1. Вывод формул для моментов инерции простейших фигур (прямоугольник, треугольник, круг)
Прямоугольное сечение.
Прямоугольное сечение имеет две оси симметрии, а главные центральные оси Сx и Cy проходят через середины параллельных сторон.
Главный центральный момент инерции относительно оси x
Элементарную площадку dA в этом случае можно представить в виде полоски во всю ширину сечения и толщиной dy, значит dA=b*dy. Подставим под знак интеграла значение dA и проинтегрировав по всей площади, т.е. в пределах изменения ординаты y от –h/2 до +h/2, получим
Окончательно
Аналогично получим формулу главного центрального момента инерции прямоугольника относительно оси y:
Круглое сечение
Для круга главные центральные моменты инерции относительно осей x и y равны между собой.
Поэтому из равенства
Треугольник
2.
Изменение моментов инерции при переходе от центральных осей к параллельным:Jy1=Jy + b2А;
момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями. Jy1x1=Jyx + abF; («a» и «b» подставляют в формулу с учетом их знака).
3.Изменение моментов инерции при повороте осей
Jx1=Jxcos2 + Jysin2 — Jxysin2; Jy1=Jycos2 + Jxsin2 + Jxysin2;
J
Угол
>0,
если переход от старой системы координат
к новой происходит против час.
стр. Jy1 + Jx1=
Jy + Jx
Экстремальные (максимальное и минимальное) значения моментов инерции называются главными моментами инерции. Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции. Главные оси инерции взаимно перпендикулярны. Центробежные моменты инерции относительно главных осей = 0, т.е. главные оси инерции — оси, относительно которых центробежный момент инерции = 0. Если одна из осей совпадает или обе совпадают с осью симметрии, то они главные. Угол, определяющий положение главных осей: , если
0>0 оси поворачиваются против час.стр. Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из осей, относительно которой момент инерции имеет большее значение. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями инерции. Моменты инерции относительно этих осей:
Jmax + Jmin=
Jx + Jy.
Jx1=Jmaxcos2 + Jminsin2; Jy1=Jmaxcos2 + Jminsin2; Jx1y1=(Jmax — Jmin)sin2;
4.Классификация элементов конструкций
Стержнем наз. Геом тела у которых один из размеров много больше других.
Пластины или оболочки – это геом тела у которых один из размеров << других
Массивные тела— все размеры одного порядка
5.Основные допущения о свойствах материала
Однородные – в люб. точке материалы имеют одинак. физико-химич. св-ва;
Сплошная среда – кристаллич. строение и микроскопич. дефекты не учитываются;
Изотропны
– механич.
св-ва не зависят от направления
нагружения;
Идеальная упругость – полностью восстанавливают форму и размеры после снятия нагрузки.
6.Типы опор
а) Шарнирно – неподвижная (двухсвязная) опора: Воспринимает как вертикальные, так и горизонтальные усилия (усилия под углом).
в) Жесткая заделка (трехсвязная)
Реакции в опорах определяют из условия равновесия (уравнение статики).
7.Классификация нагрузок
По месту действия
Поверхностные и объемные
а) сосредоточенная сила
б) распределенная сила
прямоугольная Rq= qa
треугольная Rq= ½ qa
в) сосредоточенный момент
изгибающий
скручивающий
г) распределенный момент
Rmz= mz a –равнодейств распр мом
По времени действия
Постоянные и временные
По характеру действия
Статические и динамические
По характеру возникновения
Активная(известны) и реактивная (неизвестны)
8.
Основные
принципы изучаемого курса
При расчете сложного сопротивления используется принцип независимости действия сил. Сложный вид нагружения представляется как система простых видов нагружения действующих независимо друг от друга. Решение при сложном сопротивлении получается в результате сложения решений полученных при простых видах нагружения.
принцип Сен-Венана
на достаточном удалении от места приложения нагрузки характер её воздействия не зависит от способа её приложения, а зависит от величины равнодействующей.
9.Внутренние усилия. Метод сечений (Метод РОЗУ)
Nz=∑z (pi) нормальная с
Qx=∑x (pi) поперечная с
Qy=∑y (pi)
Mz=∑mz (pi) крутящий момент
Mx=∑mx (pi) изгибающий
My=∑my (pi)
Разрезаем мысл тело плоск
Отбрасываем одну из г внутр усил
Заменяем внутр усилиями
Уравновешив внутр ус внеш нагр
10.
Правило знаков поперечных сил при изгибе:
Крутящий момент
Против ЧС при взгляде со стороны сеч то +
Правило знаков изгибающих моментов:
Правило проверки правильности построения эпюр нагружения:
В сечениях балки, где приложены внешние сосредоточенные нагрузки на эпюре д.б. скачёк на величину этой нагрузки.
11.Эпюры
внутренних усилий
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ
ПРИ КРУЧЕНИИ
при прямом изгибе
12.Дифференциальные зависимости при изгибе
; ;
13.Следствия из дифференциальных зависимостей
Если на участке нет распр нагр (q=0) то поперечная сила на этом участке имеет пост вел.
, а эпюры изгиб мом
меняются по лин законуНа уч на котором присутст распр нагр пост интенсивн. Поперечная сила меняется по лин зак , а эпюры по закону квадр параболы. Причем эпюра мх всегда напр навстречу распр нагрузке. Где Qy равно 0 эпюра мх имеет экстремум. Если Qy равно 0 на всем участке, то мх постоян величину
, а эпюры изгиб мом
меняются по лин закону4. На участке где Qy>0 эпюра мх возрастает слева направо
5. В том сеч. где приложена сосред сила эпюра Qy имеет скачок на вел этой силы. В сеч где сосред момент эпюра мх имеет скачок на величену этого момента
Вывод формулы момента инерции кольца : Чулан (Ф)
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
| Nikolay_90 |
| ||
17/12/07 |
| ||
| |||
12.2007, 23:52 | photon |
| |||||||||
23/12/05 |
| |||||||||
| ||||||||||
12.2007, 00:33 | Eiktyrnir |
| ||
30/11/07 |
| ||
| |||
12.2007, 20:53 
Теперь запишем элементарный момент инерции этого кусочка — Успешно интегрируем и получаем и поскольку и аналогично , а еще и то и получается восьмерочка, т.е. как на формуле| peregoudov |
| ||
10/03/07 |
| ||
| |||
12.2007, 23:35 
Воспользовавшись аддитивностью массы и момента инерции, можно записать | Eiktyrnir |
| ||
30/11/07 |
| ||
| |||
| Zai |
| |||
11/04/07 |
| |||
| ||||
| Eiktyrnir |
| ||
30/11/07 |
| ||
| |||
| peregoudov |
| ||
10/03/07 |
| ||
| |||
| Zai |
| |||
11/04/07 |
| |||
| ||||
12.2007, 19:29 | Eiktyrnir |
| ||
30/11/07 |
| ||
| |||
12.2007, 16:22 
| peregoudov |
| ||
10/03/07 |
| ||
| |||
| Eiktyrnir |
| ||
30/11/07 |
| ||
| |||
| Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
| Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 12 ] |
Модераторы: Pphantom, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, photon, whiterussian, profrotter, Супермодераторы
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
| Найти: |
Подборка по базе: Математика 500 формула(2) (1).pdf, Вас ждет денежное возмещение 352 964 рубл.! [Заказывайте вывод!], Математикадан 500 формула-1.pdf, История возникновения формулы производной начинается ещё в 15 ве, Практикум по теме. Формулы приведения (1).docx, основные формулы гидрологии.docx, Таблица_ПУСТАЯ_для составления формул.doc, Функции по формуле 7 кл.docx, Жалпы қан талдауы лейкоцитарлы формула.docx, 7классс формула.docx 1. Вывод формул для моментов инерции простейших фигур (прямоугольник, треугольник, круг) Прямоугольное сечение. Прямоугольное сечение имеет две оси симметрии, а главные центральные оси Сx и Cy проходят через середины параллельных сторон. Главный центральный момент инерции относительно оси x Элементарную площадку dA в этом случае можно представить в виде полоски во всю ширину сечения и толщиной dy, значит dA=b*dy. Окончательно Аналогично получим формулу главного центрального момента инерции прямоугольника относительно оси y:
Для круга главные центральные моменты инерции относительно осей x и y равны между собой. Поэтому из равенства Треугольник 2.Изменение моментов инерции при переходе от центральных осей к параллельным: Jx1=Jx + a2А; Jy1=Jy + b2А; Jx1=Jxcos2 + Jysin2 — Jxysin2; Jy1=Jycos2 + Jxsin2 + Jxysin2; Jx1y1=(Jx — Jy)sin2 + Jxycos2 ; Угол >0, если переход от старой системы координат к новой происходит против час.стр. Jy1 + Jx1= Jy + Jx Экстремальные (максимальное и минимальное) значения моментов инерции называются главными моментами инерции. Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции. Главные оси инерции взаимно перпендикулярны. Центробежные моменты инерции относительно главных осей = 0, т.е. главные оси инерции — оси, относительно которых центробежный момент инерции = 0. Если одна из осей совпадает или обе совпадают с осью симметрии, то они главные. 0>0 оси поворачиваются против час.стр. Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из осей, относительно которой момент инерции имеет большее значение. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями инерции. Моменты инерции относительно этих осей: Jmax + Jmin= Jx + Jy. Центробежный момент инерции относительно главных центральных осей инерции равен 0. Если известны главные моменты инерции, то формулы перехода к повернутым осям: Jx1=Jmaxcos2 + Jminsin2; Jy1=Jmaxcos2 + Jminsin2; Jx1y1=(Jmax — Jmin)sin2; 4.Классификация элементов конструкций Стержнем наз. Геом тела у которых один из размеров много больше других. Пластины или оболочки – это геом тела у которых один из размеров Массивные тела— все размеры одного порядка 5.Основные допущения о свойствах материала Однородные – в люб. точке материалы имеют одинак. физико-химич. св-ва; Сплошная среда – кристаллич. строение и микроскопич. дефекты не учитываются; Изотропны – механич. св-ва не зависят от направления нагружения; Идеальная упругость – полностью восстанавливают форму и размеры после снятия нагрузки. 6.Типы опор а) Шарнирно – неподвижная (двухсвязная) опора: Воспринимает как вертикальные, так и горизонтальные усилия (усилия под углом). б) Шарнирно – подвижная опора – воспринимает только вертикальные нагрузки. Реакция опоры всегда направлена вдоль опорного стержня, перпендикулярно опорной поверхности в) Жесткая заделка (трехсвязная) Реакции в опорах определяют из условия равновесия (уравнение статики). 7.
Поверхностные и объемные а) сосредоточенная сила б) распределенная сила прямоугольная Rq= qa треугольная Rq= ½ qa в) сосредоточенный момент изгибающий скручивающий г) распределенный момент Rmz= mz a –равнодейств распр мом
Постоянные и временные
Статические и динамические
Активная(известны) и реактивная (неизвестны) 8.Основные принципы изучаемого курса При расчете сложного сопротивления используется принцип независимости действия сил. Сложный вид нагружения представляется как система простых видов нагружения действующих независимо друг от друга. Решение при сложном сопротивлении получается в результате сложения решений полученных при простых видах нагружения. принцип Сен-Венана на достаточном удалении от места приложения нагрузки характер её воздействия не зависит от способа её приложения, а зависит от величины равнодействующей. 9.Внутренние усилия. Метод сечений (Метод РОЗУ) Nz=∑z (pi) нормальная с Qx=∑x (pi) поперечная с Qy=∑y (pi) Mz=∑mz (pi) крутящий момент Mx=∑mx (pi) изгибающий My=∑my (pi) Разрезаем мысл тело плоск Отбрасываем одну из г внутр усил Заменяем внутр усилиями Уравновешив внутр ус внеш нагр 10.Правило знаков внутренних усилий Правило знаков поперечных сил при изгибе: Крутящий момент Против ЧС при взгляде со стороны сеч то + Правило знаков изгибающих моментов: Правило проверки правильности построения эпюр нагружения: В сечениях балки, где приложены внешние сосредоточенные нагрузки на эпюре д.б. скачёк на величину этой нагрузки. 11.Эпюры внутренних усилий ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ ПРИ КРУЧЕНИИ при прямом изгибе 12. ; ;
4. На участке где Qy>0 эпюра мх возрастает слева направо 5. В том сеч. где приложена сосред сила эпюра Qy имеет скачок на вел этой силы. В сеч где сосред момент эпюра мх имеет скачок на величену этого момента 14.Понятие о напряжениях. Нормальные и касательные напряжения Напряжение – численная мера распределения внутренних сил по плоскости поперечного сечения. Его используют при исследовании и определении внутренних сил любой конструкции. Выделим на плоскости сечения площадку A; по этой площадке будет действовать внутренняя сила R. Величина отношения R/A=pсрназывается средним напряжением на площадке A. Истинное напряжение в точке А получим устремив A к нулю: Нормальные напряжения возникают, когда частицы материала стремятся отдалиться друг от друга или, наоборот, сблизиться. Касательные напряжения связаны со сдвигом частиц по плоскости рассматриваемого сечения. Очевидно, что . Касательное напряжение в свою очередь может быть разложено по направлениям осей x и y (τzх, τzу). Размерность напряжений – Н/м2 (Па). 16.Закон парности касательных напряжений Касат. напряжение на 2-ух взаимно перпендик. площ. направлены к ребру или от ребра и равны по величине 17.Понятие о деформациях. Мера линейной, поперечной и угловой деформации Деформац – наз. взаимное перемещение точек или сечений тела по сравн с полож-ями тела которые они занимали до приложения внеш сил бывают: упругие и пластические а) линейная деформация мерой явл относительное удлинение эпсила =l1-l/l б) поперечная деф мерой явл. относительное сужение эпсила штрих=|b1-b|/b 18.Гипотеза плоских сечений Основные гипотезы (допущения): гипотеза о не надавливании продольных волокон: волокна, параллельные оси балки, испытывают деформацию растяжения – сжатия и не оказывают давления друг на друга в поперечном направлении; гипотеза плоских сечений: сечение балки, плоское до деформации, остается плоским и нормальным к искривленной оси балки после деформации.  При плоском изгибе в общем случае возникают внутренние силовые факторы: продольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент М. N>0, если продольная сила растягивающая; при М>0 волокна сверху балки сжимаются, снизу растягиваются. .Слой, в котором отсутствуют удлинения, называется нейтральным слоем (осью, линией). При N=0 и Q=0, имеем случай чистого изгиба. Нормальные напряжения: , — радиус кривизны нейтрального слоя, y — расстояние от некоторого волокна до нейтрального слоя. 19.Закон Гука (1670). Физический смысл входящих в него величин Он установил связь между напряжением, растяжением и продольной деформацией.где Е – коэффициент пропорциональности (модуль упругости материала). Модуль упругости характеризует жёсткость материала, т.е. способность сопротивляться деформациям. (чем больше Е, тем менее растяжимый материал) Потенциальная энергия деформации: Внешние силы, приложенные к упругому телу, совершают работу. 20.Три стороны задачи определения напряжений при выводе формулы опр напр необходимо расм 3 стороны задачи 1) Геометрическая(ГС) устанавливает закон распределения деформации по сеч бруса 2) Физическая (ФС) связывает деформации с напр посредством закона Гука 3) Статическая сторона (СС) связ-ет напр с ВСФ(внутр сил фактор) посредствам зависимостей 21.Простое осевое растяжение – сжатие ГС ФС СС из (*)и(**) — ф-ла для определения напряжения раст-сжатии 22.Формула для определения деформации бруса при растяжении-сжатии. Жесткость сечения бруса и физический смысл входящих в формулу величин Опр-е деформации бруса при раст-сжатии из (**) l-длина бруса ЕА-жесткая сечение бруса при растяжении-сжатии 24. 26.Кручение тонкостенных стержней открытого и закрытого профиля Характерной геометрической особенностью тонкостенных стержней является то, что их толщина существенно (на порядок и более) меньше других геометрических размеров тонкостенное кольцо закрытого профиля Характер распределения напряжений по толщине тонкостенного стержня открытого профиля близок к равномерному (рис. 4.7, б), а замкнутого профиля меняется по линейному закону, как это показано на рис. 4.7, а. Откуда следует, что напряжения в поперечных сечениях открытого профиля практически не изменятся, если профиль сечения распрямить. Иначе говоря, напряжения в криволинейном открытом профиле будут примерно такими же, как и в прямом. 27.Прямой чистый изгиб Все элементы конструкции подвергаются изгибу, они все рассчитываются на изгиб. При этом используют расчетную схему конструкции (наиболее распространенная расчетная схема для множества конструкций — балка на двух опорах). Допущения при изгибе:
Чистый изгиб – когда в поперечных сечениях балки действует только изгибающий момент (частный случай). Поперечный изгиб – когда в поперечных сечениях действует одновременно и изгибающий момент и поперечная сила (общий случай). Плоский (прямой) изгиб — когда изгибающий момент действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции сечения, т. Слой, в котором отсутствуют удлинения, называется нейтральным слоем (осью, линией). При N=0 и Q=0, имеем случай чистого изгиба. Нормальные напряжения: , — радиус кривизны нейтрального слоя, y — расстояние от некоторого волокна до нейтрального слоя. Закон Гука при изгибе: , откуда (формула Навье): , Jx — момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента, EJx — жесткость при изгибе, — кривизна нейтрального слоя. Максимальные напряжения при изгибе возникают в точках, наиболее удаленных от нейтрального слоя: , Jx/ymax=Wx—момент сопротивления сечения при изгибе, . Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии, то эпюра нормальных напряжений не будет симметричной. Нейтральная ось сечения проходит через центр тяжести сечения. Формулы для определения нормального напряжения для чистого изгиба приближенно годятся и когда Q0. Это случай поперечного изгиба. При поперечном изгибе, кроме изгибающего момента М, действует поперечная сила Q и в сечении возникают не только нормальные , но и касательные напряжения. Касательные напряжения определяются формулой Журавского: , где Sx(y) — статический момент относительно нейтральной оси той части площади, которая расположена ниже или выше слоя, отстоящего на расстоянии «y» от нейтральной оси; Jx — момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси, b(y) — ширина сечения в слое, на котором определяются касательные напряжения. Для прямоугольного сечения: , F=bh, для круглого сечения:, F=R2, для сечения любой формы , k— коэфф., зависящий от формы сечения (прямоугольник: k= 1,5; круг — k= 1,33). Mmax и Qmax определяются из эпюр изгибающих моментов и поперечных сил. Для этого балка разрезается на две части и рассматривается одна из них. Действие отброшенной части заменяется внутренними силовыми факторами М и Q, которые определяются из уравнений равновесия. В некоторых вузах момент М>0 откладывается вниз, т.е. эпюра моментов строится на растянутых волокнах. При Q= 0 имеем экстремум эпюры моментов. Дифференциальные зависимости между М,Q и q: q — интенсивность распределенной нагрузки [кН/м] Главные напряжения при поперечном изгибе: . из (*)и(**)-формула для вычисления норм напр при прямом чистом изгибе 28.Понятие плоского поперечного изгиба. Расчетная формула для определения напряжений Чистый изгиб – вид нагружения, когда в поперечном сечении балки действует только изгибающий момент. Поперечный изгиб – когда на поперечное сечение действует одновременно изгибающий момент и поперечная сила (общий случай). Пример чистого изгиба:- удельная нагрузка, приходящаяся на единицу длины конструкции. 29.Определение касательных напряжений при плоском поперечном изгибе Касательные напряжения определяются формулой Журавского: , где Qy-поперечная сила; Sx(y) — статический момент отсеченной части бруса относительно нейтральной оси той части площади, которая расположена ниже или выше слоя, отстоящего на расстоянии «y» от нейтральной оси; Jx — момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси, b(y) — ширина сечения в слое, на котором определяются касательные напряжения. 30.Распределение касательных напряжений в прямоугольном, двутавровом и швеллерном сечении а) прямоугольное сеч б) двутавровое сеч г) швеллерное сеч 31. напряжение во 2 балке больше в 2 раза 32.Механические испытания материалов. Характеристики прочности материала По диаграмме растяжения оцениваются механические характеристики материала. Деформация рассматривается для упругопластичного материала (малоуглеродистая сталь). т. В – предел упругости ; т. С – предел текучести ; т. D – временный предел прочности; т. Е – разрушение образца. — такое максимальное напряжение, при котором после снятия нагрузки материал вернётся в исходное состояние. — это такое напряжение, при котором без видимого изменения нагрузки материал течёт. Если снимем нагрузку, материал вернётся в положение . СD – зона упрочнения. Здесь удлинение образца сопровождается возрастанием нагрузки, но неизмеримо более медленным (в сотни раз), чем на упругом участке. т. D соответствует максимальному напряжению, при котором материал не разрушается. т. E – соответствует разрушению образца. tg — даёт модуль упругости. Этот метод измерения характеристик материала самый простой, широкоиспользуемый и доступный. Способность материала без разрушения получать большие остаточные деформации носит название пластичности. Свойство пластичности имеет решающее значение для таких технологических операций, как штамповка, вытяжка, волочение, гибка и др. Мерой пластичности является удлинение при разрыве. Чем больше , тем более пластичным считается материал. Свойством, противоположным пластичности, является хрупкость, т.е. способность материала разрушаться без образования заметных остаточных деформаций. Материалы, обладающие этим свойством, называются хрупкими. Диаграмма растяжения хрупких материалов не имеет площади текучести и зоны упрочнения. Под твёрдостью понимается способность материала противодействовать механическому проникновению в него посторонних тел. Наиболее широкое распространение получили методы измерения твёрдости по Бринеллю и по Роквеллу. а) Твёрдость по Бринеллю [НВ] – в поверхность исследуемой детали вдавливают стальной шарик диаметром 10 мм. б) Твёрдость по Роквеллу [HRC]– алмазный острый наконечник. В результате испытаний на твёрдость удаётся определить прочностные показатели материала, не разрушая деталь. Характеристики материалов: — Твёрдость; — Хрупкость; — Пластичность. Характеристиками пластичности материала являются относительное удлинение и относительное сужение при разрыве: где l0, F0 — длина рабочей части образца и площадь поперечного сечения до деформации; lк — длина рабочей части образца после разрыва; F0 — конечная площадь поперечного сечения в шейке образца после разрыва. 34.Предельные и допускаемые напряжения При проектировании элемента конструкции необходимо определить размеры, обеспечивающие его безопасную работу при заданных нагрузках. Отношение предельного напряжения к расчётному называется коэффициентом запаса прочности s: . При расчёте элемента конструкции коэффициент запаса прочности задаётся заранее и называется нормативным или требуемым и обозначается [s]. Прочность элемента конструкции обеспечивается, если действительный коэффициент запаса прочности не ниже требуемого т.е. s>=[s] Это неравенство выражает условие прочности элемента конструкции. Разделив предельное напряжение на нормальный коэффициент запаса, получим допускаемое напряжение : Тогда условие прочности можно выразить неравенством т.е. прочность элемента конструкции обеспечивается, если наибольшее напряжение, возникающее в нём, не превышает допускаемого. 35.Три типа задач при расчетах на прочность. Примеры подбора поперечных сечений брусьев условия прочности при простейших деформациях
3 типа задач при расчете на прочность
пример опр размер поп сечения бруса квадр сеч.  1)эпюра 40. Определение главных напряжений в брусьях при растяжении-сжатии, кручении, изгибе 1) кручение (нсчс) 2) изгиб (лнс) определив угол выбираем площадку с наиб. норм. напр. и поварачиваем ее на α против часовой стрелки | ||||||||||||||||||||||||||||||
Вывод формул для моментов инерции простейших фигур (прямоугольник, треугольник, круг) Прямоугольное сечение
Подставим под знак интеграла значение dA и проинтегрировав по всей площади, т.е. в пределах изменения ординаты y от –h/2 до +h/2, получим
Угол, определяющий положение главных осей: , если
Классификация нагрузок
Дифференциальные зависимости при изгибе
Обозначим её через А. В результате этой работы накапливается потенциальная энергия деформированного тела U. Кроме того, работа идёт на сообщение скорости массе тела, т.е. преобразуется в кинетическую энергию К. Баланс энергии имеет вид А = U + К.
2
Балка – брус, который воспринимает поперечные нагрузки и работает на изгиб.
е. все силы лежат в плоскости симметрии балки. Основные гипотезы (допущения): гипотеза о не надавливании продольных волокон: волокна, параллельные оси балки, испытывают деформацию растяжения – сжатия и не оказывают давления друг на друга в поперечном направлении; гипотеза плоских сечений: сечение балки, плоское до деформации, остается плоским и нормальным к искривленной оси балки после деформации. При плоском изгибе в общем случае возникают внутренние силовые факторы: продольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент М. N>0, если продольная сила растягивающая; при М>0 волокна сверху балки сжимаются, снизу растягиваются. .
Роль касательных напряжений в балках, работающих на изгиб
Для успешного решения этой задачи необходимо исходить из того, чтобы наибольшее расчётное напряжение в поперечном сечении элемента конструкции, возникшее при заданной нагрузке, было меньше того предельного напряжения, при котором возникает опасность появления пластической деформации или опасность разрушения.
- вращательная кинематика
- момент инерции
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Уравнение, о котором вы говорите, представляет собой выражение для момента инерции точечной частицы с массой $m$, находящейся на расстоянии $R$ от некоторой оси. Это выражение на самом деле является определением момента инерции для точечной массы, поэтому возникает вопрос: «Откуда взялось это определение и почему оно полезно?»
Ну, для простоты предположим, что такая точечная масса вращается вокруг указанной оси на струне, тогда если к ней приложить касательную силу $F_t$, то ее результирующее тангенциальное ускорение $a_t$ будет удовлетворять
$$
F_t = ma_t
$$
так что крутящий момент на нем
$$
\ тау = Rma_t
$$
С другой стороны, вспомним, что тангенциальное ускорение $a_t$ и угловое ускорение $\alpha$ связаны соотношением $a_t = R\alpha$, и подстановка этого соотношения в правую часть выражения для крутящего момента дает
$$
\ тау = мР ^ 2 \ альфа
$$
Обратите внимание, что величина $mR^2$ появилась волшебным образом.
2$ является своего рода вращательным аналогом массы для точечная масса. В результате мы даем ему специальное название: момент инерции.
Важно отметить, что, хотя я использовал пример точечной массы, совершающей равномерное круговое движение, чтобы обосновать определение момента инерции, существуют значительно более сложные и общие выводы, которые приводят к величине, называемой тензором инерции , который является обобщением момента инерции для неточечных тел, подвергающихся произвольному вращению.
См., например, следующий ответ:
https://physics.stackexchange.com/a/892\int dm$
Таким образом, он может иметь различные восхитительные вкусы, например — для $K=\frac{1}{3}$ мы получаем момент инерции стержня, где $r$ действует как расстояние от ось вращения (которая находится на одном конце) относительно массы $m$ стержня. Для разных систем с жестким корпусом существуют различные производные…
$\endgroup$
$\begingroup$
Момент инерции естественным образом возникает при попытке учета энергии движения вращающегося объекта.
2.$$
Момент инерции не произволен, являясь вращательным аналогом массы.
Он говорит нам, насколько сложно вращать объект.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Формула радиуса вращения, определение, вывод и пояснение
Радиус вращения или радиус вращения является важным понятием и находит свое применение в проектировании конструкций и механике. Он даже находит применение в физике полимеров, где радиус вращения используется для описания размеров полимерной цепи (википедия).
Радиус вращения также имеет математическое определение. Математически радиус вращения \(k\) представляет собой среднеквадратичное расстояние частиц тела либо от его центра масс, либо от оси вращения, в зависимости от соответствующего приложения.
Радиус вращения обычно отображается в двух местах:
- Прочность материалов: Здесь используется двумерный радиус вращения, который определяется как свойство площади. Здесь в этом случае радиус инерции дается соотношением
\[k=\sqrt{\frac{I}{A}}\]
В этом случае момент инерции \(I\) есть момент инерции площади. Момент инерции площади — свойство плоской двумерной формы, характеризующее ее прогиб под действием нагрузки.
Здесь, в механике, мы не будем заниматься \(k\), вычисленным с использованием момента инерции площади. Этот вариант находит свое применение в технике (площадь момента инерции). - Механика: Здесь радиус вращения вокруг оси вращения рассчитывается с использованием момента инерции массы, а его формула дается соотношением
\[k=\sqrt{\frac{I}{M}} \tag{ 1}\] Это уравнение (1) представляет собой формулу радиуса вращения для момента инерции масс. здесь \(M\) — масса вращающегося объекта, а \(I\) — момент инерции относительно любой оси вращения. В этом случае оно определяется как массовое свойство.
Момент инерции площади — свойство плоской двумерной формы, характеризующее ее прогиб под действием нагрузки. Из приведенного выше объяснения мы видим, что в обоих случаях радиус вращения означает разные вещи, т. е. имеет разное выражение. Поскольку мы будем изучать его в механике вращения, где мы изучаем вращение объектов вокруг фиксированной оси вращения, мы будем изучать радиус вращения только в связи с моментом инерции массы.
Посмотрите это видео для хорошего объяснения https://www.youtube.com/watch?v=UXAwEneKEFM
Решив, какой радиус вращения мы должны изучить здесь, давайте теперь подробно узнаем о гирадиусе. Когда тело или предмет совершают поступательное движение, инерция тела зависит только от массы тела. В случае вращательного движения момент инерции зависит от двух факторов
- масса тела
- эффективное расстояние его частиц от оси вращения.
Это означает, что момент инерции зависит от распределения массы вокруг оси вращения. Радиус вращения тела определяется вокруг оси вращения тела.
Гирадиус Определение: Радиус инерции тела вокруг его оси вращения может быть определен как расстояние от оси вращения, на котором, если бы вся масса тела была сосредоточена и его момент инерции относительно данная ось будет такой же, как и при распределении массы. 92}{М}}\]
Эта величина k называется радиусом вращения тела вокруг оси вращения.
Таким образом, радиус инерции тела, вращающегося вокруг данной оси вращения, представляет собой радиальное расстояние от оси, и, когда квадрат радиуса инерции (k) умножается на общую массу тела, он дает момент инерции тела относительно этой оси.
Выражение для производной \(k\)
Давайте теперь снова посмотрим на определение радиуса вращения с математической точки зрения. В соответствии с этим определением, гирад вокруг оси вращения определяется как среднеквадратичное расстояние его частиц от оси вращения. Мы также можем доказать это утверждение. давайте теперь посмотрим на вывод радиуса вращения
Вывод: Рассмотрим приведенный ниже рисунок, на котором показано твердое тело массы \(M\). Пусть \(m\) — масса каждой его частицы, находящейся на расстояниях \(r_1,r_2,r_3,…..r_n\) от оси вращения \(PQ\)
Момент инерции тела относительно оси вращения \(PQ\) равен
\начать{выравнивать*}
I&=г-н_1^2+г-н_1^2+г-н_1^2+.
{2 }}{п}}\\
&=\text{среднеквадратичное расстояние.}
\конец{выравнивание*}
Применение радиуса вращения
Радиус вращения можно использовать для нахождения динамических величин тел неправильной формы в механике вращения. практически используется в самолетах и других автомобилях, которые нуждаются в балансировке, но имеют неправильную форму. В таких случаях для расчетов используется радиус вращения.
Вопрос 1. Постоянен ли радиус вращения тела?
Ответ 1. Радиус вращения тела не является постоянной величиной. Его значение меняется при изменении положения оси вращения.
сделайте ссылку на эту страницу, скопировав следующий текст
Радиус вращения Читайте также
- Примечания
- Вращательное движение
- Угловая скорость
- Угловое ускорение
- Вращение с постоянным угловым ускорением
- Кинетическая энергия вращения
- Расчет момента инерции
- Теорема о параллельных осях|Теоремы о моменте инерции
- Теорема о перпендикулярной оси
- Крутящий момент
- работа и мощность при вращательном движении
- Угловое ускорение
- Связь между угловым моментом и крутящим моментом
- Закон сохранения углового момента
- Радиус вращения
- Движение качения|Кинетическая энергия тел качения
- Проблемы вращательного движения с решениями
- Задания
- Вращательное движение MCQ
- Проблемы вращательного движения
- Вращательное движение CBSE Назначение 1
- Вращательное движение CBSE Назначение 2
- Вращательное движение CBSE Назначение 3
Полярный момент инерции: вывод, формула, расчет
В этой статье вы узнаете полный обзор полярного момента инерции , такой как его определение, формула, единица измерения, вывод, применение, расчет, и многое другое.
Полярный момент инерции является мерой способности объекта сопротивляться скручиванию, в основном цилиндрических валов.
Принимая во внимание, что простой момент инерции является мерой способности объекта сопротивляться изгибу, в основном балки.
Итак, не теряя времени, приступим.
Что такое полярный момент инерции?
Полярный момент инерции определяется как измерение способности круглого стержня сопротивляться скручиванию.
Полярный момент инерции также известен как второй полярный момент площади.
Полярный момент инерции – это момент инерции поперечного сечения относительно его полярной оси, которая проходит под прямым углом к плоскости поперечного сечения.
Например, прямоугольный резиновый ластик при приложении крутящего момента (нагрузки) подвергается деформации кручения. Раздел будет сопротивляться этой деформации кручения. Это сопротивление скручиванию известно как полярный момент инерции.
Математически,
Полярный момент инерции – это момент инерции относительно третьей оси, то есть оси Z.
lt обозначается J или Iₚ.
Iₚ = Iₓ + Iᵧ
Единицей СИ для полярного момента инерции является метр в четвертой степени, то есть м⁴.
Расчет полярного момента инерции
Момент инерции площади плоской фигуры относительно оси, перпендикулярной плоскости x-y и проходящей через полюс O (ось z), называется полярным моментом инерции и обозначается J или Iₚ.
Момент инерции dA относительно оси Z = dA r² 9
Где
iₚ = ∫ x²da + ∫ y²da
Где
iₓ = ∫y²da
iᵧ = ∫x²da
iₚ = iₓ + iᵧ
Полярный момент инерции для другой секции
. сечения, полярный момент инерции которых мы подробно обсудим ниже.
Прямоугольное сечение
Как известно,
Момент инерции прямоугольного сечения относительно оси абсцисс,
Iₓ = bh³/12
Момент инерции прямоугольного сечения относительно оси у составляет,
Iᵧ = hb³/12
Итак, полярный момент инерции для прямоугольного сечения,
Iₚ = Iₓ + Iᵧ
Iₚ = bh³/12 + hb³/12
9123 =(I₂123) (b bh² + hb²)
Полый прямоугольный профиль
Как известно,
Момент инерции полого прямоугольного сечения относительно оси абсцисс равен
Iₓ = (BH³ — bh³)/12
Момент инерции полого прямоугольного сечения относительно оси y is,
Iᵧ = (HB³ — hb³)/12
Итак, полярный момент инерции для полого прямоугольного сечения,
Iₚ = Iₓ + Iᵧ
Круговое сечение
Как известно,
2 Момент инерции 9 для круглого вала,
I = (π/64) × d⁴
Итак,
Iₓ = (π/64) × d⁴
Аналогично,
Iᵧ = (π/64) × d⁴
Итак, полярный момент инерции для круглого вала,
+Iₓ Iᵧ
Iₚ = (π/64) × d⁴ + (π/64) × d⁴
Iₚ = 2 × (π/64) × d⁴
Iₚ = (π/32) × d⁴
Полая круглая секция 90
Как известно,
Момент инерции полого вала,
I = (π/64) × (D⁴ — d⁴)
Итак,
Iₓ = (π/64) × (D⁴ — d⁴)
Аналогично,
Iᵧ = (π/64) × (D⁴ — d⁴)
Итак, полярный момент инерции для полого вала,
Iₚ = Iₓ + Iᵧ
Iₚ = (π/64) × (D⁴ — d⁴)+ (π/64) × (D⁴ — d⁴)
Iₚ = 2 × (π/64) × (D⁴ — d⁴)
Iₚ = (π/32) × (D⁴ — d⁴)
Полый вал и сплошной вал
Рассмотрим полый вал и сплошной вал, изготовленные из одного и того же материала, длины и веса.
Итак, полый вал имеет более высокий полярный момент инерции, чем у сплошного вала.
Вот почему полый вал той же массы, что и сплошной вал, является лучшим вариантом для передачи мощности.
Точно так же вы можете найти полярный момент инерции в другом разделе.
Квадратное сечение
Полярный момент инерции для квадратного сечения.
Iₚ = a⁴/6
Полукруг
Полярный момент инерции для полукруглого сечения.
Iₚ = π.r⁴/4
Эллипс
Полярный момент инерции эллипса.
Iₚ = (1/4).π.a.b(a² + b²)
Крутящая нагрузка на вал трансмиссии
Угол закручивания сплошного круглого стержня в радианах
03 03 03 Θ = T L/GJ
Где,
T = крутящий момент
L = длина
G = модуль жесткости
J = полярный момент инерции
Таким образом, полярный момент инерции используется для расчета полярного момента инерции перемещение объекта, на который действует момент силы или крутящий момент.
