Логические выражения и операторы. Курс «Python. Введение в программирование»

Логические выражения и логический тип данных

Часто в реальной жизни мы соглашаемся с каким-либо утверждением или отрицаем его. Например, если вам скажут, что сумма чисел 3 и 5 больше 7, вы согласитесь, скажете: «Да, это правда». Если же кто-то будет утверждать, что сумма трех и пяти меньше семи, то вы расцените такое утверждение как ложное.

Подобные фразы предполагают только два возможных ответа – либо «да», когда выражение оценивается как правда, истина, либо «нет», когда утверждение оценивается как ошибочное, ложное. В программировании и математике если результатом вычисления выражения может быть лишь истина или ложь, то такое выражение называется логическим.

Например, выражение 4 > 5 является логическим, так как его результатом является либо правда, либо ложь. Выражение 4 + 5 не является логическим, так как результатом его выполнения является число.

На позапрошлом уроке мы познакомились с тремя типами данных – целыми и вещественными числами, а также строками. Сегодня введем четвертый –

логический тип данных (тип bool). Его также называют булевым. У этого типа всего два возможных значения: True (правда) и False (ложь).

>>> a = True
>>> type(a)
<class 'bool'>
>>> b = False
>>> type(b)
<class 'bool'>

Здесь переменной a было присвоено значение True, после чего с помощью встроенной в Python функции type() проверен ее тип. Интерпретатор сообщил, что это переменная класса bool. Понятия «класс» и «тип данных» в данном случае одно и то же. Переменная

b также связана с булевым значением.

В программировании False обычно приравнивают к нулю, а True – к единице. Чтобы в этом убедиться, можно преобразовать булево значение к целочисленному типу:

>>> int(True)
1
>>> int(False)
0

Возможно и обратное. Можно преобразовать какое-либо значение к булевому типу:

>>> bool(3.4)
True
>>> bool(-150)
True
>>> bool(0)
False
>>> bool(' ')
True
>>> bool('')
False

И здесь работает правило: всё, что не 0 и не пустота, является правдой.

Логические операторы

Говоря на естественном языке (например, русском) мы обозначаем сравнения словами «равно», «больше», «меньше». В языках программирования используются специальные знаки, подобные тем, которые используются в математике:

> (больше), < (меньше), >= (больше или равно), <= (меньше или равно), == (равно), != (не равно).

Не путайте операцию присваивания значения переменной, обозначаемую в языке Python одиночным знаком «равно», и операцию сравнения (два знака «равно»). Присваивание и сравнение – разные операции.

>>> a = 10
>>> b = 5
>>> a + b > 14
True
>>> a < 14 - b
False
>>> a <= b + 5
True
>>> a != b
True
>>> a == b
False
>>> c = a == b
>>> a, b, c
(10, 5, False)

В данном примере выражение c = a == b состоит из двух подвыражений. Сначала происходит сравнение (==) переменных a и b. После этого результат логической операции присваивается переменной c. Выражение a, b, c просто выводит значения переменных на экран.

Сложные логические выражения

Логические выражения типа kByte >= 1023 являются простыми, так как в них выполняется только одна логическая операция. Однако, на практике нередко возникает необходимость в более сложных выражениях. Может понадобиться получить ответа «Да» или «Нет» в зависимости от результата выполнения двух простых выражений. Например, «на улице идет снег или дождь», «переменная

news больше 12 и меньше 20″.

В таких случаях используются специальные операторы, объединяющие два и более простых логических выражения. Широко используются два оператора – так называемые логические И (and) и ИЛИ (or).

Чтобы получить True при использовании оператора and, необходимо, чтобы результаты обоих простых выражений, которые связывает данный оператор, были истинными. Если хотя бы в одном случае результатом будет False, то и все сложное выражение будет ложным.

Чтобы получить True при использовании оператора or, необходимо, чтобы результат хотя бы одного простого выражения, входящего в состав сложного, был истинным. В случае оператора or сложное выражение становится ложным лишь тогда, когда ложны оба составляющие его простые выражения.

Допустим, переменной x было присвоено значение 8 (x = 8), переменной y присвоили 13 (y = 13). Логическое выражение y < 15 and x > 8 будет выполняться следующим образом. Сначала выполнится выражение y < 15. Его результатом будет True. Затем выполнится выражение x > 8. Его результатом будет

False. Далее выражение сведется к True and False, что вернет False.

>>> x = 8
>>> y = 13
>>> y < 15 and x > 8
False

Если бы мы записали выражение так: x > 8 and y < 15, то оно также вернуло бы False. Однако сравнение y < 15 не выполнялось бы интерпретатором, так как его незачем выполнять. Ведь первое простое логическое выражение (x > 8) уже вернуло ложь, которая, в случае оператора and, превращает все выражение в ложь.

В случае с оператором or второе простое выражение проверяется, если первое вернуло ложь, и не проверяется, если уже первое вернуло истину. Так как для истинности всего выражения достаточно единственного

True, неважно по какую сторону от or оно стоит.

В языке Python есть еще унарный логический оператор not, то есть отрицание. Он превращает правду в ложь, а ложь в правду. Унарный он потому, что применяется к одному выражению, стоящему после него, а не справа и слева от него как в случае бинарных and и or.

Здесь у < 15 возвращает True. Отрицая это, мы получаем False.

>>> a = 5
>>> b = 0
>>> not a
False
>>> not b
True

Число 5 трактуется как истина, отрицание истины дает ложь. Ноль приравнивается к False. Отрицание False дает True.

Практическая работа

1. Присвойте двум переменным любые числовые значения.

2. Используя переменные из п. 1, с помощью оператора and составьте два сложных логических выражения, одно из которых дает истину, другое – ложь.

3. Аналогично выполните п. 2, но уже с оператором or.

4. Попробуйте использовать в логических выражениях переменные строкового типа. Объясните результат.

5. Напишите программу, которая запрашивала бы у пользователя два числа и выводила бы True или False в зависимости от того, больше первое число второго или нет.

Примеры решения и дополнительные уроки в android-приложении и pdf-версии курса

Основы логики. Система условий, совокупность условий

Анна Малкова

Не пугайтесь. В этой статье не будет непонятных слов: «конъюнкция, дизъюнкция». И не будет сложных схем, как на ЕГЭ по информатике.

Будет только то, что необходимо для успешной сдачи ЕГЭ по математике и вообще для понимания математики.

Покажем на простом примере, что такое объединение множеств и пересечение множеств.

Антон, Борис, Виктория, Дмитрий, Игорь, Костя, Лена, Маша и Наташа – друзья.

У Дмитрия, Игоря, Маши и Наташи есть кот.

У Бориса, Дмитрия, Игоря, Кости и Лены есть собака.

Пусть множество включает тех, у кого есть кот.

Множество включает владельцев собак.

Замети, что Дмитрий и Игорь входят в оба множества – у них есть и кот, и собака.

Антон и Виктория не входят ни в одно. У них нет ни кота, ни собаки.

Схематично это можно изобразить так:

Говорят, что множество, элементами которого являются Дмитрий и Игорь – это пересечение множеств и . Заметим, что пересечение множеств и – это элементы, входящие и во множество , и во множество (есть и кот, и собака).

Вот как это обозначается: .

Вспомним, что такой же значок пересечения мы встречали, например, в геометрии. Запись означает, что прямые и пересекаются в точке . Другими словами, точка принадлежит и той, и другой прямой.

А те, у кого есть кот или собака, образуют объединение множества и множества .

Это Маша, Наташа, Дмитрий, Игорь, Борис, Лена и Костя. У них есть кот или собака, или и то, и другое животное.

Обозначается это так: .

Значок объединения нам тоже знаком. Вспомните, как мы записываем ответы в неравенствах.

Запись означает, что принадлежит интервалу от до нуля или отрезку от 1 до 2.

Теперь алгебра.

Фигурная скобка – знак системы. Она означает, что должно выполняться и то, и другое условие.

Вот, например, система линейных уравнений:

Решением системы будет пара чисел , удовлетворяющая и первому, и второму уравнению.

Легко найти, что .

Мы можем также решить эту систему графически: нарисовать графики функций и и найти точку их пересечения .

Пересечение множеств, знак системы, знак — все это можно описать словами «и то, и другое».

Теперь знак совокупности. Вот такая запись

означает, что или . Или то, или другое.

Запоминаем: объединение множеств, знак совокупности, знак символизируют понятие «или то, или другое, или и то, и другое сразу».

Но это не все. Смотрите, как выглядела бы задача по теории вероятностей про наших любителей котов и собак.

Известно, что в группе из 9 человек у четверых есть коты, у пятерых есть собаки, у двоих нет ни кота, ни собаки, а у двоих есть и кот, и собака.

Найдите вероятность следующих событий:

1) У человека из этой группы есть кот,

2) У человека из этой группы есть собака,

3) Есть и кот, и собака

4) Есть кот или собака.

Мы помним, что вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Вероятность иметь кота для участника группы равна (четверо котовладельцев из 9 человек).

Вероятность быть хозяином собаки равна .

Вероятность иметь и кота, и собаку равна (двое из девяти).

А вот вероятность иметь кота или собаку равна . Действительно, это семеро из девяти.

Почему мы вычитаем ? Потому что Дмитрий и Игорь, у которых есть и кот, и собака, входят и в множество владельцев котов, и в множество владельцев собак.

Получается, мы определили вероятность суммы событий (есть кот или собака).

Заметьте, что в нашем случае она не равна сумме вероятностей. Потому что вероятность суммы событий равна сумме вероятностей только для несовместных событий, то есть тех, которые не могут происходить одновременно.

В статье «Теория вероятностей» мы поговорим более подробно о сумме событий (или то, или другое, или оба сразу) и о произведении событий (и то, и другое).

Объединим все, что узнали, в небольшую таблицу.

Законы алгебры логики. Упрощение логических выражений.

Так же как и в привычной нам алгебре есть законы упрощения выражений, в алгебре логики действуют законы алгебры логики. Для удобства обработки информации алгебраические и логические выражения принято упрощать или приводить к нормальному виду.

Большинство законов обеих алгебр схожи и уже знакомы вам. И лишь несколько вы узнаете впервые и, возможно, удивитесь.

Упрощение сложных высказываний — это замена их на равносильные на основе законов алгебры высказываний с целью получения высказываний более простой формы. 

Нормальная форма выражений — это выражение где нет знаков операций импликации и эквивалентности, а инверсия применена только к отдельным высказываниям.

Для обрабатывания выражений вы должны свободно ориентироваться между обозначениями операций. Основные три из них имеют следующие варианты обозначений:

Инверсия (отрицание):  Ø ,`A ,  не .

Конъюнкция (умножение): & , L ,  × .

Дизъюнкция (сложение): V,  +.

Для удобства записи и большей наглядности можно записывать знаки операций в логических выражениях в более привычной нам форме: умножение — знаком ×,  а сложение — знаком +. 

Иначе говоря, упростить выражение — это найти в нём законы логики и их применить!

Первое, что надо знать для упрощения — формулы замены операций (которых не должно быть в нормальной форме записи логических выражений):

Итак, а теперь сами законы алгебры логики:

Чтобы ими пользоваться их надо знать, т.е. выучить. Но на самом деле эти законы во многом повторяю законы обычной алгебры. 

Закон двойного отрицания напоминает нам ситуацию, когда «минус на минус даёт плюс», хотя так говорить и не грамотно, но зато именно так ученики его запоминают быстрее всего!

Законы исключения третьего, операции с константами и законы повторения следуют из определения самих логических операций сложения (дизъюнкции) и умножения (конъюнкции). 

Переместительный, сочетательный и распределительный законы нам встречались и в обычной алгебре. Они и в алгебре логики работают точно так же! Правда распределительный закон относительно умножения на уроках математики применять никак нельзя, а в алгебре логики пожалуйста:

a + b × c = (a + b)× (a + c)

И последнее и самое интересное — это законы де Моргана (или двойного отрицания). Никак нельзя допускать при упрощении выражений оставлять знак отрицания более чем над одним высказыванием! С этой проблемой нам помогают бороться именно законы де Моргана. 

Запомнить их просто: отрицание раздается каждому высказыванию, находящемуся под общей чертой, а знаки + меняются на × , и наоборот ×  на +.

Упрощение нескольких логических выражений представлено в следующем видео. Вы можете его ставить на паузу и сверяться с формулами законов в любом удобном для вас месте:

А теперь давайте проверим как вы поняли эту тему. Пройдите тест из шести вопросов.

 Оценку узнаете в школе непосредственно у меня! 

Упрощение ЛВ 2

Знаки и операции в мат. логике · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Приведём таблицу знаков операций и знаков, которые используются в математической логике, а также обозначим, в каком же приоритете должны использоваться операции, если в каком-то логическом выражении не проставлены скобочки.

¬a
    - отрицание
a⇒b
    - импликация
a∧b
    - конъюкция
a∨b
    - дизъюнкция
a⇔b
    - эквиваленция
a⊕b
    - сложение по модулю 2 (Исключающее или)
a|b
    - Не-и (штрих Шеффера)
a↓b
    - Не-или (стрелка Пирса)

Таблица с приоритетами:

Приоритет	Операция		Обозначение
7	НЕ	NOT	¬
6	И	AND	∧
5	ИЛИ	OR	∨
5	Исключающее ИЛИ	XOR	⊕
4	НЕ-И	NAND	|
3	НЕ-ИЛИ	NOR	↓
2	ЕСЛИ, ТО	IMP	⇒
1	Эквивалентно	EQU	⇔

Или в виде картинки:

Калькулятор математической логики сам умеет определять приоритет операций автоматом:

Если ввели:

0↓1|a↓a^bvd=>x↓c|1↓0

— преобразуется в:

0↓(1|a)↓((d∨(a∧b))⇒x)↓(c|1)↓0

Также калькулятор упростит это логическое выражение:

a∧c∧(¬x)∧(b∨d)

Логика. Множества. Комбинаторика. Учебное пособие. Вечтомов, Широков 56194436

11

11

Примеры двуместных предикатов

1) А(х,у) = «х является отцом у». Допустимые объекты – люди.

2) В(х,у) = «Треугольник х подобен треугольнику у». Допустимые

объекты – треугольники.

3) С(х,у) = «Сумма чисел х и у положительна». Вместо переменных х и

у можно подставлять произвольные числа.

Примеры трехместных предикатов

1) А(х,у,z) = «Точка х лежит между точками y и z». Здесь переменные

обозначают точки, лежащие на какой-то одной прямой.

2) В(u1,u2,u3) = «Сумма функций u1 и u2 равна функции u3». Переменные

u1, u2 и u3 используются для обозначения функций. Например, взяв вместо u1

функцию у = х2, вместо u2 функцию у = 2х+1, а вместо u3 функцию у = (х+1)2,

получим истинное высказывание.

В последнем примере мы сталкиваемся с определенной сложностью

психологического характера. Кому-то может показаться, что необычно

обозначать функцию одной переменной u, ведь привычным образом функция

обозначается как y = f (x). Однако последняя запись – это один из способов

записать функцию в общем виде, подчеркивающий, что х является

независимой переменной, то есть аргументом функции, а у – это зависимая

переменная, то есть значение функции. Сама же функция имеет обозначение

f. Вместо буквы f можно использовать, вообще говоря, любую букву.

Сделаем еще один вывод из рассмотренных примеров. В записи А(х)

буква А обозначает предложение, а буква х обозначает переменную. При

этом, как мы видели, за х может скрываться имя не только числа, которое в

математике принято обозначать малыми буквами. Переменная х может

обозначать треугольник, точку, функцию или любой другой объект,

возможно, нематематической природы. Поэтому, несмотря на то что

треугольник, например, принято обозначать заглавными буквами АВС, в

рассмотренном выше примере треугольник обозначен малой буквой. Запись

АВС подчеркивает, что рассматривается треугольник с вершинами А, В, С.

Аналогично, точки на плоскости принято обозначать заглавными буквами А,

В, M, N, P и т. д., однако это не мешает нам обозначить произвольную точку

переменной х, или а, или а1.

Итак, логику интересуют только предложения, которые имеют два

значения: истины или лжи. Договоримся в дальнейшем под термином

«предложение» (синоним «утверждение») понимать именно такое

предложение, то есть высказывание или предикат, обозначая его заглавными

Логические операторы | Python

Мы уже умеем писать функции, которые проверяют одиночные условия. Теперь научимся строить составные условия.

Хороший пример: проверка пароля. Предположим, что некий сайт при регистрации требует, чтобы пароль был длиннее восьми символов и короче двадцати символов. Да, ограничение выглядит странно, но бывает и такое.

В математике мы бы написали 8 < x < 20, но во многих языках программирования так сделать нельзя. К счастью, Python такие составные условия писать позволяет. И всё же на минутку мы забудем о такой возможности. Попробуем сделать два отдельных логических выражения и соединить их специальным оператором «И»:

Пароль длиннее 8 символов И пароль короче 20 символов.

Вот функция, которая принимает пароль и говорит, соответствует ли он условиям (True) или не соответствует (False):

def is_correct_password(password):
    length = len(password)
    return length > 8 and length < 20

print(is_correct_password('qwerty'))                   # => False
print(is_correct_password('qwerty1234'))               # => True
print(is_correct_password('zxcvbnmasdfghjkqwertyui'))  # => False

and — означает «И» (в математической логике это называют конъюнкцией). Всё выражение считается истинным, только если истинен каждый операнд — каждое из составных выражений. Иными словами, and означает «и то, и другое».

Приоритет этого оператора ниже, чем приоритет операторов сравнения, поэтому выражение length > 8 and length < 20 отрабатывает правильно без скобок.

Кроме and часто используется оператор or — «ИЛИ» (дизъюнкция). Он означает «или то, или другое, или оба». То есть выражение a or b считается истинным, если хотя бы один из операндов (a или b или одновременно все операнды) является истинным. Иначе выражение ложное.

Операторы можно комбинировать в любом количестве и любой последовательности, но когда одновременно встречаются and и or, то приоритет лучше задавать скобками. Ниже пример расширенной функции определения корректности пароля:

def has_special_chars(str):
    # проверяет содержание специальных символов в строке


def is_strong_password(password):
    length = len(password)
    # Скобки задают приоритет. Понятно что к чему относится.
    return (length > 8 and length < 20) or has_special_chars(password)

---

Другой пример. Мы хотим купить квартиру, которая удовлетворяет условиям: площадь от 100 кв. метров и больше на любой улице ИЛИ площадь от 80 кв. метров и больше, но на центральной улице Main Street.

Напишем функцию, проверяющую квартиру. Она принимает два аргумента: площадь (число) и название улицы (строку):

def is_good_apartment(area, street):
    return area >= 100 or (area >= 80 and street == 'Main Street')

print(is_good_apartment(91, 'Queens Street'))  # => False
print(is_good_apartment(78, 'Queens Street'))  # => False
print(is_good_apartment(70, 'Main Street'))    # => False

print(is_good_apartment(120, 'Queens Street'))  # => True
print(is_good_apartment(120, 'Main Street'))    # => True
print(is_good_apartment(80, 'Main Street'))     # => True

Область математики, в которой изучаются логические операторы, называется булевой алгеброй. Ниже показаны «таблицы истинности» — по ним можно определить, каким будет результат применения оператора:

И

and

A	B	A and B
True	True	True
True	False	False
False	True	False
False	False	False

ИЛИ

or

A	B	A or B
True	True	True
True	False	True
False	True	True
False	False	False

Задание

Джон поручил Сэму реализовать автоматическое распознавание солдат Ланнистеров на видео. Идея автоматизировать дозор крепости казалась ему привлекательной. В процессе работы Сэму понадобилось написать функцию, которая определяет, Ланнистер ли перед ним или нет. Немного подумав, Сэм выделил следующие правила определения Ланнистера:

---

Если у солдата доспехи красного цвета И нет щита

ИЛИ

если у солдата есть щит с изображением льва

то это Ланнистер.

---

Напишите функцию is_lannister_soldier(), которая принимает на вход два аргумента:

1. Цвет доспехов (строка). Если доспехи красные, то строка red.
2. None, если щита нет. Строка lion, если щит есть, и на нём изображен лев.

Функция возвращает True, если распознан Ланнистер, и False, если не распознан.

Примеры вызова:

is_lannister_soldier('red', 'man')    # False
is_lannister_soldier('blue', 'lion')  # True

Когда будете проверять на равенство None, делайте так, как принято в настоящем коде на Python: shield is None — код будет выглядеть профессионально! Дело в том. что is работает быстрее в случае некоторых специальных значений вроде None, True и False.

---

Советы

Определения

• Логические операторы — операторы «И» (and), ИЛИ (or), позволяющие создавать составные логические условия.

Презентация «Элементы алгебры логики» — информатика, презентации

библиотека
материалов

Содержание слайдов

Номер слайда 1

Завтра Новый год. Александр Пушкин родился в 1801 году. Периметр прямоугольника с длинами сторон a и b равен ab. Как пройти в библиотеку?Москва – столица нашей Родины. Добро пожаловать!

Номер слайда 2

Математические основы информатики. Алгебра логики. Высказывание. Логические операции.

Номер слайда 3

Раздел алгебры логики. Алгебра логики − это раздел математической логики, который изучает высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними. ==Лампочка горит. Истинно. Ложно.

Номер слайда 4

Алгебра логики. Высказывание — это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное. Москва — столица России. Шесть минус два равно четыре. Зайцы зимой впадают в спячку.

Номер слайда 5

Высказываниями не являются побудительные и вопросительные предложения. Сколько времени?Чей телефон звонит на уроке?Сколько тебя можно ждать!Высказывание

Номер слайда 6

Важным фактором для алгебры логики является не содержание высказываний, а истинно или ложно то или иное высказывание. Высказывание. Высказывания обозначаются при помощи букв. Такие обозначения называются логическими переменными.1+5

Номер слайда 7

Алгебра логики. Высказывание — это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное. Виды. Сложные высказывания. Простые высказывания

Номер слайда 8

Элементы алгебры логики. Логические операции. Инверсия. Конъюнкция.12 Дизъюнкция.3

Номер слайда 9

Conjunctio. Логические операции. Конъюнкция − это логическая операция, которая объединяет два высказывания в одно новое, которое будет являться истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. Conjunctio − «союз, связь». Пример: А = «у квадрата 4 стороны». В = «у ромба 4 стороны». А И В = «у квадрата 4 стороны и у ромба 4 стороны». 

Номер слайда 10

Обозначение знака конъюнкции{21 E4 AEA4-8 DFA-4 A89-87 EB-49 C32662 AFE0}Сфера применения. Обозначение. Естественный язык. Алгебра. Программирование«И»«&», «/\», «•»/\«AND», «&», «&&»А И ВА & ВА /\ ВА • ВА AND ВА & ВА && В

Номер слайда 11

Таблица истинности{21 E4 AEA4-8 DFA-4 A89-87 EB-49 C32662 AFE0}ABA /\ BТаблица истинности000000011111 Конъюнкция − логическое умножение. 

Номер слайда 12

Disjunctio. Логические операции. Дизъюнкция − это логическая операция, которая объединяет два высказывания в одно новое, которое будет являться ложным тогда и только тогда, когда ложны оба исходных высказывания. Disjunctio − «разобщение». Пример: А = «у квадрата 3 стороны». В = «у ромба 2 стороны». А V В = «у квадрата 3 стороны или у ромба 2 стороны». 

Номер слайда 13

Обозначение знака дизъюнкции{21 E4 AEA4-8 DFA-4 A89-87 EB-49 C32662 AFE0}Сфера применения. Обозначение. Естественный язык. Алгебра. Программирование«ИЛИ»«V», «+»«OR», «|», «||»А ИЛИ ВА V ВА + ВА OR ВА | ВА || В

Номер слайда 14

Таблица истинности{21 E4 AEA4-8 DFA-4 A89-87 EB-49 C32662 AFE0}ABA V BТаблица истинности000001111111 Дизъюнкция − логическое сложение. = 0 = 1 =  +  =  +  =  ∙  2 +  

Номер слайда 15

Inversio. Логические операции. Инверсия − это логическая операция, которая преобразует исходное высказывание в новое, значение которого противоположно исходному. Inversio − «переворачивание, перестановка». А = 1 А = 0 инверсия. В = 0 В = 1 инверсия. Пример: А = «я знаю английский язык». НЕ А = «я не знаю английский язык».инверсия

Номер слайда 16

Обозначение знака инверсии{21 E4 AEA4-8 DFA-4 A89-87 EB-49 C32662 AFE0}Сфера применения. Обозначение. Естественный язык. Алгебра. Программирование«НЕВЕРНО, ЧТО»«¬», «¯»«NOT»НЕ А¬ АĀNOT A, «НЕ»НЕВЕРНО, ЧТО А

Номер слайда 17

Таблица истинности. Таблица истинности. Инверсия − логическое отрицание. {21 E4 AEA4-8 DFA-4 A89-87 EB-49 C32662 AFE0}AĀ0101 При применении к высказыванию логического отрицания в него добавляется речевой оборот «неверно, что» или же частица «не». Частица «не» прибавляется к глаголу.

Номер слайда 18

Сложные высказывания. Логическое выражение− это выражение, которое содержит переменные, знаки логических операций и скобки. Порядок действий в логическом выражении: Инверсия. Конъюнкция. Дизъюнкция. А V В /\ A(А V В) V B Ā V (В /\ А) А V В Ā /\ ВОтрицание (число меняется на противоположное). Конъюнкция (умножение). Дизъюнкция (сложение). НЕ•+ Порядок выполнения действий можно изменять с помощью скобок.

Введение в математические символы для объединения и пересечения

Вопрос нашего читателя: « Есть два набора символов для« объединения »и« пересечения ». Один — ∪ и перевернутый ∩ , а другой — ∨ и ∧ . Какая связь между этими символами, которые мы иногда воспринимаем как «U» и «V» ?

Итак, давайте вспомним о наших Мы и Против и их перевернутых товарищах в союзах и пересечениях, а также о логических функциях. по цене ∧ .

Символ «Объединение множеств» — « ∪ », а символ «пересечения множеств» — «∩».

Теория множеств для объединения и пересечения

Мы используем диаграммы Венна, чтобы показать объединения и пересечения. Изображение Майка ДеХаана

Подход, который наиболее тесно связан с этим вопросом, включает теорию множеств. Пусть A = {a, e, i, o, u, y} и B = {a, b, c, d, e, f}.

Объединение наборов «A» и «B» — это набор, содержащий уникальные элементы, обнаруженные либо в наборе «A», либо в наборе «B», либо в обоих.Другими словами, «Соберите все элементы вместе, но отбросьте дубликаты». A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, i, o, u, y}.

Пересечение наборов «A» и «B» — это набор, содержащий уникальные элементы как из набора «A», так и из набора «B». Другими словами, чтобы создать пересечение, выберите только элементы, найденные в обоих исходных наборах, которые являются дубликатами, отброшенными операцией объединения. A∩B = {a, e}

Что касается исходного вопроса, с точки зрения теории множеств, слово «объединение» относится к символу « ∪ »; а слово «пересечение» относится к символу «».

Математические символы могут сбивать с толку! Изображение JRS

В вопросе нашего читателя мы также спрашивали о букве «V» и перевернутой букве «V», «Λ» или лямбде. Они используются в математической логике.

Пусть утверждение A = «Все люди — млекопитающие». Пусть B = «Все млекопитающие — люди». Пусть C = «Некоторые птицы могут летать при определенных условиях». И «A», и «C» — истинные утверждения, а «B» — ложь.

Пусть «X» и «Y» представляют любые, возможно, верные или ложные утверждения.

В математике логики утверждение «X и Y» или «XΛY» истинно тогда и только тогда, когда истинны и «X», и «Y».

Однако «X или Y» или «X ∨ Y» является ложным тогда и только тогда, когда оба «X» и «Y» ложны. «X ∨ Y» истинно, если истинно либо «X», либо «Y», что включает ситуацию, когда и «X», и «Y» истинны.

Из утверждений примера, «A B», «A ∨ C» и «B C» все верны. Однако «AΛB» и «BΛC» оба ложны. Только «AΛC» истинно, потому что каждое из утверждений «A» и «C» истинно.

Компьютеры для программирования с «И» и «ИЛИ»

В зависимости от языка программирования «X и Y» могут быть представлены как «X && Y», а не «XΛY».3 = 2 * 2 * 2 = 8.

При письме на бумаге или когда текстовый редактор поддерживает надстрочный индекс, показатель степени отображается как надстрочный. См. Изображение выше.

Сводка математических символов для пересечения и объединения, и и или

В теории множеств пересечение и объединение обозначаются символами «» и « ∪ ». В математической логике операции «и» и «или» обозначаются буквами «Λ» и «V».

Объединение множеств «A ∪ B» можно рассматривать как объединение всех элементов «A», а также элементов «B»; но это не было бы «и» (‘Λ’) математической логики.

Пересечение множеств «A∩B» еще меньше связано с логической операцией «или» (« ∨ »).

В других областях математики эти символы могут использоваться по-другому, но эти интерпретации имеют прямое отношение к вопросу читателя.

Ссылки :

Документация по Wolfram Mathematica. Перекресток; Союз; А также; Или. (2012). По состоянию на 26 июля 2012 г.

Вуд, Алан. Символьный шрифт — альтернативы Unicode для греческих и специальных символов в HTML .(1997-2010). По состоянию на 26 июля 2012 г.

Майк ДеХаан применяет свою степень бакалавра математики в области компьютерных наук, годы программирования на языке Cobol и контроля качества (включая тестирование расчета процентов по кредитным картам) для исследования и представления математической теории для непрофессионала.

Здесь, в Decoded Science, Майк занимается математикой. Он изучает основы математической теории, раскрывает парадоксы, применяет вычисления к популярным фильмам и сообщает о математических новостях.
Майк начал профессионально писать в 2010 году как единственный владелец DeHaan Services.

Найди Майка в Google+

математических символов

Эта страница содержит сообщения по математике из моего недолговечного блога «Символизм». Здесь собраны нематематические посты.

Содержание:

Функция p Вейерштрасса

Математики не часто меняют стиль букв для обозначения специальных функций, но функция Вейерштрасса ℘ является заметным исключением. Этот символ описывается в Юникоде как U + 2118 (ЗАГЛАВНЫЙ СЦЕНАЛ P). Он имеет именованный HTML-объект & weierp; .LaTeX для ℘ — \ wp .

Математическое значение функции Вейерштрасса ℘ заключается в том, что все эллиптические функции могут быть выражены как рациональные функции от этой функции и ее производных.

Т-образные поворотные

Logic использует символ, который выглядит как шрифт без засечек T (⊤, U + 22A4) для обозначения «истина». Тот же символ, перевернутый вверх ногами (⊥, U + 22A5), используется для слова «ложь». Преимущество использования этого символа, а не какой-либо формы F, заключается в том, что он делает симметрию некоторых формул более очевидной.

Logic также использует символы, которые выглядят как T, повернутый на 90 ° по или против часовой стрелки, ⊢ (U + 22A2) и ⊣ (U + 22A3). Выражение x ⊢ y означает, что y доказуемо из x . Аналогично x ⊣ y означает, что x доказуемо из y . Оба выражения вместе используются для эквивалентности, то есть x ⊣⊢ y означает, что x и y доказуемы друг с другом.

Символы ⊢ (U + 22A2) и ⊣ (U + 22A3) — это \ vdash и \ dashv в LaTeX.

Символы ⊤ (U + 22A4) и ⊥ (U + 22A5) \ top и \ bot в LaTeX.

Кириллица в математике

В разговоре я упоминал, что в математике редко используются иврит или русские буквы. Андрес Кайседо указал, что кириллическая буква ша (Ш, U + 0428) является исключением. Он используется для группы Тейта – Шафаревича абелевого многообразия. Я никогда раньше не слышал о таком.

Буква sha также используется в теории распределения для «гребешка Дирака», бесконечной суммы равномерно распределенных дельта-функций. Я раньше видел гребешок Дирака, но не припомню, чтобы Ш использовался в качестве его символа.

Ша, по-видимому, является исключением, которое подтверждает правило, согласно которому кириллица редко используется в математике (по крайней мере, на Западе). В Википедии говорится, что «Ш выделяется тем, что является единственной четко кириллической буквой, которая используется в математике во всем мире». Также согласно Википедии, ша, вероятно, происходит от современной еврейской буквы Шин (ש, U + 05E9).

Между прочим, фраза «исключение, подтверждающее правило» не имеет смысла в обычном понимании. Во всяком случае, исключения опровергают правило. Я думаю, что первоначальное понимание этой фразы заключалось в том, что если исключения значительны, это показывает, что правило часто выполняется.

Постоянная Планка

В физике постоянная Планка — это константа пропорциональности между энергией и частотой частицы: E = h ν. При работе с угловой частотой ω = 2πν удобно ввести новую постоянную ħ , равную h / 2π, так что E = ħ ω.Обозначение просто произносится как «h bar» и иногда называется сокращенной постоянной Планка .

Правильным значением Unicode для h является U + 210E (КОНСТАНТА ПЛАНКА), а не просто обычное h U + 0068 (СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА H). Кроме того, в части Unicode, расширенной латинскими буквами A, U + 0127 (СТРОЧНАЯ ЛАТИНСКАЯ БУКВА H С ИНСУЛЬТОМ) есть символ ħ, но правильным кодом для ħ является U + 210F (ПЛАНКОВАЯ КОНСТАНТА БОЛЕЕ ДВУХ ПИ). Если вам интересно, почему кто-то должен заботиться о таких различиях, посмотрите этот пост.

Команда LaTeX для ħ — \ hslash . LaTeX не имеет специальной команды для h , потому что он не делает семантических различий между визуально идентичными символами.

Если вы посмотрите исходный код этой страницы, то увидите, что я намеренно использую неправильные символы для h и ħ . Это потому, что поддержка шрифтов для Unicode оставляет желать лучшего. Я держу пари, что больше людей смогут увидеть глифы для латинских букв, чем для правильных символов.

Epi и монохромные стрелки

Математики иногда украшают стрелки на диаграммах, чтобы закодировать больше информации о том, что представляет собой стрелка. Эти украшения не совсем стандартные, поэтому (по крайней мере, мне) сложно запомнить, что они означают.

Индивидуальные функции обозначены стрелкой с разделенным хвостом. Это U + 21A3 или \ rightarrowtail в LaTeX. (Их также называют инъективными функциями или мономорфизмами.)

Функции Onto обозначены стрелкой с двумя головками.Это U + 21A0 или \ twoheadrightarrow в LaTeX. (Их также называют сюръективными функциями или эпиморфизмами.)

Не знаю, был ли следующий шаблон преднамеренным, но это, по крайней мере, мнемоника. Если вы знаете значение стрелок выше, вы можете использовать их, чтобы запомнить определения теории категорий. Или, если вы можете вспомнить определения теории категорий, вы можете использовать это, чтобы запомнить значение стрелок.

В теории категорий мономорфизмы определяются с помощью диаграммы с двумя стрелками слева.Вы можете представить, как они превращаются в две линии в хвосте стрелки.

Эпиморфизмы определяются с помощью диаграммы со стрелками справа. Вы можете представить себе, как эти две стрелки помещаются друг на друга, а затем перемещаются по горизонтали, так что у вас есть две головки стрелок.

Существует

В логике обратная буква E — это сокращение от «там существует». Этот символ называется «квантификатором существования». Его кодовая точка в Юникоде — U + 2203.Команда TeX для создания символа: \ exists .

Есть несколько распространенных вариаций этого символа. Один из них состоит в том, чтобы после символа поставить восклицательный знак, чтобы обозначить, что объект, существование которого утверждается, уникален, т.е. вы можете прочитать пару символов как «существует уникальный».

Другой вариант — провести через символ косую черту, чтобы обозначить, что чего-то не существует. Кодовая точка Unicode для этого варианта — U + 2204, а команда TeX — \ nexists .

длинный S

Готфрид Лейбниц использовал начальную букву «s» summa , что на латыни означает sum , для обозначения интегрирования. Он использовал длинную букву S, которая обычно использовалась в его дни.

Известный пример длинного S — слово «Конгресс», написанное поверх Билля о правах.

Длинная буква S вышла из употребления в печати вскоре после того, как был написан Билль о правах, хотя почерк сохранился еще несколько десятилетий.

Кодовая точка Unicode для длинного S — U + 017F. Код для знака интеграла — U + 222B.

равно

Трудно представить математику без знака равенства, но наш символ равенства был изобретен сравнительно недавно, по сравнению с историей математики. Роберт Рекорд изобрел символ в 1557 году, и широко он не использовался до 1700-х годов. Recorde использовал параллельные линии, чтобы символизировать равенство, потому что «нет 2 твоих может быть более чем равным».

Значение знака равенства может быть неуловимым.Мы должны быть осторожны с тем, в каком смысле мы считаем равными вещи по обе стороны. Барри Мазур написал по этому поводу сложную статью с обманчиво простым заголовком. Когда одно может быть равно другому?

Равенство также может быть тонким в языках программирования. Выражение a = b может означать разные вещи на разных языках. В C это означает поместить значение b в адрес a . В Python это означает присвоение имени a значению b .В C ++ оператор присваивания может быть перегружен, поэтому a = b может вызвать выполнение произвольного кода. На языке функционального программирования a = b означает постоянное присвоение значения b a . На других языках это означает, что a содержит или ссылается на значение b на данный момент .

Алеф

Единственная еврейская буква, обычно используемая в математике, — это алеф, א, первая буква еврейского алфавита.Он используется с индексами для обозначения мощности различных бесконечных множеств. Чаще всего используется индекс 0, произносимый как «алеф ноль» или «алеф ноль», для обозначения количества элементов целых чисел. Неудивительно, что команда TeX для aleph — \ aleph .

Когда используется как буква иврита, его кодовая точка Unicode (U + 05D0). Когда он используется в качестве математического символа, он имеет отдельный код, U + 2135. Я ожидал, что aleph null (ℵ ₀ ) будет иметь собственное значение Unicode, но, похоже, это не так.

א часто транслитерируется как алеф на конце; Википедия, например, следует этому соглашению. Однако в стандарте Unicode для буквы используется alef и множество его вариаций.

***

Я никогда не использовал буквы на иврите в HTML до написания этого поста, и, очевидно, мне нужно кое-что узнать об HTML и о WordPress. Вот небольшой файл HTML, который я создал, вводя букву алеф тремя способами: как объект HTML, используя значение Unicode и напрямую вводя букву:

Вот как это отображается в моем браузере:

Я удивлен, что ввод escape-последовательностей HTML для aleph дает другой результат, чем прямой ввод символа aleph.И я удивлен, что & # x05D0; 0 помещает нижний индекс слева, а & aleph; 0 помещает нижний индекс справа.

Когда я вставляю тот же код в WordPress, я вижу следующее:

Теперь экранированное значение Unicode и прямой ввод символа дают тот же результат, но объект HTML & aleph; производит символ большего размера. Также нижний индекс в последнем элементе перемещен с правой стороны на левую.

(Скриншоты выше были взяты из Firefox, работающего в Ubuntu. Я получаю аналогичные результаты в Windows с использованием Firefox или Internet Explorer, за исключением того, что & # x05D0; и & aleph; отображаются в разных шрифтах.)

Не могли бы вы оставить комментарий, объясняющий, почему три разных способа ввода алефа используют разные шрифты и следуют разным правилам индексации? Спасибо.

Обновление : я предполагал, что объект HTML & aleph; было сокращением еврейской буквы алеф, но это сокращение математического символа алеф.Это объясняет различное поведение индексации. Кроме того, подумал, что набор символов по умолчанию для HTML был UTF-8. Но когда я явно добавляю в свой HTML-файл, я получаю ожидаемые результаты, то есть & # x05D0; и א работают одинаково.

Тавтология по математике | Определение, логические символы и примеры

Содержание

1. Определение тавтологии
2. Логические символы в математике
3. Таблица истинности
4. Примеры тавтологии по математике

Определение тавтологии

Тавтология в математике (и логике) — это сложное утверждение (посылка и заключение), которое всегда приводит к истине.Независимо от того, каковы отдельные части, результат — истинное утверждение; тавтология всегда верна. Противоположностью тавтологии является противоречие или заблуждение , которое «всегда ложно».

Логические символы в математике

Тавтологии обычно встречаются в области математики, называемой логикой . Они используют свои собственные специальные символы:

• ∧ означает И
• = означает «эквивалентно»
• ¬ означает ОТКАЗ
• ∼ показывает НЕ
• ∨ означает ИЛИ
• → означает «подразумевает» или «если-то»

p, ~ p и q все означают операторы, причем p обычно зарезервировано для первого оператора, а ~ p или q — для второго оператора

Вы можете «переводить» тавтологии с обычного языка в математические выражения.Чтобы перевести составное утверждение: «Я дам вам 5 долларов или не дам вам 5 долларов», мы могли бы написать:

с. ~ С.

Эти два утверждения соответствуют двум частям, а соединитель обозначен ∨:

р занимает место «Я дам вам 5 долларов»

∨ означает слово «или»

~ p заменяет «Я не дам вам 5 долларов»

Мы можем определить два условия этого утверждения (либо я дам вам 5 долларов, либо нет) и увидим, что оба дают правильные ответы:

1. Я даю вам 5 долларов, так что первое утверждение истинно, а второе ложно, что дает истинное утверждение.
2. Я не даю вам 5 долларов, поэтому первое утверждение неверно, а второе — истинно. Это снова дает верное утверждение.

Таблица истинности

Построение таблицы истинности помогает сделать определение тавтологии более ясным. Таблица истинности проверяет различные части любого логического утверждения, включая составные утверждения.

Первая часть составного утверждения, посылка, представлена ​​в первом столбце. Логические соединители (слова, связывающие два утверждения вместе) — это такие слова, как или, и, если.Они предоставляют такие условия, как последовательность, причина и цель, противодействие и / или неожиданный результат и так далее.

Заключение или второй оператор, следующий за логическим соединителем, обозначен символом во втором столбце. Третий столбец таблицы истинности показывает отношение между двумя утверждениями как истинное, T или ложное, F.

Если каждый результат в третьем столбце равен T, True, то составной оператор является тавтологией. Вот простая таблица истинности, составленная из составного утверждения: «Сегодня либо будет снег, либо не будет снега сегодня.«Два утверждения вместе всегда будут верны, поэтому, прежде чем мы подвергнем их таблице истинности, знайте, что это тавтология.

[построить таблицу истинности с четырьмя строками и тремя столбцами для двух условий, первая строка с заголовком Таблица истинности для p ∨ ~ p, вторая строка начинается с трех столбцов. Второй ряд п; ~ p; п ∨ ~ п. Третий ряд Т; F; Т. Четвертый ряд F; Т; Т]

Что бы ни случилось, составное утверждение всегда приводит к истинному результату, поэтому утверждение является тавтологией.

Примеры тавтологии и математики

Наши примеры: «Я дам вам 5 долларов или не дам вам 5 долларов» и «Сегодня будет снег или не будет снега сегодня» очень просты.

А как насчет более сложного логического утверждения? На самом деле, что, если бы у нас не было даже английских слов, а начали бы только символы?

(p ∧ q) → стр.

Мы надеемся, что вы сможете «расшифровать» это без слов, но на тот случай, если чистая логика ускользнет от вас, по существу он говорит следующее:

Если истинность предложения p и предложения q вместе истинна, то предложение p истинно.

Таблица истинности для этого должна иметь столбцы для p, q, для (p ∧ q) и четвертый столбец для (p ∧ q) → p.

[построить таблицу истинности с шестью строками и четырьмя столбцами с верхней строкой, озаглавленной «Таблица истинности для (p ∧ q) → p; вторая строка для идентификаторов для p, для q, для (p ∧ q) и ( p ∧ q) → p; затем четыре перестановки (третья строка) TTTT; (четвертая строка) TFFT; (пятая строка) FTFT; (шестая строка) FFFT]

Независимо от того, что мы находим с предложениями p, q и (p ∧ q), мы приходим к истине, так что это тавтология.Если бы хотя бы один из выводов последней колонки был ложным, то у нас не было бы тавтологии.

Следующий урок:

ALT-кодов для математических символов: логические операторы

Ниже приведен полный список ALT-кодов Windows для математических символов: логические операторы , соответствующие им числовые ссылки на символы HTML-сущности и, когда они доступны, их соответствующие HTML-сущности с именами символьных ссылок и Кодовые точки Unicode. Этот список состоит из логических операторов & set, модальных логических операторов и логических операторов и & или.

Если вы плохо знакомы с кодами ALT и вам нужны подробные инструкции по использованию кодов ALT в документах Microsoft Office, таких как Word, Excel и Powerpoint, или в соответствующих программах и приложениях Microsoft Windows, прочтите, Как использовать коды ALT для ввода специальных символов. .

905 54 54 908A логическое или 905 905 Логический перекрывающиеся логические и 905 905 39 905 905 Logical или с горизонтальной чертой 9099 909 2A5E ⩠ U5

Symbol	ALT Code	ALT X Code	Symbol Name	HTML Entity DEC	HTML Entity HEX	HTML Entity Named	Unicode Code Point
2227 ALT X	Логический и клин, соединение	∧	∧	∧	U + 2227
∨	ALT 8744	2228 ALT 8744	2228 ALT 905 62 логическое,	905 62	∨	∨	∨	U + 2228
∩	ALT 239 или ALT 8745	2229 ALT X	Пересечение, крышка, шляпа	∩86 905 905 2229
∪	ALT 8746	222A ALT X	Штуцер, стакан	∪	∪	∪	U + 222A
⋎	⋎	ALT 8910	22CE ALT X	Фигурная логическая или	⋎	⋎	⋎	U + 22CE
⋏	ALT 8911		ALT 8911	22CF 905	⋏	⋏	U + 22CF
⟠	ALT 10208	27E0 ALT X	Лепешка, разделенная горизонтальной линейкой	⟠	⟠ 905 905 905 ALT 10209	27E1 ALT X	Белый ромб с вогнутой стороной, никогда (модальный оператор)	⟡	⟡		U + 27E1
⟢	ALT 10210 905E вогнутое 906 -сторонний ромб с отметкой влево, никогда не был (модальный оператор)	⟢	⟢		U + 27E2
⟣	ALT 10211	27E3 ALT X	Whit ромб с вогнутой стороной с отметкой вправо, никогда не будет (модальный оператор)	⟣	⟣		U + 27E3
⟤	ALT 10212	27E4 ALT X	Белый квадрат с отметкой слевавсегда был (модальный оператор)	⟤	⟤		U + 27E4
⟥	ALT 10213	27E5 ALT X	Белый квадрат с галочкой вправо, всегда будет (модальный оператор 907)	⟥		U + 27E5
⩑	ALT 10833	2A51 ALT X	Логический и с точкой над	⩑	⩑	2 907 U5 10834	2A52 ALT X	Логический или с точкой над ним	⩒	⩒		U + 2A52
⩓	ALT 10835	Двойной логический 2A53 907 907 907 905 905 905	⩓	U + 2A53
⩔	ALT 10836	2A54 ALT X	Двойное логическое или	⩔	⩔	⩔	U + 239	U + 239
⩕	ALT 10837	2A55 ALT X	Два пересекающихся логических и	⩕	⩕	⩕	U + 2A55
⩖	⩖	⩖	⩖	U + 2A56
⩗	ALT 10839	2A57 ALT X	Наклонный большой или	⩗	⩗
⩘	ALT 10840	2A58 ALT X	Большой наклон и	⩘	⩘	⩘	U + 2A58
92
92	⩙	⩙		U + 2A59
⩚	ALT 10842	2A5A ALT X	Логические и со средним штоком	⩚	⩚	⩚	U + 2A5A
⩛	ALT 10843	2A5B ALT X	Логический или со средним штоком	⩛
⩜	ALT 10844	2A5C ALT X	Логический и с горизонтальным штрихом	⩜	⩜	⩜	U + 2A5C
	⩝	⩝	⩝	U + 2A5D
⩞	ALT 10846	2A5E ALT X	Логический и с двойной перекладиной
⩟	ALT 10847	2A5F ALT X	Логический и с нижней планкой	⩟	⩟	⩟	U + 2A5F	34
ALT 10848	2A60 ALT X	Логический и с двойным нижним брусом	⩠	⩠		U + 2A60
⩡	ALT 10849 905e с нижним стержнем 910	⩡	⩡		U + 2A61
⩢	ALT 10850	2A62 ALT X	Логический или с двойной перемычкой	⩢	10605		10605	ALT 10851	2A63 ALT X	Логический или с двойным подчеркиванием	⩣	⩣		U + 2A63

Для получения дополнительных наборов математических символов см. ALT-коды для математических символов.

Чтобы получить полный список первых 256 кодов ALT Windows, посетите Коды Windows ALT для специальных символов и символов.

Символьная логика и доказательства

Логика — это исследование последствий. Учитывая несколько математических утверждений или фактов, мы хотели бы сделать некоторые выводы. Например, если я сказал вам, что конкретная функция с действительным знаком была непрерывной на интервале \ ([0,1] \ text {,} \) и \ (f (0) = -1 \) и \ (f ( 1) = 5 \ text {,} \) можем ли мы сделать вывод, что есть точка между \ ([0,1] \), где график функции пересекает ось \ (x \)? Да, можем, благодаря теореме о промежуточном значении из исчисления.Можно ли сделать вывод, что есть ровно одна точка? Нет. Когда мы находим «ответ» в математике, у нас действительно есть (возможно, скрытый) аргумент. Математика — это действительно доказательство общих утверждений (например, теоремы о промежуточном значении), и это тоже делается с помощью аргумента, обычно называемого доказательством. Мы начинаем с некоторых заданных условий, посылок нашего аргумента, и из них находим интересное следствие, наш вывод .

Проблема в том, как вы, несомненно, знаете из споров с друзьями, не все аргументы являются хорошими аргументами .«Плохой» аргумент — это аргумент, в котором вывод не следует из посылок, т.е. заключение не является следствием посылок. Логика — это изучение того, что делает аргумент хорошим или плохим. Другими словами, логика направлена ​​на определение того, в каких случаях вывод является или не является следствием набора предпосылок.

Между прочим, «аргумент» на самом деле является техническим термином в математике (и философии, другой дисциплине, изучающей логику):

Аргументы.

Аргумент — это набор утверждений, одно из которых называется выводом , а остальные — посылкой .Говорят, что аргумент действителен , если вывод должен быть истинным, когда все предпосылки истинны. Аргумент недействителен, недействителен, если он недействителен; все предпосылки могут быть истинными, а заключение — ложным.

Например, рассмотрим следующие два аргумента:

	Если Эдит съест свои овощи, то она может съесть печенье.
	Эдит ест овощи.
\ (\ следовательно \)	Эдит получает печенье.

	Флоренс должна съесть свои овощи, чтобы получить печенье.
	Флоренс ест овощи.
\ (\ следовательно \)	Флоренс получает печенье.

(символ «\ (\ следовательно \)» означает «поэтому»)

Верны ли эти аргументы? Надеюсь, вы согласны с тем, что первый — нет, а второй — нет. Логика говорит нам, почему, анализируя структуру утверждений в аргументе.Обратите внимание, что два приведенных выше аргумента выглядят почти одинаково. Эдит и Флоренс едят свои овощи. В обоих случаях есть связь между поеданием овощей и печенья. Но мы утверждаем, что можно сделать вывод о том, что Эдит получает печенье, а не о Флоренс. Разница должна заключаться в связи между употреблением овощей и печеньем. Нам нужно уметь читать и понимать эти предложения. Означают ли два предложения одно и то же? К сожалению, в повседневной речи мы часто небрежны, и у вас может возникнуть соблазн сказать, что они эквивалентны.Но обратите внимание, что только потому, что Флоренс должна съесть свои овощи, мы не сказали, что этого будет достаточно (например, ей также может потребоваться убрать свою комнату). В повседневной (нематематической) практике у вас может возникнуть соблазн сказать, что это «другое направление» подразумевается. В математике никогда не бывает такой роскоши.

Прежде чем продолжить, было бы неплохо быстро просмотреть Раздел 0.2, где мы впервые столкнулись с операторами и различными формами, которые они могут принимать. Теперь наша цель — посмотреть, какие математические инструменты мы можем разработать, чтобы лучше их анализировать, а затем посмотреть, как это помогает читать и писать доказательства.

Логическая арифметика | Булева алгебра

Давайте начнем изучение булевой алгебры со сложения чисел:

Первые три суммы имеют смысл для любого, кто знаком с элементарным сложением.

Однако последняя сумма, вполне возможно, является причиной большей путаницы, чем любое другое отдельное утверждение в цифровой электронике, потому что кажется, что она противоречит основным принципам математики.

Что ж, это противоречит принципам сложения действительных чисел, но не логических чисел.

Помните, что в мире булевой алгебры есть только два возможных значения для любой величины и для любой арифметической операции: 1 или 0.

В области логических значений нет такого понятия, как «2». Поскольку сумма «1 + 1» определенно не равна 0, она должна быть равна 1 в процессе исключения.

Не имеет значения, сколько или мало терминов мы сложим вместе. Рассмотрим следующие суммы:

OR Ворота

Внимательно посмотрите на двухчленные суммы в первой системе уравнений.

Вам знаком этот узор? Должно! Это тот же образец единиц и нулей, что и в таблице истинности для логического элемента ИЛИ.

Другими словами, логическое сложение соответствует логической функции элемента «ИЛИ», а также параллельным контактам переключателя:

В области булевой математики не существует такого понятия, как вычитание.

Вычитание подразумевает наличие отрицательных чисел: 5 — 3 то же самое, что 5 + (-3) , а в булевой алгебре отрицательные величины запрещены.

В булевой математике тоже нет такой вещи, как деление, поскольку деление на самом деле не более чем сложное вычитание , точно так же, как умножение сложное сложение .

И Ворота

Умножение допустимо в булевой алгебре, и, к счастью, оно такое же, как и в алгебре действительных чисел: все, что умножается на 0 , получается 0 , а все, что умножается на 1 , остается неизменным:

Этот набор уравнений также должен показаться вам знакомым: это тот же образец, что и в таблице истинности для логического элемента AND.

Другими словами, логическое умножение соответствует логической функции элемента « И », а также последовательным переключающим контактам:

Как и в «нормальной» алгебре, в булевой алгебре для обозначения переменных используются буквы алфавита.

Однако, в отличие от «нормальной» алгебры, логические переменные всегда ЗАГЛАВНЫМИ буквами, а не строчными.

Поскольку им разрешено иметь только одно из двух возможных значений, 1 или 0 , каждая переменная имеет дополнение : противоположное ее значение.

Например, если переменная « A » имеет значение 0 , то дополнение A имеет значение 1 .

В логической записи используется черта над символом переменной для обозначения дополнения, например:

НЕ Ворота

В письменной форме дополнение « A » обозначается как « A-not » или « A-bar ». Иногда для обозначения дополнения используется символ «штрих».

Например, A ’будет дополнением к A , почти так же, как использование символа штриха для обозначения дифференцирования в исчислении, а не дробной записи d / dt .

Однако обычно символ «полоса» находит более широкое применение, чем символ « prime », по причинам, которые станут более очевидными позже в этой главе.

Логическое дополнение находит эквивалент в форме элемента НЕ или нормально замкнутого переключателя или релейного контакта:

Основное определение логических величин привело к простым правилам сложения и умножения и исключило как вычитание, так и деление как допустимые арифметические операции.

У нас есть символы для обозначения логических переменных и их дополнений. В следующем разделе мы перейдем к разработке логических идентификаторов.

ОБЗОР:

• Логическое сложение эквивалентно логической функции ИЛИ , а также параллельным переключающим контактам.
Логическое умножение
• эквивалентно логической функции И , а также последовательным переключающим контактам.
Логическое дополнение
• эквивалентно логической функции НЕ , а также нормально замкнутым контактам реле .

СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:

Математические знаки ≈ ∑ ⇒ ∈ ≤ ∞

В этом разделе собраны математические символы, которые нельзя правильно ввести с клавиатуры. Представленный набор условно можно разделить на несколько групп:

• знаки операторов: сложение, вычитание, деление, умножение, суммирование;
• интегральных знаков: двойные, тройные, объемные, поверхностные, по и против часовой стрелки;
• символов неравенства: больше, меньше;
• знаков равенства: равно, не равно, примерно равно, равноценно, тождественно;
• геометрических символов: угол, пропорции, диаметр, перпендикуляр, параллельность, пересечение;
• геометрических фигур: треугольник, дуга, параллелограмм, ромб;
• знак корня, степень числа;
• для теории множеств: пустое множество, принадлежит, подмножеству, объединению, пересечению;
• логическая связка: импликация и / или отрицание, эквивалент;
• других символов: бесконечность, существует, принадлежит, del или nabla, многоточие для матрицы, потолочные скобки, символы для теории групп.

Пример применения

Парабола: ƒ (x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

Представление исключительного ИЛИ: A⊕B: ⇔ (A⋁B) ∧¬ (A∧B)

Скорость тела, падающего с высоты h: V = √̅2̅g̅h̅

Использование этих значков — единственный способ вставить различные математические символы на веб-сайт или в сообщение, появляющееся в любой операционной системе. Нужно просто скопировать закодированный знак. Использование изображений для таких целей усложняет процесс: они требуют настройки при разработке или наполнении Интернет-сайта.Кроме того, мультимедийный контент занимает слишком много места на диске.

Математические знаки можно использовать в социальных сетях, чатах и ​​форумах. Они также могут быть полезны веб-разработчикам.

Математика как язык всех наук не может существовать без системы письма. Его многочисленные концепции и операторы приобрели свои шрифты по мере развития науки. Поскольку стандартные алфавиты не включают их, набрать эти символы довольно проблематично. Вы можете легко скопировать их на нашем сайте и вставить.

Консорциум

Unicode включил в себя множество различных знаков. Если вы не можете найти то, что вам нужно, попробуйте наш поиск по сайту или просмотрите следующие разделы:

Математические операторы 2200–22FF

Разные математические символы-A 27C0–27EF

Разные математические символы-B 2980–29FF

Дополнительные математические операторы 2A00–2AFF

Буквы для формул:

Греческий и коптский 0370–03FF

Математические буквенно-цифровые символы 1D400–1D7FF

Возведение в степень и дробь

Мы сделали еще один набор для надстрочных и подстрочных чисел.