Векторное Произведение Векторов. Свойства, определение

Определение векторного произведения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Коллинеарность — отношение параллельности векторов. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Проще говоря это «параллельные» векторы. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Основное обозначение — →a || →b. Сонаправленные коллинеарные векторы обозначаются так →a ↑↑ →b, противоположно направленные — →a ↑↓ →b.

Прежде чем дать определение векторного произведения, разберемся с ориентацией упорядоченной тройки векторов →a, →b, →c в трехмерном пространстве.

Отложим векторы →a, →b, →c от одной точки. В зависимости от направления вектора →c тройка →a, →b, →c может быть правой или левой.

Посмотрим с конца вектора →c на то, как происходит кратчайший поворот от вектора →a к →b. Если кратчайший поворот происходит против часовой стрелки, то тройка векторов →a, →b, →c называется правой, по часовой стрелке — левой.

Теперь возьмем два неколлинеарных вектора →a и →b. Отложим от точки А векторы →AB = →a и →AC = →b. Построим некоторый вектор →AD = →c, перпендикулярный одновременно и →AB и →AC.

Очевидно, что при построении вектора →AD = →c мы можем поступить по-разному, если зададим ему либо одно направление, либо противоположное.

В зависимости от направления вектора →AD = →c упорядоченная тройка векторов →a, →b, →c может быть правой или левой.

И сейчас мы подошли к определению векторного произведения. Оно дается для двух векторов, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Векторным произведением двух векторов →a и →b, которые заданы в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, называется такой вектор →c, что:

• он является нулевым, если векторы →a и →b коллинеарны;
• он перпендикулярен и вектору →a и вектору →b;
  
• длина векторного произведения равна произведению длин векторов →a и →b на синус угла между ними
  
• тройка векторов →a, →b, →c ориентирована так же, как и заданная система координат.

Векторным произведением вектора →a на вектор →b называется вектор →c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах →a и →b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от →a к →b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора →c.

Векторное произведение двух векторов a = {ax; ay; az} и b = {bx; by; bz} в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя формулы вычисления векторного произведения векторов:

• 
  
• 
  

Векторное произведение векторов →a и →b обозначается как [→a • →b].

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и есть название. На рисунке тройка векторов →a, →b, [→a • →b] является правой

.

Еще есть аналитический способ определения правой и левой тройки векторов — он требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора →a, второй — вектора →b, третьей — вектора →c. Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

• Если определитель положителен, то тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
• Если определитель отрицателен, то тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
• Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).

Координаты векторного произведения

Рассмотрим векторное произведение векторов в координатах.

Сформулируем второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов.

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов →a = (ax, ay, az) и →b = (bx, by, bz) есть вектор

, где

→i, →j, →k — координатные векторы.

Это определение показывает нам векторное произведение в координатной форме.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты →i, →j, →k, во второй строке находятся координаты вектора →a, а в третьей — координаты вектора →b в заданной прямоугольной системе координат:

Если разложим этот определитель по элементам первой строки, то получим равенство из определения векторного произведения в координатах:

Важно отметить, что координатная форма векторного произведения согласуется с определением,которое мы дали в первом пункте этой статьи. Более того, эти два определения векторного произведения эквивалентны.

Свойства векторного произведения

Векторное произведение в координатах представляется в виде определителя матрицы:

На основании свойств определителя можно легко обосновать свойства векторного произведения векторов:

1. Антикоммутативность
   
2. Свойство дистрибутивности
   

   или

   
   
3. Сочетательное свойство
   

   или

   
   

   , где λ произвольное действительное число.

Для большей ясности докажем свойство антикоммутативности векторного произведения.

По определению

и

Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется на противоположное, если переставить местами две строки, поэтому

что доказывает свойство антикоммутативности векторного произведения.

Чтобы найти модуль векторного произведения векторов u и v нужно найти площадь параллелограмма, который построен на данных векторах: S = | u × v | = | u | * | v | * sinθ, где θ — угол между векторами.

Векторное произведение векторов u и v равно нулевому вектору, если u и v параллельны (коллинеарны): u × v = 0, если u ∥ v (θ = 0).

 

Примеры решения задач

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах →a и →b, если |→a| = 2, |→b| = 3, ∠(→a, →b) = π/3.

Как решаем:

а) По условию требуется найти длину векторного произведения. Подставляем данные в формулу:

Ответ:

Так как в задаче речь идет о длине, то в ответе указываем размерность — единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, который построен на векторах →a и →b. Площадь такого параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ:

Пример 2

Найти |[-3→a x 2→b]|, если |→a| = 1/2, |→b| = 1/6, ∠(→a, →b) = π/2.

Как решаем:

По условию снова нужно найти длину векторного произведения. Используем нашу формулу:

Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль позволяет убрать знак минус. Длина же не может быть отрицательной.

Ответ:

Пример 3

Даны вершины треугольника A (0, 2, 0), B (-2, 5,0), C (-2, 2, 6). Найти его площадь.

Как решаем:

Сначала найдём векторы:

Затем векторное произведение:

Вычислим его длину:

Подставим данные в формулы площадей параллелограмма и треугольника:

Ответ:

Геометрический смысл векторного произведения

По определению длина векторного произведения векторов равна

А из курса геометрии средней школы мы знаем, что площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Поэтому длина векторного произведения равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы →a и →b, если их отложить от одной точки. Проще говоря, длина векторного произведения векторов →a и →b равна площади параллелограмма со сторонами |→a| и |→b| и углом между ними, равным (→a, →b). В этом состоит геометрический смысл векторного произведения.

Физический смысл векторного произведения

В механике — одном из разделов физики — благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства. Поэтому сформулируем еще одно важное определение.

Под моментом силы →F, приложенной к точке B, относительно точки A понимается следующее векторное произведение [→A B × →F].

Вектор линейной скорости →V точки M колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости →W и радиус-вектора точки колеса, то есть →V = →W`→rM.

определения, свойства, формулы, примеры и решения

Определение векторного произведения

Перед тем, как дать понятие векторного произведения, обратимся к вопросу о ориентации упорядоченной тройки векторов a→, b→, c→ в трехмерном пространстве.

Отложим для начала векторы a→, b→, c→ от одной точки. Ориентация тройки a→, b→, c→ бывает правой или левой, в зависимости от направления самого вектора c→. От того, в какую сторону осуществляется кратчайший поворот от вектора a→ к b→ с конца вектора c→, будет определен вид тройкиa→, b→, c→.

Если кратчайший поворот осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов a→, b→, c→ называется правой, если по часовой стрелке – левой.

Далее возьмем два не коллинеарных вектора a→ и b→. Отложим затем от точки A векторы AB→=a→ и AC→=b→. Построим вектор AD→=c→, который одновременно перпендикулярный одновременно и AB→ и AC→. Таким образом, при построении самого вектора AD→=c→ мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).

Упорядоченная тройка векторов a→, b→, c→ может быть, как мы выяснили правой или левой в зависимости от направления вектора.

Из вышесказанного можем ввести определение векторного произведения. Данное определение дается для двух векторов, определенных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Определение 1

Векторным произведением двух векторов a→ и b→ будем называть такой вектор заданный в прямоугольной системе координат трехмерного пространства такой, что:

• если векторы a→ и b→ коллинеарны, он будет нулевым;
• он будет перпендикулярен и вектору a→​​​​ и вектору b→ т.е. ∠a→c→=∠b→c→=π2 ;
• его длина определяется по формуле: c→=a→·b→·sin∠a→,b→;
• тройка векторов a→, b→, c→ имеет такую же ориентацию, что и заданная система координат.

Векторное произведение векторов a→ и b→ имеет следущее обозначение: a→×b→.

Координаты векторного произведения

Так как любой вектор имеет определенные координаты в системе координат, то можно ввести второе определение векторного произведения, которое позволит находить его координаты по заданным координатам векторов.

Определение 2

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторным произведением двух векторов a→=(ax; ay; az) и b→=(bx; by; bz) называют вектор c→=a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→, где i→, j→, k→ являются координатными векторами.

Векторное произведение можно представит как определитель квадратной матрицы третьего порядка, где первая строка есть векторы орты i→, j→, k→, вторая строка содержит координаты вектора a→, а третья – координаты вектора b→ в заданной прямоугольной системе координат, данный определитель матрицы выглядит так: c→=a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz

Разложив данный определитель по элементам первой строки, получим равенство: c→=a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz=ayazbybz·i→-axazbxbz·j→+axaybxby·k→==a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→

Свойства векторного произведения

Известно, что векторное произведение в координатах представляется как определитель матрицы c→=a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz, то на базе свойств определителя матрицы выводятся следующие свойства векторного произведения:

1. антикоммутативность a→×b→=-b→×a→;
2. дистрибутивность a(1)→+a(2)→×b=a(1)→×b→+a(2)→×b→ или a→×b(1)→+b(2)→=a→×b(1)→+a→×b(2)→;
3. ассоциативность λ·a→×b→=λ·a→×b→ или a→×(λ·b→)=λ·a→×b→, где λ — произвольное действительное число.

Данные свойства имеют не сложные доказательства.

Для примера можем доказать свойство антикоммутативности векторного произведения.

Доказательство антикоммутативности

По определению a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz и b→×a→=i→j→k→bxbybzaxayaz. А если две строчки матрицы переставить местами, то значение определителя матрицы должно меняется на противоположное,следовательно,a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz =-i→j→k→bxbybzaxayaz=-b→×a→, что и доказывает антикоммутативность векторного произведения.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Векторное произведение – примеры и решения

В большинстве случаев встречаются три типа задач.

В задачах первого типа обычно заданы длины двух векторов и угол между ними, а нужно найти длину векторного произведения. В этом случае пользуются следующей формулойc→=a→·b→·sin∠a→,b→ .

Пример 1

Найдите длину векторного произведения векторов a→ и b→, если известноa→=3, b→=5, ∠a→,b→=π4.

Решение

С помощью определения длины векторного произведения векторов a→ и b→ решим данную задач: a→×b→=a→·b→·sin∠a→,b→=3·5·sinπ4=1522.

Ответ: 1522.

Задачи второго типа имеют связь с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина и т.д. ищутся через известные координаты заданных векторов a→=(ax; ay; az) и b→=(bx; by; bz).

Для такого типа задач, можно решить массу вариантов заданий. Например, могут быть заданы не координаты векторов  a→ и b→, а их разложения по координатным векторам вида b→=bx·i→ +by·j→+bz·k→ и c→=a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→, или векторы a→ и b→ могут быть заданы координатами точек их начала и конца.

Рассмотрим следующие примеры.

Пример 2

В прямоугольной системе координат заданы два вектора a→=(2; 1; -3), b→=(0; -1; 1). Найдите их векторное произведение.

Решение

По второму определению найдем векторное произведение двух векторов в заданных координатах:a→×b→=(ay·bz-az·by)·i→+(az·bx-ax·bz)·j→+(ax·by-ay·bx)·k→==(1·1-(-3)·(-1))·i→+((-3)·0-2·1)·j→+(2·(-1)-1·0)·k→==-2i→-2j→-2k→.

Если записать векторное произведение через определитель матрицы, то решение данного примера выглядит следующим образом: a→×b→=i→j→k→axayazbxbybz=i→j→k→21-30-11=-2i→-2j→-2k→.

Ответ: a→×b→=-2i→-2j→-2k→.

Пример 3

Найдите длину векторного произведения векторов i→-j→ и i→+j→+k→, где i→, j→, k→ — орты прямоугольной декартовой системы координат.

Решение

Для начала найдем координаты заданного векторного произведения i→-j→×i→+j→+k→ в данной прямоугольной системе координат.

Известно, что векторы i→-j→ и i→+j→+k→ имеют координаты (1; -1; 0)  и (1; 1; 1) соответственно. Найдем длину векторного произведения при помощи определителя матрицы, тогда имеем i→-j→×i→+j→+k→=i→j→k→1-10111=-i→-j→+2k→.

Следовательно, векторное произведение i→-j→×i→+j→+k→ имеет координаты (-1; -1; 2) в заданной системе координат.

Длину векторного произведения найдем по формуле (см. в разделе нахождение длины вектора): i→-j→×i→+j→+k→=-12+-12+22=6.

Ответ: i→-j→×i→+j→+k→=6..

Пример 4

В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек A(1,0,1), B(0,2,3), C(1,4,2) . Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный AB→ и AC→ одновременно.

Решение

Векторы  AB→ и AC→ имеют следующие координаты (-1; 2; 2) и (0; 4; 1) соответственно. Найдя векторное произведение векторов AB→ и AC→, очевидно, что оно является перпендикулярным вектором по определению и к  AB→​​​​​ и к AC→, то есть, является решением нашей задачи. Найдем его AB→×AC→=i→j→k→-122041=-6i→+j→-4k→.

Ответ: -6i→+j→-4k→. — один из перпендикулярных векторов.

Задачи третьего типа ориентированы на использование свойств векторного произведения векторов. После применения которых, будем получать решение заданной задачи.

Пример 5

Векторы  a→ и b→ перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4. Найдите длину векторного произведения 3·a→-b→×a→-2·b→=3·a→×a→-2·b→+-b→×a→-2·b→==3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→.

Решение

По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать 3·a→-b→×a→-2·b→=3·a→×a→-2·b→+-b→×a→-2·b→==3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→

По свойству ассоциативности вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении: 3·a→×a→+3·a→×-2·b→+-b→×a→+-b→×-2·b→==3·a→×a→+3·(-2)·a→×b→+(-1)·b→×a→+(-1)·(-2)·b→×b→==3·a→×a→-6·a→×b→-b→×a→+2·b→×b→

Векторные произведения a→×a→ и b→×b→ равны 0, так как a→×a→=a→·a→·sin0=0 и b→×b→=b→·b→·sin0=0, тогда 3·a→×a→-6·a→×b→-b→×a→+2·b→×b→=-6·a→×b→-b→×a→..

Из антикоммутативности векторного произведения следует -6·a→×b→-b→×a→=-6·a→×b→-(-1)·a→×b→=-5·a→×b→..

Воспользовавшись свойствами векторного произведения, получаем равенство 3·a→-b→×a→-2·b→==-5·a→×b→.

По условию векторы  a→ и b→ перпендикулярны, то есть угол между ними равен π2. Теперь остается лишь подставить найденные значения в соответствующие формулы: 3·a→-b→×a→-2·b→=-5·a→×b→==5·a→×b→=5·a→·b→·sin(a→,b→)=5·3·4·sinπ2=60.

Ответ: 3·a→-b→×a→-2·b→=60.

Геометрический смысл векторного произведения

Длина векторного произведения векторов по орпеделению равна a→×b→=a→·b→·sin∠a→,b→. Так как уже известно (из школьного курса), что площадь треугольника равна половине произведения длин двух его сторон умноженное на синус угла между данными сторонами. Следовательно, длина векторного произведения равна площади параллелограмма — удвоенного треугольника, а именно произведению сторон в виде векторов  a→ и b→, отложенные от одной точки, на синус угла между ними sin∠a→,b→.

Это и есть геометрический смысл векторного произведения.

Физический смысл векторного произведения

В механике, одном из разделов физики, благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства.

Определение 3

Под моментом силы F→, приложенной к точке B, относительно точки A будем понимать следующее векторное произведение AB→×F→.

Векторное произведение двух векторов. Он-лайн калькулятор.

Векторное произведение двух векторов. Он-лайн калькулятор. Векторное произведение двух векторов а и b — это операция над ними, определенная лишь в трехмерном пространстве, результатом которой является вектор со следующими свойствами: Для большей ясности приведем пример — на рисунке справа вектор [a,b] — векторное произведение векторов а и b. Как сказано в определении, мы привели все три вектора к общему началу, и тогда, если смотреть на вектора a и b с конца вектора [a,b], кратчайший поворот от вектора а до вектора b будет против часовой стрелки . Очевидно, что в случае векторного произведения, имеет значение порядок, в котором берутся вектора, более того, Так же, непосредственно из определения следует, что для любого скалярного множителя k (числа) верно следующее: Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулевому вектору. Более того, векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они коллинеарны. (В случае, если один из них нулевой вектор необходимо вспомнить, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору по определению). Векторное произведение обладает распределительным свойством, то есть Выражение векторного произведения через координаты векторов. Пусть даны два вектора (как найти координаты вектора по координатам его начала и конца — см. статью Скалярное произведение векторов, пункт Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами.) Тогда Зачем нужно векторное произведение? Существует множество способов применения векторного произведения, например, как уже написано выше, вычислив векторное произведение двух векторов можно выяснить, коллинеарны ли они. Или же его можно использовать как способ вычисления площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Исходя из определения, длина результирующего вектора и есть площадь данного параллелограмма. Также огромное количество применений существует в электричестве и магнетизме. Он-лайн калькулятор векторного произведения. Чтобы найти скалярное произведение двух векторов с помощью данного калькулятора, нужно ввести в первую строку по порядку координаты первого вектора, во вторую- второго. Координаты векторов могут быть вычислены по координатам их начала и конца (см. статью Скалярное произведение векторов, пункт Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами. ) Чтобы найти скалярное произведение двух векторов с помощью данного калькулятора, нужно ввести в первую строку по порядку координаты первого вектора, во вторую- второго. Координаты векторов могут быть вычислены по координатам их начала и конца (см. статью Скалярное произведение векторов, пункт Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами. )

Векторное произведение векторов и его свойства с примерами решения и образцами выполнения

Определение векторного произведения:

Три некомпланарных вектора

, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой

Векторным произведением вектора

на вектор называется вектор , который:

1. перпендикулярен векторам
2. имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах (см. рис. 17), т. е.
3. векторы образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается

или . Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i, j и k (см. рис. 18):

Докажем, например, что

.

3. векторы i, j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).

Свойства векторного произведения

1.При перестановке сомножителей

векторное произведение меняет знак, т. е. (см. рис. 19).

Векторы

коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки противоположной ориентации). Стало быть, .

2.Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е.

Пусть

. Вектор перпендикулярен векторам . Вектор также перпендикулярен векторам (векторы лежат в одной плоскости). Значит, векторы и коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

и

Поэтому

Аналогично доказывается при

3. Два ненулевых вектора

коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е.

Если

, то угол между ними равен 0° или 180°. Но тогда Значит,

Если же

, то . Но тогда , т. е. .

В частности,

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

Примем без доказательства.

Выражение векторного произведения через координаты

Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i, j и k:

если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».

Пусть заданы два вектора

Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):

т.е.

Полученную формулу можно записать еще короче:

так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки. Равенство (7.2) легко запоминается.

Некоторые приложения векторного произведения
Установление коллинеарности векторов

Если

, то (и наоборот), т. е.

Нахождение площади параллелограмма и треугольника

Согласно определению векторного произведения векторов

И, значит,

Определение момента силы относительно точки

Пусть в точке А приложена сила

и пусть О — некоторая точка пространства (см. рис. 20).

Из физики известно, что моментом силы

относительно точки О называется вектор , который проходит через точку О и:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

2) численно равен произведению силы на плечо

3) образует правую тройку с векторами

. Стало быть,

Нахождение линейной скорости вращения

Скорость

точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера , где , где О — некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).

Векторное произведение

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Геометрия
96. Действительные числа
97. Степени и корни
98. Степень с рациональным показателем
99. Тригонометрические функции угла
100. Тригонометрические функции числового аргумента
101. Тригонометрические выражения и их преобразования
102. Преобразование тригонометрических выражений
103. Комбинаторика
104. Вычислительная математика
105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
106. Прямая и плоскость
107. Линии и уравнения
108. Прямая линия
109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
110. Кривые второго порядка
111. Кривые и поверхности второго порядка
112. Числовые ряды
113. Степенные ряды
114. Ряды Фурье
115. Преобразование Фурье
116. Функциональные ряды
117. Функции многих переменных
118. Метод координат
119. Гармонический анализ
120. Вещественные числа
121. Предел последовательности
122. Аналитическая геометрия
123. Аналитическая геометрия на плоскости
124. Аналитическая геометрия в пространстве
125. Функции одной переменной
126. Высшая алгебра
127. Векторная алгебра
128. Векторный анализ
129. Векторы
130. Скалярное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат

Как найти векторное произведение векторов

Угол между векторами

Для того чтобы мы могли ввести понятие векторного произведения двух векторов, нужно сначала разобраться с таким понятие, как угол между этими векторами.\circ$.

Обозначение: $∠(\overline{α},\overline{β})$

Понятие векторного произведения векторов и формула нахождения

Определение 1

Векторным произведением двух векторов называется вектор, перпендикулярный обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.

Обозначение: $\overline{α}х\overline{β}$.

Математически это выглядит следующим образом:

1. $|\overline{α}х\overline{β}|=|\overline{α}||\overline{β}|sin⁡∠(\overline{α},\overline{β})$
2. $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{α}$, $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{β}$
3. $(\overline{α}х\overline{β},\overline{α},\overline{β})$ и $(\overline{i},\overline{j},\overline{k})$ одинаково ориентированы (рис. 2)

Рисунок 2. Произведение векторов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Очевидно, что внешнее произведение векторов будет равняться нулевому вектору в двух случаях:

1. Если длина одного или обоих векторов равняется нулю.\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

   Ответ: $12$.

   Вычисление векторного произведения по координатам векторов

   Из определения 1 сразу же вытекает и способ нахождения векторного произведения для двух векторов. Поскольку вектор кроме значения имеет еще и направление, находить его только при помощи скалярной величины невозможно. Но помимо него существует еще способ нахождения с помощью координат данных нам векторов.

   Пусть нам даны векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$, которые будут иметь координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно. Тогда вектор векторного произведения (а именно его координаты) можно найти по следующей формуле:

   $\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}$

   Иначе, раскрывая определитель, получим следующие координаты

   $\overline{α}х\overline{β}=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

   Пример 2

   Найти вектор векторного произведения коллинеарных векторов $\overline{α}$ и $\overline{β}$ с координатами $(0,3,3)$ и $(-1,2,6)$.

   Решение.

   Воспользуемся формулой, приведенной выше. Получим

   $\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\0&3&3\\-1&2&6\end{vmatrix}=(18-6)\overline{i}-(0+3)\overline{j}+(0+3)\overline{k}=12\overline{i}-3\overline{j}+3\overline{k}=(12,-3,3)$

   Ответ: $(12,-3,3)$.

   Свойства векторного произведения векторов

   Для произвольных смешанных трех векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$, а также $r∈R$ справедливы следующие свойства:

   1. $\overline{α}х\overline{β}=-(\overline{β}х\overline{α})$

      Верность этого свойства будет следовать из третьего пункта определения 1.

   2. $(r\overline{α})х\overline{β}=r(\overline{α}х\overline{β})$ и $\overline{α}х(r\overline{β})=r(\overline{α}х\overline{β})$

      Из формулы для нахождения векторного произведения будем получать:

      $(r\overline{α})\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\rα_1&rα_2&rα_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=r\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=r(\overline{α}х\overline{β})$

      $\overline{α}х(r\overline{β})=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\rβ_1&rβ_2&rβ_3\end{vmatrix}=r\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}=r(\overline{α}х\overline{β})$

   3. $\overline{α}х(\overline{β}+\overline{γ})=\overline{α}\overline{β}+\overline{α}\overline{γ}$ и $(\overline{α}+\overline{β})\overline{γ}=\overline{α}\overline{γ}+\overline{β}\overline{γ}$.

      Данное свойство векторного произведения векторов также можно проверить с помощью формулы.

      Следующее свойство называют геометрическим смыслом векторного произведения:

   4. Длина вектора векторного произведения равняется площади параллелограмма, который нужно было построить между ними (рис. 4)

      Рисунок 4. Длина вектора векторного произведения. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

   Пример 3

   Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ и $(3,8,0)$.

   Решение.

   Вначале изобразим данный параллелограмм в координатном пространстве (рис.5):

   Рисунок 5. Параллелограмм в координатном пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

   Видим, что две стороны этого параллелограмма построены с помощью коллинеарных векторов с координатами $\overline{α}=(3,0,0)$ и $\overline{β}=(0,8,0)$. Используя четвертое свойство, получим:

   $S=|\overline{α}х\overline{β}|$

   Найдем вектор $\overline{α}х\overline{β}$:

   $\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\3&0&0\\0&8&0\end{vmatrix}=0\overline{i}-0\overline{j}+24\overline{k}=(0,0,24)$

   Следовательно

   $S=|\overline{α}х\overline{β}|=\sqrt{0+0+24^2}=24$

   Ответ: $24$.

   Векторное произведение векторов — это… Что такое Векторное произведение векторов?

   Правые и левые тройки векторов

   Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой — вторым, а какой — третьим.

   Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если, будучи приведёнными к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

   Определение

   Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

   • длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла ; между ними

   Обозначение:

   В различных учебных заведениях определение векторного произведения даётся по-разному. Например, в качестве определения даётся описанное далее выражение векторного произведения в координатах. А далее выводится данное выше определение.

   Свойства

   Геометрические свойства векторного произведения

   Алгебраические свойства векторного произведения

   Выражение для векторного произведения в декартовых координатах

   Если два вектора и определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе

   то их векторное произведение имеет вид

   Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель:

   или

   где  — символ Леви-Чивиты.

   Обобщения

   Кватернионы

   Векторное произведение можно также записать в кватернионной форме, поэтому буквы , ,  — стандартные обозначения для ортов в : они рассматриваются как воображаемые кватернионы.

   Заметим, что соотношения через векторное произведение между , и соответствуют правилам умножения для кватернионов i, j и k. Если представить вектор как кватернион a₁i + a₂j + a₃k, то векторное произведение двух векторов получается взятием векторной части от произведения соответствующих им кватернионов. Скалярное произведение этих векторов противоположно скалярной части произведения этих кватернионов.

   Преобразование к матричной форме

   Векторное произведение двух векторов можно записать как произведение кососимметрической матрицы и вектора:

   где

   Пусть равен векторному произведению:

   тогда

   Такая форма записи позволяет обобщить векторное произведение на высшие размерности, представляя псевдовекторы (угловая скорость, индукция и т. п.) как такие кососимметричные матрицы. Ясно, что такие физические величины будут иметь n(n − 1) / 2 независимых компонент в n-мерном пространстве. В трёхмерном пространстве получаются три независимые компоненты, поэтому такие величины можно представлять как векторы этого пространства.

   С такой формой записи также зачастую проще работать (например, в en:epipolar geometry).

   Из общих свойств векторного произведения следует, что

     и  

   а так как кососимметрична, то

   В такой форме записи легко доказывается тождество Лагранжа (правило «бац минус цаб»).

   Распространение на матрицы

   В 3-хмерном случае можно определить векторное произведение матриц и произведение матрицы на вектор. Это делает очевидным указанный выше изоморфизм и позволяет упростить многие выкладки. Представим матрицу A как столбец векторов, тогда

   Умножение матрицы на вектор слева определяется аналогично, если представить A как строку векторов. Транспонирование матрицы, соответственно, переводит строку векторов в столбец векторов, и наоборот. Легко обобщить многие соотношения для векторов на соотношения для векторов и матриц, например (A — матрица, ,  — векторы):

   После этого можно изменить форму записи для векторного произведения:

   E — единичная матрица. Отсюда очевидны существование и вид матрицы, соответствующей векторному умножению на вектор слева. Аналогично можно получить выражение для матрицы умножения на вектор справа. Распространяя операции над векторами на матрицы покомпонентно, представляя их как «векторы из векторов», стандартные соотношения для векторов легко обобщаются на матрицы. Например, теорема Стокса в примет вид:

   где ротор матрицы A вычисляется как векторное произведение матрицы A на оператор Гамильтона слева. В этих обозначениях очень легко доказать, например, следующие формы теоремы Стокса:

   Размерности, не равные трём

   Пусть D — размерность пространства.

   Векторное произведение, обладающее всеми свойствами обычного трёхмерного векторного произведения, то есть бинарное билинейное антисимметричное невырожденное отображение , можно ввести только для размерности 3.

   Однако есть простое обобщение на остальные натуральные размерности, начиная с 3, а если нужно — и на размерность 2 (последнее, правда, сравнительно специфическим образом). Тогда это обобщение, в отличие от невозможного, описанного чуть выше, вводится не для пары векторов, а лишь для набора (D − 1) векторов-сомножителей. Вполне аналогично смешанному произведению, естественно обобщаемому в D-мерном пространстве на операцию с D сомножителями. Используя символ Леви-Чивиты с D индексами, можно явно записать такое (D − 1)-валентное векторное произведение как

   Такое обобщение дает гиперплощадь размерности (D − 1).

   Если нужно ввести операцию именно для двух сомножителей, имеющую геометрический смысл, предельно близкий к смыслу векторного произведения (то есть представляющую ориентированную площадь), то результат уже не будет вектором, так как при D < > 3 не найдется единственной, однозначно определённой нормали к двумерной плоскости, натянутой на множители. Можно ввести бивектор, компоненты которого равны проекциям ориентированной площади параллелограмма, натянутого на пару векторов, на координатные плоскости:

   .

   Эта конструкция называется внешним произведением.

   Для двумерного случая эта операция называется псевдоскалярным произведением, так как получающееся пространство одномерно и результат можно отождествить с псевдоскаляром.

   Алгебра Ли векторов

   Векторное произведение вводит на структуру алгебры Ли (поскольку оно удовлетворяет обеим аксиомам — антисимметричности и тождеству Якоби). Эта структура соответствует отождествлению с касательной алгеброй Ли so(3) к группе Ли SO(3) ортогональных линейных преобразований трёхмерного пространства.

   См. также

   Произведения векторов

   Другое

   Ссылки

   Литература

   • Кочин Н. Е. Введение в векторный и тензорный анализ.

   Wikimedia Foundation. 2010.

   ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ НЕКОТОРЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР Исследовательская работа по математике ученика 10 Б класса МОУ СОШ №73 Перевозникова Михаила

   Использование векторного произведения ВЕКТОРОВ

   для вычисления площади

   некоторых геометрических фигур

   Исследовательская работа по математике

   Ученика 10 Б класса

   МОУ СОШ №73

   Перевозникова Михаила

   Руководители:

   Ассистент каф. математического анализа механико-математического факультета СГУ им. Н.Г. Чернышевского Бердников Глеб Сергеевич

   Саратов, 2015

   Содержание

   Введение.

   1. Теоретический обзор.

   1.1. Векторы и вычисления с векторами.

   1.2. Использование скалярного произведения векторов в решении задач

   1.3 Скалярное произведение векторов в координатах

   1.4. Векторное произведение векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве: определение понятия.

   1.5. Координаты векторного произведения векторов.

   2. Практическая часть.

   2.1. Связь векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма. Выведение формулы и геометрический смысл векторного произведения векторов.

   2.2. Зная только координаты точек, найти площадь треугольника. Доказательство теоремы

   2.3. Проверка на примерах правильности формулы.

   2.4. Практическое использование векторной алгебры и произведения векторов.

   Заключение

   Введение

   Как известно, многие геометрические задачи имеют два ключевых способа решения – графический и аналитический. Графический метод связан с построением графиков и чертежей, а аналитический    предполагает решение задач преимущественно с помощью алгебраических действий. В последнем случае алгоритм решений задач связан с аналитической геометрией. Аналитическая геометрия – это область математики, а точнее линейной алгебры, которая рассматривает решение геометрических задач средствами алгебры на основе метода координат на плоскости и в пространстве. Аналитическая геометрия позволяет анализировать геометрические образы, исследовать линии и поверхности, важные для практических приложений. При этом в этой науке для расширения пространственного понимания фигур помимо скалярного произведения векторов иногда применяется векторное произведение векторов.

   В связи с широким распространением трехмерных пространственных технологий, изучение свойств некоторых геометрических фигур с использованием векторного произведения представляется актуальным.

   В связи с этим была обозначена цель данного проекта – использование векторного произведения векторов для вычисления площади некоторых геометрических фигур.

   В связи с поставленной целью решались следующие задачи:

   1. Теоретически изучить необходимые основы векторной алгебры и дать определение векторному произведению векторов в системе координат;

   2. Проанализировать наличие связи векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма;

   3. Вывести формулу площади треугольника и параллелограмма в координатах;

   4. Проверить на конкретных примерах верность выведенной формулы.

   1. Теоретический обзор.

   1. 1. Векторы и вычисления с векторами

   Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

   В данном случае началом отрезка является точка А, концом отрезка – точка В. Сам вектор обозначен через или  . Чтобы найти координаты вектора , зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки:

    = {B_x — A_x ; B_y — A_y}

   Коллинеарными называются векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой. При этом вектор   отрезок, характеризующийся длиной и направлением.

   Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора.

   Длина вектора || в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

   С векторами можно совершать различные действия.

   Например, сложение. Чтобы их сложить, нужно провести сначала второй вектор из конца первого, а потом соединить начало первого с концом второго (рис. 1). Суммой векторов является другой вектор с новыми координатами.

   Сумму векторов   = {a_x ; a_y} и = {b_x ; b_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

   + = {a_x + b_x; a_y + b_y}

   Рис. 1. Действия с векторами

   Вычитая векторы, нужно сначала провести их из одной точки, а потом соединить конец второго с концом первого.

   Разность векторов  = {a_x ; a_y} и  = {b_x ; b_y} можно найти по формуле:

   —  = {a_x — b_x; a_y — b_y}

   Также, векторы можно умножать на число. Результатом также будет вектор, который в k раз больше (или меньше) данного. Его направление будет зависеть от знака k: при положительном k векторы сонаправлены, а при отрицательном – противоположно направлены.

   Произведение вектора  = {a_x ; a_y} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

   k ·  = {k · a_x; k · a_y}

   А можно ли умножать вектор на вектор? Конечно, и даже двумя вариантами!

   Первый вариант – скалярное произведение.

   Рис. 2. Скалярное произведение в координатах

   Для нахождения произведения векторов можно использовать угол  между данными векторами, показанный на рисунке 3.

   Из формулы следует, что скалярное произведение равно произведению длин данных векторов на косинус угла между ними, его результатом является число. Важно, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.к. косинус прямого угла между ними равен нулю.

   В координатной плоскости вектор также имеет координаты. Вектора, их координаты и скалярное произведение являются одними из самых удобных методов вычисления угла между прямыми (или их отрезками), если введена система координат. И если координаты , то их скалярное произведение равно:

   В трехмерном пространстве существует 3 оси и, соответственно, у точек и векторов в такой системе будет по 3 координаты, а скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

   .

   1.2. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве.

   Вторым вариантом вычисления произведения векторов является векторное произведение. Но, чтобы его определить требуется уже не плоскость, а трехмерное пространство, в котором начало и конец вектора имеют по 3 координаты.

   В отличие от скалярного произведения векторов в трёхмерном пространстве операция «векторное умножение» над векторами приводит к иному результату. Если в предыдущем случае скалярного умножения двух векторов результатом было число, то в случае векторного умножения векторов результатом будет другой вектор, перпендикулярный обоим вступившим в произведение векторам. Поэтому это произведение векторов называется векторным.

   Очевидно, что при построении результирующего вектора , перпендикулярного двум, вступившим в произведение — и , может быть выбрано два противоположных направления. При этом направление результирующего вектора определяется по правилу правой руки, или правилу буравчика. Если нарисовать векторы так, чтобы их начала совпадали и вращать первый вектор-сомножитель кратчайшим образом ко второму вектору-сомножителю, а четыре пальца правой руки показывали направление вращения (как бы охватывая вращающийся цилиндр), то оттопыренный большой палец покажет направление вектора-произведения (рис. 7).

   Рис. 7. Правило правой руки

   1.3. Свойства векторного произведения векторов.

   Длина результирующего вектора определяется по формуле

   .

   При этом   векторное произведение. Как было сказано выше, результирующий вектор будет перпендикулярен , а его направление определяется по правилу правой руки.

   Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

   .

   Векторное произведение ненулевых векторов равно 0, если они коллинеарны, тогда синус угла между ними будет равен 0.

   Координаты векторов в трехмерном пространстве выражаются следующим образом: . Тогда координаты результирующего вектора находим по формуле

   .

   Длина результирующего вектора находится по формуле:

   .

   
   

   
   

   2. Практическая часть.

   2.1. Связь векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма в плоскости. Геометрический смысл векторного произведения векторов.

   Пусть нам дан треугольник ABC (рис. 8). Известно, что .

   Если представить стороны треугольника АВ и АС в виде двух векторов, то в формуле площади треугольника мы находим выражение векторного произведения векторов:

   Из выше сказанного можно определить геометрический смысл векторного произведения (рис. 9):

   длина векторного произведения векторов равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы  и , если их отложить от одной точки.

   Другими словами, длина векторного произведения векторов  и  равна площади параллелограмма, построенного на векторах  и , со сторонами  и  и углом между ними, равным .

   .

   Рис. 9. Геометрический смысл векторного произведения векторов

   В связи с этим, можно привести еще одно определение векторного произведения векторов:

   Векторным произведением вектора  на вектор   называется вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах  и , перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от  к  вокруг вектора  осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора  (рис. 10).

   
   

   Рис. 10. Определение векторного произведения векторов

   с использованием параллелограмма

   2.2. Вывод формулы для нахождения площади треугольника в координатах.

   Итак, нам дан треугольник АВС в плоскости и координаты его вершин. Найдем площадь этого треугольника (рис. 11).

   Рис. 11. Пример решения задачи на нахождение площади треугольника по координатам его вершин

   Решение.

   Для начала, рассмотрим координаты вершин в пространстве и вычислим координаты векторов АВ и АС.

   По данной прежде формуле подсчитаем координаты их векторного произведения. Длина этого вектора равна 2 площадям треугольника АВС. Площадь треугольника равна 10.

   Более того, если мы рассмотрим треугольник на плоскости, то первые 2 координаты векторного произведения всегда будут равны нулю, поэтому мы можем сформулировать следующую теорему.

   Теорема: Пусть дан треугольник АВС и координаты его вершин (рис. 12).

   Тогда .

   Рис. 12. Доказательство теоремы

   Доказательство.

   Рассмотрим точки в пространстве и вычислим координаты векторов ВС и ВА. . По приведенной раньше формуле вычислим координаты векторного произведения этих векторов. Обратим внимание, что все члены, содержащие z1 или z2, равны 0, т.к. z1и z2 = 0. УБРАТЬ!!!

   Итак, следовательно,

   2.3. Проверка правильности формулы на примерах

   Найти площадь треугольника образованного векторами a = {-1; 2; -2} и b = {2; 1; -1}.

   Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:

   a × b= 

    i 

    j 

    k 

    =

    -1 

    2 

    -2 

    2 

    1 

    -1 

   = i(2 · (-1) — (-2) · 1) — j((-1) · (-1) — (-2) · 2) + k((-1) · 1 — 2 · 2) =

   = i(-2 + 2) — j(1 + 4) + k(-1 — 4) = -5j — 5k = {0; -5; -5}

   Из свойств векторного произведения:

   SΔ = 

   1

   |a × b| = 

   1

   √02 + 52 + 52 = 

   1

   √25 + 25 = 

   1

   √50 = 

   5√2

   2

   2

   2

   2

   2

   Ответ: SΔ = 2.5√2.

   Заключение

   2.4. Приложения векторной алгебры

   и скалярного и векторного произведения векторов.

   Где же нужны векторы? Векторное пространство и векторы носят не только теоретический характер, но и имеют вполне реальное практическое применение в современном мире.

   В механике и физике многие величины имеют не только численное значение, но и направление. Такие величины называются векторными. Вместе с использованием элементарных механических понятий, опираясь на их физический смысл, многие величины рассматриваются как скользящие векторы, а их свойства описываются как аксиомами, как это принято в теоретической механике, так и при помощи математических свойств векторов. Наиболее яркими примерами векторных величин являются скорость, импульс и сила (рис. 12). Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются с помощью векторов.

   В физике важны не только сами вектора, но в большой степени важны и их произведения, которые помогают вычислять некоторые величины. Векторное произведение полезно для определения коллинеарности векторов   модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы сонаправленны или противоположно направленны.

   Еще один пример: скалярное произведение используется для вычисления работы по приведенной ниже формуле, где F – вектор силы, а s – вектор перемещения.

   Одним из примеров использования произведения векторов является момент силы, равный произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы.

   Многое из того, что вычисляется в физике по правилу правой руки является векторным произведением. Найти подтверждения, привести примеры.

   Стоит еще заметить, что двухмерным и трехмерным пространством не исчерпываются возможные варианты векторных пространств. Высшая математика рассматривает пространства большей размерности, в которых также определяются аналоги формул для скалярного и векторного произведения. Несмотря на то, что пространства большей размерности, чем 3, человеческое сознание неспособно представить визуально, они удивительным образом находят себе приложения во многих областях науки и промышленности.

   В то же время результатом векторного произведения векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве является не число, а результирующий вектор со своими координатами, направлением и длиной.

   Направление результирующего вектора определяется по правилу правой руки, что является одним из самых удивительных положений аналитической геометрии.

   Векторное произведение векторов может быть использовано в нахождении площади треугольника или параллелограмма по заданным координатам вершин, что было подтверждено выведением формулы, доказательством теоремы и решением практических задач.

   Векторы широко используются в физике, где такие показатели как скорость, импульс и сила могут быть представлены в виде векторных величин и вычисляются геометрически.

   Список использованных источников

   Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7-9 классы: учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2013. 383 с.

   Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и профильный уровни. М.: Просвещение, 2013. 255 с.

   Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

   ????Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, Физматлит, 1998.

   Аналитическая геометрия.

   http://a-geometry.narod.ru/problems/problems_32.htm

   Математика. Клевер.

   http://www.cleverstudents.ru/vectors/vector_product_of_vectors.html

   ——Изучение математики онлайн.

   http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/

   Сайт В. Глазнева.

   http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/analit/common/html/anlek7.htm

   ——Википедия.

   https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EA%F2%EE%F0%ED%EE%E5_%EF%F0%EE%E8%E7%E2%E5%E4%E5%ED%E8%E5

   Перекрестное произведение

   Вектор имеет величину , (длина) и направление :

   Два вектора можно умножить на с помощью « Cross Product » (также см. Точечное произведение)

   Перекрестное произведение a × b двух векторов — это другой вектор , расположенный под прямым углом к ​​обоим:

   И все это происходит в трех измерениях!

   Величина (длина) векторного произведения равна площади параллелограмма с векторами a и b для сторон:

   Посмотрите, как он меняется под разными углами:

   Перекрестное произведение ( синий ):

   • нулевой длины, когда векторы a и b указывают в том же или противоположном направлении
   • достигает максимальной длины, когда векторы a и b расположены под прямым углом

   И это может указывать в ту или иную сторону!

   Так как же это вычислить?

   Расчет

   Мы можем вычислить перекрестное произведение следующим образом:

   a × b = | a | | b | sin (θ) n

   • | a | величина (длина) вектора a
   • | b | величина (длина) вектора b
   • θ — угол между a и b
   • n — единичный вектор под прямым углом к ​​ a и b

   Таким образом, длина равна: длина a умноженная на длину b умноженная на синус угла между a и b ,

   Затем мы умножаем на вектор n , чтобы он направлялся в правильном направлении (под прямым углом к ​​ a и b ).

   ИЛИ мы можем вычислить это так:

   Когда a и b начинаются в исходной точке (0,0,0), перекрестное произведение заканчивается на:

   • c _x = a _y b _z — a _z b _y
   • c _y = a _z b _x — a _x b _z
   • c _z = a _x b _y — a _y b _x

   Пример: перекрестное произведение

   a = (2,3,4) и b = (5,6,7)
   • c _x = a _y b _z — a _z b _y = 3 × 7 — 4 × 6 = −3
   • c _y = a _z b _x — a _x b _z = 4 × 5 — 2 × 7 = 6
   • c _z = a _x b _y — a _y b _x = 2 × 6 — 3 × 5 = −3

   Ответ: a × b = (−3,6, −3)

   В каком направлении?

   Перекрестное произведение может указывать в совершенно противоположном направлении и по-прежнему находиться под прямым углом к ​​двум другим векторам, поэтому мы имеем:

   «Правило правой руки»

   Правой рукой укажите указательным пальцем вдоль вектора a , а средним пальцем — вдоль вектора b : перекрестное произведение идет в направлении большого пальца.

   Точечный продукт

   Перекрестное произведение дает векторный ответ и иногда называется векторным произведением .

   Но есть также скалярное произведение, которое дает ответ скаляр (обычное число), и его иногда называют скалярным произведением .

   Вопрос: Что получится, если скрестить слона с бананом?

   Ответ: | слон | | банан | sin (θ) n

   12.4 Перекрестное произведение

   Еще одна полезная операция: по двум векторам найдите третий (ненулевой!) Вектор. перпендикулярно первым двум. Конечно, есть бесконечное количество таких векторов разной длины. Тем не менее, давайте найдем его. Предположим, $ \ ds {\ bf A} = \ langle a_1, a_2, a_3 \ rangle $ и $ \ ds {\ bf B} = \ langle b_1, b_2, b_3 \ rangle $. Мы хотим найти вектор $ \ ds {\ bf v} = \ langle v_1, v_2, v_3 \ rangle $ с $ {\ bf v} \ cdot {\ bf A} = {\ bf v} \ cdot {\ bf B} = 0 $, или $$ \ eqalign { a_1v_1 + a_2v_2 + a_3v_3 & = 0, \ cr b_1v_1 + b_2v_2 + b_3v_3 & = 0.\ cr } $$ Умножьте первое уравнение на $ \ ds b_3 $, а второе — на $ \ ds a_3 $ и вычесть, чтобы получить $$ \ eqalign { b_3a_1v_1 + b_3a_2v_2 + b_3a_3v_3 & = 0 \ cr a_3b_1v_1 + a_3b_2v_2 + a_3b_3v_3 & = 0 \ cr (a_1b_3-b_1a_3) v_1 + (a_2b_3-b_2a_3) v_2 & = 0 \ cr } $$ Конечно, это уравнение с двумя переменными имеет много решений; а особенно легко увидеть $ \ ds v_1 = a_2b_3-b_2a_3 $, $ \ ds v_2 = b_1a_3-a_1b_3 $. Подставляя обратно в любой из оригинальных уравнения и решение для $ \ ds v_3 $ дает $ \ ds v_3 = a_1b_2-b_1a_2 $.

   Этот конкретный ответ на проблему оказывается приятным свойства, и он удостоен имени: перекрестное произведение : $$ {\ bf A} \ times {\ bf B} = \ langle a_2b_3-b_2a_3, b_1a_3-a_1b_3, a_1b_2-b_1a_2 \ rangle. $$ Хотя в этом векторе есть хороший узор, он может быть немного трудно запомнить; вот удобная мнемоника. Определитель матрицы два на два равен $$ \ left | \ matrix {a & b \ cr c & d \ cr} \ right | = ad-cb. $$ Это расширяется до определителя матрицы три на три: $$ \ eqalign { \ left | \ матрица {x & y & z \ cr а_1 и а_2 и а_3 \ cr b_1 & b_2 & b_3 \ cr} \ right | & = x \ left | \ matrix {a_2 & a_3 \ cr b_2 & b_3 \ cr} \ right | -y \ left | \ matrix {a_1 & a_3 \ cr b_1 & b_3 \ cr} \ right | + z \ left | \ matrix {a_1 & a_2 \ cr b_1 & b_2 \ cr} \ right | \ cr & = x (a_2b_3-b_2a_3) -y (a_1b_3-b_1a_3) + z (a_1b_2-b_1a_2) \ cr & = x (a_2b_3-b_2a_3) + y (b_1a_3-a_1b_3) + z (a_1b_2-b_1a_2).\ cr} $$ Каждая из двух матриц формируется путем удаления верхней строки и один столбец матрицы три на три; вычитание середины термин тоже нужно запомнить. Это не место, чтобы превозносить использование определителя; достаточно сказать, что детерминанты необычайно полезно и важно. Здесь мы хотим использовать его просто как мнемонический прием. Вы могли заметить, что три выражения в круглые скобки в последней строке — это в точности три координаты перекрестное произведение; заменяя $ x $, $ y $, $ z $ на $ \ bf i $, $ \ bf j $, $ \ bf k $ дает нам $$ \ eqalign { \ left | \ matrix {{\ bf i} & {\ bf j} & {\ bf k} \ cr а_1 и а_2 и а_3 \ cr b_1 & b_2 & b_3 \ cr} \ right | & = (a_2b_3-b_2a_3) {\ bf i} — (a_1b_3-b_1a_3) {\ bf j} + (a_1b_2-b_1a_2) {\ bf k} \ cr & = (a_2b_3-b_2a_3) {\ bf i} + (b_1a_3-a_1b_3) {\ bf j} + (a_1b_2-b_1a_2) {\ bf k} \ cr & = \ langle a_2b_3-b_2a_3, b_1a_3-a_1b_3, a_1b_2-b_1a_2 \ rangle \ cr & = {\ bf A} \ times {\ bf B}.\ cr} $$

   Пример 12.4.1. Предположим, что $ {\ bf A} = \ langle 1,2,3 \ rangle $, $ {\ bf B} = \ langle. 4,5,6 \ rangle $. потом $$ \ eqalign { {\ bf A} \ times {\ bf B} & = \ left | \ matrix {{\ bf i} & {\ bf j} & {\ bf k} \ cr 1 и 2 и 3 \ cr 4 и 5 и 6 \ cr} \ right | \ cr & = (2 \ cdot 6-5 \ cdot 3) {\ bf i} + (4 \ cdot 3-1 \ cdot 6) {\ bf j} + (1 \ cdot 5-4 \ cdot 2) {\ bf k} \ cr & = — 3 {\ bf i} +6 {\ bf j} -3 {\ bf k} \ cr & = \ langle -3, 6, -3 \ rangle \ cr } $$ После небольшой практики вы обнаружите, что легко устранить промежуточные шаги, переходящие непосредственно от матрицы $ 3 \ times3 $ к обычная векторная форма.$ \ квадрат $

   Для $ \ bf A $ и $ \ bf B $ обычно есть два возможных направления и бесконечное количество величин, которые дадут вектор, перпендикулярный как $ \ bf A $, так и $ \ bf B $. Поскольку мы выбрали конкретный вариант, мы следует исследовать величину и направление.

   Мы знаем, как вычислить величину $ {\ bf A} \ times {\ bf B} $; это немного беспорядочно, но не сложно. 2 \ theta \ cr | {\ bf A} \ times {\ bf B} | & = | {\ bf A} || {\ bf B} | \ sin \ theta \ cr } $$ Таким образом, величина $ {\ bf A} \ times {\ bf B} $ очень похожа на точку продукт.В частности, обратите внимание, что если $ \ bf A $ параллельно $ \ bf B $, угол между ними равен нулю, поэтому $ \ sin \ theta = 0 $, поэтому $ | {\ bf A} \ times {\ bf B} | = 0 $, и аналогично, если они антипараллельны, $ \ sin \ theta = 0 $ и $ | {\ bf A} \ times {\ bf B} | = 0 $. Наоборот, если $ | {\ bf A} \ times {\ bf B} | = 0 $ и $ | {\ bf A} | $ и $ | {\ bf B} | $ не равны нулю, это должно быть $ \ sin \ theta = 0 $, поэтому $ \ bf A $ параллельно или антипараллельно $ \ bf B $.

   Вот любопытный факт об этом количество, которое позже окажется весьма полезным: Учитывая два векторов, мы можем соединить их хвост к хвосту и сформировать параллелограмм, как на рисунке 12.4.1. В высота параллелограмма $ h $ равна $ | {\ bf A} | \ sin \ theta $, а база равна $ | {\ bf B} | $, поэтому площадь параллелограмм равен $ | {\ bf A} || {\ bf B} | \ sin \ theta $, в точности величина $ | {\ bf A} \ times {\ bf B} | $.

   Рисунок 12.4.1. Параллелограмм.

   А как насчет направления перекрестного произведения? Примечательно, что есть простое правило, описывающее направление. Давайте посмотрим на простой пример: Пусть $ {\ bf A} = \ langle a, 0,0 \ rangle $, $ {\ bf B} = \ langle b, c, 0 \ rangle $. Если векторы расположены хвостами в начале координат, $ \ bf A $ лежит вдоль оси $ x $, а $ \ bf B $ лежит в плоскости $ x $ — $ y $, поэтому мы знаем, что перекрестное произведение будет указывать вверх или вниз.Крест продукт $$ \ eqalign { {\ bf A} \ times {\ bf B} = \ left | \ matrix {{\ bf i} & {\ bf j} & {\ bf k} \ cr а & 0 & 0 \ cr b & c & 0 \ cr} \ right | & = \ langle 0,0, ac \ rangle. \ Cr} $$ Как и предполагалось, это вектор, указывающий вверх или вниз, в зависимости от знак $ ac $. Предположим, что $ a> 0 $, поэтому знак зависит только от $ c $: если $ c> 0 $, $ ac> 0 $ и вектор направлен вверх; если $ c0 $, вектор направлен вниз, а если $ a0 $ и $ c> 0 $, или $ a

   Хотя с вычислительной точки зрения довольно сложно увидеть, как это для любых двух начальных векторов, правило сводится к следующему. одно и тоже.Поместите $ \ bf A $ и $ \ bf B $ хвост в хвост. Самолет, в котором $ \ bf На A $ и $ \ bf B $ можно смотреть с двух сторон; посмотри на это со стороны для которого $ \ bf A $ должен повернуться против часовой стрелки, чтобы достичь $ \ bf B $; тогда вектор $ {\ bf A} \ times {\ bf B} $ указывает на вас.

   Это правило обычно называют линейка правой руки . Представьте, что вы поместили пятку правой руки в точку, где соединены так, чтобы ваши слегка согнутые пальцы указывали направление поворот из $ \ bf A $ в $ \ bf B $.Затем ваш большой палец указывает на направление векторного произведения $ {\ bf A} \ times {\ bf B} $.

   Непосредственным следствием этих фактов является то, что $ {\ bf A} \ times {\ bf B} \ not = {\ bf B} \ times {\ bf A} $, потому что два перекрестные произведения указывают в противоположном направлении. С другой стороны, поскольку $$ | {\ bf A} \ times {\ bf B} | = | {\ bf A} || {\ bf B} | \ sin \ theta = | {\ bf B} || {\ bf A} | \ sin \ theta = | {\ bf B} \ times {\ bf A} |, $$ длины двух поперечных произведений равны, поэтому мы знаем, что $ {\ bf A} \ times {\ bf B} = — ({\ bf B} \ times {\ bf A}) $.

   Перекрестное произведение имеет некоторые знакомые свойства, которые будут пригодятся позже, поэтому мы перечислим их здесь. Как и в случае скалярного произведения, они могут быть доказано выполнением соответствующих расчетов по координатам, после чего мы можем иногда избежать таких вычислений, используя характеристики.

   Теорема 12.4.2. Если $ {\ bf u} $, $ {\ bf v} $ и $ {\ bf w} $ — векторы, а $ a $ — вещественное число, тогда

   1. $ {\ bf u} \ times ({\ bf v} + {\ bf w}) = {\ bf u} \ times {\ bf v} + {\ bf u} \ times {\ bf w} $

   2.$ ({\ bf v} + {\ bf w}) \ times {\ bf u} = {\ bf v} \ times {\ bf u} + {\ bf w} \ times {\ bf u} $

   3. $ (a {\ bf u}) \ times {\ bf v} = a ({\ bf u} \ times {\ bf v}) = {\ bf u} \ times (a {\ bf v}) $

   4. $ {\ bf u} \ cdot ({\ bf v} \ times {\ bf w}) = ({\ bf u} \ times {\ bf v}) \ cdot {\ bf w} $

   5. $ {\ bf u} \ times ({\ bf v} \ times {\ bf w}) = ({\ bf u} \ cdot {\ bf w}) {\ bf v} — ({\ bf u} \ cdot {\ bf v}) {\ bf w} $ $ \ qed $

   Упражнения 12.4

   Вы можете использовать Sage для вычисления перекрестных произведений.

   Пр. 12.4,1 Найдите векторное произведение $ \ langle 1,1,1 \ rangle $ и $ \ langle 1,2,3 \ rangle $. (отвечать)

   Пр. 12.4.2 Найдите векторное произведение $ \ langle 1,0,2 \ rangle $ и $ \ langle -1, -2,4 \ rangle $. (отвечать)

   Пр. 12.4.3 Найдите перекрестное произведение $ \ langle -2,1,3 \ rangle $ и $ \ langle 5,2, -1 \ rangle $. (отвечать)

   Пр. 12.4.4 Найдите векторное произведение $ \ langle 1,0,0 \ rangle $ и $ \ langle 0,0,1 \ rangle $. (отвечать)

   Пр. 12.4,5 Два вектора $ {\ bf u} $ и $ {\ bf v} $ разделены угол $ \ pi / 6 $ и $ | {\ bf u} | = 2 $ и $ | {\ bf v} | = 3 $. Находить $ | {\ bf u} \ times {\ bf v} | $. (отвечать)

   Пр. 12.4.6 Два вектора $ {\ bf u} $ и $ {\ bf v} $ разделены угол $ \ pi / 4 $ и $ | {\ bf u} | = 3 $ и $ | {\ bf v} | = 7 $. Находить $ | {\ bf u} \ times {\ bf v} | $. (отвечать)

   Пр. 12.4.7 Найдите площадь параллелограмма с вершинами $ (0,0) $, $ (1,2) $, (3,7) $ и (2,5) $. (отвечать)

   Пр. 12.4,8 Найдите площадь параллелограмма с вершинами $ (0, -1) $, $ (3,4) $, $ (1,6) $ и $ (- 2,1) $. (отвечать)

   Пр. 12.4.9 Найдите площадь треугольника с вершинами $ (2,0,0) $, $ (1,3,4) $, и $ (- 2, -1,1) $. (отвечать)

   Пр. 12.4.10 Найдите площадь треугольника с вершинами $ (2, -2,1) $, $ (- 3,2,3) $, и $ (3,3, -2) $. (отвечать)

   Пр. 12.4.11 Найдите и объясните значение $ ({\ bf i} \ times {\ bf j}) \ times {\ bf k} $ и $ ({\ bf i} + {\ bf j}) \ times ({\ bf i} — {\ bf j}) $.

   Пр. 12.4.12 Докажите, что для всех векторов $ {\ bf u} $ и $ {\ bf v} $, $ ({\ bf u} \ times {\ bf v}) \ cdot {\ bf v} = 0 $.

   Пр. 12.4.13 Докажите теорему 12.4.2.

   Пр. 12.4.14 Определите тройное произведение трех векторов, $ {\ bf x} $, $ {\ bf y} $ и $ {\ bf z} $, чтобы быть скаляром $ {\ bf x} \ cdot ({\ bf y} \ times {\ bf z}) $. Покажите, что три вектора лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда их тройное произведение равно нулю. Убедитесь, что $ \ langle 1, 5, -2 \ rangle $, $ \ langle 4, 3, 0 \ rangle $ и $ \ langle 6, 13, -4 \ rangle $ — это копланарный.

   Как умножить векторы — Скалярное (точечное) произведение

   Как умножить векторы

   Ключевые термины

2. Единичный вектор
3. Скалярное (точечное) произведение

Цели

4. Определите концепцию единичных векторов
5. Использовать единичные векторы для алгебраического представления векторов
6. Определить умножение скаляра и вектора
7. Используйте скалярное произведение, чтобы вычислить длину вектора

В этой статье мы рассмотрим другое представление векторов, а также основы умножения векторов.

Единичные векторы

Хотя координатная форма для представления векторов ясна, мы также можем представить их в виде алгебраических выражений с использованием единичных векторов. В наших стандартных прямоугольных (или евклидовых) координатах ( x, y, и z ) единичный вектор представляет собой вектор длины 1, параллельный одной из осей. В двумерной координатной плоскости единичные векторы часто называются i, и j, , как показано на графике ниже.Для трех измерений мы добавляем единичный вектор k , соответствующий направлению оси z . Эти векторы определяются алгебраически следующим образом.

i = (1, 0) или (1, 0, 0)

j = (0, 1) или (0, 1, 0)

к = (0, 0, 1)

Прежде чем мы представим алгебраическое представление векторов с помощью единичных векторов, мы должны сначала ввести умножение векторов — в данном случае на скаляры.

Умножение вектора на скаляр

Умножение векторов сложнее, чем умножение только скаляров, поэтому мы должны относиться к предмету осторожно. Начнем с простейшего случая: умножения вектора на скаляр. Ниже приведено определение умножения скаляра c на вектор a, , где a = ( x, y ). (Опять же, мы можем легко расширить эти принципы до трех измерений.)

Скалярное умножение коммутативно, поэтому . Но что означает это умножение? Как оказалось, умножение на скаляр c увеличивает длину вектора в c. Это наиболее ясно видно с единичными векторами, но это применимо к любому вектору. (Однако умножение на отрицательный скаляр меняет направление вектора на противоположное.На приведенном ниже графике показаны некоторые примеры с использованием c = 2. (Напомним, что расположение вектора не влияет на его значение.)

Практическая задача: Для вектора a = (3, 1) найдите вектор в том же направлении, что и a , но в два раза больше его длины.

Решение: Когда мы умножаем вектор на скаляр, направление вектора произведения совпадает с направлением множителя.Единственная разница в том, что длина умножается на скаляр. Итак, чтобы получить вектор, который в два раза длиннее a , но в том же направлении, что и a, просто умножьте на 2.

2 a = 2 • (3, 1) = (2 • 3, 2 • 1) = (6, 2)

Алгебраическое представление векторов

Мы можем использовать скалярное умножение на векторы для алгебраического представления векторов.Обратите внимание, что любой двумерный вектор v может быть представлен как сумма длины, умноженной на единичный вектор i , и другой длины, умноженной на единичный вектор j. Например, рассмотрим вектор (2, 4). Примените правила векторов, которые мы узнали до сих пор:

(2, 4) = (2, 0) + (0, 4) (правило сложения для векторов)

(2, 4) = 2 • (1, 0) + 4 • (0, 1) (правило умножения для скаляров и векторов)

(2, 4) = 2 i + 4 j

Графически мы складываем два вектора в единичных направлениях, чтобы получить произвольный вектор.

Обратите внимание, что единичные векторы действуют почти идентично переменным. Таким образом, мы можем сложить два вектора a и b следующим образом.

a = 3 i — 2 j b = i + 3 j

a + b = (3 i -2 j ) + ( i + 3 j ) = 3 i + i -2 j + 3 j = 4 i + j

Это представление обеспечивает большую гибкость, чем представление координат, но эквивалентно.

Практическая задача: Вычислить сумму и разность ( t — u ) векторов t = -2 i + 3 j и u = 6 i — 4 j .

Решение: Мы можем довольно легко решить эту задачу алгебраически.

t + u = (-2 i + 3 j ) + (6 i — 4 j ) = 4 i — j = (4, -1)

t — u = (-2 i + 3 j ) — (6 i -4 j ) = -2 i + 3 j -6 i + 4 j = -8 i + 7 j = (-8, 7)

Векторное умножение: скалярное (точечное) произведение

Умножение двух векторов немного сложнее, чем скалярное умножение.Определены два типа умножения с участием двух векторов: так называемое скалярное произведение (или «скалярное произведение») и так называемое векторное произведение (или «перекрестное произведение»). Для простоты мы обратимся только к скалярному произведению, но на этом этапе у вас должна быть достаточная математическая база для понимания векторного произведения. Скалярное произведение (или скалярное произведение ) двух векторов определяется следующим образом в двух измерениях. Как всегда, это определение можно легко расширить до трех измерений — просто следуйте шаблону.Обратите внимание, что операция всегда должна обозначаться точкой (•), чтобы отличать от векторного произведения, в котором используется символ времени () — отсюда и названия скалярное произведение и перекрестное произведение.

Однако значение этого продукта может быть вам не совсем понятно на данном этапе. Мы можем проиллюстрировать это, посмотрев на простой случай: скалярное произведение произвольного вектора v и единичных векторов i и j.

Таким образом, v • i является «частью» вектора v в направлении I.

Это объяснение работает, однако, только для векторов длины 1.Когда два произвольных вектора умножаются, скалярное произведение имеет аналогичное значение, но величина числа немного отличается. Мы не будем углубляться в это, но мы можем рассмотреть особый случай, когда скалярное произведение дает ценную информацию.

Длина вектора

Рассмотрим случай скалярного произведения вектора v на себя.

Давайте посмотрим на эту ситуацию графически.

В результате получается прямоугольный треугольник с горизонтальным участком длиной x и вертикальным участком длиной y. Эти длины соответствуют длинам составляющих векторов x i и y j, соответственно. Но мы знаем из теоремы Пифагора, что — это квадрат длины вектора v. Не случайно, это то же самое, что скалярное произведение v на себя. Таким образом, длина любого вектора v, , записанного как (или иногда ), является квадратным корнем из скалярного произведения.

В простом случае единичных векторов

Эти простые случаи помогают проверить эту интерпретацию скалярного произведения.

Практическая задача: Рассчитайте длины следующих векторов.

а. б. 3 i + 2 j — k c. (2, –1) d. 5 j

Решение: В каждом случае просто возьмите квадратный корень из скалярного произведения вектора на себя. Результат — длина вектора в каждом случае. Что касается части b, просто расширите определение скалярного произведения до трех измерений.

а.

г.

г.

г.

2.4 Произведения векторов | University Physics Volume 1

Вектор можно умножить на другой вектор, но нельзя разделить на другой вектор. Есть два вида произведений векторов, широко используемых в физике и технике.Один из видов умножения — это скалярное умножение двух векторов . В результате скалярного произведения двух векторов получается число (скаляр), как указывает его название. Скалярные произведения используются для определения отношений между работой и энергией. Например, работа, которую сила (вектор) выполняет с объектом, вызывая его смещение (вектор), определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор смещения. Совсем другой вид умножения — это умножение векторов векторов .Получение векторного произведения двух векторов возвращает в результате вектор, как следует из его названия. Векторные произведения используются для определения других производных векторных величин. Например, при описании вращений векторная величина, называемая крутящим моментом , определяется как векторное произведение приложенной силы (вектора) и ее расстояния от точки поворота до силы (вектор). Важно различать эти два вида векторных умножений, потому что скалярное произведение — это скалярная величина, а векторное произведение — это векторная величина.

Скалярное произведение двух векторов (скалярное произведение)

Скалярное умножение двух векторов дает скалярное произведение.

Скалярное произведение (скалярное произведение)

Скалярное произведение [латекс] \ overset {\ to} {A} · \ overset {\ to} {B} [/ latex] двух векторов [латекс] \ overset {\ to} {A} [/ latex ] и [латекс] \ overset {\ to} {B} [/ latex] — это число, определяемое уравнением

[латекс] \ overset {\ to} {A} · \ overset {\ to} {B} = AB \, \ text {cos} \, \ phi, [/ latex]

где [latex] \ phi [/ latex] — угол между векторами (показан на (Рисунок)).Скалярное произведение также называется скалярным произведением из-за точечной записи, которая его обозначает.

В определении скалярного произведения направление угла [латекс] \ phi [/ latex] не имеет значения, и [латекс] \ phi [/ latex] может быть измерен от одного из двух векторов к другому, потому что [ latex] \ text {cos} \, \ phi = \ text {cos} \, (\ text {-} \ phi) = \ text {cos} \, (2 \ pi — \ phi) [/ latex]. {2}.[/ латекс]

Рисунок 2.27 Скалярное произведение двух векторов. (а) Угол между двумя векторами. (b) Ортогональная проекция [латекс] {A} _ {\ perp} [/ latex] вектора [латекс] \ overset {\ to} {A} [/ latex] на направление вектора [латекс] \ overset { \ to} {B} [/ латекс]. (c) Ортогональная проекция [латекс] {B} _ {\ perp} [/ latex] вектора [латекс] \ overset {\ to} {B} [/ latex] на направление вектора [латекс] \ overset { \ to} {A} [/ латекс].

Пример

Скалярное произведение

Для векторов, показанных на (Рисунок), найдите скалярное произведение [latex] \ overset {\ to} {A} · \ overset {\ to} {F} [/ latex].

Стратегия

Из (Рисунок), величины векторов [latex] \ overset {\ to} {A} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {F} [/ latex] равны A, = 10,0 и F = 20,0. Угол [latex] \ theta [/ latex] между ними является разницей: [latex] \ theta = \ phi — \ alpha = 110 \ text {°} -35 \ text {°} = 75 \ text {°} [/латекс]. Подстановка этих значений в (рисунок) дает скалярное произведение.

Решение

Покажи ответ Простой расчет дает нам

[латекс] \ overset {\ to} {A} · \ overset {\ to} {F} = AF \, \ text {cos} \, \ theta = (10.0) (20,0) \, \ text {cos} \, 75 \ text {°} = 51,76. [/ латекс]

Проверьте свое понимание

Для векторов, указанных на (Рисунок), найдите скалярные произведения [latex] \ overset {\ to} {A} · \ overset {\ to} {B} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {F} · \ overset {\ to} {C} [/ latex].

Показать решение

[латекс] \ overset {\ to} {A} · \ overset {\ to} {B} = — 57,3 [/ латекс], [латекс] \ overset {\ to} {F} · \ overset {\ to} {C} = 27,8 [/ латекс]

В декартовой системе координат скалярные произведения единичного вектора оси на другие единичные векторы осей всегда обращаются в нуль, потому что эти единичные векторы ортогональны:

[латекс] \ begin {array} {c} \ hat {i} · \ hat {j} = | \ hat {i} || \ hat {j} | \, \ text {cos} \, 90 \ text {°} = (1) (1) (0) = 0, \ hfill \\ \ hat {i} · \ hat {k} = | \ hat {i} || \ hat {k} | \, \ text {cos} \, 90 \ text {°} = (1) (1) (0) = 0, \ hfill \\ \ hat {k} · \ hat {j} = | \ hat {k} || \ hat {j} | \, \ text {cos} \, 90 \ text {°} = (1) (1) (0) = 0.{2} = 1. [/ латекс]

Скалярное произведение [латекс] \ overset {\ to} {A} · \ overset {\ to} {B} [/ latex] также можно интерпретировать как произведение B с ортогональной проекцией [латекс] { A} _ {\ perp} [/ latex] вектора [latex] \ overset {\ to} {A} [/ latex] на направление вектора [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex] ((Рисунок) (b)) или произведение A с ортогональной проекцией [латекс] {B} _ {\ perp} [/ latex] вектора [латекс] \ overset {\ to} {B} [/ латекс] в направлении вектора [латекс] \ overset {\ to} {A} [/ latex] ((Рисунок) (c)):

[латекс] \ begin {array} {ll} \ hfill \ overset {\ to} {A} · \ overset {\ to} {B} & = AB \, \ text {cos} \, \ phi \ hfill \ \ & = B (A \, \ text {cos} \, \ phi) = B {A} _ {\ perp} \ hfill \\ & = A (B \, \ text {cos} \, \ phi) = A {B} _ {\ perp}.\ hfill \ end {array} [/ latex]

Например, в прямоугольной системе координат на плоскости скалярная компонента вектора размером x является его скалярным произведением на единичный вектор [latex] \ hat {i} [/ latex] и скаляр y -компонент вектора — это его скалярное произведение с единичным вектором [latex] \ hat {j} [/ latex]:

[латекс] \ {\ begin {array} {l} \ overset {\ to} {A} · \ hat {i} = | \ overset {\ to} {A} || \ hat {i} | \, \ text {cos} \, {\ theta} _ {A} = A \, \ text {cos} \, {\ theta} _ {A} = {A} _ {x} \\ \ overset {\ to} {A} · \ hat {j} = | \ overset {\ to} {A} || \ hat {j} | \, \ text {cos} \, (90 \ text {°} — {\ theta} _ {A}) = A \, \ text {sin} \, {\ theta} _ {A} = {A} _ {y} \ end {array}.[/ латекс]

Скалярное умножение векторов коммутативно,

[латекс] \ overset {\ to} {A} · \ overset {\ to} {B} = \ overset {\ to} {B} · \ overset {\ to} {A}, [/ latex]

и подчиняется закону о распределении доходов:

[латекс] \ overset {\ to} {A} · (\ overset {\ to} {B} + \ overset {\ to} {C}) = \ overset {\ to} {A} · \ overset {\ to} {B} + \ overset {\ to} {A} · \ overset {\ to} {C}. [/ латекс]

Мы можем использовать законы коммутативности и распределения для вывода различных соотношений для векторов, таких как выражение скалярного произведения двух векторов через их скалярные компоненты.

Проверьте свое понимание

Для вектора [латекс] \ overset {\ to} {A} = {A} _ {x} \ hat {i} + {A} _ {y} \ hat {j} + {A} _ {z} \ hat {k} [/ latex] в прямоугольной системе координат, используйте (Рисунок) — (Рисунок), чтобы показать, что [latex] \ overset {\ to} {A} · \ hat {i} = {A} _ {x } [/ латекс] [латекс] \ overset {\ to} {A} · \ hat {j} = {A} _ {y} [/ latex] и [латекс] \ overset {\ to} {A} · \ шляпа {k} = {A} _ {z} [/ latex].

Когда векторы на (Рисунок) даны в форме их векторных компонентов,

[латекс] \ overset {\ to} {A} = {A} _ {x} \ hat {i} + {A} _ {y} \ hat {j} + {A} _ {z} \ hat { k} \, \ text {и} \, \ overset {\ to} {B} = {B} _ {x} \ hat {i} + {B} _ {y} \ hat {j} + {B} _ {z} \ hat {k}, [/ latex]

, мы можем вычислить их скалярное произведение следующим образом:

[латекс] \ begin {array} {lll} \ hfill \ overset {\ to} {A} · \ overset {\ to} {B} & = \ hfill & ({A} _ {x} \ hat {i } + {A} _ {y} \ hat {j} + {A} _ {z} \ hat {k}) · ({B} _ {x} \ hat {i} + {B} _ {y} \ hat {j} + {B} _ {z} \ hat {k}) \ hfill \\ & = \ hfill & \ enspace {A} _ {x} {B} _ {x} \ hat {i} · \ hat {i} + {A} _ {x} {B} _ {y} \ hat {i} · \ hat {j} + {A} _ {x} {B} _ {z} \ hat {i } · \ Hat {k} \ hfill \\ & & + {A} _ {y} {B} _ {x} \ hat {j} · \ hat {i} + {A} _ {y} {B} _ {y} \ hat {j} · \ hat {j} + {A} _ {y} {B} _ {z} \ hat {j} · \ hat {k} \ hfill \\ & & + {A } _ {z} {B} _ {x} \, \ hat {k} · \ hat {i} + {A} _ {z} {B} _ {y} \ hat {k} · \ hat {j } + {A} _ {z} {B} _ {z} \, \ hat {k} · \ hat {k}.\ hfill \ end {array} [/ latex]

Поскольку скалярные произведения двух различных единичных векторов осей дают ноль, а скалярные произведения единичных векторов сами на себя дают единицу (см. (Рисунок) и (рисунок)), в этом выражении есть только три ненулевых члена. Таким образом, скалярное произведение упрощается до

.

[латекс] \ overset {\ to} {A} · \ overset {\ to} {B} = {A} _ {x} {B} _ {x} + {A} _ {y} {B} _ {y} + {A} _ {z} {B} _ {z}. [/ латекс]

Мы можем использовать (рисунок) для скалярного произведения в терминах скалярных компонентов векторов, чтобы найти угол между двумя векторами .Когда мы разделим (рисунок) на AB , мы получим уравнение для [latex] \ text {cos} \, \ phi [/ latex], в которое подставим (рисунок):

[латекс] \ text {cos} \, \ phi = \ frac {\ overset {\ to} {A} · \ overset {\ to} {B}} {AB} = \ frac {{A} _ {x } {B} _ {x} + {A} _ {y} {B} _ {y} + {A} _ {z} {B} _ {z}} {AB}. [/ латекс]

Угол [латекс] \ phi [/ latex] между векторами [latex] \ overset {\ to} {A} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex] получается путем взятия обратный косинус выражения на (рисунок).

Пример

Угол между двумя силами

Три собаки тянут палку в разные стороны, как показано на (Рисунок). Первая собака тянет с силой [латекс] {\ overset {\ to} {F}} _ {1} = (10.0 \ hat {i} -20.4 \ hat {j} +2.0 \ hat {k}) \ text { N} [/ latex], вторая собака тянет с силой [latex] {\ overset {\ to} {F}} _ {2} = (- 15.0 \ hat {i} -6.2 \ hat {k}) \ text {N} [/ latex], а третья собака тянет с силой [латекс] {\ overset {\ to} {F}} _ {3} = (5.0 \ hat {i} +12.5 \ hat {j}) \ текст {N} [/ latex]. Каков угол между силами [латекс] {\ overset {\ to} {F}} _ {1} [/ latex] и [latex] {\ overset {\ to} {F}} _ {2} [/ latex ]?

Рисунок 2.28 Три собаки играют с палкой.

Стратегия

Компоненты вектора силы [латекс] {\ overset {\ to} {F}} _ {1} [/ latex] равны [латекс] {F} _ {1x} = 10.0 \, \ text {N} [/ латекс], [латекс] {F} _ {1y} = — 20,4 \, \ text {N} [/ latex] и [латекс] {F} _ {1z} = 2,0 \, \ text {N} [/ латекс], а вектор силы [латекс] {\ overset {\ to} {F}} _ {2} [/ latex] — [латекс] {F} _ {2x} = — 15.0 \, \ text {N } [/ latex], [latex] {F} _ {2y} = 0.0 \, \ text {N} [/ latex] и [latex] {F} _ {2z} = — 6.2 \, \ text {N } [/ латекс].{-1} (- 0,439) = 116,0 \ text {°}. [/ латекс]

Значение

Обратите внимание, что когда векторы задаются в терминах единичных векторов осей, мы можем найти угол между ними, не зная специфики географических направлений, которые представляют единичные векторы. Здесь, например, направление + x может быть на восток, а направление + y — на север. Но угол между силами в задаче будет таким же, если направление + x направлено на запад, а направление + y — на юг.

Проверьте свое понимание

Найдите угол между силами [латекс] {\ overset {\ to} {F}} _ {1} [/ latex] и [латекс] {\ overset {\ to} {F}} _ {3} [/ latex ] в (Рисунок).

Показать решение

[латекс] 131.9 \ text {°} [/ латекс]

Пример

Работа силы

Когда сила [латекс] \ overset {\ to} {F} [/ latex] тянет объект и вызывает его смещение [латекс] \ overset {\ to} {D} [/ latex], мы говорим, что сила выполняет работу. Количество работы, совершаемой силой, — это скалярное произведение [латекс] \ overset {\ to} {F} · \ overset {\ to} {D} [/ latex].Если палка на (рис.) На мгновение сдвинется и смещается вектором [латекс] \ overset {\ to} {D} = (- 7.9 \ hat {j} -4.2 \ hat {k}) \, \ text {cm} [/ latex], сколько работы проделывает третья собака на (Рисунок)?

Стратегия

Мы вычисляем скалярное произведение вектора смещения [latex] \ overset {\ to} {D} [/ latex] на вектор силы [latex] {\ overset {\ to} {F}} _ {3} = (5.0 \ hat {i} +12.5 \ hat {j}) \ text {N} [/ latex], который является натяжением третьей собаки. Давайте использовать [latex] {W} _ {3} [/ latex] для обозначения работы, выполняемой силой [latex] {\ overset {\ to} {F}} _ {3} [/ latex] при перемещении [латекс] \ overset {\ to} {D} [/ латекс].

Решение

Покажи ответ Расчет работы — это простое применение скалярного произведения:

[латекс] \ begin {array} {cc} \ hfill {W} _ {3} & = {\ overset {\ to} {F}} _ {3} · \ overset {\ to} {D} = { F} _ {3x} {D} _ {x} + {F} _ {3y} {D} _ {y} + {F} _ {3z} {D} _ {z} \ hfill \\ & = ( 5.0 \, \ text {N}) (0.0 \, \ text {cm}) + (12.5 \, \ text {N}) (- 7.9 \, \ text {cm}) + (0.0 \, \ text {N }) (- 4.2 \, \ text {cm}) \ hfill \\ & = -98.7 \, \ text {N} · \ text {cm}. \ Hfill \ end {array} [/ latex]

Значение

Единица работы в системе СИ называется джоуль [латекс] (\ text {J}) [/ latex], где 1 Дж = 1 [латекс] \ text {N} · \ text {m} [/ latex].{-2} \ text {J} [/ latex], поэтому ответ можно выразить как [latex] {W} _ {3} = — 0,9875 \, \ text {J} \ приблизительно -1,0 \, \ text { J} [/ латекс].

Проверьте свое понимание

Сколько работы выполняет первая собака и вторая собака на (Рис.) Над смещением на (Рис.)?

Показать решение

[латекс] {W} _ {1} = 1,5 \, \ text {J} [/ latex], [латекс] {W} _ {2} = 0,3 \, \ text {J} [/ latex]

Векторное произведение двух векторов (перекрестное произведение)

Векторное умножение двух векторов дает векторное произведение.

Векторное произведение (перекрестное произведение)

Векторное произведение двух векторов [латекс] \ overset {\ to} {A} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex] обозначается [латекс] \ overset {\ to} {A} \, × \, \ overset {\ to} {B} [/ latex] и часто упоминается как перекрестное произведение . Векторное произведение — это вектор, направление которого перпендикулярно обоим векторам [latex] \ overset {\ to} {A} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex]. Другими словами, вектор [латекс] \ overset {\ to} {A} \, × \, \ overset {\ to} {B} [/ latex] перпендикулярен плоскости, содержащей векторы [латекс] \ overset {\ to} {A} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex], как показано на (Рисунок).Величина векторного произведения определяется как

.

[латекс] | \ overset {\ to} {A} \, × \, \ overset {\ to} {B} | = \, AB \, \ text {sin} \, \ phi, [/ latex]

где угол [латекс] \ phi [/ latex] между двумя векторами измеряется от вектора [latex] \ overset {\ to} {A} [/ latex] (первый вектор в продукте) до вектора [латекс] \ overset {\ to} {B} [/ latex] (второй вектор в продукте), как показано на (Рисунок), и находится между [latex] 0 \ text {°} [/ latex] и [latex] 180 \ текст {°} [/ латекс].

Согласно (Рисунок), векторное произведение исчезает для пар векторов, которые либо параллельны [латекс] (\ phi = 0 \ text {°}) [/ latex], либо антипараллельны [латекс] (\ phi = 180 \ text { °}) [/ latex], потому что [латекс] \ text {sin} \, 0 \ text {°} = \ text {sin} \, 180 \ text {°} = 0 [/ latex].

Рисунок 2.29 Векторное произведение двух векторов нарисовано в трехмерном пространстве. (a) Векторное произведение [латекс] \ overset {\ to} {A} \, × \, \ overset {\ to} {B} [/ latex] — это вектор, перпендикулярный плоскости, который содержит векторы [латекс] \ overset {\ to} {A} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex]. Маленькие квадраты, нарисованные в перспективе, обозначают прямые углы между [латексом] \ overset {\ to} {A} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {C} [/ latex], а также между [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {C} [/ latex], так что если [latex] \ overset {\ to} {A} [/ latex] и [latex ] \ overset {\ to} {B} [/ latex] лежать на полу, вектор [latex] \ overset {\ to} {C} [/ latex] направлен вертикально вверх к потолку.(b) Векторное произведение [латекс] \ overset {\ to} {B} \, × \, \ overset {\ to} {A} [/ latex] является вектором, антипараллельным вектору [латекс] \ overset {\ to } {A} \, × \, \ overset {\ to} {B} [/ latex].

На линии, перпендикулярной плоскости, которая содержит векторы [латекс] \ overset {\ to} {A} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex], есть два альтернативных направления — либо вверх, либо вниз, как показано на (Рисунок) — и направление векторного произведения может быть одним из них. В стандартной правой ориентации, когда угол между векторами измеряется против часовой стрелки от первого вектора, vector [latex] \ overset {\ to} {A} \, × \, \ overset {\ to} {B} [/ латекс] указывает вверх на , как показано на (Рисунок) (а).Если мы изменим порядок умножения на обратный, так что теперь [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex] идет первым в продукте, затем vector [latex] \ overset {\ to} {B} \, × \, \ overset {\ to} {A} [/ latex] должны указывать на вниз на , как показано на (Рисунок) (b). Это означает, что векторы [латекс] \ overset {\ to} {A} \, × \, \ overset {\ to} {B} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {B} \, × \, \ overset {\ to} {A} [/ latex] антипараллельны друг другу, и это умножение векторов не коммутативно , а антикоммутативно .Антикоммутативное свойство означает, что векторное произведение меняет знак при обратном порядке умножения:

[латекс] \ overset {\ to} {A} \, × \, \ overset {\ to} {B} = \ text {-} \ overset {\ to} {B} \, × \, \ overset { \ to} {A}. [/ латекс]

Правый штопор Правило — это обычная мнемоника, используемая для определения направления векторного произведения. Как показано на (Рисунок), штопор помещается в направлении, перпендикулярном плоскости, которая содержит векторы [латекс] \ overset {\ to} {A} [/ latex] и [латекс] \ overset {\ to} {B} [/ latex], а его ручка повернута в направлении от первого вектора ко второму в изделии.Направление поперечного произведения задается движением штопора.

Рис. 2.30 Правило правой руки со штопором можно использовать для определения направления перекрестного произведения [латекс] \ overset {\ to} {A} \, × \, \ overset {\ to} {B} [/ латекс]. Поместите штопор в направлении, перпендикулярном плоскости, содержащей векторы [латекс] \ overset {\ to} {A} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex], и поверните его в направлении от первого вектора ко второму в произведении.Направление поперечного произведения задается движением штопора. (а) Движение вверх означает, что вектор перекрестного произведения направлен вверх. (b) Движение вниз означает, что вектор перекрестного произведения направлен вниз.

Пример

Крутящий момент силы

Механическое преимущество, которое дает знакомый инструмент, называемый гаечным ключом , ((Рисунок)), зависит от величины F приложенной силы, ее направления по отношению к рукоятке гаечного ключа и от того, насколько далеко от гайки это усилие. применяемый.Расстояние R от гайки до точки, где приложен вектор силы [latex] \ overset {\ to} {F} [/ latex], и представлено радиальным вектором [latex] \ overset {\ to} {R } [/ латекс]. Физическая векторная величина, которая заставляет гайку поворачиваться, называется крутящим моментом (обозначается [latex] \ overset {\ to} {\ tau}) [/ latex], и это векторное произведение расстояния между стержнем и силой с силой: [латекс] \ overset {\ to} {\ tau} = \ overset {\ to} {R} \, × \, \ overset {\ to} {F} [/ latex].

Чтобы ослабить ржавую гайку, к рукоятке гаечного ключа прикладывают усилие 20,00 Н под углом [латекс] \ phi = 40 \ text {°} [/ latex] и на расстоянии 0,25 м от гайки, как показано на (Рисунок) (а). Найдите величину и направление крутящего момента, прилагаемого к гайке. Каковы были бы величина и направление крутящего момента, если бы сила была приложена под углом [латекс] \ phi = 45 \ text {°} [/ latex], как показано на (Рисунок) (b)? Для какого значения угла [латекс] \ фи [/ латекс] крутящий момент имеет наибольшую величину?

Рисунок 2.31 Гаечный ключ обеспечивает захват и механическое преимущество при приложении крутящего момента для поворота гайки. (a) Поверните против часовой стрелки, чтобы ослабить гайку. (b) Поверните по часовой стрелке, чтобы затянуть гайку.

Стратегия

Мы принимаем систему отсчета, показанную на (Рисунок), где векторы [латекс] \ overset {\ to} {R} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {F} [/ latex] лежат в плоскость xy , а начало координат находится в положении гайки. Радиальное направление вдоль вектора [латекс] \ overset {\ to} {R} [/ latex] (указывающее от начала координат) является опорным направлением для измерения угла [латекс] \ phi [/ latex], потому что [латекс] \ overset {\ to} {R} [/ latex] — это первый вектор в векторном произведении [latex] \ overset {\ to} {\ tau} = \ overset {\ to} {R} \, × \, \ overset {\ to} {F} [/ латекс].Вектор [latex] \ overset {\ to} {\ tau} [/ latex] должен лежать вдоль оси z , потому что это ось, перпендикулярная плоскости xy , где оба [latex] \ overset {\ to} {R} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {F} [/ latex] лгут. Чтобы вычислить величину [латекс] \ тау [/ латекс], мы используем (рисунок). Чтобы найти направление [latex] \ overset {\ to} {\ tau} [/ latex], мы используем правило правой руки со штопором ((Рисунок)).

Решение

Покажи ответ Для ситуации в (а) правило штопора дает направление [латекс] \ overset {\ to} {R} \, × \, \ overset {\ to} {F} [/ latex] в положительном направлении ось z.Физически это означает, что вектор крутящего момента [latex] \ overset {\ to} {\ tau} [/ latex] направлен за пределы страницы перпендикулярно рукоятке гаечного ключа. Мы определяем F = 20,00 N и R = 0,25 м и вычисляем величину, используя (Рисунок):

[латекс] \ tau \, = | \ overset {\ to} {R} \, × \, \ overset {\ to} {F} | = \, RF \, \ text {sin} \, \ phi = (0,25 \, \ text {m}) (20,00 \, \ text {N}) \, \ text {sin} \, 40 \ text {°} = 3,21 \, \ text {N} · \ text {m} . [/ latex] Для ситуации в (b) правило штопора дает направление [latex] \ overset {\ to} {R} \, × \, \ overset {\ to} {F} [/ latex] в отрицательное направление оси z.Физически это означает, что вектор [латекс] \ overset {\ to} {\ tau} [/ latex] указывает на страницу перпендикулярно рукоятке гаечного ключа. Величина этого крутящего момента

[латекс] \ tau \, = | \ overset {\ to} {R} \, × \, \ overset {\ to} {F} | = \, RF \, \ text {sin} \, \ phi = (0,25 \, \ text {m}) (20,00 \, \ text {N}) \, \ text {sin} \, 45 \ text {°} = 3,53 \, \ text {N} · \ text {m} . [/ latex] Крутящий момент имеет наибольшее значение, когда [latex] \ text {sin} \, \ phi = 1 [/ latex], что происходит, когда [latex] \ phi = 90 \ text {°} [/ latex]. Физически это означает, что гаечный ключ наиболее эффективен — что дает нам лучшее механическое преимущество — когда мы прикладываем силу перпендикулярно рукоятке гаечного ключа.Для ситуации в этом примере это значение наилучшего крутящего момента [latex] {\ tau} _ {\ text {best}} = RF = (0.25 \, \ text {m}) (20.00 \, \ text {N} ) = 5,00 \, \ text {N} · \ text {m} [/ latex].

Значение

При решении задач механики нам часто вообще не нужно использовать правило штопора, как мы сейчас увидим в следующем эквивалентном решении. Обратите внимание: как только мы определили, что вектор [латекс] \ overset {\ to} {R} \, × \, \ overset {\ to} {F} [/ latex] лежит вдоль оси z , мы можем написать этот вектор в терминах единичного вектора [latex] \ hat {k} [/ latex] оси z :

[латекс] \ overset {\ to} {R} \, × \, \ overset {\ to} {F} = RF \, \ text {sin} \, \ phi \ hat {k}.[/ латекс]

В этом уравнении число, умножающее [latex] \ hat {k} [/ latex], является скалярной z -компонентой вектора [latex] \ overset {\ to} {R} \, × \, \ overset {\ to} {F} [/ latex]. При вычислении этого компонента необходимо следить за тем, чтобы угол [латекс] \ phi [/ latex] измерялся против часовой стрелки от [latex] \ overset {\ to} {R} [/ latex] (первый вектор) до [латекс] \ overset {\ to} {F} [/ latex] (второй вектор). Следуя этому принципу для углов, мы получаем [latex] RF \, \ text {sin} \, (+ 40 \ text {°}) = + 3.2 \, \ text {N} · \ text {m} [/ latex] для ситуации в (a), и мы получаем [latex] RF \, \ text {sin} \, (- 45 \ text {°} ) = — 3.5 \, \ text {N} · \ text {m} [/ latex] для ситуации в (b). В последнем случае угол отрицательный, потому что график на (Рисунок) показывает, что угол измеряется по часовой стрелке; но тот же результат получается, когда этот угол измеряется против часовой стрелки, потому что [латекс] + (360 \ text {°} -45 \ text {°}) = + 315 \ text {°} [/ latex] и [latex] \ текст {грех} \, (+ 315 \ текст {°}) = \ текст {грех} \, (- 45 \ текст {°}) [/ латекс].Таким образом, мы получаем решение без привязки к правилу штопора. Для ситуации в (a) решением является [latex] \ overset {\ to} {R} \, × \, \ overset {\ to} {F} = + 3.2 \, \ text {N} · \ text {м} \ шляпа {к} [/ латекс]; для ситуации в (b) решением является [latex] \ overset {\ to} {R} \, × \, \ overset {\ to} {F} = — 3.5 \, \ text {N} · \ text {m} \ hat {k} [/ латекс].

Проверьте свое понимание

Для векторов, указанных на (Рисунок), найдите векторные произведения [latex] \ overset {\ to} {A} \, × \, \ overset {\ to} {B} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {C} \, × \, \ overset {\ to} {F} [/ latex].

Показать решение

[латекс] \ overset {\ to} {A} \, × \, \ overset {\ to} {B} = — 40.1 \ hat {k} [/ latex] или, что то же самое, [латекс] | \ overset { \ to} {A} \, × \, \ overset {\ to} {B} | = 40,1 [/ latex], и направление — внутрь страницы; [латекс] \ overset {\ to} {C} \, × \, \ overset {\ to} {F} = + 157.6 \ hat {k} [/ latex] или, что то же самое, [латекс] | \ overset {\ to} {C} \, × \, \ overset {\ to} {F} | = 157,6 [/ latex], и направление — вне страницы.

Подобно скалярному произведению ((Рисунок)), перекрестное произведение имеет следующее свойство распределения:

[латекс] \ overset {\ to} {A} \, × \, (\ overset {\ to} {B} + \ overset {\ to} {C}) = \ overset {\ to} {A} \ , × \, \ overset {\ to} {B} + \ overset {\ to} {A} \, × \, \ overset {\ to} {C}.[/ латекс]

Свойство распределения часто применяется, когда векторы выражаются в их составных формах в терминах единичных векторов декартовых осей.

Когда мы применяем определение перекрестного произведения (рисунок) к единичным векторам [latex] \ hat {i} [/ latex], [latex] \ hat {j} [/ latex] и [latex] \ hat {k} [/ latex], которые определяют положительные x -, y — и z — направления в пространстве, мы находим, что

[латекс] \ hat {i} \, × \, \ hat {i} = \ hat {j} \, × \, \ hat {j} = \ hat {k} \, × \, \ hat {k } = 0.[/ латекс]

Все другие перекрестные произведения этих трех единичных векторов должны быть векторами единичной величины, потому что [latex] \ hat {i} [/ latex], [latex] \ hat {j} [/ latex] и [latex] \ hat { k} [/ latex] ортогональны. Например, для пары [латекс] \ hat {i} [/ latex] и [latex] \ hat {j} [/ latex] величина будет [latex] | \ hat {i} \, × \, \ шляпа {j} | = ij \, \ text {sin} \, 90 \ text {°} = (1) (1) (1) = 1 [/ latex]. Направление векторного произведения [латекс] \ hat {i} \, × \, \ hat {j} [/ latex] должно быть ортогонально плоскости xy , что означает, что оно должно быть вдоль z — ось.Единственные единичные векторы вдоль оси z — это [latex] \ text {-} \ hat {k} [/ latex] или [latex] + \ hat {k} [/ latex]. По правилу штопора направление вектора [латекс] \ hat {i} \, × \, \ hat {j} [/ latex] должно быть параллельно положительной оси z . Следовательно, результат умножения [latex] \ hat {i} \, × \, \ hat {j} [/ latex] идентичен [latex] + \ hat {k} [/ latex]. Мы можем повторить аналогичные рассуждения для остальных пар единичных векторов. Результатом умножения будет

.

[латекс] \ {\ begin {array} {l} \ hat {i} \, × \, \ hat {j} = + \ hat {k}, \\ \ hat {j} \, × \, \ hat {k} = + \ hat {i}, \\ \ hat {k} \, × \, \ hat {i} = + \ hat {j}.\ end {array} [/ latex]

Обратите внимание, что на (Рисунок) три единичных вектора [latex] \ hat {i} [/ latex], [latex] \ hat {j} [/ latex] и [latex] \ hat {k} [/ latex ] появляются в циклическом порядке , показанном на диаграмме (Рисунок) (a). Циклический порядок означает, что в формуле продукта [latex] \ hat {i} [/ latex] следует за [latex] \ hat {k} [/ latex] и предшествует [latex] \ hat {j} [/ latex] , или [латекс] \ hat {k} [/ latex] следует за [latex] \ hat {j} [/ latex] и предшествует [latex] \ hat {i} [/ latex] или [latex] \ hat { j} [/ latex] следует за [latex] \ hat {i} [/ latex] и предшествует [latex] \ hat {k} [/ latex].Перекрестное произведение двух разных единичных векторов всегда является третьим единичным вектором. Когда два единичных вектора в перекрестном произведении появляются в циклическом порядке, результатом такого умножения является оставшийся единичный вектор, как показано на (Рисунок) (b). Когда единичные векторы в перекрестном произведении появляются в другом порядке, результатом является единичный вектор, антипараллельный оставшемуся единичному вектору (т. Е. Результат со знаком минус, как показано в примерах на (Рисунок) (c). и (Рисунок) (d). На практике, когда задача состоит в том, чтобы найти перекрестные произведения векторов, которые даны в форме компонентов вектора, это правило перекрестного умножения единичных векторов очень полезно.

Рисунок 2.32 (a) Диаграмма циклического порядка единичных векторов осей. (b) Единственные перекрестные произведения, в которых единичные векторы появляются в циклическом порядке. Эти продукты имеют положительный знак. (c, d) Два примера перекрестных произведений, где единичные векторы не появляются в циклическом порядке. Эти продукты имеют отрицательный знак.

Предположим, мы хотим найти перекрестное произведение [латекс] \ overset {\ to} {A} \, × \, \ overset {\ to} {B} [/ latex] для векторов [latex] \ overset {\ to} {A} = {A} _ {x} \ hat {i} + {A} _ {y} \ hat {j} + {A} _ {z} \ hat {k} [/ латекс] и [латекс] \ overset {\ to} {B} = {B} _ {x} \ hat {i} + {B} _ {y} \ hat {j} + {B} _ {z} \ hat {k} [/ латекс].Мы можем использовать свойство распределения ((рисунок)), антикоммутативное свойство ((рисунок)) и результаты (рисунок) и (рисунок) для единичных векторов, чтобы выполнить следующую алгебру:

[латекс] \ begin {array} {ccc} \ hfill \ overset {\ to} {A} \, × \, \ overset {\ to} {B} & = \ hfill & ({A} _ {x} \ hat {i} + {A} _ {y} \ hat {j} + {A} _ {z} \ hat {k}) \, × \, ({B} _ {x} \ hat {i} + {B} _ {y} \ hat {j} + {B} _ {z} \ hat {k}) \ hfill \\ & = \ hfill & {A} _ {x} \ hat {i} \, × \, ({B} _ {x} \ hat {i} + {B} _ {y} \ hat {j} + {B} _ {z} \ hat {k}) + {A} _ {y } \ hat {j} \, × \, ({B} _ {x} \ hat {i} + {B} _ {y} \ hat {j} + {B} _ {z} \ hat {k} ) + {A} _ {z} \ hat {k} \, × \, ({B} _ {x} \ hat {i} + {B} _ {y} \ hat {j} + {B} _ {z} \ hat {k}) \ hfill \\ & = \ hfill & \ enspace {A} _ {x} {B} _ {x} \ hat {i} \, × \, \ hat {i} + {A} _ {x} {B} _ {y} \ hat {i} \, × \, \ hat {j} + {A} _ {x} {B} _ {z} \ hat {i} \ , × \, \ hat {k} \ hfill \\ & & + {A} _ {y} {B} _ {x} \ hat {j} \, × \, \ hat {i} + {A} _ {y} {B} _ {y} \ hat {j} \, × \, \ hat {j} + {A} _ {y} {B} _ {z} \ hat {j} \, × \, \ hat {k} \ hfill \\ & & + {A} _ {z} {B} _ {x} \ hat {k} \, × \, \ hat {i} + {A} _ {z} { B} _ {y} \ hat {k} \, × \, \ hat {j} + {A} _ {z} {B} _ {z} \ hat {k} \, × \, \ hat {k } \ hfill \\ & = \ hfill & \ enspace {A} _ {x} {B} _ {x} (0) + {A} _ {x} {B} _ {y} (+ \ hat {k }) + {A} _ {x} {B} _ {z} (\ text {-} \ hat {j}) \ hfill \\ & & + {A} _ {y} {B} _ {x} (\ text {-} \ hat {k}) + {A} _ {y} {B} _ {y} (0) + {A} _ {y} {B} _ {z} (+ \ hat { i}) \ hfill \\ & & + {A} _ {z} {B} _ {x} (+ \ hat {j} ) + {A} _ {z} {B} _ {y} (\ text {-} \ hat {i}) + {A} _ {z} {B} _ {z} (0).\ hfill \ end {array} [/ latex]

При выполнении алгебраических операций с перекрестным произведением будьте очень осторожны с соблюдением правильного порядка умножения, потому что перекрестное произведение антикоммутативно. Последние два шага, которые нам еще предстоит сделать для выполнения нашей задачи, — это, во-первых, группировка терминов, содержащих общий единичный вектор, и, во-вторых, разложение на множители. Таким образом, мы получаем следующее очень полезное выражение для вычисления перекрестного произведения:

[латекс] \ overset {\ to} {C} = \ overset {\ to} {A} \, × \, \ overset {\ to} {B} = ({A} _ {y} {B} _ {z} — {A} _ {z} {B} _ {y}) \ hat {i} + ({A} _ {z} {B} _ {x} — {A} _ {x} {B } _ {z}) \ hat {j} + ({A} _ {x} {B} _ {y} — {A} _ {y} {B} _ {x}) \ hat {k}.[/ латекс]

В этом выражении скалярные компоненты вектора перекрестного произведения равны

[латекс] \ {\ begin {array} {c} {C} _ {x} = {A} _ {y} {B} _ {z} — {A} _ {z} {B} _ {y }, \\ {C} _ {y} = {A} _ {z} {B} _ {x} — {A} _ {x} {B} _ {z}, \\ {C} _ {z } = {A} _ {x} {B} _ {y} — {A} _ {y} {B} _ {x}. \ End {array} [/ latex]

На практике при нахождении перекрестного произведения мы можем использовать либо (рисунок), либо (рисунок), в зависимости от того, какое из них кажется менее сложным в вычислительном отношении. Оба они приводят к одному и тому же конечному результату. Один из способов убедиться, что окончательный результат верен, — использовать их оба.

Пример

Частица в магнитном поле

При движении в магнитном поле некоторые частицы могут испытывать магнитную силу. Не вдаваясь в подробности — подробное изучение магнитных явлений будет в следующих главах — давайте признаем, что магнитное поле [латекс] \ overset {\ to} {B} [/ latex] является вектором, магнитная сила [латекс] \ overset {\ to} {F} [/ latex] — это вектор, а скорость [latex] \ overset {\ to} {u} [/ latex] частицы — это вектор. Вектор магнитной силы пропорционален векторному произведению вектора скорости на вектор магнитного поля, которое мы выражаем как [latex] \ overset {\ to} {F} = \ zeta \ overset {\ to} {u} \, × \, \ overset {\ to} {B} [/ латекс].В этом уравнении константа [latex] \ zeta [/ latex] заботится о согласованности физических единиц, поэтому мы можем опускать физические единицы в векторах [latex] \ overset {\ to} {u} [/ latex] и [ латекс] \ overset {\ to} {B} [/ латекс]. В этом примере предположим, что константа [latex] \ zeta [/ latex] положительна.

Частица, движущаяся в пространстве с вектором скорости [latex] \ overset {\ to} {u} = — 5.0 \ hat {i} -2.0 \ hat {j} +3.5 \ hat {k} [/ latex], входит в область с магнитным полем и испытывает магнитную силу.Найдите магнитную силу [латекс] \ overset {\ to} {F} [/ latex] на этой частице в точке входа в область, где вектор магнитного поля равен (a) [latex] \ overset {\ to} {B } = 7.2 \ hat {i} — \ hat {j} -2.4 \ hat {k} [/ latex] и (b) [latex] \ overset {\ to} {B} = 4.5 \ hat {k} [/ латекс]. В каждом случае найдите величину F магнитной силы и угол [latex] \ theta [/ latex], который вектор силы [latex] \ overset {\ to} {F} [/ latex] создает с заданным вектором магнитного поля. [латекс] \ overset {\ to} {B} [/ латекс].{2}} [/ latex], или вычислением величины [latex] | \ overset {\ to} {u} \, × \, \ overset {\ to} {B} | [/ latex] напрямую с помощью (рисунок). В последнем подходе нам нужно будет найти угол между векторами [latex] \ overset {\ to} {u} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex]. Когда у нас есть [latex] \ overset {\ to} {F} [/ latex], общий метод определения угла направления [latex] \ theta [/ latex] включает вычисление скалярного произведения [latex] \ overset { \ to} {F} · \ overset {\ to} {B} [/ latex] и подставляем в (рисунок).Для вычисления векторного произведения мы можем либо использовать (рисунок), либо вычислить произведение напрямую, в зависимости от того, что будет проще.

Решение

Покажи ответ Компоненты вектора скорости: [латекс] {u} _ {x} = — 5.0 [/ latex], [latex] {u} _ {y} = — 2.0 [/ latex] и [latex] {u} _ {z} = 3,5 [/ латекс].

(a) Компонентами вектора магнитного поля являются [латекс] {B} _ {x} = 7,2 [/ латекс], [латекс] {B} _ {y} = — 1,0 [/ латекс] и [латекс ] {B} _ {z} = — 2,4 [/ латекс]. Подстановка их в (рисунок) дает скалярные компоненты вектора [latex] \ overset {\ to} {F} = \ zeta \ overset {\ to} {u} \, × \, \ overset {\ to} {B} [/ latex]:

[латекс] \ {\ begin {array} {l} {F} _ {x} = \ zeta ({u} _ {y} {B} _ {z} — {u} _ {z} {B} _ {y}) = \ zeta [(-2.{2}} = 7.6, [/ latex] и скалярное произведение [latex] \ overset {\ to} {F} · \ overset {\ to} {B} [/ latex]:

[латекс] \ overset {\ to} {F} · \ overset {\ to} {B} = {F} _ {x} {B} _ {x} + {F} _ {y} {B} _ {y} + {F} _ {z} {B} _ {z} = (8.3 \ zeta) (7.2) + (13.2 \ zeta) (- 1.0) + (19.4 \ zeta) (- 2.4) = 0. [/ latex] Теперь замена в (Рисунок) дает угол [латекс] \ theta [/ latex]:

[латекс] \ text {cos} \, \ theta = \ frac {\ overset {\ to} {F} · \ overset {\ to} {B}} {FB} = \ frac {0} {(18.2 \ zeta) (7.6)} = 0 \, ⇒ \ enspace \ theta = 90 \ text {°}. [/ латекс]

Следовательно, вектор магнитной силы перпендикулярен вектору магнитного поля.(Мы могли бы сэкономить время, если бы вычислили скалярное произведение раньше.)

(b) Поскольку вектор [latex] \ overset {\ to} {B} = 4.5 \ hat {k} [/ latex] имеет только один компонент, мы можем быстро выполнить алгебру и найти векторное произведение напрямую:

[латекс] \ begin {array} {ll} \ hfill \ overset {\ to} {F} & = \ zeta \ overset {\ to} {u} \, × \, \ overset {\ to} {B} = \ zeta (-5.0 \ hat {i} -2.0 \ hat {j} +3.5 \ hat {k}) \, × \, (4.5 \ hat {k}) \ hfill \\ & = \ zeta [(- 5.0) (4.5) \ hat {i} \, × \, \ hat {k} + (- 2.0) (4.5) \ hat {j} \, × \, \ hat {k} + (3.{2}} = 24,2 \ дзета. [/ latex] Поскольку скалярное произведение равно

[латекс] \ overset {\ to} {F} · \ overset {\ to} {B} = {F} _ {x} {B} _ {x} + {F} _ {y} {B} _ {y} + {F} _ {z} {B} _ {z} = (- 9.0 \ zeta) (0) + (22.5 \ zeta) (0) + (0) (4.5) = 0, [/ латекс ] вектор магнитной силы [латекс] \ overset {\ to} {F} [/ latex] перпендикулярен вектору магнитного поля [латекс] \ overset {\ to} {B} [/ latex].

Значение

Даже без фактического вычисления скалярного произведения мы можем предсказать, что вектор магнитной силы всегда должен быть перпендикулярен вектору магнитного поля из-за способа построения этого вектора.А именно, вектор магнитной силы — это векторное произведение [латекс] \ overset {\ to} {F} = \ zeta \ overset {\ to} {u} \, × \, \ overset {\ to} {B} [/ латекс] и, по определению векторного произведения (см. (рисунок)), вектор [латекс] \ overset {\ to} {F} [/ latex] должен быть перпендикулярен обоим векторам [латекс] \ overset {\ to} {u} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex].

Проверьте свое понимание

Даны два вектора [латекс] \ overset {\ to} {A} = \ text {-} \ hat {i} + \ hat {j} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {B} = 3 \ hat {i} — \ hat {j} [/ latex], найдите (a) [latex] \ overset {\ to} {A} \, × \, \ overset {\ to} {B} [/ латекс], (b) [латекс] | \ overset {\ to} {A} \, × \, \ overset {\ to} {B} | [/ latex], (c) угол между [латексом] \ overset {\ to} {A} [/ latex] и [latex] \ overset {\ to} {B} [/ latex], и (d) угол между [латексом] \ overset {\ to} {A} \, × \, \ overset {\ to} {B} [/ latex] и вектором [латексом] \ overset {\ to} {C} = \ hat { i} + \ hat {k} [/ латекс].

Показать решение

а. [латекс] -2 \ шляпа {k} [/ латекс], б. 2, в. [латекс] 153.4 \ text {°} [/ латекс], d. [латекс] 135 \ text {°} [/ латекс]

В заключение этого раздела мы хотим подчеркнуть, что «скалярное произведение» и «перекрестное произведение» — это совершенно разные математические объекты, которые имеют разное значение. Скалярное произведение — это скаляр; перекрестное произведение — это вектор. В последующих главах термины скалярное произведение и скалярное произведение используются как взаимозаменяемые. Точно так же термины перекрестное произведение и векторное произведение используются взаимозаменяемо.

ВЕКТОРНЫЕ МЕТОДЫ

ВЕКТОРНЫЕ МЕТОДЫ

Приоритетные направления:

1. Векторы и сложение векторов
2. Единичные векторы
3. Базовые векторы и компоненты вектора
4. Прямоугольные координаты в 2-D
5. Прямоугольные координаты в 3-D
6. А вектор, соединяющий две точки
7. Точечный продукт
8. Перекрестное произведение
9. Тройной продукт
10. Тройное векторное произведение

Векторы и сложение вектора:

Скаляр — это величина, подобная массе или температуре, имеющая только величина.» на жирном символе (т.е., ). Следовательно,

Любой вектор можно превратить в единичный вектор, разделив его на длину.

Любой вектор можно полностью представить, указав его величину и единицу. вектор по его направлению.

База векторы и компоненты вектора:

Базовые векторы — это набор векторов, выбранных в качестве базовых для представления всех другие векторы.Идея состоит в том, чтобы построить каждый вектор из добавления векторы по базовым направлениям. Например, вектор на рисунке может можно записать как сумму трех векторов u ₁ , u ₂ , и u ₃ , каждый по направлению одного из оснований векторы e ₁ , e ₂ и e ₃ , так что

Каждый из векторов u ₁ , u ₂ , и u ₃ параллельно одному из базовых векторов и может быть записывается как скалярное кратное этой базе.Пусть u ₁ , u ₂ , и u ₃ обозначают эти скалярные множители, так что получается

Оригинальный вектор u банка теперь записывается как

Скалярные множители u ₁ , u ₂ и u ₃ известны как компоненты u в базе описывается базовыми векторами e ₁ , e ₂ , и e ₃ .Если базовые векторы являются единичными векторами, то компоненты представляют собой соответственно длины трех векторов u ₁ , u ₂ и u ₃ . Если базовые векторы единичны векторов и взаимно ортогональны, то основание известно как ортонормированное, евклидово или декартово основание.

Вектор может быть разрешен по любым двум направлениям в плоскости, содержащей Это. На рисунке показано, как правило параллелограмма используется для построения векторов. a и b , что в сумме дает c .

В трех измерениях вектор может быть разрешен по любым трем направлениям. некопланарные линии. На рисунке показано, как можно разрешить вектор вдоль в трех направлениях, сначала найдя вектор в плоскости двух из направлениях, а затем разрешив этот новый вектор по двум направлениям в самолет.

Когда векторы представлены в терминах базовых векторов и компонентов, сложение двух векторов приводит к сложению компонентов векторы.Следовательно, если представлены два вектора A и B по

тогда,

Прямоугольные компоненты в 2-D:

Даны базовые векторы прямоугольной системы координат x-y . единичными векторами а также вдоль направлениях x и y соответственно.

Используя базовые векторы, можно представить любой вектор F как

В силу ортогональности базисов имеют место следующие соотношения.

Прямоугольные координаты в 3-D:

Базовые векторы прямоугольной системы координат задаются набором три взаимно ортогональных единичных вектора, обозначаемых , , а также что расположены вдоль координатных направлений x , y и z , соответственно, как показано на рисунке.

Показанная система является системой для правой руки, поскольку большой палец правой руки рука указывает в направлении z , если пальцы таковы, что они представляют вращение вокруг оси z от x до y . Эту систему можно превратить в левую, перевернув направление любой из координатных линий и связанный с ней базовый вектор.

В прямоугольной системе координат компонентами вектора являются проекции вектора вдоль x , y и z направления. Например, на рисунке проекции вектора A вдоль направлений x, y, и z задаются как A _x , A _y , и A _z соответственно.

В результате теоремы Пифагора и ортогональности базы векторов, величина вектора в прямоугольной системе координат может быть рассчитано по

Направляющий косинус:

Направляющие косинусы определены как

.

где углы , , а также находятся углы, показанные на рисунке.Как показано на рисунке, направление косинусы представляют собой косинусы углов между вектором и три координатных направления.

Направляющие косинусы могут быть вычислены из компоненты вектора и его величина через соотношения

Три направляющих косинуса не являются независимыми и должен удовлетворять соотношению

Эти результаты формируют тот факт, что

Единичный вектор может быть построен вдоль вектора используя направляющие косинусы в качестве компонентов вдоль x , y , и z направлений.Например, единичный вектор вдоль вектор A получается из

Следовательно,

Вектор соединение двух точек:

Вектор, соединяющий точку A с точкой B выдается

Единичный вектор вдоль линии A-B может быть получен из

A вектор F по линии A-B и величиной F ​​ может таким образом получается из соотношения

точка товар:

Скалярное произведение обозначается «» между двумя векторами.Скалярное произведение векторов A и B приводит к скаляру, задаваемому соотношением

где является угол между двумя векторами. Порядок не важен в скалярном произведении как видно из определения скалярных произведений. В итоге получается

Скалярное произведение имеет следующие свойства.

Поскольку косинус 90 ^o равен нулю, скалярное произведение двух ортогональные векторы приведут к нулю.

Так как угол между вектором и самим собой равен нулю, а косинус ноль равен единице, величина вектора может быть записана через точку продукт по правилу

Прямоугольные координаты:

При работе с векторами, представленными в прямоугольная система координат по компонентам

, то скалярное произведение может быть оценено из отношение

Это можно проверить прямым умножением векторов и отмечая, что из-за ортогональности базовых векторов прямоугольная система

Проекция вектора на линию:

Ортогональная проекция вектора вдоль линия получается перемещением одного конца вектора на линию и опусканием перпендикуляр на линию от другого конца вектора.В Результирующий отрезок на прямой является ортогональной проекцией вектора или просто его проекция.

Скалярная проекция вектора A вдоль единичный вектор является длина ортогонального выступа А по линии, параллельной , и может быть оценен с помощью скалярного произведения. Соотношение для проекции это

Векторная проекция А вдоль агрегата. вектор просто умножает скалярную проекцию на единичный вектор к получить вектор .Это дает соотношение

перекрестное произведение:

Перекрестное произведение векторов a и b является вектором перпендикулярно обоим a и b и имеет величину, равную Площадь параллелограмма, полученная из a и b . В направление перекрестного произведения задается правилом правой руки.Крест продукт обозначается знаком «» между векторами

Порядок важен в перекрестном произведении. Если порядок операций изменения в перекрестном произведении направление результирующего вектора наоборот. То есть

Перекрестное произведение имеет следующие свойства.

Прямоугольные координаты:

При работе в прямоугольных системах координат, перекрестное произведение векторов a и b , заданное

можно оценить с помощью правила

Можно также использовать прямое умножение базовые векторы с использованием соотношений

тройное произведение:

Дано тройное произведение векторов a , b и c . по

Стоимость тройного произведения равна объему параллелепипед, построенный из векторов.Это видно из цифра с

Тройной продукт имеет следующие свойства

Прямоугольные координаты:

Рассмотрим векторы, описанные в прямоугольнике. система координат как

Тройное произведение можно оценить с помощью отношение

Трехместный векторный продукт:

Произведение тройного вектора имеет свойства

Понимание перекрестного продукта — лучшее объяснение

Взяв два вектора, мы можем записать каждую комбинацию компонентов в сетку:

Эта заполненная сетка представляет собой внешний продукт , который можно разделить на:

• Точечное произведение , взаимодействия между схожими размерами ( x * x , y * y , z * z )

• Перекрестное произведение , взаимодействия между различными измерениями ( x * y , y * z , z * x и т. Д.)

Точечное произведение ($ \ vec {a} \ cdot \ vec {b} $) измеряет сходство, потому что оно накапливает взаимодействия только в совпадающих измерениях. Это простой расчет, состоящий из трех компонентов.

Перекрестное произведение (обозначаемое как $ \ vec {a} \ times \ vec {b} $) должно измерять полдюжины «перекрестных взаимодействий». Расчет выглядит сложным, но концепция проста: накопите 6 индивидуальных различий для получения общей разницы.

Вместо того, чтобы думать: «Когда мне нужно кросс-произведение?» подумайте: «Когда мне нужно взаимодействие между разными измерениями?».

Площадь, например, образована векторами, указывающими в разных направлениях (чем больше ортогональность, тем лучше). Действительно, перекрестное произведение измеряет площадь, охватываемую двумя трехмерными векторами (источник):

(«Перекрестное произведение» предполагает трехмерные векторы, но концепция распространяется на более высокие измерения.)

Щелкнула ли ключевая интуиция? Давайте углубимся в детали.

Определение перекрестного произведения

Скалярное произведение представляет сходство между векторами как одно число:

Например, мы можем сказать, что север и восток на 0% похожи, поскольку $ (0, 1) \ cdot (1, 0) = 0 $.Или что север и северо-восток на 70% похожи ($ \ cos (45) = 0,707 $, помните, что триггерные функции — это проценты). Сходство показывает количество одного вектора, который «проявляется» в другом.

Должно ли перекрестное произведение, разность векторов, тоже быть одним числом?

Давай попробуем. Синус — это процентная разница, поэтому мы могли бы написать:

К сожалению, мы упускаем некоторые детали. Допустим, мы смотрим вниз по оси x: обе точки — y и z — на 100% от нас.Число вроде «100%» говорит нам о большой разнице, но мы не знаем, что это такое! Нам нужна дополнительная информация, чтобы сказать нам «разница между $ \ vec {x} $ и $ \ vec {y} $ составляет , а не » и «разница между $ \ vec {x} $ и $ \ vec {z} $ , что “.

Итак, представим кросс-произведение в виде вектора:

• Размер перекрестного произведения представляет собой числовую «величину разницы» (с $ \ sin (\ theta) $ в процентах). Само по себе это не отличает $ \ vec {x} \ times \ vec {y} $ от $ \ vec {x} \ times \ vec {z} $.

• Направление перекрестного произведения основано на обоих входных данных: это направление, ортогональное обоим (т.е. не благоприятное ни для одного).

Теперь $ \ vec {x} \ times \ vec {y} $ и $ \ vec {x} \ times \ vec {z} $ дают разные результаты, каждый с величиной, указывающей, что они на «100%» отличаются от $ \ vec {x} $.

(Должно ли скалярное произведение быть векторным результатом? Ну, мы отслеживаем сходство между $ \ vec {a} $ и $ \ vec {b} $. Сходство измеряет перекрытие между исходными векторными направлениями, которое мы уже есть.)

Геометрическая интерпретация

Два вектора определяют плоскость, и векторное произведение указывает в направлении, отличном от обоих (источник):

Вот проблема: есть два перпендикулярных направления. Условно мы предполагаем «правостороннюю систему» ​​(источник):

Если вы держите первые два пальца, как показано на схеме, большой палец будет указывать в направлении перекрестного произведения. Я проверяю правильность ориентации, проводя указательным пальцем от $ \ vec {a} $ до $ \ vec {b} $.Когда направление выяснено, величина перекрестного произведения равна $ | a | | б | \ sin (\ theta) $, который пропорционален величине каждого вектора и «проценту разницы» (синус).

Крестное произведение для ортогональных векторов

Чтобы запомнить правило правой руки, напишите порядок xyz дважды: xyzxyz . Затем найдите узор, который вы ищете:

• xy => z ( x крест y is z )
• yz => x ( y cross z is x ; мы зациклились на: y to z to x )
• zx => y

Теперь, xy и yx имеют противоположные знаки, потому что в нашей настройке xyzxyz они идут вперед и назад.

Итак, без формулы вы сможете вычислить:

Опять же, это потому, что пересечение x y положительно z в правой системе координат. Я использовал единичные векторы, но мы могли масштабировать термины:

Вычисление перекрестного произведения

Один вектор можно разложить на 3 ортогональные части:

Когда векторы пересекаются, каждая пара ортогональных компонентов (например, $ a_x \ times b_y $) голосует за то, куда должен указывать ортогональный вектор.6 компонентов, 6 голосов, и их сумма является перекрестным произведением. (Подобно градиенту, где каждая ось голосует за направление наибольшего увеличения.)

• xy => z и yx => -z (предположим, что $ \ vec {a} $ стоит первым, поэтому xy означает $ a_x b_y $)
• yz => x и zy => -x
• zx => y и xz => -y

xy и yx сражаются в направлении z .Если эти члены равны, например, в $ (2, 1, 0) \ times (2, 1, 1) $, то в направлении z отсутствует компонент перекрестного произведения (2 — 2 = 0).

Окончательная комбинация:

, где $ \ vec {n} $ — единичный вектор, нормальный к $ \ vec {a} $ и $ \ vec {b} $.

Пусть вас это не пугает:

• Есть 6 членов, 3 положительных и 3 отрицательных
• Два измерения голосуют за третье (поэтому термин z должен содержать только компоненты y и x )
• Положительный / отрицательный порядок основан на шаблоне xyzxyz

Если хотите, существует алгебраическое доказательство того, что формула одновременно ортогональна и имеет размер $ | a | | б | \ sin (\ theta) $, но мне нравится интуиция «пропорционального голосования».

Время примера

Опять же, мы должны делать простые перекрестные произведения в уме:

Почему? Мы пересекли оси x и y , получив z (или $ \ vec {i} \ times \ vec {j} = \ vec {k} $, используя эти единичные векторы). Переход в другую сторону дает $ — \ vec {k} $.

Вот как я рассмотрю более сложные примеры:

• Давайте займемся последним членом, z-компонентом. Это (1) (5) минус (4) (2), или 5-8 = -3.Я сделал z первым, потому что он использует x и y , первые два члена. Попробуйте рассматривать (1) (5) как «вперед» при сканировании от первого вектора ко второму, и (4) (2) как «назад» при перемещении от второго вектора к первому.
• Теперь компонент y : (3) (4) — (6) (1) = 12-6 = 6
• Теперь компонент x : (2) (6) — (5) (3) = 12-15 = -3

Итак, общая сумма $ (- 3, 6, -3) $, которую мы можем проверить с помощью Wolfram Alpha.

Вкратце:

• Перекрестное произведение отслеживает все «перекрестные взаимодействия» между измерениями
• Имеется 6 взаимодействий (по 2 в каждом измерении) со знаками на основе порядка xyzxyz

Приложение

Связь с определителем

Вы можете вычислить перекрестное произведение, используя определитель этой матрицы:

Здесь есть четкая связь, поскольку определитель («подписанная площадь / объем») отслеживает вклады от ортогональных компонентов.

Существуют теоретические причины, по которым векторное произведение (как ортогональный вектор) доступно только в 0, 1, 3 или 7 измерениях. Однако перекрестное произведение в виде единственного числа по сути является определяющим фактором (площадь со знаком, объем или гиперобъем в виде скаляра).

Соединение с Curl

Curl измеряет скручивающую силу, которую векторное поле прикладывает к точке, и измеряется вектором, перпендикулярным поверхности. Всякий раз, когда вы слышите «перпендикулярный вектор», начинайте думать «кросс-произведение».

Берем «определитель» этой матрицы:

Вместо умножения взаимодействие принимает частную производную. Как и прежде, $ \ vec {i} $ компонент curl основан на векторах и производных в направлениях $ \ vec {j} $ и $ \ vec {k} $.

Связь с теоремой Пифагора

Крест и скалярное произведение подобны ортогональным сторонам треугольника:

Для единичных векторов, где $ | a | = | b | = 1 $, имеем:

Я немного схитрил в сеточной диаграмме, так как мы должны отслеживать квадраты величин (как это сделано в теореме Пифагора).

Продвинутая математика

Перекрестное произведение и друзья расширяются в алгебре Клиффорда и геометрической алгебре. Я все еще изучаю это.

Перекрестные произведения перекрестных продуктов

Иногда бывает такой сценарий:

Во-первых, перекрестное произведение не ассоциативно: порядок имеет значение.

Затем вспомните, что делает кросс-произведение: нахождение ортогональных векторов. Если любые два компонента параллельны ($ \ vec {a} $ параллельно $ \ vec {b} $), то никакие измерения не влияют друг на друга, и перекрестное произведение равно нулю (что переносится на $ 0 \ times \ vec {c} $).

Но это нормально для $ \ vec {a} $ и $ \ vec {c} $ быть параллельными, поскольку они никогда не участвуют напрямую в перекрестном произведении, например:

Ух ты! Как нам вернуться к $ \ vec {j} $? Мы запросили направление, перпендикулярное как $ \ vec {i} $, так и $ \ vec {j} $, и снова сделали это направление перпендикулярным $ \ vec {i} $. «Двойная перпендикулярность» означает, что вы вернулись на исходную ось.

Точечное произведение перекрестных произведений

Теперь возьмем

что происходит? Мы вынуждены сначала выполнить $ \ vec {a} \ times \ vec {b} $, потому что $ \ vec {b} \ cdot \ vec {c} $ возвращает скаляр (одно число), которое нельзя использовать в перекрестном произведении.

Если $ \ vec {a} $ и $ \ vec {c} $ параллельны, что произойдет? Итак, $ \ vec {a} \ times \ vec {b} $ перпендикулярно $ \ vec {a} $, что означает, что оно перпендикулярно $ \ vec {c} $, поэтому скалярное произведение с $ \ vec {c } $ будет нулем.

Я никогда особо не запоминал эти правила, я должен продумывать взаимодействия.

Другие системы координат

Движок Unity — левша, OpenGL (и большинство математических / физических инструментов) — правша. Почему?

В компьютерной игре x идет горизонтально, y идет вертикально и z идет «в экран».Это приводит к левосторонней системе. (Попробуйте: правой рукой вы увидите крест размером x , y должен указывать за пределы экрана).

Приложения перекрестного продукта

• Найдите направление, перпендикулярное двум заданным векторам.
• Найдите площадь со знаком, охватываемую двумя векторами.
• Определите, ортогональны ли два вектора (хотя проверка скалярного произведения 0, вероятно, быстрее).
• «Умножьте» два вектора, когда вклад вносят только перпендикулярные поперечные члены (например, определение крутящего момента).
• С кватернионами (4d комплексные числа) перекрестное произведение выполняет работу по вращению одного вектора вокруг другого (еще одна статья в разработке!).

Счастливая математика.

Другие сообщения этой серии

1. Векторное исчисление: понимание точечного произведения
2. Векторное исчисление: понимание кросс-произведения
3. Векторное исчисление: понимание потока
4. Векторное исчисление: понимание расходимости
5. Векторное исчисление: понимание циркуляции и изгиба
6. Векторное исчисление: понимание градиента
7. Пифагорейское расстояние и градиент

17.2: Векторное произведение (перекрестное произведение)

Пусть \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) и \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) будут двумя векторами. Поскольку любые два непараллельных вектора образуют плоскость, мы обозначаем угол θ как угол между векторами \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) и \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) как показано на рисунке 17.2. Величина векторного произведения \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) векторов \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) и \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) определяется как произведение величины векторов \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) и \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) с синусом угла θ между двумя векторами,

\ [| \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | = | \ overrightarrow {\ mathbf {A}} || \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | \ sin (\ theta) \]

Угол θ между векторами ограничен значениями \ (0 \ leq \ theta \ leq \ pi \), гарантируя, что \ (\ sin (\ theta) \ geq 0 \).

Рисунок 17.2 Геометрия векторного произведения.

Направление векторного произведения определяется следующим образом. Векторы \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) и \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) образуют плоскость. Рассмотрим направление, перпендикулярное этой плоскости. Есть две возможности: мы выберем одну из этих двух (показанную на рисунке 17.2) для направления векторного произведения \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ ) с использованием соглашения, которое обычно называют «правилом правой руки».

Правило правой руки для направления векторного произведения

Первый шаг — перерисовать векторы \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ text {и} \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) так, чтобы хвосты соприкасались. Затем нарисуйте дугу, начиная с вектора \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) и заканчивая вектором \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \). Согните пальцы правой руки так же, как дугу. Ваш большой палец правой руки указывает в направлении векторного произведения \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) (рис.17.3).

Рисунок 17.3 Правило правой руки.

Вы должны помнить, что направление векторного произведения \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) перпендикулярно плоскости, образованной \ (\ overrightarrow {\ mathbf { A}} \ text {и} \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \). Мы можем дать геометрическую интерпретацию величине векторного произведения, записав величину как

.

\ [| \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | = | \ overrightarrow {\ mathbf {A}} | (| \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | \ sin \ theta) \]

Векторы \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ text {и} \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) образуют параллелограмм.Площадь параллелограмма равна высоте, умноженной на основание, которое является величиной векторного произведения. На рис. 17.4 показаны два разных представления высоты и основания параллелограмма. Как показано на рис. 17.4a, член \ (| \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | \ sin \ theta \) — это проекция вектора \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) в направлении перпендикулярно вектору \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) Мы также могли бы записать величину векторного произведения как

\ [| \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | = (| \ overrightarrow {\ mathbf {A}} | \ sin \ theta) | \ overrightarrow {\ mathbf { B}} | \]

Член \ (| \ overrightarrow {\ mathbf {A}} | \ sin \ theta \) — это проекция вектора \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) в направлении, перпендикулярном вектору \ ( \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \), как показано на рисунке 17.4 (б). Векторное произведение двух векторов, параллельных (или антипараллельных) друг другу, равно нулю, потому что угол между векторами равен 0 (или \ (\ pi \)) и \ (\ sin (0) = 0 \) ( или \ (\ sin (\ pi) = 0 \)). Геометрически два параллельных вектора не имеют единственного компонента, перпендикулярного их общему направлению.

Рисунок 17.4 Проекция (a) \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) перпендикулярно \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \), (b) из \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}) } \) перпендикулярно \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \)

Свойства векторного произведения

(1) Векторное произведение антикоммутативно, потому что изменение порядка векторов меняет направление векторного произведения по правилу правой руки:

\ [\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} = — \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \]

(2) Векторное произведение между вектором \ (c \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \), где \ (c \) — скаляр, и вектором \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) —

\ [c \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} = c (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}}) \]

Аналогично

\ [\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times c \ overrightarrow {\ mathbf {B}} = c (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}}) \]

(3) Векторное произведение суммы двух векторов \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ text {и} \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) на вектор \ (\ overrightarrow {\ mathbf {C}} \) равно

\ [(\ overrightarrow {\ mathbf {A}} + \ overrightarrow {\ mathbf {B}}) \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} = \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow { \ mathbf {C}} + \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} \]

Аналогично

\ [\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} + \ overrightarrow {\ mathbf {C}}) = \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow { \ mathbf {B}} + \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} \]

Векторное разложение и векторное произведение: декартовы координаты

Сначала мы вычисляем, что величина векторного произведения единичных векторов \ (\ hat {\ mathbf {i}} \) и \ (\ hat {\ mathbf {j}} \):

\ [| \ hat {\ mathbf {i}} \ times \ hat {\ mathbf {j}} | = | \ hat {\ mathbf {i}} \ | \ hat {\ mathbf {j}} | \ sin (\ pi / 2) = 1 \]

, поскольку единичные векторы имеют величину \ (| \ hat {\ mathbf {i}} | = | \ hat {\ mathbf {j}} | = 1 \) и \ (\ sin (\ pi / 2) = 1 \ ).По правилу правой руки направление \ (\ hat {\ mathbf {i}} \ times \ hat {\ mathbf {j}} \) находится в \ (+ \ hat {\ mathbf {k}} \) как показано на рисунке 17.5. Таким образом, \ (\ hat {\ mathbf {i}} \ times \ hat {\ mathbf {j}} = \ hat {\ mathbf {k}} \).

Рис. 17.5 Векторное произведение \ (\ hat {\ mathbf {i}} \ times \ hat {\ mathbf {j}} \)

Отметим, что то же правило применяется для единичных векторов в направлениях y и z,

\ [\ hat {\ mathbf {j}} \ times \ hat {\ mathbf {k}} = \ hat {\ mathbf {i}}, \ quad \ hat {\ mathbf {k}} \ times \ hat { \ mathbf {i}} = \ hat {\ mathbf {j}} \]

По антикоммутативному свойству (1) векторного произведения

\ [\ hat {\ mathbf {j}} \ times \ hat {\ mathbf {i}} = — \ hat {\ mathbf {k}}, \ quad \ hat {\ mathbf {i}} \ times \ hat {\ mathbf {k}} = — \ hat {\ mathbf {j}} \]

Векторное произведение единичного вектора \ (\ hat {\ mathbf {i}} \) с самим собой равно нулю, потому что два единичных вектора параллельны друг другу, \ ((\ sin (0) = 0) \),

\ [| \ hat {\ mathbf {i}} \ times \ hat {\ mathbf {i}} | = | \ hat {\ mathbf {i}} || \ hat {\ mathbf {i}} | \ sin (0) = 0 \]

Векторное произведение единичного вектора \ (\ hat {\ mathbf {j}} \) с самим собой и единичного вектора \ (\ hat {\ mathbf {k}} \) с самим собой также равны нулю по той же причине,

\ [| \ hat {\ mathbf {j}} \ times \ hat {\ mathbf {j}} | = 0, \ quad | \ hat {\ mathbf {k}} \ times \ hat {\ mathbf {k} } | = 0 \]

Имея в виду эти свойства, мы можем теперь разработать алгебраическое выражение для векторного произведения в терминах компонентов.Давайте выберем декартову систему координат с вектором \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \), направленным вдоль положительной оси x с положительной компонентой x \ (B_ {x} \). Тогда векторы \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ text {и} \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) можно записать как

\ [\ overrightarrow {\ mathbf {A}} = A_ {x} \ hat {\ mathbf {i}} + A_ {y} \ hat {\ mathbf {j}} + A_ {z} \ hat {\ mathbf {k}} \]

\ [\ overrightarrow {\ mathbf {B}} = B_ {x} \ hat {\ mathbf {i}} \]

соответственно. Произведение вектора в компонентах вектора равно

.

\ [\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} = \ left (A_ {x} \ hat {\ mathbf {i}} + A_ {y} \ hat {\ mathbf {j}} + A_ {z} \ hat {\ mathbf {k}} \ right) \ times B_ {x} \ hat {\ mathbf {i}} \]

Это становится,

\ [\ begin {align}
\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} & = \ left (A_ {x} \ hat {\ mathbf {i}} \ times B_ {x} \ hat {\ mathbf {i}} \ right) + \ left (A_ {y} \ hat {\ mathbf {j}} \ times B_ {x} \ hat {\ mathbf {i}} \ right) + \ left (A_ {z} \ hat {\ mathbf {k}} \ times B_ {x} \ hat {\ mathbf {i}} \ right) \\
& = A_ {x} B_ {x} (\ шляпа {\ mathbf {i}} \ times \ hat {\ mathbf {i}}) + A_ {y} B_ {x} (\ hat {\ mathbf {j}} \ times \ hat {\ mathbf {i}} ) + A_ {z} B_ {x} (\ hat {\ mathbf {k}} \ times \ hat {\ mathbf {i}}) \\
& = — A_ {y} B_ {x} \ hat {\ mathbf {k}} + A_ {z} B_ {x} \ hat {\ mathbf {j}}
\ end {align} \]

Выражение компонента вектора для векторного произведения легко обобщается для произвольных векторов

\ [\ overrightarrow {\ mathbf {A}} = A_ {x} \ hat {\ mathbf {i}} + A_ {y} \ hat {\ mathbf {j}} + A_ {z} \ hat {\ mathbf {k}} \]

\ [\ overrightarrow {\ mathbf {B}} = B_ {x} \ hat {\ mathbf {i}} + B_ {y} \ hat {\ mathbf {j}} + B_ {z} \ hat {\ mathbf {k}} \]

дает

\ [\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} = \ left (A_ {y} B_ {z} -A_ {z} B_ {y} \ right) \ hat { \ mathbf {i}} + \ left (A_ {z} B_ {x} -A_ {x} B_ {z} \ right) \ hat {\ mathbf {j}} + \ left (A_ {x} B_ {y } -A_ {y} B_ {x} \ right) \ hat {\ mathbf {k}} \]

Векторное разложение и векторное произведение: цилиндрические координаты

Вспомните цилиндрическую систему координат, которую мы показываем на рисунке 17.6. Мы выбрали два направления: радиальное и касательное к плоскости, а также перпендикулярное к плоскости.

Рисунок 17.6 Цилиндрические координаты

Единичные векторы расположены под прямым углом друг к другу, поэтому, используя правило правой руки, векторное произведение единичных векторов задается соотношениями

\ [\ hat {\ mathbf {r}} \ times \ hat {\ boldsymbol {\ theta}} = \ hat {\ mathbf {k}} \]

\ [\ hat {\ boldsymbol {\ theta}} \ times \ hat {\ mathbf {k}} = \ hat {\ mathbf {r}} \]

\ [\ hat {\ mathbf {k}} \ times \ hat {\ mathbf {r}} = \ hat {\ boldsymbol {\ theta}} \]

Поскольку векторное произведение удовлетворяет условию \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} = — \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) у нас также есть

\ [\ hat {\ boldsymbol {\ theta}} \ times \ hat {\ mathbf {r}} = — \ hat {\ mathbf {k}} \]

\ [\ hat {\ mathbf {k}} \ times \ hat {\ boldsymbol {\ theta}} = — \ hat {\ mathbf {r}} \]

\ [\ hat {\ mathbf {r}} \ times \ hat {\ mathbf {k}} = — \ hat {\ boldsymbol {\ theta}} \]

Наконец

\ [\ hat {\ mathbf {r}} \ times \ hat {\ mathbf {r}} = \ hat {\ boldsymbol {\ theta}} \ times \ hat {\ boldsymbol {\ theta}} = \ hat { \ mathbf {k}} \ times \ hat {\ mathbf {k}} = \ overrightarrow {\ mathbf {0}} \]

Пример 17.1 Продукты вектора

Для двух векторов \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} = 2 \ hat {\ mathbf {i}} + — 3 \ hat {\ mathbf {j}} + 7 \ hat {\ mathbf {k}} \) и \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} = 5 \ hat {\ mathbf {i}} + \ hat {\ mathbf {j}} + 2 \ hat {\ mathbf {k}} \), найдите \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \).

Решение:

\ [\ begin {align}
\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} & = \ left (A_ {y} B_ {z} -A_ {z} B_ {y } \ right) \ hat {\ mathbf {i}} + \ left (A_ {z} B_ {x} -A_ {x} B_ {z} \ right) \ hat {\ mathbf {j}} + \ left ( A_ {x} B_ {y} -A_ {y} B_ {x} \ right) \ hat {\ mathbf {k}} \\
& = ((- 3) (2) — (7) (1)) \ hat {\ mathbf {i}} + ((7) (5) — (2) (2)) \ hat {\ mathbf {j}} + ((2) (1) — (- 3) (5) ) \ hat {\ mathbf {k}} \\
& = — 13 \ hat {\ mathbf {i}} + 31 \ hat {\ mathbf {j}} + 17 \ hat {\ mathbf {k}}
\ конец {выровнен} \]

Пример 17.2 Закон Синуса

Для треугольника, показанного на рисунке 17.7a, докажите закон синусов, \ (| \ overrightarrow {\ mathbf {A}} | / \ sin \ alpha = | \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | / \ sin \ beta = | \ overrightarrow {\ mathbf {C}} | / \ sin \ gamma \), используя векторное произведение.

Рис. 17.7 (b) Векторный анализ

Решение: Рассмотрим площадь треугольника, образованного тремя векторами \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}}, \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) и \ (\ overrightarrow { \ mathbf {C}} \), где \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} + \ overrightarrow {\ mathbf {B}} + \ overrightarrow {\ mathbf {C}} = 0 \) (рисунок 17.7б). Поскольку \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} + \ overrightarrow {\ mathbf {B}} + \ overrightarrow {\ mathbf {C}} = 0 \), мы имеем \ (0 = \ overrightarrow {\ mathbf { A}} \ times (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} + \ overrightarrow {\ mathbf {B}} + \ overrightarrow {\ mathbf {C}}) = \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} + \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} \). Таким образом, \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} = — \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} \) или \ ( | \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | = | \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} | \).Из рисунка 17.7b видно, что \ (| \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | = | \ overrightarrow {\ mathbf {A}} || \ overrightarrow {\ mathbf { B}} | \ sin \ gamma \) и \ (| \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} | = | \ overrightarrow {\ mathbf {A}} || \ overrightarrow {\ mathbf {C}} | \ sin \ beta \). Следовательно, \ (| \ overrightarrow {\ mathbf {A}} || \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | \ sin \ gamma = | \ overrightarrow {\ mathbf {A}} || \ overrightarrow {\ mathbf {C} } | \ sin \ beta \), и, следовательно, \ (| \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | / \ sin \ beta = | \ overrightarrow {\ mathbf {C}} | / \ sin \ gamma \).Аналогичный аргумент показывает, что \ (| \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | / \ sin \ beta = | \ overrightarrow {\ mathbf {A}} | / \ sin \ alpha \) доказывает закон синусов.

Пример 17.3 Единица Нормальная

Найдите единичный вектор, перпендикулярный \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} = \ hat {\ mathbf {i}} + \ hat {\ mathbf {j}} — \ hat {\ mathbf {k}} \) и \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} = — 2 \ hat {\ mathbf {i}} — \ hat {\ mathbf {j}} + 3 \ hat {\ mathbf {k}} \).

Решение: векторное произведение \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \) перпендикулярно обоим \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ text {и} \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \).Следовательно, единичные векторы \ (\ hat {\ mathbf {n}} = \ pm \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} / | \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {B}} | \) перпендикулярны обоим \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ text {и} \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \). {1/2} \]

Пример 17.4 Объем параллелепипеда

Покажите, что объем параллелепипеда с ребрами, образованными векторами \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}}, \ overrightarrow {\ mathbf {B}}, \ text {and} \) \ (\ overrightarrow {\ mathbf {C}} \) задается как \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ cdot (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}}) \).

Решение: Объем параллелепипеда определяется как площадь основания, умноженная на высоту. Если основание образовано векторами \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ text {и} \ overrightarrow {\ mathbf {C}} \), то площадь основания определяется величиной \ ( \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} \).Вектор \ (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} = | \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} | \ hat { \ mathbf {n}} \), где \ (\ hat {\ mathbf {n}} \) — единичный вектор, перпендикулярный основанию (рис. 17.8).

Рисунок 17.8 Пример 17.4

Проекция вектора \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) вдоль направления \ (\ hat {\ mathbf {n}} \) дает высоту параллелепипеда. Эта проекция дается путем взятия скалярного произведения \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) с единичным вектором и равна \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ cdot \ hat {\ mathbf { n}} = \ текст {высота} \).Следовательно,

\ [\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ cdot (\ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}}) = \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ cdot (| \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} |) \ hat {\ mathbf {n}} = (| \ overrightarrow {\ mathbf {B}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {C}} |) \ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ cdot \ hat {\ mathbf {n}} = (\ text {area}) (\ text {height}) = (\ text {volume}) \ ]

Пример 17.5 Разложение вектора

Пусть \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) будет произвольным вектором и пусть \ (\ hat {\ mathbf {n}} \) будет единичным вектором в некотором фиксированном направлении.Покажите, что \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} = (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ cdot \ hat {\ mathbf {n}}) \ hat {\ mathbf {n}} + (\ hat { \ mathbf {n}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {A}}) \ times \ hat {\ mathbf {n}} \)

Решение: Пусть \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} = A _ {\ |} \ hat {\ mathbf {n}} + A _ {\ perp} \ hat {\ mathbf {e}} \), где \ ( A _ {\ |} \) — это компонент \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) в направлении \ (\ hat {\ mathbf {n}}, \ hat {\ mathbf {e}} \) — направление проекции \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) на плоскость, перпендикулярную \ (\ hat {\ mathbf {n}} \), а \ (A _ {\ perp} \) — компонент \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \) в направлении \ (\ hat {\ mathbf {e}} \).Поскольку \ (\ hat {\ mathbf {e}} \ cdot \ hat {\ mathbf {n}} = 0 \), у нас есть \ (\ overrightarrow {\ mathbf {A}} \ cdot \ hat {\ mathbf { n}} = A _ {\ |} \). Обратите внимание, что

\ [\ hat {\ mathbf {n}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {A}} = \ hat {\ mathbf {n}} \ times \ left (A \ hat {\ mathbf {n}} + A_ {\ perp} \ hat {\ mathbf {e}} \ right) = \ hat {\ mathbf {n}} \ times A _ {\ perp} \ hat {\ mathbf {e}} = A _ {\ perp} (\ шляпа {\ mathbf {n}} \ times \ hat {\ mathbf {e}}) \]

Единичный вектор \ (\ hat {\ mathbf {n}} \ times \ hat {\ mathbf {e}} \) лежит в плоскости, перпендикулярной \ (\ hat {\ mathbf {n}} \), а также перпендикулярно \ (\ hat {\ mathbf {e}} \).Следовательно, \ ((\ hat {\ mathbf {n}} \ times \ hat {\ mathbf {e}}) \ times \ hat {\ mathbf {n}} \) также является единичным вектором, параллельным \ (\ шляпа {\ mathbf {e}} \) (по правилу правой руки. Итак, \ ((\ hat {\ mathbf {n}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {A}}) \ times \ hat {\ mathbf { n}} = A _ {\ perp} \ hat {\ mathbf {e}} \). Таким образом,

\ [\ overrightarrow {\ mathbf {A}} = A _ {\ |} \ hat {\ mathbf {n}} + A _ {\ perp} \ hat {\ mathbf {e}} = (\ overrightarrow {\ mathbf { A}} \ cdot \ hat {\ mathbf {n}}) \ hat {\ mathbf {n}} + (\ hat {\ mathbf {n}} \ times \ overrightarrow {\ mathbf {A}}) \ times \ шляпа {\ mathbf {n}} \]

.