи в кавычках». In Название книги курсивом , отредактировано EditorFirstName

Фамилия, диапазон страниц для статьи. Город издания: Издательство, год издания.

Пример

Бисли, Лоуренс. «Потеря СС Титаник, его история и уроки». В История Титаника: как рассказывалось

от its Survivors , под редакцией Джека Винокура, 1-110.Нью-Йорк: Dover Publications, 1960.

.
Общий формат

Фамилия автора, Имя. «Название статьи в кавычках». Название журнала, выделенное курсивом том №, №. выпуск №

(год публикации): диапазон страниц для статьи.

Пример

Фрей, Бруно С., Дэвид А. Сэвидж и Бенно Торглер. «Взаимодействие естественных инстинктов выживания и интернализованных социальных

Нормы

Изучение катастроф Титаника и Лузитании . Известия Национальной академии наук 107, № 11

(2010): 4862-4865.

Общий формат

Фамилия автора, Имя. «Название статьи в кавычках». Название газеты курсивом , День месяца, Год

публикации. http://www.fullURL.com/ (для интернет-газет).

Пример

Брод, Уильям Дж. «Новый взгляд на роль природы в затоплении Титаника : айсберг был лишь частью этого»."

The New York Times , 9 апреля 2012 г. http://www.nytimes.com/2012/04/10/science/a-new-look-at-natures-

role-in-the-titanics-sinking.html?_r=0.

Общий формат

Фамилия автора, Имя. «Название веб-страницы в кавычках». Название веб-сайта Курсив . Месяц День, Год

публикации. http://www.fullURL.com/.

Пример

Национальный географический канал.«Факты о Титанике: несколько быстрых фактов о ее строителях, ее жертвах и выживших».

Канал National Geographic . 12 декабря 2012 г. http://channel.nationalgeographic.com/titanic-100-years/articles/

титанических-последнее-слово-с-Джеймсом-Кэмероном-факты/.

Стиль и формат

В Чикаго цитаты, которые занимают 5 или более строк, должны быть отформатированы как блочные цитаты. Это означает, что в цитате не будет кавычек, она будет разделена одинарным интервалом и будет иметь отступ в полдюйма от остальной части абзаца.Например:

Многие ученые по-прежнему предпочитают людей компьютерам:

Человеческий мозг с его гибкостью и способностью к воображению по-прежнему во многих отношениях превосходит электронную модель. Компьютер никогда не бывает утомленным, озабоченным или небрежным, поэтому он прекрасно запоминает и соблюдает правила. Но у него нет воображения даже у очень молодого человеческого мозга, который не только может забыть правила, но и может найти в них лазейки и варианты. Электронный интеллект может обрабатывать информацию, как горящий дом, но при этом не может думать. 22

Заголовки разделов

Формат для каждого уровня заголовка в Чикаго можно увидеть ниже. Все заголовки должны быть выполнены шрифтом одного размера и типа.

Заголовок уровня 1: выравнивание по центру, выделение жирным шрифтом или курсивом и заглавные буквы

Заголовок уровня 2: по центру, с заглавной буквы, без жирного/курсивного шрифта

Текст абзаца для раздела уровня 2 будет начинаться со следующей строки.

Заголовок уровня 3: с выравниванием по левому краю, полужирным или курсивом и с заглавными буквами

Текст абзаца для раздела уровня 3 будет начинаться со следующей строки.

Заголовок уровня 4: выравнивание по левому краю и строчные буквы, без полужирного/курсивного начертания

Текст абзаца для раздела уровня 4 будет начинаться со следующей строки.

Заголовок уровня 5: с выравниванием по левому краю, строчными буквами, жирным шрифтом или курсивом, после чего следует точка. Текст абзаца для раздела уровня 5 будет начинаться со следующей строки.

Дополнительные ресурсы

числовых баз | Математика | Компьютеры

Существует более простое объяснение системы счисления, а также интерактивные страницы. на двоичные, двоичные дроби, нормализованные двоичные числа с плавающей запятой и шестнадцатеричный в разделе Interactive . Существует также система счисления Abacus , которую вы можете использовать для экспериментов с различными системами счисления, и вы можете смотрите видео по числовым базам на YouTube-канале AdvancedICT . Для большинства курсов GCSE по информатике требуется преобразование между системами счисления.

Что такое числовая база?

Немецкий математик Леопольд Кронекер однажды сказал, что «Бог дал нам целые числа, а все остальное — дело рук человека». Я думаю, он имел в виду, что числа существуют, но мы можем представлять их по-разному и делать с ними разные вещи.Не вдаваясь в философию, полезно помнить, что часто то, о чем мы думаем как о числах, на самом деле является символами, представляющими числа — так же, как то, как вы пишете свое имя, не является вами, и вы все еще тот же человек, если вы печатаете свое имя, напишите его другим цветом или используйте другой алфавит.

Основы счисления — это разные способы записи и использования одного и того же числа. Для нашей арифметики мы используем систему, называемую основанием 10, или десятеричным числом, но существует почти столько же числовых оснований, сколько и самих чисел.Многие люди думают, что мы используем основание 10, потому что у нас есть 10 пальцев, на которых мы можем считать. Компьютеры и другие электронные устройства могут надежно использовать только электрический ток или отсутствие тока для счета (например, наличие двух пальцев), и поэтому они, как правило, используют основание 2 (двоичное) внутри.

Важно помнить, что системы счисления — это просто разные способы записи чисел — точно так же, как римские цифры или таблицы подсчета, — но в остальном числа ведут себя как обычно.Это не означает, что их арифметика принципиально отличается — на самом деле то, как ведут себя системы счисления, полностью согласовано.

Как они работают?

Вы будете знакомы с идеей основания 10 и заголовками столбцов, о которых вы говорили в начальной школе — единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д. — другие системы счисления работают точно так же. У них есть столбцы с заголовками, которые используются для представления чисел, а разные цифры располагаются в разных позициях, начиная справа.

Заголовки столбцов для общих оснований и общее основание x показаны в таблице ниже:

Заголовки столбцов Базовый номер
128 64 32 16 8 4 2 1 2 (двоичный)
и т.д. 262144 32768 4096 512 64 8 1 8 (восьмеричный)
  и т. д. 100000 10000 1000 100 10 1 10 (денарий)
и т. Д. 65536 4096 256 16 1 16 (шестнадцатеричные)
и т. д. x 6 x 5 x x 2 x 1 1 x 0 х

Основание обычно записывается в виде нижнего индекса после числа, поэтому вы можете сказать, что 111 2 — это 7 в двоичном формате, а не сто одиннадцать.

Вы можете работать с любой системой счисления (кроме 1, что на самом деле не имеет смысла), и некоторые языки программирования, такие как Лисп, позволяют вам это делать. Однако в вычислительной технике вы, как правило, сталкиваетесь только со следующими четырьмя основаниями, и вы уже знаете основание 10. Эти общие основания также имеют имена собственные, указанные в скобках:

.
  • база 2 (двоичная)
  • основание 8 (восьмеричное)
  • основание 10 (денарий)
  • основание 16 (шестнадцатеричное)

Самая большая цифра, которая может быть в любом столбце, на единицу меньше числа основания.Итак, для двоичного (по основанию 2) это 1, затем 7 для восьмеричного (по основанию 8), 9 для десятичного (по основанию 10) и т. д.

Однако после основания 10 у нас закончились цифры для представления чисел, поэтому мы должны использовать буквы, где A = 10, B = 11, C = 12 и т. д. Таким образом, последовательность чисел, записанных в шестнадцатеричном формате, равна 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, затем 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1А, 1Б, 1С, 1Д, 1Е, 1Ф и т. д.

Когда мы записываем число с основанием 10, мы знаем его значение, потому что мы умножаем отдельные цифры на соответствующие им заголовки столбцов.Например, когда мы видим 123, даже если мы не думаем об этом, мы вычисляем 1 х 100 + 2 х 10 + 3 х 1, чтобы получить сто двадцать три. Точно так же работают и другие системы счисления.

Вы можете использовать эту информацию для преобразования чисел в других системах счисления в 10, например:

32 16 8 4 2 1  
1 0 1 1 2 = 8 + 2 + 1 = 11 10

32768 512 64 8 1  
1 2 3 4 8 = 1 x 512 + 2 x 1 10
= 512 + 128 + 24 + 4 10
668 10

Двоичный (База 2)

В наши дни вы, вероятно, редко будете сталкиваться с двоичным кодом, но полезно понимать, как компьютер работает внутри, чтобы вы могли понимать такие понятия, как параллельная передача.Тот факт, что компьютеры используют двоичный код, объясняет, почему все кратно 2 — почему компьютеры имеют 8 МБ, 16 МБ, 32 МБ, 64 МБ и т. д. памяти, а не 10 МБ, 20 МБ, 30 МБ и т. д., а также почему существует 1024 байтов в килобайте (1024 = 2 10 ), а не 1000 байтов.

Основное использование, вероятно, в сочетании с методами побитовой логики, показанными на предыдущей странице, для объединения и разделения значений, хранящихся в одном и том же байте (или слове).

Есть и другие термины, связанные с бинарными файлами, которые вам необходимо знать.Во-первых, бит — это двоичная цифра , т. е. единичное вхождение 0 или 1. Это наименьшая единица хранения, которую вы можете иметь внутри компьютера. Группы по 8 бит называются байт . Байт может использоваться для представления числа, цвета или символа (например, с использованием ASCII). Вы также можете услышать термин nibble , что составляет 4 бита. Наконец, слово — это наибольшее количество битов, которое процессор может обработать за один раз — например, когда мы говорим, что новые компьютеры имеют 64-битные процессоры, мы имеем в виду, что длина слова составляет 64 бита или 8 байт. .

Максимальное значение, которое вы можете сохранить, используя определенное количество битов, может быть определено довольно легко. Используя n бит, наибольшее значение, которое вы можете сохранить, равно 2 n - 1 , а количество различных значений, которые вы можете сохранить, равно 2 n (от 1 до 2 n - 1 , а затем и 0). Таким образом, используя 8 бит, максимальное число, которое вы можете сохранить, равно 2 8 - 1 = 255, а количество возможных значений равно 2 8 = 256 (т.е. 0–255). Таким образом, 32-разрядный компьютер может обрабатывать значения до 4 194 967 296 за один такт — он, очевидно, может справиться с большими числами, но сначала их нужно разделить.

Восьмеричный (основание 8)

Я никогда не встречал ничего, что использовало бы восьмеричное число! Я думаю, что он, вероятно, включен в требования к экзамену по чисто академическим причинам, а также потому, что его легко преобразовать в двоичный код (см. ниже).

Шестнадцатеричный (основание 16)

Шестнадцатеричное число по-прежнему используется достаточно часто, особенно для таких вещей, как цвета в HTML или языках программирования.Это также весьма полезно, потому что представление больших чисел относительно компактно, но легко преобразуется в двоичное, чтобы вы могли видеть битовые комбинации.

Сдвиг битов

Вы, несомненно, заметили, что с числами по основанию 10 вы можете переместить цифры влево или вправо на одно место, умножив или разделив число на 10. Тот же трюк работает с разными основаниями счисления - вы просто умножаете и делите по основанию число (например, умножьте на 2 в двоичном формате, чтобы сдвинуть биты влево на одну позицию).

Это может быть полезно для таких вещей, как создание шестнадцатеричных значений цвета (например, для веб-страниц). В 24-битной системе (такой как HTML) цвета представлены 24-битными числами от 000000 до FFFFFF (каждая шестнадцатеричная цифра соответствует 4 битам — см. ниже). 24 бита состоят из 8 битов, соответствующих количеству красного, зеленого и синего цветов.

Итак, каждый компонент представлен 8 битами, то есть числом от 0 до 255. Если вы знаете, сколько красного, зеленого и синего вам нужно, как их скомбинировать, чтобы получить полный цвет? Для HTML правильный порядок битов — RRGGBB (r = красный, g = зеленый, b = синий), поэтому нам нужно «сдвинуть» значения зеленого и красного компонентов, а затем сложить все три компонента вместе. .

Мы можем оставить синее значение как есть, но нам нужно переместить зеленое значение на две позиции. Чтобы переместиться на одно место в шестнадцатеричном формате, мы умножаем на 16, поэтому, чтобы переместиться на два места, просто сделайте это дважды - 16 x 16 = 256 - таким образом, умножьте зеленое значение на 256. Для красного значения нам нужно переместиться на четыре места. - 16 х 16 х 16 х 16 = 65 536 - значит, умножаем значение красного компонента на 65 536.

Очевидно, что если бы вы просто пытались самостоятельно определить цвет, вам не нужно было бы выполнять эти шаги, но если бы вы создавали программу, подобную моей микшеру цветов, то вы бы сделали это следующим образом.

Преобразование между базами

Вы можете преобразовать восьмеричную систему в двоичную и наоборот, сгруппировав эти двоичные цифры (или биты) в тройки, а затем преобразовав их в их двоичные эквиваленты. Например:

Что такое 101100 2 в восьмеричной системе?

101 2 = 5 10

100 2 = 4 10

Просто объедините две цифры:

101100 2 = 54 8

То же самое можно сделать и для Hexadecimal, только биты должны быть сгруппированы в четверки, т.е.грамм.

Что такое 10110110 2 в шестнадцатеричном формате?

1011 2 = 11 10 = В 16

0110 2 = 6 10

Просто объедините два результата:

10110110 2 = B6 16

Наконец-то шутка с числовой базой! Почему программисты путают Рождество с Хэллоуином? Потому что 31 ОКТЯБРЯ = 25 ДЕКАБРЯ!

Древнекитайская система счисления

Несмотря на то, что в последние века до н. .

Китайская система счисления

В простой, но эффективной древней китайской системе счисления , которая восходит как минимум ко 2-му тысячелетию до н. единиц, десятков, сотен, тысяч и т. д. Таким образом, это была десятичная система счисления , очень похожая на ту, которую мы используем сегодня — действительно, это была первая подобная система счисления, принятая китайцами более чем за тысячу лет до он был принят на Западе – и даже довольно сложные расчеты он делал очень быстро и легко.

В письменных числах, однако, использовалась несколько менее эффективная система использования другого символа для десятков, сотен, тысяч и т. д. Это было в основном потому, что не существовало понятия или символа нуля, и это ограничивало полезность написанный номер на китайском языке.

Использование счетов часто считается китайской идеей, хотя некоторые типы счетов использовались в Месопотамии, Египте и Греции, вероятно, намного раньше, чем в Китае (первые китайские счеты, или «суанпан», мы знаем датируется примерно II веком до нашей эры).

Магический квадрат Ло Шу

Магический квадрат Ло Шу с его традиционным графическим представлением имеют космическое значение. В частности, магических квадратов — квадраты чисел, в которых сумма каждой строки, столбца и диагонали дает одну и ту же сумму, — считались имеющими большое духовное и религиозное значение.

Квадрат Ло Шу , квадрат порядка трех, где каждая строка, столбец и диагональ в сумме составляют 15, возможно, является самым ранним из них, , датируемым примерно 650 г. до н.э. (легенда об открытии императором Ю квадрата на спине черепахи происходит около 2800 г. до н.э.). Но вскоре были построены более крупные магические квадраты с еще большими магическими и математическими способностями, кульминацией которых стали сложные магические квадраты, круги и треугольники Ян Хуэя в 13 веке (Ян Хуэй также создал треугольное представление биномиальных коэффициентов, идентичное более позднему). Треугольник Паскаля и, возможно, первым использовал десятичные дроби в современной форме).

Ранний китайский метод решения уравнений

Ранний китайский метод решения уравнений

Учебник под названием «Цзючжан Суаньшу» или « Девять глав по математическому искусству » (написанный примерно с 200 г. до н. э., вероятно, разными авторами) стал важным инструментом в обучении такой государственной службы. , охватывающий сотни проблем в практических областях, таких как торговля, налогообложение, инженерное дело и выплата заработной платы.

Это было особенно важно как руководство к тому, как решать уравнения — вывод неизвестного числа из другой известной информации — с использованием сложного матричного метода, который не появлялся на Западе до тех пор, пока Карл Фридрих Гаусс не открыл его заново в начало 19-го века (и который теперь известен как исключение Гаусса).

Среди величайших математиков древнего Китая был Лю Хуэй, написавший подробный комментарий к «Девяти главам» в 263 г. н.э., он был одним из первых математиков, которые, как известно, не оценивали корни, давая более точные результаты вместо приближений.Путем приближения с использованием правильного многоугольника со 192 сторонами он также сформулировал алгоритм, который вычислил значение π как 3,14159 (с точностью до пяти знаков после запятой), а также разработал очень раннюю форму как интегрального, так и дифференциального исчисления.

Китайская теорема об остатках

Китайская теорема об остатках

Они также начали заниматься более абстрактными математическими проблемами (хотя обычно сформулированными в довольно искусственных практических терминах), включая то, что стало известно как китайская теорема об остатках. При этом используются остатки после деления неизвестного числа на последовательность меньших чисел, таких как 3, 5 и 7, для вычисления наименьшего значения неизвестного числа. Техника решения таких задач, первоначально сформулированная Сунь-Цзы в 3 веке н.э. и считавшаяся одной из жемчужин математики, использовалась для измерения движения планет китайскими астрономами в 6 веке нашей эры, и даже сегодня она находит практическое применение. например, в интернет-криптографии.

К 13 веку, золотому веку китайской математики, по всему Китаю было более 30 престижных математических школ. Возможно, самым блестящим китайским математиком того времени был Цинь Цзюшао, довольно жестокий и коррумпированный имперский администратор и воин, который исследовал решения квадратных и даже кубических уравнений, используя метод повторных приближений, очень похожий на тот, который позже был разработан на Западе сэром Исааком. Ньютон в 17 веке. Цинь даже расширил свою технику, чтобы решать (хотя и приблизительно) уравнения, включающие числа до степени десять, чрезвычайно сложную математику для того времени.

Числа - Значение места - Подробно

Идея разрядности лежит в основе нашей системы счисления. Сначала, однако, пришлось изобрести символ ничего — наш ноль. Зеро «держит место» для определенного значения, когда в этой позиции нет другой цифры. Например, число «100» прописью означает сто, а не десятки и не единицы. Без символа ничего наша десятичная система счисления не работала бы.


Начиная с разряда единиц справа, значение каждого разряда умножается. по возрастанию степени 10.Например, стоимость первого места на справа — «один», значение разряда слева от него — «десять», что в 10 раз больше 1. Место слева от разряда десятков - это сотни, что 10 умножить на 10 и так далее.

Для облегчения чтения, запятые используются для разделения каждой группы из трех цифр, которая называется период. Когда число записывается в этой форме, говорят, что оно находится в «стандартной форме». форма."

Примеры

Цифры могут быть представлен разными способами, но стандартная форма обычно является самой простой и кратчайший путь.Вот некоторые числа, выраженные в разных формах, с их стандартная форма показана рядом. Какую форму вы считаете лучшей?

Пример 1

один миллиард, шестьдесят миллионов пятьсот двадцать тысяч

1 060 520 000

Пример 2

четыреста шестнадцать тысяч семьсот тридцать один

416 731

Пример 3

6 000 000 + 70 000 + 20 + 1

6 070 021

Попробуйте!

В каждом из них числа, какое значение имеет цифра 5?

В 17 526 010 5 представляет "пятьсот тысяч"
В 2 110 735 000 5 представляет «пять тысяч»

назад до вершины

.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.