Теорема Гаусса: поток электрической индукции через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме всех зарядов, находящихся внутри поверхности: .

Из формулы видно, что размерность электрического потока такая же, как и электрического заряда. Поэтому единицей потока электрической индукции служит кулон (Кл).

Примечание: если поле неоднородно и поверхность, через которую определяют поток, не является плоскостью, то эту поверхность можно разбить на бесконечно малые элементы ds и каждый элемент считать плоским, а поле возле него однородным. Поэтому для любого электрического поля поток вектора электрической индукции через элемент поверхности есть:

Это одно из фундаментальных уравнений Максвелла для электромагнитного поля, записанное в интегральной форме.

Применение теоремы Гаусса

Определим теперь с помощью теоремы Остроградского-Гаусса напряжённость поля для ряда случаев.

1. Электрическое поле равномерно заряженной сферической поверхности.

Сфера радиусом R. Пусть заряд +q равномерно распределён по сферической поверхности радиуса R. Распределение заряда по поверхности характеризуется поверхностной плотностью заряда (рис.4). Поверхностной плотностью заряда называют отношение заряда к площади поверхности, по которой он распределён. . В СИ .

Определим напряжённость поля:

а) вне сферической поверхности,
б) внутри сферической поверхности.

а) Возьмём точку А, отстоящую от центра заряженной сферической поверхности на расстоянии r>R. Проведём через неё мысленно сферическую поверхность S радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферической поверхностью. Из соображения симметрии очевидно, что силовые линии являются радиальными прямыми перпендикулярными к поверхности S и равномерно пронизывают эту поверхность, т.е. напряжённость по всех точках этой поверхности постоянна по величине. Применим теорему Остроградского-Гаусса к этой сферической поверхности S радиуса r. Поэтому полный поток через сферу равен N = E? S; N=E. С другой стороны . Приравниваем: . Отсюда: при r>R.

Таким образом: напряжённость, создаваемая равномерно заряженной сферической поверхностью, вне её такая же, как если бы весь заряд находился в её центре (рис.5).

б) Найдём напряжённость поля в точках, лежащих внутри заряженной сферической поверхности. Возьмём точку В отстоящую от центра сферы на расстоянии <R, и проведём через эту точку сферическую поверхность имеющую общий центр с заряженной сферической поверхностью. Из соображения симметрии ясно, что напряжённость должна быть численно одинакова на всей выбранной поверхности сферы S и нормальна к ней. Применяя теорему Остроградского-Гаусса к сферической поверхности S на основании формулы: N=E? S, S=4p т.к. заряд внутри сферы S q = 0, то. Тогда , E = 0 при r<R. Следовательно, напряжённость электрического поля во всех точках внутри равномерно заряженной сферической поверхности равна нулю.

2. Напряжённость поля равномерно заряженной бесконечной плоскости

Рассмотрим электрическое поле создаваемое бесконечной плоскостью, заряженной с плотностью , постоянной во всех точках плоскости. По соображениям симметрии можно считать, что линии напряжённости перпендикулярны к плоскости и направлены от неё в обе стороны (рис.

Выберем точку А, лежащую справа от плоскости и вычислим в этой точке, применяя теорему Остроградского-Гаусса. В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндрическую поверхность таким образом, чтобы боковая поверхность цилиндра была параллельна силовым линиям, а его основания и параллельны плоскости и основание проходит через точку А (рис. 7). Рассчитаем поток напряжённости через рассматриваемую цилиндрическую поверхность. Поток через боковую поверхность равен 0, т.к. линии напряжённости параллельны боковой поверхности. Тогда полный поток складывается из потоков и проходящих через основания цилиндра и . Оба эти потока положительны =+; =; =; ==; N = 2.

– участок плоскости лежащий внутри выбранной цилиндрической поверхности. Заряд внутри этой поверхности равен q.

. Тогда ;

СГСЭ ;

Итак величина не зависит от положения рассматриваемой точки А и определяется только поверхностной плоскостью зарядов . Вектор всюду направлен перпендикулярно плоскости,

а) если >0 от плоскости (рис. 8).

б) если <0 тогда к плоскости (рис. 9).

3. Поле двух параллельных плоскостей

Плоскости заряжены разноимёнными зарядами с плотностями +s и -s (рис.10). напряжённость полей обеих плоскостей между плоскостями направлены в одну сторону, следовательно, их геометрическая сумма является их арифметической суммой в вакууме .

И так: во всех точках пространства между плоскостями, вектор напряжённости имеет одинаковую величину и направлен от положительно заряженной плоскости до отрицательно заряженной плоскости, т.е. поле между плоскостями однородное. Вне этих плоскостей поле равно “0” .

Пример решения задачи на вычисление электрических полей

Металлическое кольцо радиусом R имеет заряд q. Чему равны напряжённость поля и потенциал:

а) на расстоянии а от центра вдоль оси, перпендикулярной плоскости кольца;
б) в центре кольца?

Решение:

Возьмём элемент кольца , который создаёт в точке А электрическое поле напряжённостью (рис.11). Вектор напряжённости направлен по линии , соединяющей элементы кольца с зарядом (– можно принять за точечный заряд) с точкой А. Для нахождения суммарного поля надо геометрически сложить все поля, создаваемые каждым элементом: . Вектор напряжённости имеет две составляющие: (нормальная и касательная составляющие).

Составляющие от каждых двух диаметрально расположенных элементов взаимно уничтожаются, тогда результирующие поле и вектор направлен вдоль оси. Из рисунка 24 следует, что ; где . Учитывая, что напряжённость поля точечного заряда получим: .

Для нахождения потенциала суммируем алгебраически потенциалы, создаваемые отдельными элементами :

В центре кольца а = 0, поэтому из предыдущего следует, что ; .

Теорема Остроградского – Гаусса

Строгий вывод теоремы Остроградского – Гаусса довольно сложен, мы сделаем ее вывод для частного случая, который достаточно убедительно поддается обобщению. Теорема Остроградского – Гаусса позволяет определить поток вектора напряженности от любого количества зарядов. Для начала определим поток вектора напряженности через шаровую поверхность, в центре которой будет располагаться точечный заряд.

По формуле, которая была рассмотрена в более ранней статье (формула 1), при E_n = Ecos α, для шаровой поверхности (cos α = 1) поток вектора напряженности будет иметь вид:

Использовав формулу напряженности (формула 4) найдем:

Отсюда следует, что из каждого точечного заряда выходит поток вектора напряженности, который равен значению q/εε₀. Из обобщения данного положения выводится теорема Остроградского – Гаусса для общего случая – полный поток вектора напряженности через замкнутую произвольной формы поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, заключенных внутри этой поверхности, поделенной на абсолютную диэлектрическую проницаемость ε_а = εε₀, то есть:

Где: n – количество зарядов, q_i – заряд, заточенный внутри поверхности.

В системе Гаусса данное уравнения будет иметь вид:

Для потока вектора электрического смещения N_D (вектора индукции) можно получить аналогичную формулу:

То есть, поток индукции через замкнутую произвольную поверхность равен алгебраической сумме электрических зарядов, которые охватываются этой поверхностью.

Если взять какую-то замкнутую поверхность, которая не охватывает заряд q, то каждая линия напряженности (или индукции) будет пересекать ее дважды – один раз она войдет в поверхность, а другой раз выйдет из нее. Из – за этого явления алгебраическая сумма линий индукции, проходящих через замкнутую поверхность, количество которых определяет полный поток индукции N_D через эту поверхность будет равна нулю (N_D = 0).

Прежде чем рассмотреть несколько частных случаев применения теоремы Остроградского – Гаусса для определения напряженностей различных электростатических полей, введем понятие о плотности зарядов.

Линейная плотность заряда – это физическая величина, которая характеризует распределение заряда вдоль линии (нити) или тонкого цилиндрического тела и численно равная отношению заряда к длине элемента нити:

А при равномерном распределении заряда по всей длине линейная плотность:

В СИ единицей измерения линейной плотности заряда τ будет 1 Кл/м.

Если заряд dq распределен по какому-то объему dV, то очевидно, что объемная плотность заряда будет численно равна соотношению заряда к элементу объема:

А при равномерном распределении заряда:

В системе СИ измеряется в 1 Кл/м³.

В случаях, когда заряд dq распределяется по поверхности dS и глубина его проникновения пренебрежительно мала, то поверхностная плотность заряда будет определена соотношением:

А в случае если заряд q по площади S распределен равномерно, то:

В системе СИ поверхностная плотность измеряется в Кл/м².

Давайте вычислим напряженность электростатического поля, которое создано равномерно заряженной сферической поверхностью.

Предположим, что сферическая поверхность имеет радиус R и равномерно распределенный заряд q, то есть поверхностная плотность σ в любой точке сферы будет одинакова.

Выберем точку А, которая находится от центра сферы на расстоянии r (рисунок ниже):

Через точку А мысленно проведем новую сферическую поверхность S, симметричную заряженной сфере.

В данном случае через поверхность S поток вектора напряженности будет равен:

По теореме Гаусса N_E = q/εε₀. Отсюда следует, что при r>R:

Если сравнить данное соотношение с формулой напряженности поля точечного заряда, можно сделать вывод, что вне заряженной сферы напряженность поля такова, как если бы весь имеющийся заряд сферы был сосредоточен в ее центре.

Для точек, которые находятся на поверхности заряженной сферы с имеющимся радиусом R, по аналогии с уравнением (7) можно записать:

Если провести через точку В, которая находится внутри сферической заряженной поверхности, сферу S^/ с радиусом r^/<R. Зарядов не будет внутри сферы S^/, так как все они будут располагаться на внешней сферической поверхности. Отсюда вытекает (по теореме Гаусса) N_E = 0, и внутри равномерно заряженной сферы напряженность электростатического поля будет равна нулю (E = 0).

Теперь давайте попытаемся определить напряженность поля, созданного равномерно заряженной нитью (цилиндром) бесконечной длины.

Предположим, что полая цилиндрическая поверхность с определенным радиусом R заряжена с постоянной поверхностной плотностью σ. Проведем коаксильную поверхность цилиндрического типа с радиусом r>R.

Через эту поверхность поток вектора напряженности будет равен:

По теореме Гаусса:

Приравняв правые части этих уравнений получим:

Из формулы (4а) находим, что линейная плотность заряда цилиндра равна:

Использовав это равенство, найдем:

Теперь давайте определим напряженность поля, которое создается равномерно заряженной бесконечной плоскостью.

Если предположить, что данная плоскость имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу плоскости равен σ. Из законов симметрии следует вывод, что поле направлено всюду перпендикулярно плоскости, и если не существует никаких других внешних зарядов, то одинаковыми по своей величине должны быть поля по обе стороны плоскости.

Если ограничить часть заряженной плоскости 1 воображаемым прямоугольным ящиком 2 (Гауссова поверхность) таким образом, чтобы ящик был рассечен пополам (рисунок ниже).

Обе грани ящика, которые имеют определенную площадь S, должны быть расположены параллельно заряженной плоскости. Вектору Е равен суммарный поток вектора напряженности, умноженному на площадь первой грани S, плюс поток вектора Е через противоположную грань. Через остальные грани поток напряженности будет равен нулю, так как их не пересекают линии напряженности.

Повторив предыдущие рассуждения и применив теорему Остроградского – Гаусса, получим следующее выражение:

Но Е = Е₁ = Е₂. В таком случае напряженность поля бесконечной равномерной плоскости будет равна:

Координаты точки, в которой определяется напряженность поля, не входят в формулу (12). Отсюда следует вывод, что в бесконечной равномерно заряженной плоскости электростатическое поле будет однородным, а его напряженность в любой точке поля одинакова.

И, наконец, давайте определим напряженность поля, которое создается двумя бесконечными параллельными плоскостями, с одинаковыми плотностями и разноизменно заряженными.

Из рисунка выше видно, что между двумя бесконечными параллельными плоскостями, имеющими поверхностные плотности зарядов –σ и +σ, напряженность поля равна сумме напряженностей полей, которые создаются обеими пластинами, то есть:

Векторы Е вне пластин направлены противоположно друг другу и взаимно уничтожаются. Поэтому напряженность электрического поля в пространстве, которое окружает пластины, будет равно нулю (Е = 0).

Теорема о дивергенции — Citizendium

	Основной артикул	Обсуждение	Статьи по теме     [?]	Библиография   [?]	Внешние ссылки   [?]	Версия для цитирования   [?]
	Эта редактируемая основная статья в разработке и подлежит отказу от ответственности . [изменить введение]

Теорема о дивергенции (также называемая теоремой Гаусса или теоремой Гаусса-Остроградского) — это теорема, связывающая поток векторного поля через замкнутую поверхность с векторным полем внутри поверхности. Теорема утверждает, что внешний поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу дивергенции векторного поля внутри поверхности.

На самом деле эта теорема утверждает физический факт, что в отсутствие создания или разрушения материи плотность в области пространства может измениться только за счет того, что она втекает в эту область или удаляется от нее через ее границу.

Теорема применима в различных областях физики, в том числе в электростатике и гидродинамике. Другое очень важное применение теоремы состоит в том, что некоторые физические законы могут быть записаны как в дифференциальной, так и в интегральной форме, см., например, закон Гаусса для приложения.

Содержание

• 1 Математическая формулировка
• 2 следствия
• 3 Физическая интерпретация
• 4 Расширение

Математическая формулировка

Пусть V{\displaystyle V} — компактный объем с кусочно-гладкой границей ∂V{\displaystyle \partial V}. Если F {\ displaystyle \ mathbf {F}} — непрерывно дифференцируемое векторное поле, определенное в окрестности V {\ displaystyle V}, то

∭V∇⋅FdV=∬∂VF⋅dS{\displaystyle \iiint\limits _{V}\nabla\cdot\mathbf {F} \,dV=\iint\limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }

, где dS {\ displaystyle d \ mathbf {S}} определяется как dS = ndS {\ displaystyle d \ mathbf {S} = \ mathbf {n} \, dS} и n {\ displaystyle \ mathbf {n} } — направленное наружу единичное нормальное векторное поле.

Следствия

• Применяя теорему о расходимости к векторному произведению векторного поля F{\displaystyle \mathbf {F}} и ненулевого постоянного вектора, можно показать, что

∭V∇×FdV=∬ ∂VdS × F {\ displaystyle \ iiint \ limit _ {V} \ nabla \ times \ mathbf {F} \, dV = \ iint \ limit _ {\ partial V} d \ mathbf {S} \ times \ mathbf {F } }

• Применяя теорему о расходимости к произведению скалярной функции f{\displaystyle f} и ненулевого вектора, можно показать, что _{V}\nabla f\,dV=\iint \limits _{\partial V}f\,d\mathbf {S} }
  • Применяя теорему о расходимости к произведению скалярной функции g{\ displaystyle g} и векторное поле F {\ displaystyle \ mathbf {F}}, можно получить следующий результат:

  ∭V (F⋅(∇g)+g(∇⋅F))dV=∬∂VgF⋅dS{\displaystyle \iiint \limits _{V}(\mathbf {F} \cdot (\nabla g)+ g(\nabla \cdot \mathbf {F} ))\,dV=\iint \limits _{\partial V}g\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }

  Если векторное поле F {\ displaystyle \ mathbf {F}} может быть выражен как градиент скалярной функции f {\ displaystyle f}, то есть F = ∇f {\ displaystyle \ mathbf {F} = \ nabla f}, тогда приведенное выше уравнение является основой тождеств Грина.

  Физическая интерпретация

  Теорему о дивергенции можно интерпретировать как закон сохранения, который утверждает, что объемный интеграл по всем источникам и стокам равен чистому потоку через границу объема.

  Это легко показать на простом физическом примере. Представьте себе поток несжимаемой жидкости (т. е. заданная масса занимает фиксированный объем) со скоростью F {\ displaystyle \ mathbf {F}}. Тогда чистый поток через границу объема в единицу времени равен общему количеству источников за вычетом общего количества стоков в объеме. Но эта сумма источников и стоков — это всего лишь объемный интеграл дивергенции F {\ displaystyle \ mathbf {F}}.

  Extension

  Теорему о расходимости можно обобщить. Во-первых, домен V не обязательно должен быть трехмерным, но может иметь любую размерность. Во-вторых, условия на область определения и подынтегральную функцию можно немного ослабить. Одна из возможных формулировок следующая. Предположим, что область V ⊂ R ⁿ имеет липшицеву границу ∂ V и что векторное поле F {\displaystyle \mathbf {F}} находится в пространстве Соболева h21(V)n{ \displaystyle H_{1}^{1}(V)^{n}}, что означает, что его слабая производная равна L ₁ -интегрируемый. Тогда заключение теоремы о расходимости остается в силе.

  Дивергенция, теорема Гаусса-Остроградского и лапласиан

  Лапласиан — интересный объект, который первоначально был изобретен в многомерном исчислении и теории поля, но его обобщения возникают во многих областях прикладной математики, от компьютерного зрения до спектральной теории графов и дифференциальной геометрии. к гомологиям. В этом посте я собираюсь объяснить интуицию, лежащую в основе лапласиана, которая требует сначала введения понятия дивергенции. Я также коснусь знаменитой теоремы Гаусса-Остроградского.

  В конце XVIII — начале XIX веков великие математики, такие как Жозеф-Луи Лагранж, Карл Фридрих Гаусс и другие заложили основы современной физики. Одной из самых заметных проблем, которую они изучали, была теплопередача. Математические методы, разработанные для ее решения, такие как многомерное исчисление и анализ Фурье, бесценны. и в настоящее время повсеместно используются в прикладной математике.

  В этом посте я буду использовать примеры из задач теплопередачи и диффузии в качестве мотивации для объяснить интуицию, стоящую за математическими понятиями.

  Чтобы ввести понятие лапласиана, я должен сначала ввести понятие дивергенции, так как лапласиан является его частным случаем. После того, как мы разобрались с расходимостью, свойства лапласиана станут очевидными.

  Дивергенция

  Понятие дивергенции в многомерном исчислении имеет 2 очень разных определения: концептуальное и техническое.

  Их эквивалентность не является тривиальной, и я посвящу целый отдельный раздел ниже, чтобы доказать это.

  Концептуальное определение

  Концептуально дивергенция векторного поля F⃗\vec{F}F в некоторой точке является интегралом потока этого векторного поля по бесконечно малый замкнутый контур с площадью SSS и объемом VVV вокруг этой точки.

  ∇⋅F(x,y,z)=lim⁡S,V→0∯S1∣V∣F(x,y,z)\nabla \cdot F(x,y,z) = \lim \limits_ {S, V \to 0} \oiint \limits_S \frac{1}{|V|} F(x,y,z)∇⋅F(x,y,z)=S,V→0lim​S∬​ ​∣V∣1​F(x,y,z)

  Техническое определение

  Технически дивергенция векторного поля F⃗\vec{F}F представляет собой сумму его частных производных координат векторного поля: ∇⋅F(x,y,z)=∂Fxx+∂Fyy+∂Fyz \nabla \cdot F(x,y,z) = \frac{\partial F_x}{x} + \frac{\partial F_y}{y} + \frac{\partial F_y}{z}∇⋅F(x ,y,z)=x∂Fx​​+y∂Fy​​+z∂Fy​​.

  Обратите внимание, что F⃗\vec{F}F — векторное поле, а не скалярное. Таким образом, расхождение — это не , а просто скалярное произведение градиента. вектором (1,1,1), как можно предположить из-за неправильной записи.

  Доказательство эквивалентности концептуальных и технических определений

  Скажем, наша бесконечно малая поверхность, окружающая данную точку (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z), представляет собой куб с выровненными ребрами с координатой векторов, так что ребро длиной dxdxdx параллельно оси xxx, dydydy параллельно оси yyy, а dzdzdz параллельно оси zzz.

  Поскольку куб мал, мы можем считать, что поток по каждой из его граней равен площади этой грани, умноженной на поток через его центр.

  Дивергенция, согласно концептуальному определению, будет полным потоком через все 6 граней куба. Я буду обозначим часть полной дивергенции, соответствующую потоку через пару граней, ортогональных оси xxx, как ∇x⋅F(x,y,z)\nabla_x \cdot F(x,y,z)∇x​ ⋅ F (х, у, г). Таким образом, полное расхождение равно ∇⋅F(x,y,z)=∇x⋅F(x,y,z)+∇y⋅F(x,y,z)+∇z⋅F(x,y, z)\nabla \cdot F(x,y,z) = \nabla_x \cdot F(x,y,z) + \nabla_y \cdot F(x,y,z) + \nabla_z \cdot F(x,y ,z)∇⋅F(x,y,z)=∇x​⋅F(x,y,z)+∇y​⋅F(x,y,z)+∇z​⋅F(x,y, я).

  Рассчитаем дивергенцию по двум граням, ортогональным оси xxx:

  ∇xF(x,y,z)=1V(Fx(x+dx2,y,z)−Fx(x−dx2,y, z))⋅S=1dx⋅dy⋅dz(Fx(x+dx2,y,z)−Fx(x−dx2,y,z))⋅dy⋅dz=\nabla_x F(x, y, z) = \frac{1}{V} (F_x(x+\frac{dx}{2}, y, z) — F_x(x-\frac{dx}{2}, y, z)) \cdot S = \frac {1}{dx \cdot dy \cdot dz} (F_x(x+\frac{dx}{2}, y, z) — F_x(x-\frac{dx}{2}, y, z)) \cdot dy \cdot dz =∇x​F(x,y,z)=V1​(Fx​(x+2dx​,y,z)−Fx​(x−2dx​,y,z))⋅S=dx ⋅dy⋅dz1​(Fx​(x+2dx​,y,z)−Fx​(x−2dx​,y,z))⋅dy⋅dz=

  =1dx⋅dy⋅dzFx′(x,y,z)⋅dx⋅dy⋅dz=Fx′(x,y,z) = \frac{1}{dx \cdot dy \cdot dz} F_x'( x, y ,z) \cdot dx \cdot dy \cdot dz = F_x'(x, y ,z)=dx⋅dy⋅dz1​Fx′​(x,y,z)⋅dx⋅dy⋅dz=Fx ′​(x,y,z)

  Таким образом, общая дивергенция равна:

  ∇F(x,y,z)=∇xF(x,y,z)+∇yF(x,y,z)+ ∇zF(x,y,z)=Fx′(x,y,z)+Fy′(x,y,z)+Fz′(x,y,z)\nabla F(x, y, z) = \nabla_x F(x, y, z) + \nabla_y F(x, y, z) + \nabla_z F(x, y, z) = F_x'(x, y, z) + F_y'(x, y, z) + F_z'(x, y ,z)∇F(x,y,z)=∇x​F(x,y,z)+∇y​F(x,y,z)+∇z​F (x,y,z)=Fx′​(x,y,z)+Fy′​(x,y,z)+Fz′​(x,y,z)

  Мы видим, что концептуальное определение сходится с техническим определением.

  Инвариантность дивергенции к изменению координат

  Мы выбрали бесконечно малый куб так, чтобы его ребра были выровнены параллельно осям координат.

  Однако дивергенция не изменилась бы, если бы мы выбирали направления по-другому.

  Действительно, обратите внимание, что дивергенция — это след матрицы Якоби, а след инвариантен к преобразованиям подобия (таким как поворот координат). 9{-1} B) = tr(A)tr(BAB-1)=tr(AB-1B)=tr(A).

  Почему это работает для непрямоугольных поверхностей?

  TODO

  Теорема Гаусса-Остроградского

  Теорема Гаусса-Остроградского в основном утверждает, что вы можете вычислить поток векторного поля через макроскопический замкнутый поверхность как интеграл дивергенции по объему, заключенному в этой поверхности.

  Это доказывается применением того же рассуждения, что и для бесконечно малой поверхности/объема (просто разделите всю макроскопический объем на эти бесконечно малые кусочки).

  Лапласиан

  Лапласиан получается из дивергенции за один простой шаг.

  Предположим, что вместо векторных полей F⃗\vec{F}F у вас есть скалярное поле VVV. Например, вместо течения материи у вас есть распределение температуры или концентрации по объему.

  Ну, мы можем легко получить векторное поле из этого скалярного поля: просто найдите градиент скалярного поля и используйте его как векторное поле.

  Оператор ∇⋅∇V(x,y,z)=ΔV(x,y,z)\nabla \cdot \nabla V(x,y,z) = \Delta V(x,y,z)∇ ⋅∇V(x,y,z)=∆V(x,y,z) называется лапласианом.

  Являясь дивергенцией, лапласиан инвариантен и к замене базиса (кстати, это след гессиана).

  Приложения вне многомерного исчисления и теории поля

  Существует несколько дискретных аналогов непрерывного лапласиана, которые используются в различных областях информатики.

  Дискретный оператор Лапласа в компьютерном зрении для обнаружения границ

  Дискретная версия оператора Лапласа представляет собой сверточный фильтр, используемый в компьютерном зрении для обнаружения границ. В двумерном случае это матрица 3 на 3 следующей структуры:

  Л=(0-10-14-10-10)Л = \begin{pматрица} 0 && -1 && 0 \\ -1 && 4 && -1 \\ 0 && -1 && 0 \\ \end{pmatrix}L=⎝⎛​0−10​−14−1​​0−10​⎠⎞​

  Попробуйте применить его к черно-белой фотографии кирпичной стены.