Восьмеричная система счисления отличается от шестнадцатеричной: Страница не найдена — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Восьмеричная система счисления отличается от шестнадцатеричной

Двоичная система счисления

Для представления чисел в микропроцессоре используется двоичная система счисления .
При этом любой цифровой сигнал может иметь два устойчивых состояния: «высокий уровень» и «низкий уровень». В двоичной системе счисления для изображения любого числа используются две цифры, соответственно: 0 и 1. Произвольное число x=a_na_n-1..a₁a_{,a_-1a_-2…a_-m} запишется в двоичной системе счисления как

где a_i — двоичные цифры (0 или 1).

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 7. 8 единиц младшего разряда объединяются в единицу старшего.

Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 15 включительно. Для обозначения базисных цифр больше 9 одним символом кроме арабских цифр 0…9 в шестнадцатеричной системе счисления используются буквы латинского алфавита:

Например, число 175₁₀ в шестнадцатеричной системе счисления запишется как AF₁₆. Действительно,

10·16 1 +15·16 0 =160+15=175

В таблице представлены числа от 0 до 16 в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная

1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

Двоично-восьмеричные и двоично-шестнадцатеричные преобразования

Двоичная система счисления удобна для выполнения арифметических действий аппаратными средствами микропроцессора, но неудобна для восприятия человеком, поскольку требует большого количества разрядов. Поэтому в вычислительной технике помимо двоичной системы счисления широкое применение нашли восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления для более компактного представления чисел.

Три разряда восьмеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации восьмеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (000) до 7(111). Чтобы преобразовать двоичное число в восьмеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 3 разряда (триады) в две стороны, начиная от разделителя целой и дробной части. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Если число содержит дробную часть, то справа от него тоже можно добавить незначащие нули до заполнения всех триад. Затем каждая триада заменяется восьмеричной цифрой.

Пример: Преобразовать число 1101110,01₂ в восьмеричную систему счисления.

Объединяем двоичные цифры в триады справа налево. Получаем

Чтобы перевести число из восьмеричной системы в двоичную, нужно каждую восьмеричную цифру записать ее двоичным кодом:

Четыре разряда шестнадцатеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации шестнадцатеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (0000) до F(1111). Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 4 разряда (тетрады) в две стороны, начиная от разделителя целой и дробной части. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Если число содержит дробную часть, то справа от нее тоже нужно добавить незначащие нули до заполнения всех тетрад. Затем каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой.

Пример: Преобразовать число 1101110,11₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Объединяем двоичные цифры в тетрады справа налево. Получаем

Чтобы перевести число из шестнадцатеричной системы в двоичную, нужно каждую шестнадцатеричную цифру записать ее двоичным кодом:

Такие системы счисления относятся к двоично-кодированным системам, когда основание системы счисления представляют целые степени двойки: 2 3 — для восьмеричной и 2 4 — для шестнадцатеричной систем счисления. Изображения целых чисел в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления вместе с их двоичным и десятичными эквивалентами представлены в табл. 2.4 и 2.6

Большим достоинством восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления является:

-возможность более компактно представить запись двоичного числа. Запись одного и того же двоичного числа в восьмеричной в 3 раза, а в шестнадцатеричной системе в 4 раза короче двоичной;

-сравнительно просто осуществляется преобразование чисел из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы и наоборот.

Действительно, так как для восьмеричного числа каждый разряд представляется группой из трех двоичных разрядов (триад), а для шестнадцатеричного — группой из четырех двоичных разрядов (тетрад), то для такого преобразования достаточно объединить двоичные цифры в группы по 3 и 4 бита соответственно, продвигаясь от разделительной запятой вправо и влево. При этом в случае необходимости добавляют нули в начале и в конце числа и каждую такую группу — триаду или тетраду — заменяют эквивалентной восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой.

Указанные достоинства восьмеричных и шестнадцатеричных систем счисления определили использование их при составлении программ для более короткой и удобной записи двоичных чисел, команд и специальных двоичных слов, с которыми оперирует ЭВМ. Особенно оказалось удобным использование шестнадцатеричной системы, когда разрядность чисел и команд выбрана кратной байту, при этом каждый двоичный код байта запишется в виде 2-разрядного шестнадцатеричного числа.

Использование шестнадцатеричной системы счисления в ЭВМ общего назначения, как будет видно из дальнейшего изложения, позволяет расширить допустимый диапазон представления нормализованных чисел.

Шестнадцатеричная система счисления.

Наиболее удобной и короткой по записи является шестнадцатеричной СС. Данная СС имеет набор цифр <0, 1, 2, 3,. . ., 9, А, В, С, D, Е, F

>, т.е основание системы р = 16. Для изображения чисел в шестнадцатеричной СС требуются 16 цифр. Для обозначения первых десяти цифр используются цифры десятичной СС, а для изображения шести остальных — шесть заглавных (прописных) букв латинского алфавита А, В, С, D, Е, F, хотя можно было бы использовать любые другие шесть знаков.

По формуле (2.2) шестнадцатеричное число можно представить так:

А ₁₆ = a_n 16 n + a_n-1 16 n-1 + a_n-2 16 n-2 + … + a₁ 16 1 + a_{16 0 + a_-1 16 -1 + a_-2 16 -2 + … + a_-m 16 -m}

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Идёт приём заявок

Подать заявку

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

8 класс. Системы счисления.

1. В какой системе счисления представлена информация, хранящаяся в компьютере?

а) троичной; б) двоичной; в) десятичной; г) двенадцатеричной.

2 . Преимущество двоичной системы счисления состоит в том, что

а) двоичный код позволяет экономить память компьютера;

б) электронные элементы с двумя состояниями наиболее просты в конструктивном исполнении;

в) электронные элементы с двумя состояниями потребляют меньше электроэнергии;

г) двоичный код не вызывает сбоя компьютера.

3. Восьмеричная система счисления отличается от шестнадцатеричной

а) количеством операций над числом в секунду;

б) глубиной вложенности операций;

в) количеством цифр, используемых для записи числа;

г) степенью компьютеризации.

4. Какое количество цифр используется в троичной системе счисления?

а) 3; б)11; в) 10;г) 2.

5. В шестнадцатеричной системе счисления символ F используется для обозначения

а) конца файла; б) числа 16;в) конца строки; г) числа 15.

6. Переведите из двоичной системы счисления в десятичную число 101010101.

а) 361; б) 564; в) 455; г) 341.

7. Переведите из десятичной системы счисления в двоичную число 216.

а) 11001100; б) 11011000; в) 11100000; г) 11001000.

8. Число 1116 в двоичной системе счисления равно

а) 1010101; б) 10011; в) 10001; г) 1000010.

9. Число ЕЕ16 в двоичной системе счисления равно

а) 110011; б) 11101110; в) 11110000; г) 10101010.

10. Число Е216 в десятичной системе счисления равно

а) 10000; б) 456; в) 226; г) 2310.

11. Число 3210 равно числу

а) 1000002; б) 358; в) 2116; г) 100002.

12. Сумма 1012 + 1002 + 1102, равна

а) 10112; б) 10012; в) 00012; г) 11112.

13. Выполните действие: 1111000012 + 1000112.

а) 10000001002; б) 10011001102; в) 10000111102; г) 10000011002.

14. Какое из равенств верно?

а) 510 = 000001112; б) 4710 = 1011112; в) 1310 = 000111112; г) 2 10 = 000010002.

15. Запись числа 100

а) отсутствует в двоичной системе счисления;

б) существует в двоичной, десятичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления;

в) отсутствует в десятичной системе счисления;

г) отсутствует в восьмеричной системе счисления;

д) отсутствует в шестнадцатеричной системе счисления.

8 класс. Системы счисления.

1. В какой системе счисления представлена информация, хранящаяся в компьютере?

а) троичной; б) двоичной; в) десятичной; г) двенадцатеричной.

2 . Преимущество двоичной системы счисления состоит в том, что

а) двоичный код позволяет экономить память компьютера;

б) электронные элементы с двумя состояниями наиболее просты в конструктивном исполнении;

в) электронные элементы с двумя состояниями потребляют меньше электроэнергии;

г) двоичный код не вызывает сбоя компьютера.

3. Восьмеричная система счисления отличается от шестнадцатеричной

а) количеством операций над числом в секунду;

б) глубиной вложенности операций;

в) количеством цифр, используемых для записи числа;

г) степенью компьютеризации.

4. Какое количество цифр используется в троичной системе счисления?

а) 3; б)11; в) 10;г) 2.

5. В шестнадцатеричной системе счисления символ F используется для обозначения

а) конца файла; б) числа 16;в) конца строки; г) числа 15.

6. Переведите из двоичной системы счисления в десятичную число 101010101.

а) 361; б) 564; в) 455; г) 341.

7. Переведите из десятичной системы счисления в двоичную число 216.

а) 11001100; б) 11011000; в) 11100000; г) 11001000.

8. Число 1116 в двоичной системе счисления равно

а) 1010101; б) 10011; в) 10001; г) 1000010.

9. Число ЕЕ16 в двоичной системе счисления равно

а) 110011; б) 11101110; в) 11110000; г) 10101010.

10. Число Е216 в десятичной системе счисления равно

а) 10000; б) 456; в) 226; г) 2310.

11. Число 3210 равно числу

а) 1000002; б) 358; в) 2116; г) 100002.

12. Сумма 1012 + 1002 + 1102, равна

а) 10112; б) 10012; в) 00012; г) 11112.

13. Выполните действие: 1111000012 + 1000112.

а) 10000001002; б) 10011001102; в) 10000111102; г) 10000011002.

14. Какое из равенств верно?

а) 510 = 000001112; б) 4710 = 1011112; в) 1310 = 000111112; г) 2 10 = 000010002.

15. Запись числа 100

а) отсутствует в двоичной системе счисления;

б) существует в двоичной, десятичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления;

в) отсутствует в десятичной системе счисления;

г) отсутствует в восьмеричной системе счисления;

д) отсутствует в шестнадцатеричной системе счисления.

Гончаровская Светлана АнатольевнаНаписать 4424 10.12.2015

Номер материала: ДВ-247864

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная, десятиричная

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Существуют системы позиционные и непозиционные. В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре, шестнадцать и т. д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Десятичная система счисления

Эта система пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н. э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени; 10, 100, 1000 и т. д. Крайняя правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа — число десятков, следующая — число сотен и т. д. Причина наибольшей распространенности десятичной системы счисления состоит в том, что первым счетным аппаратом человека являлись его руки. Число пальцев и стало отправным пунктом для системы счета.

Двоичная система счисления

В этой системе всего две цифры — 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т. д. Крайняя правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра — число двоек, следующая — число четверок и т. д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число — представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически.

Восьмеричная система счисления

В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает — как и в десятичном числе — просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т. д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмеричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Шестнадцатеричная система счисления

Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: А, В, С, D, Е, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означает просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде — 16 (десятичное), в следующем — 256 (десятичное) и т. д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому, как это делается для восьмеричной системы.

Вопрос 4. Чем отличаются друг от друга десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

1. Основаниями этих систем счисления являются соответственно числа 10, 2, 8, 16. При записи чисел в десятичной системе используются цифры от 0 до 9; в двоичной системе любое число записывается в виде последовательности 0 и 1; в восьмеричной системе для записи чисел используются цифры от 0 до 7; в шестнадцатеричной системе числа можно записывать 16-ю символами — цифрами от 0 до 9 и латинскими буквами от А до F;

2. Основаниями этих систем счисления являются соответственно числа 10, 2, 8, 16. При записи чисел в десятичной системе используются цифры от 0 до 10; в двоичной системе любое число записывается в виде последовательности 0 и 1; в восьмеричной системе для записи чисел используются цифры от 0 до 8; в шестнадцатеричной системе числа можно записывать цифрами от 0 до 16.

3. Основаниями этих систем счисления являются соответственно числа 10, 2, 8, 16. При записи чисел в десятичной системе используются цифры от 0 до 8; в двоичной системе любое число записывается в виде последовательности 0 и 1; в восьмеричной системе для записи чисел используются цифры от 0 до 10; в шестнадцатеричной системе числа можно записывать цифрами от 0 до 16.

4. Основаниями этих систем счисления являются соответственно числа 10, 2, 8, 16. При записи чисел в десятичной системе используются цифры от 0 до 9; в двоичной системе любое число записывается в виде последовательности 0 и 1; в восьмеричной системе для записи чисел используются цифры от 0 до 8; в шестнадцатеричной системе числа можно записывать цифрами от 0 до 17. В вычислительной технике используется только десятичная система счисления.

5. Основаниями этих систем счисления являются соответственно числа 10, 2, 8, 16. При записи чисел в десятичной системе используются цифры от 0 до 9; в двоичной системе любое число записывается в виде последовательности 0 и 1; в восьмеричной системе для записи чисел используются цифры от 0 до 8; в шестнадцатеричной системе числа можно записывать цифрами от 0 до 16.

Вопрос 5. Десятичное число 30 запишется в двоичной системе как:

1. 10011;

2. 11110;

3. 10101;

4. 100111;

5. 100001.

Задание 2

Вопрос 1. Элементарная единица измерения количества информации — это:
1. Байт;

2. Кбайт;

3. Мбайт;

4. Бит;

5. Восемь бит.

Вопрос 2. Даны системы счисления: с основанием 2, 8, 10, 16. Запись вида 100
1. отсутствует в двоичной;
2. существует во всех перечисленных;
3. отсутствует в десятичной;
4. отсутствует в восьмеричной;
5. отсутствует в 16-ной.

Вопрос 3. Если вариант теста в среднем имеет объем 20 килобайт (на каждой странице теста 40 строк по 64 символа в каждой , 1 символ занимает 1 байт), то количество страниц в тесте равно (ответ округлен до целой страницы): 1. 10;

2. 16;

3. 8;

4. 4;

5. 12.

Вопрос 4. Емкость одного печатного текста равна приблизительно 60 Кбайт

(1 символ занимает 1 байт), скорость печати — 100 символов в секунду. Без учета смены бумаги для распечатки текста на принтере потребуется минут (ответ округлен до целого числа):

1. 256;

2. 10;

3. 17;

4. 12;

5. 1024.

Вопрос 5 Важнейшими свойствами информации являются:

Достоверность и полнота;

2. ценность;

3. актуальность;

4. ясность и понятность;

5. все вышеперечисленное.

АППАРАТНЫЕ СРЕДСТВА СОВРЕМЕННОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

Задание 3

Вопрос 1. Даны утверждения:
1. Емкость жесткого диска определяет производительность компьютера.
2. К характеристикам мониторов, определяющим качество изображения, относятся габариты, вес, материал корпуса.
3. Процессор содержит два основных устройства: арифметико-логическое устройство и устройство управления.
Среди них верными являются только

1. 1;

2. 2;

3. 3;

4. 1, 2 и 3;

5. 1 и 2.

Вопрос 2. Кнопочное устройство ввода символьной информации в компьютер — это:
1. сканер

2. мышь

3. трекбол

4. джойстик

5. клавиатура.

Вопрос 3. Для чего предназначены ПЗУ?

1. для временного хранения и считывания информации;

2. для постоянного хранения и считывания информации, которая не подлежит изменению;

3. для длительного хранения и считывания информации, которая изменяется крайне редко;

4. для любого вида хранения информации (как временного, так и длительного) и считывания информации;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 4. Для чего предназначены ОЗУ?

1. для временного хранения, записи и считывания информации;

2. для постоянного хранения и считывания информации, которая не подлежит изменению;

3. для длительного хранения, записи и считывания информации, которая изменяется крайне редко;

4. для любого вида хранения информации (как временного, так и длительного), записи и считывания информации;

5. нет правильного ответа.

Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Замечание 1

Данные системы счисления относятся к позиционным.

Двоичная система счисления

Эта система счисления свое название получила в результате того, что содержит в своем основании всего две цифры – $0$ и $1$. Таким образом, число $2$ и его степени $2, 4, 8$ и т.д. играют особую роль. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая – число двоек, следующая — число четверок и т.д.

В двоичной системе счисления для формирования числа используются всего две цифры: $0$ и $1$. Пределом разряда является $1$, и как только при счете разряд достигает своего максимального значения, он обнуляется, а при этом образуется новый разряд. Ниже в таблице приведены соответствия двоичных и десятичных чисел.

Рисунок 1.

Замечание 2

Используя двоичную систему счисления, можно закодировать любое натуральное число, представляя его как последовательность нулей и единиц. В двоичном виде можно представить не только числа, но и любую другую информацию: тексты, изображения, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что оно легко реализуется технически.

Именно на принципе двоичного кодирования работает вся вычислительная техника: $1$ означает, что электрический сигнал прошел, а $0$ – сигнал отсутствует. Наглядно это можно рассмотреть на примере перфокарт, которые использовались в вычислительных машинах первых поколений. Как уже упоминалось выше: в перфокартах пробивались отверстия в соответствующих рядах и столбцах цифр, таким образом, кодировались и сохранялись программы, поскольку жестких дисков, и тем более оптических, в те времена не было. Затем программы считывались при помощи электрического сигнала, который, если проходил в отверстие, значит, это был код $1$ и, наоборот, если не проходил сигнал – это был код $0$. Аналогичным способом в настоящее время записываются оптические диски при помощи лазерного луча, прожигающего невидимые микроотверстия на поверхности специальных дисков. Принцип считывания закодированной информации с диска аналогичен предыдущему.

Готовые работы на аналогичную тему

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что компьютер «понимает» всего два числа: $0$ и $1$. И именно один двоичный разряд и является минимальной единицей измерения памяти компьютера, которая называется «бит», т.е. бит – это ячейка памяти компьютера, в которую можно записать $1$ или $0$.

Другой единицей измерения информации является байт.

Байт – это восемь подряд расположенных битов. Общее количество комбинаций двоичных значений в байте равно $28 = 256$.

$1 \ байт = 8 \ битам$; $1 \ Кб = 210 \ байта = 1024 \ байта$; $1 \ Мб = 210 \ Кбайт = 1024 \ Кбайта$; $1 \ Гб = 210 \ байта = 1024 \ килобайта$; $1 \ Тб = 210 \ гигабайта = 1024 \ гигабайта$.

Замечание 3

Достоинства двоичной системы счисления заключаются в ее простоте, благодаря которой она широко используется в технике. Устройства, работающие в двух состояниях (включено, выключено), наиболее помехоустойчивы, и, как следствие, более надежны.

Восьмеричная система счисления

В основе данной системы счисления находятся $8$ цифр: от $0$ до $7$. Цифра $1$, указанная в самом младшем разряде, означает, как и в десятичном числе просто $1$. Та же цифра $1$ в следующем разряде означает $8$, в следующем $64$ и т.д. Число $100$ (восьмеричное) – это число $64$ (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число $611$ (восьмеричное), необходимо каждую цифру числа заменить эквивалентной тройкой двоичных чисел. Для перевода многозначного двоичного числа в восьмеричную систему счисления необходимо разбить его на тройки по правую сторону и по левую и заменить каждую тройку соответствующей восьмеричной цифрой.

В таблице приведены соответствия чисел в восьмеричной и десятичной системах.

Рисунок 2.

В технике данная система находит широкое применение, так с помощью нее можно компактно записывать двоичные числа.

Шестнадцатеричная система счисления

Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактная, но еще компактнее она выглядит в шестнадцатеричной системе. В основу данной системы входят цифры от $0$ до $9$ и первые буквы латинского алфавита: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$.

Цифра $1$, записанная в самом младшем разряде, означает просо единицу. Цифра $1$ в следующем разряде – $16$ (десятичное число), в следующем – $256$ и т.д. Цифра, обозначенная латинской буквой $F$, расположенная в самом младшем разряде означает $15$ ( десятичное число).

В таблице приведены соответствия чисел в шестнадцатеричной и десятичной системах.

Рисунок 3.

Широко используется в низкоуровневом программировании и компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является $8$-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами. Такое использование началось с системы $IBM/360$, где вся документация использовала шестнадцатеричную систему, в то время как в документации других компьютерных систем того времени (даже с $8$-битными символами, как, например, $PDP-11$ или $БЭСМ-6$) использовали восьмеричную систему.

Тест по информатике на тему «Системы счисления» (8 класс)

8 класс. Системы счисления.

Тест

1. В какой системе счисления представлена информация, хранящаяся в компьютере?

а) троичной; б) двоичной; в) десятичной; г) двенадцатеричной.

2. Преимущество двоичной системы счисления состоит в том, что

а) двоичный код позволяет экономить память компьютера;

б) электронные элементы с двумя состояниями наиболее просты в конструктивном исполнении;

в) электронные элементы с двумя состояниями потребляют меньше электроэнергии;

г) двоичный код не вызывает сбоя компьютера.

3. Восьмеричная система счисления отличается от шестнадцатеричной

а) количеством операций над числом в секунду;

б) глубиной вложенности операций;

в) количеством цифр, используемых для записи числа;

г) степенью компьютеризации.

4. Какое количество цифр используется в троичной системе счисления?

а) 3; б)11; в) 10;г) 2.

5. В шестнадцатеричной системе счисления символ F используется для обозначения

а) конца файла; б) числа 16;в) конца строки; г) числа 15.

6. Переведите из двоичной системы счисления в десятичную число 101010101.

а) 361; б) 564; в) 455; г) 341.

7. Переведите из десятичной системы счисления в двоичную число 216.

а) 11001100; б) 11011000; в) 11100000; г) 11001000.

8. Число 1116 в двоичной системе счисления равно

а) 1010101; б) 10011; в) 10001; г) 1000010.

9. Число ЕЕ16 в двоичной системе счисления равно

а) 110011; б) 11101110; в) 11110000; г) 10101010.

10. Число Е216 в десятичной системе счисления равно

а) 10000; б) 456; в) 226; г) 2310.

11. Число 3210 равно числу

а) 1000002; б) 358; в) 2116; г) 100002.

12. Сумма 1012 + 1002 + 1102, равна

а) 10112; б) 10012; в) 00012; г) 11112.

13. Выполните действие: 1111000012 + 1000112.

а) 10000001002; б) 10011001102; в) 10000111102; г) 10000011002.

14. Какое из равенств верно?

а) 510 = 000001112; б) 4710 = 1011112; в) 1310 = 000111112; г) 2 10 = 000010002.

15. Запись числа 100

а) отсутствует в двоичной системе счисления;

б) существует в двоичной, десятичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления;

в) отсутствует в десятичной системе счисления;

г) отсутствует в восьмеричной системе счисления;

д) отсутствует в шестнадцатеричной системе счисления.

8 класс. Системы счисления.

Тест

1. В какой системе счисления представлена информация, хранящаяся в компьютере?

а) троичной; б) двоичной; в) десятичной; г) двенадцатеричной.

2. Преимущество двоичной системы счисления состоит в том, что

а) двоичный код позволяет экономить память компьютера;

б) электронные элементы с двумя состояниями наиболее просты в конструктивном исполнении;

в) электронные элементы с двумя состояниями потребляют меньше электроэнергии;

г) двоичный код не вызывает сбоя компьютера.

3. Восьмеричная система счисления отличается от шестнадцатеричной

а) количеством операций над числом в секунду;

б) глубиной вложенности операций;

в) количеством цифр, используемых для записи числа;

г) степенью компьютеризации.

4. Какое количество цифр используется в троичной системе счисления?

а) 3; б)11; в) 10;г) 2.

5. В шестнадцатеричной системе счисления символ F используется для обозначения

а) конца файла; б) числа 16;в) конца строки; г) числа 15.

6. Переведите из двоичной системы счисления в десятичную число 101010101.

а) 361; б) 564; в) 455; г) 341.

7. Переведите из десятичной системы счисления в двоичную число 216.

а) 11001100; б) 11011000; в) 11100000; г) 11001000.

8. Число 1116 в двоичной системе счисления равно

а) 1010101; б) 10011; в) 10001; г) 1000010.

9. Число ЕЕ16 в двоичной системе счисления равно

а) 110011; б) 11101110; в) 11110000; г) 10101010.

10. Число Е216 в десятичной системе счисления равно

а) 10000; б) 456; в) 226; г) 2310.

11. Число 3210 равно числу

а) 1000002; б) 358; в) 2116; г) 100002.

12. Сумма 1012 + 1002 + 1102, равна

а) 10112; б) 10012; в) 00012; г) 11112.

13. Выполните действие: 1111000012 + 1000112.

а) 10000001002; б) 10011001102; в) 10000111102; г) 10000011002.

14. Какое из равенств верно?

а) 510 = 000001112; б) 4710 = 1011112; в) 1310 = 000111112; г) 2 10 = 000010002.

15. Запись числа 100

а) отсутствует в двоичной системе счисления;

б) существует в двоичной, десятичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления;

в) отсутствует в десятичной системе счисления;

г) отсутствует в восьмеричной системе счисления;

д) отсутствует в шестнадцатеричной системе счисления.

Ответы:

1 – б

2 – б

3 – в

4 – а

5 – г

6 – г

7 – б

8 – в

9 – б

10 – в

11 – а

12 – г

13 – а

14 – б

15 – б

Шестнадцатеричная система — счисление — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Шестнадцатеричная система — счисление

Cтраница 1

Шестнадцатеричная система счисления имеет основание й16иа4 0, 1, 2, 3, 4, 5 6, 7 8, 9, Л, В, С D E F. При таком изображении цифр в шестнадцатеричной системе счисления буква А изображает десять, В — — одиннадцать, С — двенадцать, D — тринадцать, Е — четырнадцать, F — пятнадцать. [1]

Шестнадцатеричная система счисления так же, как и восьмеричная, используется при составлении программ для более короткой и удобной записи двоичных кодов — команд. Кроме того, в некоторых ЭВМ шестнадцатеричная система счисления применяется для представления чисел в полулогарифмической форме. [2]

Шестнадцатеричная система счисления наилучшим образом подходит для представления данных и адресов в 8 -, 16 — и 32-разрядных ЭВМ. Байтовые значения удобно выражаются двумя символами, а 16 — и 32-разрядные величины легко поделить на байты. [3]

Шестнадцатеричная система счисления удобна тем, что ее основание — целая степень числа два: 16ц0) 24 ( Ю) — Поэтому перевод числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную очень прост: достаточно заменить каждую шестнад-цатеричную цифру двоичной тетрадой. [4]

Шестнадцатеричная система счисления предполагает другую трактовку 4-разрядных двоичных чисел. [5]

Назначение шестнадцатеричной системы счисления аналогично восьмеричной — для компактной записи двоичных кодов чисел и команд. В современных ЭВМ шестнадцатеричной системе счисления отдается предпочтение перед восьмеричной. [6]

В шестнадцатеричной системе счисления базисными являются числа от нуля до пятнадцати. Эта система отличается от рассмотренных ранее тем, что в ней общепринятых ( арабских) цифр не хватает для обозначения всех базисных чисел, поэтому приходится вводить в употребление новые символы. [8]

Основным достоинством шестнадцатеричной системы счисления является то, что она позволяет более компактно делать записи двоичных чисел. Например, адреса основной оперативной памяти имеют 24 двоичных разряда; специальные слова, отражающие состояние вычислительного процесса, имеют 64 двоичных разряда. [9]

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную и обратно. Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа заменить тетрадой — четырехразрядным двоичным числом. Так как шестнадцать является степенью двойки ( 1624), то шестнадцатерично-двоичный код совпадает с двоичным кодом. [11]

Помимо применения в шестнадцатеричной системе счисления, шестнадцатеричные числа используются для представления упакованных десятичных цифр и для определения полубайтовых конфигураций алфавитно-цифровых символов кода EBCDIC. Структура упакованной десятичной системы будет описана в этой главе; шестнадцатеричные конфигурации алфавитно-цифровых символов кода EBCDIC рассматриваются по всему тексту книги. [12]

Все адреса даны в шестнадцатеричной системе счисления. [13]

При записи команд ЭВМ используется шестнадцатеричная система счисления. Код операции записывается двумя цифрами и занимает один байт памяти ( 0 — 7 разряды команды), а адресная часть — от двух до десяти цифр ( от одного до пяти байтов) в зависимости от форматного кода. Для записи кода операции используется также и мнемоническое обозначение. Операнды, используемые в командах, могут размещаться в основной памяти или в регистрах. Регистр представляет собой тоже запоминающее устройство емкостью в слово или двойное слово. В распоряжении процессора имеется целый ряд регистров различного назначения. [14]

В табл. 4.5 показаны цифры шестнадцатеричной системы счисления и их эквивалентные представления в десятичной и двоичной системах. Программисты микро — ЭВМ чаще всего употребляют шестнадцатеричные числа, поскольку перевод информации из шестнадцатеричной в двоичную форму представления очень прост. [15]

Страницы: 1 2 3 4

Как из восьмеричной системы перевести в шестнадцатеричную

Для перевода чисел из восьмеричной системы в шестнадцатеричную, воспользуемся соответствующим алгоритмом. Важно заметить, что алгоритм перевода целых и дробных чисел будет отличаться.

Алгоритм перевода восьмеричных чисел в шестнадцатеричный код

Перевести двоичное число число в десятичную систему счисления;
Полученное десятичное число перевести в шестнадцатеричную систему.

Подробно о переводе из восьмеричной в десятичную систему смотрите на этой странице, о переводе из десятичной в шестнадцатеричную — на смотрите здесь. Для целостного понимания, разберем несколько примеров, но для начала вспомним алфавиты восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной систем счисления:

Основание	Название	Алфавит
8	Восьмеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10	Десятичная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
16	Шестнадцатеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Перевод целого восьмеричного числа в шестнадцатеричную систему счисления

Пример 1: перевести 355 из восьмеричной системы в шестнадцатеричную.

Как было сказано выше, необходимо сначала перевести число в десятичное, а полученный ответ в двоичную. Решение будет выглядеть следующим образом:

Для перевода восьмеричного числа 512 в десятичную систему, воспользуемся формулой:

A_n = a_n-1 ∙ q^n-1 + a_n-2 ∙ q^n-2 + ∙∙∙ + a₀ ∙ q⁰

Отсюда:

355₈=3 ∙ 8² + 5 ∙ 8¹ + 5 ∙ 8⁰ = 3 ∙ 64 + 5 ∙ 8 + 5 ∙ 1 = 192 + 40 + 5 = 237₁₀

Таким образом:

355₈ = 237₁₀

Полученное число 237 переведем из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную. Для этого, осуществим последовательное деление на 16, до тех пор пока остаток не будет меньше 16-ти.

Полученные остатки записываем в обратном порядке, таким образом:

237₁₀=14D₁₆

Ответ: 355₈ = 14D₁₆

Перевод дробного восьмеричного числа в шестнадцатеричную систему счисления

Пример 2: перевести 545.1010 из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления.

Общий смысл алгоритма перевода дробного числа, аналогичен алгоритму перевода целого, т.е. вначале переводим в десятичную, а затем в шестнадцатеричную:

1. Для перевода числа 545.1010 в десятичную систему воспользуемся формулой:

A_n = a_n-1 ∙ q^n-1 + a_n-2 ∙ q^n-2 + ∙∙∙ + a₀ ∙ q⁰ + a_-1 ∙ q^-1 + ∙∙∙ + a_-m ∙ q^-m

Отсюда:

545.1010₈=5 ∙ 8² + 4 ∙ 8¹ + 5 ∙ 8⁰ + 1 ∙ 8^-1 + 0 ∙ 8^-2 + 1 ∙ 8^-3 + 0 ∙ 8^-4 = 5 ∙ 64 + 4 ∙ 8 + 5 ∙ 1 + 1 ∙ 0.125 + 0 ∙ 0.015625 + 1 ∙ 0.001953125 + 0 ∙ 0.000244140625 = 320 + 32 + 5 + 0.125 + 0 + 0.001953125 + 0 = 357.126953125₁₀

Таким образом:

545.1010₈ = 357.126953125₁₀

Обратите внимание! Формула перевода дробного числа в десятичную систему, очень похожа на формулу перевода целого, однако немного отличается.

2. Полученное число 357.126953125 переведем из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную. Для этого потребуется перевести вначале целую часть, а затем дробную. Таким образом необходимо:

Перевести 357 в шестнадцатеричную систему;
Перевести 0.126953125 в шестнадцатеричную систему;

2.1 Для того, чтобы перевести число 357 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную, необходимо осуществить последовательное деление на 16, до тех пор пока остаток не будет меньше 16-ти.

Полученные остатки записываем в обратном порядке, таким образом:

357₁₀=165₁₆

2.2 Для перевода десятичной дроби 0.126953125 в шестнадцатеричную систему, необходимо выполнить последовательное умножение дроби на 16, до тех пор, пока дробная часть не станет равной 0 или пока не будет достигнута заданная точность вычисления. Получаем:

0.126953125 ∙ 16 = 2.03125 (2)
0.03125 ∙ 16 = 0.5 (0)
0.5 ∙ 16 = 8 (8)

Ответом станет прямая последовательность целых частей произведения. Т.е.

0.126953125₁₀=0.208₁₆

2.3. Осталось соединить переведенные части, таким образом:

357₁₀=165₁₆

Ответ: 545.1010₈ = 165.208₁₆.

Оцените материал:

Загрузка…

Поделиться с друзьями:

Восьмеричный и шестнадцатеричный — разница между восьмеричным и шестнадцатеричным

Мы уже изучили восьмеричную систему счисления и шестнадцатеричную систему счисления и работали над несколькими решенными примерами, чтобы понять представление восьмеричных чисел и представление шестнадцатеричных чисел.

Восьмеричное и шестнадцатеричное сравнение

Шестнадцатеричные числа	Восьмеричные числа
Он использует 16 различных символов или цифр для представления шестнадцатеричных чисел, [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A , B, C, D, E, F].	В восьмеричных числах для представления всех восьмеричных чисел используются только 8 символов или цифр. Следовательно, он может содержать только цифры от 0 до 7.
Основание или основание шестнадцатеричных чисел — 16.	Основание или основание восьмеричного числа — 8.
Легче представлять и запоминать большие числа.	Легко представить в восьмеричной системе счисления, но трудно запомнить большие числа.
Пример шестнадцатеричного числа: FF (эквивалент двести пятидесяти пяти в десятичной системе)	Пример двоичного числа: 377 (эквивалент двести пятьдесят пять в десятичной системе)
Требуется 4 бита или 4 двоичных цифры для представления одной шестнадцатеричной цифры.	Для представления восьмеричной цифры требуется всего 3 бита или 3 двоичных цифры.
Поскольку в шестнадцатеричной системе счисления используется 16 цифр, арифметические и логические операции могут стать сложными.	С другой стороны, восьмеричная система счисления использует меньшее количество цифр (8). Это упрощает выполнение арифметических и логических операций по сравнению с шестнадцатеричной системой счисления.
Представлять большие десятичные числа в шестнадцатеричной системе счисления проще.	Представление больших десятичных чисел в восьмеричном виде становится сложным и большим.

восьмеричное и шестнадцатеричное

Системы счисления — десятичные, двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные | Рукшани Атхапату | Coder’s Corner

Изображение предоставлено: Pexels

Давайте рассмотрим несколько различных систем счисления, которые используются сегодня, и посмотрим, как с помощью трех простых правил мы можем построить любую систему счисления, какую захотим.

В математике «основание» или «основание» — это количество различных цифр или комбинаций цифр и букв, которые система счета использует для представления чисел.~ Wiki ~

Например,

Base 10 ( Decimal) — Представляет любое число, используя 10 цифр [0–9]
Base 2 ( Binary ) — Представляет любое число, используя 2 цифры [0 –1]
Base 8 ( Octal ) — представляет любое число, используя 8 цифр [0–7]
Base 16 (Hexadecimal) — Представляет любое число, используя 10 цифр и 6 символов [0–9, A, B, C, D, E, F]

В любой из упомянутых выше систем счисления ноль очень важен как значение места.Возьмем число 1005. Как нам записать это число, чтобы знать, что в нем нет десятков и сотен? Мы не можем записать его как 15, потому что это другое число, а как записать миллион (1000000) или миллиард (1000000000) без нулей? Вы понимаете его значение?

Сначала мы увидим, как построена десятичная система счисления, а затем мы будем использовать те же правила и для других систем счисления.

Мы все умеем писать числа до 9, не так ли? Что тогда? Что ж, это действительно просто.Когда вы израсходуете все свои символы, вы сделаете

, вы добавите еще одну цифру слева и сделаете правую цифру 0.
Затем снова поднимитесь до, пока не закончите все символы с правой стороны. и когда вы нажмете последний символ, увеличьте цифру слева на 1.
Когда вы израсходуете все символы как на правой, так и на левой цифре, сделайте оба из них 0 и добавьте еще 1 слева, и это продолжится. и тому подобное.

Если вы используете 3 приведенных выше правила в десятичной системе,

Запишите числа 0–9.
Как только вы дойдете до 9, сделайте крайнюю правую цифру 0 и прибавьте 1 к левой, что означает 10.
Затем на правой цифре мы продвинемся до 9, а когда мы достигнем 19, мы используем 0 на правой цифре и добавим 1 к слева, поэтому мы получаем 20.
Точно так же, когда мы достигаем 99, мы используем 0 в местах обеих этих цифр и добавляем 1 слева, что дает нам 100.

Итак, вы видите, когда у нас есть десять разных символов, когда мы добавляем цифры в левую часть числа, каждая позиция будет стоить в 10 раз больше, чем предыдущая.

Возьмем ту же десятичную систему счисления. На самом деле есть только два правила.

У вас есть символ для представления количества [0–9]
Затем значение цифры в зависимости от ее положения — давайте это немного проясним.

Возьмем однозначное число «8». Это просто означает 8, другими словами, это именно то, что, как написано, представляет. А как насчет 24? В случае двух цифр правая цифра говорит то, что она означает, а левая цифра означает в десять раз больше, чем она говорит.То есть 4 равно 4, 2 равно 20. Всего получается 24.

Если мы возьмем трехзначное число, крайняя правая цифра означает то, что оно говорит, средняя цифра в десять раз больше того, что она говорит, а крайняя левая цифра в 100 раз больше того, что она говорит. Просто, если мы возьмем число 546, это означает 6 + (10 * 4) + (5 * 100) = 546.

В двоичном формате у нас есть только две цифры для представления числа, 0 и 1, и у нас уже закончились символы. . Так что же нам делать? Давайте применим те же правила, которые мы использовали для десятичной системы счисления.

Делаем правую цифру 0 и прибавляем 1 к левой, то есть наше следующее число — «10».Затем мы продвигаемся вверх, пока не израсходовали все символы с правой стороны. Итак, следующее число в строке — 11.

После «11» мы ставим 0 в обоих этих местах и прибавляем 1 слева, и получаем 100.

Затем 101, 110, 111, затем 1000…

Эта двоичная система счисления основана на двух цифрах, и каждая позиция стоит в два раза больше, чем предыдущая позиция.

Чтение двоичного числа почти такое же, как чтение десятичного. Правая цифра означает, что это означает, следующая означает два раза предыдущую, после этого 4 раза и т. Д.

Итак, 101 означает 5 в десятичной системе счисления.

Эти же правила применяются также к восьмеричной и шестнадцатеричной системам счисления. В восьмеричном формате у нас есть только 8 цифр для представления чисел, поэтому, как только мы дойдем до 7, следующим числом будет 10, а в шестнадцатеричном формате у нас будет 10 цифр и 6 букв для представления чисел. В этом случае, когда мы дойдем до 9, следующая цифра будет представлена буквой «А». Следующая буква «Б». Точно так же мы поднимаемся до буквы «F», а после «F» идет «10».

Я просто перечислю несколько чисел в этих 4 различных системах счисления и посмотрю, сможете ли вы применить правила, которые мы обсуждали выше, чтобы получить следующее число.

Чтобы понять, как компьютеры представляют положительные и отрицательные числа, прочтите это, а другие сведения о шестнадцатеричном формате можно найти здесь.

Ссылки

Двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные | Введение в математику колледжа

В современных вычислениях и цифровой электронике наиболее часто используются десятичные системы счисления (основание 10), двоичные (основание 2), восьмеричные (основание 8) и шестнадцатеричные (основание 16). Если мы конвертируем между двумя основаниями, отличными от десятичной, нам обычно нужно сначала преобразовать число в основание 10, а затем преобразовать это число во второе основание.Однако мы можем легко преобразовать двоичное в восьмеричное и наоборот, а также из двоичного в шестнадцатеричное и наоборот.

Это видео дает общее представление об этих преобразованиях:

Другое описание, это больше похоже на лекцию по математике:

Для дальнейшего пояснения напомним, что числа от 0 до 7 могут быть представлены до трех цифр с основанием два. В восьмерке эти числа представлены одной цифрой.

Основание 2 (двоичное) число	Эквивалент по основанию 10 (десятичный)	База 8 (восьмеричное) число
000	0	0
001	1	1
010	2	2
011	3	3
100	4	4
101	5	5
110	6	6
111	7	7

Теперь, когда мы дойдем до числа 8, нам понадобятся четыре цифры в базе 2 и две цифры в базе 8.Фактически, числа от 8 до 63 могут быть представлены двумя цифрами в базе 8. Нам нужны четыре, пять или шесть цифр в базе 2, чтобы представить эти же числа:

База 2 номер	Эквивалент Base 10	База 8 номер
1000	8	10 = 1 × 8 + 0 × 1
1001	9	11 = 1 × 8 + 1 × 1
1010	10	12 = 1 × 8 + 2 × 1
…	…	…
111100	60	74 = 7 × 8 + 4 × 1
111101	61	75 = 7 × 8 + 5 × 1
111110	62	76 = 7 × 8 + 6 × 1
111111	63	77 = 7 × 8 + 7 × 1

Число 64 в базе 8 представлено как 100 ₈ = 1 × 8 ² + 0 × 8 ¹ + 0 × 8 ⁰ = 1 × 64 + 0 × 8 + 0 × 1 .В базе 2 это будет 1000000 ₂. Вы видите здесь закономерность? Для одной цифры в базе 8 нам нужно до трех цифр в базе 2. Для двух цифр в базе 8 нам нужно 4, 5 или 6 цифр в базе 2. Для трех цифр в базе 8 нам нужно 7, 8 , или 9 цифр в базе 2. Для каждой дополнительной цифры в базе 8 нам нужно до трех пробелов, чтобы представить ее в базе 2. Вот способ запомнить это: 2 ³ = 8, поэтому нам нужно три пробела.

Здесь поможет пара примеров.

Преобразуем число 6157 ₈ в основание 2. Мы разделяем каждую цифру в базе 8 на три цифры в базе 2, используя эквивалент из трех цифр в базе 2, поэтому 6 ₈ = 110 ₂, 1 ₈ = 001 ₂ и т. Д.
Преобразуйте число 10111011001010 ₂ в основание 8. Разделите это число на наборы по три, , начиная с самой правой цифры , затем преобразуйте каждый набор из трех в эквивалент в базе 8.

В шестнадцатеричном формате (с основанием 16) нам нужно до четырех цифр в двоичном формате для представления каждой отдельной цифры.Вспомните это, вспомнив, что 2 ⁴ = 16, поэтому нам нужно четыре цифры.

Вы можете распечатать копии этих рабочих листов, чтобы помочь вам с преобразованием между двоичным и восьмеричным или шестнадцатеричным числами:

Если вы хотите задать себе вопрос о преобразовании чисел от 0 до 255 в двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные (и между этими основаниями), вот ссылка на представления этих чисел: двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числа.

Двоичная, шестнадцатеричная и восьмеричная система счисления

Двоичная, шестнадцатеричная и восьмеричная системы относятся к разным системам счисления.Тот, который мы обычно используем, называется десятичным. Эти системы счисления относятся к количеству символов, используемых для представления чисел. В десятичной системе мы используем десять различных символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. С помощью этих десяти символов мы можем представить любую величину. Например, если мы видим 2, значит, мы знаем, что есть два чего-то. Например, в конце этого предложения две точки.

Когда у нас заканчиваются символы, мы переходим к размещению следующей цифры. Чтобы представить единицу больше 9, мы используем 10, что означает одну единицу из десяти и ноль единиц.Это может показаться элементарным, но очень важно понимать нашу систему счисления по умолчанию, если вы хотите понимать другие системы счисления.

Например, когда мы рассматриваем двоичную систему, в которой используются только два символа, 0 и 1, когда у нас заканчиваются символы, нам нужно перейти к размещению следующей цифры. Итак, мы будем считать в двоичном формате 0, 1, 10, 11, 100, 101 и так далее.

В этой статье более подробно обсуждаются двоичная, шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления и объясняется их использование.

Системы счисления используются для описания количества чего-либо или представления определенной информации.В связи с этим могу сказать, что слово «калькулятор» состоит из десяти букв. Наша система счисления, десятичная система, использует десять символов. Следовательно, десятичным считается Base Ten . Описывая системы с помощью оснований, мы можем понять, как работает эта конкретная система.

Когда мы считаем по системе Base Ten, мы считаем, начиная с нуля и заканчивая девятью по порядку.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…

Как только мы дойдем до последнего символа, мы создадим новое размещение перед первым и посчитаем его.

8, 9, 1 0, 11, 12,…, 19, 2 0,…

Это продолжается, когда у нас заканчиваются символы для этого места размещения. Итак, после 99 мы переходим к 100.

Размещение символа указывает, сколько он стоит. Каждое дополнительное размещение дает дополнительную степень 10. Рассмотрим число 2853. Мы знаем, что это число довольно велико, например, если оно относится к количеству яблок в корзине. Это много яблок. Как мы узнаем, что он большой? Смотрим количество цифр.

Каждое дополнительное размещение — это дополнительная степень 10, как указано выше. Рассмотрим эту диаграмму.

10 ³	10 ²	10 ¹	10 ⁰
цифра	цифра	цифра	цифра
* 1000	* 100	* 10	* 1

Каждая дополнительная цифра представляет все большее и большее количество.Это применимо как для Base 10, так и для других баз. Знание этого поможет вам лучше понять другие основы.

двоичный

Binary — это еще один способ сказать Base Two. Итак, в двоичной системе счисления для представления чисел используются только два символа: 0 и 1. Когда мы считаем с нуля в двоичной системе счисления, символы заканчиваются гораздо чаще.

Отсюда символов больше нет. Мы не переходим к 2, потому что в двоичном формате 2 не существует. Вместо этого мы используем 10.В двоичной системе 10 равно 2 в десятичной системе счисления.

Мы можем считать дальше.

двоичный	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010
Десятичное	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Как и в десятичной системе счисления, мы знаем, что чем больше цифр, тем больше число.Однако в двоичном формате мы используем степени двойки. В двоичном числе 1001101 мы можем создать диаграмму, чтобы узнать, что это на самом деле означает.

2 ⁶	2 ⁵	2 ⁴	2 ³	2 ²	2 ¹	2 ⁰
1	0	0	1	1	0	1
64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1
77

Однако, поскольку это основание два, числа не становятся такими большими, как в десятичном.Тем не менее, двоичное число из 10 цифр будет больше 1000 в десятичном.

Двоичная система используется в информатике и электротехнике. Транзисторы работают от двоичной системы, и транзисторы можно найти практически во всех электронных устройствах. 0 означает отсутствие тока, а 1 означает разрешение тока. Когда различные транзисторы включаются и выключаются, сигналы и электричество отправляются для выполнения различных действий, например, для совершения звонка или вывода этих букв на экран.

Компьютеры и электроника работают с байтами или восьмизначными двоичными числами. Каждый байт содержит закодированную информацию, которую компьютер способен понять. Многие байты объединяются в цепочки для формирования цифровых данных, которые можно сохранить для дальнейшего использования.

восьмеричное

Восьмеричная система счисления — это еще одна система счисления, в которой используется меньше символов, чем в нашей традиционной системе счисления. Восьмеричный формат используется для Base Eight, что означает, что восемь символов используются для представления всех величин. Это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.Когда мы считаем единицу из 7, нам нужно новое размещение, чтобы представить то, что мы называем 8, поскольку 8 не существует в Octal. Итак, после 7 будет 10.

восьмеричное	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12…	17	20…	30…	77	100
Десятичное	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10…	15	16…	24…	63	64

Так же, как мы использовали степень десяти в десятичной системе и степень двойки в двоичной системе, для определения значения числа мы будем использовать степень восьмерки, поскольку это основание восемь.Рассмотрим число 3623 по основанию восемь.

8 ³	8 ²	8 ¹	8 ⁰
3	6	2	3
1536 + 384 + 16 + 3
1939

Каждое дополнительное размещение слева имеет большую ценность, чем в двоичном формате. Третья цифра справа в двоичном формате представляет только 2 ^3-1, то есть 4.В восьмеричном формате это 8 ^3-1, что равно 64.

Шестнадцатеричный

Шестнадцатеричная система счисления — основание шестнадцати. Как следует из ее основания, эта система счисления использует шестнадцать символов для представления чисел. В отличие от двоичного и восьмеричного, шестнадцатеричный имеет шесть дополнительных символов, которые он использует помимо обычных, найденных в десятичном. Но что будет после 9? 10 — это не одна цифра, а две … К счастью, по соглашению, когда необходимы дополнительные символы помимо обычных десяти, должны использоваться буквы.Итак, в шестнадцатеричном формате общий список используемых символов составляет 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F. На цифровом дисплее. , числа B и D строчные.

При шестнадцатеричном счете вы считаете 0, 1, 2 и так далее. Однако, когда вы достигнете 9, вы перейдете прямо к A. Затем вы считаете B, C, D, E и F. Но что дальше? У нас закончились символы! Когда у нас заканчиваются символы, мы создаем новое расположение цифр и идем дальше. Таким образом, после F будет 10. Вы продолжаете считать, пока не дойдете до 19. После 19 следующее число — 1A.Это продолжается вечно.

Шестнадцатеричный	9	А	B	С	D	E	F	10	11…	19	1A	1Б	1С…	9F	A0
Десятичное	9	10	11	12	13	14	15	16	17	25	26	27	28	159	160

Цифры объясняются как степень 16.Рассмотрим шестнадцатеричное число 2DB7.

16 ³	16 ²	16 ¹	16 ⁰
2	D	B	7
8192 + 3328 + 176 + 7
11703

Как видите, размещение в шестнадцатеричной системе счисления намного дороже, чем в любой из трех других систем счисления.

Важно знать, что 364 в восьмеричной системе счисления — это , а не , равное обычному 364.Это похоже на то, как 10 в двоичном формате определенно не является 10 в десятичном. 10 в двоичном формате (с этого момента будет записываться как 10 ₂) равно 2. 10 ₈ равно 8. Откуда мы это знаем? Что такое 20C.38F ₁₆ и как нам узнать?

Вот почему важно понимать, как работают системы счисления. Используя нашу степень основного числа, становится возможным превращать любое число в десятичное, а из десятичного — в любое.

Десятичное основание

Итак, мы знаем, что 364 ₈ не равно десятичному числу 364.{p-1} + … + v_1B + v_0 \ end {формула}

Где V ₁₀ — десятичное значение, v — цифра в расположении, p — это размещение справа от числа, предполагая, что крайнее правое размещение равно 0, а B — начальная база. Не пугайтесь формулы! Мы собираемся пройти через это шаг за шагом.

Итак, допустим, у нас есть простое шестнадцатеричное число 2B. Мы хотим знать, что это за число в десятичной системе, чтобы лучше понять его. как нам это сделать?

Воспользуемся формулой выше.Сначала определите каждую переменную. Мы хотим найти V ₁₀, так что это неизвестно. Число 2B ₁₆ имеет две позиции, так как оно состоит из двух цифр. Следовательно, p на единицу меньше этого значения, поэтому p равно 1. Число в базе 16, поэтому B равно 16. Наконец, мы хотим знать, что такое v, но есть несколько v. У вас v ₁ и v ₀. Это относится к значению цифры в позиции индекса. v ₁ относится к цифре в первой позиции (вторая цифра справа).0) \\ V_ {10} = 2 (16) +11 (1) \\ V_ {10} = 32 + 11 \ V_ {10} = 43 \\ \ end {align}

Следовательно, 2B ₁₆ равно 43.

Теперь позвольте мне объяснить, как это работает. Помните, как расположение цифр влияет на фактическое значение? Например, в десятичном числе 123 «1» представляет 100, что составляет 1 * 10 ². «2» — это 20 или 2 * 10 ¹. Аналогично, в числе 2B ₁₆ «2» — это 2 * 16 ¹, а B — 11 * 16 ⁰.

Таким образом мы можем определить значение чисел.Для числа 364 ₈ мы создадим диаграмму, которая покажет десятичное значение каждой отдельной цифры. Затем мы можем сложить их, чтобы получить целое. Число состоит из трех цифр, поэтому, начиная справа, у нас есть позиция 0, позиция 1 и позиция 2. Поскольку это основание восемь, мы будем использовать степень 8.

Теперь 8 ² равно 64. 8 ¹ равно 8. 8 ⁰ равно 1. Что дальше?

Помните, что мы сделали с десятичным числом 123? Мы взяли значение цифры , умноженное на соответствующей мощности.Итак, учитывая это дальше…

Теперь сложим значения, чтобы получить 244. Следовательно, 364 ₈ равно 244 ₁₀.

Точно так же, как для 123, мы говорим, что есть одна группа по 100, две группы по 10 и три группы по 1, для восьмеричной системы и числа 364 существуют три группы по 64, шесть групп по 8 и четыре группы по 1.

с десятичной системой счисления по основанию

Точно так же, как мы можем преобразовать из любого основания в десятичное, можно преобразовать десятичное в любое основание.p \\ (4) \ hspace {6pt} Повторяйте шаги \ hspace {4pt} с \ hspace {4pt} 1 \ hspace {4pt} через \ hspace {4pt} 3 \ hspace {4pt}, пока \ hspace {4pt} p = 0 \\ \ end {align}

Сначала этот алгоритм может показаться запутанным, но давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как его можно использовать. Мы хотим представить 236 в двоичном, восьмеричном и шестнадцатеричном формате. Итак, давайте сначала попробуем преобразовать его в двоичный код.

Первый шаг — сделать p равным $ \ operatorname {int} (\ sqrt [B] {V}) $. B — это база, в которую мы хотим преобразовать 2.V — это число, которое мы хотим преобразовать, 236. По сути, мы извлекаем квадратный корень из 236 и игнорируем десятичную часть. В результате p становится равным 7.

Шаг второй говорит, что пусть v равно нашему числу V, деленному на B ^p. P \ end {уравнение}

На человеческом языке: значение шифра в числе равно значению самого шифра, умноженному на основание системы счисления в степень позиции шифра слева направо в числе, начиная с при 0.Прочтите это несколько раз и попытайтесь понять.

Таким образом, значение цифры в двоичном формате удваивается каждый раз, когда мы перемещаемся влево. (см. таблицу ниже)

Из этого следует, что каждый шестнадцатеричный шифр можно разбить на 4 двоичных разряда. На компьютерном языке: кусочек. Теперь взгляните на следующую таблицу:

8	4	2	1	Шестнадцатеричное значение	Десятичное значение
Двоичные числа
0	0	0	0	0	0
0	0	0	1	1	1
0	0	1	0	2	2
0	0	1	1	3	3
0	1	0	0	4	4
0	1	0	1	5	5
0	1	1	0	6	6
0	1	1	1	7	7
1	0	0	0	8	8
1	0	0	1	9	9
1	0	1	0	А	10
1	0	1	1	B	11
1	1	0	0	С	12
1	1	0	1	D	13
1	1	1	0	E	14
1	1	1	1	F	15

Еще один интересный момент: посмотрите на значение в верхней части столбца.Тогда посмотрите на значения. Вы понимаете, о чем я? Да, ты прав! Биты включаются и выключаются в зависимости от своего значения. Значение первой цифры (начиная справа) выглядит следующим образом: 0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,… Вторая цифра: 0,0,1,1,0 , 0,1,1,0,0,1,1,0,0… Третья цифра (значение = 4): 0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0 , 1,1,1,1,… И так далее…

А как насчет больших чисел? Поэтому нам понадобится дополнительная цифра. (но я думаю, вы догадались сами). Для значений начиная с 16 наша таблица выглядит так:

16	8	4	2	1	Шестнадцатеричное значение	Десятичное значение
Двоичные числа
1	0	0	0	0	10	16
1	0	0	0	1	11	17
1	0	0	1	0	12	18
1	0	0	1	1	13	19
1	0	1	0	0	14	20
1	0	1	0	1	15	21
1	0	1	1	0	16	22
1	0	1	1	1	17	23
1	1	0	0	0	18	24
1	1	0	0	1	19	25
1	1	0	1	0	1A	26
1	1	0	1	1	1Б	27
1	1	1	0	0	1С	28
1	1	1	0	1	1D	29
1	1	1	1	0	1E	30
1	1	1	1	1	1 этаж	31

Для восьмеричных чисел это аналогично, с той лишь разницей, что нам нужно всего 3 цифры для выражения значений 1-> 7.Наша таблица выглядит так:

4	2	1	Восьмеричное значение	Десятичное значение
Двоичные числа
0	0	0	0	0
0	0	1	1	1
0	1	0	2	2
0	1	1	3	3
1	0	0	4	4
1	0	1	5	5
1	1	0	6	6
1	1	1	7	7

В последней теме я объяснил логику двоичной, шестнадцатеричной и восьмеричной систем счисления.Теперь я объясню кое-что более практичное. Если вы полностью поняли предыдущее, можете пропустить эту тему.

Из десятичного числа в двоичное

Шаг 1. Проверьте, четное или нечетное у вас число.
Шаг 2: Если четный, напишите 0 (двигаясь в обратном направлении, добавляя двоичные цифры слева от результата).
Шаг 3: В противном случае, если он нечетный, напишите 1 (таким же образом).
Шаг 4: Разделите ваше число на 2 (отбрасывая любую дробь) и вернитесь к шагу 1. Повторяйте, пока ваше исходное число не станет 0.

Пример:
Преобразование 68 в двоичное:

68 четное, поэтому пишем 0.
Разделив 68 на 2, получим 34.
34 тоже четное, поэтому пишем 0 (пока результат — 00)
Разделив 34 на 2, получим 17.
17 нечетно, поэтому пишем 1 (результат пока — 100 — не забудьте добавить слева)
Разделив 17 на 2, мы получим 8,5, или всего 8.
8 четное, поэтому пишем 0 (пока результат — 0100)
Разделив 8 на 2, получим 4.
4 чётно, поэтому пишем 0 (пока результат — 00100)
Разделив 4 на 2, получим 2.
2 чётно, поэтому пишем 0 (пока результат — 000100)
Разделив 2 на 2, получим 1.
1 нечетное, поэтому пишем 1 (пока результат — 1000100)
Разделив на 2, мы получим 0,5 или просто 0, так что все готово.
Конечный результат: 1000100

Из двоичного в десятичный

Запишите значения в таблицу, как показано выше. (или сделайте это мысленно)
Добавьте значение в заголовке столбца к вашему номеру, если цифра включена (1).
Пропустить, если значение в заголовке столбца выключено (0).
Переходите к следующей цифре, пока не закончите все.

Пример:
Преобразование 101100 в десятичное:

Старшая цифра значения: 32. Текущий номер: 32
Пропустите цифру «16», ее значение равно 0. Текущий номер: 32
Добавить 8. Текущий номер: 40
Добавить 4. Текущий номер: 44
Пропустите цифры «2» и «1», так как их значение равно 0.
Окончательный ответ: 44

Из десятичного в шестнадцатеричный.

ЭТО ТОЛЬКО ОДИН ИЗ МНОГИХ СПОСОБОВ!

Преобразуйте десятичное число в двоичное
Разделить на 4 полубайта, начиная с конца
Посмотрите на первую таблицу на этой странице и напишите правильный номер вместо полубайта

(вы можете добавить нули в начале, если количество битов не делится на 4, потому что, как и в десятичном, это не имеет значения)

Пример:
Преобразование 39 в шестнадцатеричное:

Сначала преобразуем в двоичный (см. Выше).Результат: 100111
Затем мы разбиваем его на полубайты: 0010/0111 (Примечание: я добавил два нуля, чтобы прояснить тот факт, что это полубайты)
После этого преобразуем полубайты отдельно.
Окончательный результат: 27

Из шестнадцатеричного в десятичный

* Проверьте формулу в первом абзаце и используйте ее для шифров в шестнадцатеричном числе. (это действительно работает для любого преобразования в десятичную систему счисления)

Пример:
Преобразование 1AB в десятичное:

Значение B = 16 ⁰ × 11.Это дает 11, очевидно,
Значение A = 16 ¹ × 10. Это дает 160. Наш текущий результат — 171.
Значение 1 = 16 ² × 1. Это дает 256.
Конечный результат: 427

От десятичной к восьмеричной

Преобразовать в двоичный.
Разделить на части по 3 цифры, начиная справа.
Преобразование каждой части в восьмеричное значение от 0 до 7

Пример: преобразовать 25 в восьмеричное

Сначала преобразуем в двоичный.Результат: 11001
Далее разделились: 011/001
Преобразование в восьмеричное: 31

От восьмеричного к десятичному

Снова применим формулу сверху

Пример: преобразовать 42 в десятичное

Значение 2 = 8 ⁰ × 2 = 2
Значение 4 = 8 ¹ × 4 = 32
Результат: 34

Хорошо, это может быть не на 100% «забавным», но тем не менее интересно.

Вы склонны видеть числа, начинающиеся с 0x? Это обычная нотация для указания шестнадцатеричных чисел, поэтому вы можете увидеть что-то вроде:

  0x000000
0x000002
0x000004

Эта нотация чаще всего используется для перечисления адресов компьютеров, а это совсем другая история.

Это довольно очевидно, но вы можете «писать» слова, используя шестнадцатеричные числа. Например:
- CAB = 3243 в десятичной системе счисления.

Вы все поняли? Если вы так думаете, проверьте себя:

Корзина	декабрь	шестигранник
…	…	3A
…	76	…
101110	…	…
…	88	…
1011110	…	…
…	…	47

Сделайте упражнения сами, если хотите еще.

Восьмеричная система счисления и преобразование двоичной системы в восьмеричную

Восьмеричная система счисления в принципе очень похожа на предыдущую шестнадцатеричную систему счисления, за исключением того, что в восьмеричной системе двоичное число делится на группы всего по 3 бита, причем каждая группа или набор битов имеют различное значение от 000 (0) и 111 (4 + 2 + 1 = 7).

Таким образом, восьмеричные числа

имеют диапазон только «8» цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), что делает их системой нумерации Base-8, и поэтому q равно «8».

Тогда основными характеристиками восьмеричной системы счисления является то, что имеется только 8 отдельных счетных цифр от 0 до 7, причем каждая цифра имеет вес или значение только 8, начиная с младшего значащего бита (LSB). В первые дни вычислений восьмеричные числа и восьмеричная система счисления были очень популярны для подсчета входов и выходов, потому что, поскольку они работают в счетах до восьми, входы и выходы были в счетах по восемь, по байту за раз.

Поскольку основание системы восьмеричных чисел — 8 (основание 8), которое также представляет количество отдельных чисел, используемых в системе, индекс 8 используется для обозначения числа, выраженного в восьмеричном формате.Например, восьмеричное число выражается как: 237 ₈

Как и шестнадцатеричная система, «восьмеричная система счисления» предоставляет удобный способ преобразования больших двоичных чисел в более компактные и меньшие группы. Однако в наши дни восьмеричная система счисления используется реже, чем более популярная шестнадцатеричная система счисления, и почти исчезла как цифровая система счисления.

Представление восьмеричного числа

MSB	Восьмеричное число							LSB
8 ⁸	8 ⁷	8 ⁶	8 ⁵	8 ⁴	8 ³	8 ²	8 ¹	8 ⁰
16 мес.	2M	262к	32к	4к	512	64	8	1

Поскольку восьмеричная система счисления использует только восемь цифр (от 0 до 7), числа или буквы выше 8 не используются, но преобразование десятичного числа в восьмеричное и двоичного числа в восьмеричное происходит по той же схеме, что и шестнадцатеричный.

Чтобы считать больше 7 в восьмеричном, нам нужно добавить еще один столбец и начать заново, аналогично шестнадцатеричному.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21… и т. Д.

Опять же не путайте, 10 или 20 это НЕ десять или двадцать это 1 + 0 и 2 + 0 в восьмеричном виде точно так же, как для шестнадцатеричного. Соотношение между двоичными и восьмеричными числами показано ниже.

Восьмеричные числа

Десятичное число	3-битное двоичное число	Восьмеричное число
0	000	0
1	001	1
2	010	2
3	011	3
4	100	4
5	101	5
6	110	6
7	111	7
8	001 000	10 (1 + 0)
9	001 001	11 (1 + 1)
Продолжение вверх группами по три

Тогда мы можем видеть, что 1 восьмеричное число или цифра эквивалентно 3 битам, а с двумя восьмеричными числами, 77 ₈, мы можем считать до 63 в десятичном виде, с тремя восьмеричными числами, 777 ₈ до 511 в десятичной системе с четырьмя восьмеричными числами, от 7777 ₈ до 4095 в десятичной системе и так далее.

Восьмеричные числа Пример №1

Используя наше предыдущее двоичное число 1101010111001111 ₂ преобразуйте это двоичное число в его восьмеричный эквивалент (основание-2 в основание-8).

Двоичное значение	001101010111001111
Сгруппируйте биты по тройке, начиная с с правой стороны	001 101010 111001 111
Восьмеричное число в форме	1 5 2 7 1 7 ₈

Таким образом, 001101010111001111 ₂ в своей двоичной форме эквивалентно 152717 ₈ в восьмеричной форме или 54,735 в денарной форме.

Восьмеричные числа Пример №2

Преобразует восьмеричное число 2322 ₈ в его десятичный эквивалент (с основанием 8 в основание 10).

Восьмеричное значение	2322 ₈
В полиномиальной форме	= (2 × 8 ³) + (3 × 8 ²) + (2 × 8 ¹) + (2 × 8 ⁰)
Добавить результаты	= (1024) + (192) + (16) + (2)
В десятичной форме число равно: 1234 ₁₀

Затем преобразование восьмеричного числа в десятичное показывает, что 2322 ₈ в восьмеричной форме эквивалентно 1234 ₁₀ в десятичной форме.

Хотя Octal — это еще один тип цифровой системы счисления, в наши дни он мало используется, вместо этого используется более широко используемая шестнадцатеричная система счисления, поскольку она более гибкая.

Системы счисления (двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная)

Прежде чем мы сможем объяснить некоторые конкретные системы счисления, нам нужно знать, что такое система счисления.Проще говоря, система счисления — это способ представления чисел.

Мы можем классифицировать системы счисления по типу нотации в зависимости от того, используют ли они позиционную нотацию (также известную как нотация с числовыми значениями), и произвести дальнейшую категоризацию по основанию или основанию.

1. Непозиционная система счисления

Для объяснения непозиционной системы счисления мы возьмем в качестве примера римские цифры. В таблице ниже вы можете найти десятичные значения для основных символов римской системы счисления.

Вы можете спросить, есть ли какой-то узор для формирования всех остальных символов? Ответ положительный.

Когда символ с меньшим значением помещается на после символа, имеющего такое же или большее значение, значения складываются. Примеры приведены в таблице ниже.

Когда символ с меньшим значением помещается перед символом, имеющим большее значение, меньшее значение вычитается из большего. Примеры приведены в таблице ниже.

2. Система позиционных чисел

Позиционная система счисления позволяет расширить исходный набор символов, чтобы их можно было использовать для представления любого произвольно большого (или маленького) значения.В разных системах число может быть представлено по-разному.
Например, два числа $ (2A) _ {16} $ и $ (52) _ {8} $ оба относятся к одному и тому же количеству $ (42) _ {10} $.

Система счисления, которую мы используем каждый день, называется десятичной системой счисления или системой счисления с основанием десять. Как видно из названия системы счисления, основание определяет всю систему.

Десятичная система счисления имеет основание 10, потому что мы работаем с 10 цифрами (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), и любое другое большее число может быть составлено из этих 10 цифр.{0}

долл. США

$ = 3 \ cdot 100 + 4 \ cdot 10 + 2 \ cdot 1 $

$ = 300 + 40 + 2 $

В этом уроке мы не будем подробно объяснять десятичную систему, так как на странице, посвященной ей, есть много уроков.

Помимо десятичной системы счисления, существует множество других систем счисления. Мы упомянем только три из них, так как это наиболее часто используемые системы счисления после десятичной. Это: двоичная система счисления, восьмеричная система счисления и шестнадцатеричная система счисления. Мы дадим краткое объяснение каждому из них и узнаем, как преобразовывать числа из одной системы в другую.

2.1. Двоичная система счисления

Двоичная система счисления содержит две уникальные цифры (0 и 1). Таким образом, эта система является системой счисления с основанием 2. Относительные величины символов равны 0 <1. Символы в этой системе часто называются двоичными цифрами или просто битами. Двоичная система счисления - это позиционная система счисления. Позже мы увидим, что, например, $ 1010_ {2} \ neq 1100_ {2} $.

2.2. Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления содержит 8 уникальных цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).Таким образом, эта система является системой счисления с основанием 8. Относительные величины символов: 0 <1 <2 <3 <4 <5 <6 <7. Восьмеричная система счисления - еще один пример позиционной системы счисления.

2.3. Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления содержит 16 уникальных цифр. Поскольку в десятичной системе всего 10 арабских цифр, нам нужно использовать другие символы для представления оставшихся 6 цифр. Мы используем
буквенных символов A – F, чтобы расширить систему до 16 цифр.16 цифр в шестнадцатеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F. Относительные величины символов равны
0. <1 <2 <3 <4 <5 <6 <7 <8 <9 Шестнадцатеричная система счисления также является позиционной системой счисления.

3.3. Эквивалентность различных систем счисления

4. Ярлыки для переключения между основанием 2 и основанием 8 и между основанием 2 и основанием 16

Мы узнали, что можно преобразовать число из любого основания в число из любого основания, предварительно преобразовав его в десятичное. Например, если мы хотим преобразовать число с основанием 3 в число с основанием 7, сначала нужно преобразовать число с основанием 3 в десятичное, а затем преобразовать это десятичное число в число с основанием 7.

Мы можем использовать ту же процедуру для преобразования двоичного числа в восьмеричное или шестнадцатеричное, но есть несколько полезных сокращений, которые упростят этот процесс. Давайте посмотрим на следующий пример:

Пример 4. Преобразует $ 100100010101111_ {2} $ в шестнадцатеричное число.

Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, мы могли бы просто разбить двоичное число на группы из 4 цифр (начиная справа и добавляя ведущие нули, если цифры заканчиваются), а затем переинтерпретировать эти группы из 4 как перечисленные шестнадцатеричные значения. в таблице выше.При этом у нас есть:

$ 100100010101111_ {2} = 0100 1000 1010 1111 $

$ 0100 = 4 $, 1000 $ = 8 $, 1010 $ = A $, 1111 $ =

F $

$ 100100010101111_ {2} = 48AF_ {16}

Аналогично этому, чтобы преобразовать двоичное число в восьмеричное, мы могли бы просто разбить двоичное число на группы по 3 цифры, а остальная часть процедуры такая же, как преобразование двоичного числа в шестнадцатеричное число. Давайте превратим то же двоичное число в восьмеричное:

$ 100100010101111_ {2} = 100 100 010 101 111 $

100 долларов = 4

010 долларов = 2

101 доллар = 5

111 долларов = 7

$ 100100010101111_ {2} = 44257_ {8}

Обратить процесс еще проще.Предположим, мы хотим преобразовать $ FC7_ {16} $ в двоичную форму. Из таблицы мы можем прочитать двоичные значения для каждой цифры шестнадцатеричного числа:

$ F_ {16} = 1111_ {2} $ C_ {16} = 1100_ {2} $ 7_ {16} = 0111_ {2}

$ FC7_ {16} = 111111000111_ {2}

Процесс преобразования восьмеричного числа в двоичную форму такой же.

Основания чисел: восьмеричные и шестнадцатеричные

Purplemath

восьмеричный

Старая компьютерная система счисления — восьмеричная или восьмеричная.Цифры в восьмеричной математике: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Значение «восемь» записывается как «1 восемь и 0 единиц», или 10 ₈.

С технической точки зрения существует очень много различных компьютерных протоколов для восьмеричного числа, но мы будем использовать простую математическую систему.

MathHelp.com

Несколько племен Нового Света использовали систему нумерации по основанию 8; они считали, используя восемь промежутков между пальцами, а не сами десять пальцев. Синие туземцы в фильме «Аватар» использовали восьмеричное число, потому что на их руках было всего четыре пальца.

Давайте копаем прямо:

Преобразует 357
₁₀ в соответствующее восьмеричное число.

Я сделаю обычное последовательное деление, на этот раз делю на 8 на каждом шаге:

Как только я добрался до «5» сверху, мне пришлось остановиться, потому что 8 не делится на 5.

Тогда соответствующее восьмеричное число будет 545 ₈.

Преобразует 545
₈ в соответствующее десятичное число.

Я буду следовать обычной процедуре, перечисляя цифры в одной строке, а затем отсчитывая цифры справа в следующей строке, начиная с нуля:

Затем сделаю обычное сложение и умножение:

5 × 8 ² + 4 × 8 ¹ + 5 × 8 ⁰

= 5 × 64 + 4 × 8 + 5 × 1

= 320 + 32 + 5

= 357

Тогда соответствующее десятичное число будет 357 ₁₀.

Шестнадцатеричный

Если вы работаете с компьютерным программированием или компьютерной инженерией (или с компьютерной графикой, о которой мы поговорим позже), вы столкнетесь с математикой с основанием шестнадцати или шестнадцатеричной системой счисления.

Как упоминалось ранее, десятичная математика не имеет одной единственной цифры, представляющей значение «десять». Вместо этого мы используем две цифры, 1 и 0: «10».Но в шестнадцатеричной математике столбцы означают число, кратное шестнадцати! То есть в первом столбце указано, сколько у вас единиц, во втором столбце указано количество шестнадцати, в третьем столбце указано, сколько двести пятьдесят шесть (шестнадцать раз по шестнадцать) и так далее.

В базе десять у нас были цифры от 0 до 9. В базе восемь у нас были цифры от 0 до 7. В базе 4 у нас были цифры от 0 до 3. В любой базовой системе у вас будут цифры от 0 до единицы меньше чем -ваша-база.Это означает, что в шестнадцатеричном формате нам нужны «цифры» от 0 до 15. Для этого нам потребуются отдельные одиночные цифры, обозначающие значения «десять», «одиннадцать», «двенадцать», «тринадцать», «четырнадцать» и «пятнадцать». Но мы этого не делаем. Вместо этого мы используем буквы. То есть, считая в шестнадцатеричном формате, шестнадцать «цифр» равны:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Другими словами, A — это «десять» в «обычных» числах, B — «одиннадцать», C — «двенадцать», D — «тринадцать», E — «четырнадцать» и «F» — пятнадцать.Именно это использование букв для цифр делает шестнадцатеричные числа поначалу такими странными. Но преобразования работают обычным образом.

Преобразует 357
₁₀ в соответствующее шестнадцатеричное число.

Здесь я буду делить несколько раз на 16, отслеживая остатки по ходу дела. (Вы можете использовать для этого бумагу для заметок.)

Считывая цифры, начиная сверху и заканчивая правой стороной, я вижу, что:

Преобразует 165
₁₆ в соответствующее десятичное число.

Перечислите цифры и отсчитайте их справа, начиная с нуля:

Помните, что каждая цифра в шестнадцатеричном числе представляет, сколько копий вам нужно от этой степени шестнадцати, и преобразуйте это число в десятичное:

1 × 16 ² + 6 × 16 ¹ + 5 × 16 ⁰

= 1 × 256 + 6 × 16 + 5 × 1

= 256 + 96 + 5

= 357

Тогда 165 ₁₆ = 357 ₁₀.

Преобразует 63933
₁₀ в соответствующее шестнадцатеричное число.

Я буду делить несколько раз на 16, отслеживая остатки:

Из последовательного деления выше я вижу, что шестнадцатеричное число будет иметь «пятнадцать» в столбце с шестнадцатью квадратами, «девять» в столбце с шестнадцатью квадратами, «одиннадцать» в столбце с шестнадцатью квадратами и « тринадцать дюймов в колонке единиц.Но я не могу записать шестнадцатеричное число как «15», потому что это будет сбивать с толку и неточно. Поэтому я буду использовать буквы для «цифр», которые в противном случае были бы слишком большими, позволяя «F» заменить «пятнадцать», «B» заменить «одиннадцать», а «D» заменить «тринадцать».

Тогда 63933 ₁₀ = F9BD ₁₆.

Преобразует F9BD в десятичную систему счисления.

Я перечислю цифры и отсчитаю их справа, начиная с нуля:

На самом деле, вероятно, будет полезно повторить это, преобразовав буквенные шестнадцатеричные «цифры» в соответствующие им «обычные» десятичные значения:

Теперь сделаю умножение и сложение:

15 × 16 ³ + 9 × 16 ² + 11 × 16 ¹ + 13 × 16 ⁰

= 15 × 4096 + 9 × 256 + 11 × 16 + 13 × 1

= 61440 + 2304 + 176 + 13

= 63933

Как и ожидалось, F9BD ₁₆ = 63933 ₁₀.

Компьютерная графика

Если вы работаете с веб-страницами и графическими программами, вам может быть полезно преобразовать значения RGB (для изображения в графической программе) в шестнадцатеричные значения (для соответствующего цвета фона на веб-странице).

Графические программы работают со значениями RGB (красный-зеленый-синий) для цветов. Каждый из этих компонентов данного цвета имеет значения от 0 до 255.Эти значения могут быть преобразованы в шестнадцатеричные значения от 00 до FF. Если вы перечислите компоненты RGB цвета в виде строки из трех чисел, вы можете получить, скажем, R: 204, G: 51, B: 255, что переводится в светло-пурпурный # CC33FF в кодировке HTML. Обратите внимание, что 204 ₁₀ = CC ₁₆, 51 ₁₀ = 33 ₁₆ и 255 ₁₀ = FF ₁₆.

Партнер

С другой стороны, если у вас есть код для # 9, это будет преобразовано в темно-красноватый R: 153, G: 0, B: 51 в вашей графической программе.То есть, чтобы преобразовать вашу графическую программу в кодировку веб-страницы, используйте шестнадцатеричное число не как одно шестизначное число, а как три двузначных числа, и преобразуйте эти пары цифр в соответствующие значения RGB.

Для обсуждения истории «безопасных для Интернета» цветов, в том числе того, почему они включают только шестнадцатеричные эквиваленты 0, 51, 102, 153, 204 и 255, смотрите здесь. Для демонстрации различных цветов текста и фона в HTML посмотрите здесь.

URL: https://www.purplemath.com/modules/numbbase3.htm

Восьмеричная система счисления отличается от шестнадцатеричной

Двоичная система счисления

Восьмеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления

Двоично-восьмеричные и двоично-шестнадцатеричные преобразования

Системы счисления: двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная, десятиричная

Десятичная система счисления

Двоичная система счисления

Восьмеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления

Вопрос 4. Чем отличаются друг от друга десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

Двоичная система счисления

Готовые работы на аналогичную тему

Восьмеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления

Тест по информатике на тему «Системы счисления» (8 класс)

Шестнадцатеричная система — счисление — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Шестнадцатеричная система — счисление

Как из восьмеричной системы перевести в шестнадцатеричную

Алгоритм перевода восьмеричных чисел в шестнадцатеричный код

Перевод целого восьмеричного числа в шестнадцатеричную систему счисления

Перевод дробного восьмеричного числа в шестнадцатеричную систему счисления

Восьмеричный и шестнадцатеричный — разница между восьмеричным и шестнадцатеричным

Восьмеричное и шестнадцатеричное сравнение

Системы счисления — десятичные, двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные | Рукшани Атхапату | Coder’s Corner

Двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные | Введение в математику колледжа

Двоичная, шестнадцатеричная и восьмеричная система счисления

двоичный

восьмеричное

Шестнадцатеричный

Десятичное основание

с десятичной системой счисления по основанию

Из десятичного числа в двоичное

Из двоичного в десятичный

Из десятичного в шестнадцатеричный.

Из шестнадцатеричного в десятичный

От десятичной к восьмеричной

От восьмеричного к десятичному

Восьмеричная система счисления и преобразование двоичной системы в восьмеричную

Представление восьмеричного числа

Восьмеричные числа

Восьмеричные числа Пример №1

Восьмеричные числа Пример №2

Системы счисления (двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная)

1. Непозиционная система счисления

2. Система позиционных чисел

2.1. Двоичная система счисления

2.2. Восьмеричная система счисления

2.3. Шестнадцатеричная система счисления

3. Базовая конверсия

3.1. Преобразование в десятичное число

3.2. Преобразование из десятичного числа в любое другое основание

3.3. Эквивалентность различных систем счисления

4. Ярлыки для переключения между основанием 2 и основанием 8 и между основанием 2 и основанием 16

Основания чисел: восьмеричные и шестнадцатеричные

Purplemath

восьмеричный

MathHelp.com

Преобразует 357

Преобразует 545

Шестнадцатеричный

Преобразует 357

Преобразует 165

Преобразует 63933

Преобразует F9BD в десятичную систему счисления.

Компьютерная графика

alexxlab

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики