Таблица истинности оператора NOT

Таблицы истинности – общие математические таблицы, которые используются в логике. Их полезно выучить наизусть, чтобы затем применять при построении алгоритмов и написании программ.

Использование логических операторов для управления потоком

Для управления результатом и потоками данных программы можно использовать условные операторы (condition) с выражениями (clause).

Условные операторы оценивают значение как истинное или ложное.

Выражение – это блок кода, который идёт после условного оператора и определяет результат программы.

Ниже приведён блок кода, который показывает, как объединить условные операторы для управления потоком программы Python.

if grade >= 65:             # условие
print("Passing grade")      # выражение
else:
print("Failing grade")

Эта программа оценивает результат каждого студента и определяет, сдал он экзамен или нет. К примеру, если студент набрал 83, первое условие будет иметь значение True, и программа выведет на экран строку:

Passing grade

Если же студент набрал 59 баллов, первое условие будет ложно, потому программа выдаст:

Failing grade

Читайте также: руководство PEP 8

Заключение

Данное руководство охватывает основы работы с логическими данными Python.

Читайте также:

Типы данных в Python 3

Условные операторы в Python 3

Полный список символов алгебры

Алгебра — это раздел математики, относящийся к манипулированию символами и их правилам. Ниже приводится подборка из символов из различных разделов алгебры, включая базовую алгебру, теорию чисел, линейную алгебру и абстрактную алгебру.

Для удобства чтения эти символы разбиты по функциям и темам на диаграммы и таблицы . Другие полные списки символов — с разбивкой по темам и типам — также можно найти на соответствующих страницах ниже (или на панели навигации).

Содержание

Предпочитаете версию в формате PDF?

Получите основную сводку математических символов в форме электронной книги — вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.

Да. Это было бы полезно.

Константы

В алгебре константы — это символы, используемые для обозначения ключевых математических элементов и наборов. В следующих таблицах описаны наиболее распространенные из них — вместе с названием каждого символа, его использованием и примером.

(Общие общие константы см. в разделе Общие математические константы.) 92 + 1 = 0$ $\mathbf{0}$, $\vec{0}$ Нулевая матрица $O_{2 \times 3} = \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ $I$ Матрица идентичности $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $e$ Единичный элемент группы Для всех $g \in G$, $g \circ e = e \circ g = g$.

Ключевые математические наборы

В алгебре одни наборы чисел (или другие более сложные объекты) встречаются чаще, чем другие. Эти наборы часто обозначаются некоторыми вариантами букв алфавита  , многие из которых набраны жирным шрифтом на доске.

Символ Название	Пояснение	Пример
$ \ mathbb {p} $	Набор Prime Numbers	$ 127 \ in \ mathbb {p} $
$ \ \ числа (начиная с $0$)	$0 \in \mathbb{N}_0$
$\mathbb{N}_1$	Набор из натуральных чисел (начиная с $04$)	$0 \notin \mathbb{N}_1$
$\mathbb{Z}$	Набор из целых чисел	Для всех $x, y \in \mathbb{N}$, $x-y \in \mathbb{Z}$.
$\mathbb{Z}_+$	Набор из натуральных чисел	$\mathbb{Z}_+ = \mathbb{N}_1$
$\mathbb	Набор из рациональных чисел	$3.\overline{73} \in \mathbb{Q}$
$\mathbb{Q}_p$	Набор из p-адических чисел 54 9 $\mathbb{Q}_{10}$, $-1 = …999$ (как $1 + …999 = 0$).
$\mathbb{A}$	Набор из алгебраических чисел	$\sqrt{5} + 3 \in \mathbb{A}$
$\mathbb 4 $\mathbb 4 Набор из действительных чисел	$i \notin \mathbb{R}$
$\mathbb{R}_+$	Набор из положительных действительных чисел	Для всех $x, y \in \mathbb{R}_+$, $xy \in \mathbb{R}_+$.
$\mathbb{R}_-$	Набор из отрицательных действительных чисел	Если $a, b \in \mathbb{R}_-$, то $a+b \in \mathbb{R}_-$.
$\mathbb{R}-\mathbb{Q}$	Набор из иррациональных чисел	$\log 2 \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}$
Набор из мнимых чисел	$5i \in \mathbb{I}, 2+3i \notin \mathbb{I}$
$\mathbb{C}$	Набор из комплексных чисел	Существует число $x \in \mathbb{C}$ такое, что $x^2 + 2x + 3 = 0$. 92 + 2x +1$ $\in \mathbb{Z}[x]$

Переменные

Поскольку алгебра занимается оперированием математическими символами, она часто использует широкий диапазон переменных как заполнители для различных объектов и количеств. В следующей таблице описаны наиболее распространенные из них, а также их соответствующее использование и пример.

Название символа	Используется для	Пример
$m, n, p, q$	Натуральные числа и целые числа	$m+n-2p = q$
$a, b, c$	30 Коэффициент функции 9045 900 и уравнения	Линейное уравнение имеет общий вид $ax+by+c = 0$.
$x, y, z$	Неизвестные в функциях и уравнениях	Если $14x + 2y = 4$, то $y = 2-7x$.
$\Delta$	Дискриминант 9{(3,5)} \frac{i + j}{2}$
$z$	Комплексные числа	$ |z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$
$f(x)$, $g(x, y)$, $h(z)$	Функции	$g(f(x), 3) = h( x)$
$\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$ (или $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$)	Векторы	$2\mathbf{u} + 3\mathbf{v} = 5\mathbf{w}$
$U, V, W$	Векторные пространства	$U$ — подпространство векторного пространства $V$.
$ A, B, C $	MATRICES	$ ab \ ne ba $
$ \ lambda $	eigenvalues ​​	$ $. mathbf{v_0}$, $3$ — собственное значение $A$.
$G, H$	Группы	Существует элемент $e \in G$ такой, что для всех $x \in G$ $x \circ e = x$.

Разделители

В математике разделители — это символы, используемые для обозначения разделения между независимыми математическими объектами. В следующей таблице представлены некоторые из наиболее распространенных разделителей в алгебре. Общие общие разделители см. в разделе Общие разделители.

Имя символа	Объяснение	Пример
\begin{bmatrix} x & y \\ w & z\end{bmatrix}$	Индикаторы векторов/матриц	$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \\ \ begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 9 \end{pmatrix} $
$\{ \}$	Построитель наборов	$\{ -1, 3. \overline{5}, \ pi \} \in \mathbb{R}$
$\bigg\{$	Кусочно-функциональный индикатор	$|x| = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x<0 \end{cases}$
$:$, $\mid$	Маркер «такой, что»	$\mathbb{Q} =$ $\displaystyle \left\{ \frac{x}{y} \,\ middle|\, x \in \mathbb{Z}, y \in \mathbb{N} \right\}$

Символы, связанные с функциями

В качестве основного компонента алгебры функция играет ключевую роль роль в установлении правил, касающихся манипулирования символами. В следующей таблице описаны некоторые из наиболее распространенных операторов и обозначений, связанных с функциями, а также их значение и примеры. 93$ переводит число в свой куб. $\mathrm{dom}(f)$ Домен из $f$ $\mathrm{dom} (g) = \mathbb{R}_+$ $\mathrm {ran}(f)$ Диапазон из $f$ Если $\mathrm{ran} (f) = \mathbb{Z}$, то $f$ является целочисленной функцией. $f(x)$ Изображение элемента $x$ под действием функции $f$ $f(g(3)) = f(5) = 7$ $f( Х)$9{+} \subseteq T$.

Операторы

В алгебре операторов можно рассматривать как особый тип функции, отображающей одну или несколько математических единиц в другую, и часто получают специальные имена или обозначения из-за их повторения.

В частности, эти операторы часто связаны с числами , ключевыми функциями , линейной алгеброй и абстрактной алгеброй — подавляющее большинство из которых можно найти в таблицах ниже. Общие операторы см. в разделе Общие операторы.

Операторы, связанные с номером,

.

Название символа	Объяснение	Пример
$ \ GCD (x, y) $	9003 GESTEM AMPARIOD DIVISIS DIVISISISISIOR $	9003 GESTER Common DIVISISISISIS $ $	9003 GESTER AMPISOR.	$\gcd (20, 15) = 5$
$\mathrm{lcm} (x, y)$	Наименьшее общее кратное чисел $x$ и $y$	$\mathrm{lcm } (x, y) = \dfrac{xy}{\gcd (x, y)}$
$x \bmod y$	Остаток от $x$ при делении на $y$	$23 \bmod 4 = 3$
$|x|$	Абсолютное значение от $x$	| = |5| = 5 $
$ \ lfloor x \ rfloor $	Пол $ x	$ \ lfloor 5,999 \ rfloor = 5 $
$ \ lceil x \ rceil $
$ \ lceil x \ rceil $
$ \ lceil x \ rceil $
$ \ lceil x \ rceil $
$ \ $x$	Для всех $x \in \mathbb{R}$ $\lceil x \rceil-1 < x \le \lceil x \rceil$. 9y $
$ \ ln x $	Натуральная логарифмическая функция	$ \ ln 10 = \ ln 2 + \ ln 5 $
$ \ x $
$\log 1000000 = 6$
$\log_b x$	Логарифмическая функция по основанию $b$	$\log_{11} 23 = \dfrac{\ln 23}{\ln 11} $
$\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\sec x$, $\csc x$, $\cot x$	6 92 \cdot 3 \cdot 5$, $\omega(60)=3$.
$\mathrm{id}_A (x)$	Функция тождества на множестве $A$	Для всех множеств $A$ $\mathrm{id}_A$ взаимно однозначно и на.
$\mathbf{1}_A(x)$, $\chi_A(x)$	Индикаторная/характеристическая функция множества $A$	$\mathbf{1}_{\mathbb{Q }}(x) = \\ \begin{case} 1 & x \in \mathbb{Q} \\ 0 & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$
$\delta_{ij }$	Дельта-функция Кронекера	Для каждой единичной матрицы $I$ $I_{ij}=\delta_{ij}$.

Операторы, связанные с комплексными номерами

Название символа	Объяснение	Пример
$ \ bar {z} $
$ \ bar {z} $
$ \ bar {z} $
$ \ $ $ $
$ \ $ $
. \overline{5 + 6i}= \\ 5-6i$
$\Re(z)$	Действительная часть комплексного числа $z$ 9{\pi i}$

Operators in Linear Algebra

Vector-related Operators

Операторы, связанные с матрикой,

. = O$

Vector-space-related Operators

Symbol Name	Explanation	Example
$\ ker(f)$	Ядро линейного отображения $f$	$\mathbf{v} \in \ker(f) \iff$ $f(\mathbf{v})=\mathbf{0} $
$\mathrm{span}(S)$	Span набора векторов $S$	$\mathrm{span} \left( \{ (1, 2), (4, 5) ) \} \справа)$ 92$
$\dim(V)$	Размерность векторного пространства $V$	$\dim(W) \le \dim(V)$
$W_90$ 6	Сумма подпространств $W_1$ и $W_2$	Для всех $\mathbf{w_1} \in W_1$ и $\mathbf{w_2} \in W_2$, $\mathbf{w}_1+\mathbf{w }_2$ $\in W_1 + W_2$.
$W_1 \oplus W_2$	Прямая сумма подпространств $W_1$ и $W_2$	Если $W_1 + W_2 = V$ и $W_1 \cap W_2 = \{\mathbf{0}\ }$, то $W_1 \oplus W_2 = V$.
$V_1 \times V_2$	Прямое произведение векторных пространств $V_1$ и $V_2$	Если $\mathbf{v_1} \in V_1$ и $\mathbf{v}_2 \in V_2 $, затем $(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2) \in V_1 \times V_2$.
$V_1 \otimes V_2$	Тензорное произведение векторных пространств $V_1$ и $V_2$	$\dim (V_1 \otimes V_2) =$ $\dim(V_1) \times \times \dim(V_2)$
$V/W$	Частное пространство 9{\!*}) = \ dim (v) $

Операторы в абстрактной алгебре

Название символа	Объяснение
$
																														. класс элемента $a$	В $\mathbb{Z}_5$, $[2] =$ $\{ 2 + 5m \mid m \in \mathbb{Z} \}$.
$\deg(p(x))$	Степень многочлена $p(x)$	$\deg (p(x) q(x)) =$ $\deg(p (х)) + \deg(q(x))$
$\langle S \rangle$	Подгруппа , порожденная элементами множества $S$	Если $G=\langle S \rangle$, то $S$ является генератором $G$.
$ H_1 \ Oplus H_2 $	Прямая сумма из подгрупп $ H_1 $ и $ H_2 $	$ g = H_1 \ toplus H_2 $
$ G_1 \ Times G_2 $
$ G_1 \ Times G_2 $
$ G_1 \ Times G_2 $
. групп $G_1$ и $G_2$	$(e_{G_1}, e_{G_2}) \in \\ G_1 \times G_2$
$ST$	Произведение групповых подмножеств $S$ и $T$	Если $S, T \subseteq G$, то $ST$ $=\{st \mid s \in S \ земля t \in T \}. $
$N \rtimes H$	Полупрямое произведение подгрупп $N$ и $H$	$G = N \rtimes H$
$G_1 \wr G_2$	Сплетение групп $G_1$ и $G_2$	$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$
$G/N$	Факторгруппа группы $G$ по подгруппе $N$	$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = \\ \{[0], [1], [2]\}$
$R/I$	Факторкольцо кольца $R$ по идеалу $I$	Существует естественный гомоморфизм из $R$ в $R/I$.
$\mathrm{ker}(f)$	Ядро гомоморфизма $f$	$x_1, x_2 \in \mathrm{ker}(f) \implies$ $x_1 \circ x_2 \in \mathrm{ker}(f)$
$\overline{\mathbb{F}}$	Алгебраическое замыкание поля $\mathbb{F}$	$\overline{\mathbb {R}} = \mathbb{C}$

Символы отношения

В алгебре символа отношения используются для выражения отношения между двумя математическими объектами и часто связаны с такими понятиями, как равенство, сравнение, делимость и другие отношения более высокого порядка. В следующих таблицах описаны наиболее распространенные из них, а также их использование и значение. 92 \примерно 7,4$ $x \sim y$,
$xRy$ $x$ связано с $y$ (как определено некоторым математическим соотношением) $xRy$ тогда и только тогда, когда $x+y = 2m$ для некоторого $m \in \mathbb{Z}$. $x \equiv y$ $x$ эквивалентно до $y$ $11 \equiv 23 \;\mathrm{mod}\,12$ $f(x)45 $f(x)45 propto g(x)$ Функция $f$ прямо пропорциональна функции $g$ 94)} \gg 1000000$ $x \prec y$ $x$ предшествует $y$ Если $x \prec y$ и $y \prec z$, то $x \prec з$. $x \preceq y$ $x$ предшествует или равно $y$ $(u_1, u_2) \preceq (v_1,v_2)$ тогда и только тогда, когда $u_1 \le v_1$ и $u_2 \le v_2$. $x \succ y$ $x$ успеха $y$ $x \succ y \iff y \prec x$ $x \succeq y$0046 $x$ предшествует или равно $y$ $f \succeq g$ тогда и только тогда, когда $f(x) \ge g(x)$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Основанные на номере реляционные символы

Реляционные символы в абстрактной алгебре

$ varstrian $ $ varstrian $ varstrian $ $ varstrian. 4$

Основной список символов см. в разделе математические символы. Списки символов, классифицированных по типу и предмету , см. на соответствующих страницах ниже.

Предпочитаете версию в формате PDF?

Получите основную сводку математических символов в форме электронной книги — вместе с использованием каждого символа и кодом LaTeX.

Да. Это было бы полезно.

Дополнительные ресурсы

• Полное руководство по изучению высшей математики : Система из 10 принципов для эффективного обучения математике, мышления и решения задач
• Полное справочное руководство по LaTeX : Полное справочное руководство по LaTeX, позволяющее сделать процесс LaTeX более рациональным, эффективным и менее болезненным
• Электронная книга по линейной алгебре Серия : четыре бесплатных электронных книги по различным подтемам вводной линейной алгебры
• 10 заповедей высшего математического обучения : иллюстрированное веб-руководство по 10 масштабируемым правилам для изучения высшей математики

Таблица логических математических символов | Justfreetools

Имейте в виду, что вне логики разные символы имеют одно и то же значение, а один и тот же символ имеет, в зависимости от контекста, разные значения.

Чтение логических символов пугает многих людей больше, чем следовало бы. Сам термин «символическая логика» звучит устрашающе, и наличие даже небольшой доли символизма может отпугнуть многих читателей от текстов, которые в противном случае были бы вполне понятны. Следующее объяснение знакомит с символикой, используемой в этой работе, и перечисляет некоторые вариации, которые могут встречаться в других работах. Следует отметить, что технические термины, используемые в этом приложении, также объясняются под их собственными заголовками в основной части словаря, и там, где это уместно, даны перекрестные ссылки.

Строчные курсивные буквы из этой части алфавита: p , q , r …, используются как пропозициональные переменные. Это означает, что они обозначают предложения или утверждения. Некоторым логикам не нравятся эти категории, и они предпочитают называть их буквами предложения или сентенциальными переменными. В любом случае они возникают там, где можно заменить предложение, так же как x и y в алгебре стоят там, где можно заменить выражение для числа. Утверждение типа «Если кто-то считает, что p  и  q  тогда он считает, что p ‘ говорит, что в любом случае, когда кто-то верит в соединение (например, «Идет дождь и ветрено», тогда этот человек верит в его отдельные части (что это встречаются заглавные буквы (P, Q,…) или курсивные заглавные P , Q ,…

Строчные курсивные буквы с конца алфавита: x ,  y , z …, используются как объектные переменные. Это означает, что они стоят там, где может иметь место ссылка на человека, вещь или число. Используя такую ​​переменную, приведенный выше пример можно было бы сформулировать так: «Если x полагает, что p и q , затем x полагает, что p ’, где x обозначает любого человека. Это обозначение является практически универсальным, хотя типографский вид переменных различается.

Как и в обычной математике, строчные латинские буквы, особенно n, k, j…, используются в контексте для обозначения определенных чисел. С самого начала алфавита a, b, c… также являются отдельными константами или терминами, используемыми в контексте для обозначения определенных вещей или людей. Фа означает, что некоторая конкретная вещь, а, есть F и, следовательно, является самостоятельным предложением, истинным или ложным, в зависимости от обстоятельств. Ф  x 92 124 – нет, поскольку переменная  92 123 x ничего не выбирает.

Заглавные латинские буквы F, G, R обозначают предикаты и выражения отношений. Конкретные их примеры являются стандартными: например, тождество (=), неидентичность (≠), больше и меньше (>, <) и другие математические отношения. По обычному соглашению сказуемые буквы стоят перед терминами, к которым они применяются. Fn означает, что n равно F; Rab означает, что a имеет отношение R к b. В некоторых работах это будет написано aRb.

Наиболее простыми отношениями между предложениями, изучаемыми в логике, являются функции истинности. К ним относятся:

Не . Не- р  является отрицанием р.  В классическом понимании ложным является утверждение, когда p истинно, и наоборот. В этой работе пишется не- p  в неформальном контексте, а ¬ p  в более формальном контексте. Это означает то же самое. Встречающиеся варианты включают — p и ~ с.

А.   p  и q  является конъюнкцией двух предложений. Это истинно тогда и только тогда, когда они оба истинны. В этой работе написано p и q . Встречающиеся варианты включают p  ·  q и, чаще, p ∧  q .

или . p или q — это дизъюнкция двух предложений. Оно истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из них. В этой работе написано p ∨ q , и это стандарт. Исключительная дизъюнкция, означающая, что одно из p , q является истинным, но не оба, иногда встречается, пишется p ⊻  q.

Значение . Логика изучает различные виды следствий. Самый простой из них называется материальной импликацией. Здесь написано p → q . Наиболее распространенный вариант – p ⊃  q .

Эквивалент . Если p → q и q → p , то p и q называются эквивалентными (у них одинаковое истинностное значение). Неофициально это часто выражается как p iff q . Написано p ↔ q . Наиболее распространенная альтернатива: p ≡ q .

Это основной набор функций истинности, в терминах которых обычно определяются другие. В исчислении предикатов изучается внутренняя структура предложений, а также отношения между ними. Ключевыми понятиями являются два квантификатора:

Универсальный квантор . В этой работе это написано ∀. (∀ x )F x  означает, что все является F. Возможные варианты включают (A x )F x  и ( x )F x .

Квантор существования . В данной работе это написано ∃. (∃ x )F x  означает, что что-то есть F. Основное изменение, которое может встречаться, это (E x )F x .

В исчислении предикатов могут быть определены числовые кванторы, например (∃n x )(F x ) означает, что существует n x таких, что F x. Основным вариантом является (∃! x )F x  (называемый Э-визг x), что означает, что существует ровно одно x  такое, что x  является F.

Термины могут быть определены из определенных описаний . Основные встречающиеся примеры: (1 x )F x (уникальное x  такое, что x  является F) и (µ x )F x (наименьшее  x  такое, что x  равно F).

Модальная логика изучает понятие необходимости или возможности предложений. Основные обозначения:

Обязательно p . Написано □ стр . Основная вариация N p .

Возможно стр . Написано ⋄ стр . Основная вариация М р .

В *метатеории или теории логических систем предметом обсуждения становятся формулы и их отношения. В этой работе заглавные буквы A, B являются переменными для формул, где A1…An относится к последовательности формул. В других произведениях может встречаться греческий язык в различных формах (α, β…). Основные отношения, которые имеют значение:

Существует доказательство B из A. Стандартно это записывается как A ⊦ B.

B истинно во всех интерпретациях, в которых A истинно. Обычно это записывается A ⊧ B.

В традиционной или аристотелевской логике не существует такого же набора понятий. Предполагается, что предложения состоят из терминов, таких как подлежащее и сказуемое, или среднего термина силлогизма. В этой работе для них используются заглавные латинские буквы (S, P, M). Теория множеств вводит небольшой новый набор фундаментальных терминов:

{ x : F x } относится к набору вещей, x , которые соответствуют условию F. Теперь это стандарт. На множество также можно ссылаться, перечисляя его элементы («расширенно»): {a, b, c} — это множество, элементами которого являются a, b и c.

Набор без элементов или нулевой набор записывается как ∅. Более старая вариация — ∧.

Сами наборы обозначаются заглавными буквами S, T и т. д. Возможны различные типографские варианты.

∈ обозначает принадлежность к множеству. x  ∈ S означает, что x  является элементом множества S.

x  ∈ { y : G y } означает, что x  является элементом множества G .

<…> относится к упорядоченному n-кортежу.

Основные понятия, используемые для построения множеств, включают:

Пересечение . S Союз . S ∪ R — это множество вещей, принадлежащих либо S, либо R. Это тоже стандартно.

Дополнение . S̄ — множество вещей, не принадлежащих S.

Декартово произведение . S×R — это множество упорядоченных пар, первый член которых принадлежит S, а второй — R.

Отношения между множествами включают: что S ⊆ S).

Собственное подмножество : S ⊂ R означает, что S включено в R (это подмножество, но не идентичное R).

Основные нестандартные обозначения, с которыми можно столкнуться, – это польские обозначения, которые объясняются в основной части словаря, а также подстановочная квантификация и ее обозначения.

В настоящее время у нас есть около 5611 калькуляторов, таблиц преобразования и полезных онлайн-инструментов и программных функций для студентов, преподавателей и преподавателей, дизайнеров и просто для всех.

Вы можете найти на этой странице финансовые калькуляторы, ипотечные калькуляторы, калькуляторы для кредитов, калькуляторы автокредита и калькуляторы лизинга, калькуляторы процентов, калькуляторы выплат, пенсионные калькуляторы, калькуляторы амортизации, инвестиционные калькуляторы, калькуляторы инфляции, калькуляторы финансов, калькуляторы подоходного налога , калькуляторы сложных процентов, калькулятор зарплаты, калькулятор процентной ставки, калькулятор налога с продаж, калькуляторы фитнеса и здоровья, калькулятор ИМТ, калькуляторы калорий, калькулятор жировых отложений, калькулятор BMR, калькулятор идеального веса, калькулятор темпа, калькулятор беременности, калькулятор зачатия беременности, срок родов калькулятор, математические калькуляторы, научный калькулятор, калькулятор дробей, калькулятор процентов, генератор случайных чисел, калькулятор треугольника, калькулятор стандартного отклонения, другие калькуляторы, калькулятор возраста, калькулятор даты, калькулятор времени, калькулятор часов, калькулятор среднего балла, калькулятор оценок, конкретный калькулятор, подсеть калькулятор, генератор паролей калькулятор преобразования tor и многие другие инструменты, а также для редактирования и форматирования текста, загрузки видео с Facebook (мы создали один из самых известных онлайн-инструментов для загрузки видео с Facebook). Мы также предоставляем вам онлайн-загрузчики для YouTube, Linkedin, Instagram, Twitter, Snapchat, TikTok и других сайтов социальных сетей (обратите внимание, что мы не размещаем видео на своих серверах. Все видео, которые вы загружаете, загружаются с Facebook, YouTube, Linkedin, CDN в Instagram, Twitter, Snapchat, TikTok. Мы также специализируемся на сочетаниях клавиш, ALT-кодах для Mac, Windows и Linux и других полезных советах и ​​инструментах (как написать смайлики онлайн и т. д.)

Есть много очень полезных бесплатных онлайн-инструментов, и мы будем рады, если вы поделитесь нашей страницей с другими или пришлете нам какие-либо предложения по другим инструментам, которые придут вам на ум. Также, если вы обнаружите, что какой-либо из наших инструментов не работает должным образом или нуждается в лучшем переводе, сообщите нам об этом. Наши инструменты сделают вашу жизнь проще или просто помогут вам выполнять свою работу или обязанности быстрее и эффективнее.

Ниже приведены наиболее часто используемые многими пользователями по всему миру.

• Бесплатные онлайн-калькуляторы и инструменты
• Калькуляторы часовых поясов/часов/дат
• Бесплатные онлайн-калькуляторы перевода единиц
• Бесплатные онлайн-инструменты для веб-дизайна
• Бесплатные онлайн-инструменты для электричества и электроники
• Математика

  9 Онлайн-инструменты

  9

• Инструменты PDF
• Код
• Экология
• Прочее
• Бесплатные онлайн-загрузчики для социальных сетей
• Номера
• Algebra
• Trigonometry
• Probability & Statistics
• Calculus & analysis
• Mathematical symbols
• Algebra symbols
• Asterisk sign
• Basic math symbols
• Calculus symbols
• Division sign
• Equals sign
• Geometry symbols
• Греческий алфавит
• Символ бесконечности
• Символ бесконечности ALT-код
• Символ бесконечности в MS Word
• Символ бесконечности на Facebook
• Символ бесконечной бесконечности на клавиатуре
• Символ бесконечности на MAC
• — это бесконечность. Реальное число
• Логические символы
• Минус Знак
• Символ. Статистические символы
• Знак времени

И мы все еще развиваемся. Наша цель — стать универсальным сайтом для людей, которым нужно быстро рассчитать или найти быстрый ответ для основных конверсий.

Кроме того, мы считаем, что Интернет должен быть источником бесплатной информации. Поэтому все наши инструменты и сервисы абсолютно бесплатны и не требуют регистрации. Мы кодировали и разрабатывали каждый калькулятор индивидуально и подвергали каждый из них строгому всестороннему тестированию. Однако, пожалуйста, сообщите нам, если вы заметите малейшую ошибку — ваш вклад чрезвычайно ценен для нас. Хотя большинство калькуляторов на Justfreetools.com предназначены для универсального использования во всем мире, некоторые из них предназначены только для определенных стран.

Логические символы — Citizendium

Содержание этой страницы создано в Википедии и еще не было значительно улучшено. Авторам предлагается заменить и добавить материал, чтобы сделать эту статью оригинальной.

В логике базовый набор из логических символов используется как сокращение для логических конструкций. Поскольку эти символы часто считаются знакомыми, они не всегда объясняются. Для удобства в следующей таблице перечислены некоторые распространенные символы вместе с их названиями, произношением и соответствующими областями математики. Кроме того, в третьем столбце содержится неформальное определение, а в четвертом столбце приведен краткий пример.

Имейте в виду, что вне логики разные символы имеют одно и то же значение, а один и тот же символ имеет, в зависимости от контекста, разные значения.

Символ	Имя	Пояснение	примеров	Значение Юникода	HTML Сущность	Символ LaTeX
	Следует читать как
	Категория
	материальное значение	A ⇒ B означает, что если A верно, то B также верно; если A ложно, то о B ничего не говорится. → может означать то же, что и ⇒ (символ может также указывать домен и домен функции; см. таблицу математических символов). ⊃ может означать то же, что и ⇒ (символ также может означать надмножество).	x = 2 ⇒ x 2 = 4 верно, но x 2 = 4 ⇒ x = 2 в общем случае может быть -3 x 9212 -3 x 9212.	U+21D2 U+2192 U+2283	⇒ → &up;	⇒ {\ displaystyle \ Rightarrow} \ Rightarrow → {\ displaystyle \ to} \ to ⊃ {\ Displaystyle \ расстроен} \ расстроен
	подразумевает; если .. то
	логика высказываний, алгебра Гейтинга
		A ⇔ B означает, что A истинно тогда и только тогда, когда B истинно.	x  + 5 = y  +2  ⇔  x  + 3 = y	U+21D4 U+2261 U+2194	⇔ экв. ↔	⇔ {\ Displaystyle \ Leftrightarrow} \ Leftrightarrow ≡ {\ Displaystyle \ эквив} \ эквив ↔ {\ Displaystyle \ Leftrightarrow} \ Leftrightarrow
	тогда и только тогда, когда; если
	пропозициональная логика
	отрицание	Утверждение ¬ A истинно тогда и только тогда, когда A ложно. Косая черта, помещенная через другой оператор, аналогична «¬», помещенной впереди.	¬(¬ A ) ⇔ A x  ≠  y   ⇔  ¬( x  =  y )	U+00AC U+02DC	&нет; &тильда; ~	¬{\ displaystyle \ lnot} \ lnot ∼ {\ displaystyle \ sim} \ sim
	нет
	пропозициональная логика
	логическое соединение	Заявление А ∧ B истинно, если A и B оба истинны; иначе это ложь.	n  < 4  ∧  n  >2  ⇔  n  = 3, когда n — натуральное число.	и+2227 и+0026	&и; &ампер;	∧ {\ Displaystyle \ клин} \ клин или \ земля \ & [1]
	и
	пропозициональная логика
	логическая дизъюнкция	Утверждение A ∨ B истинно, если A или B (или оба) верны; если оба ложны, утверждение ложно.	n  ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n  ≠ 3, когда n — натуральное число.	U+2228	&или;	∨{\ Displaystyle \ лор} \ лор
	или
	пропозициональная логика
	исключительная дизъюнкция	Утверждение A ⊕ B истинно, когда либо A, либо B, но не оба, истинны. A ⊻ B означает то же самое.	(¬ A ) ⊕ A всегда верно, A ⊕ A всегда ложно.	U+2295 U+22BB	+	⊕ {\ displaystyle \ oplus} \ oplus ⊻ {\ displaystyle \ veebar} \ veebar
	хор
	логика высказываний, булева алгебра
	Тавтология	Утверждение ⊤ безусловно истинно.	A ⇒ ⊤ всегда верно.	У+22А4	Т	⊤ {\ displaystyle \ top} \ top
	верх
	логика высказываний, булева алгебра
	Противоречие	Утверждение ⊥ безусловно ложно.	⊥ ⇒ Число всегда истинно.	У+22А5	% Ф	⊥{\ Displaystyle \ бот} \ бот
	снизу
	логика высказываний, булева алгебра
∀	универсальный количественный анализ	∀  x : P ( x ) означает P ( x ) верно для всех х .	∀  n  ∈ N : n 2  ≥ n .	U+2200	∀	∀{\ displaystyle \ forall} \ forall
	для всех; для любого; для каждого
	логика предикатов
∃	экзистенциальная квантификация	∃  x : P ( x ) означает, что есть хотя бы одно x , так что P ( x ) истинно.	∃ n  ∈ N : n четно.	U+2203	&существует;	∃ {\ Displaystyle \ существует} \ существует
	существует
	логика первого порядка
∃!	количественная оценка уникальности	∃! x : P ( x ) означает, что существует ровно одна x , так что P ( x ) верно.	∃! n  ∈ N : n + 5 = 2 n .	U+2203 U+0021	&существует; !	∃! {\ Displaystyle \ существует!} \ существует!
	существует ровно один
	логика первого порядка
	определение	x := y или x  ≡ y означает, что x определяется как другое имя для y (но обратите внимание, что ≡ может также означать другие вещи, такие как конгруэнтность). P  :⇔ Q означает, что P определен как логически эквивалентный Q .	COSH x : = (1/2) (exp x + exp ( — x )) A xor B : ⇔ ( A ∨ B : ⇔ A ∨ B : ⇔ A ∨ B : ⇔ A ∨ B : ⇔ A ∨ B : ⇔ A ∨ B : ⇔ A a B : ⇔ A . ∧ Б )	U+2254 (U+003A U+003D) U+2261 U+003A U+229C	:= : &эквивалент; ⇔	: = {\ Displaystyle: =}: = ≡ {\ Displaystyle \ эквив} \ эквив ⇔ {\ Displaystyle \ Leftrightarrow} \ Leftrightarrow
	определяется как
	везде
( )	группировка по приоритету	Сначала выполните операции внутри скобок.	(8/4)/2 = 2/2 = 1, но 8/(4/2) = 8/2 = 4.	U+0028 U+0029	( )	( ) ​​{\ Displaystyle (~)} ( )
	везде
⊢	вывод	x ⊢ y означает, что y получено из x .	А → В ⊢ ¬ В → ¬ А	У+22А2		⊢{\ Displaystyle \ vdash} \ vdash
	предполагает или является производным от
	логика высказываний, логика первого порядка

1. ↑ Хотя этот символ доступен в LaTeX, система Mediawiki TeX не поддерживает этот символ.

Математические символы — список символов, примеры решений

Математика — это числа, символы и формулы. Математические символы используются для разных целей в разных областях математики. Использование символов для представления математической информации облегчает понимание выражений, поскольку эти символы показывают взаимосвязь между величинами. В этой статье давайте рассмотрим общие, которые мы используем в разных областях математики.

1.	Общие математические символы
2.	Константы, используемые в качестве математических символов
3.	Математические символы, используемые в логике
4.	Диаграмма Венна и символы теории множеств
5.	Цифровые символы
6.	Символы геометрии и алгебры
7.	Греческие алфавиты и символы комбинаторики
8.	Решенные примеры
9.	Практические вопросы
10.	Часто задаваемые вопросы о математических символах

Общие математические символы

Если мы напишем несколько раз слова «прибавление 4 к 2 дает 6», это может усложнить ситуацию. Эти слова также занимают больше места и требуют времени для написания. Вместо этого мы можем сэкономить время и место, используя символы. Язык и словарный запас математики содержат большое количество символов, и этот список бесконечен — некоторые из них более технические, чем другие. У нас есть как минимум 10 000+ символов, и некоторые из них мы редко используем. Наиболее распространенные символы перечислены в следующей таблице:

Символы	Значение	Примеры математических символов
+	Добавить	5 + 4 = 9
—	Вычесть	5 — 4 = 1
=	Равно	1+1 = 2
\(\экв\)	Тождественно равно	(а+б) 2 \(\экв\) а 2 + 2аб +б 2
\(\примерно\)	Приблизительно равно	\(\пи \приблизительно 3,14\)
\(\neq\)	Не равно	5 + 4 \(\neq\) 1
\(\раз\)	Умножить	5 \(\раз\) 4 = 20
\(\дел\)	Разделить	10 \(\дел\) 2 = 5
\(<\)	Менее	10 \(<\) 20
\(>\)	Больше	20 \(>\) 10
\(\leq\)	Меньше или равно	х + у \(\leq\) г
\(\geq\)	Больше или равно	x +y \(\geq\) z
\(\%\)	Процент	50% = \(\begin{align}\frac{50}{100}\end{align}\)
\(. \)	Десятичная точка или период	\(\begin{align}\frac{1}{2} = 0,5\end{align}\)
\(-\)	Винкулум Разделяет числитель и знаменатель	\(\begin{align}\frac{2}{3}\end{align}\)
\(\sqrt{} \)	Квадратный корень	\(\sqrt{4} = 2\)
\(\sqrt[3]{х}\)	Кубический корень из x	\( \sqrt[3]{ 27} = 3\)
\( \sqrt[n]{x}\)	n th корень \(x\)	\( \sqrt[4]{16} = 2\)
\(()\)	Скобки	\(2+(5-3) = 2 +2 = 4\)
\([\:\:]\)	Квадратные скобки	\(\ начало {выравнивания} &3\раз[2 +(5 -2)] +1 \\ &3 \раз[2+3] +1 \\ &3 \times5+1\\ &16 \конец{выравнивание}\)
\(\{\}\)	Кронштейн для цветов	\(\ начало {выравнивания} &16 \div \{3\times[2 +(5 -2)] +1\}  \\ &16 \дел \{3 \раз[2+3] +1\} \\ &16 \дел \{3 \times5+1\}\\ &16 \дел \{16\} \\ &1 \конец{выравнивание}\)
\(\в\)	Принадлежит	0 \(\in\) Целое число
\(\нет\в\)	Не принадлежит	\(\frac{1}{2} \not\in\) Натуральные числа
\(\поэтому\)	Поэтому	\(х+1 = 2 \следовательно, х = 1\)
\(\потому что\)	Потому что	\(\begin{align}\frac{1}{2} \!\div\! 0. 5 \!= \!1 (\потому что\! \frac{1}{2} \!=\! 0.5)\ конец{выравнивание}\)
\(\infty\)	Бесконечность	Бесконечность бесчисленна, \(\begin{align}\frac{1}{3}\end{align}\) при записи в десятичной форме, бесконечно \(0,333…..\)
\(!\)	Факториал	\( 5!\ \!\!=\! 5 \!\раз\! 4 \!\раз\!3 \!\раз\! 2\! \раз\! 1\)

Константы, используемые в качестве математических символов

Мы используем константы в математике для обозначения неизменных объектов. Эти константы могут включать в себя ключевые математические наборы, ключевые числа, ключевые математические бесконечности и другие ключевые математические объекты (например, единичную матрицу). Эти математические константы чаще всего принимают форму буквы алфавита или ее производной. В следующей таблице перечислены некоторые наиболее часто используемые константы, а также их имена, значения и использование.

Имя символа	Пояснение
0 (ноль)	Аддитивная идентичность общих чисел
1 (один)	Мультипликативная идентичность обычных чисел
√2 (квадратный корень из 2)	Положительное число, квадрат которого равен 2. Приблизительно равно 1,41421.
e (постоянная Эйлера)	Основание натурального логарифма. Предел последовательности (1 + (1/n) n ). Приблизительно равно 2,71828
\(\pi\) (Pi, постоянная Архимеда)	Отношение длины окружности к ее диаметру. Половина окружности единичного круга. Приблизительно равно 3,14159
\( \phi\) (Phi, золотое сечение)	Отношение между большим числом и p меньшим числом q, когда (p+q)/p = p/q. Положительное решение уравнения y 2 -y-1 = 0 .
i (Воображаемая единица)	Главный корень из -1. Основной компонент комплексного числа.

Математические символы, используемые в логике

В следующей таблице показаны математические символы, используемые в логике.

Диаграмма Венна и символы теории множеств

В следующей таблице показаны математические символы, используемые в диаграммах Венна и теории множеств.

.

Цифровые символы

Цифровые символы с их примерами и соответствующие индийско-арабские цифры перечислены здесь, в таблице.

Символы	Значение	Примеры математических символов
Римская цифра I	Значение = 1	I = 1 , II = 2 , III = 3
Римская цифра V	Значение = 5	IV = 4 (5-1) ВИ = 6 (5+1) VII = 7 (5+2) VIII = 8 (5+3)
Римская цифра X	Значение = 10	IX = 9 (10-1) XI = 11 (10+1) XII = 12 (10+2) XIII = 13 (10+3)
Римская цифра L	Значение = 50	XLIX = 49 (50-1) ЛИ = 51 (50+1) 90 130 LIX = 59 (50+9) LXI = 61 (50+11)
Римская цифра C	Значение = 100 (столетие)	СС = 200 (100+100) CCLIX = 259 (100+100+50+9)
Римская цифра D	Значение = 500	DCLI = 651 (500+100+50+1) DCCIV = 704 (500+100+100+4)
Римская цифра М	Значение = 1000	мм = 2000 (1000+1000) MMCCLV = 2255(1000+1000+100+100+50+5)
R или \(\mathbb{R}\)	Вещественные числа	\(\frac{1}{2} , \frac{1}{4}, 0,5\)\(\sqrt{2},\sqrt{3}\)
Z или \(\mathbb{Z}\)	Целое число	-100,-20,5,10,. …
N или \(\mathbb{N}\)	Натуральные числа	1,2,3,…500,…
Q или  \(\mathbb{Q}\)	Рациональные числа	\(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, 0,5\)
P или \(\mathbb{P}\)	Иррациональные числа	\(\sqrt{2},\sqrt{3}\)
C или \(\mathbb{C}\)	Комплексные числа	5+2i

Символы геометрии и алгебры

В приведенной ниже таблице показаны наиболее часто используемые геометрические символы. Математические символы с названиями и примерами также приведены в таблице.

Алгебраические символы

В следующей таблице показаны наиболее часто используемые алгебраические символы. 2 \) \(\neq\) Не равно \(a + 5  = b+1  \ подразумевает a \neq b\) \(=\) Равно \(а = 5\)

\(\пропто\)

Пропорционально \(x \propto y \имеется в виду x= ky \) \(f(x)\) Функция отображает значения \(\)x в \(f(x)\) \( f(x) = x +3 \)

Греческие алфавиты и символы комбинаторики

В таблице ниже показаны греческие алфавиты, используемые в качестве математических символов. Их имена, использование и примеры также перечислены в таблице.

.

Символы	Значение	Примеры математических символов
\(\альфа\)	Альфа	Используется для обозначения углов, коэффициентов
\(\бета\)	Бета	Используется для обозначения углов, коэффициентов
\(\гамма\)	Гамма	Используется для обозначения углов, коэффициентов
\(\Дельта\)	Дельта	Дискриминантный символ
\(\варепсилон\)	Эпсилон	Используется для обозначения универсального набора
\(\йота\)	Йота	Представляет мнимое число
\(\лямбда\)	Лямбда	Представляет константу
\(\пи\)	Пи	\(\пи \примерно 3,14\)
\(\Сигма\)	Сигма	Представляет сумму
\(\тета\)	Тета	Представляет углы
\(\ро\)	Ро	Статистическая константа
\( \фи\)	Фи	Обозначение диаметра

Символы комбинаторики

В таблице ниже показаны наиболее часто используемые символы комбинаторики. 96{P_4} &= 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360\end{align}

Похожие статьи о математических символах

Ознакомьтесь со следующими страницами, посвященными математическим символам.

• Арифметика
• Алгебраические выражения
• Правила делимости
• Векторы

Важные примечания

Вот несколько моментов, которые следует помнить при изучении математических символов:

• Использование символов для представления информации облегчает понимание математических выражений.
• У нас есть как минимум 10 000+ символов, и некоторые из них мы редко используем.
• Мы используем константы в математике для обозначения неизменных объектов.

Часто задаваемые вопросы о математических символах

Что такое U в математических символах?

Математический символ U используется для обозначения множества, состоящего из элементов двух множеств. Следовательно, объединение двух множеств P и Q будет множеством элементов P и Q. Для обозначения множества используется специальный символ ∪, который выглядит как «U».

Сколько существует математических символов?

Более 10000 математических символов. Некоторые из основных: =,+,−,≠,±, * и так далее. Есть сложные символы, такие как \(\alpha\), \(\varepsilon\) и так далее.

Какой математический символ используется для обозначения периода волны?

Математический символ, который используется для обозначения периода волны, — λ. Он также известен как длина волны, которая измеряется в единицах расстояния.

Каково использование символа сложения?

Символ сложения (+) обычно используется при сложении двух и более чисел, например, 5 + 5. Кроме того, символ (+) также может использоваться для обозначения положительного числа, например, +7.

Перечислите некоторые распространенные арифметические математические символы.

Некоторые из распространенных арифметических математических символов: знак плюс (+), используемый для сложения, знак минус (-), используемый для вычитания, знак звездочки (*) или знак умножения (×), используемый для умножения, и знак деления (÷). или знак косой черты (/), используемый для деления. 9Обозначение 0005

. По каким причинам некоторые символы в математической логике не стандартизированы?

$\begingroup$

Почему так трудно найти стандартизацию в отношении символики и/или терминологии в математической логике?

Мы снова и снова видим, как студенты спрашивают, например, $\rightarrow$ и $\implies$ означают одно и то же: кто-то отвечает: «да», кто-то отвечает: «нет».

То же самое происходит с «тавтологией» и «достоверностью», с «логическим следствием» и «логически следует» и так далее…

Почему эта проблема все еще с нами и что мы можем с этим поделать?

• логика
• нотация
• история математики
• условность

$\endgroup$

15

$\begingroup$

Думаю, этому есть несколько причин. Мои идеи:

• Символическая логика все еще относительно новая область. (Вопреки вашему мнению, символическая логика началась не с древних греков, а с Begriffsschrift Фреге в 1879 г., даже не 150 лет назад, и даже не пытайтесь следовать его обозначениям.)
• Некоторые философы думали, что они уже все знают о логике, но даже не изучали ее и поэтому никогда не сталкивались со стандартной системой обозначений.
• Некоторые логики нуждались в других видах импликации (релевантной, строгой, материальной), отрицании (минимальной, субминимальной, конструктивной) или следования (стандартной, нечеткой, квази-, степени) для своей собственной логики и создавали для нее свои новые символы.
• Некоторые логики сравнивали разные логики и решили использовать другой набор связок, чтобы не запутаться совсем.
• Пара ввела свои собственные обозначения, потому что их не устраивала старая: польская запись, точечная запись, сжатая точечная запись, лямбда-нотация…

А может быть, кто-то хотел всех запутать 🙂

Добавлю немного:

Даже в таблицах истинности встречаются публикации, где $0$ соответствует истине, а другие — где $1$ соответствует истине. И это только при двузначной логике. Если вам повезет, у вас есть книга, в которой используются $T$ и $F$ или $\top$ и $\bot$. В любом случае $T$ или $\top$ означают истину, а $F$ или $\bot$ — ложь. Но даже в этом случае будьте осторожны: всегда сначала проверяйте значение.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Почему так трудно найти стандартизацию символизма. .. в математической логике?

Ну, если вы сравните ситуацию с (скажем) пятьдесят-шестьдесят лет назад — время, когда были написаны книги, которые я просматривал, когда был студентом, — я бы сказал, что произошла довольно значительная стандартизация в символизме, по крайней мере, в основных книгах/статьях по математической логике. И одной из причин этого, безусловно, стало повсеместное внедрение LaTeX, который позволяет так легко набирать 9 символов.0003 \land [для ‘логического и’] и всегда получать ‘$\land$’ (а не ‘&’, точку и т. д.) и набирать \forall x и получать ‘$\forall x$ ‘ (а не, например, ‘$(x)$’ или ‘$\Pi x$’). Итак, давайте будем должным образом благодарны за всю стандартизацию, которая сейчас существует!

Правда есть досадное дело с $\to$ vs $\implies$. Я думаю, это тоже частично связано с LaTeX, поскольку \ подразумевает, что дает второе. Теперь «A подразумевает B» используется в неформальной беседе и как вариант «если A, то B», и как вариант «A логически влечет B», то есть как то, что я мог бы классифицировать как $A \to B$, так и как $ A \vDash B$ [или $A \vDash B$]. И вот, мы обнаруживаем, что $\implis$ используется в обоих смыслах [в объектном языке или в метаязыке]. Консерватизм в символизме — это хорошо, поэтому я думаю, что использование $\implies$ должно быть осуждено: я бы сказал, используйте $\to$ для условного объектного языка и соответствующий турникет в метаязыке. Исключение может быть в последовательном исчислении. [Действительно, только когда я начал регулярно посещать math.se, я действительно заметил, что двойная стрелка так широко использовалась в непоследовательных исчислениях за пределами очень узкого логического сообщества, с которым я был наиболее знаком, — хотя это может просто показать Я действительно не обращал внимания!]

$\endgroup$

6

$\begingroup$

Перефразируя Билла Терстона, математика — это всего лишь способ организовать человеческое мышление. Цель математических обозначений — помочь нам понять друг друга.

Одна из причин использования различных обозначений заключается в том, что одно и то же понятие может потребоваться сравнить или сопоставить с разными вещами в разных ситуациях. Например, недавно я обсуждал с кем-то различные символы деления:

Обозначение дроби $\frac{a}{b}$ наиболее полезно при упрощении уравнений вручную.

Полное деление наиболее удобно при вычислении точных значений.

Косая черта / отлично подходит для компьютеров, так как работает с обычной клавиатурой.

«Обелус» ÷ используется в калькуляторах, потому что другие обозначения отличаются от +, — и x.

Я чувствую, что попытка стандартизировать деление была бы контрпродуктивной.

Математическая логика отличается от арифметики, но верны те же истины. Рассел и Уайтхед использовали нотацию, наиболее удобную для чисто символических вычислений, но она может оказаться не лучшей для записи на доске или написания компьютерной программы.

TL;DR Математические обозначения предназначены для максимально ясного выражения мыслей, и строгая стандартизация затрудняет это.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Другие ответы, похоже, не затрагивали напрямую вопрос об импликации $\rightarrow$ или $\implies$, поэтому я укажу, что математики (нелогики) в основном используют $\implies$, тогда как логики чаще используют $\стрелка вправо$. Возможно, это связано с тем, что логики используют его гораздо чаще, так что в конце концов каждый улавливает, что бессмысленно проводить две линии, когда можно провести одну. Поскольку речь идет о двух разных научных культурах, разница в обозначениях может остаться с нами в обозримом будущем. Для сравнения заметим, что физики часто используют разные обозначения (чем привыкли математики) для различных математических понятий.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Что касается неоднозначности между импликацией $\rightarrow$ и следствием $\Rightarrow$, проблема, конечно, заключается в том, что большинство теорий имеют теорему вывода, следствием которой является эквивалентность следующих суждений.

$$\varphi \Rightarrow \psi,\quad\quad \Rightarrow \varphi \rightarrow \psi$$

Кроме того, каждую формулу $\alpha$ можно рассматривать как сокращение для суждения $\Rightarrow \alpha$. Так что в некотором смысле (как бы мне это ни было больно) следующие утверждения эквивалентны.

$$\varphi \Rightarrow \psi,\quad\quad \varphi \rightarrow \psi$$

Это, вероятно, является причиной многих неясностей, но также предполагает, что нам не о чем беспокоиться; утверждать, что эти строки символов «истинно» означают примерно одно и то же значение, поэтому двусмысленность не слишком проблематична. (С другой стороны, утверждение, что первая строка символов ложна, сильно отличается от утверждения, что вторая строка символов ложна.)

$\endgroup$

$\begingroup$

Это часть эволюции и изменения языка. А математика, кроме того, что она метафизична, еще и язык.

Определенные части языка, часто используемые и широко используемые, имеют тенденцию к стандартизации. Например, я не думаю, что мы увидим новые символы для натуральных чисел.

Менее интенсивно используемые, как правило, имеют варианты, которые могут использоваться различными частями сообщества.

Что может быть полезно, так это комитет по стандартам. Но только в ограниченной степени.

$\endgroup$

Твой ответ

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Почему знак + обычно используется как логический оператор ИЛИ?

\$\начало группы\$

Несколько дней назад меня спросили, почему довольно часто используется + вместо символа v в качестве логического оператора ИЛИ в цифровой логике.

Его аргумент заключался в том, что совершенно нелогично использовать + для ИЛИ, потому что это, скорее всего, будет интерпретировано как И из общего использования/контекста.

Из Wiki: В логике и математике или — это функциональный оператор истинности, также известный как (включительно) дизъюнкция и чередование. Логическая связка, представляющая этот оператор, также известна как «или» и обычно записывается как 9.4629 против или + .

Я провел небольшое исследование и выяснил происхождение знака и . Оно происходит от латинского слова «vel», что означает «или».

Одна вещь, которая добавляет путаницы, заключается в том, что + означает «и» с исторической точки зрения. Согласно этому и этому было изобретено около 1360 г. как и аббревиатура от латинского «et» («и»), напоминающая знак «плюс».

Однако я понятия не имею, кто придумал + в булевой алгебре и почему он предпочтительнее против в контексте цифровой логики/инженерии.

• цифровая логика
• логические вентили
• булева алгебра

\$\конечная группа\$

9

\$\начало группы\$

Одно слово: Дистрибутивность

Умножение является дистрибутивным над сложением, и поэтому логическое И дистрибутивное над логическим ИЛИ.

С другой стороны, умножение часто используется без символа ( 2a вместо 2*a ), и логическое И очень похоже. Если и A, и B должны быть истинными, написать AB просто и интуитивно понятно.

Очень удобен при построении таблиц истинности и алгоритмов на их основе.

$$f = A + BC$$

даже человек с небольшим опытом с первого взгляда заметит, что f может иметь место, когда верно A, или когда оба B и C верны.

Сравните это с $$f = A \vee B \wedge C$$ Если вы не используете это в течение нескольких дней, вам придется снова задаться вопросом, было ли 9 И или наоборот? Даже если вы их не забудете, читать будет намного понятнее и легче, если использовать только символы умножения и сложения, тем более что их невозможно спутать. В булевой логике нет ни сложения, ни умножения, поэтому их символы можно использовать повторно.

Тот факт, что 1 * 0 = 0 и 1 + 0 = 1 , и в булевой алгебре мы выбрали 1 как истину, а 0 как ложь, также помогает определить, какой оператор есть какой. Символы в математике — это просто символы. У них есть значение, потому что мы присвоили им значение, поэтому лучше, если мы выберем символы, которые легко запомнить, и их использование в других областях аналогично.

\$\конечная группа\$

2

\$\начало группы\$

Один из аргументов, который я всегда использовал для логических знаков И и ИЛИ, — это их отношение к математическим операциям, которые они представляют.

Начнем с логического И. Его часто представляют в виде знака умножения, например *. Итак, если у вас есть длинное выражение, такое как s1*s2*s3*s4…. и одна из переменных принимает значение 0 или логическую ложь, тогда все выражение примет значение 0, что вполне нормально для умножения. , потому что 1*1*0*1… равно 0,

С другой стороны, когда мы используем знак +, который обычно обозначает сложение для представления логического ИЛИ, мы имеем аналогичный случай. Если у нас есть несколько переменных, объединенных ИЛИ, то мы снова имеем случай s1+s2+s3+s4… Если хотя бы одна из переменных отлична от нуля, то результат также будет ненулевым, т.е. логично (ИМХО), когда мы сравниваем ИЛИ с дополнением. Например, 0+0+1+0… равно 1. Одна точка, где это прерывается, заключается в том, что у нас больше единиц, результат все еще один. Один из способов мышления, который я использовал для этого, состоит в том, чтобы просто помнить, что один представляет существование, так что если что-то существует, и вы добавляете к этому больше существования, оно все равно будет существовать.

\$\конечная группа\$

2

\$\начало группы\$

Майкл Шредер «Краткая история обозначений алгебры Буля», Nordic Journal of Philosophical Logic 2 (1): 41-62 (1997), приписывает использование + для представления включительно-или Лейбницу в его «Элементах исчисления» и обсуждает использование Булем обозначений, а также некоторые другие обозначения.