ОглавлениеВВЕДЕНИЕЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Глава I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 2. Скаляры и векторы. 3. Равенство векторов. 4.  Скользящие и приложенные векторные величины.6. Орт вектора. 7. Угол между двумя векторами. § 2. Сложение векторов 1. Сложение двух векторов. 2. Сложение более чем двух векторов. 3. Модуль суммы. 4. Законы сложения. § 3. Вычитание векторов § 4. Умножение и деление вектора на скаляр 2. Законы умножения вектора на скаляр. 3. Деление вектора на скаляр. 4. Выражение вектора через его модуль и орт. § 5. Линейные зависимости между векторами 2. Коллинеарные векторы. 3. Компланарные векторы. 4. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. 5. Метод координат. Глава II. ТЕОРИЯ ПРОЕКЦИЙ. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ § 1. Проекции векторов на ось § 3. Прямоугольная система координат в пространстве 1. Правая и левая прямоугольные системы координат. 2. Разложение вектора по ортам осей 3. Линейные операции над векторами в координатной форме.  4. Радиус-вектор и координаты точки. 5. Определение вектора по его началу и концу. 6. Деление отрезка в данном отношении. Глава III. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ВЕКТОРОВ § 1. Скалярное произведение двух векторов 2. Работа силы. 3. Определение. 4. Равенство скалярного произведения нулю. 5. Законы скалярного умножения. 7. Скалярные произведения координатных ортов. 9. Неопределенность действия, обратного скалярному умножению. § 2. Векторное произведение двух векторов 3. Условия равенства нулю векторного произведения. 4. Законы векторного умножения. 5. Векторные произведения координатных ортов. 6. Определители. 7. Векторное произведение в координатной форме. 8. Неопределенность действия, обратного векторному умножению. Глава IV. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ § 1. Простейшее произведение трех векторов § 2. Векторно-векторное произведение трех векторов 3. Правило разложения векторно-векторного произведения.  § 3. Векторно-скалярное произведение трех векторов 2. Законы векторно-скалярного умножения 3. Обращение в нуль векторно-скалярного произведения трех векторов. 4. Векторно-скалярное произведение в координатной форме. § 4. Выражение векторно-скалярного произведения через скалярные произведения Глава V. ФУНКЦИИ ВЕКТОРОВ § 1. Произведения четырех векторов 2. Выражение скалярного произведения двух векторных произведений (а x b), (р x q) через скалярные произведения. 3. Разложение вектора (а, b, с) R по трем векторам a, b, c. 4. Разложение вектора (a, b, c) по векторным произведениям b x с, c x a, а x b 2. Разложение вектора (a, b, c) (m x n) по векторам a, b, c. 3. Выражение произведения двух смешанных произведений (a, b, c) (l, m, n) через скалярные произведения. § 3. Основные теоремы о функциях векторов 1. Рациональные функции векторов. 2. Элементарные функции векторов. 3. Произвольные скалярные функции от векторов.  4. Произвольные векторные функции векторов. Глава VI. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ § 2. Основные задачи, связанные со скалярным умножением векторов § 3. Основные задачи, связанные с векторным умножением векторов § 4. Основные задачи, связанные с произведениями трех и более векторов § 6. Геометрические инварианты фигур 2. Треугольник. 3. Полные системы инвариантов треугольника. 4. Тетраэдр. 5. Полные системы инвариантов тетраэдра. 6. Гексаэдр с треугольными гранями. ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ § 1. Векторы, зависящие от скаляра 2. Вектор-функция в координатной форме. 3. Годограф вектора. 4. Предел вектора. § 2. Дифференцирование вектора по скаляру 2. Геометрический смысл производной вектора по скаляру. 3. Механический смысл производной. 5. Дифференциал вектора. 6. Инвариантность дифференциала. 7. Связь дифференциала вектора с его приращением. Глава VIII.  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ§ 1. Основные дифференциально-геометрические понятия, связанные с линией 2. Касательная. 3. Соприкасающаяся плоскость. 4. Главная нормаль и бинормаль. 5. Кривизна. 6. Кручение. 7. Длина дуги. § 2. Основные формулы дифференциальной геометрии линий в пространстве 1. Дуга как параметр. Дифференциал дуги. 2. Орт касательной. Первая основная формула. 3. Инвариантность геометрических понятий. 4. Главная нормаль и кривизна. Вторая основная формула. 5. Бинормаль и кручение. Третья основная формула. § 3. Сопровождающий трехгранник 2. Система дифференциальных уравнений движения сопровождающего трехгранника. 3. Расположение линии относительно сопровождающего трехгранника. 4. Линии без кривизны. 5. Линии без кручения. § 4. Инвариантные формулы Глава IX. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ § 1. Дифференциальные уравнения плоской линии § 2. Кривизна плоской линии § 3.  Круг кривизны§ 4. Эволюта § 5. Эвольвента Глава X. ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ § 1. Скорость и ускорение точки § 2. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки 3. Угловая скорость. 4. Доказательстве существования угловой скорости твердого тела. § 3. Относительная производная вектора 2. Абсолютная и относительная производные вектора. 3. Общий случай движения твердого тела. Глава XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ § 1. Векторные функции нескольких скалярных аргументов § 2. Параметризованная поверхность 2. Поверхность в декартовых координатах. 3. Параметрическая сеть. 4. Линия на параметризованной поверхности. § 3. Касательная плоскость и нормаль 3. Нормальный вектор. 4. Преобразование параметров. § 4. Площадь области на поверхности 2. Площадь области на поверхности. 4. Элемент площади поверхности.  5. Векторный элемент площади поверхности. § 5. Первая квадратичная форма поверхности 2. Внутренняя геометрия поверхности. 3. Длина дуги линии на поверхности. 4. Угол между линиями на поверхности. 5. Площадь области на поверхности. § 6. Вторая квадратичная форма поверхности 2. Нормальная кривизна линии на поверхности. 3. Теорема Менье. § 7. Главные направления и главные кривизны поверхности 2. Главные направления на поверхности. 4. Формула Эйлера. 5. Полная и средняя кривизны поверхности. ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ТЕОРИЯ ПОЛЯ § 1. Функция поля. Поверхности уровня § 2. Градиент поля 2. Первая теорема о градиенте. § 3. Производная по направлению 2. Выражение производной по направлению через градиент. 3. Вторая теорема о градиенте. § 4. Направляющие косинусы нормали поверхности Глава XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Криволинейный интеграл как определенный интеграл от сложной функции 2.  Криволинейный интеграл от линейной формы по произвольной кривой.3. Основные свойства криволинейного интеграла. 5. Примеры. § 2. Криволинейный интеграл как предел криволипейной интегральной суммы § 3. Поверхностный интеграл как двойной интеграл от сложной функции 2. Определение простейшего поверхностного интеграла. 3. Поверхностный интеграл от билинейной формы по произвольной поверхности. § 4. Поверхностный интеграл как предел поверхностной интегральной суммы § 5. Поверхностный интеграл в параметрической форме 2. Параметрический поверхностный интеграл. 3. Поверхностный интеграл как предел суммы. § 6. Кратный интеграл как предел обобщенной интегральной суммы 2. Обобщение основной теоремы о кратном интеграле. § 1. Векторное поле § 2. Векторные линии § 3. Циркуляция поля вдоль линии § 4. Поток поля через поверхность Глава XV.  ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО. ДИВЕРГЕНЦИЯ ПОЛЯ§ 1. Формула Остроградского § 2. Дивергенция поля 2. Дивергенция как предел отношения. 3. Гидромеханический смысл дивергенции. 4. Теорема Остроградского. Глава XVI. ТЕОРЕМА СТОКСА. РОТАЦИЯ ПОЛЯ § 1. Формула Стокса § 2. Ротация поля § 3. Оператор Гамильтона Глава XVII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ § 1. Потенциальное поле 3. Циркуляция потенциального поля по замкнутому контуру. 4. Циркуляция потенциального поля между двумя точками. 5. Потенциал. 6. Элемент циркуляции. 7. Характеристические признаки потенциального поля. 8. Вычисление потенциала. 9. Центральное поле. 10. Вихревые шнуры. § 2. Соленоидальное поле 3. Поток соленоидального поля через замкнутую поверхность. 4. Трубчатое строение соленоидального поля. 5. Векторный потенциал. 6. Характеристические признаки соленоидального поля. 7. Источники и стоки. § 3. Потенциальное несжимаемое поле Глава XVIII. ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ§ 1. Электростатическое поле точечного заряда 2. Дивергенция поля точечного заряда. 3. Поток поля точечного заряда через замкнутую поверхность. 4. Ротация поля точечного заряда. 5. Потенциал поля точечного заряда. § 2. Электростатическое поле системы точечных зарядов 2. Дивергенция и ротация поля системы точечных зарядов. 3. Поток поля системы точечных зарядов через замкнутую поверхность. 4. Потенциал поля системы точечных зарядов. 5. Непрерывно распределенный заряд. § 3. Магнитное поле тока 2. Напряженность магнитного поля тока, текущего по бесконечному прямолинейному проводу. 3. Векторные линии поля H. 4. Потенциал поля Н. 5. Провод как вихревой шнур. Глава XIX. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ § 1. Криволинейные координаты 3. Координатные поверхности и линии. 4. Линейный элемент. 5. Элемент объема. 6. Подвижной репер. 7. Векторное поле в криволиненных координатах. § 2. Дифференциальные операции в криволинейных координатах 2. Дивергенция в криволинейных координатах. 3. Ротация в криволинейных координатах. § 3. Ортогональные координаты § 4. Цилиндрические координаты 2. Линейный элемент и элемент объема в цилиндрических координатах. 3. Дифференциальные операции в цилиндрических координатах. § 5. Сферические координаты |
20. Векторное произведение
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , длина и направление которого определяется условиями:
1. , где ‑ угол между и ;
2. перпендикулярен каждому из векторов и ;
3. направлен так, что кратчайший поворот от к виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.
Векторное произведение обладает следующими свойствами:
1. ;
2. ;
3. ;
4. Векторное произведение равно нулю (нуль вектору) тогда и только тогда, когда и коллинеарны. В частности, для любого вектора ;
5. Если и неколлинеарны, то модуль векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на этих векторах, как на сторонах.
Из первых трех свойств следует, что векторное умножение суммы векторов на сумму векторов подчиняется обычным правилам перемножения многочленов. Надо только следить за тем, чтобы порядок следования множителей не менялся.
Основные орты перемножаются следующим образом:
.
Если и , то c учетом свойств векторного произведения векторов, можно вывести правило вычисления координат векторного произведения по координатам векторов-сомножителей:
.
Если принять во внимание полученные выше правила перемножения ортов, то:
(4.11) |
Более компактную форму записи выражения для вычисления координат векторного произведения двух векторов можно построить, если ввести понятие определителя матрицы.
Рассмотрим частный случай, когда вектора и принадлежат плоскости , т. е. их можно представить как и .
Если координаты векторов записать в виде таблицы следующим образом: , то можно сказать, что из них сформирована квадратная матрица второго порядка, т. е. размером , состоящая из двух строк и двух столбцов. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, которое вычисляется из элементов матрицы по определенным правилам и называется определителем. Определитель матрицы второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и побочной диагонали:
.
В таком случае:
Абсолютная величина определителя, таким образом, равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах.
Если сравнить это выражение с формулой векторного произведения (4.7), то:
(4.12) |
Это выражение представляет собой формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка по первой строке.
Таким образом:
Определитель матрицы третьего порядка вычисляется следующим образом:
И представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых.
Формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка легко запомнить, если воспользоваться Правилом Саррюса, которое формулируется следующим образом:
· Каждое слагаемое является произведением трех элементов, расположенных в разных столбцах и разных строках матрицы;
· Знак “плюс” имеют произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной главной диагонали;
· Знак “минус” имеют произведения элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной побочной диагонали.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Примеры умножения матриц и векторов
Пример 1
Вычисление $A \vc{x}$, где $\vc{x} = (-2, 1, 0)$ и
\начать{выравнивать*}
А=
\левый[
\начать{массив}{ррр}
1 &2 &3\\
4 &5 &6\\
7 &8 &9\\
10 и 11 и 12
\конец{массив}
\верно]. \конец{выравнивание*}
Решение : \начать{выравнивать*} А\ВК{х} &=\влево[ \начать{массив}{ррр} 1 &2 &3\\ 4 &5 &6\\ 7 &8 &9\\ 10 и 11 и 12 \конец{массив} \верно] \левый[ \начать{массив}{г} -2\\ 1\\ 0 \конец{массив} \верно] \\ «=» \левый[ \начать{массив}{с} -2\cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 3\\ -2\cdot 4 + 1 \cdot 5 + 0 \cdot 6\\ -2\cdot 7 + 1 \cdot 8 + 0 \cdot 9\\ -2\cdot 10 + 1 \cdot 11 + 0 \cdot 12 \конец{массив} \верно] \\ «=» \левый[ \начать{массив}{с} 0\\ -3\\ -6\\ -9 \конец{массив} \верно] = (0, -3, -6, -9). \конец{выравнивание*}
Пример 2
Вычислить $A \vc{y}$, где $\vc{y} = (-3, -2, -1, 0)$ и $A$ как в примере 1.
Решение : произведение матрицы на вектор не определено. $A$ равно $4 \times 3$, а $\vc{y}$ равно $4 \times 1$ (рассматривается как вектор-столбец).
Пример 3
Вычислить $BC$, где
\начать{выравнивать*}
Б=
\левый[
\начать{массив}{ррр}
1 &2 &3\\
4 и 5 и 6
\конец{массив}
\верно]
\qquad
\текст{и}
\qquad
С=
\левый[
\begin{массив}{rr}
1 &2\\
3 и 4\\
5 и 6
\конец{массив}
\верно]. \конец{выравнивание*}
Решение : \начать{выравнивать*} БК &= \левый[ \начать{массив}{ррр} 1 &2 &3\\ 4 и 5 и 6 \конец{массив} \верно] \левый[ \begin{массив}{rr} 1 &2\\ 3 и 4\\ 5 и 6 \конец{массив} \верно] \\ «=» \левый[ \begin{массив}{ccc} 1\cточка 1 + 2\cточка 3 + 3\cточка 5 && 1\cdot 2 + 2\cdot 4 + 3\cdot 6 \\ 4\cточка 1 +5\cточка 3 +6\cточка 5 && 4\cdot 2 +5\cdot 4 +6\cdot 6 \конец{массив} \верно] \\ «=» \левый[ \begin{массив}{cc} 22 и 28\\ 49& 64 \конец{массив} \верно] \конец{выравнивание*}
Пример 4
Используя $B$ и $C$, как определено в Примере 3, вычислите $CB$.
Решение :
\начать{выравнивать*}
ЦБ &=
\левый[
\begin{массив}{rr}
1 &2\\
3 и 4\\
5 и 6
\конец{массив}
\верно]
\левый[
\начать{массив}{ррр}
1 &2 &3\\
4 и 5 и 6
\конец{массив}
\верно]
\\
«=»
\левый[
\begin{массив}{ccccc}
1\cточка 1 + 2\cточка 4
&&1\cdot 2 + 2\cdot 5
&&1\cdot 3 + 2\cdot 6\\
3\cточка 1 + 4\cточка 4
&&3\cdot 2 + 4\cdot 5
&&3\cdot 3 + 4\cdot 6\\
5\cточка 1 + 6\cточка 4
&&5\cdot 2 + 6\cdot 5
&&5\cdot 3 + 6\cdot 6
\конец{массив}
\верно]
\\
«=»
\левый[
\начать{массив}{ррр}
9& 12 & 15\\
19 и 26 и 33\\
29 и 40 и 51
\конец{массив}
\верно]
\конец{выравнивание*}
Ясно, что умножение матриц не является коммутативным,
т. е. $BC \ne CB$. В случае примеров 3 и 4 $BC$ даже не
матрица того же размера, что и $CB$. В некоторых других случаях $BC$ может быть
определено, но $CB$ не будет определено (например, когда $B$ равно $3 \times
2$-матрица, а $C$ — матрица $2×4$). Верно даже то, что когда $B$
и $C$ — квадратные матрицы, умножение матриц не
коммутативный. Вы можете попробовать сами и увидеть, что $BC \ne CB$ если
\начать{выравнивать*}
Б=
\левый[
\begin{массив}{rr}
1 &2\\
3 и 4
\конец{массив}
\верно]
\qquad
\текст{и}
\qquad
С=
\левый[
\begin{массив}{rr}
5 и 6\\
7 и 8
\конец{массив}
\верно].
\конец{выравнивание*}
Умножить матрицу на вектор в R
Улучшить статью
Сохранить статью
Нравится Статья
- Последнее обновление: 26 мар, 2021
Улучшить статью
Сохранить статью
Нравится Статья
Матрица — это двумерная структура, тогда как вектор — это одномерная структура. В этой статье мы собираемся умножить данную матрицу на заданный вектор, используя язык программирования R. Умножение между ними происходит, когда элементы вектора умножаются на элементы матрицы по столбцам.
Подход:
- Создать матрицу
- Создать вектор
- Умножить их
- Показать результат.
Метод 1: Наивный метод
Когда структуры готовы, мы напрямую умножаем их, используя оператор умножения (*).
Пример:
R
|
Output:
Example 2:
R
|
Output:
Example 3:
This code has both matrix and vector has equal size
R
|
Выход:
Метод 2: Использование Sweep ()
Метод 2: с использованием Sweep ()
. Мы можем смены. Функция развертки () используется для применения операции «+ или – или «*» или «/» к строке или столбцу в данной матрице.
Синтаксис:
развертка(данные, MARGIN, FUN)
Параметр:
- data=input matrix
- MARGIN означает строку 2; MARGIN = 1 означает столбец.
- FUN: The operation that has to be done (e.g. + or – or * or /)
Here, we are performing “*” operation
Example:
R
True ) ( развертка (матрица1, ПОЛЕ=2, вектор1, `*`)) |
Вывод:
Пример 2:
R
(10091. |
