Опорный конспект по геометрии дистанционное обучение

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ 8 класс

(дистанционное обучение)
Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач

На данном уроке мы рассмотрим новую операцию над векторами – умножение вектора на число. Кроме того, мы сформулируем законы умножения и научимся применять знания о векторах к решению различных задач.

На предыдущих уроках мы рассмотрели понятие вектора, ввели определения коллинеарных, сонаправленных, противонаправленных и равных векторов. Научились складывать и вычитать векторы, ввели законы сложения. Теперь нам нужно научиться умножать вектор на число. Особенность данной операции состоит в том, что число – это просто численная величина, не имеющая направления, а вектор – это направленный отрезок, имеющий численное измерение и направление.

Рассмотрим такую ситуацию: по дороге едут два автомобиля, скорость одного – 30 км/ч, а второго – 60 км/ч. Очевидно, что скорость второго автомобиля в два раза больше скорости первого, и скорость второго можно выразить через скорость первого, умножив скорость первого на два.

Определение

Произведение ненулевого вектора   на число k – такой вектор  , длина которого равна  , причем векторы   и   сонаправлены при   и противонаправлены при  . Произведение нулевого вектора на любое число – это нулевой вектор.

Пусть задан вектор   (см. Рис. 1). Вектор   – это вектор, направленный в ту же сторону, но длина его в два раза больше.

Вектор   имеет длину, в два раза большую, чем вектор   и ему противонаправлен.

Рис. 1

Законы умножения

Законы, которым подчиняется операция умножения вектора на число:

 – сочетательный закон;

 – первый распределительный закон;

 – второй распределительный закон.

Решение задач

Анализ данных законов показывает, что действия с векторами аналогичны действиям с алгебраическими выражениями.

Пример 1 – упростить выражение:

Раскроем скобки:

Приведем подобные:

Пример 2: Дан отрезок АВ (см. Рис. 2). Точка С – середина отрезка, точка О – произвольная точка плоскости.   ,  . Доказать, что вектор  .

Решение:

1 способ: применим правило треугольника и выразим вектор   как сумму двух векторов:

С другой стороны:   

Получили систему двух уравнений:

Рис. 2

Сложим уравнения системы:

, так как С – середина АВ, значит, модули данных векторов равны, но они противонаправлены, значит, их сумма – это нулевой вектор.

Получаем:

Поделим обе части на два:

Что и требовалось доказать.

2 способ:

Раскроем скобки и приведем подобные:

Пример 3: Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Мы знаем, что средняя линия трапеции соединяет середины ее боковых сторон, кроме того, мы знаем, что основания трапеции параллельны.

Воспользуемся правилом многоугольника и выразим вектор   как сумму векторов:

Рис. 3

С другой стороны, 

Получаем систему уравнений:

Выполним сложение уравнений системы, получаем:

Векторы   противоположны и дают в сумме нулевой вектор, так как М – середина АВ, то есть модули данных векторов равны, кроме того, очевидно, что они противонаправлены. Аналогично векторы   дают в сумме нулевой вектор. Таким образом, получаем:

Поделим обе части на два:

Таким образом, мы доказали, что средняя линия равна полусумме оснований. Кроме того, равенство вектора   сумме   говорит о том, что прямая MN параллельна основаниям трапеции.

Итак, в данном уроке мы изучили операцию умножения вектора на число и сформулировали законы умножения. Кроме того, мы научились применять факты о векторах к решению различных задач.

 

Домашнее задание

Задание 1: для произвольного четырехугольника MNPQ докажите, что:  ;  .

Задание 2: сторона равностороннего треугольника   равна а. Найдите:  ;  ; ; ; .

Задание 3: точки M и N – середины сторон АВ и ВС треугольника  . Выразите векторы  ,  ,  ,   через векторы  ,  .

ТЕСТ ПО ТЕМЕ

8 КЛАСС

 УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВАРИАНТ 1

  А1. Заданы векторы

  Найдите вектор

 

   

  А2.  Известно, что выполнено равенство

 

  Выразите вектор

  через векторы

  

  А3. Найдите величину

  

   В1. В параллелограмме ABCD дано:

 

  Выразите вектор

  через векторы 

    В2. Векторы a и b связаны с векторами m и n равенствами

 

  Выразите векторы m и n через векторы a и b.

    С1. Пусть

  Выразите вектор 

  через векторы

 

 

Вариант 2

А1. Заданы векторы

  Найдите вектор

  

   А2. Известно, что выполнено равенство

 

  Выразите вектор

  через векторы

 

  А3. Найдите величину

  

    В1. В параллелограмме ABCD дано:

 

  Выразите вектор

  через векторы

  В2. Векторы a и b связаны с векторами m и n равенствами

 

  Выразите векторы m и n через векторы a и b.

   

  С1. Пусть

  Выразите вектор

  через векторы

 

 

 

Адрес публикации: https://www. prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/427178-opornyj-konspekt-po-geometrii-distancionnoe-o

Онлайн калькулятор умножения вектора на число

0
AC		+/-	÷
7	8	9	×
4	5	6	—
1	2	3	+
0	00	,	=

Укажите размерность пространства 23
Укажите форму представления вектора Координаты точек начала и конца вектораКоординаты вектора

Задайте координаты вектора
a̅ = { ; }

Задайте значение числа q на которое нужно умножить вектор
q =

Как умножить вектор на число

Пример 1. Умножим вектор плоскости на число q. Координаты вектора заданны точками.

Координаты точки А вектора AB: (5 ; 9)
Координаты точки B вектора AB: (-2 ; 11)
Числа q на которое нужно умножить вектор AB = 12

Для того, чтобы вектор умножить на число, необходимо каждую координату вектора умножить на данное число.

Вычислим координаты первого вектора по двум точкам A и B:

AB = {B_x — A_x; B_y — A_y} = {-2 — 5 ; 11 — 9} = {-7 ; 2}

AB ⋅ q = {AB_x ⋅ q ; AB_y ⋅ q} = {-7 ⋅ 12 ; 2 ⋅ 12} = {-84 ; 24}

---

Пример 2. Умножим вектор пространства на число q.

Координаты вектора a: (5 ; 9 ; -2)
Числа q на которое нужно умножить вектор a = 2.6

Для того, чтобы вектор умножить на число, необходимо каждую координату вектора умножить на данное число.

a ⋅ q = {a_x ⋅ q ; a_y ⋅ q ; a_z ⋅ q} = {5 ⋅ 2. 6 ; 9 ⋅ 2.6 ; -2 ⋅ 2.6} = {13 ; 117/5 ; -26/5} = {13 ; 23.4 ; -5.2}

Вам могут также быть полезны следующие сервисы

Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия

Калькулятор сложения и вычитания матриц

Калькулятор умножения матриц

Калькулятор транспонирование матрицы

Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы

Калькулятор нахождения обратной матрицы

Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками

Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам

Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора

Калькулятор сложения и вычитания векторов

Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами

Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты

Калькулятор векторного произведения векторов через координаты

Калькулятор смешанного произведения векторов

Калькулятор умножения вектора на число

Калькулятор нахождения угла между векторами

Калькулятор проверки коллинеарности векторов

Калькулятор проверки компланарности векторов

Калькуляторы (Комбинаторика)

Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов

Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов

Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов

Калькуляторы систем счисления

Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские

Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел

Системы счисления теория

N2 | Двоичная система счисления

N3 | Троичная система счисления

N4 | Четырехичная система счисления

N5 | Пятеричная система счисления

N6 | Шестеричная система счисления

N7 | Семеричная система счисления

N8 | Восьмеричная система счисления

N9 | Девятеричная система счисления

N11 | Одиннадцатиричная система счисления

N12 | Двенадцатеричная система счисления

N13 | Тринадцатеричная система счисления

N14 | Четырнадцатеричная система счисления

N15 | Пятнадцатеричная система счисления

N16 | Шестнадцатеричная система счисления

N17 | Семнадцатеричная система счисления

N18 | Восемнадцатеричная система счисления

N19 | Девятнадцатеричная система счисления

N20 | Двадцатеричная система счисления

N21 | Двадцатиодноричная система счисления

N22 | Двадцатидвухричная система счисления

N23 | Двадцатитрехричная система счисления

N24 | Двадцатичетырехричная система счисления

N25 | Двадцатипятеричная система счисления

N26 | Двадцатишестеричная система счисления

N27 | Двадцатисемеричная система счисления

N28 | Двадцативосьмеричная система счисления

N29 | Двадцатидевятиричная система счисления

N30 | Тридцатиричная система счисления

N31 | Тридцатиодноричная система счисления

N32 | Тридцатидвухричная система счисления

N33 | Тридцатитрехричная система счисления

N34 | Тридцатичетырехричная система счисления

N35 | Тридцатипятиричная система счисления

N36 | Тридцатишестиричная система счисления

Дроби

Калькулятор интервальных повторений

Учим дроби наглядно

Калькулятор сокращения дробей

Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную

Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей

Калькулятор возведения дроби в степень

Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную

Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную

Калькулятор сравнения дробей

Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю

Калькуляторы (тригонометрия)

Калькулятор синуса угла

Калькулятор косинуса угла

Калькулятор тангенса угла

Калькулятор котангенса угла

Калькулятор секанса угла

Калькулятор косеканса угла

Калькулятор арксинуса угла

Калькулятор арккосинуса угла

Калькулятор арктангенса угла

Калькулятор арккотангенса угла

Калькулятор арксеканса угла

Калькулятор арккосеканса угла

Калькулятор нахождения наименьшего угла

Калькулятор определения вида угла

Калькулятор смежных углов

Калькуляторы (Теория чисел)

Калькулятор выражений

Калькулятор упрощения выражений

Калькулятор со скобками

Калькулятор уравнений

Калькулятор суммы

Калькулятор пределов функций

Калькулятор разложения числа на простые множители

Калькулятор НОД и НОК

Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида

Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел

Калькулятор делителей числа

Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Калькулятор деления числа в данном отношении

Калькулятор процентов

Калькулятор перевода числа с Е в десятичное

Калькулятор экспоненциальной записи чисел

Калькулятор нахождения факториала числа

Калькулятор нахождения логарифма числа

Калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор остатка от деления

Калькулятор корней с решением

Калькулятор нахождения периода десятичной дроби

Калькулятор больших чисел

Калькулятор округления числа

Калькулятор свойств корней и степеней

Калькулятор комплексных чисел

Калькулятор среднего арифметического

Калькулятор арифметической прогрессии

Калькулятор геометрической прогрессии

Калькулятор модуля числа

Калькулятор абсолютной погрешности приближения

Калькулятор абсолютной погрешности

Калькулятор относительной погрешности

Калькуляторы площади геометрических фигур

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

Генератор Pdf с примерами

Тренажёры решения примеров

Тренажёр таблицы умножения

Тренажер счета для дошкольников

Тренажер счета на внимательность для дошкольников

Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.

Тренажер решения примеров с разными действиями

Тренажёры решения столбиком

Тренажёр сложения столбиком

Тренажёр вычитания столбиком

Тренажёр умножения столбиком

Тренажёр деления столбиком с остатком

Калькуляторы решения столбиком

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком

Калькулятор деления столбиком с остатком

Конвертеры величин

Конвертер единиц длины

Конвертер единиц скорости

Конвертер единиц ускорения

Цифры в текст

Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния

Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения

Калькулятор вычисления времени движения

Калькулятор времени

Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.

Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.

Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости

Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.

Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома

Калькулятор Закона Кулона

Калькулятор напряженности E электрического поля

Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q

Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q

Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q

Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q

Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля

Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькуляторы по астрономии

Вес тела на других планетах

Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках

Генераторы

Генератор примеров по математике

Генератор случайных чисел

Генератор паролей

Понимание умножения векторов на действительные числа

Умножение векторов является важным инструментом во многих областях физики, включая расстояния, энергии, силы, проделанную работу, электрические или магнитные поля и многие другие приложения.

Умножение любого вектора на вещественное число называется скалярным умножением. Это умножение изменяет величину вектора, но не меняет его направление. Однако, если умноженная величина отрицательна, этого не будет, и направление будет обратным. Второй закон движения Ньютона и проделанная работа — два самых известных примера применения скалярного умножения векторов в физике.

Что происходит, когда мы умножаем вектор на вещественное число

Когда мы умножаем вектор на действительное число, величина вектора изменяется, однако это не влияет на направление вектора.

Например, |p·Ā| = р|А| если р>0.

Если p<0, то изменяются и величина, и направление вектора.

Умножение векторов

Умножение векторов применяется в различных областях физики, таких как расстояние, энергии, силы, проделанная работа, электрическое или магнитное поле и многое другое. Векторы можно умножать двумя способами: скалярным умножением и векторным умножением. Мы обсудим скалярное умножение, то есть умножение вектора на действительное число.

Скалярное умножение

Умножение любого вектора на вещественное число называется скалярным умножением. Всякий раз, когда мы умножаем скалярную величину на любую векторную величину, величина вектора изменяется. Однако изменение его направления зависит от скалярной величины, на которую мы его умножаем. Если скалярная величина положительна, направление остается прежним, а если скалярная величина отрицательна, направление становится противоположным исходному направлению. Кроме того, если мы умножаем вектор на ноль, он становится нулевым вектором (нулевым вектором).

Скалярное произведение двух векторов — это скалярное произведение их компонентов. Скалярное произведение двух векторов можно использовать для преобразования вектора в скаляр, представляющий его значение. Другими словами, скалярное произведение двух векторов — это скалярное значение, представляющее сумму элементов каждого вектора.

Скалярная формула произведения = A•B= |A| |Б| Cosθ

Свойства скалярного умножения

1. a·b — скалярная величина
2. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, это означает, что они перпендикулярны друг другу. Это потому, что

А•В = |А| |Б| Cosθ = 0

Cosθ = 0 означает θ=90°

1. Если скалярное произведение двух величин равно произведению их величин, это означает, что два вектора параллельны. Это потому, что Cosθ = 1 означает θ=0°
2. Точно так же, если скалярное произведение двух векторов равно отрицательному результату произведения их величин, это означает, что они антипараллельны. Это связано с тем, что при Cos θ = -1 значение θ будет равно 180°.
3. При решении скалярных произведений 

i·i = j·j = k·k = 1 и i·j = i·k = j·k = 0 по тем же причинам, что и упомянутые выше.

1. Cosθ = a.b/ |a||b|
2. Точечные произведения (скалярные произведения) коммутативны по своей природе, то есть a·b = b·a
3. Они также следуют дистрибутивному свойству a·(b+c) = a·b + a·c

Второй закон движения Ньютона

Второй закон движения Ньютона — лучший пример умножения векторов на действительное число. Он утверждает, что сила прямо пропорциональна ускорению движения. Когда мы обращаемся к пропорциональности, мы умножаем уравнение на массу постоянного значения. Уравнение получается

F = ma

Здесь и сила, и ускорение являются векторными величинами, тогда как m является скалярной величиной. Сила получается умножением векторной величины на действительное число. Мы можем видеть, что это умножение ускорения только меняет его величину, чтобы дать величину силы, но не меняет направление силы. Сила приложена в направлении самого ускорения. Масса (m) всегда положительная величина. Следовательно, она не может быть меньше нуля, и, следовательно, направление силы не изменится.

Заключение

Векторы можно перемножать двумя способами: скалярным умножением и векторным умножением. Умножение векторов имеет приложения в различных областях физики, таких как расстояние, энергии, силы, проделанная работа, электрическое или магнитное поле и многие другие. Всякий раз, когда мы умножаем скалярную величину на любую векторную величину, изменяется величина вектора. Если скалярная величина положительна, направление остается прежним, а если скалярная величина отрицательна, направление становится противоположным исходному направлению. Второй закон движения Ньютона утверждает, что сила прямо пропорциональна ускорению движения, и, таким образом, является хорошим примером скалярного умножения.

Векторные операции | Определение, примеры и факты

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история

• В этот день в истории
• Викторины
• Подкасты
• Словарь
• Биографии
• Резюме
• Популярные вопросы
• Инфографика
• Демистификация
• Списки
• #WTFact
• Товарищи
• Галереи изображений
• Прожектор
• Форум
• Один хороший факт

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история

• Britannica объясняет
  В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
• Britannica Classics
  Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica.
• Demystified Videos
  В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
• #WTFact Видео
  В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти.
• На этот раз в истории
  В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории.

• Студенческий портал
  Britannica — это главный ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и т. д.
• Портал COVID-19
  Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня.
• 100 женщин
  Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.