Определение

. Почему вектор, умноженный на вектор, равен числу?

спросил 4 года, 6 месяцев назад

Изменено 4 года, 6 месяцев назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

Мне только что пришло в голову, что у нас есть $$ \text{число} \cdot \text{число} = \text{число} \\ \text{матрица} \cdot \text{матрица} = \text{матрица} $$ но $$ \text{вектор} \cdot \text{вектор} = \text{число} $$ Это почему? Почему $\text{vector} \cdot \text{vector}$ не равен другому $\text{vector}$? Является ли это просто исторической случайностью, что знак «$\cdot$» используется таким образом для векторов, или есть более глубокая причина такой разницы в умножении между числами, матрицами и векторами?

• векторы
• определение

$\endgroup$

9

$\begingroup$

Три вида векторных произведений вместе с тем, что они производят:

• Скалярное произведение: $vector \cdot vector = scalar$
• Сквозное произведение: $vector \times vector = vector$
• Внешний продукт: $vector \otimes vector = matrix$

Таким образом, он производит число (скалярное), только если это скалярное произведение. T\cdot w$$

Это не обязательно единственный способ увидеть это. На самом деле скалярные произведения в векторном пространстве имеют собственную теорию как симметричные билинейные отображения в векторном пространстве (или эрмитовы полуторалинейные отображения в $\Bbb C$-векторном пространстве). С другой стороны, произведение матриц представляет способ вычисления в координатах композиции линейных карт. Эти две вещи проверяют отдельные аспекты (структуры) векторных пространств, поэтому для них естественно вести себя по-разному, несмотря на то, что обе они называются «продуктами»: теоретически они являются «продуктами» в разных контекстах.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Вектор, умноженный на скаляр, возвращает вектор

Перекрестное произведение двух векторов возвращает вектор

Скалярное произведение двух векторов возвращает скаляр

Внешнее произведение двух векторов возвращает матрицу (или тензор)

Я предполагаю, что вы имеете в виду точечный продукт. Скалярный продукт может быть представлен как «количество» одного вектора относительно другого вектора. В этом случае он возвращает скаляр, который можно рассматривать как вектор «количества» A, указывающий в направлении вектора B. (Предположим, что вектор B является единичным вектором). 9Tv=\sum u_iv_i$$

Как было замечено, в трех измерениях мы также можем определить перекрестное произведение векторов, которое возвращает другой вектор.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Намерение присвоить число двум векторам состоит в том, чтобы измерить угол — который является числом — между ними и, кроме того, составной частью одного вектора другого.

$\endgroup$

$\begingroup$

Как уже говорили другие, существует много возможных понятий продукта.

Те, которые вы перечислили, являются одними из наиболее широко используемых, и на это есть веские причины, но это не означает, что каждый из них является единственно возможным продуктом для своего типа ввода или что они должны иметь все одинаковые свойства.

В некотором смысле вопрос, который вы действительно хотите задать, заключается в том, что особенного в этих конкретных продуктах, откуда они берутся, как они соотносятся друг с другом и почему у них есть общие свойства. Это немного расплывчатые вопросы, но это не значит, что на них нет хороших ответов. Эти ответы содержат понимание, которое вы искали, когда задавали этот вопрос.

Сначала я написал гораздо более длинный ответ, содержащий часть этой информации, но, возможно, его лучше разбить на части, чтобы вы могли работать с ним в своем собственном темпе.

$\endgroup$

2.2: Умножение матриц — Mathematics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

14506

• Кен Каттлер
• Университет Бригама Янга via Lyryx

Следующей важной операцией с матрицами, которую мы рассмотрим, является умножение матриц. Операция умножения матриц — одна из самых важных и полезных из матричных операций. В этом разделе мы также покажем, как умножение матриц связано с линейными системами уравнений. 9{th}\) столбец матрицы-строки.

Матрица \(n\times 1\) \[X=\left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right]\ nonumber \] называется вектор-столбцом . Матрица \(1\times n\) \[X = \left[ \begin{array}{ccc} x_{1} & \cdots & x_{n} \end{array} \right]\nonumber \] называется вектором-строкой

.

Мы можем просто использовать термин вектор в этом тексте для обозначения либо столбца, либо вектора-строки. Если мы это сделаем, то из контекста будет ясно, о чем мы говорим.

В этой главе мы снова будем использовать понятие линейной комбинации векторов, как в определении 9.2.2. В этом контексте линейная комбинация представляет собой сумму, состоящую из векторов, умноженных на скаляры. Например, \[\left[ \begin{array}{r} 50 \\ 122 \end{array} \right] = 7\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 4 \end{array} \right] +8\left[ \begin{array}{r} 2 \\ 5 \end{array} \right] +9\left[ \begin{array}{r} 3 \\ 6 \end{array} \right]\nonumber \] представляет собой линейную комбинацию трех векторов.

Оказывается, любую систему линейных уравнений можно представить в виде линейной комбинации векторов. На самом деле векторы, которые мы будем использовать, — это всего лишь столбцы соответствующей расширенной матрицы!

Определение \(\PageIndex{2}\): векторная форма системы линейных уравнений

Предположим, что у нас есть система уравнений, заданная \[\begin{array}{c} a_{11}x_{1} +\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m} \end {array}\nonumber \] Мы можем выразить эту систему в векторной форме , которая выглядит следующим образом: \[x_1 \left[ \begin{array}{c} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots \\ a_{m1} \end{массив} \right] + x_2 \left[ \begin{array}{c} a_{12}\\ a_{22}\\ \vdots \\ a_{m2} \end{ array} \right] + \cdots + x_n \left[ \begin{array}{c} a_{1n}\\ a_{2n}\\ \vdots \\ a_{mn} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots \\ b_m \end{array} \right]\nonumber \]

Обратите внимание, что каждый используемый здесь вектор представляет собой один столбец соответствующей расширенной матрицы. Существует один вектор для каждой переменной в системе вместе с постоянным вектором.

Первая важная форма матричного умножения — умножение матрицы на вектор. Рассмотрим произведение, заданное \[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 7 \\ 8 \\ 9 \end{array} \right]\nonumber \] Вскоре мы увидим, что это равно \[7\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array} \right ] +8\left[ \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right] +9\left[ \begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} 50 \\ 122 \end{array} \right]\nonumber \ ]

В общих чертах, \[\begin{aligned} \left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_ {23} \end{массив} \right] \left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{массив} \right] &= \ x_ {1}\left[ \begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \end{array} \right] +x_{2}\left[ \begin{array}{c} a_{ 12} \\ a_{22} \end{массив} \right] +x_{3}\left[ \begin{array}{c} a_{13} \\ a_{23} \end{массив} \right] \\ &=\left[ \begin{array}{c} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3} \\ a_{21}x_{1 }+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3} \end{array} \right] \end{aligned}\] Таким образом, вы берете \(x_{1}\) раз первый столбец, добавьте к \(x_{2}\) раз второй столбец и, наконец, \(x_{3}\) раз третий столбец.

{n}x_{j}A_{j}\номер \]

Если мы запишем столбцы \(A\) с точки зрения их записей, они будут иметь вид \[A_{j} = \left[ \begin{array}{c} a_{1j} \\ a_{ 2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{array} \right]\nonumber \] Тогда мы можем записать произведение \(AX\) как \[AX = x_{1}\left[ \begin {array}{c} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{array} \right] + x_{2}\left[ \begin{array}{c} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{array} \right] +\cdots + x_{n}\left[ \begin{array}{c} a_{1n } \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{массив} \right]\nonumber \]

Обратите внимание, что умножение матрицы \(m \times n\) на вектор \(n \times 1\) дает вектор \(m \times 1\).

Вот пример.

Пример \(\PageIndex{1}\): вектор, умноженный на матрицу

Вычислите произведение \(AX\) для \[A = \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 4 & 1 \end{array} \right], X = \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \ \ 1 \end{массив} \right]\номер \]

Решение

Мы будем использовать определение \(\PageIndex{3}\) для вычисления произведения. Поэтому мы вычисляем произведение \(AX\) следующим образом. \[\begin{align} & 1\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right] + 2\left[ \begin{array}{r} 2 \ \ 2 \\ 1 \end{array} \right] + 0\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 4 \end{array} \right] + 1 \left[ \begin{array }{r} 3 \\ -2\\ 1 \end{массив} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{массив} \right] + \left[ \begin{array}{r} 4 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array } \right] + \left[ \begin{array}{r} 3 \\ -2\\ 1 \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{r} 8 \\ 2 \\ 5 \конец{массив} \справа]\конец{выровнено}\]

Используя описанную выше операцию, мы также можем написать систему линейных уравнений в матричной форме . В этой форме мы выражаем систему как матрицу, умноженную на вектор. Рассмотрим следующее определение.

Определение \(\PageIndex{4}\): матричная форма системы линейных уравнений

Предположим, что у нас есть система уравнений, заданная \[\begin{array}{c} a_{11}x_{1} +\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ a_{21}x_{1}+ \cdots + a_{2n}x_{n} = b_{2} \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{array}\nonumber \] Тогда мы можем выразить эту систему в матрица формы выглядит следующим образом. \[\left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{массив} \right] = \left[ \begin{массив}{c} b_{1}\\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{array} \right]\nonumber \]

Выражение \(AX=B\) также известно как Матрица Форма соответствующей системы линейных уравнений. Матрица \(A\) — это просто матрица коэффициентов системы, вектор \(X\) — вектор-столбец, построенный из переменных системы, и, наконец, вектор \(B\) — это вектор-столбец, построенный из константы системы. Важно отметить, что в таком виде можно записать любую систему линейных уравнений.

Обратите внимание, что если мы запишем однородную систему уравнений в матричной форме, она будет иметь вид \(AX=0\) для нулевого вектора \(0\).

Из этого определения видно, что вектор \[X = \left[ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right]\nonumber \] будет удовлетворять уравнению \(AX=B\) только тогда, когда элементы \(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\) вектора \(X\ ) являются решениями исходной системы.

Теперь, когда мы рассмотрели, как умножать матрицу на вектор, мы хотим рассмотреть случай, когда мы умножаем две матрицы более общих размеров, хотя, как мы увидим, эти размеры должны быть подходящими. Например, в примере \(\PageIndex{1}\) мы умножили матрицу \(3 \times 4\) на вектор \(4 \times 1\). Мы хотим исследовать, как умножать другие размеры матриц.

Мы еще не дали никаких условий, когда возможно умножение матриц! Для матриц \(A\) и \(B\), чтобы образовать произведение \(AB\), количество столбцов \(A\) должно равняться количеству строк \(B.\) Рассмотрим произведение \(AB\), где \(A\) имеет размер \(m\times n\), а \(B\) имеет размер \(n \times p\). Затем произведение с точки зрения размера матриц определяется как \[(m\times\overset{\text{они должны совпадать!}}{\widehat{n)\;(n}\times p})=m\ раз p\номер\]

Обратите внимание, что две внешние цифры обозначают размер продукта. Одно из важнейших правил умножения матриц заключается в следующем. Если два средних числа не совпадают, вы не можете умножать матрицы!

Когда количество столбцов \(A\) равно количеству строк \(B\), говорят, что две матрицы созвучны , а произведение \(AB\) получается следующим образом. {th}\) столбец \(AB\).

Рассмотрим следующий пример.

Пример \(\PageIndex{2}\): умножение двух матриц

Найдите \(AB\), если возможно. \[A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right], B = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{array} \right]\nonumber \]

Решение

Первое, что вам нужно проверить при вычислении произведения, это то, возможно умножение. Первая матрица имеет размер \(2\times 3\), а вторая матрица имеет размер \(3\times 3\). Внутренние числа равны, поэтому матрицы \(A\) и \(B\) созвучны. Согласно приведенному выше обсуждению, \(AB\) будет матрицей \(2\times 3\). Определение \(\PageIndex{5}\) дает нам способ вычислить каждый столбец \(AB\) следующим образом.

\[\left[ \overset{ \text{Первый столбец}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \ right] \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array} \right] }},\overset{\text{Второй столбец}}{\overbrace{\left[ \ begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{r} 2 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right] }},\overset{\text{Третий столбец}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{массив} \right ] \left[ \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] }}\right]\nonumber \] Вы знаете, как умножить матрицу на вектор, используя Определение \ (\PageIndex{3}\) для каждого из трех столбцов. Таким образом, \[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{массив} \right] = \ \left[ \begin{массив}{rrr} -1 & 9& 3 \\ -2 & 7 & 3 \end{array} \right]\nonumber \]

Поскольку векторы представляют собой просто \(n \times 1\) или \(1 \times m\) матрицы, мы также можем умножить вектор на другой вектор.

Пример \(\PageIndex{3}\): умножение вектора на вектор

Умножить, если возможно \(\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] \ left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right] .\)

Решение

В этом случае мы умножаем матрицу размера \(3 \times 1\ ) матрицей размера \(1 \times 4.\) Внутренние числа совпадают, поэтому произведение определено. Обратите внимание, что произведение будет матрицей размера \(3 x 4\). Используя определение \(\PageIndex{5}\), мы можем вычислить это произведение следующим образом \(\: \) \[\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right] = \left[ \overset{ \text{Первый столбец}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{массив} \right] \left[ \begin{array}{r} 1 \end{массив} \right] }},\overset{\ text{Второй столбец}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2\\ 1 \end{массив} \right] \left[ \begin{array}{r} 2 \end {массив} \right] }},\overset{\text{Третий столбец}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{массив} \right] \ left[ \begin{array}{r} 1 \end{array} \right] }}, \overset {\text{Четвертый столбец}}{\overbrace{\left[ \begin{array}{r} 1\\ 2\\ 1 \end{массив} \right] \left[ \begin{array}{r} 0 \end{массив} \right]}} \right]\nonumber \]

Вы можете использовать определение \(\PageIndex{3}\), чтобы убедиться, что этот продукт является \[\left[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{массив} \right]\nonumber \]

Пример \(\PageIndex{4}\): умножение, которое не определено

Найдите \(BA\), если возможно. \[B = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{array} \right], A = \left[ \ begin{массив}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{массив} \right]\nonumber \]

Решение

Сначала проверьте, возможно ли это. Это произведение имеет вид \(\влево( 3\умножить на 3\вправо) \влево( 2\умножить на 3\вправо).\) Внутренние числа не совпадают, поэтому вы не можете выполнить это умножение.

В этом случае мы говорим, что умножение не определено. Обратите внимание, что это те же матрицы, которые мы использовали в примере \(\PageIndex{2}\). В этом примере мы попытались вычислить \(BA\) вместо \(AB\). Это демонстрирует еще одно свойство матричного умножения. Хотя произведение \(AB\) может быть определено, мы не можем предполагать, что произведение \(BA\) будет возможно. Поэтому важно всегда проверять, определено ли произведение, прежде чем выполнять какие-либо расчеты.

Ранее мы определили нулевую матрицу \(0\) как матрицу (соответствующего размера), содержащую нули во всех элементах. Рассмотрим следующий пример умножения на нулевую матрицу.

Пример \(\PageIndex{5}\): умножение на нулевую матрицу

Вычислить произведение \(A0\) для матрицы \[A= \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right]\nonumber \] и \(2 \times 2\) нулевая матрица, заданная как \[0= \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{массив} \right]\nonumber \]

Решение

В этом продукте мы вычисляем \[\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr } 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{массив} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{массив} \right]\nonumber \]

Следовательно, \(A0=0\).

Обратите внимание, что мы также можем умножить \(A\) на \(2 \times 1\) нулевой вектор, заданный выражением \(\left[ \begin{array}{r} 0 \\ 0 \end{array} \ правильно]\). Результатом будет \(2 \times 1\) нулевой вектор. Поэтому всегда имеет место \(A0=0\) для нулевой матрицы или вектора соответствующего размера.

---

Эта страница под названием 2.