Почему и как существует отрицательная скорость?

Я буду рассматривать только одномерное движение (движение вдоль одной оси). Основная цель таких терминов, как положение и скорость, состоит в том, чтобы легко описать движение объекта.

Мы определяем скорость как скорость изменения положения. По соглашению мы выбираем фиксированную точку (вдоль оси движения), называем ее исходной и определяем положение объекта на этой линии на основе расстояния от этой точки. Опять же, общепринятым является то, что расстояния, измеренные вправо, являются положительными, а расстояния, измеренные влево, отрицательными (вы можете использовать их в обратном порядке, если хотите). Вы можете легко увидеть, что при определении положения таким образом мы охватили все точки на оси . В этих соглашениях позиция 2m означает 2 м справа от источника, а позиция -6m означает 6 м слева от источника.

Теперь вы бы слышали, что знак скорости указывает направление, но в первую очередь направления — это просто ссылки, сделанные нами. Путем проб и ошибок мы можем разобрать физический смысл знака + или -. (По соглашению вы называете направление, в котором отрицательные числа увеличивают отрицательное направление (т.е. в этом случае влево), и направление, в котором положительное число увеличивает положительное направление (в данном случае, вправо)).

Пример:-

Вы видите объект сначала на 2м, а затем на -3м через 5с. Вы говорите, что оно сместилось влево или в отрицательном направлении. Теперь по определению скорости вы вычисляете изменение положения (-3-2) m = -5m (анализируя, вы можете видеть, что «-» возникло автоматически в результате нашего соглашения) и изменение во времени = 5 с. Делив, вы получите скорость как (-1 м / с), или вы можете сказать, что объект двигался влево на 1 м / с. Таким образом, вы можете понять, что означает отрицательный знак. Это просто означает, что движение в отрицательном направлении или влево (как вы видите, наши определения и условные обозначения помогают нам полностью описать движение объекта, как скорость, с которой он движется, так и направление его движения).

Скаляр величина всегда положительная : Пургаторий (Ф)

Цитата:

проекция силы на какую-то ось может быть как положительной, так и отрицательной или нулевой, в зависимости от выбора этой самой оси

..
Ну и толку от этого?
Хоть какую ось выберите , ну и будет у Вас проекция отрицательной – сама сила от проекции – не зависит.
Она была и осталась – неотрицательной.
Скаляр как был положителен так и остался.
Причем здесь вообще проекция ?
Да не причем.

Цитата:

Дальше. Работа — скаляр, однако легко понять, что он может иметь любой знак. Например, вы толкаете поезд и он поддается — едет в направлении, прилдоженной вами силы. Работа, совершенная вами положительна. Теперь, вы толкаете поезд, а он едет обратно, т.е. переезжает вас. Последняя ваша работа отрицательна.

..
Путаете арифметику и скалярность.
По параллельной ветке в обратном направлении все тоже самое проделывает второй индивидуум.
До момента :

Цитата:

. Теперь, вы толкаете поезд, а он едет обратно, .

..
И что ?
Один из Вас делал положительную работу а другой отрицательную.
Работа полученная арифметическим (а не векторным) путем .
Ну обозвали её отрицательной .
По факту она отрицательным скаляром – не является.
Энергия либо есть либо её нет.
Возможный диапазон находится в пределах
от (от нуля до плюс бесконечности) .
Не привели Вы мне пример отрицательного скаляра.

Цитата:

может ли быть скаляр отрицательным — то вам ответили МОЖЕТ!

..
Не верно – скаляр отрицательным быть не может.

Цитата:

Если Вы мне должны пару литров водки и пару килограммов красной икры, то они для Вас будут отрицательными

..
Опять арифметическое действие.
Отрицательного скаляра – НЕТ.

Цитата:

Что вам еще нужно знать по существу? Я просил вас еще раз повторить ваш вопрос, что вы так и не сделали! Так вот если вас интересовала может ли быть скаляр отрицательным — то вам ответили МОЖЕТ! Все! больше я не понимаю зачем устраивать эту болтологию!

Вы успокойтесь . Не нервничайте.

Цитата:

Что вам еще нужно знать по существу?

По существу лично вы вообще ни чего не сказали.
И каких то знаний по существу данного вопроса вы мне дать просто не в состоянии.
Это я Вам скромно указываю на бытующие заблуждения в понимании данного вопроса.

может ли быть вектор отрицательным

Вы искали может ли быть вектор отрицательным? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и может ли вектор быть отрицательным, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «может ли быть вектор отрицательным».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как может ли быть вектор отрицательным,может ли вектор быть отрицательным. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и может ли быть вектор отрицательным. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, может ли быть вектор отрицательным).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же может ли быть вектор отрицательным Онлайн?

Решить задачу может ли быть вектор отрицательным вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Тело двигается только по прямой

Содержание

 

Система отсчета. Перемещение.Скорость равномерного прямолинейного движения 3

Уравнение равномерного прямолинейного движения 6

Мгновенная скорость. Сложение скоростей. Ускорение 10

Движение тела с постоянным ускорением. Свободное падение тел 14

Равномерное движение тела по окружности 17

Поступательное и вращательное движение. Первый закон Ньютона 20

Законы Ньютона 23

Закон всемирного тяготения. Космические скорости 26

Сила тяжести. Вес, невесомость, перегрузки 29

Силы упругости. Силы сопротивления 32

Импульс тела. Реактивное движение 35

Работа и мощность 38

Механическая энергия 41

Равновесие твердых тел 44

 

 

Система отсчета. Перемещение.

Скорость равномерного прямолинейного движения

 

Задание №1

Вопрос:

В некоторой инерциальной системе отсчёта точка N имеет координаты (3;4). Найдите длину радиус-вектора, описывающего положение точки N.

 

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1) 3

2) 4

3) 5

4) 7

 

Задание №2

Вопрос:

Некоторый вектор составляет угол 150^о с осью икс. Тогда, этот вектор будет…

 

Выберите один из 4 вариантов ответа:

Отрицательным

2) Положительным

3) Равен нулю

4) Либо отрицательным, либо положительным, но не равным нулю

 

 

Задание №3

Вопрос:

Выберете верные утверждения

 

Укажите истинность или ложность вариантов ответа:

__ Радиус-вектор соединяет начало координат и данную точку пространства

__ Значение радиус-вектора не может быть отрицательным

__ Радиус-вектором можно пользоваться только в системе координат на плоскости

__ Длина радиус-вектора зависит от выбора начала координат

Задание№4

Вопрос:

Для того, чтобы создать систему отсчета, необходимо иметь…

 

Выберите несколько из 5 вариантов ответа:

Систему координат

2) Радиус-вектор

Часы

Тело отсчета

5) Трехмерную систему координат

 

Задание №5

Вопрос:

Модуль вектораа равен 10 вектор а перпендикулярен оси у. Тогда…

 

Выберите несколько из 5 вариантов ответа:

1) Проекция вектораа на ось х равна 0

Проекция вектораа на ось у равна 0

Проекция вектораа на ось х равна 10

4) Проекция вектораа на ось у равна 10

5) Вектора находится в трехмерной системе координат

 

Задание №6

Вопрос:

Выберете верные утверждения

 

Укажите истинность или ложность вариантов ответа:

+ Перемещение не может быть больше пройденного пути

+_ Перемещение — это векторная величина

— Пройденный путь — это векторная величина

— Перемещение — это радиус-вектор

— Пройденный путь — это радиус-вектор

 

Задание №7

Вопрос:

Модуль вектораа равен 6 и вектор а составляет угол 30 градусов с осью х. Тогда…

 

Выберите несколько из 4 вариантов ответа:

1) Проекция вектораа на ось х равна 3

Проекция вектораа на ось у равна 3

Проекция вектораа на ось х равна 5,2

4) Проекция вектораа на ось у равна 5,2

 

Задание №8

Вопрос:

Тело переместилось из точки M (4;3) в точку N (7;7). Найдите модуль перемещения данного тела.

 

Запишите число:

________5___________________

 

Задание №9

Вопрос:

Тело переместилось из точки M (2;4) в точку N (3;8) за 5 секунд. Найдите модуль скорости данного тела.

 

Запишите число:

___0,8_____________________

 

Задание №10

Вопрос:

Тело переместилось из точки M (5;5) в точку N (8;7). Найдите угол (в градусах) между направлением вектора скорости и осью х.

 

Запишите число:

_____33,64___________________

 

 

Уравнение равномерного прямолинейного движения

 

Задание №1

Вопрос:

Положение двух тел описывается следующими уравнениями: x₁(t)=5+3t; x₂(t)=4t. На каком расстоянии (в м) от начала отсчета эти тела встретятся?

Запишите число:

_______20________________

Задание №2

Вопрос:

При равномерном прямолинейном движении…

Выберите несколько из 4 вариантов ответа:

График зависимости скорости тела от времени представляет собой горизонтальную прямую

2) График зависимости положения тела от времени представляет собой горизонтальную прямую

3) Скорость всегда положительная

Всегда можно выбрать такую систему координат, в которой достаточно одной координаты, чтобы описать движение

Задание №3

Вопрос:

На рисунке показаны графики зависимости положений трех тел от времени. Условно назовем эти тела красным, синим и зелёным (в соответствии с линиями на графике). Тогда…

Изображение:

 

Выберите несколько из 4 вариантов ответа:

Красное тело двигается быстрее зеленого и синего

2) Зеленое тело двигается быстрее синего

3) Зеленое и красное тела двигаются в противоположных направлениях

Красное и синее тела двигаются в противоположных направлениях

 

Задание №4

Вопрос:

В начальный момент времени, грузовик имеет координата грузовика равна х₀=-3 м, а координата легковой машины х₀=1007 м. Скорость грузовика равна 15 м/с. Если они встретились через 20 секунд после начала движения, то какова скорость легковой машины (в м/с)?

Запишите число:

_________35,5__________________

 

Задание №5

Вопрос:

На рисунке показан график зависимости скорости от времени. Тогда, за 15 секунд это тело прошло…

Изображение:

 

Выберите один из 4 вариантов ответа:

1)

2) 3 м

3) 20 м

М

 

Задание №6

Вопрос:

При равномерном прямолинейном движении верно следующее:

Выберите несколько из 4 вариантов ответа:

Тело двигается только по прямой

2) В любой системе координат проекция вектора перемещения тела на одну из координатных осей равна нулю

3) Тело проходит отрезки одинаковой длины за равные промежутки времени

4) Перемещение и пройденный путь — это одно и то же

 

Задание №7

Вопрос:

Положение двух тел описывается следующими уравнениями: x₁(t)=6+8t; x₂(t)=12+vt. Найдите такую скорость v, при которой в каждый момент времени, тело 1 находится от начала координат на расстоянии вдвое меньшем, чем тело 2.

 

Запишите число:

________16_________________

 

Задание №8

Вопрос:

Положение двух тел описывается следующими уравнениями: x₁(t)=-15+t; x₂(t)=12-2t. Через сколько секунд они встретятся?

 

Запишите число:

___________9_______________

 

Задание №9

Вопрос:

На рисунке показаны графики зависимости положений двух тел от времени. Условно назовем эти тела красным и синим (в соответствии с линиями на графике). Тогда…

Изображение:

 

Выберите несколько из 4 вариантов ответа:

1) Красное тело двигается медленнее синего

---

Может ли скалярная величина быть отрицательной. Сложение векторов через их координаты

Физика и математика не обходятся без понятия «векторная величина». Ее необходимо знать и узнавать, а также уметь с нею оперировать. Этому обязательно стоит научиться, чтобы не путаться и не допускать глупых ошибок.

Как отличить скалярную величину от векторной?

Первая всегда имеет только одну характеристику. Это ее числовое значение. Большинство скалярных величин могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Их примерами может служить электрический заряд, работа или температура. Но есть такие скаляры, которые не могут быть отрицательными, например, длина и масса.

Векторная величина, кроме числовой величины, которая всегда берется по модулю, характеризуется еще и направлением. Поэтому она может быть изображена графически, то есть в виде стрелки, длина которой равна модулю величины, направленной в определенную сторону.

При письме каждая векторная величина обозначается знаком стрелки на буквой. Если идет речь о числовом значении, то стрелка не пишется или ее берут по модулю.

Какие действия чаще всего выполняются с векторами?

Сначала — сравнение. Они могут быть равными или нет. В первом случае их модули одинаковые. Но это не единственное условие. У них должны быть еще одинаковые или противоположные направления. В первом случае их следует называть равными векторами. Во втором они оказываются противоположными. Если не выполняется хотя бы одно из указанных условий, то векторы не равны.

Потом идет сложение. Его можно сделать по двум правилам: треугольника или параллелограмма. Первое предписывает откладывать сначала один вектор, потом от его конца второй. Результатом сложения будет тот, который нужно провести от начала первого к концу второго.

Правило параллелограмма можно использовать, когда нужно сложить векторные величины в физике. В отличие от первого правила, здесь их следует откладывать от одной точки. Потом достроить их до параллелограмма. Результатом действия следует считать диагональ параллелограмма, проведенную из той же точки.

Если векторная величина вычитается из другой, то они снова откладываются из одной точки. Только результатом будет вектор, который совпадает с тем, что отложен от конца второго к концу первого.

Какие векторы изучают в физике?

Их так же много, как скаляров. Можно просто запомнить то, какие векторные величины в физике существуют. Или знать признаки, по которым их можно вычислить. Тем, кто предпочитает первый вариант, пригодится такая таблица. В ней приведены основные векторные физические величины.

Теперь немного подробнее о некоторых из этих величин.

Первая величина — скорость

С нее стоит начать приводить примеры векторных величин. Это обусловлено тем, что ее изучают в числе первых.

Скорость определяется как характеристика движения тела в пространстве. Ею задается числовое значение и направление. Поэтому скорость является векторной величиной. К тому же ее принято разделять на виды. Первый является линейной скоростью. Ее вводят при рассмотрении прямолинейного равномерного движения. При этом она оказывается равной отношению пути, пройденного телом, ко времени движения.

Эту же формулу допустимо использовать при неравномерном движении. Только тогда она будет являться средней. Причем интервал времени, который необходимо выбирать, обязательно должен быть как можно меньше. При стремлении промежутка времени к нулю значение скорости уже является мгновенным.

Если рассматривается произвольное движение, то здесь всегда скорость — векторная величина. Ведь ее приходится раскладывать на составляющие, направленные вдоль каждого вектора, направляющего координатные прямые. К тому же определяется он как производная радиус-вектора, взятая по времени.

Вторая величина — сила

Она определяет меру интенсивности воздействия, которое оказывается на тело со стороны других тел или полей. Поскольку сила — векторная величина, то она обязательно имеет свое значение по модулю и направление. Так как она действует на тело, то важным является еще и точка, к которой приложена сила. Чтобы получить наглядное представление о векторах сил, можно обратиться к следующей таблице.

Также еще векторной величиной является равнодействующая сила. Она определяется как сумма всех действующих на тело механических сил. Для ее определения необходимо выполнить сложение по принципу правила треугольника. Только откладывать векторы нужно по очереди от конца предыдущего. Результатом окажется тот, который соединяет начало первого с концом последнего.

Третья величина — перемещение

Во время движения тело описывает некоторую линию. Она называется траекторией. Эта линия может быть совершенно разной. Важнее оказывается не ее внешний вид, а точки начала и конца движения. Они соединяются отрезком, который называется перемещением. Это тоже векторная величина. Причем оно всегда направлено от начала перемещения к точке, где движение было прекращено. Обозначать его принято латинской буквой r.

Здесь может появиться такой вопрос: «Путь — векторная величина?». В общем случае это утверждение не является верным. Путь равен длине траектории и не имеет определенного направления. Исключением считается ситуация, когда рассматривается прямолинейное движение в одном направлении. Тогда модуль вектора перемещения совпадает по значению с путем, и направление у них оказывается одинаковым. Поэтому при рассмотрении движения вдоль прямой без изменения направления перемещения путь можно включить в примеры векторных величин.

Четвертая величина — ускорение

Оно является характеристикой быстроты изменения скорости. Причем ускорение может иметь как положительное, так и отрицательное значение. При прямолинейном движении оно направлено в сторону большей скорости. Если перемещение происходит по криволинейной траектории, то вектор его ускорения раскладывается на две составляющие, одна из которых направлена к центру кривизны по радиусу.

Выделяют среднее и мгновенное значение ускорения. Первое следует рассчитывать как отношение изменения скорости за некоторый промежуток времени к этому времени. При стремлении рассматриваемого интервала времени к нулю говорят о мгновенном ускорении.

Пятая величина — импульс

По-другому его еще называют количеством движения. Импульс векторной величиной является из-за того, что напрямую связан со скоростью и силой, приложенной к телу. Обе они имеют направление и задают его импульсу.

По определению последний равен произведению массы тела на скорость. Используя понятие импульса тела, можно по-другому записать известный закон Ньютона. Получается, что изменение импульса равно произведению силы на промежуток времени.

В физике важную роль имеет закон сохранения импульса, который утверждает, что в замкнутой системе тел ее суммарный импульс является постоянным.

Мы очень кратко перечислили, какие величины (векторные) изучаются в курсе физики.

Задача о неупругом ударе

Условие. На рельсах стоит неподвижная платформа. К ней приближается вагон со скоростью 4 м/с. Массы платформы и вагона — 10 и 40 тонн соответственно. Вагон ударяется о платформу, происходит автосцеп. Необходимо вычислить скорость системы «вагон-платформа» после удара.

Решение. Сначала требуется ввести обозначения: скорость вагона до удара — v1, вагона с платформой после сцепки — v, масса вагона m1, платформы — m2. По условию задачи необходимо узнать значение скорости v.

Правила решения подобных заданий требуют схематичного изображения системы до и после взаимодействия. Ось OX разумно направить вдоль рельсов в ту сторону, куда движется вагон.

В данных условиях систему вагонов можно считать замкнутой. Это определяется тем, что внешними силами можно пренебречь. Сила тяжести и реакция опоры уравновешены, а трение о рельсы не учитывается.

Согласно закону сохранения импульса, их векторная сумма до взаимодействия вагона и платформы равна общему для сцепки после удара. Сначала платформа не двигалась, поэтому ее импульс был равен нулю. Перемещался только вагон, его импульс — произведение m1 и v1.

Так как удар был неупругий, то есть вагон сцепился с платформой, и дальше он стали катиться вместе в ту же сторону, то импульс системы не изменил направления. Но его значение стало другим. А именно произведением суммы массы вагона с платформой и искомой скорости.

Можно записать такое равенство: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. Оно будет верно для проекции векторов импульсов на выбранную ось. Из него легко вывести равенство, которое потребуется для вычисления искомой скорости: v = m1 * v1 / (m1 + m2).

По правилам следует перевести значения для массы из тонн в килограммы. Поэтому при подстановке их в формулу следует сначала умножить известные величины на тысячу. Простые расчеты дают число 0,75 м/с.

Ответ. Скорость вагона с платформой равна 0,75 м/с.

Задача с разделением тела на части

Условие. Скорость летящей гранаты 20 м/с. Она разрывается на два осколка. Масса первого 1,8 кг. Он продолжает двигаться в направлении, в котором летела граната, со скоростью 50 м/с. Второй осколок имеет массу 1,2 кг. Какова его скорость?

Решение. Пусть массы осколков обозначены буквами m1 и m2. Их скорости соответственно будут v1 и v2. Начальная скорость гранаты — v. В задаче нужно вычислить значение v2.

Для того чтобы больший осколок продолжал двигаться в том же направлении, что и вся граната, второй должен полететь в обратную сторону. Если выбрать за направление оси то, которое было у начального импульса, то после разрыва большой осколок летит по оси, а маленький — против оси.

В этой задаче разрешено пользоваться законом сохранения импульса из-за того, что разрыв гранаты происходит мгновенно. Поэтому, несмотря на то что на гранату и ее части действует сила тяжести, она не успевает подействовать и изменить направление вектора импульса с его значением по модулю.

Сумма векторных величин импульса после разрыва гранаты равна тому, который был до него. Если записать закон сохранения импульса тела в проекции на ось OX, то он будет выглядеть так: (m1 + m2) * v = m1 * v1 — m2 * v2. Из него просто выразить искомую скорость. Она определится по формуле: v2 = ((m1 + m2) * v — m1 * v1) / m2. После подстановки числовых значений и расчетов получается 25 м/с.

Ответ. Скорость маленького осколка равна 25 м/с.

Задача про выстрел под углом

Условие. На платформе массой M установлено орудие. Из него производится выстрел снарядом массой m. Он вылетает под углом α к горизонту со скоростью v (данной относительно земли). Требуется узнать значение скорости платформы после выстрела.

Решение. В этой задаче можно использовать закон сохранения импульса в проекции на ось OX. Но только в том случае, когда проекции внешних равнодействующих сил равна нулю.

За направление оси OX нужно выбрать ту сторону, куда полетит снаряд, и параллельно горизонтальной линии. В этом случае проекции сил тяжести и реакции опоры на OX будут равны нулю.

Задача будет решена в общем виде, так как нет конкретных данных для известных величин. Ответом в ней является формула.

Импульс системы до выстрела был равен нулю, поскольку платформа и снаряд были неподвижны. Пусть искомая скорость платформы будет обозначена латинской буквой u. Тогда ее импульс после выстрела определится как произведение массы на проекцию скорости. Так как платформа откатится назад (против направления оси OX), то значение импульса будет со знаком минус.

Импульс снаряда — произведение его массы на проекцию скорости на ось OX. Из-за того, что скорость направлена под углом к горизонту, ее проекция равна скорости, умноженной на косинус угла. В буквенном равенстве это будет выглядеть так: 0 = — Mu + mv * cos α. Из нее путем несложных преобразований получается формула-ответ: u = (mv * cos α) / M.

Ответ. Скорость платформы определяется по формуле u = (mv * cos α) / M.

Задача о переправе через реку

Условие. Ширина реки по всей ее длине одинакова и равна l, ее берега параллельны. Известна скорость течения воды в реке v1 и собственная скорость катера v2. 1). При переправе нос катера направлен строго к противоположному берегу. На какое расстояние s его снесет вниз по течению? 2). Под каким углом α нужно направить нос катера, чтобы он достиг противоположного берега строго перпендикулярно к точке отправления? Сколько времени t потребуется на такую переправу?

Решение. 1). Полная скорость катера является векторной суммой двух величин. Первая из них течение реки, которое направлено вдоль берегов. Вторая — собственная скорость катера, перпендикулярная берегам. На чертеже получается два подобных треугольника. Первый образован шириной реки и расстоянием, на которое сносит катер. Второй — векторами скоростей.

Из них следует такая запись: s / l = v1 / v2. После преобразования получается формула для искомой величины: s = l * (v1 / v2).

2). В этом варианте задачи вектор полной скорости перпендикулярен берегам. Он равен векторной сумме v1 и v2. Синус угла, на который должен отклоняться вектор собственной скорости, равен отношению модулей v1 и v2. Для расчета времени движения потребуется разделить ширину реки на сосчитанную полную скорость. Значение последней вычисляется по теореме Пифагора.

v = √(v22 – v12), тогда t = l / (√(v22 – v12)).

Ответ. 1). s = l * (v1 / v2), 2). sin α = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12)).

Векторы мощный инструмент математики и физики. На языке векторов формулируются основные законы механики и электродинамики. Чтобы понимать физику, нужно научиться работать с векторами.

Данная глава содержит подробное изложение материала, необходимого для того, чтобы приступить к изучению механики:

! Сложение векторов

! Умножение скаляра на вектор

! Угол между векторами

! Проекция вектора на ось

! Векторы и координаты на плоскости

! Векторы и координаты в пространстве

! Скалярное произведение векторов

К тексту данного приложения полезно будет вернуться на первом курсе при изучении аналитической геометрии и линейной алгебры чтобы осознать, например, откуда берутся аксиомы линейного и евклидова пространства.

7.1 Скалярные и векторные величины

В процессе изучения физики мы встречаем два типа величин скалярные и векторные.

Определение. Скалярная величина, или скаляр это физическая величина, для задания которой (в подходящих единицах измерения) достаточно одного числа.

Скаляров очень много в физике. Масса тела равна 3 кг, температура воздуха равна 10 С, напряжение в сети равно 220 В. . . Во всех этих случаях интересующая нас величина задаётся одним-единственным числом. Следовательно, масса, температура и электрическое напряжение являются скалярами.

Но скаляр в физике это не просто число. Скаляр есть число, снабжённое размерностью1 . Так, задавая массу, мы не можем написать m = 3; надо указать единицу измерения например, m = 3 кг. И если в математике мы можем сложить числа 3 и 220, то в физике сложить 3 килограмма и 220 вольт не получится: мы имеем право складывать лишь те скаляры, которые обладают одинаковой размерностью (массу с массой, напряжение с напряжением и т. д.).

Определение. Векторная величина, или вектор это физическая величина, характеризуемая: 1) неотрицательным скаляром; 2) направлением в пространстве. При этом скаляр называется модулем вектора, или его абсолютной величиной.

Предположим, что автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Но ведь это неполная информация о движении, не так ли? Может оказаться важным и то, куда едет автомобиль, в каком именно направлении. Поэтому важно знать не только модуль (абсолютную величину) скорости автомобиля в данном случае это 60 км/ч но и её направление в пространстве. Значит, скорость является вектором.

Другой пример. Допустим, на полу лежит кирпич массой 1 кг. На кирпич действует сила 100 Н (это модуль силы, или её абсолютная величина). Как будет двигаться кирпич? Вопрос лишён смысла до тех пор, пока не указано направление действия силы. Если сила действует вверх, то и кирпич будет двигаться вверх. Если сила действует горизонтально, то и кирпич поедет горизонтально. А если сила действует вертикально вниз, то кирпич вообще не сдвинется с места он будет только вжиматься в пол. Мы видим, таким образом, что сила также является вектором.

Векторная величина в физике также обладает размерностью. Размерность вектора это размерность его модуля.

Мы будем обозначать векторы буквами со стрелкой. Так, вектор скорости можно обозначить

через ~v, а вектор силы через F . Собственно, вектор это и есть стрелка или, как ещё говорят, направленный отрезок (рис. 7.1 ).

Рис. 7.1. Вектор ~v

Начальная точка стрелки называется началом вектора, а конечная точка (остриё) стрелки

концом вектора. В математике вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначается

также AB; нам такое обозначение тоже иногда понадобится.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором (или нулём) и

обозначается ~ . Нулевой вектор есть попросту точка; он не имеет определённого направления.

Длина нулевого вектора, разумеется, равна нулю.

1 Попадаются и безразмерные скаляры: коэффициент трения, коэффициент полезного действия, показатель преломления среды. . . Так, показатель преломления воды равен 1;33 это исчерпывающая информация, никакой размерностью данное число не обладает.

Рисование стрелок полностью решает задачу графического представления векторных величин. Направление стрелки указывает направление данного вектора, а длина стрелки в подходящем масштабе есть модуль этого вектора.

Предположим, например, что два автомобиля двигаются навстречу друг другу со скоростями u = 30 км/ч и v = 60 км/ч. Тогда векторы ~u и ~v скоростей автомобилей будут иметь противоположные направления, причём длина вектора ~v в два раза больше (рис. 7.2 ).

Рис. 7.2. Вектор ~v вдвое длиннее

Как вы уже поняли, буква без стрелки (например, u или v в предыдущем абзаце) обозначает модуль соответствующего вектора. В математике модуль вектора ~v обычно обозначается j~vj, но физики, если ситуация позволяет, предпочтут именно v букву без стрелки.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых.

Пусть имеются два коллинеарных вектора. Если их направления совпадают, то векторы называются сонаправленными; если же их направления различны, то векторы называются противоположно направленными. Так, выше на рис. 7.2 векторы ~u и ~v являются противоположно направленными.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют равные модули (рис. 7.3 ).

Рис. 7.3. Векторы ~a и b равны: ~a = b

Таким образом, равенство векторов отнюдь не означает непременного совпадения их начал и концов: мы можем переносить вектор параллельно самому себе, и при этом получится вектор, равный исходному. Такой перенос постоянно применяется в тех случаях, когда желательно свести начала векторов в одну точку например, при нахождении суммы или разности векторов. К рассмотрению операций над векторами мы и переходим.

При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений, более точно, которые полностью определяются при помощи числа, полученного в результате их измерения однородной величиной, принятой за единицу. Такие величины называются скалярными или, короче, скалярами. Ска­лярными величинами, например, являются длина, площадь, объ­ем, время, масса, температура тела, плотность, работа, электроёмкость и др. Так как скалярная величина определяется числом (положительным или отрицательным), то ее можно откладывать на соответствующей координатной оси. Так например, часто стро­ят ось времени, температуры, длины (пройденного пути) и другие.

Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются величины, для определения ко­торых, кроме числового значения, необходимо знать также их направление в пространстве. Такие величины называются векторными . Физиче­скими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила, напряженность электрического или магнитного поля. Век­торные величины используются, например, и в климатологии. Рассмотрим простой пример из климатологии. Если мы скажем, что ветер дует со скоростью 10 м/с, то тем самым введем скаляр­ную величину скорости ветра, но если мы скажем, что дует се­верный ветер со скоростью 10 м/с, то в этом случае скорость ветра будет уже векторной величиной.

Векторные величины изображаются с помощью векторов.

Для геометрического изображения векторных величин слу­жат направленные отрезки, то есть отрезки, имеющие фикси­рованное направление в пространстве. При этом длина отрез­ка равна числовому значению векторной величины, а его на­правление совпадает с направлением векторной величины. Направленный отрезок, характеризующий данную векторную величину, называют геометрическим вектором или просто вектором.

Понятие вектора играет большую роль как в математике, так и во многих областях физики и механики. Многие физические величины могут быть представлены при помощи векторов, и это представление очень часто способствует обобщению и упрощению формул и результатов. Часто векторные величины и векторы, их изображающие, отождествляются друг с другом: так, например, говорят, что сила (или скорость) есть вектор.

Элементы векторной алгебры применяются в таких дисциплинах как: 1) электрические машины; 2) автоматизированный электропривод; 3) электроосвещение и облучение; 4) неразвлетвлённые цепи переменного тока; 5) прикладная механика; 6) теоретическая механика; 7) физика; 8) гидравлика:9) детали машин; 10) сопромат; 11) управление; 12) химия; 13) кинематика; 14) статика и др.

2. Определение вектора. Отрезок прямой задается дву­мя равноправными точками -его концами. Но можно рассматривать направленный отрезок, определяемый упо­рядоченной парой точек. Про эти точки известно, какая из них первая (начало), а какая вторая (конец).

Под направленным отрезком понимают упорядоченную пару точек, первая из которых — точка А — называется его началом, а вторая — В — его концом.

Тогда под вектором понимается в простейшем случае сам направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» и т.д.). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Большую роль играют векторы в изучении бесконечно малых трансформаций пространства.

Определение 1. Направленный отрезок (или, что то же, упорядоченную пару точек) мы будем называть вектором . Направление на отрезке принято отмечать стрелкой. Над буквенным обозначением вектора при письме ста­вится стрелка, например: (при этом буква, соответст­вующая началу вектора, обязательно ставится впереди). В книгах часто буквы, обозначающие вектор, набираются полужирным шрифтом, например: а .

К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают.

Вектор, начало которого совпадает с его концом, называют нулевым. Нулевой вектор обозначается или просто 0.

Расстояние между началом и концом вектора называ­ется его длиной (а также модулем и абсолютной величи­ной). Длина вектора обозначается | | или | |. Длиной вектора, или модулем вектора, называют длину соответствующего направленного отрезка: | | = .

Векторы называются коллинеарными , если они распо­ложены на одной прямой или на параллельных прямых, короче говоря, если существует прямая, которой они параллельны.

Векторы называются компланарными , если существует плоскость, которой они параллельны, их можно изобразить векторами, лежащими на одной плоскости. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, так как он не имеет определенного направления. Длина его, разумеется, равна нулю. Очевидно, любые два вектора компланарны; но, конечно, не каждые три вектора в пространстве компланарны. Так как векторы, параллельные друг другу, параллельны одной и той же плоскости, то коллинеарные векторы подавно компланарны. Разумеется, обратное неверно: компланарные векторы могут быть и не коллинеарными. В силу принятого выше условия нулевой вектор коллинеарен со всяким вектором и компланарен со всякой парой векторов, т.е. если среди трёх векторов хотя бы один нулевой, то они компланарны.

2) Слово «компланарные» означает в сущности: «имеющие общую плос­кость», т. е. «расположенные в одной плоскости». Но так как речь здесь идет о свободных векторах, которые можно переносить (не изменяя длины и направ­ления) произвольным образом, мы должны называть компланарными векторы, параллельные одной и той же плоскости, ибо в этом случае их можно пере­нести так, чтобы они оказались расположенными в одной плоскости.

Для сокращения речи условимся в одном термине: если несколько свободных векторов параллельны одной и той же плоскости, то мы будем говорить, что они компланарны. В частности, два вектора всегда компланарны; чтобы в этом убе­диться, достаточно отложить их от одной и той же точки. Ясно, далее, что направление плоскости, в которой параллельны два дан­ных вектора, вполне определено, если эти два вектора не парал­лельны между собою. Любую плоскость, которой параллельны данные компланарные векторы, мы будем называть просто пло­скостью данных векторов.

Определение 2. Два вектора называются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины.

Необходимо всегда помнить, что равенство длин двух векторов ещё не означает равенства этих векторов.

По самому смыслу определения, два вектора, порознь равные третьему, равны между собой. Очевидно, все нулевые векторы равны между собой.

Из этого определения непосредственно вытекает, что, выбрав любую точку А», мы может построить (и притом только один) вектор А» В», равный некоторому заданному вектору , или, как говорят, перенести вектор в точку А» .

Замечание . Для векторов нет понятий «больше» или «меньше», т.е. они равны или не равны.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через е. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора а, называется ортом вектора и обозначается а .

3. О другом определении вектора . Заметим, что понятие равенства векторов существенно отличается от понятия равенства, например, чисел. Каждое число равно только самому себе, иначе говоря, два равных числа при всех обстоятельствах могут рассматриваться как одно и то же число. С векторами, как мы видим, дело обстоит по-другому: в силу определения существуют различные, но равные между собой векторы. Хотя в большинстве случаев у нас не будет необходимости различать их между собой, вполне может оказаться, что в какой-то момент нас будет интересовать именно вектор , а не другой, равный ему вектор А»В».

Для того чтобы упростить понятие равенства векторов (и снять некоторые связанные с ним трудности), иногда идут на усложнение определения вектора. Мы не будем пользоваться этим усложненным определением, но сформулируем его. Чтобы не путать, мы будем писать «Вектор» (с большой буквы) для обозначения определяемого ниже понятия.

Определение 3 . Пусть дан направленный отрезок. Множество всех направленных отрезков, равных данному в смысле определения 2, называется Вектором.

Таким образом, каждый направленный отрезок определяет Век­тор. Легко заметить, что два направленных отрезка определяют один и тот же Вектор тогда и только тогда, когда они равны. Для Векторов, как и для чисел, равенство означает совпадение: два Вектора равны в том и только в том случае, когда это один и тот же Век­тор.

При параллельном переносе пространства точка и ее образ сос­тавляют упорядоченную пару точек и определяют направленный отрезок, причем все такие направленные отрезки равны в смысле определения 2. Поэтому параллельный перенос пространства можно отождествить с Вектором, составленным из всех этих направленных отрезков.

Из начального курса физики хорошо известно, что сила может быть изображена направленным отрезком. Но она не может быть изображена Вектором, поскольку силы, изображаемые равными нап­равленными отрезками, производят, вообще говоря, различные дейст­вия. (Если сила действует на упругое тело, то изображающий ее направленный отрезок не может быть перенесён даже вдоль той прямой, на которой он лежит.)

Это только одна из причин, по которым наряду с Векторами, т. е. множествами (или, как говорят, классами) равных направлен­ных отрезков, приходится рассматривать и отдельных представителей этих классов. При этих обстоятельствах применение определения 3 усложняется большим числом оговорок. Мы будем придерживаться определения 1, причем по общему смыслу всегда будет ясно, идет ли речь о вполне определенном векторе, или на его место может быть подставлен любой, ему равный.

В связи с определением вектора стоит разъяснить значение не­которых слов, встречающихся в литературе.

Нас окружает много различных материальных предметов. Материальных, потому что их возможно потрогать, понюхать, увидеть, услышать и еще много чего можно сделать. То, какие эти предметы, что с ними происходит, или будет происходить, если что-нибудь сделать: кинуть, разогнуть, засунуть в печь. То, почему с ними происходит что-либо и как именно происходит? Все это изучает физика . Поиграйте в игру: загадайте предмет в комнате, опишите его несколькими словами, друг должен угадать что это. Указываю характеристики задуманного предмета. Прилагательные: белый, большой, тяжелый, холодный. Догадались? Это холодильник. Названные характеристики — это не научные измерения вашего холодильника. Измерять у холодильника можно разное. Если длину, то он большой. Если цвет, то он белый. Если температуру, то холодный. А если его массу, то выйдет, что он тяжелый. Представляем, что один холодильник можно исследовать с разных сторон. Масса, длина, температура — это и есть физическая величина.

Но это лишь та небольшая характеристика холодильника, которая приходит на ум мгновенно. Перед покупкой нового холодильника можно ознакомиться еще с рядом физических величин, которые позволяют судить о том, какой он, лучше или хуже, и почему он стоит дороже. Представь масштабы того, на сколько все окружающее нас разнообразно. И на сколько разнообразны характеристики.

Обозначение физической величины

Все физические величины принято обозначать буквами, чаще греческого алфавита. НО! Одна и та же физическая величина может иметь несколько буквенных обозначений (в разной литературе).

И, наоборот, одной и той же буквой могут обозначаться разные физические величины.

Несмотря на то, что с такой буквой вы могли не сталкиваться, смысл физической величины, участие ее в формулах остается прежним.

Векторные и скалярные величины

В физике существует два вида физических величин: векторные и скалярные. Основное их отличие в том, что векторные физические величины имеют направление . Что значит физическая величина имеет направление? Например, число картофелин в мешке, мы будем называть обыкновенными числами, или скалярами. Еще одним примером такой величины может служить температура. Другие очень важные в физике величины имеют направление, это, например, скорость; мы должны задать не только быстроту перемещения тела, но и путь, по которому оно движется. Импульс и сила тоже имеют направление, как и смещение: когда кто-нибудь делает шаг, можно сказать не только, как далеко он шагнул, но и куда он шагает, то есть определить направление его движения. Векторные величины лучше запомнить.

Почему над буквами рисуют стрелку?

Рисуют стрелку только над буквами векторных физических величин. Согласно тому, как в математике обозначают вектор ! Действия сложения и вычитания над этими физическими величинами выполняются согласно математическим правилам действий с векторами . Выражение «модуль скорости» или «абсолютное значение» означает именно «модуль вектора скорости», то есть численное значение скорости без учета направления — знака «плюс» или «минус».

Обозначение векторных величин

Главное запомнить

1) Что такое векторная величина;
2) Чем скалярная величина отличается от векторной;
3) Векторные физические величины;
4) Обозначение векторной величины

В физике существует несколько категорий величин: векторные и скалярные.

Что такое векторная величина?

Векторная величина имеет две основные характеристики: направление и модуль . Два вектора будут одинаковыми, если их значение по модулю и направление совпадают. Для обозначения векторной величины чаще всего используют буквы, над которыми отображается стрелочка. В качестве примера векторной величины можно привести силу, скорость или ускорение.

Для того, чтобы понять сущность векторной величины, следует рассмотреть ее с геометрической точки зрения. Вектор представляет собой отрезок, имеющий направление. Длина такого отрезка соотносится со значением его модуля. Физическим примером векторной величины является смещение материальной точки, перемещающейся в пространстве. Такие параметры, как ускорение этой точки, скорость и действующие на нее силы, электромагнитного поля тоже будут отображаться векторными величинами.

Если рассматривать векторную величину независимо от направления, то такой отрезок можно измерить. Но, полученный результат будет отображать только лишь частичные характеристики величины. Для ее полного измерения следует дополнить величину другими параметрами направленного отрезка.

В векторной алгебре существует понятие нулевого вектора . Под этим понятием подразумевается точка. Что касается направления нулевого вектора, то оно считается неопределенным. Для обозначения нулевого вектора используется арифметический нуль, набранный полужирным шрифтом.

Если проанализировать все вышесказанное, то можно сделать вывод, что все направленные отрезки определяют вектора. Два отрезка будут определять один вектор только в том случае, если они являются равными. При сравнении векторов действует тоже правило, что и при сравнении скалярных величин. Равенство означает полное совпадение по всем параметрам.

Что такое скалярная величина?

В отличие от вектора, скалярная величина обладает только лишь одним параметром – это ее численное значение . Стоит отметить, что анализируемая величина может иметь как положительное численное значение, так и отрицательное.

В качестве примера можно привести массу, напряжение, частоту или температуру. С такими величинами можно выполнять различные арифметические действия: сложение, деление, вычитание, умножение. Для скалярной величины такая характеристика, как направление, не свойственна.

Скалярная величина измеряется числовым значением, поэтому ее можно отображать на координатной оси. Например, очень часто строят ось пройденного пути, температуры или времени.

Основные отличия между скалярными и векторными величинами

Из описаний, приведенных выше, видно, что главное отличие векторных величин от скалярных заключается в их характеристиках . У векторной величины есть направление и модуль, а у скалярной только численное значение. Безусловно, векторную величину, как и скалярную, можно измерить, но такая характеристика не будет полной, так как отсутствует направление.

Для того, чтобы более четко представить отличие скалярной величины от векторной, следует привести пример. Для этого возьмем такую область знаний, как климатология . Если сказать, что ветер дует со скоростью 8 метров в секунду, то будет введена скалярная величина. Но, если сказать, что северный ветер дует со скоростью 8 метров в секунду, то речь пойдет о векторном значении.

Векторы играют огромную роль в современной математике, а также во многих сферах механики и физики. Большинство физических величин может быть представлено в виде векторов. Это позволяет обобщить и существенно упростить используемые формулы и результаты. Часто векторные значения и векторы отождествляются друг с другом. Например, в физике можно услышать, что скорость или сила является вектором.

Может ли магнитный поток быть отрицательным

связь магнитного потока отрицательна

Хорошее наблюдение. Теперь магнитный поток, связанный с $ поверхностью $, задается $ \ iint {} {} \ vec {B} \ cdot \ hat {n} \ mathrm {d} A $

Поверхность может быть открытой или закрытой. Рассмотрим открытую поверхность, как показано ниже

Для открытой поверхности вектор области может быть в любом направлении (я выбрал произвольное направление, которое в этом случае находится к востоку). $ \ hat {n} dA $ в уравнении потока говорит нам, что вектор области всегда нормален к поверхности.

На приведенном выше рисунке в пространстве существует однородное магнитное поле. Поток, связанный с поверхностью, можно рассчитать следующим образом

$$ \ iint {} {} \ vec {B} \ cdot \ hat {n} \ mathrm {d} A = BA $$

Это связано с тем, что $ \ vec {B} $ и $ \ hat {n} \ mathrm {d} A $ находятся в одном направлении и, следовательно, точечный продукт равен $ 1 $. Кроме того, $ \ vec {B} $ равномерна и может быть выведена как константа из интеграла. Итак, мы получаем положительный поток.

Теперь, что, если все будет выглядеть так

В этом случае вы заметите, что $ \ vec {B} $ и $ \ hat {n} \ mathrm {d} A $ находятся в противоположных направлениях, что говорит о том, что точечный продукт будет равен $ -1 $. В этом случае поток отрицательный.

Математически,

$$ \ iint {} {} \ vec {B} \ cdot \ hat {n} \ mathrm {d} A = -BA $$

Итак, вот как вы вычисляете поток для открытой поверхности. Я подчеркивал только открытую поверхность, поскольку мы не используем закрытую поверхность для расчета потока при работе с генераторами. Мы сталкиваемся с замкнутыми поверхностями при рассмотрении закона Гаусса, где замкнутую поверхность также называют гауссовой поверхностью.

Также с законом Ленца почему ЭДС определяется как отрицательная при увеличении магнитного потока и как это связано с направлением тока?

Из экспериментов было замечено, что изменение магнитного потока (связанного с токоподводящей петлей) индуцировало ток в контуре, магнитное поле которого противодействовало изменению магнитного потока.

Таким образом, если вы сдвинете магнит стержня к проводящей петле таким образом, чтобы магнитный поток, связанный с поверхностью петли, увеличился, будет индуцированный ток (направление которого задается красной стрелкой), магнитное поле которого противостоит увеличению магнитного потока. Из рисунка выше видно, что индуцированный ток создает магнитное поле в направлении, противоположном внешнему магнитному полю, создаваемому стержневым магнитом.

Посмотрите на эту цифру

Если вы отделите магнит от проводящей петли, произойдет уменьшение магнитного потока, связанного с поверхностью петли. Поэтому теперь индуцированный ток будет течь в одном направлении, чтобы противостоять этому уменьшению потока. Вы можете ясно видеть, что направление магнитного поля, создаваемого индуцированным током, находится в направлении внешнего магнитного поля.

Это главная причина отрицательного знака закона Фарадея. Отрицательный знак объясняется законом Ленца. Он говорит нам, что индуцированный Э.М.Ф. всегда выступает против изменения магнитного потока, связанного с проводящей петлей.

отрицательная выборка (в терминологии непрофессионала)?

Я написал обучающую статью об отрицательной выборке здесь .

Почему мы используем отрицательную выборку? -> снизить вычислительные затраты

Функция стоимости для ванильной выборки по Skip-Gram (SG) и Skip-Gram отрицательной выборки (SGNS) выглядит следующим образом:

Обратите внимание, что Tэто количество всех словарей. Это эквивалентно V. Другими словами, T= V.

Распределение вероятностей p(w_t+j|w_t)в SG вычисляется для всех Vсловарей в корпусе с помощью:

Vлегко может превышать десятки тысяч при обучении модели Skip-Gram. Вероятность необходимо вычислять Vраз, что делает это затратным с точки зрения вычислений. Кроме того, коэффициент нормализации в знаменателе требует дополнительных Vвычислений.

С другой стороны, распределение вероятностей в SGNS вычисляется с помощью:

c_pos— вектор слов для положительного слова и W_negвекторы слов для всех Kотрицательных выборок в выходной матрице весов. При использовании SGNS вероятность необходимо вычислять только K + 1раз, Kобычно от 5 до 20. Кроме того, не требуется дополнительных итераций для вычисления коэффициента нормализации в знаменателе.

В SGNS обновляется только часть весов для каждой обучающей выборки, тогда как SG обновляет все миллионы весов для каждой обучающей выборки.

Как SGNS этого добивается? -> путем преобразования задачи множественной классификации в задачу двоичной классификации.

В SGNS векторы слов больше не изучаются путем предсказания контекстных слов центрального слова. Он учится отличать фактические контекстные слова (положительные) от случайно выбранных (отрицательных) слов из распределения шума.

В реальной жизни вы обычно не наблюдаете regressionс помощью случайных слов вроде Gangnam-Style, или pimples. Идея состоит в том, что если модель может различать вероятные (положительные) пары и маловероятные (отрицательные) пары, векторы хороших слов будут изучены.

На приведенном выше рисунке текущая положительная пара слова-контекст — ( drilling, engineer). K=5отрицательные образцы случайным образом обращается от распределения шума : minimized, primary, concerns, led, page. По мере того, как модель проходит через обучающие образцы, веса оптимизируются так, чтобы выводилась вероятность для положительной пары и выводилась p(D=1|w,c_pos)≈1вероятность для отрицательной пары p(D=1|w,c_neg)≈0.

Механика

Ньютона — Что это значит, если скалярное произведение двух векторов отрицательно?

Ваше замешательство относительно отрицательной проделанной работы могло возникнуть из-за того, что величина вектора всегда положительна, но поскольку проделанная работа является скалярной величиной, она может быть как положительной, так и отрицательной.

Вы будете знакомы с обычным умножением и, возможно, вас научили умножению с помощью (действительной) числовой линии, которая нарисована вверху диаграммы ниже.

В числовой строке у вас есть положительные числа, отрицательные числа и ноль.
С отрицательными числами концептуально сложнее иметь дело, чем с положительными.
Значение апельсинов по $ 3 «очевидно», но значение апельсинов по $ -3, возможно, менее очевидно.
$ + 3 $ апельсина может означать добавление апельсинов по 3 доллара в коробку с апельсинами, а -2 доллара тогда означает изъятие апельсинов из коробки по 2 доллара.

Вы можете использовать эту числовую линию в контексте энергии, где $ + 3 $ джоулей означает добавление $ 3 $ джоулей энергии к системе, а $ -2 $ джоулей означает отбор $ 2 $ джоулей энергии из системы.

В контексте проделанной работы, тогда $ + 3 $ джоулей — это работа, выполненная по силе, и $ -2 $ джоуля — это работа, проделанная по силе.

Когда вы умножаете, вы действительно масштабируете, поэтому $ 3 \ times 2 $ означает взять число $ 3 $ и масштабировать его в 2 раза, то есть удвоить его.
Это также может означать: взять число 2 доллара и масштабировать его в 3 доллара, то есть утроить.
В любом случае получить число $ + 6 $.
Из этого вы можете построить правило для умножения чисел с одинаковыми знаками (результат — положительное число) и для умножения чисел с разными знаками (результат — отрицательное число).

Определение выполненной работы происходит от умножения (скалярного произведения) двух векторов силы $ \ vec F $ и смещения $ \ vec S $.

В одном измерении умножение применимо просто.
Если сила составляет 3 доллара ньютонов в определенном прямом направлении, а смещение составляет 2 доллара в метрах в том же направлении, то выполненная работа будет равна 6 джоулям, что интерпретируется как работа, выполненная на сила.
Однако, если сила составляет $ 3 ньютона в конкретном прямом направлении, а смещение составляет $ 2 $ метра в противоположном направлении, это дает проделанную работу как $ -6 $ джоулей, что интерпретируется как работа, проделанная над силой .

В векторной записи это можно записать как $ 3 \ hat x \ cdot 2 \ hat x = (3 \ times 2) (\ hat x \ cdot \ hat x) = 6 $.
, в котором есть обычное умножение (масштабирование) и скалярное произведение, $ \ hat x \ cdot \ hat x = 1 $

Исходя из определения выполненной работы, сила в одном направлении и смещение в противоположном направлении дают отрицательное значение.
С $ \ vec F = 3 \ hat x $ и $ \ vec S = -2 \ hat x $ (смещение имеет компонент $ -2 $ в направлении $ \ hat x $) вы получите $ 3 \ hat x \ cdot 2 (- \ hat x) = 3 \ hat x \ cdot -2 (\ hat x) = (3 \ times -2) (\ hat x \ cdot \ hat x) = -6 $ и это интерпретируется как работа, выполненная на силе.

Введение скалярного произведения позволяет более легко производить умножение в размерностях больше единицы.

Предположим, что сила равна $ \ vec F = F \ hat f = 3 \ hat x + 4 \ hat y $, где $ \ hat f = \ frac 15 (3 \ hat x + 5 \ hat y) $ и смещение это $ \ vec S = S \ hat s = 3 \ hat x + -4 \ hat y $, где $ \ hat s = \ frac 15 (3 \ hat x + — 4 \ hat y) $
Работа, выполненная force = $ \ vec F \ cdot \ vec S = (3 \ hat x + 4 \ hat y) \ cdot (3 \ hat x — 4 \ hat y) = (3 \ times 3) (\ hat x \ cdot \ hat x) + (4 \ times -4) (\ hat y \ cdot \ hat y) = 9-16 = -7 $ джоулей.
Сила и смещение были разделены на две составляющие, а затем оценивалась работа, проделанная в каждом из двух направлений, и общая проделанная работа оценивалась как сумма работы, проделанной в каждом направлении.
Таким образом, скалярное произведение позволяет умножать (масштабировать) в двух направлениях.

Точечное произведение также позволяет еще больше упростить такое умножение, потому что $ \ vec F \ cdot \ vec S = FS \ cos \ theta $, где $ \ theta $ — угол между направлениями двух векторов.\ circ = -7 $ джоулей, как и раньше.

Почему скаляр с отрицательным значением изменяет направление вектора, когда оба умножаются?

Почему скаляр с отрицательным значением изменяет направление вектора, когда оба умножаются? — Обмен физическими стеками

Сеть обмена стеками

Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

2. 0
3. +0
6. Авторизоваться Подписаться

Physics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для активных исследователей, ученых и студентов-физиков.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил 1 год, 1 месяц назад

Просмотрено 161 раз

$ \ begingroup $

По названию скаляра мы знаем, что он масштабируется.Когда он умножается на вектор, он меняет величину вектора, потому что он имеет только величину, но не имеет направления. Тогда почему отрицательный скаляр поворачивает направление вектора на 180 градусов? Например, если скаляр равен -5 , тогда он будет масштабировать величину в 5 раз, а также повернуть вектор на 180 градусов. Таким образом, он меняет направление вектора. Разве это не означает, что у скаляров тоже есть направление ??

Создан 19 сен.

Тусиф

1611 серебряный знак66 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ 2 $ \ begingroup $

Векторные пространства определяются в поле, откуда берутся эти средства масштабирования, и в вашем случае действительные числа являются полем, и если вы умножаете любой вектор, скаляры масштабируют компоненты вектора на определенных осях.Если вы умножите эти компоненты на любой скаляр, это масштабирует все три компонента. В основном масштабирование не вращает вектор, оно просто масштабирует вектор вдоль линии, так что предположим, что у вас есть вектор, в котором хвост находится в начале координат, и когда вы масштабируете этот вектор со всеми действительными числами, наконечник вашего вектора нарисует линию, где вы может просто думать, как масштабирование тянет или смещает вектор в направлении вектора. Кроме того, возвращаясь к определению поля, откуда берутся скаляры, в вашем случае действительные числа являются скалярами, а также действительные числа сами по себе являются векторным пространством, и каждый элемент является как векторным, так и скалярным, поэтому в одной перспективе скаляры имеют направление, а с другой рука при умножении его на векторы в трех измерениях вы делаете матричное произведение, где скаляр помещается справа от вектора.Таким образом, вы можете думать о масштабировании как о матричном произведении, что означает, что скаляр — это матрица преобразования (стандартная матрица), но ее геометрическая интерпретация может отличаться для разных векторных пространств. 2} $

, поэтому вам нужно повернуть синюю стрелку на излучатель $ 2 \, \ pi $, чтобы получить красную.

Создан 19 сен.

Эли Эли

6,21011 золотой знак66 серебряных знаков1717 бронзовых знаков

$ \ endgroup $

Не тот ответ, который вы ищете? Посмотрите другие вопросы с метками векторы или задайте свой вопрос.

Physics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie Настроить параметры

Может ли единичный вектор иметь отрицательные компоненты? — MVOrganizing

Может ли единичный вектор иметь отрицательные компоненты?

Ответ.Два вектора равны, если они имеют одинаковую величину и одинаковое направление. Так же, как скаляры, которые могут иметь положительные или отрицательные значения, векторы также могут быть положительными или отрицательными.

Что означает, когда вектор равен нулю?

Мы определяем вектор как объект с длиной и направлением. Без длины нулевой вектор не указывает в каком-либо конкретном направлении, поэтому он имеет неопределенное направление. Обозначим нулевой вектор жирным шрифтом 0 или, если мы не можем выделить жирным шрифтом, стрелкой → 0.

Является ли нулевой вектор базисом?

Нет. Базис — это набор линейно независимых векторов, и, как вы знаете, нулевой вектор делает набор линейно зависимым.

Все 0 векторов равны?

, является вектором длины 0 и, следовательно, имеет все компоненты, равные нулю. Это аддитивная идентичность аддитивной группы векторов.

Матрица — это нулевой вектор?

Нулевая матрица также представляет собой линейное преобразование, которое отправляет все векторы в нулевой вектор.Оно идемпотентно, что означает, что когда оно умножается само на себя, результатом становится он сам. Нулевая матрица — единственная матрица, ранг которой равен 0.

Каково направление нулевого вектора?

6 ответов. У нулевого вектора нет определенного направления; это согласуется с тем фактом, что он ортогонален любому другому вектору. (На самом деле нет смысла говорить, что у него «направление 0», поскольку направление не является величиной; «направление 0» имеет не больше смысла, чем «направление 1» или «направление 5.873 ”.)

У каждого вектора есть направление?

Вектор в физике — величина, имеющая как величину, так и направление. Обычно он представлен стрелкой, направление которой совпадает с направлением количества, а длина пропорциональна величине величины. Хотя вектор имеет величину и направление, у него нет позиции.

Каково направление нулевого вектора и единичного вектора?

Нулевой или нулевой вектор — определение Вектор, имеющий нулевую величину (произвольное направление), называется нулевым (нулевым) вектором.Нулевой вектор уникален. Например: — Точка не имеет величины и произвольного направления. Единичный вектор — это вектор единичной длины.

Каждое векторное пространство содержит нулевой вектор?

Каждое векторное пространство и, следовательно, каждое подпространство векторного пространства содержит нулевой вектор (по определению), и каждое подпространство, следовательно, имеет по крайней мере одно подпространство: оно замкнуто при сложении векторов (с самим собой), и оно замкнуто относительно скалярное умножение: любой скаляр, умноженный на нулевой вектор, является нулевым вектором.

Находится ли нулевой вектор в пространстве столбцов?

Нулевое пространство содержит все возможные решения данной системы линейных уравнений. Итак, эта система линейных уравнений имеет два вектора в нулевом пространстве. Нулевое пространство всегда содержит нулевой вектор.

Может ли вектор иметь отрицательное направление? — MVOrganizing

Может ли вектор иметь отрицательное направление?

Векторы, имеющие ту же длину, что и конкретный вектор, но в противоположном направлении, называются отрицательными векторами.Величина или длина вектора не может быть отрицательной; он может быть либо нулевым, либо положительным. Знак минус используется здесь, чтобы указать, что вектор имеет направление, противоположное опорному вектору.

Как найти направление линейного вектора?

Векторы по-прежнему параллельны или перпендикулярны линии. Чтобы найти вектор направления или вектор нормали для прямой линии, все, что нам нужно сделать, это написать уравнение в общем виде. Затем мы можем читать прямо из уравнения.Общее уравнение прямой: ax + by + c = 0.

Как найти перпендикулярную линию между двумя векторами?

Объяснение: Произведение векторов A и B перпендикулярно каждому вектору A и B. ∴ для двух векторов → A и → B, если → C — вектор, перпендикулярный обоим. = (A2B3 − B2A3) ˆi− (A1B3 − B1A3) ˆj + (A1B2 − B1A2) ˆk.

Что такое нормальный вектор линии?

В геометрии нормаль — это объект, такой как линия, луч или вектор, который перпендикулярен данному объекту.Например, в двух измерениях нормальная линия к кривой в данной точке — это линия, перпендикулярная касательной к кривой в этой точке.

Что такое векторное уравнение плоскости?

Вспомните из раздела «Скалярное произведение», что два ортогональных вектора будут иметь скалярное произведение, равное нулю. Другими словами, → n⋅ (→ r− → r0) = 0⇒ → n⋅ → r = → n⋅ → r0. Это называется векторным уравнением плоскости.

Что такое векторное уравнение плоскости XY?

То есть их скалярное произведение с плоскостью XY равно нулю.Итак, уравнение плоскости → r. ∧k = 0 или мы знаем, что точка, лежащая на этой плоскости, имеет координату z, равную 0. Таким образом, уравнение также можно записать как → r = a∧i + b∧j.

В чем разница между векторной формой и декартовой формой?

1 Ответ. Декартовы координаты — это один из способов записать векторы в виде набора чисел. Декартовы координаты — это способ записать вектор, выразив каждый вектор как линейную комбинацию базисных векторов.

Что такое скалярное уравнение плоскости?

Скалярное уравнение для плоскости, заданное вектором и точкой. Скалярное уравнение для плоскости имеет вид 3 x + 6 y + 2 z = 1 1 3x + 6y + 2z = 11 3x + 6y + 2z = 11.

Два вектора составляют плоскость?

Эти два вектора будут полностью лежать в плоскости, поскольку мы сформировали их из точек, которые находились на плоскости. Также обратите внимание, что здесь есть много возможных векторов, мы только что выбрали два из них. Теперь мы знаем, что произведение двух векторов будет ортогонально обоим этим векторам.

Как узнать, параллельны ли две плоскости?

Чтобы определить, параллельны ли плоскости, мы установим неравенство отношений, используя числа направлений из их нормальных векторов.Поскольку соотношения не равны, плоскости не параллельны. Чтобы определить, являются ли плоскости перпендикулярными, мы возьмем скалярное произведение их нормальных векторов.

Как узнать, параллельны ли векторы?

Чтобы определить, являются ли они параллельными или они, мы можем проверить, могут ли их соответствующие компоненты быть выражены как скалярные кратные друг другу или нет. Поскольку вектор P в 2 раза больше вектора Q, два вектора параллельны друг другу, а направление вектора Q противоположно направлению вектора P.

Как доказать, что вектор нормален к плоскости?

Единичный вектор — это вектор длины 1. Любой ненулевой вектор можно разделить на его длину, чтобы получить единичный вектор. Таким образом, для плоскости (или линии) вектор нормали можно разделить на его длину, чтобы получить единичный вектор нормали. Пример: для уравнения x + 2y + 2z = 9 вектор A = (1, 2, 2) является нормальным вектором.

Как узнать, лежат ли векторы в одной плоскости?

Условие компланарности векторов

1. Для 3-векторов.Три вектора компланарны, если их тройное скалярное произведение равно нулю.
2. Для 3-векторов. Три вектора компланарны, если они линейно зависимы.
3. Для n-векторов. Векторы компланарны, если среди них не более двух линейно независимых векторов.

Что такое единичный вектор нормали?

Допустим, у вас есть поверхность S. Если вектор в некоторой точке на S перпендикулярен S в этой точке, он называется нормальным вектором (к S в этой точке). Когда вектор нормали имеет величину 1, он называется единичным вектором нормали.…

Что делает единичный вектор?

Эти единичные векторы обычно используются для обозначения направления со скалярным коэффициентом, определяющим величину. Затем векторное разложение можно записать как сумму единичных векторов и скалярных коэффициентов. Учитывая вектор V, можно было бы рассмотреть проблему поиска вектора, параллельного V, с единичной длиной.

Что такое векторная кривая?

Единичный нормальный вектор кривой по своему определению перпендикулярен кривой в данной точке.Это означает, что вектор нормали кривой в данной точке перпендикулярен касательному вектору в той же точке. Таким образом, нормальный вектор кривой — это производная касательного вектора кривой.

Вектор — это функция?

Векторнозначная функция (также называемая векторной функцией) — это функция (не вектор), которая выводит вектор, а не скалярное или действительное значение.

Как найти нормаль к кривой?

Найдите уравнение касательной к кривой y = x3 в точке (2, 8).Градиент касательной при x = 2 равен 3 × 22 = 12. Вас также могут попросить найти градиент нормали к кривой. Нормаль к кривой — это линия, перпендикулярная (под прямым углом) касательной к кривой в этой точке.

Векторная алгебра

Векторная алгебра

Лучше знай свой Trig.

Вы уже узнали, как алгебраически складывать и вычитать векторы, добавляя их компоненты к вычитанию. Вы также узнали, как вычислить величину вектора по его компонентам.Но что, если вы не знаете компонентов вектора? Например, что, если вам задан вектор смещения величиной 10,0 м под углом 30 ° от горизонтали? Как вы можете получить компоненты из этой информации? В качестве альтернативы, как вы можете использовать векторные компоненты и их величину для вычисления угла, который он образует с горизонтальной осью?

Помните, что вектор и его компоненты образуют прямоугольный треугольник, как показано ниже.

Если угол между вектором и осью x равен θ, то, используя определения триггера.функции синуса, косинуса и тангенса, мы должны записать отношения между компонентами и величиной вектора (который является гипотенузой прямоугольного треугольника).

Очень важно знать единичный круг, показанный ниже.

Вектор, указывающий в направлении + x, образует угол 0 ° с осью + x.
Вектор, указывающий в направлении + y, составляет угол 90 ° с осью + x.
Вектор, указывающий в направлении -x, образует угол 180 ° с осью + x.
Вектор, указывающий в направлении -y, составляет угол 270 ° с осью + x.
Вектор, указывающий под любым углом вправо от начала координат, будет иметь положительную x-компоненту.
Вектор, указывающий на любой угол слева от начала координат, будет иметь отрицательную x-компоненту.
Вектор, указывающий под любым углом вверх от начала координат, будет иметь положительную y-компоненту.
Вектор, указывающий под любым углом вниз от начала координат, будет иметь отрицательную y-компоненту.

Единственный способ освоить векторы и тригонометрию — это практиковаться. Сначала это сбивает с толку; только практика устраняет путаницу.

Обратите внимание, что θ — это угол, который вектор образует с осью + x (также называемой горизонтальной осью, хотя технически ее можно определить в любой ориентации по вашему желанию). Приведенные выше уравнения, которые связывают компоненты вектора с величиной вектора и θ, верны только для этого определения θ. Если угол определяется каким-либо другим способом (возможно, относительно оси + y), то вам нужно либо выяснить, что такое θ, либо использовать триггер.функции для поиска новых отношений между компонентами вектора и величиной вектора (гипотенуза).

Можно сообщить об углах, идущих против часовой стрелки или по часовой стрелке по кругу устройства. Если вы указываете свой угол как угол ниже или по часовой стрелке от оси + x, то вы должны указать его как отрицательный угол. Например, 270 ° — это то же самое, что -90 °.

---

Контрольная точка

Для всех вопросов ниже, пожалуйста, нарисуйте изображение вектора и системы координат.Это помогает!

1. (a) Вектор смещения имеет величину 100 м и угол 110 ° по отношению к оси + x. Каковы его компоненты x и y?

& Delta x = m & Delta y = m

(b) Какой угол образует этот вектор с осью + y? °

2. (a) В какой-то момент автомобиль развивает скорость 20,0 м / с в направлении 15 ° к западу от юга. (Другими словами, если N — ось + y, а E — ось + x, этот угол задается относительно оси -y.\ -> | «) = м / с ²
θ = °

Что означает отрицательный вектор? — AnswersToAll

Что означает, когда вектор отрицательный?

Вектор может быть как положительным, так и отрицательным. Отрицательное значение вектора представляет направление, противоположное опорному направлению. Это означает, что величины двух векторов одинаковы, но противоположны по направлению.

Всегда ли единичные векторы положительны?

Стандартные единичные векторы в двух измерениях.Перемещение их с помощью мыши не меняет векторы, поскольку они всегда указывают в положительном направлении соответствующей оси.

Какие компоненты вектора?

Каждая часть двумерного вектора известна как компонент. Компоненты вектора отображают влияние этого вектора в заданном направлении. Совместное влияние двух компонентов эквивалентно влиянию одного двумерного вектора.

Каковы две компоненты векторной величины?

Векторная величина имеет две характеристики: величину и направление.При сравнении двух векторных величин одного типа необходимо сравнить как величину, так и направление. На этом слайде мы описываем математическую концепцию, уникальную для векторов; компоненты вектора.

Скорость — это векторная величина?

Скорость — это физическая векторная величина; для его определения необходимы и величина, и направление. Если есть изменение скорости, направления или того и другого, то объект имеет изменяющуюся скорость и, как говорят, испытывает ускорение.

Является ли аптраст векторной величиной?

«Аптраст» — это пример силы.Является ли аптраст скалярной или векторной величиной? Вектор, потому что это сила.

Что такое без рабочей силы привести пример?

Есть много важных примеров сил, которые не работают, потому что действуют перпендикулярно движению. При круговом движении центростремительная сила всегда действует под прямым углом к ​​движению. Он меняет направление движения, но не воздействует на объект. Это можно применить к любой круговой орбите.

Как называется скорость выполнения работы?

мощность

Какие бывают 4 вида работы?

Четыре типа работы

• Бизнес-проекты — Бизнес-инициативы, большая часть разработок.
• Внутренние ИТ-проекты — Инфраструктура и ИТ-операции.
• Обновления и изменения — часто создаются в результате двух предыдущих типов работы.
• Незапланированная работа или восстановительные работы — инциденты и проблемы, вызванные другой работой.

Что такое положительный отрицательный и нулевая работа?

Выполненная положительная работа — Проделанная работа считается положительной, когда сила и смещение действуют в одном направлении. Нулевая работа — считается, что проделанная работа равна нулю, когда сила и смещение перпендикулярны друг другу.

скаляров и векторов — физический ключ

Физические величины, которые могут быть полностью описаны с помощью одного числового значения с единицей измерения, называются скалярными величинами.

Физические величины, связанные как с числовым значением, так и с направлением, и не могут быть описаны одним числом, называются векторными величинами

Например, вы хотите измерить температуру своего тела термометром, вы никогда не учитываете направление температуры, а учитываете только одно числовое значение в градусах по Фаренгейту или градусам Цельсия.Итак, температура — это скалярная величина.

Физические величины, такие как время, скорость, масса, объем, плотность, давление, энергия и т. Д., Являются скалярными величинами. Некоторые скаляры всегда положительны, например скорость, масса, а другие могут быть положительными или отрицательными, например температура.

Сложение или вычитание скалярных величин — это то же самое, что сложение или вычитание чисел.

Физическая величина, которая может быть полностью описана одним числом с единицей измерения, называется скаляром.

В случае летящего самолета вы не только учитываете, насколько быстро он движется, но также должны учитывать, в каком направлении он движется. Скорость — это физическая величина, которая имеет как числовое значение, так и направление, которое может полностью описывать движение плоскости, а скорость — это векторная величина.

Физические величины, такие как перемещение, скорость, сила и т. Д., Являются векторными величинами.

Физическая величина, которая может быть полностью описана числом с единицей (величиной) и направлением, называется вектором.

Сложение или вычитание векторов — это не то же самое, что сложение или вычитание скалярных значений. Направление векторов необходимо учитывать при сложении или вычитании векторов.

Если физическая величина связана с направлением, мы называем эту величину векторной величиной, а если она не связана с каким-либо направлением, мы называем ее скалярной величиной.

Направление всегда связано со скоростью , поэтому это векторная величина, но скорость не является векторной величиной, поскольку с ней не связано никакого направления, поэтому скорость является скалярной величиной.Обратите внимание, что векторная величина имеет как величину, так и направление, но скалярная величина имеет только величину.

Как представить вектор? Пусть векторная величина представлена ​​буквой, скажем, J, и, чтобы записать это как вектор, мы помещаем стрелку, например, $ \ vec {J} $, где стрелка представляет направление, а одна буква представляет величину.

Если вы пишете только величину векторной величины, вам не нужно помещать стрелку поверх нее, но чтобы записать ее как вектор с величиной и направлением, вам нужно поместить стрелку над символом физической величины.

Теперь рассмотрим векторы в более общем виде. Графический способ представления вектора — это стрелка, которая начинается в определенной точке (скажем, $ A $) и заканчивается в другой точке (скажем, $ B $), как показано на рисунке 1.

Вектор на рисунке 1 может быть записан как $ \ vec {AB} $ (читается как «вектор $ AB $») в обозначениях, но вектор $ \ vec {AB} $ также может быть представлен одной буквой, например $ \ vec {A} $ (рисунок 2). Более предпочтительный способ написать вектор одной буквой со стрелкой над ней.

Рисунок 1 Вектор, представленный графически стрелкой, начинающейся в точке $ A $ (хвост) и заканчивающейся точкой $ B $ (голова). Рисунок 2 Вектор $ \ vec {AB} $ на рисунке 1 записывается как $ \ vec {A} $ в более общем виде.

Теперь вы должны знать, что физические величины, имеющие как величину, так и направление, являются векторами, в то время как те, которые имеют только величину, но не направление, являются скалярами.

Скаляры складываются или вычитаются так же, как добавление или вычитание общих чисел, но это не относится к векторам, потому что нам также нужно учитывать направление.Масса является скалярной величиной, и вы можете напрямую добавить $ 5 \ text {kg} $ и $ 4 \ text {kg} $, чтобы получить общую массу $ 9 \ text {kg} $, но это не применимо для векторов.

Единичные векторы

Работа единичных векторов состоит в том, чтобы указывать определенное направление в пространстве. Единичные векторы записываются с использованием знака «шляпа» или «колпачок» над физической величиной, например $ \ hat {n} $, читаемой как «n cap».

См. На рисунке 3, что единичные векторы, которые указывают в положительном направлении x, положительном направлении y и положительном направлении z, представлены как $ \ hat {i} $, $ \ hat {j} $ и $ \ hat { k} $ соответственно.

Рисунок 3 Единичные векторы показаны вдоль положительной оси x, положительной оси y и положительной оси z.

Знак «крышка» или «шляпа» — напоминание об единичных векторах. Математически единичные векторы можно получить, разделив вектор на его величину. Например, рассмотрим единичный вектор, скажем, $ \ hat {a} $ вектора $ \ vec {A} $, как показано на рисунке 2. Единичный вектор $ \ hat a $ равен $ \ vec {A} $, деленному на его величину. $ \ left | \ vec {A} \ right | $ или $ A $. Следовательно,

\ [\ hat {a} = \ frac {\ vec {A}} {\ left | \ vec {A} \ right |} = \ frac {\ vec {A}} {A} \]

Ленты векторов

Единичный вектор также является одним из уже отмеченных типов векторов.Равные векторы — это те, которые имеют одинаковое направление и одинаковую величину.

Рисунок 4 Равные векторы будут иметь одинаковую величину и направление. Рисунок 5 Векторы, имеющие одинаковую величину, но не одинаковое направление, не равны. Показанные векторы являются антипараллельными векторами, это означает, что один вектор является отрицательным по отношению к другому.

На рисунке 4 показаны равные векторы, где $ \ vec {A} $ равно $ \ vec {B} $. Равны ли векторы на рис. 5, если равны величины обоих векторов? Обратите внимание, что векторы будут равны, если направление и величина обоих векторов одинаковы.

На рисунке 5 векторы имеют противоположное направление, поэтому они не равны векторам, даже если они имеют одинаковую величину. Параллельные векторы параллельны, а антипараллельные — антипараллельные векторы.

Рисунок 6 Векторы параллельны, но не имеют одинаковой величины. $ \ vec {B} $ равно $ \ vec {A} $ только тогда, когда $ \ vec {A} $ умножается на определенное скалярное значение, такое как $ k $, что дает величину $ \ vec {A} $ равна величине $ \ vec {B} $.Рисунок 7 Векторы антипараллельны и не имеют одинаковой величины. Здесь один из векторов, таких как $ \ vec {A} $, умножается на отрицательный скаляр $ -k $, чтобы величина и направление $ \ vec {A} $ были равны значению $ \ vec {B } $.

Векторы на рисунке 4 параллельны (также равны), а векторы на рисунке 5 — антипараллельные векторы. Равные векторы всегда параллельны. Обратите внимание на рис. 6, что векторы только параллельны (но не равны), то есть они имеют одинаковое направление, но разные величины.

В этом случае один вектор равен скалярному умножению другого. Другими словами, величину одного вектора можно привести равной величине другого, умножив один из векторов на скалярное значение, скажем, $ k $.