Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 11 › Ввод-вывод данных › XY-график вектора и ранжированной переменной. XY-график функции. Полярный график. [страница — 268] | Самоучители по математическим пакетам

XY-график вектора и ранжированной переменной. XY-график функции. Полярный график.

В качестве переменных, откладываемых по любой из осей, можно использовать саму ранжированную переменную (рис. 16.5). При этом по другой оси должно быть отложено либо выражение, явно содержащее саму ранжированную переменную, либо элемент вектора с индексом по этой ранжированной переменной, но никак не сам вектор.

Рис. 16.5. Графики вектора и ранжированной переменной

XY-график функции

Нарисовать график любой скалярной функции f (х) можно двумя способами. Первый заключается в дискретизации значений функции, присвоении этих значений вектору и прорисовке графика вектора. Собственно, так и были получены графики синуса на рис. 16.3-16.5. Второй, более простой способ, называемый быстрым построением графика, заключается во введении функции в один из местозаполнителей (например у оси Y), а имени аргумента – в местозаполнитель у другой оси (рис. 16.6). В результате Mathcad сам создает график функции в пределах значении аргумента, по умолчанию принятых равными от -10 до 10. Разумеется, впоследствии можно поменять диапазон значений аргумента, и график автоматически подстроится под него.

Рис. 16.6. Быстрое построение графика функции

Необходимо заметить, что если переменной аргумента функции было присвоено некоторое значение до построения в документе графика, то вместо быстрого построения графика будет нарисована зависимость функции с учетом этого значения. Примеры двух таких графиков приведены на рис. 16.7.

Рис. 16.7. Графики функций от векторного аргумента

Полярный график

Для создания полярного графика необходимо нажать кнопку Polar Plot на панели Graph (График) (рис. 16.8) и вставить в местозаполнители имена переменных и функций, которые будут нарисованы в полярной системе координат угол (нижний местозаполнитель) и радиус-вектор (левый местозаполнитель).

Точно так же, как при создании Декартова графика (см. разд. 163.1-16.3.3), по осям могут быть отложены два вектора (рис. 16.8, слева), элементы векторов и ранжированные переменные в различных сочетаниях, а также может быть осуществлено быстрое построение графика функции (рис. 16.8, справа).

Форматирование полярных графиков практически идентично форматированию Декартовых, поэтому все, сказанное ниже об оформлении двумерных графиков на примере XY-графиков, в полной мере относится и к полярным.

Рис. 16.8

. Полярные графики

Нормальный вектор прямой, координаты нормального вектора прямой

Для изучения уравнений прямой линии необходимо хорошо разбираться в алгебре векторов. Важно нахождение направляющего вектора и нормального вектора прямой. В данной статье будут рассмотрены нормальный вектор прямой с примерами и рисунками, нахождение его координат, если известны уравнения прямых. Будет рассмотрено подробное решение.

Нормальный вектор прямой – определение, примеры, иллюстрации

Чтобы материал легче усваивался, нужно разбираться в понятиях линия, плоскость и определениями, которые связаны с векторами.  Для начала ознакомимся с понятием вектора прямой.

Определение 1

Нормальным вектором прямой

называют любой ненулевой вектор, который лежит на любой прямой, перпендикулярной данной.

Понятно, что имеется бесконечное множество нормальных векторов, расположенных на данной прямой. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Получаем, что прямая является перпендикулярной одной из двух заданных параллельных прямых, тогда ее перпендикулярность распространяется и на вторую параллельную прямую. Отсюда получаем, что множества нормальных векторов этих параллельных прямых совпадают. Когда прямые a и а1 параллельные, а n→ считается нормальным вектором прямой a, также считается нормальным вектором для прямой a1.  Когда прямая а имеет прямой вектор, тогда вектор t·n→ является ненулевым при любом значении параметра t, причем также является нормальным для прямой a.

Используя определение нормального и направляющего векторов, можно прийти к выводу, что нормальный вектор перпендикулярен направляющему. Рассмотрим пример.

Если задана плоскость Оху, то множеством векторов для Ох является координатный вектор j→. Он считается ненулевым и принадлежащим координатной оси Оу, перпендикулярной Ох. Все множество нормальных векторов относительно Ох можно записать, как t·j→, t∈R, t≠0.

Прямоугольная система Oxyz имеет нормальный вектор i→, относящийся к прямой Оz. Вектор j→ также считается нормальным. Отсюда видно, что любой ненулевой вектор, расположенный в любой плоскости и перпендикулярный Оz, считается нормальным для Oz.

Координаты нормального вектора прямой – нахождение координат нормального вектора прямой по известным уравнениям прямой

При рассмотрении прямоугольной системы координат Оху выявим, что уравнение прямой на плоскости соответствует ей, а определение нормальных векторов производится по координатам. Если известно уравнение прямой, а необходимо найти координаты нормального вектора, тогда необходимо из уравнения Ax+By+C=0 выявить коэффициенты, которые и соответствуют координатам нормального вектора заданной прямой.

Пример 1

Задана прямая вида 2x+7y-4=0_, найти координаты нормального вектора.

Решение

По условию имеем, что прямая была задана общим уравнением, значит необходимо выписать коэффициенты , которые и являются координатами нормального вектора. Значит, координаты вектора имеют значение 2, 7.

Ответ: 2, 7.

Бывают случаи, когда A или В из уравнения равняется нулю. Рассмотрим решение такого задания на примере.

Пример 2

Указать нормальный вектор для заданной прямой y-3=0.

Решение

По условию нам дано общее уравнение прямой, значит запишем его таким образом 0·x+1·y-3=0. Теперь отчетливо видим коэффициенты, которые и являются координатами нормального вектора. Значит, получаем, что координаты нормального вектора равны 0, 1.

Ответ: 0, 1.

Если дано уравнение  в отрезках вида xa+yb=1 или уравнение с угловым коэффициентом y=k·x+b, тогда необходимо приводить к общему уравнению прямой, где можно найти координаты нормального вектора данной прямой.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 3

Найти координаты нормального вектора, если дано уравнение прямой x13-y=1.

Решение

Для начала необходимо перейти от уравнения в отрезках x13-y=1 к уравнению общего вида. Тогда получим, что x13-y=1 ⇔3·x-1·y-1=0.

Отсюда видно, что координаты нормального вектора имеют значение 3, -1.

Ответ: 3, -1.

Если прямая определена каноническим уравнением прямой на плоскости x-x1ax=y-y1ay или параметрическим x=x1+ax·λy=y1+ay·λ, тогда получение координат усложняется. По данным уравнениям видно, что координаты направляющего вектора будут a→=(ax, ay). Возможность нахождения координат нормального вектора n→ возможно, благодаря условию перпендикулярности векторов n→ и a→.

Имеется возможность получения координат нормального вектора при помощи приведения канонического или параметрического уравнений прямой к общему. Тогда получим:

x-x1ax=y-y1ay⇔ay·(x-x1)=ax·(y-y1)⇔ay·x-ax·y+ax·y1-ay·x1x=x1+ax·λy=y1+ay·λ⇔x-x1ax=y-y1ay⇔ay·x-ax·y+ax·y1-ay·x1=0

Для решения можно выбирать любой удобный способ.

Пример 4

Найти нормальный вектор заданной прямой x-27=y+3-2.

Решение

Из прямой x-27=y+3-2 понятно, что направляющий вектор будет иметь координаты a→=(7, -2). Нормальный вектор n→=(nx, ny) заданной прямой является перпендикулярным a→=(7, -2).

Выясним, чему равно скалярное произведение. Для нахождения скалярного произведения векторов a→=(7, -2) и n→=(nx, ny) запишем a→, n→=7·nx-2·ny=0.

Значение nx – произвольное , следует найти ny. Если nx=1, отсюда получаем, что 7·1-2·ny=0⇔ny=72.

Значит, нормальный вектор имеет координаты  1, 72.

Второй способ решения сводится к тому, что необходимо прийти к общему виду уравнения из канонического. Для этого преобразуем

x-27=y+3-2⇔7·(y+3)=-2·(x-2)⇔2x+7y-4+73=0

Полученный результат координат нормального вектора равен 2, 7.

Ответ: 2, 7 

или 1, 72.

Пример 5

Указать координаты нормального вектора прямой x=1y=2-3·λ.

Решение

Для начала необходимо выполнить преобразование для перехода в общему виду прямой. Выполним:

x=1y=2-3·λ⇔x=1+0·λy=2-3·λ⇔λ=x-10λ=y-2-3⇔x-10=y-2-3⇔⇔-3·(x-1)=0·(y-2)⇔-3·x+0·y+3=0

Отсюда видно, что координаты нормального вектора равны -3, 0.

Ответ: -3, 0.

Рассмотрим способы для нахождения координат нормального вектора при уравнении прямой в пространстве, заданной прямоугольной системой координат Охуz.

Когда прямая задается при помощи уравнений пересекающихся плоскостей A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0, тогда нормальный вектор плоскости относится к A2x+B2y+C2z+D2=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0, тогда получаем запись векторов  в виде n1→=(A1, B1, C1) и n2→=(A2, B2, C2).

Когда прямая определена при помощи канонического уравнения пространства, имеющего вид x-x1ax=y-y1ay=z-z1az или параметрического, имеющего вид x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ, отсюда ax, ay и az считаются координатами направляющего вектора заданной прямой. Любой ненулевой вектор может быть нормальным для данной прямой, причем являться перпендикулярным вектору a→=(ax, ay, az). Отсюда следует, что нахождение координат нормального  с параметрическими и каноническими уравнениями производится при помощи координат вектора, который перпендикулярен заданному вектору a→=(ax, ay, az).

Операторы проекции | LightCone

Бра- и кет- векторы Дирака замечательны тем, что с помощью них можно записать различные типы произведений.

Произведение бра-вектора на кет- вектор называется скалярным произведением или внутренним произведением. По сути это стандартное матричное произведение по правилу «строка на столбец». Результатом его есть комплексное число.

Произведение кет-вектора на другой кет-вектор дает уже не число, а другой кет-вектор. Он тоже представляется вектор-столбцом, но с количеством компонент равном произведению размерностей исходных векторов. Такое произведение называется тензорным произведением или произведением Кронекера.

Аналогично и для произведения двух бра-векторов. Получим большую вектор-строку.

Последним остается вариант с перемножением кет-вектора на бра-вектор. То есть необходимо перемножить столбец на строку. Такое произведение также называется тензорным или внешним произведением. В его результате получается матрица, то есть оператор.

Рассмотрим пример использования таких операторов.

Возьмем какой-нибудь произвольный эрмитов оператор А. Согласно постулатам ему соответствует какая-то наблюдаемая величина. Собственные векторы эрмитового оператора формируют базис. Наиболее общий вектор состояния можно разложить по этому базису. То есть представить суммой базисных векторов с определенными комплексными коэффициентами. Данный факт известен как принцип суперпозиции. Перепишем выражение через знак суммы.

Но коэффициенты в разложении вектора по базисным есть амплитуды вероятности, то есть скалярное произведение вектора состояния с соответствующим базисным вектором. Запишем эту амплитуду справа от вектора. Выражение под знаком суммы можно рассматривать как умножение кет-вектора на комплексное число – амплитуду вероятности. С другой стороны его можно рассматривать как произведение матрицы, полученной умножением кет-вектора на бра-вектор, и исходного кет-вектора. Кет-вектор можно вынести из под знака суммы за скобку. Справа и слева знака равенства окажется один и тот же вектор пси. Это значит, что вся сумма ничего не делает с вектором и соответственно равна единичной матрице.

Данная формула сама по себе очень полезна при манипулировании выражениями с произведениями бра- и кет- векторов. Ведь единицу можно вставить в любое место произведения.

Посмотрим что же из себя представляют матрицы, входящие в сумму и получаемые тензорным произведением базисного кет-вектора со своим эрмитовым сопряжением. Опять же для наглядности проведем аналогию с обычными векторами в трехмерном пространстве.

Выберем единичные базисные векторы ex ey и ez, совпадающие по направлению с осями координат. Тензорное произведение вектора ex на свое сопряжение будет представляться следующей матрицей. Возьмем произвольный вектор v. Что же будет при умножении этой матрицы на вектор? Данная матрица просто обнулила все компоненты вектора кроме х. В итоге получился вектор, направленный вдоль оси х, то есть проекция исходного вектора на базисный вектор ex. Выходит наша матрица есть не что иное как оператор проекции.

Оставшиеся два оператора проекции на базисные векторы ey и ez представляются похожими матрицами и выполняют аналогичную функцию – обнуляют все кроме одной компоненты вектора.

Что же получится при суммировании операторов проекции? Сложим например операторы Px и Py. Такая матрица будет обнулять только z-компоненту вектора. Итоговый вектор всегда будет лежать в плоскости x-y. То есть мы имеем оператор проекции на плоскость x-y.

Теперь понятно почему сумма всех операторов проекции на базисные векторы равна единичной матрице. В нашем примере мы получим проекцию трехмерного вектора на само трехмерное пространство. Единичная матрица по-сути и есть проектор вектора самого на себя.

Получается задание оператора проекции эквивалентно заданию подпространства исходного пространства. В рассматриваемом случае трехмерного евклидового пространства это может быть одномерная линия, задаваемая одним вектором или двумерная плоскость, задаваемая парой векторов.

Возвращаясь к квантовой механике с ее векторами состояния в Гильбертовом пространстве, можно сказать что операторы проекции задают подпространство и проецируют вектор состояния в это Гильбертово подпространство.

Приведем основные свойства операторов проекции.

1. Последовательное применение одного и того же оператора проекции эквивалентно одному оператору проекции. Обычно данное свойство записывают как P²=P. Действительно, если первый оператор спроецировал вектор в подпространство, то второй уже ничего с ним не сделает. Вектор ведь уже будет находиться в этом подпространстве.
2. Операторы проекции являются эрмитовыми операторами, соответственно в квантовой механике им соответствуют наблюдаемые величины.
3. Собственные значения операторов проекции любой размерности это только числа единица и ноль. Находится вектор в подпространстве или не находится. Из-за такой бинарности, описываемую оператором проекции наблюдаемою величину можно сформулировать в виде вопроса, ответом на который будет «да» или «нет». Например, направлен ли спин первого электрона в синглетном состоянии вверх по оси z? Такому вопросу можно поставить в соответствие оператор проекции. Квантовая механика позволяет посчитать вероятности для ответа «да» и для ответа «нет».

В дальнейшем мы еще будем говорить об операторах проекции.

На рисунке показан вектор a в плоскости xy и вектор b в направлении k. Их длины | a | =

Вопрос:

На рисунке показан вектор a в плоскости xy и вектор b в направлении k. Их длины | a | = 2 и | b | = 3.

(a) Найдите {eq} | a \ times b |. {/ eq}

(b) Используйте правило правой руки, чтобы решить, будут ли компоненты {eq} a \ times b {/ eq} — положительные, отрицательные или 0.

Правое правило:

Правосторонняя система трех некопланарных векторов, если {eq} \ left ({\ overrightarrow a, \ overrightarrow b, \ overrightarrow c} \ right) {/ eq}, представляет {eq} \ overrightarrow {OA} = a, \ overrightarrow {OB} = b, \ overrightarrow {OC} = c {/ eq}, затем попытался {eq} \ left ({\ overrightarrow a, \ overrightarrow b, \ overrightarrow c} \ right) {/ eq}, называется правосторонней системой, если угол между {eq} \ overrightarrow {OA} \; {\ rm {to}} \; \ overrightarrow {OB} {/ eq}, не превышает 180 градусов, обратите внимание на значение c.В противном случае говорят, что это система для левшей.

Ответ и объяснение: 1

(а):

Из заданного вопроса, a — вектор в плоскости xy, а b — в направлении k. \ circ}} \ right) \\ & = \ влево (2 \ вправо) \ влево (3 \ вправо) \ влево (1 \ вправо) \\ & = 6 \ end {выровнять *} {/ eq}

Следовательно, значение {eq} | a \ times b {/ eq}, равно 6.

(б):

Для части (b) с использованием правила правой руки

Сейчас,

Из правила правой руки, a и b и {eq} a \ times b {/ eq}, образуют правую тройку.

А,

{экв} а \ раз б {/ eq}, также перпендикулярно как a, так и b.

Тогда,

Вектор {eq} a \ times b {/ eq}, лежит в плоскости xy в четвертом квадранте

Итак,

Компонент z равен нулю.

Следовательно, x-компонента {eq} a \ times b {/ eq}, положительный, а компонент y отрицательный.

Python для построения графиков и выходных векторных пар XY

В итоге я использовал пиглет для вывода векторной графики и выполнял свои собственные вычисления для рисования кругов и линий с помощью кода cubicSpline из Нью-Йоркского университета.

  #! / Usr / bin / env python

# основных модулей
из цепочки импорта itertools

# установленных модулей
импортный пиглет
import numpy

# локальных модулей
конфигурация импорта

# константы
CURVE_SEGS = config.curve_segments # количество сегментов линии в кривой

# кривые Безье любезно предоставлены Нью-Йоркским университетом

def fac (k):
    '' '
    Возвращает k !.'' '

    если k == 0: вернуть 1
    else: вернуть сокращение (лямбда i, j: i * j, range (1, k + 1))

def binom (n, k):
    '' '
    Возвращает n выберите k.
    '' '

    если k <0 или k> n: вернуть 0

    вернуть fac (n) / (fac (k) * fac (n - k))

def B (P, t):
    '' '
    Оценивает кривую Безье степени len (P) - 1, используя контрольные точки 'P',
    при значении параметра 't' в [0,1].
    '' '
    п = len (P) - 1
    утверждать n> 0

    из numpy импортных нулей
    результат = нули (len (P [0]))
    для i в xrange (n + 1):
        результат + = binom (n, i) * P [i] * (1 - t) ** (n-i) * t ** i

    вернуть результат

def B_n (P, n, t):
    '' '
    Оценивает кривую Безье степени n, используя контрольные точки P,
    при значении параметра 't' в [0,1].'' '

    ## зафиксируйте t в диапазоне [0,1]
    t = мин (1., макс (0., t))

    num_segments = 1 + (len (P) - (n + 1) + n-1) // n
    утверждать num_segments> 0
    от пола импорта математики
    segment_offset = min (int (floor (t * num_segments)), num_segments-1)

    P_offset = смещение_сегмента * n

    вернуть B (P [P_offset: P_offset + n + 1], (t - segment_offset / float (num_segments)) * num_segments)

def Bezier_Curve (P):
    '' '
    Возвращает функциональный объект, который можно вызвать с параметрами от 0 до 1.
    для оценки кривой Безье с контрольными точками «P» и градусом len (P) -1.'' '
    вернуть лямбда t: B (P, t)

def Bezier_Curve_n (P, n):
    '' '
    Возвращает функциональный объект, который можно вызвать с параметрами от 0 до 1.
    для оценки полосы кривой Безье с контрольными точками «P» и степенью n.
    '' '
    вернуть лямбда t: B_n (P, n, t)

def cubicSpline (p0, p1, p2, p3, nSteps):
    "" "Возвращает список сегментов линии и индекс для создания полной кривой.

    Кубики определяются как начальная точка (p0) и конечная точка (p3) и
    контрольные точки (p1 и p2) и параметр t, начинающийся с 0.От 0 до 1.0.
    "" "
    points = numpy.array ([p0, p1, p2, p3])
    bez = bezier.Bezier_Curve (баллы)
    lineSegments = []
    для val в numpy.linspace (0, 1, nSteps):
        #print '% s:% s'% (val, bez (val))
        # определение сплайна означает, что параметр t идет
        # от 0,0 до 1,0
        (х, у) = bez (val)
        lineSegments.append ((интервал (x), интервал (y)))
    # lineSegments.append (p2)
    cubicIndex = [0] + [int (x * 0,5) для x в диапазоне (2, (nSteps-1) * 2)] + [nSteps-1]
    #print "lineSegments =", lineSegments
    #print "cubicIndex =", cubicIndex
    return (lineSegments, cubicIndex)


# графические примитивы

класс GraphicObject (объект):

    "" "Примитив базового графического объекта" ""

    def __init __ (я, поле, точки, индекс, цвет):
        "" "Конструктор графических объектов.Аргументы:
                arcpoints - список точек, определяющих графический объект
                arcindex - список указателей на точки дуги
                color - список цветов каждой дуги
        "" "
        self.m_field = поле
        self.m_arcpoints = очки
        self.m_arcindex = индекс
        self.m_color = цвет
        # каждая дуга разбита на список точек и индексов
        # они собраны в списки списков
        # TODO: возможно, их можно объединить в отдельные нечеткие списки
        себя.m_points = []
        self.m_index = []

класс Circle (GraphicObject):

    "" "Определить круговой объект." ""

    def __init __ (self, field, p, r, color, solid = False):
        "" "Конструктор кругов.

        Аргументы:
            p - центральная точка
            r - радиус круга
            c - цвет
        "" "
        self.m_center = p
        self.m_radius = r
        self.m_solid = твердый
        k = 0,5522847498307935 # 4/3 (sqrt (2) -1)
        kr = int (r * k)
        (х, у) = р
        точки дуги = [(x + r, y), (x + r, y + kr), (x + kr, y + r), (x, y + r),
                           (x-kr, y + r), (x-r, y + kr), (x-r, y),
                           (x-r, y-kr), (x-kr, y-r), (x, y-r),
                            (x + kr, y-r), (x + r, y-kr)]
        arcindex = [(0, 1, 2, 3), (3, 4, 5, 6), (6, 7, 8, 9), (9, 10, 11, 0)]
        GraphicObject.__init __ (self, field, arcpoints, arcindex, цвет)

    def render (self):
        # например, self.m_arcpoints = [(10,5), (15,5), (15,10), (15,15), (10,15), (5,15), (5,10)]
        # например, self.m_arcindex = [(0,1,2,3), (3,4,5,6)]
        для i в диапазоне (len (self.m_arcindex)):
            # например, self.m_arcindex [i] = (0,1,2)
            p0 = self.m_arcpoints [self.m_arcindex [i] [0]]
            p1 = self.m_arcpoints [self.m_arcindex [i] [1]]
            p2 = self.m_arcpoints [self.m_arcindex [i] [2]]
            p3 = себя.m_arcpoints [self.m_arcindex [i] [3]]
            (точки, индекс) = cubicSpline (p0, p1, p2, p3, CURVE_SEGS)
            если self.m_solid:
                points.append (self.m_center)
                nxlast_pt = len (баллы) -2
                last_pt = len (баллы) -1
                xtra_index = [nxlast_pt, last_pt, last_pt, 0]
                индекс = индекс + xtra_index
            self.m_points.append (баллы)
            self.m_index.append (индекс)

    def draw (self):
        для i в диапазоне (len (self.m_index)):
            баллы = себя.m_points [я]
            index = self.m_index [i]
            pyglet.gl.glColor3f (self.m_color [0], self.m_color [1], self.m_color [2])
            если не self.m_solid:
                pyglet.graphics.draw_indexed (len (точки), pyglet.gl.GL_LINES,
                    показатель,
                    ('v2i', self.m_field.scale2out (кортеж (цепочка (* точки)))),
                )
            еще:
                pyglet.graphics.draw_indexed (len (точки), pyglet.gl.GL_POLYGON,
                    показатель,
                    ('v2i', сам.m_field.scale2out (кортеж (цепочка (* точки)))),
                )
  

Это неработоспособный код, потому что вам не хватает некоторых констант и классов, но он может помочь с теорией, если вы боретесь с ней.

Каждый GraphicObject, включая круги и линии, состоял из дуг, каждая с четырьмя контрольными точками. Был составлен список точек и указатель этих точек.

Точно так же, но по-другому, пиглет хотел отрезки прямой, состоящие из двух точек, с указателем этих точек.Так что пришлось немного перевести.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Ранее я реализовал квадратичные сплайны Безье (по сути, параболы), которые создавали очень забавные некруглые круги. В приведенном выше коде используются кубические сплайны Безье, которые визуализируют настоящие круги.

векторов

векторов

Векторы

В физике количественные модели разрабатываются на основе измерений. Их нужно проверить, сделав дополнительные измерения. Измерения производятся со стандартными приращениями, называемыми единицами измерения.Без единиц а измерение бессмысленно.

Некоторые величины полностью задаются величиной, то есть число и соответствующие единицы.
Действительное число само по себе называется скалярными, и такие величины называются скалярными величинами . Символы, обозначающие эти скалярные величины: нормальные буквы.

Примеры скалярных величин:

температура (T) T = 10 ^o C
интервал времени (t) t = 5 с
Масса (м) m = 3 кг

Другие величины задаются величиной и направлением.К направление, мы имеем в виду направление в пространстве.
Такие количества называются векторные величины . Символы, обозначающие эти векторные величины выделены жирным шрифтом или обычными буквами со стрелками. выше.

Примеры векторных величин:

смещение ( d ) d = 10 м к северу
скорость ( v ) v = 3 м / с на восток
сила ( F ) F = 9 N до

Чтобы однозначно указать векторные величины, нам понадобится контрольная точка и контрольные линии , т.е.е. нам нужно система координат .

Декартова координата system — наиболее часто используемая система координат. В два измерения, эта система состоит из пары линий на плоской поверхность или плоскость, которые пересекаются под прямым углом. Линии называется осей и точка, в которой они пересекаются, называется происхождение . Оси обычно рисуются по горизонтали и вертикали и относятся к как оси x и y соответственно.

Точка на плоскости с координаты (a, b) — это единицы справа от оси y, а b единиц вверх от оси x, если a и b — положительные числа.
Если a и b равны оба отрицательных числа, точка находится в единицах слева от оси y и b единиц вниз от оси x.
На рисунке справа P ₁ имеет координаты (3, 4), а точка P ₂ имеет координаты (-1, -3).
В трехмерных декартовых координатах ось z добавляется так, чтобы есть три оси, все перпендикулярные друг другу.

---

В полярной системе координат , каждой точке на плоскости присвоены координаты (r, φ) относительно фиксированная линия в плоскости называется осью и точка на этой линии, называемая полюсом . Для точки на плоскости координата r — это расстояние от указывает на полюс, а координата φ — это угол против часовой стрелки. между осью и линией, соединяющей начало координат с точкой.
г. Координата r всегда положительна, а диапазон φ составляет от 0 до 2π (360 ^o ). Чтобы иметь возможность преобразовывать декартовы координаты в полярные и наоборот наоборот, пусть ось полярной системы координат совпадает с Ось x декартовой системы координат и полюс совпадают с источник.
На рисунке справа точка P ₁ имеет полярные координаты (r ₁ , φ ₁ ) = (5, 53,1 ^o ), а точка P ₂ имеет полярные координаты (r ₂ , φ ₂ ) = (3.16, 251,6 ^o ).
Уравнения преобразования:

x = r cosφ, y = r sinφ.

r = (x ² + y ² ) ^½ , φ = загар ^-1 (y / x).

Цилиндрические координаты и сферические координаты два разных расширения полярных координат до трех измерений.
После того, как мы выбрали систему координат, физический векторная величина в двух измерениях может быть представлена ​​парой числа.
Если мы выберем декартовы координаты, там числа будут проекциями вектора на оси декартова координата система.

---

Вектор a на рисунке справа имеет x-компоненту a ₁ и y-компонент a ₂ .
Его длина или величина равна a = (a ₁ ² + a ₂ ² ) ^½ . Это следует из Теорема Пифагора.
Полярный угол a , т.е.е. угол образует с Ось абсцисс — φ.

Проблема:

Вектор A лежит в плоскости xy.
(а) Для какой ориентации У оба его прямоугольных компонента будут отрицательными?
(б) Для чего ориентация будут ли его составляющие иметь противоположные знаки?

Решение:

• Рассуждение:
  На плоскости (в двух измерениях) мы можем указать направление вектора с помощью установив систему координат и задав угол φ, который вектор образует с положительная ось абсцисс.Положительный φ — это угол, измеренный против часовой стрелки от положительной оси абсцисс.
• Подробная информация о вычислении:
  (a) X-компонент A равен A _x = А cosφ а y-компонента A равна A _y = A sinφ. (A — величина вектора.) Чтобы A _x и A _y были отрицательными, мы необходимо, чтобы cosφ и sinφ были отрицательными. φ должен находиться в диапазоне от 180 до 270 градусов.
  (b) Чтобы A _x и A _y имели противоположные знаки, φ должен лежать от 90 до 180 градусов или от 270 до 360 градусов.
  

Примечание. Величина вектора указывает на его длину. Это число (с единицами). Если вектор является вектором скорости, то его величина имеет единицы скорости. (м / с), если это вектор смещения, то его величина имеет единицы расстояния (м) и пр.
Направление в двух измерениях, то есть в плоскости, — это угол, который образует вектор. с осью x, отсчитываемой против часовой стрелки от направления x.
Прежде чем указывать направление, вам понадобится система координат (опорная рамка).

---

Добавление векторов

Чтобы добавить физические векторы, они должны быть одинаковые агрегаты. Чтобы найти сумму двух физических векторных величин с теми же единицами алгебраически , мы добавляем x, y и z-компоненты отдельных векторов.

Пример:

Пусть вектор v ₁ имеет компоненты (3, 4) и вектор v ₂ имеют компоненты (2, -3).
Пусть v = v ₁ + v ₂ — сумма двух векторов.
Тогда компоненты против равны (3 + 2, 4 + (- 3) = (5, 1).
Величина вектора v равна v = (25 + 1) ^½ = 5,1,
. а угол v относительно оси x равен φ = tan ^-1 (1/5). = 0,197 рад = 11,3 ^o .

Чтобы вычесть вектор v ₂ из вектора v ₁ мы вычитаем компоненты вектора v ₂ из компоненты вектора v ₁ .

Пример:

Пусть вектор v ₁ имеет компоненты (3, 4) и вектор v ₂ имеют компоненты (2, -3).
Пусть v = v ₁ — v ₂ разница между двумя векторов.
Тогда компоненты v следующие: (3-2, 4 — (- 3) = (1, 7).
Величина вектора v равна v = (1 + 49) ^½ = 7.1
а угол v относительно оси x равен φ = tan ^-1 (7/1). = 1,429 рад = 81,9 ^o .

Графическое представление векторной величины — направленная линия сегмент. Чтобы найти сумму двух физических векторных величин с те же блоки графически выстраиваем стрелки хвостом к кончику. Сумма — это стрелка, проведенная от хвоста первого вектора к кончику. последнего вектора. Чтобы вычесть вектор v ₂ из a вектор v ₁ инвертируем вектор v ₂ и добавьте его в вектор v ₁ .

Пусть A — произвольный вектор. Вектор — A имеет одинаковой длины и указывает прямо в противоположном направлении. Вычитание вектора A из другого вектора означает добавление vector — к другому вектору.

Пример:

Вектор смещения
Пусть d представляет вектор смещения от точки A с координатами (x ₁ , y ₁ ) = (-4, -1) до точки B с координатами (x ₂ , y ₂ ) = (3, 4).
Вектор смещения — это разница между векторами положения. A и B , d = B — A .

Его компоненты являются
d _x = (x ₂ — x ₁ ) = 3 — (-4) = 7, d _y = (y ₂ — y ₁ ) = 4 — (-1) = 5.
Вектор смещения d имеет величину d = (49 + 25) ^½ . = 8,6.
Угол d относительно оси x равен φ = tan ^-1 (5/7) = 0.62 рад = 35,5 ^o .

---

Резюме:

---

Ссылка: Урок 1: Векторы — Основы и операции

Пожалуйста, изучите этот материал из «Кабинета физики».

1. Векторы и направление
2. Сложение вектора
3. Результат
4. Компоненты вектора
5. Векторное разрешение
6. Проблемы относительной скорости и речных судов

Основные различия между мониторами векторной (XY) и растровой развертки: «Zencade

Векторные мониторы, также называемые XY-мониторами, работают по другому принципу, чем стандартные растровые мониторы.Оба являются ЭЛТ-мониторами, но между ними очень мало общего. Растровые мониторы, как и телевизоры, создают изображение, начиная с одной стороны экрана и просматривая полностью, затем переходя к следующей строке и повторяя все это снова, пока не дойдет до нижней части экрана. Оказавшись там, он возвращается наверх и начинается заново. Таким образом, каждая часть экрана активна во время каждого кадра видео, который обычно составляет тридцать кадров в секунду. На самом деле это очень похоже на то, как работают кинопроекторы, отображая полнокадровые изображения с достаточно высокой скоростью, чтобы создать впечатление движения.

Векторы, с другой стороны, работают немного иначе. Вместо того, чтобы сканировать весь экран в каждом кадре, векторный монитор фактически рисует изображение на экране, используя только те части экрана, которые необходимы для отображения изображения. Остальная часть экрана остается обесточенной. Векторы по-прежнему рисуются достаточно быстро, чтобы создать впечатление постоянного движущегося изображения, но они делают это, используя только столько места на экране, сколько необходимо. Вот простой пример каждого типа дисплея:

Растровое изображение активизирует весь экран в каждом кадре.

Векторный монитор возбуждает только те части трубки, которые необходимы для создания изображения.

Векторные мониторы рисуют изображения в трехмерной системе координат, X, Y и Z.

Хорошо, X и Y имеют смысл, но где найти ось Z на двумерном дисплее?

Вот лучшая аналогия, которую я придумал: представьте, что вы рисуете рисунок на бумаге карандашом. Вы, безусловно, делаете 2D-изображение, но если вы задумаетесь, то быстро поймете, что на самом деле вы работаете в трех измерениях.В противном случае вы бы никогда не оторвали карандаш от бумаги, и каждая часть рисунка была бы связана со всеми остальными частями, по крайней мере, линией шириной с кончик карандаша. Итак, в аналогии с рисунком вы отрываете карандаш от бумаги, и векторный монитор делает то же самое, используя ось Z. Так монитор «отрывает карандаш» от поверхности экрана.

Общий эффект векторного монитора, на мой взгляд, довольно впечатляющий, и, конечно же, нет места для путаницы в отношении того, смотрите ли вы на растровое или векторное изображение.

3. Векторы в 2-мерном пространстве

До сих пор мы рассматривали только одномерные векторы.

Теперь мы расширим эту концепцию до векторов в 2-х измерениях. Мы можем использовать знакомую координатную плоскость x-y для рисования двухмерных векторов.

Вектор V , показанный выше, представляет собой двумерный вектор, нарисованный на плоскости x — y .

Вектор V действует одновременно в двух разных направлениях (вправо и вверх). Мы видим, что он имеет компонент x («6» единиц справа) и компонент y («3» единицы вверх).

Компоненты векторов

Судя по диаграмме выше, x -компонент вектора V равен «6» единицам.

Компонент y вектора V равен «3» единицам.

Мы можем записать эти компоненты вектора с помощью нижних индексов следующим образом:

В _x = 6 шт.

V _y = 3 шт.

Величина двумерного вектора

Величина вектора — это просто длина вектора. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину вектора V выше.2) `

`= sqrt (45)`

`= 6,71 \» единиц «`

Направление двумерного вектора

Для описания направления вектора мы обычно используем градусы (или радианы) от горизонтали против часовой стрелки.

Мы используем простую тригонометрию, чтобы найти угол. В приведенном выше примере нам известны значения напротив («3» единицы) и смежных («6» единиц) для необходимого нам угла ( θ ).

Итак имеем:

`загар тета = 3/6 = 0,5`

Это дает:

θ	= арктангенс 0,5 = 26,6 ° (= 0,464 радиана)

Итак, наш вектор имеет величину 6,71 единицы и направление 26,6 ° вверх от правой горизонтальной оси.

MathScene — Векторы — Урок 2

MathScene — Векторы — Урок 2

2008 Расмус Эхф и Джанн Сак

Урок 2

Компоненты вектора

---

Когда вектор записывается как сумма двух векторов а также такой что + =

мы говорят, что мы разрешили (разбили) вектор в его составляющие.

Мы часто разбивают вектор на вертикальные и горизонтальные составляющие, как на диаграмме показывает, как эти компоненты очень важны в физике, когда мы рассматриваем силы.
В общем, мы можем разложить вектор на компоненты, параллельные любым двум заданным векторов. Ниже приведен пример, который вы видели раньше. Нам нужно найти вектор , используя векторы а также , другими словами разрешить вектор в компоненты параллельно а также .

Добавить еще в тот, который уже есть на диаграмме, затем добавьте полторы вектора .

Это показывает нам, что требуемые компоненты 2 и 1.
Любой вектор можно разделить на уникальные компоненты, параллельные любым непараллельным векторам и в качестве пока ни один из них не имеет длины 0 (векторы длины 0 называются нулевыми векторами). Мы делаем это, найдя числа t и r такие:

= г + т

Мы сделайте это, вычислив значения для r и t, которые делают уравнение правильным.

---

Пример 1:

Разрешите векторы, а также в диаграмму на их вертикальную и горизонтальную составляющие.
Мы используем два вектора длины 1 (одна единица в системе координат), один вертикальный и один горизонтальный. Эти векторы называются единичными векторами и обычно пишется как ( горизонтально и, следовательно, параллельно оси x) а также ( параллельно оси y ).

Сначала найдем компоненты .

Из диаграммы легко увидеть, что знак равно + 2.

Мы просто считаем квадраты. Вектор 4 единицы вправо и является 8 единиц вправо и 4 единицы вверх.

= 4 og = 8 + 4.

---

Пример 2:

Сила 100 Н действует под углом 25 к горизонтали.Найди вертикальная и горизонтальная составляющие силы.

Диаграмма помогает нам понять проблему.

У нас есть прямоугольный треугольник, и мы можем использовать триггер правила чтобы найти величину компонентов, то есть || и ||

cos 25 = смежная сторона / гипотенуза = || / 200 || знак равно 200cos 25 ≈ 181.3 Н Грех 25 = противоположная сторона / гипотенуза = || / 200 || = 200sin 25 ≈ 84,5 Н

Умножить на 200. Символ абсолютного значения означает длину или величину вектор

Горизонтальный компонент вектора, такой как в приведенном выше пример называется проекцией вектора по оси абсцисс.

Вертикальный компонент вектора, например в приведенном выше пример называется проекцией вектора по оси ординат. Вы можете увидеть это на диаграмму ниже.

Мы можно найти формулу для проекции вектора на горизонтальную линию или вектор. Формула выглядит следующим образом:

Проекция на ось абсцисс = || cos v Проекция на ось Y знак равно || грех v

---

Пример 3:

Здесь мы используйте правило синуса И умножить через по греху 30.

Мы можем найти t || таким же образом.

Мы вычислили длины сторон треугольника, теперь нам нужно найти числа r и t. Начнем с поиска r.

г || ≈ 2,611

r3 ≈ 2,611

г ≈ 2,611 / 3 ≈ 0,87

Тогда т.

т || ≈ 1.786

t5 ≈ 1,786

т ≈ 1,786 / 5 ≈ 0,36

Конечный результат решения дюйм компоненты параллельно а также является следовательно:

≈ 0,87 + 0,36

В приведенном выше примере (пример 3) показано, как мы можем использовать правило синуса для разрешения вектор на компоненты, параллельные двум заданным векторам.Все, что нам нужно знать, это направление трех векторов и длина вектора, который мы хотим разрешить. Это очень полезный метод, который повторяется в кадре ниже.

Когда нам нужно разложить вектор на две составляющие, параллельные заданному векторов мы сначала рисуем диаграмму, а затем используем правило синуса.

Разбить вектор на части намного проще, когда мы работаем в прямоугольная система координат.В примере 1 мы ввели горизонтальный и вертикальные единичные векторы а также .

Мы можем разрешить вектор в диаграмму выше так же, как в примере 1. Результат:

= 4 + 3

Чтобы добраться от начальной точки (2, 2) до конечной точки (6, 5), нам потребуется переместить четыре квадрата по горизонтали вправо (4) и три вертикально вверх (3).Это сразу показывает нам, что проекция вектора на ось абсцисс равна 4 и проекции на ось Y 3. Это легко подсчитать при работе в система координат. Мы также можем рассчитать это, найдя разницу между начальной и конечной точками.

6-2 = 4 и 5-2 = 3

Как вы знаете, вектор можно разместить в любом месте системы координат, длина и направление — вот все, что имеет значение.Благодаря этому удобно размещать вектор с начальной точкой в ​​начале координат, конечная точка будет в точка (4, 3).

В этом случае говорят, что вектор имеет координаты

.

знак равно (4, 3).

Использование координат вектора таким образом означает, что вектор может быть размещен в любом месте системы координат координаты (4, 3) просто означает, что вектор имеет направление, равное 4 единицам по горизонтали и 3 единицам. вертикально.

Проблема с записью векторов в качестве координат таким образом означает, что может быть путаница между координатами векторов и координатами точек. Хотя некоторые тексты действительно пишут векторы таким образом, гораздо чаще писать координаты вектора по вертикали, чтобы различать координаты точка и координаты вектора.

Поэтому в этом тексте мы напишем вектор как:

Формула для координат вектора между двумя точками:

Координаты вектора = координаты конца координаты начальной точки.

---

Пример 4:

а) Найдите координаты знак равно .

Чтобы перейти от A к B, мы просто перемещаем два квадрата по горизонтали вправо, ни вверх или вниз. Следовательно, координата x равна 2, а координата y — 0.

Используя формулу для вычисления этого, мы должны вычесть.Координаты конца точка (B) начальная точка (A).

У нас есть A = (1, 1) и B = (1, 3), что дает нам

---

б) Теперь найдите координаты знак равно .

A = (1, 1) и F = (4, 3), поэтому

---

в) Какие координаты + ? Если мы добавим а также вместе, (поместив в конец ) мы попадаем в точку G и переместились от начала до конца на 5 единиц к вправо и 2 единицы вверх.Чтобы вычислить это, мы складываем координаты x вместе и сложите координаты y и получите:

---

г) Теперь давайте найдем — . Если мы обратимся круглый сделать — а затем добавить к получаем вектор, который это идет на 1 единицу влево и на 2 единицы вниз. Рассчитывая получаем:

---

д) Наконец, мы найдем вектор + 2.Здесь нам нужно удвоить и добавить это, ведя нас к точке М. Теперь мы переместились на 8 единиц вправо и на 4 единицы вверх. Расчет выглядит следующим образом:

---

Приведенные выше примеры приводят нас к следующим правилам сложения, вычитания и умножение векторов на константу, когда мы знаем их координаты.

Если векторы а также имеют общая форма:

и

затем:

Добавление: Вычитание: Умножение на k:

---

Пример 5:

Зная координаты векторов, мы можем решить задачу, аналогичную той. в примере 3 без использования тригонометрии.

Векторы , а также имеют координаты

а также

(См. Диаграмму).

Найдите компоненты вектора параллельный к а также .
Имеет место соотношение:

= р + т

Нам нужно найти числа r и t.

Подставляя координаты, получаем:

Это приводит к двум уравнениям с двумя неизвестными р а также т.

В x-координаты дают уравнение 3r + 3т = 3 или r + т = 1
а координаты y дают 2r + 6т = 4 или р + 3т = 2

Решая эти уравнения, например, вычитая уравнение x из y уравнение дает:

г + 3т = 2

— г — т = -1

2т = 1

т = og r =

Следовательно, решение —

.

= + как видно на схеме.

---

Попробовать викторину 2 по векторам.
Не забудьте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

2.4: Системы координат и компоненты вектора (Часть 1)

Цели обучения

• Опишите векторы в двух и трех измерениях с точки зрения их компонентов, используя единичные векторы вдоль осей.
• Различайте векторные компоненты вектора и скалярные компоненты вектора.
• Объясните, как величина вектора определяется в терминах компонентов вектора.
• Определите угол направления вектора на плоскости.
• Объясните связь между полярными координатами и декартовыми координатами на плоскости.

Векторы обычно описываются в терминах их компонентов в системе координат. Даже в повседневной жизни мы естественно обращаемся к концепции ортогональных проекций в прямоугольной системе координат.Например, если вы спросите кого-нибудь, как проехать к определенному месту, вам, скорее всего, предложат пойти на 40 км на восток и 30 км на север, чем на 50 км в направлении 37 ° к северу от востока.

В прямоугольной (декартовой) системе координат xy на плоскости точка на плоскости описывается парой координат (x, y). Аналогичным образом вектор \ (\ vec {A} \) на плоскости описывается парой своих векторных координат. Координата x вектора \ (\ vec {A} \) называется его x-компонентой, а координата y вектора \ (\ vec {A} \) называется его y-компонентой.X-компонента вектора — это вектор, обозначаемый \ (\ vec {A} _ {x} \). Y-компонента вектора — это вектор, обозначаемый \ (\ vec {A} _ {y} \). В декартовой системе компоненты вектора x и y вектора являются ортогональными проекциями этого вектора на оси \ (x \) и \ (y \), соответственно. Таким образом, следуя правилу параллелограмма для сложения векторов, каждый вектор на декартовой плоскости может быть выражен как векторная сумма его векторных компонентов:

\ [\ vec {A} = \ vec {A} _ {x} + \ vec {A} _ {y} \ ldotp \ label {2.10} \]

Как показано на рисунке \ (\ PageIndex {1} \), вектор \ (\ vec {A} \) — это диагональ прямоугольника, в котором компонент x \ (\ vec {A} _ {x} \) равен сторона, параллельная оси x, и компонента y \ (\ vec {A} _ {y} \) — сторона, параллельная оси y. Компонент вектора \ (\ vec {A} _ {x} \) ортогонален компоненту вектора \ (\ vec {A} _ {y} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Вектор \ (\ vec {A} \) на плоскости в декартовой системе координат — это векторная сумма его векторных x- и y-компонент. Компонента вектора x \ (\ vec {A} _ {x} \) — это ортогональная проекция вектора \ (\ vec {A} \) на ось x.Компонента вектора y \ (\ vec {A} _ {y} \) — это ортогональная проекция вектора \ (\ vec {A} \) на ось y. Числа A _x и A _y , которые умножают единичные векторы, являются скалярными компонентами вектора.

Обычно положительное направление на оси x обозначается единичным вектором \ (\ hat {i} \), а положительное направление на оси y — единичным вектором \ (\ hat {j} \). Единичные векторы осей \ (\ hat {i} \) и \ (\ hat {j} \) определяют два ортогональных направления в плоскости.Как показано на рисунке \ (\ PageIndex {1} \), компоненты x и y вектора теперь могут быть записаны в терминах единичных векторов осей:

\ [\ begin {cases} \ vec {A} _ {x} = A_ {x} \ hat {i} \\ \ vec {A} _ {y} = A_ {y} \ hat {j} \ end {case} \ label {2.11} \]

Векторы \ (\ vec {A} _ {x} \) и \ (\ vec {A} _ {y} \), определенные уравнением 2.11, являются векторными компонентами вектора \ (\ vec {A} \). Числа A _x и A _y , которые определяют компоненты вектора в уравнении \ ref {2.11}, являются скалярными компонентами вектора \ (\ vec {A} \).Комбинируя уравнение \ ref {2.10} с уравнением \ ref {2.11}, мы получаем компонентную форму вектора :

\ [\ vec {A} = A_ {x} \ hat {i} + A_ {y} \ hat {j} \ ldotp \ label {2.12} \]

Если нам известны координаты \ (b (x_b, y_b) \) начальной точки вектора (где b означает «начало») и координаты e (x _e , y _e ) конца точки вектора (где e означает «конец»), мы можем получить скалярные компоненты вектора, просто вычитая координаты исходной точки из координат конечной точки:

\ [\ begin {cases} A_ {x} = x_ {e} — x_ {b} \\ A_ {y} = y_ {e} — y_ {b} \ ldotp \ end {cases} \ label {2.13} \]

Пример \ (\ PageIndex {1} \): смещение указателя мыши

Указатель мыши на мониторе компьютера в исходном положении находится в точке (6,0 см, 1,6 см) по отношению к нижнему левому углу. Если вы переместите указатель на значок, расположенный в точке (2,0 см, 4,5 см), каков вектор смещения указателя?

Стратегия

Начало системы координат xy — левый нижний угол монитора компьютера.Следовательно, единичный вектор \ (\ hat {i} \) на оси x указывает горизонтально вправо, а единичный вектор \ (\ hat {j} \) на оси y указывает вертикально вверх. Начало вектора смещения находится в точке b (6.0, 1.6), а конец вектора смещения расположен в точке e (2.0, 4.5). Подставьте координаты этих точек в уравнение \ ref {2.13}, чтобы найти скалярные компоненты D _x и D _y вектора смещения \ (\ vec {D} \). Наконец, подставьте координаты в уравнение \ ref {2.12}, чтобы записать вектор смещения в виде компонента вектора.

Решение

Мы идентифицируем x _b = 6,0, x _e = 2,0, y _b = 1,6 и y _e = 4,5, где физическая единица измерения — 1 см. Скалярные x- и y-компоненты вектора смещения равны

\ [D_ {x} = x_ {e} — x_ {b} = (2.0 — 6.0) \; см = -4,0 \; см, \]

\ [D_ {y} = y_ {e} — y_ {b} = (4.5 — 1.6) \; см = + 2,9 \; см \ ldotp \]

Компонентная форма вектора смещения равна

.

\ [\ vec {D} = D_ {x} \; \ hat {i} + D_ {y} \; \ hat {j} = (-4.0 \; см)\; \ hat {i} + (2,9 \; см) \; \ hat {j} = (-4,0 \; \ hat {i} + 2,9 \; \ hat {j}) \; см \ ldotp \ label {2.14} \]

Это решение показано на рисунке \ (\ PageIndex {2} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): график вектора смещения. Вектор указывает от начальной точки в \ (b \) до конечной точки в \ (e \).

Значение

Обратите внимание, что физическая единица — здесь 1 см — может быть размещена либо с каждым компонентом непосредственно перед единичным вектором, либо глобально для обоих компонентов, как в уравнении \ ref {2.14}. Часто второй способ удобнее, потому что он проще.

Компонента x вектора \ (\ vec {D} _ {x} \) = −4.0 \ (\ hat {i} \) = 4.0 (\ (- \ hat {i} \)) вектора смещения имеет величина | \ (\ vec {D} _ {x} \) | = | — 4.0 || \ (\ hat {i} \) | = 4.0, поскольку величина единичного вектора равна | \ (\ hat {i} \) | = 1. Также обратите внимание, что направление x-компоненты равно \ (- \ hat {i} \), что антипараллельно направлению оси + x; следовательно, вектор x-компоненты \ (\ vec {D} _ {x} \) указывает налево, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {2} \).Скалярная x-компонента вектора \ (\ vec {D} \) равна D _x = −4,0. Аналогично, y-компонента вектора \ (\ vec {D} _ {y} \) = \ (+ 2.9 \ hat {j} \) вектора смещения имеет величину | \ (\ vec {D} _ {y} \) | = | 2.9 || \ (\ hat {j} \) | = 2,9, поскольку величина единичного вектора равна | \ (\ hat {j} \) | = 1. Направление y-компоненты равно \ (+ \ hat {j} \), которое параллельно направлению оси + y. Следовательно, вектор y-компоненты \ (\ vec {D} _ {y} \) указывает вверх, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {2} \). Скалярная y-компонента вектора \ (\ vec {D} \) равна D _y = + 2.9. Вектор смещения \ (\ vec {D} \) является равнодействующей двух его компонент вектора.

Форма векторной составляющей вектора смещения Уравнение \ ref {2.14} говорит нам, что указатель мыши был перемещен на мониторе на 4,0 см влево и 2,9 см вверх от своего исходного положения.

Упражнение 2.4

Синяя муха приземляется на миллиметровую бумагу в точке, расположенной на 10,0 см правее ее левого края и на 8,0 см выше ее нижнего края, и медленно идет к точке, расположенной на 5.0 см от левого края и 5,0 см от нижнего края. Выберите прямоугольную систему координат с началом в левом нижнем углу листа и найдите вектор смещения мухи. Проиллюстрируйте свое решение графиком.

Когда мы знаем скалярные компоненты A _x и A _y вектора \ (\ vec {A} \), мы можем найти его величину A и угол направления \ (\ theta_ {A} \). Угол направления — или, для краткости, направление — это угол, который вектор образует с положительным направлением на оси x.{-1} \ left (\ dfrac {A_ {y}} {A_ {x}} \ right) \ ldotp \ label {2.16} \]

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): для вектора \ (\ vec {A} \) его величина A и его угол направления \ (\ theta_ {A} \) связаны с величинами его скалярных компонентов, поскольку A , A _x и A _y образуют прямоугольный треугольник.

Когда вектор лежит либо в первом квадранте, либо в четвертом квадранте, где компонент A _x положителен (рисунок \ (\ PageIndex {4} \)), угол \ (\ theta \) в уравнении \ ref { 2.16}) совпадает с направлением угла \ (\ theta_ {A} \).Для векторов в четвертом квадранте угол \ (\ theta \) отрицательный, что означает, что для этих векторов угол направления \ (\ theta_ {A} \) измеряется по часовой стрелке от положительной оси x. Точно так же для векторов во втором квадранте угол \ (\ theta \) отрицательный. Когда вектор лежит во втором или третьем квадранте, где компонент A _x отрицателен, угол направления равен \ (\ theta_ {A} \) = \ (\ theta \) + 180 ° (Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Скалярные компоненты вектора могут быть положительными или отрицательными.Векторы в первом квадранте (I) имеют обе скалярные компоненты положительные, а векторы в третьем квадранте имеют обе скалярные компоненты отрицательные. Для векторов в квадрантах II и III угол направления вектора равен \ (\ theta_ {A} \) = \ (\ theta \) + 180 °.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): величина и направление вектора смещения

Вы перемещаете указатель мыши на мониторе из его исходного положения в точке (6,0 см, 1,6 см) к значку, расположенному в точке (2,0 см, 4,5 см). Какова величина и направление вектора смещения указателя?

Стратегия

В примере \ (\ PageIndex {1} \) мы нашли вектор смещения \ (\ vec {D} \) указателя мыши (см. Уравнение \ ref {2.{o} \ ldotp \]

Упражнение 2.5

Если вектор смещения синей мухи, идущей по листу миллиметровой бумаги, равен \ (\ vec {D} = (−5.00 \; \ hat {i} — 3.00 \; \ hat {j}) \) см, найдите его величина и направление.

Во многих приложениях величины и направления векторных величин известны, и нам нужно найти равнодействующую многих векторов. Например, представьте 400 автомобилей, движущихся по мосту Золотые Ворота в Сан-Франциско под сильным ветром. Каждая машина толкает мост в разных направлениях, и мы хотели бы знать, насколько сильным может быть результирующий толчок.У нас уже есть некоторый опыт геометрического построения векторных сумм, поэтому мы знаем, что задача нахождения результирующей путем рисования векторов и измерения их длины и углов может довольно быстро стать неразрешимой, что приведет к огромным ошибкам. Подобные опасения не возникают, когда мы используем аналитические методы. Самый первый шаг в аналитическом подходе — найти компоненты вектора, когда известны направление и величина вектора.

Вернемся к правому треугольнику на рисунке \ (\ PageIndex {3} \).Отношение смежной стороны A _x к гипотенузе A является функцией косинуса угла направления \ (\ theta_ {A} \), A _x / A = cos \ (\ theta_ {A} \) и отношение противоположной стороны A _y к гипотенузе A является синусоидальной функцией \ (\ theta_ {A} \), A _y / A = sin \ (\ theta_ {A} \). Когда величина A и направление \ (\ theta_ {A} \) известны, мы можем решить эти соотношения для скалярных компонентов:

\ [\ begin {cases} A_ {x} = A \ cos \ theta_ {A} \\ A_ {y} = A \ sin \ theta_ {A} \ ldotp \ end {cases} \ label {2.17} \]

При вычислении компонентов вектора с помощью уравнения \ ref {2.17} следует соблюдать осторожность с углом. Направляющий угол \ (\ theta \) _A вектора — это угол, измеренный против часовой стрелки от положительного направления по оси x к вектору. Измерение по часовой стрелке дает отрицательный угол.

Пример \ (\ PageIndex {3} \): компоненты векторов смещения

Группа спасения пропавшего ребенка следует за поисковой собакой по имени Десантник. Солдат много блуждает и делает много пробных обнюхиваний разными путями.Солдат в конце концов находит ребенка, и у истории счастливый конец, но его перемещения на разных ногах кажутся действительно запутанными. На одной из ног он идет 200,0 м на юго-восток, затем бежит на север примерно на 300,0 м. На третьей ноге он внимательно исследует запахи на 50,0 м в направлении 30 ° к западу от севера. На четвертом этапе Trooper идет прямо на юг на 80,0 м, улавливает свежий запах и поворачивает на 23 ° к западу от юга на 150,0 м. Найдите скалярные компоненты векторов смещения солдата и его векторы смещения в форме векторных компонентов для каждой ноги.

Стратегия

Давайте возьмем прямоугольную систему координат с положительной осью X в направлении географического востока и положительным направлением Y в направлении географического севера. Явно единичный вектор \ (\ hat {i} \) оси x указывает на восток, а единичный вектор \ (\ hat {j} \) оси y указывает на север. Десантник имеет пять ног, значит, есть пять векторов смещения. Мы начинаем с определения их величин и углов направления, затем используем уравнение \ ref {2.17}, чтобы найти скалярные компоненты смещений, и уравнение \ ref {2.12} для векторов смещений.

Решение

На первом отрезке величина смещения L ₁ = 200,0 м, направление — юго-восток. В качестве угла направления \ (\ theta_ {1} \) мы можем взять либо 45 °, измеренное по часовой стрелке с восточного направления, либо 45 ° + 270 °, измеренное против часовой стрелки с восточного направления. При первом выборе \ (\ theta_ {1} \) = -45 °. При втором выборе \ (\ theta_ {1} \) = + 315 °.{o} = -138,1 \; м, \]

\ [\ vec {L} _ {5} = L_ {5x} \; \ hat {i} + L_ {5y} \; \ hat {j} = (-58,6 \; \ hat {i} — 138,1 \; \ hat {j}) \; м \ ldotp \]

Упражнение 2.6

Если Десантник бежит на 20 м на запад, прежде чем отдохнуть, каков его вектор перемещения?

Авторы и авторство

• Сэмюэл Дж. Линг (Государственный университет Трумэна), Джефф Санни (Университет Лойола Мэримаунт) и Билл Мобс со многими авторами. Эта работа лицензирована OpenStax University Physics в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (by 4.0).

.