Смешанное произведение векторов. Онлайн калькулятор

Данный онлайн калькулятор вычисляет смешанное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления смешанного произведения векторов выберите способ представления векторов (по координатам или по двум точкам) введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Смешанное произведение векторов (теория)

Смешанное произведение трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора a, b и c, то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [ab] скалярно умножается на вектор c.

Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c). Тогда можно записать:

abc=([ab],c)

Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2′ и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Теорема 1. Смешанное произведение векторов ([ab],c) равно объему параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c, взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если векторы a, b, c компланарны, то ([ab],c) равно нулю.

Следствие 1. Имеет место следующее равенство:

([ab],c)=(a,[bc]).

(1)

Для доказательства следствия заметим, что из переместительного свойства скалярного произведения имеем:

(a,[bc])= ([bc],a).

(2)

Следовательно нам достаточно доказать, что

([ab],c)=([bc],a)

(3)

Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.

Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов

a, b, c просто в виде abc, не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).

Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Смешанное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 2. Пусть три вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами

a={x1, y1, z1}, b={x2, y2, z2}, c={x3, y3, z3}.

Тогда смешанное произведение abc равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов:

Доказательство. Смешанное произведение abc равно скалярному произведению векторов [ab] и c. Векторное произведение векторов [ab] в декартовых координатах вычисляется формулой (подробнее смотрите на странице векторное произведение векторов онлайн):

[ab]={y1z2—y2z1, z1x2−z2x1, x1y2−x 2y1}.

Тогда скалярное произведение векторов [ab] и c можно записать так:

abc=([ab],c)=x3(y1z2—y2z1)+ y3(z1x2−z2x1)+ z3(x1y2−x2y1).

(5)

Последнее выражение можно записать, используя определители второго порядка:

Формулы (6) и (4) эквивалентны, так как (6) является разложением определителя (4) по третьей строке.

Теорема доказана.

Следствие 3. Для компланарности трех векторов

a={x1, y1, z1}, b={x2, y2, z2}, c={x3, y3, z3}.

необходимо и достаточно равенство нулю определителя, строки которой заполнены координатами этих векторов, т.е:

Для доказательства следствия достаточно рассмотреть формулу (4) и следствие 2.

Смешанное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов abс, где

Решение.

Для вычисления смешанного произведения векторов a, b, c составим матрицу, строки которой образуются векторами a, b, c:

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L. Вычислим определитель матрицы L, разложив определитель по строке 1:

Ответ.

Смешанное произведение векторов a, b, c равен :

abc=−58.

Пример 2. Найти смешанное произведение векторов

abс, где

Начальная точка вектора a:

Конечная точка вектора a:

Вектор b:

Начальная точка вектора c:

Конечная точка вектора c:

Решение.

Переместим вектор a на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки B координаты начальной точки A:

Переместим вектор c на начало координат. Для этого вычтем из соответствующих координат конечной точки F координаты начальной точки E:

Для вычисления смешанного произведения векторов a, b, c составим матрицу, строки которой образуются векторами a, b, c:

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L. Вычислим определитель матрицы L, разложив определитель по строке 1:

Ответ.

Смешанное произведение векторов a, b, c равен :

abc=76.

Что такое произведение чисел (онлайн калькулятор на умножение)

 Одна из важных математических операций это произведение чисел. Что же скрыто за этими словами как произведение, умножение…? Именно об этом в нашей статье.
 Давайте наверное начнем с банальных вещей. Когда у нас появляется много чего-то, то довольно сложно это хранить даже в виде информации. Нам каким-то образом это приходится компактно сокращать. Вот скажем у нас появилось более чем две пары носков в шкафу, а точнее пусть их будет 15… Как нам из записать на бумаге. Да, конечно, мы можем взять и записать 2+2+2… и так далее, пока не перечислим цифру два, с которой ассоциируется одна из пар носков на их количество, то есть на 15. Но это ведь право не удобно, особенно если представить, что речь идет не только о наших носках в шкафу, но и о случае их хранения в магазине! И здесь проще записать словами так. У нас две пары носков взято какое-то количество раз! 

 Вот, здесь где-то и образуется эта самая магия перехода от обычной суммы к произведению, когда мы подразумеваем, что берем какое-то число какое-то количество раз. Самое время дать определение.

Определение произведения чисел

Произведение двух чисел это есть не что иное, как взятое одно из чисел в количестве другого числа.

Еще раз! Если произведение будет С, то номинальное значение одного из чисел пусть а, взятое в количестве b раз и будет этим произведением. Можно записать скажем так

С=а1+а2+а3+а4…+аb  где 1,2,3,4…b будут индексом указывающим на то, какое это число а по порядку и не более того!

 

 

Пример  Найти произведение чисел:

1) 1.2⋅3 ;

Ответ.1,2⋅3=3,6

2) 4⋅5⋅13

Ответ: 4⋅5⋅13=260

Свойства произведения чисел

Коммутативность: n⋅m=m⋅n
Ассоциативность: (n⋅m)⋅k=n⋅(m⋅k)
На основании этих свойств можем заключить, что при перестановке множителей значение произведения не меняется.

Дистрибутивность: (n+m)⋅k=n⋅k+m⋅k

 

Пример Найти произведение чисел удобным способом:

1) 5⋅17⋅2 ; 2) 7⋅2⋅15⋅5

Решение. По свойства умножения имеем:

5⋅17⋅2=(5⋅2)⋅17=10⋅17=170
7⋅2⋅15⋅5=(7⋅(2⋅15))⋅5=(7⋅30)⋅5=210⋅5=1050
Ответ.

5⋅17⋅2=170
7⋅2⋅15⋅5=1050

 

Если устное умножение чисел затруднительно используют умножение в столбик. В столбик можно умножать большие натуральные числа или десятичные дроби.

Пример Найти произведение чисел

1) 156⋅32 ; 2) 4,71⋅3,1

Решение. Запишем умножаемые числа в столбик. Далее умножим сначала единицы второго числа на первое, полученное произведение запишем под чертой. Затем аналогично умножим десятки второго числа на первое. Результат запишем под первым произведением только на один разряд левее. В конце найдем сумму полученных произведений по правилу сложения в столбик

 

Умножение десятичных дробей во втором примере производится следующим образом: не обращая внимания на запятые, дроби перемножаются как целые числа; в получившемся произведении отделяют справа число знаков, равное сумме чисел знаков после запятой у сомножителей. В нашем случае в первом сомножителе два знака после запятой, во втором — один, значит, в ответе нужно отделить справа три знака:

 

Ответ.

156⋅32=4992
4,71⋅3,1=14,601

Побалуемся с произведением!?

Вводим циферки Цифра которую будем брать N раз (множитель)

А чему равно это самое N раз?(множитель)

Калькулятор

-точечного произведения | Калькулятор векторных точек и умножения

Введите матрицу размера m x n ниже в форму

a11,a12,a13,. ..a1n
a21,a22,a23,...a2n
am1,am2,am3,...amn


Калькулятор скалярного произведения — это бесплатный онлайн-метод измерения скалярное произведение двух векторов. Инструмент онлайн-калькулятора ускоряет измерение и показывает произведение векторов в секунды.

Скалярная величина, полученная в результате определенных операций над Компоненты вектора определяются как скалярное произведение, также известное как скалярная величина. Жирная точка представляет произведение двух векторов, который используется для оценки того, являются ли два вектора ортогональный. Формула расчета произведения, если a и b равны два вектора могут быть заданы как:

a * b = |a| × |б| × cos(θ)

Калькулятор также можно использовать для расчета угла между два вектора, когда косинус есть отношение скалярного произведения к величины векторов:

cos(θ) = a * b / (|a| * |b|)

Калькулятор векторного скалярного произведения

При решении задач на умножение векторов вектор калькулятор работает как удовольствие. Вместо ручного расчета скалярного произведения, просто введите компоненты двух векторов в этот инструмент и пусть он сделает всю работу за вас.

Продолжайте читать, чтобы узнать, как использовать формулу, определить произведение двух векторов и упрощение матричной формулы.

Калькулятор векторного умножения

Скалярное произведение (также известное как скалярное произведение), обозначаемое символ «,» и перекрестное произведение, обозначенное символом «×», являются двумя основными формами векторного умножения. критический разница в том, что произведение точечной операции является одним числом, в то время как выход перекрестной операции является вектором.

Как определить скалярное произведение вектора:

• Выберите вектор a.
• Выберите вектор b.
• Определите произведение первой переменной каждого вектора.
• Вычислить произведение секунд каждого вектора (средних) переменная.
• Вычислите произведение третьей переменной каждого вектора.
• Чтобы найти произведение векторов a и b, сложите все эти результаты вместе.

Матричный точечный продукт

Действие продукта, вероятно, может быть применимо к более похожим настройки, такие как матрицы, а также векторы. В результате получаем другая матрица C, которая выглядит так: cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj = Σk aikbkj

Аналогично скалярному произведению простых векторов, за исключением процесс должен быть повторен для каждой переменной несколько раз.

Однако не все матрицы можно перемножать. Если рассматривать А как матрица m * n и B как матрица k * l, то n должно равняться k в результирующая матрица C = A * B, и l должно равняться m в результирующей матрица D = B * A. Другими словами, количество элементов левой матрицы столбцы должны совпадать с количеством строк во втором.

Скалярное произведение

Когда два вектора записаны в сферических координатах, также можно вычислить скалярное произведение. Чтобы решить задачу, мы должны использовать радиус r и два угла θ, φ, чтобы выразить наши новые координаты. Аналогично

x₁ = r₁ × sin(φ)₁ × cos(θ)₁,

y₁ = r₁ × sin(φ)₁ × sin(θ)₁,

z₁ = r₁ × cos(φ)₁

, для x2, y2 и z2 результат будет следующим:

a * b = x₁ * x₂ + y₁ * y₂ + z₁ * z₂ = r₁ * r₂ * sin(φ)₁ * cos(θ)₁ * sin(φ)₂ * cos(θ)₂ + r₁ * r₂ * sin( φ)₁ * sin(θ)₁ * sin(φ)₂ * sin(θ)₂ + r₁ × r₂ * cos(φ)₁ * cos(φ)₂

Когда мы используем косинус уравнения разности углов, формула принимает вид:

a * b = r₁ * r₂ * (sinφ₁ * sinφ₂ * cos(θ ₁ — θ ₂) + cosφ₁ * cosφ₂)

Калькулятор скалярного произведения u и v

Рассмотрим формулу подробнее. Мы можем найти образ скалярное произведение путем рисования обоих векторов, разделенных углом а затем попытаемся найти образ скалярного произведения, и мы см., что это составлено из двух элементов, умноженных вместе: проекция одного вектора на курс второго вектора, и то же самое для второго вектора.

Результат — это просто произведение их длин, поскольку они оба параллельны. Процедуру можно провести двумя способами, но эффект все тот же. Подводя итог этой части, u и v Произведение калькулятора — это произведение длин двух векторов, проецируемых в сторону одного из них.

Произведение вектора на себя, a2 = aa, является одним из примеров. Произведение представляет собой квадрат длины вектора. поскольку проекция и вектор — это одно и то же. В других словами, мы можем использовать квадратный корень из следующего произведения, чтобы найти длину любого вектора: |a| = √(аа).

404 — СТРАНИЦА НЕ НАЙДЕНА

Почему я вижу эту страницу?

404 означает, что файл не найден. Если вы уже загрузили файл, имя может быть написано с ошибкой или файл находится в другой папке.

Другие возможные причины

Вы можете получить ошибку 404 для изображений, поскольку у вас включена защита от горячих ссылок, а домен отсутствует в списке авторизованных доменов.

Если вы перейдете по временному URL-адресу (http://ip/~username/) и получите эту ошибку, возможно, проблема связана с набором правил, хранящимся в файле .htaccess. Вы можете попробовать переименовать этот файл в .htaccess-backup и обновить сайт, чтобы посмотреть, решит ли это проблему.

Также возможно, что вы непреднамеренно удалили корневую папку документа или ваша учетная запись должна быть создана заново. В любом случае, пожалуйста, немедленно свяжитесь с вашим веб-хостингом.

Вы используете WordPress? См. Раздел об ошибках 404 после перехода по ссылке в WordPress.

Как найти правильное написание и папку

Отсутствующие или поврежденные файлы

Когда вы получаете ошибку 404, обязательно проверьте URL-адрес, который вы пытаетесь использовать в своем браузере. Это сообщает серверу, какой ресурс он должен использовать попытка запроса.

http://example.com/example/Example/help.html

В этом примере файл должен находиться в папке public_html/example/Example/

Обратите внимание, что CaSe важен в этом примере. На платформах с учетом регистра e xample и E xample не совпадают.

Для дополнительных доменов файл должен находиться в папке public_html/addondomain.com/example/Example/, а имена чувствительны к регистру.

Разбитое изображение

Если на вашем сайте отсутствует изображение, вы можете увидеть на своей странице поле с красным цветом X , где отсутствует изображение. Щелкните правой кнопкой мыши X и выберите «Свойства». Свойства сообщат вам путь и имя файла, который не может быть найден.

Это зависит от браузера. Если вы не видите на своей странице поле с красным X , попробуйте щелкнуть правой кнопкой мыши страницу, затем выберите «Просмотр информации о странице» и перейдите на вкладку «Мультимедиа».

http://example.com/cgi-sys/images/banner.PNG

В этом примере файл изображения должен находиться в папке public_html/cgi-sys/images/

Обратите внимание, что в этом примере важен CaSe . На платформах с учетом регистра PNG и png не совпадают.

Ошибки 404 после перехода по ссылкам WordPress

При работе с WordPress ошибки 404 Page Not Found часто могут возникать при активации новой темы или изменении правил перезаписи в файле .htaccess.

Когда вы сталкиваетесь с ошибкой 404 в WordPress, у вас есть два варианта ее исправления.

Вариант 1. Исправьте постоянные ссылки

1. Войдите в WordPress.
2. В меню навигации слева в WordPress нажмите  Настройки > Постоянные ссылки (Обратите внимание на текущую настройку. Если вы используете пользовательскую структуру, скопируйте или сохраните ее где-нибудь.)
3. Выберите  По умолчанию .
4. Нажмите  Сохранить настройки .
5. Верните настройки к предыдущей конфигурации (до того, как вы выбрали «По умолчанию»). Верните пользовательскую структуру, если она у вас была.
6. Нажмите  Сохранить настройки .

Во многих случаях это сбросит постоянные ссылки и устранит проблему. Если это не сработает, вам может потребоваться отредактировать файл .htaccess напрямую.

Вариант 2. Измените файл .htaccess

Добавьте следующий фрагмент кода 9index.php$ — [L]
RewriteCond %{REQUEST_FILENAME} !-f
RewriteCond %{REQUEST_FILENAME} !-d
RewriteRule . /index.php [L]

# Конец WordPress

Если ваш блог показывает неправильное доменное имя в ссылках, перенаправляет на другой сайт или отсутствуют изображения и стиль, все это обычно связано с одной и той же проблемой: в вашем блоге WordPress настроено неправильное доменное имя.

Как изменить файл .htaccess

Файл .htaccess содержит директивы (инструкции), которые сообщают серверу, как вести себя в определенных сценариях, и напрямую влияют на работу вашего веб-сайта.

Перенаправление и перезапись URL-адресов — это две очень распространенные директивы, которые можно найти в файле . htaccess, и многие скрипты, такие как WordPress, Drupal, Joomla и Magento, добавляют директивы в .htaccess, чтобы эти скрипты могли работать.

Возможно, вам потребуется отредактировать файл .htaccess в какой-то момент по разным причинам. В этом разделе рассказывается, как редактировать файл в cPanel, но не о том, что нужно изменить. статьи и ресурсы для этой информации.)

Существует множество способов редактирования файла .htaccess

• Отредактируйте файл на своем компьютере и загрузите его на сервер через FTP
• Использовать режим редактирования программы FTP
• Использовать SSH и текстовый редактор
• Используйте файловый менеджер в cPanel

Самый простой способ редактирования файла .htaccess для большинства людей — через диспетчер файлов в cPanel.

Как редактировать файлы .htaccess в файловом менеджере cPanel

Прежде чем что-либо делать, рекомендуется сделать резервную копию вашего веб-сайта, чтобы вы могли вернуться к предыдущей версии, если что-то пойдет не так.

Откройте файловый менеджер

1. Войдите в cPanel.
2. В разделе «Файлы» щелкните значок «Диспетчер файлов ».
3. Установите флажок для  Корень документа для и выберите доменное имя, к которому вы хотите получить доступ, из раскрывающегося меню.
4. Убедитесь, что установлен флажок Показать скрытые файлы (точечные файлы) «.
5. Нажмите  Перейти . Файловый менеджер откроется в новой вкладке или окне.
6. Найдите файл .htaccess в списке файлов. Возможно, вам придется прокрутить, чтобы найти его.

Для редактирования файла .htaccess

1. Щелкните правой кнопкой мыши файл .htaccess и выберите  Редактировать код в меню. Кроме того, вы можете щелкнуть значок файла .htaccess, а затем Редактор кода Значок вверху страницы.
2. Может появиться диалоговое окно с вопросом о кодировании.