Построение логических схем

Цели урока:

Образовательные:

• закрепить у учащихся представление об устройствах элементной базы компьютера;
• закрепить навыки построения логических схем.

Развивающие:

• формировать развитие алгоритмического мышления;
• развить конструкторские умения;
• продолжать способствовать развитию ИКТ - компетентности;

Воспитательные:

• продолжить формирование познавательного интереса к предмету информатика;
• воспитывать личностные качества:
• активность,
• самостоятельность,
• аккуратность в работе;

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

• основные базовые элементы логических схем;
• правила составления логических схем.

Учащиеся должны уметь:

• составлять логические схемы.

Тип урока: урок закрепления изученного материала

Вид урока: комбинированный

Методы организации учебной деятельности:

• фронтальная;
• индивидуальная;

Программно-дидактическое обеспечение:

• ПК, SMART Board, карточки с индивидуальным домашним заданием.

Урок разработан с помощью программы Macromedia Flash.

Ход урока

I. Постановка целей урока.

Добрый день!

Сегодня мы продолжаем изучение темы «Построение логических схем».

Приготовьте раздаточный материал «Логические основы ЭВМ. Построение логических схем» Приложение 1

Вопрос учителя. Назовите основные логические элементы. Какой логический элемент соответствует логической операции И, ИЛИ, НЕ?

Ответ учащихся. Логический элемент компьютера — это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию. Основные логические элементы конъюнктор (соответствует логическому умножению), дизъюнктор (соответствует логическому сложению), инвертор (соответствует логическому отрицанию).

Вопрос учителя. По каким правилам логические элементы преобразуют входные сигналы. Рассмотрим элемент И. В каком случае на выходе будет ток (сигнал равный 1).

Ответ учащихся. На первом входе есть ток (1, истина), на втором есть (1, истина), на выходе ток идет (1, истина).

Вопрос учителя. На первом входе есть ток, на втором нет, однако на выходе ток идет. На входах тока нет и на выходе нет. Какую логическую операцию реализует данный элемент?

Ответ учащихся. Элемент ИЛИ - дизъюнктор.

Вопрос учителя. Рассмотрим логический элемент НЕ. В каком случае на выходе не будет тока (сигнал равный 0)?

Ответ учащихся. На входе есть ток, сигнал равен 1.

Вопрос учителя. В чем отличие логической схемы от логического элемента?

Ответ учащихся. Логические схемы состоят из логических элементов, осуществляющих логические операции.

Проанализируем схему и определим сигнал на выходе.

II. Закрепление изученного материала.

Почему необходимо уметь строить логические схемы?

Дело в том, что из вентилей составляют более сложные схемы, которые позволяют выполнять арифметические операции и хранить информацию. Причем схему, выполняющую определенные функции, можно построить из различных по сочетанию и количеству вентилей. Поэтому значение формального представления логической схемы чрезвычайно велико. Оно необходимо для того, чтобы разработчик имел возможность выбрать наиболее подходящий ему вариант построения схемы из вентилей. Процесс разработки общей логической схемы устройства (в том числе и компьютера в целом), становится иерархическим, причем на каждом следующем уровне в качестве «кирпичиков» используются логические схемы, созданные на предыдущем этапе.

Дома вам необходимо было построить логические схемы, соответствующие логическим выражениям.

Вопрос учителя. Каков алгоритм построение логических схем?

Ответ учащихся. Алгоритм построение логических схем:

Определить число логических переменных.

Определить количество базовых логических операций и их порядок.

Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей элемент (вентиль).

Соединить вентили в порядке выполнения логических операций.

Работа со SMART Board Приложение 2

Проверка домашнего задания Приложение 1

. Домашнее задание. Часть 1

Построить логическую схему для логического выражения: .

1. Две переменные — А и В.
2. Две логические операции: &,
3. Строим схему.

Построить логическую схему для логического выражения:

Построить логическую схему для логического выражения:

Построить логическую схему для логического выражения:

Построить логическую схему для логического выражения:

Построить логическую схему для логического выражения:

Построить логическую схему для логического выражения:

Вычислить значение данного выражения для А=1, В=0.

Ответ F=1

III. Пропедевтика (законы логики)

Выполним задачу обратную данной. Составим логическое выражение по заданной логической схеме:

Данное логическое выражение можно упростить.

Операция И — логическое умножение, ИЛИ - сложение. Запишем выражение, заменяя знаки & и U на * и + соответственно.

F= (A*B+B*С) Упростим F= (B*(А+С)), затем запишем и тогда логическая схема примет вид:

Вывод: Логические схемы, содержащие минимальное количество элементов, обеспечивают большую скорость работы и увеличивают надёжность устройства.

Алгебра логики дала конструкторам мощное средство разработки, анализа и совершенствования логических схем. Проще, и быстрее изучать свойства и доказывать правильность работы схемы с помощью выражающей её формулы, чем создавать реальное техническое устройство.

Таким образом, цель нашего следующего урока - изучить законы алгебры логики.

IV. Домашнее задание. Часть 2

V. Практическая работа.

Программа — тренажер «Построение логических схем»

www.Kpolyakov.narod.ru Программа «Logic»,

Спасибо за урок!

Логические основы компьютера — презентация онлайн

1. Логические основы компьютера

• Связь между булевой алгеброй и компьютерами лежит в
элементной базе и в используемой в ЭВМ системе
счисления.
• Законы и аппарат алгебры логики используются при
проектировании вычислительных устройств: вентилей,
триггеров, сумматоров
• Вентиль представляет собой логический элемент, который
принимает одни двоичные значения и выдает другие в
зависимости от своей реализации.
• Есть вентили, реализующие логическое умножение
(конъюнкцию), сложение (дизъюнкцию) и отрицание
• Простые элементы можно комбинировать между собой,
создавая тем самым различные схемы

2. Вентили

Схема И реализует конъюнкцию двух или
более логических значений
Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух
или более логических значений
Схема НЕ (инвертор) реализует
операцию отрицания
Схема И—НЕ состоит из элемента И и
инвертора и осуществляет отрицание
результата схемы И
Схема ИЛИ—НЕ состоит из элемента ИЛИ
и инвертора и осуществляет отрицание
результата схемы ИЛИ
Пример 1. Построить схему логической функции
импликации F = A B.
Решение
Логической функции импликации равносильна функция
_
F=A B.
В этом можно убедиться, если для функции
построить таблицу истинности.

_
F
_
A
B
A
A B
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
A
1
F=Ā B
B
Таким образом, схему логической функции
описывают инвертор и дизъюнктор.
F
(импликации)
Построение логических схем
1. Определить число переменных
2. Определить базовые логические операции и их
порядок
3. Изобразить вентиль для каждой логической
операции
4. Соединить вентили в порядке выполнения
логических операций

5. Построить логическую схему соответствующую логическому выражению.

F=X&YV(YVX)

6. Построить логическую схему соответствующую логическому выражению.

F=X&YV(YVX)
X
Y

7. Построить логическую схему соответствующую логическому выражению.

F=X&YV(YVX)
X
&
Y

8. Построить логическую схему соответствующую логическому выражению.

F=X&YV(YVX)
X
&
Y
1

9. Построить логическую схему соответствующую логическому выражению.

F=X&YV(YVX)
X
&
Y
1

10. Построить логическую схему соответствующую логическому выражению.

F=X&YV(YVX)
X
&
1
Y
1

11. Построить логическую схему соответствующую логическому выражению.

F = ( А V В & C)

12. Построить логическую схему соответствующую логическому выражению.

F = ( А V В & C)
С
В
А

13. Построить логическую схему соответствующую логическому выражению.

F = ( А V В & C)
С
&
В
А

14. Построить логическую схему соответствующую логическому выражению.

F = ( А V В & C)
С
&
В
А
1

15. Построить логическую схему соответствующую логическому выражению.

F = ( А V В & C)
С
&
В
А
1

16. Составить логическое выражение по соответствующей логической схеме .

B
&
C
1
A

17. Составить логическое выражение по соответствующей логической схеме .

B
&
C
1
A
F= B & C

18. Составить логическое выражение по соответствующей логической схеме .

B
&
C
1
A
F= B & C A

19. Составить логическое выражение по логической схеме

B
&
C
1
A
F= B & C v A

20. Составить выражение по логической схеме

Z
&
1
X
&
Y
1
&

21. Составить выражение по логической схеме

Z
&
1
X
&
Y
1
&
F=X&Y

22. Составить выражение по логической схеме

Z
&
1
X
&
Y
1
&
F=X&Y X&Z

23. Составить выражение по логической схеме

Z
&
1
X
&
Y
1
&
F=X&Y X&Z Y&Z

24. Составить выражение по логической схеме

Z
&
1
X
&
Y
1
&
F=X&Y X&Z Y&Z

25. Составить выражение по логической схеме

Z
&
1
X
&
Y
1
&
F=X&Y X&Z Y&Z

26. Составить выражение по логической схеме

Z
&
1
X
&
Y
1
&
F=X&YvX&Z Y&Z

27. Составить выражение по логической схеме

Z
&
1
X
&
Y
1
&
F=X&YvX&ZvY&Z

28. САМОСТОЯТЕЛЬНО

1. По логическому выражению построить логическую схему:
2. По логической схеме составьте логическое выражение:
Пример 3 (самостоятельно). Логическая
функция F, задана схемой. Записать для этой функции
логическое выражение.
A
B
1
1
С
_
?
Ответ: F=(A B) (B C) (A C)
F

30. Триггер

• Устройство с двумя устойчивыми состояниями равновесия,
способное многократно переходить из одного состояния в
другое под воздействием внешних сигналов
• Используется в регистрах процессора для записи и
хранения информации
• Выходные сигналы зависят не только от входных сигналов,
действующих в настоящий момент, но и от сигналов,
действующих до этого
• Сохраняет своё предыдущее состояние при нулевых входах
и меняет своё выходное состояние при подаче на один из
его входов единицы
• Простейший RS-триггер образован из двух элементов И-НЕ
(или ИЛИ-НЕ) и позволяет запоминать 1 бит информации
Триггер
RS-триггер на основе
двух элементов И-НЕ
Вход R (Reset) – сброс
Вход S (Set) — установка
Режимы работы:
• R=1, S=0 — очистки
• R=0, S=1 — записи
• R=0, S=0 — хранения
• R=1, S=1 — запрещенный
Триггер
S
R
Q(t)
Q(t)
Q(t+1)
Q(t+1)
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
не определено не определено
1
1
1
0
не определено не определено
Триггер
• Поскольку один триггер может запомнить только один
разряд двоичного кода, то для запоминания байта нужно 8
триггеров
• Для запоминания килобайта нужно 8 х 210 = 8192
триггеров.
• Современные микросхемы памяти содержат миллионы
триггеров

34. Сумматор

• Арифметико-логическое устройство процессора
(АЛУ) обязательно содержит в своем составе
такие элементы как сумматоры
• Сумматор — электронная логическая схема,
выполняющая суммирование двоичных чисел
• Центральный узел арифметико-логического
устройства компьютера,
• Находит применение также и в других устройствах

35. Сумматор

• Как происходит сложение? Допустим, требуется сложить
двоичные числа 1001 и 0011.
• Сначала складываем младшие разряды (последние
цифры): 1+1=10. Т.е. в младшем разряде будет 0, а
единица – это перенос в старший разряд.
• Далее: 0 + 1 + 1(от переноса) = 10, т.е. в данном разряде
снова запишется 0, а единица уйдет в старший разряд.
• На третьем шаге: 0 + 0 + 1(от переноса) = 1.
• В итоге сумма равна 1100.
ПОЛУСУММАТОР
Таблица сложения с учетом переноса
Слагаемые
Перенос
Сумма
А
В
P
S
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
P = A B
S=(A B) (A B)
Таблица истинности логической функции (A B) (A B)
А
В
A B
A B
A B
(A B) (A B)
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0

Сигнал, выработанный одним логическим элементом можно подавать на вход другого логического элемента. Это дает возможность образовывать цепочки из отдельных логических элементов. На рисунке 15 показаны примеры таких цепочек.

а)

б)

Рисунок 15. Цепочка из нескольких логических элементов

На рисунке 15 а) элемент ИЛИ (дизъюнктор) соединен с элементом НЕ (инвертор), а на рисунке 15 б) — элемент И (конъюнктор) с элементом НЕ (инвертор). Каждую такую цепочку будем называть логическим устройством: поскольку она состоит из нескольких элементов.

Цепочку из логических элементов будем называть логическим устройством. Схемы, соответствующие таким устройствам, называют функциональными .

На рисунке 16 приведен пример более сложной функциональной схемы.

Рисунок 16. Сложная функциональная схема

Составить логическую схему по функциональной формуле достаточно просто. Например, функциональная схема, изображенная на рисунке 16, имеет два входа A и B. До поступления на конъюнктор B отрицается, а затем отрицается результат логического умножения. Все это приводит нас к формуле

,

(21)

которая представляет собой структурную формулу логического устройства. Важно научиться решать и обратную задачу: по структурной формуле вычерчивать соответствующую ей функциональную схему. Усложним задачу. Пусть имеется произвольная логическая функция, требуется построить функциональную схему.

 

Алгоритм решения такой задачи начинается с построения таблицы истинности. Затем в таблице следует определить одну или несколько строк, с результатом равным 1. На следующем шаге необходимо выписать комбинацию входных переменных, соединенных логическим умножением. Если входная переменная в нужной нам строке имеет значение 0, то она должна войти в логическое выражение с отрицанием. Полученные таким образом конъюнкции требуется логически сложить. Далее полученную формулу нужно сократить с использованием логических законов. Рассмотрим этот алгоритм на следующем примере.

Задача 7. Начертить функциональную схему, соответствующую таблице истинности.

A	B	F(A,B)
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Решение.

Рассмотрим строки, которые в столбце F(A,B) дают истину (эти строки в таблице выделены). Составим по первой строке выражение (A следует отрицать, потому что в таблице стоит 0), аналогичное выражение по третьей строке дает . Соединяем два последних выражения союзом ИЛИ, получим . Вычерчиваем по логическому выражению функциональную схему.

Рисунок 17. Функциональная схема логической функции .

Логическую функцию F(A,B)=Ā Λ B V A Λ называют операцией XOR (исключающее или) и обозначают .

Еще один пример построения функциональной схемы.

Задача 8. Начертить функциональную схему, соответствующую таблице истинности. A B C результат 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Решение. Выделяем в таблице строки, когда результатом функции является истина. A B C результат 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Для первой строки последней таблицы имеем. , (22) для второй строки — , (23) для третьей строки — , (24) (24) для четвертой строки — , (25) (25) и для пятой строки — . (26) Соединяем выражения (22)-(26) логическим сложением. Будем иметь . (27) Теперь требуется упростить (27) на основе логических законов. . Таким образом, получили: . (28) Построим функциональную схему. Для этого потребуется отрицание A с последующим умножением на B, затем на C и, наконец, сложение с A. Полученная функциональная схема представлена на рисунке 18. Рисунок 18. Функциональная схема логической функции

Логическая схема для логического выражения. Логические схемы и логические выражения

Конспект урока
«Построение логических схем с помощью базовых логических элементов»

10 класс

Тип урока: лекция, самостоятельная работа.

Оборудование: проектор, карточки с заданиями.

Формы работы: коллективная, индивидуальная.

Продолжительность урока: 45 мин.

Цели урока:

Образовательные:

научиться строить логические схемы для логических функций с помощью основных базовых логических элементов;

научиться выписывать соответствующую логическую функцию из логической схемы.

Воспитательные:

привитие навыков самостоятельности в работе, воспитание аккуратности, дисциплинированности.

Развивающие:

развитие внимания, мышления, памяти учащихся.

Ход урока:

1. Организационный момент (1 мин).
2. Проверка пройденного материала (5 мин).

Фронтальный опрос.

Перечислите основные логические операции.

Что такое логическое умножение?

Что такое логическое сложение?

Что такое инверсия?

Что такое таблица истинности?

Что такое сумматор?

Что такое полусумматор?

3. Изучение нового материала (20 мин).

Дискретный преобразователь, который после обработки входных двоичных сигналов выдает на выходе сигнал, являющийся значением одной из логических операций, называется логическим элементом.
Поскольку любая логическая операция может быть представлена в виде комбинаций трех основных, любые устройства компьютера, производящие обработку или хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов, как из «кирпичиков».
Логические элементы компьютера оперируют сигналами, представляющими собой электрические импульсы. Есть импульс – логический смысл сигнала – 1, нет импульса – 0. На входы логического элемента поступают сигналы-значения аргументов, на выходе появляется сигнал-значение функции.
Преобразование сигнала логическим элементом задается таблицей состояния, которая фактически является таблицей истинности, соответствующей логической функции.
На доске приведены условные обозначения (схемы) базовых логических элементов, реализующих логическое умножение (конъюнктор), логическое сложение (дизъюнктор) и отрицание (инвертор).

Логический элемент «И»:

Логический элемент «ИЛИ»:

Логический элемент «НЕ»:

Устройства компьютера (сумматоры в процессоре, ячейки памяти в оперативной памяти и др.) строятся на основе базовых логических элементов.

Пример 1. построить логическую схему.

Наше построение схемы, мы начнем с логической операции, которая должна выполнятся последней. В нашем случае такой операцией является логическое сложение, следовательно, на выходе логической схемы должен быть дизъюнктор. На него сигналы будут подаваться с двух конъюнкторов, на которые в свою очередь подаются один входной сигнал нормальный и один инвертированный (с инверторов).

Пример 2. Выписать из логической схемы соответствующую ей логическую формулу:

Решение:

4. Закрепление нового материала (15 мин).

Для закрепления материала учащимся раздаются карточки на два варианта для самостоятельной работы.

Вариант 1.

Решение:

Решение:

Вариант 2.

1. По заданной логической функции построить логическую схему и таблицу истинности.
Решение:

2. Выписать из логической схемы соответствующую ей логическую формулу:

Решение:

5. Постановка домашнего задания. (3 мин).

По заданной логической функции построить логическую схему и таблицу истинности.

6. Подведение итогов урока. (1 мин).

Проанализировать, дать оценку успешности достижения цели и наметить перспективу на будущее. Оценка работы класса и отдельных учащихся, аргументация выставления отметок, замечания по уроку.

Литература, эор:

Информатика и информационные технологии. Учебник для 10-11 классов, Н. Д. Угринович – 2007г.;

Практикум по информатике и информационным технологиям. Учебное пособие для общеобразовательных учреждений, Н. Д. Угринович, Л. Л. Босова, Н. И. Михайлова – 2007г.

При построении отдельных узлов компьютера довольно часто необходимо решить проблему построения функциональных логических схем по заданным функциям. Для этого достаточно условиться, что истинное высказывание соответствует тому, что цепь проводит ток, а ложное – цепь разорвана.

Логические операции конъюнкции, дизъюнкции, инверсии реализуются в ЭВМ с помощью следующих элементарных схем.

Конъюнкция – логический элемент «и»:

Этот элемент выполняет операцию логического умножения (конъюнкция): f = x 1 Ù x 2 Ùx 3 Ù…Ùx n ; и имеет n входов и один выход.

Дизъюнкция – логический элемент «или»:

Этот элемент выполняет операцию логического сложения (дизъюнкция): f = x 1 Ú x 2 Úx 3 Ú…Úx n ; и имеет n входов и один выход.

Инверсия – логический элемент «не»:

Этот элемент выполняет операцию логического отрицания (инверсии): f = ; и имеет один вход и один выход.

Сложные функциональные схемы можно конструировать из основных логических элементов, используя основные законы булевой алгебры

Пример выполнения контрольного задания

Задание:

Дана функция,

1. Составить функциональную логическую схему по данной функции.

2. Упростить логическую функцию (используя законы булевой алгебры) и выполнить проверку преобразования таблицей истинности.

3. Составить функциональную логическую схему по упрощенной функции.

Выполнение:

1. Составим таблицу истинности для заданной функции:

2. Составим функциональную логическую схему по заданной функции:

3. Упростим заданную функцию, используя законы булевой алгебры:

а) по закону де Моргана – 9

б) по закону идемпотентности — 13

в) закон отрицание отрицания – 1

г) закон дистрибутивности – 6

д) свойства 1 и 0 – 19

е) свойства 1 и 0 – 16

Таким образом, упрощенная функция имеет вид:

4. Составим таблицу истинности для упрощенной функции:

Таким образом, сравнивая таблицы истинности для исходной и упрощенной функций (их последние столбцы) делаем вывод о правильности проведенных преобразований.

5. Составим функциональную логическую схему по упрощенной функции:

Задание для выполнения контрольной работы

Дана функция f(x,y), номер функции в таблице соответствует порядковому номеру студента по списку.

4. Составить функциональную логическую схему по данной функции.

5. Упростить логическую функцию (используя законы булевой алгебры) и выполнить проверку преобразования таблицей истинности.

Почему необходимо уметь строить логические схемы?

Дело в том, что из вентилей составляют более сложные схемы, которые позволяют выполнить арифметические операции и хранить информацию. Причем схему, выполняющую определенные функции, можно построить из различных по сочетанию и количеству вентилей. Поэтому значение формального представления логической схемы чрезвычайно велико. Оно необходимо для того, чтобы разработчик имел возможность выбрать наиболее подходящий ему вариант построения схемы из вентилей. Процесс разработки общей логической схемы устройства (в том числе и компьютера в целом) таким образом становится иерархическим, причем на каждом следующем уровне в качестве «кирпичиков» используются логические схемы, созданные на предыдущем этапе.

Алгебра логики дала в руки конструкторам мощное средство разработки, анализа и совершенствования логических схем. В самом деле, гораздо проще, быстрее и дешевле изучать свойства и доказывать правильность работы схемы с помощью выражающей ее формулы, чем создавать реальное техническое устройство. Именно в этом состоит смысл любого математического моделирования.

Логические схемы необходимо строить из минимально возможного количества элементов, что в свою очередь, обеспечивает большую скорость работы и увеличивает надежность устройства.

Алгоритм построения логических схем :

1) Определить число логических переменных.

2) Определить количество базовых логических операций и их порядок.

3) Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей вентиль.

4) Соединить вентили в порядке выполнения логических операций.

Пример 10 Составить логическую схему для логического выражения: F =¬ X v Y & X . 1) Две переменные – X и Y . 2) Две логические операции: 1 3 2 ¬ X v Y & X . 3) Строим схему, соединяя вентили в порядке выполнения логических операций: Пример 11 Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению F = X & Y v¬ (Y v X ). Вычислить значения выражения для X =1, Y =0. 1) Переменных две: X и Y . 2) Логических операций четыре: конъюнкция, две дизъюнкции и отрицание. Определяем порядок выполнения операций: 1 4 3 2 X & Y v ¬ (Y v X ). 3) Схему строим слева направо в соответствии с порядком выполнения логических операций: 4) Вычислим значение выражения: F =1&0 v¬ (0 v 1)=0.

Упражнение 15

Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению, и найдите значение логического выражения:

1)

F=A v B& ¬ C, если A=1, B=1, C=1 .

2) F = ¬ (A v B&C), если A=0, B=1, C=1 .

Разделы: Информатика

Цели:

1. Образовательные

• Основные логические операции.
• Построение таблиц истинности сложных высказываний.
• Логические схемы и логические выражения.

2. Развивающие

• Развитие исследовательской и познавательной деятельности.
• Лаконично, полно и содержательно отвечать и делать обобщающие выводы.

3. Воспитательные

• Формирование аккуратности при работе с компьютером.
• Понимание связей между другими учащимися, культурой поведения.

Тип урока: комбинированный

Методы организации учебной деятельности:

• фронтальная
• индивидуальная
• ученик-компьютер

Программно-дидактическое обеспечение: ПК, презентация, задание для практической работы, раздаточный материал, Electronics Workbench (EWB512), PowerPoint.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

II. Актуализация ранее изученного материала и проверка домашнего задания.

Задания для выполнения в тетради и у доски.

№1. Составьте таблицы истинности для следующих логических выражений:

№3. Нарисовать на доске логические элементы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ.

III. Новый материал.

Над возможностями применения логики в технике ученые и инженеры задумывались уже давно. Например, голландский физик Пауль Эренфест (1880 — 1933), еще в 1910 году писал: «…Пусть имеется проект схемы проводов автоматической телефонной станции. Надо определить:

1) будет ли она правильно функционировать при любой комбинации, могущей встретиться в ходе деятельности станции;
2) не содержит ли она излишних усложнений.

Каждая такая комбинация является посылкой, каждый маленький коммутатор есть логическое «или-или», воплощенное в эбоните и латуни; все вместе — система чисто качественных… «посылок», ничего не оставляющая желать в отношении сложности и запутанности… правда ли, что, несмотря на существование алгебры логики, своего рода «алгебра распределительных схем» должна считаться утопией?».

Созданная позднее М.А. Гавриловым (1903 — 1979) теория релейно-контактных схем показала, что это вовсе не утопия.

Посмотрим на микросхему. На первый взгляд ничего того, что нас бы удивило, мы не видим!
Но если рассматривать ее при сильном увеличении, она поразит нас своей стройной архитектурой. Чтобы понять, как она работает, вспомним, что компьютер работает на электричестве, то есть любая информация представлена в компьютере в виде электрических импульсов.

Почему необходимо уметь строить логические схемы?

Дело в том, что из вентилей составляют более сложные схемы, которые позволяют выполнять арифметические операции и хранить информацию. Причем схему, выполняющую определенные функции, можно построить из различных по сочетанию и количеству вентилей. Поэтому значение формального представления логической схемы чрезвычайно велико. Оно необходимо для того, чтобы разработчик имел возможность выбрать наиболее подходящий ему вариант построения схемы из вентилей. Процесс разработки общей логической схемы устройства (в том числе и компьютера в целом), становится иерархическим, причем на каждом следующем уровне в качестве «кирпичиков» используются логические схемы, созданные на предыдущем этапе.
Алгебра логики дала в руки конструкторам мощное средство разработки, анализа и совершенствования логических схем. В самом деле, гораздо проще, быстрее и дешевле изучать свойства и доказывать правильность работы схемы с помощью выражающей ее формулы, чем создавать реальное техническое устройство. Именно в этом состоит смысл любого математического моделирования.

Логические схемы необходимо строить из минимально возможного количества элементов, что в свою очередь, обеспечивает большую скорость работы и увеличивает надежность устройства.

Правило построения логических схем:

1) Определить число логических переменных.
2) Определить количество базовых логических операций и их порядок.
3) Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей вентиль и соединить вентили в порядке выполнения логических операций.

Рассмотрение двух примеров перехода от выражения к схеме. (Презентация)

Рассмотрение двух примеров перехода от схемы к выражению. (Презентация)

Чаще в жизни возникает ситуация, когда известен результат и для его реализации необходимо построить устройство.

Рассмотрим следующую задачу: (Презентация)

Задача 1. В двухэтажном доме лестница освещается одной лампой Х. На первом этаже установлен один выключатель А, на втором этаже — выключатель В. Если включают А, то лампа загорается. При поднятии на второй этаж и включении В лампа гаснет. Если кто-то выходит и нажмет В, то лампа включается, при спуске на первый этаж и нажатии А лампа должна погаснуть.

Алгоритм решения:

• Составить таблицу истинности.
• Определить логическую функцию.
• Построить логическую схему.

A	B	X
0	0	0
1	0	1
1	1	0
0	1	1
0	0	0

Чтобы создать логическую функцию по таблице истинности, надо записывать значения выходной переменной.

Между строками таблицы будет стоять знак логического сложения, а между столбцами — знак логического умножения .

IV. Закрепление изученного материала.

Работа у доски и в тетради по карточкам.

№1. По логическому выражению построить логическую схему:

№2. По логической схеме составьте логическое выражение:

V. Компьютерный практикум.

Практическая работа с использованием электронной лаборатории Electronics Workbench (EWB512).

Вариант 1

1. Упростите логическое выражение

2. Проверьте свою работу, используя программу Electronics Workbench:

Запишите исходное выражение в Logic Converter;
— Составьте таблицу истинности
— Упростите выражение используя
— Постройте упрощенную логическую схему .

3. Проверьте правильность выполненных упрощений.

VI. Домашнее задание:

а) упростите логическое выражение, постройте логическую схему и таблицу истинности
б) по таблице истинности (00001011) составьте выражение, упростите его, нарисуйте схему.

Лабораторная работа № 4 .

Схемотехническая реализация логических элементов. Построение логических схем.

Теоретическая часть.

В основе обработки компьютером информации лежит алгебра логики, разработанная Дж. Булем. Было доказано, что все электронные схемы ЭВМ могут быть реализованы с помощью логических элементов И, ИЛИ, НЕ.

Элемент НЕ

При подаче на вход схемы сигнала низкого уровня (0) транзистор будет заперт, т.е. ток через него проходить не будет, и на выходе будет сигнал высокого уровня (1). Если же на вход схемы подать сигнал высокого уровня (1), то транзистор “откроется”, начнет пропускать электрический ток. На выходе за счет падения напряжения установится напряжение низкого уровня. Таким образом, схема преобразует сигналы одного уровня в другой, выполняя логическую функцию.

Элемент ИЛИ

Функция “ИЛИ” — логическое сложение (дизъюнкция), ее результат равен 1, если хотя бы 1 из аргументов равен 1. Здесь транзисторы включены параллельно друг другу. Если оба закрыты, то их общее сопротивление велико и на выходе будет сигнал низкого уровня (логический “0”). Достаточно подать сигнал высокого уровня (“1”) на один из транзисторов, как схема начнет пропускать ток, и на сопротивлении нагрузки установится также сигнал высокого уровня (логическая “1”).

Элемент И

Если на входы Вх1 и Вх2 поданы сигналы низкого уровня (логические “0”), то оба транзистора закрыты, ток через них не проходит, выходное напряжение на R н близко к нулю. Пусть на один из входов подано высокое напряжение (“1”). Тогда соответствующий транзистор откроется, однако другой останется закрытым, и ток через транзисторы и сопротивление проходить не будет. Следовательно, при подаче напряжения высокого уровня лишь на один из транзисторов, схема не переключается и на выходе остается напряжение низкого уровня. И лишь при одновременной подаче на входы сигналов высокого уровня (“1”) на выходе мы также получим сигнал высокого уровня.

Таким образом, каждой базовой логической функции – «И», «ИЛИ», «НЕ» — соответствует особым образом сконструированная схема, называемая логическим элементом. Комбинируя сигналы, обозначающие логические переменные, и выходы, соответствующие логическим функциям, с помощью логических элементов, пользуясь таблицей истинности или представлением логической функции в виде КНФ и ДНФ, можно составить структурную или функциональную схему (см. примеры ниже), являющуюся основой для аппаратной реализации схемы.

Анализируя функциональную схему, можно понять, как работает логическое устройство, т.е. дать ответ на вопрос: какую функцию она выполняет. Не менее важной формой описания логических устройств является структурная формула. Покажем на примере как выписывают формулу по заданной функциональной схеме (1 схема). Ясно, что элемент “И” осуществляет логическое умножение значений и В. Над результатом в элементе “НЕ” осуществляется операция отрицания, т.е. вычисляется значение выражения: Формула и есть структурная формула логического устройства.

Итак, основные логические функции обозначаются

Инверсия
Конъюнкция
Дизъюнкция

Пример: дана логическая схема:

Она построена на основании булева выражения — Y = Ē /\ I \/ Ē /\ A \/ Ā /\ E

Практическая часть.

Задание 1. Для каждой из функциональных схем выписать соответствующую структурную формулу.

2) Для КНФ и ДНФ из лабораторной работы 5 построить функциональные схемы.

Составьте логическую схему к выражению f a. Алгоритм построения логических схем. Методы организации учебной деятельности

Знания из области математической логики можно использовать для конструирования электронных устройств. Нам известно, что 0 и 1 в логике не просто цифры, а обозначение состояний какого-то предмета нашего мира, условно называемых «ложь» и «истина». Таким предметом, имеющим два фиксированных состояния, может быть электрический ток. Устройства, фиксирующие два устойчивых состояния, называются бистабильными (например, выключатель, реле). Если вы помните, первые вычислительные машины были релейными. Позднее были созданы новые устройства управления электричеством — электронные схемы, состоящие из набора полупроводниковых элементов. Такие электронные схемы, которые преобразовывают сигналы только двух фиксированных напряжений электрического тока (бистабильные), стали называть логическими элементами .

На элементарном уровне конъюнкцию можно представить себе в виде последовательно соединенных выключателей, а дизъюнкцию — в виде параллельно соединенных выключателей:

Логические элементы имеют один или несколько входов и один выход, через которые проходят электрические сигналы, обозначаемые условно 0, если «отсутствует» электрический сигнал, и 1, если «имеется» электрический сигнал. Простейшим логическим элементом является инвертор , выполняющий функцию отрицания. Если на вход поступает сигнал, соответствующий 1, то на выходе будет 0. И наоборот. У этого элемента один вход и один выход. На функциональных схемах он обозначается:

Логический элемент, выполняющий логическое сложение, называется дизъюнктор . Он имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах он обозначается:

Логический элемент, выполняющий логическое умножение, называется конъюнктор. Он имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах он обозначается:

Специальных логических элементов для импликации и эквивалентности нет, т.к. А => В можно заменить на А V В; А В можно заменить на (A & B)V(A & B).

Другие логические элементы построены из этих трех простейших и выполняют более сложные логические преобразования информации. Сигнал, выработанный одним логическим элементом, можно подавать на вход другого элемента, это дает возможность образовывать цепочки из отдельных логических элементов. Например:

Эта схема соответствует сложной логической функции F(A,B)= (А V В).

Попробуйте проследить изменения электрического сигнала в этой схеме. Например, какое значение электрического сигнала (0 или 1) будет на выходе, если на входе: А=1 и В=0.

Такие цепи из логических элементов называются логическими устройствами . Логические устройства же, соединяясь, в свою очередь образуют функциональные схемы (их еще называют структурными или логическими схемами ). По заданной функциональной схеме можно определить логическую формулу, по которой эта схема работает, и наоборот.

Пример 1. Логическая схема для функции будет выглядеть следующим образом:

Правила составления электронных логических схем по заданным таблицам истинности остаются такими же, как для контактных схем.

Пример 2. Составить логическую схему для тайного голосования трех персон A, B, C, условия которого определяются следующей таблицей истинности:

Решение

По таблице построим СДНФ логической функции и упростим ее:

Правильность полученной формулы можно проверить, составив для нее таблицу истинности:

Значение полученной функции совпадает с исходным, что можно заметить, сравнивая таблицы.

Логическая схема полученной функции имеет вид:

Рассмотрим еще два логических элемента, которые играют роль базовых при создании более сложных элементов и схем.

Логический элемент И-НЕ состоит из конъюнктора и инвертора:

Логический элемент ИЛИ-НЕ состоит из дизъюнктора и инвертора:

Выходная функция выражается формулой .

Вопросы для самоконтроля

1. Основные логические операции: конъюнкция, дизъюнкия (оба вида), отрицание, импликация, эквивалентность. Примеры логических выражений.

2. Таблица истинности. Примеры. A and not A; A or not A

3. Основные законы математической логики: перестановочное, сочетательное и распределительное

4. Законы де Моргана (закон отрицания).

5. (Совершенная) дизъюнктивная нормальная форма. Пример

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для построения таблицы истинности для логического выражения .
Таблица истинности – таблица содержащая все возможные комбинации входных переменных и соответствующее им значения на выходе.
Таблица истинности содержит 2 n строк, где n – число входных переменных, и n+m – столбцы, где m – выходные переменные.

Инструкция . При вводе с клавиатуры используйте следующие обозначения: Например, логическое выражение abc+ab~c+a~bc необходимо ввести так: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Для ввода данных в виде логической схемы используйте этот сервис .y) .

Максимальное количество переменных равно 10 .

Проектирование и анализ логических схем ЭВМ ведётся с помощью специального раздела математики — алгебры логики. В алгебре логики можно выделить три основные логические функции: «НЕ» (отрицание), «И» (конъюнкция), «ИЛИ» (дизъюнкция).
Для создания любого логического устройства необходимо определить зависимость каждой из выходных переменных от действующих входных переменных такая зависимость называется переключательной функцией или функцией алгебры логики.
Функция алгебры логики называется полностью определённой если заданы все 2 n её значения, где n – число выходных переменных.
Если определены не все значения, функция называется частично определённой.
Устройство называется логическим, если его состояние описывается с помощью функции алгебры логики.
Для представления функции алгебры логики используется следующие способы:

• словесное описание – это форма, которая используется на начальном этапе проектирования имеет условное представление.
• описание функции алгебры логики в виде таблицы истинности.
• описание функции алгебры логики в виде алгебраического выражения: используется две алгебраические формы ФАЛ:
  а) ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма – это логическая сумма элементарных логических произведений. ДНФ получается из таблицы истинности по следующему алгоритму или правилу:
  1) в таблице выбираются те строки переменных для которых функция на выходе =1 .
  2) для каждой строки переменных записывается логическое произведение; причём переменные =0 записываются с инверсией.
  3) полученное произведение логически суммируется.
  Fднф= X 1 *Х 2 *Х 3 ∨ Х 1 x 2 Х 3 ∨ Х 1 Х 2 x 3 ∨ Х 1 Х 2 Х 3
  ДНФ называется совершенной, если все переменные имеют одинаковый ранг или порядок, т.е. в каждое произведение обязательно должны включаться все переменные в прямом или инверсном виде.
  б) КНФ – конъюнктивная нормальна форма – это логическое произведение элементарных логических сумм.
  КНФ может быть получена из таблицы истинности по следующему алгоритму:
  1) выбираем наборы переменных для которых функция на выходе =0
  2) для каждого набора переменных записываем элементарную логическую сумму, причём переменные =1 записываются с инверсией.
  3) логически перемножаются полученные суммы.
  Fскнф=(X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3)
  КНФ называется совершенной , если все переменные имеют одинаковый ранг.

По алгебраической форме можно построить схему логического устройства , используя логические элементы.

Рисунок1- Схема логического устройства

Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможны х логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении. Если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2 N строк, так как существует 2 N различных комбинаций возможных значений аргументов.

Операция НЕ — логическое отрицание (инверсия)

Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:

• если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
• если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

Для операции отрицания НЕ приняты следующие условные обозначения:
не А, Ā, not A, ¬А, !A
Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:
Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.

Операция ИЛИ — логическое сложение (дизъюнкция, объединение)

Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами. Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.
Применяемые обозначения: А или В, А V В, A or B, A||B.
Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:
Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В — ложны.

Операция И — логическое умножение (конъюнкция)

Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.
Применяемые обозначения: А и В, А Λ В, A & B, A and B.
Результат операции И определяется следующей таблицей истинности:

A	B	А и B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.

Операция «ЕСЛИ-ТО» — логическое следование (импликация)

Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием из этого условия.
Применяемые обозначения:
если А, то В; А влечет В; if A then В; А→ В.
Таблица истинности:

A	B	А → B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)

Применяемое обозначение: А ↔ В, А ~ В.
Таблица истинности:

A	B	А↔B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Операция «Сложение по модулю 2» (XOR, исключающее или, строгая дизъюнкция)

Применяемое обозначение: А XOR В, А ⊕ В.
Таблица истинности:

A	B	А⊕B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.

Приоритет логических операций

• Действия в скобках
• Инверсия
• Конъюнкция (&)
• Дизъюнкция (V), Исключающее ИЛИ (XOR), сумма по модулю 2
• Импликация (→)
• Эквивалентность (↔)

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы (СДНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций, обладающая свойствами:

1. Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F(x 1 ,x 2 ,…x n).
2. Все логические слагаемые формулы различны.
3. Ни одно логическое слагаемое не содержит переменную и её отрицание.
4. Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.

СДНФ можно получить или с помощью таблиц истинности или с помощью равносильных преобразований.
Для каждой функции СДНФ и СКНФ определены единственным образом с точностью до перестановки.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма

Совершенная конъюнктивная нормальная форма формулы (СКНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций, удовлетворяющая свойствам:

1. Все элементарные дизъюнкции содержат все переменные, входящие в функцию F(x 1 ,x 2 ,…x n).
2. Все элементарные дизъюнкции различны.
3. Каждая элементарная дизъюнкция содержит переменную один раз.
4. Ни одна элементарная дизъюнкция не содержит переменную и её отрицание.

При построении отдельных узлов компьютера довольно часто необходимо решить проблему построения функциональных логических схем по заданным функциям. Для этого достаточно условиться, что истинное высказывание соответствует тому, что цепь проводит ток, а ложное – цепь разорвана.

Логические операции конъюнкции, дизъюнкции, инверсии реализуются в ЭВМ с помощью следующих элементарных схем.

Конъюнкция – логический элемент «и»:

Этот элемент выполняет операцию логического умножения (конъюнкция): f = x 1 Ù x 2 Ùx 3 Ù…Ùx n ; и имеет n входов и один выход.

Дизъюнкция – логический элемент «или»:

Этот элемент выполняет операцию логического сложения (дизъюнкция): f = x 1 Ú x 2 Úx 3 Ú…Úx n ; и имеет n входов и один выход.

Инверсия – логический элемент «не»:

Этот элемент выполняет операцию логического отрицания (инверсии): f = ; и имеет один вход и один выход.

Сложные функциональные схемы можно конструировать из основных логических элементов, используя основные законы булевой алгебры

Пример выполнения контрольного задания

Задание:

Дана функция,

1. Составить функциональную логическую схему по данной функции.

2. Упростить логическую функцию (используя законы булевой алгебры) и выполнить проверку преобразования таблицей истинности.

3. Составить функциональную логическую схему по упрощенной функции.

Выполнение:

1. Составим таблицу истинности для заданной функции:

2. Составим функциональную логическую схему по заданной функции:

3. Упростим заданную функцию, используя законы булевой алгебры:

а) по закону де Моргана – 9

б) по закону идемпотентности — 13

в) закон отрицание отрицания – 1

г) закон дистрибутивности – 6

д) свойства 1 и 0 – 19

е) свойства 1 и 0 – 16

Таким образом, упрощенная функция имеет вид:

4. Составим таблицу истинности для упрощенной функции:

Таким образом, сравнивая таблицы истинности для исходной и упрощенной функций (их последние столбцы) делаем вывод о правильности проведенных преобразований.

5. Составим функциональную логическую схему по упрощенной функции:

Задание для выполнения контрольной работы

Дана функция f(x,y), номер функции в таблице соответствует порядковому номеру студента по списку.

4. Составить функциональную логическую схему по данной функции.

5. Упростить логическую функцию (используя законы булевой алгебры) и выполнить проверку преобразования таблицей истинности.

Пример решение логических задач средствами алгебры логики

Логические схемы

Логическая схема – это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых снимается электрический сигнал.

Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и разомкнутое . Переключателю Х поставим в соответствие логическую переменную х, которая принимает значение 1 в том и только в том случае, когда переключатель Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель разомкнут, то х равен нулю.

Две схемы называются равносильными , если через одну из них проходит ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую (при одном и том же входном сигнале).

Из двух равносильных схем более простой считается та схема, функция проводимости которой содержит меньшее число логических операций или переключателей.

При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи: синтез и анализ схемы.

СИНТЕЗ СХЕМЫ по заданным условиям ее работы сводится к следующим трём этапам:

1. составлению функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти условия;
2. упрощению этой функции;
3. построению соответствующей схемы.

АНАЛИЗ СХЕМЫ сводится к:

1. определению значений её функции проводимости при всех возможных наборах входящих в эту функцию переменных.
2. получению упрощённой формулы.

Задача : Составить таблицу истинности для данной формулы: (x ~ z) | ((x y) ~ (y z)).

Решение : В таблицу истинности данной формулы полезно включить таблицы истинности промежуточных функций:

xyz	x ~ z	x y	y z	(x y) ~ (y z)	(x~ z)|((x y) ~ (yz)

Методические указания для выполнения практического задания №2. «Алгебра логики». Построение таблиц истинности.

Цель работы : Ознакомиться с основными арифметическими операциями, базовыми логическими элементами (И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ, исключающее ИЛИ) и изучить методы построения на их основе таблиц истинности.

Задание:

1. В приложении 2 выбрать вариант задания и составить таблицу истинности .

2. Выполнить задание, используя пример решение логических задач средствами алгебры логики.

Задача :

Построить логическую схему по заданному булевому выражению:

F =`BA + B`A + C`B.

Решение:

Как правило, построение и расчет любой схемы осуществляется начиная с ее выхода.

Первый этап : выполняется логическое сложение, логическую операцию ИЛИ, считая входными переменными функции`B A, B`A и C`B:

Второй этап : к входам элемента ИЛИ подключаются логические элементы И, входными переменными которых являются уже A, B, C и их инверсии:

Третий этап : для получения инверсий`A и`B на соответствующих входах ставят инверторы:

Данное построение основано на следующей особенности, – поскольку значениями логических функций могут быть только нули и единицы, то любые логические функции могут быть представлены как аргументы других более сложных функций. Таким образом, построение логической схемы осуществляется с выхода ко входу.

Методические указания для выполнения практического задания №3. «Алгебра логики». Построение логических схем

Цель работы : Ознакомиться с основными арифметическими операциями, базовыми логическими элементами (И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ, исключающее ИЛИ) и изучить методы построения на их основе простейших логических схем.

Задание:

1. В приложении 2 выбрать вариант задания и построить логическую схему .

2. Выполнить задание, используя пример построения логических схем.

3. Оформить работу в тетради для практических работ.

4. Результат работы предъявить преподавателю.

5. Защитить выполненную работу у преподавателя.

Приложение 2. Таблица вариантов заданий

Составить таблицу истинности и логическую схему для данных операций
Вариант	Операции

4. Индивидуальное задание. Модуль 1. «Построение логических схем по заданным булевым выражениям»

Задания к ИДЗ:

1. В приложении 3 выбрать вариант индивидуального задания.
2. Выполнить задание, пользуясь теоретическими сведениями
3. Проверить логическую схему у тьютора.
4. Оформить ИДЗ в формате А4, титульный лист по образцу Приложение 4.
5. Результат работы предъявить преподавателю.
6. Защитить выполненную работу у преподавателя.

Приложение 3. Таблица вариантов индивидуального задания

Варианты	Составить таблицу истинности и логическую схему по формулам

Приложение 4. Титульный лист ИДЗ

Познакомимся с ними поочередно.

Построение логической схемы по заданной логической функции.

Задача:

Дана логическая функция:

Составить логическую схему для неё.

Решение:

Расставим порядок выполнения логических операций, руководствуясь правилами:

1. отрицание
2. умножение
3. сложение

Не забываем про приоритет скобок.
Получаем:

Строим схему по указанному порядку.

Запись логической функции по заданной логической схеме.

Задача:

Дана логическая схема:

Составить логическую функцию по ней.

Решение:

Рассматриваем схему с конца и записываем соответствующие логические операции, учитывая, что в записываемой функции три операнда А, В, С

Можно сначала подписать на схеме промежуточные функции, получаемые на выходе каждого блока, а потом сцепить их логическими операциями.

Определение сигнала на выходе логической схемы по заданным значениям сигналов на всех входах этой схемы.

Задача:

Дана логическая схема и значения сигналов на всех входах:

Определить значение функции F на выходе схемы.

Решение:

Пользуясь таблицами истинности для соответствующих логических элементов схемы, расставляем значения сигналов на выходах и соответственно на входах каждого логического элемента пока не доберёмся до конца схемы. Получаем:

Ответ:

Значение функции F на выходе схемы = 1.

Построение таблицы истинности для заданной логической схемы.

Задача:

Дана логическая схема:

Построить для неё таблицу истинности.

Решение:

Проверяем количество входов на схеме. Количество комбинаций сигналов на 2 входах равно 4, для 3 входов равно 8, для 4 входов равно 16 и т. д. Составляем таблицу истинности, в которой первые столбцы — это входы схемы, обозначенные буквами, следущие столбцы — функции, полученные на выходах каждого элемента схемы, а строки — отражают разные комбинации сигналов на входах. Количество строк совпадает с количеством комбинаций сигналов. Пользуясь таблицами истинности для соответствующих логических элементов схемы, расставляем значения сигналов на выходах каждого логического элемента, т. е. по каждому столбцу пока не доберёмся до конца схемы. Получаем:

Ответ:

Логические схемы и логические выражения

Составить логические схемы для следующих логических выражений:

Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению F=А&Вv (ВvА).

Вычислить значения выражения для А=1,В=0.

Постройте логические схемы по формулам:

F=(AvB)&(СvB)

F=(A&B&C)

Найдите значение выходного сигнала в схемах, полученных в задании 1, если:

A=1, В=0, С=1

Просмотр содержимого документа
«Логические схемы и логические выражения»

Логические схемы и логические выражения

Конъюнкция

и

Дизъюнкция

или

Отрицание

не

Составить логические схемы для следующих логических выражений:

F=A v B & A

F=(A v B )& (Av не В)

F=(не A v не B )& (не Сv не В)

F= не (A v B & не С)

F=A v не B & не A & не С

Составить логические схемы для следующих логических выражений:

F=Х1 & не Х2 v (Х3 v не Х4)

F=не Х1 & не Х2 & не Х3 & не Х4

F=Х1 & не Х2 v не Х3 v не Х2

F=Х1 & Х2 v не (Х1 v Х2)

F=(Х1 & Х2) & (Х1 v Х2)

Составить логические схемы для следующих логических выражений:

F=не (A v С )& не (Сv не В)

F=не A & С & не С& не В

F=D & С v не D v С

F=A v B v не А v не В

F=не (A v не А& не В)

Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению F=А&Вv (ВvА).

Вычислить значения выражения для А=1,В=0.

Построить логическую схему.

 

Не (А и (В или С) и Д)

Постройте логические схемы, соответствующие логическим выражениям и найдите значения логических выражений:

F=AvB& C, если А=1, В=1, С=1.

F= ¬(AvB&C), если А=0, В=1, С=1.

Постройте логические схемы по формулам:

F=(AvB)&(СvB)

F=(A&B&C)

Найдите значение выходного сигнала в схемах, полученных в задании 1, если:

A=1, В=0, С=1

Выполнить вычисления по логической схеме.

Записать логическое выражение по данной логической схеме

F

и

и

D

и

C

л

и

M

Записать логическое выражение по данной логической схеме

R

и

D

не

и

и

K

Записать логическое выражение по данной логической схеме

не

и

R

не

и

H

P

Записать логическое выражение по данной логической схеме

или

А

и

не

В

не

С

Записать логическое выражение по данной логической схеме

и

л

и

А

И

Л

и

не

В

и

л

и

С

не

D

Записать логическое выражение по данной логической схеме

и

или

F

не

K

И

Л

и

не

L

Записать логическое выражение по данной логической схеме

Записать логическое выражение по данной логической схеме

А

и

или

В

не

или

С

или

L

не

или

не

не

[PDF] Логические элементы персонального компьютера

Download Логические элементы персонального компьютера…

Г. Заинск, сош№7, Семенова Зинаида Сергеевна

УРОК №3 Раздел. Основы логики и логические основы компьютера : 6ч. ТЕМА: Логические основы компьютера (2 часа) ЦЕЛИ:

 Способствовать формированию навыков формально- логического мышления, умению рассуждать и делать выводы.  Способствовать пониманию, как и из каких элементов конструируется персональный компьютер.  Создать условия формирования знаний и навыков в составлении по логическому выражению логических схем и таблиц прохождения сигнала.  Способствовать формированию информационной культуры и потребности в приобретении знаний.  Способствовать привитию навыков самостоятельности в работе. ЗАДАЧИ УРОКА: Образовательная Ознакомить учащихся с базовыми схемами: логическими элементами: «И», «ИЛИ», «НЕ». Ознакомить с приемами прохождения сигналов через логические элементы. Развивающая Развивать умение и навыки составление схем по логическому выражению и, наоборот, по схеме составить логическое выражение. Воспитательная Воспитание интереса к предмету информатика, стремление самому понять и разобраться в схеме. План урока 1. Организационный момент – 3 мин 2. Объяснение темы « Основные логические элементы», используя, презентацию «Логические элементы» – 15 мин. a. Объяснить и схему логического элемента «И» и показать таблицу прохождения сигналов b. Объяснить схему логического элемента «ИЛИ» и показать таблицу прохождения сигналов c. Объяснить и показать схему логического элемента «НЕ» и показать таблицу прохождения сигналов. d. Объяснить схему логического элемента «Импликации» и показать таблицу прохождения сигналов. 3. Работа с программой в среде VB «Логика. Элементы логики» 10мин 4. Задания. Составить таблицы прохождения сигналов по схемам. – 17 мин. 1

Г. Заинск, сош№7, Семенова Зинаида Сергеевна

5. Задание. Построение логических схем по логическому выражению. Примеры. – 13мин 6. Самостоятельная работа – 20 мин 7. Выдача дом задания — 2

Материальная база 1. Программа, выполненная в среде Power Point. «Логические элементы». 2. Программа, выполненная в среде Visual Basic, «Логика. Элементы логики». 3. Самостоятельная работа Литература:

 

В. Галеев «Информатика XXI» Н. Угринович «Информатика и информационные технологии» , I , и II часть.  Газета «Информатика» №18, 1997 год  Журнал «Инфо» №2, 1998 г.  Журнал «Инфо» №4, 2002 г. Домашнее задание: По логическому выражению :F= (A v B)& не С. Составить логическую схему и таблицу прохождения сигналов.

Ход урока 1. Организационный момент У ч и т е л ь : Запишите тему урока «Логические основы компьютера». Вспомним правила алгебры логики, приведем примеры сложного логического высказывания. Вопрос : 1. Формула логического умножения? 2. Формула логического сложения? 3. Формула логического отрицания? Алгебра логике нашла применение в алгебре релейных схем. Современные компьютеры не обходятся без логических элементов. 2. Объяснение новой темы У ч и т е л ь : : Базовые логические элементы реализуют три основные логические операции:  Логический элемент «И» 2

Г. Заинск, сош№7, Семенова Зинаида Сергеевна

 Логический элемент «ИЛИ»  Логический элемент «НЕ» Поскольку любая логическая ситуация может быть представлена в виде комбинации трех простых базовых элементах, любое устройство компьютера производящее обработку или хранение информации может быть собрано из трех базовых элементов. Логические элементы оперируют с сигналами, импульсами. Есть импульс логический смысл сигнала — 1, нет импульса – 0. На входы поступают сигналы – значения аргументов, на выходе появляется сигнал – значение функции. Преобразование сигнала задается таблицей истинности, соответствующей функции Запишем в тетрадь Логический элемент «И» A

& F

B Рисунок 1

A 0 1 0 1

B F=A&B 0 0 0 0 1 0 1 1

Логического элемента имеет два входа и один выход. На выходе сигнал получается согласно таблицы истинности. &-знак амперсанд. У ч и т е л ь : Запишем в тетрадь. Логический элемент «ИЛИ»

A

1 F

B

Рисунок 2

A 0 1 0 1

B F=A&B 0 0 0 1 1 1 1 1 3

Г. Заинск, сош№7, Семенова Зинаида Сергеевна

На входы А и В логического элемента подаются два сигнала (00, 10,01,11). На выходе получается сигнал 0 или 1, в соответствии с таблицей истинности. У ч и т е л ь : Запишем в тетрадь. Логический элемент «НЕ». ( инвертор) 1 А

F

Рисунок 3

A F=notA 0 1 1 0 Элемент имеет один вход и один выход. На выходе сигнал 0 или 1 в соответствии с таблицей истинности. 3. Работа с программой в среде VB «Логика. Элементы логики» — 10мин У ч и т е л ь : Запустим программное приложение, расположенное на рабочем столе «Логические элементы». Вы должны сделать конспект: зарисовать схемы и таблицы истинности базовых элементов. 4. Задание. Составить таблицу прохождения сигналов по заданной логической схеме. 5. У ч и т е л ь : Задание 1. По данной логической схеме составим составное выражение и таблицу прохождения сигналов. Схема логического элемента импликация.

вх1

1

1

вых

вх2 4

Г. Заинск, сош№7, Семенова Зинаида Сергеевна Рисунок 4

Запишем значения на выходах элементов: 1. неА 2. неА v B Получим выражение логической функции: F= неА v B. Таблица истинности содержит: 1. Количество столбцов равно сумме переменных плюс количеству логических знаков. 2. количество строк равно: 22 =4 № 1 2 3 4

А 0 1 0 1

В неА неА v B 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1

Задание 2: Составить логическое выражение и таблицу прохождения сигналов по рисунку 5 A

A&B

& 1

B

Не(A&B)

&

F=(AvB)& не(A&B)

1

AvB

Рисунок 5

ОТВЕТ: Логическое выражение F=(AvB)& не(A&B) и таблица истинности A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

AvB 0 1 1 1

A&B 0 0 0 1

Не(A&B) 1 1 1 0

F 0 1 1 0

5. Задание. Построение логических схем по логическому выражению. Задание 3: Построить логическую схему по логическому выражению: F = (неA & неB)&(CvD) 5

Г. Заинск, сош№7, Семенова Зинаида Сергеевна Решение: рис.6

А

неА

1

В

&

(неА & неВ)

неВ

1

& С D

F

(C v D)

1

Рисунок 6

Задание 5: Построить логическую схему по логическому выражению: F= D &(A & B &C v неB &не C) Ответ: рис 8 A B C

&

3

3 1 1

1

&

1

5 4

&

2

6 F

D Рисунок 7

Решение: Запишем значения на промежуточных выходах: 1.not B 2.not C 3. A &B 4.not B & not C 5.A&B&C v not B& not C 6. D &(A & B &C v неB &не C) 6. Выдача дом задания Составить релейную схему и таблицу прохождения сигналов, для выражения F=A&(BvC)

6

Г. Заинск, сош№7, Семенова Зинаида Сергеевна

7. Самостоятельная работа 1. По релейной схеме составить логическое выражение A B

1 &

F

C 5.Задание 4: F=A & B v неA &C Решение: рис 7 & B

A неX1

A

F1

1 неХ1

C

A&B

&

не A&C

Рисунок 8

7

примеров упрощения схем | Булева алгебра

Начнем с полупроводниковой схемы затвора, нуждающейся в упрощении.

Предполагается, что входные сигналы «A», «B» и «C» поступают от переключателей, датчиков или, возможно, других схем затвора.

Не имеет значения, откуда берутся эти сигналы в задаче уменьшения стробирования.

Как написать логическое выражение для упрощения схем

Нашим первым шагом в упрощении должно быть написание логического выражения для этой схемы.

Эта задача легко выполняется шаг за шагом, если мы начнем с написания подвыражений на выходе каждого элемента, соответствующих соответствующим входным сигналам для каждого элемента.

Помните, что вентили ИЛИ эквивалентны логическому сложению, а вентили И эквивалентны логическому умножению.

Например, я напишу подвыражения на выходах первых трех ворот:

. . . затем еще одно подвыражение для следующих ворот:

Наконец, результат («Q») равен выражению AB + BC (B + C):

Теперь, когда у нас есть логическое выражение, с которым можно работать, нам нужно применить правила булевой алгебры, чтобы привести выражение к его простейшей форме (простейшая определяется как требующая реализации наименьшего числа вентилей):

Последнее выражение, B (A + C), намного проще исходного, но выполняет ту же функцию.

Если вы хотите проверить это, вы можете создать таблицу истинности для обоих выражений и определить статус Q (выход схемы) для всех восьми комбинаций логических состояний A, B и C для обеих схем. Две таблицы истинности должны быть идентичными.

Создание схематических диаграмм из логических выражений

Теперь мы должны сгенерировать схематическую диаграмму из этого логического выражения.

Для этого оцените выражение, следуя правильному математическому порядку операций (умножение перед сложением, операции в скобках перед чем-либо еще), и нарисуйте ворота для каждого шага.

Еще раз вспомните, что вентили ИЛИ эквивалентны логическому сложению, а вентили И эквивалентны логическому умножению.

В этом случае мы бы начали с подвыражения «A + C», которое является логическим элементом ИЛИ:

Следующим шагом в оценке выражения «B (A + C)» является умножение (логический элемент И) сигнала B на выходной сигнал предыдущего элемента (A + C):

Очевидно, что эта схема намного проще оригинальной, имея только два логических элемента вместо пяти.

Такое сокращение компонентов приводит к более высокой скорости работы (меньшее время задержки от перехода входного сигнала к переходу выходного сигнала), меньшему потреблению энергии, меньшим затратам и большей надежности.

Как использовать логическое упрощение для схем электромеханических реле

Электромеханические релейные схемы, обычно более медленные, потребляющие больше электроэнергии для работы, более дорогие и имеющие более короткий средний срок службы, чем их полупроводниковые аналоги, значительно выигрывают от логического упрощения.Рассмотрим пример схемы:

Как и раньше, нашим первым шагом в приведении этой схемы к ее простейшей форме должно быть создание логического выражения из схемы.

Самый простой способ, который я нашел, — это выполнить те же шаги, которые я обычно выполняю, чтобы уменьшить последовательно-параллельную резисторную сеть до одного полного сопротивления.

Например, рассмотрите следующую схему резисторов с резисторами, расположенными в той же схеме подключения, что и контакты реле в предыдущей цепи, и соответствующей формулой общего сопротивления:

На приведенном выше рисунке длинный штрих (-) используется для обозначения последовательного соединения резисторов.

Помните, что параллельные контакты эквивалентны логическому сложению, а последовательные контакты эквивалентны логическому умножению.

Напишите логическое выражение для этой контактной цепи реле в том же порядке приоритета, что и при уменьшении последовательно-параллельной цепи резисторов до полного сопротивления.

Может оказаться полезным написать логическое подвыражение слева от каждой «ступеньки» лестницы, чтобы упорядочить написание выражений:

Теперь, когда у нас есть логическое выражение, с которым можно работать, нам нужно применить правила булевой алгебры, чтобы привести выражение к его простейшей форме (простейшая определяется как требующая реализации наименьшего числа релейных контактов):

Более склонные к математике должны быть в состоянии увидеть, что два шага, использующих правило «A + AB = A», могут быть объединены в один шаг, причем правило может быть расширено до: «A + AB + AC + AD +.. . = A ”

Как видите, сокращенная схема намного проще исходной, но выполняет ту же логическую функцию:

ОБЗОР:

• Чтобы преобразовать схему затвора в логическое выражение, пометьте каждый выход затвора логическим подвыражением, соответствующим входным сигналам затвора, до тех пор, пока на последнем затворе не будет достигнуто окончательное выражение.
• Чтобы преобразовать логическое выражение в схему затвора, оцените выражение, используя стандартный порядок операций: умножение перед сложением и операции в круглых скобках перед любыми другими.
• Чтобы преобразовать схему релейной логики в логическое выражение, пометьте каждую ступень логическим подвыражением, соответствующим входным сигналам контактов, до тех пор, пока не будет достигнуто окончательное выражение на последней катушке или индикаторе. Чтобы определить правильный порядок оценки, относитесь к контактам так, как если бы они были резисторами, и как если бы вы определяли общее сопротивление последовательно-параллельной цепи, образованной ими. Другими словами, сначала ищите контакты, которые либо непосредственно, последовательно, либо непосредственно параллельно друг другу, затем «свертывают» их в эквивалентные логические подвыражения, прежде чем переходить к другим контактам.
• Чтобы преобразовать логическое выражение в схему релейной логики, оцените выражение, используя стандартный порядок операций: умножение перед сложением и операции в круглых скобках перед любыми другими.

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

Создание выражений

Создание выражений

Для каждой выходной переменной окно Комбинационного анализа поддерживает две структуры — соответствующий столбец таблицы истинности, и логическое выражение, определяющее, как каждый вывод соотносится с его Вход.Вы можете редактировать либо таблицу истинности, либо выражение; другой будет автоматически меняться по мере необходимости, чтобы поддерживать их согласованность.

Как мы увидим на следующей странице, логические выражения особенно полезно, потому что окно Комбинационного анализа используйте их, когда говорят, чтобы построить цепь, соответствующую текущему штат.

Вы можете просматривать и редактировать выражения, используя последние два окна. вкладки, вкладка Expression и вкладка Minimized.

Вкладка Expression

Вкладка Expression позволяет просматривать и редактировать текущие выражение, связанное с каждой выходной переменной.Вы можете выбрать выходное выражение, которое вы хотите просмотреть и отредактировать, используя селектор с меткой «Вывод:» вверху панели.

Чуть ниже селектора появится выражение, отформатированное в особенно распространенное обозначение, где ИЛИ представлено как сложение, И представлено как умножение, а НЕ обозначается чертой над частью, затронутой НЕ.

Текстовая панель ниже отображает ту же информацию в форме ASCII. Здесь НЕ обозначается тильдой (‘~’).

Вы можете отредактировать выражение в текстовой области и нажать Enter. кнопка, чтобы он вступил в силу; это также обновит правду таблица, чтобы он соответствовал. Кнопка Очистить очищает текстовую панель, и кнопка «Вернуть» возвращает панель к отображению текущее выражение.

Обратите внимание, что отредактированное выражение будет потеряно, если вы отредактируете таблицу истинности.

Помимо умножения и сложения, обозначающих И и ИЛИ, выражение набираемый вами текст может содержать любые логические операторы C / Java, а также просто сами слова. XOR наименьший приоритет + | || ИЛИ Следующие ниже примеры являются действительными представлениями одного и того же выражения. Ты мог бы также смешайте операторов.

~ a (b + c)

! A && (b || c)

НЕ a AND (b OR c)

Как правило, скобки в последовательности операторов И (или ИЛИ, или XOR) не имеют значения. (В частности, когда Logisim создает соответствующей цепи, такие скобки игнорируются.)

Вкладка Minimized

Последняя вкладка отображает свернутое выражение суммы произведений. соответствующий столбцу таблицы истинности. Вы можете выбрать, какой свернутое выражение вывода, которое вы хотите просмотреть с помощью селектора вверху.

Если имеется четыре или меньше входов, соответствующая карта Карно к переменной появится под селектором. Вы можете нажать на Карта Карно для изменения соответствующих значений таблицы истинности. В Карта Карно также отобразит выбранные в настоящее время термины для свернутое выражение в виде сплошных полупрозрачных прямоугольников с закругленными углами.

Ниже приведено собственно минимизированное выражение, отформатированное как в Отображение вкладки Expression. Если имеется более четырех входов, карта Карно не появится; но минимизированное выражение будет еще будет вычислен. (Logisim использует алгоритм Куайна-Маккласки для вычислить минимизированное выражение. Это эквивалентно карте Карно, но это применимо к любому количеству входных переменных.)

Кнопка «Установить как выражение» позволяет выбрать минимизированный выражение как выражение, соответствующее переменной.Это будет как правило, в этом нет необходимости, поскольку редактирование таблицы истинности приводит к использованию свернутое выражение для измененного столбца; но если вы введете выражение через вкладку «Выражение», это может быть удобным способом для перехода к соответствующему свернутому выражению.

Далее: Создание цепи.

Логические ворота

В реальном мире цифровые устройства не являются абстрактными логическими выражениями булевой алгебры, а являются аппаратными реализациями этих выражений.Логические выражения транслируются в структуры устройства, называемые логическими вентилями . Логический вентиль является как символическим представлением логической операции, так и при использовании в цифровой электронике может быть реальной схемой в оборудовании. Один логический вентиль обычно состоит из нескольких транзисторов, разделенных пространством со многими другими в интегральной схеме.

Каждый из основных операторов, о которых мы узнали в разделе выражений, имеет символ ворот. Символ заменяет оператор, а переменные являются входными данными для логического элемента.Результирующее значение из уравнения выражения является выходом ворот. Выход элемента может быть конечным результатом или может быть подключен как вход к еще одному элементу.

Символы вентилей

Логические вентили — это символы, которые могут напрямую заменять выражение в логической арифметике. Каждый из них имеет разную форму, чтобы показать свою особую функцию. Входные данные (логические переменные) вводятся слева от символа, а выходные данные — справа. При объединении нескольких ворот можно получить сложную логическую систему оценки, имеющую множество входов и выходов.Цифровые компьютеры созданы путем соединения тысяч или миллионов этих ворот вместе.

Элемент НЕ

Элемент НЕ представляет собой стрелку вперед с маленьким кружком на выходе. Круглая часть символа означает, что выход отрицает вход.

Вентиль ИЛИ

Вентиль ИЛИ имеет изогнутую входную сторону и заостренный выход.

Логический элемент И

Логический элемент И имеет плоскую входную сторону и круглую выходную сторону.

Логический элемент исключающее ИЛИ (XOR)

Символ логического элемента исключающее ИЛИ аналогичен логическому элементу ИЛИ, но имеет дополнительную изогнутую линию, пересекающую входы.

Комбинированная логика

Когда вы соединяете несколько вентилей вместе, вы получаете комбинированную логическую систему или комбинаторную логику . Чтобы разработать комбинированную логическую систему, мы можем использовать таблицы истинности для сопоставления логических выходов для различных входных условий. Логические выражения записываются из условий в таблице.Затем мы можем напрямую преобразовать выражение в схему логических вентилей.

Возможно, вы помните, что еще в логических элементах мы видели, что в коде для XOR не было оператора. Он был составлен с помощью комбинации операторов AND, OR и NOT:

  пусть A = false
пусть B = false
пусть Q = (A || B) &&! (A && B)  

Давайте сопоставим входные и выходные условия в таблице истинности для комбинированной логической системы для XOR. Мы найдем все условия, которые вызывают истинный результат , и создадим для них логическое выражение.

А	B	A ⊕ B
Ф	F	F
Ф	т	т
т	F	т
т	т	F

Есть два условия, при которых столбец результата имеет истинных значений.Первое условие: A — это false , а B — true , что выражается как ~ A · B . Второе условие — это когда A является истинным и B является ложным , что выражается как A · ~ B . Наше выражение XOR — true , когда одно из этих условий true , которое записывается как:

A ⊕ B = (~ A · B) + (A · ~ B)

В коде это выражение формируется с помощью следующих логических блоков:

  пусть A = false
пусть B = false
пусть Q = (! A && B) || (A &&! B)  

Покрытие уравнения до логических вентилей дает следующую диаграмму.Обратите внимание, как каждый вентиль «связывает» переменные вместе, как и логические блоки в приведенном выше коде.

Однако, если мы возьмем два других неиспользуемых условия из таблицы истинности, которые делают операцию XOR ложной , мы можем составить отрицательное уравнение для XOR, называемое NXOR:

~ (A ⊕ B) = (~ A · ~ B) + (A · B)

Чтобы вернуться к A ⊕ B , мы должны отрицать это отрицательное уравнение. Затем, с помощью Thereom Де Моргана, мы получаем другое уравнение для XOR, но оно все еще логически эквивалентно исходному.

A ⊕ B = (A + B) · ~ (A · B)

Когда это уравнение преобразуется в логические вентили, их на один вентиль меньше, чем на первой диаграмме.

Эта диаграмма менее сложна, чем первая. Уменьшение количества вентилей для достижения одного и того же логического результата — одна из основных целей проектирования цифровой логики. Для электронных устройств это позволяет большему количеству вентилей использовать ограниченное пространство на интегральной схеме.

Реализация логических функций с использованием логических вентилей

В этом руководстве мы узнаем о реализации логических функций с помощью логических вентилей.В нашем предыдущем руководстве мы узнали о законах булевой алгебры и связанных теоремах. Мы также узнали, что булевы функции могут быть легко представлены в форме SOP (сумма продуктов) и POS (продукт сумм) форме. Чтобы представить эти стандартизированные уравнения логически, мы используем логические вентили.

Любая логическая функция может быть представлена ​​с помощью ряда логических вентилей, правильно их соединяя. Реализация логических вентилей или логическое представление логических функций очень проста и легка.

Реализация булевых функций с использованием логических вентилей включает подключение выхода одного логического элемента к входу другого элемента. Обычно используются логические ворота: И, ИЛИ, ИЛИ и ИЛИ.

Давайте посмотрим на логическую реализацию логических функций SOP и POS.

Краткое введение в логические ворота

Логические вентили

являются основными строительными блоками цифровых электронных схем. Логический вентиль — это часть электронной схемы, которая может использоваться для реализации логических выражений.

В то время как законы и теоремы булевой логики используются для управления булевыми выражениями, логические вентили используются для реализации этих логических выражений в цифровой электронике.

Элемент И, элемент ИЛИ и элемент НЕ — три основных логических элемента, используемых в цифровой электронике. Используя эти базовые логические вентили, выводятся другие логические вентили, такие как И-НЕ, ИЛИ-ИЛИ, Исключающее ИЛИ (Ex-OR) и Исключающее ИЛИ (Ex-NOR).

Прежде чем приступить к реализации логических функций с использованием логических вентилей, давайте кратко рассмотрим некоторые основы важных логических вентилей.

И Ворота

Логический элемент И — это базовый логический элемент с двумя или более входами и одним выходом. Выход логического элемента И ВЫСОКИЙ, только если все входы элемента ВЫСОКИЙ. Выход для всех остальных случаев входов НИЗКИЙ. Логический символ и таблица истинности логического элемента И показаны ниже.

A	В	Y = А И В
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Если «A» и «B» являются двумя входами логического элемента И, выходное выражение записывается как:

Y = А.B или Y = A B

Читается как «Y РАВНО А И Б».

OR Выход

Шлюз ИЛИ используется для выполнения логической операции «ИЛИ». OR Gate также содержит два или более входа и один выход. Выход логического элемента ИЛИ ВЫСОКИЙ, если любой из входов ВЫСОКИЙ. Выход НИЗКИЙ, когда все входы НИЗКИЕ. Логический символ и таблица истинности логического элемента ИЛИ показаны ниже.

A	В	Y = A ИЛИ B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Если «A» и «B» являются двумя входами логического элемента ИЛИ, выходное выражение записывается как:

Y = A + B

Читается как «ДА РАВНО А ИЛИ Б».

НЕ Ворота

Логический элемент НЕ — еще один базовый логический элемент с одним входом и одним выходом. Выходной сигнал NOT Gate всегда является дополнением к входу. Если вход HIGH, выход LOW, а если вход LOW, выход HIGH. Логический символ и таблица истинности логического элемента НЕ показаны ниже.

NOT Gate используется для создания дополнения к переменной в булевой алгебре. Таким образом, это также называется дополняющей или инвертирующей схемой.

Реализация логической функции СОП с использованием логических вентилей

Сумма произведения или форма СОП представлена ​​с помощью основных логических элементов: логического элемента И и элемента ИЛИ.Реализация формы SOP будет иметь логические элементы И на входной стороне, а так как выход функции представляет собой сумму всех членов продукта, на ее выходной стороне будет логический элемент ИЛИ.

Важно помнить, что мы используем вентиль НЕ для представления инверсии или дополнения переменных.

Сумма продуктов (СОП)
Ввод	И
Выход	ИЛИ

Реализация для 2 входных переменных

Давайте разберемся, как мы можем реализовать следующую логическую функцию, используя базовые логические элементы.

F = А Б + А Б

В данной функции SOP у нас есть один дополнительный член, B. Итак, чтобы представить дополнительный вход, мы используем вентили НЕ на стороне входа. А для обозначения термина продукта мы используем логические элементы AND. См. Приведенную ниже логическую схему для представления булевой функции.

Реализация для 3 входных переменных

Давайте теперь посмотрим, как реализовать следующую логическую функцию с помощью основных логических вентилей. Это функция с тремя входными переменными.

F = А Б В + А Б В + А Б В

В данной функции у нас есть два дополнительных члена, A и C. Итак, чтобы представить дополнительный вход, мы используем вентили НЕ на входной стороне. А для обозначения термина продукта мы используем логические элементы AND. См. Приведенную ниже логическую схему для представления булевой функции.

Реализация логической функции POS с использованием логических вентилей

Произведение сумм или форму POS может быть представлено с использованием основных логических элементов, таких как элементы И и ИЛИ.Реализация POS-формы будет иметь логический элемент ИЛИ на входной стороне, а так как выход функции является произведением всех членов суммы, на его выходной стороне будет вентиль И. В реализации POS-формы мы используем вентиль NOT для представления обратных или дополнительных переменных.

Произведение сумм (POS)
Ввод	ИЛИ
Выход	И

Реализация для 2 входных переменных

Давайте теперь посмотрим, как реализовать следующую логическую функцию с помощью основных логических вентилей.

F = (А + В). (А + В)

В данной функции у нас есть дополнительный член B. Итак, чтобы представить дополнительный вход, мы используем вентили НЕ на входной стороне. И чтобы представить сумму, мы используем логические элементы ИЛИ. См. Приведенную ниже логическую схему для представления логической функции.

Реализация для 3 входных переменных

Реализуйте логическую функцию, используя базовые логические элементы.

F = (А + В + С). (А + В + С). (А + В + С)

В данной логической функции есть два дополнительных члена, A и B.Итак, чтобы представить ввод комплимента, мы используем ворота НЕ на стороне ввода. И чтобы представить сумму, мы используем логические элементы ИЛИ. См. Приведенную ниже логическую схему для представления булевой функции.

Реализация булевых функций с использованием универсальных логических вентилей

ворота И-НЕ и ИЛИ-ИЛИ считаются «универсальными логическими воротами». Причина этого в том, что вентиль И-НЕ и вентиль ИЛИ могут выполнять (или могут функционировать как) все 3 основных шлюза, такие как вентиль И, вентиль ИЛИ и вентиль НЕ.Мы можем спроектировать любой базовый логический вентиль, используя вентиль И-НЕ или вентиль ИЛИ. Поэтому их называют «Универсальными вратами».

Давайте посмотрим на реализацию булевых функций с использованием универсальных логических вентилей.

Реализация логических функций с использованием логических элементов NAND

вентиль И-НЕ является логической комбинацией логического элемента И и элемента НЕ, который может функционировать как вентиль И, вентиль ИЛИ и вентиль НЕ. Итак, мы используем вентили NAND для реализации логической функции.

Важно помнить, что вентиль NAND является обратным логическому элементу AND.Это означает, что выход логического элемента И-НЕ равен дополнению выходного сигнала логического элемента И.

Давайте посмотрим на примере, чтобы понять реализацию.

Реализуйте логическую функцию с помощью логического элемента И-НЕ.

F (A, B, C, D, E) = A + (B + C) (D + BE)

В реализации логического элемента NAND мы используем логические элементы NAND как на входе, так и на выходе. Соблюдайте приведенную ниже логическую схему. Пошаговая процедура реализации данной логической функции с использованием логических элементов И-НЕ показана ниже.

Во-первых, данная логическая функция или уравнение должна быть представлена ​​с помощью логических элементов И-ИЛИ. Реализация И-ИЛИ показана ниже.

Чтобы преобразовать логические элементы И в логические элементы И-НЕ, на выходе логического элемента И вводится пузырек (дополнение). Чтобы компенсировать пузырек, вход следующего гейта также вводится пузырем. Реализация показана ниже.

Для обеспечения единообразия на входе, если у ворот есть один вход с пузырем, другой вход также представлен с пузырем.Опять же, чтобы компенсировать пузырек, на выходе предыдущего логического элемента вводится пузырек или дополняется литерал. То же самое показано на следующем рисунке.

Если логический элемент ИЛИ не имеет пузырьков на любом из входов, появляются пузырьки, которые соответствующим образом компенсируются, как показано на рисунке ниже.

Логический элемент ИЛИ с двумя дополненными входами эквивалентен логическому элементу И-НЕ (согласно закону ДеМоргана A ’+ B’ = (AB) ’). Следовательно, заменяя логический элемент ИЛИ, который имеет два дополненных входа, логическим элементом И-НЕ, мы получаем окончательную структуру реализации логической функции с использованием элементов И-НЕ.Окончательная реализация показана ниже.

Реализация логических функций с использованием вентилей NOR

вентиль ИЛИ — это комбинация логического элемента ИЛИ и элемента НЕ, который может функционировать как вентиль И, вентиль ИЛИ и вентиль НЕ. Итак, мы используем вентиль ИЛИ-НЕ для реализации логических функций. Важно помнить, что вентиль NOR является инверсией основного логического элемента OR. Это означает, что выход логического элемента ИЛИ-ИЛИ равен дополнению выхода логического элемента ИЛИ.
Давайте посмотрим на примере, чтобы понять реализацию.

Реализуйте логическую функцию, используя логический вентиль ИЛИ-НЕ.

г (A, B, C, D, E, F) = (A E) + (B D E) + (B C E F)

Мы можем переписать данное уравнение как:

г (A, B, C, D, E, F) = A E + B D E + B C E F

= (A + B D + B C F) E

= (A + B (D + C F)) E

В реализации логического элемента ИЛИ-НЕ мы используем элементы ИЛИ-НЕ как на входе, так и на выходе. Соблюдайте приведенную ниже логическую схему.

Заключение

Полное руководство для начинающих по реализации логических функций с использованием логических вентилей.Вы узнали некоторые основы логических вентилей (И, ИЛИ, НЕ), представления суммы продуктов (SOP) и произведения сумм (POS) уравнений и их реализации с использованием логических вентилей, а также реализации логических выражений с использованием универсальных вентилей (NAND и NOR ).

Лаборатория xLogicCircuits 1

CPSC 120: Принципы информатики

Осень 2002

Лаборатория 2: Логические схемы

В ТЕОРИИ ВОЗМОЖНО построить рабочий компьютер полностью без транзисторов (хотя на практике другие типы основных компоненты также используются).Конечно, в процессе сборки компьютера, отдельные транзисторы сначала собираются в относительно простые схемы, которые затем собираются в более сложные схемы, и так на. Первым шагом в этом процессе является создание логических ворот, которые представляют собой схемы, которые вычисляют базовые логические операции, такие как И, ИЛИ и НЕ. Фактически, если доступны логические элементы AND, OR и NOT, компьютер можно было собрать целиком из таких ворот. В этой лабораторной работе вы будете работать с смоделированными схемами, состоящими из операторов И, ИЛИ и НЕ ворота.Вы сможете построить такие схемы и посмотреть, как они работать. И вы увидите, как можно объединить более простые схемы в производить более сложные схемы.

Эта лабораторная работа охватывает часть того же материала, что и Глава 2. в Самая сложная машина . Лаборатория автономна, но многие идеи, рассмотренные здесь, охватываются более подробно в тексте, и вам было бы полезно прочитать Глава 2 перед лабораторной работой.

В конце этой лабораторной работы есть упражнения.Некоторые из этих упражнений прошу вас сохранить вашу работу в файл. Эти файлы надо поставить в каталог «домашние задания» в вашем аккаунте на «математическом» компьютере. В лабораторной работе 1 вы создали ярлык для этого учетная запись на вашем диске «M» Windows. Дважды щелкните ярлык, чтобы ваш «математический» счет доступен. Как только это будет сделано, вы сможете сохранять файлы прямо в «домашнее задание», или вы можете скопировать файлы в это каталог, перетащив их в папку «домашнее задание».

В этой лабораторной работе используется апплет xLogicCircuits.Чтобы запустить эту программу, перейдите в папку «cpsc120» (у вас должен быть ярлык для нее), откройте Папка «Лаборатория 2» и дважды щелкните значок «Запустить xLogicCircuits».

Вы также можете запустить апплет из Интернета, нажав эту кнопку. Но если вы запустите xLogicCircuits таким образом, вы не сможете сохранить ни одну сделанную вами работу! Это только для чтения лаборатории в сети:

(К сожалению, ваш браузер не поддерживает Java!)

---

Логика и схемы

Логический вентиль — это простая схема с одним или двумя входами и одним выход.Входы и выходы могут быть включены или выключены, а значение выхода ворот полностью определяется значениями своих входов (при условии, что при изменении одного из входов, требуется некоторое время, чтобы результат изменился в отклик). Каждый вентиль выполняет простое вычисление. Схемы, которые делают сложные вычисления можно построить, подключив выходы некоторых вентилей к входам других. Фактически, весь компьютер может быть встроен в Сюда.

В апплете xLogicCircuits схемы построены из логических элементов И, ИЛИ ворота, а НЕ ворота.У каждого типа ворот свои правила вычисления. его выходное значение. Схемы выложены по схеме доска. Помимо ворот, на плате могут быть входы, Выходы и прихватки. Позже мы увидим, что схемы могут также содержать другие схемы. Все эти компоненты могут быть соединены между собой проводами. Слева от печатной платы в апплете это поддон. Поддон содержит доступные компоненты для использования на печатной плате. Обычно вы не можете увидеть все компоненты сразу, но есть полоса прокрутки, которая позволяет прокручивать все компоненты на поддон.На следующем рисунке показана деталь поддона, содержащего шесть стандартных компонентов, а также некоторые комментарии и небольшой образец схемы:

Следует отметить одну вещь: провода не могут подключаться друг к другу, кроме как через Прихватки. Просто потому, что два провода пересекают друг друга на печатной плате, не означают, что они связаны. Фактически реальная схема является трехмерной. Один провод проходит над другим, поэтому они практически не соприкасаются. Провода могут передавать сигналы только между компонентами такие как ворота, прихватки, входы и выходы.

Аплет xLogicCircuit должен запуститься. вверх, показывающий образец схемы под названием «Основные ворота». В верхней части На печатной плате есть вентиль И, вентиль ИЛИ и вентиль НЕ. Ворота подключен к некоторым входам и выходам. Построена более сложная схема из нескольких ворот занимает нижнюю часть монтажной платы.

Чтобы увидеть, как работает схема, необходимо включить питание. Питание на печатной плате включается и выключается с помощью кнопки «Power» флажок под печатной платой.Питание включено, когда флажок установлен. Установите флажок «Питание», чтобы включить по мощности. (Почему загорается провод, идущий от ворот НЕ, когда вы делаете это?) Когда питание включено, вы можете управлять входами на печатная плата: вы можете включать и выключать вход, щелкая по нему. Все остальное делает схема: сигналы от входов распространяются по проводам, через вентили и другие компоненты, а также к выходам схемы. Попробуйте с образцом схемы. Если у вас возникла проблема, убедитесь, что питание включено, и вы нажимаете Вход, а не Выход.

Вы должны проверить, что вентили AND, OR и NOT в верхней части Печатная плата имеет ожидаемое поведение при включении входов и ВЫКЛ. Вы также можете исследовать схему в нижней половине логическая плата. Под монтажной платой, слева от переключателя питания, вы найдете всплывающее меню, которое можно использовать для контролировать скорость, с которой сигналы распространяются по цепи. В скорость обычно устанавливается на «Быстро». Вы можете использовать всплывающее окно меню, чтобы изменить скорость на «Умеренная» или «Медленная» если вы хотите посмотреть трассу в замедленном темпе.(По большей части, хотя вы, вероятно, захотите оставить скорость быстрой.)

---

Логические элементы и логические схемы связаны с математическими логика, которая представляет собой изучение вычислений это можно сделать с помощью логических значений истина и ложь и с логические операторы и , или , и не . Эта ассоциация возникает, когда мы думаем, что ON представляет истинных и OFF как представляющий ложный .В этом случае вентили AND, OR и NOT выполняют те же вычисления, что и операторы и , или , и , а не .

Математическая логика использует булеву алгебру, в котором буквы A, B, C и т. д. используются для обозначения логических ценности. Буквы объединяются с помощью логических операторов и , или , и не . Например,

(A и C) или (B и (, а не C))

— это выражение булевой алгебры.Как только буквы в выражению присваиваются значения истина или ложь , значение можно вычислить все выражение.

Каждое выражение логической алгебры соответствует логической схеме. Буквы, используемые в выражении, представлены входными данными для схема. Каждый провод в цепи представляет собой некоторую часть выражение. Гейт берет значения из своих входных проводов и объединяет их соответствующим словом — и , или , или не — чтобы нанесите этикетку на его выходной провод.Конечный результат всего схема представляет выражение в целом. Например, рассмотрим образец схемы из апплета. Если входы обозначены A и B, тогда провода в цепи можно обозначить следующим образом:

Схема в целом соответствует окончательному выходному выражению, (A и (, а не B)) или (B и (, а не A)). Это выражение, в свою очередь, служит планом для схемы. Вы можете использовать его как руководство для построения схемы.Выражение, данное ранее, (A и C) или (B и (, а не C)), соответствует другой примерной схеме, показанной на иллюстрации выше — при условии, что вы правильно пометили входы.

Подводя итог, можно сказать, что для любого выражения булевой алгебры можно построить схему, вычислить это выражение. И наоборот, любой выход логической схемы, который не «петля обратной связи» может быть описана выражением булевой алгебры. Связь между схемами и логикой это мощная ассоциация, которая полезна для понимания и разработки логики схемы.(Примечание: обратная связь возникает, когда выход затвора подключен через один или несколько других компонентов возвращаются на вход того же вентиля. Схемы с обратная связь используется в схемах памяти, что вы увидите позже в лаборатории.)

---

Строительные схемы

Вы можете создавать свои собственные схемы в апплете xLogicCircuits. Нажмите на кнопку «Иконизировать» внизу апплета. Это будет убрать схему «Основные ворота», превратив ее в иконку на поддоне. У вас будет чистая печатная плата для работы.В качестве упражнения попробуйте сделать копию показанной схемы. aabove, что соответствует логическому выражение

(A и C) или (B и (, а не C)).

Чтобы добавить компонент в схему, щелкните компонент на палитре, удерживая кнопку мыши, используйте мышь, чтобы перетащить компонент на печатная плата. Убедитесь, что вы полностью перетащили его на доску. если ты хотите ворота, которые смотрят в другом направлении, вам нужно повернуть ворота в поддоне перед , вы перетаскиваете его на печатную плату.

После того, как некоторые компоненты будут на плате, вы можете протянуть между ними провода. с помощью мыши. Каждый провод идет от источника к месту назначения. Чтобы нарисовать провод, переместите наведите указатель мыши на источник, щелкните и удерживайте кнопку мыши, переместите указатель мыши в пункт назначения и отпустите кнопку. Вы должны нарисовать провод от источника к месту назначения, а не наоборот. Если отпустить мышь кнопка, когда провод не находится над законным пунктом назначения, провод не будет нарисован. Когда в одном компоненте есть два возможных пункта назначения — например, два входы логического элемента И или ИЛИ — убедитесь, что вы подключили провод к правому.

Входы цепей

являются допустимыми источниками для проводов. Как и Гвоздики. Так что выводит ворот. Допустимые места назначения включают выходы цепи, вводы ворот и прихваток. Вы можете нарисовать столько проводов, сколько захотите из источника, но вы можете провести только один провод к место назначения. (Это имеет смысл, потому что, когда цепь работает, пункт назначения получает свое значение от единственного провода, который к нему ведет. С другой стороны, значение источника может быть отправлено на любое количество провода, идущие от него.)

После того, как компонент окажется на плате, вы все равно можете переместить его на новую положение, но вам нужно на перетащить его с помощью правой кнопки мыши . В качестве альтернативы — например, если у вас есть однокнопочная мышь — вы можете перетащите компонент на , удерживая нажатой клавишу управления при первом нажатии кнопку мыши на нем.

Вы можете удалить компонентов и проводов, которые вы добавили по ошибке. Просто щелкните компонент или провод, чтобы осветить его. Затем нажмите кнопку «Удалить» внизу апплета.Выбранный элемент будет удален с печатной платы. Если вы удалите компонент, к которому прикреплены провода, присоединенные провода также будут удалены вместе с компонентом.

Если вы удалите элемент или измените схему другим способом, вы получите один шанс передумать. Вы можете нажать на «Отменить» кнопку, чтобы отменить одну операцию. Только последняя операция может быть отменено таким образом.

Есть один ярлык, который может вам пригодиться, если вам нравится использовать кнопки.Вы можете вставить закрепку в существующий провод, дважды щелкнув провод. если ты дважды щелкните и удерживайте кнопку мыши при втором щелчке, вы можете перетащить закрепку в другую позицию. (Однако некоторые версии Java могут не поддерживать двойной щелчок.)

После того, как вы построите тренировочную схему, вы можете очистить экран, так как вы эта схема больше не понадобится в остальной части лаборатории. Однако вы получите больше попрактикуйтесь в построении схем в упражнениях в конце лабораторной работы.

---

Сложные схемы и подсхемы

Чтобы схемы отображали структурированную сложность, при проектировании важно иметь возможность опираться на предыдущую работу новые схемы.После того, как схема была спроектирована и сохранена, ее следует можно использовать эту схему в качестве компонента в более сложных схема. Большая часть возможностей xLogicCircuits заключается в возможности использовать схемы как компоненты в других схемах. Используемые таким образом схемы называется подсхемами. Схема, имеющая был сохранен как значок в палитре, его можно просто перетащить в другой схема. (Точнее, создается копия схемы и добавлен к печатной плате. Копия — это отдельная схема; редактирование оригинала не буду менять копию.) Эта способность опираться на предыдущую работу необходим для создания сложных схем.

Вы можете открыть схему из поддона, чтобы посмотреть, что внутри, или отредактировать Это. Просто дважды щелкните схему. Значок будет удален с поддона. и схема появится на печатной плате. В то же время любая трасса, которая ранее была на печатная плата будет обозначена и помещена на поддон. (Кстати, вы можете изменить название схемы на печатная плата, отредактировав текстовое поле ввода в верхней части апплета.Это поле содержит имя, которое появляется на обозначенной иконкой схеме.)

Когда вы запускаете xLogicCircuits для этой лабораторной работы, он читает файл примера схем («examples.txt») и добавляет их в палитру. Одна из этих цепей называется «Две или более». Открыть теперь эту схему, дважды щелкнув по ней. Схема имеет три входа. Он включает свой выход, когда, по крайней мере, два его входа включены. Попытайся. (Нажмите на входы, чтобы включить их и ВЫКЛ — и не забудьте сначала включить питание!)

В качестве простого упражнения при построении цепей из подсхем используйте схема «Два или более» как часть «Максимум одного» схема.Вы хотите построить схему с тремя входами, которые будут включать его выход всякий раз, когда включен ноль или один из его входов. Обратите внимание, что это как раз противоположное поведение схемы «Два или более». То есть, «Максимум один» включен, если «Два или более» равно , а не . НА. Это «логическое» описание показывает, что «Максимум один» схема может быть построена из логического элемента НЕ и копии «Два или более» схема. Начните с повторной иконизации схемы «Два или более», затем перетащите элемент НЕ и копию «Два или более» на пустой печатная плата.Добавить входы, выходы и провода в зависимости от ситуации, затем проверьте свою схему, чтобы уверен, что это работает. Если хотите, можете дать ему имя и превратить в Иконка.

В качестве еще одного примера схем, в которых используются подсхемы, откройте схему «4-битного сумматора» с поддона. Ты увидишь это он содержит несколько копий подсхемы под названием «Сумматор». Можно заглянуть внутрь одной из этих схем: просто нажмите на дважды щелкните схему сумматора. Это не , а не удаляет основная схема с платы — просто позволяет увидеть увеличенную часть Это.Когда вы уменьшаете подсхему до исходного размера, главная цепь все еще там. (Сделайте это, нажав кнопку «Сжать» в нижней части апплета.) В этом случае вы увидите, что «Сумматор» схема содержит две подсхемы «полусумматора», которые вы можете в свою очередь увеличивайте, если хотите.

---

Схемы и арифметика

Схема «4-битного сумматора» представляет собой пример логической схемы. которые могут работать с двоичными числами. Схемы могут работать с двоичными числами, пока вы думаете о ON как о двоичном значении 1 (один) и OFF как представляющий значение 0 (ноль).»4-битный сумматор» может добавить два 4-битных двоичных числа для получения пятизначного результата. Вот некоторые примеры сложения 4-х битных двоичных чисел:

      1011 1111 1111 1010 0111 0001
      0110 0001 1111 0101 1010 0011
     ----- ----- ----- ----- ----- -----
     10001 10000 11110 01111 10001 00100

 

Ответ имеет 5 бит, потому что может быть перенос из крайнего левого столбца.Каждая из четырех схем «сумматора» в «4-битном сумматоре» обрабатывает один из столбцов суммы. Вы должны протестировать «4-битный сумматор», чтобы убедиться, что он ответы на указанные суммы. Два четырехбитных числа, которые необходимо сложить, ставятся на восемь Входы в верхней части «4-битного сумматора». Сумма отображается на выходы внизу, с пятым битом — последним переносом — появляется на выходе справа. Вы должны заметить, что это занимает некоторое время после того, как вы установите входы для схем для выполнения своих вычислений.

---

Схемы и память

Компьютеры хранят и обрабатывают информации. Схемы могут быть используются для обработки информации, потому что они могут делать такие вещи, как сложение. Для хранения информации вам нужна схема, которая может «запоминать» в ощущение, что вы можете поместить некоторые данные в схему, и данные будут оставайтесь там, пока вы намеренно измените его, сохранив новое значение. Цепи памяти могут использоваться для хранения входных данных или данные, которые генерируются каким-либо вычислением.Схема памяти может хранить данные до тех пор, пока они не понадобятся для последующей обработки.

Образец схемы под названием «Однобитовая память» представляет собой схему памяти, которая может хранить один бит данных. Имеет два входа и один выход:

Выход данных показывает число (ноль или один), которое хранится в схема памяти. Вы можете узнать, какое значение хранится, проверив вывод. Входы используются вместе для хранения данных в схеме. Входные данные указывает, какое число (ноль или один) должно быть сохранено.Провод данных нагрузки должен включаться и выключаться, чтобы фактически ввести число в схему. Пока поскольку данные нагрузки выключены, число в цепи не изменится, независимо от того, что происходит с проводом Data-in. То есть:

• Чтобы сохранить 1 в однобитовой памяти: Включите Data-in ON и, пока он включен, включите, а затем выключите Load-data.
• Чтобы сохранить 0 в однобитовой памяти: выключите для ввода данных и, пока он выключен, включите, а затем выключите Load-data.
• Чтобы узнать, какое значение хранится: посмотрите на провод вывода данных.

Если вы заглянете внутрь однобитовой памяти, вы увидите «петлю обратной связи» на правая часть схемы. Число, которое хранится в схеме, эффективно фиксируется в этой петле обратной связи. Однако на самом деле вам не нужно знать, как эта схема работает внутри. Вам нужно только знать, как это используется.

---

Упражнения

Следующие упражнения должны быть выполнены в следующую среду, 18 сентября.Упражнения 1, 3, 4 и 5 прошу вас создать схемы. Вы должны создать эти схемы с помощью xLogicCircuits апплет и сохраните их в каталоге «домашние задания» в вашем «математическом» аккаунте. Вы можете используйте кнопку «Сохранить» в xLogicCircuits, чтобы сохранить свою работу. Дайте вашим файлам разумные имена, такие как «Lab1Ex3». Все упражнений требуют от вас выполнения некоторых пишу. Вы должны записать свои ответы вручную или на компьютере, и они в классе в следующую среду. Включите имена ваших файлов в ваша рецензия.Помните, что у вас есть возможность работать в лаборатории с другим студентом.

Упражнение 1: Примите во внимание следующее три выражения булевой алгебры:

(A и ( не B)) или (B и C)

A и (, а не (B и (, а не C)))

(, а не (A или B или C)) или (A и B и C)

Для каждого выражения постройте логическую схему, которая вычисляет значение это выражение.(Они могут быть на одной плате или на трех отдельных печатных плат.) Напишите абзац, объясняющий метод, который вы применяются, когда вы строите схемы из выражений. (Одно примечание: чтобы построить схему для выражения вида (X и Y и Z) следует вставить несколько дополнительных скобок, которые не меняют ответ. Подумайте о выражение как ((X и Y) и Z), и построить схему, используя два И ворота.) Помните, что круглые скобки важны!

Упражнение 2: Учитывая логическую схему, не содержащую петель обратной связи, она можно найти выражение булевой алгебры, которое описывает каждый выход этой схемы.Разомкните цепь под названием «Пример 2», который является одним из примеров схем в палитре апплета. Эта схема имеет четыре входа и три выхода. Предполагая, что входы называются A, B, C и D, найдите выражение, соответствующее каждому из трех выходов. (У вас будет три разных выражения — одно для каждый вывод.) Также напишите абзац, в котором обсуждаются процедура, которую вы применяете, чтобы найти логическое выражение для выход схемы.

Упражнение 3: Одним из примеров в этой лабораторной работе была схема под названием «Два или более», который проверяет, включены ли хотя бы два его входа.Рассмотрим проблема поиска аналогичной схемы с четырьмя входами. Результат должен быть включенным, если включены любые два (или более) входа. Схема, которая делает это можно описать логическим выражением:

(A и (B или C или D)) или (B и (C или D)) или (C и D)

На основе этого выражения построить «Два или более» схема с четырьмя входами. Попытайтесь понять, откуда взялось это выражение из.Почему это имеет смысл? (Подсказка: подумайте о двух случаях, один случай, когда вход A включен, а другой случай, когда вход A выключен.) Напишите абзац, объясняющий это. Форма этого выражения может быть расширен для обработки цепей с любым количеством входов. Запишите логическое выражение, описывающее схему с пятью input, который включает свой выход всякий раз, когда два или более входов включены. (Вам не нужно строить схему с 5 входами!)

Упражнение 4: Схема однобитовой памяти может хранить один бит информации.Предположим, вы хотите сохранить четырехбитное двоичное число. Вы можете построить Четырехбитная память из четырех однобитных, при условии, что вы подключите их вместе правильно. Создайте четырехбитную память. Ваша схема должна иметь четыре провода ввода данных, четыре провода вывода данных и одну нагрузку данных провод. (Провод загрузки данных загружает данные во все четыре однобитных ячейки памяти. в то же время.) В описании дайте инструкции по использованию ваша схема для хранения четырехбитного числа. Также кратко объясните, как вы могли построить схему памяти для хранения 16 бит, 32 бит или любого другого числа бит.

Упражнение 5: Схемы памяти используются для хранения результатов вычислений, чтобы они доступны для использования в дальнейших вычислениях. Это можно сделать, прикрепив входы схемы памяти к выходам вычислительной схемы. Это позволяет сохранять результаты вычислений для дальнейшего использования. Создайте схему, которая может складывать два 4-битных двоичных числа и сохранять результат (без бита переноса) в 4-битной схеме памяти. Вы можете построить схема из копии 4-битной схемы сумматора и копии 4-битной Схема памяти из упражнения 4. Напишите абзац, объясняющий дизайн вашей схемы и то, как она используется.

Упражнение 6: Напишите короткое эссе (из нескольких абзацев), объясняющее как подсхемы используются при построении сложных схем и почему способность создавать и использовать подсхемы таким образом так важна.

— Дэвид Эк ([email protected]), осень 2002 г.

1.3: Применение — Логические схемы

Компьютеры имеют репутацию — не всегда заслуженную — за то, что они «логичны».Но по сути, в глубине души они основаны на логике в самом реальном смысле. Строительными блоками компьютеров являются логические элементы , электронные компоненты, вычисляющие значения простых предложений, таких как \ (p ∧ q и ¬p \). (Каждый вентиль, в свою очередь, построен из электронных компонентов еще меньшего размера, называемых транзисторами, но здесь нас это не касается.)

Провод в компьютере может находиться в одном из двух состояний, которые мы можем представить как на и на .Эти два состояния могут быть естественным образом связаны с логическими значениями \ (\ mathbb {T} \) и \ (\ mathbb {F} \). Когда компьютер выполняет вычисления, множество проводов внутри него включаются и выключаются по шаблонам, которые определяются определенными правилами. Используемые правила можно наиболее естественно выразить в терминах логики. Простое правило может быть таким: «Включайте провод \ (C \) всякий раз, когда включен провод \ (A \) и включен провод \ (B \)». Это правило может быть реализовано аппаратно как вентиль И . An and gate — это электронный компонент с двумя входными проводами и одним выходным проводом, чья работа состоит в том, чтобы включать его выход, когда оба его входа включены, и выключать его выход в любом другом случае.Если мы свяжем «on» с \ (\ mathbb {T} \) и «off» с \ (\ mathbb {F} \), и если мы дадим имена \ (A \) и \ (B \) для входы элемента, затем элемент вычисляет значение логического выражения \ (A ∧ B \). По сути, \ (A \) — это предложение со значением «первый вход включен», а \ (B \) — это предложение со значением «второй вход включен». Функции вентилей и гарантируют, что вывод описывается предложением \ (A ∧ B \). То есть выход включен тогда и только тогда, когда включен первый вход и включен второй вход.

Логический элемент ИЛИ — это электронный компонент с двумя входами и одним выходом, который включает свой выход, если один (или оба) из его входов включены. Если входам даны имена \ (A \) и \ (B \), то вентиль или вычисляет логическое значение \ (A∨B \). Логический элемент НЕ имеет один вход и один выход, и он отключает свой выход, когда вход включен, и включается, когда вход выключен. Если вход назван \ (A \), то вентиль не вычисляет значение \ (¬A \).

Конечно, возможны и другие типы логических вентилей.Например, шлюзы могут быть использованы для вычисления \ (A → B \) или \ (A⊕B \). Однако любые вычисления, которые могут быть выполнены с помощью логических вентилей, могут быть выполнены с использованием только вентилей \ (\ small {AND} \), \ (\ small {OR} \) и \ (\ small {NOT} \), поскольку мы увидим ниже. (На практике, однако, элементы \ (\ small {NAND} \) и \ (\ small {NOR} \), которые вычисляют значения \ (¬ (A ∧ B) \) и \ (¬ (A ∨ B) \) соответственно, часто используются, потому что их легче построить из транзисторов, чем вентили \ (\ small {AND} и \ (\ small {OR} \).)

Рисунок 1.3: Стандартные символы для трех основных логических вентилей и логическая схема, вычисляющая значение логического выражения (¬A) ∧ (B ∨ ¬ (A ∧ C)). Входные провода к каждому логическому элементу находятся слева, а выходной провод — справа. Обратите внимание, что когда провода пересекаются друг с другом на такой диаграмме, как эта, провода фактически не пересекаются, если в точке их пересечения нет черного круга.

Три типа логических вентилей представлены стандартными символами, как показано на рисунке 1.3. Поскольку входы и выходы логических вентилей представляют собой просто провода, по которым передаются сигналы включения / выключения, логические вентили можно соединить вместе, подключив выходы одних вентилей к входам других вентилей. В результате получается логическая схема . Пример также показан на рисунке 1.3.

Логическая схема на рисунке имеет три входа, обозначенных \ (A, B, \) и \ (C \). Схема вычисляет значение составного предложения \ ((¬A) ∧ (B ∨ ¬ (A ∧C)) \). То есть, когда \ (A \) представляет предложение «входной провод, помеченный \ (A \) включен», и аналогично для \ (B \) и \ (C \), тогда выход схемы включен, если и только если значение составного предложения \ ((¬A) ∧ (B ∨ ¬ (A ∧ C)) \) истинно.

Для любого составного предложения, составленного из операторов \ (∧, ∨, \) и \ (¬ \), можно построить логическую схему, которая вычисляет значение этого предложения. Само предложение является планом схемы. Как отмечалось в разделе 1.1, каждый логический оператор, с которым мы столкнулись, может быть выражен в терминах \ (∧, ∨ \) и \ (¬ \), поэтому на самом деле каждое сложное предложение, которое мы умеем писать, может быть вычислено с помощью логическая схема.

Имея предложение, построенное из операторов \ (∧, ∨, \) и \ (¬ \), легко построить схему для его вычисления.Сначала определите главный оператор в предложении — тот, значение которого будет вычисляться последним. Рассмотрим \ ((A ∨B) ∧ ¬ (A ∧ B) \). Эта схема имеет два входных значения, \ (A \) и \ (B \), которые представлены проводами, входящими в схему. Схема имеет выходной провод, который представляет вычисленное значение предложения. Главный оператор в \ ((A ∨ B) ∧ ¬ (A ∧ B) \) — это первый оператор \ (∧ \), который вычисляет значение выражения в целом, комбинируя значения подвыражений \ (A ∨ B \) и \ (¬ (A ∧ B) \).Этот оператор \ (∧ \) соответствует элементу и в схеме, которая вычисляет окончательный выходной сигнал схемы.

После того, как главный оператор был идентифицирован и представлен как логический вентиль, вам просто нужно построить схемы для вычисления ввода или ввода для этого оператора. В этом примере входы в основную и вентильную схемы поступают от двух подсхем. Одна подсхема вычисляет значение \ (A ∨ B \), а другая вычисляет значение \ (¬ (A ∧ B) \). Сборка каждой подсхемы — это отдельная проблема, но меньшая, чем проблема, с которой вы начали.В конце концов, вы придете к вентилю, вход которого поступает непосредственно от одного из входных проводов — в данном случае \ (A \) или \ (B \) — а не от подсхемы.

Итак, каждое сложное предложение вычисляется логической схемой с одним выходным проводом. Верно ли обратное? То есть, учитывая логическую схему с одним выходом, существует ли предложение, которое выражает значение выхода в терминах значений входов? Не совсем. Когда вы соединяете вместе несколько логических вентилей для создания схемы, вам ничто не мешает ввести петли обратной связи.Цепь обратной связи возникает, когда выход затвора подключается — возможно, через один или несколько промежуточных затворов — обратно к входу того же затвора. На рисунке 1.5 показан пример схемы с обратной связью. Петли обратной связи не могут быть описаны составными предложениями, в основном потому, что нет места для начала, нет данных, которые можно было бы связать с пропозициональной переменной. Но петли обратной связи — единственное, что может пойти не так. Логическая схема, не содержащая никаких петель обратной связи, называется комбинаторной логической схемой .Каждая комбинаторная логическая схема с одним выходом вычисляет значение некоторого составного предложения. Пропозициональные переменные в составном предложении — это просто имена, связанные с входными проводами схемы. (Конечно, если схема имеет более одного выхода, вы можете просто использовать разные предложения для каждого выхода.)

Ключ к пониманию того, почему это так, — это отметить, что каждый провод в схеме, а не только последний выходной провод, представляет ценность некоторого предложения.Кроме того, как только вы знаете, какое предложение представлено каждым входным проводом к вентилю, становится очевидно, какое предложение представлено выходом: вы просто комбинируете входные предложения с соответствующими \ (∧, ∨, \) или \ (¬ \) оператора, в зависимости от того, какой это тип ворот. Чтобы найти предложение, связанное с окончательным выходом, вам просто нужно начать с входов и двигаться по схеме, помечая выходной провод каждого элемента с предложением, которое он представляет. Рисунок 1.6 иллюстрирует этот процесс.

Рисунок 1.4: Этапы построения схемы, вычисляющей составное предложение \ ((A ∨ B) ∧ ¬ (A ∧ B) \).

Итак, составные предложения естественным образом соответствуют комбинаторным логическим схемам. Но мы все еще не совсем решили вопрос о том, насколько мощны эти схемы и предложения. Мы рассмотрели ряд логических операторов и отметили, что все они могут быть выражены через \ (∧, ∨, \) и \ (¬ \). Но могут ли быть другие операторы, которые нельзя так выразить? Точно так же могут существовать другие типы логических вентилей — возможно, с некоторым большим количеством входов, — чьи вычисления не могут быть дублированы с помощью \ (\ small {AND} \), \ (\ small {OR} \) и \ (\ small {НЕ} \) ворота? Любой логический оператор или логический элемент вычисляет значение для каждой возможной комбинации логических значений своих входов.Мы всегда можем составить таблицу истинности, показывающую результат для каждой возможной комбинации входов. Оказывается, для любой такой таблицы истинности можно найти предложение, содержащее только операторы \ (∧, ∨ \) и \ (¬ \), значение которых для каждой комбинации входных данных задается именно этим стол.

Рисунок 1.5: Эта схема содержит петлю обратной связи, поэтому она не является комбинаторной логической схемой. Цепь обратной связи включает в себя вентиль and и вентиль or справа.Эта схема не вычисляет значение составного предложения. Однако эта схема играет важную роль в памяти компьютера, поскольку ее можно использовать для хранения логического значения.

Чтобы понять, почему это так, полезно ввести сложное суждение особого типа. Определите простой термин либо как пропозициональную переменную, либо как отрицание пропозициональной переменной. Тогда соединение простых терминов будет состоять из одного или нескольких простых терминов, соединенных с операторами.(«Соединение одного простого термина» — это просто один простой термин. Это может не иметь грамматического смысла, но так думают математики.) Некоторые примеры соединений простых терминов: \ (p∧q, p, ¬q \) и \ (p∧¬r∧¬w∧s∧t \). Наконец, мы можем взять одно или несколько таких союзов и объединить их в «дизъюнкцию союзов простых терминов». Это тот тип сложного предложения, который нам нужен. Мы можем избежать некоторой избыточности, предположив, что пропозициональная переменная не встречается более одного раза в одной конъюнкции (поскольку \ (p∧p \) можно заменить на \ (p \), и если \ (p \) и \ (¬p \) оба встречаются в соединении, тогда значение соединения ложно, и его можно исключить.) Можно также предположить, что одна и та же конъюнкция не встречается дважды в дизъюнкции.

Определение 1.5

Говорят, что сложное суждение находится в дизъюнктивной нормальной форме , или DNF, если это дизъюнкция соединений простых терминов, и если, кроме того, каждая пропозициональная переменная встречается не более одного раза в каждом соединении, а каждое соединение встречается не более чем один раз в дизъюнкции.

Используя \ (p, q, r, s, A, \) и \ (B \) в качестве пропозициональных переменных, вот несколько примеров предложений, которые находятся в дизъюнктивной нормальной форме:

\ ((p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ r ∧ s) ∨ (¬p ∧ ¬q) \)
\ ((p∧¬q) \)
\ ((A∧¬B ) ∨ (¬A∧B) \)
\ (p ∨ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r ∧ w) \)

Рисунок 1.6. Нахождение предложения, значение которого вычисляется комбинаторной логической схемой. Каждый провод в цепи помечен положением, которое он представляет. Нумерация меток показывает один из порядков, в котором они могут быть связаны с проводами. Схема в целом вычисляет значение \ (¬ (A ∧ B) ∧ (B ∨ ¬C) \).

Предложения в DNF — это как раз то, что нам нужно для работы с таблицами ввода / вывода того типа, который мы обсуждали. Любую такую ​​таблицу можно вычислить с помощью предложения в дизъюнктивной нормальной форме.Отсюда следует, что можно построить схему для вычисления этой таблицы, используя только вентили \ (\ small {AND} \), \ (\ small {OR} \) и \ (\ small {NOT} \).

Теорема 1.3

Рассмотрим таблицу, в которой перечислены логические выходные значения для каждой комбинации значений нескольких пропозициональных переменных. Предположим, что хотя бы одно из выходных значений истинно. Затем существует предложение, содержащее эти переменные, так что значение предложения для каждой возможной комбинации значений переменных в точности равно значению, указанному в таблице.Можно выбрать предложение в дизъюнктивной нормальной форме.

Доказательство. Рассмотрим любую строку в таблице, выходное значение которой равно \ (\ mathbb {T} \). Сформируйте конъюнкцию простых терминов следующим образом: для каждой переменной \ (p \), значение которой в этой строке равно \ (mathbb {T} \), включите в конъюнкцию сам \ (p \); для каждой переменной \ (q \), значение которой в строке равно \ (mathbb {F} \), включите в конъюнкцию \ (¬q \). Значение этой конъюнкции равно \ (mathbb {T} \) для комбинации значений переменных, указанных в этой строке таблицы, поскольку каждый из членов конъюнкции истинен для этой комбинации переменных.Кроме того, для любой другой возможной комбинации значений переменных значение конъюнкции будет \ (\ mathbb {F} \), поскольку по крайней мере один из простых членов конъюнкции будет ложным.

Возьмите дизъюнкцию всех таких конъюнкций, построенных таким образом, для каждой строки в таблице, где выходное значение истинно. Эта дизъюнкция имеет значение \ (mathbb {T} \) тогда и только тогда, когда одна из составляющих ее конъюнкций имеет значение \ (\ mathbb {T} \) — и именно тогда выходное значение, указанное в таблице это \ (\ mathbb {T} \).Итак, эта дизъюнкция конъюнкций удовлетворяет требованиям теоремы.

В качестве примера рассмотрим таблицу на рисунке 1.7. Эта таблица определяет желаемое выходное значение для каждой возможной комбинации значений пропозициональных переменных \ (p, q, \) и \ (r \). Посмотрите на вторую строку таблицы, где выходное значение истинно. Согласно доказательству теоремы эта строка соответствует конъюнкции \ ((¬p ∧ ¬q ∧ r) \). Это соединение истинно, когда \ (p \) ложно, \ (q \) ложно и \ (r \) истинно; во всех остальных случаях это неверно, поскольку в любом другом случае хотя бы один из членов \ (¬p, ¬q \) или \ (r \) ложен.В двух других строках, где вывод истинен, есть еще два соединения. Три конъюнкции объединяются, чтобы получить предложение ДНФ \ ((¬p∧¬q∧r) ∨ (¬p∧q∧r) ∨ (p∧q∧r) \). Это предложение вычисляет все выходные значения, указанные в таблице. Используя это предложение в качестве схемы, мы получаем логическую схему, выходы которой соответствуют приведенным в таблице.

Теперь, учитывая любую схему комбинаторной логики, существует множество других схем, которые имеют такое же поведение ввода / вывода. Когда две схемы имеют одну и ту же таблицу ввода / вывода, составные предложения, связанные с двумя схемами, логически эквивалентны.Другими словами, логически эквивалентные предложения создают схемы с одинаковым поведением ввода / вывода. На практике мы обычно предпочитаем более простую схему. Соответствие между схемами и предложениями позволяет нам применять булеву алгебру к упрощению схем.

Например, рассмотрим предложение DNF, соответствующее таблице на рис. 1.7. В \ ((¬p∧¬q∧r) ∨ (¬p∧q∧r) ∨ (p∧q∧r) \) мы можем вынести \ ((q∧r) \) из двух последних членов, давая \ ((¬p∧¬q∧r) ∨ ((¬p∨p) ∧ (q∧r)) \).8 \ small {Нет, не посчитал неправильно. В исходном выражении одиннадцать логических операторов, но вы можете обойтись и десятью вентилями в схеме: используйте один вентиль not для вычисления ¬p и соедините выход этого логического элемента с двумя разными вентилями. Повторное использование вывода логического элемента — очевидный способ упростить схемы, который не соответствует никаким операциям с предложениями.} \)

Рисунок 1.7: Таблица ввода / вывода, определяющая желаемый результат для каждой комбинации значений пропозициональных переменных p, q и r.Каждая строка, в которой выводится T, соответствует соединению, показанному рядом с этой строкой в ​​таблице. Дизъюнкция этих союзов — это предложение, выходные значения которого точно такие же, как и в таблице.

Если вы начнете со схемы вместо предложения, часто можно найти связанное предложение, упростить его с помощью булевой алгебры и использовать упрощенное предложение для построения эквивалентной схемы, более простой, чем исходная.

Все это прекрасно объясняет взаимосвязь между логикой и схемами, но не объясняет, почему логические схемы вообще должны использоваться в компьютерах.Частично это объясняется тем, что компьютеры используют двоичные числа. Двоичное число — это строка из нулей и единиц. Двоичные числа легко представить в электронном устройстве, таком как компьютер: каждая позиция в числе соответствует проводу. Когда провод включен, он представляет собой единицу; когда провод отключен, он представляет собой ноль. Когда мы думаем в терминах логики, одни и те же состояния провода представляют истинное и ложное, но любое представление — это просто интерпретация реальности, которая представляет собой провод, который включен или выключен.Вопрос в том, плодотворна ли интерпретация.

Когда мы будем думать, что провода представляют нули и единицы, мы можем построить схемы для выполнения вычислений с двоичными числами. Какие вычисления?

Рисунок 1.8: Таблицы ввода / вывода для сложения трех двоичных цифр, \ (A, B, \) и \ (C \).

Все, что мы хотим! Если мы знаем, каким должен быть ответ для каждой комбинации входных данных, то по теореме 1.3 мы можем построить схему для вычисления этого ответа.Конечно, процедура, описанная в этой теореме, применима только для небольших схем, но небольшие схемы можно использовать в качестве строительных блоков для создания всех вычислительных схем в компьютере.

Например, давайте посмотрим на двоичное сложение. Чтобы сложить два обычных десятичных числа, вы выстраиваете их одно над другим и складываете цифры в каждом столбце. В каждом столбце также может быть перенос из предыдущего столбца. Чтобы добавить столбец, вам нужно запомнить только небольшое количество правил, например \ (7 + 6 + 1 = 14 \) и \ (3 + 5 + 0 = 8 \).Для двоичного сложения это еще проще, поскольку единственными цифрами являются 0 и 1. Правил всего восемь:

\ (0 + 0 + 0 = 00 \) \ (0 + 0 + 1 = 01 \) \ (0 + 1 + 0 = 01 \) \ (0 + 1 + 1 = 10 \)

\ (1 + 0 + 0 = 01 \) \ (1 + 0 + 1 = 10 \) \ (1 + 1 + 0 = 10 \) \ (1 + 1 + 1 = 11 \)

Здесь я записал каждую сумму двумя цифрами.При сложении нескольких столбцов одна из этих цифр переносится в следующий столбец. Здесь у нас есть расчет с тремя входами и двумя выходами. Мы можем составить таблицу ввода / вывода для каждого из двух выходов. Таблицы показаны на Рисунке 1.8. Мы знаем, что эти таблицы могут быть реализованы как комбинаторные схемы, поэтому мы знаем, что схемы могут складывать двоичные числа. Чтобы сложить многозначные двоичные числа, нам просто нужна одна копия базовой схемы сложения для каждого столбца в сумме.

---

Упражнения

1. Используя только и, или, но не вентили, нарисуйте схемы, которые вычисляют значение каждого из предложений A → B, A ↔ B и A ⊕ B.
2. Для каждого из следующих предложений найдите схему комбинаторной логики, вычисляющую это предложение:

   a) \ (A∧ (B∨¬C) \)
   b) \ ((p∧q) ∧¬ ( p∧¬q) \)
   c) \ ((p∨q∨r) ∧ (¬p∨¬q∨¬r) \)
   d) \ (¬ (A∧ (B∨C) ) ∨ (B∧¬A) \)

3. Найдите составное предложение, вычисленное с помощью каждой из следующих схем:

4. В этом разделе описывается метод нахождения составного предложения, вычисляемого любой комбинаторной логической схемой.Этот метод не работает, если вы попытаетесь применить его к цепи, содержащей петлю обратной связи. Что пошло не так? Приведите пример.
5. Покажите, что каждое сложное предложение, не являющееся противоречием, эквивалентно предложению в дизъюнктивной нормальной форме. (Примечание: мы можем снять ограничение, согласно которому составное предложение не является противоречием, согласившись, что «F» считается предложением в дизъюнктивной нормальной форме. F логически эквивалентно любому противоречию.)
6. Предложение в конъюнктивной нормальной форме (CNF) — это конъюнкция дизъюнкций простых терминов (с оговоркой, как в определении DNF, что отдельный элемент считается конъюнкцией или дизъюнкцией).Покажите, что каждое составное предложение, не являющееся тавтологией, логически эквивалентно составному предложению в конъюнктивной нормальной форме. (Подсказка: что произойдет, если вы возьмете отрицание предложения DNF и примените законы ДеМоргана?)
7. Предложение в конъюнктивной нормальной форме (CNF) — это конъюнкция дизъюнкций простых терминов (с оговоркой, как в определении DNF, что отдельный элемент считается конъюнкцией или дизъюнкцией). Покажите, что каждое составное предложение, не являющееся тавтологией, логически эквивалентно составному предложению в конъюнктивной нормальной форме.(Подсказка: что произойдет, если вы воспользуетесь отрицанием предложения DNF и примените законы ДеМоргана?)

8. Разработайте схемы для реализации таблиц ввода / вывода для добавления, как показано на рисунке 1.8. Постарайтесь сделать свои схемы максимально простыми. (Схемы, которые используются в реальных компьютерах для этой цели, более упрощены, чем те, которые вы, вероятно, придумаете, но общий подход использования логики для разработки компьютерных схем верен.)

Базовые логические вентили и логические выражения

Цель этого модуля — дать учащимся возможность применять базовые логические вентили и логические выражения к цифровым схемам.

Цели

Учащийся сможет:

• Объяснять разницу между аналоговыми и цифровыми величинами
• Приводить примеры двоичных чисел и описывать их структуру
• Приводить примеры шестнадцатеричной и восьмеричной систем счисления и переводить между двоичными , шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления
• Использование калькулятора для преобразования системы счисления и шестнадцатеричной арифметики
• Описать логические уровни, используемые в цифровых системах, и проанализировать характеристики формы импульсов
• Обсудить элементы, составляющие цифровую систему

Ориентирующие вопросы

• Какие основные логические элементы являются основными строительными блоками для всех логических схем?
• Каковы схематические символы вентилей И, ИЛИ и НЕ?
• Что такое булева алгебра?
• Как применить логическую алгебру к схемам, содержащим элементы И, ИЛИ и НЕ?
• Каковы схематические символы для вентилей И-НЕ и ИЛИ-НЕ?
• Как применить логическую алгебру к схемам, содержащим вентили И-НЕ и ИЛИ-ИЛИ?

Строительными блоками всех логических вентилей являются вентили И, ИЛИ и НЕ.В этом модуле мы исследуем работу каждого из этих ворот. Мы также познакомимся с булевой алгеброй, которая описывает работу всех вентилей и комбинаций вентилей. В конце главы мы познакомимся с элементами И-И (не И) и И-И-И (не ИЛИ), а также познакомим их с логическими операторами.

Элементы И, ИЛИ, НЕ

В этом разделе мы узнаем о работе функций И, ИЛИ и НЕ и связанных с ними таблиц истинности и логических выражений.

И вентили

Все цифровые системы работают в двоичном формате, то есть они имеют два различных состояния или уровня. Эти состояния или уровни могут обозначаться как 0 или 1, высокий или низкий, включен или выключен, истинный или ложный, возможности безграничны. Эти состояния или уровни описывают отношения между входами и выходами. Мы можем представить самые основные логические элементы (И и ИЛИ) как эквивалент наиболее основных типов схем, то есть последовательных и параллельных. Работа затвора

И аналогична базовой последовательной схеме, показанной на рисунке 1 ниже.Входы представлены переключателями sw1 и sw2, а выход представлен лампой. «Состояние» переключателей sw1 и sw2 определяет, горит ли лампа. Легко видеть, что единственное условие, при котором лампа горит, — это то, что переключатели sw1 и sw2 должны быть закрыты. Мы можем представить все возможные состояния или условия sw1 и sw2 и связанный с ними вывод с помощью таблицы истинности .

Рисунок 1 Последовательная цепь

Обратите внимание, что количество комбинаций входов зависит от количества переключателей в этом случае.Мы можем написать для этого общее выражение следующим образом:

Число состояний ввода = 2 ⁿ

Где n = число вводов

Таким образом, таблица истинности для этой установки будет выглядеть следующим образом:

SW1	SW2	Лампа
Открыто	Открыто	Выкл.	Выкл.
Закрыто	Закрыто	на

Эта конфигурация последовательной цепи эквивалентна базовому вентилю И.Логический элемент И тогда определяется как цифровая схема, выход которой «высокий», если и только если все входы «высокие».

Схематическое изображение вентилей И в цифровых схемах:

A и B — входы в вентиль, а X — соответствующий выход.

Таблица истинности для 2 входов логического элемента И в терминах двоичных чисел:

0 = «выкл.» Или «низкий»

1 = «вкл.» Или «высокий»

вентили ИЛИ

Следующий Ворота, которые мы исследуем, — это работа ворот ИЛИ.Работа затвора ИЛИ аналогична базовой параллельной схеме, как показано на рисунке 2 ниже. Входы представлены переключателями sw1 и sw2, а выход представлен лампой. «Состояние» переключателей sw1 и sw2 определяет, горит ли лампа. Условия, при которых горит лампа, заключаются в том, что выключатели sw1 или sw2 или sw1 и sw2 должны быть замкнуты. Мы можем представить все возможные состояния или условия sw1 и sw2 и связанный с ними вывод с помощью таблицы истинности.

Рисунок 2: Базовая параллельная схема

Обратите внимание, что количество комбинаций входов зависит от количества переключателей в этом случае.Мы можем написать для этого общее выражение следующим образом:

Число состояний ввода = 2 ⁿ

Где n = число вводов

Таким образом, таблица истинности для этой установки будет выглядеть следующим образом:

SW1	SW2	Лампа
Открыто	Открыто	Выкл. Открыто	на
Закрыто	закрыто	на

Эта конфигурация параллельной цепи эквивалентна базовому логическому элементу ИЛИ.Затем логический элемент OR определяется как цифровая схема, выход которой «высокий», если один или несколько входов «высокие».

Схематическое изображение логического элемента ИЛИ в цифровых схемах:

Рисунок 3: Логическое устройство ИЛИ в цифровых схемах

A и B являются входами для логического элемента, а X — соответствующим выходом.

Таблица истинности для 2 входов логического элемента ИЛИ в терминах двоичных чисел:

0 = «выкл.» Или «низкий»

1 = «вкл.» Или «высокий»

ворота НЕ

Последний Основные ворота, которые мы будем исследовать, — это ворота НЕ и их действие.Работа логического элемента НЕ иногда упоминается как инвертор , то есть он инвертирует или изменяет один логический уровень на противоположное значение. Таким образом, вход «0» дает выход «1», а вход «1» дает выход «0».

Схема инвертора выглядит следующим образом.

Рисунок 4: Схематический символ инвертора

Пузырь на конце указывает на инверсию A!

Инвертор имеет только один вход и один выход.То есть он работает только с одной переменной. Таблица истинности для инвертора:

0 = «выкл» или «низкий»

1 = «вкл.» Или «высокий»

Выход инвертора является дополнением (противоположным) входному. Можно сказать, что вывод — это , а не ввода. Мы обсудим логическое выражение инвертора в следующем разделе.

Булева алгебра логических элементов И ИЛИ И НЕ

Булева алгебра представляет собой математику цифровых электронных схем.Работа любого логического элемента или комбинации элементов может быть описана с помощью булевой алгебры. В этом разделе мы рассмотрим булеву алгебру уже обсужденных основных логических элементов и обратимся к основным логическим правилам (законам). Мы также начнем рисовать схемы из неупрощенных логических выражений.

Логический элемент И

Логический элемент И представляет собой логическое умножение, то есть операция И или произведение двух входов дает результат. Вспомните таблицу истинности для логического элемента И

Как уже говорилось, было показано, что оператор И называется логическим умножением.Логическое выражение для этой операции приведено ниже.

A * B = X

AB = X

С этого момента мы будем использовать последнее в качестве обозначения для логического умножения. Правильный способ указать это «A и B = X»

Когда мы берем произведение двух переменных, порядок, в котором входные переменные умножаются вместе, не влияет на результат. То есть

AB = BA Закон коммутативности для умножения

Логический элемент ИЛИ

Логический элемент ИЛИ ИЛИ представляет собой логическое сложение, то есть на выходе получается операция ИЛИ или сумма двух входов.Вспомните таблицу истинности для ворот ИЛИ.

Помните, что мы не складываем два числа, мы выполняем «операцию» между ними. Мы выполняем логическое сложение, а не простую арифметику.

Как уже говорилось, было показано, что оператор ИЛИ называется логическим сложением (+). Логическое выражение для этой операции приведено ниже.

A + B = X

Правильно сказано «A или B = X»

Когда мы берем логическую сумму двух переменных, порядок суммирования входных переменных не влияет на результат.То есть

A + B = B + A Закон коммутативности для сложения

Логический элемент НЕ

Как уже говорилось, вентиль НЕ представляет собой логическое дополнение, то есть инверсию результатов одного входа на выходе. Вспомните таблицу истинности для затвора инвертора

A = 1, X = 0

A = 0, X = 1

Дано логическое выражение для этой операции

$ \ overline {A} $ = X

Правильно указано «A Not = X»

Когда мы берем дополнение одной переменной, выход противоположен входному.

Основные логические правила

Ниже на рисунке 5 показано, как каждый вентиль будет представлен в терминах своего логического выражения (в отличие от простого X!). Теперь мы напишем несколько логических правил, связанных с каждым из этих основных ворот. Мы будем применять эти правила на протяжении всего изучения комбинаторной логики.

Рисунок 5: Базовое представление гейтов

Некоторые базовые логические правила:

1. AB = BA Коммутативный закон для умножения
2. A + B = B + A Коммутативный закон для сложения
3. A 0 = 0
4. A ∙ 1 = A
5. A ∙ A = A
6. A + 0 = A
7. A + 1 = 1
8. A + A = A
9. A ∙ = 0
10. A + = 0
11. = A
12. A + AB = A
13. A + B = A + B
14. (A + B) (A + C) = A + BC

NAND и NOR Gates

Мы можем объединить любой из основных вентилей И, ИЛИ и НЕ для создания новых логических схем с уникальными выходами.В этом разделе мы исследуем работу вентилей И-НЕ (не И) и ИЛИ (не ИЛИ) и связанных с ними схем и логических выражений.

NAND GATE

Когда у нас есть логический элемент И и следящий за ним с инвертором, у нас есть вентиль NAND .

Рисунок 6: Логический элемент И-НЕ

Объединив таким образом логические элементы И и НЕ, мы создали уникальный вентиль, который имеет свои собственные уникальные выходы для заданных входов.Тогда таблица истинности будет выглядеть так:

A	B	AB	$ \ overline {AB} $
0	0	0 1
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	1	1	1 замените 2 вышеуказанных логических элемента на эквивалентный логический элемент И-НЕ. Рисунок 7: Схематический символ для логического элемента NAND Примечание: схематический символ NAND — это просто логический элемент И с символом отрицания на его выходе Таблица истинности для логического элемента NAND: NOR GATE Когда у нас есть логический элемент ИЛИ, и мы следуем за ним с помощью инвертора, у нас есть вентиль ИЛИ . Рисунок 8: Логический элемент ИЛИ Объединив таким образом логические элементы ИЛИ и НЕ, мы создали уникальный вентиль, который имеет свои собственные уникальные выходы для заданных входов.Тогда таблица истинности будет выглядеть так: 9020 A B A + B $ \ overline {A + B} $ 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Мы можем заменить 2 указанных выше ворот на эквивалентные ворота NOR. Рисунок 9: Схематический символ логического элемента И-НЕ Примечание: схематический символ ИЛИ-НЕ — это просто логический элемент ИЛИ с символом отрицания на выходе. Таблица истинности для логического элемента ИЛИ-ИЛИ: Логические выражения и логические схемы Для анализа и устранения неисправностей цифровых схем необходимо иметь возможность записывать логические выражения из логических схем ИЛИ рисовать схемы, заданные только логическими значениями. alexxlab Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт Рубрики Прост Радио Разное Своими руками Советы Схем Схемы Транзист Транзисторы Электрон Электроника