Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

С прошлых уроков вам уже известно, что векторы можно складывать и делать это вы уже умеете с помощью правила треугольника.

Для того, чтобы изобразить вектор суммы двух векторов  и , от некоторой точки А откладывают вектор . Далее от точки B откладывают вектор . Тогда вектор .

Для дальнейшей работы с векторами нам понадобится знание следующих законов сложения векторов.

Сумма векторов . Этот закон называют переместительным законом: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

И ещё один закон. . Этот закон называют сочетательным законом.

По очереди докажем каждый из них.

Рассмотрим переместительный закон для неколлинеарных векторов  и .

Доказательство.

 

Итак, от произвольной точки А отложим вектор , и вектор .

На этих векторах построим параллелограмм ABCD.

А теперь, пользуясь правилом треугольника сложения двух векторов, заметим, что , то есть равен сумме векторов .

,  

С дугой стороны, ,  

Отсюда можем сделать вывод, что сумма векторов  равна сумме векторов .

Что и требовалось доказать.

 

Теперь перейдём к доказательству сочетательного закона для трёх неколлинеарных векторов , , .

От произвольной точки А отложим Вектор , равный вектору . От точки B отложим вектор , равный вектору . А от точки C отложим вектор , равный вектору .

Рассмотрим левую часть равенства, выражающего сочетательный закон. Запишем вектора , ,  как .

В скобках записана сумма векторов . Пользуясь правилом треугольника, можем записать, что эта сумма равна вектору .

А сумма вектора  и , в свою очередь, по правилу треугольника равна вектору .

Теперь аналогично поступим с правой частью равенства, задающего сочетательный закон.

По правилу треугольника .

Отсюда делаем вывод, .

Что и требовалось доказать.

Вернёмся к рисунку из доказательства переместительного закона.

Обратите внимание, если векторы ,  отложить от одной точки и построить на них параллелограмм, то диагональ этого параллелограмма задаёт вектор суммы векторов  и .

Такое правило сложения векторов называют правилом параллелограмма.

Изобразим вектор суммы для каждой пары векторов, пользуясь правилом параллелограмма.

Первым изобразим вектор суммы векторов  и .

Отложим от произвольной точки А вектор , равный вектору .

Далее от точки А отложим вектор , равный вектору .

Теперь на этих векторах построим параллелограмм ABCD. Вектор  является вектором суммы векторов  и .

Далее изобразим вектор суммы векторов  и .

Обратите внимание, что каждый раз вектор суммы берёт своё начала из точки начала обоих векторов-слагаемых.

Последним изобразим вектор суммы векторов  и .

Задача. В треугольнике  сторона  равна ,  — , а .

Найти длину векторов   и .

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: , .

Давайте подведём итоги нашего урока.

Сегодня вы познакомились с законами сложения векторов. А именно с переместительным и сочетательным законами сложения векторов. А так же освоили правило параллелограмма для сложения двух векторов.

Оно заключается в следующем: чтобы сложить неколлинеарные векторы  и , нужно отложить от произвольной точки А векторы  и  равные векторам  и  соответственно, и построить на них параллелограмм ABCD. Тогда вектор
 равен сумме векторов  и .

 

%d0%bf%d1%80%d0%b0%d0%b2%d0%b8%d0%bb%d0%be%20%d1%81%d0%bb%d0%be%d0%b6%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d1%8f%20%d1%81%d0%b8%d0%bb — с русского на все языки

Все языкиАбхазскийАдыгейскийАфрикаансАйнский языкАканАлтайскийАрагонскийАрабскийАстурийскийАймараАзербайджанскийБашкирскийБагобоБелорусскийБолгарскийТибетскийБурятскийКаталанскийЧеченскийШорскийЧерокиШайенскогоКриЧешскийКрымскотатарскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧувашскийВаллийскийДатскийНемецкийДолганскийГреческийАнглийскийЭсперантоИспанскийЭстонскийБаскскийЭвенкийскийПерсидскийФинскийФарерскийФранцузскийИрландскийГэльскийГуараниКлингонскийЭльзасскийИвритХиндиХорватскийВерхнелужицкийГаитянскийВенгерскийАрмянскийИндонезийскийИнупиакИнгушскийИсландскийИтальянскийЯпонскийГрузинскийКарачаевскийЧеркесскийКазахскийКхмерскийКорейскийКумыкскийКурдскийКомиКиргизскийЛатинскийЛюксембургскийСефардскийЛингалаЛитовскийЛатышскийМаньчжурскийМикенскийМокшанскийМаориМарийскийМакедонскийКомиМонгольскийМалайскийМайяЭрзянскийНидерландскийНорвежскийНауатльОрокскийНогайскийОсетинскийОсманскийПенджабскийПалиПольскийПапьяментоДревнерусский языкПортугальскийКечуаКвеньяРумынский, МолдавскийАрумынскийРусскийСанскритСеверносаамскийЯкутскийСловацкийСловенскийАлбанскийСербскийШведскийСуахилиШумерскийСилезскийТофаларскийТаджикскийТайскийТуркменскийТагальскийТурецкийТатарскийТувинскийТвиУдмурдскийУйгурскийУкраинскийУрдуУрумскийУзбекскийВьетнамскийВепсскийВарайскийЮпийскийИдишЙорубаКитайский

 

Все языкиАнглийскийНемецкийНорвежскийКитайскийИвритФранцузскийУкраинскийИтальянскийПортугальскийВенгерскийТурецкийПольскийДатскийЛатинскийИспанскийСловенскийГреческийЛатышскийФинскийПерсидскийНидерландскийШведскийЯпонскийЭстонскийТаджикскийАрабскийКазахскийТатарскийЧеченскийКарачаевскийСловацкийБелорусскийЧешскийАрмянскийАзербайджанскийУзбекскийШорскийРусскийЭсперантоКрымскотатарскийСуахилиЛитовскийТайскийОсетинскийАдыгейскийЯкутскийАйнский языкЦерковнославянский (Старославянский)ИсландскийИндонезийскийАварскийМонгольскийИдишИнгушскийЭрзянскийКорейскийИжорскийМарийскийМокшанскийУдмурдскийВодскийВепсскийАлтайскийЧувашскийКумыкскийТуркменскийУйгурскийУрумскийЭвенкийскийБашкирскийБаскский

Метод сечений в сопротивлении материалов. Внутренние и внешние силовые факторы. Напряжение.

Сопротивление материалов

Метод сечений. Напряжения



Сущность метода сечений

Для расчетов элементов конструкции на прочность необходимо знать внутренние силы упругости, возникающие в результате приложения внешних сил в разных точках и частях конструкции.
Но как заглянуть внутрь материального тела, чтобы выяснить, какие же силы возникают между его частицами или отдельными частями, при приложении нагрузок? Представление о внутренних усилиях, возникающих в теле или элементе конструкции можно получить лишь с помощью воображения и аксиом статики, поясняющих условия равновесного состояния материальных тел.

Способы определения этих внутренних сил с помощью науки сопротивление материалов включают такой прием, как метод сечений.

Метод сечений заключается в том, что тело мысленно рассекается плоскостью на две части, любая из которых отбрасывается и взамен ее к сечению оставшейся части прикладываются внутренние силы, действовавшие на нее до разреза со стороны отброшенной части. Оставленная часть рассматривается как самостоятельное тело, находящееся в равновесии под действием приложенных к сечению внешних и внутренних сил (третий закон Ньютона – действие равно противодействию).

При применении этого метода выгоднее отбрасывать ту часть элемента конструкции (тела), для которой проще составить уравнение равновесия. Таким образом, появляется возможность определить внутренние силовые факторы в сечении, благодаря которым оставшаяся часть тела находится в равновесии (прием, часто применяемый в Статике).

Применяя к оставленной части тела условия равновесия, невозможно найти закон распределения внутренних сил по сечению, но можно определить статические эквиваленты этих сил (равнодействующие силовые факторы).
Так как основным расчетным объектом в сопротивлении материалов является брус, рассмотрим, какие статические эквиваленты внутренних сил проявляются в поперечном сечении бруса.

Рассечем брус (рис. 1) поперечным сечением а-а и рассмотрим равновесие его левой части.
Если внешние силы, действующие на брус, лежат в одной плоскости, то в общем случае статическим эквивалентом внутренних сил, действующих в сечении а-а, будут главный вектор F_гл, приложенный в центре тяжести сечения, и главный момент М_гл = М_и, уравновешивающие плоскую систему внешних сил, приложенных к оставленной части бруса.

Разложим главный вектор на составляющую N, направленную вдоль оси бруса, и составляющую Q, перпендикулярную этой оси и лежащую в плоскости сечения. Эти составляющие главного вектора и главный момент называют внутренними силовыми факторами, действующими в сечении бруса. Составляющую N называют продольной силой, составляющую Q – поперечной силой, пару сил с моментом М

и – изгибающим моментом.

Для определения указанных трех внутренних силовых факторов применим известные из Статики уравнения равновесия оставленной части бруса:

Σ Z = 0;     Σ Y = 0;     Σ M = 0;    (ось z всегда направляем по оси бруса).

Если внешние силы, действующие на брус, не лежат в одной плоскости, т. е. представляют собой пространственную систему сил, то в общем случае в поперечном сечении бруса возникают шесть внутренних силовых факторов (рис. 2), для определения которых применяют известные из Статики шесть уравнений равновесия оставленной части бруса:

Σ X = 0;     Σ Y = 0;     Σ Z = 0;
Σ M_x = 0;     Σ M_y = 0;     Σ M_z = 0.

Эти силовые факторы в общем случае носят следующие названия: N – продольная сила, Q_x, Q_y – поперечные силы, М_кр – крутящий момент, М_ихи М_иу – изгибающие моменты.

При разных деформациях в поперечном сечении бруса возникают различные силовые факторы.
Рассмотрим частные случаи:

1. В сечении возникает только продольная сила N. Это деформация растяжения (если N направлена от сечения) или сжатия (если N направлена к сечению).

2. В сечении возникает только поперечная сила Q. Это деформация сдвига.

3. В сечении возникает только крутящий момент М_кр. Это деформация кручения.

4. В сечении возникает только изгибающий момент М_и. Это деформация чистого изгиба. Если в сечении одновременно возникает изгибающий момент М_и и поперечная сила Q, то изгиб называют поперечным.

5. Если в сечении одновременно возникает несколько внутренних силовых факторов (например, изгибающий момент и продольная сила), то имеет место сочетание основных деформаций (сложное сопротивление).

***



Напряжение

Наряду с понятием деформации одним из основных понятий сопротивления материалов является напряжение (обозначается р).
Напряжение характеризует интенсивность внутренних сил, действующих в сечении, и определяется, как отношение величины внутренней силы к площади сечения.
Напряжение является величиной векторной.

Вектор напряжения можно разложить на две составляющие (рис. 3) – одну вдоль оси сечения, вторую – в плоскости сечения (перпендикулярно оси). Эти составляющие носят название нормальное напряжение (обозначается σ) и касательное напряжение (обозначается τ).
Поскольку нормальные и касательные напряжения расположены под прямым углом друг к другу, модуль полного напряжения p можно определить по теореме Пифагора:

р² = σ² + τ²

Единица измерения напряжения – паскаль (Па).
1 Па = Н / м². Поскольку эта единица очень мала, в расчетах часто применяют более крупную кратную единицу – мегапаскаль (МПа), который равен миллиону паскалей (10⁶ Па).

Объяснить сущность напряжения можно на таком простом примере.
В соответствии с гипотезой об отсутствии первоначальных внутренних усилий, считается, что когда к телу не приложены внешние нагрузки его частицы не взаимодействуют друг с другом, т. е. абсолютно равнодушны к «соседкам» справа, слева и т. п. Но стоит приложить к телу внешнюю нагрузку, его частицы начинают лихорадочно цепляться друг за друга, пытаясь удержаться в «кучке». Если нагрузка растягивает тело, его частицы держатся друг за дружку, не давая разорвать тело, если нагрузка сжимающая — частицы тела стараются удержать «соседок» на прежнем расстоянии.
Совокупность всех этих усилий внутренних частиц, противостоящих внешним раздражителям-нагрузкам, и является напряжением.
Задачи сопромата чаще всего сводятся к тому, чтобы определить предельные величины нагрузок, способных разорвать связи между частицами, из которых состоит тело или, по известным предельным напряжениям определить, какие нагрузки способно выдержать тело не разрушаясь, не деформируясь и т. д.

Нетрудно заметить, что напряжение измеряется в тех же единицах, что и давление, поэтому можно провести некоторую аналогию между этими физическими понятиями. Принципиальная разница заключается в том, что давление — внешний силовой фактор (т. е. воздействующий на тело или его части извне), а напряжение — внутренний силовой фактор, характеризующий степень взаимодействия (взаимосвязи) частиц тела между собой.

***

Правила построения эпюр



Главная страница

Дистанционное образование

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты

№ вопроса	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Правильный вариант ответа	3	2	3	2	2	3	1	2	1	2

Готовый кроссворд по математике — на тему «5 класс»

По горизонтали
6. Сумма длин всех сторон многоугольника
7. Чертёжный инструмент
8. Дробь, которая меньше 1
10. Число, которое складывается с другим
14. Число, на которое делят
16. Боковые грани с основой пирамиды
18. Выражение m•n
22. Число, из которого вычитают
25. Инструмент для измерения угла
По вертикали
1. Единица измерения с шестью нолями
2. Из-за чего создан значок процента?
3. Число которое вычитают
4. 1 тонна в центнерах
5. Любое число, на которое заданное делится без остатка
9. Занятие древних
11. Дробь, которая больше 1
12. Числа, которые используют при счете предметов
13. Луч, который делит угол пополам
15. Самое маленькое натуральное число
17. Как называется прямая, на которой отмечено начало отсчета, единичный отрезок и направление
19. Запись числа двумя цифрами
20. Геометрическая фигура, которая образована тремя отрезками
21. Единица длины.
23. Геометрическая фигура – часть прямой, ограниченная двумя точками этой прямой
24. Равенство, содержащее неизвестное число

Сложение векторов

— обзор

2 Tori

Начнем с ℕ ⁿ n ≥ 1, рассматриваемого как группа при сложении векторов, и решетки Γ, то есть дискретной подгруппы ℕ ^№ . Решетка действует на ℕ ⁿ по γ (x) = γ + x для γ ∈ Γ, x ∈ ℕ ⁿ ; действие собственно разрывное и определяет риманово покрытие p: ℕ ⁿ → ℕ ⁿ / Γ.Предположим, что ранг Γ равен n , то есть существует n линейно независимых векторов { v ₁ ,…, v _n } в Γ, для которых Γ = {Σj = 1nαjvj: αj∈ℤ, j = 1,…, n}, где ℤ обозначает целые числа. В этом случае ℕ ⁿ / Γ компактно и диффеоморфно тору ( S ¹ ) ⁿ , декартово произведение окружности S ¹ на себя n раз.Для удобства обозначим ℕ ⁿ / Γ через T .

Нам будет удобно рассматривать функции на T как комплекснозначные; так что L ² ( T ) теперь будет гильбертовым пространством с эрмитовым внутренним произведением (f, h) = ∫Tfh¯ dV. Лапласиан будет действовать на комплексные функции, воздействуя на их действительную и мнимую части по отдельности, а именно для действительных функций u, v на T , мы имеем Δ (u + iv) = Δu + iΔv.Проверяется получение тех же собственных значений, что и при допуске только вещественных функций с той же кратностью.

Чтобы получить набор собственных функций на T , мы действуем следующим образом: Сопоставим решетке Γ двойную решетку , Γ ^* , заданную формулой Γ * = {y∈ℕn: 〈x, y〉 ∈ℤ для всех x∈Γ}. Тогда Γ ^* действительно является решеткой ранга n , и для указанного выше базиса { v ₁ , …, v _n } Γ связан с двойным базисом { w ₁ ,…, w _n } Γ ^* , определяемым 〈Wj, vk〉 = δjk, где δ _jk — дельта Кронекера.Естественно, (Γ *) * = Γ.

Теперь с каждым y ∈ Γ ^* свяжем комплекснозначную функцию ϕ _y , определенную на ℕ ⁿ , и заданную формулой ϕy (x) = e2πi 〈x, y〉. Легко видеть, что ϕ _y инвариантно относительно действия Γ, и Δϕy (x) = — 4π2 | y | 2. Таким образом, ϕ _y определяет собственную функцию на T с собственным значением

(3) λ = 4π2 | y | 2.

Определенные таким образом функции ϕ _y , как известно, охватывают L ² ( T ) (Бергер – Гаудюшон – Мазе [1, с.146–148]).

Заметим, что если задано y ₁ ,…, y _k ∈ γ ^* , то функции {ϕyj: j = 1,…, k} линейно независимы. Действительно, если k = 1, то все хорошо. Предположим теперь, что для данного l > 1 наше замечание верно для любого выбора из l — 1 различных элементов Γ ^* . Если l отдельных элементов y ₁ ,…, y _l ∈ Γ ^* удовлетворяют Σj = 1lβjϕyj = 0 для заданного выбора комплексных чисел β ₁ ,…, β _l , то, поскольку ϕyrϕys = ϕyr + ys для всех y _r , y _s ∈ Γ ^* , мы бы имели 0 = Σj = 1lβjϕyj-yl = βl + Σj = 1l-1βjϕyj-yl.Теперь вычислите лапласиан обеих сторон; тогда 0 = Σj = 1t-1βj | yj-yl | 2ϕyj-yr, из чего легко сделать вывод: β ₁ =… = β _l = 0.

Таким образом, для данного λ> 0 собственное подпространство λ имеет размерность, равную количеству решений y ∈ Γ ^* из (3), а суммирующая функция N (λ) равна количеству элементов Γ ^* внутри замкнутого диска в ℕ ⁿ , около начала координат, радиус √λ / 2π.

Сложение векторов

Математика и естественные науки были изобретены людьми для описания и понять мир вокруг нас. Мы наблюдаем, что есть некоторые количества и процессы в наш мир, который зависит от направления , в котором они происходят, и есть некоторые количества, которые не зависят по направлению. Математики и ученые называют количество которое зависит от направления , векторная величина . Количество которая не зависит от направления, называется скалярной величиной .А векторная величина имеет две характеристики: величину и направление . Когда сравнение две векторные величины одного типа, необходимо сравнить обе величина и направление.

На этом слайде мы описываем метод добавления двух векторов. Сложение векторов — это один из аспектов большой векторной алгебры, которой мы являемся. , а не , будут присутствовать на этом сайте. Представлено сложение векторов здесь, потому что это довольно часто встречается при изучении ракет и поскольку он демонстрирует некоторые фундаментальные различия между векторы и скаляры.

На рисунках векторы обычно обозначаются стрелкой. Длина стрелки указывает величину и кончик стрелки указывает направление. Вектор помечены алфавитным букву с чертой сверху, чтобы отличить ее от скаляра. Обозначим величину вектора символом | a | . Направление будет измеряться под углом фи относительно координаты ось х .Ось координат y перпендикулярна х . Примечание: Оси координат x и y сами по себе векторы! У них есть величина и направление. Сначала ты сталкиваются с осями координат, когда вы учитесь строить графики. Так что у тебя есть какое-то время использовал векторы, даже не подозревая об этом!

Если мы построим пунктирную линию от кончика вектора a идущий параллельно оси x, он пересекает ось y в том месте, где мы этикетка ау .Аналогично линия от кончика вектора Параллельно оси Y разрезает ось X на по оси . Количества и и и называются компоненты вектора, и оба являются скалярными величинами.

Чтобы сложить два вектора, a и b , сначала мы разбиваем каждый вектор на его компоненты, ax и ay , и bx и на , как показано на рисунке.Из правил, регулирующих равенство векторов, синий вектор b равен черный вектор b потому что он имеет равную длину и одинаковое направление. Теперь, поскольку компоненты вектора a и вектор b — это скаляры, мы можем добавить x-компоненты , чтобы сгенерировать x-компонент нового вектора c :

cx = ax + bx

Точно так же мы можем добавить y-компоненты :

cy = ay + по

Новые компоненты cx и cy полностью определяют новый вектор c , указав как величину, так и направление.Внимательно посмотрев на диаграмму, мы видим, что добавление двух векторов дает новый вектор, который равен , а не в направлении любого из исходные векторы, величина которых равна , а не , равной сумме величин исходных векторов. Векторная алгебра сильно отличается от скалярной алгебры, потому что она должна учитывать как величину, так и направление.

Примечание: На этом слайде для простоты мы разработали компоненты только в двух измерениях; есть две оси координат.На самом деле есть три пространственных измерения и три компонента все силы. Это важно при выводе общие уравнения с движением для траекторий полета и для Навье-Стокса и Уравнения Эйлера, которые описать силы и результирующее движение жидкостей в двигателе. Мы можем разбить очень сложные трехмерные векторные задачи на всего три скалярных уравнения.

---

Экскурсии с гидом

• Векторов:
• Ракетный перевод:

---

Деятельность:

---

Связанные сайты:
Rocket Index
Rocket Home
Руководство для начинающих Домашняя страница

Инженерия в Альберте Курсы »Векторные операции с использованием правила параллелограмма и тригонометрии

Векторы и их действия: Векторные операции с использованием правила параллелограмма и тригонометрии

В этом курсе над векторами используются следующие математические операции:

1. Умножение (или деление) на скаляр.
2. Сложение (или вычитание) векторов.
3. Векторные произведения (скалярное произведение и кросс-произведение).

Первые две операции являются основными и представлены ниже. Векторные продукты являются специальными функциями и представлены в разделах 2.7 и 2.8.

Умножение (и деление) вектора на скаляр

Вектор можно умножить на скаляр, и в результате получится другой вектор. Вектор, умноженный на скаляр, будет равен вектору.Эта операция обозначается как. Деление вектора на скаляр аналогично умножению на. Умножение вектора на скаляр осуществляется по следующему правилу:

Если скаляр является положительным числом, скалярное умножение просто масштабирует величину (длину) вектора. Если скаляр отрицательный, операция также меняет направление вектора.

Примечание: умножение вектора на скаляр масштабирует величину вектора: если, то в которой абсолютное значение скаляра.

Примечание: для любого ненулевого скаляра, если затем масштабирует и меняет (переключает) направление.

Примечание: умножение любого вектора на ноль дает нулевой вектор:.

На следующем рисунке показаны различные векторы как результат умножения на скаляр.

Рис. 2.4 Умножение вектора на скаляр.

Щелкните следующий интерактивный инструмент, демонстрирующий умножение на скаляр для создания нового вектора.Переместите ползунок, чтобы изменить значение, и обратите внимание на эффект на результирующий красный вектор. Когда вектор меняет свое направление на противоположное?

Сложение вектора

В результате сложения векторов получается новый вектор. Например, сложение векторов и получение вектора обозначается как. Существует два эквивалентных правила (закона) для сложения векторов: правило треугольника и закон параллелограмма .

Для расчета по правилу треугольника выполните следующие действия:

1. Положите и голова к хвосту, а затем,
2. Замкните треугольник с вектором от свободного хвоста к свободной голове векторов.

Рис. 2.5 демонстрирует правило треугольника для сложения векторов.

Рис. 2.5 Графическое представление сложения векторов и использования правила треугольника.

Сложение векторов имеет коммутативный смысл. Это легко увидеть на следующем рисунке:

Рис. 2.6 Коммутативность при сложении векторов и.

Чтобы сложить два вектора, используя закон параллелограмма , выполните следующие действия:

1. Соедините векторы в точке, скажем, за их хвосты.
2. От головы каждого вектора проведите линию, параллельную другому вектору. Эти две прямые пересекаются в точке и образуют две смежные линии параллелограмма.
3. Нарисуйте вектор от точки к точке (диагональ параллелограмма). Этот вектор и есть результирующий вектор.

На рисунке 2.7 показано сложение векторов по закону параллелограмма.

Рис. 2.7 Графическое представление сложения векторов и использования закона параллелограмма.

Вычитание вектора. Разница между двумя векторами или вычитание векторов подчиняется правилам сложения векторов. Для двух векторов и операцию можно записать как. Пример показан на рис. 2.8.

Рис. 2.8 Графическое представление вычитания векторов и использования закона параллелограмма.

Примечание: вычитание вектора не является коммутативным, потому что. По факту, .

Сложение (или вычитание) параллельных векторов. Сложение (или вычитание) параллельных векторов выполняется смещением их головы к хвосту и созданием более длинного или более короткого вектора.Это означает, что они напрямую складываются (или вычитаются) по своей величине.

Примеры сложения (или вычитания) векторов в случае параллельных векторов показаны на рис. 2.9.

Рис. 2.9 Сложение векторов параллельных векторов.

Сложение нескольких векторов. Если нужно добавить (или вычесть) более двух векторов, они будут добавлены последовательно. Например . Пример показан ниже:

Рис. 2.10 Последовательное сложение трех векторов и использование правила треугольника.

Поэкспериментируйте со следующим интерактивным инструментом, чтобы исследовать закон параллелограмма для сложения векторов.

Тригонометрия для векторных операций

Тригонометрические функции и законы используются для вычисления величины и направления результирующих векторов. Определение основных тригонометрических функций изображено на рис. 2.11.

Рис. 2.11 Основные тригонометрические функции.

На основе тригонометрических функций законы синуса и косинуса выполняются для любого треугольника или любых трех векторов, образующих треугольник.Рис. 2.12 демонстрирует, что законы синуса и косинуса выполняются для треугольника и трех векторов, образующих треугольник. В случае векторов законы применяются к величине векторов.

Рис. 2.12. Законы синуса и косинуса для треугольника (вверху) и для трех векторов, образующих треугольник (внизу).

Примечание: Следует понимать, что величина результирующего вектора обычно не равна сумме величин. Другими словами, . На самом деле всегда держится. Это утверждение, называемое неравенством треугольника, можно проверить или доказать с помощью закона косинуса.

Следующий интерактивный инструмент иллюстрирует тригонометрические функции. С помощью ползунка измените угол стрелки и обратите внимание на соответствующие изменения в и. — длина со знаком зеленой пунктирной линии и длина со знаком синей пунктирной линии.

Закон векторов треугольника и параллелограмма

Сложение векторов

Поскольку векторы имеют и величину, и направление, их нельзя сложить методом обычной алгебры.

Векторы можно добавлять графически или геометрически. Теперь мы обсудим сложение двух векторов графически, используя метод «голова к хвосту».

Рассмотрим два вектора Vec P и Vec Q, которые действуют вдоль одной линии. Чтобы сложить эти два вектора, соедините хвост Vec Q с головой Vec P (рис.).

Результат Vec P и Vec Q равен Vec R = Vec P + Vec Q. Длина линии

AD дает величину Vec R.Vec R действует в том же направлении, что и Vec P и Vec Q.

Чтобы найти сумму двух векторов, которые наклонены друг к другу, можно использовать закон треугольника векторов или закон параллелограмма векторов.

(i) Закон треугольника векторов

Если два вектора представлены по величине и направлению двумя соседними сторонами треугольника, взятыми по порядку, то их результат является закрывающей стороной треугольника, взятой в обратном порядке.

Чтобы найти результат двух векторов Vec P и Vec Q, действующих под углом θ, применяется следующая процедура.

Сначала нарисуйте O A = JJJG Vec P (Рис.) Затем, начиная с наконечника стрелки Vec P, нарисуйте вектор

= JJJJG JG AB Q. Наконец, нарисуйте вектор OB = JJJG Vec R от хвоста вектора Vec

P к голове вектора Vec Q. Вектор = JJJG JG OB R представляет собой сумму векторов Vec P и Vec

Q. Таким образом, Vec R = Vec P + Vec Q.

Величина Vec P + Vec Q определяется путем измерения длины Vec R и направления путем измерения угла между Vec P и Vec R.

Величину и направление Vec R можно получить, используя закон синуса и закон косинуса треугольников. Пусть α — угол между результирующими Vec R и Vec P. Величина R равна,

R 2 = P 2 + Q 2 — 2PQ cos (180 o — θ)

R = root [P2 + Q2 + 2PQ cos θ]

Направление R может быть получено с помощью

P / sin β = Q / sin α = R / sin (1800 — θ)

(ii) Закон параллелограмма векторов

Если два вектора, действующие в точке, представлены по величине и направлению двумя смежными сторонами параллелограмма, то их результирующая представлена ​​по величине и направлению диагональю, проходящей через общий хвост двух векторов. .

Рассмотрим два вектора Vec P и Vec Q, которые наклонены друг к другу под углом θ, как показано на рисунке. Пусть векторы Vec P и Vec Q представлены по величине и направлению двумя сторонами OA и OB. параллелограмма OACB. Диагональ OC, проходящая через общий хвост O, дает величину и направление результирующего Vec R.

CD нарисовано перпендикулярно расширенному OA от C. Пусть COD, созданный Vec R с Vec P, равен α.

Из прямоугольного треугольника OCD,

OC2 = OD2 + CD2

= (OA + AD) 2 + CD2

= OA2 + AD2 + 2.OA.AD + CD2 ….. (1)

На рис. Угол BOA = θ = Угол CAD

Из прямого угла ∆ CAD,

AC2 = AD2 + CD2 … (2)

Подставляя (2) в (1)

OC2 = OA2 + AC2 + 2OA .AD … (3)

Из ∆ACD,

CD = AC sin θ … (4)

AD = AC cos θ … (5)

Подставляя (5) в (3) OC2 = OA2 + AC2 + 2 OA.AC cos θ

Подставив OC = R, OA = P,

OB = AC = Q в приведенное выше уравнение

R2 = P2 + Q2 + 2PQ cos θ

(или)

R = корень [P2 + Q2 + 2PQ cos θ] … (6)

Уравнение (6) дает величину результирующей. Из ∆ OCD,

tan α = CD / OD = CD / (OA + AD)

Подставляя (4) и (5) в приведенное выше уравнение,

tan α = (AC sin θ) / (OA + AC cos θ)

(или) α = tan-1 [Qsin θ / (P + Qcos θ)]… (7)

Уравнение (7) дает направление результирующего

Особые случаи

(i) Когда два вектора действуют в одном направлении

В этом случае угол между двумя векторами θ = 0o, cos 0o = 1, sin 0o = 0

Из (6)

R = root [P2 + Q2 + 2PQ] = P + Q

Из (7)

α = tan-1 [Qsin 00 / (P + Qcos 00)]

(т.е.e) = 0

Таким образом, результирующий вектор действует в том же направлении, что и отдельные векторы, и равен сумме величин двух векторов.

(ii) Когда два вектора действуют в противоположном направлении

В этом случае угол между двумя векторами θ = 180o, cos 180o = -1, sin 180o = 0.

Из ( 6)

R = корень [P2 + Q2 — 2PQ] = PQ

Из (7)

α = tan-1 [Q / (PQ)]

(т.е.e) = 0

Таким образом, результирующий вектор имеет величину, равную разнице величин двух векторов, и действует в направлении большего из двух векторов

(iii) Когда два вектора расположены под прямым углом друг к другу

В этом случае θ = 900o, cos 90o = 0, sin 90o = 1

Из (6) R = root (P2 + Q2)

Из (7) a = tan-1 (Q / P)

Результирующий вектор Vector R действует под углом α с вектором Vector P.

Сложение векторов

Введение

Все измеряемые величины могут быть классифицированы как векторные величины или как скалярные величины. Скалярные величины полностью описываются одним числом (с соответствующими единицами измерения), представляющим величину величины; примерами являются масса, время, температура, энергия и объем. Для векторных величин, таких как скорость, сила и ускорение, величина сопровождается качеством направленности.(Векторы будут обозначены A , а единичные векторы î .) Когда в вычислениях используются скалярные величины, применяются обычные правила арифметики; но когда задействованы векторные величины, процесс более сложен, поскольку необходимо учитывать направление вектора. В этом эксперименте будут рассмотрены три метода сложения векторов: графический, аналитический и экспериментальный.

Теория

Векторная величина может быть представлена ​​графически прямой линией со стрелкой на конце.Направление, в котором указывает стрелка, дает смысл вектора, а длина линии указывает величину вектора. Например, сила 3 ​​Н, действующая горизонтально, может быть описана линией длиной три единицы (каждая единица представляет 1 Н), как показано на рисунке 1. Когда два или более вектора используются для описания процесса, они могут быть заменены одним результирующим вектором, который несет эквивалентную информацию. В качестве примера рассмотрим автомобиль, который едет из точки O в точку P , сначала двигаясь на 50 км на северо-запад, затем на 20 км на запад и, наконец, на 40 км на север.Теперь, вместо того, чтобы двигаться к точке P в серии из трех шагов, представленных векторами A , B и C , автомобиль может следовать по более прямому пути, показанному вектором R . Этот вектор R , называемый результирующим, эквивалентен комбинации трех векторов A , B и C , поскольку автомобиль все еще начинается в точке O и заканчивается в точке P . Это можно символически записать как Следует отметить, что в этом случае все пути, которые представляют движение от O до P , эквивалентны R и друг другу.Итак, на рисунке 3

(2)

R = A + B + C = C + A + B = C + D . Хотя этот графический метод, в котором последовательные векторы помещаются лицом к хвосту, полезен в качестве визуального описания, его точность ограничена тем, что может быть получено с помощью инструментов рисования. Когда требуются результаты более точные, чем те, которые предоставлены графическим анализом, применяются аналитические методы.Чтобы использовать аналитические методы для сложения векторов, все векторы описываются с помощью единичных векторов. Единичный вектор — это вектор, имеющий величину один (без каких-либо единиц) с заданной ориентацией. Его единственное использование — это описание определенного направления в космосе. В системе координат xy обычно назначают единичный вектор î в направлении положительной оси x и единичный вектор ĵ в направлении положительной оси y . .Любой единичный вектор может быть выражен как сумма двух (или более) компонентных векторов. На рисунке 4 вектор A, имеет звездную величину A и ориентацию θ от оси x . Этот вектор можно рассматривать как результат двух компонентных векторов: A _x = A _x î , указывающих вдоль направления î и A _y = A _y ĵ в направлении ĵ ; или символически следующим образом.Компонент A _x является положительным или отрицательным, поскольку A _x находится в направлении + î или — î , а A _y положительно или отрицательно как A _y находится в направлении + ĵ или — ĵ . Величину компонентов A можно вычислить из определений тригонометрических функций. или а также или Кроме того, а по теореме Пифагора величина A равна

(11)

| A | =

A x 2 + A y 2

.Когда векторы добавляются аналитически, каждый вектор сначала записывается в его компонентной форме, затем компоненты x всех векторов складываются алгебраически (уделяя особое внимание знаку) для получения результирующей -компоненты x и y. -компоненты всех векторов складываются, чтобы получить результирующую и -компонент. Предположим, что добавлены два параллельных вектора. Для графического метода «голова к хвосту» вектор B помещается на острие стрелки вектора A (или наоборот), а результирующий, R , проводится от O к вершине . B , как показано на рисунке 5.На рисунке 6 векторы C и D сложены аналитически. Математически векторы можно записать Так как результат R является суммой векторов C и D .

(16)

R = C _x î + C _y ĵ + D _x î + D _y53

(17)

R = ( C _x + D _x ) î + ( C _y + D _y ) ĵ ĵСравнение с уравнением (14) R = R _x î + R _y ĵ . дает значения для x и y -компонент результирующего: Из компонентов R величина и направление результирующего

(20)

| R | =

R x 2 + R y 2

Если добавляется более двух векторов, уравнения (18)

R _x = C _x + D _x

и (19)

R _y = C _y + D _y .

можно обобщить до

(22)

R _x = A _x + B _x + C _x + D _x +

(23)

R _y = A _y + B _y + C _y + D _y + и соотношения уравнений (20) | R | =

R x 2 + R y 2

и (21) могут применяться для получения величины и направления результирующего.Когда добавляемые векторы представляют силы, отрицательная величина равнодействующей называется уравновешивающей (или антирезультантной) сил. Равновесие — это единственная сила, которая в сочетании с другими силами приводит систему в равновесие. Обратите внимание, что равновесие равно по величине, но противоположно по направлению равнодействующей векторов.

Цель

Задача этой лаборатории — найти уравновешивающую силу для одной или нескольких известных сил с помощью таблицы сил и сравнить этот результат с результатами, полученными с использованием графических и аналитических методов.

Аппарат

• Линейка транспортира
• Три шкива
• Набор шлицевых масс
• Три массовых вешалки
• Таблица сил с центральным штифтом и кольцом
• Пузырьковый уровень

Процедура

Распечатайте лист для этой лабораторной работы. Этот лист понадобится вам для записи ваших данных.

Силовой стол состоит из горизонтально установленной поверхности, градуированной по периметру в градусах.Штифт, вставленный в центр стола, удерживает кольцо на месте, когда система не сбалансирована. Кольцо — это объект, который будет помещен в равновесие, и натяжение трех прикрепленных к нему струн будет обеспечивать силы, которые необходимо уравновесить. При условии, что трением в шкивах можно пренебречь, натяжение каждой струны равно весу груза, помещенного на ее концах, вниз (это будет темой дальнейшего обсуждения в классе). Шкивы могут быть зажаты под любым желаемым углом, и направление каждой силы указывается положением индексной метки шкива на круговой шкале стола.

A: Экспериментальный метод определения результата двух векторов

Перед использованием таблицы сил важно, чтобы она была выровнена. Используйте пузырьковый уровень, чтобы проверить горизонтальность платформы силового стола. Если это не так, используйте регулировочные винты, чтобы отрегулировать поверхность до тех пор, пока поверхность не станет горизонтальной.

1

Используя значения, предоставленные WebAssign для случая 1, расположите шкивы в угловых положениях двух векторов, указанных на диаграмме.

Осторожно:
Обратите внимание, что очень легко перетянуть зажимы, удерживающие шкивы на поверхности стола, поэтому будьте осторожны, затягивайте эти зажимы только на долю оборота после того, как зажим коснется поверхности стола (затяните вручную) .

Подвесьте веса, указанные для каждого вектора, на соответствующий шкив. Обязательно учитывайте вес держателя при расчете массы струн. Как только эти веса установлены, используйте третью систему шкивов и весов, чтобы найти вектор равновесия, связанный с двумя векторами, которые вам были даны. Отрегулируйте угол силы на столе, а также массу, пока не найдете равновесную конфигурацию.

2

Осторожно постучите по кольцу, чтобы немного сместить его от центра; если кольцо возвращается в исходное положение, значит, оно находится в равновесии.Когда кажется, что кольцо находится в равновесии, осторожно снимите центральный штифт и еще раз постучите по кольцу, чтобы немного сместить его. Если кольцо не возвращается в центральное положение, замените центральный штифт и отрегулируйте массу и положение шкива для равновесия, пока не установится равновесие. Для тела в равновесии результирующая сила, действующая на тело, равна нулю. Для трех векторов, представленных в таблице сил,

A + B + C = 0

или

A + B = -C,

, где C — равновесие.Результирующий, R , из двух векторов на карте назначений равен

R = A + B

, поэтому

R = -C

, и результат является отрицательным для равновесия.

3

Запишите положение равновесия с точностью до долей градуса и запишите его величину с точностью до наименьшей доступной массы. Нарисуйте расположение векторов, как оно нарисовано на карточке заданий, и включите равновесие, найденное из таблицы сил, на диаграмму. Сохраняйте угол равновесия фиксированным.

4

Сохраняйте угол равновесия фиксированным. Чтобы найти экспериментальную неопределенность для величины равновесия, добавьте к шкиву (или снимите с него) достаточно веса, чтобы кольцо на силовом столе значительно отклонилось от своего положения равновесия. Величина, на которую была изменена масса, является мерой экспериментальной неопределенности в величине вектора. Запишите эту погрешность для наименьшей доступной массы (обязательно укажите правильные единицы).

5

Снова приведите кольцо в состояние равновесия.Удерживая величину равновесия фиксированной, найдите экспериментальную неопределенность в направлении равновесия, слегка перемещая шкив, пока кольцо не перестанет находиться в равновесии. Изменение угла, необходимого для вывода кольца из положения равновесия, представляет собой экспериментальную неопределенность в направлении равновесия. Запишите эту неопределенность с точностью до долей градуса.

6

Повторите процедуры 1–5 для случая 2.

B: Графический метод определения результата двух векторов

1

На листе линейной миллиметровой бумаги сложите два вектора, показанные в случае, используя метод «голова к хвосту», описанный на рисунке 3.

2

Нарисуйте векторы в масштабе (используя как можно больший масштаб) и точно измерьте угол с помощью транспортира.

3

Изобразите результирующее и равновесное на диаграмме, измерьте и запишите величину и направление двух векторов. Сделайте это в обоих случаях.

C: Аналитический метод определения результата двух векторов

1

На наборе осей координат x-y нарисуйте приблизительно в масштабе и в любой удобной ориентации два вектора, перечисленные в этом случае.Разложите каждый вектор на его компоненты x и y и перечислите их в таблице над эскизом.

2

Из этих значений получите компоненты x и y для результирующего и, используя уравнения (20) | R | =

R x 2 + R y 2

и (21) определите величину и направление результирующего и нанесите его на эскиз. Сделайте это в обоих случаях.

D: Расчеты

1

Определите% ошибки для величины результирующего, полученной экспериментальными и аналитическими методами.

2

Определите% разницы для величины результирующей, полученной экспериментальным и графическим методами.

E: Вопросы

1

Сопутствующие силы — это силы, действующие в одной точке. Карты назначений показывают параллельные силы, но силы в таблице сил действуют на кольцо, а не на точку.Тем не менее, силы по-прежнему совпадают. Объяснять.

2

Могут ли все три шкива на силовом столе быть размещены в одном квадранте и по-прежнему находиться в равновесии? Объяснять.

3

Предположим, что три силы с величинами 220 Н, 270 Н и 200 Н находятся в равновесии. Если сила 200 Н действует в направлении + y , какие две конфигурации в плоскости xy могут иметь оставшиеся силы? Приведите числовые значения углов и покажите результаты на эскизе.

4

Какое условие необходимо для равновесия (рассматривать только линейное движение)?

Авторские права © 2012-2013 Advanced Instructional Systems, Inc. и Техасский университет A&M. Части из Университета штата Северная Каролина. | Кредиты

Аналитические методы — Колледж физики

Цели обучения

• Изучите правила сложения и вычитания векторов с помощью аналитических методов.
• Применяйте аналитические методы для определения вертикальных и горизонтальных составляющих векторов.
• Примените аналитические методы, чтобы определить величину и направление результирующего вектора.

Аналитические методы сложения и вычитания векторов используют геометрию и простую тригонометрию, а не линейку и транспортир графических методов. Часть графической техники сохранена, потому что векторы по-прежнему представлены стрелками для облегчения визуализации. Однако аналитические методы более краткие, точные и точные, чем графические методы, которые ограничены точностью, с которой можно сделать рисунок.Аналитические методы ограничены только точностью и точностью, с которой известны физические величины.

Разложение вектора на перпендикулярные компоненты

Аналитические методы и прямоугольные треугольники идут рука об руку в физике, потому что (среди прочего) движения в перпендикулярных направлениях независимы. Нам очень часто требуется разделить вектор на перпендикулярные составляющие. Например, имея вектор, как на (Рисунок), мы можем захотеть найти, какие два перпендикулярных вектора, и сложить их, чтобы получить его.

Вектор, хвост которого находится в начале координат системы координат x , y , показан вместе с его компонентами x и y , и. Эти векторы образуют прямоугольный треугольник. Аналитические соотношения между этими векторами кратко изложены ниже.

и определены как компоненты вдоль осей x и y . Три вектора, и образуют прямоугольный треугольник:

Обратите внимание, что эта взаимосвязь между компонентами вектора и результирующим вектором сохраняется только для векторных величин (которые включают как величину, так и направление).Это соотношение не распространяется только на величины. Например, если восток, север и северо-восток, то это правда, что векторы. Однако не верно, что сумма величин векторов также равна. То есть

Таким образом,

Если вектор известен, то известны его величина (длина) и угол (направление). Чтобы найти и , его компоненты x и y , мы используем следующие отношения для прямоугольного треугольника.

и

Предположим, например, что это вектор, представляющий полное перемещение человека, идущего по городу, рассматриваемое в двухмерной кинематике: введение и добавление и вычитание векторов: графические методы.

Мы можем использовать отношения и для определения величины горизонтальных и вертикальных составляющих векторов в этом примере.

Затем блоки и, так что

Добавление векторов с помощью аналитических методов

Чтобы увидеть, как складывать векторы, используя перпендикулярные компоненты, рассмотрим (рисунок), в котором векторы и складываются для получения результата.

Если и представляют собой два отрезка шага (два смещения), то это полное смещение. Человек, идущий на прогулку, оказывается на вершине. Есть много способов добраться до одной и той же точки. В частности, человек мог пройти сначала в направлении x , а затем в направлении y . Эти пути представляют собой компоненты x и y результирующего, и. Если мы знаем и, мы можем найти и использовать уравнения и. Когда вы используете аналитический метод сложения векторов, вы можете определить компоненты или величину и направление вектора.

Шаг 1. Определите оси x и y, которые будут использоваться в проблеме. Затем найдите компоненты каждого вектора, которые нужно добавить вдоль выбранных перпендикулярных осей . Используйте уравнения и, чтобы найти компоненты. На (Рисунок) этими компонентами являются,, и. Углы, которые образуют векторы и относительно оси x , равны и соответственно.

Шаг 2. Найдите компоненты результирующего по каждой оси, сложив компоненты отдельных векторов по этой оси . То есть, как показано на (Рисунок),

и

Компоненты, расположенные вдоль одной оси, скажем, ось x , являются векторами на одной линии и, таким образом, могут складываться друг с другом как обычные числа. То же самое верно для компонентов вдоль оси y . (Например, прогулка на восток из 9 кварталов может быть проведена в два этапа, первые 3 квартала на восток и вторые 6 кварталов на восток, всего 9, потому что они идут в одном направлении.Таким образом, разделение векторов на компоненты вдоль общих осей упрощает их добавление. Теперь, когда компоненты известны, можно определить его величину и направление.

Шаг 3. Чтобы получить величину результата, используйте теорему Пифагора:

Шаг 4. Чтобы получить направление результата:

Следующий пример иллюстрирует эту технику добавления векторов с использованием перпендикулярных компонентов.

Добавление векторов аналитическими методами

Добавьте вектор к вектору, показанному на (Рисунок), используя перпендикулярные компоненты вдоль осей x — и y . Оси x и y расположены вдоль направлений восток-запад и север-юг соответственно. Вектор представляет собой первый этап прогулки, в которой человек идет в направлении к северу от востока. Вектор представляет собой вторую ногу, смещение в направлении к северу от востока.

Стратегия

Компоненты осей x и y и вдоль них представляют собой движение на восток и на север, чтобы добраться до той же конечной точки. Найденные, они объединяются для получения результата.

Решение

Следуя описанному выше методу, мы сначала находим компоненты осей x и y и вдоль них. Обратите внимание, что,, и.Мы находим x -компоненты, используя, что дает

и

Аналогичным образом компоненты y находятся с использованием:

и

Таким образом, составляющие x и y равны

и

Теперь мы можем найти величину результирующей с помощью теоремы Пифагора:

так что

Наконец, мы находим направление результирующего:

Таким образом,

Используя аналитические методы, мы видим, что величина is и ее направление севернее востока.

Обсуждение

Этот пример иллюстрирует сложение векторов с использованием перпендикулярных компонентов. Вычитание вектора с использованием перпендикулярных компонентов очень похоже — это просто добавление отрицательного вектора.

Вычитание векторов выполняется сложением отрицательного вектора. То есть, . Таким образом, в метод вычитания векторов с использованием перпендикулярных компонентов идентичен методу сложения . Компоненты являются минусами компонентов.Таким образом, составляющие x и y равны

и

, а остальные методы, описанные выше, идентичны методу сложения. (См. (Рисунок).)

Анализ векторов с использованием перпендикулярных компонентов очень полезен во многих областях физики, поскольку перпендикулярные величины часто не зависят друг от друга. Следующий модуль, Projectile Motion, является одним из многих, в которых использование перпендикулярных компонентов помогает сделать изображение четким и упрощает физику.

Вычитание двух векторов показано на (Рисунок). Компоненты являются минусами компонентов. Метод вычитания такой же, как и для сложения.

Исследования PhET: добавление векторов

Узнайте, как складывать векторы. Перетащите векторы на график, измените их длину и угол и просуммируйте их. Величина, угол и компоненты каждого вектора могут отображаться в нескольких форматах.

Концептуальных вопросов

Предположим, вы складываете два вектора и.Какое относительное направление между ними дает результирующую с наибольшей величиной? Какая максимальная величина? Какое относительное направление между ними дает наименьшую величину равнодействующей? Какая минимальная величина?

Приведите пример ненулевого вектора с нулевой компонентой.

Объясните, почему вектор не может иметь компонент, превышающий его собственную величину.

Задачи и упражнения

Найдите следующее для пути C на (Рисунок): (a) общее пройденное расстояние и (b) величину и направление смещения от начала до конца.В этой части задачи явно покажите, как вы следуете шагам аналитического метода сложения векторов.

Различные линии представляют собой пути, по которым идут разные люди в городе. Все блоки имеют ширину 120 м.

(а) 1.56 км

(б) 120 м на восток

Найдите следующее для пути D на (Рисунок): (a) общее пройденное расстояние и (b) величину и направление смещения от начала до конца. В этой части задачи явно покажите, как вы следуете шагам аналитического метода сложения векторов.

Найдите северную и восточную составляющие смещения от Сан-Франциско до Сакраменто, показанные на (Рисунок).

Северная составляющая 87,0 км, восточная составляющая 87,0 км

Решите следующую задачу, используя аналитические методы. Предположим, вы идете 18,0 м прямо на запад, а затем 25,0 м прямо на север. Как далеко вы находитесь от начальной точки и каково направление по компасу линии, соединяющей вашу отправную точку с конечным положением? (Если вы изобразите два участка прогулки как векторные смещения и, как на (Рисунок), то эта задача просит вас найти их сумму.)

Обратите внимание, что вы также можете решить эту проблему графически. Обсудите, почему аналитический метод решения этой проблемы потенциально более точен, чем графический метод.

Повторите (рисунок), используя аналитические методы, но поменяйте порядок двух этапов прогулки и покажите, что вы получите тот же конечный результат. (Эта проблема показывает, что добавление их в обратном порядке дает тот же результат, то есть.) Обсудите, как другой путь для достижения той же точки может помочь преодолеть препятствие, блокирующее вам другой путь.

30,8 м, 35,8 к западу от севера

Вы едете по прямой в направлении к востоку от севера. (а) Найдите расстояния, на которые вам нужно проехать прямо на восток, а затем прямо на север, чтобы добраться до той же точки. (Это определение эквивалентно нахождению компонентов смещения в восточном и северном направлениях.) (B) Покажите, что вы все еще прибываете в одну и ту же точку, если восточный и северный отрезки поменяны местами в обратном порядке.

(а), к югу от запада

(б), к северу от востока

У нового землевладельца есть треугольный участок земли, который она хочет оградить.Начиная с западного угла, она измеряет длину первой стороны 80,0 м, а следующей — 105 м. Эти стороны представлены как векторы смещения из (Рисунок). Затем она правильно рассчитывает длину и ориентацию третьей стороны. Какой у нее результат?

18,4 км к югу, затем 26,2 км к западу (b) 31,5 км к югу от запада, затем 5,56 км к западу от севера

, к югу от востока

Глоссарий

аналитический метод

метод определения величины и направления результирующего вектора с использованием теоремы Пифагора и тригонометрических тождеств

Векторные операции

В физическом мире некоторые величины, такие как масса, длина, возраст и стоимость, могут быть представлены только величиной.Другие величины, такие как скорость и сила, также включают направление. Вы можете использовать векторы для представления тех величин, которые включают как величину, так и направление. Одним из распространенных способов использования векторов является определение фактической скорости и направления самолета с учетом его воздушной скорости и направления, а также скорости и направления попутного ветра. Другое распространенное использование векторов заключается в нахождении результирующей силы на объекте, на которую действуют несколько отдельных сил.

Любая величина, имеющая размер и направление, называется векторной величиной .Если A и B — две точки, расположенные на плоскости, направленный сегмент от точки A до точки B обозначается значком. Точка A — это начальная точка , а точка B — это конечная точка .

Геометрический вектор — это величина, которая может быть представлена ​​направленным линейным сегментом. С этого момента вектор будет обозначаться жирным шрифтом, например v или u .Величина вектора — это длина направленного отрезка прямой. Величину иногда называют нормой . Два вектора имеют одинаковое направление , если они параллельны и указывают в одном направлении. Два вектора имеют противоположных направлений , если они параллельны и указывают в противоположных направлениях. Вектор, который не имеет величины и указывает в любом направлении, называется нулевым вектором . Два вектора называются эквивалентными векторами , если они имеют одинаковую величину и одинаковое направление.

На рисунке 1 показано сложение вектора с использованием правила хвостового конца . Чтобы сложить векторы v и u , переместите вектор u так, чтобы начальная точка u находилась в конечной точке v . Результирующий вектор от начальной точки v до конечной точки u является вектором v + u и называется результирующим . Векторы v и u называются компонентами вектора v + u .Если два добавляемых вектора не параллельны, то можно также использовать правило параллелограмма . В этом случае начальные точки векторов совпадают, а в результате получается диагональ параллелограмма, образованная двумя векторами в качестве смежных сторон параллелограмма.

Рисунок 1
Пример сложения векторов.

Чтобы умножить вектор u на действительное число q , умножьте длину u на | q | и измените направление на , если q <0.Это называется скалярным умножением на . Если вектор u умножить на -1, результирующий вектор обозначается как — u . Он имеет ту же величину, что и и , но в противоположном направлении. На рисунке 2 показано использование скаляров.

Рисунок 2
Примеры векторов.

Пример 1: Самолет летит строго на запад со скоростью 400 миль в час. Попутный ветер дует в юго-западном направлении со скоростью 50 миль в час.Нарисуйте диаграмму, отображающую путевую скорость и направление самолета (Рисунок 3).

Рисунок 3
Рисунок для примера 1 — векторное представление.

Вектор, представленный в предыдущем примере, известен как вектор скорости . Пеленг вектора v — это угол, измеренный по часовой стрелке от прямого севера до v . В этом примере пеленг самолета составляет 270 °, а пеленг ветра — 225 °.Нарисовав фигуру в виде треугольника с использованием правила хвостового оперения, можно вычислить длину (путевую скорость самолета) и азимут полученного результата (Рисунок 4).

Рис. 4
Чертеж для примера 1 — представление угла.

Во-первых, используйте закон косинусов, чтобы найти величину результирующей.

Затем используйте закон синусов, чтобы найти подшипник.

Таким образом, пеленг β составляет 270 ° — 4.64 °, или примерно 265,4 °.

Пример 2: Самолет летит со скоростью 300 миль в час. Ветер дует с юго-востока со скоростью 86 миль в час с пеленгом 320 °. На каком пеленге должна стоять плоскость, чтобы иметь истинный пеленг (относительно земли) 14 °? Какая будет путевая скорость самолета (рис. 5)?

Рисунок 5
Чертеж для примера 2.

Используйте закон синусов для расчета пеленга и путевой скорости.Поскольку эти альтернативные внутренние углы совпадают, угол 54 ° является суммой угла 14 ° и угла 40 °.

Следовательно, пеленг плоскости должен быть 14 ° + 13,4 ° = 27,4 °. Базовая скорость самолета составляет 342,3 мили в час.

Любой вектор может быть разбит на два вектора , горизонтальный компонент и вертикальный компонент. Эти составляющие векторы называются проекциями (Рисунок 6).

Рисунок 6
Пример проекций.

Пример 3: Сила в 11 фунтов и сила в 6 фунтов действуют на объект под углом 41 ° по отношению друг к другу. Какова величина результирующей силы и какой угол образует результирующая сила с 11-фунтовой силой (рис. 7)?

Рисунок 7
Чертеж для примера 3.

Во-первых, используйте Закон косинусов, чтобы найти величину равнодействующей силы.

Затем используйте закон синусов.

Таким образом, результирующая сила составляет 16,02 фунта, и эта сила составляет угол 14,24 ° с силой в 11 фунтов.