Аксиальный вектор — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

После инверсии два вектора меняют свой знак, однако их векторное произведение остаётся неизменным.

Аксиальный вектор (англ. axial, осевой) или псевдовектор — величина, компоненты которой преобразуются как вектор при поворотах системы координат, но меняющие свой знак противоположно тому, как ведут себя компоненты вектора при любой инверсии (обращении знака) координат. Т.е. псевдовектор меняет направление на противоположное при сохранении абсолютной величины (домножается на минус единицу) при любой инверсии координатной системы.

Для того, чтобы подчеркнуть отличие настоящего вектора, координаты которого всегда преобразуются так же, как координаты вектора перемещения, настоящий вектор называют истинным или полярным вектором.

Простейшим примером аксиального вектора в трёхмерном пространстве является векторное произведение двух полярных векторов, например, в механике — момент импульса L=r×p{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }, в четырёхмерном пространстве — аксиальный ток.

При преобразовании координат координаты аксиального вектора получают домножением на дополнительный множитель (-1) по сравнению с преобразованием координат истинных (иначе называемых полярными) векторов, если базис меняет ориентацию (например, если базис подвергают зеркальному отражению). Это, наряду с псевдоскаляром, частный случай псевдотензора. Графически изображённый псевдовектор при таком изменении координат меняет направление на противоположное.

• В геометрии наиболее употребительным применением псевдовектора может быть представление с его помощью трёхмерного бесконечно малого поворота. Вероятно(?), термин аксиальный вектор происходит именно отсюда, так как псевдовектор определяет ось поворота (её направление), но только с точностью до множителя (±1), с направлением же вращения связан условным произвольным выбором правого базиса, в отличие от истинного (полярного) вектора, представляющего направленный отрезок (или параллельный перенос) вполне определённо и однозначно заданного точками начала и конца.

Обычный путь порождения псевдовекторов это псевдовекторные операции, наиболее обычной, если не единственной из употребительных в трёхмерном случае является векторное произведение (так как оно в обычной координатной записи включает псевдотензор Леви-Чивиты) и операции, содержащие векторное произведение (например, ротор и т.п.) или нечётное их количество. Псевдовекторная операция порождает из истинных векторов и скаляров псевдовекторы и псевдоскаляры.

Так, при умножении истинного вектора на истинный вектор — получается в скалярном произведении истинный скаляр, а в векторном произведении — псевдовектор. При умножении истинного вектора на псевдовектор — получается в скалярном произведении псевдоскаляр, а в векторном произведении истинный вектор. При перемножении двух псевдовекторов — получаются соответственно истинный скаляр и псевдовектор.

В физических теориях, за исключением таких, в которых присутствует явное и в принципе наблюдаемое нарушение зеркальной симметрии пространства, псевдовекторы могут присутствовать в промежуточных величинах, но в конечных, наблюдаемых — множители (-1) при зеркальных отражениях координат должны уничтожаться, встречаясь в произведениях чётное количество раз (чётное количество псевдовекторных + псевдоскалярных + других псевдотензорных множителей).

• Например, в классической электродинамике индукция магнитного поля — псевдовектор, так как порождается псевдовекторной операцией, например  j×r {\displaystyle \ \mathbf {j} \times \mathbf {r} \ } в законе Био-Савара, но сама эта величина (псевдовектор) определена в принципе с точностью до условного множителя, который может быть выбран +1 или −1. Однако реально наблюдаемая величина — ускорение заряда под действием магнитного поля — при своём вычислении содержит ещё одну псевдовекторную операцию  v×B {\displaystyle \ \mathbf {v} \times \mathbf {B} \ } в выражении для силы Лоренца, дающую ещё один условный множитель ±1, равный первому, в ответе же произвол пропадает, так как произведение ±1·(±1) даёт просто 1.
• В механике наиболее часто встречающаяся псевдовекторная величина — вектор угловой скорости и связанные с нею (например, момент импульса). Истинный вектор скорости получается из псевдовектора угловой скорости  ω {\displaystyle \ \mathbf {\omega } \ } псевдовекторной операцией  ω×r {\displaystyle \ \mathbf {\omega } \times \mathbf {r} \ }.

особенности и отличия от растровой

 

Доброго времени суток.

Из этой статьи вы узнаете, что такое векторная графика, где ее используют, чем она отличается от растровой и какими плюсами и минусами обладает.

Векторная графика — это…

Толкование понятия «векторная графика» таково: это способ реализации объектов и рисунков на компьютере, базируемый на математических элементарных фигурах — примитивах.

К ним относятся точки, линии и параболы, их отрезки, кривые 2-го, 3-го порядка и Безье, сплайны, многоугольники, круги и окружности. Ключевую роль все-таки играют линии, так как они лежат в основе большинства изображений. Поэтому графика и называется векторной.

Для построения рисунков в ней используются вычисления и координаты. Например, чтобы нарисовать прямую, следует указать ее начало, конец и цвет.

Нужен треугольник?

Задаем координаты вершин, цвет заполнения и, по необходимости, обводки. Любую векторную картинку можно представить в виде совокупности геометрических фигур.

По типу аппликаций в начальной школе; помните, как они выглядели: грибочки, паровозики и пр.? Только данный вид творчества имеет более сложную структуру, а также позволяет менять цвет, положение и форму составных частей.

 

Где и как работают с векторной графикой?

Векторная графика используется на предприятиях, работа которых связана с автоматизированным проектированием. К примеру, в мастерских по изготовлению тех или иных изделий, ведь чтобы их сделать, сначала нужно на компьютере начертить макет.

Также этот вид графики востребован среди рекламщиков, в основном, потому что позволяет делать баннеры любых размеров в одинаково хорошем качестве. Векторами пользуются в своей работе архитекторы, художники, конструкторы, дизайнеры и пр.

Т.е. можно увеличивать векторную картинку или уменьшать и качество всегда будет хорошее. Как бы вы её не изменяли в размерах.

Для создания таких рисунков применяются такие программы как Adobe Illustrator, Corel DRAW, Macromedia Freehand, AutoCAD и ArhiCAD. Ранее из графических редакторов вы работали лишь с Фотошопом? В данном случае он не совсем то, что нужно, потому что поддерживает больше растровую графику, а не векторную.

 

Чем отличается одна графика от другой?

Хотите знать, почему векторы не применимы в программах, связанных с фотографиями (Adobe Photoshop, Corel Photo-Paint)? Разберем основные отличия векторной от растровой графики.

Последняя состоит не из линий, а из точек. Чем они меньше по размеру и в большем количестве, тем четче получается картинка. Именно из таких мельчайших разноцветных точек состоит цифровая фотография.

Попробуйте ее максимально увеличить — вы увидите множество квадратиков. Такого не произойдет с векторным изображением. Вы можете выполнять масштабирование до любых размеров, и рисунок останется в прежнем виде.

Таким образом, с помощью растровой графики создаются реалистичные изображения, а посредством векторной — геометрические.

 

Достоинства и недостатки

Начнем с хорошего:

• Графический файл будет весить мало, если изображение не содержит множество деталей. В противном случае это преимущество легко перерастет в недостаток. Малый объем векторных картинок обусловлен тем, что содержит в себе не целое изображение, а лишь координаты, по которым при каждом открытии программа воссоздает его.
• Вы можете перемещать и трансформировать объекты векторного изображения, как угодно, и этим нисколько не снизите его качество.
• Не важно, каков формат монитора для просмотра векторной картинки — она всегда будет выглядеть одинаково.

Теперь о минусах:

• Не каждый рисунок можно отобразить векторами, в особенности, реалистичный.
• Перевести векторное изображение в растровое — легко, а наоборот — придется сильно постараться.
• Невозможность автоматизации ввода графической информации, как это, например, делает сканер относительно растровых изображений.
• Могут возникать проблемы в совместимости программ для создания и просмотра векторных картинок. Имеется в виду, что вы создали, к примеру, файл на одной проге, хотите открыть его на чужом компьютере в другой — это не всегда возможно.

 

Основные векторные форматы

Что касается последнего пункта среди недостатков векторов: зачастую такие ситуации возникают из-за того, что программа для просмотра рисунка не поддерживает тот формат, в котором он создавался. Если вы собираетесь работать с векторами, вам стоит знать наиболее распространенные форматы:

• AI (Adobe Illustrator Document). Открывается практически любым графическими редакторами. Так что если вы разработаете файл, чтобы потом отправить его кому-то, выбирайте этот вариант. Он совместим с языком PostScript, с которым работают все приложения для издательства и полиграфии.

Из недостатков: в одном документе может содержаться только одна страница, имеет небольшую рабочую зону.

• EPS (Encapsulated PostScript). Тоже базируется на языке PostScript и открывается Иллюстратором.
• CDR. В этом виде создает документы одна из наиболее популярных прог для векторных рисунков — CorelDRAW. Отсюда и аббревиатура в названии. Особенности формата: разная компрессия для растров и векторов, возможность добавления шрифтов, очень большое поле для работы (45×45 м), файл может состоять из нескольких страниц.
• PDF (Portable Document Format). Думаю, вы уже знакомы с ним. Данный стандарт является платформонезавизимым. В нем можно применять различные шрифты, гиперссылки, векторные и растровые рисунки. И что примечательно, в любой программе файл откроется в предусмотренном автором виде.

• WMF (Windows Metafile). Поддерживается различными программами для операционной системы Windows, так или иначе связанными с векторами. Хоть он и универсален, редко используются профессионалами.

Этот формат не способен воспроизводить некоторые параметры, присвоенные изображению в тех или иных программах, и порой искажает цветопередачу.

• SVG (Scalable Vector Graphics). В его основе лежит язык XML, поэтому предназначен для размещения векторных изображений в интернете. «Понимает» анимацию. Файлы этого формата, по сути, являются текстовыми, поэтому могут корректироваться в соответствующих редакторах. Но для этого нужно иметь специальные знания.

На этом рассказ о том, что такое векторная графика считаю оконченным.

Заходите чаще на мой сайт.

До скорого.

 

 

Обсуждение:Вектор (математика) — Википедия

Мне так кажется, определение никуда не годится. А как же принцип «от простому к сложному»? Вектор — это изначально просто направленный отрезок. Уже потом вводят систему координат и доказывают, что каждый вектор (с точностью до параллельного переноса) однозначно задается своими координатами, и только в самом конце решают, что вектор — это и есть набор чисел-координат. —Aml 15:28, 14 июля 2006 (UTC)

В школьном курсе — да. А аксиоматика строится наоборот. Вводится понятие линейного пространства над полем, затем базиса, разложение вектора по базису. И как частный случай рассматривается пространство геометрических векторов — отрезков. Ery 15:31, 22 октября 2011 (UTC)

насколько я понял из статьи, исходное понятие вектора в математике -геометрический вектор, от него можно по-разному абстрагироваться, в одном направлении (в алгебре)- получается вектор в линейном пространстве(матрица, функция и тп), в другом — кортеж чисел или каких-то других объектов; но по-моему в обычном смысле под вектором понимается все-таки геометрический вектор anonim 6 дек 2011

Этот «кортеж чисел» — это частный случай линейное пространство — арифметическое линейное пространство. Я не совсем понимают, что вы имеет в виду «в обычном смысле»? Ery 17:00, 6 декабря 2011 (UTC)

по-моему,нет «кортеж чисел» — это еще не частный случай линейного пространства, тк линейное пространство предполагает наличие операций, а кортеж чисел сам по себе еще никаких операций не задает(точка-тоже может быть задана кортежем), а элемент ЛВП насколько я понял может быть и не кортежем — получается В этом смысле в понятии геометрического вектора есть 2 независимые составляющие — кортеж чисел и операции сложения и умножения на скаляр — как можно например задать функцию кортежем чисел?anonim 7 дек 2011

Есть понятие изоморфизма линейных пространств, поэтому любой геометрический вектор можно представить как арифметический, как матрицу, как полином, как функцию и так далее. Сам по себе картеж, если не определить над ним операции ещё не будет вектором. В понятие вектора как раз само множество векторов, в случае геометрических — это направленные отрезки и операции введены уже над ними. Картеж можно получить двумя путями: установить изоморфизм с арифметическим пространством или разложить вектор по базису. Поэтому я и строил так структуру статьи(как и аксиоматика) — с начало самое общее понятие: вектор в линейном пространстве, потом расширения линейного пространства — евклидово и нормированное, затем частный, но часто употребляемый случай — геометрические вектора. Определяется множество, определяются операции. Затем для него интерпретируется понятие ортогональности, нормы, скалярного произведения и угла. И получается привычные свойства и определения геометрических векторов, но уже как следствие аксиом более общего случая — линейного пространства. Ery 13:02, 7 декабря 2011 (UTC)

вектор можно представить матрицей, но как допустим можно матрицу задать арифм.вектором:) А арифметического вектора еще не достаточно чтобы задать геометрический, потому что геом.вектор может быть привязан к определенной точке-его наверное еще можно задать упорядоченной парой точки приложения и арифметического вектора, но не самим а.в.anonim 7 дек

матрицу можно задать арифм.вектором, если например первым элементом задать кол-во столбцов, а остальными — элементы матрицы, но можно кол-во столбцов задать и последним элементом, то есть все равно сам по себе вектор еще не задает конкретную матрицу-это насколько я себе представляю все равно разные объектыanonim 7 дек

Сдвинул обсуждение влево. Вот пример изоморфизма пространства матриц и арифметического вектора:

(a11a12a21a22)−>(a11,a12,a21,a22){\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}->(a_{11},a_{12},a_{21},a_{22})}. Частные случаи линейных пространств(как, например, пространство матриц) могут содержать дополнительные операции(умножение матриц). И если они нужны, то для них изоморфизм тоже необходимо устанавливать.
Вы видимо не совсем понимаете что значит изоморфизм или что даёт линейное пространство. Различные множество объектов могут попадать под определение линейного пространства, их путём изоморфизма можно свести к любому другому из пространств той же размерности, однако если над этим множеством установлены операции, то их надо переопределить в соответствии с теоремой об изоморфизме. Изоморфизм проводится между двумя пространствами. Множеств всех матриц не образует линейного пространства, а вот матриц фиксированной размерности образует и поэтому, если соотнести позиции элемента в матрице позицию элемента в арифметическом векторе, то получится изоморфизм и эту матрицу можно представить в виде вектора, пример я привёл выше. В случае геометрических векторов рассматривается обычно афинно-точечное пространство. Однако операции определены над векторами и любая точка характеризуется своим радиус-вектором. Поэтому определение положение вектора привязанного к точке можно определить с помощью двух векторов: радиус-вектора точки и вектора смешения. Ery 13:59, 7 декабря 2011 (UTC)

что дает линейное пространство понятно- формулировку части аксиом, а что дает изоморфизм для понятия г.вектора?, и все равно матрица(фикс.разм-те) и кортеж чисел разные объекты -об этом шла речь. тому же кортежу чисел опр.длины могут соответствовать матрицы разной фикс.разм-ти и понятие вектора в ЛП получается не равносильно геом.вектору -оно более широкоеa

Именно об этом я сразу и писал. Геометрические вектора — частный случай линейного пространства. И поэтому их определение надо давать, исходя из опредения линейного пространства. Изоморфизм даёт возможность переходить между пространствами, формулируя и доказывая теоремы и тождества в том пространстве, где это проще сделать и используя их там, где это необходимо. Ery 15:23, 7 декабря 2011 (UTC)

Итог[править код]

Подход, который заключается в том, что «Геометрические вектора — частный случай линейного пространства.» не может быть принят в Википедии, поскольку в Википедии должно описываться всё множество подходов к понятию вектора, а не какой-то один. Ничего не мешает начать с простого (невормального) определения вектора в аффинном пространстве, а уже потом придти к понятию вектора как элемента векторного пространства. Тем боле, что для статьи о векторе, как об элементе векторного пространства не нужна отдельная статья, потому что для векторного (линейного) пространства важнее система аксиом, а не, скажем, конкретное представление каждого вектора в заданном базисе. Статья, фактически, начинается с середины там, где идёт раздел «Геометрическая интерпретация». Вот я и предлагаю отбросить всю верхнюю часть и, ориентируясь, например, на статью en:Euclidean vector, сделать полноценную хорошую статью, даже лучше, чем английская. 🙂 —OZH 17:57, 7 декабря 2011 (UTC)

Вы сами себе противоречите. С начало пишете, что нужно описать все подходы, потом предлагаете описать только один. Ery 05:25, 8 декабря 2011 (UTC)

Не ищите противоречия, а просто посмотрите, что именно написано до раздела «Геометрическая интерпретация», а что описывается, начиная с этого раздела. Алгебраический подход можно сформулировать предельно просто: вектор — это элемент векторного (линейного) пространства. Но для этого существуют другие статьи. А здесь ответить на простой вопрос, что такое вектор, какие операции можно осуществлять над векторами, какие существуют представления векторов в координатах. И в этом статья en:Euclidean vector — хороший ориентир. Не пытайтесь описать всё на свете, опишите только самую суть и Вы опишите всё, что нужно. Только я предлагаю это всё сделать совместными усилиями, не растрачивая время и силы на искусственные противостояния. —OZH 16:03, 8 декабря 2011 (UTC)

Просто я считаю, что статья про вектор должна содержать наиболее полную информацию о векторе, как о математическом объекте. Собственно что идёт в части «вектор в линейном пространстве» и описывает представления вектора в координатах и операции над векторами. Т.е. как я предлагаю сделать — с начало кратко описать понятия в общем виде(с ссылками на соответствующие статьи), потом о геометрических векторах в прямоугольных координатах — интерпретировать абстрактные понятия, а затем описать изменения вектора при переходе в криволинейные координаты. Указываемая вами статья хорошая, не спорю, на неё можно ориентироваться, но помоему информация даётся там в слишком частных случаях. Поэтому предлагаю план статьи, который уже можно будет обсуждать:

1. Аксиоматическое определение вектора. Вектор в линейном пространстве: базис и координаты. Евклидовы и нормировочные пространства. — дать основные определения и кратко описать, возможно с примерами.
2. Геометрические вектора — основная часть статьи, здесь уже ориентируясь на en:Euclidean vector можно много чего написать, однако не ограничеваясь размерностью пространства. Дополнительные свойства трёхмерного и двумерного пространств(векторное и смешанное произведение итд)
3. Вектор в криволинейных координатах — здесь будет связь, между векторами при переходе к криволинейную систему координат и особенности такого перехода Ery 16:36, 8 декабря 2011 (UTC)

Евклидовые нормированные пространства нуждаются в полноценном и самостоятельном описании в Википедии (в отдельных статьях). Начинать надо с простых понятий, и такие простые понятия находятся в геометрии, а уже из геометрии — прямой путь в алгебру. (У меня сейчас возникнет пауза. К сожалению. Надеюсь, недолгая.) —OZH 08:12, 9 декабря 2011 (UTC)

Я считаю что начинать надо не с простых, а с общих понятий. Математика построена как множество теорий, теории излагаются от общего к частному. Значить в статьях на математические темы должна быть та же структура. Ery 12:22, 9 декабря 2011 (UTC)

Мнение двоечника[править код]

Мне мало что ясно с дискуссии, но аргументы OZH’а кажутся резонными, т.к. я, простой человек, НИЧЕГО не понял из статьи…никак не дополнил свое представление, а только напрягся от кучи формул и непонятных формулировок. Поел у няни, как говорится.

Убрать статьи двух-, трехмерный вектор[править код]

Предлагаю убрать эти статьи как малоинформационные, поставить редирект на основную — Evilmurmur 15:51, 8 ноября 2006 (UTC)

Привести структуру статей, связанных со словом вектор[править код]

Предлагается перенести содержание статей Вектор (значения) и Вектор в статью Вектор (математика) или Вектор (геометрия) или как-нибудь еще. А на странице Вектор (значения) оставить только список значений.

Я перевес это всё в вектор, это всётаки это сновное значение. Ещё бы нашёлся добрый человек который это всё перепишет… —Тоша 21:31, 9 мая 2006 (UTC)

Где постановляется, что основным значением считается математическое? Основным должно быть самое общее (вектор — упорядоченное множество элементов) и оно не должно относиться в раздел математики, где тип элементов ограничен числами. —javalenok 14:39, 2 ноября 2006 (UTC)

А общее определение разве не математическое? -«вектор-последовательность, кортеж) однородных элементов». —78.36.150.37 16:20, 28 ноября 2011 (UTC)

На самом деле, общее определение — это «вектор — направленный отрезок прямой. Характеризуется точкой приложения, длиной и направлением»! Всё остальное — абстракции на тему. —Nashev 15:40, 19 апреля 2013 (UTC)

Кто может объяснить разницу между вектором в геометрии и в алгебре? По-моему, уже давно это предмет алгебраической геометрии. Посему предлагаю объединить эти две статьи. infovarius 14:09, 12 августа 2008 (UTC)

Infovarius, я навверно поступил грубовато откатив всё, НО в геометрии рассматриваются также связанные и фиксированные вектора лучше не смешивать это всё в одной статье. Кроме того лучше там оставить всю геометрическую интерпретацию… Я не против обзединения в принципе, но пусть статьи дойдут до разумного вида — их легче править отдельно —Тоша 18:02, 19 июня 2009 (UTC)

Пусть все виды векторов, рассматриваемых в математике, будут в одном месте? infovarius 22:48, 19 июня 2009 (UTC)

Пусть, но надо это делать разумно — так чтоб читателю становилось легче читать, а не сложнее!

Иначе — не надо делать хуже, надо делать лучше. —Тоша 10:46, 20 июня 2009 (UTC)

На самом деле, разницы никакой нет. Просто в математике есть важное понятие изоморфизма: существуют аффинные и векторные пространства. Вот и всё. К сожалению, эта взаимосвязь в статье не отражена. (Или надо внимательно читать?) А без этого, ценность статьи сильно снижается. —OZH 14:01, 5 мая 2010 (UTC)

По тихоньку буду переписывать так, чтобы было всё. Не в один день, так что за оформление в течении процесса прошу не ругать. Ery 15:32, 22 октября 2011 (UTC) Сделал. Навёл логику в статье. Раньше было ощущение, что в геометрии вектор — это нечто совсем другое, не желе в линейной алгебре. Кстати, это, сохранив, информационную ценность, уменьшило объём статьи. Ery 12:19, 17 ноября 2011 (UTC)

Раздел «Понятие вектора в геометрическом n-мерном пространстве». Дублирует раздел «геометрическая интерпретация». Поэтому считаю нужным его удалить, а недостающую информацию перенести в указанный раздел. И, кстати, мне кажется, там такой информации нет. Ery 10:03, 6 декабря 2011 (UTC)

мне кажется, наоборот должен быть отдельный раздел именно геометрический вектор(и лучше в n-мерном пространстве)так сделано в английской википедии, а не геометрическая интерпретация, а вектор в линейной алгебре -другое понятие, более абстрактное. anonim6 декабря 2011

под геометрической интерпретацией вектора в линейной алгебре исходя из написанного может пониматься геометрическая интерпретация матрицы, функции и вообще геометрическая интерпретация чего имелась в виду?, поэтому и был добавлен раздел геометрический n-мерный вектор. а геометрическая интерпретация его не дублирует, это просто пример линейного вектораanonim

Геометрическая интерпритация вектора в линейном пространстве и есть обычный геометрический вектор. Частный случай линейного пространства — есть геометрическое пространство, элементами которого явл. геометрические вектора. Поэтому и происходит дублирование. Под геометрический интрпритацией имелась ввиду геометрическая интерпретация понятия «вектор». Ery 16:58, 6 декабря 2011 (UTC)

по-моему наоборот-интерпретации могут быть различные -функцию ведь тоже можно изобразить геометрически -она тоже может рассм. как вектор ЛВП насколько я понял из статьи? Вроде и сам г.вектор можно интерпретировать геометрически в виде другой фигуры, кстати=)anonim 7 дек

Само понятие геометрический вектор подразумевает направленный отрезок. И геометрический интерпретация — это множество геометрических ветров. Так называют, обозначают. Так прижилось. Ну а вообще вы правы — можно интерпретировать с помощью поверхности или кривой. Но говоря геометрические векторы имеют ввиду именно направленные отрезки. Ery 13:41, 7 декабря 2011 (UTC)

геометрическая интерпретация — это не обязательно множество геометрических векторов, если они определяется как напр.отрезки, может быть что угодно. по-моему интерпретация вообще -это отображение чего-то во что-то и поэтому должен быть раздел именно геометрический вектор, а если раздел геометрическая интерпретация там просто приводится какой-то пример интерпретации, на мой взгляд название раздела не совсем удачно для геом.вектораanonim 7 дек

Ладно, согласен, название раздела может и нужно сменить. Но это не отменят того, что было дописано позже и выше этого раздела дублирует то, что находится в нём и других разделах, причём в углублении на частные случаи(декартова система координат). Ery 15:01, 7 декабря 2011 (UTC)

• Статью и без того запутали. Даже не знаю, что делать. 🙁 —OZH 12:49, 6 декабря 2011 (UTC)

Итог[править код]

Не надо ничего дублировать. Если есть различные объекты, то их следует описывать в отдельных статьях и не боятся разделить материал. Лучше две небольшие, но ясные статьи, чем одна большая но без, собственно, предмета статьи. —OZH 17:38, 7 декабря 2011 (UTC)

Господа, поучаствуйте в Википедия:Обсуждение правил/Обозначения векторов, пожалуйста —Nashev 15:36, 19 апреля 2013 (UTC)

Начало «Пусть F=⟨F;+,∗⟩{\displaystyle {\mathfrak {F}}=\langle F;+,*\rangle }» даже прочесть нормально без подготовки нельзя. Эта кривуля из двух загогулин и точки после слова «Пусть» расшифровке не поддаётся. Обратите внимание на ВП:ПРОЩЕ, и поимейте совесть! —Nashev 15:50, 19 апреля 2013 (UTC)

По случаю, сегодня таки написал расшифровку.. —Nashev 13:57, 27 февраля 2019 (UTC)

Простите что вмещиваюсь в ваш сон, но мне тоже показалось, что в кирилической части интернета нет, определенно понятного объяснения вектора. здесь в вики конечно уместен подход от общего к частному, но не хватает Подчеркнутости и выделенности понятия «свободный вектор», с которым в большинстве случаев и приходится сталкиваться. Кроме того, я до сих пор не понимаю: есть кортеж <1,2,3> да, а теперь я таки скажу, что это точка, а не вектор (или наоборот) и кто мне помешает? и еще со школьной скамьи вдалбливали, вектор — направленный отрезок!! ппс вот у меня кортеж <1,2,3> ну и куда он направлен, налево от оси у, x и z ??????? —178.130.41.249 21:49, 11 июля 2013 (UTC)qssaka

Вы определитесь это точка либо вектор) Это два разных класса объектов и выбирается с каким работают, обозначают просто похоже(через координаты). Про объяснение — в интернете нет, в литературе есть, например в Гельфанде. Вопрос в том, чтобы нормально написать статью — это уже проблема из другой области. Ery 10:09, 12 июля 2013 (UTC)

Структура личности по Фрейду — cистемно-векторная психология. — Ваш личный Консультант

Согласно теории Фрейда, процесс формирования личности начинается от рождения и проходит четыре стадии. Каждая из этих стадий связана с определённым участком тела – той или иной эрогенной зоной (рот, нос, ухо, глаз, анус, уретра, кожа, пупок). 

На базе этой идеи академиками В. Ганзеном и В. Толкачевым была разработана векторная психология. Это учение о восьми векторах в характере человека, получившее название «прикладная системно-векторный психоанализ», суть которой сводится к тому, что человек не сможет существовать в одиночку.

В системно-векторной психологии вектор представляет собой набор человеческих качеств, которые формируют его сис-тему ценностей, мораль, характер, особенности пове-дения. Все векторы являются врожденными и не меняются в течение жизни. В связи с этим, каждый из этих векторов задает особый сценарий жизни  человека, а изучив их, можно понять какой человек и как с ним вести себя. 

Существует 8 векторов, то есть 8 типов «направленности» человека. Вектор говорит о том, что именно человеку нравится, к какой самореализации его тянет инстинктивно, что доставляет ему удовольствие. Чтобы реализовать свой вектор в социуме, человек выполняет в нем определенную роль. Название вектора идентичен чувствительной зоне человека. Итак, начнем:

1. Мышечный вектор. 

Общая характеристика
а) цвет наибольшего комфорта – черный

б) геометрия наибольшего комфорта – прямоугольник, кирпич;

в) место в квартели – внутренняя часть квартели ПРОСТРАНСТВО, интроверт — даже двойной интроверт

г) тип мышления – практическое, непроизвольно-аутическое, наглядно-действенное.

Ключевая задача: монотонная физическая работа для поступательного движения к цели. Видовая роль: рядовой охотник или собиратель. Возможные недостатки: отсутствие мотивации на усовершенствование труда. 

Внешние признаки

• Крупное телосложение. «Человек-гора».
• Устойчивый (про такого говорят: «Крепко на земле стоит»).
• Сильный. Тело с выраженным мышечным рельефом.
• Широкая, толстая шея. 

Человек любит работать мышцами: спорт, который позволяет нарастить мышечную массу; физический труд, а именно носить тяжести, работать на поле, с тяжелой техникой — для них необходимы. Человек с мышечным вектором при отсутствии других векторов — это скромный человек с минимумом потребностей и стремлений. Поесть, крыша над головой, поработать, поспать — остальное: науки, искусства, предпринимательства — не для него. В сочетании с другими нижними векторами он усиливает их, как бы встраиваясь в их желания и свойства.

Принимать решения не умеет, но является хорошим исполнителем — является ведомым. Мышечные люди почти не способны действовать самостоятельно, будут делать так, как им укажут. Они не способны четко выразить собственное мнение, просто следуют за толпой. В их речи вместо «я» фигурирует «мы». Кем станет мышечный человек зависит от того, кто находится рядом с ним. 

Мышечник идеально адаптирует устойчивый неизменный деревенский ландшафт. Живет по принципу: как научат. Этот принцип работает в мышечности абсолютно во всем! Психология массы, толпы. 

Физический труд – вот к чему необходимо при-учить мышечного ребенка с ранних лет. Он должен помогать родителям, ему очень важно научиться получать наслаждение именно от труда. Нужно понимать, что именно через усилие мышц активируется мышление мышечного человека. Он получает радость, когда занят физическим трудом, который сам по себе направляет его в мирное русло. Однако, спорт категорически запрещен для таких детей, потому что они не любят соревноваться и побеждать, у них нет таких свойств и данных. Спорт лишь выведет их из состояния «мир» в состояние «война». 

Смерть — для мышечника это хорошо, все, что связано с жизнью для мышечника подозрительно, поэтому мышечник подозрительно относится к сексу. Мышечная женщина создает основу, фундамент, рождая новое потомство. Именно она рожает по-настоящему: покосила траву, пошла, родила под стогом сена и пошла дальше косить. Рожает по 10 детей, чтобы была бОльшая вероятность выживания. У мышечного мужчины противоречие — между жизнью и смертью, которое, впрочем, легко разрешается через монотонную традицию и обряд: все чтоб как у людей было, по-людски. Когда не по-людски все, тогда — подозрительность, так как ломается программа…. не по-людски, это секс до брака, секс по-страсти, разрушающий монотонность. Мышечный мужчина не ходят по чужим бабам. 

Нереализованный мышечный вектор — часто тянет в драки, к проявлению физической жестокости.

Реализованный мышечный вектор — физически сильные и выносливые люди, работники физического труда, боксеры, люди, выполняющие монотонную физическую работу. Среди людей с мышечным вектором часто бывают фанаты спортивных игр.

Мышечному ребенку как никакому другому очень хорошо в утробе матери. Он связан с ней через пуповину как одно целое — особые смыслы для мышечного вектора. Мышечный ребенок в утробе матери всем своим существом сопротивляется рождению. Новорожденный мышечный ребенок фиксирован на том, что в животе у мамы было хорошо, все базовые потребности удовлетворялись на месте и сразу, а жизнь после рождения — одно страдание, так как теперь все надо делать самому, самостоятельно. Это «переношенные» дети, т.к. они не хотят появляться на свет.

Мышечные дети очень покладистые, их не нужно особо воспитывать. Самое главное — не оставлять мышечного ребёнка болтаться без дела и следить за тем, с кем он общается, иначе велика вероятность, что он попадёт не в ту компанию.

Без него существование современной цивилизации было бы невозможно. Одним из самых больших и важных дел, которые осуществляет человек с мышечным вектором, является строительство.

Желаемое внутреннее состояние: ощущение себя частью массы людей.

Роль в обществе: часть «народа», работник, исполнитель. 

2. Кожный вектор.

Общая характеристика

• цвет наибольшего комфорта – хаки
• геометрия наибольшего комфорта – крест
• место в квартели – внешняя часть квартели ПРОСТРАНСТВО, экстраверт
• тип мышления – логическое, выстраивание причинно-следственных цепочек. 

Ключевая задача: отделение своего пространства от внешнего мира, сохранение и накопление ресурсов. Видовая роль: командир группы охотников. В мирное время: создатель и хранитель пищевых запасов. Возможные недостатки: излишний контроль за ситуацией, скупость. 

Внешние признаки

Рост невысокий. Идеальное, спортивное телосложение: стройный, гибкий, подтянутый. Губы у кожника тонкие, плотно сжатые — верхняя губа практически не видна.

Кожная женщина худощавая, поджарая, красивая, стремительная, ловкая, гибкая как кошка. Только кожная женщина грациозно удерживает пространство на шпильках – красиво и быстро передвигается на высоких каблуках. Кожная походка — быстрая, танцующая. У кожника — отличное чувство ритма.

Кожнику меньше других нужно думать о диетах, но он только и делает что меняет одну диету на другую. Набрав пару лишних килограмм, кожник начинает выдумывать себе все новые и новые ограничительные диеты. 

Кожник предпочитает строгий,  деловой на работе и спортивный вне работы стиль одежды. У мужчин обязательная часть гардероба — галстук, кожная женщина также часто использует эту деталь одежды в своем гардеробе. Любимая кожная прическа — волосы собранные в тугой конский хвост.

Кожный жест – указательный палец, которым можно указывать, грозить, назидать.

Кожа у кожника — нежная, чувствительная, идеальная, бархатная.
При определенном состоянии вектора именно кожники наносят на свое тело татуировки, делают себе пирсинг. 

Кожник очень ловкий и гибкий: всегда точно рассчитывает движения в пространстве: обогнул, обежал, никого не задел.

Помимо гибкого тела кожник обладает и гибкой психикой. Отличительная ее черта – возможность разворота на 180 градусов: сегодня я буду утверждать и доказывать одно, а уже назавтра с той же убежденностью – обратное; вопрос только в том, что мне более выгодно говорить в данный момент. Это позволяет им легко и быстро адаптироваться к любым изменяющимся условиям, будь это смена работы, переезд в другой город или даже в другую страну. А благодаря хорошему аналитическому уму быстро обрабатывают  информацию. Кожный тип людей всегда сумеет найти свою нишу в новой обстановке. Умеют оценить выгоду, стремятся повышать эффективность, умеют экономить время и деньги и получают сильное удовольствие от этого. Любимое их слово «нет». Впрочем, это не мешает им спустя время согласиться, придумав себе разумное оправдание. Кожники в основном скрытны, редко отвечают на вопросы, не выражают эмоций. 

Внутреннее чувство времени и простран-ства позволяет им успешно делать несколько дел сразу. Кожники нацелены на успех, в том числе на материальный. Карьера, состоя-тельность, соци-альный статус составляют систему ценностных ориентиров кожного человека. Только ему знакомы амбиции и желание быть лидером, т.к. он любит соревнования. Это может быть спорт, конкуренция в бизнесе или любви.

Логика, логическое мышление – также отличительная черта кожников. В их речи часто можно услышать фразы: «Это не логично! Где тут логика? Логично было бы предположить» и пр. 

Ребенок с кожным вектором очень активный, часто непослушный. Пойманный на какой-либо шалости, он будет хитрить и изворачиваться. Правильный подход к воспитанию позволит кожнику в будущем стать успешным бизнесменом или инженером.

Кожные дети, которых постоянно били и унижали в детстве, получают психологическую травму, адаптируясь к этой боли, и организм начинает выделять эндорфины для ее заглушения. Постепенно ребенок привыкает к такого рода эффекту, а потом становится зависимым от него, получая от этого специфическое удовольствие. Так возникает мазохизм. Если такой человек во взрослом состоянии не получает привычные эндорфины через физическую боль в сексуальной жизни, то появляется стремление испытывать боль через социальные фрустрации и неудачи. Так развивается жизненный сценарий на неудачу, человек превращается в вечного неудачника.

Желаемое внутреннее состояние: ощущение занятости, кожник вечно в движении, в развитии, в изменениях и новой информации.

Роль в обществе: добытчик, организатор, управленец «среднего звена», координатор, защитник. 

3. Обонятельный вектор. 

Общая характеристика

• цвет наибольшего комфорта – фиолетовый
• геометрия наибольшего комфорта – зигзаг
• место в квартели – внутренняя часть квартели ЭНЕРГИИ, интроверт
• тип мышления – интуитивное; стратегическое 
• людей с обонятельным вектором менее 1%. 

Ключевая задача: выявление потенциальных опасностей прежде чем они станут реальными. Выжить во что бы то ни стало. Видовая роль: шаман, колдун, советник вождя, стратегический разведчик, серый кардинал. Возможные недостатки: излишняя подозрительность, недоверие к окружающим. 

Внешние признаки 

Внешне это ничем не примечательные, почти незаметные люди.

Препочитает серые цвета в одежде.
Лицо — недовольная гримаса, «лицо старой девы».
Взгляд внимательный, проницательный, колючий, нехороший, недобрый пронизывающий и пугающий — на бессознательном уровне всегда вызывает страх.
Скошенный подбородок.
Большой нос. 

Они меланхоличны: чем выше стресс, тем более спокойными они становятся. У него нет радости от жизни, нет ни одной приятной минуты, в тоже время нет и плохого настроения и депрессии, но есть отвращение к жизни и людям. В неразвитом состоянии они становятся интриганами. 

Интуитивный невербальный ум – это врожденная особенность человека с обонятельным вектором. Воспринимая информацию, он улавливает состояния и мысли людей. При этом ваши мысли и эмоции для обонятельника «воняют» хуже любой городской свалки! Весь мир для него – один гигантский источник «вони». Для обонятельника нет и не может быть приятных запахов: плохо пахнет абсолютно все, а хуже всего – люди со всеми их несовершенствами и изъянами. Неудивительно, что на лице у него застыла маска вечного отвращения. Отсюда и презрение к людям, и ощущение «вы все ниже меня», и нежелание устанавливать с людьми какие-либо контакты. 

Задача выжить во что бы то ни стало – внеочередная, самая главная. Поэтому нормы морали, культуры и даже нормы нравственности и этики никак не ограничивают ее. Человек с обонятельным вектором направляет все силы на сохранение исключительно жизни всей стаи в целом, всей общности. Он осторожен и недоверчив, не любит риск, как следствие, обладает высокой выживаемостью. Не любит ярко выраженные эмоции. Развитие обонятельника возможно только в стае, в обществе, т.к. стая необходима ему для собствен-ного выживания. В тоже время, присут-ствие обонятельника в группе крайне важно. Ранжирование в группе запускается именно обонянием, его запахом, одним его присутствием. Нет в стае обонятельника — нет ранжирования. Ранжирование это когда каждый занимается своим делом, хорошо выполняет свои врожденные функции, реализуется в соответствии со своим рангом. Без него стая обречена на вымирание. т.к. он точно чувствует, как нужно поступить, какой путь выбрать.

Обонятельники не лгут, для них просто не существует разделения на правду и ложь, они даже не могут отличить одно от другого. Конечно, в развитом состоянии человек с обонятельным вектором максимально адаптирован к общечеловеческим понятиям правды и лжи, зла и добра и пр. Но внутри такой человек не ощущает этого разделения. 

Обонятельный ребенок не желает общаться со сверстниками. И в школе, и во дворе – всюду его ненавидят сверстники, он чувствует от них угрозу, опасность и, естественно, не желает покидать дом, находя всевозможные причины для того, чтобы не выходить «в стаю». Родители, заботливо оберегающие ребенка с обонятельным вектором от «злых сверстников», причиняют ему непоправимый вред. Единственный и, главное, правильный способ воспитать и развить обонятельного ребенка – выталкивать его в детскую стаю, к другим детям: в школу, во двор и другие места, где бы будущий «советник вождя» мог научиться выполнять свою видовую роль. Он будет напрягать все свои способности, чтобы выжить в коллективе и таким образом получит достойное развитие.

Желаемое внутреннее состояние: ощущение подозрительности к окружающему.

Роль в обществе: разведчик, «серый» кардинал, интуист, который заранее почувствует опасность (и другие будущие тенденции) и тихо предупредит, кого следует. 

Ответы@Mail.Ru: ЧТО ТАКОЕ ВЕКТОР?

Вектор: В биологии: Вектор (биология) — структура (обычно молекула нуклеиновой кислоты {ДНК, реже РНК} или вирус) , используемая в генетической инженерии для передачи генетической информации. Вектор — промежуточный хозяин паразита В информатике: Вектор в программировании — одномерный массив. Вектор-06Ц — персональный компьютер. Вектор прерывания — ячейка памяти, содержащая адрес обработчика прерывания. В математике: Вектор (геометрия) в геометрии — направленный отрезок. Под направленным отрезком понимают упорядоченную пару точек, первая из которых — точка A — называется его началом, а вторая — B — его концом. Тогда под вектором понимается в простейшем случае сам направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный» , «фиксированный» итд) . Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс. Учитывая изоморфизм между множеством свободных векторов и множеством их параллельных переносов пространства, если операцию сложения отождествить с композицией переносов, можно использовать множество параллельных переносов пространства даже для определения вектора. Большую роль играют векторы в изучении бесконечно малых трансформаций пространства. Вектор, начало которого совпадает с его концом, называют нулевым: Вектор называют противоположным вектору . Радиус-вектор Вектор (алгебра) в линейной алгебре — элемент линейного пространства (частный случай тензора) . Единичный вектор Собственный вектор Аксиальный вектор Изотропный вектор Случайный вектор в теории вероятностей — случайная величина в любом измеримом пространстве. 4-вектор — вектор пространства Минковского, представляемый 4 действительными координатами В физике: Волновой вектор Вектор Бюргерса Вектор эксцентриситета Вектор состояния Вектор индукции Вектор Лапласа — Рунге — Ленца

Направление, а точнее указатель.

Направленный отрезок.

направленный отрезок, соединяющий начальное положение точки с конечным

это направленный отрезок… который имеет начало конец… что то такое.. .

Напрямленый отрезок

Вектор (геометрия) У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор. Под направленным отрезком AB понимают упорядоченную пару точек, первая из которых — точка A — называется его началом, а вторая — B — его концом. (C) Википедия.

Здравствуйте! Это условный ОТРЕЗОК в пространстве, означающий значение и направление действия силы или движения. Длина отрезка означает значение (величину) , а направление отрезка с обозначением (куда или откуда) означает куда сила или движение направлены. Градиент означает — куда сила направлена, Осцедент — откуда (в геофизике) Всего доброго.

направление…

В примитивном понимании — направленный отрезок. В более широком — просто множество значений (как правило, действительных чисел, возможно — комплексных, но возможны и другие варианты) . В таком смысле понятие «вектор» часто употребляется в программировании (в отличие от «скаляра», который представляется как единичное число) . В самом широком математическом смысле вектор — элемент какого-либо множества (так называемого «векторного (линейного) пространства»), на котором определены операции сложения вектора с вектором и умножения вектора на скаляр (т. е. число) . <a rel=»nofollow» href=»http://ru.wikipedia.org/wiki/Векторное_пространство» target=»_blank»>http://ru.wikipedia.org/wiki/Векторное_пространство</a>

это такая палка, которая зднаит где у нее начало, а где конец

вектор — направленный отрезок, для которого указано какая из его точек яввляется началом, а какая концом.

неееееееееееееееееееееет это вектор азначает игра

вы шо, Вектор это тот чувак из «Гадкий Я»

вектор это тот поцан из игры и гадкий я

вектор эта игра <a rel=»nofollow» href=»http://www.gamer.ru/vector/vector-uznaem-i-prohodim» target=»_blank»>http://www.gamer.ru/vector/vector-uznaem-i-prohodim</a> посмотри на этом сайте

вы тупые а вектор это игра

Вектор это отрезок у которого начала обозначается точкой а конец стрелочкой

Собственные векторы — это… Что такое Собственные векторы?

Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство.

Определения собственного числа, собственного и корневого вектора линейного оператора

Пусть L — линейное пространство над полем K,  — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования A называется такой ненулевой вектор , что для некоторого

Ax = λx

Собственным значением линейного преобразования A называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение Ax = λx имеет ненулевое решение .

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный λx, а соответствующий скаляр λ называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа называется множество всех собственных векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его E_λ. По определению,

где E — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования A для данного собственного значения называется такой ненулевой вектор , что для некоторого натурального числа m

Если m является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть ), то m называется высотой корневого вектора x.

Корневым подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа называется множество всех корневых векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его V_λ. По определению,

где

Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств

Общий случай

Подпространство называется инвариантным подпространством линейного преобразования A (A-инвариантным подпространством), если

.

• Собственные подпространства E_λ, корневые подпространства V_λ и подпространства V_m,λ линейного оператора A являются A-инвариантными.

• Собственные векторы являются корневыми (высоты 1): ;

• Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей

(A − 1λ)² = 0, и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но A имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).

• Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:

если .

Конечномерные линейные пространства

Выбрав базис в n-мерном линейном пространстве L, можно сопоставить линейному преобразованию квадратную матрицу и определить для неё характеристический многочлен

.

• Характеристический многочлен не зависит от базиса в L. Его коэффициенты являются инвариантами оператора A. В частности, , не зависят от выбора базиса.
• Собственные значения, и только они, являются корнями характеристического многочлена матрицы.
• Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.

Пусть числовое поле алгебраически замкнуто (например, является полем комплексных чисел). Тогда характеристический многочлен разлагается в произведение n линейных множителей

где  — собственные значения; некоторые из λ_i могут быть равны. Кратность собственного значения λ_i — это число множителей равных λ − λ_i в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также алгебраическая кратность собственного значения).

• Размерность корневого пространства равна кратности собственного значения.
• Векторное пространство L разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о жордановой форме):

где суммирование производится по всем λ_i — собственным числам A.

• Геометрическая кратность собственного значения λ_i — это размерность соответствующего собственного подпространства ; геометрическая кратность собственного значения не превосходит его кратности, поскольку

Гильбертовы пространства над полем комплексных чисел и нормальные операторы

Наличие скалярного произведения позволяет выделить важные классы операторов, собственные значения и собственные векторы которых обладают рядом дополнительных полезных свойств.

Нормальным оператором называется оператор A, коммутирующий со своим сопряжённым A ^* :

AA ^* = A ^*A.

Частными классами нормальных операторов являются самосопряжённые (эрмитовы) операторы (A = A ^* ), антиэрмитовы операторы (A = − A ^* ) и унитарные операторы (A ^{− 1} = A ^* ), а также их вещественные варианты: симметричные операторы, антисимметричные операторы и ортогональные преобразования.

• Все корневые векторы нормального оператора являются собственными.

• Собственные векторы нормального оператора A, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. То есть если Ax = λx, Ay = μy и , то (x,y) = 0. (Для произвольного оператора это неверно.)

• Все собственные значения самосопряжённого оператора являются вещественными.

• Все собственные значения антиэрмитового оператора являются мнимыми.

• Все собственные значения унитарного оператора лежат на единичной окружности | λ | = 1.

• В конечномерном случае, сумма размерностей собственных подпространств нормального оператора , соответствующих всем собственным значениям, равна размерности матрицы, а векторное пространство разлагается в ортогональную сумму собственных подпространств:

где суммирование производится по всем λ_i — собственным числам A, а взаимно ортогональны для различных λ_i.

• Последнее свойство для нормального оператора над является характеристическим: оператор нормален тогда и только тогда, когда его матрица имеет диагональный вид в каком-нибудь ортонормированном базисе (в конечномерном случае).

Положительные матрицы

Квадратная вещественная матрица A = (a_ij) называется положительной, если все её элементы положительны: a_ij > 0.

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица A имеет положительное собственное значение r, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению r соответствует собственный вектор e_r, все координаты которого строго положительны. Вектор e_r — единственный собственный вектор A (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Собственный вектор e_r может быть вычислен посредством прямых итераций: выберем произвольный начальный вектор v₀ с положительными координатами. Положим:

Последовательность v_k сходится к нормированному собственному вектору .

Другая область применения метода прямых итераций — поиск собственных векторов положительно определённых симметричных операторов.

Литература

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
• Уилкинсон Д. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970. — 564 с.

Собственные векторы — это… Что такое Собственные векторы?

Красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство.

Определения собственного числа, собственного и корневого вектора линейного оператора

Пусть L — линейное пространство над полем K,  — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования A называется такой ненулевой вектор , что для некоторого

Ax = λx

Собственным значением линейного преобразования A называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение Ax = λx имеет ненулевое решение .

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный λx, а соответствующий скаляр λ называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа называется множество всех собственных векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его E_λ. По определению,

где E — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования A для данного собственного значения называется такой ненулевой вектор , что для некоторого натурального числа m

Если m является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть ), то m называется высотой корневого вектора x.

Корневым подпространством линейного преобразования A для данного собственного числа называется множество всех корневых векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его V_λ. По определению,

где

Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств

Общий случай

Подпространство называется инвариантным подпространством линейного преобразования A (A-инвариантным подпространством), если

.

• Собственные подпространства E_λ, корневые подпространства V_λ и подпространства V_m,λ линейного оператора A являются A-инвариантными.

• Собственные векторы являются корневыми (высоты 1): ;

• Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей

(A − 1λ)² = 0, и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но A имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).

• Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:

если .

Конечномерные линейные пространства

Выбрав базис в n-мерном линейном пространстве L, можно сопоставить линейному преобразованию квадратную матрицу и определить для неё характеристический многочлен

.

• Характеристический многочлен не зависит от базиса в L. Его коэффициенты являются инвариантами оператора A. В частности, , не зависят от выбора базиса.
• Собственные значения, и только они, являются корнями характеристического многочлена матрицы.
• Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.

Пусть числовое поле алгебраически замкнуто (например, является полем комплексных чисел). Тогда характеристический многочлен разлагается в произведение n линейных множителей

где  — собственные значения; некоторые из λ_i могут быть равны. Кратность собственного значения λ_i — это число множителей равных λ − λ_i в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также алгебраическая кратность собственного значения).

• Размерность корневого пространства равна кратности собственного значения.
• Векторное пространство L разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о жордановой форме):

где суммирование производится по всем λ_i — собственным числам A.

• Геометрическая кратность собственного значения λ_i — это размерность соответствующего собственного подпространства ; геометрическая кратность собственного значения не превосходит его кратности, поскольку

Гильбертовы пространства над полем комплексных чисел и нормальные операторы

Наличие скалярного произведения позволяет выделить важные классы операторов, собственные значения и собственные векторы которых обладают рядом дополнительных полезных свойств.

Нормальным оператором называется оператор A, коммутирующий со своим сопряжённым A ^* :

AA ^* = A ^*A.

Частными классами нормальных операторов являются самосопряжённые (эрмитовы) операторы (A = A ^* ), антиэрмитовы операторы (A = − A ^* ) и унитарные операторы (A ^{− 1} = A ^* ), а также их вещественные варианты: симметричные операторы, антисимметричные операторы и ортогональные преобразования.

• Все корневые векторы нормального оператора являются собственными.

• Собственные векторы нормального оператора A, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. То есть если Ax = λx, Ay = μy и , то (x,y) = 0. (Для произвольного оператора это неверно.)

• Все собственные значения самосопряжённого оператора являются вещественными.

• Все собственные значения антиэрмитового оператора являются мнимыми.

• Все собственные значения унитарного оператора лежат на единичной окружности | λ | = 1.

• В конечномерном случае, сумма размерностей собственных подпространств нормального оператора , соответствующих всем собственным значениям, равна размерности матрицы, а векторное пространство разлагается в ортогональную сумму собственных подпространств:

где суммирование производится по всем λ_i — собственным числам A, а взаимно ортогональны для различных λ_i.

• Последнее свойство для нормального оператора над является характеристическим: оператор нормален тогда и только тогда, когда его матрица имеет диагональный вид в каком-нибудь ортонормированном базисе (в конечномерном случае).

Положительные матрицы

Квадратная вещественная матрица A = (a_ij) называется положительной, если все её элементы положительны: a_ij > 0.

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица A имеет положительное собственное значение r, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению r соответствует собственный вектор e_r, все координаты которого строго положительны. Вектор e_r — единственный собственный вектор A (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Собственный вектор e_r может быть вычислен посредством прямых итераций: выберем произвольный начальный вектор v₀ с положительными координатами. Положим:

Последовательность v_k сходится к нормированному собственному вектору .

Другая область применения метода прямых итераций — поиск собственных векторов положительно определённых симметричных операторов.

Литература

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
• Уилкинсон Д. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970. — 564 с.