3.1.3 Теорема Остроградского — Гаусса и его применение для расчета полей

Теорема Остроградского — Гаусса связывает поток силовых линий через произвольную замкнутую поверхность с электрическим зарядом, находящимся внутри этой поверхности. Для замкнутой поверхности условились считать положительным направление нормали, выходящее из объема, ограничиваемого поверхностью. Тогда силовые линии, выходящие из объема, ограниченного данной поверхностью, создают положительный поток; линии же, входящие в объем, создадут отрицательный поток.

Найдем поток, образованный точечным зарядом q и пронизывающий замкнутую сферическую поверхность, окружающую этот заряд и имеющую центр в точке нахождения заряда (рис. 28,а). Напряженность в точках поля, лежащих на сфере радиуса r вокруг точечного заряда q в среде с диэлектрической проницаемостью ε, равна

E = q /4πε0 εr2

(3. 9).

В данном случае проекция напряженности на направление внешней нормали (радиуса) равна напряженности поля. Вследствие этого поток, пронизывающий сферу в вакууме (ε= 0), равен

ФЕ =( q /4πε0 εr2) 4πr2 = q/ε0

(3.10).

Знак потока совпадает со знаком заряда q. Из данного результата следует, что поток силовых линий, пронизывающих сферу, не зависит от ее радиуса. Заменим сферу, окружающую точечный заряд, произвольной замкнутой поверхностью S₁ (рис. 28,6). На основании свойства непрерывности силовых линий можно утверждать, что поток, образованный точечным зарядом и пронизывающий произвольную замкнутую поверхность, внутри которой находится этот заряд, будет таким, как и в случае сферической поверхности, окружающей заряд: Ф_Е = q/ε₀.

Если замкнутая поверхность не охватывает заряд (S₂ на рисунке — 3.7,б), то поток силовых линий через эту поверхность равен нулю, так как число силовых линий, входящих через поверхность, равно числу силовых линий, выходящих из нее.

Рисунок – 37

Таким образом, для поверхности любой формы, если она замкнута и заключает в себя точечный заряд q, поток вектора Е будет равен q/ε₀, т. е.

ФЕ = ∫EndS,= q/ε0

(3.11).

В общем случае внутри замкнутой поверхности может находиться любое число n зарядов. Поток, создаваемый зарядом q_k, будет 4π q_k/ε, при этом знак потока совпадает со знаком заряда и равен алгебраической сумме потоков отдельных зарядов:

∫EndS = ∑ q/ε0

(3.12),

где ∫— интеграл по замкнутой поверхности S. Данная формула выражает теорему Остроградского—Гаусса: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности. Рассчитаем с помощью теоремы Остроградского — Гаусса электрические поля в ряде частных случаев. Для простоты будем рассматривать поля в вакууме.

Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости. Пусть электрическое поле создается бесконечной плоскостью, заряженной равномерно с поверхностной плотностью заряда +σ =d q/dS (рисунок — 3.8,а). Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей.

Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (cos

α = 0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания E совпадает с E_n), т.е. равен 2ES. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен σS. Согласно теореме Остроградского — Гаусса, 2ES = σS/ε₀, откуда

E = σ/(2ε0).

(3.13).

Из формулы (3.13) следует, что E не зависит от длины цилиндра, т. е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно.

Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей (рисунок — 3.8,б). Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями +σ и -σ Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. Слева и справа от плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля

Е = 0. В области между плоскостями Е = Е⁺ + Е^— (Е⁺ и Е^— напряженности от соответствующих знакам зарядов плоскостей. Поэтому результирующая напряженность

Е= σ/ε0.

(3.14).

Таким образом, результирующая напряженность поля между плоскостями описывается полученной формулой, а вне объема, ограниченного плоскостями, равна нулю.

Поле равномерно заряженной сферической поверхности. Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +σ (рисунок — 3.8,в). Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле, создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии напряженности направлены радиально.

а)	б)	в)
Рисунок — 3.8

Построим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r>R, то внутрь поверхности попадает весь заряд q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Остроградского-Гаусса, 4πr²E = q/ε₀, откуда

E = q/4πr2ε0 (r›R).

(3.15).

При r‹R поле убывает с расстоянием по такому же закону, как у точечного заряда. Если r<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической поверхности электростатическое поле отсутствует (Е = 0).

Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити).

Предположим, что бесконечный цилиндр радиуса R равномерно заряжен так, что на единицу его длины приходится заряд τ= q/l (рисунок — 3.9). Из условия симметрии следует, что силовые линии будут радиальными прямыми, перпендикулярными к поверхности цилиндра. Выберем в качестве замкнутой поверхности поверхность прямого цилиндра с радиусом оснований r > R и осью, совпадающей с осью заряженного цилиндра. Высота этого цилиндра равна l (рисунок — 3.9).

Рисунок — 3.9	Рисунок — 3.10

Поток силовых линий через основание выбранного цилиндра равен нулю. Силовые линии перпендикулярны к боковой поверхности цилиндра, поэтому поток напряженности через замкнутую цилиндрическую поверхность равен 2πrlE. По теореме Остроградского — Гаусса при r > R, 2πrlE = τl/ε₀ откуда

E = τ/2πr ε0

(3.16).

Если r<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри выбранного цилиндра электростатическое поле отсутствует (Е = 0).

Теорема Гаусса в присутствии диэлектриков

Влияние диэлектриков на электрическое поле сводится к ответному действию возникающих в поле поляризационных зарядов. Теорема Остроградского-Гауса для тел в вакууме электростатического поля может быть трансформирована с помощью добавления к свободным зарядам поляризационных для получения теоремы с диэлектриками. В этом случае она запишется как:

Со значением qjsυ в качестве связанных зарядов, qi — свободных зарядов, ΦE — потока вектора напряженности электрического поля.

Теорема Остроградского-Гаусса

Теорема 1

Если использовать вектор электрического смещения D→, то это заметно облегчает анализ поля при наличии диэлектрика. Теорему Остроградского-Гаусса при наличии диэлектрика можно записать в интегральном виде:

∮SD→·dS→=∑i=1Nqi=Q, где Q является суммарным свободным зарядом, находящийся внутри объема, который ограничен поверхностью S.

Поток вектора D→ через замкнутую поверхность может быть определен только с помощью свободных зарядов. В вакууме векторы D→ и E→ совпадающие.

Определение 1

Дифференциальная форма теоремы Гаусса выражения ∮SD→·dS→=∑i=1Nqi=Q изображается как:

div D→=ρ с ρ, являющейся объемной плотностью свободных зарядов.

Теорема Остроградского-Гаусса вида ∮SD→·dS→=∑i=1Nqi=Q и div D→=ρ справедлива только в электростатике и выполняется для переменных полей. Ее относят к составной части системы уравнений Максвелла.

Теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме

Напомним формулу вектора электрической индукции:

D→=ε0E→+P→ со значением ε0 в качестве электрической постоянной, E→ — вектора напряженности, P→ — вектора поляризации.

Произведем подстановку формулы D→=ε0E→+P→ в div D→=ρ:

div D→=div ε0E→+P→=ε0div E→+div P→.

При использовании теоремы Остроградского-Гаусса дифференциального вида, получим:

div E→=1ε0ρ-div P→.

Для вектора напряженности вышеуказанная формула примет вид в присутствии диэлектрика:

div E→=1ε0ρ+ρsv с ρsv, являющейся плотностью заряда. В этом случае необходимо применить div E→=1ε0ρ+ρsv и div E→=1ε0ρ-div P→:

div P→=-1ε0csv.

Теорема Остроградского-Гаусса для диэлектриков

Теорема Остроградского-Гаусса для вектора электрического смещения в диэлектрике выглядит также, как и для напряженности поля в вакууме. Отсюда следует, что математические соотношения, получившиеся для E→ поля в вакууме, аналогичны записям для однородного диэлектрика при замене напряженности электрического поля на вектор D→.

Пример 1

Дан диэлектрический шар, имеющий диэлектрическую проницаемость ε1, равномерно заряжен по объему с постоянной плотностью заряда ρ. Его нахождение в среде обусловлено наличием диэлектрической проницаемости ε2. Изобразить график напряженности поля шара от расстояния до его центра.

Решение

Поле, создаваемое шаром по заданным условиям, имеет сферическую симметрию. Необходимо рассмотреть его внутри шара r≤R. Для нахождения E(r) выбирается сферическая поверхность с радиусом меньше сферы. По теореме Остроградского-Гаусса:

E·S=qε1ε0, где S — площадь поверхности сферы, которая была выделена. Отсюда следует:

S=4πr2.

Заряд, находящийся внутри сферы, ищем из формулы:

q=ρV=ρ43πr3.

Очевидно, что будут происходить изменения напряженности поля внутри шара r≤R, согласно выражениям:

E·4πr2=ρ43πr3ε1ε0,

E=ρr3ε1ε0.

Перейдем к рассмотрению поля вне шара r≥R. Для нахождения E(r) выбираем сферическую поверхность с радиусом больше радиуса сферы. По теореме Остроградского-Гаусса получим:

E·S=qε2ε0, где S обозначает площадь поверхности выделенной сферы. Отсюда следует:

S=4πr2.

Формула S=4πr2 имеет r≥R. Поэтому находящийся внутри заряд выделенной сферы находится из:

q=ρV=ρ43πR3.

Далее следует подставить площадь из S=4πr2, заряд из q=ρV=ρ43πR3, подставив в E·S=qε2ε0:

E·4πr2=ρ43πR3ε2ε0.

E=ρR33ε2ε0r2.

В результате запишем:

E=ρr3ε1ε0 при r≤R,E=ρR33ε2ε0r2 при r≥R.

Рисунок 1

Ответ: графики показаны на рисунке 1. Внутри шара напряженность увеличивается прямо пропорционально расстоянию от центра шара. Вне шара она равняется E~1r2. На границе диэлектриков происходит разрыв. Кривая под номером 1 соответствует условию ε1>ε2.

Пример 2

Предположим, что имеется воображаемая сфера, в центре которой находится точечный заряд. Будет ли изменяться поток вектора напряженности через эту поверхность, если: 1) все пространство будет заполнено однородным и изотопным диэлектриком, 2) произвести замену сферической поверхности на кубическую?

Решение

1. По теореме Остроградского-Гаусса поток вектора напряженности через поверхность сферы в пространстве с диэлектриком будет равняться:

ΦE=∮SE→dS→=1ε0q+∑j=1Kqjsv, со значением qjsv в качестве связанных зарядов, которые вызваны поляризацией диэлектрика полем одиночного заряда, q в качестве свободного заряда, находящегося в центре сферы.

Учитывая теорему Остроградского-Гаусса, формула потока вектора напряженности через поверхность сферы в пространстве без диэлектрика примет вид:

ΦE=∮SE→dS→=1ε0q.

2. Поле было создано при помощи точечного свободного заряда, то при замене формы поверхности потока вектор напряженности не будет изменяться, потому как равняется аналогичным значению заряда, находящегося на поверхности.

Ответ:

1. изменится,
2. не изменится.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.