Site Loader

Содержание

Какие векторы называют равными, а какие

Рассмотрим векторы, имеющие равные длины. Если такие векторы сонаправлены, их называют равными.

У равных векторов совпадает и длина и направление.

Векторы, направленные в противоположные стороны, даже, если у них будут равные длины, равными назвать не получится.

Если совпадает только одна характеристика — длина, то векторы называют равными по модулю.

Равные векторы

Если два вектора равны (т. е. одинаковые), то у них одинаковые:

  • длина,
  • направление,
  • координаты.

Рассмотрим рисунок 1. На рисунке представлены векторы, обозначенные красным и зеленым цветом. Видно, что векторы имеют равные координаты — проекции на оси. Длины проекций для этих векторов: на ось Ox = 2, на ось Oy = 3. Если векторы имеют равные соответственные проекции (координаты), то эти векторы равны.

Рис. 1. Векторы, обозначенные красным и зеленым цветом, имеют равные координаты — проекции на оси

Примечание:

Когда векторы равны, вместо одного из них мы можем использовать второй вектор.

Если нам будет удобнее работать со вторым вектором.

Противоположно направленные векторы

Вектор можно развернуть в противоположную сторону. С точки зрения математики, для этого достаточно перед вектором дописать знак минус.

Пример 1:

Векторы \( \vec{F} \) и \( -\vec{F} \) развернуты в противоположные стороны.

Когда векторы обозначают двумя буквами, то:

Векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \left( -\overrightarrow{AB}\right) \) направлены в противоположные стороны.

Вектор \( \left(-\overrightarrow{AB} \right) \)  — это вектор \( \overrightarrow{BA} \).

На языке математики это записывают так: \( \left(-\overrightarrow{AB}\right) = \overrightarrow{BA} \).

Для вектора \( \overrightarrow{AB} \): точка A — начальная, B — конечная.

А для вектора \(\overrightarrow{BA} \) наоборот: точка B — начальная, A — конечная.

Когда даны координаты вектора, то, чтобы его развернуть в противоположную сторону, нужно изменить знак каждой его координаты на противоположный.

Пример 2:

Векторы \( \vec{a} = \left\{ -2; 7; -5 \right\} \) и \( \vec{b} = \left\{ 2; -7; 5 \right\} \) направлены в противоположные стороны.

Рис. 2. Векторы, на рисунках а) и б), имеют равную длину, а направлены противоположно

Примечание:

Если равны только длины векторов, а направлены они в противоположные стороны, знак равенства между ними записать не получится. Такие векторы не равны!

\( \vec{a} = \left\{ -2; 7; -5 \right\} \)

\( \vec{b} = \left\{ 2; -7; 5 \right\} \)

\( |\vec{a} | = | \vec{b} | \) – равны только длины векторов;

\( \vec{a} \ne \vec{b} \) – векторы не равны, так как их направления различаются;

Физика, равные по модулю противоположно направленне векторы

В физике, в третьем законе Ньютона, идет речь о равных по модулю и противоположно направленных векторах.

Вспомним третий закон Ньютона: \( \vec{F_{12}} = -\vec{ F_{21}} \) – длины векторов равны, а направления противоположны.

Чтобы приравнять такие векторы, необходимо перед одним из них записать знак минус:

\( \vec{F_{12}} = -\vec{ F_{21}} \) или  \( -\vec{F_{12}} = \vec{ F_{21}} \)

 

Скалярное произведение векторов. Формулы и определение

 

Основные определения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.


Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.

Результат операции является число. То есть при умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов |→a|, |→b| — это числа, косинус угла — число, то их произведение |→a|*|→b|*cos∠(→a, →b) тоже будет числом.

Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.

 

Приходите тренироваться в детскую школу Skysmart. Ученики решают захватывающие задачки вместе с красочными героями на интерактивной платформе, чертят вместе с учителем на онлайн-доске и не боятся школьных контрольных.

Запишите ребенка на бесплатный вводный урок математики и начните заниматься в удовольствие уже завтра!

Угол между векторами

Угол между векторами ∠(→a, →b) может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно.

Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: 0°=<∠(→a; →b)=<180° либо 0°=<∠(→a; →b)=<π.

Значок угла ∠ можно опустить и писать просто: (→a;→b).

Пусть даны два вектора →a, →b.

Отложим их от некоторой точки О пространства: →OA = →a; →OB = →b. Тогда угол между векторами — это угол ∠AOB = (→a, →b).


Угол между векторами может быть прямым, тупым или острым. Рассмотрим каждый случай:

 

1. Если векторы сонаправлены, то угол между ними равен 0°.


 

Так как косинус угла в 0° равен единице, то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин. Если два вектора равны, то такое скалярное произведение называют скалярным квадратом.

 

2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.


 

Так как косинус прямого угла равен 0, то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0.

 

3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.


Так как косинус угла в 180° равен -1, то скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин.

 

Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:


Важно!

Так как косинус тупого угла отрицательный, то скалярное произведение векторов, которые образуют тупой угол, является тоже отрицательным.

Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:

Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.


  1. Геометрическая интерпретация.

    Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

    →a * →b = →|a| * →|b| * cosα



  2. Алгебраическая интерпретация.

Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:

  • Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, то есть cosα > 0.
  • Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα < 0.
  • Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение равно 0 так как , то есть cosα = 0.

Скалярное произведение в координатах

Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов →a и →b.

То есть для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид: (→a, →b) = ax*bx + ay*by

А для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz) в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так: (→a, →b) = ax*bx + ay*by + az*bz

Докажем это определение:


  1. Сначала докажем равенства

    для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.

    Отложим от начала координат (точка О) векторы →OB = →b = (bx, by) и →OA = →a = (ax, ay)

    Тогда, →AB = →OB — →OA = →b — →a = (bx — ax, by — ay)


  2. Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов можно записать:

    Так как:


    то последнее равенство можно переписать так:


    а по первому определению скалярного произведения имеем


    откуда



  3. Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем

  4. Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств (→a, →b) = |→a|*|→b|*cos(→a, →b) = ax*bx + ay*by + ax*bz для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz), заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

  5. Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости (→a, →a) = ax2 + ay2 в пространстве (→a, →a) = ax2 + ay2 + az2.

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В плоской задаче скалярное произведение векторов a = {ax ; ay} и b = {bx ; by} можно найти по формуле:

a * b = ax * bx + ay * by

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В пространственной задаче скалярное произведение векторов a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} можно найти по формуле:

a * b = ax * bx + ay * by + az * bz

Формула скалярного произведения n-мерных векторов

В n-мерном пространстве скалярное произведение векторов a = {a1; a2; … ; an} и b = {b1; b2; … ; bn} можно найти по формуле:

a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + … + an * bn

Свойства скалярного произведения

Свойства скалярного произведения векторов:


  1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. В результате получается нуль, если вектор равен нулевому вектору.

    →а * →а > 0

    →0 * →0 = 0


  2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

    →a * →a = →∣∣a∣∣2


  3. Операция скалярного произведения коммуникативна, то есть соответствует переместительному закону:

    →a * →b = →b * →a


  4. Операция скалярного умножения дистрибутивна, то есть соответствует распределительному закону:

    (→a + →b) * →c = →a * →c + →b * →c


  5. Сочетательный закон для скалярного произведения:

    (k * →a) * →b = k * (→a * →b)


  6. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны, то есть перпендикулярны друг другу:

    a ≠ 0, b ≠ 0, a * b = 0 <=> a ┴ b

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения (→a, →b) = (→b, →a)

По определению (→a, →b) = ax*bx + ay*by и (→b, →a) = bx*ax + by*ay. В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо ax*bx = bx*ax b ay*by = by*ay, тогда ax*bx + ay*by = bx*ax + by*ay.

Следовательно, (→a, →b) = (→b, →a), что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.

Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть,


и,


откуда следует:



 

Примеры вычислений скалярного произведения

Пример 1.

Вычислите скалярное произведение двух векторов →a и →b, если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.

Как решаем:

У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:

(→a,→b) = →|a| * →|b| * cos(→a,→b) = 3 * 7 cos60° = 3 * 7 * 1/2 = 21/2 = 10,5.

Ответ: (→a,→b) = 21/2 = 10,5.

Пример 2.

Найти скалярное произведение векторов →a и →b, если →|a| = 2, →|b| = 5, ∠(→a,→b) = π/6.

Как решаем:

Используем формулу →a * →b = →|a| * →|b| * cosα.

В данном случае:

→a * →b = →|a| * →|b| * cosα = 2 * 5 * cosπ/6 = 10 * √3/2 = 5√3

Ответ: →a * →b = 5√3.

Пример 3.

Как найти скалярное произведение векторов →a = 7*→m + 3*→n и →b = 5*→m + 8*→n, если векторы →m и →n перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.

Как решаем:


По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем


Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:


В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид


Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем


Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:


Ответ: (→a,→b) = 411.

Пример 4.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AB1 и BC1.


Как решаем:


  1. Введем систему координат.

    Если сделать выносной рисунок основания призмы, получим понятный плоскостной рисунок с помощью которого можно легко найти координаты всех интересующих точек.



  2. Точка А имеет координаты (0;0;0). Точка С — (1;0;0). Точка В — (1/2;√3/2;0). Тогда точка В1 имеет координаты (1/2;√3/2;1), а точка С1 – (1;0;1).

  3. Найдем координаты векторов →AB1 и →BC1:

  4. Найдем длины векторов →AB1 и →BC1:

  5. Найдем скалярное произведение векторов →AB1 и →BC1:

  6. Найдем косинус угла между прямыми AB1 и BC1:

Ответ: 1/4.

Пример 5.

а) Проверить ортогональность векторов: →a(1; 2; -4) и →b(6; -1; 1) .

б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки KL и MN, если K(3;5), L(-2;0), M(8;-1), N(1;4).

Как решаем:

а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение: →ab = 1*6 + 2*(-1) + (-4)*1 = 0, следовательно


б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости, а задача всё равно решается через векторы. Найдем их: →KL(-2-3; 0-5) = →KL(-5; -5), →MN(1-8; 4-(-1)) = →MN(-7;5)

Вычислим их скалярное произведение: →KL*→MN = -5*(-7) + (-5)*5 = 10 ≠ 0, значит, отрезки KL и MN не перпендикулярны.

Обратите внимание на два существенных момента:

  • В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.
  • В окончательном выводе подразумевается, что если векторы не ортогональны, значит, соответствующие отрезки тоже не будут перпендикулярными. Геометрически это очевидно, поэтому можно сразу записывать вывод об отрезках, что они не перпендикулярны.

Ответ: а) →a перпендикулярно →b, б) отрезки KL, MN не перпендикулярны.

Пример 6.

Даны три вершины треугольника A(-1; 0), B(3; 2), C(5; -4). Найти угол при вершине B — ∠ABC.

Как решаем:

По условию чертеж выполнять не требуется, но для удобства можно сделать:


Требуемый угол ∠ABC помечен зеленой дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: ∠ABC — особое внимание на среднюю букву B — это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно также записать просто ∠B.

Из чертежа видно, что угол ∠ABC треугольника совпадает с углом между векторами →BA и →BC, иными словами: ∠ABC = ∠(→BA; →BC).

Найдем векторы:


Вычислим скалярное произведение:


Вычислим длины векторов:


Найдем косинус угла:


Когда такие примеры не будут вызывать трудностей, можно начать записывать вычисления в одну строчку:


Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

Найдём сам угол:


Если посмотреть на чертеж, то результат действительно похож на правду. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром.

Ответ: ∠ABC = arccos(1/5√2) ≈1,43 рад. ≈ 82°

Важно не перепутать, что в задаче спрашивалось про угол треугольника, а не про угол между векторами. Поэтому указываем точный ответ: arccos(1/5√2) и приближенное значение угла: ≈1,43 рад. ≈ 82°, которое легко найти с помощью калькулятора.

А те, кому мало и хочется еще порешать, могут вычислить углы ∠A, ∠C, и убедиться в справедливости канонического равенства ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Чтобы знания превратились в практический навык — запишите ребенка на бесплатный вводный урок математики в Skysmart. На занятии покажем, как все устроено, решим пару задачек и дадим рекомендации по программе обучения для вашего ребенка.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра

Понятие вектора

      Рассмотрим две произвольные точки. Если соединить эти точки стрелкой (рис.1),

Рис.1

то мы получим вектор.

      Точку, из которой стрелка выходит, называют началом вектора. Точку, в которую стрелка входит, называют концом вектора.

      Чтобы отличить вектор от отрезка с концами в тех же точках, используют обозначение     (рис.2) или     (рис.3).

Рис.2Рис.3
Рис.2
Рис.3

      Иногда для вектора используют обозначения     (рис.4) или     (рис.5).

Рис.4Рис.5
Рис.4
Рис.5

      Если две точки (начало и конец вектора) совпадают, то говорят, что эти точки задают нулевой вектор.

Координаты вектора

      Рассмотрим произвольный вектор     и предположим, что в пространстве задана декартова прямоугольная система координат   Oxyz   (рис. 6).

Рис.6

      Если в системе координат   Oxyz   точки   A   и   B   имеют координаты

A = (a1a2a3)       и       B = (b1b2b3) ,(1)

то координатами вектора     называют набор чисел

(2)

      Этот определение часто формулируют так: «Для того, чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора».

      Замечание. В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на некоторой координатной плоскости, в формулах (1) и (2) не будет третьих координат. Если же рассматриваются векторы, лежащие на некоторой координатной прямой, то в формулах (1) и (2) останутся только первые координаты.

Длина вектора

      Длиной (модулем) произвольного вектора     называют длину отрезка   AB

      Длина вектора   ,   координаты которого имеют вид

вычисляется по формуле

(3)

      Этот факт часто формулируют так: «Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат».

      Замечание. В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на координатной плоскости, формула (3) принимает вид

(4)

и совпадает с формулой, позволяющей найти расстояние между двумя точками координатной плоскости.

      В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на координатной прямой, формулы (3) и (4) принимают вид

.

Равенство векторов

      Векторы называют коллинеарными векторами, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

      Два вектора

      и      

являются коллинеарными векторами тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

      Другими словами, векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число t, что выполняются равенства

a1 = tb1,       a2 = tb2,       a3 = tb3.

      Два вектора называют сонаправленными, если, во-первых, они коллинеарные, а, во-вторых, направлены так, как показано на рисунке 7.

      Другими словами, если совместить начала этих векторов, то они окажутся лежащими на одной прямой, при этом будут направлены в одну сторону (концы векторов будут лежать на одном луче).

Рис.7

      Два вектора называют противоположно направленными, если, во-первых, они коллинеарные, а, во-вторых, направлены так, как показано на рисунке 8.

      Другими словами, если совместить начала этих векторов, то они окажутся лежащими на одной прямой, при этом будут направлены в разные стороны (концы векторов будут лежать по разные стороны от их общего начала).

Рис.8

      Определение. Два вектора равны, если, во-первых, они сонаправленные, а, во-вторых, имеют одинаковую длину.

      Другими словами, если совместить начала этих векторов, то их концы совпадут.

      Замечание. Два вектора равны тогда и только тогда, когда у них совпадают наборы координат.

Умножение вектора на число

      В результате умножения любого вектора     на любое действительное число   k   получается такой вектор   ,   который удовлетворяет следующим условиям:

  1. При   k > 0   вектор     сонаправлен с вектором   ;
  2. При   k < 0   вектор     противоположно направлен с вектором   ;
  3. Длина вектора     равна длине вектора   ,   умноженной на число   |k|.

      Если вектор     имеет координаты

то вектор     имеет координаты

      Другими словами, если вектор умножается на число, то и все его координаты умножаются на это число.

Сложение и вычитание векторов

      Для того, чтобы найти сумму двух произвольных векторов     и     нужно совместить начало вектора     с концом вектора   .   Тогда началом вектора     будет начало вектора   ,   а концом вектора     будет конец вектора     (рис.9).

Рис.9

      При этом, если

      и      

то

      Этот факт часто формулируют так: «При сложении векторов их координаты складываются».

      Для того, чтобы найти разность двух произвольных векторов     и     нужно воспользоваться формулой

      Операция вычитания двух векторов наглядно изображена на рисунке 10.

Рис.10

      При этом, если

      и      

то

      Этот факт часто формулируют так: «Для того, чтобы найти координаты вектора   ,   нужно из координат вектора     вычесть координаты вектора   ».

Скалярное произведение векторов

      Определение. Скалярным произведением векторов      и   ,   которое обозначается     называют число, равное произведению длин векторов      и   ,   умноженному на косинус угла между этими векторами (рис.11).

Рис.11

      Таким образом,

(5)

      Из формулы (5) вытекает соотношение

которое можно сформулировать так: «Модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя».

      Следствие 1. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

      Утверждение. Если в декартовой прямоугольной системе координат векторы имеют координаты

      и       (6)

то их скалярное произведение выражается формулой:

(7)

      Другими словами, в декартовой прямоугольной системе координат скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

      Замечание. Зная координаты векторов (6), из формул (3), (5) и (7) можно найти косинус угла между векторами      и  

Примеры решения задач

      Пример 1. При каких значениях параметра   p   векторы     и     перпендикулярны?

      Решение. Воспользовавшись формулой (7), получим

      Ответ: 4.

      Пример 2. При каких значениях параметров   α   и   β   векторы   (α; – 2; 5)   и   (1; β; – 4)   коллинеарны?

      Решение. Векторы, в силу изложенного выше, являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число t, что выполняются равенства:

      Ответ:   .

      Пример 3. Длины векторов     и     равны   2   и   1 ,   соответственно, а угол между ними равен   60° . Найти длину вектора   .

      Решение. Рассмотрим рисунок 12.

Рис.12

      Воспользовавшись теоремой косинусов, получим

      Ответ: .

      Пример 4. Длины векторов  и равны 3 и 1, соответственно, а угол между ними равен   60°.   Найти длину вектора .

      Решение. Рассмотрим рисунок 13.

Рис.13

      Воспользовавшись теоремой косинусов, получим

      Ответ:   .

      Пример 5. Найти угол между векторами   (3; 6; 2)   и   (4; 7; 4) .

      Решение. Воспользовавшись формулой (8), получим

      Ответ:   .

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ • Большая российская энциклопедия

ВЕ́КТОРНОЕ ИСЧИСЛЕ́НИЕ, раз­дел ма­те­ма­ти­ки, в ко­то­ром изу­ча­ют­ся век­то­ры евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва и опе­ра­ции над ни­ми.

Воз­ник­но­ве­ние В. и. свя­за­но с по­треб­но­стя­ми ме­ха­ни­ки и фи­зи­ки. Ос­но­вы В. и. бы­ли за­ло­же­ны ис­сле­до­ва­ния­ми У. Га­миль­то­на и Г. Грас­сма­на (1844–1850). Их идеи бы­ли ис­поль­зо­ва­ны Дж. К. Мак­свел­лом в его ра­бо­тах по элек­три­че­ст­ву и маг­не­тиз­му. Совр. вид В. и. при­дал Дж. Гиббс. Зна­чительный вклад в раз­ви­тие В. и. внёс М. В. Ос­т­ро­град­ский.

Векторная алгебра

Век­то­ром на­зы­ва­ет­ся на­прав­лен­ный от­ре­зок пря­мой, у ко­то­ро­го один ко­нец (точ­ка $A$) счи­та­ет­ся на­ча­лом, дру­гой (точ­ка $B$) – кон­цом век­то­ра. Обыч­но век­то­ры обо­зна­ча­ют­ся $AB, \overline{AB}, \overrightarrow{AB}, \boldsymbol a, \bar a, \vec a$, или про­сто $a$. Век­тор, на­ча­ло и ко­нец ко­то­ро­го сов­па­да­ют, на­зы­ва­ет­ся ну­ле­вым и обыч­но обо­зна­ча­ет­ся $\boldsymbol 0$ или 0. Ха­рак­те­ри­сти­ка­ми век­то­ра яв­ля­ют­ся его мо­дуль (дли­на), ко­то­рый ра­вен дли­не от­рез­ка $AB$ (обо­зна­ча­ет­ся $|AB|$), и на­прав­ле­ние от $A$ к $B$. Ну­ле­во­му век­то­ру при­пи­сы­ва­ют лю­бое на­прав­ле­ние. Все ну­ле­вые век­то­ры счи­та­ют­ся рав­ны­ми. Век­тор еди­нич­ной дли­ны на­зы­ва­ет­ся еди­нич­ным век­то­ром или ор­том. Век­то­ры на­зы­ва­ют­ся кол­ли­не­ар­ны­ми, ес­ли они ле­жат ли­бо на од­ной пря­мой, ли­бо на па­рал­лель­ных пря­мых, и ком­пла­нар­ны­ми, ес­ли они ле­жат на од­ной плос­ко­сти. Век­тор на­зы­ва­ет­ся сво­бод­ным, ес­ли его на­чаль­ная точ­ка мо­жет быть вы­бра­на про­из­воль­но. Обыч­но два век­то­ра на­зы­ва­ют­ся рав­ны­ми, ес­ли они кол­ли­не­ар­ны, име­ют оди­на­ко­вую дли­ну и оди­на­ко­во на­прав­ле­ны.

Кро­ме сво­бод­ных век­то­ров в ме­ха­нике и фи­зи­ке час­то рас­смат­ри­ва­ют­ся век­то­ры, ко­то­рые ха­рак­те­ри­зу­ют­ся мо­ду­лем, на­прав­ле­ни­ем и по­ло­же­ни­ем на­чаль­ной точ­ки (точ­кой при­ло­же­ния). Та­кие век­то­ры на­зы­ва­ют­ся свя­зан­ны­ми. Свя­зан­ные век­то­ры счи­та­ют­ся рав­ны­ми, ес­ли они име­ют не толь­ко рав­ные мо­дули и оди­на­ко­вые на­прав­ле­ния, но и об­щую точ­ку при­ло­же­ния. Мно­же­ст­во рав­ных ме­ж­ду со­бой век­то­ров, рас­по­ло­жен­ных на од­ной пря­мой, на­зы­ва­ет­ся сколь­зя­щим век­то­ром. За­да­ние сколь­зя­ще­го или свя­зан­но­го век­то­ра мо­жет быть за­ме­не­но за­да­ни­ем двух сво­бод­ных век­торов. В В. и. рас­смат­ри­ва­ют­ся толь­ко сво­бод­ные век­то­ры.

В век­тор­ной ал­геб­ре рас­смат­ри­ва­ют­ся ли­ней­ные опе­ра­ции над век­то­ра­ми, т.  е. сло­же­ние век­то­ров и ум­но­же­ние век­то­ра на дей­ст­ви­тель­ное чис­ло.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Сум­мой $a+b$ век­то­ров $a$ и $b$ на­зы­ва­ет­ся век­тор, иду­щий из на­ча­ла век­то­ра $a$ в ко­нец век­то­ра $b$ при ус­ло­вии, что на­ча­ло век­то­ра $b$ при­ло­же­но к кон­цу век­то­ра $a$ (рис. 1), этот век­тор ра­вен так­же диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма, по­стро­ен­но­го на век­то­рах $a$ и $b$ (рис. 2). По­строе­ние сум­мы не­сколь­ких век­то­ров по­ка­зано на рис. 3.

Про­из­ве­де­ни­ем $\alpha a$ век­то­ра $a$ и чис­ла $\alpha$ на­зы­ва­ет­ся век­тор, кол­ли­не­ар­ный век­то­ру $a$, имею­щий дли­ну $|\alpha|\cdot |a|$ и на­прав­ле­ние, сов­па­даю­щее с на­прав­ле­ни­ем $a$ при $\alpha > 0$ и про­ти­во­по­лож­ное при $\alpha < 0$. Ес­ли $\alpha =0$ или/и $a=0$, то $\alpha a = 0$.

Век­тор $-1\cdot a$ на­зы­ва­ет­ся про­ти­во­по­лож­ным век­то­ру $a$ и обо­зна­ча­ет­ся $-a$.

Опе­ра­ции сло­же­ния век­то­ров и ум­но­же­ния век­то­ра на чис­ло об­ла­да­ют свой­ст­ва­ми $a+b = b+a, (a+b)+c = a+(b+c), a+0 = a, a+(-a) = 0, 1\cdot a=a, \alpha(\beta a) = (\alpha\beta)a, \alpha(a+b) = \alpha a +\alpha b, (\alpha +\beta)a = \alpha a +\beta a$, где $a,b,c$ – век­то­ры, а $\alpha$ и $\beta$ – дей­ст­ви­тель­ные чис­ла. Раз­но­стью $a-b$ век­то­ров $a$ и $b$ на­зы­ва­ет­ся век­тор $x$ та­кой, что $x+b = a, x = a+(-b)$. Мно­же­ст­во всех век­то­ров евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва с вве­дён­ны­ми в нём опе­ра­ция­ми сло­же­ния и ум­но­же­ния на чис­ло об­ра­зу­ет век­тор­ное про­стран­ст­во.

В век­тор­ной ал­геб­ре час­то ис­поль­зу­ют­ся по­ня­тия ли­ней­ной за­ви­си­мо­сти и ли­ней­ной не­за­ви­си­мо­сти век­то­ров. Век­то­ры $a_1, \ldots , a_n$ на­зы­ва­ют­ся ли­ней­но за­ви­си­мы­ми, ес­ли су­ще­ст­ву­ют чис­ла $\alpha_1, \ldots , \alpha_n$, из ко­то­рых хо­тя бы од­но от­лич­но от нуля, та­кие, что ли­ней­ная ком­би­на­ция $\alpha_1 a_1 + \ldots + \alpha_n a_n = 0$, т.  е. сум­ма век­то­ров в ле­вой час­ти это­го ра­вен­ст­ва рав­на ну­ле­во­му век­то­ру. В про­тив­ном слу­чае век­то­ры $a_1, \ldots, a_n$ на­зы­ва­ют­ся ли­ней­но не­за­ви­си­мы­ми.

Рис. 4.

В ме­ха­ни­ке и фи­зи­ке обыч­но ис­поль­зу­ют­ся дву­мер­ные и трёх­мер­ные век­тор­ные про­стран­ст­ва. В трёх­мер­ном про­стран­ст­ве су­ще­ст­ву­ют трой­ки ли­ней­но не­за­ви­си­мых век­то­ров, лю­бые че­ты­ре век­то­ра ли­ней­но за­ви­си­мы; в дву­мер­ном про­стран­ст­ве, т. е. на плос­ко­сти, су­ще­ст­ву­ют па­ры ли­ней­но не­за­ви­си­мых век­то­ров, лю­бые три век­то­ра ли­ней­но за­ви­си­мы. Ли­ней­но не­за­ви­си­мые век­то­ры $e_1, e_2, e_3$ трёх­мер­но­го евк­ли­до­ва про­стран­ст­ва об­ра­зу­ют ба­зис, т. е. лю­бой век­тор $a$ мо­жет быть един­ст­вен­ным об­ра­зом пред­став­лен в ви­де $a = a_1e_1 + a_2e_2 + a_3e_3$, где $a_1, a_2, a_3$ – чис­ла, на­зы­вае­мые ко­ор­ди­на­та­ми (ком­по­нен­та­ми) век­то­ра $a$ в дан­ном ба­зи­се. Век­тор $a$ c ко­ор­ди­на­та­ми $a_1, a_2, a_3$ час­то за­пи­сы­ва­ют в ви­де $a=(a_1,a_2, a_3)$. Три вза­им­но ор­то­го­наль­ных (пер­пен­ди­ку­ляр­ных) век­то­ра, дли­ны ко­то­рых рав­ны еди­ни­це и ко­то­рые обыч­но обо­зна­ча­ют $i, j, k,$ об­ра­зу­ют т. н. ор­то­нор­ми­ро­ван­ный ба­зис. Ес­ли на­ча­ла этих век­то­ров по­мес­тить в не­ко­то­рую точ­ку $O$, то по­лу­чит­ся де­кар­то­ва пря­мо­уголь­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат в трёх­мер­ном про­стран­ст­ве (рис. 4). Ука­зан­ным вы­ше ли­ней­ным опе­ра­ци­ям над век­то­ра­ми со­от­вет­ст­ву­ют ана­ло­гич­ные опе­ра­ции над их ко­ор­ди­на­та­ми: ес­ли век­то­ры $a$ и $b$ име­ют ко­ор­ди­на­ты $(a_1, a_2, a_3)$ и $(b_1, b_2, b_3)$, то сум­ма $a+b$ этих век­то­ров име­ет ко­ор­ди­на­ты $(a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3)$, а век­тор $\alpha a$ име­ет ко­ор­ди­на­ты $(\alpha a_1,\alpha a_2, \alpha a_3)$.

Раз­ви­тие и при­ме­не­ние век­тор­ной ал­геб­ры тес­но свя­за­ны с разл. век­тор­ны­ми про­из­ве­де­ния­ми: ска­ляр­ным, век­тор­ным и сме­шан­ным. 2}}$$

Рис. 5.

При оп­ре­де­ле­нии век­тор­но­го про­из­ве­де­ния ис­поль­зу­ет­ся по­ня­тие ле­вой и пра­вой упо­ря­до­чен­ных троек век­то­ров. Упо­ря­до­чен­ная трой­ка век­то­ров $a, b, c$ ($a$ — пер­вый, $b$ — вто­рой, $c$ — тре­тий век­то­ры), при­ве­дён­ных к об­ще­му на­ча­лу и не ле­жа­щих в од­ной плос­ко­сти, на­зы­ва­ет­ся пра­вой (ле­вой), ес­ли они рас­по­ла­га­ют­ся так, как рас­по­ла­га­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но боль­шой, ука­за­тель­ный и сред­ний паль­цы пра­вой (ле­вой) ру­ки. На рис. 5 изо­бра­же­ны сле­ва – пра­вая, а спра­ва – ле­вая трой­ки век­то­ров.

Век­тор­ным про­из­ве­де­ни­ем век­то­ров $a$ и $b$ на­зы­ва­ет­ся век­тор, обо­зна­чае­мый $[a ,b]$, та­кой, что дли­на век­то­ра $[a, b]$ рав­на про­из­ве­де­нию длин век­то­ров $a$ и $b$ на си­нус уг­ла $\varphi$ ме­ж­ду ни­ми, и ес­ли $a$ и $b$ не­кол­ли­не­ар­ны, то век­тор $[a, b]$ пер­пен­ди­ку­ля­рен век­то­рам $a$ и $b$ и на­прав­лен так, что трой­ка век­то­ров $a, b, [a, b]$ яв­ля­ет­ся пра­вой. В слу­чае, ес­ли $a$ и $b$ кол­ли­не­ар­ны, то $[a, b] = 0$. Век­тор­ное про­из­ве­де­ние об­ла­да­ет сле­дую­щи­ми свой­ст­ва­ми:

$$[a ,b] = — [b, a], \quad [(\alpha a), b] = \alpha [a, b],$$ $$[c, (a + b)] = [c, a] + [c, b],$$ $$[a, [b, c]] = b(a, c) — c(a, b),$$ $$([a, b], [c, d]) = (a, c)(b, d) — (a, d)(b, c),$$

где $a, b, c, d$ — век­то­ры, $\alpha$ — чис­ло.

Ес­ли в ор­то­нор­ми­ро­ван­ном ба­зи­се $i, j, k$, об­ра­зую­щем пра­вую трой­ку, век­то­ры $a$ и $b$ име­ют со­от­вет­ст­вен­но ко­ор­ди­на­ты $(a_1, a_2, a_3)$ и $(b_1, b_2, b_3)$, то

$$[a,b] = (a_2b_3 — a_3b_2, a_3b_1 — a_1b_3, a_1b_2 — a_2b_1),$$

или

$$[a, b] = \begin {vmatrix} i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

По­ня­тие век­тор­но­го про­из­ве­де­ния при­ме­ня­ет­ся в разл. за­да­чах ме­ха­ни­ки и фи­зи­ки. Напр., мо­мент си­лы $F$, при­ло­жен­ной к точ­ке $M$, от­но­си­тель­но точ­ки $O$ ра­вен век­тор­но­му про­из­ве­де­нию $[\overline{OM}, F]$.

Сме­шан­ным про­из­ве­де­ни­ем век­то­ров $a, b$ и $c$ на­зы­ва­ет­ся чис­ло, обо­зна­чае­мое $abc$, рав­ное ска­ляр­но­му про­из­ве­де­нию $([a, b], c)$ век­то­ра $[a, b]$ на век­тор $c$. Сме­шан­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров $a, b$ и $c$, не па­рал­лель­ных од­ной плос­ко­сти, рав­но объ­ё­му па­рал­ле­ле­пи­пе­да, по­стро­ен­но­го на при­ве­дён­ных к об­ще­му на­ча­лу век­то­рах $a, b$ и $c$, взя­то­му со зна­ком плюс, ес­ли трой­ка $a, b, c$ пра­вая, и со зна­ком ми­нус, ес­ли трой­ка ле­вая. Ес­ли век­то­ры $a, b$ и $c$ па­рал­лель­ны од­ной плос­ко­сти, то $abc = 0$. Спра­вед­ли­вы так­же ра­вен­ст­ва $abc = bca = cab$. Ес­ли ко­ор­ди­на­ты век­то­ров $a, b$ и $c$ в ор­то­нор­ми­ро­ван­ном ба­зи­се $i, j, k$, об­ра­зую­щем пра­вую трой­ку, суть $(a_1, a_2, a_3), (b_1, b_2, b_3)$ и $(c_1, c_2, c_3)$, то

$$abc = \begin {vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end {vmatrix}$$

Вектор-функции скалярных аргументов

Рис. 6.

В ме­ха­ни­ке, фи­зи­ке, диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии ши­ро­ко ис­поль­зу­ет­ся по­ня­тие век­тор-функ­ции од­но­го или не­сколь­ких ска­ляр­ных ар­гу­мен­тов. Ес­ли ка­ж­до­му зна­че­нию пе­ре­мен­ной $t$ из не­ко­то­ро­го мно­же­ст­ва $\{t\}$ ста­вит­ся в со­ответ­ст­вие оп­ре­де­лён­ный век­тор $r$, то го­во­рят, что на мно­же­ст­ве $\{t\}$ за­да­на век­тор-функ­ция (век­тор­ная функ­ция) $r = r(t)$. Т. к. век­тор $r$ оп­ре­де­ля­ет­ся ко­ор­ди­на­та­ми $(x, y, z)$ в ба­зи­се $i, j, k$, то за­да­ние век­тор-функ­ции $r = r(t)$ эк­ви­ва­лент­но за­да­нию трёх ска­ляр­ных функ­ций $x = x(t), y = y(t), z=z(t)$.

По­ня­тие век­тор-функ­ции ста­но­вит­ся на­гляд­ным, ес­ли об­ра­тить­ся к го­до­гра­фу этой функ­ции, т. е. мно­же­ст­ву кон­цов всех век­то­ров $r(t)$, при­ло­жен­ных к на­ча­лу ко­ор­ди­нат $O$ (рис. 6). Ес­ли при этом рас­смат­ри­вать ар­гу­мент $t$ как вре­мя, то век­тор-функ­ция $r(t)$ пред­став­ляет со­бой за­кон дви­же­ния точ­ки $M$, дви­жу­щей­ся по кри­вой $L$ – го­до­гра­фу функ­ции $r(t)$. {\prime}].$$

В диф­фе­рен­ци­аль­ной гео­мет­рии век­тор-функ­ции од­но­го ар­гу­мен­та ис­поль­зу­ют­ся для за­да­ния кри­вых. Для за­да­ния по­верх­но­стей поль­зу­ют­ся век­тор-функ­ция­ми двух ар­гу­мен­тов.

Векторный анализ

В ме­ха­ни­ке, фи­зи­ке и гео­мет­рии ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся по­ня­тия ска­ляр­ных и век­тор­ных по­лей. Темп-ра не­рав­но­мер­но на­гре­той пла­сти­ны и плот­ность не­од­но­род­но­го те­ла пред­став­ля­ют со­бой фи­зич. при­ме­ры со­от­вет­ст­вен­но плос­ко­го и про­стран­ст­вен­но­го ска­ляр­ных по­лей. При­ме­ра­ми век­тор­но­го по­ля яв­ля­ют­ся мно­же­ст­во всех век­то­ров ско­ро­стей час­тиц ус­та­но­вив­ше­го­ся по­то­ка жид­ко­сти, по­ле си­лы тя­же­сти и на­пря­жён­ность элек­трич. по­ля.

Для ма­те­ма­тич. за­да­ния ска­ляр­ных и век­тор­ных по­лей ис­поль­зу­ют­ся со­от­вет­ст­вен­но ска­ляр­ные и век­тор­ные функ­ции. Плот­ность те­ла пред­став­ля­ет со­бой ска­ляр­ную функ­цию точ­ки, а по­ле ско­ро­стей час­тиц ус­та­но­вив­ше­го­ся по­то­ка жид­ко­сти – век­тор­ную функ­цию точ­ки. Для гео­мет­рич. ха­рак­те­ри­сти­ки ска­ляр­но­го по­ля ис­поль­зу­ют­ся по­ня­тия ли­ний и по­верх­но­стей уров­ня. Ли­ни­ей уров­ня плос­ко­го ска­ляр­но­го по­ля на­зы­ва­ет­ся ли­ния, на ко­то­рой функ­ция, за­даю­щая по­ле, име­ет по­сто­ян­ное зна­че­ние. Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся по­верх­ность уров­ня про­стран­ст­вен­но­го ска­ляр­но­го по­ля. При­ме­ра­ми ли­ний уров­ня мо­гут слу­жить изо­тер­мы – ли­нии уров­ня ска­ляр­но­го по­ля тем­пе­ра­тур не­рав­но­мер­но на­гре­той пла­сти­ны.

Пусть $M$ – про­из­воль­ная точ­ка на ли­нии (по­верх­но­сти) уров­ня ска­ляр­но­го по­ля. При дви­же­нии точ­ки $M$ по ли­нии (по­верх­но­сти) уров­ня функ­ция $f$, за­даю­щая по­ле, не ме­ня­ет­ся, а макс. из­ме­не­ние функ­ции $f$ про­ис­хо­дит при сме­ще­нии по нор­ма­ли к этой ли­нии (по­верх­но­сти) в точ­ке $M$. Это из­ме­не­ние ха­рак­те­ри­зу­ет­ся с по­мо­щью т. н. гра­ди­ен­та ска­ляр­но­го по­ля. Гра­ди­ент пред­став­ля­ет со­бой век­тор, на­прав­лен­ный по нор­ма­ли к ли­нии (по­верх­но­сти) уров­ня в точ­ке $M$ в сто­ро­ну воз­рас­та­ния $f$ в этой точ­ке. Ве­ли­чи­на гра­ди­ен­та рав­на про­из­вод­ной функ­ции $f$ в ука­зан­ном на­прав­ле­нии. Гра­ди­ент обо­зна­ча­ет­ся сим­во­лом $grad \:f$. В ба­зи­се $i, j, k$ гра­ди­ент $grad \:f$ име­ет ко­ор­ди­на­ты $(\partial f/{\partial x}, \partial f/{\partial y}, \partial f/{\partial z})$ (для плос­ко­го по­ля $(\partial f/{\partial x}, \partial f/{\partial y})$). Гра­ди­ент ска­ляр­но­го по­ля пред­став­ля­ет со­бой век­тор­ное по­ле.

Рис. 8.

Рис. 7.

Для век­тор­ных по­лей вво­дят­ся по­ня­тия век­тор­ной ли­нии, век­тор­ной труб­ки, цир­ку­ля­ции, ди­вер­ген­ции и вих­ря (ро­то­ра). Пусть в не­ко­то­рой об­лас­ти $\Omega$ за­да­но век­тор­ное по­ле с по­мо­щью век­тор­ной функ­ции $a= a(M)$ пе­ре­мен­ной точ­ки $M$ из $\Omega$. Ли­ния $L$ в об­лас­ти $\Omega$ на­зы­ва­ет­ся век­тор­ной ли­ни­ей, ес­ли век­тор ка­са­тель­ной в ка­ж­дой её точ­ке $M$ на­прав­лен по век­то­ру $a(M)$ (рис.  7). Ес­ли по­ле $a$ – по­ле ско­ро­стей час­тиц ста­цио­нар­но­го по­то­ка жид­ко­сти, то век­тор­ные ли­нии это­го по­ля – тра­ек­то­рии час­тиц жид­ко­сти. Часть про­стран­ст­ва в $\Omega$, со­стоя­щая из век­тор­ных ли­ний, на­зы­ва­ет­ся век­тор­ной труб­кой (рис. 8). В слу­чае век­тор­но­го по­ля ско­ро­стей час­тиц ста­цио­нар­но­го по­то­ка жид­ко­сти век­тор­ная труб­ка есть часть про­стран­ст­ва, ко­то­рую «за­ме­та­ет» при сво­ём пе­ре­ме­ще­нии не­ко­то­рый объ­ём жид­ко­сти.

Пусть $AB$ – не­ко­то­рая глад­кая ли­ния в $\Omega, l$ – дли­на ду­ги, от­счи­ты­вае­мая от точ­ки $A$ до пе­ре­мен­ной точ­ки $M$ этой ли­нии, $t$ – еди­нич­ный век­тор ка­са­тель­ной к $AB$ в $M$. Цир­ку­ля­ци­ей по­ля $a$ вдоль кри­вой $AB$ на­зы­ва­ет­ся ве­ли­чи­на

$$\int _{AB} (a, t) dl.$$

Ес­ли $a$ – си­ло­вое по­ле, то цир­ку­ля­ция $a$ вдоль $AB$ пред­став­ля­ет со­бой ра­бо­ту это­го по­ля вдоль пу­ти $AB$.

Ди­вер­ген­ци­ей век­тор­но­го по­ля $a$, имею­ще­го в ба­зи­се $i, j, k$ ко­ор­ди­на­ты $P, Q, R$, на­зы­ва­ет­ся сум­ма

$$\partial P/{\partial x} + \partial Q/{\partial y} + \partial R/{\partial z},$$

ко­то­рая обо­зна­ча­ет­ся $\mathrm{div}\:a$.  Напр., ди­вер­ген­ция гра­ви­та­ци­он­но­го по­ля, соз­да­вае­мо­го не­ко­то­рым рас­пре­де­ле­ни­ем масс, рав­на объ­ём­ной плот­но­сти $\rho (x, y, z)$ это­го по­ля, ум­но­жен­ной на $4\pi$.

Вихрь (ро­тор) век­тор­но­го по­ля $a$ пред­став­ля­ет со­бой век­тор­ную ха­рак­тери­сти­ку вра­ща­тель­ной со­став­ляю­щей это­го по­ля, вихрь по­ля $a$, обо­зна­чае­мый $\mathrm{rot} \:a$, ра­вен

$$\left ( \frac {\partial R}{\partial y} — \frac {\partial Q}{\partial z}, \frac {\partial P}{\partial z} — \frac {\partial R}{\partial x}, \frac {\partial Q}{\partial x} — \frac {\partial P}{\partial y}  \right).$$

На­хо­ж­де­ние гра­ди­ен­та ска­ляр­но­го по­ля, ди­вер­ген­ции и вих­ря век­тор­но­го по­ля обыч­но на­зы­ва­ют осн. диф­фе­рен­ци­аль­ны­ми опе­ра­ция­ми век­тор­но­го ана­ли­за. Спра­вед­ли­вы сле­дую­щие фор­му­лы, свя­зы­ваю­щие эти опе­ра­ции:

$$\mathrm {grad} (fh) = f\: \mathrm {grad}\:h + h\:\mathrm {grad}\: f, $$ $$ \mathrm {div} (fa) = (a, \mathrm {grad}\: f) + f\: \mathrm {div}\: a,$$ $$\mathrm {rot} (fa) = f\: \mathrm {rot}\: a + [\mathrm {grad}\: f, a],$$ $$\mathrm {div} [a, b] = (b, \mathrm {rot}\: a) — (a, \mathrm {rot}\: b),$$

где $f$ и $h$ – ска­ляр­ные, а $a$ и $b$ – век­тор­ные по­ля. Век­тор­ное по­ле $a$ на­зы­ва­ет­ся по­тен­ци­аль­ным по­лем, ес­ли это по­ле пред­став­ля­ет со­бой гра­ди­ент не­ко­то­ро­го ска­ляр­но­го по­ля $f$. При этом по­ле $f$ на­зы­ва­ет­ся по­тен­циа­лом век­тор­но­го по­ля $a$. Для то­го что­бы по­ле $a$, ко­ор­ди­на­ты ко­то­ро­го $P, Q, R$ име­ют не­пре­рыв­ные ча­ст­ные про­из­вод­ные, бы­ло по­тен­ци­аль­ным, не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы в ка­ж­дой точ­ке об­лас­ти $\Omega$ вихрь это­го по­ля был ра­вен ну­лю. Ес­ли в од­но­связ­ной об­лас­ти $\Omega$ за­да­но по­тен­ци­аль­ное по­ле $a$, то по­тен­ци­ал $f$ это­го по­ля мо­жет быть най­ден по фор­му­ле

$$f(M) = \int_{AM} (a, t) dl,$$

в ко­то­рой $AM$ – лю­бая глад­кая кри­вая, со­еди­няю­щая фик­си­ро­ван­ную точ­ку $A$ из $\Omega$ с точ­кой $M, t$ – еди­нич­ный век­тор ка­са­тель­ной к кри­вой $AM$ и $l$ – дли­на ду­ги $AM$, от­счи­ты­вае­мая от точ­ки $A$.

Век­тор­ное по­ле $a$ на­зы­ва­ет­ся со­ле­нои­даль­ным, или труб­ча­тым, ес­ли это по­ле пред­став­ля­ет со­бой вихрь не­ко­то­ро­го по­ля $b$.  При этом по­ле $b$ на­зы­ва­ет­ся век­тор­ным по­тен­циа­лом по­ля $a$. Для то­го что­бы по­ле $a$ бы­ло со­ле­нои­даль­ным, не­об­хо­ди­мо и дос­та­точ­но, что­бы в ка­ж­дой точ­ке об­лас­ти $\Omega$ ди­вер­ген­ция это­го по­ля бы­ла рав­на ну­лю. Век­тор­ное по­ле $a$, для ко­то­ро­го $\mathrm {div} \:a = 0, \mathrm {rot} \: a = 0$, на­зы­ва­ет­ся гар­мо­ни­че­ским.

В век­тор­ном ана­ли­зе важ­ную роль иг­ра­ют ин­те­граль­ные со­от­но­ше­ния: Ост­ро­град­ско­го фор­му­ла, име­нуе­мая так­же ос­нов­ной фор­му­лой век­тор­но­го ана­ли­за, и Сто­кса фор­му­ла.

Координаты и векторы. Исчерпывающий гид (ЕГЭ — 2021)

Нам нужно найти угол между прямыми \( \displaystyle SB\) и \( \displaystyle CD\).

Таким образом, наша задача сводится к поиску координат точек: \( \displaystyle S,B,C,D\).

Координаты последних трех мы найдем по маленькому рисунку, а коодинату вершины \( \displaystyle S\) найдем через координату точки \( \displaystyle O\).

Работы навалом, но надо к ней приступать!

a) Координата \( \displaystyle D\): ясно, что ее аппликата и ордината равны нулю. \circ \)

Опять-таки, при решении этой задачи я не использовал никаких изошренных приемов, кроме формулы суммы углов правильного n-угольника, а также определения косинуса и синуса прямоугольного треугольника.

3. Поскольку нам опять не даны длины ребер в пирамиде, то я буду считать их равными единице.

Таким образом, поскольку ВСЕ ребра, а не только боковые, равны между собой, то в основании пирамиды и меня лежит квадрат, а боковые грани – правильные треугольники.

Изобразим такую пирамиду, а также ее основание на плоскости, отметив все данные, приведенные в тексте задачи:

Базис (Лекция №17)

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ

  1. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. если .

    Действительно, используя свойства операций умножения вектора на число и сложении векторов будем иметь

    .

    При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, т. е. если .

    Доказательство очевидно.

    Условие коллинеарности двух векторов в коорднинатной форме.

    Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. Т.е. если , то.

    Доказательство:

    1. Пусть вектор коллинеарен , тогда найдется λ такое, что . Значит, и . Поскольку разложение вектора по элементам базиса единственно, то .
    2. Пусть выполняется равенство . Обозначим коэффициент пропорциональности через λ. Тогда и, следовательно, , т.е. . Теорема доказана.

      Пример.

      1. Даны векторы . Найти вектор .

        .

      2. Найти координаты вектора в базисе, образованном векторами , , .

        Обозначим координаты вектора в новом базисе . Тогда в новом базисе будем иметь:

        Итак, .

      Рассмотрим две произвольные точки и . Найдем координаты вектора .

      Очевидно, что . Но по определению координат вектора и . Следовательно,

      Таким образом, чтобы найти координаты вектора , нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала.

      Примеры.

      1. Заданы точкиA(1; -2; 3), B(2; 0; -1). Найти вектор .

      2. Даны A(-2; 3; 1), В(-1; 2; 0), С(0; 1; 1). Найти .

      3. Известно, что. Найти координаты точки D, если

        А(3; -4; -1), В(-4; 4; 1), С(-3; -5; 4).

        Пусть тогда

        . С другой стороны . Следовательно, должно выполняться равенство (x+3; y+5; z-4)=(5;10;-8). Отсюда

        x=2, y=5, z=-4, т.е. точка D имеет координаты D(2; 5; -4).

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА

Мы рассмотрели умножение вектора на число. Однако во многих задачах механики и физики встречается операция умножения вектора на вектор. Но при этом результат может быть как числом, так и вектором. Поэтому рассматривают два вида умножения векторов: скалярное и векторное.

Пусть даны два вектора и , угол между, которыми равен .

Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение обозначается . Итак, .

Если один из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное произведение по определения считается равным нулю.

Рассмотрим свойства скалярного произведения.

  1. Скалярное произведение двух векторов подчиняется коммутативному закону, т.е. для любых векторов и .

    Очевидно, из определения скалярного произведения:

    .

  2. Для любого числа λ и любых векторов имеем:

    .

    Доказательство. Ограничимся случаем, когда λ > 0. В этом случае угол между векторами и совпадает с углом между векторами и , .

    Поэтому . Откуда

    Аналогично доказывается и равенство .

    Случай λ <0 рассмотреть самостоятельно.

  3. Для любых векторов выполняется равенство .

    Доказательство. Используя определение скалярного произведения и свойства проекций вектора на ось, будем иметь

  4. Для любого вектора выполняется соотношение.

    Действительно, так как , то .

    Из этого свойства в частности следует .

  5. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда,когда равен нулю один из сомножителей или векторы перпендикулярны.

    Это свойство очевидно из определения скалярного произведения.

    Таким образом, необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

    Пример. Дан вектор . Известно, что

    Найти .

    Имеем, т.е. .

    Найдем:

    Следовательно, .

Рассмотрим, как находится скалярное произведение векторов, если они заданы в координатной форме. Пусть даны два вектора и .

Рассмотрим сначала все возможные скалярные произведения векторов друг на друга.

Поэтому

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат: .

Это соотношение позволяет вычислить длину вектора через его координаты:

.

Далее из определения скалярного произведения находим

.

Выражая скалярное произведение и длины векторов через их координаты,получим формулу для нахождения косинуса угла между векторами

.

Условие ортогональности двух векторов:

или .

Т.о., для того чтобы два вектора были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений соответствующих координат этих векторов была равна нулю.

Примеры.

  1. Пусть А(-1; 1; 0), B(3; 1; -2), . Найти:
    1. ;
    2. и ;
    3. .
      1. .
      2. .
      3. .
  2. Найти в , если известны координаты его вершин A(1; 5; 6),

    B(5; 3; 10), C(2; 1; 14).

  3. При каком значении m векторы и перпендикулярны?

    Условие ортогональности двух векторов .

    . Следовательно, m = 15.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА

Введем сначала понятие ориентации тройки векторов.

Пусть даны три некомпланарных вектора с общим началом, перечисленных в определенном порядке: первый – , второй – , третий – .

Тройка некомпланарных векторов называется правоориентированной или просто правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройку векторов называют левой, в этом случае если мы будем смотреть с конца вектора , то кратчайший поворот от к осуществляется по часовой стрелке.

Векторным произведением векторов и называется новый вектор , удовлетворяющий условиям:

  1. Длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и .
  2. Вектор перпендикулярен плоскости этого параллелограмма.
  3. Он направлен так, что векторы и образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение векторов и обозначается символом . Если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то векторное произведение по определению считают равным нулю

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

  1. Из определения следует, что длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах, и, следовательно, находится по формуле:

    .

    Таким образом, и .

  2. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак .

    Действительно из определения векторного произведения следует, что векторы и имеют одинаковые модули, расположены на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Поэтому, векторы и являются противоположными векторами и поэтому .

  3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. для любого числа λ и любых векторов

    .

    Доказательство этого свойства непосредственно следует из определения векторного произведения. Докажем для λ > 0. В этом случае . Тогда по определению векторного произведения

    Вектор перпендикулярен векторам и . Вектор также векторам и , т.к. векторы и , и лежат в одной плоскости. Следовательно, векторы и коллинеарны. Очевидно, что направления их также совпадают. Т. к. , и следовательно, , то .

    Поэтому .

    Аналогично проводится доказательство для случая λ < 0.

  4. Для любых векторов имеет место равенство

    .

    Примем без доказательства.

  5. Векторное произведение двух векторов равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы коллинеарны.

    Действительно, если векторы коллинеарны, то , т.е. площадь параллелограмма, построенного на данных векторах,равна нулю.

    Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.

    В частности .

Примеры.

  1. Раскрыть скобки

    .

  2. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и , если известно, что и .

    .

    Найдем .

    .

Можно показать, что если и , то координаты векторного произведения векторов и находятся по формуле:

.

Примеры.

  1. Найти векторное произведение векторов и .

    .

  2. Найти площадь , если A(2; 3; 1), B(-1; -2; 0), C(-3; 0; 1).

  3. Даны векторы . Найти параметры n, p, q если известно, что векторы и коллинеарны, а векторы и ортогональны.

    Так как векторы и коллинеарны, то . Векторы и ортогональны, поэтому . Итак, получили систему уравнений

Векторы | ЕГЭ по математике (профильной)

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом, называется вектором.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначают ${(АВ)}↖{→}$ или строчной (маленькой) буквой, например ${а}↖{→}$

Любая точка плоскости является вектором. В этом случае вектор называется нулевым.

Модуль (длину) вектора обозначают $|АВ|↖{→}$.

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если они направлены в одну сторону.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Сумма векторов — это вектор, который можно получить двумя способами.

  1. Правило треугольника (А)
  2. Правило параллелограмма (Б)


Для любых векторов $a↖{→}, b↖{→}, c↖{→}$ справедливы равенства:

  1. $a↖{→}+b↖{→}=b↖{→}+a↖{→}$(переместительный закон)
  2. $(a↖{→}+b↖{→})+c↖{→}=a↖{→}+(b↖{→}+c↖{→})$ (сочетательный закон)

Разность векторов тоже можно получить двумя способами:

Если надо найти разность двух векторов, их необходимо отложить из одной точки. Результирующий вектор направлен к уменьшаемому.

Для любых $a↖{→}$ и $b↖{→}$ справедливо равенство $a↖{→}-b↖{→}=a↖{→}+({-b}↖{→})$

Скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.$a↖{→}⋅b↖{→}=|a↖{→}|·|b↖{→}|·cos⁡α$

Ненулевые векторы $a↖{→}$ и $b↖{→}$ перпендикулярны, если их произведение равно нулю.2}}$

Найдите угол между векторами $a↖{→}$ и $b↖{→}$


Решение:

  1. Сначала нужно найти координаты векторов $a↖{→}$ {2-0;6-0} $b↖{→}${8-0;4-0}
  2. Найдем скалярное произведение векторов $a↖{→}·b↖{→} = 2·8+6·4=16+24=40$
  3. Найдем длины каждого вектора $|a↖{→}|= √{4+36}=√{40}; |b↖{→}|=√{64+16}=√{80}$
  4. Найдем косинус угла между векторами $cosα={40}/{√{40}·√{80}}={40}/{√{40·40·2}}={1}/{√2}={√2}/{2}$
  5. Найдем угол $α=arccos{√2}/{2}=45$

Ответ: 45

Сравнение двух векторов

Математика и естественные науки были изобретены людьми для описания и понять мир вокруг нас. Мы наблюдаем, что есть некоторые количества и процессы в наш мир, который зависит от направления , в котором они происходят, и есть некоторые количества, которые не зависят по направлению. Математики и ученые называют количество которое зависит от направления , вектор, величина . Количество которая не зависит от направления, называется скалярной величиной .А векторная величина имеет две характеристики: звездной величины и направление . При сравнении две векторные величины одного типа, необходимо сравнить обе величина и направление.

На этом слайде мы показываем три примера, в которых два вектора по сравнению. На рисунках векторы обычно обозначаются стрелкой. Длина стрелки указывает величину и кончик стрелки указывает направление.Вектор помечены алфавитным букву с чертой сверху, чтобы отличить ее от скаляра. Наши шрифты для веб-печати не позволяют использовать эту нотацию, поэтому мы будем использовать жирная буква для вектора. Мы будем сравнивать два вектора: и . и b . Это могут быть силы, скорости или ускорения; это не имеет значения.

Пример №1: У нас есть два вектора с одинаковым направлением, но величины (или длины векторов) разные.Вектор а не равно вектору b в этом примере. Этот пример кажется довольно просто, потому что то же правило применяется для скаляров; если величина разная, количества не равны. Объект вес 50 фунтов не равен объекту весом 25 фунтов.

Пример №2: Этот пример немного сложнее. В этом случае у нас есть два вектора с одинаковой величины, но направления разные. Вектор а не равно вектору b в этом примере.Если бы вектор был скорости, это говорит нам о том, что автомобиль, движущийся на 45 миль в час на северо-восток окажется в другом месте, чем другая машина, также едущая со скоростью 45 миль в час прямо на восток. За час они оба пройдут 45 миль, но локации будет иначе. Через два часа они будут еще дальше друг от друга.

Пример № 3: В этом примере у нас есть два вектора одинаковой длины и равное направление. Вектор равен вектору b . Чтобы два вектора были равны, они должны иметь как величину, так и направления равны.


Действия:

Экскурсии с гидом

Навигация ..


Руководство для начинающих Домашняя страница

эквивалентных векторов | векторов, величины, направления

Эквивалентных векторов: Когда два вектора имеют одинаковую величину и направление, такие векторы называются векторами. {2 } $
a = $ \ pm $ 3

Практика на эквивалентных векторах

1) Учитывая, что двумя конечными точками двух векторов являются A (-1, 3), B (2, 4) и C (1, -2), D (4, -1).Докажите, что $ \ left \ | \ vec {AB} \ right \ | $ и $ \ left \ | \ vec {CD} \ right \ | $ — векторы равны?
2) Учитывая, что две конечные точки двух векторов — это P (-1, 4), Q (5, 2) и R (1, -2), S (4, -5). Проверяем, совпадают ли два вектора $ \ left \ | \ vec {PQ} \ right \ | $ и $ \ left \ | \ vec {RS} \ right \ | $ равны векторам? 11 класс по математике

Дом

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

За электронным обучением будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

линейная алгебра — Как лучше всего узнать, равны ли векторы?

линейная алгебра — как лучше всего узнать, равны ли векторы? — Обмен математическими стеками
Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange
  1. 0
  2. +0
  3. Авторизоваться Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено 13к раз

$ \ begingroup $

Может быть, это глупый вопрос, но когда я начал думать об этом, я начал чувствовать себя неуверенно.Вопрос в том, как лучше всего узнать, равны ли векторы или, точнее, собственные векторы? Я хочу сравнить два разных метода, которые генерируют собственные значения и собственные векторы, и я хочу показать, что полученные мной собственные векторы более или менее равны. Я знаю, что могу сравнить норму векторов и посмотреть, равны ли они друг другу, но действительно ли это говорит о том, что равны? У них тоже есть направление! Мои собственные векторы содержат много элементов, поэтому я не могу поставить их рядом друг с другом и сказать: «Смотри! Они равны!».Как лучше всего определить, равны ли два собственных вектора?

Создан 11 мая 2015, 18:49.

Джамилла

14311 золотой знак11 серебряный знак44 бронзовых знака

$ \ endgroup $ 3 $ \ begingroup $

Вы можете вычислить скалярное произведение двух векторов, и если они параллельны (в одном направлении), их скалярное произведение будет равно произведению их индивидуальных норм.Затем вы можете проверить нормы и посмотреть, равны ли и (одинаковые величины).

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *