ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ β ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΅Π»Π° Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠ².
ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ β ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠ° Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅. ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅.
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡ β ΡΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ β Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ, Π° ΠΊΠ°ΠΊΠ°Ρ β ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ A ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ B ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ βAB. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΠΌΠ°Π»ΡΠΌΠΈ Π»Π°ΡΠΈΠ½ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π±ΡΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ ΡΠΎ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΅ΡΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ Π½Π°Π΄ Π½ΠΈΠΌΠΈ, Π²ΠΎΡ ΡΠ°ΠΊ: βa.
ΠΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΡ β ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ²Π° Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π½Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ.
ΠΡΠΎΡΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ ΡΡΠΎ Β«ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅Β» Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ. ΠΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ β βa || βb. Π‘ΠΎΠ½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ βa ββ βb, ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ β βa ββ βb.
ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π°ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ°Π·Π±Π΅ΡΠ΅ΠΌΡΡ Ρ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΉ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² βa, βb, βc Π² ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅.
ΠΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ βa, βb, βc ΠΎΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. Π Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° βc ΡΡΠΎΠΉΠΊΠ° βa, βb, βc ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ.
ΠΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° βc Π½Π° ΡΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊΡΠ°ΡΡΠ°ΠΉΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ ΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° βa ΠΊ βb. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΡΠ°ΡΡΠ°ΠΉΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ, ΡΠΎ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² βa, βb, βc Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎ ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ΅ β Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ.
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ Π΄Π²Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° βa ΠΈ βb. ΠΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ βAB = βa ΠΈ βAC = βb. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ βAD = βc, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΈ βAB ΠΈ βAC.
ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° βAD = βc ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΡΠΏΠΈΡΡ ΠΏΠΎ-ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΌΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ Π΅ΠΌΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅.
Π Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° βAD = βc ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² βa, βb, βc ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ.
Π ΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΡΠ»ΠΈ ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ½ΠΎ Π΄Π°Π΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ Π² ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² βa ΠΈ βb, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ Π² ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ βc, ΡΡΠΎ:
- ΠΎΠ½ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ βa ΠΈ βb ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ;
- ΠΎΠ½ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ βa ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ βb;
- Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² βa ΠΈ βb Π½Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ
- ΡΡΠΎΠΉΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² βa, βb, βc ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π° ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° βa Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ βb Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ βc, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ βa ΠΈ βb, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ βa ΠΊ βb Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° c ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΠ»ΠΎΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° βc.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a = {ax; ay; az} ΠΈ b = {bx; by; bz} Π² Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ β ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²:
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² βa ΠΈ βb ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ [βa β’ βb].
ΠΡΡΠ³ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΠ°, ΠΎΡΠΊΡΠ΄Π° ΠΈ Π΅ΡΡΡ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² βa, βb, [βa β’ βb] ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ
ΠΡΠ΅ Π΅ΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΠΈ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² β ΠΎΠ½ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, ΠΏΡΠΈΡΡΠΌ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ.
ΠΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° βa, Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ β Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° βb, ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ β Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° βc. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ, Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄Ρ:
- ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅Π½, ΡΠΎ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡ ΠΆΠ΅ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
- ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»Π΅Π½, ΡΠΎ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ, ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
- ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½Ρ (Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ).
ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ .
Π‘ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
Π ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² βa = (ax, ay, az) ΠΈ βb = (bx, by, bz) Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ
, Π³Π΄Π΅
βi, βj, βk β ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ.
ΠΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΡΡ βi, βj, βk, Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° βa, Π° Π² ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ β ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° βb Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ:
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΡΡΠΎΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ :
ΠΠ°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΡΠ΅ΡΡΡ Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΡ Π΄Π°Π»ΠΈ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠ΅ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠΈ. ΠΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΈ Π΄Π²Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Ρ.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
ΠΠ° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²:
- ΠΠ½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ
- Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΡΠΈΠ±ΡΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ
ΠΈΠ»ΠΈ
- Π‘ΠΎΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ
ΠΈΠ»ΠΈ
, Π³Π΄Π΅ Ξ» ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΠ»Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π°Π½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΈ
ΠΠ°ΠΌ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π΄Π²Π΅ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ
ΡΡΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π°Π½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² u ΠΈ v Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ : S = | u Γ v | = | u | * | v | * sinΞΈ, Π³Π΄Π΅ ΞΈ β ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² u ΠΈ v ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ u ΠΈ v ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ (ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ): u Γ v = 0, Π΅ΡΠ»ΠΈ u β₯ v (ΞΈ = 0).
ΒΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1
Π°) ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² βa ΠΈ βb, Π΅ΡΠ»ΠΈ |βa| = 2, |βb| = 3, β (βa, βb) = Ο/3.
Π±) ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ βa ΠΈ βb, Π΅ΡΠ»ΠΈ |βa| = 2, |βb| = 3, β (βa, βb) = Ο/3.
ΠΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ:
Π°) ΠΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ:
ΠΡΠ²Π΅Ρ:
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΡ ΠΈΠ΄Π΅Ρ ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅, ΡΠΎ Π² ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ β Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ.
Π±) ΠΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ βa ΠΈ βb. ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:
ΠΡΠ²Π΅Ρ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ |[-3βa x 2βb]|, Π΅ΡΠ»ΠΈ |βa| = 1/2, |βb| = 1/6, β (βa, βb) = Ο/2.
ΠΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ:
ΠΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ:
Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°ΠΌ, Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ Π·Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠ½ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΡ Π·Π° ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ. ΠΠ»ΠΈΠ½Π° ΠΆΠ΅ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3
ΠΠ°Π½Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ.
Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ:
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ:
ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Π΅ΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°:
ΠΡΠ²Π΅Ρ:
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½Π°
Π ΠΈΠ· ΠΊΡΡΡΠ° Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅ΠΉ ΡΠΊΠΎΠ»Ρ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ.
ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ βa ΠΈ βb, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΡ ΠΎΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΎΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. ΠΡΠΎΡΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² βa ΠΈ βb ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ |βa| ΠΈ |βb| ΠΈ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ (βa, βb). Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
Π€ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
Π ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅ β ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ β Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΠΈΠ»Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠΎΠ΄ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ ΡΠΈΠ»Ρ βF, ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ B, ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΈ A ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ [βA B Γ βF].
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ βV ΡΠΎΡΠΊΠΈ M ΠΊΠΎΠ»Π΅ΡΠ° ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ βW ΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π΅ΡΠ°, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ βV = βW`βrM.
ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π΄Π»Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ aβ,Β bβ,Β cβ ΠΎΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. ΠΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠΈ aβ,Β bβ,Β cβ Π±ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ, Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° cβ. ΠΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΡΠ°ΡΡΠ°ΠΉΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ ΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° aβ ΠΊ bβΒ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° cβ, Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ Π²ΠΈΠ΄ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠΈaβ,Β bβ,Β cβ.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΊΡΠ°ΡΡΠ°ΠΉΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ, ΡΠΎ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² aβ,Β bβ,Β cβ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ΅ β Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ.
ΠΠ°Π»Π΅Π΅ Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ Π΄Π²Π° Π½Π΅ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° aβ ΠΈ bβ. ΠΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ A Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ABβ=aβ ΠΈ ACβ=bβ. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ADβ=cβ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΈΒ ABβ ΠΈ ACβ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ADβ=cβ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΡΠΏΠΈΡΡ Π΄Π²ΠΎΡΠΊΠΎ, Π·Π°Π΄Π°Π² Π΅ΠΌΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ (ΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠ°ΡΠΈΡ).
Π£ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²Β aβ,Β bβ,Β cβ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ Π²ΡΡΡΠ½ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
ΠΠ· Π²ΡΡΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ Π² ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² aβ ΠΈ bβ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ Π² ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ, ΡΡΠΎ:
- Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ aβ ΠΈ bβ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ, ΠΎΠ½ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠΌ;
- ΠΎΠ½ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ aβββββΒ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ bβΒ Ρ.Π΅.Β β aβcβ=β bβcβ=Ο2 ;
- Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅: cβ=aβΒ·bβΒ·sinβ aβ,bβ;
- ΡΡΠΎΠΉΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² aβ,Β bβ,Β cβ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊΡΡ ΠΆΠ΅ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² aβ ΠΈ bβ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ΅Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: aβΓbβ.
ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, ΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΏΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2Π ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² aβ=(ax;Β ay;Β az) ΠΈ bβ=(bx;Β by;Β bz)Β Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ cβ=aβΓbβ=(ayΒ·bz-azΒ·by)Β·iβ+(azΒ·bx-axΒ·bz)Β·jβ+(axΒ·by-ayΒ·bx)Β·kβ, Π³Π΄Π΅ iβ,Β jβ,Β kβ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, Π³Π΄Π΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΡΡΡ iβ,Β jβ,Β kβ, Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΡΡΠΎΠΊΠ° ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° aβ, Π° ΡΡΠ΅ΡΡΡ β ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° bβ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊ: cβ=aβΓbβ=iβjβkβaxayazbxbybz
Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠ² Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ:Β cβ=aβΓbβ=iβjβkβaxayazbxbybz=ayazbybzΒ·iβ-axazbxbzΒ·jβ+axaybxbyΒ·kβ==aβΓbβ=(ayΒ·bz-azΒ·by)Β·iβ+(azΒ·bx-axΒ·bz)Β·jβ+(axΒ·by-ayΒ·bx)Β·kβ
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ cβ=aβΓbβ=iβjβkβaxayazbxbybz, ΡΠΎ Π½Π° Π±Π°Π·Π΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:
- Π°Π½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ aβΓbβ=-bβΓaβ;
- Π΄ΠΈΡΡΡΠΈΠ±ΡΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ a(1)β+a(2)βΓb=a(1)βΓbβ+a(2)βΓbβΒ ΠΈΠ»ΠΈ aβΓb(1)β+b(2)β=aβΓb(1)β+aβΓb(2)β;
- Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ Ξ»Β·aβΓbβ=λ·aβΓbβ ΠΈΠ»ΠΈΒ aβΓ(λ·bβ)=λ·aβΓbβ, Π³Π΄Π΅ Ξ» — ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
ΠΠ°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π½Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π°.
ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π°Π½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ Π°Π½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈΠΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ aβΓbβ=iβjβkβaxayazbxbybz ΠΈ bβΓaβ=iβjβkβbxbybzaxayaz. Π Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π²Π΅ ΡΡΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ°ΠΌΠΈ, ΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅,ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,aβΓbβ=iβjβkβaxayazbxbybzΒ =-iβjβkβbxbybzaxayaz=-bβΓaβ, ΡΡΠΎ ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π°Π½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠΆΠ½Π° ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°ΡΠ΅Π»Ρ?
ΠΠΏΠΈΡΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅Β β ΠΈΒ Π½Π°ΡΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅Π±Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡΡ!
ΠΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ β ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
Π Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅Π² Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΡΠΈ ΡΠΈΠΏΠ° Π·Π°Π΄Π°Ρ.
Π Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ, Π° Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉcβ=aβΒ·bβΒ·sinβ aβ,bβ .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²Β aβ ΠΈ bβ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎaβ=3,Β bβ=5,Β β aβ,bβ=Ο4.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² aβ ΠΈ bβ ΡΠ΅ΡΠΈΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ: aβΓbβ=aβΒ·bβΒ·sinβ aβ,bβ=3Β·5Β·sinΟ4=1522.
ΠΡΠ²Π΅Ρ:Β 1522.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Ρ Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π² Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΈ Ρ.Π΄. ΠΈΡΡΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² aβ=(ax;Β ay;Β az)Β ΠΈΒ bβ=(bx;Β by;Β bz).
ΠΠ»Ρ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° Π·Π°Π΄Π°Ρ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΡ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠ² Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ Π½Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Β aβ ΠΈ bβ, Π° ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π° bβ=bxΒ·iβΒ +byΒ·jβ+bzΒ·kβΒ ΠΈ cβ=aβΓbβ=(ayΒ·bz-azΒ·by)Β·iβ+(azΒ·bx-axΒ·bz)Β·jβ+(axΒ·by-ayΒ·bx)Β·kβ, ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡΒ aβ ΠΈ bβ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΈΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2Π ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° aβ=(2;Β 1;Β -3),Β bβ=(0;Β -1;Β 1). ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ :aβΓbβ=(ayΒ·bz-azΒ·by)Β·iβ+(azΒ·bx-axΒ·bz)Β·jβ+(axΒ·by-ayΒ·bx)Β·kβ==(1Β·1-(-3)Β·(-1))Β·iβ+((-3)Β·0-2Β·1)Β·jβ+(2Β·(-1)-1Β·0)Β·kβ==-2iβ-2jβ-2kβ.
ΠΡΠ»ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:Β aβΓbβ=iβjβkβaxayazbxbybz=iβjβkβ21-30-11=-2iβ-2jβ-2kβ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ:Β aβΓbβ=-2iβ-2jβ-2kβ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² iβ-jβ ΠΈ iβ+jβ+kβ, Π³Π΄Π΅ iβ,Β jβ,Β kβ — ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ»Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ iβ-jβΓiβ+jβ+kβΒ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
ΠΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ iβ-jβΒ ΠΈ iβ+jβ+kβΒ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ (1;Β -1;Β 0)Β ΠΈ (1;Β 1;Β 1)Β ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ iβ-jβΓiβ+jβ+kβ=iβjβkβ1-10111=-iβ-jβ+2kβ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ iβ-jβΓiβ+jβ+kβ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ (-1;Β -1;Β 2) Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
ΠΠ»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (ΡΠΌ. Π² ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°):Β iβ-jβΓiβ+jβ+kβ=-12+-12+22=6.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: iβ-jβΓiβ+jβ+kβ=6..
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4Π ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊΒ A(1,0,1),Β B(0,2,3),Β C(1,4,2)Β . ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉΒ ABβ ΠΈ ACβ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ Β ABβ ΠΈ ACβ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ (-1;Β 2;Β 2) ΠΈ (0;Β 4;Β 1)Β ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΠ°ΠΉΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²Β ABβ ΠΈ ACβ, ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΊ Β ABββββββΒ ΠΈ ΠΊΒ ACβ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΠ΅ΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎΒ ABβΓACβ=iβjβkβ-122041=-6iβ+jβ-4kβ.
ΠΡΠ²Π΅Ρ:Β -6iβ+jβ-4kβ. — ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Ρ Π½Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ , Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 5ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ Β aβ ΠΈ bβ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ ΠΈ ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΡΠ°Π²Π½Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ 3Β ΠΈ 4. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ 3Β·aβ-bβΓaβ-2Β·bβ=3Β·aβΓaβ-2Β·bβ+-bβΓaβ-2Β·bβ==3Β·aβΓaβ+3Β·aβΓ-2Β·bβ+-bβΓaβ+-bβΓ-2Β·bβ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Ρ Π΄ΠΈΡΡΡΠΈΠ±ΡΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡΒ 3Β·aβ-bβΓaβ-2Β·bβ=3Β·aβΓaβ-2Β·bβ+-bβΓaβ-2Β·bβ==3Β·aβΓaβ+3Β·aβΓ-2Β·bβ+-bβΓaβ+-bβΓ-2Β·bβ
ΠΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Ρ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠ½Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ: 3Β·aβΓaβ+3Β·aβΓ-2Β·bβ+-bβΓaβ+-bβΓ-2Β·bβ==3Β·aβΓaβ+3Β·(-2)Β·aβΓbβ+(-1)Β·bβΓaβ+(-1)Β·(-2)Β·bβΓbβ==3Β·aβΓaβ-6Β·aβΓbβ-bβΓaβ+2Β·bβΓbβ
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ aβΓaβ ΠΈ bβΓbβ ΡΠ°Π²Π½Ρ 0, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ aβΓaβ=aβΒ·aβΒ·sin0=0 ΠΈ bβΓbβ=bβΒ·bβΒ·sin0=0, ΡΠΎΠ³Π΄Π° 3Β·aβΓaβ-6Β·aβΓbβ-bβΓaβ+2Β·bβΓbβ=-6Β·aβΓbβ-bβΓaβ..
ΠΠ· Π°Π½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ -6Β·aβΓbβ-bβΓaβ=-6Β·aβΓbβ-(-1)Β·aβΓbβ=-5Β·aβΓbβ..
ΠΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π²ΡΠΈΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ 3Β·aβ-bβΓaβ-2Β·bβ==-5Β·aβΓbβ.
ΠΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Β aβ ΠΈ bβ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Ο2. Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ: 3Β·aβ-bβΓaβ-2Β·bβ=-5Β·aβΓbβ==5Β·aβΓbβ=5Β·aβΒ·bβΒ·sin(aβ,bβ)=5Β·3Β·4Β·sinΟ2=60.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: 3Β·aβ-bβΓaβ-2Β·bβ=60.
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΎΡΠΏΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Π°Β aβΓbβ=aβΒ·bβΒ·sinβ aβ,bβ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ (ΠΈΠ· ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΡΠ°), ΡΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½ Π΄Π²ΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° — ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Β aβ ΠΈ bβ, ΠΎΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΎΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π½Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ sinβ aβ,bβ.
ΠΡΠΎ ΠΈ Π΅ΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
Π€ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
Π ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅, ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΠΈΠ»Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3ΠΠΎΠ΄ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ ΡΠΈΠ»Ρ Fβ, ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ B, ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΈ A Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ABβΓFβ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ½-Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ.
ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅? Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ² ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΎ Π²ΡΡΠ΅, Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΡΠ½ΠΈΡΡ, ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ Π»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ. ΠΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ . ΠΡΡ ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈ Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°.
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ³ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π² ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΈ ΠΌΠ°Π³Π½Π΅ΡΠΈΠ·ΠΌΠ΅. ΠΠ½-Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ°, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΡ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΡΡ- Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ. ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Ρ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌ ΠΈΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° (ΡΠΌ. ΡΡΠ°ΡΡΡ Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΏΡΠ½ΠΊΡ ΠΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ. ) Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°Π»ΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΡΠ°, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΡΡΡΠΎΠΊΡ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π²ΠΎ Π²ΡΠΎΡΡΡ- Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ. ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Ρ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌ ΠΈΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° (ΡΠΌ. ΡΡΠ°ΡΡΡ Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΏΡΠ½ΠΊΡ ΠΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ. ) Β |
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ°ΠΌΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:
Π’ΡΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
, Π²Π·ΡΡΡΠ΅ Π² ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΡΠΎΠΉΠΊΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Ρ ΠΊΡΠ°ΡΡΠ°ΠΉΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΊΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π½ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠΌΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ, ΠΈ Π»Π΅Π²ΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ , ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ:- ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ
- ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ, ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°Ρ (ΡΠΌ. ΡΠΈΡ. 17), Ρ. Π΅.
- Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΡΠΎΠΉΠΊΡ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ
ΠΈΠ»ΠΈ . ΠΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π²ΡΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΎΡΡΠ°ΠΌΠΈ i, j ΠΈ k (ΡΠΌ. ΡΠΈΡ. 18):ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ
.- Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ i, j ΠΈ k ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΡΠΎΠΉΠΊΡ (ΡΠΌ. ΡΠΈΡ. 16).
1.ΠΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊ, Ρ. Π΅. (ΡΠΌ. ΡΠΈΡ. 19).ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ
ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»ΠΈ (ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ), Π½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ (ΡΡΠΎΠΉΠΊΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ). Π‘ΡΠ°Π»ΠΎ Π±ΡΡΡ, .2.ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ, Ρ. Π΅.
ΠΡΡΡΡ
. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ . ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ (Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ). ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ. ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ. ΠΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ:ΠΈ
ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ3. ΠΠ²Π° Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, Ρ. Π΅.ΠΡΠ»ΠΈ
, ΡΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 0Β° ΠΈΠ»ΠΈ 180Β°. ΠΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ,ΠΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅
, ΡΠΎ . ΠΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π° , Ρ. Π΅. .Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ,
4. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΠΌ Π±Π΅Π· Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²Π°.
ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡΠΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² i, j ΠΈ k:
Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡΠ°ΡΡΠ°ΠΉΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΡΠΈ ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΊ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ, ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ β ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π±Π΅ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Β«ΠΌΠΈΠ½ΡΡΒ».
ΠΡΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ (ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ):Ρ.Π΅.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ΅:
ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° (7.1) ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ. Π Π°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ (7.2) Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅ΡΡΡ.
ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΠ£ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΡΠ»ΠΈ
, ΡΠΎ (ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡΠΎΡ), Ρ. Π΅.ΠΠ°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
Π, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ,ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΡΠΈΠ»Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΈΠΡΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° ΡΠΈΠ»Π°
ΠΈ ΠΏΡΡΡΡ Π β Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° (ΡΠΌ. ΡΠΈΡ. 20).ΠΠ· ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ ΡΠΈΠ»Ρ
ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ , ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ Π ΠΈ:1) ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π, Π, Π;
2) ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ»Ρ Π½Π° ΠΏΠ»Π΅ΡΠΎ
3) ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΡΡ ΡΡΠΎΠΉΠΊΡ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ
. Π‘ΡΠ°Π»ΠΎ Π±ΡΡΡ,ΠΠ°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠ‘ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π ΡΠ²Π΅ΡΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π»Π°, Π²ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΠ΅Π³ΠΎΡΡ Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ° , Π³Π΄Π΅ , Π³Π΄Π΅ Π β Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΎΡΠΈ (ΡΠΌ. ΡΠΈΡ. 21).ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π‘ΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅:
ΠΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ Π²ΡΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌ:
ΠΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π»Π΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅:
- Π’ΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
- Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ
- ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
- ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈ Π΅Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ
- ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°
- ΠΠ΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°
- ΠΠ΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ
- ΠΡΠΎΠ³ΡΠ΅ΡΡΠΈΠΈ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅
- ΠΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ΅ΡΡΠΈΡ
- ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ΅ΡΡΠΈΡ
- ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΠΈ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅
- ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅
- ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
- Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ
- Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌ
- ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
- ΠΠ΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π°Ρ Π΄ΡΠΎΠ±Ρ (ΡΠ΅ΠΏΠ½Π°Ρ Π΄ΡΠΎΠ±Ρ)
- ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
- ΠΠ΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
- Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΡ
- ΠΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡΡΡΠΎΠ½Π°
- Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ Π΅
- ΠΠ΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΠ΅ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ
- Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
- ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
- ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π»
- ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»
- ΠΠ²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»
- Π’ΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»
- ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅
- ΠΠ΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»
- ΠΡΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ
- ΠΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ
- ΠΠ΅ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ
- ΠΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ
- ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Ρ, Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ°
- ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π½
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ
- ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
- ΠΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
- ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
- ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅
- Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
- ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅
- ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
- ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°
- ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ²
- ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ
- Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
- Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°
- ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
- ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
- ΠΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ
- ΠΠ·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
- ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
- Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°
- ΠΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
- ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ
- ΠΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ
- ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
- ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΡΠΎΠ±Π½ΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
- Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ
- ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ ΠΎΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ
- ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ
- ΠΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΈ
- Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
- Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
- Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ
- Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
- Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
- Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
- ΠΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ
- ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ
- ΠΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ
- Π Π°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
- ΠΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
- ΠΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ
- ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
- ΠΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
- ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ
- Π ΡΠ΄Ρ ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΠΈ ΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ΡΡ
- Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π°
- Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ
- ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
- Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΠ΅Π·Ρ
- ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΈΠ½Π΄ΡΠΊΡΠΈΡ
- ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ
- ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΡ
- ΠΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ
- ΠΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»
- Π§ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°
- ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
- ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
- ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ
- ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
- Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ
- Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ Ρ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ
- Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ³Π»Π°
- Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°
- Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ
- ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ
- ΠΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΡΠΈΠΊΠ°
- ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°
- ΠΡΡΠΌΠ°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π΅Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
- ΠΡΡΠΌΠ°Ρ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ
- ΠΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ
- ΠΡΡΠΌΠ°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ
- Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅
- ΠΡΠΈΠ²ΡΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°
- ΠΡΠΈΠ²ΡΠ΅ ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°
- Π§ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΡΠ΄Ρ
- Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ΄Ρ
- Π ΡΠ΄Ρ Π€ΡΡΡΠ΅
- ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π€ΡΡΡΠ΅
- Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ΄Ρ
- Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ
- ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ
- ΠΠ°ΡΠΌΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·
- ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
- ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ
- ΠΠ½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ
- ΠΠ½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ
- ΠΠ½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅
- Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
- ΠΡΡΡΠ°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°
- ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°
- ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·
- ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ
- Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
- Π‘ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
- ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ
- ΠΠ΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
- ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ
- ΠΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
- ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
- Π§Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ
- ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
- ΠΠ°ΡΡΠΈΡΡ
- ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΈ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°
- ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ
- ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎ ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅ΠΌ
- Π’Π΅ΠΎΡΠΈΡ ΡΡΡΠΎΠΉΡΠΈΠ²ΠΎΡΡΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
- Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ
- ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΠ°ΠΏΠ»Π°ΡΠ°
- Π’Π΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»Ρ
- ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅
- Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ
- Π Π°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
- ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅
- ΠΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ
- ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ
- ΠΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅
- ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°
- ΠΡΠ°ΡΡ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅
- ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°
- ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·Π½Π°Ρ ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»
- ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
- ΠΡΠΏΡΠΊΠ»ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ
- Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ
ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ
ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠ°Π·ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ.\circ$.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: $β (\overline{Ξ±},\overline{Ξ²})$
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Ρ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΡΠΆΠ΅ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²Π° ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: $\overline{Ξ±}Ρ \overline{Ξ²}$.
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΡΠΎ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
- $|\overline{Ξ±}Ρ \overline{Ξ²}|=|\overline{Ξ±}||\overline{Ξ²}|sinβ‘β (\overline{Ξ±},\overline{Ξ²})$
- $\overline{Ξ±}Ρ \overline{Ξ²}β₯\overline{Ξ±}$, $\overline{Ξ±}Ρ \overline{Ξ²}β₯\overline{Ξ²}$
- $(\overline{Ξ±}Ρ \overline{Ξ²},\overline{Ξ±},\overline{Ξ²})$ ΠΈ $(\overline{i},\overline{j},\overline{k})$ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Ρ (ΡΠΈΡ. 2)
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 2. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ²ΡΠΎΡ24 β ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ½Π΅Ρ-Π±ΠΈΡΠΆΠ° ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡ
ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π²Π½Π΅ΡΠ½Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π½ΡΡΡΡΡ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π² Π΄Π²ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ :
- ΠΡΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΡΠ»Ρ.\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$
ΠΡΠ²Π΅Ρ: $12$.
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ 1 ΡΡΠ°Π·Ρ ΠΆΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ΠΊΠ°Π΅Ρ ΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΊΡΠΎΠΌΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π΅ΡΠ΅ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ. ΠΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΈΠΌΠΎ Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π΅ΡΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π½Π°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΡΡΡΡ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ $\overline{Ξ±}$ ΠΈ $\overline{Ξ²}$, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ $(Ξ±_1,Ξ±_2,Ξ±_3)$ ΠΈ $(Ξ²_1,Ξ²_2,Ξ²_3)$, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ (Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
$\overline{Ξ±}Ρ \overline{Ξ²}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\Ξ±_1&Ξ±_2&Ξ±_3\\Ξ²_1&Ξ²_2&Ξ²_3\end{vmatrix}$
ΠΠ½Π°ΡΠ΅, ΡΠ°ΡΠΊΡΡΠ²Π°Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ
$\overline{Ξ±}Ρ \overline{Ξ²}=(Ξ±_2 Ξ²_3-Ξ±_3 Ξ²_2,Ξ±_3 Ξ²_1-Ξ±_1 Ξ²_3,Ξ±_1 Ξ²_2-Ξ±_2 Ξ²_1)$
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² $\overline{Ξ±}$ ΠΈ $\overline{Ξ²}$ Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ $(0,3,3)$ ΠΈ $(-1,2,6)$.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΡΠ΅. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ
$\overline{Ξ±}Ρ \overline{Ξ²}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\0&3&3\\-1&2&6\end{vmatrix}=(18-6)\overline{i}-(0+3)\overline{j}+(0+3)\overline{k}=12\overline{i}-3\overline{j}+3\overline{k}=(12,-3,3)$
ΠΡΠ²Π΅Ρ: $(12,-3,3)$.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² $\overline{Ξ±}$, $\overline{Ξ²}$ ΠΈ $\overline{Ξ³}$, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ $rβR$ ΡΠΏΡΠ°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°:
$\overline{Ξ±}Ρ \overline{Ξ²}=-(\overline{Ξ²}Ρ \overline{Ξ±})$
ΠΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΠ· ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠ½ΠΊΡΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ 1.
$(r\overline{Ξ±})Ρ \overline{Ξ²}=r(\overline{Ξ±}Ρ \overline{Ξ²})$ ΠΈ $\overline{Ξ±}Ρ (r\overline{Ξ²})=r(\overline{Ξ±}Ρ \overline{Ξ²})$
ΠΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡ:
$(r\overline{Ξ±})\overline{Ξ²}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\rΞ±_1&rΞ±_2&rΞ±_3\\Ξ²_1&Ξ²_2&Ξ²_3\end{vmatrix}=r\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\Ξ±_1&Ξ±_2&Ξ±_3\\Ξ²_1&Ξ²_2&Ξ²_3\end{vmatrix}=r(\overline{Ξ±}Ρ \overline{Ξ²})$
$\overline{Ξ±}Ρ (r\overline{Ξ²})=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\Ξ±_1&Ξ±_2&Ξ±_3\\rΞ²_1&rΞ²_2&rΞ²_3\end{vmatrix}=r\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\Ξ±_1&Ξ±_2&Ξ±_3\\Ξ²_1&Ξ²_2&Ξ²_3\end{vmatrix}=r(\overline{Ξ±}Ρ \overline{Ξ²})$
$\overline{Ξ±}Ρ (\overline{Ξ²}+\overline{Ξ³})=\overline{Ξ±}\overline{Ξ²}+\overline{Ξ±}\overline{Ξ³}$ ΠΈ $(\overline{Ξ±}+\overline{Ξ²})\overline{Ξ³}=\overline{Ξ±}\overline{Ξ³}+\overline{Ξ²}\overline{Ξ³}$.
ΠΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΠΌΡΡΠ»ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:
ΠΠ»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ (ΡΠΈΡ. 4)
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 4. ΠΠ»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ²ΡΠΎΡ24 β ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ½Π΅Ρ-Π±ΠΈΡΠΆΠ° ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡ
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ ΠΈ $(3,8,0)$.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ (ΡΠΈΡ.5):
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 5. ΠΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅. ΠΠ²ΡΠΎΡ24 β ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ½Π΅Ρ-Π±ΠΈΡΠΆΠ° ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡ
ΠΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π²Π΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Ρ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ $\overline{Ξ±}=(3,0,0)$ ΠΈ $\overline{Ξ²}=(0,8,0)$. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
$S=|\overline{Ξ±}Ρ \overline{Ξ²}|$
ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ $\overline{Ξ±}Ρ \overline{Ξ²}$:
$\overline{Ξ±}Ρ \overline{Ξ²}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\3&0&0\\0&8&0\end{vmatrix}=0\overline{i}-0\overline{j}+24\overline{k}=(0,0,24)$
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ
$S=|\overline{Ξ±}Ρ \overline{Ξ²}|=\sqrt{0+0+24^2}=24$
ΠΡΠ²Π΅Ρ: $24$.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² — ΡΡΠΎ… Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²?
ΠΡΠ°Π²ΡΠ΅ ΠΈ Π»Π΅Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
Π’ΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠΉΠΊΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉΒ β Π²ΡΠΎΡΡΠΌ, Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉΒ β ΡΡΠ΅ΡΡΠΈΠΌ.
Π’ΡΠΎΠΉΠΊΠ° Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ (Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ), Π΅ΡΠ»ΠΈ, Π±ΡΠ΄ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΠ½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΊ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Ρ, ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ, Π½Π΅ΡΠΎΠ³Π½ΡΡΡΠΉ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΈ ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ°Π»ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ (Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ) ΡΡΠΊΠΈ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ , ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΠΌ:
- Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ Π½Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ; ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
Π ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅Π±Π½ΡΡ Π·Π°Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°ΡΡΡΡ ΠΏΠΎ-ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΌΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π°Π»Π΅Π΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ . Π Π΄Π°Π»Π΅Π΅ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ
ΠΡΠ»ΠΈ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌΠΈ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ, Π° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ ΡΠΎΡΠ½Π΅Π΅Β β ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π±Π°Π·ΠΈΡΠ΅
ΡΠΎ ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄
ΠΠ»Ρ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ:
ΠΈΠ»ΠΈ
Π³Π΄Π΅ Β β ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» ΠΠ΅Π²ΠΈ-Π§ΠΈΠ²ΠΈΡΡ.
ΠΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½Ρ
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π±ΡΠΊΠ²Ρ , , Β β ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΡΠΎΠ² Π² : ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡΠ΅ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½Ρ.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ , ΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ² i, j ΠΈ k. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ a1i + a2j + a3k, ΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π²Π·ΡΡΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΎΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΠΈΠΌ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ². Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½ΠΎΠ².
ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°:
Π³Π΄Π΅
ΠΡΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:
ΡΠΎΠ³Π΄Π°
Π’Π°ΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π²Π΄ΠΎΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ (ΡΠ³Π»ΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ, ΠΈΠ½Π΄ΡΠΊΡΠΈΡ ΠΈΒ Ρ.Β ΠΏ.) ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ. Π―ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ n(n β 1) / 2 Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ Π² n-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅. Π ΡΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΡΠΈ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°.
Π‘ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠΎΠΉ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π² en:epipolar geometry).
ΠΠ· ΠΎΠ±ΡΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ
- Β ΠΈ Β
Π° ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½Π°, ΡΠΎ
Π ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΠ°Π³ΡΠ°Π½ΠΆΠ° (ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Β«Π±Π°Ρ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ°Π±Β»).
Π Π°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ
Π 3-Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. ΠΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΡΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠΉ Π²ΡΡΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠΈΠ·ΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ. ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΠΎΠ³Π΄Π°
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ»Π΅Π²Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ A ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΡΠΎΠΊΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². Π’ΡΠ°Π½ΡΠΏΠΎΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΡΡΠΎΠΊΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡΠΎΡ. ΠΠ΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠΈΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ (AΒ β ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°, , Β β Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ):
ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:
EΒ β Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ°. ΠΡΡΡΠ΄Π° ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΠΈΠ΄ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ»Π΅Π²Π°. ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΏΡΠ°Π²Π°. Π Π°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ Β«Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²Β», ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΡΡΡ Π½Π° ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° Π‘ΡΠΎΠΊΡΠ° Π² ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΠΈΠ΄:
Π³Π΄Π΅ ΡΠΎΡΠΎΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ A Π½Π° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΎΡ ΠΠ°ΠΌΠΈΠ»ΡΡΠΎΠ½Π° ΡΠ»Π΅Π²Π°. Π ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ Π‘ΡΠΎΠΊΡΠ°:
Π Π°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ ΡΡΡΠΌ
ΠΡΡΡΡ DΒ β ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡΡΠ΅Π΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π±ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π±ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π°Π½ΡΠΈΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π΅Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ , ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ 3.
ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Ρ Ρ 3, Π° Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎΒ β ΠΈ Π½Π° ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ 2 (ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅, ΠΏΡΠ°Π²Π΄Π°, ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΡΡ Π²ΡΡΠ΅, Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π½Π΅ Π΄Π»Ρ ΠΏΠ°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π° Π»ΠΈΡΡ Π΄Π»Ρ Π½Π°Π±ΠΎΡΠ° (D β 1) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²-ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ. ΠΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΠΌΡ Π² D-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π½Π° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ Ρ D ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠΌΠΈ. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» ΠΠ΅Π²ΠΈ-Π§ΠΈΠ²ΠΈΡΡ Ρ D ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ²Π½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ (D β 1)-Π²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ
Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ (D β 1).
ΠΡΠ»ΠΈ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ», ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠΉ ΠΊ ΡΠΌΡΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ (ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ), ΡΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΈ D < > 3 Π½Π΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΠΎΠΉ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ ΠΊ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π½Π°ΡΡΠ½ΡΡΠΎΠΉ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ. ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ Π±ΠΈΠ²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡΠΌ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, Π½Π°ΡΡΠ½ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΠΏΠ°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ:
- .
ΠΡΠ° ΠΊΠΎΠ½ΡΡΡΡΠΊΡΠΈΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π½Π΅ΡΠ½ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.
ΠΠ»Ρ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π²Π΄ΠΎΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°ΡΡΠ΅Π΅ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΈΡΡ Ρ ΠΏΡΠ΅Π²Π΄ΠΎΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠΎΠΌ.
ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ° ΠΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π½Π° ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΠΈ (ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½ΠΎ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΠΌ — Π°Π½ΡΠΈΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Ρ Π―ΠΊΠΎΠ±ΠΈ). ΠΡΠ° ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠ° ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠΎΠΉ ΠΠΈ so(3) ΠΊ Π³ΡΡΠΏΠΏΠ΅ ΠΠΈ SO(3) ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΡΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°.
Π‘ΠΌ. ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΡΡΠ³ΠΎΠ΅
Π‘ΡΡΠ»ΠΊΠΈ
ΠΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ°
- ΠΠΎΡΠΈΠ½ Π. Π. ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΠΈ ΡΠ΅Π½Π·ΠΎΡΠ½ΡΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·.
Wikimedia Foundation. 2010.
ΠΠ‘ΠΠΠΠ¬ΠΠΠΠΠΠΠ ΠΠΠΠ’ΠΠ ΠΠΠΠ ΠΠ ΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠ― ΠΠΠΠ’ΠΠ ΠΠ ΠΠΠ― ΠΠ«Π§ΠΠ‘ΠΠΠΠΠ― ΠΠΠΠ©ΠΠΠ ΠΠΠΠΠ’ΠΠ Π«Π₯ ΠΠΠΠΠΠ’Π ΠΠ§ΠΠ‘ΠΠΠ₯ Π€ΠΠΠ£Π ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠ° 10 Π ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ° ΠΠΠ£ Π‘ΠΠ¨ β73 ΠΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠΎΠ²Π° ΠΠΈΡ Π°ΠΈΠ»Π°
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΠΠ’ΠΠ ΠΠ
Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ
Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΈΠ³ΡΡ
ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ° ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅
Π£ΡΠ΅Π½ΠΈΠΊΠ° 10 Π ΠΊΠ»Π°ΡΡΠ°
ΠΠΠ£ Π‘ΠΠ¨ β73
ΠΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠΎΠ²Π° ΠΠΈΡ Π°ΠΈΠ»Π°
Π ΡΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ:
ΠΡΡΠΈΡΡΠ΅Π½Ρ ΠΊΠ°Ρ. ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠΎ-ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°ΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅ΡΠ° Π‘ΠΠ£ ΠΈΠΌ. Π.Π. Π§Π΅ΡΠ½ΡΡΠ΅Π²ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΠ΅ΡΠ΄Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΠ»Π΅Π± Π‘Π΅ΡΠ³Π΅Π΅Π²ΠΈΡ
Π‘Π°ΡΠ°ΡΠΎΠ², 2015
Π‘ΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.
1. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ.
1.1. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ.
1.2. ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ
1.3 Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ
1.4. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΡΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΠ²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅: ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ.
1.5. ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
2. ΠΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ.
2.1. Π‘Π²ΡΠ·Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°. ΠΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
2.2. ΠΠ½Π°Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ, Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ
2.3. ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠ° Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ.
2.4. ΠΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠ°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΠΊ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π΄Π²Π° ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π° ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ βΒ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ. ΠΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ ΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΆΠ΅ΠΉ, Π° Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉΒ Β Β ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΏΡΠ΅ΠΈΠΌΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ. Π ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠ΅ΠΉ. ΠΠ½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΒ β ΡΡΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ, Π° ΡΠΎΡΠ½Π΅Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅. ΠΠ½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·Ρ, ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ, Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π² ΡΡΠΎΠΉ Π½Π°ΡΠΊΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ³ΡΡ ΠΏΠΎΠΌΠΈΠΌΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
Π ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Ρ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΈΠΌ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΉ, ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΈΠ³ΡΡ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°ΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ.
Π ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Ρ ΡΡΠΈΠΌ Π±ΡΠ»Π° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½Π° ΡΠ΅Π»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠ°Β β ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠΈΠ³ΡΡ.
Π ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Ρ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΅Π»ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ°Π»ΠΈΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ:
1. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΈΠ·ΡΡΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΈ Π΄Π°ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ;
2. ΠΡΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°;
3. ΠΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ ;
4. ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π²ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ.
1. Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡΒ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ:
Π Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π, ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° β ΡΠΎΡΠΊΠ° Π. Π‘Π°ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΈΠ»ΠΈ Β . Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° , Π·Π½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π²ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ:
Β = {BxΒ — AxΒ ;Β ByΒ — Ay}
ΠΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Β ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ, Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΡΡΠΈΠΉΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.
ΠΠ»ΠΈΠ½Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡΒ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.
ΠΠ»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Β || Π² ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈΠ· ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
Π‘ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ, Π° ΠΏΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ (ΡΠΈΡ. 1). Π‘ΡΠΌΠΌΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Ρ Π½ΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ.
Π‘ΡΠΌΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Β Β = {axΒ ;Β ay} ΠΈ = {bxΒ ;Β by} ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π²ΡΠΈΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ:
+Β = {axΒ +Β bx;Β ayΒ +Β by}
Π ΠΈΡ. 1. ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ
ΠΡΡΠΈΡΠ°Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΈΡ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π° ΠΏΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ.
Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²Β Β = {axΒ ;Β ay} ΠΈΒ Β = {bxΒ ;Β by} ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
—Β Β = {axΒ —Β bx;Β ayΒ —Β by}
Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ Π½Π° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π² k ΡΠ°Π· Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅) Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ. ΠΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ΅ΡΡ ΠΎΡ Π·Π½Π°ΠΊΠ° k: ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ k Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠΎΠ½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ, Π° ΠΏΡΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ β ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Β Β = {axΒ ;Β ay} ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°Β k ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π²ΡΠΈΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ:
kΒ Β·Β Β = {kΒ Β·Β ax;Β kΒ Β·Β ay}
Π ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ? ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ!
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½Ρ β ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.
Π ΠΈΡ. 2. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ
ΠΠ»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ» ο‘ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠΉ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ 3.
ΠΠ· ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ, Π΅Π³ΠΎ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. ΠΠ°ΠΆΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ, ΡΠΎ ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ, Ρ.ΠΊ. ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ.
Π ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΈΠ· ΡΠ°ΠΌΡΡ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌΠΈ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ°ΠΌΠΈ), Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. Π Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ , ΡΠΎ ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ:
Π ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ 3 ΠΎΡΠΈ ΠΈ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, Ρ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠΎ 3 ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ, Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
.
1.2. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅.
ΠΡΠΎΡΡΠΌ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΆΠ΅ Π½Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, Π° ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎ 3 ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ.
Π ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΡΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ Β«Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β» Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΠΈΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ. ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ Π±ΡΠ»ΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠΎ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ Π²ΡΡΡΠΏΠΈΠ²ΡΠΈΠΌ Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ.
ΠΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° , ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΡΠΌ, Π²ΡΡΡΠΏΠΈΠ²ΡΠΈΠΌ Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ — ΠΈ , ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½ΠΎ Π΄Π²Π° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ Π±ΡΡΠ°Π²ΡΠΈΠΊΠ°. ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π°ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π»ΠΈ ΠΈ Π²ΡΠ°ΡΠ°ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ-ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΊΡΠ°ΡΡΠ°ΠΉΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΊΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ-ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ, Π° ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΠΏΠ°Π»ΡΡΠ° ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π»ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ (ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ ΠΎΡ Π²Π°ΡΡΠ²Π°Ρ Π²ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΠΈΠΉΡΡ ΡΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ), ΡΠΎ ΠΎΡΡΠΎΠΏΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°-ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ (ΡΠΈΡ. 7).
Π ΠΈΡ. 7. ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ
1.3. Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠ»ΠΈΠ½Π° ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅
.
ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Β Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°ΠΊ Π±ΡΠ»ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π²ΡΡΠ΅, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ , Π° Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ:
.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½ΠΎ 0, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½Ρ, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 0.
ΠΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ: . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅
.
ΠΠ»ΠΈΠ½Π° ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
.
2. ΠΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ.
2.1. Π‘Π²ΡΠ·Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΡΡ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΡΡΡΡ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π½ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ABC (ΡΠΈΡ. 8). ΠΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ .
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΠ ΠΈ ΠΠ‘ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΠΎ Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²:
ΠΠ· Π²ΡΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ (ΡΠΈΡ. 9):
Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡΒ Β ΠΈΒ , Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΡ ΠΎΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ ΠΎΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ.
ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²Β Β ΠΈΒ Β ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ Β Β ΠΈΒ , ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈΒ Β ΠΈΒ Β ΠΈ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΒ .
.
Π ΠΈΡ. 9. ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
Π ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Ρ ΡΡΠΈΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²:
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Β Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Β Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ , Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ Β ΠΈΒ , ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ± Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΒ Β ΠΊΒ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Β ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΠ»ΠΎΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Ρ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Β Β (ΡΠΈΡ. 10).
Π ΠΈΡ. 10. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°
2.2. ΠΡΠ²ΠΎΠ΄ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Π² ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ .
ΠΡΠ°ΠΊ, Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π½ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΠΠ‘ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½. ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° (ΡΠΈΡ. 11).
Π ΠΈΡ. 11. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π½Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ»Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»Π°, ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΠ ΠΈ ΠΠ‘.
ΠΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ»ΠΈΠ½Π° ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° 2 ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΡΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΠΠ‘. ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° 10.
ΠΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ 2 ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π±ΡΠ΄ΡΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ°: ΠΡΡΡΡ Π΄Π°Π½ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΠΠ‘ ΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½ (ΡΠΈΡ. 12).
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° .
Π ΠΈΡ. 12. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΠ‘ ΠΈ ΠΠ. . ΠΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π½ΡΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π½Ρ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠ΅ z1 ΠΈΠ»ΠΈ z2, ΡΠ°Π²Π½Ρ 0, Ρ.ΠΊ. z1ΠΈ z2 = 0. Π£ΠΠ ΠΠ’Π¬!!!
ΠΡΠ°ΠΊ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
2.3. ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠ° ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈΒ aΒ =Β {-1;Β 2;Β -2} ΠΈΒ bΒ =Β {2;Β 1;Β -1}.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:Β ΠΠ°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²:
aΒ ΓΒ b=Β
Β iΒ
Β jΒ
Β kΒ
Β =
Β -1Β
Β 2Β
Β -2Β
Β 2Β
Β 1Β
Β -1Β
=Β i(2 Β· (-1) — (-2) Β· 1) —Β j((-1) Β· (-1) — (-2) Β· 2) +Β k((-1) Β· 1 — 2 Β· 2) =
=Β i(-2 + 2) —Β j(1 + 4) +Β k(-1 — 4) = -5jΒ — 5kΒ = {0; -5; -5}
ΠΠ· ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:
SΞ =Β
1
|aΒ ΓΒ b| =Β
1
β02Β + 52Β + 52Β =Β
1
β25 + 25Β =Β
1
β50Β =Β
5β2
2
2
2
2
2
ΠΡΠ²Π΅Ρ:Β SΞ = 2.5β2.
ΠΠ°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
2.4. ΠΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ
ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠ΄Π΅ ΠΆΠ΅ Π½ΡΠΆΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ? ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π½ΠΎΡΡΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅Ρ, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΌΠΈΡΠ΅.
Π ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½ΠΎ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ. ΠΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠΉ, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡΡ Π½Π° ΠΈΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ», ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, Π° ΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°ΠΌΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ, ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡ ΠΈ ΡΠΈΠ»Π° (ΡΠΈΡ. 12). ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠ° ΠΈ ΡΠΈΠ»Π° ΠΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
Π ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, Π½ΠΎ Π² Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ ΠΈ ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Β ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Π΅ΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ, ΠΈ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠΎΠ½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ.
ΠΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅, Π³Π΄Π΅ F β Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΈΠ»Ρ, Π° s β Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΠΈΠ»Ρ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ ΠΎΡΠΈ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ»Ρ, Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΠ»Ρ.
ΠΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ.
Π‘ΡΠΎΠΈΡ Π΅ΡΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π΄Π²ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ ΠΈ ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ Π½Π΅ ΠΈΡΡΠ΅ΡΠΏΡΠ²Π°ΡΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ². ΠΡΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» Π΄Π»Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ΅ΡΠΌΠΎΡΡΡ Π½Π° ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΡΠ΅ΠΌ 3, ΡΠ΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΎΠ·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π²ΠΈΠ·ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ ΡΠ΅Π±Π΅ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ Π½Π°ΡΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΌΡΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ.
Π ΡΠΎ ΠΆΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² ΡΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΠ²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Π° ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΎ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ.
ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ°ΠΌΡΡ ΡΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π² Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΏΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½, ΡΡΠΎ Π±ΡΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΎ Π²ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π² ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, Π³Π΄Π΅ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ, ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡ ΠΈ ΡΠΈΠ»Π° ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ.
Π‘ΠΏΠΈΡΠΎΠΊ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²
ΠΡΠ°Π½Π°ΡΡΠ½ Π. Π‘., ΠΡΡΡΠ·ΠΎΠ² Π. Π€., ΠΠ°Π΄ΠΎΠΌΡΠ΅Π² Π‘. Π. ΠΈ Π΄Ρ. ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ. 7-9 ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ: ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΡΠ³Π°Π½ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΉ. Π.: ΠΡΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, 2013. 383 Ρ.
ΠΡΠ°Π½Π°ΡΡΠ½ Π.Π‘., ΠΡΡΡΠ·ΠΎΠ² Π. Π€., ΠΠ°Π΄ΠΎΠΌΡΠ΅Π² Π‘. Π. ΠΈ Π΄Ρ. ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ. 10-11 ΠΊΠ»Π°ΡΡΡ: ΡΡΠ΅Π±Π½ΠΈΠΊ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΡΠ³Π°Π½ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΉ: Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΡΠΉ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠΎΠ²Π½ΠΈ. Π.: ΠΡΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, 2013. 255 Ρ.
ΠΡΠ³ΡΠΎΠ² Π―.Π‘., ΠΠΈΠΊΠΎΠ»ΡΡΠΊΠΈΠΉ Π‘.Π. ΠΡΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°. Π’ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ: ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ.
????ΠΠ»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΊ Π.Π. Π‘Π±ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΏΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ. Π.: ΠΠ°ΡΠΊΠ°, Π€ΠΈΠ·ΠΌΠ°ΡΠ»ΠΈΡ, 1998.
ΠΠ½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ.
http://a-geometry.narod.ru/problems/problems_32.htm
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°. ΠΠ»Π΅Π²Π΅Ρ.
http://www.cleverstudents.ru/vectors/vector_product_of_vectors.html
——ΠΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½.
http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/
Π‘Π°ΠΉΡ Π. ΠΠ»Π°Π·Π½Π΅Π²Π°.
http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/analit/common/html/anlek7.htm
——ΠΠΈΠΊΠΈΠΏΠ΅Π΄ΠΈΡ.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EA%F2%EE%F0%ED%EE%E5_%EF%F0%EE%E8%E7%E2%E5%E4%E5%ED%E8%E5
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ , (Π΄Π»ΠΈΠ½Π°) ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ :
ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Β« Cross Product Β» (ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠΌ. Π’ΠΎΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅)
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ a Γ b Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² — ΡΡΠΎ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ , ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΊ ββΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ:
Π Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π² ΡΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ !
ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° (Π΄Π»ΠΈΠ½Π°) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ a ΠΈ b Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½:
ΠΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΡΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ:
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ( ΡΠΈΠ½ΠΈΠΉ ):
- Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ a ΠΈ b ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ
- Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°Π΅Ρ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ a ΠΈ b ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ
Π ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π² ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ!
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ?
Π Π°ΡΡΠ΅Ρ
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
a Γ b = | a | | b | sin (ΞΈ) n
- | a | Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° (Π΄Π»ΠΈΠ½Π°) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a
- | b | Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° (Π΄Π»ΠΈΠ½Π°) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° b
- ΞΈ — ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ a ΠΈ b
- n — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΊ ββ a ΠΈ b
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΡΠ°Π²Π½Π°: Π΄Π»ΠΈΠ½Π° a ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ b ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π½Π° ΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ a ΠΈ b ,
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ n , ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ½ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΠ»ΡΡ Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ (ΠΏΠΎΠ΄ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΊ ββ a ΠΈ b ).
ΠΠΠ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊ:
ΠΠΎΠ³Π΄Π° a ΠΈ b Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°ΡΡΡΡ Π² ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (0,0,0), ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΊΠ°Π½ΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°:
- c x = a y b z — a z b y
- c y = a z b x — a x b z
- c z = a x b y — a y b x
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
a = (2,3,4) ΠΈ b = (5,6,7)- c x = a y b z — a z b y = 3 Γ 7 — 4 Γ 6 = β3
- c y = a z b x — a x b z = 4 Γ 5 — 2 Γ 7 = 6
- c z = a x b y — a y b x = 2 Γ 6 — 3 Γ 5 = β3
ΠΡΠ²Π΅Ρ: a Γ b = (β3,6, β3)
Π ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ?
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π² ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΠΎ-ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΊ ββΠ΄Π²ΡΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
«ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ»
ΠΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠ°Π»ΡΡΠ΅ΠΌ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a , Π° ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠ°Π»ΡΡΠ΅ΠΌ — Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° b : ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ΄Π΅Ρ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Π»ΡΡΠ°.
Π’ΠΎΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ .
ΠΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ (ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ), ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ .
ΠΠΎΠΏΡΠΎΡ: Π§ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΊΡΠ΅ΡΡΠΈΡΡ ΡΠ»ΠΎΠ½Π° Ρ Π±Π°Π½Π°Π½ΠΎΠΌ?
ΠΡΠ²Π΅Ρ: | ΡΠ»ΠΎΠ½ | | Π±Π°Π½Π°Π½ | sin (ΞΈ) n
12.4 ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Π°Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ: ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ (Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ!) ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ. ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌ Π΄Π²ΡΠΌ. ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, $ \ ds {\ bf A} = \ langle a_1, a_2, a_3 \ rangle $ ΠΈ $ \ ds {\ bf B} = \ langle b_1, b_2, b_3 \ rangle $. ΠΡ Ρ ΠΎΡΠΈΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ $ \ ds {\ bf v} = \ langle v_1, v_2, v_3 \ rangle $ Ρ $ {\ bf v} \ cdot {\ bf A} = {\ bf v} \ cdot {\ bf B} = 0 $, ΠΈΠ»ΠΈ $$ \ eqalign { a_1v_1 + a_2v_2 + a_3v_3 & = 0, \ cr b_1v_1 + b_2v_2 + b_3v_3 & = 0.\ cr } $$ Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° $ \ ds b_3 $, Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ — Π½Π° $ \ ds a_3 $ ΠΈ Π²ΡΡΠ΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ $$ \ eqalign { b_3a_1v_1 + b_3a_2v_2 + b_3a_3v_3 & = 0 \ cr a_3b_1v_1 + a_3b_2v_2 + a_3b_3v_3 & = 0 \ cr (a_1b_3-b_1a_3) v_1 + (a_2b_3-b_2a_3) v_2 & = 0 \ cr } $$ ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ; Π° ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ $ \ ds v_1 = a_2b_3-b_2a_3 $, $ \ ds v_2 = b_1a_3-a_1b_3 $. ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎ Π² Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΎΡΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ $ \ ds v_3 $ Π΄Π°Π΅Ρ $ \ ds v_3 = a_1b_2-b_1a_2 $.
ΠΡΠΎΡ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°, ΠΈ ΠΎΠ½ ΡΠ΄ΠΎΡΡΠΎΠ΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈ: ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ : $$ {\ bf A} \ times {\ bf B} = \ langle a_2b_3-b_2a_3, b_1a_3-a_1b_3, a_1b_2-b_1a_2 \ rangle. $$ Π₯ΠΎΡΡ Π² ΡΡΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ΅ Π΅ΡΡΡ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΈΠΉ ΡΠ·ΠΎΡ, ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ; Π²ΠΎΡ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½Π°Ρ ΠΌΠ½Π΅ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊΠ°. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ Π΄Π²Π° Π½Π° Π΄Π²Π° ΡΠ°Π²Π΅Π½ $$ \ left | \ matrix {a & b \ cr c & d \ cr} \ right | = ad-cb. $$ ΠΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ Π΄ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΡΠΈ Π½Π° ΡΡΠΈ: $$ \ eqalign { \ left | \ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΠ° {x & y & z \ cr Π°_1 ΠΈ Π°_2 ΠΈ Π°_3 \ cr b_1 & b_2 & b_3 \ cr} \ right | & = x \ left | \ matrix {a_2 & a_3 \ cr b_2 & b_3 \ cr} \ right | -y \ left | \ matrix {a_1 & a_3 \ cr b_1 & b_3 \ cr} \ right | + z \ left | \ matrix {a_1 & a_2 \ cr b_1 & b_2 \ cr} \ right | \ cr & = x (a_2b_3-b_2a_3) -y (a_1b_3-b_1a_3) + z (a_1b_2-b_1a_2) \ cr & = x (a_2b_3-b_2a_3) + y (b_1a_3-a_1b_3) + z (a_1b_2-b_1a_2).\ cr} $$ ΠΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π°Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΡΡ Π½Π΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠΈ ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΡΠΎΠ»Π±Π΅Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΡΡΠΈ Π½Π° ΡΡΠΈ; Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Ρ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ ΡΠΎΠΆΠ΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ. ΠΡΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠ΅Π²ΠΎΠ·Π½ΠΎΡΠΈΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ; Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π΄Π΅ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΡΡ Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ ΠΈ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ. ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΌΡ Ρ ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½Π΅ΠΌΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠ΅ΠΌ. ΠΡ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΊΡΡΠ³Π»ΡΠ΅ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ Π² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΉ ΡΡΡΠΎΠΊΠ΅ — ΡΡΠΎ Π² ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅; Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΡ $ x $, $ y $, $ z $ Π½Π° $ \ bf i $, $ \ bf j $, $ \ bf k $ Π΄Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΌ $$ \ eqalign { \ left | \ matrix {{\ bf i} & {\ bf j} & {\ bf k} \ cr Π°_1 ΠΈ Π°_2 ΠΈ Π°_3 \ cr b_1 & b_2 & b_3 \ cr} \ right | & = (a_2b_3-b_2a_3) {\ bf i} — (a_1b_3-b_1a_3) {\ bf j} + (a_1b_2-b_1a_2) {\ bf k} \ cr & = (a_2b_3-b_2a_3) {\ bf i} + (b_1a_3-a_1b_3) {\ bf j} + (a_1b_2-b_1a_2) {\ bf k} \ cr & = \ langle a_2b_3-b_2a_3, b_1a_3-a_1b_3, a_1b_2-b_1a_2 \ rangle \ cr & = {\ bf A} \ times {\ bf B}.\ cr} $$
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 12.4.1. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ $ {\ bf A} = \ langle 1,2,3 \ rangle $, $ {\ bf B} = \ langle. 4,5,6 \ rangle $. ΠΏΠΎΡΠΎΠΌ $$ \ eqalign { {\ bf A} \ times {\ bf B} & = \ left | \ matrix {{\ bf i} & {\ bf j} & {\ bf k} \ cr 1 ΠΈ 2 ΠΈ 3 \ cr 4 ΠΈ 5 ΠΈ 6 \ cr} \ right | \ cr & = (2 \ cdot 6-5 \ cdot 3) {\ bf i} + (4 \ cdot 3-1 \ cdot 6) {\ bf j} + (1 \ cdot 5-4 \ cdot 2) {\ bf k} \ cr & = — 3 {\ bf i} +6 {\ bf j} -3 {\ bf k} \ cr & = \ langle -3, 6, -3 \ rangle \ cr } $$ ΠΠΎΡΠ»Π΅ Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠΈ Π²Ρ ΠΎΠ±Π½Π°ΡΡΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°Π³ΠΈ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΡ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ $ 3 \ times3 $ ΠΊ ΠΎΠ±ΡΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ°.$ \ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ $
ΠΠ»Ρ $ \ bf A $ ΠΈ $ \ bf B $ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π΅ΡΡΡ Π΄Π²Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π΄Π°Π΄ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ $ \ bf A $, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ $ \ bf B $. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΌΡ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π»ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½Ρ, ΠΌΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ $ {\ bf A} \ times {\ bf B} $; ΡΡΠΎ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π±Π΅ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ½ΠΎ, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ. 2 \ theta \ cr | {\ bf A} \ times {\ bf B} | & = | {\ bf A} || {\ bf B} | \ sin \ theta \ cr } $$ Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° $ {\ bf A} \ times {\ bf B} $ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΡ ΠΎΠΆΠ° Π½Π° ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ.Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ $ \ bf A $ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ $ \ bf B $, ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ $ \ sin \ theta = 0 $, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ $ | {\ bf A} \ times {\ bf B} | = 0 $, ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π°Π½ΡΠΈΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ, $ \ sin \ theta = 0 $ ΠΈ $ | {\ bf A} \ times {\ bf B} | = 0 $. ΠΠ°ΠΎΠ±ΠΎΡΠΎΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ $ | {\ bf A} \ times {\ bf B} | = 0 $ ΠΈ $ | {\ bf A} | $ ΠΈ $ | {\ bf B} | $ Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΡΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ $ \ sin \ theta = 0 $, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ $ \ bf A $ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π°Π½ΡΠΈΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ $ \ bf B $.
ΠΠΎΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΏΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ°ΠΊΡ ΠΎΠ± ΡΡΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅ ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΡΡΠΌΠ° ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡΠΌ: Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΠΈΡ Ρ Π²ΠΎΡΡ ΠΊ Ρ Π²ΠΎΡΡΡ ΠΈ ΡΡΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ 12.4.1. Π Π²ΡΡΠΎΡΠ° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° $ h $ ΡΠ°Π²Π½Π° $ | {\ bf A} | \ sin \ theta $, Π° Π±Π°Π·Π° ΡΠ°Π²Π½Π° $ | {\ bf B} | $, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ ΡΠ°Π²Π΅Π½ $ | {\ bf A} || {\ bf B} | \ sin \ theta $, Π² ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° $ | {\ bf A} \ times {\ bf B} | $.
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 12.4.1. ΠΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ.
Π ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΡΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ? ΠΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΠ΅Π΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ: ΠΡΡΡΡ $ {\ bf A} = \ langle a, 0,0 \ rangle $, $ {\ bf B} = \ langle b, c, 0 \ rangle $. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ Ρ Π²ΠΎΡΡΠ°ΠΌΠΈ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, $ \ bf A $ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ $ x $, Π° $ \ bf B $ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ $ x $ — $ y $, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π²Π²Π΅ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ·.ΠΡΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ $$ \ eqalign { {\ bf A} \ times {\ bf B} = \ left | \ matrix {{\ bf i} & {\ bf j} & {\ bf k} \ cr Π° & 0 & 0 \ cr b & c & 0 \ cr} \ right | & = \ langle 0,0, ac \ rangle. \ Cr} $$ ΠΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎΡΡ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠΉ Π²Π²Π΅ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π½ΠΈΠ·, Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ Π·Π½Π°ΠΊ $ ac $. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ $ a> 0 $, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π·Π½Π°ΠΊ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΡ $ c $: Π΅ΡΠ»ΠΈ $ c> 0 $, $ ac> 0 $ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π²Π²Π΅ΡΡ ; Π΅ΡΠ»ΠΈ $ c0 $, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π²Π½ΠΈΠ·, Π° Π΅ΡΠ»ΠΈ $ a0 $ ΠΈ $ c> 0 $, ΠΈΠ»ΠΈ $ a
Π₯ΠΎΡΡ Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ Π΄Π²ΡΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌΡ. ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ ΡΠΎΠΆΠ΅.ΠΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ $ \ bf A $ ΠΈ $ \ bf B $ Ρ Π²ΠΎΡΡ Π² Ρ Π²ΠΎΡΡ. Π‘Π°ΠΌΠΎΠ»Π΅Ρ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ $ \ bf ΠΠ° A $ ΠΈ $ \ bf B $ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ Ρ Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½; ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈ Π½Π° ΡΡΠΎ ΡΠΎ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ $ \ bf A $ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΠΎΡΡΠΈΡΡ $ \ bf B $; ΡΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ $ {\ bf A} \ times {\ bf B} $ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π° Π²Π°Ρ.
ΠΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠ° ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ . ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΡΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π²Ρ ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΡΠΊΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΡ, Π³Π΄Π΅ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½Ρ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²Π°ΡΠΈ ΡΠ»Π΅Π³ΠΊΠ° ΡΠΎΠ³Π½ΡΡΡΠ΅ ΠΏΠ°Π»ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π»ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ ΠΈΠ· $ \ bf A $ Π² $ \ bf B $.ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π²Π°Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ $ {\ bf A} \ times {\ bf B} $.
ΠΠ΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΠ² ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎ, ΡΡΠΎ $ {\ bf A} \ times {\ bf B} \ not = {\ bf B} \ times {\ bf A} $, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ Π΄Π²Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ. Π‘ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ $$ | {\ bf A} \ times {\ bf B} | = | {\ bf A} || {\ bf B} | \ sin \ theta = | {\ bf B} || {\ bf A} | \ sin \ theta = | {\ bf B} \ times {\ bf A} |, $$ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠΎΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ°Π²Π½Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ $ {\ bf A} \ times {\ bf B} = — ({\ bf B} \ times {\ bf A}) $.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ³ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ ΠΈΡ Π·Π΄Π΅ΡΡ. ΠΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌ, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠΈ.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 12.4.2. ΠΡΠ»ΠΈ $ {\ bf u} $, $ {\ bf v} $ ΠΈ $ {\ bf w} $ — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, Π° $ a $ — Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠΎΠ³Π΄Π°
1. $ {\ bf u} \ times ({\ bf v} + {\ bf w}) = {\ bf u} \ times {\ bf v} + {\ bf u} \ times {\ bf w} $
2.$ ({\ bf v} + {\ bf w}) \ times {\ bf u} = {\ bf v} \ times {\ bf u} + {\ bf w} \ times {\ bf u} $
3. $ (a {\ bf u}) \ times {\ bf v} = a ({\ bf u} \ times {\ bf v}) = {\ bf u} \ times (a {\ bf v}) $
4. $ {\ bf u} \ cdot ({\ bf v} \ times {\ bf w}) = ({\ bf u} \ times {\ bf v}) \ cdot {\ bf w} $
5. $ {\ bf u} \ times ({\ bf v} \ times {\ bf w}) = ({\ bf u} \ cdot {\ bf w}) {\ bf v} — ({\ bf u} \ cdot {\ bf v}) {\ bf w} $ $ \ qed $
Π£ΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΡ 12.4
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Sage Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΡ. 12.4,1 ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ $ \ langle 1,1,1 \ rangle $ ΠΈ $ \ langle 1,2,3 \ rangle $. (ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ°ΡΡ)
ΠΡ. 12.4.2 ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ $ \ langle 1,0,2 \ rangle $ ΠΈ $ \ langle -1, -2,4 \ rangle $. (ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ°ΡΡ)
ΠΡ. 12.4.3 ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ $ \ langle -2,1,3 \ rangle $ ΠΈ $ \ langle 5,2, -1 \ rangle $. (ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ°ΡΡ)
ΠΡ. 12.4.4 ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ $ \ langle 1,0,0 \ rangle $ ΠΈ $ \ langle 0,0,1 \ rangle $. (ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ°ΡΡ)
ΠΡ. 12.4,5 ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° $ {\ bf u} $ ΠΈ $ {\ bf v} $ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ ΡΠ³ΠΎΠ» $ \ pi / 6 $ ΠΈ $ | {\ bf u} | = 2 $ ΠΈ $ | {\ bf v} | = 3 $. ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ $ | {\ bf u} \ times {\ bf v} | $. (ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ°ΡΡ)
ΠΡ. 12.4.6 ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° $ {\ bf u} $ ΠΈ $ {\ bf v} $ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ ΡΠ³ΠΎΠ» $ \ pi / 4 $ ΠΈ $ | {\ bf u} | = 3 $ ΠΈ $ | {\ bf v} | = 7 $. ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ $ | {\ bf u} \ times {\ bf v} | $. (ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ°ΡΡ)
ΠΡ. 12.4.7 ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ $ (0,0) $, $ (1,2) $, (3,7) $ ΠΈ (2,5) $. (ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ°ΡΡ)
ΠΡ. 12.4,8 ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ $ (0, -1) $, $ (3,4) $, $ (1,6) $ ΠΈ $ (- 2,1) $. (ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ°ΡΡ)
ΠΡ. 12.4.9 ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ $ (2,0,0) $, $ (1,3,4) $, ΠΈ $ (- 2, -1,1) $. (ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ°ΡΡ)
ΠΡ. 12.4.10 ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ $ (2, -2,1) $, $ (- 3,2,3) $, ΠΈ $ (3,3, -2) $. (ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠ°ΡΡ)
ΠΡ. 12.4.11 ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½ΠΈΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ $ ({\ bf i} \ times {\ bf j}) \ times {\ bf k} $ ΠΈ $ ({\ bf i} + {\ bf j}) \ times ({\ bf i} — {\ bf j}) $.
ΠΡ. 12.4.12 ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² $ {\ bf u} $ ΠΈ $ {\ bf v} $, $ ({\ bf u} \ times {\ bf v}) \ cdot {\ bf v} = 0 $.
ΠΡ. 12.4.13 ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ 12.4.2.
ΠΡ. 12.4.14 ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΡΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², $ {\ bf x} $, $ {\ bf y} $ ΠΈ $ {\ bf z} $, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠΎΠΌ $ {\ bf x} \ cdot ({\ bf y} \ times {\ bf z}) $. ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ. Π£Π±Π΅Π΄ΠΈΡΠ΅ΡΡ, ΡΡΠΎ $ \ langle 1, 5, -2 \ rangle $, $ \ langle 4, 3, 0 \ rangle $ ΠΈ $ \ langle 6, 13, -4 \ rangle $ — ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½ΡΠΉ.
ΠΠ°ΠΊ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ — Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ (ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅) ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΠΊ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ
ΠΠ»ΡΡΠ΅Π²ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Ρ
- ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ
- Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ (ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅) ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
- ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π΄Π»Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ° ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
- ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
- ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
- ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ
- ΠΠ°Π·ΠΎΠ²ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
- ΠΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π² 2-D
- ΠΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π² 3-D
- Π Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΠΈΠΉ Π΄Π²Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ
- Π’ΠΎΡΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ
- ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
- Π’ΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ
- Π’ΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π’ΠΎΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ , Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΡ ΠΎΠΆΠΈΠΌΠΈ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ°ΠΌΠΈ (
x * x
,y * y
,z * z
)ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ , Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ (
x * y
,y * z
,z * x
ΠΈ Ρ. Π.)Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡΡ Β«Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΡΒ» (Ρ $ \ sin (\ theta) $ Π² ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ°Ρ ). Π‘Π°ΠΌΠΎ ΠΏΠΎ ΡΠ΅Π±Π΅ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅Ρ $ \ vec {x} \ times \ vec {y} $ ΠΎΡ $ \ vec {x} \ times \ vec {z} $.
ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ Π²Ρ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΡΡ : ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ (Ρ.Π΅. Π½Π΅ Π±Π»Π°Π³ΠΎΠΏΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π½ΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ).
-
xy => z
(x
ΠΊΡΠ΅ΡΡy
isz
) -
yz => x
(y
crossz
isx
; ΠΌΡ Π·Π°ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΠ»ΠΈΡΡ Π½Π°:y
toz
tox
) -
zx => y
-
xy => z
ΠΈyx => -z
(ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ $ \ vec {a} $ ΡΡΠΎΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡxy
ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ $ a_x b_y $) -
yz => x
ΠΈzy => -x
-
zx => y
ΠΈxz => -y
- ΠΡΡΡ 6 ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ², 3 ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ 3 ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
- ΠΠ²Π° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΠΎΠ»ΠΎΡΡΡΡ Π·Π° ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ (ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½
z
Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡy
ΠΈx
) - ΠΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ / ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ Π½Π° ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Π΅
xyzxyz
- ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π·Π°ΠΉΠΌΠ΅ΠΌΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠΌ, z-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠΌ. ΠΡΠΎ (1) (5) ΠΌΠΈΠ½ΡΡ (4) (2), ΠΈΠ»ΠΈ 5-8 = -3.Π― ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π»
z
ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅Ρx
ΠΈy
, ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ Π΄Π²Π° ΡΠ»Π΅Π½Π°. ΠΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠΉΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ (1) (5) ΠΊΠ°ΠΊ Β«Π²ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Β» ΠΏΡΠΈ ΡΠΊΠ°Π½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΊΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌΡ, ΠΈ (4) (2) ΠΊΠ°ΠΊ Β«Π½Π°Π·Π°Π΄Β» ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌΡ. - Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ
y
: (3) (4) — (6) (1) = 12-6 = 6 - Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ
x
: (2) (6) — (5) (3) = 12-15 = -3 - ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΡΠ»Π΅ΠΆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ Π²ΡΠ΅ Β«ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΒ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ
- ΠΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ 6 Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ (ΠΏΠΎ 2 Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ) ΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°
xyzxyz
- ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΡΠΌ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ.
- ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ, ΠΎΡ Π²Π°ΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ.
- ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅, ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Ρ Π»ΠΈ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° (Ρ ΠΎΡΡ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΊΠ° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ 0, Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎ, Π±ΡΡΡΡΠ΅Π΅).
- Β«Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡΡΠ΅Β» Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ Π²Π½ΠΎΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅Π½Ρ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ°).
- Π‘ ΠΊΠ²Π°ΡΠ΅ΡΠ½ΠΈΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ (4d ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°) ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ (Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½Π° ΡΡΠ°ΡΡΡ Π² ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠ΅!).
- ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
- ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
- ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΎΠΊΠ°
- ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ
- ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠΊΡΠ»ΡΡΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΠ·Π³ΠΈΠ±Π°
- ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠ°
- ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ΅ΠΉΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ
Π¦Π΅Π»ΠΈ
Π ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ
Π₯ΠΎΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ° Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΡΠ½Π°, ΠΌΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΈΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². Π Π½Π°ΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ (ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΡΡ ) ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ ( x, y, ΠΈ z ) Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ 1, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΎΡΠ΅ΠΉ. Π Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ i, ΠΈ j, , ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅.ΠΠ»Ρ ΡΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ k , ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΉ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠΈ z . ΠΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ.
i = (1, 0) ΠΈΠ»ΠΈ (1, 0, 0)
j = (0, 1) ΠΈΠ»ΠΈ (0, 1, 0)
ΠΊ = (0, 0, 1)
ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²Π²Π΅ΡΡΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² — Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΡ.
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π΅Π΅, ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠΎΠ², ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡΡΡ ΠΊ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠΆΠ½ΠΎ. ΠΠ°ΡΠ½Π΅ΠΌ Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ: ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ. ΠΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ° c Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ a, , Π³Π΄Π΅ a = ( x, y ). (ΠΠΏΡΡΡ ΠΆΠ΅, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠΈΡΡ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΡ Π΄ΠΎ ΡΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ.)
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ . ΠΠΎ ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ ΡΡΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅? ΠΠ°ΠΊ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΎΡΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ c ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ²Π°Π΅Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² c. ΠΡΠΎ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΡΠ½ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ, Π½ΠΎ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎ ΠΊ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ. (ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅.ΠΠ° ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ c = 2. (ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π΅ Π²Π»ΠΈΡΠ΅Ρ Π½Π° Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.)
ΠΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°: ΠΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a = (3, 1) Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΈ a , Π½ΠΎ Π² Π΄Π²Π° ΡΠ°Π·Π° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ.ΠΠ΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΠ° Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ. ΠΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π² Π΄Π²Π° ΡΠ°Π·Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Π΅Π΅ a , Π½ΠΎ Π² ΡΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΈ a, ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΡΡΠ΅ Π½Π° 2.
2 a = 2 β’ (3, 1) = (2 β’ 3, 2 β’ 1) = (6, 2)
ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π΄Π»Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π΄Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ v ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΌΠΌΠ° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ i , ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ j. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ (2, 4). ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΡ ΡΠ·Π½Π°Π»ΠΈ Π΄ΠΎ ΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡ:
(2, 4) = (2, 0) + (0, 4) (ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²)
(2, 4) = 2 β’ (1, 0) + 4 β’ (0, 1) (ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠΎΠ² ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²)
(2, 4) = 2 i + 4 j
ΠΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΌΡ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ , ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ.
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° a ΠΈ b ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ.
a = 3 i — 2 j b = i + 3 j
a + b = (3 i -2 j ) + ( i + 3 j ) = 3 i + i -2 j + 3 j = 4 i + j
ΠΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ²Π°Π΅Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΡΡ Π³ΠΈΠ±ΠΊΠΎΡΡΡ, ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, Π½ΠΎ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎ.
ΠΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°: ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΈ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ( t — u ) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² t = -2 i + 3 j ΠΈ u = 6 i — 4 j .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ.
t + u = (-2 i + 3 j ) + (6 i — 4 j ) = 4 i — j = (4, -1)
t — u = (-2 i + 3 j ) — (6 i -4 j ) = -2 i + 3 j -6 i + 4 j = -8 i + 7 j = (-8, 7)
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ (ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅) ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π΅Π΅, ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ Π΄Π²Π° ΡΠΈΠΏΠ° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Ρ ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²: ΡΠ°ΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΈΠ»ΠΈ Β«ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅Β») ΠΈ ΡΠ°ΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΈΠ»ΠΈ Β«ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅Β»). ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΡΡ ΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΠΌΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅ Ρ Π²Π°Ρ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±ΡΡΡ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π±Π°Π·Π° Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ) Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π² Π΄Π²ΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ . ΠΠ°ΠΊ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π°, ΡΡΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠΈΡΡ Π΄ΠΎ ΡΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ — ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠΉΡΠ΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΎΠ½Ρ.ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ (β’), ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ () — ΠΎΡΡΡΠ΄Π° ΠΈ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠ½ΠΎ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΡΠ°ΠΏΠ΅. ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π² Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ: ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° v ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² i ΠΈ j.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, v β’ i ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Β«ΡΠ°ΡΡΡΡΒ» Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° v Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ I.
ΠΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°Π΅Ρ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ 1.ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π²Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡΡΡ, ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ. ΠΡ Π½Π΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ³Π»ΡΠ±Π»ΡΡΡΡΡ Π² ΡΡΠΎ, Π½ΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ.
ΠΠ»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° v Π½Π° ΡΠ΅Π±Ρ.
ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ.
Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ Ρ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ°ΡΡΠΊΠΎΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ x ΠΈ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ°ΡΡΠΊΠΎΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ y. ΠΡΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Π°ΠΌ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² x i ΠΈ y j, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΠΎ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°, ΡΡΠΎ — ΡΡΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° v. ΠΠ΅ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ v Π½Π° ΡΠ΅Π±Ρ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° v, , Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ), ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
Π ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
ΠΡΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°: Π Π°ΡΡΡΠΈΡΠ°ΠΉΡΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².
Π°. Π±. 3 i + 2 j — k c. (2, β1) d. 5 j
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: Π ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠΈΡΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° ΡΠ΅Π±Ρ. Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ — Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅. Π§ΡΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈ b, ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΎ ΡΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
Π°.
Π³.
Π³.
Π³.
2.4 ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² | University Physics Volume 1
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π½ΠΎ Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π½Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. ΠΡΡΡ Π΄Π²Π° Π²ΠΈΠ΄Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΡΡ Π² ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΠΊΠ΅.ΠΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠ² ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ — ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² . Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ), ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠ΅ΠΉ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠΈΠ»Π° (Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ) Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅Ρ Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠΌ, Π²ΡΠ·ΡΠ²Π°Ρ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ), ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΈΠ»Ρ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. Π‘ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ — ΡΡΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² .ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΡ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠ°Ρ ΠΊΡΡΡΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ , ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ»Ρ (Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°) ΠΈ Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ° Π΄ΠΎ ΡΠΈΠ»Ρ (Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ). ΠΠ°ΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠΈ Π΄Π²Π° Π²ΠΈΠ΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ — ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ — ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°.
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² (ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅)
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅)
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} Β· \ overset {\ to} {B} [/ latex] Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} [/ latex ] ΠΈ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {B} [/ latex] — ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} Β· \ overset {\ to} {B} = AB \, \ text {cos} \, \ phi, [/ latex]
Π³Π΄Π΅ [latex] \ phi [/ latex] — ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ (ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ)).Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·-Π·Π° ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ.
Π ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ³Π»Π° [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ phi [/ latex] Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΈ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ phi [/ latex] ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ ΠΎΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΊ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌΡ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ [ latex] \ text {cos} \, \ phi = \ text {cos} \, (\ text {-} \ phi) = \ text {cos} \, (2 \ pi — \ phi) [/ latex]. {2}.[/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 2.27 Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². (Π°) Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ. (b) ΠΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] {A} _ {\ perp} [/ latex] Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} [/ latex] Π½Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset { \ to} {B} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]. (c) ΠΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] {B} _ {\ perp} [/ latex] Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {B} [/ latex] Π½Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset { \ to} {A} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ].
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ), Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ [latex] \ overset {\ to} {A} Β· \ overset {\ to} {F} [/ latex].
Π‘ΡΡΠ°ΡΠ΅Π³ΠΈΡ
ΠΠ· (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ), Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² [latex] \ overset {\ to} {A} [/ latex] ΠΈ [latex] \ overset {\ to} {F} [/ latex] ΡΠ°Π²Π½Ρ A, = 10,0 ΠΈ F = 20,0. Π£Π³ΠΎΠ» [latex] \ theta [/ latex] ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΠ΅ΠΉ: [latex] \ theta = \ phi — \ alpha = 110 \ text {Β°} -35 \ text {Β°} = 75 \ text {Β°} [/Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]. ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΡΡΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² (ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ ΠΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ΅Ρ Π΄Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΌ[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} Β· \ overset {\ to} {F} = AF \, \ text {cos} \, \ theta = (10.0) (20,0) \, \ text {cos} \, 75 \ text {Β°} = 51,76. [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ), Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ [latex] \ overset {\ to} {A} Β· \ overset {\ to} {B} [/ latex] ΠΈ [latex] \ overset {\ to} {F} Β· \ overset {\ to} {C} [/ latex].
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} Β· \ overset {\ to} {B} = — 57,3 [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ], [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {F} Β· \ overset {\ to} {C} = 27,8 [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]
Π Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΎΡΠΈ Π½Π° Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΡΠ΅ΠΉ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°ΡΡΡΡ Π² Π½ΡΠ»Ρ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΡΡΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Ρ:
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ begin {array} {c} \ hat {i} Β· \ hat {j} = | \ hat {i} || \ hat {j} | \, \ text {cos} \, 90 \ text {Β°} = (1) (1) (0) = 0, \ hfill \\ \ hat {i} Β· \ hat {k} = | \ hat {i} || \ hat {k} | \, \ text {cos} \, 90 \ text {Β°} = (1) (1) (0) = 0, \ hfill \\ \ hat {k} Β· \ hat {j} = | \ hat {k} || \ hat {j} | \, \ text {cos} \, 90 \ text {Β°} = (1) (1) (0) = 0.{2} = 1. [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} Β· \ overset {\ to} {B} [/ latex] ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ B Ρ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] { A} _ {\ perp} [/ latex] Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° [latex] \ overset {\ to} {A} [/ latex] Π½Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex] ((Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) (b)) ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ A Ρ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] {B} _ {\ perp} [/ latex] Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {B} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} [/ latex] ((Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) (c)):
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ begin {array} {ll} \ hfill \ overset {\ to} {A} Β· \ overset {\ to} {B} & = AB \, \ text {cos} \, \ phi \ hfill \ \ & = B (A \, \ text {cos} \, \ phi) = B {A} _ {\ perp} \ hfill \\ & = A (B \, \ text {cos} \, \ phi) = A {B} _ {\ perp}.\ hfill \ end {array} [/ latex]
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π² ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ x ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ [latex] \ hat {i} [/ latex] ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ y -ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° — ΡΡΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ [latex] \ hat {j} [/ latex]:
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ {\ begin {array} {l} \ overset {\ to} {A} Β· \ hat {i} = | \ overset {\ to} {A} || \ hat {i} | \, \ text {cos} \, {\ theta} _ {A} = A \, \ text {cos} \, {\ theta} _ {A} = {A} _ {x} \\ \ overset {\ to} {A} Β· \ hat {j} = | \ overset {\ to} {A} || \ hat {j} | \, \ text {cos} \, (90 \ text {Β°} — {\ theta} _ {A}) = A \, \ text {sin} \, {\ theta} _ {A} = {A} _ {y} \ end {array}.[/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ,
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} Β· \ overset {\ to} {B} = \ overset {\ to} {B} Β· \ overset {\ to} {A}, [/ latex]
ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ ΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄ΠΎΡ ΠΎΠ΄ΠΎΠ²:
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} Β· (\ overset {\ to} {B} + \ overset {\ to} {C}) = \ overset {\ to} {A} Β· \ overset {\ to} {B} + \ overset {\ to} {A} Β· \ overset {\ to} {C}. [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄Π° ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ.
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} = {A} _ {x} \ hat {i} + {A} _ {y} \ hat {j} + {A} _ {z} \ hat {k} [/ latex] Π² ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠΉΡΠ΅ (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) — (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ), ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ [latex] \ overset {\ to} {A} Β· \ hat {i} = {A} _ {x } [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} Β· \ hat {j} = {A} _ {y} [/ latex] ΠΈ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} Β· \ ΡΠ»ΡΠΏΠ° {k} = {A} _ {z} [/ latex].
ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) Π΄Π°Π½Ρ Π² ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ²,
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} = {A} _ {x} \ hat {i} + {A} _ {y} \ hat {j} + {A} _ {z} \ hat { k} \, \ text {ΠΈ} \, \ overset {\ to} {B} = {B} _ {x} \ hat {i} + {B} _ {y} \ hat {j} + {B} _ {z} \ hat {k}, [/ latex]
, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ begin {array} {lll} \ hfill \ overset {\ to} {A} Β· \ overset {\ to} {B} & = \ hfill & ({A} _ {x} \ hat {i } + {A} _ {y} \ hat {j} + {A} _ {z} \ hat {k}) Β· ({B} _ {x} \ hat {i} + {B} _ {y} \ hat {j} + {B} _ {z} \ hat {k}) \ hfill \\ & = \ hfill & \ enspace {A} _ {x} {B} _ {x} \ hat {i} Β· \ hat {i} + {A} _ {x} {B} _ {y} \ hat {i} Β· \ hat {j} + {A} _ {x} {B} _ {z} \ hat {i } Β· \ Hat {k} \ hfill \\ & & + {A} _ {y} {B} _ {x} \ hat {j} Β· \ hat {i} + {A} _ {y} {B} _ {y} \ hat {j} Β· \ hat {j} + {A} _ {y} {B} _ {z} \ hat {j} Β· \ hat {k} \ hfill \\ & & + {A } _ {z} {B} _ {x} \, \ hat {k} Β· \ hat {i} + {A} _ {z} {B} _ {y} \ hat {k} Β· \ hat {j } + {A} _ {z} {B} _ {z} \, \ hat {k} Β· \ hat {k}.\ hfill \ end {array} [/ latex]
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΎΡΠ΅ΠΉ Π΄Π°ΡΡ Π½ΠΎΠ»Ρ, Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΡΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° ΡΠ΅Π±Ρ Π΄Π°ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ (ΡΠΌ. (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) ΠΈ (ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ)), Π² ΡΡΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠΈ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΡ ΡΠ»Π΅Π½Π°. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΏΡΠΎΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎ
.[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} Β· \ overset {\ to} {B} = {A} _ {x} {B} _ {x} + {A} _ {y} {B} _ {y} + {A} _ {z} {B} _ {z}. [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ (ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) Π΄Π»Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ .ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ (ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) Π½Π° AB , ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ [latex] \ text {cos} \, \ phi [/ latex], Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ (ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ):
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ text {cos} \, \ phi = \ frac {\ overset {\ to} {A} Β· \ overset {\ to} {B}} {AB} = \ frac {{A} _ {x } {B} _ {x} + {A} _ {y} {B} _ {y} + {A} _ {z} {B} _ {z}} {AB}. [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]
Π£Π³ΠΎΠ» [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ phi [/ latex] ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ [latex] \ overset {\ to} {A} [/ latex] ΠΈ [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex] ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ Π²Π·ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° (ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ
Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ
Π’ΡΠΈ ΡΠΎΠ±Π°ΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ°Π»ΠΊΡ Π² ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ). ΠΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΡΠΎΠ±Π°ΠΊΠ° ΡΡΠ½Π΅Ρ Ρ ΡΠΈΠ»ΠΎΠΉ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] {\ overset {\ to} {F}} _ {1} = (10.0 \ hat {i} -20.4 \ hat {j} +2.0 \ hat {k}) \ text { N} [/ latex], Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΎΠ±Π°ΠΊΠ° ΡΡΠ½Π΅Ρ Ρ ΡΠΈΠ»ΠΎΠΉ [latex] {\ overset {\ to} {F}} _ {2} = (- 15.0 \ hat {i} -6.2 \ hat {k}) \ text {N} [/ latex], Π° ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ±Π°ΠΊΠ° ΡΡΠ½Π΅Ρ Ρ ΡΠΈΠ»ΠΎΠΉ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] {\ overset {\ to} {F}} _ {3} = (5.0 \ hat {i} +12.5 \ hat {j}) \ ΡΠ΅ΠΊΡΡ {N} [/ latex]. ΠΠ°ΠΊΠΎΠ² ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] {\ overset {\ to} {F}} _ {1} [/ latex] ΠΈ [latex] {\ overset {\ to} {F}} _ {2} [/ latex ]?
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 2.28 Π’ΡΠΈ ΡΠΎΠ±Π°ΠΊΠΈ ΠΈΠ³ΡΠ°ΡΡ Ρ ΠΏΠ°Π»ΠΊΠΎΠΉ.
Π‘ΡΡΠ°ΡΠ΅Π³ΠΈΡ
ΠΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΈΠ»Ρ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] {\ overset {\ to} {F}} _ {1} [/ latex] ΡΠ°Π²Π½Ρ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] {F} _ {1x} = 10.0 \, \ text {N} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ], [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] {F} _ {1y} = — 20,4 \, \ text {N} [/ latex] ΠΈ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] {F} _ {1z} = 2,0 \, \ text {N} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ], Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΈΠ»Ρ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] {\ overset {\ to} {F}} _ {2} [/ latex] — [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] {F} _ {2x} = — 15.0 \, \ text {N } [/ latex], [latex] {F} _ {2y} = 0.0 \, \ text {N} [/ latex] ΠΈ [latex] {F} _ {2z} = — 6.2 \, \ text {N } [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ].{-1} (- 0,439) = 116,0 \ text {Β°}. [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]
ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΡΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΎΡΠ΅ΠΉ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ, Π½Π΅ Π·Π½Π°Ρ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΡΠΈΠΊΠΈ Π³Π΅ΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ. ΠΠ΄Π΅ΡΡ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ + x ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π½Π° Π²ΠΎΡΡΠΎΠΊ, Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ + y — Π½Π° ΡΠ΅Π²Π΅Ρ. ΠΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ + x Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ Π½Π° Π·Π°ΠΏΠ°Π΄, Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ + y — Π½Π° ΡΠ³.
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] {\ overset {\ to} {F}} _ {1} [/ latex] ΠΈ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] {\ overset {\ to} {F}} _ {3} [/ latex ] Π² (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ).
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] 131.9 \ text {Β°} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ
Π Π°Π±ΠΎΡΠ° ΡΠΈΠ»Ρ
ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΈΠ»Π° [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {F} [/ latex] ΡΡΠ½Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ ΠΈ Π²ΡΠ·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {D} [/ latex], ΠΌΡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΈΠ»Π° Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ. ΠΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ, ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΈΠ»ΠΎΠΉ, — ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {F} Β· \ overset {\ to} {D} [/ latex].ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ°Π»ΠΊΠ° Π½Π° (ΡΠΈΡ.) ΠΠ° ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½Π΅ΡΡΡ ΠΈ ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {D} = (- 7.9 \ hat {j} -4.2 \ hat {k}) \, \ text {cm} [/ latex], ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΄Π΅Π»ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ±Π°ΠΊΠ° Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ)?
Π‘ΡΡΠ°ΡΠ΅Π³ΠΈΡ
ΠΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ [latex] \ overset {\ to} {D} [/ latex] Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΈΠ»Ρ [latex] {\ overset {\ to} {F}} _ {3} = (5.0 \ hat {i} +12.5 \ hat {j}) \ text {N} [/ latex], ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΠ±Π°ΠΊΠΈ. ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ [latex] {W} _ {3} [/ latex] Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ, Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΈΠ»ΠΎΠΉ [latex] {\ overset {\ to} {F}} _ {3} [/ latex] ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {D} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ].
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ Π Π°ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ — ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ begin {array} {cc} \ hfill {W} _ {3} & = {\ overset {\ to} {F}} _ {3} Β· \ overset {\ to} {D} = { F} _ {3x} {D} _ {x} + {F} _ {3y} {D} _ {y} + {F} _ {3z} {D} _ {z} \ hfill \\ & = ( 5.0 \, \ text {N}) (0.0 \, \ text {cm}) + (12.5 \, \ text {N}) (- 7.9 \, \ text {cm}) + (0.0 \, \ text {N }) (- 4.2 \, \ text {cm}) \ hfill \\ & = -98.7 \, \ text {N} Β· \ text {cm}. \ Hfill \ end {array} [/ latex]
ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ° ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Π² ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ Π‘Π Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΆΠΎΡΠ»Ρ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] (\ text {J}) [/ latex], Π³Π΄Π΅ 1 ΠΠΆ = 1 [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ text {N} Β· \ text {m} [/ latex].{-2} \ text {J} [/ latex], ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ [latex] {W} _ {3} = — 0,9875 \, \ text {J} \ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ -1,0 \, \ text { J} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ].
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅
Π‘ΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΡΠΎΠ±Π°ΠΊΠ° ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΎΠ±Π°ΠΊΠ° Π½Π° (Π ΠΈΡ.) ΠΠ°Π΄ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° (Π ΠΈΡ.)?
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] {W} _ {1} = 1,5 \, \ text {J} [/ latex], [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] {W} _ {2} = 0,3 \, \ text {J} [/ latex]
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² (ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅)
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π΄Π°Π΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅)
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} [/ latex] ΠΈ [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex] ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} [/ latex] ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ . ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ — ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ [latex] \ overset {\ to} {A} [/ latex] ΠΈ [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex]. ΠΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} [/ latex] ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} [/ latex] ΠΈ [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex], ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ).ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ
.[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] | \ overset {\ to} {A} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} | = \, AB \, \ text {sin} \, \ phi, [/ latex]
Π³Π΄Π΅ ΡΠ³ΠΎΠ» [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ phi [/ latex] ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° [latex] \ overset {\ to} {A} [/ latex] (ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ΅) Π΄ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {B} [/ latex] (Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ΅), ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ), ΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ [latex] 0 \ text {Β°} [/ latex] ΠΈ [latex] 180 \ ΡΠ΅ΠΊΡΡ {Β°} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ].
Π‘ΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ), Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΡΠ΅Π·Π°Π΅Ρ Π΄Π»Ρ ΠΏΠ°Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] (\ phi = 0 \ text {Β°}) [/ latex], Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π°Π½ΡΠΈΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] (\ phi = 180 \ text { Β°}) [/ latex], ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ text {sin} \, 0 \ text {Β°} = \ text {sin} \, 180 \ text {Β°} = 0 [/ latex].
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 2.29 ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π°ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π² ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅. (a) ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} [/ latex] — ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} [/ latex] ΠΈ [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex]. ΠΠ°Π»Π΅Π½ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡ, Π½Π°ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π² ΠΏΠ΅ΡΡΠΏΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π΅, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΠ΅ ΡΠ³Π»Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠΌ] \ overset {\ to} {A} [/ latex] ΠΈ [latex] \ overset {\ to} {C} [/ latex], Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex] ΠΈ [latex] \ overset {\ to} {C} [/ latex], ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ [latex] \ overset {\ to} {A} [/ latex] ΠΈ [latex ] \ overset {\ to} {B} [/ latex] Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»Ρ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ [latex] \ overset {\ to} {C} [/ latex] Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡ ΠΊ ΠΏΠΎΡΠΎΠ»ΠΊΡ.(b) ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {B} \, Γ \, \ overset {\ to} {A} [/ latex] ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ, Π°Π½ΡΠΈΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to } {A} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} [/ latex].
ΠΠ° Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} [/ latex] ΠΈ [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex], Π΅ΡΡΡ Π΄Π²Π° Π°Π»ΡΡΠ΅ΡΠ½Π°ΡΠΈΠ²Π½ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ — Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²Π²Π΅ΡΡ , Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²Π½ΠΈΠ·, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) — ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ . Π ΡΡΠ°Π½Π΄Π°ΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, vector [latex] \ overset {\ to} {A} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π²Π²Π΅ΡΡ Π½Π° , ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) (Π°).ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex] ΠΈΠ΄Π΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌ Π² ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ΅, Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ vector [latex] \ overset {\ to} {B} \, Γ \, \ overset {\ to} {A} [/ latex] Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π½Π° Π²Π½ΠΈΠ· Π½Π° , ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) (b). ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} [/ latex] ΠΈ [latex] \ overset {\ to} {B} \, Γ \, \ overset {\ to} {A} [/ latex] Π°Π½ΡΠΈΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ Π΄ΡΡΠ³ Π΄ΡΡΠ³Ρ, ΠΈ ΡΡΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ , Π° Π°Π½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ .ΠΠ½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ:
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} = \ text {-} \ overset {\ to} {B} \, Γ \, \ overset { \ to} {A}. [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]
ΠΡΠ°Π²ΡΠΉ ΡΡΠΎΠΏΠΎΡ ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ — ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΌΠ½Π΅ΠΌΠΎΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ), ΡΡΠΎΠΏΠΎΡ ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} [/ latex] ΠΈ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {B} [/ latex], Π° Π΅Π³ΠΎ ΡΡΡΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΡΡΠ° Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΊΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌΡ Π² ΠΈΠ·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΈ.ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΠΏΠΎΡΠ°.
Π ΠΈΡ. 2.30 ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ ΡΠΎ ΡΡΠΎΠΏΠΎΡΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]. ΠΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ ΡΡΠΎΠΏΠΎΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} [/ latex] ΠΈ [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex], ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΠΈΡΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΊΠΎ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΌΡ Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ.ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎΠΏΠΎΡΠ°. (Π°) ΠΠ²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π²Π΅ΡΡ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π²Π²Π΅ΡΡ . (b) ΠΠ²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π½ΠΈΠ· ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π²Π½ΠΈΠ·.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ
ΠΡΡΡΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΠΈΠ»ΡΠΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΈΠΌΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½Ρ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠΉ Π³Π°Π΅ΡΠ½ΡΠΌ ΠΊΠ»ΡΡΠΎΠΌ , ((Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ)), Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ F ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ»Ρ, Π΅Π΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΡΡΠΊΠΎΡΡΠΊΠ΅ Π³Π°Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»ΡΡΠ° ΠΈ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π½Π°ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ ΠΎΡ Π³Π°ΠΉΠΊΠΈ ΡΡΠΎ ΡΡΠΈΠ»ΠΈΠ΅. ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌΡΠΉ.Π Π°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ R ΠΎΡ Π³Π°ΠΉΠΊΠΈ Π΄ΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΈΠ»Ρ [latex] \ overset {\ to} {F} [/ latex], ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ [latex] \ overset {\ to} {R } [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]. Π€ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π·Π°ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ Π³Π°ΠΉΠΊΡ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠ°ΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΡΡΡΡΡΠΈΠΌ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ [latex] \ overset {\ to} {\ tau}) [/ latex], ΠΈ ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠΆΠ½Π΅ΠΌ ΠΈ ΡΠΈΠ»ΠΎΠΉ Ρ ΡΠΈΠ»ΠΎΠΉ: [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {\ tau} = \ overset {\ to} {R} \, Γ \, \ overset {\ to} {F} [/ latex].
Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΡΠ»Π°Π±ΠΈΡΡ ΡΠΆΠ°Π²ΡΡ Π³Π°ΠΉΠΊΡ, ΠΊ ΡΡΠΊΠΎΡΡΠΊΠ΅ Π³Π°Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»ΡΡΠ° ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΈΠ»ΠΈΠ΅ 20,00 Π ΠΏΠΎΠ΄ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ phi = 40 \ text {Β°} [/ latex] ΠΈ Π½Π° ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΈ 0,25 ΠΌ ΠΎΡ Π³Π°ΠΉΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) (Π°). ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ°, ΠΏΡΠΈΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΊ Π³Π°ΠΉΠΊΠ΅. ΠΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ Π±ΡΠ»ΠΈ Π±Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ°, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π±Ρ ΡΠΈΠ»Π° Π±ΡΠ»Π° ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ phi = 45 \ text {Β°} [/ latex], ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) (b)? ΠΠ»Ρ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ³Π»Π° [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ ΡΠΈ [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] ΠΊΡΡΡΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ?
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 2.31 ΠΠ°Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠ»ΡΡ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ²Π°Π΅Ρ Π·Π°Ρ Π²Π°Ρ ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΈΠΌΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΡΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡΠ° Π³Π°ΠΉΠΊΠΈ. (a) ΠΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΠΈΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΡΠ»Π°Π±ΠΈΡΡ Π³Π°ΠΉΠΊΡ. (b) ΠΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ΅, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π·Π°ΡΡΠ½ΡΡΡ Π³Π°ΠΉΠΊΡ.
Π‘ΡΡΠ°ΡΠ΅Π³ΠΈΡ
ΠΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΠ°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ), Π³Π΄Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {R} [/ latex] ΠΈ [latex] \ overset {\ to} {F} [/ latex] Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ xy , Π° Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π³Π°ΠΉΠΊΠΈ. Π Π°Π΄ΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {R} [/ latex] (ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΠ΅Π΅ ΠΎΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ) ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΠΎΡΠ½ΡΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ³Π»Π° [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ phi [/ latex], ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {R} [/ latex] — ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ [latex] \ overset {\ to} {\ tau} = \ overset {\ to} {R} \, Γ \, \ overset {\ to} {F} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ].ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ [latex] \ overset {\ to} {\ tau} [/ latex] Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ z , ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΠΎΡΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ xy , Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ±Π° [latex] \ overset {\ to} {R} [/ latex] ΠΈ [latex] \ overset {\ to} {F} [/ latex] Π»Π³ΡΡ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ ΡΠ°Ρ [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ], ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ (ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ). Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ [latex] \ overset {\ to} {\ tau} [/ latex], ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ ΡΠΎ ΡΡΠΎΠΏΠΎΡΠΎΠΌ ((Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ)).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ ΠΠ»Ρ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π² (Π°) ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΎΠΏΠΎΡΠ° Π΄Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {R} \, Γ \, \ overset {\ to} {F} [/ latex] Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡΡ z.Π€ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΊΡΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ° [latex] \ overset {\ to} {\ tau} [/ latex] Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π·Π° ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΊΠΎΡΡΠΊΠ΅ Π³Π°Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»ΡΡΠ°. ΠΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ F = 20,00 N ΠΈ R = 0,25 ΠΌ ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ):[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ tau \, = | \ overset {\ to} {R} \, Γ \, \ overset {\ to} {F} | = \, RF \, \ text {sin} \, \ phi = (0,25 \, \ text {m}) (20,00 \, \ text {N}) \, \ text {sin} \, 40 \ text {Β°} = 3,21 \, \ text {N} Β· \ text {m} . [/ latex] ΠΠ»Ρ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π² (b) ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΎΠΏΠΎΡΠ° Π΄Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ [latex] \ overset {\ to} {R} \, Γ \, \ overset {\ to} {F} [/ latex] Π² ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΠΈ z.Π€ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {\ tau} [/ latex] ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π° ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΊΠΎΡΡΠΊΠ΅ Π³Π°Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»ΡΡΠ°. ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ°
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ tau \, = | \ overset {\ to} {R} \, Γ \, \ overset {\ to} {F} | = \, RF \, \ text {sin} \, \ phi = (0,25 \, \ text {m}) (20,00 \, \ text {N}) \, \ text {sin} \, 45 \ text {Β°} = 3,53 \, \ text {N} Β· \ text {m} . [/ latex] ΠΡΡΡΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° [latex] \ text {sin} \, \ phi = 1 [/ latex], ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° [latex] \ phi = 90 \ text {Β°} [/ latex]. Π€ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π³Π°Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠ»ΡΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π΅Π½ — ΡΡΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΌ Π»ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΈΠΌΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ — ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΠΈΠ»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΡΡΠΊΠΎΡΡΠΊΠ΅ Π³Π°Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ»ΡΡΠ°.ΠΠ»Ρ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ»ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΊΡΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ° [latex] {\ tau} _ {\ text {best}} = RF = (0.25 \, \ text {m}) (20.00 \, \ text {N} ) = 5,00 \, \ text {N} Β· \ text {m} [/ latex].
ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ ΠΌΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ Π½Π°ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ Π½Π΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΡΡΠΎΠΏΠΎΡΠ°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΡΠ΅ΠΉΡΠ°Ρ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅: ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΌΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {R} \, Γ \, \ overset {\ to} {F} [/ latex] Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ z , ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° [latex] \ hat {k} [/ latex] ΠΎΡΠΈ z :
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {R} \, Γ \, \ overset {\ to} {F} = RF \, \ text {sin} \, \ phi \ hat {k}.[/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]
Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡΠ΅Π΅ [latex] \ hat {k} [/ latex], ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ z -ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° [latex] \ overset {\ to} {R} \, Γ \, \ overset {\ to} {F} [/ latex]. ΠΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΈΡΡ Π·Π° ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠ³ΠΎΠ» [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ phi [/ latex] ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ»ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ ΠΎΡ [latex] \ overset {\ to} {R} [/ latex] (ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ) Π΄ΠΎ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {F} [/ latex] (Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ). Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡ ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ [latex] RF \, \ text {sin} \, (+ 40 \ text {Β°}) = + 3.2 \, \ text {N} Β· \ text {m} [/ latex] Π΄Π»Ρ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π² (a), ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ [latex] RF \, \ text {sin} \, (- 45 \ text {Β°} ) = — 3.5 \, \ text {N} Β· \ text {m} [/ latex] Π΄Π»Ρ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π² (b). Π ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠ΅; Π½ΠΎ ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΡΠΎΡ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] + (360 \ text {Β°} -45 \ text {Β°}) = + 315 \ text {Β°} [/ latex] ΠΈ [latex] \ ΡΠ΅ΠΊΡΡ {Π³ΡΠ΅Ρ } \, (+ 315 \ ΡΠ΅ΠΊΡΡ {Β°}) = \ ΡΠ΅ΠΊΡΡ {Π³ΡΠ΅Ρ } \, (- 45 \ ΡΠ΅ΠΊΡΡ {Β°}) [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ].Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅Π· ΠΏΡΠΈΠ²ΡΠ·ΠΊΠΈ ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΡΡΠΎΠΏΠΎΡΠ°. ΠΠ»Ρ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π² (a) ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ [latex] \ overset {\ to} {R} \, Γ \, \ overset {\ to} {F} = + 3.2 \, \ text {N} Β· \ text {ΠΌ} \ ΡΠ»ΡΠΏΠ° {ΠΊ} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]; Π΄Π»Ρ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π² (b) ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ [latex] \ overset {\ to} {R} \, Γ \, \ overset {\ to} {F} = — 3.5 \, \ text {N} Β· \ text {m} \ hat {k} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ].
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ), Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ [latex] \ overset {\ to} {A} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} [/ latex] ΠΈ [latex] \ overset {\ to} {C} \, Γ \, \ overset {\ to} {F} [/ latex].
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} = — 40.1 \ hat {k} [/ latex] ΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅, [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] | \ overset { \ to} {A} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} | = 40,1 [/ latex], ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ — Π²Π½ΡΡΡΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ; [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {C} \, Γ \, \ overset {\ to} {F} = + 157.6 \ hat {k} [/ latex] ΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅, [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] | \ overset {\ to} {C} \, Γ \, \ overset {\ to} {F} | = 157,6 [/ latex], ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ — Π²Π½Π΅ ΡΡΡΠ°Π½ΠΈΡΡ.
ΠΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ((Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ)), ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ:
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} \, Γ \, (\ overset {\ to} {B} + \ overset {\ to} {C}) = \ overset {\ to} {A} \ , Γ \, \ overset {\ to} {B} + \ overset {\ to} {A} \, Γ \, \ overset {\ to} {C}.[/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]
Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ Π² ΠΈΡ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΠ°Ρ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΡΡ ΠΎΡΠ΅ΠΉ.
ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ (ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ [latex] \ hat {i} [/ latex], [latex] \ hat {j} [/ latex] ΠΈ [latex] \ hat {k} [/ latex], ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ x -, y — ΠΈ z — Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅, ΠΌΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ hat {i} \, Γ \, \ hat {i} = \ hat {j} \, Γ \, \ hat {j} = \ hat {k} \, Γ \, \ hat {k } = 0.[/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]
ΠΡΠ΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ [latex] \ hat {i} [/ latex], [latex] \ hat {j} [/ latex] ΠΈ [latex] \ hat { k} [/ latex] ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Ρ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΄Π»Ρ ΠΏΠ°ΡΡ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ hat {i} [/ latex] ΠΈ [latex] \ hat {j} [/ latex] Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ [latex] | \ hat {i} \, Γ \, \ ΡΠ»ΡΠΏΠ° {j} | = ij \, \ text {sin} \, 90 \ text {Β°} = (1) (1) (1) = 1 [/ latex]. ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ hat {i} \, Γ \, \ hat {j} [/ latex] Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ xy , ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ z — ΠΎΡΡ.ΠΠ΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ z — ΡΡΠΎ [latex] \ text {-} \ hat {k} [/ latex] ΠΈΠ»ΠΈ [latex] + \ hat {k} [/ latex]. ΠΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΡΡΠΎΠΏΠΎΡΠ° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ hat {i} \, Γ \, \ hat {j} [/ latex] Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ z . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ [latex] \ hat {i} \, Γ \, \ hat {j} [/ latex] ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠ΅Π½ [latex] + \ hat {k} [/ latex]. ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠΈΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ°Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ
.[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ {\ begin {array} {l} \ hat {i} \, Γ \, \ hat {j} = + \ hat {k}, \\ \ hat {j} \, Γ \, \ hat {k} = + \ hat {i}, \\ \ hat {k} \, Γ \, \ hat {i} = + \ hat {j}.\ end {array} [/ latex]
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) ΡΡΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° [latex] \ hat {i} [/ latex], [latex] \ hat {j} [/ latex] ΠΈ [latex] \ hat {k} [/ latex ] ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π² ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅ , ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ΅ (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) (a). Π¦ΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π² ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ° [latex] \ hat {i} [/ latex] ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π·Π° [latex] \ hat {k} [/ latex] ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ [latex] \ hat {j} [/ latex] , ΠΈΠ»ΠΈ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ hat {k} [/ latex] ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π·Π° [latex] \ hat {j} [/ latex] ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ [latex] \ hat {i} [/ latex] ΠΈΠ»ΠΈ [latex] \ hat { j} [/ latex] ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π·Π° [latex] \ hat {i} [/ latex] ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ [latex] \ hat {k} [/ latex].ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ΅ΡΡΠΈΠΌ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ. ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π²Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π² ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΡΠ°Π²ΡΠΈΠΉΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) (b). ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π² Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π°Π½ΡΠΈΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΡΠ°Π²ΡΠ΅ΠΌΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ (Ρ. Π. Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π² ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ Π½Π° (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) (c). ΠΈ (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) (d). ΠΠ° ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π΄Π°Π½Ρ Π² ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ.
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 2.32 (a) ΠΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΎΡΠ΅ΠΉ. (b) ΠΠ΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π² ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅. ΠΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ. (c, d) ΠΠ²Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π³Π΄Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π½Π΅ ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π² ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ΅. ΠΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ.
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΠΌΡ Ρ ΠΎΡΠΈΠΌ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} [/ latex] Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² [latex] \ overset {\ to} {A} = {A} _ {x} \ hat {i} + {A} _ {y} \ hat {j} + {A} _ {z} \ hat {k} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] ΠΈ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {B} = {B} _ {x} \ hat {i} + {B} _ {y} \ hat {j} + {B} _ {z} \ hat {k} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ].ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ((ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ)), Π°Π½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ ((ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ)) ΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ (ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) ΠΈ (ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) Π΄Π»Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ:
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ overset {\ to} {A} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} & = \ hfill & ({A} _ {x} \ hat {i} + {A} _ {y} \ hat {j} + {A} _ {z} \ hat {k}) \, Γ \, ({B} _ {x} \ hat {i} + {B} _ {y} \ hat {j} + {B} _ {z} \ hat {k}) \ hfill \\ & = \ hfill & {A} _ {x} \ hat {i} \, Γ \, ({B} _ {x} \ hat {i} + {B} _ {y} \ hat {j} + {B} _ {z} \ hat {k}) + {A} _ {y } \ hat {j} \, Γ \, ({B} _ {x} \ hat {i} + {B} _ {y} \ hat {j} + {B} _ {z} \ hat {k} ) + {A} _ {z} \ hat {k} \, Γ \, ({B} _ {x} \ hat {i} + {B} _ {y} \ hat {j} + {B} _ {z} \ hat {k}) \ hfill \\ & = \ hfill & \ enspace {A} _ {x} {B} _ {x} \ hat {i} \, Γ \, \ hat {i} + {A} _ {x} {B} _ {y} \ hat {i} \, Γ \, \ hat {j} + {A} _ {x} {B} _ {z} \ hat {i} \ , Γ \, \ hat {k} \ hfill \\ & & + {A} _ {y} {B} _ {x} \ hat {j} \, Γ \, \ hat {i} + {A} _ {y} {B} _ {y} \ hat {j} \, Γ \, \ hat {j} + {A} _ {y} {B} _ {z} \ hat {j} \, Γ \, \ hat {k} \ hfill \\ & & + {A} _ {z} {B} _ {x} \ hat {k} \, Γ \, \ hat {i} + {A} _ {z} { B} _ {y} \ hat {k} \, Γ \, \ hat {j} + {A} _ {z} {B} _ {z} \ hat {k} \, Γ \, \ hat {k } \ hfill \\ & = \ hfill & \ enspace {A} _ {x} {B} _ {x} (0) + {A} _ {x} {B} _ {y} (+ \ hat {k }) + {A} _ {x} {B} _ {z} (\ text {-} \ hat {j}) \ hfill \\ & & + {A} _ {y} {B} _ {x} (\ text {-} \ hat {k}) + {A} _ {y} {B} _ {y} (0) + {A} _ {y} {B} _ {z} (+ \ hat { i}) \ hfill \\ & & + {A} _ {z} {B} _ {x} (+ \ hat {j} ) + {A} _ {z} {B} _ {y} (\ text {-} \ hat {i}) + {A} _ {z} {B} _ {z} (0).\ hfill \ end {array} [/ latex]
ΠΡΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π±ΡΠ΄ΡΡΠ΅ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠΆΠ½Ρ Ρ ΡΠΎΠ±Π»ΡΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ. ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²Π° ΡΠ°Π³Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π½Π°ΠΌ Π΅ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠΎΠΈΡ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΡΠ΅ΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ, — ΡΡΠΎ, Π²ΠΎ-ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ , Π³ΡΡΠΏΠΏΠΈΡΠΎΠ²ΠΊΠ° ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ², ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΈ, Π²ΠΎ-Π²ΡΠΎΡΡΡ , ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ:
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {C} = \ overset {\ to} {A} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} = ({A} _ {y} {B} _ {z} — {A} _ {z} {B} _ {y}) \ hat {i} + ({A} _ {z} {B} _ {x} — {A} _ {x} {B } _ {z}) \ hat {j} + ({A} _ {x} {B} _ {y} — {A} _ {y} {B} _ {x}) \ hat {k}.[/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]
Π ΡΡΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Ρ
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ {\ begin {array} {c} {C} _ {x} = {A} _ {y} {B} _ {z} — {A} _ {z} {B} _ {y }, \\ {C} _ {y} = {A} _ {z} {B} _ {x} — {A} _ {x} {B} _ {z}, \\ {C} _ {z } = {A} _ {x} {B} _ {y} — {A} _ {y} {B} _ {x}. \ End {array} [/ latex]
ΠΠ° ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ (ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ), Π»ΠΈΠ±ΠΎ (ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ), Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ Π² Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ. ΠΠ±Π° ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΠΈ ΡΠΎΠΌΡ ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ. ΠΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ² ΡΠ±Π΅Π΄ΠΈΡΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π²Π΅ΡΠ΅Π½, — ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΈΡ ΠΎΠ±Π°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ
Π§Π°ΡΡΠΈΡΠ° Π² ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅
ΠΡΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π² ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΈΡΠΏΡΡΡΠ²Π°ΡΡ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠ»Ρ. ΠΠ΅ Π²Π΄Π°Π²Π°ΡΡΡ Π² ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎΡΡΠΈ — ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ Π³Π»Π°Π²Π°Ρ — Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {B} [/ latex] ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ, ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½Π°Ρ ΡΠΈΠ»Π° [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {F} [/ latex] — ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π° ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ [latex] \ overset {\ to} {u} [/ latex] ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡ — ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ [latex] \ overset {\ to} {F} = \ zeta \ overset {\ to} {u} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ].Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ° [latex] \ zeta [/ latex] Π·Π°Π±ΠΎΡΠΈΡΡΡ ΠΎ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°ΡΡ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ Π² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ [latex] \ overset {\ to} {u} [/ latex] ΠΈ [ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {B} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]. Π ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠ°Π½ΡΠ° [latex] \ zeta [/ latex] ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°.
Π§Π°ΡΡΠΈΡΠ°, Π΄Π²ΠΈΠΆΡΡΠ°ΡΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ [latex] \ overset {\ to} {u} = — 5.0 \ hat {i} -2.0 \ hat {j} +3.5 \ hat {k} [/ latex], Π²Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ Ρ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ ΠΈ ΠΈΡΠΏΡΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠ»Ρ.ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΠ»Ρ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {F} [/ latex] Π½Π° ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π²Ρ ΠΎΠ΄Π° Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ, Π³Π΄Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ (a) [latex] \ overset {\ to} {B } = 7.2 \ hat {i} — \ hat {j} -2.4 \ hat {k} [/ latex] ΠΈ (b) [latex] \ overset {\ to} {B} = 4.5 \ hat {k} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]. Π ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ F ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ»Ρ ΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» [latex] \ theta [/ latex], ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΈΠ»Ρ [latex] \ overset {\ to} {F} [/ latex] ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Ρ. [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {B} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ].{2}} [/ latex], ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ [latex] | \ overset {\ to} {u} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} | [/ latex] Π½Π°ΠΏΡΡΠΌΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ (ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ). Π ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄Π΅ Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ [latex] \ overset {\ to} {u} [/ latex] ΠΈ [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex]. ΠΠΎΠ³Π΄Π° Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ [latex] \ overset {\ to} {F} [/ latex], ΠΎΠ±ΡΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ [latex] \ theta [/ latex] Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ [latex] \ overset { \ to} {F} Β· \ overset {\ to} {B} [/ latex] ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ Π² (ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ).ΠΠ»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ (ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ), Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΡΠΌΡΡ, Π² Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΡΠ΅.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ ΠΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ: [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] {u} _ {x} = — 5.0 [/ latex], [latex] {u} _ {y} = — 2.0 [/ latex] ΠΈ [latex] {u} _ {z} = 3,5 [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ].(a) ΠΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Ρ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] {B} _ {x} = 7,2 [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ], [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] {B} _ {y} = — 1,0 [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] ΠΈ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ ] {B} _ {z} = — 2,4 [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]. ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΈΡ Π² (ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° [latex] \ overset {\ to} {F} = \ zeta \ overset {\ to} {u} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} [/ latex]:
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ {\ begin {array} {l} {F} _ {x} = \ zeta ({u} _ {y} {B} _ {z} — {u} _ {z} {B} _ {y}) = \ zeta [(-2.{2}} = 7.6, [/ latex] ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ [latex] \ overset {\ to} {F} Β· \ overset {\ to} {B} [/ latex]:
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {F} Β· \ overset {\ to} {B} = {F} _ {x} {B} _ {x} + {F} _ {y} {B} _ {y} + {F} _ {z} {B} _ {z} = (8.3 \ zeta) (7.2) + (13.2 \ zeta) (- 1.0) + (19.4 \ zeta) (- 2.4) = 0. [/ latex] Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° Π² (Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠ³ΠΎΠ» [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ theta [/ latex]:
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ text {cos} \, \ theta = \ frac {\ overset {\ to} {F} Β· \ overset {\ to} {B}} {FB} = \ frac {0} {(18.2 \ zeta) (7.6)} = 0 \, β \ enspace \ theta = 90 \ text {Β°}. [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Ρ.(ΠΡ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ ΡΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π±Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π½ΡΡΠ΅.)
(b) ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ [latex] \ overset {\ to} {B} = 4.5 \ hat {k} [/ latex] ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π±ΡΡΡΡΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΠΈ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΡΠΌΡΡ:
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ begin {array} {ll} \ hfill \ overset {\ to} {F} & = \ zeta \ overset {\ to} {u} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} = \ zeta (-5.0 \ hat {i} -2.0 \ hat {j} +3.5 \ hat {k}) \, Γ \, (4.5 \ hat {k}) \ hfill \\ & = \ zeta [(- 5.0) (4.5) \ hat {i} \, Γ \, \ hat {k} + (- 2.0) (4.5) \ hat {j} \, Γ \, \ hat {k} + (3.{2}} = 24,2 \ Π΄Π·Π΅ΡΠ°. [/ latex] ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ
[Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {F} Β· \ overset {\ to} {B} = {F} _ {x} {B} _ {x} + {F} _ {y} {B} _ {y} + {F} _ {z} {B} _ {z} = (- 9.0 \ zeta) (0) + (22.5 \ zeta) (0) + (0) (4.5) = 0, [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ ] Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ»Ρ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {F} [/ latex] ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Ρ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {B} [/ latex].
ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°ΠΆΠ΅ Π±Π΅Π· ΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ»Ρ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Ρ ΠΈΠ·-Π·Π° ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π° ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.Π ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠ°Π³Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΠ»Ρ — ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {F} = \ zeta \ overset {\ to} {u} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] ΠΈ, ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ (ΡΠΌ. (ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ)), Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {F} [/ latex] Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {u} [/ latex] ΠΈ [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex].
ΠΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ°Π½Ρ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] \ overset {\ to} {A} = \ text {-} \ hat {i} + \ hat {j} [/ latex] ΠΈ [latex] \ overset {\ to} {B} = 3 \ hat {i} — \ hat {j} [/ latex], Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ (a) [latex] \ overset {\ to} {A} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ], (b) [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] | \ overset {\ to} {A} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} | [/ latex], (c) ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠΌ] \ overset {\ to} {A} [/ latex] ΠΈ [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex], ΠΈ (d) ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠΌ] \ overset {\ to} {A} \, Γ \, \ overset {\ to} {B} [/ latex] ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠΌ] \ overset {\ to} {C} = \ hat { i} + \ hat {k} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ].
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅Π°. [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] -2 \ ΡΠ»ΡΠΏΠ° {k} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ], Π±. 2, Π². [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] 153.4 \ text {Β°} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ], d. [Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ] 135 \ text {Β°} [/ Π»Π°ΡΠ΅ΠΊΡ]
Π Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π° ΠΌΡ Ρ ΠΎΡΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ΅ΡΠΊΠ½ΡΡΡ, ΡΡΠΎ Β«ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅Β» ΠΈ Β«ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅Β» — ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ — ΡΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ; ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ — ΡΡΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ. Π ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ Π³Π»Π°Π²Π°Ρ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌΡΠ΅. Π’ΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌΠΎ.
ΠΠΠΠ’ΠΠ ΠΠ«Π ΠΠΠ’ΠΠΠ«
ΠΠΠΠ’ΠΠ ΠΠ«Π ΠΠΠ’ΠΠΠ«
ΠΡΠΈΠΎΡΠΈΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ:
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°:
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡ — ΡΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΡΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΅ΠΌΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ΅, ΠΈΠΌΠ΅ΡΡΠ°Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°.» Π½Π° ΠΆΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»Π΅ (Ρ.Π΅., ). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
ΠΡΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠΈΡΡ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Π΅Π³ΠΎ Π½Π° Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ.
ΠΡΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ, ΡΠΊΠ°Π·Π°Π² Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ. Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ°Π·Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°:
ΠΠ°Π·ΠΎΠ²ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ — ΡΡΠΎ Π½Π°Π±ΠΎΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π½ΡΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ.ΠΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΈΠ· Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΠΎ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΡΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΠΌ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΌΠΌΡ ΡΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² u 1 , u 2 , ΠΈ u 3 , ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ e 1 , e 2 ΠΈ e 3 , ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ
ΠΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² u 1 , u 2 , ΠΈ u 3 ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΠΈΠ· Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠΎΠΉ Π±Π°Π·Π΅.ΠΡΡΡΡ u 1 , u 2 , ΠΈ u 3 ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΡΡΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ, ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ
ΠΡΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ u Π±Π°Π½ΠΊΠ° ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ u 1 , u 2 ΠΈ u 3 ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ u Π² Π±Π°Π·Π΅ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ e 1 , e 2 , ΠΈ e 3 .ΠΡΠ»ΠΈ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ, ΡΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ ΡΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² u 1 , u 2 ΠΈ u 3 . ΠΡΠ»ΠΈ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Ρ, ΡΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΡΠΎΠ½ΠΎΡΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ΅, Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ ΠΏΠΎ Π»ΡΠ±ΡΠΌ Π΄Π²ΡΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΠΌ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΉ ΠΡΠΎ. ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². a ΠΈ b , ΡΡΠΎ Π² ΡΡΠΌΠΌΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ c .
Π ΡΡΠ΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ ΠΏΠΎ Π»ΡΠ±ΡΠΌ ΡΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΠΌ. Π½Π΅ΠΊΠΎΠΏΠ»Π°Π½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ. ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ Π² ΡΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ , ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΈΠ· Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ , Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠ² ΡΡΠΎΡ Π½ΠΎΠ²ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΠΌ Π² ΡΠ°ΠΌΠΎΠ»Π΅Ρ.
ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ², ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° A ΠΈ B ΠΏΠΎ
ΡΠΎΠ³Π΄Π°,
ΠΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π² 2-D:
ΠΠ°Π½Ρ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ x-y . Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ x ΠΈ y ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ.
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ F ΠΊΠ°ΠΊ
Π ΡΠΈΠ»Ρ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π±Π°Π·ΠΈΡΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π² 3-D:
ΠΠ°Π·ΠΎΠ²ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΡΡΡ Π½Π°Π±ΠΎΡΠΎΠΌ ΡΡΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΠΌΡΡ , , Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΡΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ x , y ΠΈ z , ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ ΡΡΠΊΠ° ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ z , Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ°Π»ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ Π²ΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠΊΡΡΠ³ ΠΎΡΠΈ z ΠΎΡ x Π΄ΠΎ y . ΠΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π²ΡΠ°ΡΠΈΡΡ Π² Π»Π΅Π²ΡΡ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π²Π΅ΡΠ½ΡΠ² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ ΠΈ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠΉ Ρ Π½Π΅ΠΉ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ.
Π ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ x , y ΠΈ z Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° A Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ x, y, ΠΈ z Π·Π°Π΄Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ A x , A y , ΠΈ A z ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ.
Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ° ΠΈ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π±Π°Π·Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΎ ΠΏΠΎ
ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ:
ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ ΠΊΠ°ΠΊ
.
Π³Π΄Π΅ ΡΠ³Π»Ρ , , Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠ³Π»Ρ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅.ΠΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅, Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈ ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Ρ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ
Π’ΡΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠ° Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡΠΌΠΈ ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ
ΠΡΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΠΈΡΡΡΡ ΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡ, ΡΡΠΎ
ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΡ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ x , y , ΠΈ z Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ.ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ A ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ·
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ:
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠΎΡΠΊΡ A Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ B Π²ΡΠ΄Π°Π΅ΡΡΡ
ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ A-B ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΈΠ·
A Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ F ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ A-B ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ F ββ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ· ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ
ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠΎΠ²Π°Ρ:
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ «» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ.Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² A ΠΈ B ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΡ, Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌΡ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ
Π³Π΄Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ Π½Π΅ Π²Π°ΠΆΠ΅Π½ Π² ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π ΠΈΡΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°.
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ 90 o ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄ΡΡ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ.
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΈΠΌ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ, Π° ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ Π½ΠΎΠ»Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅, Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π° ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ
ΠΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ:
ΠΡΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π² ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°ΠΌ
, ΡΠΎ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Π΅Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠ°Ρ, ΡΡΠΎ ΠΈΠ·-Π·Π° ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°
ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ:
ΠΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π° Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΈ ΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡ Π½Π° Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ ΠΎΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°.Π Π Π΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠΈΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ Π½Π° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ.
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° A Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΡΡΠΏΠ° Π ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ , ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΠ΅Π½Π΅Π½ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. Π‘ΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΡΠΎ
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ Π°Π³ΡΠ΅Π³Π°ΡΠ°. Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ .ΠΡΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ a ΠΈ b ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΠΈΠ· a ΠΈ b . Π Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ.ΠΡΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ «» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ
ΠΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ Π²Π°ΠΆΠ΅Π½ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠΈΡΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡΠΎΡ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°.
ΠΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ:
ΠΡΠΈ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ΅ Π² ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a ΠΈ b , Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅
ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°
ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ
ΡΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅:
ΠΠ°Π½ΠΎ ΡΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² a , b ΠΈ c . ΠΏΠΎ
Π‘ΡΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄, ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ².ΠΡΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΡΠ° Ρ
Π’ΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°
ΠΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ:
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½ΡΠ΅ Π² ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ΅. ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΊΠ°ΠΊ
Π’ΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π’ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ:
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°
ΠΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ° — Π»ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ·ΡΠ² Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² Π² ΡΠ΅ΡΠΊΡ:
ΠΡΠ° Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠ΅ΡΠΊΠ° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π²Π½Π΅ΡΠ½ΠΈΠΉ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡ , ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π½Π°:
Π’ΠΎΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ($ \ vec {a} \ cdot \ vec {b} $) ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅Ρ ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ²ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΊΠ°ΠΏΠ»ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡΠΈΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ . ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠ΅Ρ, ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠΈΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ².
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ $ \ vec {a} \ times \ vec {b} $) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π΄ΡΠΆΠΈΠ½Ρ Β«ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉΒ». Π Π°ΡΡΠ΅Ρ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ, Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΡΠ°: Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠΈΡΠ΅ 6 ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠΈΠΉ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΡ.
ΠΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΄ΡΠΌΠ°ΡΡ: Β«ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠ½Π΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅?Β» ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΌΠ°ΠΉΡΠ΅: Β«ΠΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠ½Π΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠ°Π·Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ?Β».
ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ, ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π² ΡΠ°Π·Π½ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ (ΡΠ΅ΠΌ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΡΠ΅ΠΌ Π»ΡΡΡΠ΅). ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ, ΠΎΡ Π²Π°ΡΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ (ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ):
(Β«ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅Β» ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅Ρ ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.)
Π©Π΅Π»ΠΊΠ½ΡΠ»Π° Π»ΠΈ ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π²Π°Ρ ΠΈΠ½ΡΡΠΈΡΠΈΡ? ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΡΠ³Π»ΡΠ±ΠΈΠΌΡΡ Π² Π΄Π΅ΡΠ°Π»ΠΈ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
Π‘ΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ²ΠΎ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ:
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠ΅Π²Π΅Ρ ΠΈ Π²ΠΎΡΡΠΎΠΊ Π½Π° 0% ΠΏΠΎΡ ΠΎΠΆΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ $ (0, 1) \ cdot (1, 0) = 0 $.ΠΠ»ΠΈ ΡΡΠΎ ΡΠ΅Π²Π΅Ρ ΠΈ ΡΠ΅Π²Π΅ΡΠΎ-Π²ΠΎΡΡΠΎΠΊ Π½Π° 70% ΠΏΠΎΡ ΠΎΠΆΠΈ ($ \ cos (45) = 0,707 $, ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΡΠΈΠ³Π³Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ — ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΡ). Π‘Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Β«ΠΏΡΠΎΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡΒ» Π² Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌ.
ΠΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΡΠΎΠΆΠ΅ Π±ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ?
ΠΠ°Π²Π°ΠΉ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ. Π‘ΠΈΠ½ΡΡ — ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΠ½Π°Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΠ°, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ:
Π ΡΠΎΠΆΠ°Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΌΡ ΡΠΏΡΡΠΊΠ°Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π΄Π΅ΡΠ°Π»ΠΈ. ΠΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, ΠΌΡ ΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π²Π½ΠΈΠ· ΠΏΠΎ ΠΎΡΠΈ x: ΠΎΠ±Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ — y ΠΈ z — Π½Π° 100% ΠΎΡ Π½Π°Ρ.Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ Π²ΡΠΎΠ΄Π΅ Β«100%Β» Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°ΠΌ ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΠ΅, Π½ΠΎ ΠΌΡ Π½Π΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅! ΠΠ°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½Π° Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ Π½Π°ΠΌ Β«ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ $ \ vec {x} $ ΠΈ $ \ vec {y} $ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ , Π° Π½Π΅ Β» ΠΈ Β«ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ $ \ vec {x} $ ΠΈ $ \ vec {z} $ , ΡΡΠΎ β.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°:
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ $ \ vec {x} \ times \ vec {y} $ ΠΈ $ \ vec {x} \ times \ vec {z} $ Π΄Π°ΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ, ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π° Β«100%Β» ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΎΡ $ \ vec {x} $.
(ΠΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ? ΠΡ, ΠΌΡ ΠΎΡΡΠ»Π΅ΠΆΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ²ΠΎ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ $ \ vec {a} $ ΠΈ $ \ vec {b} $. Π‘Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠ²ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΌΡ ΡΠΆΠ΅ Π΅ΡΡΡ.)
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ
ΠΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΎΡ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ (ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ):
ΠΠΎΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°: Π΅ΡΡΡ Π΄Π²Π° ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ. Π£ΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎ ΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ Β«ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΒ» ββ(ΠΈΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ):
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Ρ Π΄Π΅ΡΠΆΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ Π΄Π²Π° ΠΏΠ°Π»ΡΡΠ°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΡ Π΅ΠΌΠ΅, Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. Π― ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ, ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄Ρ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠ°Π»ΡΡΠ΅ΠΌ ΠΎΡ $ \ vec {a} $ Π΄ΠΎ $ \ vec {b} $.ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΡΡΠ½Π΅Π½ΠΎ, Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½Π° $ | a | | Π± | \ sin (\ theta) $, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΈ Β«ΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΡΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΡΒ» (ΡΠΈΠ½ΡΡ).
ΠΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ, Π½Π°ΠΏΠΈΡΠΈΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ xyz
Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ: xyzxyz
. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΡΠ·ΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π²Ρ ΠΈΡΠ΅ΡΠ΅:
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ, xy
ΠΈ yx
ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΉ Π½Π°ΡΡΡΠΎΠΉΠΊΠ΅ xyzxyz
ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠ΄ΡΡ Π²ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ ΠΈ Π½Π°Π·Π°Π΄.
ΠΡΠ°ΠΊ, Π±Π΅Π· ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π²Ρ ΡΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ:
ΠΠΏΡΡΡ ΠΆΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ x
y
ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ z
Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. Π― ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π» Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, Π½ΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±ΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Ρ:
ΠΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ Π½Π° 3 ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ:
ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡΡΡ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΠΏΠ°ΡΠ° ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ² (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, $ a_x \ times b_y $) Π³ΠΎΠ»ΠΎΡΡΠ΅Ρ Π·Π° ΡΠΎ, ΠΊΡΠ΄Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ.6 ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ², 6 Π³ΠΎΠ»ΠΎΡΠΎΠ², ΠΈ ΠΈΡ ΡΡΠΌΠΌΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. (ΠΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΡ, Π³Π΄Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Π°Ρ ΠΎΡΡ Π³ΠΎΠ»ΠΎΡΡΠ΅Ρ Π·Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΡ.)
xy
ΠΈ yx
ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ z
.ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΈ ΡΠ»Π΅Π½Ρ ΡΠ°Π²Π½Ρ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π² $ (2, 1, 0) \ times (2, 1, 1) $, ΡΠΎ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ z
ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ (2 — 2 = 0).
ΠΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°ΡΠΈΡ:
, Π³Π΄Π΅ $ \ vec {n} $ — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊ $ \ vec {a} $ ΠΈ $ \ vec {b} $.
ΠΡΡΡΡ Π²Π°Ρ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡΠ³Π°Π΅Ρ:
ΠΡΠ»ΠΈ Ρ ΠΎΡΠΈΡΠ΅, ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Π° ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅Ρ $ | a | | Π± | \ sin (\ theta) $, Π½ΠΎ ΠΌΠ½Π΅ Π½ΡΠ°Π²ΠΈΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΡΠΈΡΠΈΡ Β«ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³ΠΎΠ»ΠΎΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΒ».
ΠΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°
ΠΠΏΡΡΡ ΠΆΠ΅, ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠΌΠ΅:
ΠΠΎΡΠ΅ΠΌΡ? ΠΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΊΠ»ΠΈ ΠΎΡΠΈ x
ΠΈ y
, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ² z
(ΠΈΠ»ΠΈ $ \ vec {i} \ times \ vec {j} = \ vec {k} $, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΡΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ). ΠΠ΅ΡΠ΅Ρ
ΠΎΠ΄ Π² Π΄ΡΡΠ³ΡΡ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ Π΄Π°Π΅Ρ $ — \ vec {k} $.
ΠΠΎΡ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ:
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΎΠ±ΡΠ°Ρ ΡΡΠΌΠΌΠ° $ (- 3, 6, -3) $, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Wolfram Alpha.
ΠΠΊΡΠ°ΡΡΠ΅:
ΠΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π‘Π²ΡΠ·Ρ Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΌ
ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΡΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
ΠΠ΄Π΅ΡΡ Π΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ²ΡΠ·Ρ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ (Β«ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ / ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΒ») ΠΎΡΡΠ»Π΅ΠΆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ ΠΎΡ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ².
Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ) Π΄ΠΎΡΡΡΠΏΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² 0, 1, 3 ΠΈΠ»ΠΈ 7 ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ . ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΏΠΎ ΡΡΡΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ (ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ, ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ°).
Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ Curl
Curl ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅Ρ ΡΠΊΡΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΈΠ»Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅ ΠΏΡΠΈΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠ΅, ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΡΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ ΡΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅ Β«ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΒ», Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°ΠΉΡΠ΅ Π΄ΡΠΌΠ°ΡΡ Β«ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅Β».
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌ Β«ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΒ» ΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΡΠΈΡΡ:
ΠΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ. ΠΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅, $ \ vec {i} $ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ curl ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ $ \ vec {j} $ ΠΈ $ \ vec {k} $.
Π‘Π²ΡΠ·Ρ Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°
ΠΡΠ΅ΡΡ ΠΈ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π°ΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°:
ΠΠ»Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², Π³Π΄Π΅ $ | a | = | b | = 1 $, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
Π― Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡ ΠΈΡΡΠΈΠ» Π² ΡΠ΅ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ΅, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΠΎΡΡΠ»Π΅ΠΆΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ (ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π½ΠΎ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΠΈΡΠ°Π³ΠΎΡΠ°).
ΠΡΠΎΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡΡΠ°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄ΡΡΠ·ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡΡΡΡΡ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ ΠΠ»ΠΈΡΡΠΎΡΠ΄Π° ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅. Π― Π²ΡΠ΅ Π΅ΡΠ΅ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Ρ ΡΡΠΎ.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΎΠ²
ΠΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π±ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ΅Π½Π°ΡΠΈΠΉ:
ΠΠΎ-ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ , ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ: ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ ΠΊΡΠΎΡΡ-ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅: Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ². ΠΡΠ»ΠΈ Π»ΡΠ±ΡΠ΅ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ ($ \ vec {a} $ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ $ \ vec {b} $), ΡΠΎ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ Π²Π»ΠΈΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ Π½Π° Π΄ΡΡΠ³Π°, ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ (ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΎΡΠΈΡΡΡ Π½Π° $ 0 \ times \ vec {c} $).
ΠΠΎ ΡΡΠΎ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ $ \ vec {a} $ ΠΈ $ \ vec {c} $ Π±ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½ΠΈ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΡΡΠ°ΡΡΠ²ΡΡΡ Π½Π°ΠΏΡΡΠΌΡΡ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
Π£Ρ ΡΡ! ΠΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΌ Π²Π΅ΡΠ½ΡΡΡΡΡ ΠΊ $ \ vec {j} $? ΠΡ Π·Π°ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ $ \ vec {i} $, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ $ \ vec {j} $, ΠΈ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΌ $ \ vec {i} $. Β«ΠΠ²ΠΎΠΉΠ½Π°Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΡΡΡΒ» ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ Π²Ρ Π²Π΅ΡΠ½ΡΠ»ΠΈΡΡ Π½Π° ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΎΡΡ.
Π’ΠΎΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ
Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ
ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ? ΠΡ Π²ΡΠ½ΡΠΆΠ΄Π΅Π½Ρ ΡΠ½Π°ΡΠ°Π»Π° Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ $ \ vec {a} \ times \ vec {b} $, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ $ \ vec {b} \ cdot \ vec {c} $ Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ°Π΅Ρ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ (ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ), ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ.
ΠΡΠ»ΠΈ $ \ vec {a} $ ΠΈ $ \ vec {c} $ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ? ΠΡΠ°ΠΊ, $ \ vec {a} \ times \ vec {b} $ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ $ \ vec {a} $, ΡΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ $ \ vec {c} $, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ $ \ vec {c } $ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½ΡΠ»Π΅ΠΌ.
Π― Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΡΠΎΠ±ΠΎ Π½Π΅ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π» ΡΡΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°, Ρ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΌΡΠ²Π°ΡΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ.
ΠΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ
ΠΠ²ΠΈΠΆΠΎΠΊ Unity — Π»Π΅Π²ΡΠ°, OpenGL (ΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ / ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΡΡΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ²) — ΠΏΡΠ°Π²ΡΠ°. ΠΠΎΡΠ΅ΠΌΡ?
Π ΠΊΠΎΠΌΠΏΡΡΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ³ΡΠ΅ x
ΠΈΠ΄Π΅Ρ Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ, y
ΠΈΠ΄Π΅Ρ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈ z
ΠΈΠ΄Π΅Ρ Β«Π² ΡΠΊΡΠ°Π½Β».ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ Π»Π΅Π²ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½Π΅ΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅. (ΠΠΎΠΏΡΠΎΠ±ΡΠΉΡΠ΅: ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΎΠΉ Π²Ρ ΡΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅ ΠΊΡΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠΌ x
, y
Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π·Π° ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ ΡΠΊΡΠ°Π½Π°).
ΠΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ°
Π‘ΡΠ°ΡΡΠ»ΠΈΠ²Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ°.
ΠΡΡΠ³ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠΈΠΈ
17.2: ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅)
ΠΡΡΡΡ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) ΠΈ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) Π±ΡΠ΄ΡΡ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π»ΡΠ±ΡΠ΅ Π΄Π²Π° Π½Π΅ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΠΌΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ³ΠΎΠ» ΞΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) ΠΈ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ 17.2. ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) ΠΈ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) ΠΈ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) Ρ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ³Π»Π° ΞΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ,
\ [| \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | = | \ overrightarrow {\ mathbf {A}} || \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | \ sin (\ theta) \]
Π£Π³ΠΎΠ» ΞΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ \ (0 \ leq \ theta \ leq \ pi \), Π³Π°ΡΠ°Π½ΡΠΈΡΡΡ, ΡΡΠΎ \ (\ sin (\ theta) \ geq 0 \).
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 17.2 ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ.ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ. ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) ΠΈ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ. ΠΡΡΡ Π΄Π²Π΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ: ΠΌΡ Π²ΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ (ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡΡ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ 17.2) Π΄Π»Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ ) Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Β«ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈΒ».
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ Π΄Π»Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΡΠ°Π³ — ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ text {ΠΈ} \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Ρ Π²ΠΎΡΡΡ ΡΠΎΠΏΡΠΈΠΊΠ°ΡΠ°Π»ΠΈΡΡ. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΠΈΡΡΠΉΡΠ΅ Π΄ΡΠ³Ρ, Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Ρ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) ΠΈ Π·Π°ΠΊΠ°Π½ΡΠΈΠ²Π°Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \). Π‘ΠΎΠ³Π½ΠΈΡΠ΅ ΠΏΠ°Π»ΡΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΡΠ³Ρ. ΠΠ°Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ°Π»Π΅Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) (ΡΠΈΡ.17.3).
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 17.3 ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ.ΠΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ \ (\ overrightarrow {\ mathbf { A}} \ text {ΠΈ} \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \). ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄Π°ΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠΏΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ, Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π² Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΠΊΠ°ΠΊ
.\ [| \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | = | \ overrightarrow {\ mathbf {A}} | (| \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | \ sin \ theta) \]
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΡ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ text {ΠΈ} \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌ.ΠΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΡΠ°Π²Π½Π° Π²ΡΡΠΎΡΠ΅, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ° ΡΠΈΡ. 17.4 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ Π΄Π²Π° ΡΠ°Π·Π½ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΡΠΎΡΡ ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°. ΠΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡ. 17.4a, ΡΠ»Π΅Π½ \ (| \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | \ sin \ theta \) — ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) ΠΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ
\ [| \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | = (| \ overrightarrow {\ mathbf {A}} | \ sin \ theta) | \ overrightarrow {\ mathbf { B}} | \]
Π§Π»Π΅Π½ \ (| \ overrightarrow {\ mathbf {A}} | \ sin \ theta \) — ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ \ ( \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \), ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ 17.4 (Π±). ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ², ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ (ΠΈΠ»ΠΈ Π°Π½ΡΠΈΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ ) Π΄ΡΡΠ³ Π΄ΡΡΠ³Ρ, ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ 0 (ΠΈΠ»ΠΈ \ (\ pi \)) ΠΈ \ (\ sin (0) = 0 \) ( ΠΈΠ»ΠΈ \ (\ sin (\ pi) = 0 \)). ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π΄Π²Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 17.4 ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ (a) \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \), (b) ΠΈΠ· \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}) } \) ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \)Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
(1) ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ:
\ [\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} = — \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \]
(2) ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ \ (c \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \), Π³Π΄Π΅ \ (c \) — ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ, ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) —
\ [c \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} = c (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}}) \]
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ
\ [\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times c \ overrightarrow {\ mathbf {B}} = c (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}}) \]
(3) ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ text {ΠΈ} \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {C}} \) ΡΠ°Π²Π½ΠΎ
\ [(\ overrightarrow {\ mathbf {A}} + \ overrightarrow {\ mathbf {B}}) \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} = \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow { \ mathbf {C}} + \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} \]
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ
\ [\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} + \ overrightarrow {\ mathbf {C}}) = \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow { \ mathbf {B}} + \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} \]
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅: Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²Ρ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ
Π‘Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΌΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² \ (\ hat {\ mathbf {i}} \) ΠΈ \ (\ hat {\ mathbf {j}} \):
\ [| \ hat {\ mathbf {i}} \ times \ hat {\ mathbf {j}} | = | \ hat {\ mathbf {i}} \ | \ hat {\ mathbf {j}} | \ sin (\ pi / 2) = 1 \]
, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ \ (| \ hat {\ mathbf {i}} | = | \ hat {\ mathbf {j}} | = 1 \) ΠΈ \ (\ sin (\ pi / 2) = 1 \ ).ΠΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ \ (\ hat {\ mathbf {i}} \ times \ hat {\ mathbf {j}} \) Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² \ (+ \ hat {\ mathbf {k}} \) ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ 17.5. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, \ (\ hat {\ mathbf {i}} \ times \ hat {\ mathbf {j}} = \ hat {\ mathbf {k}} \).
Π ΠΈΡ. 17.5 ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ \ (\ hat {\ mathbf {i}} \ times \ hat {\ mathbf {j}} \)ΠΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ y ΠΈ z,
\ [\ hat {\ mathbf {j}} \ times \ hat {\ mathbf {k}} = \ hat {\ mathbf {i}}, \ quad \ hat {\ mathbf {k}} \ times \ hat { \ mathbf {i}} = \ hat {\ mathbf {j}} \]
ΠΠΎ Π°Π½ΡΠΈΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Ρ (1) Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
\ [\ hat {\ mathbf {j}} \ times \ hat {\ mathbf {i}} = — \ hat {\ mathbf {k}}, \ quad \ hat {\ mathbf {i}} \ times \ hat {\ mathbf {k}} = — \ hat {\ mathbf {j}} \]
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \ (\ hat {\ mathbf {i}} \) Ρ ΡΠ°ΠΌΠΈΠΌ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ ΡΡΠΎ Π΄Π²Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Ρ Π΄ΡΡΠ³ Π΄ΡΡΠ³Ρ, \ ((\ sin (0) = 0) \),
\ [| \ hat {\ mathbf {i}} \ times \ hat {\ mathbf {i}} | = | \ hat {\ mathbf {i}} || \ hat {\ mathbf {i}} | \ sin (0) = 0 \]
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \ (\ hat {\ mathbf {j}} \) Ρ ΡΠ°ΠΌΠΈΠΌ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \ (\ hat {\ mathbf {k}} \) Ρ ΡΠ°ΠΌΠΈΠΌ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ ΠΏΠΎ ΡΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π΅,
\ [| \ hat {\ mathbf {j}} \ times \ hat {\ mathbf {j}} | = 0, \ quad | \ hat {\ mathbf {k}} \ times \ hat {\ mathbf {k} } | = 0 \]
ΠΠΌΠ΅Ρ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρ ΡΡΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ°Π·ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ².ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ Π²ΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \), Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΌ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ x Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠΉ x \ (B_ {x} \). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ text {ΠΈ} \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ
\ [\ overrightarrow {\ mathbf {A}} = A_ {x} \ hat {\ mathbf {i}} + A_ {y} \ hat {\ mathbf {j}} + A_ {z} \ hat {\ mathbf {k}} \]
\ [\ overrightarrow {\ mathbf {B}} = B_ {x} \ hat {\ mathbf {i}} \]
ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ°Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠ°Π²Π½ΠΎ
.\ [\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} = \ left (A_ {x} \ hat {\ mathbf {i}} + A_ {y} \ hat {\ mathbf {j}} + A_ {z} \ hat {\ mathbf {k}} \ right) \ times B_ {x} \ hat {\ mathbf {i}} \]
ΠΡΠΎ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ,
\ [\ begin {align}
\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} & = \ left (A_ {x} \ hat {\ mathbf {i}} \ times B_ {x} \ hat {\ mathbf {i}} \ right) + \ left (A_ {y} \ hat {\ mathbf {j}} \ times B_ {x} \ hat {\ mathbf {i}} \ right) + \ left (A_ {z} \ hat {\ mathbf {k}} \ times B_ {x} \ hat {\ mathbf {i}} \ right) \\
& = A_ {x} B_ {x} (\ ΡΠ»ΡΠΏΠ° {\ mathbf {i}} \ times \ hat {\ mathbf {i}}) + A_ {y} B_ {x} (\ hat {\ mathbf {j}} \ times \ hat {\ mathbf {i}} ) + A_ {z} B_ {x} (\ hat {\ mathbf {k}} \ times \ hat {\ mathbf {i}}) \\
& = — A_ {y} B_ {x} \ hat {\ mathbf {k}} + A_ {z} B_ {x} \ hat {\ mathbf {j}}
\ end {align} \]
ΠΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠ° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²
\ [\ overrightarrow {\ mathbf {A}} = A_ {x} \ hat {\ mathbf {i}} + A_ {y} \ hat {\ mathbf {j}} + A_ {z} \ hat {\ mathbf {k}} \]
\ [\ overrightarrow {\ mathbf {B}} = B_ {x} \ hat {\ mathbf {i}} + B_ {y} \ hat {\ mathbf {j}} + B_ {z} \ hat {\ mathbf {k}} \]
Π΄Π°Π΅Ρ
\ [\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} = \ left (A_ {y} B_ {z} -A_ {z} B_ {y} \ right) \ hat { \ mathbf {i}} + \ left (A_ {z} B_ {x} -A_ {x} B_ {z} \ right) \ hat {\ mathbf {j}} + \ left (A_ {x} B_ {y } -A_ {y} B_ {x} \ right) \ hat {\ mathbf {k}} \]
ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΡΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ
ΠΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅ ΡΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ 17.6. ΠΡ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π»ΠΈ Π΄Π²Π° Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ: ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ.
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 17.6 Π¦ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ ΡΠ³Π»ΠΎΠΌ Π΄ΡΡΠ³ ΠΊ Π΄ΡΡΠ³Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ
\ [\ hat {\ mathbf {r}} \ times \ hat {\ boldsymbol {\ theta}} = \ hat {\ mathbf {k}} \]
\ [\ hat {\ boldsymbol {\ theta}} \ times \ hat {\ mathbf {k}} = \ hat {\ mathbf {r}} \]
\ [\ hat {\ mathbf {k}} \ times \ hat {\ mathbf {r}} = \ hat {\ boldsymbol {\ theta}} \]
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} = — \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) Ρ Π½Π°Ρ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π΅ΡΡΡ
\ [\ hat {\ boldsymbol {\ theta}} \ times \ hat {\ mathbf {r}} = — \ hat {\ mathbf {k}} \]
\ [\ hat {\ mathbf {k}} \ times \ hat {\ boldsymbol {\ theta}} = — \ hat {\ mathbf {r}} \]
\ [\ hat {\ mathbf {r}} \ times \ hat {\ mathbf {k}} = — \ hat {\ boldsymbol {\ theta}} \]
ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ
\ [\ hat {\ mathbf {r}} \ times \ hat {\ mathbf {r}} = \ hat {\ boldsymbol {\ theta}} \ times \ hat {\ boldsymbol {\ theta}} = \ hat { \ mathbf {k}} \ times \ hat {\ mathbf {k}} = \ overrightarrow {\ mathbf {0}} \]
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 17.1 ΠΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΠ»Ρ Π΄Π²ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} = 2 \ hat {\ mathbf {i}} + — 3 \ hat {\ mathbf {j}} + 7 \ hat {\ mathbf {k}} \) ΠΈ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} = 5 \ hat {\ mathbf {i}} + \ hat {\ mathbf {j}} + 2 \ hat {\ mathbf {k}} \), Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
\ [\ begin {align}
\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} & = \ left (A_ {y} B_ {z} -A_ {z} B_ {y } \ right) \ hat {\ mathbf {i}} + \ left (A_ {z} B_ {x} -A_ {x} B_ {z} \ right) \ hat {\ mathbf {j}} + \ left ( A_ {x} B_ {y} -A_ {y} B_ {x} \ right) \ hat {\ mathbf {k}} \\
& = ((- 3) (2) — (7) (1)) \ hat {\ mathbf {i}} + ((7) (5) — (2) (2)) \ hat {\ mathbf {j}} + ((2) (1) — (- 3) (5) ) \ hat {\ mathbf {k}} \\
& = — 13 \ hat {\ mathbf {i}} + 31 \ hat {\ mathbf {j}} + 17 \ hat {\ mathbf {k}}
\ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ {Π²ΡΡΠΎΠ²Π½Π΅Π½} \]
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 17.2 ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½ Π‘ΠΈΠ½ΡΡΠ°
ΠΠ»Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ 17.7a, Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ², \ (| \ overrightarrow {\ mathbf {A}} | / \ sin \ alpha = | \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | / \ sin \ beta = | \ overrightarrow {\ mathbf {C}} | / \ sin \ gamma \), ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.
Π ΠΈΡ. 17.7 (b) ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}}, \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) ΠΈ \ (\ overrightarrow { \ mathbf {C}} \), Π³Π΄Π΅ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} + \ overrightarrow {\ mathbf {B}} + \ overrightarrow {\ mathbf {C}} = 0 \) (ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 17.7Π±). ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} + \ overrightarrow {\ mathbf {B}} + \ overrightarrow {\ mathbf {C}} = 0 \), ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ \ (0 = \ overrightarrow {\ mathbf { A}} \ times (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} + \ overrightarrow {\ mathbf {B}} + \ overrightarrow {\ mathbf {C}}) = \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} + \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} \). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} = — \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} \) ΠΈΠ»ΠΈ \ ( | \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | = | \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} | \).ΠΠ· ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ° 17.7b Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ \ (| \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | = | \ overrightarrow {\ mathbf {A}} || \ overrightarrow {\ mathbf { B}} | \ sin \ gamma \) ΠΈ \ (| \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} | = | \ overrightarrow {\ mathbf {A}} || \ overrightarrow {\ mathbf {C}} | \ sin \ beta \). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, \ (| \ overrightarrow {\ mathbf {A}} || \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | \ sin \ gamma = | \ overrightarrow {\ mathbf {A}} || \ overrightarrow {\ mathbf {C} } | \ sin \ beta \), ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, \ (| \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | / \ sin \ beta = | \ overrightarrow {\ mathbf {C}} | / \ sin \ gamma \).ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ \ (| \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | / \ sin \ beta = | \ overrightarrow {\ mathbf {A}} | / \ sin \ alpha \) Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠ².
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 17.3 ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ° ΠΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ
ΠΠ°ΠΉΠ΄ΠΈΡΠ΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} = \ hat {\ mathbf {i}} + \ hat {\ mathbf {j}} — \ hat {\ mathbf {k}} \) ΠΈ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} = — 2 \ hat {\ mathbf {i}} — \ hat {\ mathbf {j}} + 3 \ hat {\ mathbf {k}} \).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ text {ΠΈ} \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \).Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ \ (\ hat {\ mathbf {n}} = \ pm \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} / | \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | \) ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ text {ΠΈ} \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \). {1/2} \]
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 17.4 ΠΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° Ρ ΡΠ΅Π±ΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}}, \ overrightarrow {\ mathbf {B}}, \ text {and} \) \ (\ overrightarrow {\ mathbf {C}} \) Π·Π°Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ cdot (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}}) \).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π½Π° Π²ΡΡΠΎΡΡ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ text {ΠΈ} \ overrightarrow {\ mathbf {C}} \), ΡΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ \ ( \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} \).ΠΠ΅ΠΊΡΠΎΡ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} = | \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} | \ hat { \ mathbf {n}} \), Π³Π΄Π΅ \ (\ hat {\ mathbf {n}} \) — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ (ΡΠΈΡ. 17.8).
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ 17.8 ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 17.4ΠΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ \ (\ hat {\ mathbf {n}} \) Π΄Π°Π΅Ρ Π²ΡΡΠΎΡΡ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°. ΠΡΠ° ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΡ Π΄Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ Π²Π·ΡΡΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Π° \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ cdot \ hat {\ mathbf { n}} = \ ΡΠ΅ΠΊΡΡ {Π²ΡΡΠΎΡΠ°} \).Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,
\ [\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ cdot (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}}) = \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ cdot (| \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} |) \ hat {\ mathbf {n}} = (| \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} |) \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ cdot \ hat {\ mathbf {n}} = (\ text {area}) (\ text {height}) = (\ text {volume}) \ ]
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 17.5 Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°
ΠΡΡΡΡ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈ ΠΏΡΡΡΡ \ (\ hat {\ mathbf {n}} \) Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ.ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡΠ΅, ΡΡΠΎ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} = (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ cdot \ hat {\ mathbf {n}}) \ hat {\ mathbf {n}} + (\ hat { \ mathbf {n}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {A}}) \ times \ hat {\ mathbf {n}} \)
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΡΡΡ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} = A _ {\ |} \ hat {\ mathbf {n}} + A _ {\ perp} \ hat {\ mathbf {e}} \), Π³Π΄Π΅ \ ( A _ {\ |} \) — ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \ (\ hat {\ mathbf {n}}, \ hat {\ mathbf {e}} \) — Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΅ΠΊΡΠΈΠΈ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΡΡ \ (\ hat {\ mathbf {n}} \), Π° \ (A _ {\ perp} \) — ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ \ (\ hat {\ mathbf {e}} \).ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ \ (\ hat {\ mathbf {e}} \ cdot \ hat {\ mathbf {n}} = 0 \), Ρ Π½Π°Ρ Π΅ΡΡΡ \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ cdot \ hat {\ mathbf { n}} = A _ {\ |} \). ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ
\ [\ hat {\ mathbf {n}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {A}} = \ hat {\ mathbf {n}} \ times \ left (A \ hat {\ mathbf {n}} + A_ {\ perp} \ hat {\ mathbf {e}} \ right) = \ hat {\ mathbf {n}} \ times A _ {\ perp} \ hat {\ mathbf {e}} = A _ {\ perp} (\ ΡΠ»ΡΠΏΠ° {\ mathbf {n}} \ times \ hat {\ mathbf {e}}) \]
ΠΠ΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΉ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ \ (\ hat {\ mathbf {n}} \ times \ hat {\ mathbf {e}} \) Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ \ (\ hat {\ mathbf {n}} \), Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½ΠΎ \ (\ hat {\ mathbf {e}} \).Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, \ ((\ hat {\ mathbf {n}} \ times \ hat {\ mathbf {e}}) \ times \ hat {\ mathbf {n}} \) ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ, ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ \ (\ ΡΠ»ΡΠΏΠ° {\ mathbf {e}} \) (ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΡΠΊΠΈ. ΠΡΠ°ΠΊ, \ ((\ hat {\ mathbf {n}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {A}}) \ times \ hat {\ mathbf { n}} = A _ {\ perp} \ hat {\ mathbf {e}} \). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ,
\ [\ overrightarrow {\ mathbf {A}} = A _ {\ |} \ hat {\ mathbf {n}} + A _ {\ perp} \ hat {\ mathbf {e}} = (\ overrightarrow {\ mathbf { A}} \ cdot \ hat {\ mathbf {n}}) \ hat {\ mathbf {n}} + (\ hat {\ mathbf {n}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {A}}) \ times \ ΡΠ»ΡΠΏΠ° {\ mathbf {n}} \]
.