Закон фермы. Лидерство, основанное на принципах

В сельском хозяйстве невозможно оттягивать решение вопросов до последнего, чтобы потом решать их в авральном порядке. Коров нужно доить каждый день. Все работы должны выполняться в свое время, согласно природным циклам. Нарушение принципов, какими бы добрыми намерениями оно ни оправдывалось, влечет за собой естественные последствия. Мы все подвластны естественным законам и принципам – закону фермы и урожая.

Единственное, что никогда не меняется, – закон фермы. Согласно естественным законам и принципам, если я хочу получить урожай, я должен подготовить почву, посадить семена, пропалывать и поливать ростки. То же самое относится к семейным отношениям: если вы хотите помочь сыну-подростку преодолеть кризис переходного возраста, вы должны понимать, что быстрых решений не бывает и чудодейственной формулы успеха не существует.

Закон урожая неумолим. Естественные законы и принципы действуют несмотря ни на что. Поэтому вам ничего не остается, как поместить эти «сельскохозяйственные» принципы в центр своей жизни и своих взаимоотношений. Сделав это, вы осуществите переход от менталитета недостаточности к менталитету достаточности.

Если продолжить аграрную аналогию, менталитет изобилия означает «больше картошки и меньше очистков». А в простом хрестоматийном смысле речь идет о результате.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Читать книгу целиком

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

Принцип Ферма • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»

Принцип Ферма, названный так по имени сформулировавшего его французского физика и математика Пьера Ферма (см. Великая теорема Ферма) является примером так называемого принципа экстремума. Принцип экстремума гласит, что любая система стремится к состоянию, при котором значение исследуемой величины принимает максимально или минимально возможное (т. н. экстремальное) значение. Вообще, принцип экстремума лежит в основе целого ряда законов геометрической оптики и распространения света. Что касается принципа Ферма, то он является простым математическим обобщением ранее сделанных наблюдений такого рода, и ранее открытые закон отражения света и закон Снеллиуса непосредственно вытекают из него. То есть, принцип Ферма можно считать теоретическим обобщением всех полученных к моменту его формулировки экспериментальных данных о поведении света.

Например, при попадании светового луча внутрь стеклянного параллелепипеда принцип Ферма подскажет нам, на какой угол преломится луч. Весь вопрос сведется к тому, по какому пути должен распространяться луч внутри стекла, чтобы на это ушел минимум времени, учитывая, что в стекле свет распространяется медленнее, чем в воздухе. Поскольку луч в стекле затормаживается, он неизбежно отклонится от направления, под которым он вошел в стекло, иначе возрастет время луча в пути. С другой стороны, если луч внутри стекла пойдет строго перпендикулярно к поверхности стекла, это приведет к увеличению общего пути, пройденного лучом, включая отрезки за пределами стекла, и, как следствие, также к увеличению затраченного времени. Следовательно, для нахождения кратчайшей по времени траектории пути луча между двумя точками нужно найти компромисс между увеличением совокупного пути луча и сокращением пути луча в тормозящей его среде.

При строгом геометрическом решении этой задачи (оно не столь сложно, сколь громоздко, поэтому приводить его здесь я не буду) мы получим закон Снеллиуса, описывающий преломление света. Применив же его к отраженному от поверхности лучу, мы без труда, чисто геометрически, получим закон отражения света, согласно которому угол падения равен углу отражения.

Иными словами, весь набор законов геометрической оптики выводится из принципа экстремума, согласно которому свет между двумя точками распространяется по пути, на преодоление которого у него уходит наименьшее время. Важно помнить и понимать, однако, что, подобно всем другим эмпирически выведенным законам природы, справедливость принципа Ферма полностью зависит от его экспериментальной проверки, однако данных, которые заставили бы в нем усомниться, на сегодняшний день не имеется.

Великая теорема Ферма — Википедия

Издание 1670 года «Арифметики» Диофанта включает комментарий Ферма, в частности его «последнюю теорему» (Observatio Domini Petri de Fermat)

Вели́кая теоре́ма Ферма́ (или Последняя теорема Ферма) — одна из самых популярных теорем математики. Её условие формулируется просто, на «школьном» арифметическом уровне, однако доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Доказана в 1994 году Эндрю Уайлсом с коллегами (доказательство опубликовано в 1995 году).

Формулировка

Теорема утверждает^[1], что для любого натурального числа n>2{\displaystyle n>2} уравнение:

an+bn=cn{\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}

не имеет решений в целых ненулевых числах a,b,c{\displaystyle a,b,c}.

Встречается более узкий вариант формулировки, утверждающий, что это уравнение не имеет натуральных решений. Однако очевидно, что если существует решение для целых чисел, то существует и решение в натуральных числах. В самом деле, пусть a,b,c{\displaystyle a,b,c} — целые числа, дающие решение уравнения Ферма. Если n{\displaystyle n} чётно, то |a|,|b|,|c|{\displaystyle |a|,|b|,|c|} тоже будут решением, а если нечётно, то перенесём все степени отрицательных значений в другую часть уравнения, изменив знак. Например, если бы существовало решение уравнения a3+b3=c3{\displaystyle a^{3}+b^{3}=c^{3}} и при этом a{\displaystyle a} отрицательно, а прочие положительны, то b3=c3+|a|3{\displaystyle b^{3}=c^{3}+|a|^{3}}, и получаем натуральные решения c,|a|,b.{\displaystyle c,|a|,b.} Поэтому обе формулировки эквивалентны.

Обобщениями утверждения теоремы Ферма являются опровергнутая гипотеза Эйлера и открытая гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа.

История

Для случая n=3{\displaystyle n=3} эту теорему в X веке пытался доказать ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось.

В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта. Дело в том, что Ферма делал свои пометки на полях читаемых математических трактатов и там же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Теорему, о которой ведётся речь, он записал с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги:

Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Оригинальный текст (лат.)

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas eiusdem nominis fas est dividere  cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Доказательство самого Ферма для случая n=4{\displaystyle n=4} в 45-м комментарии к «Арифметике» Диофанта

Ферма приводит только доказательство, как решение задачи, сводимой к четвёртой степени теоремы n=4{\displaystyle n=4}, в 45-м комментарии к «Арифметике» Диофанта^[2] и в письме к Каркави (август 1659 года)^[3]. Кроме этого, Ферма включил случай n=3{\displaystyle n=3} в список задач, решаемых методом бесконечного спуска^[3].

Эйлер в 1770 году доказал теорему^[4] для случая n=3{\displaystyle n=3}, Дирихле и Лежандр в 1825 — для n=5{\displaystyle n=5}, Ламе — для n=7{\displaystyle n=7}. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n{\displaystyle n}, меньших 100, за возможным исключением так называемых иррегулярных простых 37, 59, 67.

Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество дилетантов-любителей; считается, что теорема стоит на первом месте по количеству некорректных «доказательств». Тем не менее эти усилия привели к получению многих важных результатов современной теории чисел. Давид Гильберт в своём докладе «Математические проблемы» на II Международном конгрессе математиков (1900) отметил, что поиск доказательства для этой, казалось бы, малозначимой теоремы привёл к глубоким результатам в теории чисел^[5]. В 1908 году немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100 тыс. немецких марок тому, кто докажет теорему Ферма. Однако после Первой мировой войны премия обесценилась.

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение an+bn=cn{\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}} при n>3{\displaystyle n>3} может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Немецкий математик Герхард Фрай^[en] предположил, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры. Это предположение было доказано Кеном Рибетом^[en][6].

Последний важный шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994 года. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics»^[7].

Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после семи лет работы), но в нём вскоре был обнаружен серьёзный^{[какой?]} пробел, который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстро устранить^[8]. В 1995 году был опубликован завершающий вариант^[9]. В 2016 году за доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлс получил Абелевскую премию^[10].

Колин Мак-Ларти отметил, что, возможно, доказательство Уайлса удастся упростить, чтобы не предполагать существования так называемых «больших кардиналов»^[11][12].

Теорема Ферма также тривиально следует из abc-гипотезы, о доказательстве которой заявил японский математик Синъити Мотидзуки; его доказательство отличается исключительной сложностью. В настоящее время в математическом сообществе нет ясного консенсуса в отношении его работ^[13].

Некоторые вариации и обобщения

Одна из гипотез, выдвинутых Эйлером (1769 год), утверждала, что уравнение a4+b4+c4=d4{\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}} не имеет натуральных решений a,b,c,d.{\displaystyle a,b,c,d.} Только в наши дни, с помощью мощных компьютеров, удалось найти контрпримеры, опровергающие гипотезу. В 1988 году Ноам Элкис обнаружил следующее решение^[14]:

26824404+153656394+187967604=206156734.{\displaystyle 2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}=20615673^{4}.}

Позднее были найдены и другие решения; простейшее из них:

958004+2175194+4145604=4224814.{\displaystyle 95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}.}

Ещё одним популярным обобщением теоремы Ферма является гипотеза Била, сформулированная в 1993 году американским математиком-любителем, пообещавшим за её доказательство или опровержение 1 млн долларов США.

«Ферматисты»

Авторское свидетельство, выданное Министерством образования и науки Украины Г. А. Середкину и Л. В. Шаповаловой на работу с «доказательством» теоремы Ферма

Простота формулировки теоремы Ферма (доступная в понимании даже школьнику), а также сложность единственного известного доказательства (или неведение о его существовании), вдохновляют многих на попытки найти другое, более простое, доказательство. Людей, пытающихся доказать теорему Ферма элементарными методами, называют «ферматистами» или «ферматиками».^[15] Ферматисты зачастую не являются профессионалами и допускают ошибки в арифметических действиях или логических выводах, хотя некоторые представляют весьма изощрённые «доказательства», в которых трудно найти ошибку.

Доказывать теорему Ферма в среде любителей математики было настолько популярно, что в 1972 году журнал «Квант», публикуя статью о теореме Ферма, сопроводил её следующей припиской^[15]: «Редакция „Кванта“ со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут».

Немецкому математику Эдмунду Ландау очень докучали «ферматисты». Чтобы не отвлекаться от основной работы, он заказал несколько сот бланков с шаблонным текстом, сообщающим, что на определённой строке на некоторой странице находится ошибка, при этом находить ошибку и заполнять пробелы в бланке он поручал своим аспирантам.

Примечательно, что отдельные ферматисты добиваются публикации своих (неверных) «доказательств» в ненаучной прессе, которая раздувает их значение до научной сенсации^[16][17]. Впрочем, иногда такие публикации появляются и в уважаемых научных изданиях^[18], как правило, с последующими опровержениями^[19]. Среди других примеров:

• Брошюра В. И. Будкина, изданная в Ярославле под названием «Методика познания „истины“. Доказательство Великой теоремы Ферма» (47 с., 5000 экз., Верхне-Волжское книжное издательство, 1975)^[20].
• Книга Л. Ш. Райхеля «Великая теорема», изданная в Ленинграде в 1990 году^[21].
• Свидетельство о регистрации авторских прав на произведение «доказательство теоремы Ферма», выданное Министерством образования и науки Украины Л. В. Шаповаловой и Г. А. Середкину. Документ не удостоверяет каким-либо образом правильность доказательства, а лишь регистрирует авторские права на поданный в Министерство образования и науки печатный труд; на это министерство возложена обязанность ведения реестра таких свидетельств^[22].

Теорема Ферма в культуре и искусстве

Почтовая марка Чехии 2000 года ко Всемирному году математики, посвящённая теореме

Великая теорема Ферма стала символом труднейшей научной проблемы и в этом качестве часто упоминается в беллетристике. Далее перечислены некоторые произведения, в которых теорема не просто упомянута, но является существенной частью сюжета или идеологии произведения.

В рассказе Артура Порджеса «Саймон Флэгг и дьявол»^[23] профессор Саймон Флегг обращается за доказательством теоремы к дьяволу. По этому рассказу снят игровой научно-популярный фильм «Математик и чёрт» (СССР, 1972, производство Центрнаучфильм, творческое объединение «Радуга», режиссёр Райтбурт).

Александр Казанцев в романе «Острее шпаги» в 1983 году предложил оригинальную версию отсутствия доказательства самого Пьера Ферма.

В телесериале «Звёздный Путь» капитан космического корабля Жан-Люк Пикар был озадачен разгадкой Великой теоремы Ферма во второй половине XXIV века. Таким образом, создатели фильма предполагали, что решения у Великой теоремы Ферма не будет в ближайшие 400 лет. Серия «Рояль» с этим эпизодом была снята в 1989 году, когда Эндрю Уайлс был в самом начале своих работ. В действительности решение было найдено всего спустя пять лет.

В посвящённой Хэллоуину 1995 года серии «Симпсонов» двухмерный Гомер Симпсон случайно попадает в третье измерение. Во время его путешествия в этом странном мире в воздухе парят геометрические тела и математические формулы, включая неверное равенство 178212+184112=192212{\displaystyle 1782^{12}+1841^{12}=1922^{12}}. Калькулятор с точностью не более 10 значащих цифр подтверждает это равенство:

178212+184112=2541210258614589176288669958142428526657≈2,541210259⋅1039,192212=2541210259314801410819278649643651567616≈2,541210259⋅1039.{\displaystyle {\begin{array}{cl}1782^{12}+1841^{12}&=2\,541\,210\,258\,614\,589\,176\,288\,669\,958\,142\,428\,526\,657\approx 2{,}541\,210\,259\cdot 10^{39},\\1922^{12}&=2\,541\,210\,259\,314\,801\,410\,819\,278\,649\,643\,651\,567\,616\approx 2{,}541\,210\,259\cdot 10^{39}.\end{array}}}

Тем не менее, даже без вычисления точных значений легко видеть, что равенство неверно: левая часть — нечётное число, а правая часть — чётное.

В первом издании «Искусства программирования» Дональда Кнута теорема Ферма приведена в качестве упражнения с математическим уклоном в самом начале книги и оценена максимальным числом (50) баллов, как «исследовательская проблема, которая (насколько это было известно автору в момент написания) ещё не получила удовлетворительного решения. Если читатель найдет решение этой задачи, его настоятельно просят опубликовать его; кроме того, автор данной книги будет очень признателен, если ему сообщат решение как можно быстрее (при условии, что оно правильно)». В третьем издании книги это упражнение уже требует знаний высшей математики и оценивается лишь в 45 баллов.

В книге Стига Ларссона «Девушка, которая играла с огнём»^[24] главная героиня Лисбет Саландер, обладающая редкими способностями к аналитике и фотографической памятью, в качестве хобби занята доказательством Великой теоремы Ферма, на которую она наткнулась, читая фундаментальный труд «Измерения в математике», в котором приводится и доказательство Эндрю Уайлса. Лисбет не хочет изучать готовое доказательство, а главным интересом становится поиск собственного решения. Поэтому всё своё свободное время она посвящает самостоятельному поиску «замечательного доказательства» теоремы великого француза, но раз за разом заходит в тупик. В конце книги Лисбет находит доказательство, которое не только совершенно отлично от предложенного Уайлсом, но и является настолько простым, что сам Ферма мог бы его найти. Однако после ранения в голову она его забывает, и Ларссон не приводит никаких подробностей этого доказательства.

Мюзикл «Последнее танго Ферма» создан в 2000 году Джошуа Розенблюмом^[en] и Джоан Лесснер по мотивам реальной истории Эндрю Уайлса. Главный герой по имени Дэниел Кин завершает доказательство теоремы, а дух самого Ферма старается ему помешать. Мюзикл был представлен в театре York Theatre в Нью-Йорке, затем записан и издан институтом Клэя^[25].

За несколько дней до своей смерти Артур Кларк успел отрецензировать рукопись романа «Последняя теорема», над которой он трудился в соавторстве с Фредериком Полом. Книга вышла уже после смерти Кларка.

Примечания

1. ↑ Ферма теорема // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5.
2. ↑ Diophantus of Alexandria. Arithmeticorum libri sex, et de numeris multangulis liber unus. Cum commentariis C.G. Bacheti V.C. & observationibus D.P. de Fermat senatoris Tolosani. Toulouse, 1670, pp. 338—339.
3. ↑ ^{1 2} Fermat a Carcavi. Aout 1659. Oeuvres de Fermat. Tome II. Paris: Tannery & Henry, 1904, pp. 431—436.
4. ↑ Ю. Ю. Мачис. О предполагаемом доказательстве Эйлера // Математические заметки. — 2007. — Т. 82, № 3. — С. 395—400. Английский перевод: J. J. Mačys. On Euler’s hypothetical proof (англ.) // Mathematical Notes : journal. — 2007. — Vol. 82, no. 3—4. — P. 352—356. — doi:10.1134/S0001434607090088. (недоступная ссылка)
5. ↑ Давид Гильберт. Математические проблемы:

   Проблема доказательства этой неразрешимости являет разительный пример того, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первый взгляд малозначительная проблема. Ибо, побуждённый задачей Ферма, Куммер пришёл к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители — теоремы, которая теперь, благодаря обобщениям на любую алгебраическую числовую область, полученным Дедекиндом и Кронекером, является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций.

6. ↑ Соловьев Ю.П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма // Соросовский образовательный журнал. — ISSEP, 1998. — Т. 4, № 2. — С. 135—138.
7. ↑ Wiles, Andrew. Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — 1995. — Vol. 141, no. 3. — P. 443—551. (англ.)
8. ↑ Taylor, Richard & Wiles, Andrew. Ring theoretic properties of certain Hecke algebras (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — 1995. — Vol. 141, no. 3. — P. 553—572. Архивировано 27 ноября 2001 года. Архивная копия от 27 ноября 2001 на Wayback Machine (англ.)
9. ↑ Стиллвелл Д. Математика и её история. — Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 199—200.
10. ↑ Абелевскую премию получит британец, доказавший Великую теорему Ферма
11. ↑ Colin McLarty. What does it take to prove Fermat’s last theorem? Grothendieck and the logic of number theory // Bulletin of Symbolic Logic. — 2010. — Т. 16, № 3. — С. 359—377.
12. ↑ Fermat’s Last Theorem and more can be proved more simply (неопр.) (недоступная ссылка). Дата обращения 27 ноября 2015. Архивировано 28 июня 2018 года.
13. ↑ David Michael Roberts. A Crisis of Identification // Inference. — 2019. — Vol. 4, no. 3.
14. ↑ Наварро, Хоакин. Неуловимые идеи и вечные теоремы. Великие задачи математики. — М.: Де Агостини, 2014. — С. 84. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 25). — ISBN 978-5-9774-0720-5.
15. ↑ ^{1 2} Гастев Ю., Смолянский М. Несколько слов о Великой теореме Ферма // Квант. — 1972. — Т. 8. — С. 23—25.
16. ↑ Теоремой — по ракетам!
17. ↑ Человечество может расслабиться?
18. ↑ Человечество может расслабиться. Сайт Российской академии наук.
19. ↑ Теорема Ферма доказала, что попытки доказать её не прекратятся никогда. Сайт Российской академии наук.
20. ↑ Пионеры.
21. ↑ Лазарь Шлемович Райхель. Великая теорема: (Повесть) [Об учителе физики Л. Г. Марголине] / Л. Райхель — Л.: Б. м. Б. и. 252 с., 1990 (обл. 1991)
22. ↑ Постановление Кабинета министров Украины от 27.12.2001 г. N 1756 «О государственной регистрации авторского права…».
23. ↑ A. Porges. Devil and Simon Flagg (англ.) // The Magazine of Fantasy & Science Fiction : magazine. — NY, 1954.. Русский перевод: Порджес А. Саймон Флэгг и дьявол // Квант. — 1972. — Т. 8. — С. 17—22. (альтернативная ссылка)
24. ↑ В 2010 году книга вышла на русском языке в издательстве «Эксмо», в оригинале название «Flickan som lekte med elden», в английском переводе «The girl who played with fire».
25. ↑ Robert Osserman. Fermat’s Last Tango // Notices of the AMS. — 2001. — Vol. 48. — P. 1330–1332.

Литература

На русском

• Абраров Д. Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса.
• Альварес Л. Ф. А. Самая сложная задача в мире. Ферма. Великая теорема Ферма // Наука. Величайшие теории. — М.: Де Агостини, 2015. — Вып. 18. — ISSN 2409-0069.
• Виолант-и-Хольц, Альберт. Загадка Ферма. Трёхвековой вызов математике. — М.: Де Агостини, 2014. — 151 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 9). — ISBN 978-5-9774-0625-3.
• Кирсанов Ф. История Великой Теоремы Ферма.
• Манин Ю.И., Панчишкин А.А. Введение в современную теорию чисел. — М.: МЦНМО, 2009.
• Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1982. Основная тема книги — последняя теорема Ферма.
• Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. — М.: Мир, 2003.
• Сингх С. Великая теорема Ферма. — М.: МЦНМО, 2000.
• Хинчин А.Я. Великая теорема Ферма. — 3-е изд. — М.: ОНТИ, 1934.
• Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. — М.: Мир, 1980. В книге подробно рассматривается теория идеальных делителей Куммера.

На английском

• Donald C. Benson. The Moment of Proof: Mathematical Epophanies. — Oxford University Press, 1999. — ISBN 0-19-513919-4.
• Faltings, Gerd (1995). The Proof of Fermat’s last theorem by R. Taylor and A. Wiles, Notices of the AMS (42) (7), 743—746.
• Daney, Charles (2003). The Mathematics of Fermat’s last theorem. Retrieved Aug. 5, 2004.
• O’Connor, J. J. & and Robertson, E. F. (1996). Fermat’s last theorem. The history of the problem. Retrieved Aug. 5, 2004.
• Shay, David (2003). Fermat’s last theorem. The story, the history and the mystery. Retrieved Aug. 5, 2004.

Ссылки

Принцип Ферма — Вікіпедія

Принцип Ферма — основний принцип геометричної оптики, який стверджує, що оптична довжина L{\displaystyle L\,} реального променя, що проходить між точками P1{\displaystyle P_{1}\,} та P2{\displaystyle P_{2}\,}, менша за оптичну довжину будь-якої іншої кривої, яку можна провести між цими двома точками.

L=∫P1P2nds{\displaystyle L=\int _{P_{1}}^{P_{2}}nds},

де n — показник заломлення, мінімальний для реального променя.

Інше формулювання полягає в тому, що промінь обирає таку траєкторію, щоб затратити найменший час на подолання відстані між двома точками.

П’єр Ферма опублікував принцип найменшого часу в 1657, стверджуючи, що «природа завжди обирає найкоротший шлях».

Виходячи з принципу Ферма, можна вивести всі закони геометричної оптики, наприклад, закон заломлення.

Один з фундаментальних принципів фізики виник у той час, коли ще й самої фізики в сучасному розумінні не було. Більше того, не було навіть класичної механіки (механіка Ньютона тоді ще тільки зароджувалась), у рамках якої і виникла вперше ідея розбудови фізичної теорії, що базується на аксіоматичному підході Евкліда.

Принцип Ферма, подібно до Александрійського маяка, освітлював шлях, яким ішла фізика в напрямі аксіоматизації своєї теорії впродовж останніх 350 років. Його ідея була використана при аксіоматизації класичної механіки, оптики, електродинаміки. Більше того, ці ідеї були використані при закладенні основ квантової механіки (формальне виведення рівнянь Шредінгера та Клейна-Гордона). Оскільки диференціальне числення тоді ще тільки створювалося в уяві геніального Ньютона (свої «Начала» навіть він написав, використовуючи геометричний підхід, хоч при отриманні формул користувався диференціальним численням), тому Ферма сформулював свій принцип у словесній формі. Сучасна інтерпретація гласить:

Світло розповсюджується із однієї точки середовища в іншу по шляху, для проходження якого витрачається найменше часу.

Математичне формулювання можливе в межах варіаційного числення, яке виникло тільки в середині XVIII століття:

δ∫−ABdS=0{\displaystyle \delta \int _{-A}^{B}dS=0},

де A{\displaystyle A} та B−{\displaystyle B-} точки, між якими поширюється світло;

dS=ndl {\displaystyle dS=ndl\ }

— елемент оптичної довжини шляху, n=n(x,y,z) {\displaystyle n=n(x,y,z)\ }- абсолютний показник заломлення середовища.

Сучасне формулювання[ред. | ред. код]

В основі сучасного виведення принципу Ферма лежить використання комплексної плоскої хвилі в загальній формі, справедливій як для електромагнітних коливань, так і для квантових:

Ψ(r,t)=a(r)exp⁡(i[ωt−k0ϕ(r)]){\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=a(\mathbf {r} )\exp(i[\omega t-k_{0}\phi (\mathbf {r} )])}.

де a(r) {\displaystyle a(\mathbf {r} )\ }- амплітуда коливань, ω {\displaystyle \omega \ }- циклічна частота, k0−{\displaystyle k_{0}-} хвильове число, а ϕ(r) {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )\ } — функція ейконала.

Ця функція задовольняє хвильовому рівнянню Даламбера:

ΔF−1v2∂2F∂t2=0{\displaystyle \Delta F-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial t^{2}}}=0}.

де v−{\displaystyle v-} швидкість розповсюдження хвилі F−{\displaystyle F-} довільна функція, наприклад напруженість електричного поля.

Систему з двох диференціальних рівнянь для визначення ейконала знаходять шляхом диференціювання, підставляючи хвильову функцію в рівняння д’Аламбера:

(∇ϕ)2=n2+Δaak02{\displaystyle (\nabla \phi )^{2}=n^{2}+{\frac {\Delta a}{ak_{0}^{2}}}}

де n=ω/vk0−{\displaystyle n=\omega /vk_{0}-} показник заломлення.

aΔϕ+2(∇a,∇ϕ)=0{\displaystyle a\Delta \phi +2(\nabla a,\nabla \phi )=0}

де k0=ω/c=2π/λ−{\displaystyle k_{0}=\omega /c=2\pi /\lambda -} хвильове число.

Якщо довжина хвилі λ{\displaystyle \lambda } мала, а амплітуда a{\displaystyle a} змінюється не дуже швидко, тоді:

|Δaak02|<n2,{\displaystyle \left|{\frac {\Delta a}{ak_{0}^{2}}}\right|<n^{2},}

|λ2∂2a∂x2|≪|λ∂a∂x|≪a{\displaystyle \left|\lambda ^{2}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}\right|\ll \left|\lambda {\frac {\partial a}{\partial x}}\right|\ll a}

і диференційні рівняння для визначенню ейконалу спрощуються:

∇ϕ=ns{\displaystyle \nabla \phi =n\mathbf {s} }

aΔϕ+2n∂a∂s=0{\displaystyle a\Delta \phi +2n{\frac {\partial a}{\partial \mathbf {s} }}=0}

де s{\displaystyle \mathbf {s} } — одиничний вектор нормалі до фронту хвилі:

ωt−k0ϕ=const {\displaystyle \omega t-k_{0}\phi ={\text{const}}\ },

проведений в сторону її руху. Останнє диференційне рівняння і називають рівнянням ейконала. Воно визначає швидкість поширення фронту хвилі в напрямі нормалі s{\displaystyle \mathbf {s} }:

v=dsdt{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {s} }{dt}}}.

Дані диференційні рівняння і визначають систему рівнянь геометричної оптики. Останнє рівняння можна проінтегрувати в загальному вигляді:

a=a0exp⁡(−∫0SΔϕ2ndS){\displaystyle a=a_{0}\exp \left(-\int _{0}^{S}{\frac {\Delta \phi }{2n}}\,dS\right)}

де a0−{\displaystyle a_{0}-} амплітуда в точці променя, від якої відраховується його довжина S{\displaystyle S}.

Ці рівняння можна привести й до відомішої форми, що традиційно використовується при формулюванні принципу Ферма:

ϕ(S)=∫0Sn(S′)dS′{\displaystyle \phi (S)=\int _{0}^{S}n(S^{‘})\,dS^{‘}},

звідки слідує відомий вираз принципу Ферма:

δϕ(S)=δ∫0Sn(S′)dS′=0{\displaystyle \delta \phi (S)=\delta \int _{0}^{S}n(S^{‘})\,dS^{‘}=0}.

• Борн М., Вольф Э. (1973). Основы оптики. Москва: Наука. 

• Кузьмичев В. Е. Законы и формулы физики. Справочник. — Киев : Наукова думка, 1989. — 862 с.
• Романюк М. О., Крочук А. С., Пашук І. П. Оптика. —  : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 564 с.

Великая теорема Ферма • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»

Вы, наверное, помните со школьных времен теорему Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Возможно, вы помните и классический прямоугольный треугольник со сторонами, длины которых соотносятся как 3 : 4 : 5. Для него теорема Пифагора выглядит так:

3² + 4² = 5²

Это пример решения обобщенного уравнения Пифагора в ненулевых целых числах при n = 2. Великая теорема Ферма (ее также называют «Большой теоремой Ферма» и «Последней теоремой Ферма») состоит в утверждении, что при значениях n > 2 уравнения вида xⁿ + yⁿ = zⁿне имеют ненулевых решений в натуральных числах.

История Великой теоремы Ферма весьма занимательна и поучительна, и не только для математиков. Пьер де Ферма внес вклад в развитие самых различных областей математики, однако основная часть его научного наследия была опубликована лишь посмертно. Дело в том, что математика для Ферма была чем-то вроде хобби, а не профессиональным занятием. Он переписывался с ведущими математиками своего времени, однако публиковать свои работы не стремился. Научные труды Ферма в основном обнаружены в форме частной переписки и обрывочных записей, часто сделанных на полях различных книг. Именно на полях (второго тома древнегреческой «Арифметики» Диофанта. — Прим. переводчика) вскоре после смерти математика потомки и обнаружили формулировку знаменитой теоремы и приписку:

«Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля эти для него слишком узки».

Увы, судя по всему, Ферма так и не удосужился записать найденное им «чудесное доказательство», и потомки безуспешно искали его три с лишним века. Из всего разрозненного научного наследия Ферма, содержащего немало удивительных утверждений, именно Великая теорема упорно не поддавалась решению.

Кто только не брался за доказательство Великой теоремы Ферма — всё тщетно! Другой великий французский математик, Рене Декарт (René Descartes, 1596–1650), называл Ферма «хвастуном», а английский математик Джон Уоллис (John Wallis, 1616–1703) — и вовсе «чертовым французом». Сам Ферма, правда, все-таки оставил после себя доказательство своей теоремы для случая n = 4. С доказательством для n = 3 справился великий швейцарско-российский математик XVIII века Леонард Эйлер (1707–83), после чего, не сумев найти доказательств для n > 4, в шутку предложил устроить обыск в доме Ферма, чтобы найти ключ к утерянному доказательству. В XIX веке новые методы теории чисел позволили доказать утверждение для многих целых чисел в пределах 200, однако, опять же, не для всех.

В 1908 году была учреждена премия в размере 100 000 немецких марок за решение этой задачи. Призовой фонд был завещан германским промышленником Паулем Вольфскелем (Paul Wolfskehl), который, согласно преданию, собирался покончить жизнь самоубийством, но так увлекся Великой теоремой Ферма, что передумал умирать. С появлением арифмометров, а затем и компьютеров планка значений n стала подниматься всё выше — до 617 к началу Второй мировой войны, до 4001 в 1954 году, до 125 000 в 1976 году. В конце XX столетия мощнейшие компьютеры военных лабораторий в Лос-Аламосе (Нью-Мексико, США) были запрограммированы на решение задачи Ферма в фоновом режиме (по аналогии с режимом экранной заставки персонального компьютера). Таким образом удалось показать, что теорема верна для невероятно больших значений x, y, z и n, но строгим доказательством это послужить не могло, поскольку любые следующие значения n или тройки натуральных чисел могли опровергнуть теорему в целом.

Наконец в 1994 году английский математик Эндрю Джон Уайлс (Andrew John Wiles, р. 1953), работая в Принстоне, опубликовал доказательство Великой теоремы Ферма, которое, после некоторых доработок, было признано исчерпывающим. Доказательство заняло более ста журнальных страниц и основывалось на использовании современного аппарата высшей математики, который в эпоху Ферма разработан не был. Так что же тогда имел в виду Ферма, оставляя на полях книги сообщение о том, что доказательство им найдено? Большинство математиков, с которыми я беседовал на эту тему, указывали, что за века накопилось более чем достаточно некорректных доказательств Великой теоремы Ферма, и что, скорее всего, сам Ферма нашел подобное доказательство, однако не сумел усмотреть в нем ошибку. Впрочем, не исключено, что все-таки имеется какое-то короткое и изящное доказательство Великой теоремы Ферма, которое никто до сих пор не нашел. С уверенностью можно утверждать лишь одно: сегодня мы точно знаем, что теорема верна. Большинство математиков, я думаю, безоговорочно согласятся с Эндрю Уайлсом, который заметил по поводу своего доказательства: «Теперь наконец мой ум спокоен».

Законы геометрической оптики и принцип Ферма

Предлагает: “Давайте отложим одинаковые гипотенузы, тогда отношение синусов сведется к отношению длин отрезков а и b”.	Выполняют. Говорят отношения.
Как можно оценить погрешность получения этого отношения?	Отвечают: “Надо найти относительную погрешность каждого измерения и сложить их”.
Пусть кто-то из тех, кто уже нашел отношение, оценит относительную погрешность результата. Считайте абсолютную погрешность измерения длины равной 1 мм.	Выполняют. Отвечают: “Относительная погрешность каждого измерения длины — не более 10%, погрешность результата — не более 20%, т.е. примерно 0,3”.
Сделайте вывод.	Делают вывод: “В пределах погрешности отношения при различных углах оказалась одинаковой”.
Рассказывает: “Если бы мы проводили эксперименты с другими средами, мы получили бы другое отношение, но по-прежнему не зависящее от угла падения. Это постоянное для границы сред отношение носит название показателя преломления. Независимость отношения синусов от угла падения и называется законом Снеллиуса или законом преломления света. При его формулировании, как и в законе отражения, надо упомянуть факт пролегания падающего и преломленного лучей в одной плоскости с перпендикуляром к границе раздела сред в точке падения. Сформулируйте закон преломления”.	Формулируют закон, самостоятельно его записывают.
Мотивационный этап для создания теоретического базиса (ядра) теории.
Говорит: “Итак, мы с вами сформулировали эмпирический базис нашей теории. Теперь надо приступать к созданию ядра теории, т.е. основных моделей, принципов, положений теории. В чем состоит цель любой теории?”	Отвечают: “Объяснить известные экспериментальные факты и предсказать новые явления”.
Организация деятельности учащихся по созданию новых понятий
Говорит: “Какую модель можно было бы предложить для объяснения прямолинейного распространения света и закона отражения?”	Отвечают: “Волн, частиц, …”
Предлагает: “Давайте начнем с простейшей. Как объяснить известные факты с помощью модели частиц света?”	Отвечают: “Прямолинейное движение по инерции, отражение при упругом ударе о границу …”
Просит объяснить закон преломления.	Не могут.
Рассказывает: “Возможно, вам поможет мой рассказ. Герон Александрийский, живший около I века нашей эры заметил любопытное свойство света: его луч отражается от зеркала таким образом, что путь от источника до наблюдателя окажется минимальным. Попробуйте объяснить прямолинейность распространения света с помощью принципа Герона”.	Объясняют, что кратчайшее расстояние между двумя точками — отрезок прямой.
Просит: “Продемонстрируйте принцип Герона для отражения”. Помогает.	Демонстрируют с помощью учителя.
Спрашивает: “Как теперь объяснить закон преломления?” Делает чертеж.	Не могут.
Говорит: “Есть аналогичная задача в механике. Представьте себе, что вам надо попасть из точки А в точку В. Но на вашем пути твердая почва и песок. Скорость вашего движения в этих областях различна. Сформулируйте вопрос, аналогичный принципу Герона”.	Формулируют: “Как пройти, чтобы расстояние, нет, время было наименьшим?”
В 1660 году Ферма попытался применить принцип Герона для объяснения преломления. Но предположил, что минимальным должно быть время. Давайте выразим время движения как функцию координаты точки пересечения границы х”.	Диктуют выражение.
Спрашивает: “Как в математике находят минимум функции?”	Отвечают: “В точке минимума производная функции равна нулю”.
Предлагает: “Найдите производную этой функции по х и приравняйте нулю”. Спрашивает: “Какой функции угла можно приравнять данное выражение?”	Дифференцируют. Заменяют выражения на синусы.
Спрашивает: “Итак, объяснили ли мы закон преломления?”	Отвечают: “Да”.
Говорит: “Принцип кратчайшего времени носит название принципа Ферма и в однородной среде совпадает с принципом Герона. Как видите, у нас отпала необходимость использовать какую-либо модель для света. Понятие луча света и принцип Ферма составляют теоретический базис или ядро нашей теории”. Спрашивает: “Что еще, кроме объяснения известных фактов, является критерием истинности теории?”	Отвечают: “Предсказание новых явлений и законов и подтверждение их в эксперименте”.
Говорит: “А здесь, как довольно часто бывает, вам придется поверить мне на слово. С помощью принципа Ферма можно получить закон для линзы. Правда, я не буду выводить вам эту формулу из принципа Ферма, этот вывод слишком сложен. Но, пользуясь формулой линзы, мы с вами будем решать задачи и сможем проверить результаты на опыте. Мы увидим, что наша теория действительно истинна. Остается вопрос о том, насколько всеобъемлюща теория, основанная на принципе Ферма. Оказывается, есть оптические явления, которые невозможно объяснить в рамках данной теории. Некоторые из них я вам продемонстрирую”. Демонстрирует интерференцию света на двух щелях, дифракцию на тонкой проволоке и дифракционной решетке.	Обсуждают увиденное, приходят к выводу, что данные явления противоречат закону прямолинейного распространения света.
Завершающий этап
Говорит: “После того, как мы освоим весь арсенал законов, изученных сегодня, решая задачи, мы вернемся к вопросу о создании теории, объясняющей все оптические явления. А сейчас прошу обобщить результаты сегодняшнего урока”.	Кратко обобщают материал урока.
Задает домашнее задание: “Выучить по тетради формулировки законов и повторить вывод этих законов из принципа Ферма”.

Принцип Ферма

Принцип Ферма – одна из наиболее важных теорем геометрической оптики. Несмотря на то, что он не используется непосредственно при расчете оптической системы (как, например, закон Снеллиуса), этот принцип используется для получения результатов, которые будет невозможно или очень сложно получить другим образом.

Этот принцип можно сформулировать следующим образом.

На рисунке 1.4 показан физически возможный путь лучей от точки до точки . Пусть длины отрезков вдоль луча будут равны .

Рисунок 1.4 – Оптическая длина пути.

Определим оптическую длину пути в любой среде как произведение пройденного лучом расстояния и коэффициента преломления:

     (1.7)

где квадратные скобки использованы для того, чтобы различить оптическую длину пути от геометрического расстояния.

Принцип Ферма гласит, что оптическая длина пути, вдоль физически возможного пути луча – величина постоянная. Например, в простом случае плоской преломляющей поверхности (рисунок 1.5).

Рисунок 1.5. Пример принципа Ферма.

У нас здесь есть луч, проходящий через две точки  и . Предполагается, что преломляющая поверхность пересекается лучом в точке . По принципу Ферма, если мы запишем выражение для оптической длины пути как функцию от , а затем продифференцируем по относительно , то точка где дифференциал будет равен нулю совпадет с точкой . Это значит, что луч выбрал для своего пути кротчайшее расстояние.

Post Views: 777

Похожее