Формулы и уравнения векторной алгебры
Формулы и уравнения векторной алгебры- Основные определения.
- Вектор (геометрический вектор) — это направленный отрезок (отрезок, у которого одна граничная точка считается начальной, другая – конечной).
На чертеже вектор обозначается стрелкой
над буквенным обозначением вектора также ставится стрелка .
Вектор, фигурирующий в определении, носит название связанного, или закрепленного вектора. - Закрепленный вектор — это направленный отрезок АВ, началом которого является точка А, а концом — точка В.
Свободный вектор — это множество всех закрепленных векторов, получающихся из фиксированного закрепленного вектора с помощью параллельного переноса. Обозначается .
Если же точка приложения вектора (точка A для вектора ) может быть выбрана произвольно, вектор называется свободным.
Если точка приложения может двигаться по линии действия вектора, говорят о скользящем векторе. Иначе говоря, свободный вектор является представителем бесконечного множества связанных или скользящих векторов. - Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают:
- Коллинеарные векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. - Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Если тройка векторов содержит нулевой вектор или пару коллинеарных векторов, то эти векторы компланарны. - Длина вектора (модуль) — это расстояние между началом и концом вектора. Обозначение: или
- Два вектора равны, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление. Например,
- Алгебраические операции над векторами.
- Операция сложения.
Суммой двух свободных векторов и называется свободный вектор , начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом второго, если совмещены конец вектора и начало вектора .
Сумма двух векторов и () — это вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора приложено к концу вектора (правило треугольника).
Свойства операции сложения векторов:
1) Переместительное свойство: (коммутативность).
2) Сочетательное свойство: (ассоциативность).
Нулевой вектор порождается нулевым закрепленным вектором, то есть точкой.
4) Для каждого вектора существует противоположный ему вектор , такой, что . Вектор называется вектором, противоположным вектору .
Правило параллелограмма (правило сложения векторов): если векторы и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма этих векторов представляет собой диагональ параллелограмма, идущую из общего начала векторов и
Вычитание векторов определяется через сложение: .
Другими словами, если векторы и приложены к общему началу, то разностью векторов и будет вектор , идущий из конца вектора к концу вектора . - Операция умножения вектора на число.
Произведением вектора на число называется вектор такой, что:
1) если λ > 0, ≠ , то получается из растяжением в λ раз: ;
2) если λ < 0, ≠ , то получается из растяжением в |λ| раз и последующим отражением: ;
3) если λ = 0 или , то .
Свойства операции умножения:
1) Распределительное свойство относительно суммы чисел: для любых действительных и всех (дистрибутивность).
2) Распределительное свойство относительно суммы векторов: (дистрибутивность).
4) Существование единицы: .
- Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат.
- Ортонормированный базис (ОНБ) — это три взаимно перпендикулярных вектора с длинами, равными единице.
Обозначения: - Базисные орты — это векторы .
- Зафиксированная точка О – это начало координат.
Отложим от точки O векторы .
Полученная система координат — это прямоугольная декартова система координат. - Декартовы координаты вектора — это координаты любого вектора в этом базисе:
Пример 11. - Координатные оси — это прямые линии, проведенные через начало координат (точку O) по направлениям базисных векторов:
– порождает Ox;
– порождает Oy;
– порождает Oz. - Абсцисса — это координата точки M (вектора в декартовой системе координат по оси Ox.
Ордината — это координата точки M (вектора в декартовой системе координат по оси Oy.
Аппликата — это координата точки M (вектора ) в декартовой системе координат по оси Oz. - Декартовы прямоугольные координаты x, y, z вектора равны проекциям этого вектора на оси Ox, Oy, Oz, соответственно. Иначе:
где α, β, γ – углы, которые составляет вектор с координатными осями Ox, Oy, Oz, соответственно, при этом cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора . Пример 12.
Для направляющих косинусов справедливо соотношение: - Орт направления — это вектор единичной длины данного направления.
Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач
Формулы векторов
1. Координаты вектора
Если вектор задан координатами своих начала и конца: , то его координаты равны разности соответствующих координат конца и начала:
2. Длина или модуль вектора
Если вектор , то его длина равна корню квадратному из суммы квадратов координат:
3. Сумма векторов
Если векторы и заданы своими координатами, то суммой этих векторов есть вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов-слагаемых:
4. Умножение вектора на число
Чтобы найти произведение вектора на некоторое число , нужно каждую координату заданного вектора умножить на это число:
5. Скалярное произведение векторов
Если векторы и заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:
6. Векторное произведение векторов
Если векторы и заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе , то их векторное произведение находится по формуле:
7. Смешанное произведение векторов
Если заданы три вектора и , то их смешанное произведение равно определителю, по строкам которого записаны координаты этих векторов:
Замечание. Обычно такой определитель вычисляется методом треугольников.
8. Угол между векторами
Косинус угла между двумя векторами и , заданными своими координатами, равен частному скалярного произведения этих векторов и произведению их модулей:
9. Проекция вектора на вектор
Проекция вектора на направление вектора равна отношение скалярного произведения этих векторов к модулю вектора :
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
Лекция 7. Векторы
Векторы. Лекция 7.
Векторы.
Основные понятия.
Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Это площадь, длина, объем, температура, работа, масса и т. д.
Другие величины – сила, скорость, ускорение определяются не только числовым значением, но и направлением. Такие величины называются векторными. Их изображают в виде геометрических объектов – векторов.
Вектор
– направленный
прямолинейный отрезок, т. е. отрезок,
имеющий длину и определенное направление.
Если 
– начало вектора, 
– его конец, то такой вектор обозначается
как 
.
Вектор 
с началом в точке 
и концом в точке 
называется противоположным вектору 
и обозначается как 
,
или 
Длиной
или модулем вектора 
называется длина отрезка 
и обозначается 
.
Вектор,
длина которого равна нулю, называется нулевым
вектором и обозначается как 
.
Считается, что он не имеет направления.
Вектор,
длина которого равна 1, называется единичным
вектором и обозначается как 
.
Векторы 
и 
называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых. Это обозначается
как 
.
Нулевой вектор 
считается коллинеарным любому вектору.
Два
вектора считаются равными 
,
если они одинаково направлены и имеют
одинаковые длины.
Из
определения равенства векторов следует,
что векторы можно переносить параллельно
своему направлению. Поэтому в дальнейшем
будем считать, что все векторы имеют
начало в точке 
начала координат. Тогда для обозначения
вектора достаточно указать координаты
его конца – точки 
.
На рис. 32 изображен вектор 
,
на рис. 33 вектор 
.
Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.
Линейные операции над векторами.
Сложение векторов.
Пусть 
и 
два произвольных вектора. Переместим
вектор 
таким образом, что бы его начало совпало
с концом вектора 
,
тогда вектор, начало которого совпадает
с началом 
,
конец – с концом вектора 
,
называется суммой векторов 
и 
и обозначается как 
(рис. 34). Это правило сложения векторов
называется правилом
треугольника.
Если у векторов 
и 
совместить начала и построить на их
основе параллелограмм, то его диагональ,
проходящая через это начало будет равна
так же вектору 
(рис. 35). Это правило называется правилом
параллелограмма.
Разностью векторов 
и 
называется сумма векторов 
и 
(рис. 36). Таким образом, в параллелограмме,
построенном на векторах и 
,
одна диагональ будет равна сумме этих
векторов, другая – их разностью (рис.
37). По свойству сторон и диагоналей
параллелограмма справедлива формула 
.
Произведением
вектора 
на число 
называется вектор 
(или 
),
который имеет длину 
,
коллинеарен вектору 
и имеет то же направление, если 
и противоположное вектору 
,
если 
.
Таким образом, векторы 
и 
всегда коллинеарны.
Свойства линейных операций над векторами.
Для
любых векторов 
и 
,
чисел 
и 
справедливы следующие соотношения:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
Обозначим
единичные векторы, направленные вдоль
осей 
и 
соответственно через 
и 
.
Тогда вектор может быть представлен в виде суммы
векторов 
(рис. 38). Соответственно в пространстве
верно равенство
.
Векторы 
называются ортами.
Длина вектора.
Пусть
вектор 
в трехмерном пространстве имеет
координаты 
.
Тогда его длина равна длине отрезка 
,
где точки 
и 
имеют координаты соответственно 
и 
и может быть вычислена по формуле
На
плоскости вектор 
имеет длину 
.
Условие коллинеарности двух векторов.
Пусть
ненулевые векторы 
и 
коллинеарны. Тогда 
,
следовательно, 
.
Отсюда
т.
е. координаты векторов пропорциональны.
Это и есть условие
коллинеарности векторов 
и 
.
Скалярное произведение векторов.
Скалярным
произведением двух ненулевых векторов 
и 
называется число,
равное произведению длин этих векторов
на косинус угла между ними.
.
С
другой стороны скалярное произведение
можно представить как произведение
длины одного вектора на длину проекции
на него второго вектора, как указано,
например, на (рис. 39).
.
Ненулевые
векторы 
и 
назовем ортогональными,
если угол между ними составляет 
.
В этом случае 
и выполняется равенство 
,
которое называют условием
ортогональности векторов 
и 
.
Свойства скалярного произведения векторов.
1) 
;
2) 
3) 
;
4) 
.
В
частности, для единичных векторов (орт) 
справедливы соотношения
.
Выразим значение скалярного произведения через координаты векторов.
Пусть
в пространстве заданы векторы 
и 
.
Тогда
, 
и по свойствам скалярного произведения
.
Таким
образом, 
.
Исходя
из этой формулы, можно записать значение
косинуса угла между векторами 
и 
в пространстве
Аналогичная
формула верна и для плоских векторов 
и 
Векторное произведение векторов.
В пространстве рассматриваются векторные произведения векторов.
Векторным
произведением вектора 
на вектор 
называется вектор 
,
который удовлетворяет следующим трем
свойствам (рис. 40):
1)
вектор 
перпендикулярен векторам 
и 
,
т. е. 
и 
; 
2)
вектор 
имеет длину, равную площади параллелограмма,
построенного на векторах 
и 
,
т. е. 
;
3)
вектор 
направлен в ту сторону, из которой
поворот от вектора 
к вектору 
виден против часовой стрелки.
Обозначается
векторное произведение как 
.
Свойства векторного произведения.
1)
Для любых векторов 
и 
справедливо равенство 
;
2)
для любого числа 
справедливо 
;
3)
ненулевые векторы 
и 
коллинеарны тогда и только тогда, когда
их векторное произведение равно нулевому
вектору 
.
4) 
.
В
частности, для единичных векторов (орт) 
(рис. 41) справедливы
соотношения
, 
, 
,
.
Выразим
векторное произведение векторов 
и 
через их координаты. Пусть 
и 
.
Тогда 
,
и
по свойствам векторного произведения 
+
Таким образом
Это есть символическая формула для вычисления координат векторного произведения через координаты исходных векторов.
Так как длина векторного произведения по определению есть площадь параллелограмма, построенного на исходных векторах, то эта площадь вычисляется по формуле
Площадь
треугольника, построенного на векторах 
и 
равна
Смешанное произведение векторов.
В пространстве так же можно рассматривать комбинированные векторные и скалярные произведения векторов.
Смешанным
произведением трех векторов 
называется скалярное произведение
векторов 
и 
,
т. е. 
.
Построим
на векторах 
, 
и 
параллелепипед (рис. 42). Обозначим 
,
тогда
.
Так
как 
,
где 
– площадь параллелограмма, построенного
на векторах 
и 
,
а 
равна 
,
где 
— высота параллелепипеда, то смешанное
произведение равно 
,
где 
– объем параллелепипеда. Таким образом,
смешанное произведение векторов 
, 
и 
по модулю равно объему параллелепипеда,
построенного на этих векторах. Объем
пирамиды, построенных на этих векторах
будет равен
.
Свойства смешанного произведения.
1)
Смешанное произведение векторов 
, 
и 
не меняется при их циклической
перестановке, т. е.
2) смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного произведений, т. е.
;
3) смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух его векторов, т. е.
;
4)
смешанное произведение ненулевых
векторов 
, 
и 
равно нулю тогда и только тогда когда
они компланарны.
Выразим
значение смешанного произведения
векторов 
, 
и 
через их координаты. Пусть 
, 
, 
Тогда 
, 
, 
и по свойствам векторного и скалярного
произведений, имеем
.
Таким образом, справедливо соотношение
39
Векторы, Все о векторах
Вектор есть математическим объектом, который имеет величину и направление. Другими словами, это линия заданной длины и проведенная в заданном направлении. Величина вектора есть его длина и обозначающаяся ||.
Если два вектора , проведены в одном и том же направлении, тогда = n. где n — действительное число.
если 0 < n < 1 тогда || < ||
если 1 < n тогда || > ||
если n < 0 тогда || и направление противоположно направлению
Cложение двух векторов осуществляется размещением начала одного вектора к окончанию второго и построением вектора для получения треугольника, как показано на рисунке.
На рисунке внизу показано, как правило параллелограмма используется для построения векторов and который складывается с .
Скалярное произведение векторов
Пусть у нас есть два вектора. Скалярное произведение векторов определяется по формуле:
другие записи для скалярного произведеения есть or
(,)
Результатом скалярного умножения двух векторов всегда есть действительное число.
Свойства скалярного произведения
Если угол между двумя векторами , is 90°
тогда = 0, потому что cos(90°) = 0
= ||2 потому что угол между двумя векторами есть 180° и cos(180°) = 1
Задачи с векторами
1) Если = -1., что мы можем сказать об этих двух векторах?
Решение: Эти два вектора параллельны, одинаковой величины и с противоположными направлениями.
2) Чему равно скалярное произведение если || = 5, || = 7 и угол между этими двумя векторами равен 30°
3) Докажите, используя вектора, что для любого треугольника длина одной стороны меньше суммы двух других сторон.
Векторы и операции над векторами
Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.
Прежде чем Вы узнаете всё о векторах и операциях над ними, настройтесь на решение несложной задачи. Есть вектор Вашей предприимчивости и вектор Ваших инновационных способностей. Вектор предприимчивости ведёт Вас к Цели 1, а вектор инновационных способностей — к Цели 2. Правила игры таковы, что Вы не можете двигаться сразу по направлениям двух этих векторов и достигнуть сразу двух целей. Векторы взаимодействуют, или, если говорить математическим языком, над векторами производится некоторая операция. Результатом этой операции становится вектор «Результат», который приводит Вас к Цели 3.
А теперь скажите: результатом какой операции над векторами «Предприимчивость» и «Инновационные способности» является вектор «Результат»? Если не можете сказать сразу, не унывайте. По мере изучения этого урока Вы сможете ответить на этот вопрос.
Как мы уже увидели выше, вектор обязательно идёт от некоторой точки A по прямой к некоторой точке
B. Следовательно, каждый вектор имеет не только числовое значение — длину, но также физическое и
геометрическое — направленность. Из этого выводится первое, самое простое определение вектора. Итак, вектор —
это направленный отрезок, идущий от точки A к точке B. Обозначается он так:
.
А чтобы приступить к различным операциям с векторами, нам нужно познакомиться с ещё одним определением вектора.
Вектор — это вид представления точки, до которой требуется добраться из некоторой начальной точки. Например, трёхмерный вектор, как правило, записывается в виде (х, y, z). Говоря совсем просто, эти числа означают, как далеко требуется пройти в трёх различных направлениях, чтобы добраться до точки.
Пусть дан вектор. При этом x = 3 (правая рука указывает направо), y = 1 (левая рука указывает вперёд), z = 5 (под точкой стоит лестница, ведущая вверх). По этим данным вы найдёте точку, проходя 3 метра в направлении, указываемом правой рукой, затем 1 метр в направлении, указываемом левой рукой, а далее Вас ждёт лестница и, поднимаясь на 5 метров, Вы, наконец, окажетесь в конечной точке.
Все остальные термины — это уточнения представленного выше объяснения, необходимые для различных операций над векторами, то есть, решения практических задач. Пройдёмся по этим более строгим определениям, останавливаясь на типичных задачах на векторы.
Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на неё сила.
Геометрический вектор представлен в двумерном и трёхмерном пространстве в виде направленного отрезка. Это отрезок, у которого различают начало и конец.
Если A — начало вектора, а B — его конец, то вектор обозначается
символом или одной строчной буквой 
. На рисунке
конец вектора указывается стрелкой (рис. 1)
Длиной (или модулем) геометрического вектора
называется длина порождающего его отрезка 
Два вектора называются равными, если они могут быть совмещены (при совпадении направлений) путём параллельного переноса, т.е. если они параллельны, направлены в одну и ту же сторону и имеют равные длины.
В физике часто рассматриваются закреплённые векторы, заданные точкой приложения, длиной и направлением. Если точка приложения вектора не имеет значения, то его можно переносить, сохраняя длину и направление в любую точку пространства. В этом случае вектор называется свободным. Мы договоримся рассматривать только свободные векторы.
Умножение вектора на число
Сложение и вычитание векторов
Слагаемые 
называются составляющими вектора 
, а
сформулированное правило — правилом многоугольника. Этот многоугольник может и не быть плоским.
Пример 1. Упростить выражение:
.
Решение:
,
то есть, векторы можно складывать и умножать на числа так же, как и многочлены (в частности, также задачи на упрощение выражений). Обычно необходимость упрощать линейно подобные выражения с векторами возникает перед вычислением произведений векторов.
Пример 2. Векторы 
и
служат диагоналями параллелограмма ABCD (рис. 4а).
Выразить через 
и 
векторы 
, 
,
и 
,
являющиеся сторонами этого параллелограмма.
Решение. Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам. Длины требуемых в условии задачи векторов находим либо как половины сумм векторов, образующих с искомыми треугольник, либо как половины разностей (в зависимости от направления вектора, служащего диагональю), либо, как в последнем случае, половины суммы, взятой со знаком минус. Результат — требуемые в условии задачи векторы:
Есть все основания полагать, что теперь Вы правильно ответили на вопрос о векторах «Предприимчивость» и «Инновационные способности» в начале этого урока. Правильный ответ: над этими векторами производится операция сложения.
Решить задачи на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решения
Как найти длину суммы векторов?
Эта задача занимает особое место в операциях с векторами, так как предполагает использование тригонометрических свойств. Допустим, Вам попалась задача вроде следующей:
Даны длины векторов 
и длина суммы этих векторов 
.
Найти длину разности этих векторов 
.
Решения этой и других подобных задач и объяснения, как их решать — в уроке «Сложение векторов: длина суммы векторов и теорема косинусов«.
А проверить решение таких задач можно на Калькуляторе онлайн «Неизвестная сторона треугольника (сложение векторов и теорема косинусов)».
А где произведения векторов?
Произведения вектора на вектор не являются линейными операциями и рассматриваются отдельно. И у нас есть уроки «Скалярное произведение векторов» и «Векторное и смешанное произведения векторов».
Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:
Как известно, проекцией точки A на прямую (плоскость) служит основание
перпендикуляра 
,
опущенного из этой точки на прямую (плоскость).
Пусть —
произвольный вектор (Рис. 5), а и 
—
проекции его начала (точки A) и конца (точки B) на ось l. (Для построения проекции точки A) на прямую проводим
через точку A плоскость, перпендикулярную прямой. Пересечение прямой и плоскости определит требуемую проекцию.
Составляющей вектора 
на оси l
называется такой вектор 
, лежащий на этой оси,
начало которого совпадает с проекцией начала, а конец — с проекцией конца вектора .
Проекцией вектора на ось l
называется число
,
равное длине составляющего вектора на этой оси, взятое со знаком плюс, если направление составляюшей совпадает с направлением оси l, и со знаком минус, если эти направления противоположны.
Основные свойства проекций вектора на ось:
1. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
2. При умножении вектора на число его проекция умножается на это же число.
3. Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна сумме проекций на эту же ось слагаемых векторов.
4. Проекция вектора на ось равна произведению длины проектируемого вектора на косинус угла между вектором и осью:
Пример 5. Рассчитать проекцию суммы векторов 
на ось l,
если 
, а углы —
.
Решение. Спроектируем векторы на ось l как определено в теоретической справке выше. Из рис.5а очевидно, что проекция суммы векторов равна сумме проекций векторов. Вычисляем эти проекции:
Находим окончательную проекцию суммы векторов:
.
Знакомство с прямоугольной декартовой системой координат в пространстве состоялось в соответствующем уроке, желательно открыть его в новом окне.
В упорядоченной системе координатных осей 0xyz ось Ox называется осью абсцисс, ось 0y – осью ординат, и ось 0z – осью аппликат.
С произвольной точкой М пространства свяжем вектор
,
называемый радиус-вектором точки М и спроецируем его на каждую из координатных осей. Обозначим величины соответствующих проекций:
Числа x, y, z называются координатами точки М , соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой, и записываются в виде упорядоченной точки чисел: M (x; y; z) (рис.6).
Вектор единичной длины, направление которого совпадает с направлением оси, называют единичным вектором(или ортом) оси. Обозначим через
Соответственно орты координатных осей Ox, Oy, Oz
Теорема. Всякий вектор может быть разложен по ортам координатных осей:
(2)
Равенство (2) называется разложением вектора по координатным осям. Коэффициентами этого разложения являются проекции вектора на координатные оси. Таким образом, коэффициентами разложения (2) вектора по координатным осям являются координаты вектора.
После выбора в пространстве определённой системы координат вектор и тройка его координат однозначно определяют друг друга, поэтому вектор может быть записан в форме
(3)
Представления вектора в виде (2) и (3) тождественны.
Как мы уже отмечали, векторы называются коллинеарными, если они связаны отношением
.
Пусть даны векторы 
.
Эти векторы коллинеарны, если координаты векторов связаны отношением
,
то есть, координаты векторов пропорциональны.
Пример 6. Даны векторы 
.
Коллинеарны ли эти векторы?
Решение. Выясним соотношение координат данных векторов:
.
Координаты векторов пропорциональны, следовательно, векторы коллинеарны, или, что то же самое, параллельны.
Вследствие взаимной перпендикулярности координатных осей длина вектора
равна длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на векторах
и выражается равенством
(4)
Вектор полностью определяется заданием двух точек (начала и конца), поэтому координаты вектора можно выразить через координаты этих точек.
Пусть в заданной системе координат начало вектора 
находится в точке
а конец – в точке
(рис.8).
Тогда
Из равенства
следует, что
Отсюда
или в координатной форме
(5)
Следовательно, координаты вектора равны разностям одноимённых координат конца и начала вектора. Формула (4) в этом случае примет вид
(6)
Направление вектора определяют направляющие косинусы. Это косинусы углов, которые вектор образует с осями Ox, Oy и Oz. Обозначим эти углы соответственно α, β и γ. Тогда косинусы этих углов можно найти по формулам
,
,
.
Направляющие косинусы вектора являются также координатами орта этого вектора и, таким образом, орт вектора
или
.
Учитывая, что длина орта вектора равна одной единице, то есть
,
получаем следующее равенство для направляющих косинусов:
.
Пример 7. Найти длину вектора x = (3; 0; 4).
Решение. Длина вектора равна
Пример 8. Даны точки:
Выяснить, равнобедренный ли треугольник, построенный на этих точках.
Решение. По формуле длины вектора (6) найдём длины сторон и установим, есть ли среди них две равные:
Две равные стороны нашлись, следовательно необходимость искать длину третьей стороны отпадает, а заданный треугольник является равнобедренным.
Пример 9. Найти длину вектора 
и его направляющие косинусы, если 
.
Решение. Координаты вектора даны:
.
Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов координат вектора:
.
Находим направляющие косинусы:
Решить задачу на векторы самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пусть даны два вектора 
и 
, заданные своими проекциями:
или
или
Укажем действия над этими векторами.
1.Сложение:
или, что то же
(при сложении двух векторов одноимённые координаты складываются).
2.Вычитание:
или, что то же
,
(при вычитании двух векторов одноимённые координаты вычитаются).
3.Умножение вектора на число:
или, что то же
,
(при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число).
Пример 11. Даны два вектора, заданные координатами:
.
Найти заданный координатами вектор, являющийся суммой этих векторов: 
.
Решение:
.
Решить задачи на координаты векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение
При изучении многих вопросов, в частности, экономических, оказалось удобным обобщить рассмотренные приёмы установления соответствия между числами и точками двумерного и трёхмерного пространства и рассматривать последовательности n действительных чисел как «точки» некоторого абстрактного «n-мерного пространства», а сами числа — как «координаты» этих точек. За составляющие n-мерного вектора можно принимать такие данные, как урожайность различных культур, объёмы продаж товаров, технические коэффициенты, номенклатура товаров на складах и т.д.
n-мерным вектором называется упорядоченный набор из n действительных чисел, записываемых в виде
,
где
-
i – й элемент (или i – я координата) вектора x.
Возможна и другая запись вектора – в виде столбца координат:
Размерность вектора определяется числом его координат и является его отличительной характеристикой. Например, (2; 5) – двухмерный вектор, (2; -3; 0) – трёхмерный, (1; 3; -2; -4; 7) – пятимерный,
—
n – мерный вектор.
Нулевым вектором называется вектор, все координаты которого равны нулю:
0 = (0; 0; …; 0).
Введём операции над n-мерными векторами.
Произведением вектора
на действительное число 
называется вектор
(при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число).
Зная вектор
можно получить противоположный вектор
Суммой векторов
и
называется вектор
,
(при сложении векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно складываются).
Если в плане продаж сети торговых предприятий продажи товаров определить как положительные уровни товаров, а затраты на продажи – как отрицательные, то получим вектор затрат-продаж
,
где
—
продажи (затраты) k – м предприятием товара i, а k = 1, 2, 3,…, m .
Суммарный вектор затрат-продаж y определяется суммированием векторов затрат-продаж всех m предприятий сети:
Сумма противоположных векторов даёт нулевой вектор:
При вычитании двух векторов одной и той же размерности их соответствующие координаты почленно вычитаются:
Операции над n-мерными векторами удовлетворяют следующим свойствам.
Свойство 1.
Свойство 2.
Свойство 3.
Свойство 4.
Свойство 5.
Свойство 6.
Поделиться с друзьями
Весь блок «Аналитическая геометрия»
- Векторы
- Плоскость
- Прямая на плоскости
Векторная алгебра | Помощь по математике и другим предметам!!!
Решение типового варианта контрольной работы. Векторная алгебра.
Задание 1: Коллинеарны ли векторы и , разложенные по векторам и , где
Решение:
1. Вычислим проекции векторов на оси координат:
2. Два вектора коллинеарны, если их проекции на оси координат пропорциональны, следовательно, проверим пропорциональность проекций векторов на оси координат:
не коллинеарны.
Задание 2: Перпендикулярны ли векторы ?
Решение: Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0,скалярное произведение векторов, заданных проекциями на оси координат, вычисляется по формуле:, где вычислим скалярное произведение:
Векторы не перпендикулярны.
Задание 3: Компланарны ли векторы ?
Решение: Три вектора компланарны, если смешанное произведение векторов равно 0, смешанное произведение векторов вычисляется по формуле: , гдеВычислим смешанное произведение векторов:
Векторы не компланарны.
Задание 4: При каком значении векторы где , перпендикулярны?
Решение:
1) Для определения , при котором векторы перпендикулярны, необходимо использовать условие перпендикулярности двух векторов (это условие было рассмотрено в задании 2) мы сможем найти из условия: , для этого найдем проекции векторов и на оси координат, заданных координатами точек начала и конца вектора. В этом случае проекции вектора на оси координат равны разности координат точек, задающих конец и начало вектора
Итак: векторы и перпендикулярны при и при
Задание 5: Даны точки:
Найти:
1. пр;
2. ;
3. ;
4. орт вектора ;
5. ;
6. ;
7.
Решение:
1. Из определения скалярного произведения следует, что проекцию вектора на вектор можно вычислить по формуле: пр где скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: Где и длина вектора: итак ,в нашем случае, формула принимает вид: для нахождения необходимо найти проекции векторов на оси координат, заданных координатами точек начала и конца векторов, скалярное произведение и длину соответствующего вектора:
на основании формулы, выше написанной, получим :
Пр;
2. Для нахождения длины вектора воспользуемся формулой:, для этого найдем проекции векторов на оси координат (смотри пункт 1), так же найдем сумму векторов по правилу сложения векторов, заданных проекциями на оси координат:
;
Итак:
3. Угол между векторами можно найти из определения скалярного произведения: в нашем случае формула принимает вид: находим проекции векторов на оси координат (смотри пункты 1 и 2), вычисляем скалярное произведение векторов, заданных своими проекциями на оси координат, вычисляем длины векторов:
Итак
4. Направление вектора Определяется углами , образованными им с осями координат Косинусы этих углов (направляющие косинусы вектора) определяются по формулам: Направляющие косинусы вектора связаны соотношением Мы имеем вектор единичной длины, такой вектор называется ортом для нахождения орта вектора необходимо каждую проекцию вектора на оси координат разделить на его длину Орт вектора .
Итак: орт вектора
5. Скалярное произведение векторов вычисляем по формуле:
(см. пункты 1 и 2), вычислим проекции векторов на оси координат и скалярное произведение векторов :
Итак:
6. Векторное произведение векторов вычисляется по формуле:
, где
Находим проекции векторов на оси координат:
Итак:
7. Смешанное произведение векторов вычисляется по формуле:
, где Итак:
Задание 6: Даны координаты вершин пирамиды:
Вычислить:
1. объем пирамиды;
2. длину ребра ;
3. площадь грани ;
Решение:
1. Объем пирамиды равен объема параллелепипеда, а объем параллелепипеда вычисляется на основании геометрического смысла смешанного произведения объем
Параллелипипеда, построенного на векторах как на ребрах равен:
Найдем проекции соответствующих векторов на оси координат:
Тогда объем пирамиды равен:
Вычислим объем по указанной формуле:
;
2. Длина ребра
; (смотри пункт 5,3)
3. Площадь грани вычисляется по формуле:
так как грань треугольник, а площадь треугольника можно вычислить как половину площади параллелограмма, а площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, на которых построен параллелограмм на основании свойств векторного произведения найдем проекции векторов на оси координат:
;
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Свойства векторов, с примерами
Если концы вектора заданы своими координатами в пространстве , то координаты вектора
Вектор называется единичным, если его длина равна единице. Вектор называется нулевым, если его длина равна нулю.
Векторы и называются коллинеарными, если они или лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Операция сложения векторов обладает такими свойствами
Если векторы и заданы своими координатами, то сумма/разность этих векторов
Также скалярное произведение векторов можно вычислить как произведение модулей векторов на косинус угла между ними:
Свойства скалярного произведения
Векторным произведением векторов и называется вектор (или ) такой, что:
1) вектор ортогонален векторам и :
2) векторы и образуют правую тройку;
3) модуль векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на векторах и :
Если векторы и заданы своими координатами, то векторное произведение находится по формуле:
Свойства векторного произведения
- , если векторы и коллинеарные
Свойства смешанного произведения
- Смешанное произведение равно нулю, если векторы и – компланарны
- Модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов и равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах
- Смешанное произведение векторов и , заданных своими координатами, равно значению определителя, составленного из координат этих векторов:
- Если тройка векторов и правая, то смешанное произведение , если левая, то
Примеры решения задач
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
