Site Loader

Содержание

Векторы примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы

Содержание:

Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.


Координаты вектора

Теоретический материал по теме — координаты вектора.

Пример

Запись $\overline{a}=(5 ;-2)$ означает, что вектор $\overline{a}$ имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

Слишком сложно?

Примеры решения задач с векторами не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание.{\circ}$$

Разложение вектора по ортам координатных осей

Теоретический материал по теме — разложение вектора по ортам.

Пример

Задание. Зная разложения вектора $\overline{a}$ по базисной системе векторов: $\overline{a}=3 \overline{i}-\overline{k}$, записать координаты этого вектора в пространстве.

Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что $\overline{a}=3 \overline{i}-0 \cdot \overline{j}-\overline{k}$, получаем, что $\overline{a}=(3 ; 0 ;-1)$

Пример

Задание. Вектор $\overline{a}$ задан своими координатами: $\overline{a}=(2 ;-1 ; 5)$. Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.

Решение. Координаты вектора — это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе векторов, поэтому искомое разложение:

$\overline{a}=2 \overline{i}-\overline{j}+5 \overline{k}$


Скалярное произведение векторов

Теоретический материал по теме — скалярное произведение векторов.{\circ}=6 \cdot \frac{1}{2}=3$

Пример

Задание. Найти скалярное произведение векторов $\overline{a}=(3 ;-1)$ и $\overline{b}=(-2 ; 7)$

Решение. Скалярное произведение

$\overline{a} \overline{b}=3 \cdot(-2)+(-1) \cdot 7=-6-7=-13$


Векторное произведение векторов

Теоретический материал по теме — векторное произведение векторов.

Пример

Задание. Найти векторное произведение векторов $\overline{a}=(6 ; 7 ; 10)$ и $\overline{b}=(8 ; 5 ; 9)$

Решение. Составляем определитель и вычисляем его:

$\overline{a} \times \overline{b}=\left| \begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {6} & {7} & {10} \\ {8} & {5} & {9}\end{array}\right|=\overline{i} \left| \begin{array}{cc}{7} & {10} \\ {5} & {9}\end{array}\right|-\overline{j} \left| \begin{array}{cc}{6} & {10} \\ {8} & {9}\end{array}\right|+\overline{k} \left| \begin{array}{cc}{6} & {7} \\ {8} & {5}\end{array}\right|=$

$=\overline{i}(7 \cdot 9-5 \cdot 10)-\overline{j}(6 \cdot 9-8 \cdot 10)+\overline{k}(6 \cdot 5-8 \cdot 7)=$

$=13 \overline{i}+26 \overline{j}-26 \overline{k}=(13 ; 26 ;-26)$

Смешанное произведение векторов

Теоретический материал по теме — смешанное произведение векторов.

Пример

Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах $\overline{a}=(2 ; 3 ; 5)$, $\overline{b}=(1 ; 4 ; 4)$, $\overline{c}=(3 ; 5 ; 7)$

Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов $\overline{a}$, $\overline{b}$ и $\overline{c}$:

$(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=\left| \begin{array}{lll}{2} & {3} & {5} \\ {1} & {4} & {4} \\ {3} & {5} & {7}\end{array}\right|=2 \cdot 4 \cdot 7+1 \cdot 5 \cdot 5+3 \cdot 4 \cdot 3-$

$-3 \cdot 4 \cdot 5-5 \cdot 4 \cdot 2-1 \cdot 3 \cdot 7=-4$

$$V_{пир}=\frac{1}{6}|(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})|=\frac{1}{6} \cdot 4=\frac{2}{3}$$

Читать первую тему — операции над векторами, раздела векторы.

Векторы примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы

Содержание:

Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.


Координаты вектора

Теоретический материал по теме — координаты вектора.

Пример

Запись $\overline{a}=(5 ;-2)$ означает, что вектор $\overline{a}$ имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

Слишком сложно?

Примеры решения задач с векторами не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Заданы векторы $\overline{a}=(-3 ; 5)$ и $\overline{b}=(0 ;-1)$. Найти координаты вектора $\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}$

Решение. $\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}=(-3 ; 5)+(0 ;-1)=(-3+0 ; 5+(-1))=(-3 ; 4)$

Пример

Задание.{\circ}$$

Разложение вектора по ортам координатных осей

Теоретический материал по теме — разложение вектора по ортам.

Пример

Задание. Зная разложения вектора $\overline{a}$ по базисной системе векторов: $\overline{a}=3 \overline{i}-\overline{k}$, записать координаты этого вектора в пространстве.

Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что $\overline{a}=3 \overline{i}-0 \cdot \overline{j}-\overline{k}$, получаем, что $\overline{a}=(3 ; 0 ;-1)$

Пример

Задание. Вектор $\overline{a}$ задан своими координатами: $\overline{a}=(2 ;-1 ; 5)$. Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.

Решение. Координаты вектора — это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе векторов, поэтому искомое разложение:

$\overline{a}=2 \overline{i}-\overline{j}+5 \overline{k}$


Скалярное произведение векторов

Теоретический материал по теме — скалярное произведение векторов.{\circ}=6 \cdot \frac{1}{2}=3$

Пример

Задание. Найти скалярное произведение векторов $\overline{a}=(3 ;-1)$ и $\overline{b}=(-2 ; 7)$

Решение. Скалярное произведение

$\overline{a} \overline{b}=3 \cdot(-2)+(-1) \cdot 7=-6-7=-13$


Векторное произведение векторов

Теоретический материал по теме — векторное произведение векторов.

Пример

Задание. Найти векторное произведение векторов $\overline{a}=(6 ; 7 ; 10)$ и $\overline{b}=(8 ; 5 ; 9)$

Решение. Составляем определитель и вычисляем его:

$\overline{a} \times \overline{b}=\left| \begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {6} & {7} & {10} \\ {8} & {5} & {9}\end{array}\right|=\overline{i} \left| \begin{array}{cc}{7} & {10} \\ {5} & {9}\end{array}\right|-\overline{j} \left| \begin{array}{cc}{6} & {10} \\ {8} & {9}\end{array}\right|+\overline{k} \left| \begin{array}{cc}{6} & {7} \\ {8} & {5}\end{array}\right|=$

$=\overline{i}(7 \cdot 9-5 \cdot 10)-\overline{j}(6 \cdot 9-8 \cdot 10)+\overline{k}(6 \cdot 5-8 \cdot 7)=$

$=13 \overline{i}+26 \overline{j}-26 \overline{k}=(13 ; 26 ;-26)$

Смешанное произведение векторов

Теоретический материал по теме — смешанное произведение векторов.

Пример

Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах $\overline{a}=(2 ; 3 ; 5)$, $\overline{b}=(1 ; 4 ; 4)$, $\overline{c}=(3 ; 5 ; 7)$

Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов $\overline{a}$, $\overline{b}$ и $\overline{c}$:

$(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=\left| \begin{array}{lll}{2} & {3} & {5} \\ {1} & {4} & {4} \\ {3} & {5} & {7}\end{array}\right|=2 \cdot 4 \cdot 7+1 \cdot 5 \cdot 5+3 \cdot 4 \cdot 3-$

$-3 \cdot 4 \cdot 5-5 \cdot 4 \cdot 2-1 \cdot 3 \cdot 7=-4$

$$V_{пир}=\frac{1}{6}|(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})|=\frac{1}{6} \cdot 4=\frac{2}{3}$$

Читать первую тему — операции над векторами, раздела векторы.

Векторы примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы

Содержание:

Вектора применяются во многих науках

, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.


Координаты вектора

Теоретический материал по теме — координаты вектора.

Пример

Запись $\overline{a}=(5 ;-2)$ означает, что вектор $\overline{a}$ имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

Слишком сложно?

Примеры решения задач с векторами не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Заданы векторы $\overline{a}=(-3 ; 5)$ и $\overline{b}=(0 ;-1)$. Найти координаты вектора $\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}$

Решение. $\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}=(-3 ; 5)+(0 ;-1)=(-3+0 ; 5+(-1))=(-3 ; 4)$

Пример

Задание.{\circ}$$

Разложение вектора по ортам координатных осей

Теоретический материал по теме — разложение вектора по ортам.

Пример

Задание. Зная разложения вектора $\overline{a}$ по базисной системе векторов: $\overline{a}=3 \overline{i}-\overline{k}$, записать координаты этого вектора в пространстве.

Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что $\overline{a}=3 \overline{i}-0 \cdot \overline{j}-\overline{k}$, получаем, что $\overline{a}=(3 ; 0 ;-1)$

Пример

Задание. Вектор $\overline{a}$ задан своими координатами: $\overline{a}=(2 ;-1 ; 5)$. Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.

Решение. Координаты вектора — это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе векторов, поэтому искомое разложение:

$\overline{a}=2 \overline{i}-\overline{j}+5 \overline{k}$


Скалярное произведение векторов

Теоретический материал по теме — скалярное произведение векторов.{\circ}=6 \cdot \frac{1}{2}=3$

Пример

Задание. Найти скалярное произведение векторов $\overline{a}=(3 ;-1)$ и $\overline{b}=(-2 ; 7)$

Решение. Скалярное произведение

$\overline{a} \overline{b}=3 \cdot(-2)+(-1) \cdot 7=-6-7=-13$


Векторное произведение векторов

Теоретический материал по теме — векторное произведение векторов.

Пример

Задание. Найти векторное произведение векторов $\overline{a}=(6 ; 7 ; 10)$ и $\overline{b}=(8 ; 5 ; 9)$

Решение. Составляем определитель и вычисляем его:

$\overline{a} \times \overline{b}=\left| \begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {6} & {7} & {10} \\ {8} & {5} & {9}\end{array}\right|=\overline{i} \left| \begin{array}{cc}{7} & {10} \\ {5} & {9}\end{array}\right|-\overline{j} \left| \begin{array}{cc}{6} & {10} \\ {8} & {9}\end{array}\right|+\overline{k} \left| \begin{array}{cc}{6} & {7} \\ {8} & {5}\end{array}\right|=$

$=\overline{i}(7 \cdot 9-5 \cdot 10)-\overline{j}(6 \cdot 9-8 \cdot 10)+\overline{k}(6 \cdot 5-8 \cdot 7)=$

$=13 \overline{i}+26 \overline{j}-26 \overline{k}=(13 ; 26 ;-26)$

Смешанное произведение векторов

Теоретический материал по теме — смешанное произведение векторов.

Пример

Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах $\overline{a}=(2 ; 3 ; 5)$, $\overline{b}=(1 ; 4 ; 4)$, $\overline{c}=(3 ; 5 ; 7)$

Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов $\overline{a}$, $\overline{b}$ и $\overline{c}$:

$(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=\left| \begin{array}{lll}{2} & {3} & {5} \\ {1} & {4} & {4} \\ {3} & {5} & {7}\end{array}\right|=2 \cdot 4 \cdot 7+1 \cdot 5 \cdot 5+3 \cdot 4 \cdot 3-$

$-3 \cdot 4 \cdot 5-5 \cdot 4 \cdot 2-1 \cdot 3 \cdot 7=-4$

$$V_{пир}=\frac{1}{6}|(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})|=\frac{1}{6} \cdot 4=\frac{2}{3}$$

Читать первую тему — операции над векторами, раздела векторы.

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.


Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Сумма векторов:

Разность векторов:

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Для точки M:

То есть A + C + D = 0.

Для точки N:

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Упростим систему:

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Итак, AA1 = √3

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор  или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA1 = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A1DB.2\), откуда получаем требуемое равенство.

 

Утверждение

Если в прямоугольной системе координат точка \(M\) – середина отрезка \(PQ\), где \(P(x_1;y_1), \ Q(x_2;y_2)\), то

\[M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}; \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)\]

Доказательство

Пусть \(M(a;b)\).

 

1) Пусть \(PQ\parallel Oy \Rightarrow x_1=x_2=a\). Значит, \(a=\dfrac{x_1+x_2}2=\dfrac{a+a}2\) – верно.

 

Т.к. \(PM=MQ\), следовательно, \(|y_2-b|=|y_1-b| \Rightarrow y_2-b=y_1-b\) или \(y_2-b=b-y_1\), что равносильно \(y_2=y_1\) или \(b=\dfrac{y_1+y_2}2\). Первое равенство невозможно (т.к. тогда точки \(P\) и \(Q\) совпадают).

 

2) Случай \(PQ\parallel Ox \Rightarrow y_1=y_2=b\) доказывается аналогично.

 

3) \(x_1\ne x_2, y_1\ne y_2\).


 

Тогда \(Ma=b\) – средняя линия трапеции \(x_1PQx_2\), следовательно, равна полусумме оснований, то есть \(b=\dfrac{y_1+y_2}2\).

 

Аналогично \(a=\dfrac{x_1+x_2}2\).  

\[{\Large{\text{Векторы на координатной плоскости}}}\]

Лемма

Если векторы \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) коллинеарны, то существует такое число \(\lambda\ne 0\), что \(\overrightarrow a=\lambda\overrightarrow b\).

 

Доказательство

1) Если \(\overrightarrow a\uparrow \uparrow \overrightarrow b\).

 

Рассмотрим вектор \(\dfrac1{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\). Данный вектор сонавправлен с \(\overrightarrow a\), а его длина равна \(1\). Тогда вектор \(\dfrac{|\overrightarrow b|}{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\) также сонаправлен с \(\overrightarrow a\), но его длина равна \(|\overrightarrow b|\). То есть равен вектору \(\overrightarrow b\).

 

2) Если \(\overrightarrow a\uparrow \downarrow \overrightarrow b\).

 

Аналогично доказывается, что \(\overrightarrow b=-\dfrac{|\overrightarrow b|}{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\).

 

Определение

Если вектор \(\overrightarrow p\) представлен как линейная комбинация двух векторов: \(\overrightarrow p=\alpha\overrightarrow a+\beta \overrightarrow b\), то говорят, что вектор \(\overrightarrow p\) разложен по векторам \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\).

 

\(\alpha, \beta\) – коэффициенты разложения.  

Пусть векторы \(\overrightarrow i\), \(\overrightarrow j\) – векторы, длины которых равны \(1\), а направление совпадает с направлением осей \(Ox\) и \(Oy\) соответственно. Такие векторы называются единичными векторами.

 

Тогда если \(\overrightarrow p=a\overrightarrow i+b\overrightarrow j\), то \(\{a;b\}\) – координаты вектора \(\overrightarrow p\).


 

Свойства координат вектора

1. Равные векторы имеют равные координаты.

 

2. Координаты суммы векторов равны сумме координат каждого вектора: если \(\overrightarrow a\{x_1;y_1\}, \ \overrightarrow b\{x_2;y_2\}\), то \(\overrightarrow a+\overrightarrow b=\{x_1+x_2;y_1+y_2\}\).

 

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты данного вектора на это число: \(\overrightarrow a\{x;y\}, \ \lambda \) – число, то \(\lambda\overrightarrow a\{\lambda x;\lambda y\}\).2}\).  

\[{\Large{\text{Скалярное произведение векторов}}}\]

Определение

Пусть от одной точки отложены два вектора \(\overrightarrow {AB}\) и \(\overrightarrow {AC}\). Тогда угол между этими векторами – это угол \(\angle BAC\), не превышающий развернутого угла.


 

Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) – это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначение: \(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\) или \((\overrightarrow a, \overrightarrow b)\). \[(\overrightarrow a, \overrightarrow b)=|\overrightarrow a|\cdot |\overrightarrow b|\cdot \cos\widehat{(\overrightarrow a, \overrightarrow b)}\]

Следствия

1. Если ненулевые векторы взаимно перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю, следовательно, и их скалярное произведение равно нулю.

 

2. Если угол между ненулевыми векторами острый, то скалярное произведение положительно.2=0 \Leftrightarrow |\overrightarrow a|=0\).

 

2. Переместительный закон: \(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow a\).

 

3. Распределительный закон: \(\overrightarrow a \cdot (\overrightarrow b+\overrightarrow c)=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c\).

 

4. Сочетательный закон: \((\lambda\overrightarrow a)\cdot \overrightarrow b=\lambda (\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b)\).

примеры и решения, формулы и теоремы

Длина вектора — основные формулы

Длину вектора a→ будем обозначать a→. Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан некоторый вектор a→ с координатами ax;ay. Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a→ через координаты ax и ay.

От начала координат отложим вектор OA→=a→. Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как Ax и Ay . Теперь рассмотрим прямоугольник OAxAAy с диагональю OA.

Из теоремы Пифагора следует равенство OA2=OAx2+OAy2, откуда OA=OAx2+OAy2. Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что OAx2=ax2 и OAy2=ay2, а по построению длина OA равна длине вектора OA→, значит, OA→=OAx2+OAy2.

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay имеет соответствующий вид: a→=ax2+ay2.

Если вектор a→ дан в виде разложения по координатным векторам a→=ax·i→+ay·j→, то вычислить его длину можно по той же формуле a→=ax2+ay2, в данном случае коэффициенты ax и ay выступают в роли координат вектора a→ в заданной системе координат.

Пример 1

Вычислить длину вектора a→=7;e, заданного в прямоугольной системе координат.

Решение

Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатамa→=ax2+ay2: a→=72+e2=49+e

Ответ: a→=49+e.

Формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay;az по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

В данном случае OA2=OAx2+OAy2+OAz2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда OA=OAx2+OAy2+OAz2. Из определения координат вектора можем записать следующие равенства OAx=ax; OAy=ay; OAz=az; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, OA→=OAx2+OAy2+OAz2.

Отсюда следует, что длина вектора a→=ax;ay;az равна a→=ax2+ay2+az2.

Пример 2

Вычислить длину вектора a→=4·i→-3·j→+5·k→, где i→,j→,k→ — орты прямоугольной системы координат.

Решение

Дано разложение вектора a→=4·i→-3·j→+5·k→, его координаты равны a→=4,-3,5. Используя выше выведенную формулу получим a→=ax2+ay2+az2=42+(-3)2+52=52.

Ответ:a→=52.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A(ax;ay) и B(bx;by), отсюда вектор AB→ имеет координаты (bx-ax; by-ay)значит, его длина может быть определена по формуле: AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2

А если даны точки с заданными координатами A(ax;ay;az) и B(bx;by;bz) в трехмерном пространстве, то длину вектора AB→ можно вычислить по формуле

AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2

Пример 3

Найти длину вектора AB→, если в прямоугольной системе координат A1, 3, B-3, 1.

Решение

Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2: AB→=(-3-1)2+(1-3)2=20-23.

Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: AB→=(-3-1; 1-3)=(-4; 1-3); AB→=(-4)2+(1-3)2=20-23.-

Ответ: AB→=20-23.

Пример 4

Определить, при каких значениях  длина вектора AB→ равна 30, еслиA(0, 1, 2); B(5, 2, λ2) .

Решение

Для начала распишем длину вектора AB→ по формуле: AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2=(5-0)2+(2-1)2+(λ2-2)2=26+(λ2-2)2

Затем полученное выражение приравняем к 30, отсюда найдем искомые λ:

 26+(λ2-2)2=3026+(λ2-2)2=30(λ2-2)2=4λ2-2=2 или λ2-2=-2  λ1=-2, λ2=2, λ3=0.

Ответ: λ1=-2, λ2=2, λ3=0.

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов AB→, AC→ и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора BC→ или CB→. В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ABC, вычислить длину стороны BC, которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Пример 5

Длины векторов AB→ и AC→ равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π3. Вычислить длину вектора BC→.

Решение

Длина вектора BC→ в данном случае равна длине стороны BC треугольника △ABC. Длины сторон AB и AC треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов:BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos∠(AB,→AC→)=32+72-2·3·7·cosπ3=37 ⇒BC=37 Таким образом, BC→=37.

Ответ:BC→=37.

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a→=ax2+ay2 или a→=ax2+ay2+az2, по координатам точек начала и конца вектора AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2 или AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2, в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Урок 2. скалярное произведение векторов — Геометрия — 11 класс

Геометрия, 11 класс

Урок № 2. Скалярное произведение векторов

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— ввести понятие угла между векторами и скалярного произведения векторов, рассмотреть формулу скалярного произведения в координатах;

— показать применение скалярного произведения векторов при решение задач.

— рассмотреть основные свойства скалярного произведения;

— сформировать умения вычислять скалярное произведение векторов и находить угол между векторами;

— показать, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью.

Глоссарий по теме:

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Формула вычисления скалярного произведения векторов по определению:

Формула вычисления скалярного произведения векторов через координаты:

Основная литература:

Гусева В.А., Куланин Е.Д. Геометрия. Профильный уровень. 10 класс — М.: Бином, 2010 — с. 130-148

Погорелов А.В. Геометрия. Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. Учреждение — 13-е изд-е. — М.: Просвещение, 2014. — с. 51-52

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7-9 кл. 20-е изд-е. — М.: Просвещение, 2010. — с. 259-270.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Работа по теме урока. Объяснение новой темы

Угол между векторами

Если векторы не являются сонаправленными, то лучи ОА и ОB образуют угол АОВ.

Определение: Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Скалярное произведение векторов:

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Запишем формулу:

Доказательство утверждений:

Утверждение1. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Утверждение2. Скалярный квадрат вектора  равен квадрату его длины. 

Формула скалярного произведения двух векторов  и 

Через их координаты 

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

 

Угол между векторами.

Косинус угла между векторами пространства  , заданными в ортонормированном базисе  , выражается формулой

Сформулируем основные свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов  и любого числа k справедливы равенства:

1)  причем  при 

2)   (переместительный закон).

3)   (распределительный закон).

4)  (сочетательный закон).

Вычисление углов между прямыми и плоскостями.

Угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны координаты направляющих векторов.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Дано:  прямоугольный параллелепипед, где . Найти  и .

Решение: ранее в таких случаях мы пытались по рисунку находить величины углов.

Но теперь мы владеем формулой косинуса угла между прямыми.

Только для этого необходимо знать координаты направляющих векторов прямых. В данном случае, для прямой BD  направляющим может является вектор BD , а для прямой 
 CD- CD вектор (рис. 15)

Для удобства изобразим прямоугольную систему координат так, чтобы точка B совпадала с точкой начала координат. Взяв длину рёбер AB и BC за единичные отрезки, можно утверждать, что длина отрезка BB равна 2.

Тогда не трудно определить координаты точек B, D, C и D1.

Точка B(0;0;0). Точка D(1;1;0). Точка C(0;1;0) . А точка D(1;1;2).

Теперь не трудно найти координаты векторовBD и CD как разности соответствующих координат конца и начала вектора.

Получаем, что вектор BD {1-0;1-0;0-0}. А вектор

CD{1-0;1-1;2-0}.

Теперь можем воспользоваться формулой косинуса угла между прямыми. Подставим координаты направляющих векторов.

Рис. 15

Ответ:

Пример 2.

Дано: DABC – пирамида; DA ⊥ DB ⊥ DCDA = DB = DC = а.

Найдите: косинус угла между прямыми DC и CM (СМ – высота треугольника АВС), поставьте ему в соответствие верный вариант ответа из предложенных ниже:

Решение:

Треугольник АВС правильный, поэтому тоска М является серединой стороны АВ.

Введем систему координат как показано на рисунке.

Найдем координаты векторов

Применив формулу косинуса угла между векторами, получим .

Ответ:

Векторов — Математика A-Level Revision

Векторная величина имеет как величину, так и направление. Ускорение, скорость, сила и перемещение — все это примеры векторных величин. Скалярная величина имеет только величину (поэтому направление не имеет значения). Примеры включают скорость, время и расстояние.

Единичные векторы

Единичный вектор — это вектор, который имеет величину 1. Обычно используются три важных единичных вектора, и это векторы в направлении осей x, y и z.Единичный вектор в направлении оси x равен i , единичный вектор в направлении оси y равен j , а единичный вектор в направлении оси z равен k .

Запись векторов в этой форме может облегчить работу с векторами.

Величина вектора

Величину вектора можно найти с помощью теоремы Пифагора .

Обозначим величину вектора a через | a |

Векторы положения

Векторы положения — это векторы, определяющие положение точки относительно фиксированной точки (начала координат).

Например, точки A, B и C являются вершинами треугольника с векторами положения a , b и c соответственно:

Вы можете рисовать в исходной точке, где хотите.

Обратите внимание, что = — a + b = b a , потому что вы можете добраться от A до B, перейдя от A к O, а затем перейдя от O к B.

Векторное уравнение прямой

Векторное уравнение прямой, проходящей через точку a и в направлении d :

Это означает, что для любого значения t точка r является точкой на прямой.

Если нам даны векторные уравнения двух разных линий, мы сможем определить, где пересекаются линии, из их уравнений.

Пример

Найдите, где пересекаются прямые с уравнениями r = i + j + t (3 i j ) и r = — i + s ( j ).

Когда они пересекаются, мы можем приравнять уравнения друг другу:

i + j + t (3 i j ) = — i + s ( j )

Коэффициенты приравнивания:
1 + 3t = -1 и 1 — t = s
Итак, t = -2/3 и s = 5/3

Таким образом, вектор положения точки пересечения задается путем подстановки t = -2/3 или s = 5/3 в одно из приведенных выше уравнений.Это дает — i +5 j /3.

Скалярное произведение

Предположим, у нас есть два вектора:

a i + b j + c k и d i + e j + f k , то их скалярное (или точечное) произведение: ad + be + fc. Итак, умножьте коэффициенты i вместе, коэффициенты j вместе и коэффициенты k вместе и сложите их все.

Обратите внимание, что это скалярное число (не вектор).

Запишем скалярное произведение двух векторов a и b как a · b .

Пример

Если a = i + 4 j -2 k и b = 2 i + 4 j + 6 k , то a · b = 2 + 16 — 12 = 6

Угол между двумя векторами

Мы можем использовать скалярное произведение, чтобы найти угол между двумя векторами, благодаря следующей формуле:

Важным фактом является то, что два вектора перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.Это потому, что если q = 90 градусов выше, то a · b = 0.

В этом видео рассматриваются векторы и скаляры.

Величина и направление векторов

Величина вектора

Величина вектора п Q → это расстояние между начальной точкой п и конечная точка Q . В символах величина п Q → записывается как | п Q → | .

Если заданы координаты начальной и конечной точек вектора, то Формула расстояния можно использовать для определения его величины.

| п Q → | знак равно ( Икс 2 — Икс 1 ) 2 + ( у 2 — у 1 ) 2

Пример 1:

Найдите величину вектора п Q → чья начальная точка п Я сидел ( 1 , 1 ) и конечная точка находится в Q Я сидел ( 5 , 3 ) .

Решение:

Используйте формулу расстояния.

Подставьте значения Икс 1 , у 1 , Икс 2 , а также у 2 .

| п Q → | знак равно ( 5 — 1 ) 2 + ( 3 — 1 ) 2 знак равно 4 2 + 2 2 знак равно 16 + 4 знак равно 20 ≈ 4.5

Величина п Q → около 4.5 .

Направление вектора

Направление вектора — это мера угла, который он образует с горизонтальная линия .

Для определения направления вектора можно использовать одну из следующих формул:

загар θ знак равно у Икс , где Икс горизонтальное изменение и у это вертикальное изменение

или же

загар θ знак равно у 2 — у 1 Икс 2 — Икс 1 , где ( Икс 1 , у 1 ) начальная точка и ( Икс 2 , у 2 ) конечная точка.

Пример 2:

Найдите направление вектора п Q → чья начальная точка п Я сидел ( 2 , 3 ) и конечная точка находится в Q Я сидел ( 5 , 8 ) .

Даны координаты начальной и конечной точек.Подставьте их в формулу загар θ знак равно у 2 — у 1 Икс 2 — Икс 1 .

загар θ знак равно 8 — 3 5 — 2 знак равно 5 3

Найдите обратный загар и воспользуйтесь калькулятором.

θ знак равно загар — 1 ( 5 3 ) ≈ 59 °

Вектор п Q → имеет направление около 59 ° .

Векторные уравнения

Угол между двумя плоскостями

Найден угол между двумя плоскостями
используя скалярное произведение.
Он равен острому углу, определяемому
векторы нормали к плоскостям.

Пример

Рассчитать угол между плоскостями
π 1 : х + 2y -2z = 5
и π 2 : 6x -3y + 2z = 8

Расстояние между параллельными плоскостями

Пусть P будет точкой на плоскости π 1 : ax + by + cz = n
а.х = п

а Q — точка на плоскости π 2 : ax + by + cz = m
п. X =

м

Поскольку плоскости параллельны, они имеют общую нормаль: a
a = (a i + b j + c k )

Расстояние между самолетами

Пример

Рассчитать расстояние между плоскостями
π 1 : x + 2y — 2z = 5
и π 2 : 6x + 12y — 12z = 8

Копланарные векторы

Если существует связь между векторами a , b и c
так что c = λ a + μ b , где λ и μ — константы ,
, тогда векторы a, b и c копланарны.

Если три вектора копланарны,
c = λ a + μ b

Векторное уравнение плоскости

Из копланарного сечения выше
c = λ a + μ b

Когда используются векторы положения,

r = (1-λ-u) a + λ b + μ c — векторное уравнение плоскости .

Поскольку λ и b переменные, будет много возможных уравнений для плоскости.

Эффекты изменения λ и μ

Пример

Найдите векторное уравнение плоскости через точки
A (-1, -2, -3), B (-2,0,1) и C (-4, -1, -1)

Если λ = 2 и μ = 3

Когда A — известная точка на плоскости,
R — любая старая точка на плоскости, а b и c — векторы
. параллельно плоскости,

векторное уравнение плоскости :
r = a + λ b + μ c

Уравнения линии

Линия может быть описана, когда на ней есть точка и
его вектор направления — вектор, параллельный прямой — известны.

На схеме ниже линия L проходит через точки
A (x 1 , y 1 , z 1 ) и P (x, y, z).

u — вектор направления a i + b j + c k
Находясь на линии, он имеет то же направление, что и
любая параллельная линия.

O — происхождение.
a и p представляют собой векторы положения A и P.

Пример

Найдите векторное уравнение прямой, проходящей через
(3,2,1), которая параллельна вектору 2 i +3 j +4 k

Пример
Найти векторную форму уравнения
прямая, которая имеет параметрические уравнения

Пример

Найдите декартову форму прямой, у которой
вектор положения 3 i +2 j + k и параллелен
вектор i j + k

Пример

Найдите векторное уравнение прямой, проходящей через
через A (1,2,3) и B (4,5,6)

Пример

Пример

Угол между прямой и плоскостью

Угол θ между прямой и плоскостью равен
дополнение угла между линией и
нормаль к плоскости.

Если линия имеет вектор направления u и
перпендикулярно плоскости a, затем

Пример

1)

2)

Пересечение двух прямых

Пример


Пересечение двух плоскостей


Найти уравнения линии пересечения
двух плоскостей, вектора направления и точки
на линии не требуется.

Так как линия пересечения лежит в обеих плоскостях,
вектор направления параллелен векторным произведениям
нормали каждой плоскости.

Пример

Найдите уравнение для линии пересечения
самолетов

-3x + 2y + z = -5
7x + 3y — 2z = -2

Расстояние от точки до плоскости

Чтобы найти расстояние от точки P до плоскости

  1. Найдите уравнение проекции PP ’, используя
    нормаль к плоскости и точка P.
  2. Найдите координаты P ’, перекресток
    с самолетом.
  3. Примените формулу расстояния к PP ’

Альтернативно

Пример

Найти расстояние между точкой (3,1, -2)
и плоскость x + 2y + 2z = — 4

Альтернативно

Расстояние от точки до линии

Чтобы найти расстояние от точки P до линии L

  1. Пусть линия имеет вектор направления u и параметр λ
  2. Найдите координаты PP ’, используя скалярное произведение с u
    и точка P.
  3. Примените формулу расстояния к PP ’

Пересечение трех плоскостей

Чтобы решить пересечение,
использовать уравнения плоскости ax + by + cz + d = 0
для формирования расширенной матрицы, которая решается
для x, y и z.

Пересечение трех плоскостей может быть:

Одна точка

Найдено уникальное решение

Пример

Линия пересечения

Существует бесконечное количество решений

Пример

Параметрические уравнения

Две линии пересечения

Бесконечное количество решений

Пример

Использование второй строки

Заменить в первую строку

Подставить в третье уравнение

Три линии пересечения
Аналогично описанному выше.
Осмотрите каждую пару самолетов по очереди.

Пример

Плоскость пересечения

Два повторяющихся уравнения

Пример

Нет согласованности

Перекресток запрещен

Пример

Нет согласованности

Все плоскости параллельны



© Александр Форрест

Угол между двумя векторами — объяснение и примеры

Векторы, в частности направление векторов и углы, на которые они ориентированы, имеют большое значение в векторной геометрии и физике.Если есть два вектора, скажем a и b в плоскости так, что хвосты обоих векторов соединены, тогда существует некоторый угол между ними, и этот угол между двумя векторами определяется как:

« Угол между двумя векторами — это кратчайший угол, на который любой из двух векторов поворачивается относительно другого вектора, так что оба вектора имеют одинаковое направление».

Кроме того, это обсуждение фокусируется на поиске угла между двумя стандартными векторами, что означает, что их начало находится в (0, 0) в плоскости x-y.

В этой теме кратко обсудим следующие пункты:

  • Какой угол между двумя векторами?
  • Как узнать угол между двумя векторами?
  • Угол между двумя двумерными векторами.
  • Угол между двумя трехмерными векторами.
  • Примеры.
  • Проблемы.

Угол между двумя векторами

Векторы ориентированы в разных направлениях, образуя разные углы.Этот угол существует между двумя векторами и отвечает за определение возведения векторов.

Угол между двумя векторами можно найти с помощью векторного умножения. Существует два типа умножения векторов, то есть скалярное произведение и перекрестное произведение .

Скалярное произведение — это произведение или произведение двух векторов, которое дает скалярную величину. Как следует из названия, векторное произведение или кросс-произведение дает векторную величину за счет произведения или умножения двух векторов.

Например, если мы говорим о движении теннисного мяча, его положение описывается вектором положения, а движение — вектором скорости, длина которого указывает скорость мяча. Направление вектора объясняет направление движения. Точно так же импульс шара также является примером векторной величины, которая равна массе, умноженной на скорость.

Иногда нам приходится иметь дело с двумя векторами, действующими на какой-то объект, поэтому угол вектора имеет решающее значение. В реальном мире любая рабочая система объединяет несколько векторов, связанных друг с другом, и образует несколько углов друг с другом в заданной плоскости.Векторы могут быть двухмерными или трехмерными. Следовательно, необходимо вычислить угол между векторами.

Давайте сначала обсудим скалярные произведения.

Угол между двумя векторами с использованием точечного произведения

Рассмотрим два вектора a и b , разделенных некоторым углом θ. Тогда по формуле скалярного произведения это:

a.b = | a | | b | .cosθ

, где a.b — скалярное произведение двух векторов.| а | и | b | — величина векторов a, и b, и θ — угол между ними.

Чтобы найти угол между двумя векторами, мы начнем с формулы скалярного произведения, которая дает косинус угла θ.

Согласно формуле скалярного произведения,

a.b = | a | | b | .cosθ

Это означает, что скалярное произведение двух векторов a и b равно величине двух векторов a и b, умноженной на косинус угла.Чтобы найти угол между двумя векторами, a и b, мы решим угол θ,

cosθ = а.б / | а |. | б |

θ = arccos ( a.b / | a |. | B |)

Итак, θ — это угол между двумя векторами.

Если вектор a = и b = ,

Тогда скалярное произведение между двумя векторами a и b задается как,

a.b = .

а.b = ax.bx + ay.by

Здесь у нас может быть пример выполненной работы, поскольку выполненная работа определяется как сила, прикладываемая для перемещения объекта на некоторое расстояние. И сила, и смещение являются векторами, и их скалярное произведение дает скалярную величину, то есть , работа. Проделанная работа — это скалярное произведение силы и смещения, которое можно определить как

.

Ф. d = | F | | d | cos (θ)

Где θ — угол между силой и смещением. Например, если мы рассматриваем автомобиль, движущийся по дороге, преодолевая некоторое расстояние в определенном направлении, на автомобиль действует сила, тогда как сила составляет некоторый угол θ со смещением.

Ниже приведены некоторые свойства скалярного произведения:

  • Скалярное произведение является коммутативным по своей природе.
  • По своей природе он является распределительным по сравнению с векторным сложением:

а. (б + в) = (а. б) + (а. в)

  • Неассоциативный по своей природе.
  • 4. Скалярная величина может быть умножена на скалярное произведение двух векторов.

г. (а. б) = (в а). б = а. (в б)

  • Скалярное произведение является максимальным, когда два ненулевых вектора параллельны друг другу.
  • 6. Два вектора перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда a. b = 0, поскольку скалярное произведение — это косинус угла между двумя векторами a и b, а cos (90) = 0.
  • Для единичных векторов

и. я = 1

Дж. j = 1

к. к = 1

  • Точечное умножение не соответствует закону отмены

a. б = а. с

а. (б — в) = 0

Точно так же для этой цели мы можем использовать перекрестные произведения.

Формула перекрестного произведения выглядит следующим образом:

а х Ь = | а |. | Ь | .sinθ. n

Давайте сначала оценим угол между двумя векторами с помощью скалярного произведения.

Пример 1

Найдите угол между двумя векторами, имеющими равную величину, и величина их результирующего вектора эквивалентна величине любого из данных векторов.

Решение

Рассмотрим два вектора: A, и B, , и результат двух векторов равен R .2 = (1 + соз (θ))

1/2 = 1 + cos (θ)

1/2 — 1 = cos (θ)

-1 / 2 = cos (θ)

θ = cos-1 (-1 / 2)

θ = 120º

Итак, угол между двумя векторами, имеющими одинаковую величину, равен 120º.

Пример 2

Найдите угол между двумя векторами одинаковой величины. Также вычислите величину результирующего вектора.

Решение

Принято, что,

| A | = | B |

Использование закона косинуса для вычисления величины результирующего вектора R .2 (θ / 2))

| R | = 2 А cos (θ / 2)

Теперь для вычисления результирующего угла α, который он составит с первым вектором,

тангенс угла α = (A sin θ) / (A + A cos θ)

tan α = (2 A cos (θ / 2). Sin (θ / 2) / (2 A cos2 (θ / 2))

тангенс угла α = тангенс угла (θ / 2)

α = θ / 2

Следовательно, это показывает, что результат делит угол между двумя векторами равной величины пополам.

Пример 3

Найдите угол между заданными двумя векторами.2)

| B | = √ (9 + 64 + 4)

| B | = √ (77)

Теперь, найдя скалярное произведение,

A.B = (6 i + 5 j +7 k ). (3 i + 8 j + 2 k )

A.B = 18 + 40 + 14

A.B = 72

Подставляя в формулу скалярного произведения,

72 = (√ (110)). (√ (77)). cos (θ)

72 / (√ (110 x 77)) = cos (θ)

cos (θ) = 0.78

θ = cos-1 (0,78)

θ = 51,26º

Пример 4

Найти угол между заданными двумя векторами

A = <4, 3, 2>

B = <1, 2, 5>

Решение

Используйте формулу скалярного произведения,

А. 2)

| B | = √ (1 + 4 + 25)

| B | = √ (30)

Теперь, найдя скалярное произведение,

А.B = <4, 3, 2>. <1, 2, 5>

A.B = 4 + 6 + 10

A.B = 20

Подставляя в формулу скалярного произведения,

20 = (√ (29)). (√ (30)). cos (θ)

20 / (√ (29 x 30)) = cos (θ)

cos (θ) = 0,677

θ = cos-1 (0,677)

θ = 42,60º

Угол между двумя векторами с использованием перекрестного произведения

Другой метод определения угла между двумя векторами — это векторное произведение.Перекрестное произведение определяется как:

«Вектор, перпендикулярный векторам и направлению, задается правилом правой руки.

Итак, кросс-произведение математически представляется как,

a x b = | a | | б | . sin (θ) n

Где θ — угол между двумя векторами, | a | и | b | — величины двух векторов a, и b, и n. — единичный вектор, перпендикулярный плоскости, содержащий два вектора a и b в направлении, заданном правилом правой руки.

Рассмотрим два вектора a и b , хвосты которых соединены вместе и, следовательно, образуют некоторый угол θ. Чтобы найти угол между двумя векторами, мы будем манипулировать вышеупомянутой формулой перекрестного произведения.

( a x b ) / (| a |. | B |) = sin (θ)

Если данные векторы a и b параллельны друг другу, то согласно вышеупомянутой формуле перекрестное произведение будет равно нулю, так как sin (0) = 0.Имея дело с перекрестным произведением, мы должны быть осторожны с направлениями.

Ниже приведены некоторые свойства перекрестного произведения:

  • Перекрестное произведение является антикоммутативным по своей природе.
  • Самостоятельное произведение векторов равно нулю.

A x A = 0

  • Перекрестное произведение является распределительным по сложению вектора

a x ( b + c) = ( a x b ) + ( a x c )

  • Неассоциативный по своей природе.
  • Скалярная величина может быть умножена на скалярное произведение двух векторов.

г. ( a x b ) = (c a ) x b = a x (c b )

  • Точечное произведение является максимальным, когда два ненулевых вектора перпендикулярны друг другу.
  • Два вектора параллельны (т.е. если угол между двумя векторами равен 0 или 180) друг другу тогда и только тогда, когда axb = 1, поскольку перекрестное произведение является синусом угла между двумя векторами a и b и синусом (0 ) = 0 или синус (180) = 0.
  • Для единичных векторов

i x i = 0

j x j = 0

к x к = 0

i x j = k

j x k = i

k x i = j

  • Перекрестное умножение не соответствует закону отмены

a x b = a x c

a x ( b — c ) = 0

Это некоторые из свойств перекрестного произведения.2) = 1/5

Теперь, подставив в формулу,

| а х б | = | а | | б | грех θ

1/5 = (1) (1) грех θ

θ = грех-1 (1/5)

θ = 30º

Пример 6

Вычислите угол между двумя векторами так, чтобы a = 3 i -2 j -5 k и b = i + 4 j -4 k , где a x b = 28 i + 7 j + 14 k .2)

| b | = √ (1 + 16 + 16)

| b | = √ (33)

Принимая во внимание, что величина a x b задается как

.

| а х б | = √ ((28) 2 + (7) 2 + (14))

| а х б | = √ (1029)

| а х б | = 32,08

Теперь, подставив в формулу,

| а х б | = | а | | б | грех θ

32,08 = (√ (38)) (√ (33)) sin θ

грех θ = 32,08 / (√ (38)) (√ (33))

θ = 64,94º

Итак, угол между двумя векторами a, и b равен θ = 64.94º.

Векторы могут быть как двухмерными, так и трехмерными. Метод определения угла в обоих случаях одинаков. Единственное отличие состоит в том, что двумерный вектор имеет две координаты x и y, тогда как трехмерный вектор имеет три координаты x, y и z. В приведенных выше примерах используются как двухмерные, так и трехмерные векторы.

Практические задачи
  1. Учитывая, что | A | = 3 и | B | = 5, где как a. b = 7,5, узнаем угол между двумя векторами.
  2. Вычислите угол между двумя векторами 3i + 4j — k и 2i — j + k.
  3. Вычислите угол между двумя векторами так, чтобы a = 2 i -3 j + 1 k и b = -1 i + 0 j + 5 k , где a x b = -15 i — 11 j — 3 k .
  4. Вычислите угол между двумя векторами так, чтобы a = 2 i + 3 j + 5 k и b = i + 6 j — 4 k , где a . б = 0.
  5. Найдите угол между заданными векторами t = (3, 4) и r = (−1, 6).
  6. Каким будет результирующий вектор R из двух векторов A, и B , имеющих одинаковую величину, если угол между ними равен 90o.

Ответы
  1. 60 °
  2. 85,40 °
  3. 81,36 °
  4. 90 °
  5. 36,30 °
  6. 90 °

Все векторные диаграммы построены с использованием GeoGebra.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Сложение векторов

С векторами и над векторами можно выполнять различные математические операции. Одна из таких операций — сложение векторов. Два вектора можно сложить вместе, чтобы определить результат (или результат). Этот процесс добавления двух или более векторов уже обсуждался в предыдущем разделе. Вспомните в нашем обсуждении законов движения Ньютона, что чистая сила , испытываемая объектом, была определена путем вычисления векторной суммы всех индивидуальных сил, действующих на этот объект.То есть чистая сила была результатом (или результатом) сложения всех векторов силы. Во время этого блока правила суммирования векторов (например, векторов силы) оставались относительно простыми. Обратите внимание на следующие суммы двух векторов силы:

Эти правила суммирования векторов были применены к диаграммам свободного тела, чтобы определить результирующую силу (т. Е. Векторную сумму всех отдельных сил). Примеры приложений показаны на схеме ниже.


В этом модуле задача суммирования векторов будет расширена на более сложные случаи, когда векторы направлены в направлениях, отличных от чисто вертикального и горизонтального направлений. Например, вектор, направленный вверх и вправо, будет добавлен к вектору, направленному вверх и влево. Векторная сумма будет определена для более сложных случаев, показанных на диаграммах ниже.

Существует множество методов для определения величины и направления результата сложения двух или более векторов.В этом уроке будут обсуждаться два метода, которые будут использоваться на протяжении всего модуля:


Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — полезный метод для определения результата сложения двух (и только двух) векторов , образующих прямой угол друг к другу. Этот метод не применим для добавления более двух векторов или для сложения векторов , а не под углом 90 градусов друг к другу.Теорема Пифагора — это математическое уравнение, которое связывает длину сторон прямоугольного треугольника с длиной гипотенузы прямоугольного треугольника.


Чтобы увидеть, как работает метод, рассмотрим следующую задачу:

Эрик покидает базовый лагерь и отправляется в поход на 11 км на север, а затем на 11 км на восток. Определите результирующее смещение Эрика.

В этой задаче требуется определить результат сложения двух векторов смещения, расположенных под прямым углом друг к другу.Результат (или результат) ходьбы на 11 км на север и 11 км на восток — это вектор, направленный на северо-восток, как показано на диаграмме справа. Поскольку смещение на север и смещение на восток расположены под прямым углом друг к другу, теорема Пифагора может использоваться для определения результирующей (то есть гипотенузы прямоугольного треугольника).

Результат сложения 11 км, север плюс 11 км, восток — вектор с величиной 15,6 км. Позже будет обсуждаться метод определения направления вектора.

Давайте проверим ваше понимание с помощью следующих двух практических задач. В каждом случае используйте теорему Пифагора, чтобы определить величину векторной суммы . По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответ.


Использование тригонометрии для определения направления вектора

Направление результирующего вектора часто можно определить с помощью тригонометрических функций.Большинство студентов вспоминают значение полезной мнемоники SOH CAH TOA из своего курса тригонометрии. SOH CAH TOA — мнемоника, которая помогает запомнить значение трех общих тригонометрических функций — синуса, косинуса и тангенса. Эти три функции связывают острый угол в прямоугольном треугольнике с отношением длин двух сторон прямоугольного треугольника. Функция синуса связывает меру острого угла с отношением длины стороны, противоположной углу, к длине гипотенузы.Функция косинуса связывает меру острого угла с отношением длины стороны, прилегающей к углу, к длине гипотенузы. Функция касательной связывает меру угла с отношением длины стороны, противоположной углу, к длине стороны, прилегающей к углу. Три уравнения ниже суммируют эти три функции в форме уравнения.

Эти три тригонометрические функции могут быть применены к задаче туриста, чтобы определить направление общего перемещения туриста.Процесс начинается с выбора одного из двух углов (кроме прямого) треугольника. После выбора угла любую из трех функций можно использовать для определения меры угла. Напишите функцию и выполните соответствующие алгебраические шаги, чтобы найти меру угла. Работа представлена ​​ниже.

После определения меры угла можно определить направление вектора. В этом случае вектор составляет угол 45 градусов относительно востока.Таким образом, направление этого вектора записывается как 45 градусов. (Вспомните ранее в этом уроке, что направление вектора — это угол поворота против часовой стрелки, который вектор делает относительно востока.)


Расчетный угол не всегда соответствует направлению

Мера угла, определенная с помощью SOH CAH TOA, равна , а не всегда направлению вектора. Следующая векторная диаграмма сложения является примером такой ситуации.Обратите внимание, что угол внутри треугольника определен как 26,6 градуса с использованием SOH CAH TOA. Этот угол представляет собой угол поворота на юг, который вектор R делает по отношению к Западу. Тем не менее, направление вектора, выраженное условным обозначением CCW (против часовой стрелки с востока), составляет 206,6 градуса.

Проверьте свое понимание использования SOH CAH TOA для определения направления вектора, попробовав следующие две практические задачи.В каждом случае используйте SOH CAH TOA для определения направления результирующего. По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответ.

В приведенных выше задачах величина и направление суммы двух векторов определяется с помощью теоремы Пифагора и тригонометрических методов (SOH CAH TOA). Процедура ограничивается сложением двух векторов, образующих прямые углы друг к другу.Когда два вектора, которые должны быть добавлены, не находятся под прямым углом друг к другу, или когда необходимо сложить более двух векторов, мы будем использовать метод, известный как метод сложения векторов голова к хвосту. Этот метод описан ниже.

Использование масштабированных векторных диаграмм для определения результата

Величину и направление суммы двух или более векторов можно также определить с помощью точно нарисованной масштабированной векторной диаграммы.Используя масштабированную диаграмму, метод «голова к хвосту» используется для определения векторной суммы или результата. Обычная физическая лаборатория включает векторных прогулок . Либо используя смещения сантиметрового размера на карте, либо смещения метрового размера на большой открытой местности, ученик выполняет несколько последовательных смещений, начиная с назначенной начальной позиции. Предположим, вам дали карту вашего района и 18 направлений, по которым вам нужно следовать. Начиная с домашней базы , эти 18 векторов смещения можно было бы сложить вместе последовательно, чтобы определить результат сложения набора из 18 направлений.Возможно, первый вектор измеряется 5 см, восток. Когда это измерение закончится, начнется следующее измерение. Процесс будет повторяться для всех 18 направлений. Каждый раз, когда одно измерение заканчивалось, начиналось следующее измерение. По сути, вы использовали бы метод сложения векторов «голова к хвосту».

Метод «голова к хвосту» включает рисование вектора для масштабирования на листе бумаги, начиная с заданной начальной позиции.Там, где заканчивается голова этого первого вектора, начинается хвост второго вектора (таким образом, метод «голова к хвосту» ). Процесс повторяется для всех добавляемых векторов. После того, как все векторы были добавлены «голова к хвосту», результирующий результат протягивается от хвоста первого вектора к началу последнего вектора; т.е. от начала до конца. После того, как результат нарисован, его длину можно измерить и преобразовать в реальных единиц, используя заданный масштаб. Направление полученного результата можно определить, используя транспортир и измерив его угол поворота против часовой стрелки с востока.

Пошаговый метод применения метода «голова к хвосту» для определения суммы двух или более векторов приведен ниже.

  1. Выберите масштаб и укажите его на листе бумаги. Наилучший выбор масштаба — такой, при котором диаграмма будет как можно больше, но при этом умещается на листе бумаги.
  2. Укажите начальную точку и нарисуйте первый вектор в масштабе в указанном направлении. Обозначьте величину и направление шкалы на диаграмме (например,г., МАСШТАБ: 1 см = 20 м).
  3. Начиная с того места, где заканчивается голова первого вектора, нарисуйте второй вектор для масштабирования в указанном направлении. Обозначьте величину и направление этого вектора на диаграмме.
  4. Повторите шаги 2 и 3 для всех добавляемых векторов
  5. Нарисуйте результат от хвоста первого вектора к началу последнего вектора. Обозначьте этот вектор как Resultant или просто R .
  6. Используя линейку, измерьте длину полученного результата и определите его величину путем преобразования в действительные единицы с помощью шкалы (4.4 см х 20 м / 1 см = 88 м).
  7. Измерьте направление результирующей, используя условное обозначение против часовой стрелки, которое обсуждалось ранее в этом уроке.

Пример использования метода «голова к хвосту» проиллюстрирован ниже. Задача заключается в сложении трех векторов:

20 м, 45 град. + 25 м, 300 град. + 15 м, 210 град.

МАСШТАБ: 1 см = 5 м

Метод «голова к хвосту» используется, как описано выше, и определяется результат (выделен красным).Его величина и направление обозначены на схеме.

МАСШТАБ: 1 см = 5 м

Интересно, что порядок, в котором добавляются три вектора, не влияет ни на величину, ни на направление результирующего. Результирующий по-прежнему будет иметь ту же величину и направление. Например, рассмотрим сложение тех же трех векторов в другом порядке.

15 м, 210 град.+ 25 м, 300 град. + 20 м, 45 град.

МАСШТАБ: 1 см = 5 м

При сложении в этом другом порядке эти же три вектора по-прежнему дают результат с той же величиной и направлением, что и раньше (20. м, 312 градусов). Порядок, в котором векторы добавляются с использованием метода «голова к хвосту», не имеет значения.

МАСШТАБ: 1 см = 5 м

Дополнительные примеры сложения векторов методом «голова к хвосту» приведены на отдельной веб-странице.

Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны с ним взаимодействовать! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного приложения «Назови этот вектор», нашего интерактивного элемента «Сложение векторов» или «Интерактивной игры по угадыванию векторов». Все три интерактивных элемента можно найти в разделе «Интерактивная физика» на нашем веб-сайте и обеспечить интерактивный опыт с навыком добавления векторов.


Раздел Формула — Векторная алгебра

Физические величины делятся на две категории — скалярные и векторные величины. Величины, которые имеют только величину, а не какое-либо фиксированное направление, называются Скалярными величинами . Например. Масса, объем, плотность и т. Д. Величины, которые имеют как величину, так и направление.Такие величины называются векторными величинами или векторами. например. Смещение, скорость, ускорение, импульс и т. Д.

Векторы представлены сегментами линии, которые направлены, например, направление стрелки, отмеченной на одном конце, которая обозначает направление, а длина сегмента линии представляет собой величину вектора . Например.

Он обозначает две точки A и B, так что величина вектора равна длине прямой AB, а его направление — от A к B.Здесь точка A называется начальной точкой вектора, а точка B называется конечной точкой (или конечной точкой).

Величина или модуль вектора \ overrightarrow {AB} — это положительное число (> 0), которое является мерой его длины и обозначается | \ overrightarrow {AB} |.



Типы векторов

Нулевой вектор

Вектор, начальная и конечная (конечная) точки которого совпадают друг с другом, называется нулевым вектором (или нулевым вектором) и обозначается как.Нулевому вектору нельзя присвоить определенное направление, так как он имеет нулевую величину. Или, другими словами, он может быть определен как имеющий любое направление.

Векторы представляют нулевой вектор.

Единичный вектор

Вектор, величина которого равна единице (= 1), называется единичным вектором . Единичный вектор обозначается

и = 1

Коинициальные векторы


Два или более вектора, имеющих одинаковую начальную точку или начальную точку, называются коинициальными векторами.

Коллинеарные векторы

Если два или более вектора параллельны друг другу, независимо от их величины и направления. Тогда они будут называться коллинеарными векторами.

Равные векторы

Если два вектора и имеют одинаковую величину и направление независимо от положения их начальных точек, будут называться равными векторами, и это может быть представлено как

Отрицательный вектор

A вектор, величина (длина) которого равна заданному вектору (скажем), но направление противоположно его направлению (начальная и конечная точки меняются местами), называется отрицательным по отношению к данному вектору.

Например, вектор является отрицательным по отношению к вектору и записывается как

Вектор положения

Рассмотрим точку P в трехмерном пространстве, имеющую координаты как (x, y, z) относительно начала координат O (0, 0, 0). И вектор, имеющий O в качестве начальной точки и P в качестве конечной точки, называется вектором положения точки P относительно O.


Используя формулу расстояния, величина (или длина) равно

=

Примечание: Определение вектора, определенное выше, представляет собой такой тип векторов, который может подвергаться параллельному смещению без изменения его величины и направления.Такие векторы называются свободными векторами.

Сложение векторов

Вектор просто обозначает смещение чего-либо из точки A в точку B.

Треугольный закон сложения векторов

Рассмотрим ситуацию, когда человек перемещается из точки A в точку B, а затем из точки B в точку C. Чистое смещение, сделанное человеком из точки A в точку C, задается вектором и выражается как

Это известно как закон треугольника сложения векторов .

As,

Если стороны треугольника взяты по порядку, то результат будет равен нулю (нет результата смещения), поскольку начальная и конечная точки совпадают.

Закон сложения векторов параллелограмма

Если два вектора и представлены по величине и направлению двумя соседними сторонами параллелограмма, то их сумма () представлена ​​диагоналями данного параллелограмма, которые совпадают с данными векторами а также .

Теперь давайте рассмотрим параллелограмм ABCD

где, и

, тогда, используя закон сложения векторов треугольника, из треугольника ABC, мы имеем

…………………. (1)

Теперь, поскольку противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны

и

Снова, используя треугольный закон сложения векторов, из треугольника ADC мы имеем

……………………………. (2)

Из (1) и (2) получаем коммутативное свойство

Примечание: Величина не равна сумме величины (длины) и.

(ii) Ассоциативное свойство

Используя закон треугольника, из треугольника PQR, мы имеем

Используя закон треугольника, из треугольника QRS мы имеем

, из треугольника PRS имеем

Используя закон треугольника, из треугольника PQS имеем

Следовательно,

(iii) Аддитивная идентичность

Для любого вектора

(iv) Аддитивная инверсия

Для любого вектора

Задача 1. Если , показывают, что точки P, Q и R коллинеарны.

Решение:

У нас есть,

Используя обратный треугольный закон сложения векторов, мы получаем

и ae либо параллельно, либо коллинеарно. Но Q — общая для них точка.

Итак, и коллинеарны. Следовательно, точки P, Q, R лежат на одной прямой.

Задача 2: B, P, Q, R и A — пять точек на плоскости. Покажите, что сумма векторов и в 3.

Решение:

Использование закона треугольника сложения векторов в △ APB

…………… (1)

Использование закона треугольника сложения векторов в AQB

………………… .. (2)

Используя закон треугольника сложения векторов в △ ARB

……………. (3)

Складывая (1), (2) и (3), получаем

Следовательно, сумма векторов равна 3

Задача 3: Пусть O будет центром правильного шестиугольника CDEFAB. Найдите сумму векторов , и .

Решение:

Согласно свойству шестиугольника, центр правильного шестиугольника делит пополам все диагонали, проходящие через него.

Итак,

и

……………… .. (1)

…………………… .. (2)

…………………… .. (3)

Складывая (1), (2) и (3), мы получаем

Формула сечения

Здесь точки P и Q — это две точки, представленные векторами положения и, соответственно, относительно начала координат. O. Затем отрезок прямой, соединяющий точки P и Q, можно разделить на третью точку, здесь мы говорим R, двумя способами следующим образом:

Здесь мы намерены найти вектор положения для точки R по отношению к происхождение О.Рассмотрим два случая один за другим.

Внутренне

Когда R делит PQ внутренне. Если R делится так, что

, где m и n — положительные значения, мы указываем, что точка R делится внутри в соотношении m: n.

Теперь из треугольников ORQ и OPR, мы имеем

Следовательно, мы можем сделать вывод, что

m = n

При упрощении получаем

Когда R является средней точкой PQ

тогда m = n

Итак, мы получаем

Внешне

Когда R делит PQ внешне.Если R делится так, что

, где m и n — положительные значения, мы говорим, что точка R делится извне в соотношении m: n.

Теперь из треугольников ORQ и OPR, у нас есть

Отсюда можно сделать вывод, что

При упрощении получаем

векторов задачи 1: точек, которые разделяют соединение точек и внутри и снаружи в соотношении 2: 3.

Решение:

Пусть A и B — заданные точки с векторами положения и соответственно.

Пусть P делит соотношение 2: 3 внутри

m = 2 и n = 3

Используя формулу внутреннего сечения,

Вектор положения P =

Вектор положения P =

Положение вектор P =

Вектор положения P =

Теперь позвольте P разделить P в соотношении 2: 3 извне

m = 2 и n = 3

Используя формулу внешнего сечения,

Вектор положения of P =

Вектор положения P =

Вектор положения P =

Вектор положения P =

Задача 2: Если и являются векторами положения точек A и B соответственно, тогда найдите вектор положения точек трисекции AB.

Решение:

Пусть P и Q — точки тройного пересечения. Тогда AP = PQ = QB = k (постоянная переменная)

PB = PQ + QB = k + k = 2k

P делит AB в соотношении 1: 2

Используя формулу внутреннего сечения, где m = 1 и n = 2

Вектор положения P =

Вектор положения P =

Вектор положения P =

Теперь мы можем ясно видеть, что Q является средней точкой PB.

Примените формулу сечения средней точки, которая у нас есть,

Вектор положения Q =

Вектор положения Q =

Вектор положения Q =

Задача 3: Если D является средней точкой стороны BC треугольника ABC, докажите, что

Решение:

Пусть A — начало координат здесь, а векторы положения B и C равны и соответственно.

Поскольку D — это середина BC.

Применяя формулу сечения средней точки, мы получаем

Вектор положения D =

As,

Следовательно, доказано !!

Компоненты вектора

Возьмем точки A (1, 0, 0), B (0, 1, 0) и C (0, 0, 1) на оси x, оси y и z. -оси соответственно. Тогда

= 1, = 1 и = 1

Векторы, и имеют величину единицу или 1, которые называются единичными векторами вдоль осей OX, OY и OZ, соответственно, и обозначаются, и соответственно. .

Рассмотрим вектор положения точки P (x, y, z). Пусть P 1 будет основанием перпендикуляра из P на плоскости XY.

Отсюда мы видим, что P 1 P параллельна оси z. As, и являются единичными векторами вдоль осей x, y и z, соответственно, и по определению координат P, мы имеем

Используя закон треугольника, из треугольника OQP 1 , у нас есть

Используя закон треугольника, из треугольника OP 1 P, мы имеем

Следовательно, вектор положения P относительно O выглядит следующим образом:

Длина

Длина вектора,

OP 1 2 = OQ 2 + QP 1 2 (Используя теорему Пифагора)

OP1 2 = x 2 + y 2

и в прямоугольный треугольник OP 1 P, имеем

OP 2 = OP 1 2 + PP 1 2

OP 2 = x 2 + y 2 + з 2

OP =

Следовательно, длина вектора

Если и являются двумя векторами как и тогда,

Сумма

Разница

9 a 1 = a 2 , b 1 = b 2 и c 1 = c 2

Умножение вектора на любой скаляр k равно

902 902 Вектор, соединяющий две точки

Если P (x 1 , y 1 , z 1 ) и Q (x 2 , y 2 , z 2 ) — любые две точки, то вектор соединение P и Q является вектором

Соединяя точки P и Q с началом O и применяя закон треугольника, из треугольника OPQ, мы имеем

Используя свойства сложения векторов, приведенное выше уравнение становится

9000 2

Следовательно, величина выглядит следующим образом:

Задача 1. Найдите значения x, y и z так, чтобы векторы и были равны.

Решение:

Два вектора и равны, если и только если

a 1 = a 2 , b 1 = b 2 и c 1 = c 2

, значения x = 2, y = 2 и z = 1.

Задача 2: Найдите величину вектора

Решение:

As, у нас есть

= 7

Задача 3: Найдите единичный вектор данного вектора как 9000

Решение:

Пусть,

= 7

Итак, единичный вектор в направлении задается как,

Задача 4: Найти единичный вектор задан вектор как , где точки P (1,2,3) и Q (4,5,6).

Решение:

Вектор положения P (1,2,3) =

Вектор положения Q (4,5,6) =

= —

Теперь величина

= 3√3

Итак, единичный вектор в направлении задается выражением,

Задача 5. Покажите, что вектор и коллинеарны.

Решение:

Let, и

As, мы можем видеть

Это означает, что

Следовательно, и коллинеарны.

Задача 6: Если A (2,0,0), B (0,1,0), C (0,0,2) имеют векторы положения, покажите, что △ ABC — равнобедренный треугольник.

Решение:

Вектор положения A (2,0,0) =

Вектор положения B (0,1,0) =

Вектор положения C (0,0,2 ) =

=

Теперь, величина

=

Теперь величина

.

Следовательно, △ ABC — равнобедренный треугольник.

Массивы и векторы Excel


Этот материал о массивах и векторах включает три концепции:

  1. Структуры Excel, способные хранить данные, чаще всего массив ячеек на листе (по ссылке, имени или константе)
  2. математических элементов массив операций и
  3. линейная алгебра на основе матрицы массив операций

0.Массивы

Массив можно описать как группу элементов, над которыми можно действовать индивидуально или коллективно. Ориентация массива классифицируется по его размерности (например, ориентации столбца или ориентации строки, обсуждаемой далее в разделе 1). В Excel эту концепцию лучше всего проиллюстрировать на примере, см. Рисунок 1 (рабочий лист: массивы WS), где «группа элементов» означает непрерывный диапазон. В частности, массив может иметь вид:

  • Скаляр — одиночная ячейка
  • Массив столбцов (вектор-столбец) — диапазон B2: B7 затененный зеленый
  • Массив строк (вектор-строка) — диапазон B9: E9 закрашенный синим цветом
  • Многомерный массив — диапазон B11: D14 затененный серый

Выражения «скаляр», «вектор-строка» и «вектор-столбец» являются общими для прикладного программного обеспечения MatLab (лаборатория матриц).


Рис. 1. Столбцы, строки и многомерные массивы — CollArr (6R x 1C), RowArr (1R x 4C) и MDArr (4R x 3C) 12 элементов

1. Массивы — концепции


Dimension

Размер массива описывается количеством строк и столбцов. По соглашению, измерения всегда сначала строки, а затем столбцы, в духе ссылочного стиля R1C1, а также порядок аргументов строк и столбцов в таких функциях, как INDEX и OFFSET.

Excel использует [ mR x nR ] во время операций изменения размера выделения ( m и n являются общими для MatLab).MatLab использует нотацию m x n , где m — количество строк (первое измерение), а n — количество столбцов (второе измерение). Таким образом, [2R x 3C] представляет собой массив размером 2 строки на 3 столбца.

Массив является непрерывным, то есть прямоугольным / квадратным, и на массив листа можно ссылаться по верхней левой ячейке и нижней правой ячейке с помощью оператора диапазона, см. B11: DF14 на рисунке 1. Некоторые функции возвращают массив (например, Функции TRANSPOSE и MMULT).

Размеры (с рисунка 1):

  • Скаляр: размер 1 x 1 (на рисунке не показан)
  • Вектор-столбец: с именем ColArr , размерность 6 x 1, количество элементов 6
  • Вектор-строка: с именем RowArr , размерность 1 x 4, количество элементов 4
  • Многомерный массив: двумерный массив с именем MDArr , размер 4 x 3, количество элементов 12

В математике массивы на рисунке 1 могут быть представлены в виде:

$$ \ text {ColArr} = \ begin {bmatrix} r1 \ r2 \ r3 \ r4 \ r5 \ r6 \ end {bmatrix}, \ qquad \ text {RowArr} = \ begin {bmatrix} c1 & c2 & c3 & c4 \ end {bmatrix} \ qquad \ text {MDArr} = \ begin {bmatrix} r1c1 & r1c2 & r1c3 \\ r2c1 & r2c2 & r2c3 \\ r3c1 & r3c2 & r3c3 \\ r4c1 & r4c2 & r4c3 \ end {bmatrix} $$

, где [] представляет собой массив.


Диспетчер имен фигурные скобки «{}»

В Excel есть два представления массивов:

  1. рабочий лист с изображением на рисунке 1 и
  2. изображений памяти компьютера, таких как значение и относится к полю диспетчера имен (рисунок 2)

Рис. 2. Диспетчер имен — с подробной информацией о массивах строк, столбцов и многомерных (1) и константе массива (2)

Поле значения

Три массива на рисунке 1 представляют собой сохраненных массивов link и помечены на рисунке 2

  • В массивах Excel используются открывающие «{» и закрывающие «}» фигурные скобки
  • Массивы строятся построчно
  • Отдельные элементы разделяются запятой «,»
  • Конец строки отмечен точкой с запятой «;» кроме последней строки
  • Эти форматы не применяются к скаляру

В формате массива Excel:

  1. Имя: ColArr ; Значение: {"r1"; "r2"; "r3"; "r4"; "r5"; "r6"}
  2. Имя: RowArr ; Значение: {"c1", "c2", "c3", "c4"}
  3. Имя: MDArr ; Значение: {"r1c1", "r1c2", "r1c3"; "r2c1", "r2c2", "r2c3"; "r3c1", "r3c2", "r3c3"; "r4c1", "r4c2", "r4c3" "}

Поле «Относится к»

Массив ArrConst , обозначенный на рисунке 2, представляет собой именованную константу массива .Он имеет размерность 2 x 2 и используется в рабочем листе константы именованного массива на рисунке 3.


Рис. 3: Константа именованного массива — именованная константа массива с размером 2 x 2

В нотации массива Excel константа именованного массива имеет:

  1. Имя: ArrConst ;
  2. Значение: {...} фигурных скобок с горизонтальными эллипсами;
  3. Относится к: {"A", 1; "XFD", 1048576}

Чтобы ввести массив , выберите диапазон 2 x 2, введите = ArrConst в строке формул, затем нажмите Control + Shift + Enter, чтобы завершить формулу.

Константа именованного массива

  • может содержать числа, текст, логические значения (ИСТИНА и ЛОЖЬ) и значения ошибок (например, # Н / Д!)
  • весь текст должен быть в двойных кавычках «»
  • не может содержать другие массивы, формулы или функции
  • проценты должны быть десятичными или текстовыми (0,10 или «10%»)

Аргументы функций фигурные скобки «{}»

Значения массива отображаются в диалоговом окне «Аргументы функции» справа от имени аргумента (рисунок 4).Отображается максимум 36 символов.


Рис. 4: Аргументы функции — с деталями вектора столбца CollArr из рисунка 2, продемонстрированного с помощью функции COUNTA

Формула F2 F9 фигурные скобки «{}»

Вы можете проверить значения в массиве (или ссылке) с помощью последовательности F2 F9. На рисунке 5 ячейка F2 имеет формулу = COUNTA (ColArr) . Проверить значения в массиве

  1. перейти в режим редактирования, нажав F2
  2. выберите ссылку ColArr в строке формул
  3. нажмите F9 , чтобы отладить часть формулы.13)

Рис. 5: Формула с аргументом массива — вектор столбца ColArr, в режиме редактирования (F2) Выберите F9, чтобы отладить часть формулы, т.е. просмотреть массив

2. Массивы — поэлементные операторы

Для операций с массивом, описанных в разделе 2, требуется формула массива , которая имеет несколько отличительных особенностей по сравнению с обычной формулой в Excel.

  • Формула массива завершается нажатием комбинации клавиш CONTROL + SHIFT + ENTER, часто обозначаемой сокращением CSE формула
  • Существует два разных типа операций с массивами
    1. Элемент за элементом и
    2. Матрица (на основе линейной алгебры)
  • В этом модуле рассматривается только элемент за элементом
  • (Обычно) Каждый массив должен иметь одинаковую величину и направление.Другими словами, размер имени (исключая скалярные массивы 1 x 1)
  • Вы не можете редактировать или удалять часть массива. Вы должны выбрать текущий массив — используйте сочетание клавиш Ctrl + / или Home> Editing> Find & Select> GoTo Special> Current array

Пример — Excel Online # 1

Из «поэлементного» рабочего листа на рисунке 6. В примере используются два вектора-строки, каждый размером (1 x 3). Имена диапазонов массивов и значений: x = [1,2,3] и y = [4,5,6] , и они появляются в строках 4 и 5 рисунка 6

WS1: поэлементный рабочий лист демонстрирует:

  1. Дополнение
  2. Вычитание
  3. Умножение
  4. Дивизион
  5. Скалярное сложение
  6. Скалярное вычитание
  7. Скалярное умножение
  8. Скалярное деление
  9. Скалярное возведение в степень
  10. Скалярная логическая

Рис. 6. Excel Online # 1 — WS1: операции с поэлементным массивом (от 1 до 4) и элемент за скалярной константой (от 5 до 10), WS2: — Пример единиц x Цена для продаж.WS3: — 100 записей без фильтра IF WS4: NPV с использованием номеров справочника VisiCalc и примера xlf Carrot Washer

WS2: Рабочий лист U x P >> Sales демонстрирует небольшую базу данных с данными о количестве единиц и ценах, пользователь должен :

  1. Расчет общего объема продаж с использованием обычных формул ячеек и функции СУММ
  2. Рассчитайте общий объем продаж с помощью формул СПП для продаж, затем СУММ
  3. Вычислить общий объем продаж с использованием формул СПП в последней ячейке
  4. Повторите шаг 3, используя функцию СУММПРОИЗВ в Excel

Каждый вектор имеет размер 6 x 1.

WS3: Рабочий лист 100 записей без фильтра IF использует базу данных из 100 записей для демонстрации векторных логических формул CSE. Требуется:

  1. Сумма произведений A, B и C для Продавец = "Вонг"
  2. Сумма продуктов A, B и C для Продавец = "Вонг" И Месяц = ​​"Сентябрь"
  3. Сумма продукта A для Продавец = "Вонг" И продукт A> = 10 И продукт A <= 30

Каждый столбец поля использует метку как имя вектора.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *