Векторы | ЕГЭ по математике (профильной)
Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом, называется вектором.
Вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначают ${(АВ)}↖{→}$ или строчной (маленькой) буквой, например ${а}↖{→}$
Любая точка плоскости является вектором. В этом случае вектор называется нулевым.
Модуль (длину) вектора обозначают $|АВ|↖{→}$.
Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если они направлены в одну сторону.
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
Сумма векторов — это вектор, который можно получить двумя способами.
- Правило треугольника (А)
- Правило параллелограмма (Б)
Для любых векторов $a↖{→}, b↖{→}, c↖{→}$ справедливы равенства:
- $a↖{→}+b↖{→}=b↖{→}+a↖{→}$(переместительный закон)
- $(a↖{→}+b↖{→})+c↖{→}=a↖{→}+(b↖{→}+c↖{→})$ (сочетательный закон)
Разность векторов тоже можно получить двумя способами:
Если надо найти разность двух векторов, их необходимо отложить из одной точки. Результирующий вектор направлен к уменьшаемому.
Для любых $a↖{→}$ и $b↖{→}$ справедливо равенство $a↖{→}-b↖{→}=a↖{→}+({-b}↖{→})$
Скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.$a↖{→}⋅b↖{→}=|a↖{→}|·|b↖{→}|·cosα$
Ненулевые векторы $a↖{→}$ и $b↖{→}$ перпендикулярны, если их произведение равно нулю.
Метод координат
Координаты вектора равны разностям соответствующих координат конца и начала данного вектора.
Для того чтобы векторы $a↖{→}$ и $b↖{→}$ были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство $a↖{→}=k·b↖{→}$, где $k$ — это некоторое число.
Координаты середины вектора равны средним арифметическим координат его концов.
Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.2}}$
Найдите угол между векторами $a↖{→}$ и $b↖{→}$
Решение:
- Сначала нужно найти координаты векторов $a↖{→}$ {2-0;6-0} $b↖{→}${8-0;4-0}
- Найдем скалярное произведение векторов $a↖{→}·b↖{→} = 2·8+6·4=16+24=40$
- Найдем длины каждого вектора $|a↖{→}|= √{4+36}=√{40}; |b↖{→}|=√{64+16}=√{80}$
- Найдем косинус угла между векторами $cosα={40}/{√{40}·√{80}}={40}/{√{40·40·2}}={1}/{√2}={√2}/{2}$
- Найдем угол $α=arccos{√2}/{2}=45$
Ответ: 45
Большая теория по векторам (ЕГЭ — 2021)
На прошлом занятии мы разобрались с основными определениями кинематики.
И ты наверняка обратил внимание, что некоторые величины имеют только значение (число) – например, путь (\(L\)).
А некоторые имеют и число, и направление – например, перемещение (\(vec{S}\)).
И сейчас ты узнаешь, почему это настолько важно.
В 1492 году Колумб приказал кораблям изменить курс на запад-юго-запад, полагая, что он и его команда уже прошли мимо Японии, не заметив ее островов.
Вскоре его экспедиция наткнулась на множество архипелагов, которые ошибочно принимали за земли Восточной Азии. И теперь, спустя века, американцы в октябре отмечают высадку Колумба в Новом Свете.
Кто знает, как повернулась бы история, если бы его корабли не поменяли свое направление?
О направлении
Направление – одна из важнейших характеристик движения.
Подумай, какие из этих величин являются просто числами, а какие тоже являются числами, но имеют еще и направление.
- сила;
- время;
- скорость;
- длина;
- перемещение;
- масса;
- температура;
Наверное, ты без труда заметил, что направление имеют сила, скорость, перемещение, а время, длина, масса и температура – это просто числа.
Так вот, «просто числа» – это скалярные величины (их также называют скалярами).
А «числа с направлением» – это векторные величины (их иногда называют векторы).
В физике существует множество скалярных ивекторных величин.
Что такое скалярная величина?
Скалярная величина, в отличие от вектора, не имеет направления и определяется лишь значением (числом)
Это, например, время, длина, масса, температура (продолжи сам!)
Что такое векторная величина?
Векторная величина – это величина, которая определяется и значением, и направлением.
В случае с векторами нам важно, куда мы, например, тянем груз или в какую сторону движемся.
Например, как на этом рисунке изображен вектор силы (нам важно не только с какой силой, но и куда мы тянем груз):
Как обозначаются векторы?
Векторы принято обозначать специальным символом – стрелочкой над названием. Вот, например, вектор перемещения: \(vec{S}\)
Значение вектора – это модуль вектора, то есть его длина.
Обозначить это можно двумя способами: \(left| {vec{S}} right|\) или \(S\)
Операции над векторами
Для решения задач необходимо уметь работать с векторами: складывать, вычитать, умножать их.
Давай научимся это делать. Мы пойдем от простого к сложному, но это вовсе не значит, что будет трудно!
Умножение вектора на число
Если вектор умножить на какое-либо число (скаляр), мы просто «растягиваем» вектор, сохраняя его направление. Получившийся вектор сонаправлен начальному, то есть они имеют одинаковое направление.
Это обозначается так: \(vec{a}uparrow uparrow vec{b}\)
(Если направление противоположно, обозначаем так: \(vec{a}uparrow downarrow vec{b}\))
Рассмотрим на примере, используя клетку для точности построений:
Если вектор умножить на ноль, он станет нулевым.
Обязательно нужно ставить значок вектора над нулем! Нельзя говорить, что векторная величина просто равна скалярной:\(vec{c}=0cdot vec{a}Rightarrow vec{c}=vec{0}\)Рассмотрим некоторые свойства нулевого вектора.
Если он нулевой, то его длина равна нулю! Логично, не правда ли?
А это значит, что его начало совпадает с концом, это просто какая-то точка.
Нулевой вектор – вектор, начало которого совпадает с концом.
Нулевой вектор принято считать сонаправленным любому вектору.
Его мы можем получить не только путем умножения вектора на ноль, но и путем сложения противонаправленных векторов:\(vec{a}+(-vec{a})=vec{0}\)А если к любому вектору прибавит нулевой, ничего не изменится:\(vec{a}+vec{0}=vec{a}\)Если вектор умножают на отрицательное число, он изменит свое направление на
Но такие векторы должны быть коллинеарны. Звучит как скороговорка, но ничего страшного. Главное – понять суть.
Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.
Две прямые параллельны: \(qparallel p\)
Векторы лежат на одной прямой: они коллинеарны. По направлению видно, что они противонаправлены, это обозначается так:\(vec{a}uparrow downarrow vec{c}\)Векторы лежат на параллельных прямых, они коллинеарны. При этом они сонаправлены:\(vec{a}uparrow uparrow vec{b}\)Эти двое тоже коллинеарны! Они ведь лежат на параллельных прямых. При этом они противонаправлены:\(vec{b}uparrow downarrow vec{c}\)
Коллинеарные векторы, имеющие одинаковую длину и противоположные направления, называются обратными друг другу.
Параллельный перенос
Одно из важных свойств вектора, которое очень часто помогает в операциях над ним, – параллельный перенос.
Если передвинуть вектор, не меняя его направления и длины, он будет идентичен начальному. Это свойство –
параллельный перенос.
Сложение по правилу треугольника
Сложение векторов – одна из самых легких и приятных вещей. Предположим, у нас есть два вектора:
Наша цель – найти такой вектор, который будет являться суммой двух данных:\(vec{c}=vec{a}+vec{b}\)
Для начала нужно сделать так, чтобы конец одного вектора был началом другого. Для этого воспользуемся параллельным переносом:
Теперь достроим до треугольника.
Но как узнать направление нужного нам вектора?
Все просто: вектор суммы идет от начала первого слагаемого к концу второго, мы словно «идём» по векторам:
Это называется правилом треугольника.
Больше двух слагаемых. Сложение по правилу многоугольника
Но что делать, нам нужно сложить не два, а три, пять векторов или даже больше?
Мы руководствуемся той же логикой: соединяем векторы и «идём» по ним:
\(vec{e}=vec{a}+vec{b}+vec{c}+vec{d}\)
Это называется правилом многоугольника.
Вычитание через сложение
Вычитание векторов не сложнее. Это даже можно сделать через сумму! Для этого нам понадобится понятие обратного вектора. Запишем разность так:\(vec{c}=vec{a}-vec{b}=vec{a}+(-vec{b})\)Тогда нам лишь остается найти сумму с обратным вектором:
А сделать это очень легко по правилу треугольника:
Всегда помни, что вычитание можно представлять сложением, а деление — умножением на дробь.
Вычитание через треугольник
Вычитать векторы можно через треугольник. Основная задача будет состоять в том, чтобы определить направление вектора разности.
Итак, векторы должны выходить из одной точки. Далее мы достраиваем рисунок до треугольника и определяем положение. Рассмотрим два случая:
\(vec{c}=vec{a}-vec{b}\)
\(vec{c}=vec{b}-vec{a}\)Направление вектора разности зависит от того, из какого вектора мы вычитаем. У них совпадают концы.
Универсальное правило параллелограмма
Есть еще один способ сложения и вычитания векторов. Способ параллелограмма наиболее востребован в физике и сейчас ты поймешь, почему. Основа в том, чтобы векторы выходили из одной точки, имели одинаковое начало. Вот так:
Ничего не напоминает?
Именно! Когда мы делаем чертеж к задачам по физике, все силы, приложенные к телу, мы рисуем из одной точки.
В чем же заключается правило параллелограмма? С помощью параллельного переноса достроим до параллелограмма:
Тогда вектор суммы будет диагональю этой фигуры. Это легко проверяется правилом треугольника. Начало этого вектора совпадает с началом двух слагаемых векторов:
Другая диагональ будет являться разностью этих векторов. Направление определяем так же, как делали раньше.
\(vec{c}=vec{a}+vec{b}\)\(vec{d}=vec{a}-vec{b}\)
Скалярное произведение векторов
Еще одной важной операцией является произведение векторов. Рассмотрим скалярное произведение. Его результатом является скаляр.
Уравнение очень простое: произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.\(vec{a}cdot vec{b}=left| {vec{a}} right|cdot left| {vec{b}} right|cdot cos varphi \)
Обычно поиск угла на плоскости – дело легкое и затрагивает лишь знания геометрии. О сложных случаях нахождения угла между векторами (для прямых аналогично) в пространстве можно прочитать здесь.
Векторное произведение векторов
Векторное произведение векторов пригодится нам в электродинамике.
Его формула лишь немного отличается от предыдущей:\(vec{a}times vec{b}=left| {vec{a}} right|cdot left| {vec{b}} right|cdot sin varphi \)В отличие от скалярного произведения, результатом его является вектор и его даже можно изобразить!
После параллельного переноса векторов и нахождения угла между ними достроим их до параллелограмма и найдем его площадь. Площадь параллелограмма равна длине вектора произведения:
Этот вектор одновременно перпендикулярен двум другим. Его направление зависит от условного порядка векторов, который либо определен какими-то фактами (когда мы будем изучать силу Лоренца), либо является свободным.
Об этом мы поговорим подробнее, когда будем изучать электродинамику.
Итак, мы разобрали операции с векторами, рассмотрев даже самые сложные из них. Это было не так тяжело, верно? Так происходит не только с векторами, но и со многими другими темами. Идя от легкого к сложному, мы даже не заметили трудностей.
Ведь всегда стоит помнить о том, что даже самое длинное путешествие начинается с первого шага.
Проекции векторов
Что такое проекция вектора и с чем ее едят?
Мы уже выяснили, что над векторами можно проводить множество операций. Здорово, когда можешь начертить векторы, достроить их до треугольника и измерить результат линейкой.
Но зачастую физика не дает нам легких цифр. Наша задача – не отчаиваться и быть умнее, упрощая себе задачи.
Для того, чтобы работать с векторами как с числами и не переживать об их положении и о точности рисунков, были придуманы проекции.
Проекция вектора – словно тень, которую он отбрасывает на ось координат. И эта тень может о многом рассказать.
Ось координат — прямая с указанными на ней направлением, началом отсчёта и выбранной единицей масштаба.
Ось можно выбрать произвольно. В зависимости от ее выбора можно либо значительно упростить решение задачи, либо сделать его очень сложным.
Именно поэтому необходимо научиться работать с проекциями и осями.
Построение проекции. Определение знака
Возьмем вектор и начертим рядом с ним произвольную ось. Назвать ее тоже можно как угодно, но мы назовем ее осью Х.
Теперь опустим из начала и конца вектора перпендикуляры на эту ось. Отметим координаты начала (Х0) и конца (Х). Рассмотрим отрезок, заключенный между этими точками.
Казалось бы, мы нашли проекцию. Однако думать, что проекция является простым отрезком, – большое заблуждение.
Не все так просто: проекция может быть не только положительной. Чтобы найти проекцию, нужно из координаты конца вычесть координату начала:
\({{a}_{x}}=x-{{x}_{0}}\)
Проекция вектора на ось — разность между координатами проекций точек конца и начала вектора на ось.
Проекция обозначается так:\({{a}_{x}}\), где a – название вектора, х – название оси, на которую проецируется вектор.
В случае выше определить знак довольно легко. Сразу видим, что координата конца численно больше координаты начала и делаем вывод о том, что проекция положительна:\(x>{{x}_{0}}Rightarrow {{a}_{x}}>0\)
Порой работать с буквами трудно. Поэтому предлагаю взять конкретный пример:
Рассмотрим другой случай. В этот раз координата начала больше координаты конца, следовательно, проекция отрицательна:
\(x<{{x}_{0}}Rightarrow {{b}_{x}}<0\)
Пример на конкретных числах:
Рассмотрим еще один интересный случай.{o}}Rightarrow {{a}_{x}}=-a\)
Если вектор направлен туда же, куда и ось, его проекция положительна. Если вектор направлен в другую сторону, его проекция отрицательна.
Эти утверждения применимы не только к векторам, которые параллельны оси. Это особенно удобно использовать в тех случаях, когда ось направлена под углом.
Что? Почему раньше не сказал? А… Ну…
Хватит вопросов! Вот тебе пример:
\(vec{a}\) направлен в ту же сторону, что и ось. Его проекция положительна.
\(vec{b}\) направлен противоположно оси. Его проекция отрицательна.
Еще один частный случай – работа с обратными векторами. Давай выясним, как связаны проекции данного вектора и вектора, который является ему обратным. Начертим их и обозначим координаты начал и концов:
Проведем дополнительные линии и рассмотрим два получившихся треугольника. Они прямоугольны, так как проекция строится с помощью перпендикуляра к оси.{‘}\)
Проекции обратных векторов равны по модулю и противоположны по знаку.
Давайте еще раз уточним.
Вектор сам по себе не может быть отрицательным (обратный вектор есть вектор, умноженный на минус единицу).
Длина вектора так же не может быть отрицательной. Длина есть модуль вектора, а модуль всегда положителен.
Проекция вектора бывает отрицательной. Это зависит от направления вектора.
Способы нахождения проекций и векторов с помощью тригонометрии
Зная угол между вектором и осью, можно не прибегать к координатам. Углы, прямоугольные треугольники… Всегда стоит помнить, что, если ты видишь прямоугольный трегольник, тригонометрия протянет тебе руку помощи.
Именно тригонометрия чаще всего применяется в задачах, где требуется работать с проекциями. Особенно она помогает в задачах на второй закон Ньютона.
Рассмотрим вектор и его проекции на оси:
Можем заметить, что проекции вектора соответствуют катетам прямоугольного треугольника, который легко можно достроить:
Тогда обозначим прямой угол и угол между вектором и осью:
Зная, что проекции соответствуют катетам, мы можем записать, чему равны синус и косинус угла.{2}\)
Зная, как работать с проекциями векторов и часто практикуясь, можно довести свои навыки решения большинства задач механики до совершенства.
Умение применять свои знания на практике невероятно важны. Это касается не только физики.
Мы знаем, что проекции были придуманы для того, чтобы работать не с векторами, а с числами.
Давай попробуем.
Сложение проекций. Доказательство главного свойства
Предположим, у нас есть два вектора и нам нужно найти их сумму. Посчитать по клеткам нам вряд ли удастся:
Спроецируем оба вектора на ось Х. Заметим, что конец одного вектора есть начало второго, то есть их координаты совпадают:
Давай посчитаем проекции векторов и проекцию вектора их суммы:
Мы можем заметить, что сумма проекций двух данных векторов оказалась равна проекции вектора их суммы!
Намного важнее уметь доказывать гипотезы в общем виде. Тогда никто не сможет упрекнуть тебя в том, что твои утверждения – просто результат совпадения!
Согласно определению проекции, запишем уравнения проекций для двух данных векторов и вектора их суммы:
Заметим, что некоторые точки совпадают. Начало \(vec{a}\) совпадает с началом \(vec{c}\). Как мы заметили ранее, конец \(vec{a}\) совпадает с началом \(vec{b}\). А конец \(vec{b}\) совпадает с концом \(vec{c}\).
Затем запишем, чему равна сумма этих векторов.
Видим, что конец \(vec{a}\) и начало \(vec{b}\) одинаковы. Поэтому избавимся от повторов:
У нас остались лишь начало \(vec{a}\) и конец \(vec{b}\). А это в свою очередь начало и конец \(vec{c}\)!
Мы доказали нашу гипотезу.
Но что насчет разности? Все очень просто! Помнишь, как мы считали разность через сумму? Здесь это делается аналогично!
Таким образом,
Проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов.
Проекция разности векторов равна разности проекций векторов.
Или можно записать так:
\(vec{c}=vec{a}pm vec{b}Rightarrow {{c}_{x}}={{a}_{x}}pm {{b}_{x}}\)
Простейшие задачи на нахождение проекций
Простейшие задачи на нахождение проекций чаще представлены в виде различных графиков или рисунков.
Давай научимся с ними работать.
Нам даны оси и векторы. Задача: найти проекции каждого из них на обе оси.
Будем делать все по порядку. Для каждого вектора предлагаю сначала определить знак проекций, а затем посчитать их.
В первом случае вектор направлен против оси Х. Значит, его проекция на эту ось будет отрицательна. Мы убедимся в этом с помощью вычислений.
Сразу бросается в глаза то, что вектор расположен перпендикулярно оси Y. Его проекция на эту ось будет равна нулю, ведь расстояние между проекциями точек начала и конца равно нулю!
Рассмотрим второй вектор. Он «сонаправлен» оси Y и «противонаправлен» оси Х. Значит, проекция на ось будет положительна, а на ось Х – отрицательна.
Убедимся в этом.
На осях для удобства отметим проекции точек начала и конца вектора, проведя перпендикуляры. Затем проведем вычисления:
Рассмотрим \(vec{c}\). Заметим, что он является обратным для \(vec{b}\): их длины равны, а направления противоположны.
Мы помним, что в таком случае их проекции отличаются лишь знаками. И это действительно так:
Поступаем с \(vec{d}\) так же, как поступали с первым вектором.
Он перпендикулярен оси Х, а значит его проекция (что есть разность между проекциями точки конца и начала!) на эту ось равна нулю.
Проведя перпендикуляры, считаем проекцию на ось Y:
С \(vec{e}\) работать приятно: он расположен по направлению обеих осей. Обе его проекции будут положительны, остается лишь посчитать их:
Задачи на нахождение вектора и его угла с осью
С помощью проекций можно найти длину вектора и его направление, а также угол, под которым он находится относительно оси.
Давай попробуем это сделать.
Даны проекции вектора на две оси. Для начала нарисуем оси:
Расположить вектор можно как угодно, поэтому произвольно отметим на осях его проекции. Мы помним, что проекции и вектор образуют прямоугольный треугольник. Давай попробуем его составить.
С проекцией на ось Х все понятно, просто поднимаем ее. Но куда поставить проекцию оси Y?
Для этого нам нужно определить направление вектора. Проекция на ось Х отрицательна, значит вектор направлен в другую сторону от оси.
Проекция на ось Y положительна. Вектор смотрит в ту же сторону, что и ось.
Исходя из этого, мы можем нарисовать вектор и получить прямоугольный треугольник:
Теперь нужно найти длину этого вектора. Используем старую добрую теорему Пифагора:
Обозначим угол \(alpha \), который необходимо найти, мы учились это делать в начале изучения проекций. Он расположен вне треугольника. Мы ведь не ищем легких путей, верно?
Рассмотрим смежный ему угол \(beta \). Его найти гораздо проще, а в сумме они дадут 180 градусов.
Чтобы сделать это, абстрагируемся от векторов, проекций и просто поработаем с треугольником, стороны которого равны 3, 4 и 5. Найдем синус угла \(beta \) и по таблице Брадиса (либо с помощью инженерного калькулятора) определим его значение.
Вычитанием угла \(beta \) из 180 градусов найдем угол \(alpha \):
Главный метод работы с осями и проекциями в решении физических задач
В большинстве задач по физике, когда в условиях нам дают значения векторных величин, например, скорости, нам дают длину вектора.
Поэтому важно научиться искать проекции вектора и связывать их с ней.
Рассмотрим следующий рисунок (вектор F2 перпендикулярен вектору F3):
Чаще всего с подобным расположением векторов мы встречаемся в задачах, где необходимо обозначить все силы, действующие на тело.
Одним из важных этапов решение «векторной части» этих задач является правильный выбор расположения осей. Он заключается в том, чтобы расположить оси так, чтобы как можно большее число векторов оказались им параллельны.
Как правило, оси располагаются под прямым углом друг к другу, чтобы не получить лишней работы с углами.
Сделаем это для данного рисунка:
Мы видим, что остальные векторы расположены к осям под каким-то углом.
Пунктиром проведем горизонтальную линию и отметим этот угол, а затем отметим другие равные ему углы:
Пришло время искать проекции. У нас две оси, поэтому сделаем для удобства табличку:
Мы располагали оси так, чтобы некоторые векторы были расположены параллельно осям, значит их проекции будут равняться их длинам.
Оси перпендикулярны друг другу, поэтому некоторые проекции будут равняться нулю. Запишем это:
Переходим к векторам, которые расположены под углом. Выглядит страшно, но это не так!
Дальше идет чистая геометрия. Чтобы не запутаться, рассмотрим лишь часть рисунка. А лучше и вовсе перерисовать его часть, могут открыться много новых вещей.
Из конца вектора F1 проведем перпендикуляр к оси Y. Мы получим прямоугольный треугольник, где нам известен угол (альфа) и гипотенуза (вектор).
Обозначим, что является проекцией. Это катет:
Здесь на помощь придет тригонометрия. Этот катет прилежащий к известному углу. Синус угла есть проекция катета, деленная на гипотенузу. Отсюда можно выразить катет (проекцию) и записать ее в таблицу.
Вспомни, когда мы первый раз встретились с тригонометрией, изучая векторы. Мы тоже рассматривали прямоугольный треугольник.
Найдем проекцию на ось Х. Это, кажется, сложнее, ведь мы не знаем угол…
Знаем! Ведь проекция вектора на ось Х – то же самое, что противолежащий катет уже рассмотренного треугольника, смотри:
Значит, проекцию на ось Х можно найти через косинус.
Не забываем смотреть на направления векторов!
Попробуй найти проекции четвертого вектора самостоятельно и сверься с таблицей.
Значит, проекцию на ось Х можно найти через косинус.
Не забываем смотреть на направления векторов!
Попробуй найти проекции четвертого вектора самостоятельно и сверься с таблицей.
Краткое содержание, основные формулы и определения
Сегодня ты узнал, что:
- Существуют скалярные величины: они имеют значение, но не имеют направления;
- Существуют векторные величины. Они имеют как значение, так и направление;
- Значение вектора есть его длина;
- Для большинства операций над векторами необходим пареллельный перенос;
- Вектор можно умножать на скаляр;
- Нулевой вектор – вектор, начало которого совпадает с концом;
- Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых;
- Коллинеарные векторы, имеющие одинаковую длину и противоположные направления, называются обратными друг другу;
- Векторы можно складывать и вычитать разными методами;
- Правило параллелограмма действует как для сложения, так и для вычитания векторов;
- Векторы можно умножать друг на друга двумя различными способами: скалярным и векторным;
- Проекция вектора на ось — разность между координатами проекций точек конца и начала вектора на ось;
- Если вектор направлен туда же, куда и ось, его проекция положительна. Если вектор направлен в другую сторону, его проекция отрицательна;
- Вектор сам по себе не может быть отрицательным;
- Длина вектора так же не может быть отрицательной;
- Проекция вектора бывает отрицательной;
- Над проекциями тоже можно совершать действия, и это удобнее, чем работать с векторами;
- Проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов;
- Проекция разности векторов равна разности проекций векторов;
- С проекцией вектора можно работать как с числом;
- Решать задачи с векторами — легко 🙂
Заключение
Итак, теперь мы знаем о векторах очень много! Мы выяснили, зачем они нужны и как с ними работать, а еще разобрали их роль в решении различных задач. Теперь векторы — наша прочная опора.
Именно из таких знаний складывается порой нечто более сложное и комплексное, что-то, что безусловно нам однажды поможет.
Всё ли было понятно? Возникали ли вопросы?
Кстати, как тебе история с Колумбом? 🙂
Пиши в комментариях!
Поделитесь в социальных сетях:
Опорные конспекты по геометрии «Векторы в пространстве» 11 класс
Прямоугольная система координат в пространстве
Прямоугольную систему координат на плоскости обозначают Оху.
Определение:
Если же через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, а на каждой из них выбрано направление и единичный отрезок, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.
Прямые с выбранными на них направлениями называют осями координат, а точку их пересечения — началом координат. Как и на плоскости её обычно обозначают буквой О.
Оси координат обозначают так: Ох, Оу, Оz. И называют осью абсцисс, осью ординат и, новым является название третьей оси, ось аппликат.
Прямоугольную систему координат в пространстве обозначают Охуz.
Через каждые 2 оси координат проходят координатные плоскости: Оху, Оуz и Охz. Всего таких плоскостей 3.
Каждая ось делится точкой О на два луча. В соответствии с этим, лучи, направление которых совпадает с направлением оси, называют положительными полуосями, а оставшиеся лучи — отрицательными полуосями.
Каждой точке пространства сопоставляется только одна тройка чисел, которые называют её координатами. Их определяют аналогично тому, как это делали на плоскости. Только через точку М проводят плоскости перпендикулярные координатным осям.
Задание: определить координаты точек А, В, С, D, Е и F.
Задание: По координатам точек 𝐴(3;−1;0), 𝐵(0;0;−7), 𝐶(2;0;0), 𝐷(−4;0;3), 𝐸(0;−1;0), 𝐹(1;2;3), 𝐺(0;5−7), 𝐻(−√5;√3;0) определить, какие из них лежат на той или иной координатной оси или в той или иной координатной плоскости.
Решение:
Задание: найти координаты проекций точки 𝐴(2;−3;5) на каждую из координатных плоскостей и на каждую из координатных осей.
Далее найдём координаты проекций точки А на координатные плоскости.
Ну, а проекция точки А на координатную плоскость Охz будет иметь координаты 2, 0, 5.
Задание: 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1− куб; 𝐴(0;0;0), 𝐵(0;0;1), 𝐷(0;1;0), 𝐴1 (1;0;0). Найти координаты точек 𝐶, 𝐵1, 𝐶1 и 𝐷1.
Решение: Изобразим прямоугольную систему координат. Отметим точки, являющиеся вершинами куба, координаты которых известны.
Решение высшей математики онлайн
‹— Назад
Линейная зависимость векторов Введем еще одно очень важное понятие, которое используется не только в алгебре, но и во многих других разделах математики. Определение 10.14 Система векторов называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов , из которых хотя бы один отличен от нуля, что .
Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой. Но последнее определение лучше сформулировать по другому.
Определение 10.15 Система векторов называется линейно независимой, если равенство возможно только при .Кто плохо понял два последних определения, может получить дополнительные объяснения здесь .
Предложение 10.6 Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов этой системы. Доказательство. Пусть система векторов линейно зависима. Тогда существует такой набор коэффициентов , что , причем хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Предположим, что . Тогда то есть является линейной комбинацией остальных векторов системы.Пусть один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов. Предположим, что это вектор , то есть . Очевидно, что . Получили, что линейная комбинация векторов системы равна нулю, причем один из коэффициентов отличен от нуля (равен ).
Пусть в системе векторов подсистема , , является линейно зависимой, то есть , и хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Тогда составим линейную комбинацию . Очевидно, что эта линейная комбинация равна нулю, и что среди коэффициентов есть ненулевой.
Упражнение10.4.1. Докажите, что если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.
Предложение 10.8 Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. Доказательство. Пусть система состоит из вектора . Линейная комбинация имеет вид . Если , то , то есть система линейно зависима. Если и , то .Предложение 10.9 Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.
Доказательство этого предложения предоставляется читателю. Оно аналогично доказательству следующего предложения.
Предложение 10.10 Система из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.Доказательство. Пусть векторы — компланарные. Если — коллинеарные, то в силу предыдущего предложения они образуют линейно зависимую подсистему системы . По предложению 10.7 система — линейно зависима. Если векторы — неколлинеарные, то по предложению 10.2 является линейной комбинацией векторов и по предложению 10.6 система векторов — линейно зависимая.
Пусть система векторов линейно зависима. По предложению 10.6 один вектор, скажем , является линейной комбинацией других векторов, и , . Правая часть последнего равенства лежит в плоскости, в которой лежат векторы . Поэтому вектор лежит в одной плоскости с векторами , то есть векторы — компланарные.
На основании сказанного дадим другое определение базиса, которое является более распространенным, чем определение 10.12.
Определение 10.16 Базисом векторного пространства называется такая упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства раскладывается по векторам этой системы.Из предложений 10.8 – 10.11 следует, что это определение эквивалентно определению 10.12.
Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции
Принцип суперпозиции магнитных полей 🐲 СПАДИЛО.РУ
Если в некоторой точке пространства накладываются магнитные поля, то результирующий вектор магнитной индукции находят как геометрическую сумму вектором магнитной индукции, составляющих магнитное поле:
→B=∑→Bi
Частные случаи принципа суперпозиции полей
| Сложение векторов магнитной индукции, направленных вдоль одной прямой | |
| Если →B1↑⏐⏐↑⏐⏐→B2, то: B=B1+B2 | |
| Если →B1↑⏐⏐⏐⏐↓→B2, то: B=|B1−B2| | |
| Сложение векторов магнитной индукции, перпендикулярных друг другу | |
| Если →B1⊥→B2, то применяется теорема Пифагора: B=√B12+B22 | |
| Сложение векторов магнитной индукции, расположенных под углом друг другу | |
| В этом случае применяется теорема косинусов: B=√B12+B22−2B1B2cos.(180°−α) | |
Пример №1. По двум тонким прямым проводникам, параллельным друг другу, текут одинаковые токи I (см. рисунок). Как направлено (вверх, вниз, влево, вправо, от наблюдателя, к наблюдателю) создаваемое ими магнитное поле в точке С?
Чтобы определить направление результирующего вектора магнитной индукции, сначала определим направление линий магнитной индукции в точке С для каждого из полей. Применив правило буравчика, получим, что силовые линии первого поля направлены в точке С от нас, а второго поля — к нам. Но точка С находится на разных расстояниях от проводников. Она ближе к проводнику 1. Поскольку магнитное поле ослабевает с увеличением расстояния, то модуль вектора магнитной индукции первого поля в точке С будет больше вектора магнитной индукции второго поля. Поскольку они не компенсируют друг друга, и первое поле в этой точке сильнее второго, то результирующий вектор магнитной индукции в точке С направлен в сторону от наблюдателя.
Задание EF22750На рисунке показаны сечения двух параллельных прямых длинных проводников и направления токов в них. Сила тока в проводниках одинакова. Куда направлен относительно рисунка (вправо, влево, вверх, вниз, к наблюдателю, от наблюдателя) вектор индукции созданного проводниками магнитного поля в точке А, расположенной на равном расстоянии от проводников? Ответ запишите словом (словами).
Алгоритм решения
1.Определить направление вектора магнитной индукции в точке А для первого проводника с током.
2.Определить направление вектора магнитной индукции в точке А для второго проводника с током.
3.Установить направление результирующего вектора магнитной индукции.
Решение
Направление вектора магнитной индукции в точке А для обоих проводников можно определить с помощью правила буравчика. Мысленно направим буравчик по направлению тока в первом проводнике. Тогда получим, что силовые линии магнитного поля направлены против хода часовой стрелки. Поэтому вектор →B1магнитной индукции в точке А направлен относительно рисунка вверх.
Поскольку во втором проводнике направление тока противоположно направлено току в первом проводнике, силовые линии создаваемого им магнитного поля направлены по ходу часовой стрелки. Но так как точка А относительно этого проводника расположена не справа, а слева, то вектор →B2магнитной индукции в ней тоже направлен вверх.
Поскольку сила тока в обоих проводниках одинаковая, результирующий вектор магнитной индукции в точке А равен удвоенному вектору магнитной индукции поля, создаваемого каждым из этих проводников. В этом случае он направлен вверх так же как векторы →B1и →B2.
Ответ: Вверхpазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить
Задание EF19061На рисунке показаны сечения двух параллельных длинных прямых проводников и направления токов в них. Сила тока I1 в первом проводнике больше силы тока I2 во втором. Куда направлен относительно рисунка (вправо, влево, вверх, вниз, к наблюдателю, от наблюдателя) вектор индукции магнитного поля этих проводников в точке А, расположенной точно посередине между проводниками? Ответ запишите словом (словами).
Алгоритм решения
1.Определить направление вектора магнитной индукции в точке А для первого проводника с током.
2.Определить направление вектора магнитной индукции в точке А для второго проводника с током.
3.Установить направление результирующего вектора магнитной индукции.
Решение
Направление вектора магнитной индукции в точке А для обоих проводников можно определить с помощью правила буравчика. Мысленно направим буравчик по направлению тока в первом проводнике. Тогда получим, что силовые линии магнитного поля направлены против хода часовой стрелки. Поэтому вектор →B1магнитной индукции в точке А направлен относительно рисунка вверх.
Поскольку во втором проводнике направление тока совпадает с направлением тока в первом проводнике, силовые линии создаваемого им магнитного поля тоже направлены против хода часовой стрелки. Но так как точка А относительно этого проводника расположена не справа, а слева, то вектор →B2магнитной индукции в ней направлен вниз.
Поскольку сила тока в первом проводнике больше, он создает более сильное магнитное поле. Следовательно, модуль вектора →B1 магнитной индукции больше модуля вектора →B2. Тогда вектор, являющийся их геометрической суммой, будет направлен вверх.
.
Ответ: Вверхpазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить
Задание EF18500На рисунке показаны сечения двух параллельных длинных прямых проводников и направления токов в них. Как направлен относительно рисунка (вправо, влево, вверх, вниз, к наблюдателю, от наблюдателя) вектор магнитной индукции в точке А, находящейся точно посередине между проводниками, если сила тока I2 во втором проводнике больше силы тока I1 в первом проводнике? Ответ запишите словом (словами).
Алгоритм решения
1.Определить направление вектора магнитной индукции в точке А для первого проводника с током.
2.Определить направление вектора магнитной индукции в точке А для второго проводника с током.
3.Установить направление результирующего вектора магнитной индукции.
Решение
Направление вектора магнитной индукции в точке А для обоих проводников можно определить с помощью правила буравчика. Мысленно направим буравчик по направлению тока в первом проводнике. Тогда получим, что силовые линии магнитного поля направлены против хода часовой стрелки. Поэтому вектор →B1магнитной индукции в точке А направлен относительно рисунка вверх.
Поскольку во втором проводнике направление тока совпадает с направлением тока в первом проводнике, силовые линии создаваемого им магнитного поля тоже направлены против хода часов стрелки. Но так как точка А относительно этого проводника расположена не справа, а слева, то вектор →B2магнитной индукции в ней направлен вниз.
Поскольку сила тока во втором проводнике больше, он создает более сильное магнитное поле. Следовательно, модуль вектора →B2 магнитной индукции больше модуля вектора →B1. Тогда вектор, являющийся их геометрической суммой, будет направлен вниз.
Ответ: Внизpазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить
инновационные векторы развития научной школы Т.С. Комаровой в новом образовательном пространстве
Третьяков Андрей Леонидович – доцент кафедры дошкольного образования Московского государственного областного университета, старший преподаватель кафедры социальной психологии Московского психолого-социального университета (Москва, Россия), [email protected]
В статье определен вклад выдающегося педагога, ученого, практика, учителя, исследователя, создателя целостной системы эстетического воспитания детей Т.С. Комаровой. Определены сущностные векторы развития научной школы Т.С. Комаровой, в том числе и в контексте экологического образования подрастающего поколения. Отражен вклад ученого как в науку, так и в лично автора данной статьи – последователя идей Т.С. Комаровой.
Ключевые слова: Т.С. Комарова, научная школа, эколого-эстетическое воспитание, подрастающее поколение, учитель.
Имя Тамары Семёновны Комаровой связано с целой эпохой в дошкольной педагогической теории и образовательно-воспитательной практики, ведь именно с первых публикаций Т.С. Комаровой, которые датируются 1950 годами, начинается период художественно-эстетического воспитания подрастающего поколения. Последователи школы Т.С. Комаровой продолжают работу в различных направлениях уже в новых, цифровых условиях третьего тысячелетия.
В современных социокультурных и образовательных условиях у профессионального сообщества, в частности, и у государства в целом, возникает интерес к выявлению системы научного потенциала.
Важным понятием в системе научного потенциала страны является научное сообщество, фактически обозначающее одну из структурных единиц науки.
Можно выделить три группы научных сообществ:
1) академическая наука, которая в условиях централизованной системы хозяйствования обеспечивает высокое развитие практически всех фундаментальных направлений;
2) отраслевая наука, превратившая страну в одну из супердержав;
3) вузовская наука, подготавливающая кадры и вносящая свой вклад в академическую и отраслевую науку.
Перспективы науки всегда определялись перспективами ведущих научных школ и незримых колледжей. Особенно это характерно для XXI столетия, когда все отрасли мировой науки достигли выдающихся высот, а любые научные проблемы требуют объединения усилий ученых и образования научных коллективов.
В этих условиях чрезмерно возрастает значение и роль научных школ.
Научные школы – это не только и не столько административные, производственные образования на факультетах и в научных подразделениях, это неформальные коллективы.
В связи с этим представляется актуальным и необходимым рассмотреть теоретические и практиоориентированные аспекты научной школы профессора Тамары Семёновны Комаровой.
Тамара Семёновна Комарова – доктор педагогических наук, профессор, заслуженный деятель науки Российской Федерации, академик Международной академии наук педагогического образования, имеет правительственные и ведомственные награды − юбилейную медаль «За доблестный труд» в ознаменование 100-летия со дня рождения В.И. Ленина, значки «Отличник народного просвещения» (РСФСР), «Отличник просвещения СССР», медаль «За заслуги перед Отечеством» II степени, медаль К.Д. Ушинского, медаль ВДНХ, медаль «В память 850-летия Москвы», медаль «Ветеран труда». Т.С. Комарова продолжает активную публикационную деятельность. У нее разработана программа дошкольного образования и поурочные планы по изобразительному искусству для детей с 3 до 10 лет [1].
Признание научного вклада Тамары Семёновны Комаровой подтверждается присуждением в 2015 году почётного звания «Основатель научной школы» (Эстетическое воспитание личности) Международной академии наук педагогического образования.
Особенностью этой школы являются принципиальность и честность, профессиональное мастерство и этика, открытость опыту и чувство долга перед отечественным образованием. Научная школа Т.С. Комаровой включает в себя более чем 100 её учеников, их исследования по различным направлениям и областям эстетического воспитания.
С 1975 года, с момента защиты первой кандидатской диссертации (В.Ф. Котляр), выполненной под руководством Т.С. Комаровой, прошло более 40 лет, и все эти годы в копилку отечественной научной мысли привносятся идеи эстетического развития.
Разнообразна география самих участников Школы (Москва, Запорожье, Минск, Тбилиси, Орел, Магнитогорск, Горький, Талды-Курган, Бельцы, Рига, Липецк, Ровно, Благовещенск, Новосибирск, Пермь, Иркутск, Ханой, Северодвинск, Ош, Киров, Челябинск, Саранск, Ставрополь, Ульяновскё Биробиджан, Арзамас, Иркутск, Волгоград, Абакан, Шуя, Одинцово, Коломна, Обнинск, Йошкар-Олаё Тольятти, Якутск, Можайск, с. Прохоровка, Красноводск и др.).
Обширны тематика исследований и направления работы. В разные годы под научным руководством Т.С. Комаровой были защищены кандидатские диссертации по вопросам народного декоративно-прикладного искусства и народных художественных промыслов, игрового фольклора у дошкольников и младших школьников (Л.Б. Горунович, А.А. Грибовская, Г.А. Хамидуллина, И.А. Старкова, Г.П. Новикова, О.А. Соломенникова, В.А. Краснова, Т.В. Антонова, М.Н. Братухина, Е.Г. Боронина и др.).
Для более полного и широкого рассмотрения вклада в педагогическую теорию и практику научной школы Т.С. Комаровой автором данной работы был создан указатель «Тамара Семёновна Комарова: биобиблиографический указатель трудов с 1959 по 2014 гг.» [2], в котором отражены все вехи жизни и творческой деятельности учёного. Инициатива создания указателя была обусловлена информационными запросами педагогического сообщества об отражении научного вклада учёного и приурочена к юбилею Т.С. Комаровой. Указатель имеет ряд разделов, которые позволяют проследить в хронологическом порядке становление и развитие научного мировоззрения учёного. В нём впервые отражена (по разделам) редакторская, составительская, научная деятельность Т.С. Комаровой. Работу с данным пособием облегчает наличие именного указателя; указателя публикаций, вышедших на разных языках мира; указателя статей и монографий Т.С. Комаровой, в которых она была ответственным редактором; указателя названий монографий, сборников, тезисов докладов, журналов, в которых опубликованы научные труды профессора Т.С. Комаровой.
Помимо этого, на страницах указателя можно увидеть список диссертантов заслуженного деятеля науки Российской Федерации (кандидаты и доктора наук) за весь период защиты (с 1975 по 2014 гг.).
Отметим, что Тамара Семёновна Комарова в своих трудах описывает те или иные проблемы дошкольного воспитания и начального образования весьма простым языком, который понятен как теоретикам педагогической науки, а самое главное – практикам, которые работают по её методикам и программам. Среди них можно выделить следующие:
• «Шаг в будущее» является новой общеобразовательной программой дошкольного образования. Новизна Программы обозначена в её цели, которая гласит: «научить детей жить и развиваться в меняющемся мире». Ещё одна не менее важная составляющая, определяющая новизну – введение в педагогический процесс воспитания и образования детей дошкольного возраста от двух до семи лет новых компьютерных технологий (не ранее трёх лет), которые расширяют содержание и возможности познания детей, и которые будут включаться практически во все формы работы с детьми. В результате реализации Программы, компьютерные технологии широко войдут в процесс управления дошкольных организаций, в том числе в работу с родителями. В Программе на первое место вынесено физическое развитие. Это связано со снижением общего уровня состояния здоровья малышей. По всем образовательным областям и направлениям работы с детьми разработаны конспекты занятий и других форм работы. Программа составлена на основе современных исследований в разных областях знания, соответствует ФГОС. Программа представляет интегрировано разработанный документ. Тамара Семеновна отметила особенности построения программы, которое позволяет воспитателю увидеть картину развития ребенка более полно, в целостности.
• «От рождения до школы». Программа разработана на основе ФГОС ДО и предназначена для использования в дошкольных образовательных организациях для формирования основных образовательных программ. Главной задачей, стоящей перед авторами Программы, является создание программного документа, помогающего педагогам организовать образовательно-воспитательный процесс в соответствии с требованиями ФГОС и позволяющего написать на базе Примерной программы свою ООП.
Ведущие цели Программы — создание благоприятных условий для полноценного проживания ребенком дошкольного детства, формирование основ базовой культуры личности, всестороннее развитие психических и физических качеств в соответствии с возрастными и индивидуальными особенностями, подготовка к жизни в современном обществе, формирование предпосылок к учебной деятельности, обеспечение безопасности жизнедеятельности дошкольника.
• «Образование для процветания» (утверждена Агентством стратегических инициатив) — общеобразовательная программа дошкольного образования, является новой классической гуманистической и демократической программой, основанной на последних достижениях прогрессивной психолого-педагогической и медицинской науки, как отечественной, так и зарубежной, и рассчитана на детей от 2 до 7 лет. Актуальность создания новой программы определяется произошедшими в последние десятилетия в мире радикальными изменениями, касающимися технологий, информации и науки. Многие наши представления о развитии человека, функционировании его органов приходится пересматривать, а следовательно, приходится по-новому рассматривать многие вопросы педагогики и психологии детства. Способности ребенка, которые раньше воспринимались как дар, теперь регулируются, поддаются воздействию, могут быть усилены или наоборот подавлены. Ориентация общества на развитие знаний, инноваций, новых технологий требует иных, более интенсивных методов воспитания и образования. Это, в свою очередь, требует наращивания развивающих, а не компенсаторных процессов в педагогике.
Таким образом, контент-анализ приведённых выше программ и выборочное интервьюирование специалистов дошкольных образовательных организаций позволяют утверждать, что особенный вклад Тамары Семёновны Комаровой в педагогическую науку составляет то, что всё её труды написаны понятным для всех групп пользователей языком и находят внедрение в более чем 85% детских садов Российской Федерации [3].
Не менее важным, на наш взгляд, при рассмотрении научной школы учёного является его публикационная активность, в частности, работы, написанные учёным на языке оригинала и переведённые на иностранные языки. Профессор Т. С. Комарова в данном случае является одним из самых переводимых авторов, особенное в советское время. На украинский, болгарский, японский, узбекский, казахский, литовский, киргизский и молдавский языки переведены около 30 работ Тамары Семёновны. При чём около 48% публикаций переведены на японский язык, что говорит об уникальности и востребованности её научных трудов. Большинство работ переведено в 1970-е гг. Данный факт, на наш взгляд, может быть обусловлен тем, что Т.С. Комарова в это время защитила диссертацию на соискание учёной степени доктора педагогических наук по теме «Теория и практика обучения изобразительной деятельности в детском саду». Наряду с этим, также стоит отметить, что переводные публикации Тамары Семёновны даже в настоящее время являются востребованными в библиотеках ближнего и дальнего зарубежья, о чём говорит проведённый анализ электронных каталогов библиотек и запросов в виртуальных справочных службах библиотек Японии, Украины, Казахстана, Литвы, Болгарии, Киргизии и др.
Рис. 1. Анализ публикационной активности Т.С. Комаровой
Идеи научной школы доктора педагогических наук, профессора Т.С. Комаровой также прослеживаются и в диссертантах учёного. Отметим, что под руководством Тамары Семёновны защищено порядка 10 докторских диссертаций и 95 кандидатских. Общая тема – художественно-эстетическая компонента в дошкольном воспитании и начальном образовании. Анализ тем диссертации требует более детального библиометрического рассмотрения, а также поиска семантических гнёзд для определения тезаурусной модели научной школы Т.С. Комаровой.
Особо внимания заслуживает и промежуточные итоги публикационной активности учёного, которые отражены в национальной библиографической базе данных «Научная электронная библиотека».
Из анализа публикационного ландшафта Т.С. Комаровой мы видим, что в последнее время вклад учёного зиждется в двух основных центрах развития педагогической теории и практики – Московском государственном областном университете и Московском педагогическом государственном университете, где она является заслуженным профессором.
Считаем, что для современной дошкольной педагогической науки и практики труды Т.С. Комаровой – это основа, на которой зиждется вся теория и воспитательная практика подрастающего поколения не только в лоне художественного, но и эколого-эстетического воспитания.
Итак, одной из уникальных особенностей вклада Т.С. Комаровой в современную науку является сама подача материала и понимание у всех заинтересованных лиц той или иной публикации учёного.
Лично для меня Т.С. Комарова – это Учитель, Учёный и главный наставник в мире науки и практики.
Вклад выдающегося заслуженного деятеля науки Российской Федерации в дошкольную педагогическую теорию и практику, действительно, весьма высок и истинная ценность Школы эстетического воспитания доктора педагогических наук, профессора, академика Международной академии наук педагогического образования Тамары Семёновны Комаровой – это фундаментальная основа для будущих исследовательских поколений, которые должны опираться на ведущие векторы манифеста Т.С. Комаровой – работа, успех и доверие!
Список литературы
1.Комарова Тамара Семёновна. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0,_%D0%A2%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D1%80%D0%B0_%D0%A1%D0%B5%D0%BC%D1%91%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0
2. Тамара Семёновна Комарова: библиогр. указ. трудов с 1959 по 2014 гг. / Сост.: А.Л. Третьяков; науч. ред.: Т.С. Комарова. – М., 2015. 116 с. (Учёные-педагоги).
3. Третьяков А.Л. Научная школа профессора Т.С. Комаровой: вклад в педагогическую теорию и образовательную практику // Crede Experto: транспорт, общество, образование, язык. – 2018. – № 2. – С. 281–289.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ | Энциклопедия Кругосвет
Содержание статьиДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел геометрии, в котором свойства кривых, поверхностей и других геометрических многообразий изучаются методами математического анализа, в первую очередь – дифференциального исчисления. Работы по дифференциальной геометрии К.Гаусса (1777–1855), Г.Дарбу (1842–1917), Л.Бианки (1856–1928) и Л.Эйзенхарта (1876–1965) посвящены, главным образом, свойствам, проявляющимся в малой окрестности обычной точки многообразия. Это предмет так называемой дифференциальной геометрии «в малом». Более поздние работы, особенно начиная с 1930-х годов, посвящены изучению взаимосвязей между дифференциальной геометрией малых окрестностей и «глобальными» свойствами всего многообразия. Эту теорию называют дифференциальной геометрией «в целом». Кроме того, дифференциальная геометрия разбивается на разделы по аналогии с подразделением всей геометрии. Если на рассматриваемом многообразии определено расстояние, то возникает «метрическая» дифференциальная геометрия, называемая римановой в честь ее создателя Б.Римана (1826–1866). Аналогично проективная, аффинная и конформная дифференциальные геометрии занимаются изучением дифференциальных свойств пространств, в которых выделяются проективные, аффинные или конформные аспекты. Хотя первоначально дифференциальная геометрия занималась изучением свойств кривых и поверхностей в обычном пространстве, ныне она изучает многообразия любого числа измерений, которые могут быть (а могут и не быть) подпространствами евклидова пространства.
Кривые на плоскости и в пространстве.
Будем задавать кривые на плоскости параметрическими уравнениями x = f (s), y = g (s), где s – натуральный параметр, длина дуги кривой. В векторной форме это можно записать так: X = F(s). См. также ВЕКТОР.
Тогда единичный вектор касательной к кривой задается формулой
Вектор dT/ds в каждой точке кривой перпендикулярен к касательной, а его длина равна кривизне k кривой. Прямая, перпендикулярная касательной, проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой. Следовательно, если N – единичный вектор нормали, то
Кроме того, можно показать, что
Если k задана как функция от s, например, k = f(s), то уравнения (1)–(3) определяют кривую однозначно с точностью до ее положения на плоскости. Соотношение k = f(s) называется внутренним уравнением кривой.
Кривая в обычном пространстве, не лежащая на плоскости, называется пространственной кривой. Чтобы исследовать дифференциальную геометрию такой кривой, зададим ее параметрическими уравнениями x = f(s), y = g(s), z = k(s) (s – натуральный параметр) или, в векторной форме, уравнением X = F(s). Единичный вектор касательной определяется равенством
Вектор dT/ds в каждой точке задает нормаль к кривой; заметим, что это лишь одна из бесконечного множества нормалей к пространственной кривой в этой точке. Единичный вектор в направлении вектора dT/ds называется единичным вектором главной нормали N кривой, а длина вектора dT/ds, как и в случае плоских кривых, называется кривизной кривой:
Вектор dN/ds перпендикулярен к N, и поэтому его можно записать в виде
где B – единичный вектор нормали, перпендикулярной к N. Прямая, определяемая вектором B, называется бинормалью к кривой, а коэффициент t в (6) – кручением кривой. Наконец, рассмотрим вектор dB/ds; можно показать, что
Соотношения (5)–(7) называются формулами Френе. Из них следует, что если функции k = f (s) и t = y (s) заданы, то кривая определена однозначно с точностью до положения в пространстве. Таким образом, в этих формулах содержится вся теория пространственных кривых. Плоскость, определяемая векторами T и N, называется соприкасающейся, плоскость, содержащая векторы N и B, – нормальной и плоскость, проходящая через векторы B и T, – спрямляющей.
Поверхности в пространстве.
Дифференциальные свойства поверхностей в обычном пространстве выводятся из их первой и второй основных квадратичных форм. Пусть поверхность задана параметрическими уравнениями x = f (u1, u2), y = g (u1, u2), z = h (u1, u2) или векторным уравнением X = F (u1, u2). (Верхними индексами здесь нумеруются переменные.) Дифференциал длины дуги ds определяется первой основной формой, а именно
где g11, g12 и g22 – функции от u1 и u2, определяемые выражениями
Полезно также ввести величины gij:
Первая фундаментальная форма полностью определяет внутреннюю геометрию поверхности, т.е. ту геометрию, которую наблюдал бы воображаемый обитатель поверхности, неспособный воспринимать происходящие вне нее явления. Такое двумерное существо находилось бы в положении, сравнимом с положением обычного трехмерного человека, воспринимающего геометрию нашего трехмерного пространства, но неспособного воспринимать свойства пространства большего числа измерений, в котором лежит наше пространство (если такое пространство действительно существует).
Плоскость, касательная к поверхности в точке P, определяется двумя векторами в P, задаваемыми формулами
Единичный вектор нормали N определяется как общий перпендикуляр к T1 и T2. Как и в теории кривых, удобно рассмотреть векторы ¶Ti/¶uj (i, j = 1, 2). Эти векторы можно разложить по направлениям векторов T1, T2 и N:
Величины Гijk в (9) называются символами Кристоффеля второго рода. Они определяются через величины [i, j, k] (символы Кристоффеля первого рода) соотношениями
где по определению
Величины bij в (9) называются коэффициентами второй основной формы поверхности. Сравнивая (9) с (5), нетрудно видеть, что для поверхности bijиграют такую же роль, как кривизна для плоских кривых: они описывают внешние свойства поверхности – непостижимые для воображаемого двумерного существа, живущего на поверхности, но доступные пониманию обычного трехмерного человека.
Любой единичный вектор, касательный к поверхности, может быть записан в виде
где g11l1l1 + 2g12l1l2 + g22l2l2 = 1. Кривизна поверхности в направлении вектора l равна
За полуоборот вектора l кривизна k(l) изменяется и достигает в общем случае ровно одного максимального и одного минимального значения. Эти значения соответствуют двум положениям вектора l, находящимся под прямым углом друг к другу, а соответствующие значения k(l) называются главными кривизнами поверхности. Произведение главных кривизн называется полной (гауссовой) кривизной K поверхности, а их сумма – средней кривизной H. Эти величины определяются выражениями
и
Важную роль играют поверхности с постоянной гауссовой кривизной. При K = 0 поверхность плоская, или развертывающаяся, поскольку у нее такая же внутренняя геометрия, как у плоскости. Примерами развертывающихся поверхностей могут служить прямые круговые конусы и цилиндры. При K > 0 поверхность имеет эллиптическую неевклидову геометрию, а при K
Гаусс доказал замечательную теорему относительно кривизны K, утверждающую, что она может быть выражена через одни лишь внутренние величины, а именно через gij и их производные. Это следует из того, что определитель матрицы (bij) равен R1212, где
Величина (Rlijk) называется тензором кривизны поверхности.
Риманова геометрия.
Обобщением и абстрактным вариантом только что описанной геометрии поверхности служит риманова геометрия. Она описывает n-мерное многообразие, на котором элемент длины дуги определяется формулой
в некоторой системе координат по аналогии с (8). На обычной поверхности определитель матрицы (gij) положителен, в римановой же геометрии предполагается лишь, что он отличен от нуля. Риманово пространство с римановой геометрией необязательно является подпространством пространства какой-нибудь более высокой размерности. Символы Кристоффеля и тензор кривизны определяются через gij, как и в описанном выше случае обычных поверхностей.
Секционная кривизна K12 риманова пространства в точке P определяется через ориентацию, задаваемую двумя векторами l1 и l2:
Если она одинакова для всех векторов l1 и l2, то она постоянна и для всех точек P, и пространство называется пространством постоянной кривизны, скажем K, где
Свернутый тензор кривизны, определяемый выражением
играет важную роль в общей теории относительности Эйнштейна. Пространство, в котором Rik = mgij, называется пространством Эйнштейна.
Дифференциальная геометрия в целом.
Наиболее фундаментальная из известных взаимосвязей между топологией и дифференциальной геометрией устанавливается теоремой Гаусса – Бонне, которая утверждает, что для обычных замкнутых поверхностей
где интеграл берется по всей поверхности, K – гауссова кривизна и c – характеристика Эйлера – Пуанкаре. На произвольные замкнутые римановы пространства этот результат был распространен в 1943 К.Аллендёрфером и А.Вейлем. См. также МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, ТОПОЛОГИЯ.
Психофизика | Britannica
Psychophysics , изучение количественных отношений между психологическими событиями и физическими событиями или, более конкретно, между ощущениями и стимулами, которые их вызывают.
Физическая наука позволяет, по крайней мере, для некоторых органов чувств, точное измерение в физической шкале величины стимула. Путем определения величины стимула, достаточной для того, чтобы вызвать ощущение (или реакцию), можно указать минимальный воспринимаемый стимул или абсолютный порог стимула (стимулерин) для различных органов чувств.Центральное исследование психофизики относится к поиску законного количественного отношения между стимулом и ощущением для диапазона стимулов между этими пределами.
Психофизика была основана немецким ученым и философом Густавом Теодором Фехнером. Он придумал это слово, разработал фундаментальные методы, провел сложные психофизические эксперименты и начал линию исследований, которые до сих пор существуют в экспериментальной психологии. Классическую книгу Фехнера « Elemente der Psychophysik » (1860) можно рассматривать как начало не только психофизики, но и экспериментальной психологии.
Получив образование в области физики, Фехнер в более поздние годы заинтересовался метафизикой и искал способ связать духовное с физическим миром. Он натолкнулся на понятие измерения ощущения по отношению к его стимулу. Немецкий физиолог Эрнст Генрих Вебер обнаружил, что величина изменения величины данного стимула, необходимая для получения едва заметного изменения ощущений, всегда имеет приблизительно постоянное отношение к общей величине стимула. Этот факт, собственно говоря, является законом Вебера: если два веса отличаются на едва заметную величину при разделении на заданное приращение, то при увеличении весов приращение должно быть пропорционально увеличено, чтобы разница оставалась заметной.Фехнер применил закон Вебера к измерению ощущения по отношению к стимулу. Получившаяся формула Фехнер назвал законом Вебера (часто называемым законом Фехнера-Вебера). Он выражает простое соотношение, согласно которому величина стимула должна быть увеличена геометрически, если величина ощущения должна увеличиваться арифметически. Для физиологов и многих философов это позволило измерить ощущение по отношению к измеряемому стимулу и тем самым создало возможность научной количественной психологии.
Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчасСовсем недавно психофизики предложили оценивать психические величины путем экспериментов с прямым масштабированием, а не путем построения шкалы ощущений, основанной на дискриминационных суждениях. Психофизические методы сегодня используются в исследованиях ощущений и в практических областях, таких как сравнение и оценка продуктов (например, табака, парфюмерии и спиртных напитков), а также в психологическом и кадровом тестировании.
векторный анализ | математика | Британника
Полная статья
векторный анализ , раздел математики, который имеет дело с величинами, имеющими как величину, так и направление. Некоторые физические и геометрические величины, называемые скалярами, можно полностью определить, указав их величину в подходящих единицах измерения. Таким образом, масса может быть выражена в граммах, температура — в градусах по некоторой шкале, а время — в секундах. Скаляры могут быть представлены графически точками на некоторой числовой шкале, такой как часы или термометр.Также существуют величины, называемые векторами, которые требуют указания направления, а также величины. Скорость, сила и смещение являются примерами векторов. Векторная величина может быть представлена графически направленным линейным сегментом, обозначенным стрелкой, указывающей в направлении векторной величины, при этом длина сегмента представляет величину вектора.
Векторная алгебра.
Прототипом вектора является направленный отрезок линии A B (, см. Рисунок 1), который, как можно представить, представляет смещение частицы из исходного положения A в новое положение B .Чтобы отличать векторы от скаляров, принято обозначать векторы жирными буквами. Таким образом, вектор A B на рисунке 1 может быть обозначен как a , а его длина (или величина) — как | а |. Во многих задачах положение начальной точки вектора несущественно, поэтому два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
Подробнее по этой теме
аналитическая геометрия: векторный анализ
В евклидовом пространстве любой размерности векторы — направленные отрезки прямых — могут задаваться координатами.Набор из n элементов (a1, …
Равенство двух векторов a и b обозначается обычным символическим обозначением a = b , а полезные определения элементарных алгебраических операций над векторами подсказывает геометрия. Таким образом, если A B = , то на рисунке 1 представляет смещение частицы от A до B , а затем частица перемещается в положение C , так что B C = b , ясно, что смещение от A до C может быть выполнено одним перемещением A C = c .Таким образом, логично записать a + b = c . Это построение суммы c a и b дает тот же результат, что и закон параллелограмма, в котором результирующее c задается диагональю A C параллелограмма, построенного на векторах. A B и A D в качестве сторон. Поскольку положение начальной точки B вектора B C = b несущественно, отсюда следует, что B C = A D .На рисунке 1 показано, что A D + D C = A C , так что коммутативный закон сохраняется для сложения векторов. Кроме того, легко показать, что ассоциативный закон верен, и, следовательно, скобки в (2) можно опустить без каких-либо двусмысленностей.
Если s — скаляр, s a или a s определяется как вектор, длина которого | с || a | и чье направление совпадает с направлением a , когда s положительно, и противоположным направлению a , если s отрицательно.Таким образом, a и — a — это векторы, равные по величине, но противоположные по направлению. Приведенные выше определения и хорошо известные свойства скалярных чисел (представленных s и t ) показывают, что
Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчасПоскольку законы (1), (2) и (3) идентичны законам, встречающимся в обычной алгебре, вполне уместно использовать знакомые алгебраические правила для решения систем линейных уравнений, содержащих векторы.Этот факт позволяет вывести чисто алгебраическими средствами многие теоремы синтетической евклидовой геометрии, требующие сложных геометрических построений.
Произведение векторов.
Умножение векторов приводит к двум типам произведений: скалярному произведению и перекрестному произведению.
Точечное или скалярное произведение двух векторов a и b , записанное a · b , является действительным числом | a || b | cos ( a , b ), где ( a , b ) обозначает угол между направлениями a и b .Геометрически
Если a и b расположены под прямым углом, тогда a · b = 0, и если ни a , ни b не являются нулевым вектором, то исчезновение скалярного произведения показывает, что векторы быть перпендикулярными. Если a = b , то cos ( a , b ) = 1 и a · a = | a | 2 дает квадрат длины a .
Ассоциативные, коммутативные и дистрибутивные законы элементарной алгебры действительны для умножения векторов на точки.
Перекрестное или векторное произведение двух векторов a и b , записанное a × b , является вектором, где n — вектор единичной длины, перпендикулярный плоскости a и b. и направлен таким образом, что правосторонний винт, повернутый от до к b , будет продвигаться в направлении n ( см. Рисунок 2). Если a и b параллельны, a × b = 0.Величина a × b может быть представлена площадью параллелограмма, имеющей a и b в качестве смежных сторон. Кроме того, поскольку вращение от b к a противоположно вращению от a к b ,
Рисунок 2: Перекрестное произведение, образованное умножением двух векторов
Encyclopædia Britannica, Inc.Это показывает, что перекрестное произведение не коммутативно, но ассоциативный закон ( s a ) × b = s ( a × b ) и закон распределения справедливы для перекрестных произведений.
Системы координат.
Поскольку эмпирические законы физики не зависят от специального или случайного выбора систем отсчета, выбранных для представления физических отношений и геометрических конфигураций, векторный анализ является идеальным инструментом для изучения физической вселенной. Введение специальной системы отсчета или системы координат устанавливает соответствие между векторами и наборами чисел, представляющими компоненты векторов в этой системе координат, и вводит определенные правила работы с этими наборами чисел, которые следуют из правил операций на линии сегменты.
Если выбран какой-то конкретный набор из трех неколлинеарных векторов (называемых базовыми векторами), то любой вектор A может быть однозначно выражен как диагональ параллелепипеда, ребра которого являются компонентами A в направлениях базовых векторов. . Обычно используется набор из трех взаимно ортогональных единичных векторов (, т. Е. векторов длины 1) i , j , k , направленных вдоль осей знакомой декартовой системы отсчета ( см. Рисунок 3) .В этой системе выражение принимает вид где x , y и z — это проекции A на оси координат. Когда два вектора A 1 и A 2 представлены как тогда использование законов (3) дает для их суммы
Рисунок 3: Разрешение вектора на три взаимно перпендикулярных компонента
Encyclopædia Britannica, Inc.Таким образом, в декартовой системе отсчета сумма A 1 и A 2 является вектором, определяемым соотношением ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3 ).Кроме того, скалярное произведение может быть записано с
. Использование закона (6) приводит к тому, что перекрестное произведение является вектором, определяемым тройкой чисел, появляющихся как коэффициенты i , j и k в (9).
Если векторы представлены матрицами размером 1 × 3 (или 3 × 1), состоящими из компонентов ( x 1 , x 2 , x 3 ) векторов, это возможно перефразировать формулы (7) — (9) на языке матриц.Такая перефразировка предполагает обобщение концепции вектора на пространства размерности выше трех. Например, состояние газа обычно зависит от давления p , объема v , температуры T и времени t . Четверка чисел ( p , v , T , t ) не может быть представлена точкой в трехмерной системе отсчета. Но поскольку геометрическая визуализация не играет никакой роли в алгебраических вычислениях, образный язык геометрии все еще можно использовать, введя четырехмерную систему отсчета, определяемую набором базовых векторов a 1 , a 2 , a 3 , a 4 с компонентами, определяемыми строками матрицы
Затем вектор x представляется в такой форме, что в четырехмерном пространстве каждый вектор определяется четверкой компоненты ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ).
Исчисление векторов.
Частица, движущаяся в трехмерном пространстве, может быть расположена в каждый момент времени t с помощью вектора положения r , проведенного из некоторой фиксированной точки отсчета O . Поскольку положение конечной точки r зависит от времени, r является векторной функцией t . Его компоненты в направлениях декартовых осей, представленные в O , являются коэффициентами i , j и k в представлении
Если эти компоненты являются дифференцируемыми функциями, производная r с относительно t определяется формулой, которая представляет скорость v частицы.Декартовы компоненты v появляются как коэффициенты i , j и k в (10). Если эти компоненты также являются дифференцируемыми, ускорение a = d v / d t получается путем дифференцирования (10):
Правила дифференцирования произведений скалярных функций остаются в силе для производных от точечные и кросс-произведения векторных функций, а также подходящие определения интегралов векторных функций позволяют построить исчисление векторов, которое стало основным аналитическим инструментом в физических науках и технике.
Узнайте больше в этих связанных статьях Britannica:
аналитическая геометрия: векторный анализ
В евклидовом пространстве любой размерности векторы — направленные отрезки прямых — могут задаваться координатами. Кортеж из n элементов ( 1 ,…, n ) представляет вектор в n-мерном пространстве, который проецируется на действительные числа a 1 ,…, n на осях координат.…
математика: линейная алгебра
Уиллард Гиббс занялся векторным анализом и смог распространить векторные методы на вычисления. Таким образом, они ввели меры бесконечно малых изменений векторного поля, которые под названиями div, grad и curl стали стандартными инструментами при изучении электромагнетизма и потенциала …
механика: Векторы
… и Британия, соответственно) каждый применил векторный анализ , чтобы помочь выразить новые законы электромагнетизма, предложенные Джеймсом Клерком Максвеллом.…
Компонент вектора
Вектор — это величина, которая имеет как величину, так и направление. Смещение, скорость, ускорение и сила — это векторные величины, которые мы уже обсуждали в Учебном пособии по физике. В первой паре единиц все векторы, которые мы обсуждали, были просто направлены вверх, вниз, влево или вправо. Когда была диаграмма свободного тела, изображающая силы, действующие на объект, каждая отдельная сила была направлена в одном измерении — вверх или вниз, влево или вправо.Когда объект имел ускорение и мы описали его направление, он был направлен в в одном измерении — вверх или вниз, влево или вправо. Теперь в этом модуле мы начинаем видеть примеры векторов, которые направлены в в двух измерениях — вверх и вправо, на север и запад, на восток и юг и т. Д.
Что такое компонент?В ситуациях, когда векторы направлены под углами к обычным координатным осям, будет использован полезный математический трюк, чтобы преобразовать вектор на две части, каждая из которых направлена вдоль координатных осей.Например, вектор, направленный на северо-запад, можно представить как имеющий две части — северную и западную. Вектор, направленный вверх и вправо, можно представить как имеющий две части — восходящую часть и правую часть.
Любой вектор, направленный в двух измерениях, можно рассматривать как имеющий влияние в двух разных направлениях. То есть его можно представить как состоящий из двух частей. Каждая часть двумерного вектора известна как компонент .Компоненты вектора отображают влияние этого вектора в заданном направлении. Совместное влияние двух компонентов эквивалентно влиянию одного двумерного вектора. Единственный двумерный вектор можно заменить двумя компонентами.
Угловые векторы состоят из двух компонентовЕсли собачья цепь Фидо растягивается вверх и вправо и туго натягивается его хозяином, то сила натяжения в цепи имеет две составляющие — восходящую и правую.Для Фидо влияние цепи на его тело эквивалентно влиянию двух цепей на его тело: одна тянет вверх, а другая тянет вправо. Если бы одна цепь была заменена двумя цепями. поскольку каждая цепочка имеет величину и направление компонентов, Фидо не заметит разницы. Это не потому, что Фидо — это тупой (беглый взгляд на его изображение показывает, что он определенно не такой), а потому, что комбинированное влияние двух компонентов эквивалентно влиянию одного двухмерного вектора.
Рассмотрим картину, которая прикреплена к стене с помощью двух проводов, натянутых по вертикали и горизонтали. Каждая проволока оказывает на картину силу натяжения, чтобы выдержать ее вес. Поскольку каждая проволока растягивается в двух измерениях (как по вертикали, так и по горизонтали), сила натяжения каждой проволоки имеет две составляющие — вертикальную составляющую и горизонтальную составляющую.Сосредоточившись на проводе слева, мы могли бы сказать, что провод имеет левую и восходящую составляющие. Это означает, что провод слева можно заменить двумя проводами, один тянет влево, а другой тянет вверх. Если бы одиночный провод был заменен двумя проводами (каждый из которых имел величину и направление компонентов), то это не повлияло бы на стабильность изображения. Совместное влияние двух компонентов эквивалентно влиянию одного двумерного вектора.
Представьте себе самолет, который летит из международного аэропорта Чикаго О’Хара в пункт назначения в Канаде. Предположим, что самолет летит таким образом, что его результирующий вектор смещения направлен на северо-запад. Если это так, то смещение плоскости имеет две составляющие — составляющую в северном направлении и составляющую в западном направлении. Это означает, что самолет имел бы такое же водоизмещение, если бы он летел в Канаду двумя сегментами: один был направлен на север, а другой — на запад.Если бы один вектор смещения был заменен этими двумя отдельными векторами смещения, то пассажиры в самолете оказались бы в одном и том же конечном положении. Совместное влияние двух компонентов эквивалентно влиянию одного двумерного смещения.
Любой вектор, направленный в двух измерениях, можно представить как имеющий два разных компонента. Компонент одного вектора описывает влияние этого вектора в заданном направлении.В следующей части этого урока мы исследуем два метода определения величины компонентов. То есть мы исследуем , насколько влияет на вектор в данном направлении.
Математика | Бесплатный полнотекстовый | Алгебра комплексных векторов и приложения в теории электромагнетизма и квантовой механике
3.4.1. Квантовое и классическое соответствие
Идея Планка о нулевой энергии была изучена Маршаллом [49] в терминах классической стохастической электродинамики и обнаружила связь между классическими и квантовыми осцилляторами. Это вдохновило на интересные модификации классической электродинамики, получившие название стохастической электродинамики. Стохастическая электродинамика занимается движением заряженных частиц в классическом электромагнитном флуктуирующем нулевом поле. Стохастическая электродинамика была разработана в основном для вывода квантовой механики из классической физики [50,51,52].Колебательный характер частицы объясняется случайными колебаниями, определяемыми нулевым полем. Спектральная плотность стохастического излучения нулевой точки пропорциональна ω3, что приводит к лоренц-инвариантности, и поле одинаково для всех инерциальных систем отсчета. Поэтому его называют классическим электромагнитным нулевым полем. Электромагнитное поле нулевой точки состоит из флуктуирующего излучения, которое может быть выражено как суперпозиция поляризованных плоских волн. В поле нулевой точки свободная частица не может оставаться в покое, но из-за случайных импульсов от флуктуирующего поля нулевой точки колеблется около своего положения равновесия.При рассмотрении классической стохастической электродинамики объяснение принципа неопределенности и многих других квантовых явлений было показано несколькими авторами. Полный обзор стохастической электродинамики, которая рассматривает флуктуации вакуума квантовой электродинамики в основном состоянии как реальное классическое электромагнитное поле, и феноменологический стохастический подход к фундаментальным аспектам квантовой механики был дан de La Pena et al. [52,53]. В стохастической электродинамике, если не накладывать верхнюю граничную частоту для спектра поля нулевой точки, энергия осциллятора будет расходящейся.Несмотря на успех в объяснении нескольких квантовых явлений, результаты, полученные в стохастической электродинамике, имеют определенные недостатки; он не учитывает силу Лоренца из-за нулевого магнитного поля, он не работает в случае нелинейных сил, невозможно объяснить резкие спектральные линии, невозможно объяснить дифракцию электронов, и, кроме того, уравнение Шредингера может быть получено только в частных случаях. Недавно Cavalleri et al. [45] представил стохастическую электродинамику со спином и объяснил несколько интересных явлений, например, устойчивость эллиптических орбит в атоме, происхождение специальной теории относительности и объяснение дифракции электронов.Показано, что недостатки стохастической электродинамики могут быть устранены введением в задачу спина. Частица имеет естественную частоту отсечки, равную частоте вращения, которая является максимальной частотой электрона в интерпретации zitterbewegung. Это устраняет проблему расходимости в стохастической электродинамике. Эти недавние достижения в области стохастической электродинамики полностью подтверждают предположение, что стохастическое электромагнитное поле представляет собой поле нулевой точки.В квантовой механике мы рассматриваем частицу как точечную частицу без какой-либо структуры, или можно выбрать радиус обрезания, стремящийся к нулю. В сложной структуре заряженной частицы мы рассматриваем положение центра масс и центра заряда как отдельные. Обозначая центр локальных комплексных вращений вектором положения x и радиус вращения вектором ξ , комплексный вектор, связанный как с движением точки центра масс, так и с внутренними комплексными вращениями, задается уравнением (262 ).Комплексный бивектор спина и вектор импульса задаются уравнениями (264) и (272) соответственно. В подходе стохастической электродинамики, рассматривая стационарное решение при постоянной частоте осциллятора заряженных частиц в случайном нулевом поле, Бойер [54] показал, что средняя составляющая инварианта адиабатического действия 〈J〉 оказалась равной / 2, которая находится в в соответствии с адиабатической гипотезой квантовой теории. Затем мы рассматриваем величину спинового углового момента частицы как / 2.В качестве направления вращения в кадре покоя можно выбрать любую ось. Рассматривая общую ось квантования вдоль оси z, ориентацию спина бивекторной плоскости спина можно выбрать вдоль плоскости iσ3.S = ξ∧π = iσ3ℏ / 2
(317)
Квантовое условие — это фундаментальная идея, которая ведет к развитию квантовой механики. Переход от классической механики к квантовой может быть осуществлен путем замены канонических сопряженных динамических переменных эрмитовыми операторами, а некоммутативность этих операторов дает квантовые условия.] = iℏ является основой всей квантовой механики. Дирак дал элегантное обобщение квантового условия из динамической теории скобок Пуассона в классической механике. Квантовая скобка Пуассона любых двух динамических переменных определяется как [2]ab − ba = ik [a, b] П. Б..
(318)
Здесь действительная константа k должна быть универсальной константой и выбираться как уменьшенная постоянная Планка ℏ, а мнимая единица вводится, чтобы сделать левую часть уравнения (318) действительной.В случае канонических координат и импульсов скобка Пуассона заменяется на δij. Теперь мы преобразуем динамические переменные в линейные операторы, чтобы окончательно определить квантовое условие. Дирак писал в своих принципах квантовой механики, что если линейные операторы a и b в общем случае действительны, произведение ab не является действительным. Кроме того, ab + ba вещественно, как и i (ab − ba). В этом заключается важное различие между классической механикой и квантовой механикой. Аналогия между квантовой механикой и классической механикой получается в предельном случае ℏ → 0.По мнению Дирака, квантовое условие является более фундаментальным понятием, чем классическая скобка Пуассона. Однако причина присвоения позиции и импульса в качестве операторов точно не известна, но квантовое условие принимается в качестве основного.
Чтобы найти классическое соответствие в случае частицы с внутренней структурой, можно заметить, что величина | ξ | относится к средним значениям отклонений в измерениях положения и в том же состоянии | π | относится к средним значениям отклонений при измерении количества движения.Теоретически | ξ | дает предел, с которым предсказывается положение частицы. Экспериментально | ξ | описывает точность, с которой контролируется положение частицы. Внутреннее положение и импульс можно считать эквивалентными отклонениям частицы на ее пути, и поэтому мы выражаем где, x¯ и p¯ — средние значения положения и импульса, а n и m — единичные векторы вдоль векторов ξ и π соответственно. Теперь бивекторный продуктξ∧π = n (x − x¯) ∧m (p − p¯) = x∧p − n∧m (xp¯ − x¯p) + n∧m (x¯p¯),
(321)
где (n∧m) xp записывается как x∧p.Взяв стохастические средние этого выражения с обеих сторон, получаем〈X∧p〉 = 〈ξ∧π〉.
(322)
Здесь стохастические средние 〈x¯p〉, 〈xp¯〉 и 〈x¯p¯〉 равны нулю. Без ограничения общности можно выбрать единичный бивектор n∧m равным iσ3. Используя уравнение (317) и разлагая бивекторное произведение x∧p в приведенном выше уравнении, получаем〈Xp−px〉 = iσ3ℏ.
(323)
Используя принцип соответствия в квантовой механике, заменяя векторы x и p соответствующими операторами и бивектор iσ3 на обычную единицу мнимой, можно прийти к квантовому условию из приведенного выше уравнения.Таким образом, квантовое условие фактически связано со спином частицы. Следовательно, операторы соответствуют внутренней структуре частицы, и их постулируемое введение в квантовую механику происходит без осознания их существования. Затем мы заключаем, что классическая механика в сочетании с нулевым полем приводит к квантовой механике.
3.4.2. Уравнение Шредингера в комплексном векторном пространстве
Уравнение Шредингера было первоначально выведено из модификации классического уравнения Гамильтона-Якоби [55].Вигнер [56] показал связь между классическим уравнением Лиувилля для распределения вероятностей в фазовом пространстве и уравнением Шредингера для квадратичных потенциалов. Рассматривая эволюцию в фазовом пространстве ансамбля частиц, описываемого функцией распределения плотности вероятности Вигнера W (x, p, t) в фазовом пространстве, уравнение Лиувилля выражается как∂∂t + x˙∂∂x + p˙∂∂pW (x, p, t) = 0,
(324)
где x˙ и p˙ получаются из классических гамильтоновых уравнений.В присутствии полей нулевого вакуума Dechoum et al. В [57] была получена лиувиллевская форма временной эволюции ансамбля частиц. Классическая амплитуда вероятности связана с функцией распределения Вигнера. Чтобы представить сложный характер волновой функции, можно рассмотреть преобразование Фурье функции W (x, p, t) и использовать это преобразование в уравнении (324) Dechoum et al. пришел к уравнению Шредингера. Аналогичным образом они также вывели уравнение Паули-Шредингера из уравнения Лиувилля, и было показано, что оператор кинетической энергии — (ℏ2 / 2m) (∂2 / ∂x2) имеет свое начало в конвективном операторе x˙ (∂ / ∂x ) уравнения (324) [58].В этом соответствии мы неявно рассматриваем флуктуации координаты положения и через оператор кинетической энергии включаем поле нулевой точки в уравнение Шредингера [59]. В ходе систематического развития стохастической квантовой механики, рассматривая обобщенное уравнение диффузии Фоккера-Планка, де ла Пенья и др. [53] вывели уравнение Шредингера для стационарного состояния и доказали, что квантовое поведение в общем является проявлением нулевых полей, присутствующих во всем пространстве.В немарковском стохастическом процессе Кавеллери и др. [60,61] расширили расширение градиента плотности и вывели полное уравнение Шрёнгера, допуская движение частицы в отсутствие внешних сил. Таким образом, стохастическая электродинамика со спином дает более тонкое уравнение Шредингера в пределе точечных частиц. Хестенес [62] указал, что появление iℏ в уравнении Шредингера связано со спином частицы. Тогда геометрический смысл мнимой единицы можно прояснить, отождествив ее с единичным бивектором в плоскости спина.Основная цель этих усилий — разработать физическую теорию, которая полностью решает проблемы микро и макро аспектов материи.Чтобы найти уравнение Шредингера в комплексном векторном подходе, сначала рассмотрим свободную частицу массы m и ее положение, определяемое комплексным вектором X = x + iξ, и выразим частную производную по времени в следующей форме.
∂∂t = ∂X∂t∂∂X = X˙∂∂X
(325)
Используя X = x + iξ, разложение частной производной ∂ / ∂X дает∂∂X = ∂∂x + iξ∂2∂x2 − O (ξ2).
(326)
Дифференцирование комплексного вектора X по времени дает комплексный вектор скорости X˙ = v + iu. Пренебрегая членами высшего порядка в уравнении (326) и подставляя в уравнение (325), находим∂∂t = v∂∂x + iu∧∂∂x + v∧iξ∂2∂x2 − u∧ξ∂2∂x2.
(327)
Плоская волновая форма волновой функции, представляющей состояние частицы, определяется выражениемψ (x, t) = ρexp [(Et − p.x) / 2S],
(328)
где 2S = iσ3ℏ. Теперь умножение уравнения (327) на волновую функцию ψ (x, t) справа дает∂ψ∂t = v∂ψ∂x + iu∧∂ψ∂x + v∧iξ∂2ψ∂x2 − u∧ξ∂2ψ∂x2.
(329)
Частная производная ∂ / ∂x, действующая на волновую функцию, дает вектор импульса. Тогда первый член в правой части уравнения (329) является скаляром. Частная производная ∂ / ∂t, действующая на волновую функцию, дает спиновый бивектор в знаменателе, а второй и третий члены справа в уравнении (329) являются векторными величинами. Следовательно, приравнивание бивекторных величин уравнения (329) дает∂ψ (x, t) ∂t = ξ∧πm∂2ψ (x, t) ∂x2.
(330)
Здесь S = ξ∧π — бивекторный спин частицы.Умножение с обеих сторон на 2S и добавление потенциальной функции справа от приведенного выше уравнения, наконец, дает требуемое уравнение Шредингера.
2S∂ψ (x, t) ∂t = −ℏ22m∂2∂x2 + V (x) ψ (x, t)
(331)
Таким образом, внутренняя структура и спин частицы играют важную роль в основах квантовой механики. Вышеприведенное уравнение (331) дает результат, что само появление постоянной Планка в теории Шредингера напрямую связано с существованием спина. Интересно отметить, что при обсуждении перехода от макрокоманды к микропереходу Шредингер [55] приходит к конечному разбросу частицы, представленной группой волн.3.4.3. Уравнение Дирака в комплексном векторном пространстве-времени
Уравнение Дирака в квантовой механике является релятивистским расширением уравнения Шредингера. Внутренняя структура скрыта как в теории Шредингера, так и в теории Дирака. Структура частиц в локальной системе покоя обусловлена локальными внутренними вращениями. Было показано, что буст Лоренца таких вращений дает уравнение Дирака в комплексном векторном пространстве-времени [12]. В системе покоя частицы вращение в плоскости спина может быть выражено ротором.Частота вращения — это частота вращения спина. Спиновые вращения представлены полуугловыми роторами вида где Ωs = −iω. В данном контексте уравнение (332) также может быть выражено в следующей форме.Тогда уравнение ротора в системе покоя может быть получено путем дифференцирования вышеуказанного уравнения по времени.
Верхняя точка на R обозначает дифференциацию по времени. Поскольку ротор удовлетворяет условию RR¯ = 1. Используя уравнение (283), уравнение ротора в системе покоя частицы теперь выражается какR˙2S = Ωs.SR = λmc2R
(335)
Значение λ = ± 1 дает уравнение ротора для частицы и античастицы соответственно.
Если дифференциал выражен в обозначении ∂t = ∂ / ∂ct, то уравнение (336) можно переписать как Это форма уравнения Дирака в системе покоя частицы. Умножение на σ0 слева даетσ0∂tR2S − σ0mcR = 0.
(339)
Когда частица находится в движении, наблюдаемом орбитальным наблюдателем, уравнение движения частицы получается путем применения усиления Лоренца к уравнению (339).
Lσ0∂tL¯LR2S − Lσ0mcR = 0.
(340)
Используя уравнение (301), член Lσ0∂tL¯ может быть выражен какLσ0∂tL¯ = ∂u0c∂τ = γμ∂∂xμ = ∂
(341)
Поскольку γ0 инвариантен относительно пространственного вращения, уравнение (340) можно записать как∂LR2S − mcLRγ0 = 0
(342)
Однородное преобразование Лоренца получается бустом Лоренца с последующим вращением. Тогда вращение Лоренца является произведением Λ = LR и удовлетворяет условию Λ¯Λ = 1. Теперь уравнение движения частицы можно выразить в следующем виде.
∂Λ2S − mcΛγ0 = 0
(343)
В уравнении (115) мы выразили четный многовектор в комплексном пространстве-времени через общий спинор где ρ — плотность вероятности, и ее можно определить как ψψ¯ = ρ, а фазовый множитель eiε равен +1 для ε = 0 и −1 для ε = π. Умножение уравнения (343) на коэффициент ρ1 / 2eiε / 2 дает уравнение∂ψ2S − mcψγ0 = 0.
(345)
Это форма уравнения Дирака для спиновых получастиц. Уравнение Дирака для спиновых полуантичастиц может быть получено из уравнения (337) аналогичным образом.
В присутствии внешних электромагнитных полей, используя рецепт минимального взаимодействия, мы заменяем импульс на p − qcA, где q — заряд частицы. Тогда уравнение (345) принимает вид∂ψ2S − qAψ − mcψγ0 = 0.
(347)
Для электрона q = −e и уравнение (347) представляет собой хорошо известное уравнение Дирака-Гестена в алгебре пространства-времени. Геометрическая интерпретация уравнения (347) широко обсуждалась Хестенсом в нескольких его статьях [17,35,36,37], а также Буде [63].Теория Дирака считается фундаментальной теорией, а также общей теорией. Поскольку волновая функция в уравнении (345) является четным многовектором, произведение ψψ¯ равно своему собственному обратному. Поскольку волновая функция является решением уравнения Дирака, это спинорное поле. Волновая функция определяет в каждой точке пространства-времени уникальное время, подобное векторному полю, и в теории электрона Дирака это правильная плотность тока, которая определяется как Поскольку псевдоскаляр i антикоммутируется с γ0, правильная плотность тока принимает видj = ρcΛγ0Λ¯ = ρu.
(349)
Таким образом, приведенное выше уравнение представляет собой лоренцево вращение вектора γ0 в направлении собственного тока. Из уравнения Дирака следует, что ∂ρu = 0 и, следовательно, ток Дирака интерпретируется как ток вероятности, а ρ как плотность вероятности в локальной системе покоя. Поскольку относительный вектор σ3 = γ3γ0, уравнение Дирака-Гестена инвариантно, если сделать одновременные заменыψ ′ = ψe (iσ3χ) и A ′ = A − ∂χ.
(350)
Эта калибровочная инвариантность дает наблюдаемые движения частицы.В этой симметрии наблюдаемая собственная плотность тока является плотностью тока Дирака.
С помощью уравнения (349) можно показать, что ток Дирака сохраняется даже в присутствии электромагнитного поля. Вектор спина равен s = (ℏ / 2) σ3, а соответствующий ток равенℏ2ψcσ3ψ¯ = ℏ2ψcγ3γ0ψ¯ = ρsu.
(352)
Точно так же можно выразить бивекторный спиновый ток какℏ2ψciσ3ψ¯ = ℏ2ψcγ2γ1ψ¯ = ρcS.
(353)
Плоское волновое решение уравнения Дирака для свободной частицы может быть выражено путем разложения спинора Λ на Λ0ep.х / 2с.
ψ = ρ1 / 2eiε / 2Λ0ep.x / 2S
(354)
Подставляя эту волновую функцию в уравнение Дирака для свободной частицы, уравнение (345) дает Умножая приведенное выше уравнение справа на ψ¯ и используя уравнение (349), мы находим собственный импульс Это уравнение дает энергию свободной частицы или электрона. Для античастицы или позитрона спин отрицательный, и волновая функция в уравнении (354) принимает видψ = ρ1 / 2eiε / 2Λ0e − p.x / 2S.
(357)
Таким образом, волновые функции частицы и античастицы различаются ориентацией спина.Другими словами, волновые функции электрона и позитрона различаются тем, что приписывают смысл локального пространственного вращения и присваивают значение 0 или π параметру зарядового сопряжения ε.
Волновые функции безмассовых частиц очень важны в теории слабых взаимодействий. Мы можем разложить волновую функцию ψ на ортогональные компоненты, умножив ее на идемпотенты, определенные в уравнениях (62) и (63).
Тогда волновую функцию можно выразить как сумму ψ + и ψ−.
Плотность бивекторного спинового тока определяется какℏ2ψ ± ciσ3ψ¯ ± = ℏ2ψcγ2γ1ψ¯ = ρcS.
(360)
Следовательно, спин — это независимая степень свободы. Функции ψ + и ψ− представляют левую и правую волновые функции. Уравнение Дирака для свободных частиц с нулевой массой затем задается заменой волновой функции ψ на ортогональные компоненты и установкой m = 0 в уравнении Дирака (345).
Подстановка плоского волнового решения волновой функции в приведенное выше уравнение даетВозведение pψ ± в квадрат дает p2ψ ± ψ¯ ± = 0 или p2 = 0.Значение импульса в приведенном выше уравнении соответствует состоянию с четко определенным спиновым состоянием. Теория вполне применима к таким частицам, как нейтрино.
3.4.4. Осциллятор частиц в комплексном векторном пространстве
Комплексный векторный подход гармонического осциллятора для спиновых получастиц был разработан автором ранее [12]. В этом разделе проблема гармонического осциллятора распространяется на спин 0, 1 и m / 2. Из концепций, обсуждаемых в предыдущих разделах, мы видим, что элементарная частица, погруженная в поле нулевой точки, может рассматриваться как осциллятор, и такой осциллятор в комплексном векторном пространстве выполняет сложные вращения с внутренним радиусом вращения ξ и импульсом π .Средние значения этих внутренних параметров соответствуют отклонениям положения и импульса частицы. Тогда гамильтониан такого гармонического осциллятора в системе покоя частицы можно выразить какH = mω02ξ22 + π22m = ω02mω0ξ2 + π2mω0,
(363)
где ω0 — характерная угловая частота колебаний вокруг центра или точки центра масс частицы, а m — масса частицы. Рассмотрим параметр z, определяемый формулойz2 = Hℏω0 = 12ℏmω0ξ2 + π2mω0 = k2 (a2 + b2),
(364)
где k2 = 1 / 2ℏ, a2 = mω0ξ2 и b2 = π2 / mω0.Теперь параметр z можно записать в виде комплексного числа.Произведение zz * = z2, z * является комплексно сопряженным. Комплексные числа соответствуют четным мультивекторам в геометрической алгебре евклидова пространства, и в общем случае мнимая единица заменяется бивектором iσ3 = σ1σ2.
Когда a и b рассматриваются как чистые скаляры, четный многовектор z может быть записан в параметрической форме из ротора, представляющего вращение в плоскости iσ3.
z = kr (cosθ + iσ3sinθ) = krexp (iσ3θ),
(367)
где скаляры a и b выражаются как a = rcosθ и b = rsinθ.Вышеприведенное уравнение показывает, что колебания частицы эквивалентны локальным комплексным поворотам. Операция обращения к z дает z¯.z¯ = krexp (−iσ3θ)
(368)
Произведение zz ¯ дает энергию осциллятора. Однако, если бы константы a и b трактовались как операторы, как в квантовой механике, произведение содержало бы дополнительный член iσ3 (ab − ba), и, используя соотношение коммутации (ab − ba) = iℏ, можно легко прийти к энергия гармонического осциллятора.Однако связь спина частицы с полями нулевой точки маскируется квантово-механическим коммутационным соотношением. В предыдущих разделах было показано, что существование единичного мнимого соответствует спину частицы. Чтобы выявить спиновую связь гармонического осциллятора, внутренний гармонический осциллятор частицы анализируется в комплексном векторном формализме, и этот метод является чисто классическим, то есть без использования каких-либо квантовых коммутационных соотношений. Такой подход не только дает правильную энергию осциллятора, но также разъясняет связь спина с массой частицы.
Поскольку внутренний радиус вращения и импульс колеблющейся частицы являются в основном векторами, нужно рассматривать четный многовектор z как комплексный вектор, а не как простое комплексное число, и это можно сделать, используя свойство псевдоскаляра i2 = −1 и заменяя мнимую единицу в уравнении (365) псевдоскаляром i и выражая a и b как векторы. Тогда комплексный вектор Z и сопряженный с ним Z¯ можно определить как где векторы a и b определены кака = (mω0) 1 / 2ξ и b = (mω0) −1 / 2π.
(371)
Поскольку псевдоскаляр i коммутирует со всеми векторами в трехмерном пространстве, мы имеемZ¯Z = k2 (a2 + b2) + 2k2i (a∧b).
(372)
Видно, что произведение Z¯Z является многовектором, содержащим скалярную и векторную части. Скалярная часть k2 (a2 + b2) равна H / ℏω0. Бивекторное произведение, a∧b = ξ∧π, является внутренним нулевым угловым моментом частицы и представляет собой бивектор спина S. В квантовой механике обычно ось квантования выбирается вдоль оси z, и, следовательно, можно выбрать вектор спина вдоль σ3 или спиновый бивектор вдоль направления iσ3.Бивектор спина частицы задается уравнением (317), и его замена в уравнение (372) даетZ¯Z = Hℏω0 + 1ℏiS = Hℏω0−12σ3.
(373)
Аналогично, можно выразить произведение ZZ¯ какZZ¯ = Hℏω0−1ℏiS = Hℏω0 + 12σ3.
(374)
Сложив уравнения (373) и (374), скалярное произведение комплексных векторов Z и Z¯ может быть получено какZ.Z¯ = 12 (ZZ¯ + Z¯Z) = Hℏω0.
(375)
Вычитая уравнения (373) и (374), находим соотношениеЕдиничный вектор σ3 действует как оператор на идемпотенты J + и J−, заданные в уравнениях (62) и (63), и дает собственные значения λ = ± 1.
Затем умножение уравнения (376) справа на идемпотент J + дает состояние со спином вверх частицы.
(ZZ¯ − Z¯Z) J + = + 1J +
(378)
Аналогично, умножение уравнения (376) справа на идемпотент J− дает состояние частицы со спином вниз.
(ZZ¯ − Z¯Z) J — = — 1J−
(379)
Далее, умножение уравнений (373) и (374) справа на идемпотент J + даетZ¯ZJ + = Hℏω0−12J +,
(380)
ZZ¯J + = Hℏω0 + 12J +.
(381)
Когда колебания частицы и колебания нулевого поля находятся в равновесии, колебания представляют собой простые гармонические колебания при резонансе. Поскольку все эти колебания являются случайными из-за случайных колебаний нулевого поля, мы рассматриваем стохастическое среднее всех таких колебаний. В предыдущих разделах рассматривалась внутренняя структура частицы с точками центра заряда и центра масс, разделенных средним радиусом вращения.Этот радиус вращения рассматривается как вектор ξ , перпендикулярный вектору импульса π . В энергии основного состояния частицы движение можно рассматривать как круговое движение с постоянной величиной | ξ |. В этом частном случае минимальной стационарной энергии или энергии основного состояния гармонического осциллятора кинетическая и потенциальная энергии равны или полная энергия в два раза превышает кинетическую энергию, и из определения констант a и b в уравнении (369), мы найти a2 = b2.Теперь можно показать, что Z2 = Z¯2 = 0. Тогда комплексные векторы Z и Z¯ являются комплексными нулевыми векторами и выражаются какZ¯ = ka (σa − iσb),
(383)
где σa и σb — орты вдоль a и b. Поскольку мы выбрали единичный вектор σ3, нормальный к бивектору σaσb, уравнения (382) и (383) могут быть записаны как Теперь произведения ZZ¯ и Z¯Z выражаются какZ¯Z = 2k2a2 (1 — σ3).
(387)
Поскольку 4k2ab = iσ3, в случае основного состояния осциллятора величина 4k2a2 = 1.Умножение произведений в уравнениях (386) и (387) справа на идемпотент J + даетЭти соотношения в сочетании с уравнениями (380) и (381) непосредственно дают энергию E0 основного состояния осциллятора для каждой моды.
Предполагается, что происхождение энергии нулевой точки связано с квантово-механическим эффектом, и считается, что она равномерно присутствует во всем пространстве в форме случайно флуктуирующих электромагнитных полей нулевой точки. В стохастической электродинамике Маршалл [49] показал, что для гармонического осциллятора флуктуации, создаваемые нулевыми полями на частице, точно согласуются с квантовой теорией.Таким образом, энергия основного состояния соответствует энергии нулевой точки осциллятора для каждой моды [50], а среднее значение получается путем взятия стохастического среднего всех таких режимов. В общем, частота колебаний частицы может не обязательно находиться в резонансе с флуктуациями спектра случайных нулевых полей, и в таких случаях можно принимать во внимание более высокие энергетические состояния осциллятора частицы. Можно ожидать, что случайное поле нулевой точки при взаимодействии с осциллятором частиц будет производить случайные смещения, вызывающие сдвиг в минимуме средней энергии без какого-либо изменения спина частицы.В случае более высоких энергетических состояний осциллятора величины векторов a и b не равны, и всегда существует возможность частоты ωn = nω0, с которой частица может колебаться. Осциллятор частиц может получать дополнительную энергию из спектра нулевых полей, а гамильтониан содержит дополнительные энергетические члены. Теперь, обобщая гамильтониан с условием (H / ℏω0) ≥1 / 2, предположим, что H = H ′ + ℏω0. Тогда уравнения (380) и (381) могут быть выражены какZ¯ZJ + = H′ℏω0 + 12J +,
(391)
ZZ¯J + = H′ℏω0 + 32J +.
(392)
Эти уравнения удовлетворяют соотношению (ZZ¯ − Z¯Z) J + = + 1J +. Аналогично это соотношение выполняется во всех случаях, когда H = H ′ ′ + 2ℏω0, H = H ′ ′ ′ + 3ℏω0 и т. Д. Продолжая ту же процедуру до тех пор, пока энергия не достигнет минимального значения H = H0 + nℏω0, можно найти, что в каждом В этом случае выполняется соотношение (ZZ¯ − Z¯Z) J + = + 1J +. Таким образом, аргумент приводит к тому, что члены в скобках в уравнениях (380) и (381) должны быть целыми числами. При таком соответствии геометрические произведения Z¯Z и ZZ¯ выражаются как Сравнивая эти уравнения с уравнениями (380) и (381) и заменяя H энергией En осциллятора, находимОба эти уравнения в конечном итоге дают требуемый результат для энергии гармонического осциллятора.
Вышеупомянутое рассмотрение дает энергию осциллятора чисто на классических основаниях.
Выбирая единичные векторы σa и σb вдоль a и b, как указано выше, и принимая единичный вектор σ3, нормальный к плоскости σaσb, в общем случае комплексные векторы Z и Z¯ могут быть выражены как Поскольку единичный вектор σ3 поглощается идемпотентом J +, умножение Z и Z¯ справа на J + даетТеперь легко проверить следующие соотношения.
ZZ¯J + = k2 (a − b) 2J +
(402)
Затем, используя уравнения (393) и (394), находим Теперь соотношения в уравнениях (400) и (401) записываются как Из соотношений в уравнениях (404) и (405) мы имеем2ka = n + 1 + n; 2kb = n + 1 − n; 4k2ab = 1.
(408)
Таким образом, для более высоких энергий осциллятора величина a увеличивается с соответствующим уменьшением величины b. Поскольку 4k2ab = 1, спин остается постоянным с его величиной ab = ℏ / 2. Из уравнений (400) и (401) легко показатьZ¯2lJ + = Z2lJ + = [n (n + 1)] l / 2J + для (l = 1,2,3 …).
(409)
Если представить ZZ¯ как оператор N, то NJ + = nJ +, то легко доказать следующие соотношения.
NZJ + = (ZZ¯ − 1) ZJ + = Z (n − 1) J +
(411)
Тогда очевидны следующие коммутационные соотношения.
В случае основного состояния осциллятора коммутационные соотношения в приведенном выше уравнении сводятся кЭти соотношения и уравнения (412) и (413) показывают тот факт, что комплексные векторы Z¯ и Z аналогичны операторам рождения и уничтожения в квантовой механике и удовлетворяют аналогичным коммутационным соотношениям. Если мы работаем с идемпотентом J−, комплексные векторы меняют свое действие. Приведенный выше анализ проясняет соответствие между комплексным векторным формализмом гармонического осциллятора и квантового осциллятора через эквивалентность коммутаторного произведения и бивекторного произведения.
Для частиц, имеющих спин, например, фотонов, спин | s | = ℏ, и задача гармонического осциллятора дает энергию фотона, заданную уравнением (240). Предположим, что если мы предположим | s | = 0, то ZZ¯ − Z¯Z = 0. Тогда либо a, либо b должны быть равны нулю, и осциллятор перестанет колебаться. Это означает, что соотношение коммутатора исключает энергию нулевой точки. Кроме того, мы можем выбрать любое значение для величины вращения. Тогда мы наконец приходим к непрерывному энергетическому спектру осциллятора, как и у классического осциллятора.Таким образом, мы обнаруживаем, что наличие спина превращает классический осциллятор в квантовый осциллятор.
Для математического интереса описанная выше процедура может быть обобщена, если мы предположим величину спина | s | = mℏ / 2 для m = 1,2, …. Затем, подставив s = (mℏ / 2) σ3 в уравнения ( 373) и (374) находимZ¯Z = Hℏω0 − mσ32,
(416)
ZZ¯ = Hℏω0 + mσ32.
(417)
Скалярное произведение Z и Z¯ получается сложением уравнений (416) и (417).
Это дает энергию осциллятора.Вычитание уравнений (416) и (417) дает соотношение Умножая указанное выше уравнение на идемпотент J +, имеем(ZZ¯ − Z¯Z) J + = mJ +.
(420)
Принимая во внимание приведенные выше аргументы, из этого уравнения можно прийти к следующим соотношениям.
Подстановка этих соотношений в уравнения (416) и (417) соответственно дает энергию осциллятора частиц со спином mℏ / 2.
Энергия основного состояния осциллятора получается, когда a2 = b2, и в этом случае уравнения (421) и (422) выражаются как Энергия основного состояния или энергия нулевой точки на моду колеблющейся частицы со спином | s | = mℏ / 2 затем получается как Таким образом, для m = 1 и m = 2 это уравнение дает нулевую энергию, связанную с фермионами и бозонами соответственно.Как и выше, если мы определим Z¯Z как оператор N, то NJ + = nJ + и найдем И сравнение этих уравнений с уравнениями (400) и (401) дает2ka = n + m + n; 2kb = n + m − n; 4k2ab = m.
(429)
Поскольку 4k2ab = m, спин остается постоянным с его величиной ab = mℏ / 2. Теперь, используя уравнения (421) и (422), мы имеемNZJ + = (ZZ¯ − m) ZJ + = Z (n − m) J +
(431)
И нетривиально найти следующие коммутаторные соотношения В случае основного состояния осциллятора указанные соотношения сводятся кТеперь можно понять, что одна частица со спином mℏ / 2 создается увеличением m числа частиц с половинным спином, а одна частица со спином mℏ / 2 аннигилирует при уменьшении числа mℏ частиц со спином половины.
Результирующий вектор: определение и формула — видео и стенограмма урока
Простой пример
Давайте рассмотрим очень простой пример, который поможет вам освоиться с результирующими векторами. Взгляните на прилагаемые силы на следующем рисунке:
Если бы все, что вы знали, это то, что каждый из носильщиков толкает с силой 50 фунтов, вы бы смогли вычислить вес мастера плюс автомобиль? Вы могли бы, если бы использовали результирующие векторы!
Результирующий вектор — это сумма четырех отдельных векторов, или 200 фунтов, которые должны быть равны и противоположны весу ведущего автомобиля и транспортного средства.Результирующий вектор параллельных векторов может быть найден путем сложения векторов, если они указывают в одном направлении, как показано здесь, или путем вычитания векторов, если они указывают друг против друга.
Пример расчета 1
Наш первый пример не требовал какой-либо специальной формулы, поскольку он имел дело с параллельными векторами. Теперь давайте посмотрим, как мы можем вычислить результирующий вектор из двух ортогональных или перпендикулярных векторов с помощью тригонометрии.
Например, утром по дороге на работу вы проезжаете пять миль до заправочной станции (вектор A), а затем направляетесь еще десять миль на север к своему офису (вектор B).Предполагая, что вы едете прямо с работы в конце дня, каков конечный вектор вашей поездки домой?
Эту проблему можно решить за пять шагов:
Шаг 1 : Выровняйте начало первого вектора с хвостом второго вектора, что является автоматическим для этой задачи.
Шаг 2 : Соедините два вектора линией, которая станет гипотенузой прямоугольного треугольника.
Шаг 3 : Найдите длину гипотенузы, используя теорему Пифагора; это величина результирующего вектора.
Шаг 4 : Найдите угол между хвостом гипотенузы и смежным вектором; это направление результирующего вектора.
Вы помните мнемонический прием, SOH-CAH-TOA, который вы использовали в тригонометрии? Вы можете использовать любой из трех методов для вычисления угла, но TOA — хороший вариант, потому что противоположные и смежные стороны треугольника являются хорошими целыми числами.
Шаг 5 : Сообщите свой окончательный ответ. Результирующий вектор вашего движения домой имеет величину 11,2 мили и направление 26,6 градуса на юго-запад.
Пример расчета 2
Иногда вы можете столкнуться с результирующей векторной проблемой, которая менее прямолинейна, чем в предыдущем примере, например, угловые векторы. Прежде, чем вы начнете паниковать, просто разбейте вектор с помощью метода декомпозиции, показанного в следующем примере:
Пилоты должны понимать, как ветер может повлиять на траекторию их полета.Если реактивный самолет Маверика движется со скоростью 1000 миль в час в направлении 45 градусов к юго-западу, когда он встречает ветер со скоростью 50 миль в час, дующий на юг, как изменится траектория его самолета?
Шаг 1 : Используйте SOH-CAH-TOA для разложения любых наклонных векторов на два отдельных горизонтальных и вертикальных составляющих вектора.
Шаг 2 : Выровняйте все векторы, используя метод «голова к хвосту».В этой конкретной задаче у вас есть более одного вертикального вектора. В будущих задачах у вас может быть более одного горизонтального вектора.
Шаг 3 : Как и раньше, создайте треугольник и найдите длину гипотенузы, которую вы нарисовали, используя теорему Пифагора.
Шаг 4 : Найдите угол между хвостом гипотенузы и смежным вектором; опять же, вы можете использовать любой из трех вычислений SOH-CAH-TOA, который вам больше нравится.
Шаг 5 : Сообщите свой окончательный ответ. Результирующий вектор струи, толкаемой ветром, имеет величину 1036 миль в час и направление 43 градуса на юго-запад.
Краткое содержание урока
На этом уроке вы узнали, что результирующий вектор представляет собой комбинацию двух или более отдельных векторов. Как и отдельный вектор, результирующий вектор имеет как величину, так и направление.Метод вычисления величины и направления результирующего вектора зависит от того, как информация предоставляется в задаче. Сложение или вычитание — это все, что нужно, чтобы найти результирующий вектор набора параллельных векторов.
Более сложные задачи с перпендикулярными векторами требуют использования тригонометрии, в частности теоремы Пифагора и мнемоники SOH-CAH-TOA, для определения величины и направления. Наиболее сложной результирующей векторной задачей является та, в которой наклонные векторы должны быть разложены на горизонтальные и вертикальные компоненты, прежде чем проблема может быть обработана таким же образом, как и проблема перпендикулярных векторов.
Ключевые слова результирующего вектора
- Вектор : представление величины и направления объекта, например силы, скорости или ускорения.
- Результирующий вектор : представляет собой комбинацию по крайней мере двух векторов
Результаты обучения
Учащиеся, завершившие этот урок, должны уметь:
- Определять векторы и результирующие векторы
- Покажите, как измерить силу и движение
- Обсудить использование тригонометрии и теоремы Пифагора в результирующих векторах
векторов интервальных классов — ОТКРЫТАЯ МУЗЫКАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ
VIII.Техники 20-го и 21-го веков
Брин Хьюз
Качество любой звучности можно грубо оценить количественно, суммируя все интервалы, которые она содержит. Для простоты мы будем учитывать только интервальные классы при попытке выполнить эту оценку. Поскольку все интервалы, содержащиеся в звучности, вносят свой вклад в его общее звучание, мы должны найти класс интервалов, сформированный каждым классом высоты звука в наборе, а не только теми, которые находятся рядом друг с другом. Чтобы сделать эту задачу проще и менее подверженной ошибкам, лучше всего составить итоговую диаграмму, чтобы отслеживать задействованные классы интервалов.Начните с одного класса поля и измерьте интервал класса между ним и каждым другим классом поля в наборе. Запишите каждый из них в своей таблице подсчетов. Повторите этот процесс с каждым другим классом высоты тона, пока все они не будут учтены. Наконец, просуммируйте количество интервальных классов в каждом столбце и скопируйте эти числа в свой вектор интервальных классов.
Вектор класса интервалов сообщает нам, какие интервалы может использовать композитор из определенного набора, что дает нам конкретный звук и / или ассоциации.Некоторые наборы содержат более или менее равномерное распределение всех интервальных классов и особенно ценятся атональными композиторами за эти свойства, в то время как другие особенно тяжелы для той или иной IC и могут не содержать ни одной конкретной IC.
Векторы интервальных классовтакже помогают нам устанавливать слуховые аналитические связи между двумя или более наборами, которые могут не казаться непосредственно связанными. Если они разделяют одинаковое распределение интервальных классов, они также будут звучать одинаково в свободном атональном контексте.
Наборы, содержащие большее количество классов поля, будут иметь больше и / или больше номеров в своих ICV, естественно, потому что в игре намного больше интервалов. Один из способов проверить свою работу с вектором интервального класса — это сложить числа. У каждого трихорда есть 3 доступных интервала-класса (и поэтому вектор всегда должен составлять 3), каждый тетрахорд имеет 6 (и, следовательно, должен суммироваться до 6), каждый пентахорд имеет 10 и так далее.
Процедура определения вектора интервального класса для компьютерного набора
- Запишите набор в нормальной форме
- Найдите интервальный класс для каждых 2 комбинаций питч-классов в наборе.Запишите свои результаты на счетной таблице.
- Подсчитайте количество итогов в каждом столбце (включая нули) и заключите эти итоги в квадратные скобки [].
Чтобы вычислить вектор интервального класса, мы собираемся просто вычислить интервальный класс, созданный каждой комбинацией двух высот в звучности. Давайте сначала попробуем простой пример: трезвучие до мажор. Это намного проще сделать, если мы используем целочисленный циферблат класса высоты тона, поэтому первое, что нам нужно сделать, это переписать нашу мажорную триаду C как целые числа класса высоты тона: C равно 0, E равно 4, а G равно 7.Далее мы рассмотрим интервальный класс для каждой пары целых чисел. Помните, что интервальный класс — это кратчайшее расстояние между двумя классами высоты тона на циферблате. Итак, от 0 до 4 — это интервальный класс 4. От 0 до 7 — интервальный класс 5. Наконец, от 4 до 7 — интервальный класс 3. При записи вектора интервального класса мы записываем «табло», на котором подсчитывается количество каждого из них. интервальный класс по звучности. В векторе интервальных классов есть шесть пробелов, каждое из которых представляет один из шести интервальных классов.В нашем примере триады до мажор имеется 0 интервальных классов 1, 0 интервальных классов 2, 1 интервальных классов 3, 1 интервальных классов 4, 1 интервальных классов 5 и 0 интервальных классов 6. Итак, наш вектор интервального класса — [001110]. Мы заключили вектор в квадратные скобки, чтобы отличать его от других строк целых чисел, которые могут появиться в нашем анализе.
Для нашего второго примера давайте посмотрим на действительно диссонирующий кластерный аккорд: F, F # и G. В целых числах это будет 5, 6 и 7. Далее мы собираемся выяснить класс интервала между каждым пара нот в звучности.От 5 до 6 — интервальный класс 1. От 5 до 7 — интервальный класс 2. Наконец, от 6 до 7 — интервальный класс 1. Итак, вместе мы имеем 2 интервальных класса 1, 1 интервальный класс 2 и никаких других интервальных классов. Таким образом, вектор интервального класса равен [210000]
.Для более склонных к визуальному восприятию, вот видео о векторах интервальных классов.
- Скоро в продаже!
Векторная теория гравитации: Вселенная без черных дыр и решение проблемы темной энергии
Мы предлагаем альтернативную теорию гравитации, которая предполагает, что фоновая геометрия Вселенной является фиксированной четырехмерным евклидовым пространством, а гравитация является векторным полем A k в этом пространстве, что нарушает евклидову симметрию.Направление A k дает координату времени, а перпендикулярные направления являются пространственными координатами. Векторное гравитационное поле связано с материей универсально и минимально через эквивалентную метрику f ik , которая является функционалом A k . Мы показываем, что такие предположения дают уникальную теорию гравитации, она свободна от черных дыр и, насколько нам известно, проходит все доступные тесты.Для космологии наша теория предсказывает ту же эволюцию Вселенной, что и общая теория относительности с космологической постоянной и нулевой пространственной кривизной. Однако настоящая теория объясняет темную энергию как энергию продольного гравитационного поля, индуцированного расширением Вселенной, и дает без свободных параметров, значение которых согласуется с недавним результатом Планка. Столь близкое согласие с космологическими данными указывает на то, что гравитация имеет векторное, а не тензорное происхождение.
