Site Loader

Содержание

Восьмеричный калькулятор онлайн

Если вам необходимо произвести математические операции в восьмеричной системе счисления воспользуйтесь нашим восьмеричным онлайн калькулятором:

Просто введите восьмеричные числа, выберите операцию и получите результат.

Калькулятор может производить следующие действия:

  • сложение +
  • вычитание
  • умножение ×
  • деление ÷
  • логическое И (AND)
  • логическое ИЛИ (OR)
  • исключающее ИЛИ (XOR)

Сложение в восьмеричной системе счисления

Сложение двух восьмеричных чисел производится столбиком, как и в десятичной системе, но по следующим правилам:

class=»krest»>
+ 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7 10
2 2 3 4 5 6 7 10 11
3 3 4 5 6 7 10 11 12
4 4 5 6 7 10 11 12 13
5 5 6 7 10
11
12 13 14
6 6 7 10 11 12 13 14 15
7 7 10 11 12 13 14 15 16

Пример

Для примера сложим 777 и 15:

7778 + 158 = 10148

(51110 + 1310 = 52410)

Вычитание в восьмеричной системе счисления

Вычитание восьмеричных чисел производится столбиком. Правила вычитания обратны правилам сложения (см. таблицу выше).

Пример

Для примера вычтем из числа 1014 число 777:

10148 − 7778 = 158

(52410 − 51110 = 1310)

Умножение чисел в восьмеричной системе счисления

Умножение восьмеричных чисел производится в столбик по следующим правилам:

× 0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2
3
4 5 6 7
2 0 2 4 6 10 12 14 16
3 0 3 6 11 14 17 22 25
4 0 4 10 14 20 24 30 34
5 0 5 12 17 24 31 36 43
6 0 6 14 22 30 36 44 52
7 0 7 16 25 34 43 52 61

Пример

Для примера перемножим числа 777 и 15:

× 7 7 7
1 5
+ 4 7 7 3
7 7 7
1 4 7 6 3

7778 × 158 = 147638

(51110 × 1310 = 664310)

Деление чисел в восьмеричной системе счисления

Деление восьмеричных чисел выполняется по тому же принципу, что и деление десятичных, например:

Пример

Для примера разделим число 720 на 4:

7208 ÷ 48 = 1648

(46410 ÷ 410 = 11610)

См. также

73 из восьмеричной в двоичную. Как перевести числа из восьмеричной системы счисления в двоичную. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

Для микросхем компьютера важно лишь одно. Либо сигнал есть (1), либо его нет (0). Но записывать программы в двоичном коде — дело нелегкое. На бумаге получаются очень длинные комбинации из нулей и единиц. Человеку их тяжело.

Использование привычной всем десятичной системы в компьютерной документации и программировании очень неудобно. Преобразования из двоичной в десятичную системы и обратно — весьма трудоемкие процессы.

Происхождение восьмеричной системы, так же как и десятичной, связывают со счетом на пальцах. Но считать нужно не пальцы, а промежутки между ними. Их как раз восемь.

Решением проблемы стала восьмеричная . По крайней мере на заре компьютерной техники. Когда разрядность процессоров была невелика. Восьмеричная система позволила с легкостью переводить как двоичные числа в восьмеричные, так и наоборот.

Восьмеричная система счисления — система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры от 0 до 7.

Преобразование

Для того чтобы перевести число в двоичное, необходимо заменить каждую цифру восьмеричного числа на тройку из двоичных цифр. Важно лишь запомнить, какая двоичная комбинация соответствует цифрам числа. Их совсем немного. Всего восемь!
Во всех системах счисления, кроме десятичной, знаки читаются по одному. Например, в восьмеричной системе число 610 произносится «шесть, один, ноль».

Если вы хорошо знаете систему счисления, то можно и не запоминать соответствие одних чисел другим.

Двоичная система ничем не отличается от любой другой позиционной системы. Каждый разряд числа имеет . Как только предел достигнут, текущий разряд обнуляется, а перед ним появляется новый. Только одно замечание. Предел этот очень мал и равен единице!

Все очень просто! Ноль предстанет группой из трех нулей — 000, 1 обернется последовательностью 001, 2 превратится в 010 и т.д.

В качестве примера попробуйте преобразовать восьмеричное число 361 в двоичное.
Ответ — 011 110 001. Или, если отбросить незначащий ноль, то 11110001.

Перевод из двоичной системы в восьмеричную аналогичен описанному выше. Только начинать разбиение на тройки нужно с конца числа.

С помощю этого онлайн калькулятора можно перевести целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Дается подробное решение с пояснениями. Для перевода введите исходное число, задайте основание сисемы счисления исходного числа, задайте основание системы счисления, в которую нужно перевести число и нажмите на кнопку «Перевести». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Результат уже получен!

Перевод целых и дробных чисел из одной системы счисления в любую другую − теория, примеры и решения

Существуют позиционные и не позиционные системы счисления. Арабская система счисления, которым мы пользуемся в повседневной жизни, является позиционной, а римская − нет. В позиционных системах счисления позиция числа однозначно определяет величину числа. Рассмотрим это на примере числа 6372 в десятичном системе счисления. Пронумеруем это число справа налево начиная с нуля:

Тогда число 6372 можно представить в следующем виде:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Число 10 определяет систему счисления (в данном случае это 10). В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.

Рассмотрим вещественное десятичное число 1287.923. Пронумеруем его начиная с нуля позиции числа от десятичной точки влево и вправо:

Тогда число 1287.923 можно представить в виде:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3·10 -3 .

В общем случае формулу можно представить в следующем виде:

Ц n ·s n +Ц n-1 ·

s n-1 +…+Ц 1 ·s 1 +Ц 0 ·s 0 +Д -1 ·s -1 +Д -2 ·s -2 +…+Д -k ·s -k

где Ц n -целое число в позиции n , Д -k — дробное число в позиции (-k), s — система счисления.

Несколько слов о системах счисления.Число в десятичной системе счисления состоит из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, в восьмеричной системе счисления — из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7}, в двоичной системе счисления — из множества цифр {0,1}, в шестнадцатеричной системе счисления — из множества цифр {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}, где A,B,C,D,E,F соответствуют числам 10,11,12,13,14,15.В таблице Таб.1 представлены числа в разных системах счисления.

Таблица 1
Система счисления
10 2 8 16
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода чисел с одной системы счисления в другую, проще всего сначала перевести число в десятичную систему счисления, а затем, из десятичной системы счисления перевести в требуемую систему счисления.

Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления

С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

1 ·2 6 +0 ·2 5 +1 ·2 4 +1 ·2 3 +1 ·2 2 +0 ·2 1 +1 ·2 0 +0 ·2 -1 +0 ·2 -2 +1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

Пример 3 . Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:

Здесь A -заменен на 10, B — на 11, C — на 12, F — на 15.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления нужно переводить отдельно целую часть числа и дробную часть числа.

Целую часть числа переводится из десятичной СС в другую систему счисления — последовательным делением целой части числа на основание системы счисления (для двоичной СС — на 2, для 8-ичной СС — на 8, для 16-ичной — на 16 и т.д.) до получения целого остатка, меньше, чем основание СС.

Пример 4 . Переведем число 159 из десятичной СС в двоичную СС:

159 2
158 79 2
1 78 39 2
1 38 19 2
1 18 9 2
1 8 4 2
1 4 2 2
0 2 1
0

Как видно из Рис. 1, число 159 при делении на 2 дает частное 79 и остаток 1. Далее число 79 при делении на 2 дает частное 39 и остаток 1 и т.д. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в двоичной СС: 10011111 . Следовательно можно записать:

159 10 =10011111 2 .

Пример 5 . Переведем число 615 из десятичной СС в восьмеричную СС.

615 8
608 76 8
7 72 9 8
4 8 1
1

При приведении числа из десятичной СС в восьмеричную СС, нужно последовательно делить число на 8, пока не получится целый остаток меньшее, чем 8. В результате построив число из остатков деления (справа налево) получим число в восьмеричной СС: 1147 (см. Рис. 2). Следовательно можно записать:

615 10 =1147 8 .

Пример 6 . Переведем число 19673 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

19673 16
19664 1229 16
9 1216 76 16
13 64 4
12

Как видно из рисунка Рис.3, последовательным делением числа 19673 на 16 получили остатки 4, 12, 13, 9. В шестнадцатеричной системе счисления числе 12 соответствует С, числе 13 — D. Следовательно наше шестнадцатеричное число — это 4CD9.

Для перевода правильных десятичных дробей (вещественное число с нулевой целой частью) в систему счисления с основанием s необходимо данное число последовательно умножить на s до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль, или же не получим требуемое количество разрядов. Если при умножении получится число с целой частью, отличное от нуля, то эту целую часть не учитывать (они последовательно зачисливаются в результат).

Рассмотрим вышеизложенное на примерах.

Пример 7 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

0.214
x 2
0 0.428
x 2
0 0.856
x 2
1 0.712
x 2
1 0.424
x 2
0 0.848
x 2
1 0.696
x 2
1 0.392

Как видно из Рис.4, число 0.214 последовательно умножается на 2. Если в результате умножения получится число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть записывается отдельно (слева от числа), а число записывается с нулевой целой частью. Если же при умножении получиться число с нулевой целой частью, то слева от нее записывается нуль. Процесс умножения продолжается до тех пор, пока в дробной части не получится чистый нуль или же не получим требуемое количество разрядов. Записывая жирные числа (Рис.4) сверху вниз получим требуемое число в двоичной системе счисления: 0.0011011 .

Следовательно можно записать:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Пример 8 . Переведем число 0.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС.

0.125
x 2
0 0.25
x 2
0 0.5
x 2
1 0.0

Для приведения числа 0.125 из десятичной СС в двоичную, данное число последовательно умножается на 2. В третьем этапе получилось 0. Следовательно, получился следующий результат:

0.125 10 =0.001 2 .

Пример 9 . Переведем число 0.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС.

0.214
x 16
3 0.424
x 16
6 0.784
x 16
12 0.544
x 16
8 0.704
x 16
11 0.264
x 16
4 0.224

Следуя примерам 4 и 5 получаем числа 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадцатеричной СС числам 12 и 11 соответствуют числа C и B. Следовательно имеем:

0.214 10 =0.36C8B4 16 .

Пример 10 . Переведем число 0.512 из десятичной системы счисления в восьмеричную СС.

0.512
x 8
4 0.096
x 8
0 0.768
x 8
6 0.144
x 8
1 0.152
x 8
1 0.216
x 8
1 0.728

Получили:

0.512 10 =0.406111 8 .

Пример 11 . Переведем число 159.125 из десятичной системы счисления в двоичную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 4) и дробную часть числа (Пример 8). Далее объединяя эти результаты получим:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Пример 12 . Переведем число 19673.214 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную СС. Для этого переведем отдельно целую часть числа (Пример 6) и дробную часть числа (Пример 9). Далее объединяя эти результаты получим.

Автор Eternal aum задал вопрос в разделе Другие языки и технологии

перевод чисел в двоичную,восьмеричную системы счисления и получил лучший ответ

Ответ от Емил Иванов[гуру]
// Посмотри ответ пользователя Gennady!
// Задача: 100 (10) =? (2).
(* «Перевести 100 (из 10-чной) в 2-ичную систему счисления! «,
я случайно услышал, когда я прошел мимо уличного стола кафе «Markrit»,
(у угла улиц «Патриарх Евтимий» и «Князь Борис» в Софии) 05 июня 2009. *)
Решение (которое я говорил вслух, потому что мне пришлось ждать много проезжающих мимо машин вдоль бульвара) :
І способ — число 100 делится на 2 (пока не получиться 1), а остатки от деления формируют число снизу-вверх (слева-направо) .
100:2 = 50 I 0
50:2 = 25 I 0
25:2 = 12 I 1
12:2 = 6 I 0
6:2 = 3 І 0
3:2 = 1 I 1
1:2 = 1 I 1
100 (10) = 1100100 (2)
II способ — число разлагается по степеням числа 2, начиная с максимальной меньшей числа 100 степени (числа 2).
(Если степени числа 2 заранее не известны, можно исчислить:
2 на 7 степени 128
2 на 6 степени 64
2 на 5 степени 32
2 на 4 степени 16
2 на 3 степени 8
2 на 2 степени 4
2 на 1 степени 2
2 на 0 степени 1).
1. 64 64 + 32 64 + 32 + 16 > 100 (отсюда и 16 не слагаемое)

64 + 32 + 4 = 100 (4 является третьим слагаемым — число 100 получено) .
2. На разряд** каждого слагаемого (из т. 1) записать в число цифра 1,
на остальные разряды** записать 0.
** Разряд числа соответствует степени числа 2.
** Для примера, 2 разряд соответствует 2-ой степени числа 2,
где должно быть 1, так как число 4 (2-ой степени числа 2) слагаемое.)
100 (10) = 64 +32 +4 = 1100100 (2)
// Так как 2 на 3 степени 8,
для быстрого превращения числа:
1. из 2-ичной в 8-ичную систему счисления,
можно:
— сгруппировать цифры 2-ичного числа в тройках;
— записывать полученную 8-ичную цифру в каждую из тройках.
100 (10) = 1 100 100 (2) = 144 (8)
2. из 8-ичной в 2-ичную сестему счисления,
можно записывать каждую 8-ичную цифру 3 цифрами 2-ичной системы счисления.
100 (10) = 144 (8) = 1 100 100 (2)

Ответ от Котенок [новичек]
используй Калькулятор на компе и все проблемы))))

Ответ от Александр Радько [активный]
У калькулятора в винде смени вид на инженерный))
тогда указывай модель телефона, пробуй что-то из этого ссылка ,

Ответ от Gennady [гуру]
Доброго времени суток.
Запомните простой алгоритм.
Пока число больше нуля, делите его на основание системв и записываете остатки справа на лево. Все!
Пример. Перевести 13 в двоичную систему. После знака равно частное и остаток.
13: 2 = 6 1
6: 2 = 3 0
3: 2 = 1 1
1: 2 = 0 1
Итого 13(10) = 1101(2)
Аналогично и с другими основаниями.0 = 1*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13
Перевод из, допустим, восьмеричной системы в пятиричную надо делать через десятичную по этим правилам.
Если вы это осознаете, вам не понадобится мобила на экзамене.
Удачи!

Перевод чисел из двоичной СС в 8-ричную и 16-ричную и обратно

1. Перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:

    исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с справа для целых чисел и слева для дробных. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева нулями до 4 для целых чисел и справа для дробных;

    каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей.

1. 10011 2 = 0001 0011 2 = 13 16

2. 0,1101 2 = 0,D 16 .
2. Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:

    каждая цифра шестнадцатеричного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева нулями до 4;

1. 13 16 = 0001 0011 2 = 10011 2

2. 0,2А 16 = 0,0010 1010 2 = 0,0010101 2 .
3. Из двоичной системы счисления в восьмеричную

    исходное число разбивается на триады (т.е. 3 цифры), начиная с справа для целых чисел и слева для дробных. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 3, оно дополняется слева нулями до 3 для целых чисел и справа для дробных;

    каждая триада заменятся восьмеричной цифрой в соответствии с таблицей

1. 1101111001.1101 2 =001 101 111 001.110 100 2 = 1571,64

2. 11001111.1101 2 = 011 001 111.110 100 2 = 317, 64 8

4. Для перевода восьмеричного числа в двоичную систему счисления

    каждая цифра восьмеричного числа заменяется триадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 3 цифр, оно дополняется слева нулями до 3 для целых чисел и справа до 3 для дробных;

    незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.

1. 305,4 8 = 011 000 101 , 100 2 = 11000101,1 2

2. 2516,1 8 = 010 101 001 110 , 001 2 = = 10101001110,001 2

5. Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.

1. 175,24 8 = 001 111 101 , 010 100 2 = 0111 1101 , 0101 2 = 7D,5 16

2. 426,574 8 = 100 010 110 , 101 111 100 2 = 0001 0001 0110 , 1011 1110 2 =116,BE

3. 0,0010101 2 = 0,0010 1010 2 = 0,2A 16 .

4. 7B2,E 16 = 0111 1011 0010 ,1110 2 = 11110110010,111 2

5. 11111111011,100111 2 = 0111 1111 1011,1001 1100 2 = 7FB,9C 16

6. 110001,10111 2 = 0011 0001,1011 1000 2 = 31,B8 16

Перевод 67 из восьмеричной в двоичную систему счисления

Задача: перевести число 67 из восьмеричной в двоичную систему счисления

Для перевода 67 из восьмеричной в двоичную систему счисления, воспользуемся следующим алгоритмом:

  1. Переведем число 67 из восьмеричной системы в десятичную;
  2. Полученное число переведём из десятичной системы в двоичную;

Решение:

1. Для перевода числа 67 в десятичную систему воспользуемся формулой:

An = an-1 ∙ qn-1 + an-2 ∙ qn-2 + ∙∙∙ + a0 ∙ q0

Отсюда:

678=6 ∙ 81 + 7 ∙ 80 = 6 ∙ 8 + 7 ∙ 1 = 48 + 7 = 5510

Таким образом:

678 = 5510

2. Полученное число 55 переведем из десятичной системы счисления в двоичную. Для этого, осуществим последовательное деление на 2, до тех пор пока остаток не будет меньше чем 2.

55 2
54 27 2
1 26 13 2
1 12 6 2
1 6 3 2
0 2 1
1

Полученные остатки записываем в обратном порядке, таким образом:

5510=1101112

Ответ: 678 = 1101112

Другие переводы числа 67:

Смотрите также:

  • Смотрите также
  • Калькуляторы
  • Последние переводы

Полезные материалы

Калькуляторы переводов

Последние примеры переводов из 8-ой в 2-ую систему

Оцените материал:

Загрузка…

Поделиться с друзьями:

Перевод чисел в позиционных системах счисления_8 класс_Урок информатики

Главная / 8 класс / Конспект

Перевод чисел в позиционных системах счисления

В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел.

Количество предметов изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твёрдой поверхности: камне, дереве, глине. Позже значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня (счетные палочки для обучения счету; полоски, нашитые на рукаве, означают на каком курсе учится курсант военного училища).

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа заключают в себе количественную информацию. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления.

Система счисления (СС) — способ записи чисел с помощью некоторого алфавита, символы которого называют цифрами.

Алфавит – это набор цифр, используемый в записи числа в данной СС.

Различают СС позиционные и непозиционные.
Позиционные — количественное значение каждой цифры числа зависит от того, в каком месте (позиции или разряде) записана та или иная цифра. (В числе 252 – первая двойка означает количество сотен, последняя – количество единиц)
Непозиционные — количественное значение цифры числа не зависит от того, в каком месте (позиции или разряде) записана та или иная цифра.
Пример позиционной системы счисления — арабская (современная десятичная), непозиционной — римская.

К непозиционным системам исчисления можно отнести системы счисления древности: старославянскую, древнеегипетскую, китайскую, ацтеков, майя …

Недостатки: Очень сложно выполнять математические расчеты и  необходимо большого числа различных знаков для записи чисел, особенно больших

Приведем пример самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр используются следующие латинские буквы:

I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000.
Величина числа определяется как сумма или разность цифр в числе.
444=400+40+4=(D-С)+(L-X)+(V-I)=CDXLIV
Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричная, т.е. в ней использовалось шестьдесят цифр. (До сих пор считаем, час — 60 минут, минута — 60 секунд, окружность — 360о).
В позиционных СС количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряды возрастают справа налево (единицы, десятки, сотни и т.д.).
Основанием СС — количество различных символов (цифр), используемых для изображения числа в позиционных системах счисления, называется .  (Например, 32245 число записано в пятеричной СС, читается «три-два-два-четыре в пятеричной СС»)
Например, в десятичной системе счисления, которой мы пользуемся, алфавит состоит из  десяти цифр {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, соответственно основание равно 10.
Четверичная СС. Основание — 4. Алфавит — 0, 1, 2, 3.
Семеричная СС. Основание — 7. Алфавит — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Шестнадцатеричная СС. Основание — 16. Алфавит — 0 … 9, A, B, C, D, E, F. (Например 2D616 «два-д-шесть в шестнадцатеричной СС, цифре А соотв. 10 в десятичной СС, B — 11, C — 12, D — 13, E — 14, F — 15)
В современной информатике используются в основном двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная СС. Двоичная система счисления используется для кодирования дискретного сигнала в вычислительной технике, поскольку двоичный сигнал проще представлять на аппаратном уровне. В этой системе счисления для представления числа применяются два знака – 0 и 1.
 
 
Перевод чисел из любой позиционной СС в десятичную

Мы пользуемся свернутой формой записи числа, но мы знаем, что, например, число 352 = 3*100+5*10+2.

В развернутой форме производится умножение цифр числа на степень основания, т.е. 352=3*102+5*101+2*100.
Т.о. любое число в позиционной СС можно записать в развернутой форме и перевести в десятичную СС.
В памяти компьютера числа представлены в двоичной СС, поэтому в информатике часто возникает необходимость перевода чисел из двоичной системы в десятичную и обратно. Приведем пример перевода двоичного числа:
Пример 1:
5 4 3 2 1 0
1101012 = 1*25 + 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5310.
Двоичное число с дробной частью:
Пример 2:
3210-1-2
1001,112 = 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2-1 + 1*2-2 = 8 + 1 + 1/2 + 1/4 = 9+ 0,75 = 9,7510.
По такому же принципу можно переводить числа в десятичную СС из других позиционных СС.
Пример 3:
32114 =  3*43 + 2*42 + 1*41 + 1*10 = 3*64 + 2*16 + 1*4 + 1*1 = 192 + 32 + 4 + 1 = 22910
Пример 4:
2148 = 4 * 80 + 1 * 81 + 2 * 82 = 4 + 8 + 128 = 14010
Пример 5:
2 1 0
2AF16 =  2*162 + 10*161 + 15*160 = 2*256 + 10*16 + 15*1 = 512 + 160 + 15 = 68710
В записи числа в шестнадцатеричной системе счисления А=10 и F=15.
Пример 6:

1D316 = 3 * 160 + 13 * 161 + 1* 162 = 3 + 208 + 256 = 46710

В записи числа в шестнадцатеричной системе счисления D=13.
 
 
Перевод чисел из десятичной СС в любую позиционную систему счисления.
Существует алгоритм перевода целого десятичного числа в двоичное:
  1. Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание СС (на 2) до тех пор, пока частное от деления не окажется меньше основания СС (<2).
  2. Записать полученные остатки в обратной последовательности, начиная с последнего результата.
2510 = 110012
Для перевода дробных десятичных чисел существует тоже алгоритм. Для этого необходимо  отдельно перевести целую и дробную часть.
26, 7510 = 26 + 0,75 = 11010+0,11 = 11010,112
Целую часть переведем как указано выше, а дробную часть переведем по следующему алгоритму:
  1. последовательно умножать исходную и получаемые дробные части на основание системы до тех пор, пока не получим нулевую дробную часть.
  2. Записать полученные целые части произведений в прямой последовательности.
  0, 75   *2
Ô 1, 5   *2
  1, 0  

Поучаем 0,7510 = 0,112

Используя данный алгоритм можно перевести десятичное число в позиционную систему с любым основанием.

18010 = B416

 
Результат 158 79 39 19 9 4 2 1
Остаток 0 1 1 1 1 0 0 1
15810 = 100111102
 
Результат 467 58 7
Остаток 3 2 7
46710 = 7238
 
 

Практическая работа № 2 Системы счисления Двоичная сс. Шестнадцатиричная сс. Восьмеричная сс

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Все СС делятся на 2 большие группы: позиционные и непозиционные (например, римская СС).

Алфавит СС – все символы, служащие для обозначения цифр в СС.

Основание СС – количество символов в алфавите СС.

Развернутая форма записи числа – умножение цифр числа на различные степени основания СС. Число записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.

Например:

198610=1*1000+9*100+8*10+6*1

Двоичное число – число, записанное в двоичной СС.

Умножение или деление двоичного числа на 2 (основание) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд право или влево.

101,01 * 2 = 1010,1

101,01 / 2 = 10,101

Теперь переведем число 1986 в 2СС. Для этого нужно ответить на вопрос, какая степень двойки наиболее близка к числу 1986, так чтобы эта степень была меньше самого числа. Далее, записав число в виде суммы, но уже степеней двойки, мы выписываем все двойки во всех степенях, начиная с самой большой, которая встречается в нашей записи и до нуля. Причем, если в предыдущей записи такая степень двойки не встречалась, то коэффициент при ней ставим 0. Общий результат от этого не изменится, так как если на нуль умножить эту степень двойки, то это слагаемое превратится в нуль.

198610=1024+512+256+128+64+2=210+29+28+27+26+21=

=1*210+1*29+1*28+1*27+1*26+0*25+0*24+0*23+0*22+1*21+0*20

Коэффициенты перед степенью двойки образуют число, как это было и в предыдущем примере. У нас получилось то же число, но записанное в 2СС.

Двоичная арифметика

Таблица сложения одноразрядных двоичных чисел

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

При сложении двух единиц – переполнение разряда и перенос в старший разряд. Переполнение разряда происзодит тогда, когда числа в нем становятся равными или большим основанием. Для ДСС это число равно 2.

Вычитание. В основе – таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда.

0-0=0

0-1=11

1-0=1

1-1=0

Умножение.

0*0=0

0*1=0

1*0=0

1*1=1

Деление. Подобно алгоритму выполнения операции деления в 10ичной СС.

Числа могут быть записаны в естественной или экспоненциальной форме. Естественной формой называется обычная запись чисел, например, 3,14 или 10000.

Экспоненциальная форма чисел обычно используется для записи либо очень больших, либо очень маленьких чисел, которые в обычной естественной форме содержат большое количество незначащих нулей . Числа в ЭФ могут быть записаны в 10CC, 2CC и любой другой СС. Число А в любой СС в ЭФ имеет вид:

А=m*qn

Где m – мантисса числа, правильная дробь, имеющая после запятой цифру, отличную от нуля,

q – основание СС,

n – порядок числа.

СС

Естественная форма

Экспоненциальная форма

Десятичная

16000000000000000

1,6*10 16

0,00000000000000016

1,6*10 –16

Двоичная

11000000000000000

1,1 * 2 16

0,00000000000000011

1,1*2 -16

256 Из 10 в 8 систему счисления – Тарифы на сотовую связь