Свойства векторного произведения
Некоторые из них мы уже рассмотрели, но, тем не менее, включу их в данный список. Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:
1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.
2) – антикоммутативность векторного произведения; об этом свойстве я тоже рассказал выше. Иными словами, порядок векторов имеет значение.
3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы беспроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?
4) – распределительные или дистрибутивные
законы. Как видите, с раскрытием скобок тоже нет проблем.
В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:
Задача 48
Найти , если
Решение: по условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем миниатюру:
(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.
(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.
(3) Дальнейшее понятно.
Ответ:
Пора подбросить дров в огонь…, а позже добавим уютную атмосферу и даже сказочных персонажей! – я глубоко убеждён, что высшую математику, тем более геометрию, нельзя излагать сухо и занудно!
Задача 49
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если
Решение: площадь треугольника рассчитывается по формуле ,
но загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов.
Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает Задачи
17, 18 из темы Скалярное произведение векторов. Решение для ясности разобьём на три этапа:
1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор. О длинах пока ни слова!
(1) Подставляем выражения векторов .
(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов (каждый член одного многочлена нужно умножить на каждый член другого).
(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2-3 можно выполнять за один шаг.
(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:
(5) Приводим подобные слагаемые.
В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:
2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает недавнюю Задачу 48:
3) Найдём площадь искомого треугольника:
, этапы 2-3 можно было оформить «одной строкой»
Ответ:
Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:
Задача 50
Найти , если
Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров 😉
1.9.3. Векторное произведение в координатах
1.9.1. Векторное произведение векторов. Определение и его смысл
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
Краткий курс высшей математики
Краткий курс высшей математики
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГЛАВА I. МЕТОД КООРДИНАТ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 2. Геометрическое изображение действительных чисел. Координаты точки на прямой 3. Абсолютная величина действительного числа 4. Расстояние между двумя точками на прямой § 2. КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Расстояние между двумя точками на плоскости 3. Деление отрезка в данном отношении 4. Координаты точки в пространстве 5. Расстояние между двумя точками в пространстве § 3.  УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ОСЯМИ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ2. Полярные координаты 3. Зависимость между декартовыми и полярными координатами 2. Понятие функции 3. График функции 4. Способы задания функций 5. Основные элементарные функции и их графики 6. Сложные функции. Элементарные функции 7. Целые и дробно-рациональные функции 8. Функции четные и нечетные. Периодические функции § 5. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ 2. Нахождение уравнения линии по ее геометрическим свойствам § 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 2. Поворот осей координат ГЛАВА II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. ПРЯМАЯ 2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 3. Уравнение прямой, параллельной оси ординат 4. Общее уравнение прямой и его частные случаи 6. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых 7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении 8.  Пучок прямых9. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 10. Расстояние от точки до прямой § 2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Окружность 3. Эллипс 4. Гипербола 5. Парабола 6. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как конические сечения 7. Упрощение уравнения кривой второго порядка. График квадратного трехчлена 9. График дробно-линейной функции 10. Преобразование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением координат ГЛАВА III. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ § 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 2. Определитель третьего порядка 3. Понятие об определителях высших порядков § 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными 3. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными 4. Однородная система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными § 3.  2. Линейные операции над векторами 4. Проекция вектора на ось и составляются вектора по оси 5. Разложение вектора на составляющие по осям координат 6. Направляющие косинусы вектора 7. Условие коллинеарности двух векторов 8. Скалярное произведение 9. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов 10. Косинус угла между двумя векторами 11. Векторное произведение 12. Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых векторов 13. Смешанное произведение трех векторов 14. Геометрический смысл смешанного произведения 15. Условие компланарности трех векторов 2. Равенство матриц. Действия над матрицами 3. Обратная матрица 4. Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени § 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 2. Преобразование координат 3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду 4. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка ГЛАВА IV.  АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ§ 1. ПЛОСКОСТЬ 2. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку 3. Общее уравнение плоскости и его частные случаи 5. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей 6. Точка пересечения трех плоскостей § 2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Общие уравнения прямой 3. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой 4. Канонические уравнения прямой 5. Уравнения прямой, проходящей через две точки 6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых § 3. Прямая и плоскость в пространстве 2. Точка пересечения прямой с плоскостью 3. Расстояние от точки до плоскости 4. Пучок плоскостей § 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Цилиндрические поверхности 3. Конические поверхности 4. Поверхность вращения 6. Гиперболоиды 7. Параболоиды ГЛАВА V.  ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 2. Предел функции при х -> -оо 3. Предел функции при х->х0 4. Бесконечно малые функции. Ограниченные функции 5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями 6. Основные теоремы о пределах 7. Предел функции при x -> 0 8. Последовательность. Число e 9. Натуральные логарифмы 10. Сравнение бесконечно малых функций § 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 2. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций 3. Свойства функций, непрерывных на сегменте 4. Понятие об обратной функции 5. Обратные тригонометрические функции 6. Показательная и логарифмическая функции 7. Понятие о гиперболических функциях ГЛАВА VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1. Приращение аргумента и приращение функции 2. Определение непрерывности функции с помощью понятии приращения аргумента и приращения функции 3. Задачи, приводящие к понятию производной 4.  Определение производной и ее механический смысл5. Дифференцируемость функции 6. Геометрический смысл производной 7. Производные некоторых основных элементарных функций 8. Основные правила дифференцирования 9. Производная обратной функции 10. Производные обратных тригонометрических функций 11. Производная сложной функции § 12. Производные гиперболических функций 13. Производная степенной функции с любым показателем 14. Сводная таблица формул дифференцирования 15. Неявные функции и их дифференцирование 16. Уравнения касательной а нормали к кривой 17. Графическое дифференцирование § 2. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 1. Нахождение производных высших порядков 2. Механический смысл второй производной § 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 2. Производная как отношение дифференциалов 3. Дифференциал суммы, произведения и частного функций 4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала 5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 6.  Дифференциалы высших порядков§ 4. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ, И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 2. Дифференцирование функций, заданных параметрически § 5. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 2. Векторная функция скалярного аргумента и ее производная 3. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой 4. Механический смысл первой и второй производных векторной функции скалярного аргумента § 6. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 2. Теорема Ролля 3. Теорема Лагранжа 4. Правило Лопиталя § 7. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ 2. Максимум и минимум функции 3. Достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной 4. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции 5. Применение теории максимума и минимума к решению задач 6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба 7. Асимптоты графика функции 8. Общая схема исследования функции и построение ее графика § 8.  ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ2. Уточнение найденных значений корней методом хорд и касательных § 9. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА ГЛАВА VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 2. Геометрический смысл неопределенного интеграла 3. Таблица основных интегралов 4. Основные свойства неопределенного интеграла § 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 2. Интегрирование методом замены переменной 3. Интегрирование по частям § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Рациональные дроби. Выделение правильной рациональной дроби 3. Интегрирование простейших рациональных дробей 4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби 5. Метод неопределенных коэффициентов 6. Интегрирование рациональных дробей § 4. Интегрирование тригонометрических функций 2. Рациональные функции двух переменных 3. Интегралы вида § 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Интеграл вида 3.  Интегралы видов4. Интегралы вида § 6. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ИНТЕГРАЛЫ, НЕ БЕРУЩИЕСЯ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 2. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях ГЛАВА VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОПРЕДЕЛЕННОМУ ИНТЕГРАЛУ 2. Задача о работе переменной силы § 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2. Свойства определенного интеграла 3. Производная интеграла по переменной верхней границе 4. Формула Ньютона—Лейбница 5. Замена переменной в определенном интеграле 6. Интегрирование по частям в определенном интеграле § 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 2. Вычисление площади в полярных координатах 3. Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям 4. Объем тела вращения 5. Длина дуги кривой 6. Дифференциал дуги 7. Площадь поверхности вращения 8. Общие замечания о решении задач методом интегральных сумм § 4. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 2.  Вычисление кривизны3. Радиус кривизны. Круг кривизны. Центр кривизны 4. Эволюта и эвольвента § 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2. Интегралы от разрывных функций 3. Признаки сходимости несобственных интегралов § 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 2. Метод трапеций 3. Метод параболических трапеций (метод Симпсона) ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. График функции двух переменных 3. Функции трех и большего числа переменных § 2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Точки разрыва 2. Непрерывность функции нескольких переменных 3. Понятие области 4. Точки разрыва 5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области § 3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных 3. Частные производные высших порядков § 4. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2.  Полный дифференциал функции3. Приложение полного дифференциала к приближенным вычислениям § 5. Дифференцирование сложных и неявных функций 2. Инвариантность формы полного дифференциала 3. Дифференцирование неявных функций § 6. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ 2. Производная по направлению 3. Градиент 4. Касательная плоскость а нормаль к поверхности 5. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных § 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных ГЛАВА X. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 2. Двойной интеграл. Теорема существования 3. Свойства двойного интеграла 4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах 6. Приложения двойного интеграла § 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 2. Тройной интеграл и его свойства 3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах 5.  Приложения тройного интеграла§ 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 2. Задача о работе. Криволинейный интеграл 3. Вычисление криволинейного интеграла 4. Формула Остроградского — Грина 5. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования 6. Отыскание первообразной по полному дифференциалу 7. Криволинейный интеграл по длине дуги ГЛАВА XI. РЯДЫ § 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 2. Геометрическая прогрессия 3. Простейшие свойства числовых рядов 4. Необходимый признак сходимости ряда 5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов 6. Знакопеременные ряды 7. Остаток ряда и его оценка § 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 2. Правильно сходящиеся функциональные ряды и их свойства § 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 2. Свойства степенных рядов 3. Ряды по степеням разности х-а 4. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора 5. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена § 4. ПРИЛОЖЕНИЕ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ 2.  Приближенное вычисление интегралов§ 5. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 2. Числовые ряды с комплексными членами 3. Степенные ряды в комплексной области § 6. РЯДЫ ФУРЬЕ 2. Ряд Фурье 3. Сходимость ряда Фурье 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций 5. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2l ГЛАВА XII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 2. Дифференциальные уравнения первого порядка 3. Уравнения с разделяющимися переменными 4. Однородные уравнения 5. Линейные уравнения 6. Уравнение в полных дифференциалах 7. Особые решения 8. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка 3. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков § 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2.  Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка 4. Метод вариации произвольных постоянных § 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 3. Приложение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к изучению механических и электрических колебаний § 5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 2. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами § 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ § 7. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА ПРИЛОЖЕНИЕ 2. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ |
Е. и др. Краткий курс высшей математики. Учеб. пособие для втузов. М., «Высш. школа», 1972. 640 с.
Перекрестное произведение – формула, свойства и вычисление перекрестного произведения
Перекрестное произведение, также называемое векторным произведением двух векторов, может быть обозначено как A x B для результирующего вектора.
Этот результирующий вектор представляет собой перекрестное произведение на плоскую поверхность, охватывающую два вектора. В случае скалярного произведения мы можем найти угол между двумя векторами. Ax B это расположение известно как перекрестное произведение двух векторов, где один вектор находится под прямым углом к другому, и все они присутствуют в трехмерной плоскости.
Перекрестное произведение относится к бинарной операции над двумя векторами в трехмерном евклидовом векторном пространстве. Правило правой руки используется для вычисления векторного произведения двух векторов. Правило правой руки в основном является результатом любых двух векторов, перпендикулярных двум другим векторам. Величина результирующего вектора также может быть вычислена с помощью перекрестного произведения.
Если θ — угол между заданными векторами, то формула имеет вид
\[A\times B=AB\sin\theta\]
\[\vec{A}\times \vec{B}=absin\theta\hat{n}\]
Где \[\hat{n}\] — единичный вектор.
Формула перекрестного умножения
Это следует за формулой метода перекрестного умножения для нахождения решения пары линейных уравнений. Если два линейных уравнения расположены как \[a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0\] и \[a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 \] тогда значение x и y может быть сформировано с помощью этого метода.
Формула векторного тройного произведения
Здесь используются значения u, v и w. Рассмотрим формулу u x (v x w). ты х v х ш ≠ ты х v х ш. Обратите внимание, что (u x v) x w перпендикулярна u x v. Эта нормальная плоскость определяется u и v.
Формула перекрестной ценовой эластичности
Перекрестная эластичность (Exy) определяет отношение между двумя произведениями вектора. Найдена чувствительность изменения количества спроса на товар X к изменению цены товара Y. Формула ценовой эластичности:
\[E_{xy}=\frac{\text{Процентное изменение объема спроса на X}}{\text{процентное изменение цены Y}}\]
Перекрестное произведение двух векторов обозначается как:
\[\vec{X}\times \vec{Y}= \vec{\left | X \ справа |}.
\ vec {\ слева | Y \right |}sin\theta \]
\[\vec{X}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\]
\[\vec{Y}=a\vec{i}+b \vec{j}+c\vec{k}\]
\[\vec{X}\times \vec{Y}=\vec{i}\left ( yc-zb \right )-\vec{j }\left ( xc-za \right )+\vec{k}\left ( xb-ya \right )\]
Свойства векторного произведения
Свойства векторного произведения могут различаться в зависимости от типа перекрестного произведения. формула продукта, которая используется.
1. Общие свойства векторного произведения
Длина двух векторов, образующих векторное произведение
\[\слева | \vec{a}\times \vec{b} \right |= \left | а \право |\лево | b \right |sin\theta\]
Эта длина равна параллелограмму, определяемому двумя векторами:
Антикоммутативность \[\vec{a}\times \vec{b} = -\vec{b}\ раз \vec{a}\]
Скалярное умножение: \[(c\vec{a})\times \vec{b} = c(\vec{a}\times \vec{b})= \vec{ a}\times (c\vec{b})\]
Распространенность \[\vec{a}\times \left ( \vec{b} +\vec{c}\right ) = \vec{a}\ раз \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}\]
2.
Свойства векторного тройного произведения
Векторная величина представляет собой векторное тройное произведение — \[\vec{a}.(\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a}\times \vec{b}).\vec{c}\]
Единичный вектор, копланарный с a и b, перпендикулярен c.
Тройное векторное произведение часто используется в исследованиях вращения в физике.
3. Свойства скалярного тройного произведения
При циклической перестановке векторов \[\vec{a}\times (\vec{b}\times \vec{c}) = (\vec{a} \vec{c})\vec{b} — (\vec{a}\vec{b})\vec{c}\]
Произведение двух векторов является циклическим
Когда тройное произведение равно нулю, это можно рассматривать как векторы копланарной природы.
Нуль возникает, когда три вектора имеют нулевые величины.
С помощью скалярного тройного произведения получается объем заданного вектора параллелепипеда.
Если тройное произведение векторов равно нулю, то можно сделать вывод, что векторы компланарны.
Объем параллелепипеда указан вектором тройного произведения. Если он равен нулю, любой из трех векторов найден и имеет нулевые значения. Векторы a и b могут быть обозначены их перпендикулярным положением к плоскости. Скалярное произведение равнодействующей на c будет равно нулю только в том случае, если вектор c также лежит в той же плоскости.
Вычисление векторного произведения
Чтобы вычислить векторное произведение для данного набора векторных уравнений, обязательно обратите внимание на плоскости, в которых они находятся, и предоставленные уравнения. Давайте рассмотрим следующий пример, чтобы укрепить наши основы в этой концепции. ,
Найдите векторное произведение для заданных векторов:
\[\vec{X} = 5\hat{i}+ 6\hat{j}+ 2\hat{k}\] и Y = \[\vec {X} = \шляпа{i}+ \шляпа{j}+ \шляпа{k}\]
Мы это знаем,
\[\vec{X} = 5\шляпа{i}+ 6\шляпа{ j}+ 2\hat{k}\]
\[Y = \vec{X} = \hat{i}+ \hat{j}+ \hat{k}\]
Чтобы получить векторное произведение, векторы записываются в определительной форме.
\[\vec{X}\times \vec{Y} = (6-2)\шляпа{i}- (5-2)\шляпа{j} + (5-6)\шляпа{k}\ ]
Следовательно, \[\vec{X}\times \vec{Y} = 4\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}\]
страница не найдена — Williams College
| ’62 Центр театра и танца, ’62 Center | ||
| Касса | 597-2425 | |
| Магазин костюмов | 597-3373 | |
| Менеджер мероприятий/помощник менеджера | 597-4808 | 597-4815 факс |
| Производство | 597-4474 факс | |
| Магазин сцен | 597-2439 | |
| ’68 Центр изучения карьеры, Мирс | 597-2311 | 597-4078 факс |
| Академические ресурсы, Парески | 597-4672 | 597-4959 факс |
| Служба поддержки инвалидов, Парески | 597-4672 | |
| Приемная, Уэстон Холл | 597-2211 | 597-4052 факс |
| Позитивные действия, Хопкинс Холл | 597-4376 | |
| Африканские исследования, Голландия | 597-2242 | 597-4222 факс |
| Американские исследования, Шапиро | 597-2074 | 597-4620 факс |
| Антропология и социология, Холландер | 597-2076 | 597-4305 факс |
| Архивы и специальные коллекции, Sawyer | 597-4200 | 597-2929 факс |
| Читальный зал | 597-4200 | |
| Искусство (История, Студия), Spencer Studio Art/Lawrence | 597-3578 | 597-3693 факс |
| Архитектурная студия, Spencer Studio Art | 597-3134 | |
| Студия фотографии, Spencer Studio Art | 597-2030 | |
| Студия печати, Spencer Studio Art | 597-2496 | |
| Скульптурная студия, Spencer Studio Art | 597-3101 | |
| Senior Studio, Spencer Studio Art | 597-3224 | |
| Видео/фотостудия, Spencer Studio Art | 597-3193 | |
| Азиатские исследования, Голландия | 597-2391 | 597-3028 факс |
| Астрономия/астрофизика, Физика Томпсона | 597-2482 | 597-3200 факс |
| Отделение легкой атлетики, физического воспитания, отдыха, Ласелл | 597-2366 | 597-4272 факс |
| Спортивный директор | 597-3511 | |
| Лодочная пристань, озеро Онота | 443-9851 | |
| Вагоны | 597-2366 | |
| Фитнес-центр | 597-3182 | |
| Хоккейный каток Ice Line, Lansing Chapman | 597-2433 | |
| Очные, Спортивный центр Чендлера | 597-3321 | |
| Физкультура | 597-2141 | |
| Мокрая линия бассейна, Спортивный центр Чандлера | 597-2419 | |
| Информация о спорте, Хопкинс-холл | 597-4982 | 597-4158 факс |
| Спортивная медицина | 597-2493 | 597-3052 факс |
| Корты для сквоша | 597-2485 | |
| Поле для гольфа Taconic | 458-3997 | |
| Биохимия и молекулярная биология, Биология Томпсона | 597-2126 | |
| Биоинформатика, геномика и протеомика, Бронфман | 597-2124 | |
| Биология, Томпсон Биология | 597-2126 | 597-3495 факс |
| Безопасность и безопасность кампуса, Хопкинс-холл | 597-4444 | 597-3512 факс |
| Карты доступа/Системы сигнализации | 597-4970/4033 | |
| Служба сопровождения, Хопкинс-холл | 597-4400 | |
| Офицеры и диспетчеры | 597-4444 | |
| Секретарь, удостоверения личности | 597-4343 | |
| Распределительный щит | 597-3131 | |
| Центр развития творческого сообщества, 66 Stetson Court | 884-0093 | |
| Центр экономики развития, 1065 Main St | 597-2148 | 597-4076 факс |
| Компьютерный зал | 597-2522 | |
| Вестибюль | 597-4383 | |
Центр экологических исследований, выпуск 1966 г.  |