Скалярное произведение векторов

Теоретический материал по теме — скалярное произведение векторов.{\circ}=6 \cdot \frac{1}{2}=3$

Пример

Задание. Найти скалярное произведение векторов $\overline{a}=(3 ;-1)$ и $\overline{b}=(-2 ; 7)$

Решение. Скалярное произведение

$\overline{a} \overline{b}=3 \cdot(-2)+(-1) \cdot 7=-6-7=-13$

Векторное произведение векторов

Теоретический материал по теме — векторное произведение векторов.

Пример

Задание. Найти векторное произведение векторов $\overline{a}=(6 ; 7 ; 10)$ и $\overline{b}=(8 ; 5 ; 9)$

Решение. Составляем определитель и вычисляем его:

$\overline{a} \times \overline{b}=\left| \begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {6} & {7} & {10} \\ {8} & {5} & {9}\end{array}\right|=\overline{i} \left| \begin{array}{cc}{7} & {10} \\ {5} & {9}\end{array}\right|-\overline{j} \left| \begin{array}{cc}{6} & {10} \\ {8} & {9}\end{array}\right|+\overline{k} \left| \begin{array}{cc}{6} & {7} \\ {8} & {5}\end{array}\right|=$

$=\overline{i}(7 \cdot 9-5 \cdot 10)-\overline{j}(6 \cdot 9-8 \cdot 10)+\overline{k}(6 \cdot 5-8 \cdot 7)=$

$=13 \overline{i}+26 \overline{j}-26 \overline{k}=(13 ; 26 ;-26)$

Смешанное произведение векторов

Теоретический материал по теме — смешанное произведение векторов.

Пример

Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах $\overline{a}=(2 ; 3 ; 5)$, $\overline{b}=(1 ; 4 ; 4)$, $\overline{c}=(3 ; 5 ; 7)$

Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов $\overline{a}$, $\overline{b}$ и $\overline{c}$:

$(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=\left| \begin{array}{lll}{2} & {3} & {5} \\ {1} & {4} & {4} \\ {3} & {5} & {7}\end{array}\right|=2 \cdot 4 \cdot 7+1 \cdot 5 \cdot 5+3 \cdot 4 \cdot 3-$

$-3 \cdot 4 \cdot 5-5 \cdot 4 \cdot 2-1 \cdot 3 \cdot 7=-4$

$$V_{пир}=\frac{1}{6}|(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})|=\frac{1}{6} \cdot 4=\frac{2}{3}$$

Читать первую тему — операции над векторами, раздела векторы.

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

Разность векторов:

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Упростим систему:

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA₁ = √3

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор  или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB.2\), откуда получаем требуемое равенство.

Утверждение

Если в прямоугольной системе координат точка \(M\) – середина отрезка \(PQ\), где \(P(x_1;y_1), \ Q(x_2;y_2)\), то

\[M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}; \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)\]

Доказательство

Пусть \(M(a;b)\).

1) Пусть \(PQ\parallel Oy \Rightarrow x_1=x_2=a\). Значит, \(a=\dfrac{x_1+x_2}2=\dfrac{a+a}2\) – верно.

Т.к. \(PM=MQ\), следовательно, \(|y_2-b|=|y_1-b| \Rightarrow y_2-b=y_1-b\) или \(y_2-b=b-y_1\), что равносильно \(y_2=y_1\) или \(b=\dfrac{y_1+y_2}2\). Первое равенство невозможно (т.к. тогда точки \(P\) и \(Q\) совпадают).

2) Случай \(PQ\parallel Ox \Rightarrow y_1=y_2=b\) доказывается аналогично.

3) \(x_1\ne x_2, y_1\ne y_2\).

Тогда \(Ma=b\) – средняя линия трапеции \(x_1PQx_2\), следовательно, равна полусумме оснований, то есть \(b=\dfrac{y_1+y_2}2\).

Аналогично \(a=\dfrac{x_1+x_2}2\).  

\[{\Large{\text{Векторы на координатной плоскости}}}\]

Лемма

Если векторы \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) коллинеарны, то существует такое число \(\lambda\ne 0\), что \(\overrightarrow a=\lambda\overrightarrow b\).

Доказательство

1) Если \(\overrightarrow a\uparrow \uparrow \overrightarrow b\).

Рассмотрим вектор \(\dfrac1{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\). Данный вектор сонавправлен с \(\overrightarrow a\), а его длина равна \(1\). Тогда вектор \(\dfrac{|\overrightarrow b|}{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\) также сонаправлен с \(\overrightarrow a\), но его длина равна \(|\overrightarrow b|\). То есть равен вектору \(\overrightarrow b\).

2) Если \(\overrightarrow a\uparrow \downarrow \overrightarrow b\).

Аналогично доказывается, что \(\overrightarrow b=-\dfrac{|\overrightarrow b|}{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\).

Определение

Если вектор \(\overrightarrow p\) представлен как линейная комбинация двух векторов: \(\overrightarrow p=\alpha\overrightarrow a+\beta \overrightarrow b\), то говорят, что вектор \(\overrightarrow p\) разложен по векторам \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\).

\(\alpha, \beta\) – коэффициенты разложения.  

Пусть векторы \(\overrightarrow i\), \(\overrightarrow j\) – векторы, длины которых равны \(1\), а направление совпадает с направлением осей \(Ox\) и \(Oy\) соответственно. Такие векторы называются единичными векторами.

Тогда если \(\overrightarrow p=a\overrightarrow i+b\overrightarrow j\), то \(\{a;b\}\) – координаты вектора \(\overrightarrow p\).

Свойства координат вектора

1. Равные векторы имеют равные координаты.

2. Координаты суммы векторов равны сумме координат каждого вектора: если \(\overrightarrow a\{x_1;y_1\}, \ \overrightarrow b\{x_2;y_2\}\), то \(\overrightarrow a+\overrightarrow b=\{x_1+x_2;y_1+y_2\}\).

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты данного вектора на это число: \(\overrightarrow a\{x;y\}, \ \lambda \) – число, то \(\lambda\overrightarrow a\{\lambda x;\lambda y\}\).2}\).  

\[{\Large{\text{Скалярное произведение векторов}}}\]

Определение

Пусть от одной точки отложены два вектора \(\overrightarrow {AB}\) и \(\overrightarrow {AC}\). Тогда угол между этими векторами – это угол \(\angle BAC\), не превышающий развернутого угла.

Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) – это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначение: \(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\) или \((\overrightarrow a, \overrightarrow b)\). \[(\overrightarrow a, \overrightarrow b)=|\overrightarrow a|\cdot |\overrightarrow b|\cdot \cos\widehat{(\overrightarrow a, \overrightarrow b)}\]

Следствия

1. Если ненулевые векторы взаимно перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю, следовательно, и их скалярное произведение равно нулю.

2. Если угол между ненулевыми векторами острый, то скалярное произведение положительно.2=0 \Leftrightarrow |\overrightarrow a|=0\).

2. Переместительный закон: \(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow a\).

3. Распределительный закон: \(\overrightarrow a \cdot (\overrightarrow b+\overrightarrow c)=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c\).

4. Сочетательный закон: \((\lambda\overrightarrow a)\cdot \overrightarrow b=\lambda (\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b)\).

примеры и решения, формулы и теоремы

Длина вектора — основные формулы

Длину вектора a→ будем обозначать a→. Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан некоторый вектор a→ с координатами ax;ay. Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a→ через координаты ax и ay.

От начала координат отложим вектор OA→=a→. Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как Ax и Ay . Теперь рассмотрим прямоугольник OAxAAy с диагональю OA.

Из теоремы Пифагора следует равенство OA2=OAx2+OAy2, откуда OA=OAx2+OAy2. Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что OAx2=ax2 и OAy2=ay2, а по построению длина OA равна длине вектора OA→, значит, OA→=OAx2+OAy2.

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay имеет соответствующий вид: a→=ax2+ay2.

Если вектор a→ дан в виде разложения по координатным векторам a→=ax·i→+ay·j→, то вычислить его длину можно по той же формуле a→=ax2+ay2, в данном случае коэффициенты ax и ay выступают в роли координат вектора a→ в заданной системе координат.

Вычислить длину вектора a→=7;e, заданного в прямоугольной системе координат.

Решение

Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатамa→=ax2+ay2: a→=72+e2=49+e

Ответ: a→=49+e.

Формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay;az по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

В данном случае OA2=OAx2+OAy2+OAz2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда OA=OAx2+OAy2+OAz2. Из определения координат вектора можем записать следующие равенства OAx=ax; OAy=ay; OAz=az; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, OA→=OAx2+OAy2+OAz2.

Отсюда следует, что длина вектора a→=ax;ay;az равна a→=ax2+ay2+az2.

Вычислить длину вектора a→=4·i→-3·j→+5·k→, где i→,j→,k→ — орты прямоугольной системы координат.

Решение

Дано разложение вектора a→=4·i→-3·j→+5·k→, его координаты равны a→=4,-3,5. Используя выше выведенную формулу получим a→=ax2+ay2+az2=42+(-3)2+52=52.

Ответ:a→=52.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A(ax;ay) и B(bx;by), отсюда вектор AB→ имеет координаты (bx-ax; by-ay)значит, его длина может быть определена по формуле: AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2

А если даны точки с заданными координатами A(ax;ay;az) и B(bx;by;bz) в трехмерном пространстве, то длину вектора AB→ можно вычислить по формуле

AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2

Найти длину вектора AB→, если в прямоугольной системе координат A1, 3, B-3, 1.

Решение

Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2: AB→=(-3-1)2+(1-3)2=20-23.

Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: AB→=(-3-1; 1-3)=(-4; 1-3); AB→=(-4)2+(1-3)2=20-23.-

Ответ: AB→=20-23.

Определить, при каких значениях  длина вектора AB→ равна 30, еслиA(0, 1, 2); B(5, 2, λ2) .

Решение

Для начала распишем длину вектора AB→ по формуле: AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2=(5-0)2+(2-1)2+(λ2-2)2=26+(λ2-2)2

Затем полученное выражение приравняем к 30, отсюда найдем искомые λ:

 26+(λ2-2)2=3026+(λ2-2)2=30(λ2-2)2=4λ2-2=2 или λ2-2=-2  λ1=-2, λ2=2, λ3=0.

Ответ: λ1=-2, λ2=2, λ3=0.

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов AB→, AC→ и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора BC→ или CB→. В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ABC, вычислить длину стороны BC, которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Длины векторов AB→ и AC→ равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π3. Вычислить длину вектора BC→.

Решение

Длина вектора BC→ в данном случае равна длине стороны BC треугольника △ABC. Длины сторон AB и AC треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов:BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos∠(AB,→AC→)=32+72-2·3·7·cosπ3=37 ⇒BC=37 Таким образом, BC→=37.

Ответ:BC→=37.

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a→=ax2+ay2 или a→=ax2+ay2+az2, по координатам точек начала и конца вектора AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2 или AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2, в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Урок 2. скалярное произведение векторов — Геометрия — 11 класс

Геометрия, 11 класс

Урок № 2. Скалярное произведение векторов

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— ввести понятие угла между векторами и скалярного произведения векторов, рассмотреть формулу скалярного произведения в координатах;

— показать применение скалярного произведения векторов при решение задач.

— рассмотреть основные свойства скалярного произведения;

— сформировать умения вычислять скалярное произведение векторов и находить угол между векторами;

— показать, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью.

Глоссарий по теме:

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Формула вычисления скалярного произведения векторов по определению:

Формула вычисления скалярного произведения векторов через координаты:

Основная литература:

Гусева В.А., Куланин Е.Д. Геометрия. Профильный уровень. 10 класс — М.: Бином, 2010 — с. 130-148

Погорелов А.В. Геометрия. Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. Учреждение — 13-е изд-е. — М.: Просвещение, 2014. — с. 51-52

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 кл. 20-е изд-е. — М.: Просвещение, 2010. — с. 259-270.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Работа по теме урока. Объяснение новой темы

Угол между векторами

Если векторы не являются сонаправленными, то лучи ОА и ОB образуют угол АОВ.

Определение: Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Скалярное произведение векторов:

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Запишем формулу:

Доказательство утверждений:

Утверждение1. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Утверждение2. Скалярный квадрат вектора  равен квадрату его длины. 

Формула скалярного произведения двух векторов  и 

Через их координаты 

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Угол между векторами.

Косинус угла между векторами пространства  , заданными в ортонормированном базисе  , выражается формулой: 

Сформулируем основные свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов  и любого числа k справедливы равенства:

1)  причем  при 

2)   (переместительный закон).

3)   (распределительный закон).

4)  (сочетательный закон).

Вычисление углов между прямыми и плоскостями.

Угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны координаты направляющих векторов.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Дано:  прямоугольный параллелепипед, где . Найти  и .

Решение: ранее в таких случаях мы пытались по рисунку находить величины углов.

Но теперь мы владеем формулой косинуса угла между прямыми.

Только для этого необходимо знать координаты направляющих векторов прямых. В данном случае, для прямой BD  направляющим может является вектор BD , а для прямой 
 CD- CD вектор (рис. 15)

Для удобства изобразим прямоугольную систему координат так, чтобы точка B совпадала с точкой начала координат. Взяв длину рёбер AB и BC за единичные отрезки, можно утверждать, что длина отрезка BB равна 2.

Тогда не трудно определить координаты точек B, D, C и D₁.

Точка B(0;0;0). Точка D(1;1;0). Точка C(0;1;0) . А точка D(1;1;2).

Теперь не трудно найти координаты векторовBD и CD как разности соответствующих координат конца и начала вектора.

Получаем, что вектор BD {1-0;1-0;0-0}. А вектор

CD{1-0;1-1;2-0}.

Теперь можем воспользоваться формулой косинуса угла между прямыми. Подставим координаты направляющих векторов.

Рис. 15

Ответ:

Пример 2.

Дано: DABC – пирамида; DA ⊥ DB ⊥ DC; DA = DB = DC = а.

Найдите: косинус угла между прямыми DC и CM (СМ – высота треугольника АВС), поставьте ему в соответствие верный вариант ответа из предложенных ниже:

Решение:

Треугольник АВС правильный, поэтому тоска М является серединой стороны АВ.

Введем систему координат как показано на рисунке.

Найдем координаты векторов

Применив формулу косинуса угла между векторами, получим .

Ответ:

Векторов — Математика A-Level Revision

Векторная величина имеет как величину, так и направление. Ускорение, скорость, сила и перемещение — все это примеры векторных величин. Скалярная величина имеет только величину (поэтому направление не имеет значения). Примеры включают скорость, время и расстояние.

Единичные векторы

Единичный вектор — это вектор, который имеет величину 1. Обычно используются три важных единичных вектора, и это векторы в направлении осей x, y и z.Единичный вектор в направлении оси x равен i , единичный вектор в направлении оси y равен j , а единичный вектор в направлении оси z равен k .

Запись векторов в этой форме может облегчить работу с векторами.

Величина вектора

Величину вектора можно найти с помощью теоремы Пифагора .

Обозначим величину вектора a через | a |

Векторы положения

Векторы положения — это векторы, определяющие положение точки относительно фиксированной точки (начала координат).

Например, точки A, B и C являются вершинами треугольника с векторами положения a , b и c соответственно:

Вы можете рисовать в исходной точке, где хотите.

Обратите внимание, что = — a + b = b — a , потому что вы можете добраться от A до B, перейдя от A к O, а затем перейдя от O к B.

Векторное уравнение прямой

Векторное уравнение прямой, проходящей через точку a и в направлении d :

Это означает, что для любого значения t точка r является точкой на прямой.

Если нам даны векторные уравнения двух разных линий, мы сможем определить, где пересекаются линии, из их уравнений.

Пример

Найдите, где пересекаются прямые с уравнениями r = i + j + t (3 i — j ) и r = — i + s ( j ).

Когда они пересекаются, мы можем приравнять уравнения друг другу:

i + j + t (3 i — j ) = — i + s ( j )

Коэффициенты приравнивания:
1 + 3t = -1 и 1 — t = s
Итак, t = -2/3 и s = 5/3

Таким образом, вектор положения точки пересечения задается путем подстановки t = -2/3 или s = 5/3 в одно из приведенных выше уравнений.Это дает — i +5 j /3.

Скалярное произведение

Предположим, у нас есть два вектора:

a i + b j + c k и d i + e j + f k , то их скалярное (или точечное) произведение: ad + be + fc. Итак, умножьте коэффициенты i вместе, коэффициенты j вместе и коэффициенты k вместе и сложите их все.

Обратите внимание, что это скалярное число (не вектор).

Запишем скалярное произведение двух векторов a и b как a · b .

Пример

Если a = i + 4 j -2 k и b = 2 i + 4 j + 6 k , то a · b = 2 + 16 — 12 = 6

Угол между двумя векторами

Мы можем использовать скалярное произведение, чтобы найти угол между двумя векторами, благодаря следующей формуле:

Важным фактом является то, что два вектора перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.Это потому, что если q = 90 градусов выше, то a · b = 0.

В этом видео рассматриваются векторы и скаляры.

Величина и направление векторов

Величина вектора

Величина вектора п Q → это расстояние между начальной точкой п и конечная точка Q . В символах величина п Q → записывается как | п Q → | .

Если заданы координаты начальной и конечной точек вектора, то Формула расстояния можно использовать для определения его величины.

| п Q → | знак равно ( Икс 2 — Икс 1 ) 2 + ( у 2 — у 1 ) 2

Пример 1:

Найдите величину вектора п Q → чья начальная точка п Я сидел ( 1 , 1 ) и конечная точка находится в Q Я сидел ( 5 , 3 ) .

Решение:

Используйте формулу расстояния.

Подставьте значения Икс 1 , у 1 , Икс 2 , а также у 2 .

| п Q → | знак равно ( 5 — 1 ) 2 + ( 3 — 1 ) 2 знак равно 4 2 + 2 2 знак равно 16 + 4 знак равно 20 ≈ 4.5

Величина п Q → около 4.5 .

Направление вектора

Направление вектора — это мера угла, который он образует с горизонтальная линия .

Для определения направления вектора можно использовать одну из следующих формул:

загар θ знак равно у Икс , где Икс горизонтальное изменение и у это вертикальное изменение

или же

загар θ знак равно у 2 — у 1 Икс 2 — Икс 1 , где ( Икс 1 , у 1 ) начальная точка и ( Икс 2 , у 2 ) конечная точка.

Пример 2:

Найдите направление вектора п Q → чья начальная точка п Я сидел ( 2 , 3 ) и конечная точка находится в Q Я сидел ( 5 , 8 ) .

Даны координаты начальной и конечной точек.Подставьте их в формулу загар θ знак равно у 2 — у 1 Икс 2 — Икс 1 .

загар θ знак равно 8 — 3 5 — 2 знак равно 5 3

Найдите обратный загар и воспользуйтесь калькулятором.

θ знак равно загар — 1 ( 5 3 ) ≈ 59 °

Вектор п Q → имеет направление около 59 ° .

Векторные уравнения

Угол между двумя плоскостями

Найден угол между двумя плоскостями
используя скалярное произведение.
Он равен острому углу, определяемому
векторы нормали к плоскостям.

Пример

Рассчитать угол между плоскостями
π ₁ : х + 2y -2z = 5
и π ₂ : 6x -3y + 2z = 8

Расстояние между параллельными плоскостями

Пусть P будет точкой на плоскости π ₁ : ax + by + cz = n
а.х = п

а Q — точка на плоскости π ₂ : ax + by + cz = m
п. X =

Поскольку плоскости параллельны, они имеют общую нормаль: a
a = (a i + b j + c k )

Расстояние между самолетами

Пример

Рассчитать расстояние между плоскостями
π ₁ : x + 2y — 2z = 5
и π ₂ : 6x + 12y — 12z = 8

Копланарные векторы

Если существует связь между векторами a , b и c
так что c = λ a + μ b , где λ и μ — константы ,
, тогда векторы a, b и c копланарны.

Если три вектора копланарны,
c = λ a + μ b

Векторное уравнение плоскости

Из копланарного сечения выше
c = λ a + μ b

Когда используются векторы положения,

r = (1-λ-u) a + λ b + μ c — векторное уравнение плоскости .

Поскольку λ и b переменные, будет много возможных уравнений для плоскости.

Эффекты изменения λ и μ

Пример

Найдите векторное уравнение плоскости через точки
A (-1, -2, -3), B (-2,0,1) и C (-4, -1, -1)

Если λ = 2 и μ = 3

Когда A — известная точка на плоскости,
R — любая старая точка на плоскости, а b и c — векторы
. параллельно плоскости,

векторное уравнение плоскости :
r = a + λ b + μ c

Уравнения линии

Линия может быть описана, когда на ней есть точка и
его вектор направления — вектор, параллельный прямой — известны.

На схеме ниже линия L проходит через точки
A (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и P (x, y, z).

u — вектор направления a i + b j + c k
Находясь на линии, он имеет то же направление, что и
любая параллельная линия.

O — происхождение.
a и p представляют собой векторы положения A и P.

Пример

Найдите векторное уравнение прямой, проходящей через
(3,2,1), которая параллельна вектору 2 i +3 j +4 k

Пример
Найти векторную форму уравнения
прямая, которая имеет параметрические уравнения

Пример

Найдите декартову форму прямой, у которой
вектор положения 3 i +2 j + k и параллелен
вектор i — j + k

Пример

Найдите векторное уравнение прямой, проходящей через
через A (1,2,3) и B (4,5,6)

Пример

Пример

Угол между прямой и плоскостью

Угол θ между прямой и плоскостью равен
дополнение угла между линией и
нормаль к плоскости.

Если линия имеет вектор направления u и
перпендикулярно плоскости a, затем

Пример

1)

2)

Пересечение двух прямых

Пример

Пересечение двух плоскостей

Найти уравнения линии пересечения
двух плоскостей, вектора направления и точки
на линии не требуется.

Так как линия пересечения лежит в обеих плоскостях,
вектор направления параллелен векторным произведениям
нормали каждой плоскости.

Пример

Найдите уравнение для линии пересечения
самолетов

-3x + 2y + z = -5
7x + 3y — 2z = -2

Расстояние от точки до плоскости

Чтобы найти расстояние от точки P до плоскости

1. Найдите уравнение проекции PP ’, используя
   нормаль к плоскости и точка P.
2. Найдите координаты P ’, перекресток
   с самолетом.
3. Примените формулу расстояния к PP ’

Альтернативно

Пример

Найти расстояние между точкой (3,1, -2)
и плоскость x + 2y + 2z = — 4

Альтернативно

Расстояние от точки до линии

Чтобы найти расстояние от точки P до линии L

1. Пусть линия имеет вектор направления u и параметр λ
2. Найдите координаты PP ’, используя скалярное произведение с u
   и точка P.
3. Примените формулу расстояния к PP ’

Пересечение трех плоскостей

Чтобы решить пересечение,
использовать уравнения плоскости ax + by + cz + d = 0
для формирования расширенной матрицы, которая решается
для x, y и z.

Пересечение трех плоскостей может быть:

Одна точка

Найдено уникальное решение

Пример

Линия пересечения

Существует бесконечное количество решений

Пример

Параметрические уравнения

Две линии пересечения

Бесконечное количество решений

Пример

Использование второй строки

Заменить в первую строку

Подставить в третье уравнение

Три линии пересечения
Аналогично описанному выше.
Осмотрите каждую пару самолетов по очереди.

Пример

Плоскость пересечения

Два повторяющихся уравнения

Пример

Нет согласованности

Перекресток запрещен

Пример

Нет согласованности

Все плоскости параллельны

Угол между двумя векторами — объяснение и примеры

Векторы, в частности направление векторов и углы, на которые они ориентированы, имеют большое значение в векторной геометрии и физике.Если есть два вектора, скажем a и b в плоскости так, что хвосты обоих векторов соединены, тогда существует некоторый угол между ними, и этот угол между двумя векторами определяется как:

« Угол между двумя векторами — это кратчайший угол, на который любой из двух векторов поворачивается относительно другого вектора, так что оба вектора имеют одинаковое направление».

Кроме того, это обсуждение фокусируется на поиске угла между двумя стандартными векторами, что означает, что их начало находится в (0, 0) в плоскости x-y.

В этой теме кратко обсудим следующие пункты:

• Какой угол между двумя векторами?
• Как узнать угол между двумя векторами?
• Угол между двумя двумерными векторами.
• Угол между двумя трехмерными векторами.
• Примеры.
• Проблемы.

Векторы ориентированы в разных направлениях, образуя разные углы.Этот угол существует между двумя векторами и отвечает за определение возведения векторов.

Угол между двумя векторами можно найти с помощью векторного умножения. Существует два типа умножения векторов, то есть скалярное произведение и перекрестное произведение .

Скалярное произведение — это произведение или произведение двух векторов, которое дает скалярную величину. Как следует из названия, векторное произведение или кросс-произведение дает векторную величину за счет произведения или умножения двух векторов.

Например, если мы говорим о движении теннисного мяча, его положение описывается вектором положения, а движение — вектором скорости, длина которого указывает скорость мяча. Направление вектора объясняет направление движения. Точно так же импульс шара также является примером векторной величины, которая равна массе, умноженной на скорость.

Иногда нам приходится иметь дело с двумя векторами, действующими на какой-то объект, поэтому угол вектора имеет решающее значение. В реальном мире любая рабочая система объединяет несколько векторов, связанных друг с другом, и образует несколько углов друг с другом в заданной плоскости.Векторы могут быть двухмерными или трехмерными. Следовательно, необходимо вычислить угол между векторами.

Давайте сначала обсудим скалярные произведения.

Рассмотрим два вектора a и b , разделенных некоторым углом θ. Тогда по формуле скалярного произведения это:

a.b = | a | | b | .cosθ

, где a.b — скалярное произведение двух векторов.| а | и | b | — величина векторов a, и b, и θ — угол между ними.

Чтобы найти угол между двумя векторами, мы начнем с формулы скалярного произведения, которая дает косинус угла θ.

Согласно формуле скалярного произведения,

a.b = | a | | b | .cosθ

Это означает, что скалярное произведение двух векторов a и b равно величине двух векторов a и b, умноженной на косинус угла.Чтобы найти угол между двумя векторами, a и b, мы решим угол θ,

cosθ = а.б / | а |. | б |

θ = arccos ( a.b / | a |. | B |)

Итак, θ — это угол между двумя векторами.

Если вектор a = и b = ,

Тогда скалярное произведение между двумя векторами a и b задается как,

a.b = .

а.b = ax.bx + ay.by

Здесь у нас может быть пример выполненной работы, поскольку выполненная работа определяется как сила, прикладываемая для перемещения объекта на некоторое расстояние. И сила, и смещение являются векторами, и их скалярное произведение дает скалярную величину, то есть , работа. Проделанная работа — это скалярное произведение силы и смещения, которое можно определить как

Ф. d = | F | | d | cos (θ)

Где θ — угол между силой и смещением. Например, если мы рассматриваем автомобиль, движущийся по дороге, преодолевая некоторое расстояние в определенном направлении, на автомобиль действует сила, тогда как сила составляет некоторый угол θ со смещением.

Ниже приведены некоторые свойства скалярного произведения:

• Скалярное произведение является коммутативным по своей природе.
• По своей природе он является распределительным по сравнению с векторным сложением:

а. (б + в) = (а. б) + (а. в)

• Неассоциативный по своей природе.
• 4. Скалярная величина может быть умножена на скалярное произведение двух векторов.

г. (а. б) = (в а). б = а. (в б)

• Скалярное произведение является максимальным, когда два ненулевых вектора параллельны друг другу.
• 6. Два вектора перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда a. b = 0, поскольку скалярное произведение — это косинус угла между двумя векторами a и b, а cos (90) = 0.
• Для единичных векторов

и. я = 1

Дж. j = 1

к. к = 1

• Точечное умножение не соответствует закону отмены

a. б = а. с

а. (б — в) = 0

Точно так же для этой цели мы можем использовать перекрестные произведения.

Формула перекрестного произведения выглядит следующим образом:

а х Ь = | а |. | Ь | .sinθ. n

Давайте сначала оценим угол между двумя векторами с помощью скалярного произведения.

Пример 1

Найдите угол между двумя векторами, имеющими равную величину, и величина их результирующего вектора эквивалентна величине любого из данных векторов.

Решение

Рассмотрим два вектора: A, и B, , и результат двух векторов равен R .2 = (1 + соз (θ))

1/2 = 1 + cos (θ)

1/2 — 1 = cos (θ)

-1 / 2 = cos (θ)

θ = cos-1 (-1 / 2)

θ = 120º

Итак, угол между двумя векторами, имеющими одинаковую величину, равен 120º.

Пример 2

Найдите угол между двумя векторами одинаковой величины. Также вычислите величину результирующего вектора.

Решение

Принято, что,

| A | = | B |

Использование закона косинуса для вычисления величины результирующего вектора R .2 (θ / 2))

| R | = 2 А cos (θ / 2)

Теперь для вычисления результирующего угла α, который он составит с первым вектором,

тангенс угла α = (A sin θ) / (A + A cos θ)

tan α = (2 A cos (θ / 2). Sin (θ / 2) / (2 A cos2 (θ / 2))

тангенс угла α = тангенс угла (θ / 2)

α = θ / 2

Следовательно, это показывает, что результат делит угол между двумя векторами равной величины пополам.

Пример 3

Найдите угол между заданными двумя векторами.2)

| B | = √ (9 + 64 + 4)

| B | = √ (77)

Теперь, найдя скалярное произведение,

A.B = (6 i + 5 j +7 k ). (3 i + 8 j + 2 k )

A.B = 18 + 40 + 14

A.B = 72

Подставляя в формулу скалярного произведения,

72 = (√ (110)). (√ (77)). cos (θ)

72 / (√ (110 x 77)) = cos (θ)

cos (θ) = 0.78

θ = cos-1 (0,78)

θ = 51,26º

Пример 4

Найти угол между заданными двумя векторами

A = <4, 3, 2>

B = <1, 2, 5>

Решение

Используйте формулу скалярного произведения,

А. 2)

| B | = √ (1 + 4 + 25)

| B | = √ (30)

Теперь, найдя скалярное произведение,

А.B = <4, 3, 2>. <1, 2, 5>

A.B = 4 + 6 + 10

A.B = 20

Подставляя в формулу скалярного произведения,

20 = (√ (29)). (√ (30)). cos (θ)

20 / (√ (29 x 30)) = cos (θ)

cos (θ) = 0,677

θ = cos-1 (0,677)

θ = 42,60º