Равный вектор — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Равный вектор

Cтраница 1

Равные векторы обычно не различают между собой и обозначают одинаково.  [1]

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты; если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.  [2]

Равные векторы имеют одинаковые проекции на координатные оси.  [3]

Равные векторы имеют одинаковые компоненты.  [4]

Равные векторы имеют и равные координаты в фиксированной системе координат.  [5]

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты; если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.  [6]

Равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине.  [7]

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. И обратно: если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.  [8]

Равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.  [9]

Равные векторы одинаково направлены и имеют равные длины. Обратно, если векторы одинаково направлены и имеют равные длины, то они равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному и притом только один.  [10]

Равные векторы АВ

Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.  [12]

Класс равных векторов называется4 свободным вектором, или просто вектором.  [13]

Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.  [14]

Так как равные векторы задают один и тот же параллельный перенос и обратно, каждому параллельному переносу ТАВ соответствует множество всех векторов, равных вектору АВ, то параллельный перенос также называют вектором.  [15]

Страницы:      1    2    3

Откладывание вектора от данной точки / Векторы / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Векторы
5. Откладывание вектора от данной точки

Если точка  А — начало вектора , то говорят, что вектор отложен от точки А.

Утверждение

Если — нулевой вектор, то искомым вектором является вектор .

Если — ненулевой вектор: пусть точки А и В — его начало и конец. Проведём через точку М прямую рАВ ( если точка М принадлежит прямой АВ, то в качестве прямой р возьмём саму прямую АВ).

На прямой р отложим отрезки MN = MN’

Замечание

Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой. Иногда про такие векторы говорят, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Понятие вектора

Равенство векторов

Сумма двух векторов

Сумма нескольких векторов

Вычитание векторов

Произведение вектора на число

Применение векторов к решению задач

Средняя линия трапеции

Векторы

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 753, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 754, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 757, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 758, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 775, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 6, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 7, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 9, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 12, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 14, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

© budu5.com, 2021

Пользовательское соглашение

Copyright

Нахождение вектора, перпендикулярного данному вектору, примеры и решения

Мы рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов, решим по методу нахождения вектора, перпендикулярному заданному, затронем ситуации по отысканию вектора, который перпендикулярен двум векторам.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

Применим правило о перпендикулярных векторах на плоскости и в трехмерном пространстве.

При условии значения угла между двумя ненулевыми векторами равным 90°( π2 радиан) называют

Что это значит, и в каких ситуациях необходимо знать про их перпендикулярность?

Установление перпендикулярности возможно через чертеж. При отложении вектора на плоскости от заданных точек можно геометрически измерить угол между ними. Перпендикулярность векторов если и будет установлена, то не совсем точно. Чаще всего данные задачи не позволяют делать это при помощи транспортира, поэтому данный метод применим только в случае, когда ничего больше о векторах неизвестно.

Большинство случаев доказательства перпендикулярности двух ненулевых векторов на плоскости или в пространстве производится с помощью необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов

Скалярное произведение двух ненулевых векторов a→ и b→ равном нулю для выполнения равенства a→, b→=0 достаточно для их перпендикулярности.

Пусть заданные векторы a→ и b→ перпендикулярны, тогда выполним доказательство равенства a⇀, b→=0. векторов a→ и b→ равен  90°. По определению это и есть необходимое и достаточное свойство.

Условие перпендикулярности на координатной плоскости

Раздел скалярного произведения в координатах демонстрирует неравенство (a→, b→)=ax·bx+ay·by, справедливое для векторов с координатами a→=(ax, ay) и b→=(bx, by), на плоскости и (a→,b→)=ax·bx+ay·by для векторов a→=(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz) в пространстве. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов в координатной плоскости имеет вид ax·bx+ay·by=0, для трехмерного пространства ax·bx+ay·by+az·bz=0.

Применим на практике и рассмотрим на примерах.

Проверить свойство перпендикулярности двух векторов a→=(2, -3),  b→=(-6, -4).

Решение

Для решения данной задачи необходимо найти скалярное произведение. Если по условию оно будет равным нулю, значит, они перпендикулярны.

(a→, b→)=ax·bx+ay·by=2·(-6)+(-3)·(-4)=0. Условие выполнено, значит, заданные векторы перпендикулярны на плоскости.

Ответ: да, заданные векторы a→ и b→ перпендикулярны.

Даны координатные векторы i→, j→, k→. Проверить, могут ли векторы i→-j→ и i→+2·j→+2·k→ быть перпендикулярными.

Решение

Для того, чтобы вспомнить, как определяются координаты вектора, нужно прочитать статью про координаты вектора в прямоугольной системе координат. Таким образом получаем, что у заданных векторов i→-j→ и i→+2·j→+2·k→ имеются соответствующие координаты (1,-1, 0) и (1, 2, 2). Подставляем числовые значения и получаем: i→+2·j→+2·k→, i→-j→=1·1+(-1)·2+0·2=-1.

Выражение не равно нулю, (i→+2·j→+2·k→, i→-j→)≠0, а это означает, что векторы i→-j→ и i→+2·j→+2·k→ не перпендикулярны, так как условие не выполнилось.

Ответ: нет, векторы i→-j→ и i→+2·j→+2·k→  не перпендикулярны.

Даны векторы a→=(1,0,-2) и b→=(λ, 5, 1). Найти значение λ, при котором данные векторы перпендикулярны.

Решение

Используем условие перпендикулярности двух векторов в пространстве в квадратной форме, тогда получим

ax·bx+ay·by+az·bz=0 ⇔1·λ+0·5+(-2)·1=0 ⇔λ=2

 Ответ: векторы перпендикулярны при значении λ=2.

Имеются случаи, когда вопрос о перпендикулярности невозможен даже при необходимом и достаточном условии. При известных данных о трех сторонах треугольника на двух векторах, возможно, найти угол между векторами и проверить его.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Дан треугольник АВС со сторонами АВ=8, АС=6, ВС=10 см. проверить на перпендикулярность векторы AB→ и AC→.

Решение

При перпендикулярности векторов AB→ и AC→ треугольник ABC считается прямоугольным. Тогда применим теорему Пифагора, где ВС – гипотенуза треугольника. Равенство BC2=AB2+AC2 должно выполниться. Отсюда следует, что 102=82+62⇔100=100. Значит, АВ и АС являются катетами треугольника АВС, следовательно, AB→ и AC→ перпендикулярны.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному

Важно научиться находить координаты вектора, перпендикулярного заданному. Это возможно как на плоскости, так и в пространстве при условии перпендикулярности векторов.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному в плоскости.

Ненулевой вектор a→ может иметь бесконечное количество перпендикулярных векторов на плоскости. Изобразим это на координатной прямой.

Задан ненулевой вектор a→, лежащий на прямой а. Тогда заданный b→, расположенный на любой прямой, перпендикулярной прямой а, становится перпендикулярным иa→. Если вектору i→ перпендикулярен вектор j→ или любой из векторов λ·j→при λ равной любому действительному числу кроме нуля, то нахождение координат вектора b→, перпендикулярному a→=(ax, ay), сводится к бесконечному множеству решений. Но необходимо найти координаты вектора, перпендикулярного a→=(ax, ay). Для этого необходимо записать условие перпендикулярности векторов в такой форме ax·bx+ay·by=0. Имеем bx и by , являющиеся искомыми координатами перпендикулярного вектора. Когда ax≠0, значение by является ненулевым, а bx вычислим из неравенства ax·bx+ay·by=0 ⇔bx=-ay·byax. При ax=0 и ay≠0 присваиваем bx любое значение кроме нуля, а by находим из выражения by=-ax·bxay.

Дан вектор с координатами a→=(-2, 2). Найти перпендикулярный данному вектор.

Решение

 Обозначим искомый вектор как b→(bx, by). Найти его координаты можно из условия перпендикулярности векторов a→ и b→. Тогда получим: (a→, b→)=ax·bx+ay·by=-2·bx+2·by=0. Присвоим by=1 и подставим: -2·bx+2·by=0⇔-2·bx+2=0. Отсюда из формулы получим bx=-2-2=12. Значит, вектор b→=(12, 1) является вектором, перпендикулярным a→.

Ответ: b→=(12, 1).

Если ставится вопрос о трехмерном пространстве, задача решается по такому же принципу. При заданном векторе a→=(ax, ay, az) существует бесконечное множество перпендикулярных векторов. Зафиксирует это на координатной трехмерной плоскости. Дана a→ , лежащая на прямой a. Перпендикулярную прямой a плоскость обозначаем α. В этом случае любой ненулевой вектор b→ из плоскости α перпендикулярен a→.

Необходимо найти координаты b→, перпендикулярного ненулевому вектору a→=(ax, ay, az).

Пусть задан b→ с координатами bx, by и bz. Чтобы найти их, необходимо применить определение условия перпендикулярности двух векторов. Равенство ax·bx+ay·by+az·bz=0 должно выполняться. Из условия a→ — ненулевой, значит, одна из координат имеет значение не равное нулю. Предположим, что ax≠0, ( ay≠0 или az≠0). Следовательно, имеем право разделить на эту координату все неравенство ax·bx+ay·by+az·bz=0, получим выражениеbx+ay·by+az·bzax=0⇔bx=-ay·by+az·bzax. Присваиваем координатам by и bx любое значение, вычисляем значение bx, исходя из формулы, bx=-ay·by+az·bzax. Искомый перпендикулярный вектор будет иметь значение a→=(ax, ay, az).

Рассмотрим доказательство на примере.

Дан вектор с координатами a→=(1, 2, 3) . Найти вектор, перпендикулярный данному.

Решение

Обозначим искомый вектор за b→=(bx, by, bz). Исходя из условия о перпендикулярности векторов, скалярное произведение должно быть равным нулю.

a⇀, b⇀=0⇔ax·bx+ay·by+az·bz=0⇔1·bx+2·by+3·bz=0⇔bx=-(2·by+3·bz)

Если значение by=1, bz=1, тогда bx=-2·by-3·bz=-(2·1+3·1)=-5. Отсюда следует, что координаты вектора b→(-5, 1, 1). Вектор b→ является одним из перпендикулярных векторов заданному.

Ответ: b→=(-5, 1, 1).

Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам

Нужно найти координаты вектора в трехмерном пространстве. Он перпендикулярен не коллинеаренным векторамa→(ax, ay, az) и b→=(bx, by, bz). При условии коллинеарности векторов a→ и b→ в задаче достаточно будет найти вектор, перпендикулярный a→ или b→.

При решении применяется понятие векторного произведения векторов.

Векторным произведением векторов a→ и b→ называют вектор, одновременно перпендикулярный и a→ и b→. Для решения данной задачи применяется векторное произведение a→×b→. Для трехмерного пространства имеет вид a→×b→=a→j→k→axayazbxbybz

Разберем подробнее векторное произведение на примере задачи.

Заданы векторы b→=(0, 2, 3) и a→=(2, 1, 0). Найти координаты любого перпендикулярного вектора данным одновременно.

Решение

Для решения необходимо найти векторное произведение векторов. (Необходимо обратиться к пункту вычисления определителя матрицы для нахождения вектора). Получим :

a→×b→=i→j→k→210023=i→·1·3+j→·0·0+k→·2·2-k→·1·0-j→·2·3-i→·0·2=3·i→+(-6)·j→+4·k→

Ответ: (3, -6, 4) — координаты вектора, одновременно перпендикулярного заданным a→ и b→.

100 NumPy задач | Python 3 для начинающих и чайников

100 (на самом деле, пока меньше) задач для NumPy, перевод английского варианта https://github.com/rougier/numpy-100

print(np.__version__)
np.show_config()

Z = np.zeros(10)
print(Z)

Z = np.full(10, 2.5)
print(Z)

python3 -c "import numpy; numpy.info(numpy.add)"

Z = np.zeros(10)
Z[4] = 1
print(Z)

Z = np.arange(10,50)
print(Z)

Z = np.arange(50)
Z = Z[::-1]

Z = np.arange(9).reshape(3,3)
print(Z)

nz = np.nonzero([1,2,0,0,4,0])
print(nz)

Z = np.random.random((3,3,3))
print(Z)

Z = np.random.random((10,10))
Zmin, Zmax = Z.min(), Z.max()
print(Zmin, Zmax)

Z = np.random.random(30)
m = Z.mean()
print(m)

Z = np.ones((10,10))
Z[1:-1,1:-1] = 0

0 * np.nan
np.nan == np.nan
np.inf > np.nan
np.nan - np.nan
0.3 == 3 * 0.1

Z = np.diag(np.arange(1, 5), k=-1)
print(Z)

Z = np.zeros((8,8), dtype=int)
Z[1::2,::2] = 1
Z[::2,1::2] = 1
print(Z)

print(np.unravel_index(100, (6,7,8)))

Z = np.tile(np.array([[0,1],[1,0]]), (4,4))
print(Z)

Z = np.dot(np.ones((5,3)), np.ones((3,2)))
print(Z)

Z = np.arange(11)
Z[(3 < Z) & (Z <= 8)] *= -1

Z = np.zeros((5,5))
Z += np.arange(5)
print(Z)

def generate():
    for x in xrange(10):
        yield x
Z = np.fromiter(generate(),dtype=float,count=-1)
print(Z)

Z = np.linspace(0,1,12)[1:-1]
print(Z)

Z = np.random.random(10)
Z.sort()
print(Z)

A = np.random.randint(0,2,5)
B = np.random.randint(0,2,5)
equal = np.allclose(A,B)
print(equal)

Z = np.zeros(10)
Z.flags.writeable = False
Z[0] = 1

Z = np.random.random((10,2))
X,Y = Z[:,0], Z[:,1]
R = np.hypot(X, Y)
T = np.arctan2(Y,X)
print(R)
print(T)

Z = np.random.random(10)
Z[Z.argmax()] = 0
print(Z)

Z = np.zeros((10,10), [('x',float),('y',float)])
Z['x'], Z['y'] = np.meshgrid(np.linspace(0,1,10),
                             np.linspace(0,1,10))
print(Z)

X = np.arange(8)
Y = X + 0.5
C = 1.0 / np.subtract.outer(X, Y)
print(np.linalg.det(C))

for dtype in [np.int8, np.int32, np.int64]:
   print(np.iinfo(dtype).min)
   print(np.iinfo(dtype).max)
for dtype in [np.float32, np.float64]:
   print(np.finfo(dtype).min)
   print(np.finfo(dtype).max)
   print(np.finfo(dtype).eps)

np.set_printoptions(threshold=np.nan)
Z = np.zeros((25,25))
print(Z)

Z = np.arange(100)
v = np.random.uniform(0,100)
index = (np.abs(Z-v)).argmin()
print(Z[index])

 Z = np.zeros(10, [ ('position', [ ('x', float, 1),
                                   ('y', float, 1)]),
                    ('color',    [ ('r', float, 1),
                                   ('g', float, 1),
                                   ('b', float, 1)])])
print(Z)

import scipy.spatial

Z = np.random.random((10,2))
D = scipy.spatial.distance.cdist(Z,Z)
print(D)

Z = np.arange(10, dtype=np.int32)
Z = Z.astype(np.float32, copy=False)

1,2,3,4,5
6,,,7,8
,,9,10,11

Z = np.genfromtxt("missing.dat", delimiter=",")

Z = np.arange(9).reshape(3,3)
for index, value in np.ndenumerate(Z):
    print(index, value)
for index in np.ndindex(Z.shape):
    print(index, Z[index])

X, Y = np.meshgrid(np.linspace(-1,1,10), np.linspace(-1,1,10))
D = np.hypot(X, Y)
sigma, mu = 1.0, 0.0
G = np.exp(-((D - mu) ** 2 / (2.0 * sigma ** 2)))
print(G)

n = 10
p = 3
Z = np.zeros((n,n))
np.put(Z, np.random.choice(range(n*n), p, replace=False), 1)

X = np.random.rand(5, 10)
Y = X - X.mean(axis=1, keepdims=True)

Z = np.random.randint(0,10,(3,3))
n = 1  # Нумерация с нуля
print(Z)
print(Z[Z[:,n].argsort()])

Z = np.random.randint(0,3,(3,10))
print((~Z.any(axis=0)).any())

Z = np.ones(10)
I = np.random.randint(0,len(Z),20)
Z += np.bincount(I, minlength=len(Z))
print(Z)

w,h = 16,16
I = np.random.randint(0, 2, (h,w,3)).astype(np.ubyte)
F = I[...,0] * 256 * 256 + I[...,1] * 256 + I[...,2]
n = len(np.unique(F))
print(np.unique(I))

A = np.random.randint(0,10, (3,4,3,4))
sum = A.reshape(A.shape[:-2] + (-1,)).sum(axis=-1)
print(sum)

# Slow version
np.diag(np.dot(A, B))

# Fast version
np.sum(A * B.T, axis=1)

# Faster version
np.einsum("ij,ji->i", A, B).

Z = np.array([1,2,3,4,5])
nz = 3
Z0 = np.zeros(len(Z) + (len(Z)-1)*(nz))
Z0[::nz+1] = Z
print(Z0)

A = np.arange(25).reshape(5,5)
A[[0,1]] = A[[1,0]]
print(A)

faces = np.random.randint(0,100,(10,3))
F = np.roll(faces.repeat(2,axis=1),-1,axis=1)
F = F.reshape(len(F)*3,2)
F = np.sort(F,axis=1)
G = F.view( dtype=[('p0',F.dtype),('p1',F.dtype)] )
G = np.unique(G)
print(G)

C = np.bincount([1,1,2,3,4,4,6])
A = np.repeat(np.arange(len(C)), C)
print(A)

def moving_average(a, n=3):
    ret = np.cumsum(a, dtype=float)
    ret[n:] = ret[n:] - ret[:-n]
    return ret[n - 1:] / n

print(moving_average(np.arange(20), 3))

from numpy.lib import stride_tricks

def rolling(a, window):
    shape = (a.size - window + 1, window)
    strides = (a.itemsize, a.itemsize)
    return stride_tricks.as_strided(a, shape=shape, strides=strides)
Z = rolling(np.arange(10), 3)
print(Z)

Z = np.random.randint(0,2,100)
np.logical_not(arr, out=arr)

Z = np.random.uniform(-1.0,1.0,100)
np.negative(arr, out=arr)

def distance(P0, P1, p):
    T = P1 - P0
    L = (T**2).sum(axis=1)
    U = -((P0[:,0] - p[...,0]) * T[:,0] + (P0[:,1] - p[...,1]) * T[:,1]) / L
    U = U.reshape(len(U),1)
    D = P0 + U * T - p
    return np.sqrt((D**2).sum(axis=1))

P0 = np.random.uniform(-10,10,(10,2))
P1 = np.random.uniform(-10,10,(10,2))
p  = np.random.uniform(-10,10,( 1,2))
print(distance(P0, P1, p))

Z = np.random.randint(0,10, (10,10))
shape = (5,5)
fill  = 0
position = (1,1)

R = np.ones(shape, dtype=Z.dtype)*fill
P  = np.array(list(position)).astype(int)
Rs = np.array(list(R.shape)).astype(int)
Zs = np.array(list(Z.shape)).astype(int)

R_start = np.zeros((len(shape),)).astype(int)
R_stop  = np.array(list(shape)).astype(int)
Z_start = (P - Rs//2)
Z_stop  = (P + Rs//2)+Rs%2

R_start = (R_start - np.minimum(Z_start, 0)).tolist()
Z_start = (np.maximum(Z_start, 0)).tolist()
R_stop = np.maximum(R_start, (R_stop - np.maximum(Z_stop-Zs,0))).tolist()
Z_stop = (np.minimum(Z_stop,Zs)).tolist()

r = [slice(start,stop) for start,stop in zip(R_start,R_stop)]
z = [slice(start,stop) for start,stop in zip(Z_start,Z_stop)]
R[r] = Z[z]
print(Z)
print(R)

Z = np.random.uniform(0,1,(10,10))
rank = np.linalg.matrix_rank(Z)

Z = np.random.randint(0,10,50)
print(np.bincount(Z).argmax())

Z = np.random.randint(0,5,(10,10))
n = 3
i = 1 + (Z.shape[0] - n)
j = 1 + (Z.shape[1] - n)
C = stride_tricks.as_strided(Z, shape=(i, j, n, n), strides=Z.strides + Z.strides)
print(C)

# Note: only works for 2d array and value setting using indices

class Symetric(np.ndarray):
    def __setitem__(self, (i,j), value):
        super(Symetric, self).__setitem__((i,j), value)
        super(Symetric, self).__setitem__((j,i), value)

def symetric(Z):
    return np.asarray(Z + Z.T - np.diag(Z.diagonal())).view(Symetric)

S = symetric(np.random.randint(0,10,(5,5)))
S[2,3] = 42
print(S)

p, n = 10, 20
M = np.ones((p,n,n))
V = np.ones((p,n,1))
S = np.tensordot(M, V, axes=[[0, 2], [0, 1]])
print(S)

# It works, because:
# M is (p,n,n)
# V is (p,n,1)
# Thus, summing over the paired axes 0 and 0 (of M and V independently),
# and 2 and 1, to remain with a (n,1) vector.

Z = np.ones((16,16))
k = 4
S = np.add.reduceat(np.add.reduceat(Z, np.arange(0, Z.shape[0], k), axis=0),
                                       np.arange(0, Z.shape[1], k), axis=1)

def iterate(Z):
    # Count neighbours
    N = (Z[0:-2,0:-2] + Z[0:-2,1:-1] + Z[0:-2,2:] +
         Z[1:-1,0:-2]                + Z[1:-1,2:] +
         Z[2:  ,0:-2] + Z[2:  ,1:-1] + Z[2:  ,2:])

    # Apply rules
    birth = (N == 3) & (Z[1:-1,1:-1]==0)
    survive = ((N == 2) | (N == 3)) & (Z[1:-1,1:-1] == 1)
    Z[...] = 0
    Z[1:-1,1:-1][birth | survive] = 1
    return Z

Z = np.random.randint(0,2,(50,50))
for i in range(100):
    print(Z)
    Z = iterate(Z)

Z = np.arange(10000)
np.random.shuffle(Z)
n = 5

print (Z[np.argpartition(-Z,n)[:n]])

def cartesian(arrays):
    arrays = [np.asarray(a) for a in arrays]
    shape = map(len, arrays)

    ix = np.indices(shape, dtype=int)
    ix = ix.reshape(len(arrays), -1).T

    for n, arr in enumerate(arrays):
        ix[:, n] = arrays[n][ix[:, n]]

    return ix

print(cartesian(([1, 2, 3], [4, 5], [6, 7])))

A = np.random.randint(0,5,(8,3))
B = np.random.randint(0,5,(2,2))

C = (A[..., np.newaxis, np.newaxis] == B)
rows = (C.sum(axis=(1,2,3)) >= B.shape[1]).nonzero()[0]
print(rows)

Z = np.random.randint(0,5,(10,3))
E = np.logical_and.reduce(Z[:,1:] == Z[:,:-1], axis=1)
U = Z[~E]
print(Z)
print(U)

I = np.array([0, 1, 2, 3, 15, 16, 32, 64, 128], dtype=np.uint8)
print(np.unpackbits(I[:, np.newaxis], axis=1))

Z = np.random.randint(0, 2, (6,3))
T = np.ascontiguousarray(Z).view(np.dtype((np.void, Z.dtype.itemsize * Z.shape[1])))
_, idx = np.unique(T, return_index=True)
uZ = Z[idx]
print(uZ)

# Make sure to read: http://ajcr.net/Basic-guide-to-einsum/

np.einsum('i->', A)       # np.sum(A)
np.einsum('i,i->i', A, B) # A * B
np.einsum('i,i', A, B)    # np.inner(A, B)
np.einsum('i,j', A, B)    # np.outer(A, B)

Глава 5. Закон сохранения импульса

Импульсом тела называется векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость

Импульсом системы тел называют векторную сумму импульсов всех тел, входящих в эту систему. С импульсом связаны два закона, которые можно использовать для нахождения скоростей тел.

Через изменение импульса тела можно записать второй закон Ньютона. Действительно, поскольку ускорение тела равно

где – изменение скорости тела за бесконечно малый интервал времени , то из второго закона Ньютона получаем для изменения импульса этого тела

где – силы, действующие на данное тело со стороны других тел. Формулу (5.2) принято называть вторым законом Ньютона в импульсной форме.

Для системы тел, которые взаимодействуют только друг с другом, но не с другими телами (такая система тел называется замкнутой), выполняется закон сохранения импульса. Этот закон утверждает, что вектор импульса такой системы тел не изменяется

При решении задачи 5.1.1 следует помнить, что импульс – векторная величина, и потому импульс тела при его вращении по окружности с постоянной по величине скоростью изменяется. В частности, величина изменения импульса тела за половину периода движения по окружности равна (см. рисунок, вычитание векторов выполнено на правой части рисунка). Поэтому правильный ответ в задаче – 2.

Импульс данной в задаче 5.1.2 системы тел находится с помощью векторного сложения импульсов отдельных тел, входящих в систему (см. рисунок). Используя теорему Пифагора, находим величину импульса системы (ответ 4).

В задаче 5.1.3 удобно использовать второй закон Ньютона в импульсной форме (5.2). Поскольку действующая на тело сила постоянна, закон (5.2) можно применить не только к бесконечно малому, но и к конечному интервалу времени. Из закона (5.2) имеем

где и – начальный и конечный импульсы тела, – действующая на тело сила, – время действия силы. Поскольку по условию векторы начального импульса и силы направлены противоположно, находим, проецируя второй закон Ньютона на направление начального импульса кг • м/с (ответ 2).

С помощью второго закона Ньютона в импульсной форме удобно решать и следующую задачу 5.1.4. Применяя этот закон для молотка (при этом надо учесть, что после удара молоток остановился, и, следовательно, ), находим среднюю силу, действующую на него со стороны гвоздя, которая равна силе, действующей со стороны молотка на гвоздь

(ответ 2).

Задача 5.1.5 является очень простой. Однако ее (может быть именно из-за простоты) плохо делают школьники. Поскольку импульс замкнутой системы сохраняется, то у системы тележек в любой момент времени он будет таким же, как и в начальный момент, причем независимо от характера столкновения (сцепились они, или нет, разлетелись и т.д.). А поскольку в начальный момент импульс системы равен 1 кг • м/с, то таким же он будет и в дальнейшем (ответ 1).

Применяя закон сохранения импульса к столкновению тележек из задачи 5.1.6, получим , где – суммарная маска тележек, – их скорость после столкновения. Отсюда находим, что (ответ 3).

Закон сохранения импульса для системы «брусок-пуля» из задачи 5.1.7 дает

где – скорость бруска с застрявшей в нем пулей. Отсюда находим, что (ответ 1).

В задаче 5.1.8 рассматривается столкновение тел, которые после этого слипаются. Если после столкновения тела останавливаются, то импульс этой системы тел после столкновения равен нулю. Следовательно, должен равняться нулю и импульс системы тел до столкновения. Поэтому до столкновения должно выполняться равенство , где , и , – массы и скорости тел до столкновения. Отсюда находим м/с (ответ 3).

Закон сохранения импульса для системы тел пуля-брусок из задачи 5.1.9 имеет вид

где – скорость бруска после того, как его пробила пуля. Поэтому (ответ 1).

Из закона сохранения импульса в задаче 5.1.10

где и – импульсы первого тела до и после столкновения, – импульс второго тела после столкновения, находим

что означает, что вектор скорости второго тела после столкновения направлен так, как это показано на рисунке 3 в условии задачи.

Очевидно, скорость тележки после «аккуратного» сбрасывания тела (т.е. с нулевой скоростью относительно тележки) не изменяется (задача 5.2.1). Действительно, из закона сохранения импульса следует, что скорость тележки изменится, если изменится и скорость тела (так, чтобы не изменился суммарный импульс системы «тележка-тело»). В рассматриваемом же случае скорость тела не изменяется, поэтому не изменяется и скорость тележки.

Закон сохранения импульса для человека и тележки, движущихся в одном направлении (задача 5.2.2), имеет вид

откуда получаем данный в условии задачи ответ 4. Отметим, что остальные данные в условии ответы можно было «отбросить» сразу: в двух из них при одинаковых массах человека и тележки получается нуль в знаменателе (что невозможно), еще один ответ дает нуль для скорости при одинаковых скоростях человека и тележки (а ответ в этом случае, очевидно, должен дать именно эту скорость).

Закон сохранения импульса для системы тел «тележка с песком – шар» из задачи 5.2.3 имеет вид

где , и , – массы и скорости тележки и шара до столкновения, – скорость тележки с шаром после столкновения. Проецируя закон сохранения импульса на ось (см. рисунок), находим

где – проекция вектора на ось . Отсюда следует, что вектор скорости тележки с шаром направлен против оси и равен по величине 0,1 м/с (ответ 2).

Рассмотрим закон сохранения импульса для гранаты (задача 5.2.4) , где и – массы двух осколков, и – их скорости после взрыва. Проецируя этот закон на направление движения гранаты, получаем

где – проекция скорости второго осколка на это направле-ние. Из формулы (1) следует, что второй осколок движется после взрыва противоположно направлению движения гранаты до взрыва, если , поскольку в этом случае проекция вектора на направление движения гранаты до взрыва отрицательна (ответ 2).

Задачи 5.2.5 и 5.2.6 поставлены очень похоже друг на друга, но в первой из них дана скорость человека относительно земли, во второй – относительно тележки. А какую скорость следует использовать в законе сохранения импульса? Вообще-то можно брать скорости в любой системе отсчета, но важно, чтобы все скорости были заданы в одной и той же системе. А поскольку известна начальная скорость тележки относительно земли, удобно все скорости задавать именно в этой системе. В задаче 5.2.5 имеем в системе отсчета, связанной с землей в проекциях на ось, направленную вдоль скорости тележки

где – скорость тележки после столкновения. Отсюда находим

(правильный ответ – 1).

Закон сохранения импульса в задаче 5.2.6

в котором все скорости заданы относительно земли ( – скорость человека относительно земли), необходимо объединить с законом сложения скоростей

где – скорость человека относительно земли, – скорость тележки. Подставляя закон сложения скоростей в закон сохранения импульса, имеем

Проецируя этот векторный закон на направление движения тележки, получим

(правильный ответ – 3). Отметим, что отличие ответов этой и предыдущей задач сводится к отличию их знаменателей.

В задаче 5.2.7 надо рассмотреть закон сохранения импульса в случае, когда скорости тел после столкновения направлены не вдоль одной прямой. Из закона сохранения импульса для снаряда

имеем

Откуда

(правильный ответ – 3).

Поскольку проекция импульса системы тел в задаче 5.2.8 на ось (см. рисунок) равна нулю, после слипания тела будут двигаться вдоль оси . Поэтому из проекции закона сохранения импульса системы на ось

где – скорость тел после столкновения, получаем (ответ 3).

Поскольку импульс начального ядра равен нулю (задача 5.2.9), то равна нулю и векторная сумма импульсов ядер-осколков. Поэтому , где , и – импульсы первого, второго и третьего осколков. По условию векторы и направлены перпендикулярно друг другу. Поэтому величину вектора можно найти по теореме Пифагора

Отсюда находим скорость третьего осколка (ответ 1).

В задаче 5.2.10 сначала рассмотрим движение тела по поверхности горки, когда тело В закреплено и может двигаться только вместе с горкой. Согласно закону сохранения импульса после соскальзывания тела влево горка с телом будет двигаться вправо с некоторой скоростью (см. рисунок), причем чем больше масса горки с телом по сравнению с массой тела , тем меньшую скорость приобретет горка. Рассмотрим теперь соскальзывание тела , но сделаем это в системе отсчета, связанной с горкой. В ней горка в начальный момент стоит, а затем после соскальзывания тела вправо будет двигаться влево. Если бы горка приобрела такую же скорость, как и в первом случае, то в системе отсчета, связанной с землей, она остановилась. Можно, однако, понять, что во втором случае горка приобретет большую скорость. Действительно, в первом случае тело при соскальзывании толкало в противоположную сторону горку вместе с телом , а тело – только одну горку (т.е. более легкое тело). Поэтому после последовательного соскальзывания двух тел (сначала , затем ) горка будет двигаться влево (ответ 1).

Тест на антитела к коронавирусу: почему они бывают разные и как расшифровать результат

Наличие в крови антител IgG говорит о том, что организм человека сталкивался с коронавирусом и у него сформировался иммунный ответ. Анализ на эти антитела стал одним из самых популярных в третью волну коронавируса. Однако расшифровать самостоятельно их непросто — тесты разных производителей имеют разную шкалу. Разбираемся в их значении.

Как поясняют специалисты, каждый производитель тест-систем заявляет свои референсные значения.

В некоторых лабораториях используют тест-системы, в которых уровень отсечки равен 1. Если же результат выше 1,1 — значит, есть яркая положительная реакцию иммунной системы на коронавирус.

Обычно уровень антител по этой системе у тех, кто перенес коронавирус недавно и с симптомами бывает от 12 до 24.

При расшифровке результата теста обратите внимание на графы «Результат» и «Референсный интервал или пороговое значение». Если ваш результат выше «порогового уровня» — значит, вы перенесли коронавирус.

В «Инвитро» используют тест- системы двух производителей Abbott и «Вектор Бест». Минимальные пороговые значения для Abbott — 50, максимальные – 42000. Это значит, что при положительном результате (организм сталкивался с коронавирусом) может быть отображено любое число от 50 до 42 000.

Как пояснил врач-инфекционист, к.м.н., главный врач клинико-диагностической лаборатории ООО «Инвитро — Сибирь» Андрей Поздняков, для тест- систем «Вектор Бест» минимальные пороговые значения — 10 BAU/мл, максимальные – 500 BAU/мл. Это значит, что при положительном результате может быть отображено любое число от 10 до 500.

«Любой результат, количественно превышающий минимальное пороговое значение говорит об адекватности ответа иммунной системы — коронавирус попадал в организм и иммунная система дала ему отпор. Все остальные числовые значения зависят от индивидуального уровня здоровья, приема препаратов, уровня стресса, от состояния работы ЖКТ и прочих факторов», — пояснил Андрей Поздняков.

Напомним, ранее специалисты поясняли, что антитела к коронавирусу после болезни у всех сохраняются разное время, но чаще всего этот период – 2-4 месяца. Так, антитела могут быстро снизиться, если человек употребляет алкоголь.

Нормированный вектор — это математическая величина, равная 1 и имеющая любое направление При работе с LN-кадрами системе ЧПУ необходимо до д Руководство HEIDENHAIN iTNC 530 Программирование текстом 2012 Стр. 528 0528 Lab2u

Линейная алгебра: как нулевой вектор может быть равен 1?

Примечание Я прохожу через доказательство всего векторного пространства для всех, кто был смущен чем-то еще с этим конкретным векторным пространством, но ваш конкретный вопрос касается свойств 5 и 6, поэтому вы можете просто перейти к ним, если хотите.

Если у нас есть набор с именем $ V $ и определены две произвольные операции, которые мы называем «сложением» ($ + $) и «скалярным умножением» ($ * $) на $ V $, тогда для того, чтобы $ V $ было векторным пространством на $ \ Bbb C $ он должен удовлетворять следующим свойствам:

1. Аддитивное замыкание: для $ \ mathbf a, \ mathbf b \ in V $ затем $ \ mathbf a + \ mathbf b \ in V $
2. (Скалярное) Мультипликативное замыкание: если у нас есть скаляр $ c \ in \ Bbb C $ и $ \ mathbf a \ in V $, то $ c * \ mathbf a $ также должен быть в $ V $
3. Коммутативность: $ \ mathbf a, \ mathbf b \ in V $, затем $ \ mathbf a + \ mathbf b = \ mathbf b + \ mathbf a $
4. Ассоциативность дополнительно: $ \ mathbf a, \ mathbf b, \ mathbf c \ in V $, затем $ (\ mathbf a + \ mathbf b) + \ mathbf c = \ mathbf a + (\ mathbf b + \ mathbf c) $
5. Элемент аддитивной идентичности (нулевой вектор): должен быть некоторый $ \ mathbf 0 $ такой, что для всех $ \ mathbf a \ in V $ тогда $ \ mathbf a + \ mathbf 0 = \ mathbf a $
6. Аддитивная инверсия: должен быть некоторый $ — \ mathbf a $ для всех $ \ mathbf a $ такой, что $ \ mathbf a + (- \ mathbf a) = \ mathbf 0 $
7. (Скалярная) Мультипликативная ассоциативность: если $ c, k \ in \ Bbb C $ и $ \ mathbf a \ in V $, то $ (ck) \ mathbf a = c (k \ mathbf a) $
8. Дистрибутивное сложение над вектором: $ c \ in \ Bbb C $ и $ \ mathbf a, \ mathbf b \ in V $, затем $ c (\ mathbf a + \ mathbf b) = c \ mathbf a + c \ mathbf b $
9. Дистрибутивное сложение над скаляром: $ c, k \ in \ Bbb C $ и $ \ mathbf a \ in V $, затем $ (c + k) \ mathbf a = c \ mathbf a + k \ mathbf a $

С вашим заданным набором и операциями все эти свойства удовлетворены:

1. При определении $ + $ как обычной операции умножения для любых двух векторов, которые вы «складываете», поскольку все векторы являются положительными действительными числами, а умножение между двумя действительными числами всегда дает другое положительное действительное число, сложение всегда даст вам другой вектор в V $ 900 10
2. Так как все ваши векторы являются положительными действительными числами и «умножение» возводит в степень, все векторы, которые возвращает ваша операция, также будут положительными действительными числами и, следовательно, находятся в $ V $ (даже если скалярная степень была отрицательной, вы получится просто дробь)
3. Обычная операция умножения коммутативна, поэтому «сложение» в этом векторном пространстве также коммутативно.
4. Так как обычная операция умножения ассоциативна, ваша операция «сложения» тоже
5. Одно из свойств нулевого вектора — быть единичным элементом при добавлении в векторном пространстве, что просто означает, что если вы сделаете $ something + \ mathbf 0 = something $.Вот почему в вашем векторном пространстве, поскольку мы используем умножение как «сложение», действительное число 1 является нулевым вектором, поскольку оно вернет все, что получает ввод, т.е. потому что $ 1 * something = something $ ваши операции дают $ something + \ mathbf = something $
6. Аддитивная инверсия будет обратной величиной вашего вектора в этом векторном пространстве. Инверсия должна создать нулевой вектор, и с помощью этих операций вы можете создать нулевой вектор. $ a * 1 / a = \ mathbf 0 $, поскольку нулевой вектор — это число 1.
7. Так как умножение ассоциативно, так же и операция «сложения»
8. Умножение является распределительным со скалярами и векторами, удовлетворяющими свойствам 8 и 9.

Надеюсь, это устранит любую путаницу с этим действительно интересным (и странным) примером векторного пространства. Основная причина, по которой его учат, состоит в том, чтобы просто абстрагироваться от идеи нулевого вектора и действительно показать, что он меньше связан с конкретным числом ноль и больше связан со свойствами, которые имеет ноль (что это аддитивная идентичность и что аддитивная инверсия производит это).

Калькулятор единичного вектора

Этот калькулятор единичного вектора поможет вам преобразовать любой вектор в вектор длины 1 без изменения его направления. Если вы хотите знать, как вычислить компоненты единичного вектора, не смотрите дальше! Вы можете получить результат, разделив компоненты любого произвольного вектора на его величину. Не волнуйтесь, если вы не знаете, как определить величину вектора. Эта статья даст вам пошаговое объяснение.

Что такое единичный вектор?

Единичный вектор — это вектор длины, равной 1.

Когда единичный вектор используется для описания пространственного направления, его можно назвать вектором направления . В декартовой системе координат три единичных вектора, которые составляют основу трехмерного пространства, равны:

• (1, 0, 0) — описывает направление x
• (0, 1, 0) — описывает направление y
• (0, 0, 1) — описывает z-направление

Каждый вектор в трехмерном пространстве равен сумме единичных векторов.

Формула единичного вектора

Если вам задан произвольный вектор, можно вычислить единичный вектор в том же направлении.Для этого необходимо применить следующую формулу:

û = u / | u |

где:

• û — единичный вектор,
• u — произвольный вектор в форме (x, y, z), а
• | u | — величина вектора и .

Вы можете рассчитать величину вектора с помощью нашего калькулятора расстояний или просто по уравнению

| u | = √ (x² + y² + z²)

Вычисление величины вектора также полезно для нахождения средней точки сегмента.

Единичный вектор — полезная концепция в , описывающая линейные преобразования . Например, норма матрицы описывает, насколько растягивается единичный вектор , когда умножается на на матрицу .

Как вычислить единичный вектор

Рассмотрим пример вектора u = (8, -3, 5). Чтобы вычислить единичный вектор в том же направлении, вы должны выполнить следующие шаги:

1. Запишите компоненты x, y и z вектора.В этом случае x₁ = 8, y₁ = -3 и z₁ = 5.

2. Рассчитать величину вектора u :

| u | = √ (x₁² + y₁² + z₁²)

| u | = √ (8² + (-3) ² + 5²)

| u | = √ (64 + 9 + 25)

| u | = √98

| u | = 9,9

3. Теперь, когда вы знаете величину вектора и , вы, вероятно, захотите узнать, как вычислить единичный вектор.Все, что вам нужно сделать, это разделить каждую из составляющих исходного вектора на | u |.

x₂ = x₁ / | u | = 8 / 9,9 = 0,8081

y₂ = y₁ / | u | = -3 / 9,9 = -0,3031

z₂ = z₁ / | u | = 5 / 9,9 = 0,5051

4. Теперь запишите эти результаты в векторной форме, чтобы найти вектор û = (0.8081, -0.3031, 0.5051).

5. Вы можете проверить правильность результата. Если это так, величина вашего единичного вектора должна быть равна 1.

co.combinatorics — Нотация для вектора всех единиц

Вектор — это величина, имеющая как величину , так и направление .(Величина означает просто «размер».)

Примеры векторных величин:

• Я путешествую 30 км в северном направлении (величина 30 км, направление северное — это вектор смещения)
• Поезд идет 80 км / ч в сторону Сиднея (величина 80 км / ч, направление «в сторону Сиднея» — это вектор скорости)
• Сила на мосту 50 Н, действующая вниз (величина 50 Ньютонов, направление вниз — это вектор силы)

Другие примеры векторов включают:

Ускорение, импульс, угловой момент, магнитное и электрическое поля

Каждый из приведенных выше примеров включает величину и направление .

Примечание: Вектор — это не то же самое, что скаляр . Скаляры имеют величину только . Например, скорость 35 км / ч является скалярной величиной, поскольку направление не указано. Другие примеры скалярных величин:

Объем, плотность, температура, масса, скорость, время, длина, расстояние, работа и энергия.

Каждая из этих величин имеет только величину и не включает направление.

Векторное обозначение

Мы будем использовать жирную заглавную букву для обозначения векторов.Например, вектор силы можно записать как F .

Альтернативные векторные обозначения

• Некоторые учебники пишут векторы, используя стрелку над именем вектора, например:
• Вы также увидите векторы, записанные с использованием матричной записи. Например, вектор, действующий из (0, 0) в направлении точки (2, 3), можно записать как

`[(2), (3)]`

Вектор нарисован стрелкой .Длина стрелки указывает на звездную величину вектора. Направление вектора представлено (что неудивительно 🙂 направлением стрелки.

Пример 1 — Векторы

Вектор смещения A имеет направление «вверх» и величину 4 см.

Вектор B имеет то же направление, что и A , и имеет половину звездной величины (2 см).

Вектор C имеет ту же величину, что и A (4 единицы), но имеет другое направление .

Вектор D эквивалентен вектору A . Он имеет такую ​​же величину и такое же направление. Не имеет значения, что A находится в другом положении по сравнению с D — они по-прежнему считаются эквивалентными векторами , потому что они имеют одинаковую величину и одинаковое направление. Мы можем написать:

A = D

Примечание: Мы не можем записать A = C , потому что, хотя A, и C имеют одинаковую величину (4 см), они имеют разное направление.Они не эквивалентны.

Бесплатные и локализованные векторы

До сих пор мы видели примеры «свободных» векторов. Рисуем их без фиксированной позиции.

Другой способ представления векторов — использовать направленных линейных сегментов. Это означает, что вектор назван с использованием начальной точки и конечной точки . Такой вектор называется «локализованным вектором».

Пример 2 — Локализованные векторы

Вектор OP имеет начальную точку O и конечную точку P .При использовании направленных сегментов линии мы по-прежнему используем стрелку для чертежа с P на конце стрелки. Длина линии OP является показателем величины вектора.

У нас мог бы быть другой вектор RS следующим образом. Он имеет начальную точку R и конечную точку S .

Поскольку два вектора имеют одинаковую величину и одинаковое направление (они оба горизонтальны и направлены вправо), мы говорим, что они равны.Мы бы написали:

OP = RS

Обратите внимание, что мы можем перемещать векторы в пространстве, и до тех пор, пока они имеют одинаковую величину вектора и одинаковое направление, они считаются равными векторами .

Величина вектора

Мы указываем звездную величину вектора, используя вертикальных линий по обе стороны от имени вектора.

Записана величина вектора PQ | PQ |.

Мы также использовали вертикальные линии, подобные этой ранее в главе «Числа» (где это называлось «абсолютное значение», аналогично величине).

Так, например, вектор A выше имеет величину 4 единицы. Мы бы записали величину вектора A как:

| А | `= 4`

Скалярные величины

Скалярная величина описывается числовой величиной и, возможно, единицей , но не направлением.

Например, ручка может иметь длину «10 см». Длина 10 см — это скалярная величина — она ​​имеет размер (10) и единицу измерения (см), но направление не задействовано.

Примеры скаляров: площадь, объем, скорость, масса, температура, работа и мощность. Скаляр может быть положительным или отрицательным (и даже сложным).

Скалярное умножение

Мы можем увеличивать или уменьшать величину вектора, умножая вектор на скаляр.

Пример 3 — Скалярное умножение

В примерах, которые мы видели ранее, вектор B (2 единицы) составляет половину размера вектора A (что составляет 4 единицы).Мы можем написать:

B = 0,5 A

Это пример скалярного кратного. Мы умножили вектор A на скаляр 0,5.

Пример 4 — Скалярное умножение

К балке привязаны 3 груза.

Первый вес W ₁ = 5 Н, второй W ₂ = 2 Н и третий W ₃ = 4 Н.

Мы можем представить эти веса с помощью векторной диаграммы (где длина вектора представляет величину) следующим образом:

Они являются векторами, потому что все они имеют направление (вниз) и величину.

Каждый из следующих скалярных множителей верен для этой ситуации:

Поскольку `5 = 2,5 × 2`, мы можем написать:

Вт ₁ = 2,5 Вт ₂

Поскольку `2 = 0,5 × 4`, мы можем написать:

Вт ₂ = 0,5 Вт ₃

Поскольку `4 = 0,8 × 5`, мы можем написать:

Вт ₃ = 0,8 Вт ₁

Каждый из этих операторов представляет собой скалярное умножение.

Векторы в противоположных направлениях

У нас 2 команды играют в перетягивание каната. В начале игры они очень равномерно подобраны и тянут с одинаковой силой в противоположных направлениях. Мы могли бы назвать векторы OA и OB .

Перетягивание каната можно изобразить с помощью векторной диаграммы:

Отметим, что величина каждого вектора одинакова, но они действуют в противоположных направлениях .В таком случае мы указываем противоположные направления с помощью отрицательного знака .

Так что пишем:

OA = −OB

Нулевые векторы

Нулевой вектор имеет величину 0. Он может иметь любое направление.

Вектор может иметь нулевую величину в определенный момент времени. Например, лодка, подпрыгивающая вверх и вниз в воде, будет иметь вектор скорости положительный при движении вверх и отрицательный вектор скорости при движении вниз.В момент, когда он находится на пике своего движения, величина составляет ноль .

В приведенном выше примере с перетягиванием каната в определенный момент команды равны, и ни одна из сторон не может двигаться. В этом случае у нас будет:

OA + OB = 0

Два вектора силы OA и OB , действуя в противоположных направлениях, компенсируют друг друга.

Единичные векторы

Единичный вектор имеет длину 1 единицу и может принимать любое направление.

Одномерный единичный вектор обычно записывается как i .

Пример 5 — Единичный вектор

На следующей диаграмме мы видим единичный вектор (красный, обозначен как i ) и два других вектора, которые были получены из i с использованием скалярного умножения (2 i и 7 i ).

Нулевой вектор — обзор

В векторном пространстве ℝ ³ возьмите векторы [1 1 5] ^T и [2 — 1 — 8] ^T и сформируйте все возможные линейные комбинации c ₁ [1 1 5] ^T + c ₂ [2 — 1 — 8] ^T .Этот набор векторов представляет собой плоскость в ℝ ³ (рис. 3.1).

Определение 3.2

Если x ₁ , … , x _m — это набор векторов в ℝ ⁿ , тогда выражение вида c ₁ x ₁ + ⋯ + c _м x _м считается линейной комбинацией x ₁ , …