Проекция силы на ось | ПроСопромат.ру
Часто геометрическое сложение векторов сил требует сложных и громоздких построений. В таких случаях прибегают к другому методу, где геометрическое построение заменено вычислениями скалярных величин. Достигается это проектированием заданных сил на оси прямоугольной системы координат.
Как известнее из математики, осью называют неограниченную прямую линию, которой приписано определенное направление. Проекция вектора на ось является скалярной величиной, которая определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора на ось.
Проекция вектора считается положительной (+), если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считается
Рассмотрим ряд случаев проектирования сил на ось.
- Дана сила Р (рис.а), она лежит в одной плоскости с осью х. Вектор силы составляет с положительным направлением оси острый угол α.
Чтобы найти величину
Рх = ab = Р cos α.
Проекция вектора в данном случае положительна.
2. Дана сила Q (рис. б), которая лежит в одной плоскости с осью х, но ее вектор составляет с положительным направлением оси тупой угол α.
Проекция силы Q на ось
Qх = ab = Q cos α,
но
cos a = — cos β.
Так как α > 90°, то cos cos α — отрицательная величина. Выразив cos α через cos β (β — острый угол), окончательно получим
Qх = — Q cos β
В этом случае проекция силы отрицательна.
Итак, проекция силы на ось координат равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси
При определении проекции вектора силы на ось пользуются обычно косинусом острого угла, независимо от того, с каким направлением оси — положительным или отрицательным — он образован. Знак проекции легче устанавливать непосредственно по чертежу.
Силу, расположенную на плоскости хОу, можно спроектировать на две координатные оси Ох и Оу. Рассмотрим рисунок.
На нем изображена сила Р и ее проекции Рх и Ру. Ввиду того что проекции образуют между собой прямой угол, из прямоугольного треугольника ABC следует:
Этими формулами можно пользоваться для определения величины и направления силы, когда известны ее проекции на координатные оси. Эти же формулы могут применяться для определения величины и направления
Вопрос 1.3 Проекция силы на ось
Проекцией
силы на ось называется направленный отрезок на
оси, заключенный между перпендикулярами,
опущенными из начала и конца вектора
силы на ось (рисунок 1.9).
З
Рисунок 1.9
начение проекции вектора силы на ось равно произведению модуля силы на косинус угла между ее вектором и осью. Если направление проекции совпадает с направлением оси, то проекция вектора на ось положительна, в противном случае – отрицательна.На рисунке 1.10 показаны случаи нахождения проекций сил на ось координат.
Рисунок 1.10
; 
;
;
.Вопрос 1.4 Момент силы относительно точки
.
Плечо силы – это длина перпендикуляра, опущенного из точки, относительно которой определяется момент, на линию действия силы.
Е
Рисунок 1.11
сли сила стремится повернуть тело по отношению к точкепротив хода часовой стрелки, то момент силы относительно этой точки считается положительным, в противном случае –
относительно точки А (рисунок 1.11)
соответственно равны: 
В
случаях, когда нахождение плеча
затруднено, для вычисления момента силы
относительно точки целесообразно
использовать теорему
Вариньона: момент равнодействующей
силы относительно некоторой точки равен
алгебраической сумме моментов сил,
составляющих систему, относительно той
же точки:
. П
ри
решении задач для нахождения момента
силы
относительно точки с помощью теоремы
Вариньона силу раскладывают на
составляющие, моменты которых относительно
рассматриваемой точки легко определяются.
Затем искомый момент получают как
алгебраическую сумму моментов
составляющих. Например, для схемы,
изображенной на рисунке 1.12, имеем
Рисунок 1.12
Вопрос 1.5 Пара сил
Пара сил – это система двух равных по модулю, параллельных и противоположных по направлению сил.
И
з
рисунка 1.13 видно, что сумма проекций
сил пары на оси координат всегда равна
нулю:
Н
Рисунок 1.13
айдем сумму моментов сил пары относительно произвольной точки плоскости 
Из полученного выражения видно, что результат не зависит от расстояния KL (следовательно, от положения точки K), а определяется только расстоянием h. Расстояние h между линиями действия сил пары называют плечом пары.
Момент пары считается положительным, если она стремится повернуть тело при действии против хода часовой стрелки, и отрицательным – при действии по ходу часовой стрелки.
На
расчетных схемах для обозначения пар
сил применяются символы 
.Вопрос 1.6 Центр тяжести твердого тела
Центром тяжести тела называется точка приложения его силы тяжести.
Для нахождения положения центра тяжести используют следующие способы:
1 Метод симметрии. У однородного тела, имеющего плоскость, ось или центр симметрии, центр тяжести находится соответственно в плоскости, на оси или в центре симметрии.
2 Метод разбиения на части. Если тело имеет сложную форму, его разбивают на части, положения центров тяжести которых известны. В таком случае положения центров тяжести тела определяют с использованием следующих выражений.
Координаты центра тяжести объемного тела постоянной плотности находятся по формулам
; 
;
,
где 
–
координаты центров тяжести элементарных
частей,
–объем i-й
части.
Если тело представляет собой однородную пластину постоянной толщины, то координаты ее центра тяжести
; 
,
где 
–
площадьi-го
элемента.
Для стержневых конструкций, образованных стержнями одинаковой плотности и постоянного поперечного сечения, координаты центра тяжести определяют по формулам
; 
;
,
где 
–
длина элемента линии.
3 Метод отрицательных сил тяжести. При нахождении положения центра тяжести тела, имеющего вырезы, полости, отверстия и т. п., используют метод разбиения на части, причем считается, что полости (их площади, объемы) имеют отрицательный вес.
Лекция 2 Уравнения равновесия.
(2 часа, 1 семестр, 1 курс)
§ 4. Проекция силы на ось и плоскость.
Аналитический способ сложения сил
Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси ( рис. 11).
Fx = Fcos , Qx = Qcos1 = – Qcos , Px = 0. (4)
Рис. 11
Проекцией
силы 
на плоскость Oxy называется вектор
,
заключенный между проекциями начала и
конца силы 
на эту плоскость (рис. 12).
Рис. 12
В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на данную ось (рис. 12):
Fx = Fxycos = Fcoscos , Fy = Fxysin = Fcossin . (5)
Силу 
можно построить, если известны модуль
F этой силы, углы,
,
,
которые сила образует с координатными
осями и координаты x, y, z точки приложения.
Для решения задач механики удобнее задавать силу ее проекциями Fx = X , Fy = Y , Fz = Z на координатные оси. Зная проекции, можно определить модуль силы и углы, которые она образует с координатными осями по формулам
,
cos = X / F , cos = Y / F , cos = Z / F . (6)
Если 
есть главный вектор системы сил 
,
,
, …,
,
т.е.
,
то проекциями вектора
на оси координат будут:
, 
,
Зная Rx, Ry, Rz, по формулам (6) находим модуль главного вектора и его направляющие косинусы:
,
cos = Rx / R , cos = Ry / R , cos = Rz / R . (7)
Формулы (7) позволяют решить задачу о сложении сил аналитически.
Для сил, расположенных в одной плоскости, соответствующие формулы принимают вид:
, 
,
,
cos = Rx / R
, cos = Ry / R
. (8)
Если силы заданы их модулями и углами с осями, то для применения аналитического метода сложения надо предварительно вычислить проекции этих сил на координатные оси.
Задача 1. Найти сумму трех лежащих в одной плоскости сил (рис. 13, а ), если дано: F = 17,32 Н, T = 10 Н, P = 24 , = 300, = 600.
Решение
Вычисляем проекции заданных сил на координатные оси:
Fx = Fcos = 17,32·0,866 = 15 Н, Tx = – Tcos = – 10·0,5 = – 5 Н, Px = 0,
Fy = – Fsin = 17,32·0,5 = – 8,66 Н, Ty = – Tsin = 10·0,866 = 8,66 Н,
Py = – P = –24 Н.
Тогда по формулам (8)
Rx = 15 – 5 = 10 Н , Ry = – 8,66 + 8,66 – 24 = – 24 Н .
Следовательно
Н
; cos = 5 / 13
, cos = – 12 / 13
.
Окончательно R = 26 Н, = 67020, = 157020.
Для решения задачи геометрическим
методом выберем соответствующий масштаб
(например, в 1см – 10 Н) и построим
из сил 
,
,
,
силовой многоугольник (рис. 13, б).
Его замыкающая ad определяет в данном
масштабе модуль и направление
.
Если, например, при измерении получим
ad ≈ 2,5 см, то R ≈ 25 Н с
погрешностью по отношению к точному
решению около 4 %.
Рис. 13
§5. Равновесие системы сходящихся сил
Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая, а следовательно, и главный вектор этих сил были равны нулю. Условия, которым при этом должны удовлетворять силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме.
1. Геометрическое условие равновесия. Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнутым.
2. Аналитические условия равновесия. Модуль главного вектора системы сил определяется первой формулой (7):
.
Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно Rx = 0, Ry = 0, Rz = 0, т.е. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам
, 
,
.
(9)
Равенства (9) выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на координатные оси были равны нулю.
Если сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В этом случае получим только два условия равновесия:
, 
.
(10)
3. Теорема о трех силах. Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия сил пересекаются в одной точке.
Для
доказательства теоремы сначала рассмотрим
две силы, например 
и
.
Линии действия этих сил пересекаются
в некоторой точке А (рис. 14). Заменим
их равнодействующей
.
Тогда на тело будут действовать две
силы: сила
и сила
,
приложенная в какой-то точке В тела. Так
как тело находится в равновесии, то
согласно первой аксиоме, силы
и
направлены вдоль прямой АВ. Следовательно,
линия действия силы
тоже проходит через точку А, что и
требовалось доказать.
Пример.
Рассмотрим брус АВ, закрепленный в точке
А шарниром и опирающийся на выступ D
(рис. 15).На
этот брус действуют три силы: сила
тяжести 
,
реакция
выступа и реакция
шарнира. Так как брус находится в
равновесии, то линии действия сил должны
пересекаться в одной точке. Линии
действия сил
и
известны и они пересекаются в точке К.
Следовательно, линия действия реакции
тоже должна пройти через точку К, т. е.
должна быть направлена вдоль прямой
АК.
Рис. 14 Рис. 15
Задача
2. Груз весом Р лежит на гладкой наклонной
плоскости с углом наклона 
(рис. 16, а).
Определить значение горизонтальной
силы 
,
которую надо приложить к грузу, чтобы
удержать его в равновесии, и найти, чему
при этом равна сила давления
груза на плоскость.
Решение.
Искомые силы действуют на разные тела:
сила 
на груз, сила
–
на плоскость. Для решения задачи вместо
силы 
будем искать реакцию плоскости
.
,
Q = N.
Тогда заданная сила 
и искомые силы
и
будут действовать на одно и то же тело
на груз. Рассмотрим равновесие груза.
Геометрический
способ. При равновесии треугольник,
построенный из сил 
,
и
,
должен быть замкнутым. Построение
треугольника начнем с заданной силы.
От произвольной точкиa в выбранном масштабе откладываем силу 
(рис. 16, б).
Через начало и конец этой силы проводим
прямые, параллельные направлениям сил 
и
.
Точка пересечения этих прямых дает
третью вершинуc замкнутого силового треугольника abc,
в котором стороны bc и ac равны в выбранном масштабе силам 
и
.
Направление сил определяется правилом
стрелок: так как равнодействующая равна
нулю, то при обходе треугольника острия
стрелок нигде не должны встречаться в
одной точке. Модули искомых сил можно
найти из треугольникаabc путем численного расчета (в этом случае
соблюдать масштаб при изображении сил
не надо). Замечая, что bac = 900,
abc =
получим F = Ptg ,
N = P / cos
(F / P = tg ,
P / N = cos).
Рис. 16
Аналитический способ. Так как система сходящихся сил является плоской, то для нее надо составить два условия равновесия (10)
, 
.
Для
этого сначала проводим координатные
оси. Затем вычисляем проекции сил 
,
и
на осиx
и y
и составляем уравнения, получим:
, 
.
Решая эти уравнения, найдем:
, 
.
Уравнения равновесия [wiki.eduVdom.com]
Проекция силы на ось — характеризует действие этой силы вдоль этой оси.
То есть Проекция силы на ось Ох ($ P_x = \sum X_i $ ) характеризует действие этой силы вдоль оси Ох.
А проекция силы на ось Оу ($ P_y = \sum Y_i $ ) характеризует действие этой силы вдоль оси Оу.
И если сумма проекций всех сил на ось Ох равна нулю ($ \sum X_i = 0 $ )– значит действие этих сил вдоль этой оси Ох нет , силы вдоль этой оси друг друга уравновешивают.
И если сумма проекций всех сил на ось Оу равна нулю ($ \sum Y_i = 0 $ )- значит действие этих сил вдоль этой оси Оу нет , силы друг друга вдоль этой оси Оу уравновешивают.
Вращательное действие силы относительно точки О характеризует момент этой силы относительно этой точки О ($ M_0(P)=0 $) .
И если сумма моментов всех сил относительно точки О равно нулю ($ \sum M_O =0 $), то вращательного действия всех этих сил на тело относительно точки О нет, они его не производят, или их вращательные действия их взаимно уравновешены.
Теперь — если проекции всех сил на оси Ох и Оу равны нулю , и сумма моментов всех сил относительно любой — какой угодно — точки равны нулю, то тело находится в равновесии.
$$ \sum X=0 \\ \sum Y=0 \\ \sum M_A=0 $$
Это и есть условия равновесия тела под действием произвольной плоской системы тел:
Система сил, действующих на тело, называется сходящейся, если линии действия этих сил пересекается в одной точке.
Условие равновесия системы сходящихся сил
Для того, чтобы система сходящихся сил была уравновешенной, то есть под действием ее тело будет находится в равновесии — условие равновесия системы сходящихся сил,
может быть записано :
$$ \sum X_i = 0
\\ \sum Y_i = 0
$$
Или другими словами — для плоской системы сходящихся сил, лежащих в плоскости Oxy, соответствующие уравнения равновесия примут вид:
$$ \sum X_i = 0 \\ \sum Y_i = 0 $$
Проекция силы на ось
Определение. Проекцией силы $\vec{Р}$ на ось Ox называется взятая с знаком $\pm$
длина отрезка этой оси, заключенная между проекциями на неё начала и конца
вектора силы.
Эту проекцию обычно обозначают как Рx или X. В соответствии с определением она равна:
$$ P_x = X = |\vec{Р}| \cdot \cos (\vec{Р}, \vec{i}) = P \cdot \cos \alpha $$
$$ P_y = Y = |\vec{Р}| \cdot \cos (\vec{Р}, \vec{j}) = P \cdot \sin \alpha $$
, где $\vec{i}$ – единичный вектор оси /Ox/, а $\alpha$ – угол между ним и силой $\vec{Р}$ (Рис.1).
Рис.1
Таким образом:
$$ P_x > 0\text{, если }0 \leq \alpha < \frac{\pi}{2} $$ $$ P_x = 0\text{, если } \alpha = \frac{\pi}{2} $$ $$ P_x < 0\text{, если } \frac{\pi}{2} < \alpha \leq \pi $$
Проекция силы на ось равна нулю, если сила перпендикулярно оси.
Аналогично находится проекция силы Р на ось Oy.
Вектор $ \vec{Р} $ может быть выражен:
$$\vec{Р} = P_x \cdot \vec{i} + P_y \cdot \vec{j} = X \cdot \vec{i} + Y \cdot \vec{j}$$
А равнодействующая плоской системы двух сходящихся сил равна диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.
Модуль и направление искомого вектора силы Р можно найти по формулам:
$$ P = \sqrt{X^2 + Y^2} \\ \cos (\vec{Р}, \vec{i}) = \frac{X}{P} \\ \cos (\vec{Р}, \vec{j}) = \frac{Y}{P} $$
Момент силы относительно центра
Приложим в точке А силу P и выясним — чем определяется момент силы относительно точки О, который характеризует вращательное действие этой силы относительно точки О(Рис.1).
Рис.1
Очевидно, что воздействие силы на тело будет зависеть не только от ее величины, но и от того, как она направлена, и в конечном итоге будет определяться ее моментом относительно центра О.
Рассмотренное определение момента силы подходит только для плоской системы сил.
Определение 1. Моментом силы Р относительно центра О называется
взятое со знаком $\pm$ произведение модуля силы на ее плечо – то есть длину
перпендикуляра, опущенного из моментной точки на линию действия силы.
Правило знаков: момент силы считается положительным, если сила
стремится повернуть тело против хода часовой стрелки и отрицательным, если
она вращает тело по ходу часовой стрелки.
В соответствии с данным определением момент силы численно равен удвоенной площади треугольника OAB, построенного на векторе силы P с вершиной в моментной точке: $M_0(P) = P\cdot d = 2S\Delta_{OAB}$ .
Отметим, что момент силы относительно точки О равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку.
Уравнения равновесия плоской системы сил
Уравнения равновесия плоской системы сил,
которые можно записать в трех различных формах:
Первая форма:
$$ \sum X=0 \\ \sum Y=0 \\ \sum M_A=0 $$Вторая форма:
$$ \sum M_A=0 \\ \sum M_B=0 \\ \sum Y=0 $$ , где ось Oy не перпендикулярна отрезку АВТретья форма:
$$ \sum M_A=0 \\ \sum M_B=0 \\ \sum M_C=0 $$ , где точки А, В и С не лежат на одной прямой.
Таким образом, любая из этих трех форм эквивалентна условию равновесия плоской системы сил и наоборот.
Центр тяжести
Центр тяжести — точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.
Если тело имеет ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит там.
Центр тяжести квадрата и прямоугольника — точка пересечения его диагоналей.
Центр тяжести круга — в его центре.
Центр тяжести треугольника — в точке пересечения медиан.
Задачи и опыты
Задачи
Опыты с пояснением — физика 9 кл.
Рекомендуем
subjects/physics/уравнения_равновесия.txt · Последние изменения: 2016/12/24 22:09 — ¶
Проекция силы на ось. Проекция векторной суммы сил на ось — Мегаобучалка
Решение задач на равновесие сходящихся сил с помощью построения замкнутых силовых многоугольников сопряжено с громоздкими построениями. Универсальным методом решения таких задач является переход к определению проекций заданных сил на координатные оси и оперирование с этими проекциями. Осью называют прямую линию, которой приписано определенное направление.
Проекция вектора на ось является скалярной величиной, которая определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на нее из начала и конца вектора.
Проекция вектора считается положительной, если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считается отрицательной, если направление от начала проекции к ее концу противоположно положительному направлению оси.
Таким образом, проекция силы на ось координат равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси.
Рассмотрим ряд случаев проецирования сил на ось:
Вектор силы F (рис. 15) составляет с положительным направлением оси х острый угол .
Рис. 15
Чтобы найти проекцию, из начала и конца вектора силы опускаем перпендикуляры на ось oх; получаем
1. Fx = F cos α
Проекция вектора в данном случае положительна
Сила F (рис. 16) составляет с положительным направлением оси х тупой угол α.
Рис. 16
Тогда Fx = F cos α, но так как α = 1800 — φ,
Fx = Fcos α = Fcos1800 — φ =- Fcos φ.
Проекция силы F на ось oх в данном случае отрицательна.
Сила F (рис. 17) перпендикулярна оси oх.
Рис. 17
Проекция силы F на ось х равна нулю
Fx = F cos 90° = 0.
Силу, расположенную на плоскости хоу (рис. 18), можно спроектировать на две координатные оси ох и оу.
Рис. 18
Силу F можно разложить на составляющие: Fx и Fy. Модуль вектора Fx равен проекции вектора F на ось ox, а модуль вектора Fy равен проекции вектора F на ось oy.
Из ΔОАВ: Fx=F cos α, Fx=F sin α.
Из ΔОАС: Fx=F cos φ, Fx=F sin φ.
Модуль силы можно найти по теореме Пифагора:
Проекция векторной суммы или равнодействующей на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.
Рассмотрим сходящиеся силы F1, F2, F3, и F4, (рис. 19, а). Геометрическая сумма, или равнодействующая, этих сил F определяется замыкающей стороной силового многоугольника
Рис. 19
Опустим из вершин силового многоугольника на ось x перпендикуляры.
Рассматривая полученные проекции сил непосредственно из выполненного построения, имеем
F= F1x+F2x+F3x+ F4x
или
где n — число слагаемых векторов. Их проекции входят вышеуказанное уравнение с соответствующим знаком.
В плоскости геометрическую сумму сил можно спроецировать на две координатные оси, а в пространстве – соответственно на три.
Проекция силы на ось. Момент силы относительно точки и оси — Мегаобучалка
Предмет теоретической механики. Этапы развития. Основные понятия теоретической механики.
Механикой называется наука о простейшей форме движения материи — о механическом движении. Простейшими являются движения, сводимые к перемещениям во времени физических тел из одного положения в пространстве в другое.
Теоретическая механика изучает наиболее общие законы механического движения. Она не учитывает индивидуальные свойства физических тел, за исключением двух: свойства протяженности и свойства гравитации (свойства частиц материи тяготеть друг к другу или обладать весом).
К числу основных понятий относится механическая сила. Механическая сила есть движение, в механической форме передаваемое от одного тела к другому при их взаимодействии.
Многочисленные наблюдения показали, что сила характеризуется величиной, направлением и точкой приложения. Сила относится к векторным величинам.
Под движением в механике мы понимаем механическое движение, т. е. происходящее с течением времени изменение взаимного положения материальных тел в пространстве.
Механическим взаимодействием между телами называется тот вид взаимодействия, в результате которого происходит изменение движения этих тел или изменение их формы (деформация).
По своему построению теоретическая механика напоминает геометрию: в ее основе также лежат определения, аксиомы и теоремы. По характеру рассматриваемых задач механику принято разделять на статику, кинематику и динамику.
В статике изучаются методы преобразования сил, приложенных к материальной точке и абсолютно твердому телу, а также условия их равновесия.
Кинематикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение без учета действующих сил.
Изучением механического движения материальной точки, системы и абсолютно твердого тела с учетом действующих сил занимается динамика.
Основной задачей теоретической механики является изучение общих законов движения и равновесия материальных тел под действием приложенных к ним сил.
Термин «механика» впервые появляется в сочинениях одного из выдающихся философов древности Аристотеля (384—322 до н. э.) и происходит от греческого слова, означающего по современным понятиям «сооружение», «машина», «изобретение»
В древние времена, когда запросы производства сводились главным образом к удовлетворению нужд строительной техники, начинает развиваться учение о так называемых простейших машинах (блок, ворот, рычаг, наклонная плоскость) и общее учение о равновесии тел (статика). Обоснование начал статики содержится уже в сочинения одного из великих ученых Архимеда (287 – 212 г. но н. э.).
В России на развитие первых исследований по механике большое влияние оказали труды гениального ученого и мыслителя М. В. Ломоносова (1711—1765), М. В. Остроградского (1801—1861), П. Л. Чебышева (1821—1894), С. В. Ковалевской (1850—1891), И. В. Мещерского (1859—1935и т.д.
Выдающееся значение для развития механики имели труды «отца русской авиации» Н. Е. Жуковского (1847—1921) и его ближайшего ученика С. А. Чаплыгина (1869—1942). Характерной чертой в творчестве Н. Е. Жуковского было приложение методов механики к решению актуальных технических задач.
Введение в статику. Предмет статики. Основные задачи статики. Основные понятия статики.
Статика — это раздел теоретической механики, в котором устанавливаются методы преобразования одних систем сил в другие, им эквивалентные, а также условия равновесия различных систем сил, действующих на твердое тело.
В статике рассматриваются две основные задачи:
-замена дополнительной системы сил приложенных к твердому телу другой системой сил ей эквивалентной;
-вывод общих условий, при которых твердое тело под действием приложенных к нему сил остаются в состоянии покоя или в состоянии равномерного прямолинейного поступательного движения.
Основные понятия статики:
Материальная точка— это простейшая модель материального тела любой формы, размеры которого достаточно малы и которое можно принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу.
Механическая система— это любая совокупность материальных точек.
Абсолютно твердое тело— это механическая система, расстояние между точками которой не изменяется при любых взаимодействиях.
Сила— это одна из векторных мер действия одного материального объекта на другой рассматриваемый объект. Сила характеризуется числовым значением, а также точкой приложения и направлением действия. Это векторная величина и обозначается она, например, . Ее действие на тело определяется: 1) численной величиной или модулем силы, 2) направлением силы, 3) точкой приложения силы. Предполагается, что действие силы на тело не изменится, если ее перенести по линии действия в любую точку тела (твердого тела). Поэтому вектор силы называют скользящим вектором. Если силу перенести в точку, не расположенную на этой линии, действие ее на тело будет совсем другим.
Система сил— это совокупность сил, действующих на рассматриваемое тело.
Система сил, эквивалентная нулю (равновесная система сил),— это такая система сил, действие которой на твердое тело или точку, находящиеся в покое или движущиеся по инерции, не приводит к изменению его состояния.
Проекция силы на ось. Момент силы относительно точки и оси.
Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и направлением силы.
Если проекцию силы F на ось х обозначить Fx ,то согласно приведенному определению Fx = F cos(F,x) или Fx = F cosax
где F – модуль силы; ax – угол между положительным направлением оси и силой F.
Из второй формулы видно, что знак проекции силы на ось зависит от знака косинуса угла ax: проекция будет положительной, если ax < 90° и отрицательной, если ax > 90°.
Моментом сил относительно точки называется взятое с соответствующим знаком произведение величины силы на ее плечо.
Плечом силы относительно точки называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы
Момент силы относительно точки зависит не только от её модуля, но и от расстояния от линии действия силы до возможной оси вращения (плеча силы).
Часто такой момент называют алгебраическим.
Этот момент численно равен удвоенной площади треугольника, построенного на силе и моментной точке
Векторным моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы.
Момент силы относительно точки считается положительным, если сила стремится повернуть плоскость, проходящую через линию ее действия и моментную точку, против часовой стрелки. В противном случае этот момент будет отрицательным. Если линия действия силы проходит через точку по отношению к которой определяется момент, то момент равен нулю.
Моментом силы относительно оси называется момент проекции этой силы на перпендикулярную к оси плоскость относительно точки пересечения оси и плоскости
На рисунке задана произвольная плоскость П, перпендикулярная оси Z. т.О — точка пересечения оси Z и плоскости П, h — плечо проекции силы F на плоскость П относительно точки О.
Момент силы относительно оси считается положительным, если проекция силы на перпендикулярную к оси плоскость стремится повернуть эту плоскость вокруг положительного направления оси против часовой стрелки. В противном случае указанный момент будет отрицательным. Момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.
Аксиомы статики.
Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений, принимаемых без математических доказательств и называемых аксиомами или принципами статики. Аксиомы статики представляют собой результат обобщений многочисленных опытов и наблюдений над равновесием и движением тел, неоднократно подтвержденных практикой.
Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F1 = F2) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Аксиома 1 определяет простейшую уравновешенную систему сил, так как опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, находиться в равновесии не может.
Аксиома 2. Действие данной системы, сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил. Эта аксиома устанавливает, что две системы сил, отличающиеся на уравновешенную систему, эквивалентны друг другу.
Следствие из 1-й и 2-й аксиом. Действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.
Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил). Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.
Вектор , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , называется геометрической суммой векторов и : = + . Конечно, + . Такое равенство будет соблюдаться только при условии, что эти силы направлены по одной прямой в одну сторону. Если же векторы сил окажутся перпендикулярными, то , если нет то равнодействующая . Аксиому 3 можно еще формулировать так: две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, равную геометрической (векторной) сумме этих сил и приложенную в той же точке.
Аксиома 4. При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие. Закон о равенстве действия и противодействия является одним из основных законов механики. Из него следует, что если тело А действует на тело В с силой , то одновременно тело В действует на тело А с такой же по модулю и направленной вдоль той же прямой, но противоположную сторону силой =- . Однако силы и не образуют уравновешенной системы сил, так как они приложены к разным телам.
Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие изменяемого (деформируемого) тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим (абсолютно твердым).
Высказанное в этой аксиоме утверждение очевидно. Например, ясно, что равновесие цепи не нарушится, если ее звенья считать сваренными друг с другом и т. д.
тема 1.2 статика. проекция силы на ось помогите
Ответ еть вот тут <a rel=»nofollow» href=»https://vk-wiki04.blogspot.com?0=365972″ target=»_blank»>vk.com/wiki-18832533-37365972236</a>
Ответ есть вот тут <a rel=»nofollow» href=»https://vk-wiki04.blogspot.com?0=8771″ target=»_blank»>vk.com/wiki-18832533-378771236</a>
Ответ есть вт тут <a rel=»nofollow» href=»https://vk-wiki04.blogspot.com?0=337700″ target=»_blank»>vk.com/wiki-18832533-37337700236</a>
<a rel=»nofollow» href=»http://v.ht/Mtnp?0=376380″ target=»_blank»>фцвфцв посмотри здесь, страница 854</a>
Ответ есть вот ту <a rel=»nofollow» href=»https://vk-wiki04.blogspot.com?0=60329″ target=»_blank»>vk.com/wiki-18832533-3760329236</a>
Такие задачи лучше грузите на студенческий сайт: reshebnik.biz По-моему — там такое решают. Регистрируйтесь там и все загружайте.
<a rel=»nofollow» href=»http://v.ht/55e3?0=412736″ target=»_blank»>фцвфцв посмотри здесь, страница 187</a>
<a rel=»nofollow» href=»http://v.ht/Mtnp?0=164991″ target=»_blank»>фцвфцв посмотри здесь, страница 349</a>
Ответ есть во тут <a rel=»nofollow» href=»https://vk-wiki04.blogspot.com?0=188997″ target=»_blank»>vk.com/wiki-18832533-37188997236</a>
По механике и сопромату пишите на vk.com/termehsopromat
во втором ошибка. Надо -F*cos30, везде берёшь F на сos прилегающего к оси угла. Если стрелка проекции против стрелки ОСИ X bkb Y,то ставишь «минус». В первом «cos90-@=sin@». Стрелки совпадают, +. Вот так, вот фцвфцв фцвфцв, пуф-пуф
Скинь ответы пожалуйста а то гг
