Site Loader

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π˜Π»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡΠ°ΠΌΠΎΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎ MathCAD 11 β€Ί Π’Π²ΠΎΠ΄-Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… β€Ί XY-Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ Ρ€Π°Π½ΠΆΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. XY-Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. [страница — 268] | Π‘Π°ΠΌΠΎΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎ матСматичСским ΠΏΠ°ΠΊΠ΅Ρ‚Π°ΠΌ

XY-Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ Ρ€Π°Π½ΠΆΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. XY-Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

Π’ качСствС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… ΠΏΠΎ любой ΠΈΠ· осСй, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ саму Ρ€Π°Π½ΠΆΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ (рис. 16.5). ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠΏΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ оси Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, явно содСрТащСС саму Ρ€Π°Π½ΠΆΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ элСмСнт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° с индСксом ΠΏΠΎ этой Ρ€Π°Π½ΠΆΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ сам Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.


Рис. 16.5. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ Ρ€Π°Π½ΠΆΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ

XY-Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠΠ°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ любой скалярной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (Ρ…) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ двумя способами. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² дискрСтизации Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, присвоСнии этих Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ ΠΈ прорисовкС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. БобствСнно, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ синуса Π½Π° рис. 16.3-16.5. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простой способ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ быстрым построСниСм Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π²ΠΎ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· мСстозаполнитСлСй (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρƒ оси Y), Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° – Π² ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΎΠ·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Ρƒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ оси (рис. 16.6). Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Mathcad сам создаСт Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, ΠΏΠΎ ΡƒΠΌΠΎΠ»Ρ‡Π°Π½ΠΈΡŽ принятых Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΡ‚ -10 Π΄ΠΎ 10. РазумССтся, впослСдствии ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ автоматичСски подстроится ΠΏΠΎΠ΄ Π½Π΅Π³ΠΎ.


Рис. 16.6. БыстроС построСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

НСобходимо Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ присвоСно Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎ построСния Π² Π΄ΠΎΠΊΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°, Ρ‚ΠΎ вмСсто быстрого построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ нарисована Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ этого значСния. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π½Π° рис. 16.7.


Рис. 16.7. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°

ΠŸΠΎΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ

Для создания полярного Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ Polar Plot Π½Π° ΠΏΠ°Π½Π΅Π»ΠΈ Graph (Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ) (рис. 16.8) ΠΈ Π²ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² мСстозаполнитСли ΠΈΠΌΠ΅Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ нарисованы Π² полярной систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» (Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΎΠ·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ) ΠΈ радиус-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ (Π»Π΅Π²Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΎΠ·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ).

Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ создании Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° (см. Ρ€Π°Π·Π΄. 163.1-16.3.3), ΠΏΠΎ осям ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (рис. 16.8, слСва), элСмСнты Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ Ρ€Π°Π½ΠΆΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… сочСтаниях, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ осущСствлСно быстроС построСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (рис. 16.8, справа).

Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ полярных Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² практичСски ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹Ρ…, поэтому всС, сказанноС Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΎΠ± ΠΎΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ XY-Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ², Π² ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ относится ΠΈ ΠΊ полярным.


Рис. 16.8

. ΠŸΠΎΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ

ΠΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ прямой, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° прямой

Для изучСния ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° прямой. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ рассмотрСны Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ прямой с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈ рисунками, Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Ссли извСстны уравнСния прямых. Π‘ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ рассмотрСно ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ прямой – ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅ усваивался, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² понятиях линия, ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ опрСдСлСниями, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ связаны с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.Β  Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ознакомимся с понятиСм Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° прямой.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1

ΠΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ прямой

Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ любой Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° любой прямой, пСрпСндикулярной Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ.

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ имССтся бСсконСчноС мноТСство Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², располоТСнных Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой. Рассмотрим Π½Π° рисункС, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая являСтся пСрпСндикулярной ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прямых, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ распространяСтся ΠΈ Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мноТСства Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² этих ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прямых ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚. Когда прямыС a ΠΈ Π°1 ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Π° n→ считаСтся Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ прямой a, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ считаСтся Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ для прямой a1.  Когда прямая Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ прямой Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Β tΒ·n→ являСтся Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ любом Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°Β t, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ для прямой a.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ пСрпСндикулярСн Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ. Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

Если Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠžΡ…Ρƒ, Ρ‚ΠΎ мноТСством Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² для ΠžΡ… являСтся ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ jβ†’. Он считаСтся Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ оси ΠžΡƒ, пСрпСндикулярной ΠžΡ…. ВсС мноТСство Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠžΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ tΒ·jβ†’,Β t∈R,Β tβ‰ 0.

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма Oxyz ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ iβ†’, относящийся ΠΊ прямой Оz. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ jβ†’Β Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ считаСтся Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ любой Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, располоТСнный Π² любой плоскости ΠΈ пСрпСндикулярный Оz, считаСтся Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ для Oz.

ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° прямой – Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° прямой ΠΏΠΎ извСстным уравнСниям прямой

ΠŸΡ€ΠΈ рассмотрСнии ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠžΡ…Ρƒ выявим, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π½Π° плоскости соотвСтствуСт Π΅ΠΉ, Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² производится ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌ. Если извСстно ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой, Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΠ· уравнСния Ax+By+C=0Β Π²Ρ‹ΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ коэффициСнты, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

Π—Π°Π΄Π°Π½Π° прямая Π²ΠΈΠ΄Π° 2x+7y-4=0_, Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

РСшСниС

По ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая Π±Ρ‹Π»Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ коэффициСнты , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2,Β 7.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:Β 2,Β 7.

Π‘Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ случаи, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° A ΠΈΠ»ΠΈΒ Π’ ΠΈΠ· уравнСния равняСтся Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Рассмотрим Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ задания Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2

Π£ΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой y-3=0.

РСшСниС

По ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ запишСм Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ 0Β·x+1Β·y-3=0. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ‡Π΅Ρ‚Π»ΠΈΠ²ΠΎ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ коэффициСнты, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 0,Β 1.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 0,Β 1.

Если Π΄Π°Π½ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅Β  Π² ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°Ρ… Π²ΠΈΠ΄Π°Β xa+yb=1 ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ коэффициСнтом y=kΒ·x+b, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ прямой, Π³Π΄Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой.

НуТна ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ прСподаватСля?

Опиши Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅Β β€” и наши экспСрты Ρ‚Π΅Π±Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚!

ΠžΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3

Найти ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Ссли Π΄Π°Π½ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой x13-y=1.

РСшСниС

Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ уравнСния Π² ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°Ρ… x13-y=1 ΠΊ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x13-y=1 ⇔3Β·x-1Β·y-1=0.

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅Β 3,Β -1.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 3,Β -1.

Если прямая ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° каноничСским ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ прямой Π½Π° плоскости x-x1ax=y-y1ayΒ ΠΈΠ»ΠΈ парамСтричСским x=x1+axΒ·Ξ»y=y1+ayΒ·Ξ», Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ услоТняСтся. По Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ уравнСниям Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ aβ†’=(ax,Β ay). Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ нахоТдСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° nβ†’Β Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, благодаря ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ пСрпСндикулярности Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² nβ†’Β ΠΈ aβ†’.

Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ получСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ привСдСния каноничСского ΠΈΠ»ΠΈ парамСтричСского ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ прямой ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

x-x1ax=y-y1ay⇔ayΒ·(x-x1)=axΒ·(y-y1)⇔ayΒ·x-axΒ·y+axΒ·y1-ayΒ·x1x=x1+axΒ·Ξ»y=y1+ay·λ⇔x-x1ax=y-y1ay⇔ayΒ·x-axΒ·y+axΒ·y1-ayΒ·x1=0

Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ любой ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ способ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4

Найти Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой x-27=y+3-2.

РСшСниС

Из прямой x-27=y+3-2 понятно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ aβ†’=(7,Β -2). ΠΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Β nβ†’=(nx,Β ny) Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой являСтся пСрпСндикулярным aβ†’=(7,Β -2).

Выясним, Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. Для нахоТдСния скалярного произвСдСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² aβ†’=(7,Β -2)Β ΠΈ nβ†’=(nx,Β ny) запишСм aβ†’,Β nβ†’=7Β·nx-2Β·ny=0.

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ nx – ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ , слСдуСт Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ny. Если nx=1, ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 7Β·1-2Β·ny=0⇔ny=72.

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹Β  1,Β 72.

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ способ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ сводится ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ уравнСния ΠΈΠ· каноничСского. Для этого ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ

x-27=y+3-2⇔7Β·(y+3)=-2Β·(x-2)⇔2x+7y-4+73=0

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2,Β 7.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 2,Β 7Β 

ΠΈΠ»ΠΈ 1,Β 72.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5

Π£ΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° прямой x=1y=2-3Β·Ξ».

РСшСниС

Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ для ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ прямой. Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ:

x=1y=2-3·λ⇔x=1+0Β·Ξ»y=2-3·λ⇔λ=x-10Ξ»=y-2-3⇔x-10=y-2-3⇔⇔-3Β·(x-1)=0Β·(y-2)⇔-3Β·x+0Β·y+3=0

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ -3,Β 0.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:Β -3,Β 0.

Рассмотрим способы для нахоТдСния ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ прямой Π² пространствС, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмой ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠžΡ…Ρƒz.

Когда прямая задаСтся ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ плоскостСй A1x+B1y+C1z+D1=0Β ΠΈ A2x+B2y+C2z+D2=0, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ плоскости относится ΠΊ A2x+B2y+C2z+D2=0Β ΠΈΒ A2x+B2y+C2z+D2=0, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ запись Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²Β  Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ n1β†’=(A1,Β B1,Β C1)Β ΠΈ n2β†’=(A2,Β B2,Β C2).

Когда прямая ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ каноничСского уравнСния пространства, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄ x-x1ax=y-y1ay=z-z1az ΠΈΠ»ΠΈ парамСтричСского, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄ x=x1+axΒ·Ξ»y=y1+ayΒ·Ξ»z=z1+azΒ·Ξ», ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ax,Β ayΒ ΠΈΒ az ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой. Π›ΡŽΠ±ΠΎΠΉ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ пСрпСндикулярным Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ aβ†’=(ax,Β ay,Β az). ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎΒ  с парамСтричСскими ΠΈ каноничСскими уравнСниями производится ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ пСрпСндикулярСн Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ aβ†’=(ax,Β ay,Β az).

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ | LightCone

Π‘Ρ€Π°- ΠΈ ΠΊΠ΅Ρ‚- Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π”ΠΈΡ€Π°ΠΊΠ° Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π½ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Ρ€Π°-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΠΊΠ΅Ρ‚- Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ называСтся скалярным ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. По сути это стандартноС ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ «строка Π½Π° столбСц». Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ комплСксноС число.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ΅Ρ‚-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠ΅Ρ‚-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π΅ число, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠ΅Ρ‚-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Он Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ прСдставляСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-столбцом, Π½ΠΎ с количСством ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ размСрностСй исходных Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ называСтся Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠšΡ€ΠΎΠ½Π΅ΠΊΠ΅Ρ€Π°.

Аналогично ΠΈ для произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… Π±Ρ€Π°-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-строку.

ПослСдним остаСтся Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠ΅Ρ‚-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Π±Ρ€Π°-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ столбСц Π½Π° строку. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ называСтся Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ внСшним ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π’ Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ получаСтся ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€.

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ использования Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ эрмитов ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ А. Богласно постулатам Π΅ΠΌΡƒ соотвСтствуСт какая-Ρ‚ΠΎ наблюдаСмая Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°. БобствСнныС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ эрмитового ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ базис. НаиболСС ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ состояния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ этому базису. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ суммой базисных Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ комплСксными коэффициСнтами. Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ извСстСн ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ супСрпозиции. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π·Π½Π°ΠΊ суммы.

Но коэффициСнты Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ базисным Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρ‹ вСроятности, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° состояния с ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ базисным Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ эту Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ справа ΠΎΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ суммы ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ΅Ρ‚-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° комплСксноС число – Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΡƒΠ΄Ρƒ вСроятности. Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠ΅Ρ‚-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Π±Ρ€Π°-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΈ исходного ΠΊΠ΅Ρ‚-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. ΠšΠ΅Ρ‚-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вынСсти ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ° суммы Π·Π° скобку. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π° ΠΈ слСва Π·Π½Π°ΠΊΠ° равСнства окаТСтся ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ пси. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вся сумма Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈ соотвСтствСнно Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅.

Данная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° сама ΠΏΠΎ сСбС ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈ ΠΌΠ°Π½ΠΈΠΏΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ выраТСниями с произвСдСниями Π±Ρ€Π°- ΠΈ ΠΊΠ΅Ρ‚- Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π’Π΅Π΄ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² любоС мСсто произвСдСния.

ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΈΠ· сСбя ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹, входящиС Π² сумму ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ базисного ΠΊΠ΅Ρ‚-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° со своим эрмитовым сопряТСниСм. ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅ для наглядности ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ аналогию с ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ пространствС.

Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ базисныС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ex ey ΠΈ ez, ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ с осями ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π’Π΅Π½Π·ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ex Π½Π° своС сопряТСниС Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ v. Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ этой ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€? Данная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° просто ΠΎΠ±Π½ΡƒΠ»ΠΈΠ»Π° всС ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ…. Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ получился Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ вдоль оси Ρ…, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ проСкция исходного Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° базисный Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ex. Π’Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ наша ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠžΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠ΅ΡΡ Π΄Π²Π° ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° базисныС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ey ΠΈ ez ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ – ΠΎΠ±Π½ΡƒΠ»ΡΡŽΡ‚ всС ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ получится ΠΏΡ€ΠΈ суммировании ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ? Π‘Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Px ΠΈ Py. Вакая ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Π½ΡƒΠ»ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ z-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ всСгда Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π² плоскости x-y. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ x-y.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ понятно ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ сумма всСх ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° базисныС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅. Π’ нашСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° само Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ пространство. Единичная ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π° ΠΏΠΎ-сути ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° самого Π½Π° сСбя.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ эквивалСнтно заданию подпространства исходного пространства. Π’ рассматриваСмом случаС Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ пространства это ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ одномСрная линия, задаваСмая ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ двумСрная ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, задаваСмая ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡΡΡŒ ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅ с Π΅Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ состояния Π² Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΌ пространствС, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ подпространство ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ состояния Π² это Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎ подпространство.

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ основныС свойства ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

  1. ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ эквивалСнтно ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ свойство Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ P2=P. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ссли ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ спроСцировал Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² подпространство, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡƒΠΆΠ΅ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ с Π½ΠΈΠΌ Π½Π΅ сдСлаСт. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ вСдь ΡƒΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² этом подпространствС.
  2. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ эрмитовыми ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, соотвСтствСнно Π² ΠΊΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.
  3. БобствСнныС значСния ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ любой размСрности это Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ числа Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° ΠΈ ноль. Находится Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² подпространствС ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ находится. Из-Π·Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ бинарности, ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡƒΡŽ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ наблюдаСмою Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ вопроса, ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Β«Π΄Π°Β» ΠΈΠ»ΠΈ Β«Π½Π΅Ρ‚Β». НапримСр, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ Π»ΠΈ спин ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ элСктрона Π² синглСтном состоянии Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΏΠΎ оси z? Π’Π°ΠΊΠΎΠΌΡƒ вопросу ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² соотвСтствиС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠšΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²Π°Ρ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ° позволяСт ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ вСроятности для ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° Β«Π΄Π°Β» ΠΈ для ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° Β«Π½Π΅Ρ‚Β».

Π’ дальнСйшСм ΠΌΡ‹ Π΅Ρ‰Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ± ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

На рисункС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ a Π² плоскости xy ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ b Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ k. Π˜Ρ… Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ | a | =

Вопрос:

На рисункС ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ a Π² плоскости xy ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ b Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ k. Π˜Ρ… Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ | a | = 2 ΠΈ | b | = 3.

(a) НайдитС {eq} | a \ times b |. {/ eq}

(b) Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ {eq} a \ times b {/ eq} — ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ 0.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ:

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΎΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π½ΡΡ систСма Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π½Π΅ΠΊΠΎΠΏΠ»Π°Π½Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ссли {eq} \ left ({\ overrightarrow a, \ overrightarrow b, \ overrightarrow c} \ right) {/ eq}, прСдставляСт {eq} \ overrightarrow {OA} = a, \ overrightarrow {OB} = b, \ overrightarrow {OC} = c {/ eq}, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ попытался {eq} \ left ({\ overrightarrow a, \ overrightarrow b, \ overrightarrow c} \ right) {/ eq}, называСтся правостороннСй систСмой, Ссли ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ {eq} \ overrightarrow {OA} \; {\ rm {to}} \; \ overrightarrow {OB} {/ eq}, Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ‹ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ 180 градусов, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ c.Π’ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это систСма для лСвшСй.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ ΠΈ объяснСниС: 1

(Π°):

Из Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ вопроса, a — Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² плоскости xy, Π° b — Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ k. \ circ}} \ right) \\ & = \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ (2 \ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ) \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ (3 \ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ) \ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ (1 \ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ) \\ & = 6 \ end {Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠ²Π½ΡΡ‚ΡŒ *} {/ eq}

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ {eq} | a \ times b {/ eq}, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 6.

(Π±):

Для части (b) с использованиСм ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ

БСйчас,

Из ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ, a ΠΈ b ΠΈ {eq} a \ times b {/ eq}, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΡƒ.

А,

{экв} Π° \ Ρ€Π°Π· Π± {/ eq}, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ пСрпСндикулярно ΠΊΠ°ΠΊ a, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ b.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°,

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ {eq} a \ times b {/ eq}, Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² плоскости xy Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ,

ΠšΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ z Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, x-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° {eq} a \ times b {/ eq}, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ y ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.

Python для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€ XY

Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ я использовал ΠΏΠΈΠ³Π»Π΅Ρ‚ для Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ выполнял свои собствСнныС вычислСния для рисования ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ² ΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΠ΄Π° cubicSpline ΠΈΠ· Нью-Йоркского унивСрситСта.

  #! / Usr / bin / env python

# основных ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ
ΠΈΠ· Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚Π° itertools

# установлСнных ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ
ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΈΠ³Π»Π΅Ρ‚
import numpy

# Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΉ
конфигурация ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚Π°

# константы
CURVE_SEGS = config.curve_segments # количСство сСгмСнтов Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π² ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ

# ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ Π‘Π΅Π·ΡŒΠ΅ любСзно прСдоставлСны Нью-Йоркским унивСрситСтом

def fac (k):
    '' '
    Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ k !.'' '

    Ссли k == 0: Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ 1
    else: Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ сокращСниС (лямбда i, j: i * j, range (1, k + 1))

def binom (n, k):
    '' '
    Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ n Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ k.
    '' '

    Ссли k <0 ΠΈΠ»ΠΈ k> n: Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ 0

    Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ fac (n) / (fac (k) * fac (n - k))

def B (P, t):
    '' '
    ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ Π‘Π΅Π·ΡŒΠ΅ стСпСни len (P) - 1, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 'P',
    ΠΏΡ€ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° 't' Π² [0,1].
    '' '
    ΠΏ = len (P) - 1
    ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ n> 0

    ΠΈΠ· numpy ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ
    Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ = Π½ΡƒΠ»ΠΈ (len (P [0]))
    для i в xrange (n + 1):
        Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ + = binom (n, i) * P [i] * (1 - t) ** (n-i) * t ** i

    Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚

def B_n (P, n, t):
    '' '
    ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ Π‘Π΅Π·ΡŒΠ΅ стСпСни n, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ P,
    ΠΏΡ€ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° 't' Π² [0,1].'' '

    ## зафиксируйтС t Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ [0,1]
    t = мин (1., макс (0., t))

    num_segments = 1 + (len (P) - (n + 1) + n-1) // n
    ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ num_segments> 0
    ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»Π° ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ
    segment_offset = min (int (floor (t * num_segments)), num_segments-1)

    P_offset = смСщСниС_сСгмСнта * n

    Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ B (P [P_offset: P_offset + n + 1], (t - segment_offset / float (num_segments)) * num_segments)

def Bezier_Curve (P):
    '' '
    Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 1.
    для ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π‘Π΅Π·ΡŒΠ΅ с ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Β«PΒ» ΠΈ градусом len (P) -1.'' '
    Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ лямбда t: B (P, t)

def Bezier_Curve_n (P, n):
    '' '
    Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 1.
    для ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ полосы ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π‘Π΅Π·ΡŒΠ΅ с ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Β«PΒ» ΠΈ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ n.
    '' '
    Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ лямбда t: B_n (P, n, t)

def cubicSpline (p0, p1, p2, p3, nSteps):
    "" "Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ список сСгмСнтов Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈ индСкс для создания ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ.

    ΠšΡƒΠ±ΠΈΠΊΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° (p0) ΠΈ конСчная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° (p3) ΠΈ
    ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (p1 ΠΈ p2) ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ t, Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ с 0.ΠžΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 1.0.
    "" "
    points = numpy.array ([p0, p1, p2, p3])
    bez = bezier.Bezier_Curve (Π±Π°Π»Π»Ρ‹)
    lineSegments = []
    для val в numpy.linspace (0, 1, nSteps):
        #print '% s:% s'% (val, bez (val))
        # ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ сплайна ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ t ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚
        # ΠΎΡ‚ 0,0 Π΄ΠΎ 1,0
        (Ρ…, Ρƒ) = bez (val)
        lineSegments.append ((ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» (x), ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» (y)))
    # lineSegments.append (p2)
    cubicIndex = [0] + [int (x * 0,5) для x в диапазонС (2, (nSteps-1) * 2)] + [nSteps-1]
    #print "lineSegments =", lineSegments
    #print "cubicIndex =", cubicIndex
    return (lineSegments, cubicIndex)


# графичСскиС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠΈΡ‚ΠΈΠ²Ρ‹

класс GraphicObject (ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚):

    "" "ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠΈΡ‚ΠΈΠ² Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ графичСского ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°" ""

    def __init __ (я, ΠΏΠΎΠ»Π΅, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, индСкс, Ρ†Π²Π΅Ρ‚):
        "" "ΠšΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΡ€ графичСских ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ².АргумСнты:
                arcpoints - список Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… графичСский ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚
                arcindex - список ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ
                color - список Ρ†Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠ² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ
        "" "
        self.m_field = ΠΏΠΎΠ»Π΅
        self.m_arcpoints = ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ
        self.m_arcindex = индСкс
        self.m_color = Ρ†Π²Π΅Ρ‚
        # каТдая Π΄ΡƒΠ³Π° Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ‚Π° Π½Π° список Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ индСксов
        # ΠΎΠ½ΠΈ собраны Π² списки списков
        # TODO: Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ списки
        сСбя.m_points = []
        self.m_index = []

класс Circle (GraphicObject):

    "" "ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚." ""

    def __init __ (self, field, p, r, color, solid = False):
        "" "ΠšΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ².

        АргумСнты:
            p - Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°
            r - радиус ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°
            c - Ρ†Π²Π΅Ρ‚
        "" "
        self.m_center = p
        self.m_radius = r
        self.m_solid = Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄Ρ‹ΠΉ
        k = 0,5522847498307935 # 4/3 (sqrt (2) -1)
        kr = int (r * k)
        (Ρ…, Ρƒ) = Ρ€
        Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ = [(x + r, y), (x + r, y + kr), (x + kr, y + r), (x, y + r),
                           (x-kr, y + r), (x-r, y + kr), (x-r, y),
                           (x-r, y-kr), (x-kr, y-r), (x, y-r),
                            (x + kr, y-r), (x + r, y-kr)]
        arcindex = [(0, 1, 2, 3), (3, 4, 5, 6), (6, 7, 8, 9), (9, 10, 11, 0)]
        GraphicObject.__init __ (self, field, arcpoints, arcindex, Ρ†Π²Π΅Ρ‚)

    def render (self):
        # Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, self.m_arcpoints = [(10,5), (15,5), (15,10), (15,15), (10,15), (5,15), (5,10)]
        # Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, self.m_arcindex = [(0,1,2,3), (3,4,5,6)]
        для i в диапазонС (len (self.m_arcindex)):
            # Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, self.m_arcindex [i] = (0,1,2)
            p0 = self.m_arcpoints [self.m_arcindex [i] [0]]
            p1 = self.m_arcpoints [self.m_arcindex [i] [1]]
            p2 = self.m_arcpoints [self.m_arcindex [i] [2]]
            p3 = сСбя.m_arcpoints [self.m_arcindex [i] [3]]
            (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, индСкс) = cubicSpline (p0, p1, p2, p3, CURVE_SEGS)
            Ссли self.m_solid:
                points.append (self.m_center)
                nxlast_pt = len (Π±Π°Π»Π»Ρ‹) -2
                last_pt = len (Π±Π°Π»Π»Ρ‹) -1
                xtra_index = [nxlast_pt, last_pt, last_pt, 0]
                индСкс = индСкс + xtra_index
            self.m_points.append (Π±Π°Π»Π»Ρ‹)
            self.m_index.append (индСкс)

    def draw (self):
        для i в диапазонС (len (self.m_index)):
            Π±Π°Π»Π»Ρ‹ = сСбя.m_points [я]
            index = self.m_index [i]
            pyglet.gl.glColor3f (self.m_color [0], self.m_color [1], self.m_color [2])
            Ссли нС self.m_solid:
                pyglet.graphics.draw_indexed (len (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ), pyglet.gl.GL_LINES,
                    ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ,
                    ('v2i', self.m_field.scale2out (ΠΊΠΎΡ€Ρ‚Π΅ΠΆ (Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ° (* Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ)))),
                )
            Π΅Ρ‰Π΅:
                pyglet.graphics.draw_indexed (len (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ), pyglet.gl.GL_POLYGON,
                    ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ,
                    ('v2i', сам.m_field.scale2out (ΠΊΠΎΡ€Ρ‚Π΅ΠΆ (Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ° (* Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ)))),
                )
  

Π­Ρ‚ΠΎ нСработоспособный ΠΊΠΎΠ΄, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ Ρ…Π²Π°Ρ‚Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… констант ΠΈ классов, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ с Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠ΅ΠΉ, Ссли Π²Ρ‹ Π±ΠΎΡ€Π΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ с Π½Π΅ΠΉ.

ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ GraphicObject, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΈ ΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, состоял ΠΈΠ· Π΄ΡƒΠ³, каТдая с Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€ΡŒΠΌΡ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Π‘Ρ‹Π» составлСн список Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, Π½ΠΎ ΠΏΠΎ-Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ, ΠΏΠΈΠ³Π»Π΅Ρ‚ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π» ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ прямой, состоящиС ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, с ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ»ΠΎΡΡŒ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ пСрСвСсти.

Π Π•Π”ΠΠšΠ’Π˜Π ΠžΠ’ΠΠ’Π¬: Π Π°Π½Π΅Π΅ я Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π» ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ сплайны Π‘Π΅Π·ΡŒΠ΅ (ΠΏΠΎ сути, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ создавали ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π·Π°Π±Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ Π½Π΅ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Ρ‹Π΅ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΈ. Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΊΠΎΠ΄Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ кубичСскиС сплайны Π‘Π΅Π·ΡŒΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ настоящиС ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΈ.

Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹

Π’ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ количСствСнныС ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° основС ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π˜Ρ… Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, сдСлав Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ измСрСния. Π˜Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ производятся со стандартными приращСниями, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ измСрСния.Π‘Π΅Π· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ бСссмыслСнно.

НСкоторыС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ число ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹.
Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число само ΠΏΠΎ сСбС называСтся скалярными, ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ скалярными Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ . Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»Ρ‹, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ эти скалярныС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹: Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ скалярных Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½:

Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π° (T) T = 10 o C
ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (t) t = 5 с
Масса (м) m = 3 кг

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.К Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² пространствС.
Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ количСства Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ . Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»Ρ‹, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ эти Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΆΠΈΡ€Π½Ρ‹ΠΌ ΡˆΡ€ΠΈΡ„Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ со стрСлками. Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½:

смСщСниС ( d ) d = 10 ΠΌ ΠΊ сСвСру
ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ( v ) v = 3 ΠΌ / с Π½Π° восток
сила ( F ) F = 9 N до

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, Π½Π°ΠΌ понадобится ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ , Ρ‚.Π΅.Π΅. Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ .

Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° system — Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠ°Ρ систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π’ Π΄Π²Π° измСрСния, эта систСма состоит ΠΈΠ· ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ Π½Π° плоской ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ прямым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ. Π›ΠΈΠ½ΠΈΠΈ называСтся осСй ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ, называСтся происхоТдСниС . Оси ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Ρ€ΠΈΡΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ ΠΈ относятся ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ оси x ΠΈ y соотвСтствСнно.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° плоскости с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ (a, b) — это Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ справа ΠΎΡ‚ оси y, Π° b Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΎΡ‚ оси x, Ссли a ΠΈ b — ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа.
Если a ΠΈ b Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΎΠ±Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… числа, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° находится Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°Ρ… слСва ΠΎΡ‚ оси y ΠΈ b Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²Π½ΠΈΠ· ΠΎΡ‚ оси x.
На рисункС справа P 1 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ (3, 4), Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° P 2 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ (-1, -3).
Π’ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ… ось z добавляСтся Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ оси, всС пСрпСндикулярныС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ.


Π’ полярной систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ , ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π° плоскости присвоСны ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ (r, Ο†) ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ фиксированная линия Π² плоскости называСтся осью ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° этой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, называСмая полюсом . Для Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° плоскости ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° r — это расстояниС ΠΎΡ‚ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° полюс, Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° Ο† — это ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки. ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ осью ΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ.
Π³. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° r всСгда ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, Π° Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Ο† составляСт ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 2Ο€ (360 o ). Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π² полярныС ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ ось полярной систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ совпадаСт с Ось x Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ полюс ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ с источник.
На рисункС справа Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° P 1 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ полярныС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ (r 1 , Ο† 1 ) = (5, 53,1 o ), Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° P 2 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ полярныС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ (r 2 , Ο† 2 ) = (3.16, 251,6 o ).
УравнСния прСобразования:

x = r cosφ, y = r sinφ.

r = (x 2 + y 2 ) Β½ , Ο† = Π·Π°Π³Π°Ρ€ -1 (y / x).

ЦилиндричСскиС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈ сфСричСскиС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΡ полярных ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π΄ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ.
ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π»ΠΈ систСму ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, физичСский вСкторная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π² Π΄Π²ΡƒΡ… измСрСниях ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСна ​​парой числа.
Если ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, Ρ‚Π°ΠΌ числа Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ проСкциями Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° оси Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° систСма.


Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ a Π½Π° рисункС справа ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ x-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρƒ a 1 ΠΈ y-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ a 2 .
Π•Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° a = (a 1 2 + a 2 2 ) Β½ . Π­Ρ‚ΠΎ слСдуСт ΠΈΠ· Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°.
ΠŸΠΎΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» a , Ρ‚.Π΅.Π΅. ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с Ось абсцисс — Ο†.

ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°:

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ A Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² плоскости xy.
(Π°) Для ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π£ ΠΎΠ±Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ?
(Π±) Для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ориСнтация Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π»ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ?

РСшСниС:

  • РассуТдСниС:
    На плоскости (Π² Π΄Π²ΡƒΡ… измСрСниях) ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ установив систСму ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π² ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ο†, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ось абсцисс.ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ο† — это ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси абсцисс.
  • ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π°Ρ информация ΠΎ вычислСнии:
    (a) X-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ A Ρ€Π°Π²Π΅Π½ A x = А cosΟ† Π° y-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° A Ρ€Π°Π²Π½Π° A y = A sinΟ†. (A — Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.) Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ A x ΠΈ A y Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ cosΟ† ΠΈ sinΟ† Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ. Ο† Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΎΡ‚ 180 Π΄ΠΎ 270 градусов.
    (b) Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ A x ΠΈ A y ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, Ο† Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ 90 Π΄ΠΎ 180 градусов ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚ 270 Π΄ΠΎ 360 градусов.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ. Π­Ρ‚ΠΎ число (с Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ). Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ являСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ скорости, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ скорости. (ΠΌ / с), Ссли это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ смСщСния, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ расстояния (ΠΌ) ΠΈ ΠΏΡ€.
НаправлСниС Π² Π΄Π²ΡƒΡ… измСрСниях, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² плоскости, — это ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. с осью x, отсчитываСмой ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки ΠΎΡ‚ направлСния x.
ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π²Π°ΠΌ понадобится систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (опорная Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°).


Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ физичСскиС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π°Π³Ρ€Π΅Π³Π°Ρ‚Ρ‹. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ сумму Π΄Π²ΡƒΡ… физичСских Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ с Ρ‚Π΅ΠΌΠΈ ΠΆΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ алгСбраичСски , ΠΌΡ‹ добавляСм x, y ΠΈ z-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ v 1 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ (3, 4) ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ v 2 ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ (2, -3).
ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ v = v 1 + v 2 — сумма Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ (3 + 2, 4 + (- 3) = (5, 1).
Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° v Ρ€Π°Π²Π½Π° v = (25 + 1) Β½ = 5,1,
. Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» v ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси x Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ο† = tan -1 (1/5). = 0,197 Ρ€Π°Π΄ = 11,3 o .

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ v 2 ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° v 1 ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° v 2 ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° v 1 .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ v 1 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ (3, 4) ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ v 2 ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ (2, -3).
ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ v = v 1 v 2 Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ v ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅: (3-2, 4 — (- 3) = (1, 7).
Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° v Ρ€Π°Π²Π½Π° v = (1 + 49) Β½ = 7.1
Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» v ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси x Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ο† = tan -1 (7/1). = 1,429 Ρ€Π°Π΄ = 81,9 o .

ГрафичСскоС прСдставлСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ — направлСнная линия сСгмСнт. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ сумму Π΄Π²ΡƒΡ… физичСских Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ с Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ Π±Π»ΠΎΠΊΠΈ графичСски выстраиваСм стрСлки хвостом ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠΊΡƒ. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° — это стрСлка, провСдСнная ΠΎΡ‚ хвоста ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠΊΡƒ. послСднСго Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ v 2 ΠΈΠ· a Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ v 1 ΠΈΠ½Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ v 2 ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ v 1 .

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ A — ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ — A ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ прямо Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° A ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ vector — ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ смСщСния
ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ d прСдставляСт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ смСщСния ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (x 1 , y 1 ) = (-4, -1) Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ B с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (x 2 , y 2 ) = (3, 4).
Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ смСщСния — это Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ полоТСния. A ΠΈ B , d = B A .

Π•Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ
d x = (x 2 — x 1 ) = 3 — (-4) = 7, d y = (y 2 — y 1 ) = 4 — (-1) = 5.
Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ смСщСния d ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ d = (49 + 25) Β½ . = 8,6.
Π£Π³ΠΎΠ» d ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси x Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ο† = tan -1 (5/7) = 0.62 Ρ€Π°Π΄ = 35,5 o .


РСзюмС:


Бсылка: Π£Ρ€ΠΎΠΊ 1: Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ — ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹ ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ

ΠŸΠΎΠΆΠ°Π»ΡƒΠΉΡΡ‚Π°, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ этот ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΈΠ· «ΠšΠ°Π±ΠΈΠ½Π΅Ρ‚Π° Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ».

  1. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
  2. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°
  3. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚
  4. ΠšΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°
  5. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
  6. ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ скорости ΠΈ Ρ€Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… судов

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ различия ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΌΠΎΠ½ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ (XY) ΠΈ растровой Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΊΠΈ: Β«Zencade

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ½ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ XY-ΠΌΠΎΠ½ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΡƒ, Ρ‡Π΅ΠΌ стандартныС растровыС ΠΌΠΎΠ½ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹.Оба ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π­Π›Π’-ΠΌΠΎΠ½ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, Π½ΠΎ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ°Π»ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ. РастровыС ΠΌΠΎΠ½ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π΅Π²ΠΈΠ·ΠΎΡ€Ρ‹, ΡΠΎΠ·Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, начиная с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стороны экрана ΠΈ просматривая ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ пСрСходя ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ строкС ΠΈ повторяя всС это снова, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ Π΄ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ части экрана. Оказавшись Ρ‚Π°ΠΌ, ΠΎΠ½ возвращаСтся Π½Π°Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ начинаСтся Π·Π°Π½ΠΎΠ²ΠΎ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, каТдая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ экрана Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Π° Π²ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°Π΄Ρ€Π° Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ составляСт Ρ‚Ρ€ΠΈΠ΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Π΄Ρ€ΠΎΠ² Π² сСкунду. На самом Π΄Π΅Π»Π΅ это ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠΈΠ½ΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, отобраТая ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΊΠ°Π΄Ρ€ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ изобраТСния с достаточно высокой ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ двиТСния.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅. ВмСсто Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΊΠ°Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ вСсь экран Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΊΠ°Π΄Ρ€Π΅, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠ½ΠΈΡ‚ΠΎΡ€ фактичСски рисуСт ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° экранС, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚Π΅ части экрана, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ для отобраТСния изобраТСния. ΠžΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ экрана остаСтся обСсточСнной. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ Ρ€ΠΈΡΡƒΡŽΡ‚ΡΡ достаточно быстро, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ постоянного двиТущСгося изобраТСния, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ это, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ мСста Π½Π° экранС, сколько Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ. Π’ΠΎΡ‚ простой ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° дисплСя:

РастровоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ вСсь экран Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΊΠ°Π΄Ρ€Π΅.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠ½ΠΈΡ‚ΠΎΡ€ Π²ΠΎΠ·Π±ΡƒΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚Π΅ части Ρ‚Ρ€ΡƒΠ±ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ для создания изобраТСния.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ½ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Ρ€ΠΈΡΡƒΡŽΡ‚ изобраТСния Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, X, Y ΠΈ Z.

Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, X ΠΈ Y ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ смысл, Π½ΠΎ Π³Π΄Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ось Z Π½Π° Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ дисплСС?

Π’ΠΎΡ‚ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ°Ρ аналогия, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ я ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π»: ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ рисуСтС рисунок Π½Π° Π±ΡƒΠΌΠ°Π³Π΅ ΠΊΠ°Ρ€Π°Π½Π΄Π°ΡˆΠΎΠΌ. Π’Ρ‹, бСзусловно, Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚Π΅ 2D-ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½ΠΎ Ссли Π²Ρ‹ Π·Π°Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‚ΠΎ быстро ΠΏΠΎΠΉΠΌΠ΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π²Ρ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… измСрСниях.Π’ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС Π²Ρ‹ Π±Ρ‹ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΠΎΡ‚ΠΎΡ€Π²Π°Π»ΠΈ ΠΊΠ°Ρ€Π°Π½Π΄Π°Ρˆ ΠΎΡ‚ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³ΠΈ, ΠΈ каТдая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ рисунка Π±Ρ‹Π»Π° Π±Ρ‹ связана со всСми ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ частями, ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅, Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½ΠΎΠΉ с ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠΊ ΠΊΠ°Ρ€Π°Π½Π΄Π°ΡˆΠ°. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π² Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ с рисунком Π²Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠ°Ρ€Π°Π½Π΄Π°Ρˆ ΠΎΡ‚ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³ΠΈ, ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠ½ΠΈΡ‚ΠΎΡ€ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ось Z. Π’Π°ΠΊ ΠΌΠΎΠ½ΠΈΡ‚ΠΎΡ€ Β«ΠΎΡ‚Ρ€Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°Ρ€Π°Π½Π΄Π°ΡˆΒ» ΠΎΡ‚ повСрхности экрана.

ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ эффСкт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠ½ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π½Π° ΠΌΠΎΠΉ взгляд, довольно Π²ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ, ΠΈ, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ ΠΆΠ΅, Π½Π΅Ρ‚ мСста для ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ Π² ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, смотритС Π»ΠΈ Π²Ρ‹ Π½Π° растровоС ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

3. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π² 2-ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ пространствС

Π”ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ ΠΌΡ‹ рассматривали Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΠΌ эту ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡŽ Π΄ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² 2-Ρ… измСрСниях. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ x-y для рисования Π΄Π²ΡƒΡ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ V , ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, прСдставляСт собой Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, нарисованный Π½Π° плоскости x y .

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ V дСйствуСт ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… направлСниях (Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…). ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ x (Β«6Β» Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† справа) ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ y (Β«3Β» Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…).

ΠšΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Будя ΠΏΠΎ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, x -ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° V Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Β«6Β» Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°ΠΌ.

ΠšΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ y Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° V Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Β«3Β» Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°ΠΌ.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ эти ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΡ… индСксов ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Π’ x = 6 ΡˆΡ‚.

V y = 3 ΡˆΡ‚.

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° — это просто Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° V Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.2) `

`= sqrt (45)`

`= 6,71 \» Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† «`

НаправлСниС Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

Для описания направлСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ градусы (ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹) ΠΎΡ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки.

ΠœΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ». Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π½Π°ΠΌ извСстны значСния Π½Π°ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² (Β«3Β» Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹) ΠΈ смСТных (Β«6Β» Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†) для Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΌ ΡƒΠ³Π»Π° ( ΞΈ ).

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

`Π·Π°Π³Π°Ρ€ Ρ‚Π΅Ρ‚Π° = 3/6 = 0,5`

Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚:

ΞΈ

= арктангСнс 0,5

= 26,6 Β°

(= 0,464 Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°)

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, наш Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ 6,71 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 26,6 Β° Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси.

MathScene — Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ — Π£Ρ€ΠΎΠΊ 2

MathScene — Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ — Π£Ρ€ΠΎΠΊ 2

2008 Расмус Π­Ρ…Ρ„ ΠΈ Π”ΠΆΠ°Π½Π½ Π‘Π°ΠΊ

Π£Ρ€ΠΎΠΊ 2

ΠšΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°


Когда Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ сумма Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ‡Ρ‚ΠΎ + =

ΠΌΡ‹ говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ»ΠΈ (Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ»ΠΈ) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅.

ΠœΡ‹ часто Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ эти ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ рассматриваСм силы.
Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ Π΄Π²ΡƒΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅. Нам Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ , Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ .

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ Π² Ρ‚ΠΎΡ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΡƒΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° .

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ 2 ΠΈ 1.
Π›ΡŽΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ Π½Π΅ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ ΠΈ Π² качСствС ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ 0 (Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ 0 Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ). ΠœΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ это, найдя числа t ΠΈ r Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅:

= Π³ + Ρ‚

ΠœΡ‹ сдСлайтС это, вычислив значСния для r ΠΈ t, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1:

Π Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π² Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ Π½Π° ΠΈΡ… Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅.
ΠœΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ 1 (ΠΎΠ΄Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° Π² систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚), ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π­Ρ‚ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ( Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси x) Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ( ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси y ).

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ .

Из Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ + 2.

ΠœΡ‹ просто считаСм ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ 4 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈ являСтся 8 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈ 4 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ….

= 4 og = 8 + 4.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2:

Π‘ΠΈΠ»Π° 100 Н дСйствуСт ΠΏΠΎΠ΄ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ 25 ΠΊ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ.Найди Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ силы.

Π”ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ.

Π£ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ || ΠΈ ||

cos 25 = смСТная сторона / Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° = || / 200

|| Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 200cos 25 β‰ˆ 181.3 Н

Π“Ρ€Π΅Ρ… 25 = противополоТная сторона / Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° = || / 200

|| = 200sin 25 β‰ˆ 84,5 Н

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 200. Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ называСтся ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ оси абсцисс.

Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ называСтся ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ оси ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ это Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ линию ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° выглядит ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π½Π° ось абсцисс = || cos v

ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ Π½Π° ось Y Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ || Π³Ρ€Π΅Ρ… v


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3:

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ синуса

И ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π΅Ρ…Ρƒ 30.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ t || Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

ΠœΡ‹ вычислили Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ сторон Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ числа r ΠΈ t. НачнСм с поиска r.

Π³ || β‰ˆ 2,611

r3 β‰ˆ 2,611

Π³ β‰ˆ 2,611 / 3 β‰ˆ 0,87

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚.

Ρ‚ || β‰ˆ 1.786

t5 β‰ˆ 1,786

Ρ‚ β‰ˆ 1,786 / 5 β‰ˆ 0,36

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ дюйм ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ:

β‰ˆ 0,87 + 0,36

Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ (ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3) ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ синуса для Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Π²ΡƒΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ.ВсС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, это Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ повторяСтся Π² ΠΊΠ°Π΄Ρ€Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Когда Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° Π΄Π²Π΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΌΡ‹ сначала рисуСм Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ синуса.

Π Π°Π·Π±ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° части Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅ΠΌ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 1 ΠΌΡ‹ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ .

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 1. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚:

= 4 + 3

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (2, 2) Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (6, 5), Π½Π°ΠΌ потрСбуСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ (4) ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… (3).Π­Ρ‚ΠΎ сразу ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ось абсцисс Ρ€Π°Π²Π½Π° 4 ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ось Y 3. Π­Ρ‚ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ Π² систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ это, найдя Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ.

6-2 = 4 ΠΈ 5-2 = 3

Как Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π² любом мСстС систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ — Π²ΠΎΡ‚ всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.Благодаря этому ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Π² ​​началС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, конСчная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° (4, 3).

Π’ этом случаС говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹

.

Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ (4, 3).

ИспользованиС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ Π² любом мСстС систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ (4, 3) просто ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ 4 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°ΠΌ ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ ΠΈ 3 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°ΠΌ. Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° с записью Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² качСствС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. Π₯отя Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ тСксты Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π² этом тСкстС ΠΌΡ‹ напишСм Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΊΠ°ΠΊ:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ:

ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° = ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4:

Π°) НайдитС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ .

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ A ΠΊ B, ΠΌΡ‹ просто ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ, Π½ΠΈ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ·. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° x Ρ€Π°Π²Π½Π° 2, Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° y — 0.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для вычислСния этого, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ.ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° (B) Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° (A).

Π£ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ A = (1, 1) ΠΈ B = (1, 3), Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ


Π±) Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ .

A = (1, 1) ΠΈ F = (4, 3), поэтому


Π²) КакиС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ + ? Если ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ вмСстС, (помСстив Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† ) ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π΅ΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ G ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° Π½Π° 5 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† ΠΊ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈ 2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ….Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ это, ΠΌΡ‹ складываСм ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ x вмСстС ΠΈ слоТитС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ y ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅:


Π³) Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ — . Если ΠΌΡ‹ обратимся ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Ρ‹ΠΉ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ — Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ это ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π° 1 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ΠΈ Π½Π° 2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π½ΠΈΠ·. Рассчитывая ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:


Π΄) НаконСц, ΠΌΡ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ + 2.Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ это, вСдя нас ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ М. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π½Π° 8 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈ Π½Π° 4 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…. РасчСт выглядит ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:


ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ приводят нас ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ слоТСния, вычитания ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° константу, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹.

Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ общая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°:

ΠΈ

Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ:

Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅:

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅:

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° k:


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5:

Зная ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΠΉ. Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 3 Π±Π΅Π· использования Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ , Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹

Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅

(Π‘ΠΌ. Π”ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡƒ).

НайдитС ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊ Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ .
Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

= Ρ€ + Ρ‚

Нам Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ числа r ΠΈ t.

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π΄Π²ΡƒΠΌ уравнСниям с двумя нСизвСстными Ρ€ Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‚.

Π’ x-ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3r + 3Ρ‚ = 3 ΠΈΠ»ΠΈ r + Ρ‚ = 1
Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ y Π΄Π°ΡŽΡ‚ 2r + 6Ρ‚ = 4 ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€ + 3Ρ‚ = 2

РСшая эти уравнСния, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, вычитая ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ x ΠΈΠ· y ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚:

Π³ + 3Ρ‚ = 2

Π³ — Ρ‚ = -1

2Ρ‚ = 1

Ρ‚ = og r =

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ —

.

= + ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ Π½Π° схСмС.


ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Ρƒ 2 ΠΏΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ.
НС Π·Π°Π±ΡƒΠ΄ΡŒΡ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ список, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚ΡΠ»Π΅ΠΆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ свою Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ.

2.4: БистСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ 1)

Π¦Π΅Π»ΠΈ обучСния

  • ΠžΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… измСрСниях с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ², ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ вдоль осСй.
  • Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ скалярныС ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.
  • ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° опрСдСляСтся Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.
  • ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» направлСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° плоскости.
  • ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅ связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ полярными ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΈ Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π½Π° плоскости.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π² систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Π”Π°ΠΆΠ΅ Π² повсСднСвной ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ ΠΌΡ‹ СстСствСнно обращаСмся ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.НапримСр, Ссли Π²Ρ‹ спроситС ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ…Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ мСсту, Π²Π°ΠΌ, скорСС всСго, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ ΠΏΠΎΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π° 40 ΠΊΠΌ Π½Π° восток ΠΈ 30 ΠΊΠΌ Π½Π° сСвСр, Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π° 50 ΠΊΠΌ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ 37 Β° ΠΊ сСвСру ΠΎΡ‚ востока.

Π’ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ (Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ) систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ xy Π½Π° плоскости Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° плоскости описываСтся ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (x, y). Аналогичным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \ (\ vec {A} \) Π½Π° плоскости описываСтся ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΠΉ своих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° x Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \ (\ vec {A} \) называСтся Π΅Π³ΠΎ x-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠΉ, Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° y Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \ (\ vec {A} \) называСтся Π΅Π³ΠΎ y-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠΉ.X-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° — это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ \ (\ vec {A} _ {x} \). Y-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° — это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ \ (\ vec {A} _ {y} \). Π’ Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° x ΠΈ y Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ проСкциями этого Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° оси \ (x \) ΠΈ \ (y \), соотвСтствСнно. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, слСдуя ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° для слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π° Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ плоскости ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ ΠΊΠ°ΠΊ вСкторная сумма Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ²:

\ [\ vec {A} = \ vec {A} _ {x} + \ vec {A} _ {y} \ ldotp \ label {2.10} \]

Как ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС \ (\ PageIndex {1} \), Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \ (\ vec {A} \) — это диагональ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ x \ (\ vec {A} _ {x} \) Ρ€Π°Π²Π΅Π½ сторона, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ оси x, ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° y \ (\ vec {A} _ {y} \) — сторона, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ оси y. ΠšΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \ (\ vec {A} _ {x} \) ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \ (\ vec {A} _ {y} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \ (\ vec {A} \) Π½Π° плоскости Π² Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ систСмС ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ — это вСкторная сумма Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… x- ΠΈ y-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚. ΠšΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° x \ (\ vec {A} _ {x} \) — это ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \ (\ vec {A} \) Π½Π° ось x.ΠšΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° y \ (\ vec {A} _ {y} \) — это ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \ (\ vec {A} \) Π½Π° ось y. Числа A x ΠΈ A y , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ скалярными ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° оси x обозначаСтся Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ \ (\ hat {i} \), Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° оси y — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ \ (\ hat {j} \). Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ осСй \ (\ hat {i} \) ΠΈ \ (\ hat {j} \) ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ Π΄Π²Π° ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… направлСния Π² плоскости.Как ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС \ (\ PageIndex {1} \), ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ x ΠΈ y Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ записаны Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² осСй:

\ [\ begin {cases} \ vec {A} _ {x} = A_ {x} \ hat {i} \\ \ vec {A} _ {y} = A_ {y} \ hat {j} \ end {case} \ label {2.11} \]

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ \ (\ vec {A} _ {x} \) ΠΈ \ (\ vec {A} _ {y} \), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 2.11, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \ (\ vec {A} \). Числа A x ΠΈ A y , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ \ ref {2.11}, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ скалярными ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \ (\ vec {A} \).ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΡƒΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \ ref {2.10} с ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ \ ref {2.11}, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° :

\ [\ vec {A} = A_ {x} \ hat {i} + A_ {y} \ hat {j} \ ldotp \ label {2.12} \]

Если Π½Π°ΠΌ извСстны ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ \ (b (x_b, y_b) \) Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (Π³Π΄Π΅ b ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΒ») ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ e (x e , y e ) ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (Π³Π΄Π΅ e ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†Β»), ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ скалярныС ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, просто вычитая ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ исходной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ:

\ [\ begin {cases} A_ {x} = x_ {e} — x_ {b} \\ A_ {y} = y_ {e} — y_ {b} \ ldotp \ end {cases} \ label {2.13} \]

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ \ (\ PageIndex {1} \): смСщСниС указатСля ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ

Π£ΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ Π½Π° ΠΌΠΎΠ½ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π° Π² исходном ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ находится Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (6,0 см, 1,6 см) ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ Π»Π΅Π²ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΠ³Π»Ρƒ. Если Π²Ρ‹ пСрСмСститС ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΎΠΊ, располоТСнный Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (2,0 см, 4,5 см), ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ смСщСния указатСля?

БтратСгия

Начало систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ xy — Π»Π΅Π²Ρ‹ΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠΎΠ½ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π°.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \ (\ hat {i} \) Π½Π° оси x ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ, Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \ (\ hat {j} \) Π½Π° оси y ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…. Начало Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° смСщСния находится Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ b (6.0, 1.6), Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° смСщСния располоТСн Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ e (2.0, 4.5). ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \ ref {2.13}, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ скалярныС ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ D x ΠΈ D y Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° смСщСния \ (\ vec {D} \). НаконСц, ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \ ref {2.12}, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ смСщСния Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

РСшСниС

ΠœΡ‹ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ x b = 6,0, x e = 2,0, y b = 1,6 ΠΈ y e = 4,5, Π³Π΄Π΅ физичСская Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° измСрСния — 1 см. БкалярныС x- ΠΈ y-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° смСщСния Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹

\ [D_ {x} = x_ {e} — x_ {b} = (2.0 — 6.0) \; см = -4,0 \; см, \]

\ [D_ {y} = y_ {e} — y_ {b} = (4.5 — 1.6) \; см = + 2,9 \; см \ ldotp \]

ΠšΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° смСщСния Ρ€Π°Π²Π½Π°

.

\ [\ vec {D} = D_ {x} \; \ hat {i} + D_ {y} \; \ hat {j} = (-4.0 \; см)\; \ hat {i} + (2,9 \; см) \; \ hat {j} = (-4,0 \; \ hat {i} + 2,9 \; \ hat {j}) \; см \ ldotp \ label {2.14} \]

Π­Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС \ (\ PageIndex {2} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° смСщСния. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² \ (b \) Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² \ (e \).

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ физичСская Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° — здСсь 1 см — ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½Π° Π»ΠΈΠ±ΠΎ с ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ нСпосрСдствСнно ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ глобально для ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ², ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ \ ref {2.14}. Часто Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ способ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅.

ΠšΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° x Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \ (\ vec {D} _ {x} \) = βˆ’4.0 \ (\ hat {i} \) = 4.0 (\ (- \ hat {i} \)) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° смСщСния ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° | \ (\ vec {D} _ {x} \) | = | — 4.0 || \ (\ hat {i} \) | = 4.0, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° | \ (\ hat {i} \) | = 1. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ x-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ \ (- \ hat {i} \), Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π°Π½Ρ‚ΠΈΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ оси + x; ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ x-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ \ (\ vec {D} _ {x} \) ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°Π»Π΅Π²ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС \ (\ PageIndex {2} \).Бкалярная x-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \ (\ vec {D} \) Ρ€Π°Π²Π½Π° D x = βˆ’4,0. Аналогично, y-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \ (\ vec {D} _ {y} \) = \ (+ 2.9 \ hat {j} \) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° смСщСния ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ | \ (\ vec {D} _ {y} \) | = | 2.9 || \ (\ hat {j} \) | = 2,9, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° | \ (\ hat {j} \) | = 1. НаправлСниС y-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ \ (+ \ hat {j} \), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ оси + y. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ y-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ \ (\ vec {D} _ {y} \) ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС \ (\ PageIndex {2} \). Бкалярная y-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \ (\ vec {D} \) Ρ€Π°Π²Π½Π° D y = + 2.9. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ смСщСния \ (\ vec {D} \) являСтся Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π΄Π²ΡƒΡ… Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° смСщСния Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \ ref {2.14} Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ Π±Ρ‹Π» ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ Π½Π° ΠΌΠΎΠ½ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Π΅ Π½Π° 4,0 см Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ΠΈ 2,9 см Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΎΡ‚ своСго исходного полоТСния.

Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2.4

Биняя ΠΌΡƒΡ…Π° призСмляСтся Π½Π° ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³Ρƒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, располоТСнной Π½Π° 10,0 см ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΅ Π΅Π΅ Π»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ края ΠΈ Π½Π° 8,0 см Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π΅Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ края, ΠΈ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, располоТСнной Π½Π° 5.0 см ΠΎΡ‚ Π»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ края ΠΈ 5,0 см ΠΎΡ‚ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅Π³ΠΎ края. Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ систСму ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌ ΡƒΠ³Π»Ρƒ листа ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ смСщСния ΠΌΡƒΡ…ΠΈ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ своС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ.

Когда ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ скалярныС ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ A x ΠΈ A y Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \ (\ vec {A} \), ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ A ΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» направлСния \ (\ theta_ {A} \). Π£Π³ΠΎΠ» направлСния — ΠΈΠ»ΠΈ, для краткости, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ — это ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° оси x.{-1} \ left (\ dfrac {A_ {y}} {A_ {x}} \ right) \ ldotp \ label {2.16} \]

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° \ (\ vec {A} \) Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° A ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» направлСния \ (\ theta_ {A} \) связаны с Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Π΅Π³ΠΎ скалярных ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ², ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ A , A x ΠΈ A y ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.

Когда Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅, Π³Π΄Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ A x ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅Π½ (рисунок \ (\ PageIndex {4} \)), ΡƒΠ³ΠΎΠ» \ (\ theta \) Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ \ ref { 2.16}) совпадаСт с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡƒΠ³Π»Π° \ (\ theta_ {A} \).Для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» \ (\ theta \) ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΡƒΠ³ΠΎΠ» направлСния \ (\ theta_ {A} \) измСряСтся ΠΏΠΎ часовой стрСлкС ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси x. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» \ (\ theta \) ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Когда Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅, Π³Π΄Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ A x ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅Π½, ΡƒΠ³ΠΎΠ» направлСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ \ (\ theta_ {A} \) = \ (\ theta \) + 180 Β° (Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): БкалярныС ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ.Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ (I) ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Π΅ скалярныС ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Π΅ скалярныС ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅. Для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Π½Ρ‚Π°Ρ… II ΠΈ III ΡƒΠ³ΠΎΠ» направлСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ \ (\ theta_ {A} \) = \ (\ theta \) + 180 Β°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ \ (\ PageIndex {2} \): Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° смСщСния

Π’Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ Π½Π° ΠΌΠΎΠ½ΠΈΡ‚ΠΎΡ€Π΅ ΠΈΠ· Π΅Π³ΠΎ исходного полоТСния Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (6,0 см, 1,6 см) ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΊΡƒ, располоТСнному Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (2,0 см, 4,5 см). Какова Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° смСщСния указатСля?

БтратСгия

Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ \ (\ PageIndex {1} \) ΠΌΡ‹ нашли Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ смСщСния \ (\ vec {D} \) указатСля ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ (см. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \ ref {2.{o} \ ldotp \]

Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2.5

Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ смСщСния синСй ΠΌΡƒΡ…ΠΈ, ΠΈΠ΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ ΠΏΠΎ листу ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³ΠΈ, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ \ (\ vec {D} = (βˆ’5.00 \; \ hat {i} — 3.00 \; \ hat {j}) \) см, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Π’ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… прилоТСниях Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ направлСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ извСстны, ΠΈ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². НапримСр, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ 400 Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»Π΅ΠΉ, двиТущихся ΠΏΠΎ мосту Π—ΠΎΠ»ΠΎΡ‚Ρ‹Π΅ Π’ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° Π² Π‘Π°Π½-Ѐранциско ΠΏΠΎΠ΄ ΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ. КаТдая машина Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ мост Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… направлСниях, ΠΈ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, насколько ΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‡ΠΎΠΊ.Π£ нас ΡƒΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ гСомСтричСского построСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… сумм, поэтому ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° нахоТдСния Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ рисования Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ измСрСния ΠΈΡ… Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ довольно быстро ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ ΠΊ ΠΎΠ³Ρ€ΠΎΠΌΠ½Ρ‹ΠΌ ошибкам. ΠŸΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ опасСния Π½Π΅ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ аналитичСскиС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹. Π‘Π°ΠΌΡ‹ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ шаг Π² аналитичСском ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ — Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° извСстны Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

ВСрнСмся ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΌΡƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ Π½Π° рисункС \ (\ PageIndex {3} \).ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ смСТной стороны A x ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅ A являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ косинуса ΡƒΠ³Π»Π° направлСния \ (\ theta_ {A} \), A x / A = cos \ (\ theta_ {A} \) ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ стороны A y ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅ A являСтся ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ \ (\ theta_ {A} \), A y / A = sin \ (\ theta_ {A} \). Когда Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° A ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ \ (\ theta_ {A} \) извСстны, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ эти ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для скалярных ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ²:

\ [\ begin {cases} A_ {x} = A \ cos \ theta_ {A} \\ A_ {y} = A \ sin \ theta_ {A} \ ldotp \ end {cases} \ label {2.17} \]

ΠŸΡ€ΠΈ вычислСнии ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ уравнСния \ ref {2.17} слСдуСт ΡΠΎΠ±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ. ΠΠ°ΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» \ (\ theta \) A Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° — это ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ направлСния ΠΏΠΎ оси x ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ. Π˜Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ часовой стрСлкС Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ».

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ \ (\ PageIndex {3} \): ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² смСщСния

Π“Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° спасСния ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠ°Π²ΡˆΠ΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Π΅Π½ΠΊΠ° слСдуСт Π·Π° поисковой собакой ΠΏΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈ ДСсантник. Π‘ΠΎΠ»Π΄Π°Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π±Π»ΡƒΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ±Π½ΡŽΡ…ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ путями.Π‘ΠΎΠ»Π΄Π°Ρ‚ Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ² Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ€Π΅Π±Π΅Π½ΠΊΠ°, ΠΈ Ρƒ истории счастливый ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ пСрСмСщСния Π½Π° Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Π½ΠΎΠ³Π°Ρ… каТутся Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. На ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΎΠ³ ΠΎΠ½ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ 200,0 ΠΌ Π½Π° юго-восток, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π±Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° сСвСр ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Π½Π° 300,0 ΠΌ. На Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ Π½ΠΎΠ³Π΅ ΠΎΠ½ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ исслСдуСт Π·Π°ΠΏΠ°Ρ…ΠΈ Π½Π° 50,0 ΠΌ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ 30 Β° ΠΊ Π·Π°ΠΏΠ°Π΄Ρƒ ΠΎΡ‚ сСвСра. На Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌ этапС Trooper ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ прямо Π½Π° юг Π½Π° 80,0 ΠΌ, ΡƒΠ»Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ свСТий Π·Π°ΠΏΠ°Ρ… ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° 23 Β° ΠΊ Π·Π°ΠΏΠ°Π΄Ρƒ ΠΎΡ‚ юга Π½Π° 150,0 ΠΌ. НайдитС скалярныС ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² смСщСния солдата ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ смСщСния Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π½ΠΎΠ³ΠΈ.

БтратСгия

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ возьмСм ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ систСму ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ осью X Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ гСографичСского востока ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Y Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ гСографичСского сСвСра. Π―Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \ (\ hat {i} \) оси x ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° восток, Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ \ (\ hat {j} \) оси y ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° сСвСр. ДСсантник ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ³, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² смСщСния. ΠœΡ‹ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ с опрСдСлСния ΠΈΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² направлСния, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \ ref {2.17}, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ скалярныС ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ смСщСний, ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ \ ref {2.12} для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² смСщСний.

РСшСниС

На ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° смСщСния L 1 = 200,0 ΠΌ, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ — юго-восток. Π’ качСствС ΡƒΠ³Π»Π° направлСния \ (\ theta_ {1} \) ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ±ΠΎ 45 Β°, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎ часовой стрСлкС с восточного направлСния, Π»ΠΈΠ±ΠΎ 45 Β° + 270 Β°, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки с восточного направлСния. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π΅ \ (\ theta_ {1} \) = -45 Β°. ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π΅ \ (\ theta_ {1} \) = + 315 Β°.{o} = -138,1 \; ΠΌ, \]

\ [\ vec {L} _ {5} = L_ {5x} \; \ hat {i} + L_ {5y} \; \ hat {j} = (-58,6 \; \ hat {i} — 138,1 \; \ hat {j}) \; ΠΌ \ ldotp \]

Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2.6

Если ДСсантник Π±Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° 20 ΠΌ Π½Π° Π·Π°ΠΏΠ°Π΄, ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚Π΄ΠΎΡ…Π½ΡƒΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ² Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ пСрСмСщСния?

Авторы ΠΈ авторство

  • Бэмюэл Π”ΠΆ. Π›ΠΈΠ½Π³ (ГосударствСнный унивСрситСт Врумэна), Π”ΠΆΠ΅Ρ„Ρ„ Π‘Π°Π½Π½ΠΈ (УнивСрситСт Π›ΠΎΠΉΠΎΠ»Π° ΠœΡΡ€ΠΈΠΌΠ°ΡƒΠ½Ρ‚) ΠΈ Π‘ΠΈΠ»Π» Мобс со ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠΌΠΈ Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. Π­Ρ‚Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° Π»ΠΈΡ†Π΅Π½Π·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π° OpenStax University Physics Π² соотвСтствии с Π»ΠΈΡ†Π΅Π½Π·ΠΈΠ΅ΠΉ Creative Commons Attribution License (by 4.0).

.

alexxlab

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *